untuk i = 0, 1, 2,..., n

RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi 𝑓 dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi polynomial Lagrange Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ 𝑛 𝑛

𝑓(𝑥) = 𝑝𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑖 𝑙𝑖 (𝑥) 𝑖=0

Di mana 𝑎𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑙𝑖 (𝑥) =

(𝑥−𝑥𝑗 ) ∏𝑛𝑗=0 (𝑥𝑖 −𝑥𝑗 ) 𝑗≠𝑖

untuk 𝑖 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛

Suatu polinomial P(t) derajat n-1 yang unik dapat dikonstruksi yang melalui n titik t yang berbeda. Interpolasi Polinomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑃3 (𝑥3 , 𝑦3 ), . . . , 𝑃𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1; 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 Interpolasi dari dua buah titik (𝑥0 , 𝑦0 )dan (𝑥1 , 𝑦1 ) akan menghasilkan polynomial berderajat 1 (interpolasi linear), yaitu: (𝑥 − 𝑥1 ) (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑃1 (𝑥) = 𝑦0 + 𝑦 (𝑥0 − 𝑥1 ) (𝑥1 − 𝑥0 ) 1 (𝑥1 − 𝑥)𝑦0 + (𝑥 − 𝑥0 )𝑦1 = (𝑥1 − 𝑥0 ) Contoh : Dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), diberikan tiga buah titik data dalam bentuk tabel: x 1 4 6 Y 1.5709 1.5727 1.5751 Tentukan 𝑓(3,5) dengan polinom Lagrange derajat 2. Gunakan lima angka bena. Penyelesaian: Polinom derajat 2  n = 2 (perlu tiga buah titik) 𝑝2 (𝑥) = 𝑙0 (𝑥)𝑦0 + 𝑙1 (𝑥)𝑦1 + 𝑙2 (𝑥)𝑦2 (𝑥−4)(𝑥−6)

𝑙0 (𝑥) = (1−4)(1−6)  𝑙1 (𝑥) = 𝑙2 (𝑥) =

(𝑥−1)(𝑥−6) (4−1)(4−6) (𝑥−1)(𝑥−4) (6−1)(6−4)

𝑙0 (3.5) =



𝑙1 (3.5) =



𝑙2 (3.5) =

(3.5−4)(3.5−6) = (1−4)(1−6) (3.5−1)(3.5−6) = (4−1)(4−6) (3.5−1)(3.5−4) = (6−1)(6−4)

0.083333 1.0417 −0.12500

Jadi, 𝑝2 (3.5) = (0.083333)(1.5709)+(1.0417)(1.5727)+(−0.12500)(1.5751) = 1.5723 b. Interpolasi Polinomial Newton Diketahui n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn); (yi = f(xi), i=1,2,…,n) akan ditentukan pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut. pn(x) = a0 + a1(x- x0) + a2(x- x0)(x- x1) + … + an(x- x0)(x- x1)…(x- xn-1) Interpolasi polinom Newton dapat ditulis: 𝑛

𝑖−1

𝑝𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑎𝑖 ∏(𝑥 − 𝑥𝑗 ) 𝑖=0

Koefisien an dikonstruksi menggunakan beda bagi:

𝑗=0

𝑎𝑛 = 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] Dengan notasi yang baru, interpolasi polinom bentuk Newton dapat dituliskan dalam bentuk: 𝑛

𝑖−1

𝑝𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] ∏(𝑥 − 𝑥𝑗 ) 𝑖=0

Secara umum:

ak 

𝑗=0 k 1

i 1

i 0 k 1

j 0

f ( xk )   ai  ( xk  x j )

 (x

k

 xj)

j 0

i 1

k 1

f [ x0 , x1 ,..., xk ] 

f ( xk )   f [ x0 , x1 ,..., xi ] ( xk  x j ) i 0

j 0

k 1

 (x j 0

k

 xj )

Contoh Interpolasi Polynomial Newton Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi 𝒍𝒏 𝑥) Ditanya: Perkirakan 𝒍𝒏 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 p3(x) = a0 + a1(x- x0) + a2(x- x0)(x- x1)+ a3(x- x0)(x- x1)(x- x2)

f x1 , x0   f x2 , x1  

1.386294  0  0.462 4 1

1.791759  1.386294  0.203 64

f x3 , x2  

1.609438  1.791759  0.182 56

0.203  0.462  0.052 6 1 0.182  0.203 f x3 , x2 , x1    0.020 54

f x2 , x1 , x0  

f x3 , x 2 , x1 , x 0  

0.020  (0.052)  0.008 5 1

p3(x) = 0+ 0.465(x-1)-0.053(x-1)(x-4)+0.008(x-1)(x-4)(x-6) Sehingga didapatkan nilai p3(2) = 0.629

c. Vandermonde Matrix Bentuk umum dari polinomial yang menginterpolasi n+1 titik adalah 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 Sistem persamaan linear:

⃗: ⃗ =𝒃 Bentuk matriks persamaan linear 𝑽. 𝒂

Contoh : Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde. Jawab: Akan dilakukan dengan pembentukan Sistem Vandermonde sebagai berikut:

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

Maka diperoleh persamaan linear dari matriks di atas adalah 𝒂𝟎 − 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 = 𝟎 ⟺ 𝒂𝟎 = 𝟎 − 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 = 𝟎 ⟺ 𝒂𝟏 = −𝟏 𝒂𝟐 = 𝟎 𝒂𝟑 = 𝟏 Sehingga polinomialnya berbentuk : 𝑷(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 𝒙𝟑  𝑷(𝒙) = − 𝒙+𝒙𝟑

d. Interpolasi Invers Sebuah proses inverse interpolation sering digunakan untuk menghampiri suatu invers fungsi. Seandainya nilai 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ) telah dihitung pada 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Menggunakan table berikut

bentuk polinomial interpolasi

𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ) memiliki invers pada kondisi tertentu. Invers tersebut dihampiri oleh 𝑥 = 𝑝(𝑦). Contoh: Tentukan polinomial invers interpolasi dari data berikut:

Penyelesaian: 𝑃(𝑦) = 0.2504𝑦 4 + 1.2156𝑦 3 + 3.6940𝑦 2 + 7.3892y + 4.2475 e. Interpolasi Neville  Misal 𝑃0 (𝑥) adalah nilai di titik x dari persamaan polynomial orde nol (konstan) yang melalui titik (𝑥0 , 𝑦0 ), sehingga 𝑃0 (𝑥)= 𝑦0 . Demikian juga 𝑃1 (𝑥), 𝑃2 (𝑥), … 𝑃𝑛 (𝑥) yang melalui (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ), . . . (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ). Selanjutnya misal 𝑃0,1 (𝑥) adalah nilai di x dari persamaan orde satu yang melalui titik (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝑑𝑎𝑛 (𝑥1 , 𝑦1 ).  Dengan cara yang sama 𝑃𝑎,𝑏,…,𝑠 (𝑥) adalah nilai di x yang melalui titik (𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 ), (𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 ), . . . (𝑥𝑠 , 𝑦𝑠 ) seluruh s titik. Dimulai dengan polinomial konstan 𝑃𝑖 (𝑥)= 𝑓(𝑥𝑖 ). Dengan memilih 𝑥𝑖 dan 𝑥𝑖+𝑚 , 𝑖 > 𝑖 + 𝑚, didefinisikan fungsi rekursif: 𝑥−𝑥𝑖+𝑚 𝑥 −𝑥  𝑃𝑖,𝑖+1,…,𝑖+𝑚 (𝑥) = 𝑃𝑖,𝑖+1,…,𝑖+(𝑚−1) (𝑥) + 𝑖 𝑃𝑖+1,𝑖+2. . .,𝑖+𝑚 (𝑥) 𝑥𝑖 −𝑥𝑖+𝑚

=

𝑥𝑖 −𝑥𝑖+𝑚

(𝑥 − 𝑥𝑖 )𝑃𝑖+1,𝑖+2. . .,𝑖+𝑚 (𝑥) − (𝑥 − 𝑥𝑖+𝑚 )𝑃𝑖,𝑖+1,…,𝑖+(𝑚−1) (𝑥) 𝑥𝑖+𝑚 − 𝑥𝑖

diperoleh untuk n = 4 𝑥1

𝑥0 𝑃0 (𝑥) 𝑃1 (𝑥) 𝑃0,1 (𝑥)

𝑥2 𝑃2 (𝑥) 𝑃1,2 (𝑥) 𝑃0,1,2 (𝑥) 𝑥3 𝑃3 (𝑥) 𝑃2,3 (𝑥) 𝑃1,2,3 (𝑥) 𝑃0,1,2,3 (𝑥) 𝑥4 𝑃4 (𝑥) 𝑃3,4 (𝑥) 𝑃2,3,4 (𝑥) 𝑃1,2,3,4 (𝑥) 𝑃0,1,2,3,4 (𝑥) Selanjutnya dilakukan peyederhanaan notasi 𝑆𝑖𝑗 (𝑥) = 𝑃𝑖−𝑗,𝑖−𝑗+1, . . ., 𝑖−1,𝑖 (𝑥) Dimana 𝑆𝑖𝑗 (𝑥), untuk i ≥ 𝑗 menunjukkan polinomial interpolasi derajat pada j+1 node 𝑥𝑖−𝑗 , 𝑥𝑖−𝑗+1 , . . . , 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 .

𝑥 − 𝑥𝑖−𝑗 𝑥𝑖 − 𝑥 (𝑥) ) 𝑆𝑖,𝑗−1 (𝑥) + ( )𝑆 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−𝑗 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−𝑗 𝑖−1,𝑗−1 (𝑥 − 𝑥𝑖 )𝑆𝑖−1,𝑗−1 (𝑥) − (𝑥 − 𝑥𝑖−𝑗 )𝑆𝑖,𝑗−1 (𝑥) = 𝑥𝑖−𝑗 − 𝑥𝑖

𝑆𝑖𝑗 (𝑥) = (

Diperoleh

1

Diberikan fungsi: 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝒊

𝒙𝒊

𝒇(𝒙𝒊 )

0

2

0,5

1

2,5

0,4

2

4

0,25

Kita akan mengaproksimasikan nilai 𝑓(3) 𝑓(3) ≈ 𝑆00 (3) = 𝑓(𝑥0 ) = 0.5 𝑓(3) ≈ 𝑆10 (3) = 𝑓(𝑥1 ) = 0.4 𝑓(3) ≈ 𝑆20 (3) = 𝑓(𝑥2 ) = 0.25 Dengan menggunakan rumus Neville kita akan menentukan nilai 𝑆11 dan 𝑆21 (3 − 𝑥1 )𝑆00 (3) − (3 − 𝑥0 )𝑆10 (3) 𝑓(3) ≈ 𝑆11 (3) = 𝑥0 − 𝑥1 = 𝑓(3) ≈ 𝑆21 (3) = =

(3−2,5)0,5−(3−2)0,4 2−2,5

= 0,3

(3 − 𝑥2 )𝑆10 (3) − (3 − 𝑥1 )𝑆20 (3) 𝑥1 − 𝑥2 (3−4)0,4 −(3−2,5)0,25 2,5−4

= 0,35

Selanjutnya hasil yang kita peroleh, kita masukan ke dalam tabel berikut: 𝒊

𝒙𝒊

𝑺𝒊𝟎

𝑺𝒊𝟏

0

2

0,5

1

2,5

0,4

0,3

2

4

0,25

0,35

Selanjutnya kita dapat menghitung 𝑆22 dengan menggunakan 𝑆11 𝑑𝑎𝑛 𝑆21 (3 − 𝑥2 )𝑆10 (3) − (3 − 𝑥0 )𝑆21 (3) 𝑓(3) ≈ 𝑆22 (3) = 𝑥0 − 𝑥2 =

(3−4)0,3−(3−2)0,35 2− 4

= 0.325

Dengan demikian nilai hampiran 𝑓(3)menggunakan rumus Neville derajat 2 adalah 0,325 Contoh 2 Diberikan nilai 𝑥𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥𝑖 ), seperti yang ditampilkan pada tabel berikut:

Dengan menggunakan formula Neville, tentukan nilai 𝑓(1.5)! Penyelesaian: Misalkan 𝑥0 = 1.0, 𝑥1 = 1.3, 𝑥2 = 1.6, 𝑥3 = 1.9, 𝑑𝑎𝑛 𝑥4 = 2.2. Serta 𝑆00 (1.5) ≈ 𝑓(1.0), 𝑆10 (1.5) ≈ 𝑓(1.3), 𝑆20 (1.5) ≈ 𝑓(1.6), 𝑆30 (1.5) ≈ 𝑓(1.9), 𝑆40 (1.5) ≈ 𝑓(2.2). Kita akan mencoba untuk menentukan nilai hampiran dari 𝑓(1.5) sebagai berikut: (1.5 − 𝑥1 )𝑆00 (1.5) − (1.5 − 𝑥0 )𝑆10 (1.5) 𝑓(1.5) ≈ 𝑆11 (1.5) = 𝑥0 − 𝑥1 =

(1.5−1.3)(0.7651977)−(1.5−1.0)(0.6200860) 1.0−1.3

= 0.5233449

Demikian pula: 𝑓(1.5) ≈ 𝑆21 (1.5)=

(1.5−1.6)(0.600860)−(1.5−1.3)(0.4554022) 1.3−1.6

= 0.5102968

Dengan cara yang sama untuk mendapatkan polynomial yang lebih tinggi derajatnya: 𝑓(1.5) ≈ 𝑆31 (1.5) = 0.5132634 𝑓(1.5) ≈ 𝑆41 (1.5) = 0.5104270 𝑓(1.5) ≈ 𝑆22 (1.5) = 0.5124715 𝑓(1.5) ≈ 𝑆32 (1.5) = 0.5112857 𝑓(1.5) ≈ 𝑆42 (1.5) = 0.5137361 Untuk derajat yang lebih tinggi, ditampilkan pada tabel berikut: 𝒊

𝒙𝒊

𝑺𝒊𝟎

𝑺𝒊𝟏

𝑺𝒊𝟐

𝑺𝒊𝟑

0

1.0

0.7651977

1

1.3

0.6200860

0.5233449

2

1.6

0.4554022

0.5102968

0.5124715

3

1.9

0.2818186

0.5132634

0.5112857

0.5118127

4

2.2

0.1103623

0.5104270

0.5137361

0.5118302

𝑺𝒊𝟒

0.5118200

Jika nilai hampiran 𝑆44 tidak cukup akurat maka titik lain 𝑥5 dapat ditambahkan ke dalam tabel 𝑥5 , 𝑆50 , 𝑆51 , 𝑆52 , 𝑆53 , 𝑆54 , 𝑆55 . Dengan demikian semakin tinggi derajat yang digunakan, maka nilai hampiran yan diperoleh akan semakin akurat. 2. Galat Interpolasi 3. Turunan Numerik 4. Ekstrapolasi Richardson

Galat Interpolasi Teorema Galat Interpolasi Teorema I Jika p adalah polinomial berderajat tertinggi n yang menginterpolasi f pada n+1 titik yaitu x0 , x1 , … , xn ϵ[a, b] dan jika f (n+1) kontinu,maka ∀xϵ[a, b], n 1 (n+1) f(x) − pn (x) = f (c) ∏(x − xi ) (n + 1)! i=0

Galat Rata-rata Interpolasi x +x Karena nilai c tidak diketahui, maka hampiri dengan c = xt = 0 2 n sehingga rumus menjadi n

1 f(x) − pn (x) = f (n+1) (xt ) ∏(x − xi ) (n + 1)! i=0

Lemma Lemma I Definisikan xi = a + ih untuk i=0, 1, …, n, maka untuk suatu xϵ[a, b], n 1 ∏ |x − xi | ≤ hn+1 n! 4 i=0

dengan h=(b-a)/n adalah jarak antar titik.

Teorema II Misalkan f fungsi yang memenuhi f (n+1) kontinu pada [a,b] dan |f (n+1) (x)| ≤ M. Misalkan p adalah polinomial berderajat ≤n yang menginterpolasi f pada n+1 titik di [a, b] termasuk titik akhirnya ,maka di [a, b],

|f(x) − pn (x)| ≤

1 Mh(n+1) 4(n + 1)

dengan h=(b-a)/n adalah jarak antartitik. Keterangan : M = max |f (n+1) (c)| x0 ≤c≤xn

Contoh Soal : Diberikan empat buah titik berikut, hampiri nilai cos(1.5) dengan metode Lagrange dan Newton sampai derajat 3 serta identifikasi galatnya.

• • • •

Nilai sejati cos(1.5)=0.071339183 Dari metode Lagrange diperoleh cos(1.5)≈ 0.069211999 Dari metode Polinomial Newton diperoleh cos(1.5)≈ 0.069212000 Batas atas kesalahan yaitu

• • •

1 4 . 1 . 1 = 0.0416667 24 Galat absolut Lagrange = 0.002127184199 < |E3 (x)| Galat absolut Newton = 0.002127183199 < |E3 (x)| Sehingga polinomial derajat 3 sudah cukup teliti untuk menghampiri nilai cos(1.5) |E3 (x)| ≤

Teorema III

Jika p adalah polinomial berderajat n yang menginterpolasi f pada titik x0 , x1 , … , xn ϵ[a, b] maka untuk suatu x bukan titik interpolasi, n

f(x) − pn (x) = f[x0 , x1 , … , xn , x] ∏(x − xi ) i=0

Dengan f[x0 , x1 , … , xn , x] disebut selisih terbagi yang digunakan dalam interpolasi polinom Newton, sehingga teorema III dapat digunakan untuk mencari galat polinom Newton

Teorema IV Jika f (n) kontinu pada [a,b] dan x0 , x1 , … , xn adalah n+1 titik yang berada di interval [a,b], maka untuk c di (a,b), 1 f[x0 , x1 , … , xn ] = f (n) (c) n! Corollary I (Selisih Terbagi) Jika f adalah polinomial berderajat n, maka semua selisih terbagi f[x0 , x1 , … , xi ] adalah nol untuk i ≥ n + 1

Contoh soal Polinom derajat berapa yang paling dekat hampirannya dari fungsi yang diketahui titiktitiknya sbb (gunakan metode interpolasi polinom Newton)

Penyelesaian : Diperoleh tabel selisih terbagi ,

Karena pada orde ke empat selisih terbagi menghasilkan semua nilai nol (corollary I), maka data tersebut dapat direpresentasikan oleh polinomial derajat tiga.

Galat Lain dalam Interpolasi Polinomial Fungsi Runge f(x) = (1 + x 2 )−1 pada interval [-5,5] Misalkan pn polinomial yang menginterpolasi fungsi ini pada n+1 titik pada interval [-5,5] maka, lim max |f(x) − pn (x) | = ∞ n→∞ −5≤x≤5

Akibatnya, semakin banyak titik interpolasi maka semakin besar galatnya.

Pilihan lain yang lebih baik yaitu dengan menggunakan titik Chebyshev dengan interval standar [-1,1], 2i + 1 xi = cos [( ) π] (0 ≤ i ≤ n) 2n + 2 Untuk titik yang berada di suatu interval [a,b], menjadi 1 1 2i + 1 xi = (a + b) + (b − a) cos [( ) π] 2 2 2n + 2

(0 ≤ i ≤ n)

Interpolasi polinomial dengan titik Chebyshev menghampiri fungsi Runge lebih baik dibanding dengan interpolasi polinomial dengan titik data.

Turunan Numerik 1. Proses mencari hampiran nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan pada suatu titik. 2. Biasanya digunakan ketika :  Fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, hanya diketahui data empirisnya saja, yaitu {(xi , yi ); i = 0, 1, 2, … , n}, 

Fungsi f(x) diketahui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit.

PENDEKATAN TURUNAN NUMERIK  Hampiran selisih maju (beda maju)  Hampiran selisih mundur (beda mundur)  Hampiran selisih pusat (beda pusat) Rumus untuk ketiga hampiran diatas diperoleh dari ekspansi deret Taylor di sekitar x = x0 : f ′′ (x0 ) ′ (x )(x ) ) f(x) = f(x0 + f 0 − x0 + (x − x0 )2 + ⋯ 2!

Hampiran Selisih Maju Misalkan x = x0 + h, maka didapatkan : f(x0 + h) = f(x0 ) + f

′ (x

f ′′ (x0 ) 2 h +⋯ 0 )h + 2!

Rumus selisih maju untuk turunan pertama : f(x0 + h) − f(x0 ) f ′′ (x0 ) f ′ (x0 ) = − h−⋯ h 2! f(x0 + h) − f(x0 ) ≈ h Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.

y y0

h

y = f(x) x0

x

Rumus selisih maju untuk turunan kedua : f ′ (x0 + h) − f ′ (x0 ) f ′′ (x0 ) ≈ h f(x0 + 2h) − f(x0 + h) f(x0 + h) − f(x0 ) − h h ≈ h f(x0 + 2h) − 2f(x0 + h) + f(x0 ) ≈ h2 Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.

Hampiran Selisih Mundur Misalkan x = x0 − h, maka didapatkan : f(x0 − h) = f(x0 ) − f ′ (x0 )h +

f ′′ (x0 ) 2 h −⋯ 2!

Rumus selisih mundur untuk turunan pertama : f(x0 ) − f(x0 − h) f ′′ (x0 ) f ′ (x0 ) = + h−⋯ h 2! f(x0 ) − f(x0 − h) ≈ h Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.

+ 5∙x

2

y0

y-1

h y = f(x) x-1

x0

Rumus selisih mundur untuk turunan kedua : f ′ (x0 ) − f ′ (x0 − h) f ′′ (x0 ) ≈ h f(x0 ) − f(x0 − h) f(x0 − h) − f(x0 − 2h) − h h ≈ h f(x0 ) − 2f(x0 − h) + f(x0 − 2h) ≈ h2 Dengan O(h) adalah galat dari hampiran fungsi.

Hampiran Selisih Pusat Bila kedua persamaan berikut saling dikurangkan :

f ′′ (x0 ) 2 h +⋯ 2! f ′′ (x0 ) 2 f(x0 − h) = f(x0 ) − f ′ (x0 )h + h −⋯ 2!

f(x0 + h) = f(x0 ) + f ′ (x0 )h +

Diperoleh rumus selisih pusat untuk turunan pertama: f(x0 + h) − f(x0 − h) f ′′′ (x0 ) 2 f ′ (x0 ) = − h −⋯ 2h 3! f(x0 + h) − f(x0 − h) ≈ 2h Dengan O(h2 ) adalah galat dari hampiran fungsi.

x2 + 5∙x

2

y1

y0

y-1

2h y = f(x) x-1

x0

x1

Bila kedua persamaan berikut saling ditambahkan :

f ′′ (x0 ) 2 h +⋯ 2! f ′′ (x0 ) 2 f(x0 − h) = f(x0 ) − f ′ (x0 )h + h −⋯ 2!

f(x0 + h) = f(x0 ) + f ′ (x0 )h +

Diperoleh rumus selisih pusat untuk turunan kedua : f(x0 + h) − 2f(x0 ) + f(x0 − h) f (4) (x0 ) 2 ′′ (x ) f − h −⋯ 0 = h2 12 f(x0 + h) − 2f(x0 ) + f(x0 − h) ≈ h2 Dengan O(h2 ) adalah galat dari hampiran fungsi. Contoh Soal : 1. Diketahui fungsi f(x) = √x. Tentukan hampiran f ′ (1) dan f ′′ (1) untuk h = 0.1 dan h = 0.05 dengan menggunakan hampiran selisih maju, selisih mundur, selisih pusat, dan hitung galatnya. Jawaban : f(x) = √x → f ′ (x) =

1 2 √x

→ f ′′ (x) = −

1 3

4x 2

Ekstrapolasi Richardson Metode untuk memperoleh rumus hampiran turunan dengan orde yang lebih tinggi dari hampiran dengan orde yang lebih rendah disebut dengan ekstrapolasi

Metode tersebut dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson di awal abad 20, sehingga metode tersebut kemudian dikenal dengan ekstrapolasi Richardson Diterapkan pada turunan numerik untuk memperoleh solusi yang lebih teliti. Hampiran turunan beda pusat dengan orde 𝐎(𝐡𝟐 ) Untuk selang h adalah

h

h 𝑥0

𝑥−1

𝑥1

1 h(f − f−1 ) + O(h2 ) 2 1 = f01 + Ch2 + ⋯.

D(h) =

Untuk selang 2h adalah

2h

2h 𝑥−2

𝑥−1 1 h(f − f−2 ) + O((2h)2 ) 2(2h) 2 = f01 + C(2h)2 + ⋯. = f01 + 4Ch2 + ⋯.

D(2h) =

D(h) − D(2h) = −3Ch2 D(h) − D(2h) C= −3h2 Subsitusi

𝑥0

𝑥1

𝑥1

[D(h) − D(2h)]h2 D(h) = − 3h2 [D(h) − D(2h)] D(h) = f0′ − 3 [D(h) − D(2h)] f0′ = D(h) + 3 [D(h) − D(2h)] ′ f0 = D(h) + 2n − 1 f0′

n adalah orde galat yang dipakai Setiap perluasan ekstrapolasi Richardson akan menaikan orde galat dari O(hn ) menjadi O(hn+2 ) Contoh Soal: Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut : x

f(x)

2.0

0.42298

2.1

0.40051

2.2

0.37507

2.3

0.34718

2.4

0.31729

2.5

0.28587

2.6

0.25337

2.7

0.25337

2.8

0.18649

2.9

0.15290

3.0

0.11963

Tentukan f′(2.5) dengan ekstrapolasi Richardson bila D(h) dan D(2h) dihitung dengan rumus hampiran selisih-pusat orde O(h2 ) sampai 5 angka bena

Penyelesaian D(h)

Selang titik yang dipakai : [2.4, 2.6] dan h=0.1 x−1 = 2.4, x0 = 2.5, x1 = 2.6 f −f (0.25337−0.31729) D(h) = 1 2h−1 = = −0.31960 2(0.1)

D(2h)

Selang titik yang dipakai : [2.3, 2.7] dan h=0.2 x−2 = 2.3, x0 = 2.5, x2 = 2.7 f −f (0.22008−0.34718) D(2h) = 1 2h−1 = = −0.3775 2(0.2)

D(4h)

Selang titik yang dipakai : [2.1, 2.9] dan h=0.4 x−4 = 2.1, x0 = 2.5, x4 = 2.9 f −f (0.40051−0.15290) D(4h) = 1 −1 = = −0.30951 2h

2(0.4)

D(h) = −0.31960 dan D(2h) = −0.31775 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h2 ) maka n=2, sehingga 1 [D(h) − D(2h)] −1 = −0.31960 + 1/3 (−0.31960 + 0.31775) = −0.32022 → mempunyai galat orde O(h4 ) = D(2,2)

f ′ (2.5) = f0′ = D(h) +

22

D(2h) = −0.31775 dan D(4h) = −0.30951 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h2 ) maka n=2, sehingga 1 f ′ (2.5) = f0′ = D(h) + 2 [D(2h) − D(4h)] 2 −1 = −0.31775 + 1/3 (−0.31775 + 0.30951) = −0.32050 → mempunyai galat orde O(h4 ) = D(3,2)

D(2h) = −0.32022 dan D(4h) = −0.32050 keduanya dihitung dengan rumus orde O(h4 ) maka n=4, sehingga 𝑓 ′ (2.5) = 𝑓0′ = 𝐷(2ℎ) +

1

4

2 −1

[𝐷(2ℎ) − 𝐷(4ℎ)]

= −0.32022 + 1/3 (−0.32022 + 0.32050) = −0.32020 → mempunyai galat orde 𝑂(ℎ6 ) = 𝐷(3,3) h

𝑂(ℎ2 )

𝑂(ℎ4 )

𝑂(ℎ6 )

0.1

-0.31960

0.2

-0.31775

-0.32022

0.3

-0.30951

-0.32050

-0.32020

Kesimpulan • • •

Terdapat dua metode numerik yang dapat digunakan untuk mmemperkirakan suatu fungsi, yaitu Interpolasi dan Aproksimasi. Interpolasi adalah memfit data yang diketahui harus tepat sama dan hanya digunakan untuk suatu range data. Aproksimasi adalah memfit data yang diketahui tidak harus sama dan dapat digunakan untuk sembarang range data.

Interpolasi Polinomial Lagrange    

Karakteristik Polinomial Karakteristik: Mudah dicari Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk suatu kali interpolasi adalah besar Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan

Interpolasi Polinomial Newton

 

Dengan memanfaatkan sifat rekursif, pembentukan polinom dengan derajat yang lebih tinggi menjadi efisien dan dapat digunakan untuk menentukan tercapainya titik berhenti. Tabel selisih dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi pada nilai x yang berlainan.

Turunan Numerik  Turunan numerik adalah proses mencari nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan pada suatu titik.  Hampiran selisih pusat lebih baik dari 2 metode hampiran sebelumnya (hampiran selisih maju dan hampiran selisih mundur). Karena orde galat selisih pusat O(ℎ2 ) sedangkan galat hampiran-hampiran sebelumnya adalah 𝑂(ℎ)