U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

U218 – Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze

___________________________________________________________________________________________________

Seminář z PHTH 3. ročník Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky

___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

1


___________________________________________________________________________________________________

Přenos tepla Nestacionární vedení tepla v tuhých látkách


2


___________________________________________________________________________________________________

Nestacionární vedení tepla F. K. rovnice

!!  ∂T !  2 + u • ∇T  = λ ⋅ ∇ T + 2 µ ⋅ d ρ ⋅cp ⋅  ∂t 

:

!! d + Q" (g )

• Nestacionární vedení tepla stagnantním prostředím (tělesa a kapalina, ve které se neprojevuje přirozená konvekce) F. K. rovnice

∂T ρ ⋅cp ⋅ = λ ⋅ ∇ 2T + Q" ( g ) ∂t

• Nestacionární vedení bez vnitřního zdroje tepla Fourierova rovnice

λ ∂T = ⋅ ∇ 2T = a ⋅ ∇ 2T ∂t ρ ⋅ c p

a – součinitel teplotní vodivosti (m2/s) ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

3


___________________________________________________________________________________________________

Biotovo číslo Bi

Bi = α L λ

vnitřní termický odpor (kondukcí) vnější termický odpor (konvekcí)

L/λ α ⋅ L = = λ 1/ α

– součinitel přestupu tepla, – charakteristický rozměr, – tepelná vodivost tělesa. !!!!!!!!!!!!! NEJDŘÍVE VYPOČÍTAT Biotovo číslo !!!!!!!!!!!!! PROČ ? MÁ VLIV NA ŘEŠENÍ !!!!!!!!!!!!!

• Případy A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor Bi << 1 B. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor Bi >> 1 C. Termické odpory stejného řádu Bi ≈ 1 ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

4


___________________________________________________________________________________________________

A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor Bi << 1 • Dominance vnějšího konvektivního odporu. • Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor ⇒ teplotní gradienty uvnitř tělesa zanedbatelné ⇒ T(x, t) ≡ T (t) • Prakticky Bi < 0,1

teplota povrchu ≈ teplota tělesa .

Případy: Tělesa:

• malý charakteristický rozměr (např. malé částice, dráty, tenké plechy). • vysoká tepelná vodivost (např. kovy) • malý součinitel přestupu tepla α (např. vzduch nebo jiné plyny)


5


___________________________________________________________________________________________________

F. K. rovnice v integrálním tvaru

!# !# ! ! ! ! d ρ ⋅ c pT ⋅ dV = − ∫ n • q ⋅ dS − ∫ ρ ⋅ c pT ⋅ n • u ⋅ dS + ∫ τ : d ⋅ dV + ∫ Q" ( g ) dV ∫ dt V S S V V

∂T ! ! ⋅ dV = − ∫ n • q ⋅ dS ∂t V S

ρ ⋅cp ⋅ ∫ • Teplota tělesa v čase t Bi << 1 :

teplota tělesa T a hustota tepelného toku q nezávisí na souřadnici ⇒ lze T i q umístit před integrál

∂T ρ ⋅ c p ⋅V = −α ⋅ (T − T f ) ⋅ S ∂t ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

6


___________________________________________________________________________________________________

Řešení: • Teplota tělesa v čase t Integrace: počáteční podmínka: teplota tělesa T(t = 0) = T0

  α ⋅S = exp − ⋅ t T0 − T f  ρ ⋅ c p ⋅ V 

T (t ) − T f

Tf – teplota prostředí cp – měrná tepelná kapacita ρ - hustota

• Tepelný tok povrchem tělesa S a objemu V v čase t

(

)

Q" (t ) = α ⋅ T (t ) − T f ⋅ S • Celkové množství tepla převedeného povrchem tělesa za dobu t

   α ⋅S "  Q = ∫ Q(t )dt = − ρ ⋅ c p ⋅ V ⋅ (T0 − T f ) ⋅ 1 − exp − ⋅ t   ρ ⋅ c p ⋅ V     0 t

Q = − ρ ⋅ c p ⋅ V ⋅ (T0 − T (t )) ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

7


___________________________________________________________________________________________________

B. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor Bi >> 1 • Dominance vnitřního konduktivního termického odporu. • Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor ⇒ diference mezi TS a Tf zanedbatelná ; těleso T(x, t) • Prakticky Bi > 100 Případy: Tělesa:

teplota povrchu ≈ teplota prostředí .

Opačné případy než v předchozím případě, tj: • velký charakteristický rozměr • nízká tepelná vodivost • velký součinitel přestupu tepla α (např. kondenzující pára)

Díly lisu Vítkovice Strojírenství a.s. sloup → hydraulický válec →→


8


___________________________________________________________________________________________________

B1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) • Skoková změna teploty + OP I.druhu Počáteční podmínka

T (t,x) = T (t = 0, 0 ≤ x < ∞ ) = T0

Okrajové podmínky

OP1: teplota stěny OP2: teplota polomasivu

T (t > 0, x = 0) = TS T (t > 0, x → ∞) = T0

• Nestacionární teplotní profil

T

+

T − T0 = = 1 − erf (η ) = erfc(η ) TS − T0

bezrozměrná polohová souřadnice η :

η=

x 2⋅ a ⋅t

erf (x) – Gaussův integrál chyb erfc(x) – komplementární funkce Gaussova integrálu chyb erf(x) ; erf(x) + erfc(x) = 1. ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

9


___________________________________________________________________________________________________

• Graf funkce erf(x), erfc(x)

• Tabulka funkce erf(x)


10


___________________________________________________________________________________________________

• Teplotní gradient

∂T exp( −η 2 ) = −(TS − T0 ) ⋅ ∂x π ⋅a ⋅t

• Hustota tepelného toku na povrchu poloneomezeného prostředí q x = −λ ⋅

∂T λ λ = (TS − T0 ) ⋅ = ⋅ (TS − T0 ) ∂x x = 0 π ⋅ a ⋅ t δT

• Celkové množství tepla převedeného do prostředí plochou S za čas t t

Q = S ⋅ ∫ q x dt = 0

λ λ ⋅ (TS − T0 ) ⋅ S ⋅ 2 t = 2 ⋅ ⋅ (TS − T0 ) ⋅ S ⋅ t δT π ⋅a

Penetrační hloubka konduktivního přenosu tepla – δT

δT = π ⋅ a ⋅ t Interpretace: Za dobu t od okamžiku teplotního skoku na povrchu z T0 na TS dojde v penetrační hloubce δT k relativnímu zvýšení teplotní diference o 21 % (T+ = 0,21). ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

11


___________________________________________________________________________________________________

• Použití pro konečná tělesa Řešení pro nestacionární vedení tepla v poloneomezeném prostředí použitelné s dostatečnou přesností i pro konečná tělesa s charakteristickým rozměrem L když Fo = a.t/L2 < 0,04

tj.

(δ δT << L)


12


___________________________________________________________________________________________________

B2. Neomezená deska, neomezený válec, koule • Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny TS = konst. OP. I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 • Teplotní profil Použít grafy případ C: teplotní profil T* = f (x*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0


13


___________________________________________________________________________________________________

C. Termické odpory stejného řádu Bi ≈ 1 • Oba termické odpory jsou téhož řádu ; ani jeden nelze zanedbat. • Na povrchu se uplatňují okrajové podmínky III. druhu. • Prakticky 0,1 < Bi < 100 Fourierova rovnice

.

λ ∂T = ⋅ ∇ 2T = a ⋅ ∇ 2T ∂t ρ ⋅ c p

• C1. Poloneomezené prostředí • C2. Neomezená deska • C3. Neomezený válec • C4. Koule • C5. 2D a 3D tělesa ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

14


___________________________________________________________________________________________________

C1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) • Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka

T (t,x) = T (t = 0, 0 ≤ x < ∞ ) = T0

Okrajové podmínky

OP1: OP III.druhu OP2: teplota polomasivu

povrch x = 0

T (t > 0, x → ∞) = T0

• Nestacionární teplotní profil

T * = f ( Bi x , Fo*) Bi x    Bi x  Bi Fo erfc Fo T * = erfc + + ⋅ + exp( *) *    x Fo Fo 2 * 2 *     bezrozměrná teplota

T* =

Tf −T T f − T0

=1− T

+

Biotovo číslo

α⋅x Bi x = λ

x – souřadnice (počátek souřadného systému na povrchu polomasívu), Tf – teplota prostředí, T0 – počáteční teplota poloneomezeného prostředí,

Fourierovo číslo

Fo* =

a ⋅t L2fikt

=

a⋅t

(λ / α )2

– součinitel přestupu tepla, α erfc(x) – komplementární funkce Gaussova integrálu chyb


15


___________________________________________________________________________________________________

Řešení v grafické formě

• Teplota na povrchu poloneomezeného prostředí x = 0 ⇒ Bix = 0

T * = exp( Bi x ) ⋅ erfc

(

Fo *

)


16


___________________________________________________________________________________________________

C2. Neomezená deska !! POZOR !! – počátek souřadného systému v ose desky ⇒ H – polovina tloušťky desky !!! • Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka

T (t, x) = T (t = 0, -H ≤ x < H ) = T0

Okrajové podmínky

OP III.druhu

• Nestacionární teplotní profil v desce tloušťky 2H

T * = f ( x*, Fo, Bi ) bezrozměrná teplota

T* =

T − Tf T0 − T f

=

Tf − T T f − T0

bezrozměrná souřadnice polohy

Biotovo číslo

x x* = H

α ⋅H Bi = λ

Fourierovo číslo

Fo =

a⋅t H2


17


___________________________________________________________________________________________________

Řešení: ∞

T =∑ *

j =1α j

2 ⋅ sin α j + sin α j ⋅ cosα j

αj – vlastní (charakteristické) hodnoty – musí splňovat rovnici:

(

) (

⋅ cos α j ⋅ x* ⋅ exp − α 2j ⋅ Fo

)

α = cotg α ⇒ nekonečně mnoho αj Bi

• Hustota tepelného toku na 1m2 povrchu

q = α ⋅ (T f − TS )

kde TS = f(t), která se vypočte z T*(x* = 1, Fo, Bi)

• Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny TS = konst. OP I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 ; teplotní profil T* = f (x*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0


18


___________________________________________________________________________________________________

Řešení v grafické formě A. Kutatěladze, Borišanskij: Sdílení tepla Neomezená deska – povrch desky

T*


19


___________________________________________________________________________________________________

Neomezená deska – osa desky

T*


20


___________________________________________________________________________________________________

B. Šesták, Rieger: Přenos hybnosti, tepla a hmoty


21


___________________________________________________________________________________________________

C3. Neomezený válec • Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka

T (t, r) = T (t = 0, 0 ≤ r < R ) = T0

Okrajové podmínky

OP III.druhu

• Nestacionární teplotní profil ve válci o poloměru R

T * = f (r*, Fo, Bi ) bezrozměrná teplota

T* =

T − Tf T0 − T f

=

Tf − T T f − T0


Biotovo číslo

r r* = R

α ⋅R Bi = λ

Fourierovo číslo

Fo =

a ⋅t R2


22


___________________________________________________________________________________________________


q = α ⋅ (T f − TS )

kde TS = f(t), která se vypočte z T*(r* = 1, Fo, Bi)

• Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny TS = konst. OP I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 ; teplotní profil T* = f (r*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0


23


___________________________________________________________________________________________________

Řešení v grafické formě A. Kutatěladze, Borišanskij: Sdílení tepla Neomezený válec – povrch válce

T*


24


___________________________________________________________________________________________________

Neomezený válec – osa válce

T*


25


___________________________________________________________________________________________________

B. Šesták, Rieger: Přenos hybnosti, tepla a hmoty


26


___________________________________________________________________________________________________

C4. Koule • Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka

T (t, r) = T (t = 0, 0 ≤ r < R ) = T0

Okrajové podmínky

OP III.druhu

• Nestacionární teplotní profil v kouli o poloměru R

T * = f (r*, Fo, Bi ) bezrozměrná teplota

T* =

T − Tf T0 − T f

=

Tf − T T f − T0


Biotovo číslo

r r* = R

α ⋅R Bi = λ

Fourierovo číslo

Fo =

a ⋅t R2


27


___________________________________________________________________________________________________


q = α ⋅ (T f − TS )

kde TS = f(t), která se vypočte z T*(r* = 1, Fo, Bi)

• Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny TS = konst. OP I.druhu : α→ ∞ ⇒ 1/Bi = 0 ; teplotní profil T* = f (r*, Fo) z grafu pro 1/Bi = 0


28


___________________________________________________________________________________________________

Řešení v grafické formě Šesták, Rieger: Přenos hybnosti, tepla a hmoty


29


___________________________________________________________________________________________________

C5. 2D a 3D tělesa • Základní jednorozměrná pole – označení

T * poloneomezené prostředí ≡ P ( xi )

T * neomezená deska ≡ D ( x j )

T * neomezený válec ≡ V (r ) • Newtonův multiplikativní princip(1936) Těleso konečného rozměru – průnik elementárních případů Příklad: Konečný válec – průnik nekonečného válce a neomezené desky Teplotní profil konečného válce:

T * (r , x ) ≡ V (r ) ⋅ D( x)


30


___________________________________________________________________________________________________

Platnost • Tento princip v zásadě vzato platí pro okrajové podmínky II. nebo III. druhu resp. II. druhu pro izolované stěny. • Na protilehlých površích musí být hodnoty Biotova čísla Bi shodné, mohou se však lišit na površích sousedních.

Radek Šulc @ 2005 v1 ___________________________________________________________________________________________________ Seminář z PHTH - Teplo

31

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

Recommend Documents