ÚLOHA Závažíčko zavěšené na pružině kmitá harmonicky tak, že: amplituda výchylky je ym = 2 cm, doba kmitu je T = 0,5 s.
Předpokládáme, že v čase t = 0 s prochází závažíčko rovnovážnou polohou a směřuje vzhůru.
Úkoly: a)
Zjistíme frekvenci f závažíčka na pružině.
b)
Zjistíme úhlovou frekvenci ω závažíčka na pružině.
c)
Zjistíme výchylku y a rychlost v závažíčka v čase t = 0,1 s.
d)
Zjistíme výchylku y a rychlost v závažíčka v čase t = 0,125 s.
e)
Zjistíme výchylku y a rychlost v závažíčka v čase t = 0,25 s.
f)
Zjistíme výchylku y a rychlost v závažíčka v čase t = 0,35 s.
ZÁPIS Dáno: • Amplituda výchylky závažíčka (maximální výchylka y): ym = 2 cm • Doba kmitu (za kdy se závažíčko vrátí do původního stavu za předpokladu netlumeného pohybu): T = 0,5 s
Zdroj obrázku: http://fyzweb.cz/materialy/hvizdy/1_mechkmity.pdf
ŘEŠENÍ a) Zjistíme frekvenci f závažíčka na pružině. • Co je to frekvence? Počet kmitů za sekundu. • Jak se stanoví frekvence? Frekvenci odpovídá převrácená hodnota periody:
1 f = T
1 −1 f = = 2s = 2 Hz 0 ,5 s Odpověď: Frekvence kyvadla je 2 kmity za sekundu, neboli 2 hertzy.
ŘEŠENÍ b) Zjistíme úhlovou frekvenci ω závaží na pružině. Úhlová frekvence je dána jako úhel φ (při analogickém otáčivém pohybu) za čas t. Za úhel zvolíme jednu otočku 2π a za čas periodu T:
2 .π ω = = = 2 .π . f t T
ϕ
2 . 3 ,14 rad ω = = 12 , 57 rad / s 0 ,5 s Odpověď: Úhlová frekvence kyvadla je 12,57 radiánů za sekundu. To odpovídá 2 kmitům za sekundu.
ŘEŠENÍ c) Zjistíme výchylku y závažíčka v čase t = 0,1 s. Okamžitá výchylka y se počítá dle vztahu:
y = y m . sin(ω .t ) = y m . sin( 2πf .t ) Co dosadíme? Za amplitudu ym= 2 cm, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,1 s:
y = 2. sin( 2.3,14.2.0,1) = 2. sin(1,257) = 2.0,951 = 1,902 V jakých jednotách je okamžitá výchylka y? V centimetrech, neboť za amplitudu ym lze dosadit centimetry. Do argumentu funkce sinus nutno dosadit radiány. Odpověď: V čase t = 0,1 s je okamžitá výchylka y = 1,902 cm.
ŘEŠENÍ c) Zjistíme rychlost v závažíčka v čase t = 0,1 s. Okamžitá rychlost v se počítá dle vztahu:
v = ym .ω. cos(ω.t ) = 2.π . f . ym . cos(2.π . f .t ) Co dosadíme? Za amplitudu ym= 0,02 m, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,1 s:
v = 0 , 2 .2 .π .2 . cos( 2 .3,14 .2 .0 ,1) = 0 ,8 .3,14 . cos( 1, 257 )
v = 0 ,8 . 3 ,14 . 0 , 309 = 0 , 7766 m / s V jakých jednotkách je rychlost v ? Co znamená kladná hodnota? V metrech za sekundu, neboť za amplitudu ym jsme dosadili metry. Odpověď: V čase t = 0,1 s je okamžitá rychlost v = 0,78 m/s. Kladná hodnota znamená, že směr vektoru rychlosti je vzhůru.
ŘEŠENÍ d) Zjistíme výchylku y závažíčka v čase t = 0,125 s. Okamžitá výchylka y se počítá dle vztahu:
y = y m . sin( ω .t ) = y m . sin( 2 π f .t ) Co dosadíme? Za amplitudu ym= 2 cm, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,125 s:
y = 2 . sin( 2 .3,14 .2 .0 ,125 ) = 2 . sin( 1,57 ) = 2 .1 = 2 Odpověď: V čase t = 0,125 s je okamžitá výchylka y = 2 cm. V tomto čase se dosahuje maximální výchylky, tzv. horní úvrati.
ŘEŠENÍ d) Zjistíme rychlost v závažíčka v čase t = 0,125 s. Okamžitá rychlost v se počítá dle vztahu:
v = ym .ω. cos(ω.t ) = 2.π . f . ym . cos(2.π . f .t ) Co dosadíme? Za amplitudu ym= 0,02 m, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,125 s:
v = 0 , 2 .2 .π .2 . cos( 2 .3,14 .2 .0 ,125 ) = 0 ,8 .3,14 . cos( 1,57 )
v = 0 ,8 . 3 ,14 . 0 = 0 m / s Odpověď: V čase t = 0,125 s je okamžitá rychlost v = 0 m/s. V tomto čase se dosahuje závaží maximální výchylky, tzv. horní úvrati, kdy je rychlost nulová.
ŘEŠENÍ e) Zjistíme výchylku y závažíčka v čase t = 0,25 s. Okamžitá výchylka y se počítá dle vztahu:
y = y m . sin( ω .t ) = y m . sin( 2π f .t ) Co dosadíme? Za amplitudu ym= 2 cm, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,25 s:
y = 2 . sin( 2 . 3 ,14 . 2 . 0 , 25 ) = 2 . sin( 3 ,14 ) = 0 Odpověď: V čase t = 0,25 s je okamžitá výchylka y = 0 cm. Závažíčko se vrací do původní polohy z polohy nad rovnovážnou polohou.
ŘEŠENÍ e) Zjistíme rychlost v závažíčka v čase t = 0,25 s. Okamžitá rychlost v se počítá dle vztahu:
v = ym .ω. cos(ω.t ) = 2.π . f . ym . cos(2.π . f .t ) Co dosadíme? Za ym= 0,02 m, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,25 s:
v = 0 , 2 .2 .π .2 . cos( 2 .3,14 .2 .0 , 25 ) = 0 ,8 .3,14 . cos( 3,14 ) v = 0 ,8 . 3 ,14 .( − 1) = − 2 , 51 m / s Co znamená záporná hodnota? Je či není to rychlost maximální? Záporná hodnota znamená, že směr vektoru rychlosti je dolů. Odpověď: V čase t = 0,25 s je velikost rychlosti v = 2,51 m/s. Je to rychlost maximální, neboť absolutní hodnota cosinu dosahuje maximální velikosti, |-1| = 1. (Dalšího maxima se dosahuje např. v čase t = 0 s a násobcích periody.)
ŘEŠENÍ f) Zjistíme výchylku y závažíčka v čase t = 0,35 s. Okamžitá výchylka y se počítá dle vztahu:
y = y m . sin( ω .t ) = y m . sin( 2 π f .t ) Co dosadíme? Za amplitudu ym= 2 cm, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,35 s:
y = 2 . sin( 2 . 3 ,14 . 2 . 0 , 35 ) = 2 . sin( 4 , 398 ) = − 0,951 Odpověď: V čase t = 0,35 s je okamžitá výchylka y = -0,951 cm. Závažíčko je pod rovnovážnou polohou.
ŘEŠENÍ e) Zjistíme rychlost v závažíčka v čase t = 0,35 s. Okamžitá rychlost v se počítá dle vztahu:
v = ym .ω. cos(ω.t ) = 2.π . f . ym . cos(2.π . f .t ) Co dosadíme? Za ym= 0,02 m, frekvenci f = 2 Hz, čas t = 0,35 s:
v = 0, 2 .2 .π .2 . cos( 2 .3,14 .2 .0,35 ) = 0,8 .3,14 . cos( 4,398 ) v = 0 ,8 . 3 ,14 .( − 0 , 309 ) = − 0 , 7766 m / s Co znamená záporná hodnota? Záporná hodnota znamená, že směr vektoru rychlosti je dolů. Odpověď: V čase t = 0,35 s je velikost rychlosti v = 0,777 m/s. Tím jsme příklad spočítali ☺
