23 Maret 2010
TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA) Samsul Arifin (09/290722/PPA/2875) Yunita Septriana Anwar (08/275043/PPA/2614)
IDEAL PRIMA Definisi 1: Misalkan R ring dan ideal ,
dengan
ideal. I disebut prima jika untuk setiap ideal‐
, maka
atau
.
RING PRIMA Definisi 2: Suatu ring R disebut prima jika untuk setiap dua ideal , 0, maka
0 atau
dengan
0.
Definisi 3: Suatu ring R disebut prima jika 0 merupakan ideal prima. Definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen: Diberikan untuk setiap dua ideal , Ditunjukkan
0 atau
0.
0 adalah ideal prima di R. Diambil sebarang ideal‐ideal ,
dengan
0 atau
0
. Sehingga
Sebaliknya, diberikan ideal ,
dengan
ideal prima, sehingga 0 atau
dengan
0, maka
0. Dari yang diketahui, diperoleh atau
. Jadi
0
atau
0 ideal prima di R.
0 merupakan ideal prima di R. Diambil sebarang dua 0. Karena atau
0, maka . Karena 0
. Diberikan merupakan dan 0
, maka
0.
Jadi definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen. Proposisi 1: Ideal
prima jika dan hanya jika ring faktor ⁄ ring prima.
Bukti:
1
ideal prima di R. Ditunjukkan ⁄ ring prima, yaitu dengan
Diberikan
menunjukkan 0 merupakan ideal prima di ⁄ . Karena 0 di ⁄ adalah P dan P ideal prima, maka 0 ideal prima di ⁄ . Sebaliknya diberikan ⁄ ring prima, berarti 0 ideal prima di ⁄ . Karena 0 di ⁄ adalah P dan 0 ideal prima, maka P ideal prima. ANNHILATOR Definisi 4: Untuk sebarang subset tak kosong
dinotasikan annhilator dari K
dengan |
0, untuk semua
Untuk sebarang K submodul dari M Rmodul, didefinisikan himpunan |
:
.
merupakan annhilator dari ⁄ R‐modul, yaitu:
:
⁄ |
|
⁄
0,
|
|
,
:
⁄
0,
Lemma 1: Untuk sebarang submodul K dari M, berlaku ⁄
Bukti: dan .
⁄
dan
Diambil sebarang
⁄ . Dari
0 untuk setiap Dari
sini, ⁄
. Berarti
=0.
0 untuk setiap
0 diperoleh
Akibatnya
atau .
Jadi
.
SUBMODUL PRIMA Definisi 5: Diberikan M adalah Rmodul dan N submodul di M. N disebut submodul prima jika N merupakan submodul sejati M dan untuk setiap jika
maka
atau
:
dengan
:
, |
berlaku .
2
Definisi 6: Untuk sebarang M R‐modul dan N submodul di M, N disebut submodul prima jika N merupakan submodul sejati dan untuk setiap jika
, maka
:
,
\ berlaku
.
Contoh: Submodul 0 dalam setiap
dan
\ 0 , jika
submodul 0 dalam dan 2
‐modul adalah submodul prima karena untuk 0 maka
5 , tetapi
0:
‐modul bukanlah submodul prima karena terdapat 3
\ 0 sehingga berlaku 3 · 2
0 di
tetapi 3 ·
0 .
SIFATSIFAT DARI SUBMODUL PRIMA Teorema 1: Untuk suatu M R‐modul, submodul K di M, dan ideal annhilator ⁄
:
di ring R. Maka pernyataan berikut ekuivalen:
(1)
K submodul prima
(2)
Setiap submodul taknol di ⁄ memiliki annhilator yang sama.
Bukti: 1
2
Diketahui K merupakan submodul prima di M R‐modul. Diambil sebarang submodul taknol ⁄ di ⁄ R‐modul. Ditunjukkan
⁄
⁄
.
Karena K submodul di M R‐modul, maka berlaku
⁄
⁄
.
Sebaliknya karena diberikan K submodul prima, maka untuk sebarang dan
, jika ⁄
maka
. Dengan kata lain, untuk sebarang ⁄
maka berlaku ⁄
Dengan demikian 2
:
\
⁄
⁄
. Jadi
⁄
.
.
1 ⁄ R‐modul memiliki annhilator yang
Diketahui setiap submodul tak nol di ⁄
sama, yaitu dengan
⁄
. Karena 1
. Diambil sebarang
maka
1·
submodul tak nol yang memuat K, yaitu maka berlaku dengan
⁄ berlaku
. Selanjutnya dibentuk di
⁄
hipotesis, diperoleh
\ dan
⁄ R‐modul. Dari
, yang artinya setiap
. Dengan kata lain, untuk sebarang
\ dan
⁄
, yang artinya K submodul prima di
M R‐modul. 3
FULLY INVARIANT SUBMODULE berlaku
Definisi 7: Misalkan K submodul dari M. Jika untuk sebarang , maka K disebut fully invariant submodul dari M. MODUL FAITHFUL Definisi 8: Misalkan M adalah R‐modul. M disebut modul faithful jika 0 . MODUL PRIMA
Definisi 9: Jika diberikan M adalah R‐modul, maka M disebut Rmodul prima jika 0 adalah submodul prima di M. Contoh: ‐modul adalah modul prima, karena untuk sebarang , jika
0 maka 0
0:
\ 0 dan
. Dengan kata lain, 0 merupakan
submodul prima di ‐modul. Dengan demikian, ‐modul merupakan modul prima. Akibat 1: M Rmodul disebut prima jika dan hanya jika setiap submodul tak nol di M memiliki annhilator yang sama, yaitu
.
Bukti: Diketahui M adalah R‐modul prima. Dari sini diperoleh 0 adalah submodul prima di M. Dari Teorema 1 diperoleh setiap submodul tak nol di annhilator yang sama. Perhatikan bahwa: |
dan
0:
|
⁄ 0 memiliki
⁄0
0 |
0
. Berarti ini
ekuivalen dengan mengatakan untuk sebarang submodul taknol di M memiliki annhilator yang sama dengan M, yaitu
.
Proposisi 2: Misalkan R adalah ring dan M adalah Rmodul. Maka pernyataan‐ pernyataan berikut ekuivalen: ⁄
(a)
adalah ring prima.
(b) Untuk sebarang submodul K dari M, ⁄
atau
. 4
Bukti: Karena K submodul dari M, maka jelas berlaku ⁄ untuk setiap
. Dilain pihak
, karena untuk sebarang ⁄
. Jadi
. Sehingga tinggal ditunjukkan
⁄
atau
0
⁄ , maka ·
. Diambil sebarang
0, karena
, berlaku
. Karena ⁄
adalah
ring prima, maka
adalah ideal prima di R. Di lain pihak dari lemma 1
diperoleh
⁄
maka
dan ⁄
atau ⁄
dan ⁄
adalah ideal prima, . Mengingat
, diperoleh
atau
.
Untuk sebarang submodul K dari M,
⁄
atau
⁄
adalah ring prima. Dengan menggunakan
proposisi 1, cukup ditunjukkan
adalah ideal prima. Diambil sebarang ,
ideal‐ideal di
, berarti
. Ditunjukkan dengan
|
,
Lebih lanjut
, karena M adalah R‐modul dan J ideal di R, maka ⁄
, maka 0
. ⁄
⁄
0 . Akibatnya
, ini belum tentu terjadi, yang hanya kita ketahui bahwa ⁄
, sehingga . Jadi Jika
dan
pihak,
, maka
. Perhatikan bahwa ·
karena
dan ⁄
Dengan demikian
0, maka
mengingat . Diambil sebarang ·
0. Dilain dan 0,
⁄
. Sehingga . Jadi
. Karena
.
mengakibatkan ⁄
.
merupakan submodul dari M. Dari (b) diperoleh
atau Jika
0. Perhatikan bahwa
. Dari sini diperoleh
.
adalah ideal prima, sehingga
⁄
adalah
ring prima. 5
Definisi 10: M R‐modul disebut prime jika untuk setiap K submodul fully invariant .
dari M, berlaku
Definisi 9 dan Definisi 10 ekuivalen: Diberikan
0 adalah submodul prima di M. Diambil sebarang setiap K
submodul fully invariant dari M. Karena Tinggal ditunjukkan
, maka
.
. Diambil sebarang
0 untuk setiap
. Sehingga 0 ⁄
atau 0 padahal
, maka
. Karena N submodul prima, maka ⁄0
. Jika
0 . Sehingga haruslah
0 , maka
. Jadi
. Sebaliknya, diberikan untuk setiap K submodul fully invariant dari M, berlaku . Ditunjukkan sebarang
dan
0 adalah submodul prima di M. Diambil
dengan
0 . Berarti ⁄0
0 atau
⁄
. Jadi
0, yaitu 0
adalah submodul prima di M. Proposisi 3: Untuk suatu modul M dan
, pernyataan berikut ini
ekuivalen: (1)
M modul prima
(2)
untuk sebarang K submodul tak nol di M.
(3)
⁄
adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul tak nol di M.
(4)
⁄
adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant
tak nol di M. Bukti: 1
2
Diberikan M modul prima. Ditunjukkan
untuk sebarang K
submodul tak nol dari M. Diambil sebarang K submodul tak nol di M. Dibentuk submodul
|
M, yaitu
,
. Claim:
, dimana , maka
submodul fully invariant dari
sebarang. Diambil sebarang . Karena
dan
,
6
. Sehingga
maka
. Jadi
atau
submodul
fully invariant. Karena M modul prima dan
submodul fully invariant, maka
. Tinggal ditunjukkan dan
. Diambil sebarang
, berarti 0
0 untuk setiap 0. Jadi
atau
. Sebaliknya diambil sebarang setiap
. Dari sini, 0
haruslah 2
, berarti ·
·
0 atau
. Dari sini
0 untuk , maka
. Karena
. Jadi
.
3
Diberikan
untuk sebarang K submodul tak nol di M.
Ditunjukkan ⁄
adalah K‐cogenerated untuk sebarang K submodul tak
nol di M. Untuk sebarang M R‐modul, claim bahwa ⁄ : ⁄
yaitu terdapat monomorfisma dengan
untuk setiap
|
|
0
adalah
‐cogenerated,
. Didefinisikan , diperoleh . Dari sini : ⁄
cogenerated. Karena
0 memiliki
⁄
, maka
|
0. Sehingga g monomorfisma. Jadi ⁄
:
adalah
‐
adalah
‐
cogenerated. 3
4
Jelas, karena dari (3) diberikan ⁄
adalah K‐cogenerated untuk sebarang
K submodul tak nol di M, sehingga ⁄
juga adalah K‐cogenerated untuk
sebarang K submodul fully invariant tak nol di M. 4
1
Ditunjukkan M modul prima, yaitu fully invariant dari M. Karena ⁄
untuk setiap K submodul adalah K‐cogenerated untuk sebarang K
submodul fully invariant tak nol di M. Claim: K adalah faithful ⁄ yaitu
0 .
⁄
|
⁄
·
‐modul,
0,
|
0 | ·
·
0
7
| ·
0
| ·
0
0. Sehingga
|
0
untuk sebarang K submodul fully
invariant dari M. Proposisi 4: Misalkan M adalah R‐modul, ⁄
, dan dinotasikan
.
(1)
Jika M prima, maka adalah ring prima.
(2)
Jika adalah ring prima dan
⁄
untuk sebarang K
submodul tak nol dari M, maka M modul prima. Bukti: (1)
Diberikan M prima, berarti
untuk setiap K submodul
fully invariant dari M. Ditunjukkan adalah ring prima. Dari proposisi 3 untuk setiap K
karena M modul prima, maka diperoleh
submodul dari M. Lebih lanjut dengan menggunakan proposisi 2, diperoleh ⁄ (2)
ring prima.
Diberikan
adalah ring prima. Dari proposisi 2 diperoleh ⁄
atau ⁄
Karena
untuk sebarang submodul K dari M. untuk sebarang K submodul tak nol dari M, untuk sebarang submodul K dari M.
maka haruslah
Dengan menggunakan proposisi 3, diperoleh M modul prima. Akibat 2: Misalkan M adalah R‐modul, ⁄
, dinotasikan
, dan M adalah modul faithful: Jika M prima, maka R adalah ring prima
Bukti: Diberikan M prima dan M modul faithful, yaitu ⁄
⁄0
diperoleh
0 . Dari sini
. Sehingga dengan menggunakan proposisi 4,
prima.
8
REFRENSI I.E. Wijayanti, Coprime Modules and Comodules, Dissertation, University of D¨usseldorf, Germany, 2006. R. Wisbauer, Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach: Philadelphia, 1991. S. Arifin, Multiplication Modules, Thesis, University of Gadjah Mada, Yogyakarta, 2009.
9
