Uram! Ön talán már el is felejtette azt a beszélgetést, amelyet június 9-én folytattunk a Clermont-Ferrandban, Pascal halálának

© Typotex Kiadó

Levelek a valo ´szıń˝ use´gr˝ ol

El˝ oszo ´keńt szolga ´ljon a ko ¨vetkez˝ o leve´lva ´lta ´s. Chime´res, 1966. április 1. Reńyi Alfre´d egyetemi tana ´rnak Budapest Uram! ¨ n tala O ń ma ´r el is felejtette azt a besze´lgete´st, amelyet 1962. ju ´ nius 9-eń folytattunk a Clermont-Ferrandban, Pascal hala ´la ńak 300. e´vfordulo ´ja alkalma ´bo ´l rendezett tudoma ńyos konferencia alatt. Engedje meg eze´rt, hogy ro ¨viden emle´keztessem besze´lgete´su ¨ nkre. Az emlı´tett napon a konferencia tagjai kira ńdulnak a Puy de Dome hegycsu ´ csra – oda ahol a Pascal által megtervezett, a le´gnyoma ´sra vonatkozo ´ kı´se´rletek so ´gora, Pe´rier 1648. szeptember 19-eń ve´grehajtotta. Miko ¨zben a csu ´ cson lev˝ o e´tterem terasza ń ka ´ve´ztunk, e´s elgyo ¨nyo ¨rko ¨dtu ¨ nk a kila ´ta ´sban, terme´szetesen Pascalro ´l besze´lgettu ¨ nk, me´gpedig arro ´l, hogy mivel gyakorolta a legnagyobb hata ´st a tudoma ńy fejl˝ ode´se´re: aero- e´s hidrodinamikai vizsga ´latai´val, az els˝ o sza ´molo ´ge´p megkonstrua ´la ´sa ´val, az infinitezima lis sza ´mı´ta ´sra vonatkozo ´ kutata ´saival, vagy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s le´trehoza ´sa ´val? ¨ nnek azt a levelet, ameBesze´lgete´s ko ¨zben emlı´tettem O lyet 1654-ben Pascal a Mersenne által alapı´tott (e´s ke´s˝ obb Le Pailleur által vezetett) pa ´rizsi „Akade´mia ´hoz” ´rt, ı e´s amelyben sza ´mos munka ´t sorol fel, mint olyat, amelyek ma ´r szinte ke´szen vannak, e´s amelyeket az Akade´mia ńak ro ¨videsen be fog nyu ´ jtani. 106 www.interkonyv.hu

© Rényi Zsuzsa (Rényi Alfréd jogutóda)

© Typotex Kiadó

Levelek a valo´szıń˝ use´gr˝ol

107

Ezek ko ¨zo ¨tt emlı´ti Pascal, egy tervezett munka ´ja ´t, egy teljesen u ´ jszeru ˆ , eddig nem vizsga ´lt te´ma ´ro ´l, a ve´letlen matematika ´ja ´ro ´l. Emlı´tettem, hogy abbo ´l a pa ´r sorbo ´l, amelyben Pascal ennek tartalma ´t ismerteti, kit˝ unik, hogy teljes me´rte´kben tudata ´ban volt az általa kezdemeńyezett u ´ j tudoma ńya ´g – a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s – alapvet˝ o elvi e´s gyakorlati jelen¨ nnek –, hogy Past˝ ose´geńek. Nagy ka ´r – mondottam eń O cal e tervezett munka ´ja ´t nem ´rta ı meg, ku ¨ lo ¨no ¨sen, mivel a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´sra vonatkozo ´ egyedu ¨ li ra ńk maradt ´ra ı ´sai – Fermathoz ´rt ı levelei – igen sz˝ ukszavu ´ ak e´s kiza ´ro ´lag de Me´re´ lovag feladatainak megolda ´sa ´ra (e´s ezekkel kapcsolatos kombinatorikai proble´ma ´k ta ´rgyala ´sa ´ra) szorı´tkoznak. ´hoz ´rt ı leHa nem ismerneńk Pascalnak a pa ´rizsi Akade´mia vele´t, me´g abban sem lehetneńk biztosak, hogy Pascal tuda˝ e´s Fermat egy u ta ´ban volta annak, hogy o ´ j tudoma ńya ´gnak az alapjait fektette´k le, e´s ezzel megindı´tottak egy olyan folyamatot, amely ege´sz tudoma ńyos vila ´gszemle´letu ¨ nket for¨ n erre azt va radalması´totta. O ´laszolta, hogy teljesen elke´pzelhetetlennek tartja, hogy Pascal a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´sra vonatkozo ´ gondolatait soha nem ´rta ı volna le, e´s felvetette, hogy e´rdemes lenne tova ´bb folytatni a kutata ´st ezen elvesztett ke´zirat uta ń. Ezzel az o ¨tlettel kapcsolatban kifejtettem, hogy keve´s ember ha ´trahagyott ke´zirataival foglalkoztak olyan alaposan, mint Pascal ´ra ı ´saival; megemlı´tettem, hogy eń magam to ¨bb e´vet to ¨lto ¨ttem leve´lta ´ri kutata ´sokkal u ´ jabb ke´z¨ n saja iratok uta ń, sza ´mottev˝ o eredmeńy ne´lku ¨ l. O ´t ve´lemeńye´t tova ´bbra is fenntartotta azzal, hogy ha ´tha Pascal e munka ´ja ´t az akkori szoka ´s szerint levelek forma ´ja ´ban ´rta ı meg, e´s ´ tala ń Fermathoz ´rt ı e´s fennmaradt, a kocka ja ´te´kra vonatkozo levelei nem voltak az egyetlenek, e´s esetleg e leveleze´st to¨ n me´g azt is hozza va ´bb folytatta ´k. O ´tette, hogy tala ń a kutata ´s eddig aze´rt volt eredmeńytelen, mert a ke´ziratot Pascal ha ´trahagyott iratai ko ¨zo ¨tt kereste´k, ahelyett, hogy Fermat hagyate´ka ´ban kutattak volna az elveszett levelek uta ń. Ez a megjegyze´se akkor elgondolkoztatott, hiszen o ¨tlete valo ´ban ke´zenfekv˝ o volt. Egye´bira ńyu ´ elfoglaltsa ´gaim azonban megakada ´lyoztak abban, hogy alaposabban foglalkozzam a ke´rde´ssel e´s nem is gondoltam ra ´ ege´szen 1966 elejeíg, ami-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

108


kor egy szeme´lyes u ¨ gyb˝ ol kifolyo ´lag Toulouse-ba kellett utaznom. Az to ¨rteńt ugyanis, hogy nagyba ´tya ´m, egy bogaras agglegeńy meghalt, rea ´m hagyta vagyona ´t e´s Toulouse-i birtoka ´t, azzal a felte´tellel, hogy megı´rom az e birtoke´rt 300 e´v el˝ ott folytatott pereskede´s to ¨rteńete´t. Nagyba ´tya ´m ezen utolso ´ kı´va ńsa ´ga ńak lelkiismeretesen akartam eleget tenni, nemcsak kegyeletb˝ ol, hanem mert csala ´dunk to ¨rteńete engem is nagyon e´rdekel, eze´rt ez e´v janua ´rja ´ban Toulouse-ba utaztam e´s kutatni kezdtem az ottani leve´lta ´rban az 1660-as e´vek bı´ro ´sa ´gi akta í ko ¨zo ¨tt. Mint ma ´r el˝ obb emlı´tettem, e´letemb˝ ol to ¨bb e´vet szenteltem Pascal ke´ziratainak tanulma ńyoza ´sa ´ra, ´gy ı ke´zı´ra ´sa ´t – ba ´tran mondhatom – jobban ismertem, mint a saja ´tomat. Nem csoda ha ´t, hogy amikor – janua ´r 17-eń este – az iratok lapozgata ´sa ko ¨zben egy aktacsomo ´ban (amelyen egye´bkeńt to ¨bbek ko ¨zo ¨tt Fermat ala ´´ra ı ´sa is szerepelt) kezembe keru ¨ lt egy leve´l, azonnal felismertem, hogy az Pascal keze ´ra ı ´sa. Ke´pzelheti, hogy t˝ uzbe jo ¨ttem. Ki sem mozdultam a leve´lta ´rbo ´l ma ´snap hajnalig, e´tlen-szomjan folytattam a keresge´le´st, amı´g a ma ´sik ha ´rom levelet is meg nem tala ´ltam. Mint ke´s˝ obb kinyomoztam, ezek a levelek Fermat hala ´la uta ń belekeveredtek a laka ´sa ń maradt hivatalos bı´ro ´sa ´gi iratok ko ¨ze´, e´s ´gy ı keru ¨ ltek a leve´lta ´rba 1665. janua ´r 17-eń, ahol pontosan 301 e´vig senki nem to ¨r˝ odo ¨tt velu ¨ k. Így ha ´t teljesen ve´letlenu ¨ l jutottam ezeknek a nagy tudoma ńyos e´s tudoma ńyto ¨rteńeti jelent˝ ose´g˝ u leveleknek a birtoka ´ba. Ezek felfedeze´se igaza ´ban nem az eń e´rdemem, ne¨ n volt az aki a hipote´zist fela kem csak szerencseń volt. O ´llı´totta, hogy Pascal elveszett valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si munka ´ja ´t Fermathoz ´rt ı levelek forma ´ja ´ban ´rta ı meg, e´s ´gy ı ez uta ń Fer¨tt kellene kutatni. Eze´rt azt javamat ha ´tramaradt iratai ko ¨zo ¨ n bocsa solom, hogy e leveleket O ´ssa a nyilva ńossa ´g ele´. Melle´kelem a levelek általam lege´pelt e´s gondosan ellen˝rzo o ¨tt szo ¨vege´t. Keńytelen vagyok azonban arra ke´rni, hogy mindazt a munka ´t, ami a sajto ´ ala ´ rendeze´shez ezen tu ´ l szu ¨ k¨ n ne´lku se´ges, O ¨ lem ve´gezze el. ´ gy gondolom, csoda U ´lkozni fog e ke´re´semen, azonban, ha megmondom, mie´rt ke´rem erre, reme´lem, meg fog e´rteni. Tala ´ltam ugyanis a bı´ro ´sa ´gi papı´rok ko ¨zo ¨tt ne´ha ńy Fermat keze

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


109

´ra ı ´sa ´val ´rt ı lapot, amelyek sza ´melme´leti ta ´rgyu ´ ak. Ezeken a lapokon szo ¨veg alig van, f˝ oleg ke´pletekkel vannak teleı´rva, de nyilva ńvalo ´, hogy a sza ´mı´ta ´sok a nagy-Fermat-te´tellel kapcsolatosak. Most e´jjel-nappal ezen feljegyze´sek megfejte´seń dolgozom: reme´lem, hogy vagy megtala ´lom Fermat bizonyı´˝ a sejte´se´t valo ta ´sa ´t, vagy meg tudom mutatni, hogy o ´ja ´ban nem tudta bebizonyı´tani, illetve a bizonyı´ta ´sa hiba ´s volt e´s ˝ maga is ra erre utolso ´ e´veiben o ´jo ¨tt. Azt hiszem, mege´rti, hogy e ke´rde´s annyira izgat, hogy amı´g ezt el nem do ¨nto ¨ttem, nem vagyok ke´pes semmi ma ´ssal foglalkozni. Amikor a Pascal-leveleket megtala ´ltam, arra gondoltam, hogy egy re´szletes tanulma ńy kı´se´rete´ben teszem azokat ko ¨zze´. De miel˝ ott ehhez hozza ´kezdtem volna, kezembe keru ¨ ltek Fermat fent emlı´tett feljegyze´sei e´s azo ´ta folyton ezekkel foglalkozom. Ha e papı´rok titka ´t megfejtettem, reme´lem, hozza ´jutok, hogy megı´rjam a tervezett tanulma ńyt a Pascal-levelekr˝ ol. ´ gy e´rzem azonban, nem tehetem meg, hogy e levelek ko U ¨z¨ nt, gondoskodje´k ze´te´tele´t addig halogassam, eze´rt ke´rem O azok miel˝ obbi megjelentete´se´r˝ ol. Ke´re´sem teljesı´te´seé´rt fogadja el˝ ore is ha ´la ´s ko ¨szo ¨netemet, e´s engedje meg, kedves bara ´tom, hogy felhaszna ´ljam az al¨ nt. ˝szinte nagyrabecsu kalmat, hogy o ¨ le´semr˝ ol biztosı´tsam O Igaz Hı´ve Henri Trouverien az Universite´ de Contebleu matematika-to ¨rteńet professzora

Budapest, 1966. április 10. Henri Trouverien professzor! Chime´res Uram! ´ prilis 1-i kedves levele´t e´s a Pascal-leveleket ko A ¨szo ¨nettel megkaptam. Ke´re´se´t terme´szetesen a legnagyobb o ¨ro ¨mmel teljesı´tem. Ke´rem szı´ves hozza ´ja ´rula ´sa ´t ahhoz, hogy Pascal leve¨ n hozza leivel egyu ¨ tt az O ´m ´rt ı levele´t is ko ¨zze´tegyem, abbo ´l a

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

110


ce´lbo ´l, hogy a tudoma ńyos ko ¨zve´lemeńy el˝ ott vila ´gossa ´ va ´l¨ n fedezte fel, e´s az is, hogy hogyan je´k, hogy e leveleket O ¨ nt el akarjam vonni bukkant ra ´juk. Ta ´vol áll t˝ olem, hogy O a Fermat-feljegyze´sek megfejte´seńek munka ´ja ´to ´l, amelyhez magam e´s kolle´ga ím neve´ben is sok sikert kı´va ńok, e´s amelynek eredmeńye´t mi is a legnagyobb e´rdekl˝ ode´ssel va ´rjuk. A¨ nnek: mit gonzonban egy ke´rde´st me´gis fel kell tennem O dol, van-e remeńy arra, hogy Fermat Pascal levele´re ´rt ı va ´laszait meg lehessen tala ´lni? ˝ Oszinte tisztelettel Reńyi Alfre´d

Chimeres, 1966. ma ´jus 3. Reńyi Alfre´d professzor Budapest Uram! Ko ¨szo ¨no ¨m április 10-i levele´t. Igaza ń nagy o ¨ro ¨m sza ´momra, hogy maga ´ra va ´llalta a Pascal-levelek ko ¨zze´te´tele´t, e´s ezzel mentesı´tett engem a ko ¨telesse´g alo ´l, e´s lehet˝ ove´ tette, hogy ´lminden er˝ omet a Fermat-jegyzetek megfejte´se´re koncentra hassam. E feladat sajnos nehezebb, mint gondoltam: Fermat teljesen szokatlan jelo ¨le´seket haszna ´l, amelyek mege´rte´se´ben me´g csak az els˝ o le´pe´sekne´l tartok. Terme´szetesen semmi kifoga ´som nincs az ellen, hogy el˝ oz˝ o levelemet (e´s ha jo ńak la ´tja, jelen levelemet is) ko ¨zo ¨lje a Pascal levelekkel egyu ¨ tt. Ami Fermat va ´laszait illeti, a leghalva ńyabb remeńyt sem la ´tom arra, hogy azok megkeru ¨ ljenek. Pascal hala ´la uta ń n˝ ove´re, Gilberte Pe´rier vette gondoza ´sba ha ´trahagyott ´ra ı ´sait, e´s mı´g minden egyes Pascal által ´rt ı feljegyze´st gondosan meg˝rzo o ¨tt (s˝ ot, lema ´solt), sajnos, a Pascalhoz ´rt ı leveleket meg´ semmisı´tette. Igy ha ´t Fermat va ´laszleveleinek tartalma ´ra csak Pascal viszontva ´laszaibo ´l ko ¨vetkeztethetu ¨ nk. Igaz bara ´tsa ´ggal Henri Trouverien

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


111

Pascal levelei Fermat-hoz 1. leve´l Pa ´rizs, Faubourg Saint-Michel 1654. okto ´ber 28. Pierre Fermat u ´ rnak, Toulouse Uram! Ko ¨zo ¨s bara ´tunk, Carcavi u ´ r tegnap e´rtesı´tett, hogy Toulou¨ nnek levelet ku seba utazik e´s ke´rdezte, nem kı´va ńok-e O ¨ ldeni? Terme´szetesen nem mulasztottam el a kedvez˝ o alkalmat, de csupa ń arra volt id˝ om, hogy ne´ha ńy sort ´rjak. ı Ma ´ra azonban kideru ¨ lt, hogy Carcavi u ´ r ke´t nappal elhalasztotta ¨ nutaza ´sa ´t: ´gy ı lehet˝ ose´gem nyı´lt, hogy re´szletesen is ´rjak ı O nek. Most, hogy teljesen tiszta ´zo ´dtak azon ke´rde´sek, melyeket de Me´re´ lovag vetett fel alig egy e´ve, amikor vele, Roannez herceggel e´s Miton u ´ rral Poitou-ba utaztunk, meg kell mondanom: a szo ´ban forgo ´ proble´ma ´k megolda ´sa ńa ´l is jobban o ¨ru ¨ lo ¨k annak, hogy a ro ´lunk valo ´ leveleze´s megszerezte ne¨ n bara kem az O ´tsa ´ga ´t. E bara ´tsa ´got mindenne´l to ¨bbre be¨ nt tartom ma Eucsu ¨ lo ¨m, me´gpedig nemcsak aze´rt, mert O ol olyan ro ´pa ´ban a legels˝ o geome´ternek, hanem mert leveleib˝ embert ismertem meg, akinek bara ´tsa ´ga ´ra kira ´lyok is bu ¨ szke´k lehetneńek. Így ha ´t a dere´k lovag ke´rde´sei – ha egye´bkeńt nem is lettek volna e´rdekesek – nekem felbecsu ¨ lhetetlen ¨ n bara szolga ´latot tettek. Azonban e´ppen aze´rt, mert az O ´t¨ nnel minsa ´ga olyan fontos nekem, szeretne´m megosztani O den gondolatomat: eze´rt e´rzem szu ¨ kse´ge´t, hogy elmondjam, mie´rt e´rdekeltek engem ezek a ke´rde´sek annyira e´s mie´rt tartottam e ke´rde´seket – ke´t okbo ´l is – a matematikusok figyelme´re me´lto ńak, e´s honnan vettem magamnak a ba ´torsa ´got ahhoz, hogy e ke´rde´sek megolda ´sa ´ra mintegy versenyre hı´v¨ nt, va ¨ nt azokto jam ki O ´llalva, hogy ezzel elvonom O ´l a vizsga ´lataito ´l, amelyeket egye´bkeńt na ´lam jobban senki sem cso´ mba da ´lt. A ´r e tekintetben – mint mondottam – az eń lelkiis-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

112


¨ nnek, meretem tiszta, u ´ gy e´reztem, magyara ´zattal tartozom O ku ¨ lo ¨no ¨sen mivel eddigi leveleinkben e ke´rde´sek jelent˝ ose´ge´r˝ ol egya ´ltala ń nem esett szo ´. Ezek a meggondola ´sok vezettek arra, hogy e levelet megı´rjam. ´ gy hiszem, eljutott O ¨ nVolt azonban egy ma ´sik okom is. U ho ¨z a pa ´rizsi Akade´mia ´hoz ne´ha ńy hete ´rt ı levelem; nem csoda ´lkozne´k, ha neta ń fellengz˝ osnek tala ´lna ´ benne a ko ¨vetkez˝ o mondatot, amellyel egy tervezett – de me´g meg nem ´rt ı – munka ´m ta ´rgya ´t jellemeztem: „Ily mo ´don, o ¨sszekapcsolva a matematikai bizonyı´ta ´sok szabatossa ´ga ´t a ve´letlen bizonytalansa ´ga ´val, e´s ezeket a la ´tszo ´lag homlokegyenest ellenkez˝ o dolgokat egyma ´ssal kibe´kı´tve, e tan joggal tarthat igeńyt a ko ¨vetkez˝ o, mindke´t ellente´tes alkoto élem neve´t ko ¨lcso ¨nvev˝ o, valo ´ban megho ¨kkent˝ o elneveze´sre: a ve´letlen matematika ´ja” hogy azok a gondolaE sorokat ko ¨zvetlenu ¨ l az uta ń ´rtam, ı ´ba ´lok o ¨sszefoglalni, kialakultak tok, amelyeket most megpro ´ jraolvasva saja bennem. U ´t szavaimat, ezek felide´zik bennem azt az ujjonga ´st amelyet e´reztem, mid˝ on e mondatot leı´rtam: ujjonga ´s a felelett, hogy a matematika egy u ´ j – e´s merem reme´lni, nagy jo ¨v˝ oj˝ u – fejezete van megszu ¨ let˝ oben. Nem lepne meg, ha valaki azzal va ´dolna, hogy ebben az ujjonga ´sban re´sze van annak a bu ¨ szkese´gnek, hogy nem nekem magamnak is re´szem lehetett az u ´ j tudoma ńy le´trejo ¨tte´ben. Ba ´r az ilyen fajta bu ¨ szkese´g azon emberi gyo ¨ngese´gek ko ¨ze´ tartozik, melyekt˝ ol eń sem vagyok mentes – ha állando án harcolok is ¨ n re´sze´t ezen u ellene –, sietek leszo ¨gezni, hogy az O ´ j tudoma ńyok le´trehoza ´sa ´ban a saja ´tomna ´l jelent˝ osebbnek e´rzem. ¨n Biztos vagyok abban, hogy mindazt, amit e leve´lben ´rok, ı O u ´ gy fogja olvasni, mint a saja ´t – tala ń eddig ki nem mondott e´s le nem ´rt, ı de ma ´r re´go ´ta kialakult – gondolatainak to ¨ke´letlen megfogalmaza ´sa ´t. De ha a megfogalmaza ´s nem is kiforrott, szolga ´ljon mentse´gemre, hogy e gondolatok kifejeze´se´re o szavak sem álltak rendelkeze´semre, e´s azome´g a megfelel˝ kat is magamnak kellett e ce´lra megalkotnom, illetve a mindennapi nyelvb˝ ol ko ¨lcso ¨nvennem e´s u ´ j, szabatos tartalommal felruha ´znom. Ezek uta ń, u ´ gy hiszem, mege´rti, mie´rt e´reztem egyenesen ¨ nnel ko ellena ´llhatatlan keńyszert, hogy gondolataimat O ¨zo ¨l-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


113

´ gy hiszem azonban, hogy amikor ida jem. U íg e´rkezik levelemben, biztosan azt gondolja: „mie´rt e sok el˝ ozetes magya¨ n az ra ´zkoda ´s?” Szeretne´m, ha mege´rtene´ lelkia ´llapotomat: O els˝ o, akivel e gondolataimat ko ¨zlo ¨m, e´s – ba ´r to ¨bb mege´rte´sre senkine´l sem sza ´mı´thatok – me´gsem vagyok teljesen mentes a szoronga ´sto ´l, sikeru ¨ l-e magamat mege´rtetnem. Eze´rt hu ´ zom-halasztom, hogy belekezdjek, mint az, aki a foghu ´za ´sto ´l fe´l, e´s hogy hu ´ zza az id˝ ot, feleslegesen hosszadalmasan magyara ´zza az orvosnak, mikor kezd˝ odo ¨tt fogfa ´ja ´sa. De ha ´t valo ´ban ele´g ebb˝ ol, te´rju ¨ nk a ta ´rgyra. Az ember szerintem arra szu ¨ letett, hogy gondolkozze´k – erre valo ´ ke´pesse´ge ku ¨ lo ¨nbo ¨zteti meg az állatokto ´l, ebben áll emberi me´lto ´sa ´ga. Kett˝ os ve´gtelense´g vesz minket ko ¨ru ¨ l: a vila ´gegyetem ve´gtelen kiterjede´se, amelyhez ke´pest nemcsak magunk, de az ege´sz Fo ¨ld, s˝ ot a Nap o ¨sszes bolygo íval egyu ¨ tt csak egy csepp a tengerben, e´s a vila ´g ve´gtelen bonyolultsa ´ga, hiszen minden egyes vı´zcsepp maga is egy ku ¨ lo ¨n kis univerzum. E kett˝ os ve´gtelense´g ko ¨zo ¨tt helyezkedu ¨ nk el mi magunk, akik porszemek vagyunk a csillagokhoz ke´pest, de o ´ria ´sok a vı´zcseppben nyu ¨ zsg˝ o para ńyi e´l˝ oleńyekhez ke´pest. Aka ´r a csillagokra, aka ´r saja ´t lelku ¨ nkbe, aka ´r a mu ´ ltba, aka ´r a jo ¨v˝ obe tekintu ¨ nk, sehol sem tala ´lunk biztos ta ´mpontra. Ha mindazt, amir˝ ol azt hisszu ¨ k, hogy tudjuk, tu ¨ zetesebben megvizsga ´ljuk – figyelmu ¨ nk gombost˝ uje´re t˝ uzzu ¨ k e´s logika ńk mikroszko ´pja ala ´ tesszu ¨ k –, kideru ¨ l, hogy semmiben sem lehetu ¨ nk valo ´ban biztosak. Sova ńy vigasznak tartom, hogy mivel mindezen ke´rde´sekkel eredmeńytelenu ¨ l birko ´zom, ez azt bizonyı´tja, hogy eń „vagyok”. Engem ugyanis nem az a ke´rde´s izgat, hogy vagyok-e, hanem, hogy ki vagyok tulajdonke´ppen? Erre a ke´rde´sre viszont nem tudok va ´laszolni, e´s ezt a gyo ¨tr˝ o bizonytalansa ´got olykor nehezen viselem el. Nem ´ metudjuk, honnan jo ¨vu ¨ nk, mi ve´gre szu ¨ lettu ¨ nk, e´s hova gyu ¨ nk. Volna ha ´t sza ´munkra b˝ oven gondolkodni valo ´. De vajon ezen gondolkodik-e az emberek to ¨bbse´ge? Szo ´ sincs ro ´la: csak a ha ´boru ´ skoda ´son, a peńzen, az e´lvezeteken, a szo ´rakoza ´son, a ja ´te´kon ja ´r az eszu ¨ k. A ja ´te´kost persze nagyon is mege´rtem, hiszen a ja ´te´k aza ´ltal teszi boldogga ´ az embert, hogy a ja ´te´kos elfeledkezik minden gondja ´ro ´l-baja ´ro ´l. De va-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

114


jon valo ´ban jo ´-e ez neki? Hiszen ily mo ´don elfeledkezik o ¨nmaga ´ro ´l is, a ja ´te´k ma ´konykeńt elka ´bı´tja e´s eltereli a figyelme´t a valo ´di ke´rde´sekr˝ ol. Persze az nem baj, ha valaki ne´ha ro ¨vid id˝ ore belemeru ¨ l a ja ´te´k feledtet˝ o, frissı´t˝ o fu ¨ rd˝ oje´be, de nem szabad, hogy megrekedjen benne. Ma ´rmost a szerencseja ´te´kok csoda ´latos to ¨rveńyszer˝ use´geir˝ ol valo ´ gondolkoda ´st olyan eszko ¨znek ve´lem, amely segı´thet abban, hogy a ja ´te´kost kiszabadı´tsa a ja ´te´k b˝ uvo ¨lete´b˝ ol e´s visszavezesse a gondolkoda ´s, a maga ´ra eszme´le´s vila ´ga ´ba. Ebben la ´tom a ja ´te´k „me´lta ńyossa ´ga ´ra” vonatkozo ´ matematikai ke´rde´sek vizsga ´lata ńak egyik – ba ´r ta ´volro ´l sem a f˝ o – haszna ´t. Miel˝ ott e ke´rde´sek va´te´rne´k, el kell mondanom, hogy de Me´re´ ose´ge´re ra lo ´di jelent˝ lovagra valo ´ban jo ´ hata ´ssal voltak e vizsga ´latok. Nemre´giben u ´ jbo ´l tala ´lkoztam vele, e´s ege´szen meglep˝ odtem, mennyire megva ´ltozott egy e´v alatt. Tavaly ilyenkor me´g arra volt legbu ¨ szke´bb, hogy semmi sem e´rdekli igaza ń, mindent udvarias, de kisse´ h˝ uvo ¨s e´rdekl˝ ode´ssel meghallgatott ugyan, de sze´gyellte volna bevallani, hogy valami igaza ń e´rdekli e´s leko ¨ti, arra volt bu ¨ szke, hogy nem rabja semmilyen szenvede´lynek, ´gy ı tudoma ńyos e´rdekl˝ ode´snek sem, e´s nem is volt az (kive´ve a ja ´te´kot). Ezzel szemben most azzal lepett meg, milyen alapos tuda ´sra tett szert ilyen ro ¨vid id˝ o alatt a matematika ´ban e´s milyen komolyan, alaposan, e´s nem is eredmeńy ne´lku ¨ l foglalkozik ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o proble´ma ´kkal. Ne e´rtse fe´lre, nem áltatom magamat azzal, hogy ez a va ´ltoza ´s az eń m˝ uvem, hiszen ennek csı´ra ´ja megvolt ma ´r benne, miel˝ ott megismerkedtu ¨ nk. Mi sem tanu ´ sı´tja ezt jobban, mint az, hogy a ˝ maga kocka ja ´te´kra vonatkozo ´ feladatokat o ´to ´l vetette fel, s˝ ot a ko ¨nnyebbik feladatra egy – meglehet˝ osen ko ¨ru ¨ lmeńyes – ¨n megolda ´st tala ´lt. A ma ´sodik feladatot azonban, amelyet O e´s eń annyira ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, de ugyanarra az eredmeńyre vezet˝ o mo ´don oldottunk meg (tala ń emle´kszik me´g e feletti o ¨ro ¨¨ nnek, hogy az igazsa mo ¨mben ´rtam ı O ´g ugyanaz Toulouse˝ nem tudta megoldani. Azt hiszem, ban mint Pa ´rizsban), o e´ppen ez okozhatta benne a va ´ltoza ´st, ba ńtotta bu ¨ szkese´ge´t, hogy erre nem volt ke´pes, ku ¨ lo ¨no ¨sen, miuta ń mege´rtette mindkett˝ onk megolda ´sa ´t e´s u ´ gy e´rezte, hogy ha komolyab¨ nnek ˝ is ra ban foglalkozik a ke´rde´ssel, erre o ´jo ¨hetett volna. O

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


115

nem kell persze magyara ´znom, hogy uto ´lag a legto ¨bb felfedeze´sr˝ ol ezt hiszi az ember, ha azt valo ´ban mege´rtette, u ´ gyhogy ebben eń csak annak a biztos jele´t la ´tom, hogy a lovag mege´rtette a mi megolda ´sainkat e´s ennek nagyon o ¨ru ¨ lo ¨k. De megint elkalandoztam a ta ´rgyto ´l, hiszen eń nem de Me´re´ lo¨ nnek ´rni vag megva ´ltoza ´sa ´ro ´l akarok O ı – azt hiszem, ez ke˝t – hanem a „ve´letlen mateve´sse´ e´rdekli, mivel nem ismeri o matika ´ja ´ro ´l”. A nyomaszto ´ bizonytalansa ´g, amelyr˝ ol az imeńt besze´ltem, re´szben onnan sza ´rmazik, hogy az emberek azt hiszik, hogy ha valamit nem tudnak biztosan – ma ´r pedig biztosan szinte semmit nem tudnak – akkor nem tudnak semmit. Gondolatmenetem kiindulo ´ pontja e´ppen az, hogy ez te´vede´s. A re´szleges tuda ´s is tuda ´s e´s a re´szleges bizonyossa ´g is e´rte´kes lehet, ku ¨ lo ¨no ¨sen, ha tudom azt, hogy e bizonyossa ´g milyen foku ´. „Hogyan, ha ´t lehet a bizonyossa ´g foka ´t me´rni, sza ´mmal kifejezni?” Ke´rdezheti valaki. Valo ´ban lehet – va ´laszolom erre –, minden ja ´te´kos ezt teszi. Amikor egy ja ´te´kos egy kocka ´t feldob, nem tudhatja, milyen sza ´mot fog dobni, de aze´rt me´gis o ese´lye van. tud valamit: azt hogy mind a 6 sza ´mnak egyenl˝ Ha a teljes bizonyossa ´ga ´t va ´lasztjuk egyse´gnek, a hatos doba ´sa ńak bizonyossa ´ga ´t (e´s ugyanı´gy a to ¨bbi 5 sza ´m doba ´sa ńak bizonyossa ´ga ´t) 1/6 fejezi ki. Ha egy kocka ´t ne´gyszer egyma ´s uta ń dobunk fel, akkor, mint ma ´r de Me´re´ lovag e´szrevette, el˝ onyo ¨s arra fogadni – egyenl˝ o te´telek mellett – hogy legala ´bb egyszer 6-ost dobunk: ez szerintem azt jelenti, hogy azon esemeńy bizonyossa ´ga ńak, hogy a ne´gy doba ´s sora ń legala ´bb egyszer 6-ost dobjunk, a foka 1/2-ne´l nagyobb. Ha egy esemeńy beko ¨vetkeze´seńek e´s be nem ko ¨vetkeze´seńek ese´lyei pontosan egyenl˝ oek, mint pe´lda úl a peńzfeldoba ´sna ´l a fej e´s ´ra ı ´s ese´lyei, azt mondom, hogy az esemeńy bizonyossa ´ga ńak foka e´ppen 1/2, e´s ugyanennyi az esemeńy be nem ko ¨vetkeze´se bizonyossa ´gi foka. Persze az, hogy a biztos esemeńy bizonyossa ´gi foka ´t 1-nek va ´lasztom, tulajdonke´ppen o ¨nkeńyes: lehetne ehelyett ma ´s sza ´mot is va ´lasztani, pl.:100-at, e´s ´gi foka ´t sza ´¨ gg˝ o esemeńyek bizonyossa akkor a ve´letlent˝ ol fu zale´kban kapna ńk meg. Lehetne esetenkeńt ma ´s-ma ´s sza ´mot va ´lasztani; ha pe´lda úl a kockadoba ´sna ´l a teljes bizonyossa ´g-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

116


nak a 6 sza ´mot feleltetneńk meg, az egyes sza ´mok bizonyossa ´gi foka 1-nek ado ´dne´k. Legterme´szetesebbnek azonban azt e´rzem, hogy a teljes bizonyossa ´gnak az 1 sza ´mot feleltessu ¨k meg, e´s ´gy ı minden ve´letlen esemeńy bizonyossa ´gi foka ´t azzal me´rju ¨ k, hogy az ha ńyadre´sze a biztos esemeńy teljes bizonyossa ´ga ńak. A lehetetlen esemeńy bizonyossa ´gi foka terme´szetesen 0 lesz; ha teha ´t egy ve´letlen esemeńy biztonsa ´gi foka pozitı´v sza ´m, ez azt jelenti, hogy az illet˝ o esemeńy beko ¨vetkeze´se lehetse´ges – haba ´r ennek ese´lyei esetleg rendkı´vu ¨l cseke´lyek. Hadd jegyezem meg ro ¨gto ¨n, hogy a bizonyossa ´g foka ńak ku ¨ lo ¨n elneveze´st adtam: valo ´szıń˝ use´gnek nevezem. A szo ´ megva ´laszta ´sa ń sokat to ¨prengtem e´s ve´gu ¨ l ezt tala ´ltam a legkifejez˝ obbnek. A mindennapi szo ´haszna ´lattal ez, u ´ gy e´rzem, teljes o ¨sszhangban van. Persze a mindennapi besze´dben csak azt szoktuk mondani valamir˝ ol, hogy „valo ´szıń˝ u”, ol azt, hogy vagy, hogy „nem valo ´szıń˝ u”, illetve egy esemeńyr˝ ´ n viszont abbo ubb”, mint a ma ´sik. E ´l az alapfelte´szıń˝ „valo ve´sb˝ ol indulok ki, hogy minden olyan esemeńynek, amelyek beko ¨vetkeze´se´ben nem lehetu ¨ nk biztosak, de nem is tekinthetju ¨ k azt kiza ´rtnak, ma ´s szo ´val minden olyan esemeńynek, amely a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg˝ oen be is ko ¨vetkezhet meg nem is, a valo ´szıń˝ use´ge egy meghata ´rozott – nulla e´s egy ko ¨ze´ es˝ o– sza ´mmal fejezhet˝ o ki. Azoknak az esemeńyeknek, amelyeket a mindennapi szo ´haszna ´lat szerint valo ´szıń˝ unek nevezzu ¨ k, a valo ´szıń˝ use´ge 1-hez (a teljes bizonyossa ´g valo ´szıń˝ use´ge´hez) van ko ¨zel. Mı´g azoknak az esemeńyeknek, amelyeket a mindennapi e´letben valo ´szıń˝ utlennek nevezu ¨ nk, a valo ´szıń˝ use´ge 0-hoz (lehetetlen esemeńy „valo ´szıń˝ use´ge´hez”) van ko ¨zel. A ´ban a szo ´ megva ´laszta ´sa ´ban kisse´ zavart, hogy a kazuisztika ´szıń˝ u” jelz˝ ot ma ´s e´rtelemben haszna ´lja ´k. A hitre vonat„valo kozo ´ ke´rde´sek esete´ben bizonyosnak nevezik az olyan megállapı´ta ´sokat, amelyek a Szentı´ra ´sban, pa ´pai bulla ´kban vagy zsinatok hata ´rozataiban tala ´lhato ´k, „valo ´szıń˝ unek” viszont az olyan mega ´llapı´ta ´sokat nevezik amelyek az egyha ´z valamely doktora ńak ko ¨nyve´ben tala ´lhato ´k meg. Ha teha ´t ugyanabban a ke´rde´sben ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o doktorok ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o doktorok egyma ´snak ellentmondo ´ mo ´don foglaltak álla ´st, ezen ellentmondo ´ mega ´llapı´ta ´sok mindegyike´t „valo ´szıń˝ unek” nevezik.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


117

Szerintem azonban ez a ku ¨ lo ¨no ¨s szo ´haszna ´lat nem ok arra, hogy keru ¨ ljem a „valo ´szıń˝ use´g” szo ´ haszna ´lata ´t, hiszen nem hiszem, hogy a jezsuita ´kon kı´vu ¨ l ez ba ´rkine´l is fe´lree´rte´sre adhat okot. Az elneveze´sek megva ´laszta ´sa ńak ke´rde´se´ben egye´bkeńt Descartes-ot ko ¨vetem, aki azt mondja Regulia ´ban, hogy „valaha ńyszor egy u ´ j szakkifejeze´st akarok bevezetni, kiva ´lasztom a rendelkeze´sre állo ´ szavak ko ¨zu ¨ l a nekem legalkalmasabbnak t˝ un˝ ot e´s azt a tova ´bbiakban az általam lero ¨gzı´tett e´rtelemben haszna ´lom”. A ko ¨vetkez˝ okben mindenesetre mindig a „valo ´szıń˝ use´g” elneveze´st fogom haszna ´lni a bizonyossa ´g foka ´t kifejez˝ o sza ´mra. A leńyeg – mint mondottam – az, hogy a re´szleges tuda ´snak is van e´rte´ke, de csak ha meg tudjuk mondani, hogy az milyen foku ´ ; ha sza ´mszer˝ uen ismerju ¨ k egy esemeńy valo ´szı´´llehet az n˝ use´ge´t, akkor valami hata ´rozottat tudunk ro ´la, jo tulajdonke´ppen bizonytalan. A re´szleges bizonyossa ´got teha ´t meg kell becsu ¨ lni, csak e´ppen tu ´ lbecsu ¨ lni nem szabad e´s nem szabad a teljes bizonyossa ´ggal o ¨sszete´veszteni. Montaigne – akinek Esszeí minden ma ´s ko ¨nyvne´l kedvesebbek sza ´momra, haba ´r magamban gyakran vitatkozom vele – ezt u ´ gy fejezte ki, hogy „Meggy˝ ulo ¨ltetik velem a valo ´szıń˝ u dolgokat azok, akik ezeket bizonyosnak állı´tja ´k”. Egye´bkeńt Montaigne a szı´vemb˝ ol besze´l. Sokszor el˝ ofordul, hogy bara ´tim meg akartak valamir˝ ol gy˝ ozni, amivel eń – ha nem is marade´ktalanul – de nagyja ´ban e´s ege´sze´ben, bizonyos fenntarta ´sokkal ˝k azonban azt er˝ egyete´rtettem; o oltette´k, hogy mindenben e´s ˝ álla minden fenntarta ´s ne´lku ¨ l az o ´spontjukat fogadjam el. A vita eredmeńye mindig az lett, hogy álla ´spontjaink me´g jobban elta ´volodtak egyma ´sto ´l, mert me´g arro ´l is, amir˝ ol eleinte azt hittem, hogy egyete´rtu ¨ nk, kideru ¨ lt, hogy ma ´ske´ppen e´rtju ¨ k, e´s u ´ gy va ´ltunk el, mint akiknek szinte mindemben ellente´tes az álla ´spontjuk. Azt hiszem, Montaigne-nak is ilyen e´lmeńyei lehettek, mert szu ¨ kse´gszer˝ uen ez to ¨rteńik mindenkivel, akinek szavak e´s tettek egyet jelentenek – quibus vivere est cogitare –, ha ilyen helyzetbe keru ¨ l. De megint elkalandoztam, hiszen Montaigne-ra csak aze´rt hivatkoztam, hogy ezzel is megmutassam, hogy a valo ´szıń˝ use´gek sza ´mszer˝ u me´re´seńek gondolata, ha u ´ j is, de logikus folytata ´sa re´go ´ta jo ´l

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

118


ismert gondolatoknak. Bizonya ´ra e´szrevette, hogy a bizonyossa ´g foka ńak me´re´se´vel kapcsolatban eń itt hallgato ´lagosan egy felteve´ssel e´ltem, ugyanis feltettem, hogy a teljes bizonyossa ´g korla ´tlanul oszthato ´, ugyanu ´ gy, mint a vonal, vagy a te´r, vagy a sza ´mok. Ezzel kapcsolatban e´rdemes megvizsga ´lni, hogy valo ´ban ba ´rmely 0 e´s 1 ko ¨ze´ es˝ o sza ´m lehet-e valo ´szıń˝ use´ge egy ve´letlent˝ ol fu ¨ gg˝ o esemeńynek. Igen egyszer˝ u pe´lda ´val meg tudom mutatni, hogy ez valo ´ban ´gy ı van. Bara ´taim általa ´ban mosolyognak azon a szoka ´somon, – amellyel Pa ´rizsban egyedu ¨ l állok, pedig eń ezt a legterme´szetesebb dolognak e´rzem –, hogy állando án o ´ra ´t hordok a zsebemben e´s azt e´jjel az ágyam melle´ teszem, hogy ha az e´jszaka folyama ń fele´bredek (ami gyakran el˝ ofordul), tudjam, ha ńy o ´ra van. Ma ´rmost ke´rdezem, mi a valo ´szıń˝ use´ge annak, hogy amikor ra ńe´zek az o ´ra ´mra, a nagymutato ´ pl. 15 e´s 20 perc ko ¨ze´ mutasson? Mivel a nagymutato ´ egyenletesen ol 5 percet – vagyis minden mozog, teha ´t minden 60 percb˝ o ´ra 12-ed re´sze´t – to ¨lti ilyen helyzetben, ´gy ı a keresett valo ´5 1 ´ ´molhattam volna, hogy a szo ´ban szıń˝ use´g 60 = 12 . Ugy is sza forgo ´ helyzetben lesz a nagymutato ´, ha ira ńya egy bizonyos 30◦ 1 ¨gbe esik, e´s ´gy ı a valo ´szıń˝ use´g 360 30◦ -os szo ◦ = 12 . Ha viszont olyan ko ¨rı´vet jelo ¨lo ¨k ki az o ´ra ń, amelyhez tartozo ´ szo ¨g ¨gnek x-edre´sze, akkor e´ppen x lesz annak a teljes 360◦ -os szo a valo ´szıń˝ use´ge, hogy amikor fele´bredek e´s o ´ra ´mra ne´zek, a nagymutato ´ e´ppen az emlı´tett ko ¨rı´v egy pontja ´ra mutasson. E pe´lda ´ban x nyilva ń minden 0 e´s 1 ko ¨ze´ es˝ o e´rte´ket felvehet. Persze a szerencseja ´te´kokna ´l csak olyan valo ´szıń˝ use´gek fordulnak el˝ o, amelyek ege´sz sza ´mok ha ńyadosaikeńt fejezhet˝ ok ki, hiszen a ja ´te´kokna ´l mindig meg lehet sza ´molni, hogy a ja ´te´knak ha ńy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, egyforma ń lehetse´ges, egyma ´st kiza ´ro ´ kimenetele lehet e´s ba ´rmely, a ja ´te´k eredmeńye´re vonatkozo ´ esemeńy valo ´szıń˝ use´ge egyenl˝ o az esemeńy beko ¨vetke¨sszes kize´se´re ne´zve kedvez˝ o kimentelek sza ´ma ńak e´s az o menetelek sza ´ma ńak ha ńyadosa ´val. Pe´lda úl, ha egy kocka ´t feldobunk, az o ¨sszes kimenetelek sza ´ma 6, hiszen az eredmeńy az 1, 2, 3, 4, 5 e´s 6 sza ´mok ba ´rmelyike lehet e´s ezek nyilva ń egyforma ń lehetse´gesek. Teha ´t annak a valo ´szıń˝ u-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


119

se´ge, hogy a dobott sza ´m 6-os, 1/6-al egyenl˝ o, mı´g annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy ne hatos legyen, 5/6-al egyenl˝ o, hiszen ha nem 6-ost dobunk, akkor az 1, 2, 3, 4 e´s 5 sza ´mok egyike´t dobjuk. A 6-os doba ´s e´s ellente´te valo ´szıń˝ use´geńek o ¨sszege teha ´t 1. Ez persze nemcsak ebben a pe´lda ´ban van ´gy, ı hanem aka ´rmilyen esemeńyre igaz, hogy az esemeńy e´s ellente´te valo ´szıń˝ use´geinek o ¨sszege eggyel egyenl˝ o, hiszen a bizonyossa ´g valo ´szıń˝ use´ge 1 e´s ez oszlik meg az esemeńy e´s ellente´te ´ ltala ko ¨zo ¨tt. A ´ban igaz, hogy ha egy esemeńy to ¨bb egyma ´st kiza ´ro ´ mo ´don jo ¨het le´tre, valo ´szıń˝ use´ge megoszlik ezen mo ´dokon valo ´ le´trejo ¨ve´seinek valo ´szıń˝ use´gei ko ¨zo ¨tt – pontosan ugyanu ´ gy, mint ahogy, ha egy bizonyos mennyise´g˝ u folya¨ltu ¨ nk sze´t, az egyes edeńyekben lev˝ o de´kot to ¨bb edeńybe to folyade´kmennyise´g ko ¨btartalmainak o ¨sszege kiadja az ege´sz folyade´kmennyise´g ko ¨btartalma ´t. Ma ´s szavakkal, ha to ¨bb – ugyanazon ja ´te´k kimenetele´re vonatkozo ´ – egyma ´st kiza ´ro ´ esemeńyt vizsga ´lunk, annak valo ´szıń˝ use´ge, hogy ezen esemeńyek ko ¨zu ¨ l valamelyik (teha ´t az els˝ o, vagy ma ´sodik, s.i.t.) beko ¨vetkezze´k, egyenl˝ o lesz ezen esemeńyek valo ´szıń˝ use´geinek o ¨sszege´vel. Ezt a szaba ´lyt a valo ´szıń˝ use´gek o ¨sszeada ´si te´teleńek neveztem el. E teljesen maga ´to ´l e´rtet˝ od˝ o te´tel mellett me´g egy ma ´sik általa ńos, valamivel me´lyebben fekv˝ o te´telt is tala ´ltam: a valo ´szıń˝ use´gek szorza ´si te´tele´t. Ez a ko ¨vetkez˝ oke´ppen szo ´l: Ha egy ja ´te´kot ke´tszer ja ´tszom e´s azt ke´rdezem, mi a valo ´szıń˝ use´ge annak, hogy egy bizonyos esemeńy beko ¨vetkezze´k az els˝ o ja ´tszma ńa ´l e´s egy bizonyos ma ´sik esemeńy (amely lehet esetleg azonos az els˝ ovel) beko ¨vetkezze´k a ma ´sodik ja ´tszma ńa ´l, a va ´lasz az, hogy a ke´t esemeńy valo ´szıń˝ use´geńek szorzata ´t kell venni. Pe´lda úl, ha a kocka ´t ke´tszer dobom fel, annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy sem az els˝ o, sem a ma ´sodik alkalommal ne dobjak hatost: 5/6 · 5/6 = 25/36. Ugyanis a ke´t doba ´s eredmeńye 36 ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, az 1, 2, . . . , 6 sza ´mokbo ´l állo ´ sza ´mpa ´r lehet, e´s ezen sza ´mpa ´rok ko ¨zu ¨ l 25 olyan van, amely nem tartalmazza a hatost. Hasonlo ´ke´ppen, annak a use´ge, hogy 4 doba ´s ko ¨zu ¨ l egyszer se dobjunk havalo ´szıń˝ tost: 25/36 · 25/36 = 625/1296, hiszen ez azt jelenti, hogy sem az els˝ o ke´t doba ´s, sem a ma ´sodik ke´t doba ´s sora ń egy-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

120


szer sem dobunk hatost. Enne´lfogva az ellente´tes esemeńynek, vagyis, hogy legala ´bb egyszer hatost dobunk, a valo ´szıń˝ use´ge – 625/1296 = 671/1296; ´gy ı visszajutottunk de Me´re´ lovag feladata ńak ismer˝ os megolda ´sa ´hoz. Ezzel el is mondtam a ve´letlen matematika ´ja ńak ke´t alap¨ n, hogy ezek a meggondola te´tele´t. Azt ke´rdezhetne´ O ´sok valo ´ban a matematika ´hoz tartoznak-e, vagy valamely – matematikai meggondola ´sokat is felhaszna ´lo ´ – ma ´s tudoma ńyhoz. Szerintem a matematika egy u ´ j ága ´ro ´l van szo ´, melyet joggal nevezhetu ¨ nk a ve´letlen matematika ´ja ńak (mint azt az Akade´mia ´hoz ´rt ı levelemben ´rtam), ı de ugyanilyen joggal nevezhetju ¨ k valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´snak is; e ma ´sodik elneveze´s tala ń me´g kifejez˝ obb is, mint az el˝ oz˝ o. Nevezzu ¨ k ha ´t el tudoma ńynak ezt az u ´ j ága ´t, amelynek ce´lja, hogy a ve´letlen, bizonytalan dolgokro ´l biztos tuda ´st ´mı´ta ´snak. Arra a ke´rde´sre, hogy a nyu ´ jtson, valo ´szıń˝ use´gsza valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s valo ´ban a matematika egy ága-e, a va ´lasz persze atto ´l fu ¨ gg, mit e´rtu ¨ nk matematika ń. Ha valaki a matematika ń csak annak hagyoma ńyos ágait – a geometria ´t, az aritmetika ´t e´s algebra ´t –, e´rti, akkor persze ebbe a sz˝ ukkebl˝ u meghata ´roza ´sba nem fe´r bele semmilyen u ´ j fejezet. eń azonban e tekintetben Descartes pa ´rtja ń állok, aki azt mondotta, hogy a matematika ´hoz kell sza ´mı´tani minden olyan vizsga ´latot, amely a rend e´s a me´rte´k kutata ´sa ´ra ira ńyul, fu ¨ ggetlenu ¨ l atto ´l, mi a ta ´rgya, minek a rendje´t e´s me´rte´ke´t keresi. Most, hogy mindezt leı´rtam, egyszerre e´rzek megko ¨nnyebbu ¨ le´st – hogy tu ´ lestem a megfogalmaza ´s nehe´zse´geń – e´s aggo ´da ´st – hogy valo ´ban sikeru ¨ lt-e e´rthet˝ oen kifejeznem, ami bennem forrong. Ke´rem, ne hagyjon soka íg ebben a bizonytalan lelkia ´llapotban, hanem ´rja ı meg, hogyan ve´lekedik „va´ jszu ¨ lo ¨ttr˝ ol. Ha gonuse´gsza ´mı´ta ´s” ne´vre elkeresztelt u lo ´szıń˝ dolatmenetemben ba ´rmilyen hia ńyt, pontatlansa ´got vagy ellentmonda ´st la ´t ke´rem, ´rja ı meg tarto ´zkoda ´s e´s kı´me´let ne´l¨ nt˝ ku ¨ l – biztos lehet benne, hogy O ol a legszigoru ´ bb bı´ra ´latot is ha ´la ´san fogom fogadni. Sok fontos ke´rde´st, amelyekr˝ ol pedig ma ´r sokat gondolkoztam, itt nem is e´rintettem. Ha va ´lasza ´bo ´l azt la ´tom, hogy ¨ n szerint is helyes u O ´ ton ja ´rok, igyekezni fogok to ¨bbi gon-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


121

¨ nnek megı´rni. Persze lehet, dolataimat is rendbeszedni e´s O hogy gondolataim megfogalmaza ´sa ńak fa ´radsa ´ga ´to ´l meg fog kı´me´lni aza ´ltal, hogy azokat va ´lasza ´ban olyan vila ´gos forma ´ban la ´tom viszont, ahogy eń nem is volne´k ke´pes kifejezni. Ugyanis ba ´rmilyen hosszu ´ ra nyu ´ lt is e leve´l, nem fejezhetem be ane´lku ¨ l, hogy el ne mondana ´m: amikor e ke´rde´sekr˝ ol gon¨ n leveleit a kocka ja dolkoztam, to ¨bbszo ¨r is el˝ ovettem az O ´te´kro ´l e´s igyekeztem a sorok ko ¨zo ¨tt olvasva kitala ´lni le nem ¨ nnel vita ´rt ı gondolatait; magamban állando án O ´ztam e´s sok minden, amit itt leı´rtam, va ´lasz olyan ke´rde´sekre, amelyeket ¨ n tett fel nekem. Boldog ezen elke´pzelt besze´lgete´sek sora ń O lenne´k, ha kideru ¨ lne, hogy – amint hiszem – ez, nem puszta ke´pzel˝ ode´s re´szemr˝ ol, hanem – ha nyersen e´s hia ńyosan is – ¨ n gondolatait vetette papı´rra valo ´ja ´ban az O ¨ n leg˝ az O oszinte´bb e´s legh˝ use´gesebb oje hı´ve e´s tisztel˝ Blaise Pascal

2. leve´l Paris, 1654. november 6. Pierre Fermat u ´ rnak, Orleáns Uram, ¨ ne´, amelyet leve´l me´g nem okozott olyan o ¨ro ¨met, mint az O Carcavi u ´ rral ku ¨ ldo ¨tt nekem. alig va ´rtam Carcavi u ´ r visszae´r¨ n okto keze´se´t, hogy kifaggassam, hogyan fogadta O ´ber 28-i ¨ nt˝ levelemet. Csak arra sza ´mı´tottam, ´ge ı ´retet hoz O ol, hogy ro ¨videsen va ´laszol nekem: az, hogy a va ´laszt is elhozta, meghaladta va ´rakoza ´saimat. Eze´rt – ba ´r levele tulajdonke´ppen ho ńapokra ele´g to ¨prengeni valo ´ nyu ´ jt – me´gis azonnal va ´laszolok, noha tudom, hogy e´ppen e sietse´g miatt va ´laszom ´ gy hallottam, hogy enem lesz minden tekintetben teljes. U gyes sakkozo ´k homoko ´ra ´val ja ´tszanak, u ´ gyhogy gondolko´ gy e´rzem, leveleze´su da ´si ideju ¨ k korla ´tozva van. U ¨ nk ilyen

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

122


sakkja ´tszma ´hoz hasonlı´t e´s eń o ¨ro ¨mmel veszek ebben re´szt, azt sem ba ńva, hogy nem ke´tse´ges: ebb˝ ol a versenyb˝ ol csak ¨ n keru O ¨ lhet ki gy˝ oztesen. Megpro ´ba ´lok teha ´t ke´rde´seire va ´laszolni. Nem akarok a¨ n el˝ zonban O ott a valo ´sa ´gna ´l jobb szıńben felt˝ unni, eze´rt meg˝szinteń, hogy ke´rde´seire csak aze´rt tudok egya mondom o ´ltala ń ilyen gyorsan va ´laszolni – hogy helyesen vagy helytele¨ n do nu ¨ l, azt O ¨ntse el –, mert e ke´rde´sek kive´tel ne´lku ¨ l felmeru ¨ ltek ma ´r bennem is e´s ´gy ı nem e´rtek engem ke´szu ¨ letlenu ¨ l. S˝ ot, amikor el˝ oz˝ o levelemet lepecse´teltem, vila ´gosan la ´ttam, hogy e ke´rde´sekre – ku ¨ lo ¨no ¨sen ma ´sodik ke´rde´se´re – ma ´r ab´ n általa ban ki kellett volna te´rnem. E ´ban u ´ gy vagyok az ´ra ı ´s¨vo ¨k ra ´, mivel kellett sal, hogy amikor a ve´ge´re e´rek, akkor jo volna kezdenem. De e´ppen aze´rt, mert ehhez hozza ´szoktam – e´s ily mo ´don, amikor valamilyen ´ra ı ´s ve´ge´re pontot teszek, soha nem vagyok megele´gedve az eleje´vel –, nem va ´ltoztat¨ nnek u tam rajta, hanem elku ¨ ldtem O ´ gy, ahogy volt, tudva, hogy ha átı´rtam volna, a ve´geń akkor sem lettem volna vele megele´gedve. Els˝ o ke´rde´se´re a va ´lasz igen egyszer˝ u e´s meggy˝ oz˝ ode´sem, ¨ n is jo hogy azt O ´l ismeri, csak engem akart pro ´ba ´ra tenni, mennyire alaposan gondoltam át, amit ´rtam. ı Ke´rde´se ahhoz kapcsolo ´dik, hogy – mint ´rtam ı – a szerencseja ´te´kokna ´l egy esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´t u ´ gy sza ´mı´thatjuk ki, hogy a ja ´te´k egyforma ń lehetse´ges e´s egyma ´st ko ¨lcso ¨no ¨sen kiza ´ro ´ kimenetelei ko ¨zu ¨ l megsza ´moljuk azokat, amelyek a szo ´ban forgo ´ ´t amelyek esemeńy beko ¨vetkeze´se´t vonja ´k maguk uta ń, teha az esemeńyre ne´zve kedvez˝oek, e´s ezt a sza ´mot elosztjuk a ja ´te´k o ¨sszes egyforma ń lehetse´ges kimenetelei sza ´ma ´val (teha ´t az esemeńyre ne´zve kedvez˝ o e´s kedvez˝ otlen esetek sza ´ma ´¨ n ra nak o ¨sszege´vel). Helyesen mutat O ´, hogy „egyforma ń lehetse´ges” kimenetelek helyett „egyforma ń valo ´szıń˝ u” kimenetelekr˝ ol is besze´lhetu ¨ nk, a kett˝ o ugyanazt jelenti. Ma ´rmost ¨ n ke´rde´se az, hogy itt nem circulus vitiosus-ro az O ´l van-e szo ´, hiszen la ´tszo ´lag a valo ´szıń˝ use´g definıćio ´ja ´hoz felhaszna ´ljuk a valo ´szıń˝ use´gek egyenl˝ ose´ge´t, vagyis a valo ´szıń˝ use´get a valo ´szıń˝ use´ggel azaz o ¨nmaga ´val definia ´ltuk, ma ´rpedig egy fogalom meghata ´roza ´sa ńa ´l nem szabad maga ´t a fogalmat felhasz-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


123

na ´lni, hiszen ez olyan, mintha o ¨nmagunkat a saja ´t hajunkna ´l fogva pro ´ba ´lna ńk felemelni. E ke´rde´sre terme´szetesen azt va ´laszolom, hogy itt nem err˝ ol van szo ´, abban amit ´rtam, ı semmilyen logikai hiba sincs, hiszen itt nem a valo ´szıń˝ use´gnek mint fogalomnak a definıćio ´ja ´ro ´l, csak a valo ´szıń˝ use´gek kisza ´mı´ta ´sa ´ra szolga ´lo ´ szaba ´lyro ´l, a valo ´szıń˝ use´g sza ´me´rte´keńek meghata ´roza ´sa ´ro ´l van ´ n felte´teleztem, hogy minszo ´, konkre´t egyszer˝ u esetekben. E den ve´letlen esemeńyhez hozza ´rendelhet˝ o egy meghata ´rozott 0 e´s 1 ko ¨ze´ es˝ o sza ´m, melyet az esemeńy valo ´szıń˝ use´geńek neveztem e´s amely az esemeńy beko ¨vetkeze´se´re vonatkozo ´ nem teljes bizonyossa ´g foka ´t fejezi ki. Ma ´rmost azt, o-e, el lehet do ¨nteni hogy ke´t esemeńy valo ´szıń˝ use´ge egyenl˝ ane´lku ¨ l, hogy ezek valo ´szıń˝ use´geńek sza ´me´rte´ke´t ismerne´m. Az, hogy egy kocka szaba ´lyos, azt jelenti, hogy ha az oldalai ˝ket megku nem volna ńak megsza ´mozva, nem is lehetne o ¨ lo ¨nbo ¨ztetni, e´s ha – mialatt kimegyek a szoba ´bo ´l – valaki átsza ´mozza az oldalakat, visszate´rve ezt e´szre sem fogom venni. Így teha ´t nyilva ńvalo ´, hogy a kocka ugyanakkora valo ´szıń˝ use´ggel eshet minden egyes oldala ´ra. Ugyanarro ´l van itt szo ´, mint amikor ke´t ta ´volsa ´gro ´l u ´ gy la ´tom be, hogy egyenl˝ o hosz˝ket e´s mega szu ´ , hogy egyma ´sra helyezem o ´llapı´tom, hogy ve´gpontjaik pontosan egybeesnek; ´gy ı el lehet do ¨nteni, hogy ke´t ta ´volsa ´g egyenl˝ o-e, ane´lku ¨ l, hogy megme´rne´m a hosszu ´sa ´gukat. Hasonlo ´ke´ppen ke´tkaru ´ me´rleggel su ´ lyok ne´lku ¨ l is ´ -e. el lehet do ¨nteni, hogy ke´t ta ´rgy egyforma su ´ lyu ´sodik ke´rde´se´re, melyre a va ´lasz ma ´r ta ´Ra ´te´rek most ma ¨ n ugyanis azt ke´rdezi, hogyan volro ´l sem ilyen egyszer˝ u. O lehet egy hamis – o ´lmozott – kocka esete´ben (melynek su ´ lypontja nem esek a kocka me´rtani ko ¨ze´ppontja ´ba) kisza ´mı´tani annak a valo ´szıń˝ use´ge´t, hogy e hamis kocka ´val egy meghata ´rozott sza ´mot, pl. hatost dobjunk. A ke´rde´s els˝ o pillanatra ártatlannak la ´tszik, valo ´ja ´ban azonban nagyon su ´ lyos ke´rde´s, mert ege´szen alapvet˝ o proble´ma ´ra vet feńyt, olyan proble´ma ´ra, amellyel tulajdonke´ppen ma ´r els˝ o levelemben kellett ¨ n bara volna foglalkoznom. Persze, ha O ´tomnak, de Me´re´ lo˝ ezt azzal ha vagnak tenne´ fel a ke´rde´st, azt hiszem, o ´rı´tana ´ ˝ csak u el, hogy o ´ riemberekkel szokott kocka ´zni, olyan ta ´rsa-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

124


sa ´gban, ahol nem szoka ´s hamis kocka ´val ja ´tszani, e´s ha kideru ¨ lne egy kocka ´ro ´l, hogy hamis, azt azonnal kidobna ´k – ¨ n, mib˝ azzal egyu ¨ tt, aki hozta. Joggal ke´rdezhetne´ O ol venne´k e´szre, hogy a kocka hamis. A lovag nemigen felelhetne ma ´st, mint azt, hogy aki a hamis kocka ´val ja ´tszik, az to ¨bbszo ¨r dobna hatost, mint ahogy egy szaba ´lyos kocka ńa ´l va ´rhato ´, hisszen e´ppen ezt akarja ´k ele´rni azok, akik hamis koc¨ n azt firtatna ka ´t ke´szı´tenek. Ha O ´ a tova ´bbiakban – reme´lem, megbocsa ´t nekem aze´rt, hogy egy ke´pzeletbeli pa ´rbesze´det ¨ nnek mint f˝ ´rok ı O oszerepl˝ ovel – szo ´val megke´rdezne´ – nyilva ń nem is ke´rdezhetne ma ´st –, hogy szaba ´lyos kocka esete´ben mit va ´rna a lovag, a va ´lasz csak az lehetne; azt va ´rja, hogy szaba ´lyos kocka ´val valo ´ hosszu ´ ideig tarto ´ ja ´te´k sora ń ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l ugyanannyiszor dob az ember hatost, mint ba ´rmely ma ´s sza ´mot, teha ´t a doba ´sok sza ´ma ńak ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l az 1/6-a ´ban dob hatost. ´ris Ezzel azonban a lovag, ba ´r nem is to ¨rekedett erre, ma ¨ n ke´rde´se´re. Ha ugyanis a hamis kocka az felelt volna az O o ¨sszes doba ´sok sza ´ma ńak ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l x-edre´sze´ben esik u ´ gy, hogy a hatossal jelo ¨lt oldala van felu ¨ l, a hol x valamilyen 1/6na ´l nagyobb sza ´m, akkor annak valo ´szıń˝ use´ge, hogy e koc¨n ka ´val hatost dobjunk, nyilva ń e´ppen x-el egyenl˝ o. Erre O ´ s pedig azt, hogy ha megint feltehetne egy fogas ke´rde´st. E egy hamis kocka ´val valaki 600-szor dob, e´s ennek sora ń a 6-os 150-szer jo ¨tt ki, akkor biztosak lehetu ¨ nk-e abban, hogy e koc1 ka ´val a 6-os doba ´sa ńak valo ´szıń˝ use´ge pontosan 150 699 = 4 ? A lovag azt az ellenvete´st tehetne´ (felte´ve persze, hogy olvasta el˝ oz˝ o levelemet e´s az abban bevezetett kifejeze´st haszna ´lja), hogy ez elsietett ko ¨vetkeztete´s volna, hiszen ha a kocka szaba ´lyos e´s ´gy ı a 6-os doba ´sa ńak valo ´szıń˝ use´ge pontosan 1/6 volna, 600 doba ´sbo ´l általa ´ban nem pontosan 100-szor jo ¨nne ki a hatos, csak ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l 100-szor ´gy ı a hamis kocka esete´ben sem állı´thatjuk, hogy a 6-os doba ´sa ńak valo ´szıń˝ use´ge ponto¨ n feltehetne´, san 1/4, csak azt, hogy ko ¨zel van 1/4-hez. Erre O hogy ha ´gy ı csak ko ¨zelı´t˝ oleg lehet meghata ´rozni a 6-os doba ´s valo ´szıń˝ use´ge´t a hamis kocka ´val, akkor hogyan lehet me´gis pontosan meghata ´rozni azt. Erre a lovag – mint gyakorlott ja ´te´kos – nyilva ń azt va ´laszolna ´, hogy olyan mo ´dszert ugyan

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


125

nem ismer, amellyel teljes pontossa ´ggal meg lehetne hata ´rozni a- 6-os doba ´sa ńak valo ´szıń˝ use´ge´t a hamis kocka ´val, de ¨ nt a kapott ko ha O ¨zelı´t˝ o e´rte´k nem ele´gı´ti ki – ba ´r ez a kı´se´rlet szinte ke´tse´get kiza ´ro án igazolja, hogy a kocka hamis, ´gy ı leghelyesebb azt ro ¨gto ¨n t˝ uzbe vetni –, mo ´dja ´ban állna me´g megbı´zhato ´bb, me´g jobb ko ¨zelı´te´st kapni a szo ´ban forgo ´ valo ´szıń˝ use´gre aza ´ltal, hogy egy u ´ jabb – az el˝ oz˝ one´l hosszabb – mondjuk 1200 doba ´sbo ´l állo ´ doba ´ssorozatot ve´gez e´s kisza ´mı´tja, hogy az o ¨sszes doba ´sok ha ńyadre´sze´ben jo ¨tt ki a hatos. Ha pe´lda úl 1200 doba ´s sora ń a 6-os 288-szor jo ¨nne ki, akkor 288 = 0, 24 megbı´zhato ´bb a szo ´ban forgo ´ valo ´szıń˝ use´gre a 1200 ko ¨zelı´t˝ o e´rte´ket kapna ´. Lehet, hogy ehhez me´g hozza ´tenne´ a lovag – mert, mint ¨ nnek, u ma ´r mu ´ ltkor ´rtam ı O ´ jabban nagyon e´rdekl˝ odik a filozo ´fia ira ńt –, hogy mı´g szaba ´lyos kocka csak egyfe´le van, egy kocka ve´gtelen sokfe´le mo ´don lehet hamis, ugyanu ´ gy, mint ahogy hazudni is ve´gtelen sokfe´leke´ppen lehet. Nem folytatom tova ´bb e ke´pzelt pa ´rbesze´det, mert azt hiszem, enne´l sokkal to ¨bbet de Me´re´ lovagto ´l u ´ gysem igen tud¨n u hatna meg – e´s mindezt O ´ gy is tudja. Megpro ´ba ´lok in¨ n ke´rde´se´re. A ro ka ´bb saja ´t szavaimmal va ´laszolni az O ¨vidse´g kedveé´rt állapodjunk meg abban, hogy ha bizonyos sza ´mu ´ , azonos ko ¨ru ¨ lmeńyek ko ¨zo ¨tt ve´grehajtott kı´se´rlet mindegyike´t megfigyelju ¨ k abbo ´l a szempontbo ´l, hogy egy A esemeńy mely kı´se´rletekne´l ko ¨vetkezett be e´s melyekne´l nem, ´ma ´t, melyekne´l az A esemeńy nevezzu ¨ k azon kı´se´rletek sza beko ¨vetkezett, az A esemeńy gyakorisa ´ga ńak a szo ´ban forgo ´ kı´se´rletsorozatban, mı´g az A esemeńy gyakorisa ´ga ńak e´s az o ¨sszes megfigyelt kı´se´rletek sza ´ma ńak ha ńyadosa ´t az A esemeńy relatı´v gyakorisa ´ga ńak nevezzu ¨ k. Ma ´rmost mindenki, akinek elegend˝ o tapasztalata van a szerencseja ´te´kokban, tudja, hogy egy esemeńy relatı´v gyakorisa ´ga egy sok ja ´tszma ´bo ´l állo ´ ja ´tszmasorozatban általa ´ban ko ¨zel lesz egy meghata ´rozott sza ´mhoz, me´gpedig e´ppen ahhoz az e´rte´khez, amelyet az illet˝ o esemeńy valo ´szıń˝ use´geńek neveztu ¨ nk e´s általa ´ban anna ´l ko ¨zelebb lesz ehhez, mine´l nagyobb a ja ´tszma ´k sza ´ma. A 6os doba ´sa ńak relatı´v gyakorisa ´ga pe´lda úl kocka to ¨bbsza ´zszor

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

126


valo ´ feldoba ´sa eseteń igen ko ¨zel lesz a 6-os doba ´s valo ´szıń˝ use´ge´hez, teha ´t ha a kocka szaba ´lyos 1/6-hoz, ha azonban nem szaba ´lyos, akkor általa ´ban valamely ma ´s sza ´mhoz. Hamis kocka esete´ben a 6-os doba ´sa ńak valo ´szıń˝ use´ge´t csak tapasztalati u ´ ton lehet to ¨bb-kevesebb pontossa ´ggal meghata ´rozni. Elvileg e mo ´don tetsz˝ oleges pontossa ´ggal meg lehetne hata ´rozni e valo ´szıń˝ use´get, gyakorlatilag persze nem lehet e pontossa ´got tetsz˝ olegesen fokozni, hiszen ez rengeteg id˝ ot igeńyelne – s˝ ot, ko ¨zben a kocka el is kopna. Azt hiszem azonban, ¨ nt nem is az e´rdekli valo hogy O ´ja ´ban, hogy egy hamis kocka ńa ´l mi a 6-os doba ´s valo ´szıń˝ use´geńek pontos e´rte´ke, hanem ke´rde´seńek valo ´di tartalma az, hogyan lehet egy olyan ve´letlent˝ ol fu ¨ gg˝ o esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´t meghata ´rozni, amelyne´l nem lehet visszavezetni a ke´rde´st arra, hogy a szo ´ban ńy egyforma valo ´szıń˝ use´g˝ u, egyma ´st kiforgo ´ kı´se´rletnek ha za ´ro ´ kimenetele lehetse´ges. A szaba ´lyos kocka esete´ben alkalmazott meggondola ´st szimmetria-meggondola´snak nevezhetju ¨ k, mivel a szaba ´lyos kocka szimmetria ´ja ń alapszik. Persze, a krista ´lyok pe´lda ´ja mutatja, hogy a szimmetria a terme´szetben is gyakran el˝ ofordul, nemcsak az ember által mesterse´gesen el˝ oállı´tott ta ´rgyak esete´ben. Ma ´sre´szt sza ´mos terme´szeti jelense´gne´l nem tapasztalhato ´ pontos szimmetria. Ha a tengerparton se´ta ´l az ember e´s megvizsga ´lja a vı´z által lecsiszolt kavicsokat, nemigen tala ´l ko ¨zo ¨ttu ¨ k olyant, amelynek alakja valamely szaba ´lyos me´rtani idom – pe´lda úl pontos go ¨mb – volna. Az ember maga sem ege´szen szimmetrikus. Nemre´giben olvastam valahol, hogy ba ´r a re´gi ro ´maiak ismerte´k a kockaja ´te´kot is e´s az a gazdagok ko ¨zo ¨tt ele´gge´ el is terjedt, a katona ´k nem szaba ´lyosra csiszolt fa- vagy csontkocka ´kkal – tessera-val –, hanem a kecske vagy a juh te´rdkala ćsa ńak egy darabka ´ja ´val, az u ´ n. talus-szal vagy taxillus-szal kocka ´ztak. ´kat a re´gi go ¨ro ¨go ¨k is ismerte´k e´s asztragaloszE csontocska nak nevezte´k. E csontocska ´k esete´ben az egyes lehetse´ges doba ´sfajta ´k valo ´szıń˝ use´geit ma ´r csak tapasztalati u ´ ton, a relatı´v gyakorisa ´g megfigyele´se u ´ tja ń lehet ko ¨zelı´t˝ oleg meghata ´rozni. A taxillusnak nevezett csontocska ńak 6 oldala van ugyan, de ezek ko ¨zu ¨ l kett˝ o domboru ´ e´s ´gy ı csak ne´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o ol-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


127

dala ń ke´pes mega ´llni. A go ¨ro ¨go ¨k e´s ro ´maiak általa ´ban ne´gy taxillust dobtak fel egyszerre: a lege´rte´kesebb doba ´snak az sza ´mı´tott, ha a ne´gy csontocska mindegyike ma ´s-ma ´s oldala ´val felfele´ esett: az ilyen doba ´st Venus-nak nevezte´k. Nemre´giben szereztem ke´t ilyen csontocska ´t e´s kı´se´rleteket ve´geztem velu ¨ k. Az egyikne´l az egyes oldalak gyakorisa ´gai 1000 doba ´s sora ń 408, 396, 91 e´s 105 voltak. A ma ´sikkal ma ´r csak 100 doba ´st ve´geztem, azuta ń vala hogy elveszett a csontocska; a 100 doba ´s sora ń a gyakorisa ´g 38, 43, 11 e´s 8 voltak. Jelo ¨lju ¨k a taxillus helyzetei ko ¨zu ¨ l a ke´t valo ´szıń˝ ubbet A-val e´s B-vel, a ke´t keve´sbe´ valo ´szıń˝ ut C-vel e´s D-vel. Azt hiszem, nem te´vedek nagyot, ha ezen megfigyele´sek alapja ń az egyszer˝ use´g ´´l az A e´s B helyzet valo kedveé´rt felteszem, hogy a taxillusna ¨n szıń˝ use´ge 4/10, a C e´s D helyzete´ 1/10. Ez esetben – mint O is ko ¨nnyen kisza ´mı´thatja – 4 taxillusszal valo ´ doba ´s eseteń a 24 . Ugyanis a ne´gy Venus-figura doba ´sa ńak valo ´szıń˝ use´ge 625 helyzet valo ´szıń˝ use´geit az el˝ oz˝ o levelemben emlı´tett szorza ´si 4 4 1 1 · · · szaba ´ly e´rtele´ben o ¨ssze kell szorozni, ´gy ı 10 10 10 10 = 16 1 = -o ¨ t kapunk, ez azonban me ´ g csak annak a va10000 625 lo ´szıń˝ use´ge, hogy a ne´gy taxillust az 1, 2, 3, e´s 4 sza ´mokkal megsza ´mozva az 1. taxillus az A helyzetben, a 2. a B helyzetben, a 3. a C helyzetben, a 4. pedig a D helyzetben álljon meg. Mivel azonban a ne´gy taxillust 24-fe´leke´ppen lehet az 1, 2, 3 e´s 4 sza ´mokkal megsza ´mozni, illetve az A, B, C, D bet˝ uket 24 sorrendben lehet leı´rni, teha ´t a Venus-esemeńy 24 ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, egyma ´st kiza ´ro ´ mo ´don jo ¨het le´tre e´s ´gy ı az o ¨sszeada ´si 24 , vagyis valaszaba ´ly szerint a Venus-doba ´s valo ´szıń˝ use´ge 625 1 ´ rthet˝ mivel kevesebb, mint 25 . E o, mie´rt tartotta ´k a ro ´maiak olyan szerencse´snek azt, akinek Venus-t sikeru ¨ lt dobnia. A taxillusok nem pontosan egyforma ´k e´s ´gy ı ke´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o taxillus esete´ben lehet, hogy az A doba ´s valo ´szıń˝ use´ge nem pontosan ugyanaz, pl. az egyikne´l 0, 4, a ma ´sikna ´l 0, 38, ha azonban egyetlen egy taxillust veszu ¨ nk, enne´l az A doba ´s valo ´szıń˝ use´ge a taxillus minden egyes feldoba ´sa ńa ´l pontosan ugyanaz. Ezzel szemben a gyakorisa ´g maga is a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg e´s ´gy ı nem lehet pontosan el˝ orela ´tni, hogy mekkora lesz az e´rte´ke, csak azt tudjuk, hogy ko ¨zel lesz a valo ´szıń˝ use´ghez. a taxillus minden egyes feldoba ´sa ńa ´l pontosan ugyanaz.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

128


Ha pl. egy taxillusszal, amelyne´l az A doba ´s valo ´szıń˝ use´ge 0, 4, 100-szor dobunk, egya ´ltala ´ban nem biztos, hogy pontosan 40-szer dobunk A-t, lehet ez a sza ´m 39 vagy 41, 36 vagy 44 stb.: ha to ¨bbszo ¨r egyma ´suta ń ve´gzu ¨ nk 100 − 100 doba ´st, általa ´ban ma ´s e´s ma ´s lesz az A doba ´s gyakorisa ´ga az egyes 100-az sorozatokban e´s ´gy ı a relatı´v gyakorisa ´g is sorozatro ´l sorozatra ve´letlenszer˝ uen va ´ltozni fog, de általa ´ban csak keve´ssel fog elte´rni 0, 4-t˝ ol – az A doba ´s valo ´szıń˝ use´ge´t˝ ol. A valo ´szıń˝ use´g teha ´t az a szila ´rd pont, amely ko ¨ru ¨ l a relatı´v gya´lytalan korisa ´g a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg˝ o, el˝ ore nem la ´thato ´ e´s szaba ´szıń˝ use´gt˝ ol szesze´lyes va ´ltomo ´don ingadozni fog, de a valo za ´sai sora ń legto ¨bbszo ¨r csak keve´ssel fog elte´rni. Ha a megfigyele´sek sza ´ma ´t no ¨velju ¨ k, a gyakorisa ´gnak a va ´rt e´rte´kt˝ ol (vagyis a valo ´szıń˝ use´g e´s az o ¨sszes megfigyele´sek sza ´ma ńak szorzata ´to ´l) valo ´ elte´re´s általa ´ban no ¨vekedni fognak, de relatı´v gyakorisa ´gnak a valo ´szıń˝ use´gt˝ ol valo ´ elte´re´si általa ´ban kisebbek lesznek. Ha pe´lda úl a taxillusszal 400-szor dobunk, a C oldal doba ´sainak teńyleges sza ´ma a va ´rt e´rte´kt˝ ol, vagyis 400 · 1/10 = 40-t˝ ol általa ´ban ritka ń fog 12-ne´l to ¨bbet elte´rni, ¨ nk, a C oldal gyakorisa ´ga a va ´rt mı´g ha 1000 doba ´st ve´gzu e´rte´kt˝ ol, azaz 1000 · 1/10 = 100-to ´l ele´g gyakran fog 12-ne´l to ¨bbet elte´rni, 20-na ´l to ¨bbel azonban ma ´r csak ritka ń; ez azt jelenti, hogy mı´g a relatı´v gyakorisa ´g 400 doba ´s esete´ben általa ´ban 7/100 e´s 13/100 ko ¨zo ¨tt lesz, 1000 doba ´s esete´ben ma ´r legto ¨bbszo ¨r 8/100 e´s 12/100 ko ¨zo ¨tt lesz, 1000 doba ´s esete´ben ma ´r legto ¨bbszo ¨r 8/100 e´s 12/100 ko ¨zo ¨tt lesz, s.i.t. Mı´g teha ´t egy ve´letlen esemeńy valo ´szıń˝ use´ge egy meghata ´rozott sza ´me´rte´k (ba ´r esetleg mi nem ismerju ¨ k pontosan az e´rte´ke´t), amely nem fu ¨ gg a ve´letlent˝ ol, ugyanezen ve´letlen esemeńy gyakorisa ´ga a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg˝ o, bizonytalan e´rte´k, amelynek pontos e´rte´ke´t nem lehet el˝ ore la ´tni, csak a megfigyele´sek elve´gze´se uta ń lehet mega ´llapı´tani. Uto ´lag persze pontosan ismerju ¨ k a relatı´v gyakorisa ´g e´rte´ke´t, de nem szabad elfeledkeznu ¨ nk arro ´l, hogy ez az e´rte´k ma ´s is lehetett volna e´s ha megisme´telju ¨ k a kı´se´rletet, sza ´mı´tanunk kell arra, hogy valo ´ban ma ´s e´re´tket kapunk. Ha a valo ´szıń˝ use´get ismerju ¨ k – pe´lda úl szimmetria meggondola ´sok alapja ń, esetleg az o ¨sszeada ´si e´s szorza ´si vagy ma ´s szaba ´lyokat is felhasz-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


129

na ´lva kisza ´mı´tottuk –, akkor el˝ ore la ´thatjuk to ¨bb-kevesebb pontossa ´ggal, hogy a relatı´v gyakorisa ´g mekkora lesz, mı´g ha a valo ´szıń˝ use´get nem ismerju ¨ k, annak e´rte´ke´re a relatı´v gyakorisa ´g megfigyele´se u ´ tja ń ko ¨vetkeztethetu ¨ nk to ¨bb-kevesebb pontossa ´ggal. A ke´tfe´le ko ¨vetkeztete´s azonban gyo ¨keresen ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o jelleg˝ u. Az els˝ o ko ¨vetkeztete´s olyan jelleg˝ u, mint amikor ismerju ¨ k ke´t fe´m fajsu ´ lya ´t e´s ennek alapja ń el˝ ore la ´tjuk, hogy a ke´tfe´le fe´mb˝ ol ke´szu ¨ lt egyenl˝ o te´rfogatu ´ testeket egy me´rleg ke´t serpeny˝ oje´be te´ve, melyik oldalra fog billenni a me´rleg, mı´g a ma ´sodik ko ¨vetkeztete´s olyan jelleg˝ u, mint amikor egy ismeretlen fajsu ´ lyu ´ anyag fajsu ´ lya ´t hata ´rozzuk meg olymo ´´t ¨ lt testek su ´ lya ´t e´s te´rfogata don, hogy ezen anyagbo ´l ke´szu leme´rve vizsga ´ljuk e ke´t sza ´m ha ńyadosa ´t. Megjegyzem, ha e ha ńyadost to ¨bb, az illet˝ o anyagbo ´l ke´szu ¨ lt ta ´rgyra ne´zve meghata ´rozzuk, ezen e´rte´kek sem lesznek egyma ´ssal pontosan egyenl˝ oek, csak ko ¨zel lesznek egyma ´shoz, hiszen semmilyen me´re´s sem to ¨ke´letesen pontos. A valo ´szıń˝ use´g e´s a relatı´v gyakorisa ´g teha ´t u ´ gy viszonylik egyma ´shoz, mint a fajsu ´ ly valo ´di e´s me´rt e´rte´ke. A relatı´v gyakorisa ´g megfigyele´se´t u ´ gy foghatjuk fel, mint a valo ´szıń˝ use´g megme´re´se´t olyan me´re´si elja ´ra ´ssal, amely terme´szeteńe´l fogva nem teljesen pontos, de anna ´l pontosabb, mine´l nagyobb sza ´mu ´ megfigyele´st ve´gzu ¨ nk. Ezu ´ ton persze egy esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´t to ¨ke´letesen ¨ tt pontosan sohasem állapı´thatjuk meg. Montaigne egy helyu azt ´rja, ı hogy „a teńyekb˝ ol sohasem szerezhetu ¨ nk teljes bizonyossa ´got, mert a teńyek sohasem egyforma ´k”. Montaigne állı´ta ´sa ´t azzal ege´szı´thetju ¨ k ki, hogy a teńyekb˝ ol me´g a re´szleges bizonyossa ´g foka ´t sem állapı´thatjuk meg teljes pontossa ´ggal. A gyakorlatban teha ´t a re´szleges bizonyossa ´g foka ´t illet˝ oen is meg kell ele´gednu ¨ nk a re´szleges tuda ´ssal. Egy ki¨ n az eń levelemnek csak egy to csit olyan ez, mintha O ¨rede´ke´t kapna ´ ke´zhez, mert a to ¨bbit a leve´l viv˝ oje u ´ tko ¨zben elvesztette, de me´g e leve´lto ¨rede´k is csak pontatlanul volna olvashato ´, mivel a leve´lviv˝ o vı´zbeesett e´s ´gy ı a leve´l ela ´zott. Reme´lem, e levelem nem jut erre a sorsra, azonban nagyja ´bo ´l ´gy ı áll a dolog a re´gmu ´ lt korokro ´l rendelkeze´su ¨ nkre állo ´ adatokat

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

130


illet˝ oen. Ennek ellene´re a to ¨rteńelemtudoma ńy egy e´s ma ´st me´g a forra ´sok hia ńyos e´s bizonytalan volta ellene´re is meg tud állapı´tani, de az elmu ´ lt id˝ okr˝ ol kialakı´tott ke´pu ¨ nk szu ¨ kse´gke´ppen bizonyos me´rte´kig csak hipotetikus jelleg˝ u lehet – ˝szinteń. haba ´r ezt a to ¨rteńe´szek nem mindig ismerik be o A mondottakat u ´ gy is ki lehet fejezni, hogy egy esemeńy teńyleges megvalo ´sula ´sainak sza ´ma (ko ¨zelı´t˝ oleg) u ´ gy ara ńylik az o ¨sszes megvalo ´sula ´si lehet˝ ose´g sza ´ma ´hoz, ahogy az esemeńy valo ´szıń˝ use´ge egyhez, teha ´t a teljes bizonyossa ´g valo ´szıń˝ use´ge´hez. Tulajdonke´ppen ba ´mulatos ez a megegyeze´s a logika e´s a teńyek, lehet˝ ose´g e´s a megvalo ´sula ´s ko ¨zo ¨tt! A ke´t fajta ko ¨vetkeztete´st felva ´ltva is alkalmazhatjuk: a gyaol ko ¨vetkeztethetu ¨ nk a valo ´szıń˝ use´korisa ´gok megfigyele´se´b˝ gekre e´s a valo ´szıń˝ use´gekr˝ ol ´gy ı nyert ismeretek alapja ń ko ¨vetkeztethetu ¨ nk a jo ¨v˝ oben ve´gbemen˝ o esemeńyek gyakorisa ´ga ´ra. Így segı´theti el˝ o a megfigyele´s e´s a gondolkoda ´s, egyma ´st kiege´szı´tve e´s ta ´mogatva, a vila ´g megismere´se´t! nem ringatom magam azonban abban a te´vhitben, hogy ezt eń ismertem fel els˝ onek; meggy˝ oz˝ ode´sem, hogy ezt ma ´r Plato ń is tudta. Nemre´giben el˝ ovettem ugyanis a Timaiost e´s abban a ko ¨vetkez˝ o meglep˝ o mondatot tala ´ltam: „ahogyan ara ńylik a keletkeze´shez a le´t, u ´ gy viszonylik a hiedelemhez az igazsa ´g”. Abban a meggy˝ oz˝ ode´semben, hogy e rejte´lyesen hangzo ´ kijelente´ssel Plato ń ugyanazt a gondolatot kı´va ńta ¨ lo ¨no ¨sen meger˝ oobb szo ´ volt, ku kifejezni, mint amir˝ ol az el˝ sı´t, hogy ko ¨zvetlenu ¨ l e mondat el˝ ott Timaios azokro ´l a dolgokro ´l besze´l, amelyek nem bizonyosak, csak valo ´szıń˝ uek. A re´gi go ¨ro ¨g filozo ´fusok ko ¨zo ¨tt, u ´ gy t˝ unik, voltak egyesek – azt hiszem, Carneade´sz ezek ko ¨ze´ tartozott –, akik me´g tudta ´k, hogy Plato ń mire gondolt, de azo ´ta e kisse´ homa ´lyos mondat valo ´di e´rtelme felede´sbe meru ¨ lt. Amikor a napokban a Timaiosban e mondatra ra ´bukkantam, u ´ gy e´reztem magam, mint azok, akik a fo ¨ld me´lye´b˝ ol egy gyo ¨nyo ¨r˝ u torzo ´t ástak ki, e´s miuta ń azt megtisztı´totta ´k a rea ´ragadt fo ¨ldt˝ ol, a ma ´rva ńy u ´ jbo ´l eredeti feńye´ben ragyog. Gyertya ´mbo ´l ma ´r csak para ńyi csonk maradt; ebb˝ ol is la ´tszik, hogy kisse´ hosszasan va ´laszoltam ma ´sodik ke´rde´se´re. Harmadik ke´rde´se´re a va ´lasz, u ´ gy e´rzem, sokkal egyszer˝ ubb,

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


131

ba ´r ez a ke´rde´se is mintegy fa ´klyakeńt vila ´gı´tja be a te´ma egyes, eddig homa ´lyban hagyott re´szeit. Reme´lem azonban, hogy megbocsa ´tja nekem, ha e ke´rde´sre a va ´laszt ke´s˝ obbre hagyom, mert holnap kora reggel tala ´lkozom egy megbı´zhato ´ u ´ riemberrel, aki holnap indul Orleáns-ba, ahol – mint Carcavi ¨ n most tarto u ´ rto ´l hallom – O ´zkodik, e´s aki va ´llalta, hogy e le¨ nnek, velet elviszi O Szeretne´m, ha levelemet miel˝ obb megkapna ´, e´s la ´tna ´, hogy a ke´rde´seivel elvetett mag nemcsak, hogy kikelt, hanem ilyen ro ¨vid id˝ o alatt ma ´r gyu ¨ mo ¨lcso ¨t is hozott. Reme´lem, e gyu ¨mo ¨lcso ¨t – ba ´r me´g nem to ¨ke´letesen e´rett – me´gis e´lvezhet˝ onek fogja tala ´lni. Mivel azonban tartok atto ´l, hogy e gyu ¨ mo ¨lcs kisse´ fanyar, ku ¨ ldo ¨k egy kosa ´r alma ´t is, amely kertemben termett. Tudom, hogy ezek az alma ´k sem ku ¨ lo ¨nbek, mint azok, amelyek Toulouse-ban teremnek, de tala ń e szereńy aja ńde´k ¨ nt: nincs O ¨ nnek is hozza ´ja ´rul ahhoz, hogy meggy˝ ozzem O oje, mint ˝szinte´bb hı´ve e´s lelkesebb tisztel˝ o Blaise Pascal

3. leve´l Paris, 1654 november 8, hajnalban Pierre Fermat u ´ rnak Orleáns Uram! Az e´jjel ku ¨ lo ¨no ¨s álmom volt, amelyb˝ ol verejte´kezve, szı´vdoboga ´ssal e´bredtem. Hogy eltereljem gondolataimat, elhata ´roztam, hogy megpro ´ba ´lok va ´laszolni harmadik ke´rde´se´re, arra, hogy a valo ´szıń˝ use´gek szorza ´si szaba ´lya milyen felte´telek mellett e´rveńyes. ¨ n ra O ´mutatott arra, hogyha egy ka ´rtyacsomagbo ´l ke´tszer egyma ´suta ń hu ´ zok egy-egy lapot, a szorza ´si szaba ´ly e´rveńyes abban az esetben, ha az els˝ onek kihu ´ zott lapot a ma ´sodik hu ´za ´s el˝ ott visszatesszu ¨ k a ka ´rtyacsomagba e´s azt u ´ jbo ´l jo ´l megkeverju ¨ k, de nem e´rveńyes, ha nem tesszu ¨ k vissza. Pe´lda úl,

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

132


ha a ka ´rtyacsomag 16 ka ´rtya ´bo ´l áll: a pikk, k˝ or, treff e´s ka ´ro ´ szıńek mindegyike´b˝ ol az ászt, kira ´lyt, da ´ma ´t e´s bubot tartalmazza, akkor annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy el˝ oszo ¨rre kira ´lyt hu ´ zzunk: 1/4, annak a valo ´szıń˝ use´ge hogy ma ´sodszorra kira ´lyt hu ´ zzunk: 1/4 – me´gpedig aka ´r visszatesszu ¨ k az els˝ onek kihu ´ zott lapot, aka ´r nem –, azonban, ha az el˝ oszo ¨r kihu ´ zott lapot nem tesszu ¨ k vissza, annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy mind a ke´tszer kira ´lyt hu ´ zzunk, valo ´ja ´ban nem 1/4·1/4 = 1/16, hanem csak 1/20, hiszen ke´t kira ´lyt 12-fe´leke´ppen hu ´ zhatunk ´ban, u ´ gy t˝ unik, ´ma 240. Valo mı´g az o ¨sszes lehet˝ ose´gek sza mintha ez ellentmondana az els˝ o levelemben fela ´llı´tott szorza ´si szaba ´lynak, azonban ez az ellentmonda ´s csak la ´tszo ´lagos ha ko ¨zelebr˝ ol megvizsga ´ljuk a pe´lda ´t, kideru ¨ l, hogy a szorza ´si szaba ´ly itt is e´rveńyes. Ha ugyanis el˝ oszo ¨rre kira ´lyt hu ´zunk e´s azt nem tesszu ¨ k vissza a ma ´sodik hu ´ za ´s el˝ ott a ka ´rtyacsomagba, akkor a ma ´sodik ma ´r csak 15 lap ko ¨zo ¨tt va ´laszthatunk e´s ezek ko ¨zt ma ´r csak 3 kira ´ly van, teha ´t annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy ma ´sodsorra kira ´lyt hu ´ zzunk azon felte´tel mellett, hogy el˝ oszo ¨r kira ´lyt hu ´ ztunk, nem 1/4, hanem csak 3/15 = 1/5, mivel 1/4 · 1/5 = 1/20, teha ´t a szorza ´si szaba ´ly oszo ¨rre nem kiitt is e´rveńyes. Azon felteve´s mellett, hogy el˝ ra ´lyt, hanem valami ma ´st hu ´ ztunk (e´s a kihu ´ zott lapot nem tesszu ¨ k vissza), annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy ma ´sodsorra kira ´lyt hu ´ zunk: 4/15, vagyis 1/4-ne´l nagyobb, ´gy ı annak a valo ´szıń˝ use´ge´re, hogy el˝ oszo ¨rre nem kira ´lyt, ma ´sodszorra azonban kira ´lyt hu ´ zunk, a szorza ´si szaba ´ly helyes alkalmaza ´sa ´val 3/4·4/15 = 1/5-nek ado ´dik; mivel 1/20+1/5 = 1/4, teha ´t annak valo ´szıń˝ use´ge, hogy ma ´sodszorra kira ´lyt hu ´ zunk (tekintet ne´lku ¨ l az els˝ o hu ´ za ´s eredmeńye´re) ugyanu ´ gy 1/4 akkor is, ha az el˝ oszo ¨r kihu ´ zott lapot nem tesszu ¨ k vissza, mint ami¨ k. Ez azonban csak abban az esetben igaz, ha kor visszatesszu nem ne´zzu ¨ k meg az el˝ oszo ¨r kihu ´ zott lapot; ha ugyanis megne´zzu ¨ k e´s azt la ´tjuk, hogy az el˝ oszo ¨rre kihu ´ zott lap kira ´ly, akkor e felte´tel mellett csak 1/5 (vagyis 1/4-ne´l kisebb) a valo ´szıń˝ use´ge, hogy ma ´sodszorra kira ´lyt hu ´ zzunk, mı´g azon felte´tel mellett, hogy az el˝ oszo ¨r kihu ´ zott lap nem kira ´ly, annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy ma ´sodszorra kira ´lyt hu ´ zzunk, 4/15 (vagyis ¨ n, hogyan fu 1/4-ne´l nagyobb). Azt ke´rdezheti erre O ¨ gghet a

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


133

valo ´szıń˝ use´g atto ´l, hogy megne´ztem-e az el˝ oszo ¨rre kihu ´ zott lapot, vagy sem! A ka ´rtya nem tudhatja, hogy eń megne´zteme az els˝ o lapot! Ma ´s szo ´val, hogyan befolya ´solhatja az eń tuda ´som a hu ´ za ´s ese´lye´t, hiszen ez uto ´bbi csak a ka ´rtyacsomag o ¨sszete´tele´t˝ ol fu ¨ gg. Valo ´ban ´gy ı van, de ha megne´zem az el˝ oszo ¨rre kihu ´ zott lapot, eza ´ltal e´ppen az deru ¨ l ki, hogy a 16 lap ko ¨zu ¨ l melyik nincs a 15 ko ¨zo ¨tt e´s ennek a lapnak a teńyleges hia ńya befolya ´solja a szo ´ban forgo ´ valo ´szıń˝ use´get, mert ett˝ ol fu ¨ gg, hogy a megmaradt 15 lap ko ¨zo ¨tt 4 vagy csak 3 kira ´ly van-e. Tulajdonke´ppen fe´lrevezet˝ o arro ´l besze´lni, hogy megne´zzu ¨ k a kihu ´ zott lapot, hiszen nem sza ´mı´t, hogy eń tudome, hogy melyik lap, csak az, hogy az valo ´ja ´ban kira ´ly-e vagy ´ zott lapro ´l, nem. Ha azonban semmit sem mondunk a kihu azon esemeńy valo ´szıń˝ use´geńek kisza ´mı´ta ´sa ńa ´l, hogy ma ´sodszorra kira ´lyt hu ´ zunk, figyelemben kell venni mind a ke´t lehet˝ ose´get: azt, hogy el˝ oszo ¨rre kira ´lyt hu ´ ztunk e´s azt is, hogy nem kira ´lyt hu ´ ztunk, e´s e lehet˝ ose´gek valo ´szıń˝ use´geivel kell „su ´ lyozni” az 1/5 e´s 4/15 felte´teles valo ´szıń˝ use´geket; valo ´ban, 1/4 · 1/5 + 3/4 · 4/15 = 1/4. E pe´lda jo ´l mutatja, hogy ezen – csak la ´tszo ´lag egyszer˝ u– ke´rde´sek vizsga ´lata nagy ko ¨ru ¨ ltekinte´st igeńyel, mert szinte ´skor minden le´pe´sne´l buktato ´k va ´rja ´k az embert. Err˝ ol ma ¨ nnek. Visszate´rve a szormajd re´szletesebben szeretne´k ´rni ı O za ´si szaba ´ly ke´rde´se´re, ennek szabatos e´s általa ńos fogalmaza ´sa teha ´t u ´ gy szo ´l, hogy annak a valo ´szıń˝ use´ge´t, hogy mind az A, mind pedig a B esemeńy beko ¨vetkezze´k, u ´ gy kapjuk meg, ha az A esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´vel, de uto ´bbi valo ´szıń˝ use´get azon felteve´s mellett kell kisza ´mı´tani, hogy az A esemeńy beko ¨vetkezett; ez uto ´bbi valo ´szıń˝ use´get nevezzu ¨ k el a B esemeńy az A felte´tel melletti felte´teles valo ´szıń˝ use´geńek. ´ gy t˝ U unik, mintha itt u ´ j fogalmat vezettem volna be: a felte´teles valo´szıń˝ use´g fogalma ´t. Valo ´ja ´ban ez nem teljesen u ´j ´szıń˝ use´ge fu ¨ gg azokfogalom, hiszen minden esemeńy valo to ´l a felte´telekt˝ ol, amelyek mellett az esemeńy beko ¨vetkeze´se´t, ill. be nem ko ¨vetkeze´se´t vizsga ´ljuk. Amikor azt mondjuk, hogy annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy egy kocka ´t feldobva 6-ost dobunk: 1/6, hallgato ´lagosan feltesszu ¨ k, hogy a kocka szaba ´lyos. Amikor azt mondjuk, hogy 1/4 annak a valo ´szı´-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

134


n˝ use´ge, hogy az emlı´tett ka ´rtyacsomagbo ´l kira ´lyt hu ´ zzunk, feltesszu ¨ k, hogy a ka ´rtyacsomag 16 lapbo ´l áll, ezek ko ¨zo ¨tt 4 kira ´ly van e´s a ka ´rtya ´k alaposan o ¨ssze vannak keverve. Ha a felte´telek megva ´ltoznak, általa ´ban megva ´ltozik a valo ´szıń˝ use´g is. Valo ´ja ´ban teha ´t minden valo ´szıń˝ use´g felte´teles, ha azonban a felte´telek ismeretesek e´s nem va ´ltoznak, nem szu ¨ kse´ges ezeket mindig megemlı´teni; ha azonban a felte´telek meg´ gy e´rzem, hogy va ´ltoznak, akkor ezt figyelembe kell venni. U a „felte´teles valo ´szıń˝ use´g” kifejeze´s tulajdonke´ppen, pleonazmus; olyan, mintha „halando ´ ember”-r˝ ol besze´lneńk, holott minden ember halando ´. A fe´lree´rte´sek elkeru ¨ le´se ve´gett azonban me´gis ce´lszer˝ u felte´teles valo ´szıń˝ use´gekr˝ ol besze´lni olyankor, amikor a felte´telek egyszer s mindenkorra adottak, hanem esetr˝ ol-esetre. va ´ltozhatnak. ´szıń˝ use´ge azon felEl˝ ofordulhat, hogy egy B esemeńy valo te´tel mellett, hogy az A esemeńy beko ¨vetkezett, ugyanakkora, mint e felte´tel ne´lku ¨ l. Ha ez a helyzet, indokoltnak la ´tszik az A e´s B esemeńyeket fu ¨ ggetlenek nevezni, hiszen ez esetben a B esemeńy beko ¨vetkeze´seńek valo ´szıń˝ use´ge nem fu ¨ gg atto ´l, hogy az A esemeńy beko ¨vetkezett-e, vagy nem, illetve atto ´l sem, hogy ezt egya ´ltala ń figyelembe vesszu ¨ k-e. Ha az A e´s B esemeńyek fu ¨ ggetlenek, akkor teha ´t a szorza ´si szaba ´ly a felte´teles valo ´szıń˝ use´g fogalma ńak felhaszna ´la ´sa ne´lku ¨ l is kimondhato ´. Ilyen esetekben minden tova ´bbi megjegyze´s ne´lku ¨ l állı´thatjuk, hogy annak valo ´szıń˝ use´g, hogy mind o ezen az A, mind pedig a B esemeńy beko ¨vetkezze´k, egyenl˝ ´szıń˝ use´geinek szorzata ´val. Ez a helyzet pe´lesemeńyek valo da úl, ha az A e´s B esemeńyek ke´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o kocka ´val valo ´ doba ´sokra vonatkoznak. Ez esetben az A e´s B esemeńyek fu ¨ ggetlense´geńek az az oka, hogy a ke´t kocka egyma ´sra semmilyen befolya ´st nem gyakorolhat. Ha a ke´t kocka egy fona ´llal o ¨ssze volna ko ¨tve, akkor a ke´t doba ´s eredmeńye volna fu ¨ ggetlen. Ke´t esemeńy azonban nemcsak akkor lehet fu ¨ ggetlen ha nem is tudjuk elke´pzelni, hogyan befolya ´solhatna ´ az egyik esemeńy beko ¨vetkeze´se a ma ´siknak az ese´lyeit. Jelentse pe´lda úl A azt az esemeńyt, hogy az emlı´tett ka ´rtyacsomagbo ´l egy lapot hu ´ zva, az a lap treff szıń˝ u, B pedig azt az esemeńyt, hogy a kihu ´ zott lap kira ´ly. Ez esetben a ke´t esemeńy ugyan-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


135

arra a hu ´ za ´sra vonatkozik, me´gis fu ¨ ggetlenek, hiszen a 16 lap ko ¨zt 4 kira ´ly van, a 4 treff szıń˝ u lap ko ¨zt egy kira ´ly, a to ¨bbi 12 lap ko ¨zo ¨tt pedig 3 kira ´ly, teha ´t a B esemeńy valo ´szıń˝ use´ge akkor is 1/4, ha az A esemeńy beko ¨vetkezett, akkor is ha nem ko ¨vetkezett be, e´s akkor is, ha az A esemeńyt egya ´ltala ń nem is vesszu ¨ k tekintetbe. November 8, este Most, hogy u ´ jbo ´l átolvastam, amit hajnalban ´rtam, ı la ´tom, hogy va ´laszom u ´ jabb ke´rde´seket vet fel. Elgondolkoztam ugyanis azon, mit is jelent tulajdonke´ppen az, hogy egy ka ´rtyacsomag „jo ´l meg van keverve”? Ha megke´rdezne´k egy gyakorlott ka ´rtya ´st – pe´lda úl de Me´re´ lovagot –, nyilva ń azt va ´laszolna ´, hogy ez azt jelenti, hogy valaki ele´g soka íg keverte ane´lku ¨ l, hogy csalni pro ´ba ´lt volna, teha ´t a gyakorlott ka ´rtya ´sok szoka ´sos mozdulatait szaba ´lyosan alkalmazva, a ka ´r´sa ´t teljesen a ve´letlenre bı´zta e´s tya ´k sorrendjeńek kialakula nem is pro ´ba ´lta azt befolya ´solni. Erre eń azt ke´rdezne´m, hogy ha nem tudom, hogy ki keverte meg a lapot, megne´zve a lapok sorrendje´t, vagy kiosztva a lapokat a ja ´te´kosoknak e´s megne´zve, ki milyen lapot kapott, meg lehet-e állapı´tani, hogy a ka ´rtya ´t jo ´l megkeverte´k-e vagy sem? Els˝ o pillanatra nem is la ´tszik, hogy ez milyen fogas ke´rde´s; valo ´ban, kı´va ńcsi vagyok, mit va ´laszolna erre a lovag. Ha ugyanis azt va´laszolja, hogy igen, akkor megke´rdezhetem, hogy alapos kevere´sne´l mi a valo ´szıń˝ use´ge annak, hogy 16 lap ko ¨zu ¨ l pl. e´ppen a k˝ or da ´ma, vagy ba ´rmelyik ma ´sik lap keru ¨ ljo ¨n legfelu ¨ lre; erre nyilva ń azt kell va ´laszolnia, hogy alapos kevere´sne´l minden lap ugyanakkora, teha ´t 1/16 valo ´szıń˝ use´ggel keru ¨ lhet legfelu ¨ lre. Ha a k˝ or da ´ma van legfelu ¨ l, mi a valo ´szıń˝ use´ge – ke´rdezne´m tova ´bb –, hogy ma ´sodik helyre a pikk ász (vagy ba ´rmelyik ¨ l) keru ¨ ljo ¨n? Nyilva ń 1/15, ´ 15 ko ¨zu ma ´sik lap a megmarado va ´laszolna ´ erre a lovag. Folytatva e meggondola ´st, arra az eredmeńyre jutunk, hogy alapos kevere´sne´l a 16 lap minden elke´pzelhet˝ o sorrendjeńek valo ´szıń˝ use´ge ugyanakkora. De akkor hogyan lehet a sorrend alapja ń eldo ¨nteni, hogy a csomag alaposan o ¨ssze van-e keverve, hiszen ba ´rmilyen sorrendet tala ´lok is, az ugyanolyan valo ´szıń˝ u, mint a to ¨bbi elke´pzelhet˝ o sorrend? Ha viszont nem lehet eldo ¨nteni maga ´bo ´l a

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

136


lapbo ´l, hogy alaposan o ¨sszekeverte´k-e, akkor van-e egya ´ltala ń ennek a kijelente´snek ba ´rmilyen szabatos e´rtelme? Azt mondhatna ´ erre a lovag, hogy persze egyetlen egy kevere´s eredmeńye´b˝ ol me´g nem lehet mega ´llapı´tani, hogy a kever˝ o csalt-e, de ha jo ´val to ¨bbszo ¨r oszt o ¨nmaga ńak jo ´ lapot, mint az va ´rhato ´ volna alapos kevere´s eseteń, akkor biztosak lehetu ¨ nk benne, hogy csalo ´val van dolgunk. Erre azonban eń megke´rdezne´m, hogy u ´ gy gondolja-e, hogy ha valaki alaposan megkeveri a ka ´rtya ´t, akkor minden lehetse´ges sorrend ko ¨ru ¨ lbelu ¨l ugyanolyan gyakran fordul el˝ o? Ha ma ´r most a gyanu ´ tlan lovag igennel va ´laszol, akkor megint csapda ´ba esett, hiszen 16 lap lehetse´ges sorrendjeinek sza ´ma egyenl˝ o az els˝ o 16 sza ´m szorzata ´val, e´s e sza ´m oly nagy, hogy ha egy ka ´rtya ´zo ´ ta ´rsasa ´g e´jjel-nappal megszakı´ta ´s ne´lku ¨ l ja ´tszva percenkeńt u ´ jra keveri is a lapokat, kereken 39 millio ´ e´vig kellene ja ´tszaniok ahhoz, hogy minden sorrend el˝ ofordulhasson. Gyakorlatilag oo volta ´t nem lehet ellen˝ teha ´t ily mo ´don a kevere´s megfelel˝ rizni. Nemre´giben kigondoltam egy ege´szen egyszer˝ u ge´pet, amelyne´l a ka ´rtya ´k ferde lejt˝ on lecsu ´ szva dobozba hullana ńak, majd egy o ´ram˝ u a dobozt felemelne´ e´s a ka ´rtya ´kat egy ma ´sik lejt˝ ore csu ´ sztatna ´ e´s ´gy ı tova ´bb. E ge´ppel tala ń percenkeńt 10 kevere´st is el lehetne ve´gezni, de me´g e ge´pnek is ko ¨zel 4 millio ´ e´vig kellene m˝ uko ¨dnie, hogy az o ¨sszes sorrendet el˝ oállı´tsa. Amikor azonban kisza ´mı´tottam, hogy ha ńyfe´le sorrendben lehet egy 52 lapbo ´l állo ´ ka ´rtya ´t elrendezni, szinte belesze´du ¨ ltem. Fe´lrete´ve a kevere´s alapossa ´ga ellen˝ orze´seńek nehe´z ke´rde´se´t, tegyu ¨ k fel, hogy rendelkeze´su ¨ nkre áll egy teljesen megbı´zhato ´ kever˝ oge´p (vagy egy gyakorlott e´s becsu ¨ letes ka ´rtya ´s), o valo ´szı´¨sszes lehetse´ges sorrendet egyenl˝ amely (ill. aki) az o n˝ use´ggel hozza le´tre. A ge´p (ill. a ka ´rtya ´s) megkever egy 16 lapos ka ´rtya ´t e´s ´gy ı le´trejo ¨n egy sorrend – egy a to ¨bb, mint hu ´ szezermillia ´rd ko ¨zu ¨ l. Gondolja csak meg, mit jelent ez tulajdonke´ppen: azt, hogy a szemu ¨ nk el˝ ott ko ¨vetkezik be egy olyan esemeńy, amelynek a valo ´szıń˝ use´ge kisebb, mint egy osztva hu ´ szezermillia ´rddal. Amı´g ezt ve´gig nem gondoltam, u ´ gy ve´ltem, hogy egy igen kicsiny – pl. egymilliomod – va-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


137

lo ´szıń˝ use´g˝ u esemeńy beko ¨vetkeze´se´t gyakorlatilag kiza ´rtnak lehet tekintetni. A ka ´rtyakevere´s pe´lda ´ja mutatja, hogy ezt a kijelente´st o ´vatosabban kell megfogalmazni. Így ha ´t fel kell tennu ¨ nk a ke´rde´st: milyen e´rtelemben igaz me´gis, hogy igen cseke´ly valo ´szıń˝ use´g˝ u esemeńyek beko ¨vetkeze´se´t szinte kiza ´rtnak, egyhez igen ko ¨zeli valo ´szıń˝ use´gi esemeńyek beko ¨vetkeze´se´t gyakorlatilag biztosnak tekinthetju ¨ k? A ke´rde´s, u ´ gy hiszem, nem is olyan nehe´z, mint amilyennek els˝ o pillanatra la ´tszik. Hiszen ha el˝ ore leı´rok egy lehetse´ges sorrendet e´s ez uta ń keverem meg a ka ´rtya ´t, valo ´ban szinte kiza ´rt dolog, hogy e´ppen ez a sorrend legyen a kevere´s eredmeńye – haba ´r ez a sorrend sem valo ´szıń˝ utlenebb, mint az a ma ´sik, amely teńyelegesen le´tre fog jo ¨nni a kevere´sne´l. Amikor a valo ´szıń˝ use´gekr˝ ol gondolkodni kezdtem, minden olyan egyszer˝ unek e´s vila ´gosnak t˝ unt el˝ ottem; most kezdtem csak la ´tni, hogy te´vedtem. Valaha ńyszor azt hiszem, hogy megragadtam az igazsa ´got, az u ´ jra szertefoszlik kezemben. Szinte minden le´pe´sne´l u ´ jabb szakade´kok leselkednek az emberre! Lehet, hogy álmom, mely az e´jjel u ´ gy felzaklatott, szinteń ezt tu ¨ kro ¨zik. Azt álmodtam ugyanis, hogy egy barlangban vagyok e´s a so ¨te´tben tapogato ´dzva keresem a kiutat. Arrafele´ igyekeztem, ahonnan u ´ gy la ´ttam, mintha feńy sz˝ ur˝ odne´k be. Egy nagy szikla állta el utamat, de azt hosszas kı´se´rleteze´s uta ń megkeru ¨ lve egy nyı´la ´st pillantottam meg, amely szemmel la ´thato án kivezetett a barlangbo ´l; a nyı´la ´son tu ´ l ma ´r a napfeńy ragyogott. Fo ¨legyenesedtem e´s a nyı´la ´s fele´ indultam. de csak egyet le´phettem, amikor u ´ gy e´reztem, mintha valaki va ´llon ragadott e´s visszalo ¨ko ¨tt volna. Valo ´szıń˝ uleg kiállo ´ k˝ odarabba u ¨ tko ¨ztem a va ´llammal – gondoltam magamban –, hiszen tudtam, hogy a barlangban rajtam kı´vu ¨ l senki sincs. Fela ´lltam e´s u ´ jbo ´l a kija ´rat fele´ akartam indulni, de most ma ´r o ´vatosabb voltam, a falba kapaszkodtam e´s a la ´bam ele´ is ne´ztem, de hirtelen visszah˝ oko ¨ltem: la ´bam el˝ ott valami so ¨te´t lyuk ta ´tongott. Ha nem lo ¨k vissza az el˝ obb valami (vagy valaki?), menthetetlenu ¨ l belezuhantam volna. El˝ oszo ¨r nem is fogtam fel igaza ń, mit˝ ol meneku ¨ ltem meg; kı´va ńcsisa ´gbo ´l a lyukba dobtam egy ko ¨vet e´s egyenletesen sza ´molni kezdtem, hogy abbo ´l, mennyi id˝ o mu ´ lva hallom a k˝ o koppana ´sa ´t, meg-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

138


állapı´tsam, milyen me´ly a lyuk. Amikor ma ´r 5-ne´l tartottam a sza ´mola ´ssal e´s me´g mindig nem hallottam a k˝ o koppana ´sa ´t, akkor fogtam csak fel a helyzetet; ma ´r reszketve sza ´moltam tova ´bb 10-ig, 20-ig, de koppana ´st nem hallottam egya ´ltala ń. Hia ´ba sza ´moltam tova ´bb fogvacogva – amı´g fel nem e´bredtem. Azt hiszem, mege´rti, hogy ezuta ń nem is pro ´ba ´ltam u ´ jbo ´l elaludni e´s hogy megszabaduljak az álom nyomaszto ´ emle´ke´t˝ ol, a hajnali szu ¨ rku ¨ letben nekikezdtem ennek a leve´lnek. Most ma ´r ke´pes vagyok nyugodtan visszagondolni álmomra, de me´g mindig nem tudom, hogyan ve´lekedjek ro ´la. Vajon puszta ń a valo ´szıń˝ use´g kezem ko ¨zu ¨ l minduntalan kisiklo ´ e´s titokzatos fogalma ´val valo ´ birko ´za ´som o ¨lto ¨tt la ´toma ´sszer˝ u ´ s mi miatt elke´pet álmomban (mint ahogy Lucretius ´rja: ı „E ´ meńket jobban megfeszı´tettu ¨ k, Almunkban szinteń az j˝ o leg´st jelent ez az álom? Mi az a veto ¨bbszo ¨r el˝ onkbe”), vagy ma sze´ly, amely rea ´m leselkedik e´s kie´ az a titokzatos ke´z, amely visszatartott a pusztula ´sto ´l? Egya ´ltala ń honnan jo ¨nnek álmaink e´s kell-e nekik ba ´rmilyen jelent˝ ose´get tulajdonı´tanunk? Jo ´zan eszem azt mondja, hogy álomban pihen˝ o agyam keveri o ¨ntudatlanul a ke´peket, mint a ka ´rtya ´s a lapokat – ´gy ı e ke´pek ba ´rmely sorrendje le´trejo ¨het ve´letlenszer˝ uen e´s ebben ugyanu ´ gy nem e´rdemes semmife´le okot vagy titkos jelet keresni, mint a kockadoba ´s eredmeńye´ben. A ve´letlen fogalma ´t e´vsza ´zadokon át babona ´s hit o ¨vezte e´s azt hiszem, ez tartotta vissza az embereket atto ´l, hogy a ve´letlen jelense´geket megpro ´ba ´lja ´k tudoma ńyos vizsga ´lat ta ´rgya ´va ´ tenni. A ve´letlent illet˝ oen u ´ gy hiszem, sikeru ¨ lt magamat kivonni a babona ´s borzonga ´s beńı´to ´ be´klyo ´ja alo ´l; ami azonban álmomat illeti, nem tudok teljesen szabadulni atto ´l a – semmilyen logikus e´rvvel ala ´ nem ta ´maszthato ´ – e´rze´st˝ ol, hogy ez az álom me´gis csak jelent valamit. Bocsa ´sson meg, hogy most ma ´r álmaim leı´ra ´sa ´val is terhelem. Kisse´ sze´gyellem is magamat eze´rt, me´gis jo ´lesett ál¨ n el˝ ˝szinteń felta momon valo ´ to ¨prenge´seimet is o ´rni O ott. Bı´zom benne, hogy aki olyan jo ´l mege´rti gondolataimat, mint ¨ n, meg fogja e´rteni – ha fejcso O ´va ´lva is – mostani felzaklatott lelkia ´llapotomat. Mı´g tala ń ma ´st, akivel nem f˝ uz o ¨ssze

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


139

ilyen szoros lelki rokonsa ´g, ez elriasztana, azt reme´lem, hogy ¨n o ˝szintese´gemet bara O ´tsa ´gunk za ´logakeńt fogja fogadni e´s ¨ n leg˝ azt olvassa ki e leve´lb˝ ol is hogy az O oszinte´bb bara ´tja e´s tisztel˝ oje Blaise Pascal

4. leve´l Paris, 1654 November 19, csu ¨ to ¨rto ¨k Pierre Fermat u ´ rnak Toulouse Uram, Orleánsbo ´l november 12-eń ´rt ı va ´lasza ´ban szereńyen elha ´rı´tja azt a felteve´semet, hogy el˝ ore tudta volna a va ´laszt ke´rde´seire, melyeket el˝ oz˝ o levele´ben nekem feltett. Ne is vegye rosszne´ven, ha eń kitartok meggy˝ oz˝ ode´sem mellett, hogy va ´¨ nnek sok u ´ ppen mivel azt hilaszaim nem mondtak O ´ jat. E ¨ n saja szem, hogy O ´t ke´rde´seire ma ´r el˝ obb va ´laszolt o ¨nmaga ńak, eze´rt o ¨ru ¨ lo ¨k annyira, hogy az eń va ´laszaimmal – mint ´rja ı – tu ´ lnyomo ´re´szt egyete´rt. ´ jabb ke´rde´seivel kapcsolatban Mostani levele´ben feltett u azonban hajlok arra, hogy elhigyjem; ezek valo ´ban nem szo ńoki ke´rde´sek. E ke´rde´sek ugyanis annyira elva ´laszthatatlanok a filozo ´fia legalapvet˝ o proble´ma íto ´l, hogy u ´ gy hiszem, e ke´rde´seket minden kor u ´ jra-meg-u ´ jra fel fogja vetni. Ahogy az emberise´g tuda ´sban gyarapodik, egyre teljesebb va ´laszt lehet majd adni e ke´rde´sekre, de soha va ´laszt e ke´rde´seket ve´g¨ ne´ azonban az e´rdem, hogy e ke´rde´leg leza ´rni nem fogja. O seket els˝ okeńt fogalmazta meg ilyen pa ´ratlan vila ´gossa ´ggal. Ha mondjuk 300 e´v mu ´ lva, felta ´madne´k, e´s azt la ´tna ´m, hogy a matematikusok, a terme´szet kutato í e´s a filozo ´fusok me´g mindig vitatkoznak e ke´rde´seken, egya ´ltala ´ban nem lep˝ odne´k meg. Azon sem csoda ´lkozne´k, ha a vita ´k sora ń sok homa ´´ ppen mivel a bizonylyos e´s zavaros ne´zet is szo ´hoz jutna. E talansa ´gro ´l van szo ´, va ´rhato ´, hogy felu ¨ letes elme´k azt fogja ´k hinni, hogy e te´ren nem kell to ¨rekedni a gondolkoda ´s lehet˝ o

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

140


legteljesebb tisztasa ´ga ´ra. Nem lepne meg, hogy olyanok, akik a szabatos matematikai gondolkoda ´sto ´l amu ´ gy is idegenkednek, azt hinne´k, hogy – mivel a ve´letlen jelense´geket u ´ gysem lehet teljes pontossa ´ggal el˝ orela ´tni, legfeljebb nagy vonalakban – e jelense´gek matematikai vizsga ´lata ńa ´l megengedhetik maguknak a pongyolasa ´got, a csak fe´lig átgondolt e´s csak negyedre´szt megeme´sztett fogalmakkal valo ´ doba ´lo ´za ´st. Pedig ennek e´ppen az ellenkez˝ oje igaz. Minden ha ´ziasszony tudja, hogy a friss, puha kenye´r felszeletele´se´hez sokkal fontosabb, hogy a ke´s e´les legyen, mint a sza ´razabb kenye´r felva ´ga ´sa ´hoz. Leńyege´ben itt is err˝ ol van szo ´. Minden tudoma ńyos vizsga ´latra áll, hogy csak e´lesre ko ¨szo ¨ru ¨ lt logika ´val, krista ´lytiszta e´rvele´ssel, o ´vatosan, le´pe´sr˝ ol-le´pe´sre haladva e´s minden le´pe´st ellen˝ orizve lehet az igazsa ´got megko ¨zelı´teni, de ez sehol sem annyira fontos, mint e´ppen a ve´letlen jelense´gek vizsga ´lata ńa ´l. A mondattak alapja ń, u ´ gy hiszem, nem fog csoda ´lkozni, ha nem va ´llalkozom arra, hogy ke´rde´seire minden tekintet´laszt pro ´ba ´ljak adni. Ennek ellene´re ben teljes e´s ve´gleges va sietek megı´rni ke´rde´seivel kapcsolatban mindazt, amit ezekr˝ ol mondani tudok, ma ´rt csak aze´rt is, hogy la ´ssa, mennyire foglalkoztat e´s beto ¨lti gondolataimat az, amit ´rt ı nekem. Anna ´l is inka ´bb megteszem ezt, mert e ke´rde´sek nem voltak sza ´momra to ¨ke´letesen meglep˝ oek. Ha nem is voltam ke´pes azokat ilyen csattano ´san e´s to ¨mo ¨ren megfogalmazni, e ke´rde´sek ma ´r egy ideje engem is foglalkoztatnak. Nemre´giben Mademe d’Aiguillon szalonja ´ban, nagyobb ta ´rsasa ´gban hosszabb besze´lgete´st folytattam e ke´rde´sekr˝ ol egy re´gi bara ´tommal, Damien Miton u ´ rral, aki jelen volt ma ´r akkor is, amikor de Me´re´ lovag feltette nekem ke´rde´seit a kocka ja ´te´kro ´l. Miton u ´ r azo ´ta is e´rdekl˝ odik a maga mo ´dja ń e dolgok ira ńt, e´s gyakran faggat, hogy mennyire jutottam a valo ´szıń˝ use´gek kutata ´sa ´ban. Tudnia kell, hogy Miton u ´ r, ba ´r nem matematikus, igen m˝ uvelt e´s finom elme, aki nemcsak az irodalom ira ńt e´rdekl˝ odik, amelynek igen alapos ismer˝ oje e´s kiva ´lo ´ m˝ uvel˝ oje, ńy ke´rde´sei ira ńt is e´s esze u ´ gy va ´g, mint a hanem a tudoma borotva. Gyakran vitatkoza ´sra ke´sztet engem az a tulajdonsa ´ga, hogy minden ke´rde´sr˝ ol teljesen hata ´rozott ve´lemeńye

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


141

szokott lenni, me´g akkor is, ha el˝ oszo ¨r hall ro ´la. Ez a magabiztossa ´ga engem egyenesen ingerel e´s gyakran pro ´ba ´lom bebizonyı´tani neki, hogy elhamarkodottan alkotott ve´lemeńyt. ¨ nnek, hogy e vita Ha elmondom O ínk sora ń, ha ma ´r annyira sarokba szorı´tottam, hogy be kellene la ´tnia te´vede´se´t, mivel szokta leza ´rni a vita ´t; ebb˝ ol ke´pet alkothat maga ńak err˝ ol az emberr˝ ol. Miton u ´ r ilyenkor ugyanis azt szokta mondani, hogy bela ´tja, hogy az o ¨ve´t˝ ol ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o, s˝ ot azzal ellente´tes ˝ ve´lemeńy is lehet legala ´bb annyira indokolt, mint az o ¨ve´ e´s o ˝ igaza nem is akar engem meggy˝ ozni az o ´ro ´l, ke´szse´gesen elismeri, hogy nekem e´ppen u ´ gy jogom van egyeńi ve´lemeńy˝neki, de e´ppen eze´rt azt ke´ri, hogy eń se pro hez mint o ´ba ´ljam ra ér˝ oszakolni az eń ve´lemeńyemet. Kedvenc szavaja ´ra ´sa Miton u ´ rnak az, hogy „kinek a sz˝ oke, kinek a barna” – e´s ehhez ˝neki me´g e ke´rde´sben sincsenek hozza ´ szokta tenni, hogy o el˝ o´te ı ´letei. Ezzel a vita be is szokott fejez˝ odni, illetve a besze´lgete´s a sze´passzonyokra terel˝ odik át; e te´ren persze eszembe sem jut Miton u ´ r alapos ismereteit e´s ´te ı ´letei megalapozottsa ´ga ´t ke´tse´gbevonni. ¨ nnek Miton urat, ereÉzzel, u ´ gy hiszem, bemutattam O nyeivel e´s korla ´taival egyu ¨ tt. A to ¨rteńelmet áttanulma ńyozva ˝ – azt ke´tse´gtelenu ¨ l azt la ´tjuk, hogy azok, akik – u ´ gy, mint o vallja ´k, hogy minden embernek egyara ńt joga van arra, hogy mindenr˝ ol egyeńi ve´lemeńyt alkosson maga ńak e´s senkinek sincs joga arra, hogy ma ´st ebben a szabadsa ´ga ´ban korla ´tozni pro ´ba ´ljon, ezek sokkal kevesebb bajt, szenvede´st e´s szerencse´tlense´get okoztak az emberise´gnek, mint azok, akik saja ´t – ve´lt vagy aka ´r valo ´di – igazukat t˝ uzzel-vassal, karddal e´s ma ´glya ´val pro ´ba ´lta ´k ma ´sokra rea ´keńyszerı´teni. Az elmu ´ lt ´lkozom, hogy ¨ lo ¨no ¨sen nem csoda sza ´z e´v esemeńyei alapja ń ku ma sokan u ´ gy gondolkoznak, mint Miton u ´ r. Ami a tudoma ńyt illeti, annak szerintem az egyeńi ve´lemeńyalkota ´s szabadsa ´ga valo ´ban olyan, mint az e´ltet˝ o leveg˝ o, ene´lku ¨ l megfullad. Mindamellett nem e´rtek egyet Miton u ´ rral. A tudoma ńyban ugyanis a gondolkoda ´s szabadsa ´ga nem terjedhet addig, hogy a teńyeket ne vegyu ¨ k figyelembe. Ha egy ne´zet ellentmond a teńyeknek, vagy egyenesen e´rtelmetlen, mert me´g o ¨nmaga ńak is ellentmond e´s logikailag is hiba ´s, akkor

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

142


ilyen ne´zetet vallani egyszer˝ uen ostobasa ´g. Emellett, ha lemondana ńk arro ´l, hogy igyekezzu ¨ nk tudoma ńyos ke´rde´sekben a teńyeken e´s logika ń alapulo ´ ve´lemeńyu ¨ nkr˝ ol ma ´sokat is meggy˝ ozni, mega ´llna a tudoma ńy fejl˝ ode´se. Terme´szetesen eń csak az e´rvekkel valo ´ meggy˝ oze´sre gondolok e´s nem az ellenve´lemeńyek er˝ oszakos elfojta ´sa ´ra, a gondolat bebo ¨rto ¨nze´se´re vagy meggyilkola ´sa ´ra. ¨ nnel Miton u Ezek el˝ orebocsa ´ta ´sa uta ń ismertetem O ´ rral a valo ´szıń˝ use´gekr˝ ol folytatott besze´lgete´su ¨ nket, amelyet me´g aznap este lejegyeztem. Terme´szetesen a besze´lgete´s nem szo ´szerint ´gy ı hangzott el; amikor ugyanis megpro ´ba ´ltam le´rni, ı mit is mondtam, mondanivalo ´mat sokkal kerekebben tudtam megfogalmazni, mint ahogy az hevenye´szve, a vita heve´ben elhangzott, e´s nem tudtam ellena ´llni annak a kı´se´rte´snek, hogy szavaimat ebben a kiforrottabb alakban jegyezem ´ r szavait hasonfel. A me´lta ńyossa ´g azt kı´va ńta, hogy Miton u lo ´ke´ppen kicsiszoljam, e´s ezt meg is tettem. Besze´lgete´su ¨ nkr˝ ol ke´szı´tett feljegyze´sem teha ´t nem olyan h˝ use´ges, mint egy bı´ro ´sa ´gi jegyz˝ oko ¨nyv, de azt hiszem, álla ´spontjaink leńyege´t me´gis hı´vebben tu ¨ kro ¨zi, mint ha szo ´szerint ´rtam ı volna le, ami elhangzott. Besze´lgete´su ¨ nk elejeń Miton u ´ r ke´rde´se´re, hogy meddig jutottam el a ve´letlen matematikai to ¨rveńyeinek vizsga ´lata ´¨ nnek el˝ ban, ro ¨viden elmondtam azt, amit O oz˝ o leveleiben megı´rtam: a valo ´szıń˝ use´get, mint a bizonyossa ´g foka ´t defi¨ nnek ´rt nia ´ltam. Hangsu ´ lyoztam – mint O ı el˝ oz˝ o levelemben –, hogy minden valo ´szıń˝ use´g tulajdonke´ppen felte´teles, e´s a felte´telek megva ´ltoza ´sa ´val általa ´ban a valo ´szıń˝ use´g e´rte´ke is megva ´ltozik. Ra ´mutattam, hogy egy esemeńy relatı´v gyakorisa ´ga az illet˝ o esemeńy valo ´szıń˝ use´ge, mint szila ´rd pont ko ¨ru ¨ l ingadozik a ve´letlen szesze´lye szerint. Hangsu ´ lyoztam persze, hogy ez csak akkor e´rveńyes, ha a szo ´ban forgo ´ esemeńy beko ¨vetkeze´se´t, ill. be nem ko ¨vetkeze´se´t leńyege´ben azonos ko ¨ru ¨ lmeńyek ko ¨zo ¨tt ve´grehajtott, e´s egyma ´sra semmilyen kihata ´ssal nem bı´ro ´, egyma ´sto ´l fu ¨ ggetlen kı´se´rletek sorozata ´ban figyelhetju ¨ k meg. Pe´ldake´ppen azt emlı´tettem, hogy a szo ´ban forgo ´ to ¨rveńy e´rveńyes, ha isme´telten kihu ´zunk egy golyo ´t egy piros e´s fehe´r golyo ´kat megadott ara ńy-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


143

ban tartalmazo ´ urna ´bo ´l, u ´ gy, hogy a kihu ´ zott golyo ´t minden hu ´ za ´s uta ń visszatesszu ¨ k az urna ´ba e´s az urna ´t jo ´l megra ´zzuk, amivel u ´ jbo ´l az el˝ oz˝ o hu ´ za ´s el˝ ottivel leńyege´ben megegyez˝ o helyzetet állı´tunk helyre. Ehhez a pe´lda ´hoz kapcsolo ´dott Miton u ´ r els˝ o megjegyze´se. ¨ n lelkesede´se´t, Pascal u ´ r, afelett, hogy M ITON: Mege´rtem az O ´ gy e´rzem els˝ onek fogalmazta meg ezt az e´rdekes teńyt. U azonban, hogy e to ¨rveńy e´rveńyesse´gi ko ¨re meglehet˝ osen korla ´tozott: a sorshu ´ za ´sto ´l e´s a szerencseja ´te´kokto ´l eltekintve – melyek engem is e´rdekelnek, ba ´r ta ´volro ´l sem annyira, mint ko ¨zo ¨s bara ´tunkat, de Me´re´ lovagot – nem is tudok elke´pzelni olyan helyzetet, ahol e te´tel felte´telei teljesu ¨ lneńek. Pascal u ´ r, u ´ gy hiszem, tudja hogy gyakran szoktam ja ´rni lo ´versenyekre, nem aze´rt, hogy peńzt nyerjek – erre szerencse´re nem vagyok ra ´szorulva –, hanem a jo ´ ta ´rsasa ´g kedveé´rt. De ha ma ´r ott vagyok, e´rdekl˝ ode´ssel kı´se´rem a versenyt is, e´s ´gy ı tapasztalatbo ´l tudom, hogy e´ppen u ´ gy nem lehet el˝ ore megmondani, melyik lo ´ fog nyerni, mint a kockadoba ´s eredmeńye´t: ez is a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg; a lo ´versenyne´l azonban Pascal u ´ r to ¨rveńye nem alkalmazhato ´, hiszen me´g ha meg is isme´´versenyt to ¨bbszo ¨r egyma ´s uta ń, ugyanazokkal a lotelne´k a lo vakkal e´s lovasokkal (ami soha nem fordul el˝ o), az ma ´r nem volna ugyanaz a verseny e´s az egyes lovak ese´lyei nem volna ńak ugyanazok. Rengeteg mu ´ lik ugyanis a lovak e´s lovasaik kondıćio ´ja ń. Gyakran el˝ ofordul az is, hogy egy versenyen az egyik lo ´ elesik e´s megra ńdı´tja a la ´ba ´t vagy a lovas se´ru ¨ l meg: me´g ha meg is gyo ´gyul a ko ¨vetkez˝ o versenyig, az ilyesmi nem mu ´ lik el nyomtalanul. ¨rveńy e´rveńyesse´ge´t nem e´rinti az, hogy biP ASCAL: Egy to zonyos esetekben felte´telei nem valo ´sulnak meg e´s ´gy ı nem alkalmazhato ´. A te´tel e´rveńyesse´ge´t csak az csorbı´tana ´, ha olyan esetben sem teljesu ¨ lne a te´tel konklu ´ zio ´ja, amikor a te´¨ nnek igaza van, tel felte´telei teljesu ¨ lnek. Abban azonban O hogy vannak olyan ve´letlen esemeńyek, amelyek beko ¨vetkeze´se´t csak egyetlen egyszer figyelhetju ¨ k meg, mert ugyanolyan ko ¨ru ¨ lmeńyek ko ¨zo ¨tt a megfigyele´s nem isme´telhet˝ o meg. Az ilyen ve´letlen esemeńyeket nevezhetju ¨ k egyszeri ve´letlen esemeńynek.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

144


M ITON: Ilyen egyszeri ve´letlen esemeńyek esete´ben teha ´t a valo ´szıń˝ use´gnek tapasztalati u ´ ton, a relatı´v gyakorisa ´g megfigyele´se re´veń valo ´ ko ¨zelı´t˝ o meghata ´roza ´sa ´ra nincs lehet˝ ose´g? ´ ¨ nk P ASCAL: Ugy van, hiszen csak egy megfigyele´st ve´gezhetu e´s ´gy ı a reletı´v gyakorisa ´g e´rte´ke csak 1 vagy 0 lehet. M ITON: Mit jelent akkor egy ilyen egyszeri esemeńy este´ben az hogy valo ´szıń˝ use´ge egy meghata ´rozott sza ´m, pe´lda úl 1/2? P ASCAL: E kijelente´snek ugyanaz az e´rtelme, mint a sokszor megfigyelhet˝ o esemeńyek esete´ben. Pe´lda úl szoka ´s, hogy a csirke melleńek egy bizonyos villa alaku ´ csontja ńak ke´t sza ´ra ´t ke´t gyermek addig hu ´ zza, amı´g az egyik sza ´r el nem to ¨rik. Ko ¨zben mindketten egy-egy kı´va ńsa ´gunkra gondolnak; a babona azt tartja, hogy akinek a keze´ben lev˝ o sza ´r nem to ¨rik el, annak a kı´va ńsa ´ga teljesu ¨ l. Mivel a szo ´ban forgo ´ csontocska szimmetrikus, van e´rtelme azt mondani, hogy mindke´t gyermek 1/2 valo ´szıń˝ use´ggel fog nyerni, annak ellene´re, hogy a csontocska ´t csak egyszer lehet elto ¨rni. ¨ n to ´ban tulajdonke´ppen me´g az O ¨rveńye´M ITON: E pe´lda nek e´rveńyesu ¨ le´se´r˝ ol is lehet besze´lni, ugyanis nyilva ńvalo ´, ha sok ilyen csont elto ¨re´se´t figyelju ¨ k meg, igaz lesz, hogy az eseteknek ko ¨ru ¨ lbelu ¨ l a fele´ben az a gyermek nyer, aki a baloldali, ill. aki a jobboldali sza ´rat fogja. A lo ´verseny esete´ben azonban nincs ilyen kiu ´ t a dilemma ´bo ´l. Egye´bkeńt egyete´r¨ nnel abban, hogy a lo tek O ´verseny esete´ben is van e´rtelme azt mondani: a versenyz˝ o lovak ko ¨zu ¨ l az egyik egy bizonyos – mondjuk 1/2 – valo ´szıń˝ use´ggel fog gy˝ ozni; valo ´ban, a lo ´versenyen re´sztvev˝ oknek általa ´ban ele´g hata ´rozott ve´lemeńyu ¨k szokott lenni err˝ ol, e´s ennek megfelel˝ oen fogadnak a lo ´verseny kimenetele´re. Azt tapasztaltam azonban, hogy a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o emberek ve´lemeńye er˝ osen el szokott te´rni egyma ´sto ´l, aszerint, hogy milyen informa ćio ík vannak az egyes lovak´ gy t˝ unik, hogy általa ´ban egy esero ´l. E pe´lda alapja ń nekem u meńy valo ´szıń˝ use´ge´t ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o emberek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ oke´ppen ´te ı ´lik meg, e´s semmi alapot nem la ´tok arra, hogy eldo ¨ntsu ¨ k, melyiknek van igaza. Az, hogy egy lo ´ els˝ onek e´r ce´lba, nem bizonyı´tja, hogy azoknak, akik e lo ´ra fogadtak, igazuk volt, csak azt, hogy szerencse´ju ¨ k volt. A szerencseja ´te´kok esete´ben persze a hozza é´rt˝ ok ve´lemeńye valo ´ban megegyezik, de

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


145

¨n ez csak ilyen kive´teles e´s mesterke´lt esetekben van ´gy. ı O azt mondta, hogy egy esemeńy valo ´szıń˝ use´geń az illet˝ o esemeńy bizonyossa ´gi foka ´t e´rtju ¨ k. Szerintem ezt a definıćio ´t u ´ gy kell mo ´dosı´tani, hogy egy ve´letlen esemeńy valo ´szıń˝ use´ge általa ´ban minden ember sza ´ma ´ra ma ´s e´s ma ´s: mert csak ˝ milyen me´rte´kben sza azt adja meg, hogy o ´mı´t a szo ´ban forgo ´ esemeńy beko ¨vetkeze´se´re, hogyan ´te ı ´li meg annak bizonyossa ´gi foka ´t. Az emberekt˝ ol elvonatkoztatva teha ´t szerintem egy esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´r˝ ol ugyanu ´ gy nem lehet besze´lni, mint egy vers, egy ke´p vagy egy asszony sze´pse´ge´r˝ ol: az ´zle ı ´sek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ ok e´s ugyanı´gy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ oke´ppen ´te ı ´lik meg az emberek egy ve´letlen esemeńy ese´lyeit is. ¨ nnel egyet; szerintem egy eseP ASCAL: Ebben nem e´rtek O meńy valo ´szıń˝ use´ge mindig egy, a mi ve´lemeńyu ¨ nkt˝ ol fu ¨ ggetlen, meghata ´rozott sza ´m, amelynek e´rte´ke´t persze ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o emberek ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ oke´ppen becsu ¨ lik meg. Azt elismerem, hogy a lo ´verseny esete´ben, ha valaki azt tana ćsolja nekem, hogy egy bizonyos lo ´ra fogadjak e´s ez a lo ´ valo ´ban befut, ez me´g nem jelenti, hogy a tana ćsado ´m jo ´l ´te ı ´lte meg a lo ´verseny va ´rhato ´ kimenetele´t. Ha azonban ennek a tana ćsado ńak a „tippjei” hosszu ´ id˝ on keresztu ¨ l az esetek nagyre´sze´ben – mondjuk 9/10-ben – beva ´lnak, egy ma ´sik tana ćsado ´ „tippjei” pedig az eseteknek csak 1/10-e´ben va ´lnak be, akkor ¨ n is azt a ko nemde ebb˝ ol O ¨vetkeztete´st vonja le, hogy az els˝ o ¨ n is azt a ko O ¨vetkeztete´st vonja le, hogy az els˝ o tana ćsado ´ra e´rdemes hallgatni, a ma ´sodikra nem. M ITON: Terme´szetesen P ASCAL: Mondhatjuk teha ´t ez esetben, hogy az els˝ o tana ćsado ´ egyeńi ve´lemeńyei megbı´zhato ´bbak, mint a ma ´sodike´? ńvalo án. M ITON: Nyilva ¨ nt. Hiszen ez azt jelenti, hogy az P ASCAL: Most megfogtam O els˝ o tana ćsado ´ jobban ke´pes megbecsu ¨ lni a lo ´verseny eredmeńyeńek valo ´di valo ´szıń˝ use´ge´t; teha ´t ez esetben is van e´rtelme a szo ´ban forgo ´ esemeńyek valo ´szıń˝ use´geinek valo ´di e´rte´ke´r˝ ol besze´lni, noha azt pontosan senki sem ismeri, csak to ¨bbe´-keve´sbe´ megbı´zhato án tudja megbecsu ¨ lni. ¨ n most ¨ gyes va ´lasz volt, ba ´r O M ITON: Elismerem, hogy ez u tulajdonke´ppen egy ege´szen ma ´s esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´r˝ ol

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

146


besze´l, mint eń, tudniillik annak az esemeńynek a valo ´szıń˝ use´ge´r˝ ol, hogy egy lo ´verseny szake´rt˝ o milyen valo ´szıń˝ use´ggel ad helyes „tippet, e´s itt ma ´r nem egy egyszeri esemeńyr˝ ol van szo ´, hanem egy sokszor isme´tl˝ od˝ o esemeńyr˝ ol, amelynek valo ´szıń˝ use´ge´t a relatı´v gyakorisa ´g megfigyele´se u ´ tja ń valo ´ban meg lehet állapı´tani. De hagyjuk a lo ´versenyt, hiszen nem a pe´lda a fontos, hanem az elvi ke´rde´s. Szeretne´m, ha megmagyara ´zna ´, mire alapozza azt, hogy általa ´ban van e´rtelme egy esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´r˝ ol besze´lni, fu ¨ ggetlenu ¨ l az egyeńt˝ ol, aki erre ne´zve ve´lemeńyt alkot. Szerintem minden valo ´szı´¨ n szerint ez nem ´gy n˝ use´g szubjektı´v; ha O ı van, hanem van ol besze´lni, akkor bizonyı´tsa is e´rtelme objektı´v valo ´szıń˝ use´gr˝ ezt be. P ASCAL: Ke´szse´ggel elismerem, hogy ezt nem tudom bebi¨ n is tudja, hogy axio zonyı´tani, ez axio ´ma, e´s O ´ma ´kat nem le¨ nnek het e´s nem is szu ¨ kse´ges bizonyı´tani. Csak azt tudom O megmutatni, hogy ez az axio ´ma e´ppen olyan e´sszer˝ u, mint azok az axio ´ma ´k, amelyek helyesse´ge´t ke´tse´gbe vonni sem ¨ nnek, sem ma O ´snak nem is jut esze´be, e´s hogy ezen axio ´ma ko ¨vetkezmeńyei o ¨sszhangban vannak tapasztalatainkkal. Tala ń meg fogja lepni, ha azt mondom, hogy a valo ´szıń˝ use´g objektivita ´sa ńak axio ´ma ´ja egy mindenki által elfogadott axio ´ma ńak terme´szetes e´s szinte maga ´to ´l e´rtet˝ od˝ o kiterjeszte´se. ´ma ´ra gondol? M ITON: Milyen axio ´g axio ´ma ´ja ´ra: arra, hogy a terme´szetben az P ASCAL: Az oksa o ¨sszes, egy jelense´get befolya ´solo ´ teńyez˝ ok egyu ¨ tt pontosan meghata ´rozza ´k a jelense´g lefolya ´sa ´t, e´s azonos okok mindig azonos okozatra vezetnek. Ez sem lehet bebizonyı´tani, e´ppen, mert annyira alapvet˝ o. Mib˝ ol is bizonyı´thatna ńk be? ¨ n sem vonja ke´tGondolom azonban, hogy ennek ellene´re O se´gbe az oksa ´g elve´t? ´ban nem, ba ´r soha nem gondoltam arra, hogy M ITON: Valo ez egy bizonyı´thatatlan axio ´ma. ´, de nem is szorul bizonyı´ta ´sra; P ASCAL: Nem bizonyı´thato ez ege´sz tudoma ńyos vila ´gke´pu ¨ nk alapja e´s minden egyes terme´szeti to ¨rveńy, amelyet a tudoma ńy felfedez, u ´ jabb e´rv amellett, hogy ez az axio ´ma helyes e´s szu ¨ kse´ges. Aki azonban az oksa ´g elve´t elfogadja, annak el kell fogadnia azt az axio ´ma ´t

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


147

is, hogy a ve´letlen esemeńyek meghata ´rozott – t˝ olu ¨ nk fu ¨ ggetlen, vagyis „objektı´v” – valo ´szıń˝ use´ggel bı´rnak, mert ez nem ma ´s, mint ugyanannak az alapelvnek egy átfogo ´bb e´s pontosabb megfogalmaza ´sa. ´ban meglep˝ o, amit mond e´s nem is e´rtem. Nem M ITON: Valo tudna ´ ezt e´rthet˝ obben – esetleg egy pe´lda ´val – megmagyara ´zni? ¨ro ¨mmel. Szerintem az oksa ´g elve´P ASCAL: A legnagyobb o nek ez az általa ńosabb alakja a ko ¨vetkez˝ oke´ppen fogalmazhato ´ meg: ha ismerju ¨ k mindazon ko ¨ru ¨ lmeńyeket, amelyek egy jelense´gre befolya ´ssal bı´rnak, akkor ezek egye´rtelm˝ uen meghata ´rozza ´k a jelense´g lefolya ´sa ´t; ha azonban a leńyeges ko ¨ru ¨ lmeńyeknek csak egy re´sze´t ismerju ¨ k, ezek a jelense´g lefolya ´sa ´t illet˝ oen általa ´ban me´g to ¨bb lehet˝ ose´get engednek meg, azonban egye´rtelm˝ uen meghata ´rozza ´k ezen lehet˝ ose´gek mindegyikeńek a valo ´szıń˝ use´ge´t. Azon, hogy egy esemeńy beko ¨vetkeze´se a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg, e´ppen azt e´rtju ¨ k, hogy a figyelembevett ko ¨ru ¨ lmeńyek nem hata ´rozza ´k meg egye´rtelm˝ uen, hogy mi fog to ¨rteńni, megengedi azt is, hogy az esemeńy beko ¨vetkezze´k e´s azt is, hogy ne ko ¨vetkezze´k be, azonose´g valo ´szıń˝ use´geit. Az, hogy ban meghata ´rozza ´k e ke´t lehet˝ mi e valo ´szıń˝ use´geket bizonyos esetekben pontosan ismerju ¨ k, ma ´s esetekben csak ko ¨zelı´t˝ oleg, egyes esetekben pedig egya ´ltala ń nem, a dolog leńyege´t ugyanu ´ gy nem e´rinti, mint az oksa ´g elve´t sem e´rinti, hogy bizonyos teljesen meghata ´rozott jelense´gek esete´ben ismerju ¨ k a pontos to ¨rveńyt, mint pe´lda úl azt, hogy egy leejtett k˝ o hogyan fog leesni, ma ´s jelense´gek esete´ben azonban nem ismerju ¨ k a pontos to ¨rveńyt. – ¨ n egy pe´lda O ´t kı´va ńt. Vizsga ´ljuk meg pe´lda úl az inga ja ´ra ´sa ´t, amelyr˝ ol Galilei demonstra ćio íban oly sok e´rdekeset mond. Ha ismerju ¨ k az inga hossza ´t, e´s tudjuk, hogy mikor e´s milyen helyzetb˝ ol indı´tottuk el az inga ´t, felte´ve, hogy a su ´ rlo ´da ´s s a leveg˝ o ellena ´lla ´sa elhanyagolhato án kicsi, pontosan ki tudjuk sza ´mı´tani, hogy egy bizonyos id˝ opontban milyen helyzetben lesz az inga. Ha azonban az inga hossza ´t e´s azt, hogy milyen helyzetb˝ ol indı´tottunk el, tudjuk ugyan, de nem tudjuk pontosan mikor to ¨rteńt ez, akkor persze nem tudjuk pontosan megmondani, hogy egy meghata ´rozott id˝ opontban mi-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

148


lyen helyzetben lesz az inga ńk, de azt meg tudjuk mondani, hogy pontosan 1/2 valo ´szıń˝ use´ggel lesz a legme´lyebb helyzett˝ ol balra, ill. jobbra, e´s aka ´rhogy is ´rok ı el˝ o egy α szo ¨get, ki lehetne sza ´mı´tani annak a valo ´szıń˝ use´ge´t, hogy az inga a fu ¨ gg˝ oleges helyzett˝ ol az α szo ¨gne´l kevesebbel fog elte´rni a megfigyele´s id˝ opontja ´ban. ¨ n filozo ´fia ´ja ´t, ez azonban nem M ITON: Kezdem e´rteni az O ¨ nt, akkor a teljelenti, hogy el is fogadom. Ha jo ´l e´rtettem O ¨ n szerint a valo jes determina ´ltsa ´g O ´szıń˝ use´gek objektivita ´sa elveńek hata ´resete. ´l mege´rtett, s˝ ot szerintem olyan idea ´lis P ASCAL: Nagyon is jo hata ´reset, amely a valo ´sa ´gban tulajdonke´ppen sohasem valo ´sul meg teljesen, csak ko ¨zelı´t˝ oleg. Az egy jelense´gre hato ´ o ¨sszes ko ¨ru ¨ lmeńyeket teljes pontossa ´ggal ugyanis soha nem ismerhetju ¨ k e´s nem vehetju ¨ k tekintetbe. Az el˝ oz˝ o pe´lda ´ban azt mondtam, hogy az inga mozga ´sa ´t pontosan meghata ´rozhatjuk, ha eltekintu ¨ nk a su ´ rlo ´da ´sto ´l a felfu ¨ ggeszte´si pontban e´s a leveg˝ o ellena ´lla ´sa ´to ´l. Valo ´ja ´ban azonban e ko ¨ru ¨ lmeńyekt˝ ol nem lehet teljesen eltekinteni, mert azok nem ku ¨ szo ¨bo ¨lhet˝ ok ki. Me´g ha az inga ´t bura ala ´ helyezneńk is, amelyb˝ ol a leveg˝ ot elta ´volı´tjuk –, u ´ gy, mint abban a kı´se´rletben, melyet Torricellit ko ¨vetve magam is elve´geztem –, akkor sem ku ¨szo ¨bo ¨lhetju ¨ k ki teljesen a su ´ rlo ´da ´st e´s az e´pu ¨ let megra ´zko ´¨bbe´da ´sait, amelyben a kı´se´rlet folyik, e´s egy sereg egye´b to ´ ltala keve´sbe´ ve´letlen hata ´st. A ´ban ez a helyzet minden pontosnak ve´lt to ¨rveńyne´l. Ha sikeru ¨ l sza ´mbavennu ¨ nk az egy jelense´get meghata ´rozo ´ f˝ obb okokat, akkor a jelense´g lefolya ´˝ket sa ´t nagy vonalakban el˝ ore la ´thatjuk, de nem la ´thatjuk o el˝ ore minden pa ´ra ńyi re´szletu ¨ kben. Tala ń emle´kszik me´g a leveg˝ o su ´ lya ´ra vonatkozo ´ kı´se´rleteimre. Sikeru ¨ lt megmutatnom, hogy magas hegyen – pe´lda úl a Puy de Dome csu ´ csa ń – alacsonyabb a higanyoszlop, mint a hegy la ´ba ńa ´l, mert a hegy la ´ba ńa ´l a leveg˝ o su ´ lya nagyobb, hiszen onnan sza ´mı´tva a le´goszlop magasabb. De a leveg˝ o su ´ lya a fo ¨ld ugyanazon pontja ń sem állando ´, az id˝ oja ´ra ´sto ´l, a leveg˝ o nedvesse´gtar´don ore nem la ´thato ´ mo talma ´to ´l is fu ¨ gg, e teńyez˝ ok pedig el˝ állando án va ´ltoznak. Így teha ´t nem állı´thatjuk, hogy a leveg˝ o su ´ lya itt Pa ´rizsban egy teljesen meghata ´rozott e´rte´k, csak azt

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


149

mondhatjuk meg, hogy milyen hata ´rok ko ¨ze´ fog nagy valo ´szıń˝ use´ggel esni. E valo ´szıń˝ use´geket azonban Pa ´rizs fo ¨ldrajzi helyzete, az e´vszak e´s az id˝ oja ´ra ´s hata ´rozza meg; aka ´rmit is ¨ n err˝ gondol O ol, atto ´l a higany a Torricelli-fe´le kı´se´rletne´l egy sza ´zadmillime´tert sem fog se fel, se lemenni. Vagy vizsga ´ljuk a csillaghulla ´s pe´lda ´ja ´t. Igaz, hogy augusztusban la ´tni a legto ¨bb hullo ćsillagot. De ez nyilva ń akkor is ´gy ı volt, amikor me´g ezt senki nem figyelte meg. Nem aze´rt to ¨bb augusz¨ nnek, meg nekem ez a ve´leme´tusban a hullo ćsillag, mert O nyu ¨ nk, hanem aze´rt ez mindkett˝ onknek a ve´lemeńye, mert valo ´ban gyakoribb e ho ńapban a csillaghulla ´s, mint ma ´skor. A holdon ve´gbemen˝ o ve´letlen esemeńyeknek is meghata ´rozott valo ´szıń˝ use´ge van, jo ´llehet e valo ´szıń˝ use´gekr˝ ol senkinek ko ¨zu ¨ lu ¨ nk nem lehet semmilyen egyeńi ve´lemeńye, hiol van szo ´. szen me´g azt sem tudjuk, hogy milyen esemeńyekr˝ M ITON: Ne is folytassa, Uram, mert ebben teljesen egyete´rtu ¨ nk. Elfogadom, hogy az e´lettelen terme´szetre vonatkozo ´ valo ´szıń˝ use´gek objektı´v e´rveńy˝ uek, ezt eddig sem vontam ke´tse´gbe. De engedje meg, hogy figyelmeztessem: megint olyan teru ¨ letre terelte a vita ´t, ahol valo ´ban szila ´rd talajra ta ´maszkodhat; pe´lda í mind korla ´tlanul megisme´telhet˝ o kı´se´rletekre, e´s ha nem is gyakorlatban, de legala ´bb elvben aka ´rha ńyszor megfigyelhet˝ o jelense´gekre vonatkoznak, ahol a valo ´szıń˝ use´gek valo ´di e´rte´ke´re a relatı´v gyakorisa ´gbo ´l lehet ko ¨vetkeztetni. Az eń ellenvete´seim az egyszeri ve´letlen esemeńyekre vonatkoztak – mint pe´lda úl egy lo ´verseny kimenetele vagy egy hajo ´to ¨re´s. Tova ´bbra is kitartok amellett, hogy az ilyen esemeńyek esete´ben a valo ´szıń˝ use´gi ´te ı ´let csak szubjektı´v lehet. ´l, hogy egyszeri esemeńyeknek is van objekP ASCAL: Arro tı´v valo ´szıń˝ use´ge, ugyanaze´rt vagyok meggy˝ oz˝ odve, mint arro ´l, hogy oka van. Egye´bkeńt nem la ´tok elvi ku ¨ lo ¨nbse´get – a valo ´szıń˝ use´gek objektı´v volta ´t illet˝ oen – az e´lettelen e´s az ´ pe´l˝ o terme´szetre vonatkozo ´ ve´letlen esemeńyek ko ¨zo ¨tt. E pen u ´ gy, ahogy az oksa ´g to ¨rveńye az e´l˝ o terme´szetben is e´rveńyesu ¨ l, a ve´letlen esemeńyek valo ´szıń˝ use´ge is ugyanu ´ gy meghata ´rozott e´s objektı´v az e´l˝ o terme´szetben is; legfeljebb az igaz, hogy az o ¨sszefu ¨ gge´sek me´g sokkal bonyolultabbak

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

150


e´s me´g nehezebben áttekinthet˝ ok. Enne´l fogva az e´l˝ o terme´szetben me´g keve´sbe´ tudjuk pontosan el˝ orela ´tni az esemeńyeket, mint az e´lettelen terme´szetben; ebb˝ ol azonban csak az ko ¨vetkezik, hogy e te´ren a valo ´szıń˝ use´gek vizsga ´lata, ha lehet, me´g fontosabb. Ha azonban akarja, vizsga ´ljuk meg ko ¨zelebbr˝ ol a hajo ´to ¨re´s pe´lda ´ja ´t. Ke´tse´gtelen, hogy az egyes keresked˝ oknek, u ¨ zletembereknek egyeńi ve´lemeńyu ¨ k van arro ´l, hogy mi a valo ´szıń˝ use´ge annak, hogy egy hajo ´ se´rtetlenu ¨l ´ gy hallom, Anglia mege´rkezik rendeltete´si helye´re. U ´ban a keresked˝ ok igyekeznek magukat biztosı´tani a hajo ´val ku ¨ ldo ¨tt sza ´llı´tma ńyok elveszte´se ellen u ´ gy, hogy bizonyos o ¨sszeget fizetnek el˝ ore egy ezzel foglalkozo ´ ta ´rsasa ´gnak, amely ennek ńy elveszne feje´ben megte´rı´ti a keresked˝ o ka ´ra ´t, ha a sza ´llı´tma aka ´r hajo ´to ¨re´s, aka ´r kalo ´zta ´mada ´s folyta ń, mı´g ha a sza ´llı´tma ńy rendben mege´rkezik, a ta ´rsasa ´ge´ marad az el˝ ore lefizetett biztosı´ta ´si dı´j. Ke´tse´gtelen, hogy a dı´j mega ´llapı´ta ´sakor a keresked˝ o is e´s a ta ´rsasa ´g is megbecsu ¨ li a sza ´llı´tma ńy elvesze´seńek valo ´szıń˝ use´ge´t, e´s mindke´t ve´lemeńy szubjektı´v jelleg˝ u, azonban szerintem ez esetben is van e´rtelme a hajo ´ szerencse´s mege´rkeze´seńek objektı´v valo ´szıń˝ use´ge´r˝ ol besze´lni, ˝szinteń be kell ismernu csak o ¨ nk, hogy e valo ´szıń˝ use´gek nem ismerju ¨ k. Ba ´rmilyen ve´lemeńyu ¨ nk is van neku ¨ nk a hajo ´ sze´ teńyleges sorsa ´t rencse´s mege´rkeze´seńek ese´lye´r˝ ol, ez a hajo nem befolya ´solja, arra csak az ismeretken objektı´v valo ´szıń˝ use´gnek van kihata ´sa, hiszen ez uto ´bbi nem ma ´s, mint az ob¨ n, ha egy jektı´v ko ¨ru ¨ lmeńyek kvinteszencia ´ja. Mit szo ´lna O ¨ n azt gondolja, hogy egy bizonyos olyan esetben, amikor O hajo ´ nagy valo ´szıń˝ use´ggel elsu ¨ llyed e´s ez teńyleg beko ¨vetke¨ nt a bı´ro ¨ n okozta zik, O ´sa ´g felel˝ osse´gre vonna ´ aze´rt, hogy O ¨n a katasztro ´fa ´t? Nem azzal ha ´rı´tana ´ el a va ´dat, hogy az O egyeńi ve´lemeńye semmilyen kihata ´ssal nem lehetett az ese¨ nt a ka meńyekre? Ha eń volne´k a bı´ro ´, fel is mentene´m O ´ro¨ n ne´koza ´s va ´dja alo ´l, de ezzel egyben elmarasztalna ´m az O zeteit a valo ´szıń˝ use´g szubjektı´v volta ´ro ´l. Egye´bkeńt az, hogy ı ´li-e meg ´ban nagyja ´bo ´l helyesen ´te a biztosı´to ´ ta ´rsasa ´g általa valo ´szıń˝ use´get., kideru ¨ l abbo ´l, hogy jo ¨vedelmez˝ o-e sza ´ma ´ra a biztosı´ta ´s. Ha a ta ´rsasa ´g helytelenu ¨ l ´te ı ´li meg a valo ´di valo ´szıń˝ use´get (amelyestr˝ ol estr˝ ol-esetre va ´ltozhat), akkor ro ¨vid

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


151

id˝ on belu ¨ l to ¨nkremegy, vagy aze´rt, mert to ¨bb ka ´rte´rı´te´st kell fizetnie, mint amennyi biztosı´ta ´si dı´jat besze´d, vagy pedig aze´rt, mert olyan magasan állapı´tja meg a biztosı´ta ´si dı´jakat, hogy a keresked˝ ok azt nem hajlando ´k megfizetni. ¨ n olyan, mint a macska: mindig a tal´ r, O M ITON: Pascal u pa ´ra esik. Ma ´r megint sikeru ¨ lt az egyszeri esemeńyekr˝ ol átsiklania a gyakran megfigyelhet˝ o esemeńyekre, amelyekne´l a relatı´v gyakorisa ´g megfigyele´se objektı´v becsle´st ad a valo ´szıń˝ use´gre. P ASCAL: Higgye el, uram, hogy ez nem az eń szereńy vita¨ ne´t, hake´szse´gemen mu ´ lik, amely nem is ko ¨zelı´ti meg az O nem azon, hogy az eń oldalamon van az igazsa ´g. ¨ nnek ez o ¨ro ¨met okoz, elfogadom, hogy az egyM ITON: Ha O szeri ve´letlen esemeńyeknek is lehet t˝ olu ¨ nk fu ¨ ggetlen objektı´v valo ´szıń˝ use´get tulajdonı´tani, haba ´r annak pontos e´rte´ke´t nem ismerju ¨ k, s˝ ot nem is ismerhetju ¨ k. Szerintem azonban a tudoma ńynak nem feladata, hogy elvileg megismerhetetlen, a tapasztalat sza ´ma ´ra hozza ´fe´rhetetlen dolgokkal foglalkozze´k, me´g ha ilyenek le´teznek is, ba ´r ilyen esetekben nagyon is ke´tse´ges, hogy egya ´ltala ń mit is e´rtsu ¨ nk ezek „le´teze´seń”. P ASCAL: Ugyanazt, mint Lucretius atomjainak a le´teze´seń, amelyeket szinteń nem la ´thatunk me´g nagyı´to ´val sem, me´gis segı´tse´gu ¨ kkel tudjuk megmagyara ´zni mindazt, amit la ´tunk maguk ko ¨ru ¨ l a vila ´gban. Mindke´t esetben egy olyan tudoma ńy hipote´zisr˝ ol van szo ´, amelyet ko ¨zvetlenu ¨ l nem, csak ko ¨vetkezmeńyein keresztu ¨ l tudunk ellen˝ orizni. ¨ n valo ´ r, O ´ban u ¨ gyve´dnek is kiva ´lo ´ volna; la ´M ITON: Pascal u tom, az „argumentum ad hominem” mo ´dszere´t is u ¨ gyesen ´ gy la kezeli. U ´tom, me´g emle´kszik arra a besze´lgete´su ¨ nkre, amelyben elmondottam, hogy a „De rerum natura” legkedvesebb olvasma ńyom – e´s nem csak aze´rt, mert, mint Lucretius, eń is nagyrabecsu ¨ lo ¨m Veńusz istenn˝ ot. Ba ´r me´g mindig nem gy˝ ozo ¨tt meg teljesen, hasonlata az atomokkal ke´tse´gte¨ n szerint teha lenu ¨ l elgondolkoztato ´. O ´t az egyszeri esemeńyek valo ´szıń˝ use´gei is azon dolgok ko ¨ze´ tartoznak, amelyekr˝ ol a ko ¨lt˝ o azt mondja, hogy „Halld e´s ismerd el magad is, hogy vannak a dolgok Ko ¨zt olyanok b˝ oven, melyeket nem la ´that az ember.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

152


La ´m, a viharzo ´ sze´l felkorba ćsolja a tengert, Elsu ¨ llyeszt roppant ga ´lya ´kat, s felleget oszlat... ................................ S ´me: ı a sze´l is olyan, mit nem la ´t szemmel az ember.” ¨ n szerint teha O ´t a szerencse´tlen ga ´lya ´kat a la ´thatatlan sze´l e´s az ismeretlen valo ´szıń˝ use´g ko ¨zo ¨tt er˝ ovel su ¨ llyesztik el? P ASCAL: Így is lehet mondani, e´s ezzel Lucretius is egyete´r˝ maga is u tene, hiszen o ´ gy ke´pzelte, hogy a vila ´got az atomok ve´letlen o ¨sszever˝ ode´se hozta le´tre. Bizonya ´ra emle´kszik a ko ¨vetkez˝ o soraira: ˝selemek helyu „Mert bizonyos, hogy az o ¨ ket nem el˝ ore Megfontoltan foglalta ´k el a mostani rendben, Sem ki nem alkudta ´k, ki hogyan ve´gezze a mozga ´st. ´ ˝si id˝ Amde mivel hozza ´szoktak ma ´r o okt˝ ol Hogy sokfe´le u ¨ te´st˝ ol erre me´g arra mozognak . . . Így to ¨rteńt, hogy olyan sok id˝ on át szerte bolyogva, S megpro ´ba ´lva minden mozga ´st s egybever˝ ode´st, ¨ sszekeru O ¨ ltek olyan magvak, melyek o ¨sszevegyu ¨ lve Gyakran nagy dolgoknak az els˝ o sejtjei lettek Mint e´gnek, fo ¨ldnek, tengernek, s állati nemnek.” M ITON: Hogyne emle´kezne´k; arra is emle´kszem, hogy Luc˝selemek ve´letlen mozga retius az o ´sa ´t a porszemek ta ńca ´hoz hasonlı´totta, amit megfigyelhetu ¨ nk, ha oldalro ´l ne´zzu ¨ k a szoba ´ba besu ¨ t˝ o napsugarat. Gondolja, hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s felhaszna ´lhato ´ az ilyen ve´letlen jelense´g vizsga ´lata ´ra? oz˝ odve ro ´la. Sza ´momra nyilva ńvalo ´, P ASCAL: Meg vagyok gy˝ hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s lehet˝ ove´ fogja tenni a terme´szet olyan jelense´geinek matematikai eszko ¨zo ¨kkel valo ´ vizsga ´lata ´t, amelyek a matematika ma ´s mo ´dszereivel nem ko ¨zelı´thet˝ ok meg; a terme´szetben ve´gbemen˝ o, a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg˝ o esemeńyekre gondolok. ¨n u ´ gy besze´l a ve´letlenr˝ ol, mintha teljesen egye´rM ITON: O telm˝ uen eldo ¨nthet˝ o volna, hogy egy esemeńy a ve´letlent˝ ol fu ¨ gg-e vagy sem. Nekem u ´ gy t˝ unik, hogy ez sem do ¨nthet˝ o el egye´rtelm˝ uen. Ami az egyiknek ve´letlen, a ma ´siknak nem az. ¨ n pe´lda ¨ n nem tudja, Vegyu ¨ k pe´lda úl az O ´ja ´t az inga ´val. Ha O ¨ n sza hogy az inga ´t eń mikor engedem el, akkor O ´ma ´ra a ve´-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


153

letlent˝ ol fu ¨ gg az inga helyzete egy meghata ´rozott id˝ opontban. ha viszont eń engedem el az inga ´t, akkor eń pontosan tudom, hogy ez mikor to ¨rteńt, teha ´t sza ´momra az inga mozga ´sa teljesen meghata ´rozott e´s nem fu ¨ gg a ve´letlent˝ ol. Így teha ´t szerintem me´g az is egyeńi ´te ı ´lett˝ ol fu ¨ gg, hogy egy esemeńy egya ´ltala ń ve´letlenszer˝ u-e. P ASCAL: Abban egyete´rtek, hogy ugyanaz az esemeńy bizonyos esetekben ve´letlen esemeńynek tekintend˝ o, ma ´s esetekben pedig okozatilag teljes me´rte´kben meghata ´rozottnak, atto ´l fu ¨ gg˝ oen, hogy milyen ko ¨ru ¨ lmeńyek ko ¨zo ¨tt vizsga ´ljuk. Emle´kezze´k csak vissza arra, amit me´g besze´lgete´su ¨ nk elejeń ¨ nnek arro mondtam O ´l, hogy minden valo ´szıń˝ use´g tulajdonke´ppen felte´teles; az objektı´v felte´telekt˝ ol, amelyek mellett egy esemeńy beko ¨vetkeze´se´t vizsga ´ljuk, fu ¨ gg, hogy az esemeńy egya ´ltala ń ve´letlen jelleg˝ u-e, e´s ha igen, ezek az objektı´v felte´telek hata ´rozza ´k meg az esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´t is. ´ m legyen, nem vitatatom ezt most tova ´bb; arro ´l M ITON: A ¨ n felfoga meggy˝ ozo ¨tt, hogy az O ´sa konzekvens e´s átgondolt e´s ke´tse´gtelenu ¨ l lehet ilyen szemszo ¨gb˝ ol is ne´zni a dolgokat. ´ En azonban me´gis megmaradok a magam szubjektı´v valo ´szı´¨ n objektı´v valo n˝ use´geine´l, mivel ezeket ismerem, az O ´szıń˝ use´geivel pedig, me´g ha elfogadom is, hogy le´teznek, nem tu˝ket. Egy kicsit dok mit kezdeni, le´veń, hogy nem ismerem o u ´ gy e´rzem magam, mintha el˝ oszo ¨r hosszasan dicse´rne nekem valakit, akit eń nem ismerek e´s miuta ń meggy˝ ozo ¨tt arro ´l, hogy kı´va ńjam az illet˝ ou ´ riember – vagy ho ¨lgy – ta ´rsasa ´ga ´t, kideru ¨ lt, hogy nem is áll mo ´dja ´ban engem vele o ¨sszehozni. ´dosı´tsam a hasonP ASCAL: Engedje meg, hogy egy kicsit mo latot. Szerintem inka ´bb arra hasonlı´t a helyzet, mintha eń egy ¨ nnek, akivel ugyan szemeó ´kori go ¨ro ¨g szerz˝ ot dicse´rne´k O lyesen nem áll mo ´domban o ¨sszehozni, de akinek m˝ uvei, ha nem is teljes ege´szu ¨ kben, de tu ´ lnyomo ´re´szt fennmaradtak, e´s m˝ uveib˝ ol, ha legy˝ ozi a nyelvi nehe´zse´geket, e´s alapos elme´lyed bennu ¨ k, a szerz˝ o is megismerheti, s˝ ot azt is ele´g megbı´zhato án kitala ´lhatja, hogy az elveszett re´szekben mi állhatott. Persze, ez nem ko ¨nny˝ u feladat, de mege´ri a fa ´radsa ´got. M ITON: Majd me´g gondolkodom ezeken a dolgokon. Me´g ¨ n által tala csak azt mondja meg, Pascal u ´ r, az O ´lt matematikai

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

154


o ¨sszefu ¨ gge´sek, mint pe´lda úl az o ¨sszeada ´s e´s szorza ´si szaba ´ly, csak az objektı´v valo ´szıń˝ use´gre e´rveńyes, vagy a szubjektı´v valo ´szıń˝ use´gekre is? ´szıń˝ use´gi te´tel legto ¨bbszo ¨r nem is P ASCAL: A szubjektı´v valo sza ´mszer˝ uek, csak kvalitatı´vak. De ha valakinek a szubjektı´v ´te ı ´letei mindig sza ´mszer˝ uek volna ńak is, az emlı´tett szaba ´lyok ezekre csak akkor volna ńak e´rveńyesek, ha az illet˝ o ´te ı ´letei egyma ´ssal a legteljesebb o ¨sszhangban volna ńak, koherens e´s ellentmonda ´s ne´lku ¨ l rendszert alkotna ńak. Nem ¨ n bihiszem, hogy ilyen ember le´tezne´k. Eze´rt, me´g ha O zonyos kiindula ´spontul szolga ´lo ´ esemeńyek valo ´szıń˝ use´geire vonatkozo ´lag szubjektı´v becsle´sb˝ ol indul is ki, akkor is jobban teszi, ha minden olyan o ¨sszetett esemeńynek a valo ´szıń˝ use´ge´t, amely a kiindula ´si valo ´szıń˝ use´gekb˝ ol matematikailag levezethet˝ o, nem e´rze´sei alapja ń becsu ¨ li meg, hanem matematikai meggondola ´ssal sza ´mı´tja ki. Ez esetben – felte´ve, hogy a kiindula ´su ´ l va ´lasztott e´rte´kek nem mondanak ellent ´szıń˝ uegyma ´snak – terme´szetes olyan rendszere´t nyeri a valo se´geknek, amelyben az általa ńos szaba ´lyok marade´ktalanul e´rveńyesek, hiszen ez esetben egyeńi rendszere´ben minden esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´re azt az e´rte´ket nyeri, amely annak a valo ´di – objektı´v – valo ´szıń˝ use´ge volna, ha szubjektı´v ´te ı ´let alapja ń kiindula ´skeńt felvett valo ´szıń˝ use´gek a valo ´di e´rte´kkel megegyezneńek. El˝ obb-uto ´bb általa ´ban az ember eljut ezu ´ ton egy olyan esemeńyhez, amelynek valo ´szıń˝ use´ge´t ma ´r tapasztalati u ´ ton lehet ellen˝ orzi; ´gy ı azuta ń a szubjektı´v ´te ı ´let alapja ń felvett kiindula ´si e´rte´ket, ha szu ¨ kse´ges, koriga ´lni is lehet. ¨ n is elismeri – haba ´t O ´r csak a kiindulo ´ e´rte´kekre M ITON: Teha szorı´tkozva – a szubjektı´v valo ´szıń˝ use´gi ´te ı ´letek ne´lku ¨ lo ¨zhetetlense´ge´t? ´ n ma ¨ n szub´ske´ppen fogom fel a ke´rde´st. Amit O P ASCAL: E jektı´v valo ´szıń˝ use´gi ´te ı ´letnek nevez, azt eń hipote´zisnek fogom fel. ¨ lo ¨nbse´g az elneveze´sben van. M ITON: Azt hiszem, a ku ´ n e hipotetikus valo ´szıń˝ use´geknek P ASCAL: Nem ege´szen. E nem is tulajdonı´tok kezdetben meghata ´rozott sza ´me´rte´keket, ˝ket; az hanem bet˝ uvel – mondjuk x-szel, y-nal stb. – jelo ¨lo ¨m o

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


155

x, y stb. ismeretlenek e´rte´ke´re azuta ń ko ¨zvetett megfigyele´sekb˝ ol pro ´ba ´lok ko ¨vetkeztetni. ´saink, u ´ gy la ´tszik, nem is annyira ellente´teM ITON: Felfoga sek, mint eleinte gondoltam; legala ´bbis a gyakorlati konzekvencia ´kat illet˝ oen az elte´re´s leńyegtelen. Eze´rt u ´ gy hiszem, ne is untassuk tova ´bb vita ńkkal a ta ´rsasa ´got, hiszen aka ´rmeddig vitatkozunk is, mindketten azuta ń is csak a saja ´t feju ¨ nkkel fogunk gondolkozni e´s ´gy ı szu ¨ kse´gke´ppen ne´mileg ma ´s´ gy e´rzem, a vita sora ke´pp fogjuk la ´tni a dolgot. U ń felfoga ´sunk annyira ko ¨zel keru ¨ l egyma ´shoz, amennyire ez egya ´lta´ gy la la ń lehetse´ges, ´gy ı a tova ´bbi vita ce´ltalan volna. U ´tom, a sze´p ho ¨lgyek itt ko ¨ru ¨ nkben ma ´ris neheztelnek ra ńk aze´rt, ¨ n is egyete´rt – fejezzu ˝ket, eze´rt – ha O mert elhanyagoljuk o ¨k be ma ´ra a vita ´t. ¨ n kı´va ńja. P ASCAL: Ahogy O Eddig tartott a besze´lgete´su ¨ nk. Mivel u ´ gy e´rzem, ebben ¨ n ke´rde´seir˝ benne van az a keve´s, amit az O ol egya ´ltala ń mondani tudok, eze´rt nem is f˝ uzo ¨k hozza ´ semmi kommenta ´rt e´s csak azt ke´rem, hogy bara ´tsa ´gunk e´rdeke´ben ´rja ı meg ege´˝szinteń a ve´lemeńye´t err˝ szen nyı´ltan e´s o ol a besze´lgete´sr˝ ol, ¨ n legh˝ ¨ nt amelyet Miton u ´ rral folytatott az O use´gesebb e´s O mindenkine´l to ¨bbre becsu ¨ l˝ o hı´ve e´s tisztel˝ oje, Blaise Pascal P.s.: a napokban ko ¨nyveimet rendezve belelapoztam Marcus ´ ppen ott nyitottam fel ahol arro Aurelius medita ćio íba. E ´l ´r, ı hogy ke´t eset lehetse´ges: a vila ´g vagy egy nagy ve´letlen o ¨sszevisszasa ´g, vagy pedig rend e´s to ¨rveńy uralkodik benne; azonban ba ´rmelyik is igaz e ke´t ellente´tes lehet˝ ose´g ko ¨zu ¨ l, a gon¨vetkeztete´st kell, hogy levonja: ´ ember ugyanazt a ko dolkodo u ´ gy álljon szila ´rdan ott, ahova ´ a sors vagy a ve´letlen helyezte, mint a szikla, amelyen megto ¨rnek a tenger vad, so ´s hulla ´mai. Ba ´r ma ´r sokszor olvastam e sorokat, most el˝ oszo ¨r gondolkodtam el azon, hogy Marcus Aurelius tulajdonke´ppen mie´rt is tekinti maga ´to ´l e´rthet˝ od˝ onek, hogy a vila ´gban vagy a ve´letlen uralkodik, vagy pedig rend e´s to ¨rveńy? Mie´rt hiszi, hogy ´ n azt hiszem, hogy vae ke´t lehet˝ ose´g egyma ´st kiza ´rja? E lo ´ja ´ban e ke´t állı´ta ´s nem ellente´tes, hanem mindkett˝ o egy-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

156


szerre igaz: a vila ´gban a ve´letlen uralkodik e´s e´ppen eze´rt van benne rend e´s to ¨rveńy, ami a ve´letlenek to ¨mege´b˝ ol a valo ´szıń˝ use´geknek megfelel˝ oen bontakozik ki. Eze´rt tartom a valo ´szıń˝ use´g fogalma ńak tiszta ´za ´sa ´t annyira fontosnak, e´s e¨ nnek persze ze´rt foglalkoztatnak e ke´rde´sek szu ¨ ntelenu ¨ l. O nem kell, hogy ezt sokat magyara ´zzam, hiszen kezdett˝ ol fogva, amio ´ta e ke´rde´sekr˝ ol levelezu ¨ nk, ugyanu ´ gy tudta, mint eń, hogy itt sokkal to ¨bbr˝ ol van szo ´, mint a kocka ja ´te´kro ´l! Leve´l az olvaso ´hoz Kedves Olvaso ´! ¨ nnel – e ko E soraim ce´lja, hogy ko ¨zo ¨ljem O ¨tet tartalma ´val o ¨sszhangban leve´l forma ´ja ´ban – azt, amire bizonya ´ra ma ´r amu ´ gy is ra ´jo ¨tt, hogy ti. Henry Trouverien professzor soha nem le´tezett e´s enne´lfogva nem is tala ´lt semmit (amire a neve is utal) e´s hogy az e ko ¨tetben ko ¨zo ¨lt Pascal-leveleket nem Pascal ´rta. ı Ne´mi magyara ´zatra legfeljebb az szorulhatna, hogy ¨ nnek azt, ´ja ´ban ko ¨zo ¨ltem O mie´rt fiktı´v Pascal-levelek forma amit a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s elvi ke´rde´seir˝ ol ko ¨ze´rthet˝ oen el akartam mondani. De tulajdonke´ppen e ke´rde´s sem igeńnyel ¨ n e ko va ´laszt. Hiszen vagy e´rdekl˝ ode´ssel olvasta O ¨tetet, e´s ez esetben e ke´rde´st nem is teszi fel, vagy nem nyerte´k meg tetsze´se´t e levelek, ezen pedig a magyara ´zkoda ´s sem segı´t. Így csupa ń annyit jegyzek meg, hogy az irodalmi forma va ´laszta ´sa ´ban ugyanolyan meggondola ´sok vezettek, mint dialo ´gusaim megı´ra ´sa ´ban, csak kı´se´rletke´ppen most ma ´sik m˝ ufajjal pro ´ba ´lkoztam. A ke´t rokon m˝ ufajt helyenkint kevertem; a levelekbe pa ´rbesze´dre´szleteket sz˝ ottem bele. E m˝ ufaj szinteń nagy mu ´ ltra tekinthet vissza e´s ezt is az antik go ¨ro ¨g kultu ´ ra hozta le´tre; Plato ń kora ´bban ma ´r szoka ´sos irodalmi m˝ u¨bbek ko ¨zo ¨tt filozo ´fiai te´ma ´k faj volt a fiktı´v leve´l, amelyet to kifejte´se´re is gyakran haszna ´ltak. A mai irodalomban is e´lt ez a m˝ ufaj; pe´ldakeńt megemlı´tem Thornton Wilder „Ma ´rcius idusa” cı´m˝ u m˝ uve´t [11]. Azzal, hogy e´ppen Pascalt e´s Fermatt va ´lasztottam levelez˝ o ta ´rskeńt, ugyanazt az elvet ko ¨vettem mint dialo ´gusaimban: a valo ´szıń˝ use´g fogalma ńak le´trejo ¨tte id˝ opontja ´ba helyeztem a leve´lva ´lta ´st, aze´rt, hogy e fogalmat „in statu nascendi”, a keletkeze´s frissesse´ge´ben mutathassam

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


157

be. Ugyancsak ko ¨zo ¨s vona ´s e leveleknek dialo ´gusaimmal, hogy to ¨rekedtem a to ¨rteńti h˝ use´gre, az anakronizmusok elkeru ¨ le´se´re (amennyire ez lehetse´ges volt) e´s a kornak megfelel˝ ostı´lusra. A nagyobb „hitelesse´g” e´rdeke´ben belesz˝ ottem a szo ¨vegbe sza ´mos gondolatot, aforizma ´t Pascal fennmaradt m˝ uveib˝ ol. Ezeket helyenkeńt szo ´szerint, helyenkeńt cseke´ly mo ´dosı´ta ´ssal vettem át. (A Jegyzetekben minden esetben utalok Pascal megfelel˝ o m˝ uve´re.) A levelekben Pascal gyakran ide´z ma ´sokat; ezen ide´zetek kive´tel ne´lku ¨ l olyan m˝ uvekb˝ ol valo ´k, amelyekr˝ ol tudjuk azt, hogy Pascal ismerte; egyesek ezek ko ¨zu ¨ l legkedvesebb olvasma ńyai ko ¨ze´ tartoztak, mint pl. Montaigne Esszeí. ¨ sszefoglalva: arra to O ¨rekedtem, kedves Olvaso ´m, hogy el¨ nnel, hogy e leveleket Pascal is ´rhatta hitessem O ı volna; de ¨ nt fe´lterme´szetesen ta ´vol állt t˝ olem az a sza ńde´k, hogy O Ami ˝ ´rta. ı revezessem e´s elhitessem, hogy azokat valo ´ban o pedig a levelek tartalma ´t illeti, egya ´ltala ń nem állı´tom, hogy Pascal mindazt valo ´ban ve´giggondolta, ami e levelekben áll, csak azt, hogy ez elke´pzelhet˝ o e´s nem ca ´folhato ´ meg to ¨rteńelmi e´rvekkel. ¨ n: mie´rt nem „ko Azt ke´rdezheti O ¨zo ¨ltem” Fermat va ´laszleveleit is? Ezt valo ´ban megtehettem volna, de feleslegesnek e´reztem, hiszen Pascal leveleib˝ ol Fermat va ´laszleveleinek tartalma (egy-ke´t re´szlett˝ ol eltekintve) nagy pontossa ´ggal rekonstrua ´lhato ´. (Egye´bkeńt Trouverien professzor ve´lemeńyem szerint igen meggy˝ oz˝ oen magyara ´zza meg, hogy Fermat levelei mie´rt nem maradtak fenn.) Szı´ves tu ¨ relmeé´rt ko ¨szo ¨netet mondok ˝szinte hı´ve o Reńyi Alfre´d ´ letrajzi adatok Pascalro E ´l Blaise Pascal 1623. ju ´ nius 19-eń szu ¨ letett Clermont-Ferrandban. ´ tienne Pascal, a to Apja, E ¨rveńysze´k elno ¨ke, sze´lesko ¨r˝ u e´s alapos m˝ uveltse´ggel rendelkezett. Anyja ´t, Antoinette Be´gon-t ol kezdve apja Blaise ma ´r ha ´rom e´ves kora ´ban elvesztette; ett˝ ˝t e´s ke´t lea nevelte o ńytestve´re´t, a ha ´rom e´vvel id˝ osebb Gilberte-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

158


´ tenne Perier felese´ge lett ) e´s a ke´t e´vvel fiatat (aki ke´s˝ obb E labb Jacqueline-t (aki ke´s˝ obb za ´rda ´ba vonult). Pascal sem is˝t minkola ´ba, sem egyetemre nem ja ´rt, apja maga tanı´totta o denre. Pascal ma ´r ege´sz fiatalon jele´t adta rendkı´vu ¨ li tehetse´geńek : tizenhat e´ves kora ´ban megı´rta „Essai pour les coniques” cı´m˝ u, a ku ´ pszeletekr˝ ol szo ´lo ´ munka ´ja ´t: e dolgozata ´ban szerepel az a nevezetes te´tele, hogy a ku ´ pszeletbe ´rt ı hatszo ¨g átellenes oldalainak metsze´spontjai egy egyenesen fekszenek. 1642-ben, teha ´t tizenkilenc e´ves kora ´ban Pascal feltala ´lta a sza ´molo ´ge´pet. A ko ¨vetkez˝ o e´vek sora ń he´t pe´lda ńyt ke´szı´tett e sza ´molo ´ge´pb˝ ol, melyek ko ¨zu ¨ l to ¨bb fennmaradt: a Clermont-Ferrandban 1962-ben, Pascal hala ´la ńak 300. e´vfordulo ´ja alkalma ´bo ´l rendezett sza ´molo ´lge´p kia ´llı´ta ´son az egyik ki volt állı´tva. Pascalt joggal tekinthetju ¨ k a kibernetika u ´ t´lma ńya elvi jelent˝ ose´ge´t felismerte. Ezt to ¨r˝ ojeńek, mivel tala mutatja ´k ko ¨vetkez˝ o szavai: „A sza ´molo ´ge´p sok olyanra ke´pes, ami jobban megko ¨zelı´ti a gondolkoda ´st, mint az, amire az állatok ke´pesek...” 1646-ban Pascal ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o va ´ltozatokban megisme´tli Torricelli kı´se´rlete´t e´s annak teljes magyara ´zata ´t adja: igazolja a le´gnyoma ´s fu ¨ gge´se´t a tengerszint feletti magassa ´gto ´l, felfedezi a hidrosztatika alapto ¨rveńye´t e´s a hidraulikus pre´s alapelve´t. Ahhoz, hogy mege´rtsu ¨ k, hogy e kı´se´rlet mie´rt va ´ltott ki olyan nagy visszhangot e´s mie´rt vezetett szenvede´lyes hangu ´ vita ´kra, tudnunk kell, hogy a Torricelli-fe´le kı´se´rlet Arisztotele´sz azon tanı´ta ´sa ´t ca ´folta meg, hogy le´gu ¨ res te´r nem lehetse´ges, mert a terme´szet „irto ´zik az u ¨ resse´gt˝ ol”. Ilyen mo ´don e kı´se´rletek a skolasztika su ´ lyos verese´ge´t jelentette´k. Pascal ´ban volt Torricelli e´s a saja ´t kı´se´rletei forrato ¨ke´letesen tiszta dalmi jelent˝ ose´ge´vel e´s e´ppen eze´rt ve´gezte kı´se´rleteit ege´szen pa ´ratlan gonddal e´s ko ¨ru ¨ ltekinte´ssel. Pascal e´lesen bı´ra ´lja azokat, akiket a tekinte´lyek tisztelete vakka ´ tesz a teńyekkel szemben. Egy a le´gu ¨ res te´rr˝ ol tervezett, de meg nem ´rt ı tanulma ńya ńak fennmaradt egy el˝ oszo ´-tervezete, amely a ko ¨vetkez˝ o szavakkal za ´rul: „S aka ´rmilyen becsben” tartjuk is a re´gieket, az igazsa ´got mindig nagyobb becsben kell tartanunk, ba ´rmilyen u ´ j is legyen az az igazsa ´g, hiszen valo ´ja ´ban

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


159

´ s nem ismerju o ¨regebb minden ve´lemeńyne´l. E ¨ k az igazsa ´g terme´szete´t, ha azt hisszu ¨ k, hogy akkor szu ¨ letett, amikor az emberek ra ´tala ´ltak. Ha a tudoma ńyro ´l volt szo ´, Pascal szila ´rdan a kı´se´rleti mo ´dszer e´s az el˝ o´te ı ´let ne´lku ¨ li logikus gondolkoda ´s oldala ń állott. Ugyanakkor az volt a meggy˝ oz˝ ode´se, hogy a valla ´s ke´rde´seiben az igazsa ´ghoz nem lehet puszta ń gondolkoda ´s u ´ tja ń eljutni, a hit segı´tse´ge´re is szu ¨ kse´g van ehhez. Pascal gondolatvila ´ga ´ban a valla ´s 1646-to ´l kezdve nagy szerepet ja ´tszik: e´letrajzı´ro í ez id˝ opontra teszik „els˝ o megte´re´se´t”. Ekkor azonban a valla ´s me´g nem va ´lt e´lete ko ¨zponti proble´ma ´ja ´va ´. Az 1652–1654 e´veket e´letrajzı´ro í mint Pascal „vila ´g korszaka ´t” tartja ´k sza ´mon. 1653-ban Pascal el˝ okel˝ o e´s o bara ´taival, Roannez herceggel, de Me´re´ nagyvila ´gi e´letet e´l˝ lovaggal e´s Mitonnal egyu ¨ tt Poitou-ba utazik. Valo ´szıń˝ uleg ezen utaza ´s alatt tette fel Pascalnak de Me´re´ lovag azt a ke´t, a szerencseja ´te´kokra vonatkozo ´ ke´rde´st, amelyr˝ ol Pascal 1654ben Fermattal leve´lva ´lta ´st folytatott. E leve´lva ´lta ´ssal vette kezdete´t a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s. Pascal els˝ o levele Fermathoz 1654. ju ´ lius 29-r˝ ol van keltezve, a ma ´sodik 1654. augusztus 24-r˝ ol, mı´g a harmadik (ne´ha ńy soros) leve´l 1654. okto ´ber 27-r˝ ol. E levelek ke´t, de Me´re´ lovag által felvetett ke´rde´ssel foglalkoznak. Az els˝ o ke´rde´s a ko ¨vetkez˝ o: ha ńyszor kell ke´t kocka ´val dobni ahhoz, hogy annak a valo ´szıń˝ use´ge, hogy legala ´bb egyszer ke´t hatost dobjunk, nagyobb legyen 1/2-ne´l? E feladatot maga de Me´re´ lovag is megoldotta. A ma ´sodik – nehezebb – ke´rde´s, amelyet de Me´re´ lovag maga nem tudott megoldani, a ko ¨vetkez˝ oke´p´te´kos egy olyan ja ´te´kot ja ´tszik, amelyben pen hangzik: Ke´t ja minden ja ´tszma ´ban egyenl˝ ok az ese´lyeik, e´s a ja ´te´k kezdeteń mindegyik ugyanakkora te´tet tesz fel azzal, hogy az nyeri el az ege´sz o ¨sszeget, aki el˝ oszo ¨r nyer n ja ´tszma ´t; ha ma ´rmost a ja ´te´kosok abbahagyja ´k valamilyen okbo ´l a ja ´te´kot, miel˝ ott az eld˝ olt volna, pl. egy olyan helyzetben, amikor az els˝ o ja ´te´kos ma ´r a ja ´tszma ´t, a ma ´sik b ja ´tszma ´t nyert, hogyan me´lta ńyos osztozkodniok a te´ten? Ala ´bbiakban ko ¨zo ¨lju ¨ k Pascal els˝ o leveleńek ne´ha ńy bevezet˝ o sora ´t, amelyb˝ ol az olvaso ´ ke´pet kaphat e levelek tartalma ´ro ´l e´s stı´lusa ´ro ´l egyara ńt: www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

160


¨ nre, „Uram, ra ´mto ¨rt a tu ¨ relmetlense´g, ugyanu ´ gy, mint O e´s ba ´r me´g ágyban vagyok, nem tudom visszatartani magam ¨ nnek, hogy tegnap atto ´l, hogy tollat ragadjak e´s megı´rjam O ¨ n levele´t a me´lta este megkaptam Carcavi u ´ rto ´l az O ńyos osztozkoda ´sro ´l, amelyet annyira csoda ´lok, hogy azt ki sem tu¨ n to dom fejezni. Nem akarom hosszu ´ ra fogni a szo ´t: O ¨ke´letesen helyesen oldotta meg a kocka ja ´te´kra vonatkozo ´ ke´rde´st, e´s a me´lta ńyos osztozkoda ´s proble´ma ´ja ´t egyara ńt; ez sza ´momra nagy o ¨ro ¨m, mert ezuta ń nem ke´telkedem to ¨bbe´ abban, hogy igazam van, miuta ń ilyen ba ´mulatos mo ´don megegyez˝ o eredmeńyekre jutottunk. ¨ n mo Az O ´dszere´t, amellyel a me´lta ńyos osztozkoda ´s proble´ma ´t megoldotta, me´g sokkal inka ´bb csoda ´lom, mint a kocka ja ´te´kra vonatkozo ´ ke´rde´sre adott megolda ´sa ´t; ugyanis to ¨bbekkel is besze´ltem, akik a kocka ja ´te´kra vonatkozo ´ ke´rde´st megoldotta ´k, ´gy ı maga de Me´re´ lovag is, aki nekem e ke´rde´st feltette, valamint Roberval u ´ r; azonban de Me´re´ nem volt ke´pes megtala ´lni a me´lta ńyos osztozkoda ´sra vonatkozo ´ ke´rde´s helyes megolda ´sa ´t, s˝ ot me´g hozza ´ sem tudott e ke´rde´shez fogni, u ´ gyhogy eń voltam eddig az egyetlen, aki a helyes ara ńyt ismertem. ¨ n mo Az O ´dszere teljesen megbı´zhato ´, e´s amikor e ke´rde´sen gondolkodni kezdtem, eń is el˝ oszo ¨r ´gy ı indultam el; azonban mivel a ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o kombina ćio ´k megsza ´mla ´la ´sa igen fa ´radsa ´gos, ke´s˝ obb egy ro ¨videbb e´s valo ´ja ´ban ege´szen ma ´s egyszer˝ ubb e´s elega ńsabb mo ´dszert tala ´ltam, amelyr˝ ol most ro ¨vi¨ nnek sza den be szeretne´k O ´molni, ugyanis szeretne´m ezen¨ nnek gondolataimat annyira, amennyire ez tu ´ l megosztani O lehetse´ges, olyan o ¨ro ¨m sza ´momra a mi egyete´rte´su ¨ nk. La ´tom ol, hogy az igazsa ´g ugyanaz Toulouse-ban, mint ugyanis ebb˝ Pa ´rizsban.” E levelek az emlı´tett ke´t konkre´t feladaton tu ´ lmen˝ oen általa ńos valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si ke´rde´sekkel nem foglalkoznak: maga a „valo ´szıń˝ use´g” szo ´ el˝ o sem fordul bennu ¨ k. 1654-b˝ ol valo ´k Pascalnak az u ´ n. Pascal-ha ´romszo ¨gr˝ ol e´s azzal ´ rkapcsolatos kombinatorikai ke´rde´sekr˝ ol szo ´lo ´ munka í is. E dekl˝ ode´se valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si vizsga ´lataival kapcsolatban fordult a kombinatorika fele´.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


161

Nem sokkal a levelek megı´ra ´sa uta ń, 1654. november 23án do ¨nt˝ o fordulo ´pont ko ¨vetkezett be Pascal e´lete´ben, amit e´letrajzı´ro í ma ´sodik megte´re´seńek neveznek. Ezen e´jszaka valla ´sos exta ´zisa ´ban ´rt ı feljegyze´seit ett˝ ol kezdve kaba ´tja be´le´se´be varrva emle´keztet˝ onek állando án maga ´val hordta. Ro ¨viddel ezuta ń Pascal teljes energia ´val a janzenista ´k melle´ állt a jezsuita ´kkal folyatatott teolo ´giai vita ´jukban e´s megı´rta a „Les Provinciales” cı´men ismertte´ va ´lt 19 sziporka ´zo án szellemes levele´t, amelyek a francia pro ´za mesterm˝ uvei. Ke´tse´gtelen, hogy 1654 e´s 1658 ko ¨zo ¨tt ez állt Pascal e´rdekl˝ ode´seńek ko ¨ze´ppontja ´ban. Te´ves azonban az a bea ´llı´ta ´s, hogy Pascal ma ´sodik megte´re´se´vel elfordult volna a matematika ´to ´l e´s általa ´ban a tudoma ńyto ´l. 1658-1659-b˝ ol valo ´k a cikloisra vonatkozo ´ vizs´latai, amelyek rendkı´vu ¨ l nagy jelent˝ ose´g˝ uek, mivel a cilois, ga ill. annak szelete teru ¨ leteńek e´s su ´ lypontja ńak, a ciklosi forgata ´sa ´val keletkez˝ o forga ´stest su ´ lypontja ńak e´s te´rfogata ńak meghata ´roza ´sa ´val Pascal do ¨nt˝ o le´pe´st tett a differencia ´l- e´s in˝ megele´gedett aztegra ´lsza ´mı´ta ´s le´trehoza ´sa ira ńya ´ba. Ba ´r o zal, hogy felismere´se´t a cikloissal kapcsolatos hata ´rozott integra ´lok kisza ´mı´ta ´sa ´ra alkalmazza, ebben csı´ra ´ja ´ban benne volt az általa ńos mo ´dszer, amit azuta ń Leibniz fejlesztett ki. ˝ a differencia Leibniz maga is hangsu ´ lyozta, hogy o ´lha ńyados általa ńos fogalma ´hoz Pascal „Trite´ des sinus du quart de cercle” cı´m˝ u munka ´ja ńak hata ´sa alatt jutott el. 1658-bo ´l sza ´rmazik Pascalnak a „De l’esprit geóme´trique et de l’art de persuader” cı´m˝ u tanulma ńya is, amelyb˝ ol kit˝ unik, ´dszere leńyegeńek fel˝ a matematika axiomatikus mo hogy o ismere´se´ben is messze megel˝ ozte kora ´t. Ennek illusztra ´la ´sa ´ra szolga ´lhat e tanulma ńy ko ¨vetkez˝ o mondata: „Minden állı´ta ´st bizonyı´tani kell, e´s eko ¨zben nem szabad felhaszna ´lni ma ´st, mint magukat az axio ´ma ´kat vagy ma ´r el˝ oz˝ oleg bebizonyı´tott te´teleket. Soha nem szabad visszae´lni azzal, hogy ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o dolgokat gyakran ugyanazzal a szo ´val fejeznek ki, eze´rt gondolatban mindig maga ´t a definıćio ´t kell behelyettesı´teni a definia ´lt szo ´ helye´be.” Pascal legismertebb m˝ uve ke´tse´gtelenu ¨ l a „Penseés” (Gondolatok), amely csak hala ´la uta ń jelent meg. Ezen befejezetlen m˝ uve´b˝ ol, amely ´gy ı csonka ń tulajdonke´ppen nem ma ´s,

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

162


mint aforizma ´k gy˝ ujtemeńye, csak egyet ide´ztu ¨ nk itt, amelyb˝ ol la ´tszik, hogy Pascal a tudo ´st e´s Pascalt a moralista ´t nem lehet egyma ´sto ´l ku ¨ lo ¨nva ´lasztani: „A gondolatban rejlik teha ´t minden emberi me´lto ´sa ´gunk.. Igyekezzu ¨ nk teha ´t helyesen gondolkodni, ez minden erko ¨lcs alapja.” Nem va ´llalkozhatom itt arra, hogy Pascal e´rdekes, ellentmonda ´sokkal teli egyeńise´ge´r˝ ol átfogo ´ ke´pet adjak e´s e´letu ´ tja ńak 300 e´v ta ´vlata ´bo ´l nem ko ¨nnyen e´rthet˝ o fordulatait pszicholo ´giai e´s korto ¨rteńeti alapon elemezzem; e feladatra nem is e´rzem magam kell˝ oen felke´szu ¨ ltnek e´s ez egye´bkeńt sem tartozik e ko ¨nyv ce´lkit˝ uze´sei ko ¨ze´. Legyen szabad befejeze´su ¨l u ´ jbo ´l (la ´sd.[12] ide´znem Ady Endre szavait: „Vagyok, mint minden ember: fense´g ´ szak-fok, titok, idegense´g E Lide´rces messze feńy, Lide´rces messze feńy.” Valo ´ban, Pascal e´letm˝ uve e´s egyeńise´ge, befejezetlense´ge illetve ellentmonda ´sossa ´ga ellene´re, 300 e´v ta ´vlata ´bo ´l is feńyesen vila ´gı´t. A levelek da´tuma´ro ´l Mint Pascal e´letrajza ńak va ´zlata ´ban emlı´tettu ¨ k, utolso ´ rea ńk maradt, levele´t Fermathoz 1654. okto ´ber 27-eń ´rta. ı Emlı´tettu ¨ k azt is, hogy 1654. november 23-a ńak e´jszaka ´ja fordulo ´pontot jelentett Pascal e´lete´ben. Ha teha ´t felte´telezzu ¨ k, hogy Pascal a rea ńk maradt levelein tu ´ lmen˝ oleg tova ´bbi leveleket ´rt ı Fermathoz, e levelek megı´ra ´sa ´ra csak 1654. okto ´ber 28 e´s november 23 ko ¨zo ¨tt keru ¨ lhetett sor. Ugyanis ezen elveszett levelek okto ´ber 27. el˝ ott nem ´ro ı ´dhattak, mert ez esetben a fennmaradt levelekben kellene valami utala ´snak lenni az elveszett levelekre. Nem ´ro ı ´dhattak a levelek november 24. uta ń sem, mert ezuta ń Pascal ege´szen ma ´s gondolatokkal volt elfoglalva. A Pascal e´lete´r˝ ol rendelkeze´sre állo ´ adatok szinte bizonyosan kiza ´rja azt, hogy 1654. november 23. uta ń Pascal u ´ jbo ´l visszate´rt volna a „ve´letlen matematika”-ja ńak proble´ma ´ja ´ra.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


163

Azonban az 1654. november 23. el˝ otti heteket illet˝ oen nagyon is valo ´szıń˝ u, hogy foglalkozott e ke´rde´sekkel. Így a szo ´ban forgo ´ levelek data ´la ´sa ´ra igen ro ¨vid id˝ otartam – kereken 4 he´t – állt csak rendelkeze´sre. Figyelembeve´ve az akkori ko ¨zlekede´s lassu ´ sa ´ga ´t, ha Pascal els˝ o levele´t okto ´ber utolso ´ napjaiban ´rta, ı va ´laszt erre november 5. el˝ ott nemigen kaphatott. Me´g ha erre azonnal va ´laszolt is, november 15. el˝ ott aligha kaphatott va ´laszt. Ke´zenfekv˝ o azonban a felteve´s, hogy ekkor Pascal ma ´r oly me´rte´kbe belee´lte maga ´t a te´ma ´ba, hogy me´g a va ´lasz mege´rkeze´se el˝ ott ´rt ı egy harmadik levelet a ma ´sodik kiege´szı´te´senkeńt, e´s a ma ´sodik levele´re ´rott ı va ´lasz ke´zhezve´tele uta ń, november 15. e´s 20. ko ¨zo ¨tt egy negyedik levelet. Enne´l to ¨bb leve´l megı´ra ´sa a megadott id˝ ohata ´rok ko ö el. zo ¨tt nemigen ke´pzelhet˝ Így teha ´t, felte´ve, hogy Pascal a szo ´banforgo ´ 4 he´t alatt ne´gy levelet ´rt ı Fermatnak, ezek keletkeze´se 1-2 napnyi pontossa ´ggal „kisza ´mı´thato ´”. ´ Eletrajzı´ro í szerint Pascal 1654. november 23. el˝ otti hetekben igen felzaklatott idega ´llapotban volt. Ezt tu ¨ kro ¨zik a levelek egyes re´szletei (ku ¨ lo ¨no ¨sen a 3. leve´l befejez˝ o re´sze). A valo ´szıń˝ use´gsza´mı´ta´s to ¨rteńete´r˝ ol A valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s a matematika ńak viszonylag fiatal á¨ na ga. O ´llo ´ tudoma ńya ´gga ´ valo ´ alakula ´sa Pascal e´s Fermat 1654-ben folytatott leveleze´se´vel vette kezdete´t, ba ´r egyes specia ´lis, a szerencseja ´te´kokra vonatkozo ´ feladatokkal ma ´r sokkal el˝ obb foglalkoztak, ´gy ı pl. Luca del Pacioli 1494-ben megjelent „Summa de arithmetica” c. munka ´ja ´ban egy valo ´szı´´rgyal – hiba ´san. Cardano (1501– n˝ use´gsza ´mı´ta ´si feladatot ta 1576) e´s Galilei (1564–1642) azonban ma ´r helyesen oldottak meg specia ´lis valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si feladatokat. A valo ´szıń˝ use´g fogalma azonban enne´l sokkal re´gebbi kelet˝ u, e´s az antik go ¨ro ¨g filozo ´fia ´ban ma ´r szerepet ja ´tszott. (La ´sd pl. a 2. leve´lben ko ¨zo ¨tt Plato ń ide´zetet.) Az a gondolat, hogy a terme´szetben tapasztalhato ´ to ¨rveńyszer˝ use´gek a ve´letlenek to ¨megeń keresztu ¨ l e´rveńyesu ¨ lnek, az o ´kori go ¨ro ¨g materialista ´kna ´l szerepelt el˝ oszo ¨r, e´s legre´szletesebb o ´kori kifejte´se Lucretius „De rerum natura” c. ko ¨ltemeńye´ben tala ´lhato ´ meg,

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

164


amelyb˝ ol a legfontosabb ideva ´go ´ re´szleteket Pascal ide´zi a 4. leve´lben, Milton-nal folytatott vita ´ja sora ń. Az u ´ jkorban a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s kialakula ´sa ´ban nagy szerepet ja ´tszottak a szerencseja ´te´kokra, els˝ osorban a kocka ja ´te´kra vonatkozo ´ feladatok. Maguk a kockaja ´te´kok ma ´r az o ´korban igen ne´pszer˝ uek voltak. A taxillus-ja ´te´k to ¨rteńete´re vonatkozo ´lag, amelyr˝ ol a 2. leve´lben esik szo ´, Hagstroem kit˝ un˝ o munka ´ja ´ra [5] ta ´maszkodtunk. A valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s to ¨rteńete´ Pascalto ´l Laplace-ig alaposan feldolgozta I. Todhunter [13]. Sok e´rdekes adatot tartalmaz a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s to ¨rteńete´r˝ ol Jordan Ka ´roly ko ¨nyve [14], valamint F. N. David nemre´giben megjelent e´rdekes munka ´ja [28]. Nem kı´va ńjuk itt a valo ´szı´¨viden ´mı´ta ´s to ¨rteńete´t re´szletesen ismertetni, csak ro n˝ use´gsza utalunk arra, hogy Pascal e´s Fermat leveleze´se hogyan hatott ki az u ´ j tudoma ńya ´g kialakula ´sa ´ra. 1658-ban jelent meg Huyghens „De ratiociniis in ludo aleae” c. munka ´ja, amelyben a Pascal e´s Fermat által ta ´rgyalt ke´rde´sek re´szletesebb kifejte´se tala ´lhato ´, e´s amely nyilva ńvalo án Pascal e´s Fermat leve´lva ´lta ´sa ´ra ta ´maszkodik, azonban sza ´mos ma ´s rokon ke´rde´st is ta ´rgyal, illetve felvet, Huyghens munka ´ja ´hoz csatlakozik ko ¨zvetlenu ¨ l Bernoulli Jakab (1654–1705) „Ars coniectandi” cı´m˝ u alapvet˝ o munka ´ja mely csak hala ´la uta ń, 1713ban jelent meg. E munka els˝ o re´sze Huyghens fent emlı´tett munka ´ja ´t reproduka ´lja e´s kommenta ´lja, a teljes megolda ´sa ´t adva a Huyghens által megolda ´s ne´lku ¨ l ko ¨zo ¨lt ke´rde´seknek. E munka legjelent˝ osebb re´sze a negyedik, amely a nagy sza ´mok u ´ n. Bernoulli-fe´le to ¨rveńye´vel foglalkozik. Hasonlo ´ke´ppen Huyghens ko ¨nyve´hez, e´s ezen keresztu ¨ l Pascal e´s Fermat leveleze´se´hez csatlakozik Montmort (1678–1719) „Essai d’Analyse sur les Jeux de Hazards” c. munka ´ja, amely valamivel ke´s˝ obb ´ro ı ´dott, de el˝ obb jelent meg, mint Bernoulli m˝ uve; ugyanez mondhato ´ el A. de Moivre (1667-1754) „De Mensura sortis seu de Probabilitate Eventum in Ludis A Casu Fortuito Pendentibus” cı´m˝ u alapvet˝ o m˝ uve´r˝ ol, amely 1711-ben jelent meg a Philosophical Transactions-ben. A szerencseja ´te´kokra vonatkozo ´ valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si feladatok mellett ma ´r a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s fejl˝ ode´seńek legelejeń felle´ptek ma ´sfe´le valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si feladatok is: a

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


165

halando ´sa ´gi ta ´bla ´zatokkal e´s biztosı´ta ´ssal kapcsolatos valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s feladatok. Londonban a hala ´loza ´sokro ´l ma ´r 1592-t˝ ol kezdve pontos feljegyze´seket vezettek; John Graunt volt az els˝ o, aki 1662-ben ezen ta ´bla ´zatok alapja ń halando ´sa ´gi valo ´szıń˝ use´geket sza ´mı´tott ki az e´letkor fu ¨ ggveńye´ben. Ne´ha ńy e´vvel ke´s˝ obb Hollandia ´ban van Hudden e´s de Witt hasonlo ´ sza ´mı´ta ´sokat ve´geztek e´s alkalmazta ´k ezeket e´letja ´rade´kok kisza ´mı´ta ´sa ´ra: e ke´rde´st ke´s˝ obb (1693-ban) Halley ta ´rgyalta alaposabban. Nem bizonyı´thato ´, de igen ke´zenfekv˝ o az a felteve´s, hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´snak a halando ´sa ´gi o kapcsolata ´val ta ´bla ´zatokkal e´s a biztosı´ta ´ssal valo ´ ke´zenfekv˝ Pascal ma ´r tiszta ´ban volt: ennek megfelel˝ oen egy ilyen utala ´st (a hajo ´biztosı´ta ´ssal kapcsolatban) a 4. leve´lben megengedhet˝ onek tartottam. A valo ´szıń˝ use´g matematikai fogalma´ro ´l Mint minden fogalom a valo ´szıń˝ use´g matematikai fogalma is fokozatosan alakult ki. Pascal e´s Fermat leveleiben a valo ´´ rdekes, szıń˝ use´g fogalma explicit alakban nincs definia ´lva. E hogy Huyghens m˝ uve´ben az alapfogalom nem a valo ´szıń˝ use´g, hanem a nyerese´g va ´rhato ´ e´rte´ke. Huyghens a va ´rhato ´ e´re´ket a ko ¨vetkez˝ oke´ppen definia ´lja: Ha p esetben a o ¨sszeget nyerek, q esetben pedig b o ¨sszeget e´s az o ¨sszes esetek „egyforma ń lehetse´gesek”, u ´ gy nyerese´gem va ´rhato ´ e´rte´ke pa+qb J. Bernoulli „Ars Coniectandi”-ja ´ nak 4. re ´ sze ´ ben tap+q la ´lkozunk el˝ oszo ¨r a valo ´szıń˝ use´g „definıćio ´ja ´val”. Bernoulli szerint „a valo ´szıń˝ use´g a bizonyossa ´g foka e´s u ´ gy viszonylik a bizonyossa ´ghoz, mint a re´sz az ege´szhez”. Ezen inka ´bb filozo ´fiai, mint matematikai jelleg˝ u „definıćio ´” mellett szerepel Bernoulli-na ´l a valo ´szıń˝ use´g u ´ n. „klasszikus definıćio ´”ja is, amely szerint „egy esemeńy valo ´szıń˝ use´ge egyenl˝ o az esemeńyre ne´zve kedvez˝ o esetek sza ´ma ńak e´s az o ¨sszes esetek sza ´ma ńak ha ńyadosa ´val, felte´ve, hogy ezen esetek mind egyforma ń lehetse´gesek”. A valo ´szıń˝ use´g definıćio ´ja ńak ez a megfogalmaza ´sa Bernoulli-na ´l nem pontosan ´gy ı szerepel; a fenti fogalmaza ´s Laplace „Theórie analytique de la probabilite´” c. alapvet˝ o, a klasszikus valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s ered´bbi fejl˝ ode´snek nagy lo ¨ke´st ado ´ ¨sszegz˝ o e´s a tova meńyeit o

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

166


munka ´ja ´ban tala ´lhato ´. Ugyanez a definıćio ´ szerepel Laplace „Essai philosophique sur les probabilite´s” cı´m˝ u munka ´ja ´ban is, amely a valo ´szıń˝ use´g fogalma ´val kapcsolatos elvi ke´rde´seknek igen vila ´gos, re´szletes, gondolate´breszt˝ o e´s e´lvezetes kifejte´st tartalmazza. Ba ´r a valo ´szıń˝ use´g fent emlı´tett klasszikus definıćio ´ja Pascal valo ´di leveleiben explicite nem szerepel, u ´ gy hisszu ¨ k, nem anakronizmus, hogy e definıćio ´ a mi Pascal-leveleinkben el˝ ofordul, hiszen Pascal teńylegesen e definıćio ´t haszna ´lta de Me´re´ feladatainak megolda ´sa sora ń. Ez a definıćio ´ gyakorlati szempontbo ´l kiele´gı´t˝ o volt mindaddig amı´g a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s f˝ okeńt szerencseja ´te´kokra vonatkozo ´ elemi feladatokkal foglalkozott. Elvi szempontbo ´l azonban e definıćio ´ nem kiele´gı´t˝ o, annak ellene´re, hogy ma is helyta ´llo ´ az, amit Pascal a 2. leve´lben e definıćio ´ ve´delme´ben mond, ti., hogy e definıćio ´ csak la ´tszo ´lag tartalmaz circulus vitiosus-t. E definıćio ńak valo ´ban nem ez a hiba ´ja, hanem az, hogy nem is definıćio ´. Arra a ke´rde´sre, hogy mi is tulajdonke´ppen a valo ´szıń˝ use´g, e definıćio ´ nem ad va ´laszt, csak azt mondja meg, hogy a legegyszer˝ ubb esetekben hogyan lehet azt kisza ´mı´tani. A valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s els˝ o m˝ uvel˝ oi valo ´ja ´ban nem is te˝k inka kintette´k ma ´snak; a valo ´szıń˝ use´g definicıó ´ja ńak o ´bb Bernoulli fent ide´zett meghata ´roza ´sa ´t tekintette´k (mely szerint a valo ´szıń˝ use´g a „bizonyossa ´g foka”), vagy nem is igen e´rezte´k szu ¨ kse´ge´t egy forma ´lis definıćio ńak, mert a valo ´szıń˝ use´get olyan alapfogalomnak tartotta ´k, amelynek jelente´se evidens e´s nem szorul magyara ´zatra. Feladatukat csak ab´kna ´l kisza ´mı´tsa ´k az azokban la ´tta ´k, hogy konkre´t proble´ma ban szerepl˝ o esemeńyek valo ´szıń˝ use´ge´t. Figyelembe ve´ve a matematika akkori fejlettse´gi foka ´t, ezen nem is csoda ´lkozhatunk, hiszen pl. a XVIII. sza ´zadban a sza ´mfogalom, a fu ¨ ggveńy vagy a hata ´re´rte´k fogalma sem volt mai e´rtelemben igaza ń tiszta ´zott, de akkoriban ennek hia ńya ´t sem e´rezte´k. Gyo ¨keresen megva ´ltozott azonban a helyzet a XIX. sza ´zadban, amikor a matematika e´s a matematikai szabatossa ´g fogalma alapvet˝ o átalakula ´son ment keresztu ¨ l. Kialakult a matematika ´ra e´s annak a valo ´sa ´ghoz valo ´ viszonya ´ra vonat-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


167

kozo ´ mai felfoga ´s, mely szerint a matematika minden egyes fejezete´t axiomatikusan, rea ´lis ha ´ttere´t˝ ol elvonatkoztatva kell fele´pı´teni, mint o ¨nmaga ´ban za ´rt, logikailag ellentmonda ´smentes, absztrakt elme´letet, amelyben az alapfogalmakat nem kell e´s nem is lehet definia ´lni e´s azoknak semmilyen ma ´s tartalmat nem szabad tulajdonı´tani, mint ami az axioma íban implicite´ bennfoglaltatik. Az ily mo ´don axiomatikusan fele´pı´tett matematikai elme´letek a valo ´sa ´g leı´ra ´sa ´ra ma ´rmost u ´ gy haszna ´lhato ´k fel, hogy ezek a valo ´sa ´g bizonyos aspektusainak elvont modelljeikeńt szolga ´lhatnak. A matematika e modern felfoga ´sa ńak konzekvens keresztu ¨ lvitele alapvet˝ oen átforma ´lta maga ´t a matematika ´t e´s egy u ´ j rohamos fejl˝ ode´s kiindula ´si pontja úl szolga ´lt. a halmazelme´let, a valo ´s fu ¨ ggveńytan, a topolo ´gia, a modern algebra e´s a funkciona ´lanalı´zis le´trejo ¨tte´vel a matematikai logika kifejl˝ ode´se´vel a matematika arculata gyo ¨keresen megva ´ltozott. A matematika elvi ke´rde´seinek tiszta ´za ´sa hatalmas lendu ¨ letet adott a matematika felhaszna ´la ´sa ńak a terme´szet´rsadalomtudoma ńyokban egyara ńt. tudoma ńyokban e´s a ta Ebb˝ ol a nagyszaba ´su ´ átalakula ´sbo ´l e´s az ennek nyoma ń megindulo ´ fejl˝ ode´sb˝ ol a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s meglep˝ oen soka íg, ege´szen a XX. sza ´zad elejeíg kimaradt. Ba ´r a XIX. sza ´zadban Gauss, Laplace, Poisson, Csebisev, Markov, Bertrand, Poincare´ e´s sokan ma ´sok sza ´mos eredmeńnyel gyarapı´totta ´k a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´st e´s ugyanakkor a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s gyakorlati alkalmaza ´sai nagy jelent˝ ose´gre tettek szert a terme´szettudoma ńyokban, a ta ´rsadalomtudoma ńyokban e´s a gazdasa ´gi e´letben, a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s matematikai elme´leteńek elvi alapjai tereń leńyeges el˝ orehalada ´s nem to ¨rteńt. Ez az elmarada ´s ahhoz vezetett, hogy a XX. sza ´zad elejeń a ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´st nem is fogadta ¨me a valo matematikusok zo el a matematika szerves re´szeńek, egyenrangu ´ ága ńak, hanem a matematika e´s fizika, ill. a filozo ´fia ko ¨zo ¨tt ko ¨zbens˝ o helyet elfoglalo ´ e´s meglehet˝ osen ke´tes e´rte´k˝ u tudoma ńya ´gnak tekintette. Hilbert ma ´r 1900-ban felismerte e lemarada ´s ka ´ros volta ´t e´s eze´rt a matematika legaktua ´lisabb megoldatlan feladatainak általa o ¨sszea ´llı´tott hı´res lista ´ja ´ba felvette a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s axiomatikus megalapoza ´sa ńak – e´s ez-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

168


zel a matematika XX. sza ´zadbeli szıńvonala ´ra valo ´ felemele´seńek – proble´ma ´ja ´t. E feladat megolda ´sa ´ra az els˝ o jelent˝ os kı´se´rlet R. v. Mises tette meg 1919-ben (la ´sd [15]). Ba ´r az általa javasolt fele´pı´te´s nem bizonyult ce´lravezet˝ onek e´s ma ma ´r inka ´bb csak to ¨rteńeti jelent˝ ose´ge van, az általa kiva ´ltott vita ´k sza ´mos matematikus e´rdekl˝ ode´se´t keltette´k fel a proble´ma ira ńt. A valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´snak a modern matematika szelleme´ben valo ´ szabatos, axiomatikus megalapoza ´sa ´t kiele´gı´t˝ oen els˝ onek A. N. Kolmogorov (la ´sd [16]) oldotta meg1 1933-ban. A valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s Kolmogorov-fe´le axiomatikus elme´lete´ben a ve´letlen esemeńyeket halmazok reprezenta ´lja ´k e´s a valo ´szıń˝ use´g egyszer˝ uen egy e halmazokon e´rtelmezett norma ´lt me´rte´k. Kolmogorov elme´lete´ben a va ´rhato ´ e´rte´k mint (absztrakt) Lebesgue-fe´le integra ´l van e´rtelmezve. Aza ´ltal, hogy Kolmogorov a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´st a halmazelme´let, ill. a me´rte´kelme´let alapjaira helyezte, egy csapa ´sra nemcsak a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s logikailag kiele´gı´t˝ o megalapoza ´sa ´t adta meg, hanem azt bekapcsolta a modern fejlett a ve´rkeringe´se´be e´s lehet˝ ove´ tette a matematika fejlett modern ágainak felhaszna ´la ´sa ´t a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´sban. Kolmogoń ro ¨viderov elme´lete, egyszer˝ use´ge e´s emlı´tett el˝ onyei folyta sen általa ńosan elfogadotta ´ va ´lt e´s az elmu ´ lt 30 e´vben a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si kutata ´sok szila ´rd alapja úl szolga ´lt.2 Az alapok tiszta ´za ´sa ugra ´sszer˝ uen fejl˝ ode´st tett lehet˝ ove´ mind a valo ´szıń˝ use´g matematikai elme´lete´ben, mind pedig az elme´let alkalmaza ´sai tereń. A valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s azo ´ta rohamos le´ptekkel halad el˝ ore e´s egyre sze´lesebb teru ¨ leten keru ¨l eredmeńyes felhaszna ´la ´sra.

1 Kolmogorov elme ´lete, mint minden tudoma ńyos felfedeze´s, sza ´mos el˝ ozmeńyre ta ´maszkodott. Kolmogorov elme´leteńek el˝ ozmeńyeit la ´sd [17]-ben. 2 Bizonyos fizkai, statisztikai e ´s ma ´s alkalmaza ´sokkal kapcsolatos proble´ma ´k szu ¨ kse´gesse´ tette´k a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s Kolmogorov fe´le elme´leteńek bizonyos ira ńyu ´ általa ńosı´ta ´sa ´t, az u ´ n. felte´teles valo ´szıń˝ use´gi mez˝ ok fogalma ńak bevezete´se´t (la ´sd [18]); ez az elme´let azonban nem jelent elte´re´st a Kolmogorov-fe´le elme´lett˝ ol, hanem annak logikus tova ´bbfejleszte´seńek tekintethet˝ o, melynek alapgondolata ´t maga Kolmogorov vetette fel els˝ onek, ba ´r azt nem dolgozta ki.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


169

Me´g egy leve´l az olvaso ´hoz Kedves Olvaso ´! ´ tolvasva el˝ ¨ nho A oz˝ oO ¨z ´rt ı levelemet la ´tom, hogy az kiege´szı´te´sre szorul. Csak azt mondtam el, hogy mie´rt va ´lasztottam a fiktı´v Pascal-levelek forma ´ja ´t mondanivalo ´m ko ¨zle´se´re, de nem szo ´ltam arro ´l, hogy tulajdonke´ppen mi is vezetett arra, hogy e ke´rde´sekr˝ ol ´rjak. ı E levelemmel ezt a hia ńyt igyekeztem po ´tolni. A 4. fu ¨ ggele´kben ra ´mutattam arra, hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s matematikai elme´lete´t illet˝ oen ma leńyege´ben egyete´rte´s uralkodik a hozza é´rt˝ o matematikusok ko ¨zo ¨tt. Nem mondhato ´ ez el azonban a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s elvi ke´rde´seir˝ ol. E ke´rde´sek a valo ´szıń˝ use´g fogalma ńak a valo ´sa ´ghoz use´gsza ´mı´ta ´s te´teleinek alkalmazvalo ´ viszonya ´ra, a valo ´szıń˝ hato ´sa ´ga ´ra, interprenta ńcio ´ja ´ra vonatkoznak; ezek teha ´t tulajdonke´ppen nem is matematikai proble´ma ´k, hanem inka ´bb filozo ´fiai, ismeretelme´leti jelleg˝ uek, e´s ´gy ı nem meglep˝ o, hogy e ke´rde´sek ma is vita ta ´rgya ´t ke´pezik. Aki a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´st alaposan el akarja saja ´tı´tani, aki a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s eredmeńyeit ba ´rmely teru ¨ leteń sikerrel alkalmazni kı´va ńja, de me´g az is, aki csak mege´rteni akarja, hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s mire haszna ´lhato ´ e´s mit nyu ´ jthat a kutato ńak vagy a gyakorlati embernek, elkeru ¨ lhetetlenu ¨ l szembekeru ¨ l e ke´rde´sekkel. ¨nbo ¨z˝ o el˝ oA valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o fokon, ku ¨ lo u e´s e´rdekl˝ ode´s˝ u hallgato ´sa ´gnak valo ´ tanı´ta ´sa soke´pzettse´g˝ ra ń, valamint a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s alkalmaza ´saival valo ´ foglalkoza ´s sora ń egyara ńt azt tapasztaltam, hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s matematikai elme´lete´ben valo ´ elme´lyede´shez e´s annak eredmeńyes felhaszna ´la ´sa ´hoz nem elegend˝ o (ba ´r persze ne´lku ¨ lo ¨zhetetlen) a matematikai elme´let a ce´lnak megfelel˝ o me´rte´kben valo ´ mege´rte´se e´s megtanula ´sa: emellett szu ¨ kse´ges a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s saja ´tos gondolkoda ´smo ´dja ńak elsaja ´tı´ta ´sa is. ´smo ´d elsaja ´tı´ta ´sa ´hoz ´mı´ta ´s gondolkoda A valo ´szıń˝ use´gsza ke´t dolog szu ¨ kse´ges: a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s konkre´t alkalmaza ´saival valo ´ ko ¨zelebbi megismerkede´s, valamint a valo ´szıń˝ use´g fogalma ´val kapcsolatos elvi ke´rde´sek alapos meg-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

170


e´rte´se. Ez uto ´bbi ce´l ele´re´se´hez kı´va ń segı´tse´get nyu ´ jtani e ko ¨tet. Azok az elemi valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si ismeretek, amelyek ne´lku ¨ l e ke´rde´sek meg sem e´rthet˝ ok, magukban a levelekben megtala ´lhato ´k. Reme´lem eze´rt, hogy e levelek akkor is e´rthe¨ n sza t˝ oek voltak az O ´ma ´ra, ha a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´ssal el˝ oz˝ oleg nem foglalkozott volna; o ¨ru ¨ lne´k azonban, ha e ko ¨nyv olvasa ´sa ko ¨zben kedvet kapott volna ahhoz, hogy a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´ssal alaposabban is megismerkedje´k. Ba ´r az e ko ¨tetben ta ´rgyalt ke´rde´sek ku ¨ lo ¨no ¨sebb matematikai el˝ oismeretek ne´lku ¨ l is mege´rthet˝ ok, ez ta ´volro ´l sem jelenti azt, hogy e ke´rde´sek egyszer˝ uek: nehe´zse´gu ¨ k azonban inka ´bb logikai, mint matematikai jelleg˝ u, hiszen e ke´rde´sek ma ´r a legelemibb valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´si feladatokkal kapcsolatban is felvethe´ ppen eze´rt nem indokolatlan az a felteve´s hogy e ke´rt˝ ok. E de´seket ma ´r Pascal e´s Fermat is felvetette´k, e´s igyekeztek is azokra va ´laszt adni maguknak. Eze´rt nem tekinthet˝ o anakronizmusnak, hogy az e ko ¨tetben ko ¨zo ¨lt levelekben Pascal álla ´st foglal mindezekben a ke´rde´sekben. A szo ´ban forgo ´ ke´rde´sek – mint mondottam – ismeretelme´leti jelleg˝ uek, e´s a tudoma ńyos megismere´s alapvet˝ o elvi proble´ma íval fu ¨ ggnek o ¨ssze. Mi sem áll ta ´volabb t˝ olem kedves Olvaso ´, minthogy azt higgyem, hogy e levelekkel ezeket az e´vsza ´zadok o ´ta vitatott ke´rde´seket ve´ge´rveńyesen leza ´rtam volna. Ce´lom enne´l sokkal szereńyebb volt: e ke´rde´sek ko ¨ze´rthet˝ o expona ´la ´sa. Ennek sora ń azonban szu ¨ kse´gke´p¨no ¨sen vonatpen kifejeze´sre jutott saja ´t ve´lemeńyem is. Ku ¨ lo kozik ez a 4. leve´lre. Azt a felfoga ´st, amelyet a vita ´ban Miton ke´pvisel, el˝ oszo ¨r de Morgan fogalmazta meg, 1847-ben. Szerinte egy ve´letlen esemeńy valo ´szıń˝ use´ge´re vonatkozo ´ mega ´llapı´ta ´s mindig szubjektı´v, fu ¨ gg annak a szeme´lye´t˝ ol, aki e mega ´llapı´ta ´st teszi, e´s azt fejezi ki, hogy milyen me´rte´kben sza ´mı´t az illet˝ o szo ´banforgo ´ esemeńy beko ¨vetkeztete´se´re, teha ´t az illet˝ o meggy˝ oz˝ ode´seńek me´rte´ksza ´ma. Ba ´r ma a valo ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´ssal foglalkozo ´ matematikusok to ¨bbse´ge a valo ´szıń˝ use´gnek objektı´v jelente´st tulajdonı´t, to ¨bb neves matematikus ma is valo ´szıń˝ use´g szubjektivita ´sa ńak hı´ve. (La ´sd. pl. [19]-[20]

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó


171

valamint a [21] cikkgy˝ ujtemeńyt.) Azt hiszem nem kell ku ¨¨ n ezt amu lo ¨n hangsu ´ lyoznom, mert O ´ gy is e´szrevette, hogy e ke´rde´sben eń Pascallal e´rtek egyet. ¨ n a szo Ha O ´ban forgo ´ ke´rde´sekkel alaposabban kı´va ń foglalkozni e´s a valo ´szıń˝ use´g fogalma ´ra vonatkozo ´ ku ¨ lo ¨nbo ¨z˝ o álla ´spontokat re´szletesebben meg kı´va ńja ismerni, figyelme´be aja ńlom a ke´rde´s kiterjedt irodalma ´bo ´l a ma ´r emlı´tetteken kı´vu ¨ l az irodalomjegyze´kben [22]-[27] alatt felsorolt munka ´kat. Befejeze´su ¨ l me´g csak annyit, hogy a valo ´szıń˝ use´g fogalma ´val kapcsolatos elvi ke´rde´sek szorosan o ¨sszefu ¨ ggenek a matematikai statisztika e´s az informa ćio élme´let bizonyos alapvet˝ o ke´rde´seivel. (I´gy pe´lda úl a valo ´szıń˝ use´g objektı´v vagy szubjektı´v volta ´ra vonatkozo ´ vita ´ban ko ¨zponti szerepet ja ´tszik az ´dszer ke´rde´se.) Az adott keretek nem tetu ´ n. Bayes-fe´le mo te´k lehet˝ ove´, hogy e ko ¨tetben ezekre a ke´rde´sekre is kite´rjek. ¨ nnek. Tala ń egy ma ´s alkalommal ezekr˝ ol is ´rok ı O Addig is minden jo ´t kı´va ń ˝szinte hı´ve o Reńyi Alfre´d

Irodalom [1] B. P ASCAL, Oeuvres Completes, Bibliotheque de la Pleiade (J. Chevalier jegyzeteivel), Gallimard, Paris, 1954. [2] J. M ESNARD, Pascal, Hatier, Paris, 1951. [3] A. B E´ GUIN, Blaise Pascal in Selbstzeugnissen und Bilddokumenten, Rowohlt, 1959. ´s), Bibliotheca, Buda[4] M ONTAIGNE, Essze´k (ford. Bajcsa Andra pest, 1957. [5] K. G. H AGSTROEM, Les pre´ludes antiques de la theorie des probalite´s, Stockholm, C. E. Fritzes K. Hovbokhandel, 1942. ol (ford. To ´th Be´la), Alfo ¨ldi Magvet˝ o, [6] L UCRETIUS, A terme´szetr˝ Debrecen, 1957. Egyes re´szletek Lucretius m˝ uve´b˝ ol megjelentek Meller Pe´ter fordı´ta ´sa ´ban a Vila ´girodalmi Antolo ´gia (Tanko ¨nykiado ´ Bp. 1952) I, ko ¨tete´ben (Szerkesztettek Szila ´gyi Ja ńos Gyo ¨rgy e´s Trencseńyi-Waldapfel Imre) 520-535. o. ¨ sszes m˝ ´ N, O uvei, Magyar Filozo ´fiai Ta ´rsasa ´g, Budapest, [7] P LATO 1943. [8] R. D ESCARTES (Auswahl und Einleitung von I. Frenzel), Fischer Bu ¨ cherei, Frankfurt a. M. 1960.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

172


[9] C ICERO, Tusculanae disputationes, V. 38. ´gusok a matematika ´ro ´l (2. kiada ´s), Akade´miai [10] R E´ NYI A., Dialo Kiado ´, Budapest, 1966. [11] T H . W ILDER, The Ides of March. ńy 8/1964, [12] R E´ NYI A., Blaise Pascal, 1623-1662, Magyar Tudoma 102-108. [13] I. T ODHUNTER, History of the theory of probalbility from Pascal to Laplace, MacMillan, London, 1865. ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´sbo ´l Aka[14] J ORDAN K., Fejezetek a klasszikus valo de´miai Kiado ´, Budapest, 1956. [15] R. V . M ISES, Wahrscheinkichkeit, Statistik und Wahrheit, Wien. 1928. [16] A. N. K OLMOGOROFF, Grundbegriffe der Wahrscheinkichkeitsrenhnunk, Springer, Berlin, 1933. ´szıń˝ use´gsza ´mı´ta ´s (2. átdolgozott kiada ´s), Tan[17] R E´ NYI A., Valo ko ¨nykiado ´, Budapest, 1966. [18] A. R E´ NYI, A new axiomatic theory of probalbility, Acta Sci. Math. Acad. Sci. Hung., 1965. [19] B. DE F INETTI, La pre´vision: ses lois logiques, ses sources subjectives, Annales de l’Institut H. Poincar;, Paris, 7 (1937). [20] L. J. S AVAGE, The Foundations of Statistics, Wiley, New York, 1954 [21] Studies in Subjective Probability (Kiadta ´k H. E. Kyburg e´s H. E. Smokler), Wiley, New York, 1964. [22] R. C ARNAP, Logical Foundations of Probability, University of ChicagoPress, 1950. ´ . B OREL, Probabilite´ et certitude, Presses Universitaires de [23] E France, Paris, 1956. [24] I. J. G OOD, Probability and the Weighing of Evidence, Griffin, London, 1950. [25] A. N. K OLMOGOROFF, Verojatnoszty, Bolsaja Szovjetszkaja Enciklopedija, 7. ko ¨tet, Moszkva, 1951. [26] Theórie des probabilite´s, Exposes sur ses fondements et ses applications, Gauthier-Villars, Paris, 1952. ¨tet, Pat[27] G. P OLYA, Mathematics and Plausible Reasoning, II. ko terns of Plausible Inference, Princeton University Press, Princeton, 1954. [28] F. N. D AVID, Games, Gods and Gambling (The origins and history of probability and statistical ideas from the earliest times to the Newtonian era), Griffin, London, 1962. [29] Oeuvres de Fermat, Vol. 2, (kiadta ´k P. Tannery e´s C. Henry) Gauthier-Villars, Paris 1894.

www.interkonyv.hu


Uram! Ön talán már el is felejtette azt a beszélgetést, amelyet június 9-én folytattunk a Clermont-Ferrandban, Pascal halálának

Recommend Documents