Slovní úlohy - řešené úlohy Úměra, poměr Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie. Řešení: Každý rozměr zvětšíme tak, že jeho velikost vynásobíme poměrem podobnosti k = Nové rozměry fotografie: a´ = 12 b´ = 9
= 20 cm = 15 cm
Zvětšená fotografie bude mít rozměry 20 cm a 15 cm.
Úloha č. 2 Obvod trojúhelníku je 126 cm. Délky jeho stran jsou v poměru 2 : 3 : 4. Určete délky stran tohoto trojúhelníku. Řešení: Nejprve sečteme počet dílů: 2 + 3 + 4 = 9 Délka odpovídající 1 dílu: 126 : 9 = 14 cm Délky stran: a = 2 . 14 = 28 cm b = 3 . 14 = 42 cm c = 4 . 14 = 56 cm Ještě si ověříme, že platí trojúhelníková nerovnost: 28 + 42 = 70 > 56 cm. Trojúhelník má strany o délkách 28 cm, 42 cm, 56 cm. 1
Úloha č. 3 Vzdálenost dvou míst na mapě je 175 mm. Jejich vzdálenost ve skutečnosti je 70 km. Určete měřítko mapy. Řešení: 70 km = 70 000 m = 7 000 000 cm 7 000 000 : 17,5 = 400 000 cm Měřítko mapy je 1 : 400 000.
Úloha č. 4 Dvě obce mají na mapě s měřítkem 1 : 10 000 vzdálenost 85 mm. Vypočtěte vzdálenost těchto měst na mapě s měřítkem 1 : 25 000. Řešení: Skutečnou vzdálenost měst zjistíme z mapy s měřítkem 1 : 10 000. 1 cm … 100 m 8,5 cm … 850 m V dalším kroku vypočítáme vzdálenost měst na mapě s měřítkem 1 : 25 000. 1 cm … 250 m 850 : 250 = 3,4 cm = 34 mm Na mapě s měřítkem 1 : 25 000 jsou obce od sebe vzdáleny 34 mm.
2
Úloha č. 5 Tableta obsahuje 1 500 mg účinné látky (léku). Kolik tablet podáme pacientovi, který bude potřebovat denní dávku 0,75 g léku? Řešení: Oba údaje si nejprve vyjádříme pomocí stejné jednotky (mg). 1 500 mg 0,75 g = 750 mg 750 : 1 500 = 0,5 Pacientovi podáme polovinu tablety.
Úloha č. 6 Víme, že 250 m silonového vlákna má hmotnost 4 g. Jak dlouhé bude totéž vlákno o hmotnosti 1 kg? Řešení: Jedná se o úlohu řešenou pomocí přímé úměrnosti: 250 m ….. 4 g x m ….. 1 000 g Sestavíme trojčlenku: = a následně použijeme křížové pravidlo: 4. =
= 250 . 1 000 /:4 = 62 500 m = 62,5 km
Silonové vlákno o hmotnosti 1 kg bude dlouhé 62,5 km.
3
Úloha č. 7 Sedm pracovníků splní úkol za 72 hodin. Za jak dlouho by úkol splnilo devět pracovníků? Řešení: Jedná se o úlohu řešenou pomocí nepřímé úměrnosti: 7 pracovníků ….. 72 h 9 pracovníků ….. x h Sestavíme trojčlenku: = a vyjádříme neznámou : =
= 56 h
Devět pracovníků by úkol splnilo za 56 hodin.
Úloha č. 8 Spotřeba benzínu osobního auta činila 8,8 litru na 100 km. Po opravě auta spotřeba klesla v poměru 9:11. Jaká je spotřeba auta po opravě? Řešení: Spotřebu vozu před opravou vynásobíme poměrem 8,8
7,2 l
Spotřeba vozu po opravě činila 7,2 litru.
4
Procenta Pamatujte si: 1 % =
celku,
Úloha č. 9 Původní cena výrobku byla 4 800 Kč. Po snížení ceny výrobek stál 3 600 Kč. O kolik procent byla původní cena snížena? Řešení: původní cena … a = 4 800 Kč nová cena ……. a1 = 3 600 Kč rozdíl cen …….. 4 800 – 3 600 = 1 200 Kč Při řešení využijeme vyjádření 1 % ze základu 4 800 Kč: 100 % ….. 4 800 Kč 1 % …….........48 Kč Počet procent určíme tak, že rozdíl cen vydělíme 1 %. 1200 : 48 = 25 % Původní cena byla snížena o 25 %.
Úloha č. 10 Cena výrobku x = 1 000 Kč byla nejprve zvýšena o 10 % a později snížena o 20 % nové ceny. Jaká je jeho konečná cena? Řešení: zvýšení ceny o 10 % 110 % = 1,10 celku snížení ceny o 20 % 80 % = 0,80 celku původní cena ………… a = 1 000 Kč cena po zdražení ……. a1 = 1 000 . 1,1 = 1 100 Kč cena po zlevnění ……. a2 = 1 100 . 0,8 = 880 Kč Konečná cena výrobku je 880 Kč. 5
Úloha č. 11 Elektrické vedení je dlouhé 5,3 km. Na prohnutí drátů a spojování je nutno přidat 3,25 % délky. Kolik metrů drátu potřebují montéři, má-li vedení osm drátů? Řešení: Nejprve spočítáme celkovou délku d všech drátů elektrického vedení bez rezervy na prohnutí. d = 5,3. 8 = 42,4 km Přidáme rezervu: 100 % + 3,25 % = 103,25 % (což představuje 1,0325 základní délky elektrického vedení) d1 = 42,4 . 1,0325 = 43,778 km = 43 778 m Montéři potřebují na vedení 43 778 m drátů.
Úloha č. 12 Automobil jel rychlostí 75 km/h, cyklista rychlostí 5 m/s. Kolik procent rychlosti automobilu činí rychlost cyklisty? Řešení: automobil …75 km.h-1 cyklista ……. 5 m.s-1 . 3,6 = 18 km.h-1 počet procent = p=
čá
= 0,24 = 24 %
Rychlost cyklisty činí 24 % rychlosti automobilu.
6
Úloha č. 13 O kolik procent se zmenší objem krychle, zmenšíme-li její hranu o 20 %? Řešení: Zmenšíme-li délku hrany a krychle o 20 %, bude mít 80 % původní délky, tj. 0,8.a. Původní krychle o straně a má objem: V = a3 Zmenšená krychle o straně a1 = 0,8.a má objem: V1 = (a1)3 = (0,8.a)3 = 0,512.a3 V1 = 0,512.V = 51,2 % . V Objem zmenšené krychle představuje 51,2 % objemu původní krychle. 100 % – 51,2 % = 48,8 % Objem krychle se zmenší o 48,8 %.
Úloha č. 14 Zboží stojí 1 936 Kč včetně 21% daně z přidané hodnoty (DPH). Vypočtěte cenu zboží bez DPH. Řešení: Cena zboží bez DPH představuje základ tj. 100 %. 1 936 Kč …121 % x Kč ………100 % x = 1 936 : 1,21 = 1 600 Kč Cena zboží bez DPH je 1 600 Kč.
7
Úloha č. 15 Pan Novák si na začátku roku 2014 uložil do spořitelny 120 000 Kč na 3% úrok. Vypočtěte, kolik korun bude mít na účtu na konci roku 2014 a kolik o další rok později. Řešení: na konci roku 2014 …a1 = 120 000 + 0,03.120 000 = 1,03.120 000 = 123 600 Kč na konci roku 2015 …a2 = 123 600 + 0,03. 123 600 = 1,03. 123 600 = 127 308 Kč
Úloha č. 16 V mořské vodě je přibližně 3,5 % soli. Kolik soli zbude po odpaření 10 kg mořské vody? Řešení: 3,5 % soli představuje 0,035 celku x = 10 . 0,035 = 0,35 kg Po odpaření 10 kg mořské vody zůstane 0,35 kg soli.
Úloha č. 17 Krevní zkouškou bylo zjištěno v krvi řidiče 0,5 promile alkoholu. Kolik je to gramů, je-li v těle člověka přibližně 6 kg krve? Řešení: 1 promile (‰) …
celku = 0,001 celku
0,5 ‰ = 0,0005 celku 0,0005 . 6 = 0,003 kg = 3 g V těle řidiče jsou přibližně 3 g alkoholu. 8
Úloha č. 18 Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo zmenšit, abyste opět obdrželi číslo 72? Řešení: číslo 72 zvětšené o 25 % … 1,25 . 72 = 90 90 ….. 100 % 72 …..
p%
Sestavíme trojčlenku: = v dalším řešení vyjádříme neznámou p: p=
= 80 %
100 % – 80 % = 20 % Číslo 72 představuje 20 % z čísla 90.
Úloha č. 19 Čerstvé houby obsahují 90 % vody, sušené 12 % vody. Vypočtěte, kolik čerstvých hub je třeba nasbírat, abychom získali 3 kg sušených hub. Řešení: 3 kg sušených hub obsahují 12 % vody 100 – 12 = 88 % sušiny 0,88 . 3 = 2,64 kg sušiny x kg čerstvých hub obsahuje 90 % vody 100 – 90 = 10 % sušiny 2,64 kg ….. 10 % x kg …..
100 %
Sestavíme trojčlenku: 9
= v dalším řešení použijeme křížové pravidlo a vyjádříme neznámou: =
= 26,4 kg
Musíme nasbírat 26,4 kg čerstvých hub.
Úloha č. 20 Prodejna má sjednaný podíl na zisku (tzv. rabat) ve výši 15 % z prodejní ceny výrobku, jež představuje 120 % jeho výrobní ceny. Kolik procent z výrobní ceny činí zisk prodejny? Řešení: a … výrobní cena b … prodejní cena z … zisk prodejní cena představuje 120 % výrobní ceny: b = 1,20.a zisk ve výši 15 % z prodejní ceny: z = 0,15.b z = 0,15 . (1,20. a) = 0,18 . a Zisk prodejny činí 18 % z výrobní ceny.
10
Úloha č. 21 Stoupání, resp. klesání u silnic je udáváno v procentech, zatímco u železničních tratí v promile. Vypočteme ho jako poměr svislého převýšení a vodorovné vzdálenosti obou míst (na mapě, plánu). a) Vypočtěte, kolik metrů tvoří převýšení silnice mezi dvěma místy silnice vzdálenými ve vodorovném směru 850 m, je-li stoupání (resp. klesání) silnice mezi těmito místy 10 %. b) Určete stoupání (resp. klesání) železniční trati, je-li její výškový rozdíl mezi dvěma stanicemi 9 m při jejich vzdálenosti ve vodorovném směru 1,5 km.
Řešení: a) xm 850 m
10 % = 0,10 = x = 850 . 0,10 = 85 m Převýšení silnice činí 85 m.
b)
9m 1,5 km = 1 500 m 11
promile ... 1‰ =
celku
x (‰) = x = 0,006 = 6 ‰ Železniční trať stoupá (klesá) o 6 ‰.
Slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic Úloha č. 22 Přičteme-li k hledanému číslu jeho třetinu, dostaneme číslo 48. Určete neznámé číslo. Řešení: Hledané číslo označíme jako
a sestavíme příslušnou rovnici. Je dobré uvědomit si,
že k hledanému číslu přičteme jeho třetinu, tzn.
Hledané číslo je 36.
12
(nikoli pouze
.
Úloha č. 23 Ve třídě je 29 žáků, z toho o 5 chlapců méně než dívek. Kolik je ve třídě chlapců? Řešení: Počet chlapců ve třídě označíme jako
Dále vyjádříme počet dívek, kterých je o 5
více než chlapců, a sestavíme příslušnou rovnici. počet chlapců ..... počet dívek ..... / –5 /:2
Ve třídě je 12 chlapců (a 17 dívek).
Úloha č. 24 Ze třídy se rozhodla čtvrtina žáků studovat na VOŠ. Později se přihlásili ještě 3 další žáci. Celkem jich tak bylo 11. Kolik žáků je ve třídě? Řešení: Počet žáků ve třídě označíme jako
a sestavíme příslušnou rovnici.
–
Ve třídě bylo 32 žáků.
13
Úloha č. 25 Za nákup 2,5 kg pomerančů a 1,5 kg jablek se zaplatilo celkem 85 korun. Kilogram jablek je o 2 koruny levnější než kilogram pomerančů. Vypočtěte, kolik korun se zaplatilo za pomeranče. Řešení: Úlohu budeme řešit pomocí soustavy 2 lineárních rovnic. cena za 1 kg pomerančů .....
Kč
cena za 1 kg jablek
Kč
.....
/+3 /:4 Spočítali jsme, že za 1 kg pomerančů bylo zaplaceno 22 Kč. 2,5 . 22 Kč = 55 Kč Za 2,5 kg pomerančů bylo zaplaceno 55 Kč.
Úloha č. 26 19 % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo. Řešení: Neznámé číslo označíme jako x a zadání přepíšeme pomocí matematického zápisu:
Neznámé číslo je 300. 14
Úloha č. 27 Ve třídě 1. A se psala čtvrtletní práce z matematiky. Desetina žáků dostala jedničku, třetina dostala dvojku. Trojku dostaly čtyři patnáctiny žáků a čtyřku pětina žáků. Kolik žáků psalo čtvrtletní práci, když pětku dostali tři z nich? Řešení: Celkový počet žáků označíme jako
a sestavíme příslušnou rovnici.
/ / Čtvrtletní práci psalo 30 žáků.
Úloha č. 28 Ze 2 druhů čaje v ceně 300 Kč za 1 kg a 420 Kč za 1 kg se má připravit 20 kg směsi v ceně 330 Kč za 1 kg. Kolik kg každého druhu čaje je třeba smíchat? Řešení:
Kč
Cena čajové směsi:
Úlohu budeme řešit pomocí soustavy 2 lineárních rovnic. počet kg levnějšího čaje ..... počet kg dražšího čaje ..... rovnice vyjadřující cenu čaje rovnice vyjadřující hmotnost čaje řešení soustavy rovnic dosazovací metodou
/: 15
kg kg Je třeba smíchat 15 kg levnějšího a 5 kg dražšího čaje.
Úloha č. 29 První traktorista zorá lán pole za 10 hodin, druhý traktorista zorá stejně velké pole za 15 hodin. Za kolik hodin zorají toto pole, budou-li pracovat společně? Řešení: Základní typ úlohy o společné práci. ... část pole, kterou by první traktorista zoral za
hodin
... část pole, kterou by druhý traktorista zoral za
hodin
Budou-li oba traktoristé pracovat společně po dobu
/:
hodin, zorají celé pole (celek):
Úlohy o společné práci vedou k řešení typické rovnice, ve které je na pravé straně číslo 1 vyjadřující celek vytvořený společnou prací.
Traktoristé společně zorají pole za 6 hodin.
16
Vyjadřování neznámé ze vzorce Úloha č. 30 a) Ze vzorce pro dráhu rovnoměrného pohybu
vyjádřete rychlost .
Řešíme jako rovnici o neznámé
/:
b) Ze vzorce pro objem kvádru
vyjádřete délku hrany
Řešíme jako rovnici o neznámé
)
/:
c) Ze vzorce pro obsah lichoběžníku
vyjádřete délku základny .
Řešíme jako rovnici o neznámé
/: –
17
