U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Přenos tepla. Přehled základních rovnic

U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze ____________________________________________________________________________________________________

Přenos tepla Přehled základních rovnic

I. Bilance vnitřní energie Fyzikální vlastnost Hustota toku Zdroj

P ≡ ρ ⋅ uE ! IP = q

kde uE – vnitřní energie ! kde q - hustota tepelného toku

! !! !! " (g ) ( g) " = − p∇ • u + τ : d + Q P

• Diferenciální tvar (po spojení s rovnicí kontinuity a úpravě) Kontrolní objem materiální

ρ⋅

! Du E ! ! !! ! = −∇ • q − p∇ • u + τ : d + Q" (g ) Dt ↑ 1

↑ 2

↑ 3

↑ 4

(I – 1)

↑ 5

1 – rychlost akumulace vnitřní energie v materiálovém objemu 2 – teplo přivedené za jednotku času konduktivně povrchem kontrolního objemu ! 3 – reverzibilní práce vykonaná za jednotku času při expanzi ( ∇ • u > 0) resp. ! spotřebovaná při kompresi ( ∇ • u < 0) 4 – nevratná práce vykonaná za jednotku času vazkým třením uvnitř materiálového elementu 5 – výkon zdroje energetické přeměny uvnitř elementu (Jouleovo teplo, rozpouštěcí teplo, reakční teplo chemických, jaderných, biologických přeměn) Kontrolní objem pevný

! ! ! !! ! " (g )  ∂u E !  ρ ⋅ + u • ∇u E  = −∇ • q − p∇ • u + τ : d + Q  ∂t  ↑ 1A

↑ 1B

↑ 2

↑ 3

↑ 4

(I – 2)

↑ 5

1A – časová část změny vnitřní energie (rychlost akumulace v pevném kontrolním objemu) 1B – konvektivní část změny vnitřní energie (makroskopickým pohybem-přítokem, odtokem) 2 – teplo přivedené za jednotku času konduktivně povrchem kontrolního objemu ! 3 – reverzibilní práce vykonaná za jednotku času při expanzi ( ∇ • u > 0) resp. ! spotřebovaná při kompresi ( ∇ • u < 0) 4 – nevratná práce vykonaná za jednotku času vazkým třením uvnitř pevného elementu 5 – výkon zdroje energetické přeměny uvnitř elementu (Jouleovo teplo, rozpouštěcí teplo, reakční teplo chemických, jaderných, biologických přeměn) ________________________________________________________________________________ Přenos tepla – přehled základních rovnic 1

1


• Integrální tvar

!# !# ! ! ! ! d ρ ⋅ u E ⋅ dV = − ∫ n • q ⋅ dS − ∫ ρ ⋅ u E ⋅ n • u ⋅ dS + ∫ τ : d ⋅ dV + ∫ Q" ( g ) dV ∫ dt V S S V V ↑ 1

↑ 2

↑ 3

↑ 4

(I – 3)

↑ 5

1 – rychlost akumulace vnitřní energie v pevném kontrolním objemu 2 – teplo přivedené za jednotku času konduktivně povrchem kontrolního objemu 3 – zvýšení vnitřní energie za jednotku času konvektivním přívodem povrchem kontr. objemu 4 – mechanická energie disipovaná za jednotku času uvnitř kontrolního objemu 5 – výkon zdroje energetické přeměny uvnitř kontrolního objemu Lze odvodit, že člen 4 v nestlačitelných kapalinách:

!# !# τ ∫ : d ⋅ dV = V" ⋅ ∆p z ,

(I – 4)

V kde

V" - objemový průtok daným kontrolním elementem, ∆p z - tlaková ztráta při proudění daným kontrolním elementem.

________________________________________________________________________________ Přenos tepla – přehled základních rovnic 1

2


II. Bilance entalpie Entalpie Při řešení technických úloh je většinou výhodnější pracovat s jinými termodynamickými funkcemi než s vnitřní energií. Vzhledem k tomu, že většina procesů v technické praxi probíhá při konstantním tlaku, používá se nejčastěji entalpie h:

h = uE + p ⋅ v , kde

(II – 1)

uE – vnitřní energie, p – tlak, v – měrný objem.

• Diferenciální tvar

! Dp !! ! " (g ) ⋅ +τ :d + Q  ∂T  p Dt

Kontrolní objem ! DT  ∂v  = −∇ • q + ρ ⋅ T ⋅   ρ ⋅cp materiální

Dt

(II – 2)

Rovnice (II – 2) platí bez ohledu na to, je – li v bilancovaném objemu plyn, kapalina nebo tuhá látka. V případě plynu k rovnici přistupuje ještě stavová rovnice plynu pro vyjádření diferenciálního kvocientu (∂v/∂T)p . Měrná tepelná kapacita cp je definována vztahem: cp = (∂h/∂T)p .

Nestlačitelná kapalina Nestlačitelná kapalina se zanedbatelnou objemovou roztažností (∂v/∂T)p = 0 •

Diferenciální tvar

Kontrolní objem materiální

Kontrolní objem pevný

! DT ! !! ! " (g ) ρ ⋅cp = −∇ • q + τ : d + Q Dt ! ! !! ! " (g )  ∂T !  ρ ⋅cp ⋅ + u • ∇T  = −∇ • q + τ : d + Q  ∂t 

(II – 3)

(II – 4)

• Integrální tvar Nestlačitelná kapalina uE ≈ h ≈ cp.T (II – 5)

!# !# ! ! ! ! d ρ ⋅ c pT ⋅ dV = − ∫ n • q ⋅ dS − ∫ ρ ⋅ c pT ⋅ n • u ⋅ dS + ∫ τ : d ⋅ dV + ∫ Q" ( g ) dV ∫ dt V S S V V


3


III. Přenos tepla a jeho mechanismy !

Tepelný tok vyjádřený hustotou tepelného toku q může nastat třemi způsoby: • vedením, • konvekcí, • zářením. Základním předpokladem k tomu, aby kterýkoliv z těchto dějů mohl probíhat, je existence teplotního rozdílu. Směr přenosu je vždy orientován z místa s vyšší teplotou k místům s nižší teplotní hladinou.

1. Vedení tepla Přenos energie interakcemi mezi atomy a molekulami stagnantního spojitého prostředí vznikající v důsledku nerovnoměrného rozložení teplot. Fourierův zákon Vazba mezi hustotou tepelného toku a rozložením teploty (teplotním polem) T(x,y,z) •

v homogenním izotropním prostředí:

! q = − λ ⋅ ∇T , kde

λ ∇T

(III – 1)

– tepelná vodivost, – teplotní gradient.

Kartézské souřadnice

Složka x:

q x = −λ ⋅

∂T ∂x

q _ = −λ ⋅

∂ T ∂x _

(III – 2a)

qi = −λ ⋅

∂ T ∂xi

(III – 2b)

Složka y:

q y = −λ ⋅

∂T ∂y

Složka z:

q z = −λ ⋅

∂T ∂z

(III – 3a) (III – 3b) (III – 3c)

∂T ∂z

(III – 4a) (III – 4b) (III – 4c)

Cylindrické souřadnice Složka r:

qr = −λ ⋅

∂T ∂r

Složka ϕ:

1 ∂T qϕ = −λ ⋅ ⋅ r ∂ϕ

Složka z:

q z = −λ ⋅


4


•

v nehomogennín anizotropním prostředí:

!! ! q = − λ • ∇T ,

kde

(III – 5)

!! λ – tenzor tepelné vodivosti.

Tepelná vodivost •

Plyny

•

Kapaliny

•

Tuhé látky

- řádově x . 0,01 W/m.K - s rostoucí teplotou roste ∝ √T - řádově x . 0,1 W/m.K - s rostoucí teplotou mírně klesá (vyjímkou je voda, u které v rozsahu 0 až 100°C tepelná vodivost roste) - nekovové materiály x. (0,1 ÷ 1) W/m.K - kovy 10 ÷ 100 W/m.K

2. Konvektivní přestup tepla Konvektivní přenos tepla se může uskutečnit pouze při makroskopickém pohybu spojitého prostředí, tj. při proudění tekutin. Jestliže teplotní rozložení v tekutině, na kterou působí pole objemových sil, vyvolá rozdíly hustot – dojde vlivem rozdílu hustot k makroskopickému pohybu tekutiny – nastane tzv. volná (přirozená) konvekce. Pokud je proudění vyvoláno např. čerpadlem nebo ventilátorem, hovoříme o konvekci nucené. Newtonův vztah Empirický vztah.

(

)

! ! q • n = qn = α ⋅ T f − TS , kde

! n qn α Tf TS

(III – 6)

– vektor normály, – hustota tepelného toku ve směru normály k povrchu, – součinitel přestupu (přenosu) tepla, – teplota v jádře proudícího média, – teplota stěny.

3. Přenos tepla zářením Tuhé látky, kapaliny a některé plyny emitují, zvláště při vyšších teplotách, energii různých forem – UV záření, γ záření, ... Nositelem přenášené energie jsou elektromagnetické vlny. Tepelné záření (tepelná radiace; sálání) se uplatňuje v oboru vlnových délek přibližně 10-7 ÷ 10-4 m. Přenos tepla zářením mezi dvěma povrchy o různých teplotách probíhá narozdíl od předchozích mechanismů nezávisle na prostředí, které prostor mezi povrchy vyplňuje.


5


Stefan – Boltzmannův zákon – vyjadřuje celkovou hustotu zářivého toku absolutně černého tělesa

! ! q • n = qn = σ ( s ) ⋅ T 4 , kde

(III – 7)

! n

– vektor normály, qn – hustota tepelného toku ve směru normály k povrchu, σ (s ) – Stefan – Boltzmannova konstanta ; σ (s ) = 5,67.10-8 W/m2.K4, T – teplota povrchu.


6


IV. Fourier – Kirchhoffova rovnice 1. Fourier – Kirchhoffova rovnice •

Diferenciální tvar

Diferenciální rovnice přenosu entalpie pro nestlačitelnou kapalinu se zanedbatelně malou objemovou roztažností

! ! !! ! " (g ) DT ρ ⋅cp = −∇ • q + τ : d + Q Dt

+

(IV – 1)

Fourierův zákon v homogenním izotropním prostředí

! q = − λ ⋅ ∇T

+

(IV – 2)

konstitutivní rovnice pro newtonské kapaliny

!! !! τ = 2µ ⋅ d

=

(IV – 3)

Fourier – Kirchhoffova rovnice (F.K. rovnice)

!! !! DT 2 ρ ⋅cp = λ ⋅ ∇ T + 2 µ ⋅ d : d + Q" (g ) Dt

(IV – 4)

resp. v pevném kontrolním objemu:

!! !! ∂T ! 2 ρ ⋅cp ⋅ + ρ ⋅ c p ⋅ u • ∇T = λ ⋅ ∇ T + 2 µ ⋅ d : d + Q" (g ) ∂t ↑ 1

↑ 2

↑ 3

↑ 4

(IV – 5)

↑ 5

1 – rychlost akumulace entalpie v pevném kontrolním objemu všemi mechanismy s vyjímkou záření 2 – rychlost konvektivního přívodu entalpie povrchem kontrolního objemu 3 – rychlost konduktivního přívodu entalpie povrchem kontrolního objemu 4 – rychlost disipace mechanické energie v pevném kontrolního objemu 5 – výkon objemového zdroje energetické přeměny uvnitř kontrolního objemu 2 Laplaceův operátor ∇ = ∇ • ∇


7



!! !! ∂T ! 2 ρ ⋅cp ⋅ + ρ ⋅ c p ⋅ u • ∇T = λ ⋅ ∇ T + 2 µ ⋅ d : d + Q" (g ) ∂t  ∂T ∂  ∂ ∂ + u _• ρ ⋅ c p  • T  = λ ⋅ T + 2 µ ⋅ d _ . _ : d _ . _ + Q" ( g ) ∂x _  ∂x _ ∂x _  ∂t  ∂T ∂T  ∂ 2T  + ∑u j • =λ ⋅∑ + 2 µ ⋅ ∑∑ d ij ⋅ d ji + Q" ( g ) ρ ⋅cp ⋅ 2  ∂t ∂x j  j j ∂x j i j    ∂T ∂T ∂T ∂T  = + ux ⋅ + uy ⋅ + uz ⋅ ρ ⋅ c p ⋅  ∂x ∂y ∂z   ∂t  ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T   + 2 µ ⋅ ∑∑ d ij ⋅ d ji +Q" ( g ) = λ ⋅ + +  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2  i j  

(IV – 6a)

(IV – 6b)

(IV – 6c)

(IV – 7)

Cylindrické souřadnice

 ∂T ∂T ρ ⋅ c p ⋅  + ur ⋅ ∂r  ∂t  1 ∂  ∂T  = λ ⋅  ⋅ r +  r ∂r  ∂r  •

(IV – 8) uϕ ∂T ∂T  = + ⋅ + uz ⋅ ∂z  r ∂ϕ 1 ∂ 2T ∂ 2T  ⋅ + + 2 µ ⋅ ∑∑ d ij ⋅ d ji + Q" ( g )  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2  i j cylindr.s.

Integrální tvar (IV – 9)

!# !# ∂T ! ! ! ! (g) ∫ ρ ⋅ c p ⋅ ∂t ⋅ dV = − ∫ n • q ⋅ dS − ∫ ρ ⋅ c pT ⋅ n • u ⋅ dS + ∫ τ : d ⋅ dV + ∫ Q" dV V S S V V Použití F.K. rovnice

• •

Výpočet teplotního pole (rozložení teplot) T(t,xi) v tuhé látce nebo newtonské kapalině. Následné stanovení hustoty tepelného toku q z teplotního rozložení.

2. F.K. rovnice pro tuhé látky !! ! Vzhledem k tomu, že : u = 0 a d = 0 : ________________________________________________________________________________ Přenos tepla – přehled základních rovnic 1

8


ρ ⋅cp ⋅

∂T = λ ⋅ ∇ 2T + Q" ( g ) ∂t

(IV – 10)

3. Řešení F.K. rovnice – počáteční a okrajové podmínky • Počet počátečních podmínek 1 časová derivace teploty podle času ⇒ 1 počáteční podmínka – znalost teplotního rozložení v čase t = 0 : T(xi, t = 0) = T0(xi). • Počet okrajových podmínek Druhá derivace teploty podle souřadnice ⇒ počet okrajových podmínek = 2. počet prostorových souřadnic. Př.1 – Nekonečná deska, neomezený válec, koule = jedna prostorová souřadnice ⇒ 2 okrajové podmínky. Př.2 – Konečný válec = dvě prostorové souřadnice ⇒ 4 okrajové podmínky. Př.2 – Kvádr = tři prostorové souřadnice ⇒ 6 okrajových podmínek.

4. Typy okrajových podmínek 4.1 Okrajová podmínka I. druhu (Dirichletova) Je zadána teplota stěny TS jako funkce času:

T (t , x = 0) = TS (t ) Příklad:

(IV – 11)

- ohřev kondenzující parou - chlazení vroucí kapalinou

4.2 Okrajová podmínka II. druhu (Neumannova)

!

Je zadána hustota tepelného toku q na stěně jako funkce času:

∂T ! ! q (t , x = 0) = qS (t ) = −λ ⋅ ∂x x = 0 Příklad:

(IV – 12)

- elektrický ohřev (vytápěné desky, trubkové ohřívače opatřené topnou spirálou - přenos tepla zářením


9


Speciální případ: Izolovaný povrch, osy nebo roviny symetrie v tělese nebo objemu kapaliny při symetrickém ohřevu nebo chlazení.

∂T ! ! = q (t , x = 0) = qS (t ) = 0 ∂n x = 0

(IV – 13)

4.3 Okrajová podmínka III. druhu (Fourierova) Podmínka spojitosti hustot tepelného toku na mezifázovém rozhraní proudící kapalina – stěna: teplo převedené tělesu/z tělesa kondukcí (vedením)

λ⋅ kde

=

teplo odvedené/přivedené prostředím konvekcí

(

∂T = α ⋅ T f − TS ∂x x = 0

)

(IV – 14)

Tf – teplota v jádru proudícího prostředí, TS – teplota stěny, α – součinitel přestupu tepla (viz Přirozená, nucená konvekce).

4.4 Okrajová podmínka IV. druhu Podmínka spojitosti hustot tepelného toku na styku dvou těles: (1) ∂T

λ

⋅

(1)

∂x

( 2) ∂T

=λ x=H

⋅

(IV – 15)

( 2)

∂x

x=H

Pro tuhá tělesa a dokonalý styk přechází (IV – 15) v podmínku spojitosti teplotních rozložení:

T (1) Příklad:

x=H

= T ( 2)

(IV – 16) x=H

- složené stěny.

Pozn. V praxi nelze tuto podmínku (IV – 16) přesně realizovat ; nutno zahrnout tepelný odpor styku.


10


V. Stacionární vedení tepla Stacionární vedení tepla stagnantním prostředím, tj. tělesy a kapalinou, ve které se neprojevuje přirozená konvekce.

ρ ⋅cp ⋅

∂T # = −∇ • q + Q" ( g ) = λ ⋅ ∇ 2T + Q" ( g ) ∂t

(V – 1)

A. Stacionární jednorozměrné vedení tepla bez vnitřních zdrojů A1. Neomezená deska A2. Neomezený dutý válec A3. Kulová stěna B. Stacionární jednorozměrné vedení tepla s vnitřním objemovým zdrojem tepla B1. Neomezená deska B2. Neomezený válec, koule B3. Neomezená válcová a kulová stěna C. Stacionární rovinná a prostorová pole

A. Stacionární jednorozměrné vedení tepla bez vnitřních zdrojů Laplaceova rovnice Kartézské souřadnice

∂ 2T ∂x 2


(V – 2)

∇ 2T = 0 +

∂ 2T ∂y 2

+

∂ 2T ∂z 2

=0

1 ∂  ∂T  1 ∂ 2T ∂ 2T ⋅ r ⋅ + =0 + r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2

(V – 3)

(V – 4)


11


A1. Neomezená deska A1.1 Jedna deska ∂ 2T ∂x 2

OP1: T(x = 0) = TSi OP2: T(x = H) = TSe

=0

(A1 – 1)

• Teplotní profil Přímkový profil.

T ( x) = −(TSi − TSe ) ⋅ •

x + TSi H

(A1 – 2)

Hustota tepelného toku 1 m2 plochy

qx =

λ (TSi − TSe ) H

•

Tepelný tok stěnou o ploše S

•

Termický odpor

(A1 – 3)

Q" = q x ⋅ S

RT = λ H TSi TSe -

(A1 – 4)

(TSi − TSe ) Q"

=

H 1 ⋅ λ S

(A1 – 5)

tepelná vodivost desky tloušťka desky teplota stěny desky na povrchu desky blíže k počátku souřadného systému teplota stěny desky na povrchu desky dále od počátku souřadného systému

A1.2 Složená deska •


qx =

1 ⋅ (TSi − TSe ) Hj

∑λ j

•

(A1 – 6)

j

Tepelný tok stěnou o ploše S

Q" = q x ⋅ S

(A1 – 7)


12


A1.3 Konvektivně konduktivní přenos tepla •


(

q x = k ⋅ T fi − T fe

)

(A1 – 8)

kde k – součinitel prostupu tepla. •

Součinitel prostupu tepla

k=

•

(A1 – 9)

1 Hj

1 1 +∑ + αi αe j λj

Termický odpor prostředí na mezifázovém povrchu

RT =

(TSi − TSe ) Q"

=

1 1 ⋅ α S

(A1 – 10)

Symboly: α i - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povrchem stěny nejblíže k počátku souřadného systému α e - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povrchem stěny nejdále od počátku souřadného systému λ j - tepelná vodivost j – té desky H j - tloušťka j – té desky Tfi - teplota v jádru tekutiny na straně stěny nejblíže k počátku souřadného systému Tfe - teplota v jádru tekutiny na straně stěny nejdále od počátku souřadného systému TSi - teplota stěny krajní desky na povrchu nejblíže k počátku souřadného systému TSe - teplota stěny krajní desky na povrchu nejdále od počátku souřadného systému


13


A2. Neomezený dutý válec A2.1 Jeden dutý válec 1 ∂  ∂T  ⋅ r =0 r ∂r  ∂r 

OP1: T(r = Ri) = TSi OP2: T(r = Re) = TSe

(A2 – 1)

• Teplotní profil Logaritmický profil.

r Re + TSe T (r ) = (TSi − TSe ) ⋅ Ri ln Re ln

(A2 – 2)

• Hustota tepelného toku na poloměru r na 1 m délky Hyperbolický profil

q(r ) =

•

Tepelný tok na 1 m délky

q"1m =

•

Tepelný tok na délce L

•

Termický odpor

λ 1 ⋅ (TSi − TSe ) ⋅ R r ln e Ri

(A2 – 4) π 2π ⋅ λ ⋅ (TSi − TSe ) = ⋅ (TSi − TSe ) R D 1 ⋅ ln e ln e 2⋅λ Ri Di

Q" = q"1m ⋅ L

RT = λ Di De TSi TSe -

(A2 – 3)

(TSi − TSe ) Q"

(A2 – 5)

=

ln( Re / Ri ) 1 ⋅ L 2π ⋅ λ

(A2 – 6)

tepelná vodivost desky vnitřní průměr dutého válce vnější průměr dutého válce teplota stěny vnitřního povrchu dutého válce teplota stěny vnějšího povrchu dutého válce


14


•

Lineární aproximace

ln( Re / Ri ) = 2 H / D

kde H = 1 2 ⋅ ( De − Di ) a D = 1 2 ⋅ ( De + Di )

Q" = q x ⋅ S

kde S = π ⋅ D ⋅ L a qx dle (A1 – 3)

(A2 – 7)

Chyba aproximace: κ ≥ 0,5 relativní chyba aproximace < 4 % κ ≥ 0,67 relativní chyba aproximace < 1,4 % kde κ = Ri/Re = Di/De

A2.2 Složená válcová stěna •

Tepelný tok na 1m délky

q"1m =

π 1

∑ 2λ j

•

j

⋅ ln

Dej

⋅ (TSi − TSe )

(A2 – 8)

Dij


Q" = q"1m ⋅ L

(A2 – 9)

A2.3 Konvektivně konduktivní přenos tepla •

Součinitel prostupu tepla na 1m délky

k1m =

•

Dej 1 1 1 +∑ ⋅ ln + α i ⋅ Di λ Dij α e ⋅ De j 2 j (A2 – 11)

k1m π ⋅ De

Součinitel prostupu tepla vztažený na vnitřní povrch složené válcové stěny

ki = •

(A2 – 10)

Součinitel prostupu tepla vztažený na vnější povrch složené válcové stěny

ke = •

π

(A2 – 12)

k1m π ⋅ Di

Hustota tepelného toku vztažená na 1 m2 vnější plochy

(

qe = k e ⋅ T fi − T fe

)

(A2 – 13)


15


•

Hustota tepelného toku vztažená na 1 m2 vnitřní plochy

•

Tepelný tok na 1m délky

•


(

qi = ki ⋅ T fi − T fe

(

)

q"1m = k1m ⋅ T fi − T fe

(A2 – 14)

)

(A2 – 15)

Q" = q"1m ⋅ L

(A2 – 16)

Q" = qe ⋅ S e = qe ⋅ π ⋅ De ⋅ L

(A2 – 17)

Q" = qi ⋅ Si = qi ⋅ π ⋅ Di ⋅ L

(A2 – 18)

Symboly: α i - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povrchem válcové stěny nejblíže k počátku souřadného systému α e - součinitel přestupu tepla mezi tekutinou a povrchem válcové stěny nejdále od počátku souřadného systému λ j - tepelná vodivost j – té válcové stěny Di - vnitřní průměr krajní válcové stěny nejblíže k počátku souř.systému ; Di = Di1 De - vnější průměr krajní válcové stěny nejdále od počátku souř.systému ; De = Den Dij - vnitřní průměr j- té válcové stěny Dej - vnější průměr j – té válcové stěny n - číslo poslední válcové stěny ; číslováno vzestupně směrem od počátku souř. systému Tfi - teplota v jádru tekutiny na straně stěny nejblíže k počátku souřadného systému Tfe - teplota v jádru tekutiny na straně stěny nejdále od počátku souřadného systému TSi - teplota stěny vnitřního povrchu krajní válcové stěny nejblíže k počátku souř.s. TSe - teplota stěny vnějšího povrchu krajní válcové stěny nejdále od počátku souř. s.


16


A3. Kulová stěna ∂  2 ∂T  r ⋅ =0 ∂r  ∂r 

OP1: T(r = Ri) = TSi OP2: T(r = Re) = TSe

(A3 – 1)

• Teplotní profil Hyperbolický profil.

T (r ) =

1 / Re  Re  ⋅ 1 −  ⋅ (TSi − TSe ) + TSe 1 1  r  − Ri Re

(A3 – 2)

• Hustota tepelného toku na poloměru r Hyperbolický profil

q ( r ) = −λ ⋅

•

∂T 1 1 =λ⋅ ⋅ (TSi − TSe ) ⋅ 1 1 ∂r r2 − Ri Re

Tepelný tok

Q" = q (r ) ⋅ S = q ( r ) ⋅ 4π ⋅ r 2 = λ ⋅

•

4π

⋅ (TSi − TSe ) 1 1 − Ri Re

(A3 – 3)

(A3 – 4)

Termický odpor

 1 1   1 1      − − (TSi − TSe )  Ri Re   Di De  = = RT = Q" 4π ⋅ λ 2π ⋅ λ λ Di De TSi TSe -

(A3 – 5)

tepelná vodivost kulové stěny vnitřní průměr kulové stěny vnější průměr kulové stěny teplota stěny vnitřního povrchu kulové stěny teplota stěny vnějšího povrchu kulové stěny


17


B. Stacionární jednorozměrné vedení tepla s vnitřním objem. zdrojem tepla Poissonova rovnice

(V – 5)

Q" ( g ) 0=∇ T + λ 2


Q" ( g ) + + + 0= 2 2 2 λ ∂x ∂y ∂z

(V – 6)


1 ∂  ∂T  1 ∂ 2T ∂ 2T Q" ( g ) ⋅ + + 0 = ⋅ r + λ r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2

(V – 7)

∂ 2T

∂ 2T

∂ 2T

• Objemový zdroj Vazba mezi vnitřním objemovým zdrojem tepla a hustotou tepelného toku:

! ! Q" ( g ) ⋅ V = q • n ⋅ S kde

(V – 8)

V – objem tělesa o povrchu S, ! n! - normála, q - hustota tepelného toku na ploše S.

Př. Vedení tepla v el.vodiči pod proudem o průřezu S

P R ⋅ I 2 ρ (el ) ⋅ I 2 = , Q" ( g ) = = 2 V S⋅L S kde

P V R ρ(el) I S

(V – 9)

– výkon tepelného zdroje, – objem, – elektrický odpor ; R = ρ(el).L/S, kde S průřez vodiče, L délka vodiče, – měrný elektrický odpor – elektrický proud, – průřez vodiče.


18


B1. Neomezená deska tloušťky H !!!! počátek souřad. systému v ose desky!!!! OP1: osa desky T(x = 0) = (∂T/∂x) = 0 OP2: povrch desky OP III. druhu -λ(∂T/∂x)povrch = α(TS – Tf)

∂ 2T

Q" ( g ) + 0= 2 λ ∂x •

(B1 – 1)

Integrace

∂T Q" ( g ) =− ⋅ x + C1 λ ∂x 1 Q" ( g ) 2 ⋅ x + C1 ⋅ x + C2 T =− ⋅ 2 λ

(B1 – 2a) (B1 – 2b)

• Teplotní profil Parabolický profil 2  Q" ( g ) 4⋅λ  x   2 ⋅ H ⋅ 1 + − T ( x) − T f =   8⋅λ  α ⋅ H  H / 2  

(B1 – 3)

2  Q" ( g )  2x   2 ⋅ H ⋅ 1 + 4 / Bi −    , T ( x) − T f = 8⋅λ  H   

(B1 – 4)

Bi = kde

α⋅H , λ

(B1 – 5)

Bi – Biotovo číslo, TS – teplota povrchu, Tf – teplota prostředí, H – tloušťka desky, x – souřadnice polohy.

Pozn. Okrajová podmínka I. druhu na povrchu desky: Bi → ∞ .


19


B2. Neomezený válec

1 ∂  ∂T  Q" ( g ) 0 = ⋅ r + λ r ∂r  ∂r 

Rovnice:

•

Konvektivní přestup tepla na povrchu

(B2 – 1)

OP1: osa válce T(r = 0) = (∂T/∂r) = 0 OP2: povrch válce OP III. druhu -λ(∂T/∂r)povrch = α(TS – Tf)

Teplotní profil Parabolický profil: 2 Q" ( g ) 2  2 ⋅ λ  r   ⋅ R ⋅ 1 + −   T (r ) − T f = ⋅ α 4⋅λ R  R   

(B2 – 2)

2 Q" ( g ) 2  r  ⋅ R ⋅ 1 + 4 / Bi −    , T (r ) − T f = 4⋅λ  R   

(B2 – 3)

Bi = kde

α⋅D , λ

(B2 – 4)

Bi – Biotovo číslo, D – průměr válce, R – poloměr válce TS – teplota povrchu válce, Tf – teplota prostředí.

Pozn. Okrajová podmínka I. druhu na povrchu válce: Bi → ∞ . •

Konvektivně - konduktivní přestup tepla OP1: osa válce T(r = 0) = (∂T/∂r) = 0 na povrchu OP2: povrch válce OP III. druhu -λ(∂T/∂r)povrch = ki. (TS – Tf)

Teplotní profil Parabolický profil: 2  Q" ( g ) 2⋅λ  r   2 ⋅ R ⋅ 1 + −   T (r ) − T f = 4⋅λ  k i ⋅ R  R  

(B2 – 5)

2 Q" ( g ) 2  r  ⋅ R ⋅ 1 + 4 / Bimodif −    , T (r ) − T f = 4⋅λ  R   

(B2 – 6)


20


k ⋅D , Bimodif = i λ ki =

(B2 – 8)

k1m π ⋅D

k1m =

1

∑ 2λ j

kde

Bimodif D De R ki TS Tf T(r)

(B2 – 7)

j

⋅ ln

π Dej Dij

(B2 – 9)

+

1 α e ⋅ De

– modifikované Biotovo číslo, – průměr válce s objemovým zdrojem, – vnější průměr složené válcové stěny, – poloměr válce s objemovým zdrojem, – součinitel prostupu tepla složené válcové stěny bez objemového zdroje tepla vztažený k vnitřnímu povrchu této složené stěny, – teplota povrchu složené válcové stěny, – teplota prostředí, – teplotní rozložení ve válci s objemovým zdrojem tepla,

B3. Koule 2 Q" ( g ) 2  2 ⋅ λ  r   ⋅ R ⋅ 1 + −   T (r ) − T f = 6⋅λ  α ⋅ R  R  

(B3 – 1)

2 Q" ( g ) 2  r  ⋅ R ⋅ 1 + 4 / Bi −    , T (r ) − T f = 6⋅λ  R   

(B3 – 2)

Bi = kde

α⋅D , λ

(B3 – 3)

Bi – Biotovo číslo, D – průměr koule, R – poloměr koule, TS – teplota povrchu, Tf – teplota prostředí.

B4. Neomezená válcová a kulová stěna Vzhledem k tomu, že 0 < Ri ≤ r ≤ Re , do rovnice teplotního rozložení ještě přistoupí v případě válcové stěny logaritmický a v případě kulové stěny hyperbolický člen. ________________________________________________________________________________ Přenos tepla – přehled základních rovnic 1

21


C. Stacionární rovinná a prostorová pole C1. 2D a 3D pole pro λ = konst.

Laplaceova rovnice ; v jednodušších případech analyticky, jinak numericky.

C2. Tvarový součinitel ST Jestliže je těleso, v kterém určujeme teplotní profil, omezené dvěma izotermními plochami S1 a S2 s konstantní teplotou T1 resp. T2, pak pro tepelný tok převedený z teplejší izotermní plochy S1 určitého objektu o teplotě T1 do jeho chladnější izotermní plochy S2 o teplotě T2 lze ve stacionárním režimu pro prostředí λ = konst. odvodit:

Q" = λ ⋅ ST ⋅ (T1 − T2 )

(C2 – 1)

kde ST – tvarový faktor. •

Redukovaný tvarový součinitel (1) S ST = T L

•

(C2 – 2)

Složitější geometrie

Paralelní řazení

ST = ∑ STi

(C2 – 3)

1 1 =∑ ST i STi

(C2 – 4)

i

Sériové řazení

Hodnoty ST pro některé jednoduché geometrie jsou uvedeny v tabulce nebo např. v Kutatěladze, Borišanskij: Sdílení tepla (1962). Hodnoty uvedené v následující tabulce platí přesně pouze pro konduktivní přenos tepla izotermními plochami. V některých případech lze v praxi reálnější okrajové podmínky III. druhu na vstupních i výstupních plochách aproximovat pomocí fiktivní délky λ/α. Tvarový faktor – tabulka


22



23


Radek Šulc 2002 ________________________________________________________________________________ 24 Přenos tepla – přehled základních rovnic 1

U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze ____________________________________________________________________________________________________________

VI. Nestacionární vedení tepla Nestacionární vedení tepla stagnantním prostředím, tj. tělesy a kapalinou, ve které se neprojevuje přirozená konvekce. F. K. rovnice

•

ρ ⋅cp ⋅

∂T v = −∇ • q + Q& ( g ) = λ ⋅ ∇ 2T + Q& ( g ) ∂t

(VI – 1)

Nestacionární vedení tepla v prostředí bez vnitřních zdrojů tepla a s neproměnnými fyzikálními vlastnostmi:

λ ∂T = ⋅ ∇ 2T = a ⋅ ∇ 2T ∂t ρ ⋅ c p

Fourierova rovnice kde •

a

– součinitel teplotní vodivosti.

Biotovo číslo

Bi = vnitřní termický odpor (kondukcí) = L / λ = α ⋅ L vnější termický odpor (konvekcí) 1/ α λ kde

(VI – 2)

α L λ

(VI – 3)

– součinitel přestupu tepla, – charakteristický rozměr – tepelná vodivost tělesa.

Hodnota Biotova čísla poskytuje informaci, který z obou termických odporů bude v daném konkrétním případě dominantní, což ovlivňuje o řešení. •

Případy

A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor Bi << 1 Dominance vnějšího konvektivního odporu. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor ⇒ teplotní gradienty uvnitř tělesa zanedbatelné. Prakticky Bi < 0,1 teplota povrchu ≈ teplota tělesa. Případy: Tělesa • s malým charakteristickým rozměrem (např. malé částice, dráty, tenké plechy). • s vysokou tepelnou vodivostí (např. kovy). • s malým součinitelem přestupu tepla α (např. vzduch nebo jiné plyny) B. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor Bi >> 1 Zanedbatelný vnější konvektivní odpor. Dominance vnitřního konduktivního termického odporu. Případy: Opačné případy než v předchozím případě, tj.: tělesa: • s velkým charakteristickým rozměrem • s nízkou tepelnou vodivostí (např. kovy). • s vysokým součinitelem přestupu tepla α (např. kondenzující pára) __________________________________________________________________________________________________

Přenos tepla – přehled základních rovnic 2

1


Teplota povrchu stěny TS se v tomto případě liší od teploty prostředí Tf relativně málo ; v mezním případě Tf = TS (okrajová podmínka I. druhu) – prakticky pro Bi > 100. C. Termické odpory stejného řádu Bi ≈ 1 Oba termické odpory jsou téhož řádu ; ani jeden nelze zanedbat. Na povrchu se uplatňují okrajové podmínky III. druhu.

A. Nestacionární vedení tepla v tělesech se zanedbatelným vnitřním termickým odporem Bi << 1 F. K. rovnice

•

ρ ⋅cp ⋅

∂T v = −∇ • q ∂t

(A – 1)

∂T r r ⋅ dV = − ∫ n • q ⋅ dS ∂t V S

(A – 2)

Integrální tvar

ρ ⋅cp ⋅ ∫ •

Teplota tělesa v čase t

Pro Bi << 1 teplota tělesa T a hustota tepelného toku q nezávisí na souřadnici ; lze T i q umístit před integrál:

ρ ⋅ c p ⋅V

∂T = −α ⋅ (T − T f ) ⋅ S ∂t

(A – 3)

Po integraci s počáteční podmínkou: teplota tělesa T(t = 0) = T0 :

  α ⋅S ⋅ t = exp− T0 − T f  ρ ⋅ c p ⋅ V 

T (t ) − T f

•

Tepelný tok povrchem tělesa S a objemu V v čase t

(

)

Q& (t ) = α ⋅ T (t ) − T f ⋅ S •

(A – 4)

(A – 5)

Celkové množství tepla převedeného povrchem tělesa za dobu t    α ⋅S Q = ∫ Q& (t )dt = − ρ ⋅ c p ⋅ V ⋅ (T0 − T f ) ⋅ 1 − exp − ⋅ t   ρ ⋅ c p ⋅ V     0 t

(A – 6)

Q = − ρ ⋅ c p ⋅ V ⋅ (T0 − T (t ))

Tf – teplota prostředí, cp – měrná tepelná kapacita, ρ - hustota.

__________________________________________________________________________________________________


2


B. Nestacionární vedení tepla v tělesech se zanedbatelným vnějším termickým odporem Bi >> 1

λ ∂T = ⋅ ∇ 2T = a ⋅ ∇ 2T ∂t ρ ⋅ c p

Fourierova rovnice

(B – 1)

B1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) •

Skoková změna teploty + OP I.druhu T (t,x) = T (t = 0, 0 ≤ x < ∞ ) = T0 OP1: teplota stěny T (t > 0, x = 0) = TS OP2: teplota polomasivu T (t > 0, x → ∞) = T0

Počáteční podmínka Okrajové podmínky •

Nestacionární teplotní profil

T

+

T − T0 = = 1 − erf (η ) = erfc(η ) T S − T0

(B1 – 1)

kde bezrozměrná polohová souřadnice η :

η= kde •

(B1 – 2)

x 2⋅ a ⋅t

erf (x) – Gaussův integrál chyb erfc(x) – komplementární funkce Gaussova integrálu chyb erf(x) ; erf(x) + erfc(x) = 1. Teplotní gradient

∂T exp(−η 2 ) = −(TS − T0 ) ⋅ ∂x π ⋅a⋅t •

Hustota tepelného toku na povrchu poloneomezeného prostředí

q x = −λ ⋅ kde •

(B1 – 3)

δT

λ λ ∂T = (TS − T0 ) ⋅ = ⋅ (TS − T0 ) ∂x x = 0 π ⋅ a ⋅ t δT

(B1 – 4)

– penetrační hloubka konduktivního přenosu tepla.

Celkové množství tepla převedeného do prostředí plochou S za čas t t

Q = S ⋅ ∫ q x dt = 0

λ λ ⋅ (TS − T0 ) ⋅ S ⋅ 2 t = 2 ⋅ ⋅ (TS − T0 ) ⋅ S ⋅ t δT π ⋅a

(B1 – 5)

__________________________________________________________________________________________________


3


•

Penetrační hloubka konduktivního přenosu tepla (B1 – 6)

δT = π ⋅ a ⋅ t

Interpretace: Za dobu t od okamžiku teplotního skoku na povrchu z T0 na TS dojde v penetrační hloubce δT k relativnímu zvýšení teplotní diference o 21 % (T+ = 0,21). •

Použití pro konečná tělesa

Závislost platnou pro nestacionární vedení tepla v poloneomezeném prostředí lze s dostatečnou přesností použít i pro konečná tělesa s charakteristickým rozměrem L, pokud Fourierovo číslo Fo = a.t/L2 < 0,04 (δT << L).

•

Graf funkce erf(x), erfc(x)

•

Tabulka funkce erf(x)

__________________________________________________________________________________________________


4


C. Nestacionární vedení tepla v tělesech s termickými odpory stejného řádu Bi ≈ 1

∂T λ = ⋅ ∇ 2T = a ⋅ ∇ 2T ∂t ρ ⋅ c p

Fourierova rovnice

(C – 1)

C1. Poloneomezené prostředí C2. Neomezená deska C3. Neomezený válec C4. Koule C5. 2D a 3D tělesa

C1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) •

Skoková změna teploty + OP III.druhu


T (t,x) = T (t = 0, 0 ≤ x < ∞ ) = T0 OP1: OP III.druhu OP2: teplota polomasivu T (t > 0, x → ∞) = T0

Nestacionární teplotní profil

T * = f ( Bi x , Fo*) Bi x   Bi x   T * = erfc  + exp( Bi x + Fo*) ⋅ erfc Fo * +  2 Fo *   2 Fo *  

(C1 – 1)

v grafické formě viz. obr. kde bezrozměrná teplota

Biotovo číslo

Fourierovo číslo

kde

T* =

Tf −T T f − T0

Bi x =

Fo* =

=1− T +

α⋅x λ a ⋅t L2fikt

(C1 – 2)

(C1 – 3)

=

a ⋅t

(C1 – 4)

(λ / α )2

x – souřadnice (počátek souřadného systému na povrchu polomasívu), Tf – teplota prostředí, T0 – počáteční teplota poloneomezeného prostředí, α – součinitel přestupu tepla, erfc(x) – komplementární funkce Gaussova integrálu chyb erf(x) ; erf(x) + erfc(x) = 1. __________________________________________________________________________________________________


5


•

Teplota na povrchu poloneomezeného prostředí

x = 0 ⇒ Bix = 0

(

T * = exp( Bi x ) ⋅ erfc Fo *

)

(C1 – 5)

• Použití pro konečná tělesa Vztahy pro poloneomezené prostředí platí přesně také pro poloneomezené tyče nekonečné délky libovolného avšak konstantního průřezu s tepelně izolovaným povrchem.

__________________________________________________________________________________________________


6


C2. Neomezená deska !! POZOR !! – počátek souřadného systému v ose desky ⇒ H – polovina tloušťky desky !!! •



T (t, x) = T (t = 0, -H ≤ x < H ) = T0 OP III.druhu

Nestacionární teplotní profil v desce tloušťky 2H

T * = f ( x*, Fo, Bi ) ; v grafické formě viz. obr.

(C2 – 1)

T −Tf Tf −T T* = = =1− T + T0 − T f T f − T0

(C2 – 2)

kde bezrozměrná teplota

bezrozměrná souřadnice polohy Fourierovo číslo

Biotovo číslo

kde

•

x H Tf T0 α

x* =

Fo = Bi =

x H

(C2 – 2)

a ⋅t

(C2 – 3)

H2

α ⋅H λ

(C2 – 4)

– souřadnice (počátek souřadného systému v ose desky), – tloušťka poloviny desky ; (⇒ tloušťka desky 2H), – teplota prostředí, – počáteční teplota neomezené desky, – součinitel přestupu tepla.

Hustota tepelného toku na 1m2 povrchu

q = α ⋅ (T f − TS )

(C2 – 5)

kde TS = f(t), která se vypočte z T*(x* = 1, Fo, Bi) • Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny TS = konst. OP. I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 ; teplotní profil T* = f (x*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0.

__________________________________________________________________________________________________


7


T*

Neomezená deska – povrch desky

T*

Neomezená deska – osa desky

Neomezená deska __________________________________________________________________________________________________


8


C3. Neomezený válec •



T (t, r) = T (t = 0, 0 ≤ r ≤ R ) = T0 OP III.druhu

Nestacionární teplotní profil ve válci o poloměru R

T * = f (r*, Fo, Bi ) ; v grafické formě viz. obr.

(C3 – 1)

T −Tf Tf −T T* = = =1− T + T0 − T f T f − T0

(C3 – 2)



Biotovo číslo

kde

•

r R Tf T0 α

r R

r* = Fo = Bi =

a ⋅t

(C3 – 2)

(C3 – 3)

R2

α ⋅R λ

(C3 – 4)

– poloměr (počátek souřadného systému v ose válce), – poloměr neomezeného válce, – teplota prostředí, – počáteční teplota neomezeného válce, – součinitel přestupu tepla.


q = α ⋅ (T f − TS )

(C3 – 5)

kde TS = f(t), která se vypočte z T*(r* = 1, Fo, Bi) • Okrajová podmínka I. druhu - teplota povrchu TS = konst. OP. I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 ; teplotní profil T* = f (r*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0.

__________________________________________________________________________________________________


9


T*

Neomezený válec – povrch válce

T*

Neomezený válec – osa válce

Neomezený válec __________________________________________________________________________________________________


10


C4. Koule •



T (t, r) = T (t = 0, 0 ≤ r ≤ R ) = T0 OP III.druhu

Nestacionární teplotní profil v kouli o poloměru R

T * = f (r*, Fo, Bi ) ; v grafické formě viz. obr.

(C4 – 1)

T −Tf Tf −T T* = = =1− T + T0 − T f T f − T0

(C4 – 2)



Biotovo číslo

kde

•

r R Tf T0 α

r R

r* = Fo = Bi =

a ⋅t

(C4 – 2)

(C4 – 3)

R2

α ⋅R λ

(C4 – 4)

– poloměr (počátek souřadného systému ve středu koule), – poloměr koule, – teplota prostředí, – počáteční teplota koule, – součinitel přestupu tepla.


q = α ⋅ (T f − TS )

(C3 – 5)

kde TS = f(t), která se vypočte z T*(r* = 1, Fo, Bi) • Okrajová podmínka I. druhu - teplota povrchu TS = konst. OP. I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 ; teplotní profil T* = f (r*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0.

__________________________________________________________________________________________________


11


Koule

__________________________________________________________________________________________________


12


C4. 2D a 3D tělesa •

•

Základní jednorozměrná pole – označení

T * poloneomezené prostředí ≡ P ( xi )

(C4 – 1)

T * neomezená deska ≡ D( x j )

(C4 – 2)

T * neomezený válec ≡ V (r )

(C4 – 3)

Newtonův multiplikativni princip(1936)

Těleso konečného rozměru – průnik elementárních případů Př. Konečný válec – průnik nekonečného válce a neomezené desky Teplotní profil konečného válce:

T * (r , x ) ≡ V (r ) ⋅ D( x)

(C4 – 5) Platnost • Tento princip v zásadě vzato platí pro okrajové podmínky II. nebo III. druhu resp. II. druhu pro izolované stěny. • Na protilehlých površích musí být hodnoty Biotova čísla Bi shodné, mohou se však lišit na površích sousedních.

Radek Šulc 2002

__________________________________________________________________________________________________


13

U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze ___________________________________________________________________________________________________________

VII. Nucená konvekce Fourier – Kirchhoffova rovnice

rr rr ∂T r 2 + ρ ⋅ c p ⋅ u • ∇T = λ ⋅ ∇ T + 2µ ⋅ d : d + Q& (g ) ρ ⋅cp ⋅ ∂t •

(VII – 1)

Stacionární děj, bez vnitřního zdroje, se zanedbatelnou viskózní disipací

r

ρ ⋅ c p ⋅ u • ∇T = λ ⋅ ∇ 2T

(VII – 2)

1. Inspekční analýza F.K. rovnice Bezrozměrná kritéria • Pécletovo číslo – poměr rychlosti konvektivního a konduktivního přenosu tepla.

Pe = kde

r u L a Re Pr

r

ρ ⋅ c p ⋅ u ⋅ ∇T λ ⋅ ∇ 2T

u ⋅L = = Re⋅ Pr a

(VII – 3)

– rychlost proudící tekutiny, – charakteristický rozměr – teplotní vodivost tělesa, – Reynoldsovo číslo, – Prandtlovo číslo.

• Prandtlovo číslo – vyjadřuje míru podobnosti mezi rychlostním a teplotním polem.

Pr = kde

ν a

ν a

(VII – 4)

,

– kinematická viskosita, – teplotová vodivost.

• Nusseltovo číslo – poměr rychlosti přestupu tepla mezifázovou plochou ku rychlosti konduktivního přenosu tepla.

Nu = kde

α L λ

α ⋅ S ⋅ ∆T / V λ ⋅ ∇ 2T

=

α ⋅ ∆T / L λ ⋅ ∆T / L2

=

α ⋅L , λ

(VII – 5)

– součinitel přestupu tepla, – charakteristický rozměr, – tepelná vodivost tekutiny (!!! nikoli prostředí jako u Biotova čísla !!!).

_____________________________________________________________________________________________________


1


•

Graetzovo číslo

Gz =

ρ ⋅cp ⋅u ⋅S λ⋅L

Pe = L/D

(VII – 6) ,

2. Nucená konvekce

Nu = f (Re, Pr)

(VII – 7)

A. Paralelní obtékání rovinné desky – OP I. druhu OP I. druhu – teplota stěny TS = konst. A1. Laminární oblast •

Lokální součinitel přestupu tepla αx

Nu x = 0,332 ⋅ Re1x/ 2 ⋅ Pr 1 / 3

(A1 – 1)

αx ⋅ x λ

(A1 – 2)

u ⋅x Re x = ∞

(A1 – 3)

Nu x =

ν

•

Střední součinitel přestupu tepla α

Nu = 0,664 ⋅ Re1L/ 2 ⋅ Pr1 / 3 Nu =

α ⋅L λ

u ⋅L Re L = ∞

(A1 – 4) (A1 – 5)

(A1 – 6)

ν

Platnost:

104 < ReL < 5.105 0,1 < Pr < 1 000

_____________________________________________________________________________________________________


2


A2. Turbulentní oblast Lokální součinitel přestupu tepla αx

•

Nu x = 0,0324 ⋅ Re 0x,8 ⋅ Pr kde

(A2 – 1)

Nux – dle (A1 – 2), Rex – dle (A1 – 3). Střední součinitel přestupu tepla α

•

Nu = 0,0405 ⋅ Re 0L,8 ⋅ Pr kde

(A2 – 2)

Nu – dle (A1 – 5), ReL – dle (A1 – 6).

Platnost:

5.105 < ReL < 107

A3. Symboly αx

– lokální hodnota součinitele přestupu tepla ve vzdálenosti x od náběžné hrany, – střední hodnota součinitele přestupu tepla na desce délky L, – vzdálenost od náběžné hrany desky, – délka desky, – rychlost nabíhajícího proudu, – teplota povrchu desky – teplota nabíhajícího proudu, – střední teplota ; Tstř = (TS + T∞)/2. – tepelná vodivost tekutiny, – kinematická vodivost.

α

x L u∞ TS T∞ Tstř λ ν

Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při střední teplotě Tstř.

B. Paralelní obtékání rovinné desky – OP II. druhu OP II. druhu – hustota tepelného toku q = konst. Lokální součinitel přestupu tepla αx

•

Nu x = 0,454 ⋅ Re1x/ 2 ⋅ Pr 1 / 3 kde

(B – 1)

Nux – dle (A1 – 2), Rex – dle (A1 – 3). Střední součinitel přestupu tepla α

•

Nu = 0,908 ⋅ Re1L/ 2 ⋅ Pr 1 / 3 kde

(B – 2)

Nu – dle (A1 – 5), ReL – dle (A1 – 6).

_____________________________________________________________________________________________________


3


C. Obtékání válce Střední součinitel přestupu tepla α •

Kreith, Black(1980) (C – 1)

Nu = C1 ⋅ Re C 2 ⋅ Pr 1 / 3 Nu =

α ⋅D λ

(C – 2)

u ⋅D Re = ∞

(C – 3)

ν

kde D – průměr válce. Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při střední teplotě Tst.

0,4 4 40 4 000 40 000 •

Re 4 ÷ 40 ÷ 4 000 ÷ ÷ 40 000 ÷ 400 000

C1 0,989 0,911 0,683 0,193 0,0266

C2 0,330 0,385 0,466 0,618 0,805

Whitaker(1972)

)

(

 µ  Nu = 0,4 ⋅ Re1 / 2 + 0,06 ⋅ Re 2 / 3 ⋅ Pr 0,4 ⋅  4 ∞   µS  kde

(C – 4)

Nu – dle (C – 2), Re – dle (C – 3), µS – dynamická viskozita při teplotě stěny TS.

Platnost:

1 < Re < 105 0,67 < Pr < 300

Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při teplotě T∞. Korekční faktor respektuje vliv teplotních diferencí mezi stěnou a nabíhajícím proudem.

µ∞ / µ S

_____________________________________________________________________________________________________


4


D. Obtékání koule Střední součinitel přestupu tepla α •

Whitaker(1972)

(

1/ 2

Nu = 2 + 0,4 ⋅ Re kde

+ 0,06 ⋅ Re

2/3

)⋅ Pr

0,4 

µ ⋅4 ∞  µS

   

(D – 1)

Nu – dle (C – 2), Re – dle (C – 3), µS – dynamická viskozita při teplotě stěny TS.

Platnost:

3,5 < Re < 7,6.104 0,71 < Pr < 380

Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při teplotě T∞. Korekční faktor

µ∞ / µ S

respektuje vliv teplotních diferencí mezi stěnou a nabíhajícím proudem.

E. Proudění v trubce OP I. druhu – teplota stěny TS = konst. E1. Laminární oblast Re < 2 300 Leveque

Hausen

velmi dlouhé trubky

1/ 3

 Pe  Nu = 1,615 ⋅    L/D  Nu = 3,66 +

= 1,615 ⋅ Gz

0,0668 ⋅ Gz 1 + 0,04 ⋅ Gz 2 / 3

1/ 3

(E1 – 1) Gz < 33

0,1 < Gz < 1 000

Nu = 3,657 2 < Gz

(E1 – 2)

(E1 – 3)

E2. Turbulentní oblast Re > 2 300 •

Colburn (analogie mezi přenosem hybnosti a přenosem tepla)

Nu = 0,023 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr 1 / 3 kde

(E2 – 1)

Nu – dle (C – 2), Re – dle (C – 3).

Platnost:

3.104 < Re < 106 0,7 < Pr < 160 hydraulicky hladké trubky ; L/D > 60.

_____________________________________________________________________________________________________


5


Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při střední teplotě Tstř. •

Whitaker(1972)

Nu = 0,015 ⋅ Re 0,83 ⋅ Pr 0,42 kde

(E2 – 2)

Nu – dle (C – 2), Re – dle (C – 3).

Platnost:

2,3.103 < Re < 105 0,48 < Pr < 592

Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při teplotě Tstř.

F. Aplikace - výměník •

Změna entalpie tekutiny za jednotku času v důsledku přivedeného nebo odvedeného tepelného toku Q&

∆H& = Q& = m& ⋅ c p ⋅ ∆T , kde

m&

cp ∆T •

(F – 1)

– hmotnostní tok tekutiny za jednotku času, – střední měrná tepelná kapacita tekutiny, – diference středních kalorimetrických teplot na vstupu a výstupu do kontrolního objemu.

Změna entalpie tekutiny za jednotku času v důsledku přivedeného nebo odvedeného tepelného toku Q& při varu resp. kondenzaci

∆H& = Q& = m& ⋅ ∆h výp , kde

(F – 2)

m& – hmotnostní tok zkondenzované resp. odpařené tekutiny za jednotku času, ∆hvýp – výparné teplo na jednotku hmotnosti tekutiny ; = kondenzační teplo Přivedený nebo odvedený tepelný tok Q& přes hranici kontrolního objemu

•

Q& = k ⋅ S ⋅ ∆Tln , kde

k S ∆Tln

(F – 3)

– součinitel prostupu tepla, – teplosměnná plocha, – střední logaritmická teplotní diference.

_____________________________________________________________________________________________________


6


•

Střední logaritmická teplotní diference

∆Tln =

kde

∆T1 − ∆T2 , ∆T1 ln ∆T2

(F – 4)

∆T1 – rozdíl teplot horké a studené strany výměníku na jedné čelní straně, ∆T2 – rozdíl teplot horké a studené strany výměníku na druhé čelní straně.

Př. Protiproudý výměník ∆T1 = THS2 – TCHS1 ∆T2 = THS1 – TCHS2 kde THS1 THS2 TCHS1 TCHS2

– teplota tekutiny na horké straně výměníku na vstupu do výměníku, – teplota tekutiny na horké straně výměníku na výstupu z výměníku, – teplota tekutiny na chladné straně výměníku na vstupu do výměníku, – teplota tekutiny na chladné straně výměníku na výstupu z výměníku.

_____________________________________________________________________________________________________


7


VIII. Přirozená konvekce Přirozená konvekce vzniká v poli objemových sil v tekutině s nehomogenním teplotním polem ⇒ simultánní řešení Navier – Stokesovy a Fourier – Kirchhoffovy rovnice: •

Stacionární děj, bez vnitřního zdroje, se zanedbatelnou viskózní disipací

r

r

r

r

N. S. rovnice

ρ ⋅ u • ∇u = −∇p + µ ⋅ ∇ 2 u + ρ ⋅ g

F. K. rovnice

ρ ⋅ c p ⋅ u • ∇T = λ ⋅ ∇ 2 T

r

(VIII – 1) (VIII – 2)

1. Inspekční analýza Bezrozměrná kritéria • Grashofovo číslo – poměr sil termického vztlaku (vztlaku vyvolaného nehomogenním teplotním polem) a sil setrvačných.

g ⋅ γ ⋅ L3 ⋅ (TS − T∞ ) Gr =

(VIII – 3)

ν2

kde

•

g TS T∞ L γ ν

– gravitační zrychlení, – teplota povrchu stěny, – teplota tekutiny mimo teplotní mezní vrstvu, – charakteristický rozměr – součinitel teplotní objemové roztažnosti, – kinematická viskosita,

Rayleighovo číslo

g ⋅ γ ⋅ L3 ⋅ (TS − T∞ ) Ra = = Gr ⋅ Pr , ν ⋅a

(VIII – 4)

Součinitel teplotní objemové roztažnosti

1 ∂v   , v  ∂T  p

γ = ⋅  kde

(VIII – 5)

v – měrný objem, (∂v/∂T)p – diferenciální kvocient.

Ideální plyny: γ = 1/T, kde T – teplota plynu (K). _____________________________________________________________________________________________________


8


2. Přirozená konvekce

Nu = f (Gr, Pr) = g ( Ra )

(VIII – 6)

3. Vybrané geometrie (VIII – 6)

Nu = C ⋅ Ra m Kreith, Black(1980) Geometrie Vertikální stěny a válce výšky L Horizontální válce vnější průměr D L=D

Ra < 104 104 ÷ 109 109 ÷ 1013 109 ÷ 1013 < 104 104 ÷ 109 109 ÷ 1013

C

m

0,59 0,021 0,1

1/4 2/5 1/3

0,53 0,13

1/4 1/3

Pozn. viz skripta Integr. bilance Experiment viz skripta

Hodnoty termofyzikálních vlastností se určí při střední teplotě Tstř.

_____________________________________________________________________________________________________


9


IX. Přenos tepla při varu čistých kapalin Var ve velkém objemu •

Hustota tepelného toku

kde

•

αvar ∆TSAT TS TSAT

q = α var ⋅ ∆TSAT ,

(IX – 1)

∆TSAT = TS − TSAT ,

(IX – 2)

– součinitel přestupu tepla na výhřevné ploše, – teplotní diference, – teplota stěny, – teplota varu kapaliny na výhřevné ploše.

Součinitel přenosu tepla při varu αvar

Bublinkový var

kde

•

αvar q pkr pSAT pr

0,69 0,7 α var = 0,495 ⋅ p kr ⋅ q ⋅ F ( pr ) ,

(IX – 3)

F ( p r ) = 1,8 ⋅ p r0,17 + 4 ⋅ p1r / 2 + 10 ⋅ p10 r ,

(IX – 4)

p r = p SAT / p kr ,

(IX – 5)

– součinitel přestupu tepla [W/m2.K], – hustota tepelného toku [W/m2], – kritický tlak [MPa], – tlak sytých par při teplotě TSAT (tlak kapaliny na výhřevné ploše) [MPa], – redukovaný tlak [-].

Kritická hustota tepelného toku qkr

Návrhové podmínky: q < qkr ; ∆TSAT < (∆TSAT)kr Kapalina Benzen Etanol Metanol Butanol Voda

(∆TSAT)kr [K] 45 ÷ 55 35 ÷ 50 50 ÷ 65 40 ÷ 45 25 ÷ 40

q kr [kW/m2] 140 ÷ 250 170 ÷ 400 250 ÷ 400 250 ÷ 350 300 ÷ 1200

_____________________________________________________________________________________________________


10


X. Přenos tepla zářením 1. Sdílení tepla zářením v uzavřené soustavě Přenos tepla zářením mezi dvěma šedými tělesy z nichž jedno je zcela obklopeno druhým. Předpoklady: • Uzavřená soustava je tvořena dvěma nestejně velkými plochami, z nichž větší plocha S2 o teplotě T2 zcela obklopuje menší plochu S1 o teplotě T1. • Průteplivé prostředí mezi povrchy. • Neprůteplivá tělesa. •

Tepelný tok zářením mezi oběma plochami

(

(X – 1)

1 ,  1 S1  1  − 1 + ε1 S 2  ε 2 

(X – 2)

ε 1,2 =

ε 1,2 – součinitel vzájemné poměrné zářivosti obou ploch, ε 1 – poměrná zářivost (emisivita) povrchu tělesa 1, ε 2 – poměrná zářivost (emisivita) povrchu tělesa 2,

kde

σ(s) •

– Stefan – Boltzmannova konstanta σ(s) = 5,67.10-8 W/m2.K4.

Hustota tepelného toku na povrchu tělesa

tělesa 1 :

•

)

Q&1,2 = ε 1,2 ⋅ σ ( s ) ⋅ T24 − T14 ⋅ S1 ,

q1 =

Q&1,2

tělesa 2 : q2 =

,

S1

Q&1,2

(X – 3)

S2

Limitní případ – rovnoběžné neomezené desky

S1 = S2

ε 1,2 =

1

ε1

+

1 1

ε2

(X – 4)

−1

_____________________________________________________________________________________________________


11


2. Poměrná zářivost (emisivita) vybraných materiálů Materiál povrchu tělesa Ocel leštěná Ocel oxidovaná Ocel silně zrezivělá Leštěný hliník Leštěný chrom Leštěná měď Měď oxidovaná Lakovaný povrch (bílý i černý) Sklo Dřevo Cihly červené

T (°C) 450 – 1000 100 – 600 40 – 400 25 40 – 500 120 130 40 - 100 90 70 40

ε 0,14 – 0,38 0,73 – 0,8 0,94 – 0,97 0,04 0,08 – 0,36 0,023 0,76 0,8 – 0,95 0,88 0,91 0,93

Radek Šulc 2002 _____________________________________________________________________________________________________


12

U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Přenos tepla. Přehled základních rovnic

Recommend Documents