Obsah pˇredn´aˇsky
Hry, s´azky a stˇredn´ı hodnota
1
Stˇredn´ı hodnota Oˇcek´avan´y v´ynos a doba ˇcek´an´ı na u ´spˇech Volby jsou taky hra
2
Neintuitivn´ı pravdˇepodobnostn´ı a statistick´e d˚ usledky Simpson˚ uv paradox Praktick´e d˚ usledky podm´ınˇen´e pravdˇepodobnosti Trochu odlehˇcen´ı na z´avˇer ...
Michal Bulant Masarykova univerzita Pˇr´ırodovˇ edeck´ a fakulta ´ Ustav matematiky a statistiky
21. bˇrezna 2013
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
1 / 45
Oˇcek´avan´y v´ynos
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
2 / 45
Pˇredpokl´adan´e (oˇcek´avan´e) ˇcek´an´ı
Z matematick´ych pojm˚ u budeme pouˇz´ıvat zejm´ena pojem oˇcek´avan´y v´ynos (stˇredn´ı hodnota) n´ahodn´e veliˇciny, kter´y je definov´an jako souˇcet pˇr´ısluˇsn´ych v´ynos˚ u vyn´asoben´ych pravdˇepodobnost´ı jejich v´yskytu1 , tj. v pˇr´ıpadˇe diskr´etn´ı veliˇciny s koneˇcnˇe mnoha hodnotami
Ilustrujme pojem stˇredn´ı hodnoty (v tomto pˇr´ıpadˇe pˇredpokl´adan´eho ˇ eˇce, nezlob se. ˇcek´an´ı) na pˇr´ıkladu, kter´y kaˇzd´y z n´as zn´a ze hry Clovˇ
Pˇr´ıklad Jak´a je pr˚ umˇern´a doba ˇcek´an´ı na to, ˇze pˇri hodech kostkou padne ˇc´ıslo 6?
E (X ) = p1 · v1 + · · · pn · vn . Napˇr. stˇredn´ı hodnota padl´eho ˇc´ısla pˇri hodu ˇsestibokou kostkou je 1 1 1 1 1 1 6 · 1 + 6 · 2 + 6 · 3 + 6 · 4 + 6 · 5 + 6 · 6 = 3,5.
1
V´ aˇzen´y ˇcten´ aˇr tuˇs´ı, ˇze jsme zde znaˇcnˇe neform´ aln´ı, korektn´ı matematick´ a definice stˇredn´ı hodnoty n´ ahodn´e veliˇciny by vyˇzadovala jistou pˇr´ıpravu, my se vˇsak v r´ amci konceptu pˇredn´ aˇsky budeme snaˇzit form´ alnostem vyh´ybat. Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
4 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
5 / 45
ˇ sen´ı (pokr.) Reˇ ´ Uloha se d´a sice snadno vyˇreˇsit se znalost´ı teorie pravdˇepodobnosti, my to ale zvl´adneme i bez toho. Necht’ je pravdˇepodobnost u ´spˇechu p, jak´y je oˇcek´avan´y poˇcet opakov´an´ı pokusu, neˇz se u ´spˇech dostav´ı?
ˇ sen´ı Reˇ
´ ech nastane pˇri 1. pokusu – pravdˇepodobnost p Uspˇ ´ ech nastane pˇri 2. pokusu – pravdˇepodobnost (1 − p)p Uspˇ ´ ech nastane pˇri 3. pokusu – pravdˇepodobnost (1 − p)2 p Uspˇ
Se znalost´ı teorie pravdˇepodobnosti samozˇrejmˇe m˚ uˇzeme konstatovat, ˇze jde o klasick´y pˇr´ıklad diskr´etn´ı n´ahodn´e veliˇciny X s tzv. geometrick´ym rozdˇelen´ım, urˇcen´ym pravdˇepodobnostn´ı funkc´ı P(X = k) = (1 − p)k−1 · p,
... ´ ech nastane pˇri n-t´em pokusu – pravdˇepodobnost (1 − p)n−1 p Uspˇ
kde p je pravdˇepodobnost u ´spˇechu, tedy v naˇsem pˇr´ıpadˇe p = 16 . Tato n´ahodn´a veliˇcina m´a z´akladn´ı momenty E (X ) = p1 , D(X ) = 1−p . p2
Celkem je oˇcek´avan´y poˇcet pokus˚ u roven 1 · p + 2 · (1 − p)p + 3 · (1 − p)2 p + · · · + n · (1 − p)n p + · · · . Jde o souˇcet nekoneˇcn´e ˇrady, kter´y lze vypoˇc´ıtat s vyuˇzit´ım geometrick´ych ˇrada – souˇcet je roven 1/p. a
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
6 / 45
http://en.wikipedia.org/wiki/Wheat_and_chessboard_problem
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
7 / 45
Kolik bude st´at sbˇer kartiˇcek? ˇ sen´ı Reˇ
Pˇr´ıklad Marek sb´ır´a kartiˇcky hokejist˚ u NHL. Jeho c´ılem je m´ıt vˇsech 100 kartiˇcek a zaj´ım´a ho (tedy asi sp´ıˇse rodiˇce, kteˇr´ı to plat´ı), kolik krabiˇcek, do kter´ych jsou kartiˇcky n´ahodnˇe po jedn´e umist’ov´any, v pr˚ umˇeru potˇrebuje, aby z´ıskal vˇsech 100 kartiˇcek.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
8 / 45
Prvn´ı karta je jistˇe nov´a, druh´a karta bude nov´a s pravdˇepodobnost´ı 99/100, takˇze d´elka oˇcek´avan´eho ˇcek´an´ı na druhou kartu je 100/99 krabiˇcek. Podobnˇe tˇret´ı karta atd. Na zisk st´e kartiˇcky bude v pr˚ umˇeru ˇcekat 100/1 krabiˇcek. Celkem je oˇcek´avan´a doba ˇcek´an´ı na vˇsechny kartiˇcky rovna 1 1 1 1 100 + + ··· + + ≈ 518,7. 100 99 2 1 ˇ Rada v z´avorce je tzv. harmonick´a ˇrada, o n´ıˇz je zn´am pomˇernˇe pˇrekvapiv´y fakt: sˇc´ıt´ame-li ˇc´ısla 1/n dostateˇcnˇe dlouho, pˇrekroˇc´ıme libovolnˇe velkou pˇredem zvolenou mez. Souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u harmonick´e ˇrady se d´a dobˇre odhadnout jako ln n + γ, kde γ ≈ 0,57721 je tzv. Eulerova konstanta. V naˇsem pˇr´ıpadˇe d´a tato aproximace v´ysledek 100(ln 100 + γ) ≈ 518,2.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
9 / 45
Ruleta Pod´ıvejme se ted’ na hazardn´ı hry a s´azky. Ruleta je zn´am´a hra, kde se s´az´ı na ˇc´ısla 1 aˇz 36 a jejich r˚ uzn´e kombinace. Aby mˇel provozovatel zisk, je d´ale na hrac´ı ploˇse ˇc´ıslo 0 (a v americk´e verzi jeˇstˇe 00).
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
S pomoc´ı teorie pravdˇepodobnosti snadno spoˇc´ıt´ame oˇcek´avan´y v´ynos pˇri s´azce 100 Kˇc na jedno ˇc´ıslo (v takov´em pˇr´ıpadˇe vyhr´av´ame 35-tin´asobek vkladu): 36 1 −100 + 35 · 100 = −2,70Kˇc, 37 37 resp. −5,26 Kˇc v americk´e variantˇe. Budeme-li s´azet na ˇcervenou, je pravdˇepodobnost v´yhry 18 cek´avan´y v´ynos ˇcin´ı 37 , tj. oˇ 19 18 −100 37 + 1 · 100 37 = −2,70 Kˇc. Vˇsimnˇete si, ˇze v´yplaty a s´azky v ruletˇe jsou konstruov´any tak, ˇze je u ´plnˇe jedno na co se s´az´ı, oˇcek´avan´y v´ynos je 1 2 vˇzdy stejn´y, totiˇz − 37 vkladu (v americk´e variantˇe pak − 38 vkladu).
10 / 45
ˇ ’astn´ych 10 St
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
11 / 45
Jak´a je pravdˇepodobnost v´yhry?
ˇ ’astn´ St ych 10 je s´azkov´a hra, kterou provozuje Sazka, a.s., a v n´ıˇz se tipuje 1 aˇz 10 ˇc´ısel z 80. V losov´an´ı je taˇzeno 20 ˇc´ısel. Hra obsahuje mnoho variant v´yhry pˇri uhodnut´ı r˚ uzn´eho poˇctu ˇc´ısel a dokonce“ cenu ” u ´tˇechy pˇri tipov´an´ı alespoˇ n 6 ˇc´ısel a neuhodnut´ı ˇz´adn´eho. Vypoˇctˇeme si alespoˇ n pr˚ umˇern´y v´ynos z jedn´e vsazen´e stokoruny:
Hledanou pravdˇepodobnost vyj´adˇr´ıme jako pod´ıl poˇctu u ´spˇeˇsn´ych jev˚ u ku poˇctu vˇsech moˇzn´ych. S´az´ıme-li ` ˇc´ısel, jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze uhodneme h z nich? 60 2 pak 20 Vˇsech moˇzn´ych vsazen´ych `-tic je 80 , vyhr´ a vaj´ ıc´ ıch ` h `−h . Pro jednotliv´e zkouman´e moˇznosti tak dost´av´ame pr˚ umˇern´e v´ynosy3 100 14 − 100 34 = −50 Kˇc 100(200 · 6, 4 · 10−4 + 16 · 1, 2 · 10−2 + 2 · 8, 4 · 10−2 − 1) ≈ −51 Kˇc
pˇri s´azce na jedno ˇc´ıslo (pˇri uhodnut´ı dostaneme dvojn´asobek vkladu)
−50,15 ´tˇechy, jej´ıˇz pravdˇepodobnost je 80Kˇ c (i s cenou u 60 / ≈ 4, 6%) 10 10
pˇri s´azce na pˇet ˇc´ısel (3: 2x; 4: 16x; 5: 200x) pˇri s´azce na deset ˇc´ısel (0: 1x; 5: 3x; 6: 10x; 7: 20x; 8: 500x; 9: 10000x; 10: 200000x)
Z´avˇer matematika: chcete-li opravdu hr´at hazardn´ı hry, bude pro vaˇsi kapsu ˇ ’astn´ych 10“. lepˇs´ı, p˚ ujdete-li (i do americk´eho) kasina neˇz do Sazky na St ” 80−` 80 T´eˇz takto: h` · 20−h / 20 . 3 Podrobnˇeji ve worksheetu na http://www.math.muni.cz/~bulik/ostatni/stastnych10.xls. 2
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
12 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
13 / 45
Jak tedy vyhr´at?
Anal´yza Martingale strategie Pˇr´ıklad
Letm´y pohled na internet n´am pˇritom nab´ıdne hned nˇekolik zaruˇcen´ych tip˚ u, jak s´azet v r˚ uzn´ych hr´ach a neprohr´at. Napˇr. v ruletˇe s´az´ıme na ˇ ’astn´ych 10 na jedno ˇc´ıslo (dokud nevyhrajeme) vˇzdy barvu nebo ve hˇre St dvojn´asobek pˇredchoz´ı s´azky (strategie zn´am´a jako Martingale betting strategy). Viz napˇr. n´avod jiˇz z roku 1882 (Frantiˇsek Baˇckovsk´y pod pseudonymem Vlastimil Ben´atsk´y, Jak s´azeti do loterie, bychom zcela jistˇe vyhr´ali 4 ). N´avody jsou to v podstatˇe korektn´ı aˇz na pˇredpoklad, ˇze dotyˇcn´y m´a k dispozici neomezen´y zdroj penˇez na s´azky a s t´ım, ˇze v´ynos ze s´azen´ı je i v takov´em pˇr´ıpadˇe zanedbateln´y vzhledem k mnoˇzstv´ı penˇez, kter´e mus´ıme m´ıt k dispozici a je tedy tˇreba k v´ydˇelku odehr´at vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı her.
ˇ Reknˇ eme, ˇze m´ate k dispozici 50 000 Kˇc na s´azky zaˇc´ınaj´ıc´ı na 1 Kˇc a uplatˇ nujete uvedenou strategii (s´az´ıme pˇritom na barvu). Nazvˇeme jedn´ım kolem nˇekolik proher zakonˇcen´ych v´yhrou (pˇr´ıp. s´erii proher zakonˇcen´ych bankrotem). Na z´avˇer u ´spˇeˇsn´eho kola vˇzdy vydˇel´ame 1 Kˇc. Jak´a je stˇredn´ı hodnota v´yhry? Zbankrotujeme, pokud souˇcet s´azek 1 + 2 + 22 · · · + 2n−1 = 2n − 1 pˇrekroˇc´ı n´aˇs rozpoˇcet, tj. pokud n ≥ 16. Pravdˇepodobnost bankrotu (16 proher v ˇradˇe) je (v evropsk´e verzi rulety) (19/37)16 ≈ 0,002% (tedy miziv´a), pravdˇepodobnost v´yhry 1 Kˇc je zbytek do 100%. Stˇredn´ı hodnota v´yhry za jedno kole je pak (19/37)16 · (−50 000) + (1 − (19/37)16 ) · 1 ≈ −0,17.
4
http://goo.gl/qLn9S
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
14 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
15 / 45
Sportovn´ı s´azky
(Psychologick´e) kouzlo u ´spˇechu tˇechto her je samozˇrejmˇe v tom, ˇze prohra 100 Kˇc bol´ı m´enˇe neˇz tˇeˇs´ı v´yhra 3500 Kˇc. Internet je pln´y zpr´av tˇech, kdo touto strategi´ı nˇejak´e ty koruny vyhr´ali, tˇech, kteˇr´ı podstatnˇe vˇetˇs´ı pen´ıze prohr´ali je jednak m´enˇe a jednak se t´ım zˇrejmˇe nechlub´ı (a nebo uˇz nemaj´ı pˇripojen´ı k Internetu).
Na z´apas Evropsk´e ligy mezi Spartou Praha a Athleticem Bilbao byly na podzim u jedn´e internetov´e s´azkov´e spoleˇcnosti n´asleduj´ıc´ı kurzy: 3,25 na v´ıtˇ ezstv´ı Sparty; 3,5 na rem´ızu a 2,1 na v´ıtˇ ezstv´ı Bilbaa. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze kurzy vypsan´e s´azkovou spoleˇcnost´ı odr´aˇzej´ı pravdˇepodobnost v´yskytu dan´eho jevu – podle vztahu pro oˇcek´avan´y v´ynos dost´av´ame pˇri s´azce 100 Kˇc na kaˇzdou z variant 325 ·
1 1 1 + 350 · + 210 · − 300 = 0. 3, 25 3, 5 2, 1
Je to tedy skuteˇcnˇe tak, ˇze s´azkov´a kancel´aˇr s n´ami ˇcestnˇe hraje hru, v n´ıˇz vydˇel´av´a jen d´ıky tomu, ˇze jej´ı bookmakeˇri jsou lepˇs´ı v tipov´an´ı v´ysledku nebo jsme nˇekde udˇelali chybu?
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
16 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
17 / 45
Volby jsou taky hra b) je spr´ avnˇ e: Chybu jsme udˇelali v tom, ˇze jsme pˇredpokl´adali, ˇze kurzy vypsan´e s´azkovou spoleˇcnost´ı odpov´ıdaj´ı pravdˇepodobnostem v´yskytu 1 1 1 + 3,50 + 2,10 ≈ 1,07 nen´ı roven dan´ych jev˚ u – protoˇze souˇcet P = 3,25 jedn´e (ˇz´adn´y jin´y jev pˇritom nastat nem˚ uˇze a jevy jsou tzv. vyluˇcuj´ıc´ı se jevy ), re´aln´e“ kurzy pro spravedlivou hru tedy dostaneme, kdyˇz uveden´e ” kurzy vyn´asob´ıme ˇc´ıslem P. Pˇrevr´acen´a hodnota P pak z´aroveˇ n ud´av´a, kolik vyhrajeme z kaˇzd´e koruny, rozd´ıl 1/P − 1 = −0, 065 je tedy hledan´a oˇcek´avan´a hodnota v´ynosu ze s´azen´ı. Tedy: ˇc´ım vˇetˇs´ı je souˇcet pˇrevr´acen´ych hodnot vyluˇcuj´ıc´ıch se kurz˚ u, kter´e z´aroveˇ n popisuj´ı vˇsechny moˇzn´e jevy, t´ım vˇetˇs´ı je nev´yhoda na stranˇe s´azej´ıc´ıho. Do tˇechto her by se ale i (sportovnˇe zaloˇzen´y) matematik mohl zapojit, pokud je pˇresvˇedˇcen, ˇze jednotliv´e pravdˇepodobnosti jsou stanoveny chybnˇe (tedy, je ˇze chytˇrejˇs´ı nebo informovanˇejˇs´ı neˇz pˇr´ısluˇsn´y bookmaker).
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
18 / 45
Condorcet˚ uv paradox v praxi
Pˇredpokl´adejme, ˇze m´ame 3 voliˇce (nebo skupiny voliˇc˚ u), kteˇr´ı se rozhoduj´ı mezi 3 kandid´aty A,B,C: voliˇc 1 preferuje kandid´aty v poˇrad´ı A, B, C. voliˇc 2 preferuje kandid´aty v poˇrad´ı B, C, A. voliˇc 3 preferuje kandid´aty v poˇrad´ı C, A, B. At’ je zvolen kter´ykoliv kandid´at, vˇzdy se najde jin´y kandid´at, kter´eho vˇetˇsina voliˇc˚ u upˇrednostˇ nuje pˇred t´ımto kandid´atem. Tento jev se naz´yv´a Condorcet˚ uv volebn´ı paradox, je zp˚ usoben cykliˇcnost´ı preferenc´ı jednotliv´ych voliˇc˚ u a vyskytuje zejm´ena v syst´emech s alespoˇ n3 kandid´aty/stranami, kdy m˚ uˇze kandid´at s podporou jen lehce nad 1/3 zv´ıtˇezit, pˇrestoˇze t´emˇeˇr 2/3 voliˇc˚ u preferuj´ı jin´eho kandid´ata.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
20 / 45
Condorcet˚ uv paradox v praxi
Guvern´erem st´atu Minessota se v roce 1998 stal b´yval´y profesion´aln´ı z´apasn´ık wrestlingu (se slovensk´ymi koˇreny) Jesse The Body“ Ventura. ”
Volebn´ı preference (podle povolebn´ıch pr˚ uzkum˚ u) kandid´at˚ u (kromˇe Ventury d´ale demokratick´y gener´aln´ı prokur´ator Skip Humphrey a republik´ansk´y starosta mˇesta St. Paul Norm Coleman) pˇritom byly zhruba takov´e: Poˇrad´ı 1 2 3
35% Col Hum Ven
28% Hum Col Ven
20% Ven Col Hum
17% Ven Hum Col
D´ıky tomu, ˇze se volilo jednokolov´ym vˇetˇsinov´ym syst´emem, zv´ıtˇezil Jesse Ventura.
Politik a z´apasn´ık Jesse Ventura Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
21 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
22 / 45
Problematick´e volebn´ı syst´emy
Uved’me si problematiˇcnost volebn´ıch syst´em˚ u na mal´em pˇr´ıkladu: 15 lid´ı se m´a dohodnout, jak´y n´apoj se bude serv´ırovat na party. V nab´ıdce jsou pivo, v´ıno a ml´eko. Preference u ´ˇcastn´ık˚ u party (bez toho, aby si je dopˇredu sdˇelovali) jsou n´asleduj´ıc´ı:
Jednokolov´ y vˇ etˇsinov´ y syst´ em – kaˇzd´y hlasuje pro 1 variantu, proto u nejhorˇs´ı varianta! vyhraje ml´eko. Pˇritom je to ale pro 60% voliˇc˚ Dvoukolov´ y vˇ etˇsinov´ y syst´ em – dva n´apoje s nejvˇetˇs´ım poˇctem hlas˚ u (ml´eko a pivo) postupuj´ı do druh´eho kola, kde pivo vyhr´av´a 9:6. Pˇritom ale cel´ych 10 lid´ı preferuje v´ıno pˇred pivem ?! Jak z toho ven? Bord˚ uv protokol – kaˇzd´y voliˇc oˇc´ısluje kandid´aty sestupnˇe podle sv´e preference, rozhodne souˇcet. V´ıtˇezem je v´ıno. Condorcetovo krit´ erium – vyhraje kandid´at, kter´y v hlasov´an´ı jeden proti jednomu poraz´ı vˇsechny soupeˇre. V´ıtˇezem je opˇet v´ıno.
6 z nich m´a preference v poˇrad´ı: ml´eko, v´ıno, pivo; 5 z nich m´a preference v poˇrad´ı: pivo, v´ıno, ml´eko; 4 pak v´ıno, pivo, ml´eko. Jak´ ym zp˚ usobem se dohodnou na spoleˇ cn´ em n´ apoji?
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
23 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
24 / 45
Arrow˚ uv volebn´ı paradox Kenneth Arrow (1951) klade na volebn´ı metody nˇekolik pˇrirozen´ych podm´ınek: neexistence dikt´ atora – v´ysledek mus´ı ovlivnit m´ınˇen´ı v´ıce voliˇc˚ u, ne pouze pˇreb´ırat preference jednoho z nich univerzalita – metoda mus´ı br´at v potaz preference vˇsech voliˇc˚ ua vy´ ustit v jednoznaˇcn´e poˇrad´ı nez´ avislost na nepodstatn´ ych alternativ´ ach – metoda mus´ı poskytnout stejn´y v´ysledek na podmnoˇzinˇe moˇznost´ı (bez ohledu na pˇr´ıpadn´e zmˇeny preferenc´ı nepodstatn´ych alternativ, tj. moˇznost´ı mimo tuto podmnoˇzinu)
Posledn´ı 2 podm´ınky (monotonie a kolektivn´ı racionalita) mohou b´yt nahrazeny tzv. Paretovou efektivnost´ı – pokud vˇsichni voliˇci preferuj´ı jednoho kandid´ata pˇred jin´ym, mus´ı toto respektovat i v´ysledek). Arrow vz´apˇet´ı dok´azal, ˇze neexistuje ˇz´adn´a konzistentn´ı metoda, kter´a by spravedliv´ym zp˚ usobem za splnˇen´ı tˇechto podm´ınek urˇcila v´ıtˇeze mezi alespoˇ n 3 kandid´aty. Vˇsechny volebn´ı metody (s v´yjimkou dikt´atorstv´ı) jsou tedy jiˇz z principu nedokonal´e, coˇz prokazuj´ı mnoh´e praktick´e pˇr´ıklady, kdy obˇetujeme nˇekter´y jin´y pˇrirozen´y poˇzadavek (ˇcasto nez´avislost na nepodstatn´ych alternativ´ach), abychom se vyhnuli dikt´atorstv´ı.
monotonie – pokud jednotlivec novˇe upˇrednostn´ı nˇejakou alternativu, metoda nesm´ı reagovat tak, ˇze ve v´ysledku tato alternativa dopadne h˚ uˇre neˇz pˇred touto zmˇenou kolektivn´ı racionalita – kaˇzd´e moˇzn´e v´ysledn´e poˇrad´ı mus´ı b´yt dosaˇziteln´e Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
25 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
26 / 45
Vysvˇetlen´ı pˇr´ıkladu
Jak tedy d´ıky znalosti matematiky opravdu vydˇelat? Uvaˇzov´an´ı hr´aˇce nad dominanc´ı jednotliv´ych strategi´ı m˚ uˇzeme ilustrovat jeˇstˇe na jednom pˇr´ıkladu:
Lze uk´azat, ˇze existuje pro druh´eho hr´aˇce strategie v´ybˇeru tak, ˇze m´a vˇzdy pravdˇepodobnost v´yhry alespoˇ n 2/3. Pokud 1. hr´aˇc vybral trojici, zaˇc´ınaj´ıc´ı xx, j´a vyberu yxx Pokud 1. hr´aˇc vybral trojici, zaˇc´ınaj´ıc´ı xy , j´a vyberu xxy
Pˇr´ıklad Pˇri hodu minc´ı (Panna, Orel) opakovan´em 3kr´at, m´ame 8 moˇzn´ych jev˚ u, kaˇzd´y se stejnou pravdˇepodobnosti 18 :
OOO
PPP, PPO, POP, POO, OPP, OPO, OOP, OOO.
POO
Hru hraj´ı 2 hr´aˇci – kaˇzd´y si vybere jednu trojici, pak h´aˇzeme minc´ı tak dlouho, aˇz se jedna z tˇechto trojic objev´ı. Dotyˇcn´y hr´aˇc vyhr´av´a.
POP
PPO
OOP
OPO
OPP
Kdo si zahraje?
PPP
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
27 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
Dokonˇcen´ı pˇr´ıkladu
Dokonˇcen´ı pˇr´ıkladu, 2. ˇc´ast
Uk´aˇzeme, ˇze pˇri v´ybˇeru POP a PPO je pravdˇepodobnost prvn´ıho v´yskytu trojice PPO rovna 2/3. Snadno je vidˇet, ˇze dokud pad´a orel, ˇsance obou se nemˇen´ı. Jakmile padne panna, m´ame v dalˇs´ım tahu pravdˇepodobnost 21 , ˇze padne znovu panna a stejnou pravdˇepodobnost, ˇze padne orel. Pak
Podobnˇe snadno zd˚ uvodn´ıme, ˇze pokud 1. hr´aˇc vybere napˇr. PPO, my budeme m´ıt s volbou OPP vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost u ´spˇechu.
v pˇr´ıpadˇe panny s jistotou vyhr´av´a PPO – h´aˇzeme tak dlouho neˇz padne orel – celkem pravdˇepodobnost 12
dokud se v seznamu hod˚ u neobjev´ı dvojice PP, jistˇe nemohl nikdo zv´ıtˇezit uvaˇzme prvn´ı v´yskyt dvojice PP: 1
v pˇr´ıpadˇe orla vyhr´av´a POP pouze tehdy, pokud n´aslednˇe padne panna, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe jsme znovu na zaˇc´atku – tj. celkem pro POP 14 .
28 / 45
2
je-li hned na zaˇc´atku posloupnosti hod˚ u (p = 14 ), vyhr´av´a jistˇe 1. hr´aˇc objev´ı-li se dvojice PP aˇz pozdˇeji, nutnˇe pˇred jej´ım prvn´ım v´yskytem musel padnout Orel a v´ıtˇez´ıme.
Celkem tedy vyhr´av´a OPP s pravdˇepodobnost´ı 43 .
Celkem tedy ve dvojn´asobn´em poˇctu pˇr´ıpad˚ u vyhr´av´a PPO, tj. 2 pravdˇepodobnost jeho v´ıtˇezstv´ı je 3 .
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
29 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
30 / 45
ˇ Zaloba na University of California, Berkeley
Simpson˚ uv paradox“ ” Uved’me nˇekter´e situace, kdy se lidsk´a intuice dost´av´a do probl´em˚ u: Statistick´y (zd´anliv´y) paradox, kter´y se pomˇernˇe ˇcasto objevuje i na re´aln´ych datech. Nejl´epe je asi pochopiteln´y na (skuteˇcn´ych) pˇr´ıkladech: Klinick´a studie se zab´yvala porovn´an´ım u ´spˇeˇsnosti dvou zp˚ usob˚ u l´eˇcby ’ ledvinov´ych kamen˚ u. Studie zkoumala zvl´aˇst u ´spˇeˇsnost na mal´ych kamenech a velk´ych kamenech.
Mal´ e kameny Velk´ e kameny Celkem
Metoda A 93% (81/87) 73% (192/263) 78% (273/350)
Metoda B 87% (234/270) 69% (55/80) 83% (289/350)
Aˇckoliv je metoda A lepˇs´ı jak pro mal´e, tak velk´e kameny, celkovˇe se ukazuje jako horˇs´ı. Je to proto, ˇze v testu byla metoda A v´yraznˇe ˇcastˇeji pouˇzita pro v´yraznˇe h˚ uˇre dopadaj´ıc´ı velk´e kameny. Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
32 / 45
Jeden z nejzn´amˇejˇs´ıch pˇr´ıklad˚ u Simpsonova paradoxu poch´az´ı z roku 1973, kdy byla UCB zalaˇzov´ana kv˚ uli u ´dajn´emu evidentn´ımu znev´yhodˇ nov´an´ı ˇzen v pˇrij´ımac´ım ˇr´ızen´ı, coˇz mˇela dokl´adat tabulka: Muˇ zi ˇ Zeny
Uchazeˇci 8442 4321
Pˇritom se uk´azalo, ˇze jednotliv´e katedry v zv´yhodˇ novaly ˇzeny: Muˇzi Katedra Uchazeˇci Pˇrijat´ı A 825 62% B 560 63% C 325 37% D 417 33% E 191 28% F 272 6% Michal Bulant (PˇrF MU)
´ eˇsnost Uspˇ 44% 35% nˇekter´ych pˇr´ıpadech m´ırnˇe ˇ Zeny Uchazeˇcky 108 25 593 375 393 341
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
Pˇrijat´e 82% 68% 34% 35% 24% 7% 21. bˇrezna 2013
33 / 45
Sportovn´ı pˇr´ıklad
Nad t´ımto jevem se obˇcas z neznalosti podivuj´ı i sportovn´ı koment´atoˇri. Objevil se napˇr´ıklad v t´eto statistice u ´spˇeˇsnosti baseballov´ych odpal˚ u:
Derek Jeter David Justice
1995 12/48 .250 104/411 .253
1996 183/582 .314 45/140 .321
1997 190/654 .291 163/495 .329
Celkem ale Derek Jeter dos´ahl sk´ ore 385/1284, tj. 30% u ´spˇeˇsnosti, kdeˇzto David Justice 312/1046, tj. 29,8%. 5
5
Podobn´y efekt m´ıv´a napˇr. srovn´av´an´ı u ´spˇeˇsnosti stˇredn´ıch ˇskol pˇri pˇrij´ımac´ıch zkouˇsk´ach na vysok´e ˇskoly (Absolventi tˇr´ıdy A dopadli pˇri pˇrij´ımaˇck´ach na kaˇzd´y obor l´epe neˇz absolventi tˇr´ıdy B, protoˇze se ale v´yraznˇe v´ıc hl´asili na obory s menˇs´ı u ´spˇeˇsnost´ı, celkov´e procento u ´spˇeˇsnosti tˇr´ıdy A bylo niˇzˇs´ı). Vˇzdy je proto tˇreba peˇclivˇe uv´aˇzit, jestli uˇcinˇen´e z´avˇery opravdu odpov´ıdaj´ı namˇeˇren´ym dat˚ um nebo jde o jednu z mnoha m´enˇe ˇci v´ıce pˇriohnut´ych“ ” statistik a jejich interpretac´ı.
Nebylo mu to ale nic platn´e, kaˇzd´y rok byl Justice prohl´ aˇsen za lepˇs´ıho.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
34 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
35 / 45
Asi zbyteˇcn´y n´aznak zd˚ uvodnˇen´ı
Triple test a jeho v´ysledky Triple test je vyˇsetˇren´ı krevn´ıho s´era na hodnoty choriogonadotropinu, estriolu a alfa-fetoproteinu. Prov´ad´ı se v druh´em trimestru tˇehotenstv´ı a m´a slouˇzit k detekci rizik genetick´ych poruch a poruch v´yvoje nervov´e trubice. Detekuje poruchy s u ´spˇeˇsnost´ı 70% a naopak 5% zdrav´ych pˇr´ıpad˚ u rozpozn´a jako poruˇsen´e. Budouc´ım matk´am, u kter´ych triple test uk´aˇze zv´yˇsen´e riziko vad plodu, je obvykle doporuˇceno nˇejak´e dalˇs´ı zpˇresˇ nuj´ıc´ı vyˇsetˇren´ı, napˇr´ıklad amniocent´eza (odbˇer plodov´e vody). Uv´ad´ı se, ˇze u tˇehotn´e ˇzeny ve vˇeku 20–24 let je pravdˇepodobnost narozen´ı d´ıtˇete s Downov´ym syndromem cca 1:1500, u tˇehotn´e ˇzeny ve vˇeku 35–39 let je pravdˇepodobnost narozen´ı d´ıtˇete s Downov´ym syndromem cca 1:200. Prozkoumejme (alespoˇ n z matematick´eho hlediska) v´yznam prov´adˇen´ı tohoto testu za uveden´ych pˇredpoklad˚ u, kdy se rod´ı cca 100 tis. dˇet´ı roˇcnˇe, z toho cca 10% ˇzen´am ve vˇeku 35–39 let a cca 12% ˇzen´am ve vˇeku 20-24 let.
1 2 6 < 10 6 4 9 < 5 7 6 15 > 15
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
36 / 45
Specifiˇcnost a senzitivita (citlivost) testu Negativn´ı skuteˇcnost False positive True negative Specifiˇcnost
Triple test Test pozitivn´ı Test negativn´ı
Negativn´ı skuteˇcnost 5% 95% Specifiˇcnost
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
38 / 45
Uvaˇzujme (re´aln´y) vzorek deseti tis´ıc ˇzen ve vˇeku 35–39 let: Starˇs´ı ˇ zeny Test pozitivn´ı Test negativn´ı
21. bˇrezna 2013
Pozitivn´ı skuteˇcnost 35 15 50
Negativn´ı skuteˇcnost 497,5 9452,5 9950
532,5 9467,5
Proto lze pravdˇepodobnost, ˇze d´ıtˇe starˇs´ı“ matky bude skuteˇcnˇe ” postiˇzeno Downov´ym syndromem, pokud vyˇsel pozitivn´ı test, spoˇc´ıtat jako 35 zen ve vˇeku 20–24 let dostaneme: 532,5 ≈ 6,6%. A pro 12 tis. ˇ
Za dˇr´ıve uveden´ych pˇredpoklad˚ u snadno vypoˇcteme, ˇze pravdˇepodobnost, ˇze d´ıtˇe starˇs´ı“ matky bude skuteˇcnˇe postiˇzeno Downov´ym syndromem, ” pokud vyˇsel pozitivn´ı test, je pouh´ych cca 6,6%. U mlad´ych ˇzen se pak tato pravdˇepodobnost pohybuje kolem 0,9% a je tedy na zv´aˇzenou, zda toto ploˇsn´e testov´an´ı v dan´e vˇekov´e skupinˇe prov´adˇet, pokud nav´ıc uv´adˇen´e riziko potratu pˇri pˇr´ıpadn´e amniocent´eze se rovnˇeˇz pohybuje kolem jednoho promile. Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
V´ypoˇcet
Pozitivn´ı skuteˇcnost Test pozitivn´ı True positive Test negativn´ı False negative Senzitivita Pozitivn´ı skuteˇcnost 70% 30% Senzitivita
Michal Bulant (PˇrF MU)
39 / 45
Mladˇs´ı ˇ zeny Test pozitivn´ı Test negativn´ı
Pozitivn´ı skuteˇcnost 5,6 2,4 8
Negativn´ı skuteˇcnost 599,6 11392,4 11992
605,2 11394,8
Pravdˇepodobnost, ˇze d´ıtˇe mladˇs´ı“ matky bude skuteˇcnˇe postiˇzeno ” Downov´ym syndromem, pokud vyˇsel pozitivn´ı test, lze nyn´ı spoˇc´ıtat jako 5,6 605,2 ≈ 0,9%. Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
40 / 45
Troje dveˇre – Monty Hall problem
Struˇcn´e zd˚ uvodnˇen´ı
Moder´ator TV soutˇeˇze (Let’s make a deal, Monty Hall) um´ıstil soutˇeˇzn´ı cenu – auto – za jedny ze tˇr´ı dveˇr´ı. Za kaˇzd´ymi ze zb´yvaj´ıc´ıch dveˇr´ı je cena ´ u ´tˇechy – koza. Ukolem soutˇeˇz´ıc´ıho je zvolit si jedny dveˇre. Pot´e moder´ator otevˇre jedny ze dvou zb´yvaj´ıc´ıch dveˇr´ı a uk´aˇze, ˇze za nimi je koza. D´a soutˇeˇz´ıc´ımu moˇznost bud’ ponechat svou p˚ uvodn´ı volbu, anebo svoji volbu zmˇenit na zb´yvaj´ıc´ı dveˇre.
Soutˇeˇz´ıc´ı by mˇ el zmˇenit dveˇre, pravdˇepodobnost u ´spˇechu se t´ım zv´yˇs´ı z na 23 .
1 3
Tento probl´em vzbudil sv´eho ˇcasu velk´e pozdviˇzen´ı, medi´aln´ı z´ajem a v´aˇsniv´e reakce (mnoh´e z nich trvaj´ı dosud) i mnoh´ych absolvent˚ u Ph.D. zuˇrivˇe obhajuj´ıc´ıch myln´e ˇreˇsen´ı – viz http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem. Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
42 / 45
Tˇri ruletky
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
43 / 45
Pouˇzit´a literatura
M´ate k dispozici nˇekterou z ruletek s uveden´ymi ˇc´ısly a jejich pravdˇepodobnostmi. Hraj´ı dva hr´aˇci, pˇriˇcemˇz ten, kdo vylosuje vˇetˇs´ı ˇc´ıslo, vyhr´av´a. Kterou ruletku si vyberete? J. G. Truxal, Probability examples, State University of New York, 1989. Wikipedia, The Free Encyclopedia, www.wikipedia.org.
Dˇekuji za pozornost! Lze snadno odvodit, ˇze ruletka A je lepˇs´ı neˇz kter´akoliv ze zb´yvaj´ıc´ıch, ruletka C je naopak nejhorˇs´ı. V situaci, kdy budou hr´at tˇri hr´aˇci se vˇsak poˇrad´ı ruletek obr´at´ı! Situace nikoliv n´ahodou pˇripom´ın´a problematiku volebn´ıch syst´em˚ u ... Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
44 / 45
Michal Bulant (PˇrF MU)
Hry, s´ azky a stˇredn´ı hodnota
21. bˇrezna 2013
45 / 45
