TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

Dian Ariesta Yuwaningsih (11/321642/PPA/03489)

Sebelumnya, telah diketahui bahwa  sebagai ring dengan elemen satuan memenuhi sifat rantai naik untuk ideal-ideal di  . Apabila  dipandang sebagai   modul , maka setiap ideal di  dapat dipandang dengan submodul dari  . Dengan demikian sifat rantai naik juga berlaku pada submodul-submodul di  . Hal inilah yang melatarbelakangi pendefinisian sifat rantai naik untuk suatu M R  modul yang selanjutnya melatarbelakangi munculnya definisi modul Noether. Dalam keseluruhan tugas ini, yang dimaksud dengan M R  modul adalah modul kiri atas ring dengan elemen satuan R .

Definisi 1.1. Diberikan R ring dengan elemen satuan dan M

R  modul . Modul M

dikatakan memenuhi sifat rantai naik (ACC) untuk submodul apabila untuk setiap rantai naik submodul-submodul dari M yaitu N1  N2  N3   , terdapat bilangan bulat positif n sedemikian hingga memenuhi Ni  N n untuk setiap i  n . Selanjutnya, berikut diberikan definisi dari modul Noether beserta dengan contoh modul Noether. Definisi 1.2. Modul M disebut modul Noether apabila M memenuhi sifat rantai naik (ACC) untuk submodul.

Contoh 1.3. a)

 sebagai   modul merupakan modul Noether.

b) Setiap ring pembagian (division ring) yang dipandang sebagai   modul merupakan modul Noether, karena submodul dari suatu ring pembagian hanyalah 0 dan dirinya sendiri. c)

Ring polinomial atas bilangan bulat   x  apabila dipandang sebagai   modul bukan merupakan modul Noether, karena terdapat rantai naik submodul-submodul di   x  yaitu     x    x  x2   yang tidak stasioner. Sama halnya dalam koleksi ideal-ideal dari suatu ring yang tak kosong, dalam koleksi

submodul-submodul dari suatu modul yang tak kosong juga dapat ditemukan elemen maksimal. Definisi 1.4. Modul M dikatakan memenuhi kondisi maksimal pada submodul apabila untuk setiap koleksi submodul-submodul dari M yang tidak kosong memuat suatu submodul yang maksimal, yaitu submodul yang tidak termuat di dalam submodul lain dalam koleksi submodul-submodul dari M . Selanjutnya, berikut diberikan teorema yang menyatakan ekuivalensi sifat-sifat dari modul Noether, sama halnya dengan teorema ekuivalensi sifat-sifat dari ring Noether. Teorema 1.5. Diberikan R ring dengan elemen satuan dan M R  modul . Pernyataanpernyataan berikut ini ekuivalen. a)

M merupakan modul Noether.

b)

M memenuhi kondisi maksimal.

c)

Setiap submodul di M dibangun secara hingga.

Bukti.

 a   b .

Diketahui bahwa M merupakan modul Noether. Berarti M memenuhi sifat

rantai naik (ACC) untuk submodul. Diambil sebarang koleksi submodul-submodul dari M , yaitu  dengan    . Diambil sebarang J1   , maka J1 merupakan submodul yang maksimal di dalam  atau terdapat J 2   sedemikian hingga J1  J 2 . Apabila J1

merupakan submodul yang maksimal, maka terbukti. Namun, apabila J1 bukan merupakan submodul yang maksimal maka J 2 merupakan submodul yang maksimal di dalam  atau terdapat J 3   sedemikian hingga J 2  J 3 . Proses diteruskan hingga diperoleh suatu submodul yang maksimal di dalam  . Oleh karena diketahui M memenuhi sifat rantai naik (ACC) untuk submodul, maka proses pengulangan tersebut akan berhenti pada suatu langkah berhingga, misalkan langkah ke- n . Dengan demikian, diperoleh J n merupakan submodul maksimal di dalam  . Jadi terbukti bahwa modul M memenuhi kondisi maksimal.

b   c  .

Diketahui bahwa modul M memenuhi kondisi maksimal. Akan dibuktikan

bahwa setiap submodul di M dibangun secara hingga. Diambil sebarang submodul N di M . Dibentuk koleksi submodul-submodul di N yang dibangun secara hingga, misal himpunan

H   A  M | A submodul di N yang dibangun secara hingga . Jelas bahwa H   karena

0  H

. Menurut yang diketahui, maka H memiliki elemen maksimal, misalkan A* .

Akan ditunjukkan bahwa N  A* . Jelas bahwa A*  N , sehingga tinggal ditunjukkan bahwa

N  A* . Diambil sebarang x  N , maka A*  x merupakan submodul di N dan dibangun secara hingga. Akibatnya diperoleh A*  x  H . Karena diketahui bahwa A* merupakan elemen maksimal di dalam H , maka haruslah A*  x  A* . Dengan demikian diperoleh bahwa

x  A* sehingga x  A* . Karena pengambilan elemen x  N sebarang, maka

diperoleh N  A* . Jadi terbukti bahwa N  A* . Dengan demikian, terbukti bahwa setiap submodul di M dibangun secara hingga.

c  a .

Diketahui bahwa setiap submodul di M

dibangun secara hingga. Akan

ditunjukkan bahwa M merupakan modul Noether. Berarti akan ditunjukkan bahwa modul

M memenuhi sifat rantai naik (ACC) untuk submodul. Diambil sebarang rantai naik 

submodul-submodul di M , yaitu M1  M 2  M 3  . Diperoleh bahwa M *   M i i 1

merupakan submodul di M . Karena diketahui bahwa setiap submodul di M dibangun secara hingga, maka M * dibangun secara hingga. Dengan demikian, M *  m1 , m2 ,, mn dengan m1 , m2 ,, mn  M untuk suatu n  . Selanjutnya, untuk setiap i 1, 2,, n

diperoleh bahwa mi  M * , sehingga mi  M ki untuk suatu ki  . Selanjutnya, dipilih

j  maks k1 , k2 ,, kn  , maka diperoleh M ki  M j untuk setiap i 1, 2,, n . Akibatnya diperoleh

m1 , m2 ,, mn  M j ,

sehingga

memenuhi

M *  m1 , m2 ,, mn  M j  M * .

Dengan demikian, terbukti bahwa M *  M j untuk suatu j  . Jadi terdapat j  sedemikian hingga memenuhi M l  M j , untuk setiap bilangan bulat positif l  j . Dengan demikian terbukti bahwa modul M memenuhi sifat rantai naik (ACC) untuk submodul. Jadi terbukti bahwa M merupakan modul Noether.  Seperti halnya dalam ring, berikut diberikan suatu teorema yang menjelaskan bahwa bayangan homomorfisma dari suatu modul Noether merupakan modul Noether. Teorema 1.6. Diberikan M

dan N

masing-masing merupakan R  modul , serta

epimorfisma modul  : M   N . Jika M merupakan modul Noether maka N juga merupakan modul Noether. Bukti. Diambil sebarang rantai naik submodul-submodul di N , yaitu N1  N2  N3   . Karena

 merupakan homomorfisma maka diperoleh bahwa  1  N1    1  N2    1  N3    merupakan rantai naik submodul-submodul di M . Karena diketahui M modul Noether, maka terdapat n  sedemikian hingga memenuhi  1  Nni    1  Nn  untuk setiap

i  1, 2, . Akan ditunjukkan bahwa

Nni  Nn untuk setiap i  1, 2, . Diambil sebarang

i 1, 2,3, dan x  N ni . Karena  merupakan epimorfisma maka terdapat y  M sedemikian hingga memenuhi   y   x . Akibatnya diperoleh y  1  Nni    1  Nn  , sehingga x  N n . Dengan demikian, diperoleh Nni  Nn . Jadi terbukti bahwa N ni  Nn untuk setiap i  1, 2, . Dengan demikian, terbukti bahwa N merupakan modul Noether.  Berikut diberikan suatu teorema yang menjelaskan keterkaitan antara barisan eksak pendek suatu modul dengan modul Noether. Dalam pembuktian teorema ini digunakan teorema sebelumnya.

f g Teorema 1.7. Diberikan barisan eksak pendek modul 0   L   M   N  0 .

Modul M merupakan modul Noether jika dan hanya jika N dan L juga merupakan modul Noether. Bukti.

 .

Diketahui M modul Noether, berarti modul M memenuhi sifat rantai naik untuk

submodul. Karena f merupakan homomorfisma modul, maka f  L  merupakan submodul di M . Oleh karena setiap submodul di f  L  merupakan submodul di M , maka f  L  juga memenuhi sifat rantai naik untuk submodul. Karena f merupakan monomorfisma maka diperoleh L  f  L  . Dengan demikian, diperoleh bahwa L memenuhi sifat rantai naik untuk submodul. Jadi terbukti bahwa L merupakan modul Noether. Selanjutnya, karena g merupakan epimorfisma dan M modul Noether, maka berdasarkan Teorema 1.6 terbukti bahwa N merupakan modul Noether.

  . Diketahui bahwa

N dan L merupakan modul Noether. Akan dibuktikan bahwa M

modul Noether. Dibentuk rantai naik submodul-submodul di M yaitu M1  M 2  M 3  . Karena f dan g homomorfisma, maka diperoleh f 1  M1   f 1  M 2   f 1  M 3   merupakan rantai naik submodul-submodul di L dan g  M1   g  M 2   g  M 3    merupakan rantai naik submodul-submodul di N . Karena N dan L merupakan modul Noether maka terdapat n  sedemikian hingga memenuhi f 1  M i   f 1  M n  dan

g  M i   g  M n  , untuk setiap i  n . Akan ditunjukkan bahwa M n1  M n . Jelas bahwa

M n  M n1 , tinggal ditunjukkan M n1  M n . Diambil sebarang x  M n1 , maka terdapat

y  M n sedemikian hingga memenuhi g  x   g  y  . Karena g merupakan homomorfisma, maka

diperoleh

g  x  y  0

Ker  g   Im  f  , maka diperoleh

sehingga

diperoleh

 x  y   Im  f  .

 x  y   Ker  g  .

Karena

Berarti terdapat z  L sehingga

memenuhi f  z   x  y . Selanjutnya, karena M n  M n1 maka diperoleh y  M n1 sehingga

f  z   x  y  M n1 . Akibatnya, diperoleh z  f 1  M n1   f 1  M n  . Dengan demikian diperoleh f  z   M n . Padahal diketahui f  z   x  y dan y  M n , sehingga diperoleh

x  M n . Jadi terbukti bahwa M n1  M n . Dengan demikian diperoleh M n1  M n . Jadi terbukti bahwa tedapat bilangan n  sedemikian hingga memenuhi M i  M n untuk setiap

i  n . Dengan demikian, terbukti bahwa M merupakan modul Noether.  Selanjutnya, berikut diberikan beberapa akibat dari Teorema 1.7. Akibat pertama menjelaskan bahwa modul faktor dari suatu modul Noether merupakan modul Noether. Sedangkan akibat kedua menjelaskan bahwa hasil tambah langsung dari sejumlah berhingga modul Noether merupakan modul Noether. Akibat 1.8. Diberikan M R  modul dan submodul K di M . Modul M Noether jika dan hanya jika K dan M

K

juga merupakan modul Noether.

Bukti. f g Dibentuk barisan 0   K   M  M

K

  0 . Jelas bahwa g : M  M

merupakan epimorfisma. Selanjutnya, didefinisikan pengaitan

f  k   k untuk setiap k  K . Jelas bahwa f

f : K  M

K

dengan

merupakan monomorfisma. Akibatnya

diperoleh K  Im  f  dan Ker  g    y  M | y  0   y  M | y  K   K  Im  f  . Jadi f g diperoleh bahwa 0   K   M  M

K

  0 merupakan barisan eksak pendek.

Selanjutnya, berdasarkan Teorema 1.7 diperoleh bahwa M merupakan modul Noether jika dan hanya jika K dan M

K

juga merupakan modul Noether. 

Akibat 1.9. Diberikan M1 , M 2 ,, M n masing-masing merupakan R  modul . Hasil tambah langsung (direct sum) M1  M 2   M n merupakan modul Noether jika dan hanya jika

M i merupakan modul Noether untuk setiap i  1, 2,, n . Bukti. Pembuktian dengan menggunakan induksi matematika. 

Untuk n  2 . Dibentuk barisan eksak pendek: 1 2 0   M1   M1  M 2   M 2  0 .

Berdasarkan Teorema 1.8 maka terbukti bahwa M1  M 2 merupakan modul Noether jika dan hanya jika M 1 dan M 2 merupakan modul Noether. 

Diasumsikan bahwa M1  M 2   M n1 merupakan modul Noether jika dan hanya jika M i merupakan modul Noether untuk setiap i  1, 2,, n  1 . Akan dibuktikan bahwa

M1  M 2   M n merupakan modul Noether jika dan hanya jika M i merupakan modul Noether untuk setiap i  1, 2,, n . Dibentuk barisan eksak pendek: n 1

n

i 1

i 1

 n1 n 0   M i   M n  0 . M i  n

Berdasarkan Teorema 1.8 maka diperoleh bahwa

M i 1

i

merupakan modul Noether jika

n 1

dan

hanya

jika

M i 1

n 1

M i 1

i

dan

i

 M1  M 2    M n1

Mn

merupakan

merupakan modul

modul

Noether

Noether.

maka

Karena

diperoleh

Mi

merupakan modul Noether untuk setiap i  1, 2,, n  1 . Dengan demikian, terbukti bahwa M1  M 2   M n merupakan modul Noether jika dan hanya jika M i merupakan modul Noether untuk setiap i  1, 2,, n .  Berikut diberikan suatu teorema yang menjelaskan syarat perlu dan syarat cukup suatu endomorfisma dari modul Noether merupakan automorfisma. Teorema 1.10. Diberikan M

R  modul Noether dan endomorfisma

f  End R  M  .

Endomorfisma f merupakan automorfisma jika dan hanya jika f bersifat surjektif. Bukti.

 .

Diketahui

f  End R  M 

merupakan automorfisma,

berarti

f

merupakan

isomorfisma. Dengan demikian, f bersifat surjektif.

  .

Diketahui f  End R  M  bersifat surjektif. Akan ditunjukkan bahwa f merupakan

automorfisma. Karena f  End R  M  dan f surjektif, maka f merupakan epimorfisma. Berarti tinggal ditunjukkan bahwa f bersifat injektif. Diperhatikan rantai naik submodul-

submodul di M , yaitu

0  Ker  f   Ker  f 2   Ker  f 3    .

Karena diketahui M

modul Noether, maka terdapat n  sedemikian hingga Ker  f m   Ker  f n  untuk setiap bilangan m  n . Diambil sebarang a  M dengan a  Ker  f  . Karena f epimorfisma maka f n juga merupakan epimorfisma, sehingga diperoleh a  f n  b  untuk suatu b  M . Akibatnya diperoleh

f n1  b   f  f n  b    f  a   0 , sehingga b  Ker  f n1  . Karena

diketahui Ker  f n1   Ker  f n  maka diperoleh b  Ker  f n  , sehingga a  f n  b   0 . Dengan demikian diperoleh bahwa Ker  f   0 . Karena

0  Ker  f 

maka terbukti

bahwa Ker  f   0 . Jadi terbukti bahwa f bersifat injektif. Dengan demikian, terbukti bahwa bahwa f merupakan automorfisma.  Selanjutnya, berikut diberikan suatu teorema yang menjelaskan bahwa untuk suatu endomorfisma f dari modul Noether dapat ditemukan suatu bilangan bulat positif n sedemikian hingga irisan dari bayangan f n dengan kernel f n sama dengan nol. Teorema 1.11. Diberikan M merupakan modul Noether

R  modul dan endomorfisma f  End R  M  . Jika M

maka terdapat

n

sedemikian hingga

memenuhi

Im  f n   Ker  f n   0 .

Bukti. Diperhatikan rantai naik submodul-submodul di M , yaitu Ker  f   Ker  f 2    . Karena

M

merupakan modul Noether, maka terdapat n   sedemikian hingga memenuhi

Ker  f n   Ker  f ni  untuk setiap i  1, 2,3, . Diambil sebarang x  Im  f n   Ker  f n  ,

berarti x  Im  f n  dan x  Ker  f n  . Karena x  Im  f n  maka terdapat y  M sehingga memenuhi sehingga

f n  y   x . Karena x  Ker  f n  maka diperoleh

y  Ker  f 2n  .

Karena

f n  x   f n  f n  y    f 2n  y   0 .,

Ker  f n   Ker  f 2 n  ,

maka

diperoleh

y  Ker  f n  . Dengan demikian, diperoleh x  f n  y   0 . Dengan demikian, terbukti bahwa

Im  f n   Ker  f n   0 . Karena jelas bahwa

0  Im  f n   Ker  f n  ,

maka terbukti

bahwa Im  f n   Ker  f n   0 . 

REFERENSI [1] Hungerford., T.W., 1974, Algebra, Springer-Verlag, United States of America. [2] Lambek, J., 1966, Lectures on Rings and Modules, Blaisdell Publishing Company, United States of America. [3] Malik, D.S., Mordeson, J.M., dan Sen M.K., 1997, Fundamentals Of Abstract Algebra, McGraw-Hill Companies Inc., Singapore. [4] Wang, H.J., --, Introduction to Commutative Algebra, --. [5] Wisbauer, R., 1991, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publishers.