24.0 INTRO 5 a 1 a 6 cm b
C
43°
A
8 cm 5,9 cm 6 cm 57° B
48°
24.1 HOOGTE EN AFSTAND BEPALEN 2 a
3 0 ,6
b reikhoogte=59 dm ; reikwijdte=54 dm c reikhoogte=2⋅59=118 dm reikwijdte=2⋅54=108 dm d hoogte: H⋅59 ≈ 44 dm, wijdte: H⋅54 ≈ 41 dm e 90 ⋅80 ≈ 122 dm 59
=5
b 5⋅1=5 meter 3 a
90 59
T
6 oog
5,4 cm
⋅54 ≈ 82 dm
(verkleind)
B
80 dm
11
O 11
3
V 11
A
toren
bord
b Zie plaatje: OV=47, AB=11 , dus AB=1⋅OB, dan ook TV=1⋅OV=231 hoogte toren =231 +11 =25 meter
25 dm
7 a nee ; nee b wordt groter ; wordt kleiner
V
4 a
76 dm
8 a ver:
hoog:
1050 Q
5 4
b
1680 B
6 3,60
⋅3,60=4,50 meter 5 4
⋅1,75=2,19 meter
⋅4=6B meter
c Nee, de reikwijdte neemt steeds sneller af. d Deze hoek meten: 41°
150 P
4 cm
H
b Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek VHB, de vergrotingsfactor is 1050 =7 150 Dus PQ= 1680 =240, dus zeilt ze 240 meter
3 cm
9 a
7
in 3 minuten. Dat is 4,8 km/u.
reikhoogte reikwijdte
10° 1,7 9,8
20° 3,4 9,4
30° 5,0 8,7
40° 6,4 7,6
50° 7,6 6,4
60° 8,7 5,0
70° 9,4 3,4
80° 9,8 1,7
b Ze zijn samen 90°
Antwoorden
Hoofdstuk 24 Goniometrie
1
c 10° 3,4 19,6
a = sin 30 o = 0,5 en x a + 40 = sin 64 o = 0,9 x a + 40 a Dus x= en x= , dus 0,9 0,5 a + 40 a = . Hieruit volgt het gevraagde. 0,9 0,5 b. 0,5a+20=0,9a ⇔ 0,4a=20 ⇔ a=50 50 , dus x=100 cm c. sin30°= x Dan:
20° 6,8 18,8
30° 10,0 17,4
40° 12,8 15,2
50° 15,2 12,8
60° 17,4 10,0
70° 18,8 6,8
80° 19,6 3,4
10 α sinα
10° 0,17
20° 0,34
30° 0,50
40° 0,64
50° 0,76
60° 0,87
70° 0,94
80° 0,98
10° 0,98
20° 0,94
30° 0,87
40° 0,76
50° 0,64
60° 0,50
70° 0,34
80° 0,17
12 α cosα
13
Noem het hoogteverschil h, dan h , dus h=200⋅sin32°≈ 106 m sin32°= 200
24.3 INVSINUS EN INVCOSINUS B
18 a
24.2 SINUS EN COSINUS 14
15
Noem de hoogte van het trapje h, dan h sin37°= , dus h=4⋅sin37°≈ 2,4 m 4 Noem die afstand a, dan: a cos37°= , dus a=4⋅cos37°≈ 3,2 m 4 Noem die afstand x, dan (zie plaatje): sin55°= dus x=
3000 , x 3000
sin 55
o
4 cm 49°
b 49° c sinα=H (=0,75)
C
A
19 a b 37° c cosα=K -1 cos (K) ≈ 36,8698 graden A
B c=5 37°
b=4
C
20 a sinα= 10 , α=sin ( 10 )≈36° 17 17 -1 12 12 b cosα= , α=cos ( )≈51° -1
≈ 3662,2
x
3000
19
55°
16
3 cm
21
Zie plaatje hieronder.
BC , 240 dus BC=240⋅cos35°≈197 cm De gevraagde afstand is 300–197=203 cm
19
De sinus van een hoek is altijd kleiner dan 1, want de schuine zijde is langer dan een rechthoekszijde.
In driehoek ABC: cos35°=
C
22 a 0,068⋅18000=1224 meter -1 b α=sin 0,07 ≈ 4° -1 c sin (0,11)≈6° d 400 =0,07, dus: x= 0400 ≈ 5714 m, ,07 x dus 5,7 km
x
400
35°
23 a
(verkleind)
300 cm 240 cm α A
B
300–BC
2
2
2
b 5 +12 =13 5 , α=sin-1( 5 )≈22,6°. c sinα= 13 13 De hoeken zijn: 90,0 , 22,6 en 67,4 graden. 2
2
2
24 a h +8 =17 , dus h=15, oppervlakte=15⋅8=120
h
8 )≈61,9° b α=cos ( 17 -1
17
De lengte van het luik noemen we x. Antwoorden
8
Hoofdstuk 24 Goniometrie
17
8
α
2
∠CNG≈2⋅19,47=39°.
Twee hoeken van 61,9 en één hoek van 56,0 graden. 29
De lengte van de kabel noemen we a en de afstand tot de voet b. Dan mast 87 sin64°= , a 87 dus a= ≈ 96,8 m sin 64 o a 87 87 tan64°= , b 64° 87 dus b= ≈ 42,4 m b tan 64 o
30
M is het midden van het T grondvlak, a een hoekpunt onder en T de top van de piramide. Dan is Am de helft van een diagonaal in het grondvlak. Je moet hoek 10 α berekenen, zie plaatje. 10 en tanα= 1 50 α 2 10 -1 α=tan ( )≈71°. A 21 50 M 1 50 2
24.4 TANGENS 25 a tan50°= 67,,74 ≈1,203.. b tan50°=1,19175..
26
40 tanα= 21,,95 , dus α≈ 51°
De zonshoogte is 51°. 240 α
195
27 a Teken een lijnstuk CD van 3 cm. Teken bij D een loodlijn op CD en bij C aan de ene kant een hoek van 50° en aan de andere kant een hoek van 15°. De snijpunten met de loodlijn zijn A en B. C 50°
15°
3
A
D
B
31 a AB = 5 , BC = 25 = 5 , AC = 20 b 5+20=25
AD , dus AD=3⋅tan50°≈3,575 3 BD , dus BD=3⋅tan15°≈2,411 tan15°= 3 Dus AB=AD+BD=6,0 3 3 cos15°= , dus BC= ≈3,1 BC cos15 o
c cosβ=
b tan50°=
5 20 5 , cosγ= , tanγ= (=1) 5 5 20 -1 -1 e. β=tan (2)=63° en γ=tan (1)≈ 27° 5 20 -1 -1 ) of cos ( ) of 90°–63° of sin ( 5 5 1 f. sinγ=cosβ, cosγ=sinβ en tanγ= tan β d sinγ=
24.5 GEMENGDE OPGAVEN G
32
4
∠GAC≈35°
C G
A 32
b tan∠GMC= ∠GMC≈42°
Overstaande rechthoekszijde van γ =aanliggende rechthoekszijde van β Overstaande rechthoekszijde van β =aanliggende rechthoekszijde van γ Schuine zijde is voor beide hetzelfde.
4
28 a tan∠GAC=
32
4
4
20
C
M 20
c Zie plaatje. N 2 tanα= , α≈19,47 32
G 2
α
5 20 , tanβ= (=2), 5 5
32
a AB = 20 , BC = 4 , AC = 45 b Zie plaatje op de volgende bladzijde. tan∠BAD=B, -1 dus ∠BAD=tan (B)≈33,7° tan∠CAD=11, -1 dus ∠BAD=tan (11)≈56,3° dus ∠CAB=56,3–33,7=22,6°
2 C
Antwoorden
Hoofdstuk 24 Goniometrie
3
C
50
14
15
33
h
Het hoogteverschil noemen we h, zie plaatje. h , dus h=50⋅sin3°≈2,6 meter Dan sin3°= 50
B
A
3°
D
Zie plaatje. β 55
Zie plaatje. 70 α= ⋅ 360 o ≈ M 2π ⋅ 70 α 70 57,3° B A BM BM cosα= = AM 70 70 Dus BM=70⋅cos57,3°≈38 De gevraagde hoogte is 70–38=32 cm
45
24.3 INVSIN EN INVCOS 20
cosβ=
2 α 3
23
24.1 HOOGTE NE AFSTAND BEPALEN De grijze driehoeken zijn gelijkvormig, want ze hebben beide een rechte hoek en de hoeken waar de punt in staat zijn gelijk (F-hoeken). De vergrotingsfactor
CH 10 =sin70°, dus CH=10⋅sin70°. sinβ= CH = 15
2
2
10 ⋅sin 70 o 15
, dus β≈ 39°
2
HB =15 –CH geeft: HB=11,69 AH=10⋅cos70°=3,42 en AB=AH+HB≈15,11 24.3 TANGENS h 27 a tan21°= , dus h=x⋅tan21° x b h=(200+x)⋅tan2° c x⋅tan21°=200⋅tan2°+x⋅tan2°, dus 0,043…⋅x=0,034..⋅x+6,98…
is 400 = 33 1 12
1
45 , dus β≈35,1°, α=125,1° 55
OKER
4
cosα=B, dus α≈48°
3
Dus de diepte is 33 1 ⋅ 30 3
6,98.. x= 0,043 ≈799 meter − 0,034
=1000 cm, dus 10 meter.
h=977⋅ tan21° ≈34,9 meter 24.2 SINUS EN COSINUS
13
Zie plaatje. De lengte van de buis is a en het hoogteverschil h. a
h
29 a Zie plaatje: tanα=2,4, Dus α≈67,4° Er zijn twee hoeken van 67,4° en één van 180–2⋅67,4=45,2° Dus: 67, 67 en 45 graden.
12°
Nu kan je h met de stelling van Pythagoras berekenen: 1,9 dm
5,2
α
9
9 9 cos12°= , dus a= ≈ 9,2 dm a cos 12o
4,8
2
2 2
b Zie plaatje: tanβ=2,6, dus β≈69° Die hoeken zijn dus 69, 21 en 90 graden
β T 5,2
c Zie plaatje. A is een hoekpunt van het α vierkante grondvlak. A
Antwoorden
Hoofdstuk 24 Goniometrie
4,8
8
M
4
M is het midden van het grondvlak en T het punt midden boven. 4,8 Dan tanα= , dus α≈59°. 8 EXTRA OPGAVEN
Z
6
De stijging op het eerste stuk is x meter en op het tweede y meter. Dan: x=800⋅sin6°en y=1200⋅sin13° x+y≈354 meter stijging
7
Zie plaatje. 8 sin1α= 20 , dus α≈47°
8
tan∠BFC=12 ∠BFC ≈ 53°
1α 20
1 a 90–82,8=7,2° b 7,2:360=0,02 2 a Zie plaatje. 1 AZ= ≈19,1 cos 87 o
2
A 87° 1
80
M
tan∠BED= 3 , dus ∠BED ≈71° 2
149600
149600
A
α
De gevraagde hoek noemen we α. Een
9
diagonaal in het grondvlak is 8 2 + 6 2 = 10 , 10 = 2 en α=63,4°. dus tanα= 5
OB 1 d. cos89,05°= OM , dus OM= cos 89 ,05 o ≈60 vanaf het middelpunt, (of 59 vanaf de rand). 40076,6 e. straal aarde= ≈6378 km 2π Afstand=59⋅6378≈376000 km (vanaf de rand)
10
r
11
0,26°
2
2
tan∠PAB= 57 , dus ∠PAB≈36° en
∠PBA=54° Antwoorden
21
De diagonaal van het grote vierkant is 72 . De diagonaal van het kleine vierkant is
12
Zie plaatje.
α
1 3
tanα=2 dus α=≈18,4°, dus de gevraagde hoek is ongeveer 37°.
13
figuur 1
2
3
4
2
4 a lengte =25 +6 =661, dus lengte≈25,7 b tanα= 25 , dus α ≈77° 6 5
3
72 –6, de zijde is ( 72 –6)⋅cos45° ≈1,76
P
r tan0,26°= WP , dus r=WP⋅tan0,26° ≈ 1700 km r sin0,26°= WM , dus r=WM⋅sin0,26° ≈ 1700 km r b. tan0,26°= WM , dus r=WM⋅tan0,26° ≈ 1700 km afstand aarde - zon c. = 390 , dus afstand aarde - maan straal zon=390⋅1700 ≈ 663000 km
Zie plaatje. 21 3 cosα= 2 , dus 3 α α=33,6° 21
Er zijn dus twee hoeken 33,6 en één hoek van 180–2⋅33,6=112,9°. De hoeken zijn 33, 33 en 113 graden.
M
W
2
M
384
1 :1=409:1 cos 89 ,86 o
3 a.
2
FB =3 +4 =25 2 2 2 2 EB =8 +4 +3 =89 8 tan∠FBE= 5 , dus ∠FBE≈58°
b Zie plaatje. dus α≈89,85° 1 c. :1=382:1 cos 89 ,85 o
8
2
BD =8 +4 =80, BD= 80
Z
cosα= 384 ,
2
h 52° 95
k 52° 95
b
k α 95
h
γ 95
a
a Zie figuur 1: h=95⋅tan52°≈121,6 meter
Hoofdstuk 24 Goniometrie
5
b Zie figuur 2: k=
95 ≈154,3 meter cos 52 o
19
k c Zie figuur 3: tanα= 95 ≈1,624.., α≈58,4° β=180 − 2 ⋅ 58,4=63,2° d Die ribbe noemen we a. 2 2 2 a =95 +95 , dus a≈134,35
e
121,6 Die hoek noemen we γ, dan tanγ= 134,35 en
γ ≈ 42°.
DB tan70°= 2 , dus DB=2⋅tan70° EB=2⋅tan60° DE=2⋅(tan70°–tan60°)≈2,03
A 2
E 6
D 7
20
B T
11
14 a cosα= 49 , dus α≈77° 2 2 2 b hoogte =49 –11 , dus hoogte ≈ 47,7 cm dus 477 mm
x 49
A
α 11 11 120
1
0,6 1
?
45°
B
C
a Zie plaatje: BC=x, want driehoek BCT is gelijkbenig. x tan30°= , dus x + 15 x =1,73x x+15= tan 60 o
15 0,6
30° 15
120
b x= 015 ≈20,5 ,73
vergrotingsfactor 120
Zie schets: ?= 0,6⋅120=72 m
16 a
5
21
KD tan75°= 36,75 KD=36,75⋅tan75°≈137,15 Dus ongeveer 137 meter
K
h
11°
b 75° D 36,75 C
h sin11°= 5 geeft: h≈0,954 meter b b=5⋅cos11°≈4,9 Een optrede is 0,954 ≈0,19, dus 19 cm 5
Een aantrede is ongeveer
17
, dus 98 cm
Zie plaatje: α=1(180–102)=39° 3 3 tan39°= , dus x= ≈3,7 x tan 39 o
78° 102°
α
18
4,9 5
3
x
PQ tan62,71°= 108,73 geeft:
PQ≈210,751 meter, dus 21075 cm
Antwoorden
Hoofdstuk 24 Goniometrie
6
