PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

Handout MK Aljabar Abstract

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: [email protected] Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem Informasi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP

UNIVERSITAS JEMBER 2016

1

Kata Pengantar Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas anugerah dan kasihNya, telah berhasil disusun sebuah handout untuk mata kuliah Aljabar Abstrak dengan judul Pengantar pada Teori Grup dan Ring. Untuk dapat mempelajari materi-materi inti yang disajikan dalam handout ini, diharapkan mahasiswa sudah menguasai konsep tentang himpunan dan fungsi. Oleh karenanya sebagai apersepsi maka pada bab I disajikan sekilas tentang konsep himpunan dan fungsi. Secara umum konsep-konsep struktur aljabar yang disajikan dalam buku ini banyak dituangkan dalam bentuk definisi dan teorema. Sebagian besar teorema disajikan tanpa disertai pembuktian dan hanya pada beberapa teorema diberikan langkah-langkah pembuktiannya. Hal ini dimaksudkan agar selain memahami suatu teorema, mahasiswa juga dapat berlatih untuk membuktikannya. Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan handout ini. Dan diharapkan agar handout ini dapat bermanfaat bagi pembaca sekalian, khususnya para mahasiswa yang menempuh matakuliah Aljabar Abstrak. Oleh karena itu kritik dan saran sangat diharapkan untuk lebih sempurnanya penyusunan handout ini.

Jember, Pebruari 2016

Antonius C. Prihandoko

i

Daftar Isi Kata Pengantar

i

Daftar Isi

iv

1 HIMPUNAN DAN FUNGSI

1

1.1

Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Partisi dan Relasi Ekuivalensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Operasi Biner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 GRUP

12

2.1

Pengertian Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Sifat-sifat Dasar Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Ordo Grup dan Elemen Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 GRUP SIKLIK

23

3.1

Konsep dan Beberapa Sifat Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2

Subgrup dari Grup Siklik Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4 GRUP PERMUTASI

30

4.1

Permutasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.2

Orbit dan Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5 KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE 5.1

Koset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

37 37

5.2

Teorema Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 HOMOMORPHISMA GRUP

39 43

6.1

Homomorphisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

6.2

Isomorphisma dan Teorema Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

7 GRUP FAKTOR

52

7.1

Pembentukan Grup Faktor oleh Homomorfisma . . . . . . . . . .

52

7.2

Pembentukan Grup Faktor oleh Subgrup Normal

. . . . . . . . .

53

7.3

Teorema Homomorfisma Dasar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

8 RING DAN FIELD

56

8.1

Pengertian dan Sifat-sifat Dasar Ring . . . . . . . . . . . . . . . .

56

8.2

Subring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

8.3

Homomorfisma dan Isomorfisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

8.4

Unity dan Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

8.5

Soal Latihan Definisi dan Sifat Dasar Ring . . . . . . . . . . . . .

60

9 INTEGRAL DOMAIN

62

9.1

Pembagi Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

9.2

Integral Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

9.3

Karakteristik Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

9.4

Soal Latihan Integral Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

10 TEOREMA FERMAT DAN EULER

66

10.1 Teorema Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

10.2 Generalisasi Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

10.3 Penerapan pada Kongruensi ax ≡ b mod m . . . . . . . . . . . . .

67

10.4 Soal Latihan Teorema Fermat dan Euler . . . . . . . . . . . . . .

68

11 FIELD QUOTIEN DARI SUATU INTEGRAL DOMAIN

70

11.1 Pembentukan Field Quotien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

11.2 Keunikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

11.3 Soal Latihan Field Quotien Dari Suatu Integral Domain . . . . . .

73

iii

12 RING POLINOMIAL

74

12.1 Polinomial dalam Sebuah Indeterminasi . . . . . . . . . . . . . . .

74

12.2 Homomorfisma Evaluasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

12.3 Algoritma Pembagian dalam F [x] . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

12.4 Soal Latihan Ring Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

13 HOMOMORPHISMA RING

78

13.1 Homomorfisma Ring dan Sifat-sifatnya . . . . . . . . . . . . . . .

78

13.2 Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

13.3 Isomorfisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

13.4 Soal Latihan Homomorfisma Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

14 RING FAKTOR (QUOTIEN)

81

14.1 Pembentukan Ring Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

14.2 Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

14.3 Teorema Homomorfisma Dasar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

14.4 Soal Latihan Ring faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

15 IDEAL MAKSIMAL DAN PRIMA

85

15.1 Ideal Maksimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

15.2 Ideal Prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

15.3 Soal latihan Ideal maksimal dan Prima . . . . . . . . . . . . . . .

86

16 KUMPULAN SOAL LATIHAN

iv

88

Bab 1 HIMPUNAN DAN FUNGSI Bab ini menyajikan materi pengantar untuk dapat memahami materi utama (grup dan homomorfisma) dalam perkuliahan Struktur Aljabar I. Karena pada dasarnya grup adalah sebuah himpunan dan homomorfisma adalah sebuah fungsi, maka perlu dibahas tentang konsep dasar himpunan dan fungsi. Selain dua materi tersebut, dalam bab ini juga dibahas tentang konsep dasar yang lain yakni partisi, relasi ekuivalensi dan operasi biner.

1.1

Himpunan

Tidak semua konsep dalam matematika dapat didefinisikan secara tepat, sehingga adakalanya suatu konsep dapat dipahami dengan mengidentifikasi sifat-sifatnya. Hal serupa juga terjadi pada konsep himpunan. Seandainya himpunan didefinisikan sebagai ”kumpulan dari obyek-obyek tertentu”, maka akan timbul pertanyaan tentang apa pengertian dari kata kumpulan dalam definisi ini. Kemudian seandainya kumpulan didefinisikan sebagai ”sebuah kesatuan dari bendabenda”, maka akan timbul pertanyaan tentang apa pengertian dari kata kesatuan dalam definisi ini. Demikian seterusnya pertanyaan berantai ini tidak akan berhenti, atau kalau tidak memaksa kita untuk mengulang kata-kata dalam definisi sebelumnya. Oleh karenanya dalam bab ini, pengertian himpunan tidak akan didefinisikan, tetapi akan diidentifikasi dengan menampilkan beberapa karakteristik yang berhubungan dengannya.

1

Bab I. Himpunan dan Fungsi

antonius cp 2

Secara singkat beberapa hal yang berkaitan dengan himpunan dapat disebutkan sebagai berikut. 1. Sebuah himpunan S tersusun atas elemen-elemen, dan jika a merupakan salah satu elemennya, maka dapat dinotasikan a ∈ S. 2. Ada tepat satu himpunan yang tidak memiliki elemen, yang disebut sebagai himpunan kosong, dan dinotasikan sebagai φ. 3. Sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, atau dengan mendaftar elemen-elemennya. Misalnya, himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan 5, dapat dinyatakan sebagai {2, 3, 5}, atau {x|x bilangan prima ≤ 5}. 4. Sebuah himpunan dikatakan well-defined, jika secara definitif dapat dinyatakan apakah suatu obyek merupakan elemen atau bukan elemen dari himpunan tersebut. Misalkan, S = {beberapa bilangan asli}, maka S bukan merupakan himpunan yang well-defined sebab tidak dapat dinyatakan apakah 5 ∈ S ataukah 5 6∈ S. Berbeda jika dinyatakan, S = {empat bilangan asli pertama }, maka elemen-elemen S dapat disebutkan secara definitif, yakni 1, 2, 3, 4. Definisi 1.1 Sebuah himpunan B dikatakan merupakan sebuah subset dari himpunan A dan dinotasikan ”B ⊆ A” atau ”A ⊇ B”, jika setiap elemen B merupakan elemen A. Catatan : untuk setiap himpunan A, A dan φ keduanya merupakan subset pada A. A disebut sebagai improper subset, sedangkan subset lainnya disebut proper subset. Contoh : Misalkan S = {a, b, c}, maka S memiliki 8 macam subset yakni φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Konsep subset ini dapat dimanfaatkan untuk membuktikan kesamaan dua buah himpunan secara analisis aljabar, yakni dua buah himpunan A dan B dikatakan sama apabila A ⊆ B dan B ⊆ A.


1.2

antonius cp 3

Partisi dan Relasi Ekuivalensi

Definisi 1.2 Suatu partisi dari sebuah himpunan A merupakan sebuah keluarga himpunan yang terdiri dari subset-subset tak kosong dari A yang saling asing (disjoint) satu sama lain dan gabungan dari semua subset tersebut akan kembali membentuk himpunan A Contoh : {{a, b}, {c}} merupakan salah satu bentuk partisi terhadap himpunan S = {a, b, c}. Berdasarkan definisi tersebut di atas, maka untuk menunjukkan bahwa sebuah keluarga himpunan {A1 , A2 , A3 , ..., An } merupakan partisi dari himpunan A, harus dibuktikan bahwa : 1. ∀i, j ∈ {1, 2, 3, ..., n}, jika i 6= j maka Ai ∩ Aj = φ; 2. ∪ni=1 Ai = A Contoh : 1. Himpunan bilangan bulat, Z, dapat dipartisi menjadi himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. 2. Z dapat juga dipartisi menjadi kelas-kelas yang masing-masing kelas mempunyai sifat jika dibagi tiga menghasilkan sisa yang sama, sehingga partisi yang terjadi adalah {0, 1, 2}, dimana 0 = {..., −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, ...}; 1 = {..., −8, −5, −2, 1, 7, 10, ...}; 2 = {..., −7, −4, −1, 2, 8, 11, ...}. Konsep lain yang erat kaitannya dengan partisi adalah relasi ekuivalensi. Maksudnya, jika sebuah himpunan dipartisi maka akan ada relasi ekuivalensi yang dapat ditemukan pada himpunan tersebut. Demikian pula sebaliknya, apabila pada suatu himpunan didefinisikan sebuah relasi ekuivalensi, maka himpunan semua kelas ekuivalensi akan merupakan sebuah partisi untuk himpunan tersebut. Definisi 1.3 Suatu relasi ”∼” pada sebuah himpunan A disebut relasi ekuivalensi jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:


antonius cp 4

1. Refleksif; yakni ∀x ∈ A, x ∼ x; 2. Simetris; yakni jika x ∼ y maka y ∼ x; 3. Transitif; yakni jika x ∼ y dan y ∼ z maka x ∼ z. Contoh : 1. Relasi ”kesamaan” pada himpunan bilangan riil, <, merupakan sebuah relasi ekuivalensi. 2. Misalkan pada himpunan bilangan rasional, Q, didefinisikan sebuah relasi: a/b ∼ c/d jika hanya jika ad = bc, maka relasi ”∼” merupakan relasi ekuivalensi. 3. Jika pada himpunan Z didefinisikan relasi: x ∼ y jika hanya jika xy ≥ 0, maka ∼ bukan merupakan relasi ekuivalensi. Tunjukkan! 4. Jika Z dipartisi menjadi kelas-kelas yang masing-masing kelas mempunyai sifat jika dibagi lima menghasilkan sisa yang sama, maka relasi ”sekelas partisi dengan” merupakan sebuah relasi ekuivalensi pada Z. Definisi 1.4 Misalkan ”∼” merupakan relasi ekuivalensi pada himpunan A, dan x adalah suatu elemen dalam A. Himpunan semua elemen yang ekuivalen dengan x disebut kelas ekuivalensi dari x, dan dinotasikan dengan [x]. Dengan kata lain [x] = {a ∈ A|a ∼ x}. Teorema 1.1 Jika x ∼ y maka [x] = [y]. Coba anda buktikan teorema di atas dengan memanfatkan konsep kesamaan dua buah himpunan, yakni harus ditunjukkan bahwa [x] ⊆ [y] dan [y] ⊆ [x]. Teorema 1.2 Jika ”∼” merupakan suatu relasi ekuivalensi pada A, maka himpunan semua kelas ekuivalensi, yakni {[x]|x ∈ A} merupakan partisi pada A.


antonius cp 5

Teorema ini menyatakan bahwa jika didefinisikan sebuah relasi ekuivalensi pada A maka setiap elemen dalam A akan menjadi elemen pada salah satu kelas ekuivalensi yang terjadi, sehingga akan didapatkan sebuah partisi utnuk A. Dengan demikian oleh sebuah relasi ekuivalensi, A akan dipartisi ke dalam kelas-kelas ekuivalensi. Untuk setiap n ∈ Z + ada suatu relasi ekuivalensi yang penting pada Z yang disebut sebagai kongruensi modulo n. Definisi 1.5 Misalkan a dan b adalah dua bilangan bulat pada Z dan n adalah sebarang bilangan bulat positif. Maka dikatakan bahwa a kongruen terhadap b modulo n, dan dinotasikan a ≡ b (mod n), jika a − b dapat dibagi habis oleh n, yakni a − b = nk, untuk suatu k ∈ Z. Kelas-kelas ekuivalensi untuk kongruensi modulo n disebut kelas-kelas residu modulo n. Contoh : 7 ≡ 12 (mod 5) sebab 7 − 12 = 5(−1). Sedangkan kelas residu yang memuat 7 dan 12 adalah {5n + 2|n ∈ Z} = {..., −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, ...}

1.3

Fungsi

Definisi 1.6 Suatu fungsi atau pemetaan φ dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen dari A dengan tepat satu elemen dari B. Secara notasi dapat dinyatakan bahwa φ : A → B merupakan sebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), φ(a) = b. Sehingga untuk menunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsi maka perlu dibuktikan bahwa (∀a1 , a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ φ(a1 ) = φ(a2 ) Definisi 1.7 Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dikatakan satu-satu jika setiap elemen di B memiliki paling banyak satu elemen dari A yang dipetakan kepadanya; dan dikatakan onto jika setiap elemen di B memiliki paling sedikit satu elemen dari A yang dipetakan kepadanya.


antonius cp 6

Dengan demikian teknis untuk menunjukkan kedua predikat fungsi tersebut adalah sebagai berikut. 1. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah satu-satu, maka harus ditunjukkan bahwa φ(a1 ) = φ(a2 ) berimplikasi a1 = a2 . 2. Untuk menunjukkan bahwa φ adalah onto, maka harus ditunjukkan bahwa untuk setiap b ∈ B, ada a ∈ A sedemikian hingga φ(a) = b.

1.4

Operasi Biner

Definisi 1.8 Suatu operasi biner pada suatu himpunan S dimaksudkan sebagai sebuah aturan yang memasangkan setiap pasangan terurut elemen-elemen S, (a, b) dengan suatu elemen dalam S. Definisi ini menunjukkan bahwa himpunan S harus bersifat tertutup di bawah sebuah operasi biner. Artinya, jika a, b ∈ S dan ∗ merupakan sebuah operasi biner pada S sedemikian hingga a ∗ b = c maka haruslah c ∈ S. Selain itu istilah pasangan terurut di sini memegang peranan yang penting, sebab elemen yang dipasangkan dengan (a, b) belum tentu sama dengan elemen yang dipasangkan dengan (b, a). Contoh : 1. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan riil (<), pada himpunan bilangan bulat (Z), pada himpunan bilangan kompleks (C), atau pada himpunan bilangan rasional (Q) merupakan suatu operasi biner. 2. Misalkan M (<) merupakan himpunan semua matriks dengan entri-entri riil, maka operasi penjumlahan matriks biasa bukan merupakan operasi biner. Mengapa? 3. Operasi penjumlahan juga bukan merupakan operasi biner pada <∗ = < − {0}. Mengapa?


antonius cp 7

Berikut ini beberapa predikat khusus yang dikenakan pada operasi biner tertentu. Definisi 1.9 Operasi biner ∗ pada himpunan S dikatakan komutatif jika dan hanya jika a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ S; dan dikatakan asosiatif jika dan hanya jika (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ S. Dari beberapa uraian dan contoh di atas, dapatlah digarisbawahi bahwa sebuah operasi biner memiliki 2 ciri utama : tunggal hasil dan tertutup, artinya jika ∗ merupakan operasi biner pada S, maka untuk setiap pasangan terurut (a, b) dalam S, ada tepat satu elemen c dalam S sedemikian hingga a ∗ b = c. SOAL LATIHAN HIMPUNAN DAN FUNGSI 1. Jika A = {1, 2, 3, 4}, berapa banyak himpunan bagian dari A? Sebutkan! 2. Buktikan bahwa: (a) Jika M ⊂ φ, maka M = φ. (b) Jika K ⊂ L, L ⊂ M dan M ⊂ K, maka K = M . (c) A ⊂ (A ∪ B) (d) Jika A ∪ B = φ maka A = φ dan B = φ. (e) (A ∩ B) ⊂ A (f) A ⊂ B jika hanya jika (A ∪ B) = B (g) (A − B) ⊂ A (h) (A − B) ∩ B = φ (i) M ⊂ N jika hanya jika M − N = φ (j) M = N jika hanya jika M − N = φ dan N − M = φ 3. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar elemen-elemennya! (a) {x ∈ <|x2 = 3}


antonius cp 8

(b) {a ∈ Z|a2 = 3} (c) {x ∈ Z|xy = 60 untuk suatu y ∈ Z} (d) {x ∈ Z|x2 − x < 115} 4. Nyatakan apakah relasi-relasi berikut merupakan relasi equivalensi? Jika ya, nyatakan partisi yang dibangun dari relasi equivalensi tersebut! (a) x ∼ y dalam Z jika xy > 0 (b) x ∼ y dalam < jika x ≥ y (c) x ∼ y dalam < jika |x| = |y| (d) x ∼ y dalam < jika |x − y| ≤ 3 (e) x ∼ y dalam Z + jika x dan y memiliki jumlah digit yang sama (f) x ∼ y dalam Z + jika x dan y memiliki digit akhir yang sama (g) x ∼ y dalam Z + jika n − m habis dibagi 2. 5. Misalkan n merupakan bilangan bulat tertentu dalam Z + .

Tunjukkan

bahwa kongruensi modulo n merupakan relasi equivalensi dalam Z. 6. Nyatakan semua kelas residu pada Z modulo n, untuk beberapa nilai n berikut: 1,2,3,4 dan 8 7. Hitunglah banyaknya kemungkinan partisi pada sebuah himpunan S yang memiliki: 1,2,3,4 atau 5 elemen. 8. Jika fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f −1 : B → A, nyatakan sifat-sifat yang dimiliki oleh f . 9. Jika A = [−1, 1] dan fungsi f1 (x) = x2 , f2 (x) = x3 , f3 (x) = sin x, f4 (x) = x5 , f5 (x) = φx , periksalah mana yang mempunyai fungsi invers. 10. Buktikan jika f : A → B dan g : B → C mempunyai fungsi invers f −1 : B → A dan g −1 : C → B, maka komposisi fungsi g ◦ f : A → C mempunyai fungsi invers f −1 ◦ g −1 : C → A


antonius cp 9

11. Misal f : A → B dan g : B → A serta g ◦ f = IA , dengan IA adalah fungsi identitas pada A. Tentukan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut. (a) f adalah fungsi satu-satu. (b) g adalah fungsi satu-satu. (c) g = f −1 (d) g adalah fungsi onto. (e) f adalah fungsi onto. 12. Nyatakan apakah operator biner ∗ berikut bersifat komutatif atau asosiatif. (a) ∗ didefinisikan pada Z dengan a ∗ b = a − b (b) ∗ didefinisikan pada Q dengan a ∗ b = ab + 1 (c) ∗ didefinisikan pada Q dengan a ∗ b =

ab 2

(d) ∗ didefinisikan pada Z + dengan a ∗ b = 2ab (e) ∗ didefinisikan pada Z + dengan a ∗ b = ab 13. Misalkan himpunan S memiliki tepat 1 elemen. Berapa banyak operasi biner yang berbeda yang dapat didefinisikan pada S? Jawablah pertanyaan yang sama jika S memiliki tepat 2 elemen; 3 elemen; n elemen. 14. Nyatakan apakah operasi ∗ berikut merupakan operasi biner. Jika tidak sebutkan aksioma mana yang tidak terpenuhi. (a) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = a − b. (b) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = ab . (c) Pada R didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = a − b. (d) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = c, dengan c adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada a dan b.


antonius cp 10

(e) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = c, dengan c paling sedikit 5 lebihnya dari a + b. (f) Pada Z + didefinisikan ∗ dengan a ∗ b = c, dengan c bilangan bulat terbesar yang kurang dari ab. 15. Nyatakan benar atau salah dan berikan alasannya. (a) Jika ∗ operasi biner pada himpunan S, maka a ∗ a = a, ∀a ∈ S. (b) Jika ∗ operasi biner komutatif pada himpunan S, maka ∀a, b, c ∈ S, a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a. (c) Jika ∗ operasi biner asosiatif pada himpunan S, maka ∀a, b, c ∈ S, a ∗ (b ∗ c) = (b ∗ c) ∗ a. (d) Suatu operasi biner ∗ pada himpunan S dikatakan komutatif jika ada a, b ∈ S, sedemikianhingga a ∗ b = b ∗ a. (e) Setiap operasi biner yang didefinisikan pada suatu himpunan yang memiliki tepat 1 elemen adalah komutatif dan asosiatif. (f) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan paling tidak 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. (g) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan paling banyak 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. (h) Sebuah operasi biner pada himpunan S menghubungkan tepat 1 elemen S untuk setiap pasangan terurut elemen S. 16. Tunjukkan bahwa jika ∗ adalah operasi biner komutatif dan asosiatif pada himpunan S, maka (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = [(d ∗ c) ∗ a] ∗ b, ∀a, b, c, d ∈ S. 17. Untuk pernyataan-pernyatan berikut, tunjukkan bila benar, atau berikan counter-example bila salah. (a) Setiap operasi biner pada suatu himpunan yang memiliki sebuah elemen, bersifat komutatif dan asosiatif.


antonius cp 11

(b) Setiap operasi biner komutatif pada suatu himpunan yang memiliki tepat 2 elemen, bersifat asosiatif. (c) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka komposisi fungsi pada F bersifat komutatif. (d) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka komposisi fungsi pada F bersifat asosiatif. (e) Jika F himpunan semua fungsi riil, maka penjumlahan fungsi pada F bersifat asosiatif. (f) Jika ∗ dan ∗0 sebarang dua operasi biner pada himpunan S, maka a ∗ (b ∗0 c) = (a ∗ b) ∗0 (a ∗ c), ∀a, b, c ∈ S

Bab 2 GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep tentang subgrup.

2.1

Pengertian Grup

Suatu struktur aljabar merupakan suatu sistem yang mengandung dua unsur utama yakni sebuah himpunan dan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya. Sebuah sistem yang terdiri dari sebuah himpunan tak kosong G dan sebuah operasi biner ∗ yang didefinisikan didalamnya disebut grupoid. Jika operasi biner dalam grupoid tersebut bersifat asosiatif, maka sistem tersebut menjadi sebuah semi grup. Selanjutnya semi grup yang memuat elemen identitas, yakni sebuah elemen e sedemikian hingga untuk setiap a ∈ G berlaku a ∗ e = e ∗ a = a, disebut monoid. Dan apabila setiap elemen dalam monoid memiliki invers, yakni untuk setiap a ∈ G, ∃a−1 ∈ G sedemikian hingga a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e, maka sistem yang baru disebut grup. Berikut ini disajikan definisi formal dari grup. Definisi 2.1 Suatu himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi ∗ (dinotasikan (G, ∗)), dapat membentuk Grup jika dan hanya jika memenuhi empat aksioma berikut.

12

Bab II. Grup

antonius cp 13

1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal. Atau secara simbolis: (∀a, b ∈ G), (∃!c ∈ G), a ∗ b = c 2. Operasi ∗ bersifat asosiatif, yakni (∀a, b, c ∈ G), (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). 3. Ada elemen identitas dalam G, yakni (∃e ∈ G), (∀a ∈ G), a ∗ e = e ∗ a = a. 4. Tiap-tiap elemen dalam G memiliki invers, yakni (∀a ∈ G), (∃a−1 ∈ G), a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e, dimana e adalah elemen identitas terhadap operasi ∗. Contoh : 1. Himpunan bilangan riil < terhadap operasi penjumlahan bilangan riil membentuk sebuah grup. 2. Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 5, membentuk sebuah grup. √ 3. {a+b 3|a, b ∈ Z} terhadap operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai √ √ √ berikut: (a1 + b1 3) + (a2 + b2 3) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) 3, membentuk sebuah grup. 4. Himpunan semua matrik berukuran 2 × 2 dengan entri-entri bilangan riil tidak dapat membentuk grup terhadap operasi perkalian matrik. Mengapa? 5. Himpunan bilangan bulat Z dengan operasi perkalian bilangan bulat, tidak dapat membentuk grup. Mengapa? 6. Himpunan bilangan rasional Q dengan operasi perkalian, membentuk sebuah grup. 7. Dengan menggunakan tabel operasi ∗, tentukan aturan bagi operasi ∗ agar himpunan G = {a, b, c, d} dapat membentuk grup terhadap operasi ∗.

Bab II. Grup

antonius cp 14

Definisi 2.2 Sebuah grup (G, ∗) dikatakan sebagai grup komutatif apabila (∀a, b ∈ G), a ∗ b = b ∗ a. Contoh : Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan merupakan grup komutatif.

2.2

Sifat-sifat Dasar Grup

Setelah memahami konsep tentang suatu grup, maka berikut ini disajikan beberapa teorema yang merupakan sifat-sifat dasar dari grup. Pembuktian teoremateorema tersebut sengaja ditinggalkan untuk latihan. Teorema 2.1 Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal. Teorema 2.2 Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal. Teorema 2.3 Jika G adalah grup dengan operasi biner ∗, maka dalam G berlaku hokum kanselasi kiri dan hokum kanselasi kanan. Yakni, a ∗ b = a ∗ c berimplikasi b = c, dan a ∗ b = c ∗ b berimplikasi a = c, ∀a, b, c ∈ G. Teorema 2.4 Jika G grup dan a1 , a2 , · · · , an adalah sebarang n elemen dalam −1 −1 G, maka berlaku (a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an )−1 = a−1 n ∗ an−1 ∗ · · · ∗ a1 .

Teorema 2.5 Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G berlaku (a−1 )−1 = a. Teorema 2.6 Dalam sebuah grup G, persamaan ax = b, dimana a, b ∈ G dan x adalah variabel, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a−1 b. Teorema 2.7 Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi ∗ memenuhi aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a ∗ x = b dan y ∗ a = b mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b ∈ G, maka (G, ∗) merupakan grup.

Bab II. Grup

2.3

antonius cp 15

Ordo Grup dan Elemen Grup

Berikut ini disajikan tentang pengertian ordo grup dan ordo elemen grup beserta sifat-sifatnya yang ditampilkan dalam bentuk teorema-teorema. Definisi 2.3 Hasil operasi a ∗ a ∗ a ∗ a ∗ · · · ∗ a sebanyak m faktor disajikan dengan am ; hasil operasi a−1 ∗a−1 ∗a−1 ∗a−1 ∗· · ·∗a−1 sebanyak m faktor disajikan dengan a−m ; dan a0 = e, dimana e adalah elemen identitas dalam G. Teorema 2.8 Jika m bilangan bulat positif maka a−m = (a−1 )m = (am )−1 Contoh : 1. Dalam grup (Z, +), 47 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28; 4−1 = −4 sehingga 4−5 = (−4)+(−4)+(−4)+(−4)+(−4) = −20; 40 = 0, karena 0 merupakan elemen identitas jumlahan pada himpunan bilangan bulat. 2. Dalam grup (<, ×), 23 = 2×2×2 = 8; 2−1 =

1 2

sehingga 2−3 = 12 × 21 × 12 = 18 ;

20 = 1, karena 1 adalah elemen identitas perkalian pada himpunan bilangan riil. Teorema 2.9 Apabila m dan n bilangan-bilangan bulat maka am ∗ an = am+n dan (am )n = amn Definisi 2.4 Ordo (atau order) dari suatu grup berhingga G adalah banyaknya elemen dari G. Sedangkan jika banyaknya elemen G tak berhingga, maka ordo dari G adalah tak berhingga. Ordo dari G dinotasikan |G|. Definisi 2.5 Misalkan a adalah suatu elemen dari grup G. Ordo (atau order) dari a adalah n jika hanya jika n merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga an = e, dimana e adalah elemen identitas pada grup G. Sedangkan jika tidak ada bilangan bulat positif yang demikian maka dikatakan bahwa ordo dari a tak berhingga. Ordo dari a dinotasikan O(a).

Bab II. Grup

antonius cp 16

Contoh : 1. Dalam (Z 5 , +), O(2) = 5, sebab 5 adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 25 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≡ 0(mod5). 2. Dalam (Z 5 , ×), O(2) = 4, sebab 4 adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ≡ 1(mod5). Teorema 2.10 Misalkan a adalah elemen suatu grup G. Jika a berordo berhingga n maka ada n variasi hasil perpangkatan dari a dalam G, yakni: a1 , a2 , a3 , · · · , an−1 , an Perlu diketahui bahwa pengertian dari hasil perpangkatan disini tidak selalu dikaitkan dengan operasi perkalian bilangan riil, tetapi tergantung dari operasi biner yang berlaku dalam suatu grup. Misalnya, dalam (G, ∗), maka an = a ∗ a ∗ a ∗ · · · ∗ a sebanyak n faktor; atau dalam (<, +), maka an = a + a + a + · · · + a sebanyak n faktor; seperti juga halnya dalam grup bilangan rasional Q terhadap operasi perkalian, maka an = a × a × a × · · · × a sebanyak n faktor. Contoh : 1. Dalam (Z 5 , +), O(2) = 5, sehingga ada 5 variasi hasil perpangkatan dari 2 yang berbeda yakni 21 = 2; 22 = 4; 23 = 1; 24 = 3; dan 25 = 0. 2. Dalam (Z 5 , ×), O(2) = 4, sehingga ada 4 variasi hasil perpangkatan dari 2 yakni 21 = 2; 22 = 4; 23 = 3; dan 24 = 1. Teorema 2.11 Jika a berordo tak berhingga maka semua hasil perpangkatan dari a berbeda, yakni jika r 6= s maka ar 6= as . Contoh : Dalam (Z, +), O(2) tak berhingga, sehingga setiap hasil perpangkatan dari 2 berbeda. Buktikan dua teorema berikut dan berikanlah contohnya masing-masing! Teorema 2.12 Misalkan O(a) = n. (ak = e) ⇔ n|k (n merupakan faktor dari k). Teorema 2.13 Jika O(a) = n maka O(a−1 ) = n

Bab II. Grup

2.4

antonius cp 17

Subgrup

Definisi 2.6 Misalkan (G, ∗)adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika hanya jika (H, ∗) membentuk sebuah grup. Berdasarkan definisi tersebut maka dapatlah dikatakan bahwa agar menjadi sebuah subgrup dari grup G maka H haruslah merupakan sebuah grup dalam grup G, yang berarti H harus memenuhi semua aksioma grup terhadap operasi biner yang sama dengan G. Selanjutnya mengingat H merupakan subset dari G maka ada aksioma yang sudah secara otomatis akan diwariskan dari G ke H, yakni aksioma asosiatif, sehingga dapat diturunkan teorema berikut. Teorema 2.14 Misalkan (G, ∗)adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika memenuhi tiga aksioma berikut. 1. Tertutup : (∀c, d ∈ H), c ∗ d ∈ H. 2. Elemen identitas e ∈ H; dimana e juga merupakan elemen identitas dalam grup G terhadap operasi ∗. 3. (∀c ∈ H), c−1 ∈ H. Selanjutnya dapat dianalisa bahwa jika aksioma tertutup dan invers sudah dipenuhi oleh H maka aksioma identitas juga akan terpenuhi. Sehingga aksioma pada teorema di atas dapat direduksi dan menghasilkan teorema berikut. Teorema 2.15 Misalkan (G, ∗)adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika memenuhi dua aksioma berikut. 1. Tertutup : (∀c, d ∈ H), c ∗ d ∈ H. 2. (∀c ∈ H), c−1 ∈ H.

Bab II. Grup

antonius cp 18

Akhirnya dua aksioma pada teorema di atas dapat digabungkan dan menghasilkan teorema berikut. Teorema 2.16 Misalkan (G, ∗)adalah sebuah grup dan H suatu subset tak kosong dari G. H dikatakan merupakan subgrup dari G jika (∀c, d ∈ H), c ∗ d−1 ∈ H. Contoh: {0, 3} dan {0, 2, 4} keduanya merupakan subgrup pada Z 6 , +). Tunjukkan kebenaran akan hal ini! Definisi 2.7 Misalkan (G, ∗) grup. H dan K keduanya subset dalam G. Maka H ∗ K = {a ∈ G|a = h ∗ k, h ∈ H ∧ k ∈ K} dan H −1 = {a ∈ G|a = h−1 , h ∈ H} Definisi di atas digunakan untuk operasional teorema-teorema berikut. Teorema 2.17 Jika (H, ∗) subgrup pada (G, ∗), maka H ∗H = H dan H −1 = H. Teorema 2.18 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ∗), maka H ∗ K merupakan subgrup jika hanya jika H ∗ K = K ∗ H. Teorema 2.19 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ∗), maka H ∩ K juga merupakan subgrup pada (G, ∗). Teorema 2.20 Misal G grup dan a ∈ G. Jika H adalah himpunan dari semua hasil perpangkatan dari a dalam G, maka H merupakan subgrup dari G. Contoh : Dalam (Z 5 , ×), ada 4 variasi hasil perpangkatan dari 2 yakni 21 = 2; 22 = 4; 23 = 3; dan 24 = 1, sehingga {1, 2, 3, 4} merupakan subgrup dalam (Z 5 , ×). Catatan : Selanjutnya, untuk menyederhanakan penulisan maka notasi untuk operasi biner dalam suatu grup tidak dituliskan, jadi misalnya G suatu grup dan a, b ∈ G maka operasi a dan b dituliskan sebagai ab.

Bab II. Grup

antonius cp 19 SOAL LATIHAN GRUP

1. Nyatakan apakah struktur aljabar berikut merupakan grupoid, semigrup, monoid atau grup! (a) Himpunan bilangan asli dengan operasi penjumlahan. (b) Himpunan bilangan asli dengan operasi perkalian. (c) Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. (d) G = {ma|a ∈ Z} dengan operasi penjumlahan bilangan bulat, dimana m adalah suatu bilangan bulat tertentu. (e) G = {ma |a ∈ Z} dengan operasi perkalian, dimana m adalah suatu bilangan bulat tertentu. √ (f) G = {a + 2b|a, b ∈ Q} dengan operasi penjumlahan. (g) Himpunan bilangan rasional taknol dengan operasi perkalian. (h) Himpunan bilangan kompleks taknol dengan operasi perkalian. (i) Himpunan bilangan cacah dengan operasi penjumlahan. (j) Himpunan M2 (<) dengan operasi penjumlahan matriks. (k) Himpunan M2 (<) dengan operasi perkalian matriks. (l) Himpunan bilangan cacah dengan operasi penjumlahan. (m) Himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi lima dengan operasi penjumlahan. (n) Himpunan semua vector dalam <2 yang berbentuk (x, 3x) dengan operasi penjumlahan vector. (o) Himpunan semua vector dalam <2 yang berbentuk (0, y) atau (x, 0) dengan operasi penjumlahan vector. (p) G = {f1 , f2 , f3 , f4 } dengan operasi komposisi transformasi, dimana f1 (z) = z, f2 (z) = −z, f3 (z) = z1 , f4 (z) = − z1 , untuk setiap z elemen bilangan kompleks.

Bab II. Grup

antonius cp 20

2. Misalkan S merupakan himpunan semua bilangan riil kecuali −1. Didefinisikan operasi ∗ pada S sedemikian hingga a ∗ b = a + b + ab. (a) Tunjukkan bahwa ∗ merupakan sebuah operasi biner. (b) Tunjukkan apakah S merupakan grup. (c) Hitunglah penyelesaian dari 2 ∗ x ∗ 3 = 7 dalam S. 3. Jika G adalah grup dengan operasi biner ∗, maka tunjukkan bahwa ∀a, b ∈ G, (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 ! 4. Nyatakan benar atau salah pada setiap pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Sebuah grup dapat memiliki lebih dari satu elemen identitas. (b) Pada sebuah grup, setiap persamaan linear memiliki penyelesaian. (c) Setiap grup berhingga yang memiliki paling banyak tiga elemen merupakan grup abelian. (d) Himpunan kosong dapat dipandang sebagai sebuah grup. 5. Jika G merupakan grup berhingga dengan elemen identitas e dan banyak elemennya adalah genap, maka tunjukkan bahwa ada a 6= e dalam G sedemikianhingga a ∗ a = e! 6. Misalkan ∗ adalah operasi biner dalam himpunan S, sebuah elemen x ∈ S dikatakan sebuah idempoten untuk ∗ jika x ∗ x = x. Tunjukkan bahwa sebuah grup memiliki tepat satu elemen idempoten! 7. Jika G adalah grup dengan elemen identitas edan ∀x ∈ G, x ∗ x = e, maka G merupakan grup abelian! 8. Tunjukkan jika (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 , untuk a dan b dalam G, maka a ∗ b = b ∗ a! 9. Misalkan G adalah grup dan a, b ∈ G. Tunjukkan bahwa (a∗b)−1 = a−1 ∗b−1 jika hanya jika a*b = b*a!

Bab II. Grup

antonius cp 21

10. Nyatakan benar atau salah setiap pernyataan berikut dan berikan alasannya! (a) Hukum asosiatif selalu berlaku pada setiap grup. (b) Dimungkinkan adanya sebuah grup dimana hukum kanselasi tidak berlaku. (c) Setiap grup merupakan subgrup pada dirinya sendiri. (d) Setiap grup memiliki tepat dua subgrup improper. (e) Setiap himpunan bilangan yang merupakan grup terhadap operasi penjumlahan, juga merupakan grup terhadap operasi perkalian. (f) Setiap subset dari setiap grup merupakan subgrup terhadap operasi biner yang sama. (g) Jika b2 = e maka b = e, dimana e adalah elemen identitas. (h) Jika c2 = c maka c = e. (i) dalam setiap grup, an ∗ bn = (a ∗ b)n . 11. Jika H dan K keduanya merupakan subgrup pada grup abelian G, maka tunjukkan bahwa HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K} juga merupakan subgrup pada G. 12. Buktikan bahwa suatu subset tak kosong H pada grup G merupakan subgrup pada G jika hanya jika ab−1 ∈ H, ∀a, b ∈ H! 13. Buktikan bahwa jika G adalah grup abelian dengan elemen identitas e, maka semua elemen x ∈ G yang memenuhi persamaan x2 = e membentuk subgrup H pada G! 14. Misalkan G adalah grup dan a merupakan elemen tertentu dalam G. Tunjukkan bahwa Ha = {x ∈ G|xa = ax} merupakan subgrup pada G!

Bab II. Grup

antonius cp 22

15. Misalkan H adalah subgrup pada grup G. Untuk a, b ∈ G, misalkan a ∼ b jika hanya jika ab−1 ∈ H. Tunjukkan bahwa ∼ merupakan relasi ekuivalensi pada G. Tunjukkan pula bentuk partisi yang dihasilkan oleh relasi ekuivalensi tersebut! 16. Tunjukkan bahwa jika H subgrup G dan K subgrup G, maka H ∩ K juga subgrup G!

Bab 3 GRUP SIKLIK Menindaklanjuti sebuah teorema yang menyatakan bahwa himpunan semua hasil perpangkatan dari suatu elemen dalam suatu grup dapat membentuk subgrup, maka lahirlah sebuah konsep tentang suatu grup yang elemen-elemennya merupakan hasil perpangkatan dari sebuah elemen tertentu dalam grup tersebut. Grup yang demikian dikenal dengan sebutan grup siklik. Bab ini menyajikan konsep dasar grup siklik dan subgrupnya.

3.1

Konsep dan Beberapa Sifat Dasar

Pada bagian akhir bab sebelumnya telah dinyatakan bahwa himpunan semua hasil perpangkatan dari suatu elemen dalam grup dapat membentuk subgrup. Misalnya G grup dan a ∈ G, maka H = {h ∈ G|h = ak , k ∈ Z} merupakan subgrup pada G. Dengan demikian a sendiri juga berada dalam H karena a = a1 dan semua elemen H dapat dinyatakan sebagai hasil perpangkatan dari a. Sehingga dapat dinyatakan bahwa a membangun himpunn H, yang dalam hal ini merupakan sebuah grup. Konsep inilah yang kemudian merupakan dasar dari pembentukan konsep tentang grup siklik yang definisi formalnya adalah sebagai berikut. Definisi 3.1 Suatu grup G dikatakan grup siklik jika ada elemen a ∈ G sedemikian

23

Bab III. Grup Siklik

antonius cp 24

hingga setiap elemen x ∈ G, dapat dinyatakan sebagai x = am , dimana m merupakan bilangan bulat. Elemen a disebut elemen pembangun atau generator dan G disebut sebagai grup siklik yang dibangun oleh a dan dinotasikan: G =< a >. Dari definisi di atas dan beberapa uraian sebelumnya dapat diturunkan beberapa sifat dari grup siklik berikut ini. Teorema 3.1 Setiap grup siklik merupakan grup komutatif Teorema 3.2 Jika G =< a > dan b ∈ G maka O(b)|O(a). Untuk kebutuhan pembuktian pada teorema-teorema tentang grup siklik selanjutnya, diperlukan algoritma pembagian pada himpunan bilangan bulat (Z) berikut ini: Jika b sebuah bilangan bulat positif dan a sebarang bilangan bulat, maka ada dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian hingga a = bq + r dimana 0 ≤ r < b. Teorema 3.3 Setiap subgrup dari grup siklik adalah siklik. Akibatnya : Subgrup-subgrup pada Z terhadap operasi penjumlahan berbentuk nZ terhadap operasi penjumlahan untuk n ∈ Z. Definisi 3.2 Misalkan r dan s adalah dua bilangan bulat positif. Generator positif dari grup siklik G = {nr + ms|n, m ∈ Z} terhadap operasi penjumlahan merupakan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari r dan s.


antonius cp 25

Untuk dapat memahami definisi tersebut maka pertama-tama harus ditunjukkan bahwa G merupakan subgrup dari Z. Dan ini mudah untuk dilakukan, silahkan anda coba. Selanjutnya karena (Z, +) =< 1 > maka G pasti juga siklik dan memiliki sebuah generator d, yang dalam hal ini kita pilih d yang positif. Dari definisi dinyatakan bahwa d merupakan pembagi dari r dan s sebab baik r = 1r + 0s maupun s = 0r + 1s berada dalam G. Karena d ∈ G, maka dapat dituliskan d = nr + ms untuk suatu bilangan bulat n dan m. Dapat ditunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang membagi habis r dan s juga akan membagi habis d. Sehingga d pastilah bulangan terbesar yang membagi habis baik r maupun s. Teorema 3.4 Jika G =< a > berordo tak prima n, maka setiap subgrup sejatinya (proper subgrup) dihasilkan oleh am dengan m merupakan pembagi sejati dari n, artinya (m 6= 1) ∧ (m 6= n) sedemikian hingga m|n. Sebaliknya apabila m merupakan pembagi sejati dari n maka G pasti memiliki subgrup sejati yang dibangun oleh am . Teorema 3.5 Jika G =< a > dan O(a) = n maka |G| = n. Teorema 3.6 Jika G =< a > maka G =< a−1 >.

3.2

Subgrup dari Grup Siklik Hingga

Misalkan G adalah grup siklik yang dibangun oleh a (G =< a >). Maka ada dua kemungkinan untuk G, yakni G berordo tak hingga atau G berordo hingga. 1. Jika G berordo tak hingga, maka semua hasil perpangkatan dari a adalah berbeda. Hal ini berarti tidak ada dua bilangan bulat yang berbeda, h dan k, dengan h > k, yang memberikan ah = ak dalam G. Buktikan!


antonius cp 26

2. Jika G berordo hingga, misalkan |G| = n, maka hanya ada n hasil perpangkatan dari a yang berbeda (mengapa?). Sehingga akan ada dua bilangan bulat yang berbeda, h dan k, yang memberikan ah = ak dalam G. Definisi 3.3 Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat tertentu, dan misalkan h dan k sebarang bilangan bulat. Maka hasil jumlah dari h dan k modulo n (dinotasikan h + k (mod n)) adalah sisa apabila h + k dibagi n. Contoh : 13 + 18 = 31 = 5(6) + 1. Sehingga 13 + 18 ≡ 1 (mod 5). Teorema 3.7 Himpunan {0, 1, 2, 3, · · · , n − 1} merupakan grup siklik Z n terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat modulo n. Teorema 3.8 Misalkan G =< a > dan |G| = n. Jika b ∈ G dan b = as , maka b membangun subgrup siklik H dari G yang memuat

n d

elemen, dimana d adalah

FPB dari n dan s. Contoh : Perhatikan Z 12 dengan generator a = 1. Karena 8 = 8·1 dan FPB dari 12 dan 8 adalah 4 maka 8 membangun sebuah subgrup dengan

12 4

= 3 elemen,

yakni < 8 >= {0, 4, 8}. Teorema 3.9 Jika G =< a > dan |G| = n maka generator-generator yang lain untuk G berbentuk ar , dimana r relatif prima terhadap n. Contoh : Kita tahu bahwa Z 12 =< 1 >. Maka generator yang lain untuk Z 12 adalah 5 = 5 · 1, 7 = 7 · 1, dan 11 = 11 · 1. SOAL LATIHAN GRUP SIKLIK 1. Buktikan bahwa setiap grup siklik adalah abelian! 2. Tunjukkan bahwa sebuah grup tanpa subgrup proper non trivial merupakan grup siklik!


antonius cp 27

3. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 32 dan 24, 48 dan 88, 360 dan 420. 4. Misalkan +n menotasikan penjumlahan modulo n. Hitunglah kuantitas berikut: 13 +17 8, 21 +30 19, 26 +42 16, dan 39 +54 17. 5. Tentukan banyaknya generator dari suatu drup siklik yang berordo: 5, 8, 12, dan 60. 6. Tentukan banyaknya elemen suatu subgrup siklik dari grup Z 30 yang dibangun oleh 25. 7. Carilah semua subgrup dari grup-grup: Z 12 , Z 36 , dan Z 8 , dan gambarlah diagram lattice-nya. 8. Tentukan semua ordo dari subgrup-subgrup dari grup: Z 6 , Z 8 , Z 12 , Z 60 , dan Z 17 . 9. Untuk setiap pernyataan berikut, tentukan benar atau salah, dan berikan alasannya. (a) Pada setiap grup siklik, setiap elemen merupakan generator. (b) Z4 merupakan sebuah grup siklik. (c) Setiap grup abelian adalah siklik. (d) Q dibawah operasi penjumlahan adalah siklik. (e) Setiap elemen pada grup siklik merupakan generator. (f) Paling tidak ada satu grup abelian untuk setiap ordo hingga yang lebih besar dari 0. (g) Semua generator dari Z 20 adalah bilangan prima. Setiap grup siklik yang berordo > 2 memiliki paling tidak dua generator yang berbeda. 10. Berikanlah contoh dari masing-masing kriteria grup berikut ini.


antonius cp 28

(a) Grup berhingga yang tidak siklik. (b) Grup tak hingga yang tidak siklik. (c) Grup siklik yang hanya punya satu generator. (d) Grup siklik tak hingga yang punya empat generator. (e) Grup siklik hingga yang punya empat generator. 11. Jika G =< a > dan o(a) = n, maka buktikan bahwa |G| = n. 12. Jika G =< a >, buktikan bahwa juga G =< a−1 >. 13. Jika suatu grup berhingga berordo n memuat elemen yang juga berordo n, buktikan grup tersebut siklik. 14. Dalam grup siklik yang berordo n, buktikan ada elemen yang berordo k, dimana k merupakan faktor dari n. 15. Tunjukkan bahwa suatu grup yang hanya memeiliki sejumlah hingga subgrup, pastilah merupakan grup hingga. 16. Misalkan p dan q merupakan bilangan prima. Tentukan banyaknya generator dari grup siklik Z pq . 17. Misalkan p merupakan bilangan prima, tentukan banyaknya generator pada grup siklik Z pr , dimana r merupakan bilangan bulat ≥ 1. 18. Tunjukkan bahwa pada sebuah grup siklik hingga Gyang berordo n, persamaan xm = e memiliki tepat m penyelesaian x dalam G untuk setiap bilangan bulat positif m yang membagi n. 19. Tunjukkan bahwa Z p tidak memiliki subgrup proper jika p merupakan bilangan prima. 20. Jika suatu grup hingga berordo n dan memuat elemen yang juga berordo n, maka buktikan bahwa grup tersebut adalah siklik!


antonius cp 29

21. Dalam grup siklik yang berordo n, buktikan ada elemen berordo k, dimana k merupakan faktor dari n! 22. Buktikan ordo dari setiap grup siklik sama dengan ordo dari elemen pembangunnya! 23. Ada berapa generator dalam grup siklik yang berordo 10?

Bab 4 GRUP PERMUTASI Pada bab ini dibahas tentang suatu grup yang beranggotakan permutasipermutasi yang didefinisikan dalam sebuah himpunan. Grup semacam ini perlu mendapatkan pembahasan tersendiri sebab memiliki suatu karakteristik yang khusus. Diawali dengan penyajian pengertian permutasi pada suatu himpunan, pembahasan akan sampai pada suatu teorema yang menyatakan bahwa himpunan semua permutasi tersebut dapat membentuk sebuah grup.

4.1

Permutasi

Definisi 4.1 Permutasi pada sebuah himpunan A dimaksudkan sebagai fungsi dari A ke A yang bersifat satu-satu dan onto. Contoh: 1. Misalkan A = {x, y, z} maka  α=

a b c c a b

 

merupakan sebuah permutasi, dimana α(a) = c; α(b) = a; dan α(c) = b. 2. Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Diberikan dua permutasi pada B,   1 2 3 4 5  φ= 1 2 5 3 4 30

Bab IV. Grup Permutasi

antonius cp 31

dan

 β=

1 2 3 4 5 4 1 2 5 3

 

maka perkalian permutasi (= komposisi fungsi) φβ adalah:      1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5  =  φβ =  3 1 2 4 5 4 1 2 5 3 1 2 5 3 4 Teorema 4.1 Misalkan A himpunan tak kosong dan SA adalah himpunan semua permutasi pada A. Maka SA merupakan grup terhadap operasi perkalian permutasi. Definisi 4.2 Grup Simetrik. Misalkan A = {1, 2, 3, · · · , n}, maka grup dari semua permutasi pada A disebut grup simetrik pada n angka, dan dinotasikan sebagai Sn . Catatan : Sn memiliki n! elemen. Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3} maka S3 memiliki 3! = 6 elemen. Semua permutasi pada A dapat disebutkan sebagai berikut.    1 2 3 1 2  , µ1 =  ρ0 =  1 2 3 1 3    1 2 3 1 2  , µ2 =  ρ1 =  2 3 1 3 2    1 2 3 1 2  , µ3 =  ρ2 =  3 1 2 2 1

3 2 3 1 3 3

 ,  ,  ,

Dan dapat dibuktikan S3 = {ρ0, ρ1 , ρ2 , µ1 , µ2 , µ3 } merupakan sebuah grup terhadap operasi perkalian permutasi.

4.2

Orbit dan Cycle

Setiap permutasi σ pada sebuah himpunan A akan mempartisi A ke dalam kelaskelas partisi dengan ketentuan bahwa ∀a, b ∈ A, a dan b berada dalam kelas yang


antonius cp 32

sama jika hanya jika b = σ n (a), untuk suatu n ∈ Z. Dengan kata lain dapat ditunjukkan bahwa relasi ∼ dengan ketentuan a ∼ b ⇔ b = σ n (a) merupakan sebuah relasi ekuivalensi. Definisi 4.3 Misalkan σ merupakan sebuah permutasi pada himpunan A. Kelaskelas ekuivalensi yang ditentukan oleh relasi ekuivalensi a ∼ b ⇔ b = σ n (a) merupakan orbit-orbit untuk σ. Contoh : Orbit-orbit untuk permutasi   1 2 3 4 5 6 7 8  σ= 8 1 6 3 7 4 5 2 pada S8 dapat dicari dengan mengaplikasikan σ berulangkali sampai kembali pada elemen semula. Berikut ini alur yang kita dapatkan dari permutasi σ di atas. 1 −→ 8 −→ 2 −→ 1 3 −→ 6 −→ 4 −→ 3 5 −→ 7 −→ 5 sehingga orbit-orbit untuk σ adalah {1, 2, 8}, {3, 4, 6}, {5, 7} Bila diperhatikan maka setiap orbit pada contoh di atas akan dapat menentukan sebuah permutasi baru dalam S8 dengan ketentuan bahwa elemen yang menjadi anggota orbit akan ditransformasikan sedangkan elemen-elemen lainnya tetap. Misalkan saja orbit yang pertama {1, 2, 8} dengan alur 1 −→ 8 −→ 2 −→ 1


antonius cp 33

dapat membentuk sebuah permutasi   1 2 3 4 5 6 7 8  µ= 8 1 3 4 5 6 7 2 Dengan demikian permutasi µ hanya memiliki 1 orbit yang beranggotakan lebih dari 1 elemen. Permutasi yang demikian disebut sebagai cycle. Berikut definisi formalnya. Definisi 4.4 Sebuah permutasi σ ∈ Sn disebut cycle jika σ memiliki paling banyak satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Panjang sebuah cycle dimaksudkan sebagai banyaknya elemen pada orbit terbesar. Contoh : Sebagaimana telah disebutkan dalam contoh di atas, permutasi µ merupakan sebuah cycle dengan panjang 3 dan dinotasikan sebagai µ = (1, 8, 2) Ingat, bahwa tidak seperti pada orbit, maka urutan elemen pada penulisan sebuah cycle akan menentukan alur permutasinya. Perhatikan bahwa (1, 8, 2) = (8, 2, 1) = (2, 1, 8) tetapi (1, 8, 2) 6= (1, 2, 8). Sebagaimana telah diketahui bahwa himpunan orbit sebuah permutasi merupakan partisi pada Sn , sehingga orbit-orbit sebuah permutasi merupakan himpunanhimpunan yang saling asing. Selanjutnya, karena sebuah orbit dapat membentuk sebuah permutasi baru yang merupakan sebuah cycle, maka dapatlah diturunkan teorema berikut ini. Teorema 4.2 Setiap permutasi σ pada himpunan berhingga merupakan hasil perkalian dari cycle-cycle yang saling asing (disjoint). Contoh :  σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 8 1 6 3 7 4 5 2

  = (1, 8, 2)(3, 6, 4)(5, 7)


antonius cp 34

Definisi 4.5 Sebuah cycle yang panjangnya 2 disebut transposisi. Setiap cycle dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian transposisi-transposisi, sebagaimana komputasi berikut. (a1 , a2 , a3 , · · · , an−1 , an ) = (a1 , an )(a1 , an−1 ) · · · (a1 , a3 )(a1 , a2 ). Akibatnya, setiap permutasi pada suatu himpunan hingga dengan elemen paling sedikit dua, merupakan hasil perkalian dari transposisi-transposisi. Teorema 4.3 Misalkan σ ∈ Sn dan τ merupakan sebuah transposisi pada Sn , maka selisih banyaknya orbit untuk σ dan τ σ adalah 1. Teorema di atas dapat dibuktikan dengan memisalkan τ = (i, j). Kemudian analisis setiap kemungkinan berikut. 1. bila i dan j berada dalam orbit yang berbeda pada σ; 2. bila i dan j berada dalam orbit yang sama pada σ. Selanjutnya perhatikan bahwa tidak ada sebuah permutasipun yang dapat dinyatakan sekaligus sebagai hasil perkalian sejumlah genap dan sejumlah ganjil transposisi. Dengan demikian kita dapat mempartisi himpunan permutasi ke dalam dua kelas yang berbeda: ganjil dan genap. Definisi 4.6 Sebuah permutasi pada himpunan hingga dikatakan ganjil bila dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah ganjil transposisi; dan dikatakan genap bila dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian sejumlah genap transposisi. Contoh : Coba selidiki termasuk pada permutasi yang manakah, permutasipermutasi berikut ini.   1 2 3 4 5 6 7 8  1. σ =  8 1 6 3 7 4 5 2

Bab IV. Grup Permutasi  2. µ = 

1 2 3 4 5 6 7 8 8 1 3 4 5 6 7 2

antonius cp 35  

Definisi 4.7 Subgrup pada Sn yang beranggotakan permutasi-permutasi genap pada n angka disebut grup alternatif An pada n angka. Contoh : Tentukan grup alternatif pada S3 ! SOAL LATIHAN GRUP PERMUTASI 1. Tentukan banyaknya elemen pada himpunan (a) {α ∈ S4 |α(3) = 3}. (b) {α ∈ S5 |α(2) = 5}. 2. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Setiap permutasi merupakan fungsi satu-satu. (b) Setiap fungsi merupakan permutasi jika hanya jika satu-satu. (c) Setiap fungsi onto dari suatu himpunan hingga kepada dirinya sendiri haruslah satu-satu. (d) Grup simetrik S10 memiliki 10 elemen. (e) Grup simetrik S3 adalah siklik. (f) Sn tidak siklik untuk setiap n. 3. Tunjukkan bahwa grup simetrik Sn tidak abelian untuk n ≥ 3. 4. Carilah semua orbit dari permutasi: (a) α : Z −→ Z, dimana α(n) = n + 1. (b) α : Z −→ Z, dimana α(n) = n + 2. (c) α : Z −→ Z, dimana α(n) = n − 3.


antonius cp 36

5. Untuk permutasi pada {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, hitunglah produk dari cyclecycle berikut ini. (a) (1, 4, 5)(7, 8)(2, 5, 7) (b) (1, 3, 2, 7)(4, 8, 6) (c) (1, 2)(4, 7, 8)(2, 1)(7, 2, 8, 1, 5) 6. Nyatakan permutasi-permutasi berikut sebagai produk dari cycle-cycle yang disjoin, kemudian sebagai  1 2 3 4 5 6 (a)  8 2 6 3 7 4  1 2 3 4 5 6 (b)  3 6 4 1 8 2  1 2 3 4 5 6 (c)  3 1 4 7 2 5

produk dari tyransposisi-transposisi.  7 8  5 1  7 8  5 7  7 8  8 6

7. Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Setiap permutasi adalah cycle. (b) Setiap cycle adalah permutasi. (c) Grup alternatif A5 memiliki 120 elemen. (d) Grup alternatif A3 adalah grup komutatif. (e) Grup simetrik Sn tidak siklik untuk setiap n ≥ 1. 8. Tunjukkan bahwa untuk setiap subgrup H dari grup Sn , untuk n ≥ 2, maka semua permutasi dalam H adalah genap atau tepat separuhnya adalah genap. 9. Misalkan G adalah grup dan a elemen tertentu dalam G. Tunjukkan bahwa pemetaan λa : G −→ G, dimana λa (g) = ag, ∀g ∈ G, merupakan permutasi dalam G.

Bab 5 KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE Sebuah subgrup memiliki koset-koset dalam grup. Himpunan kosetkoset ini akan dapat mempartisi grup tersebut. Selanjutnya dengan dilandasi suatu konsep bahwa suatu subgrup akan berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya, maka dapatlah dihasilkan suatu rumusan hubungan antara ordo suatu subgrup dengan ordo grupnya. Hasil ini kemudian dituangkan dalam sebuah teorema yang dikenal dengan teorema Lagrange.

5.1

Koset

Teorema 5.1 Misalkan H subgrup dari grup G, maka relasi ∼L dengan aturan a ∼L b ⇔ a−1 b ∈ H dan relasi ∼R dengan aturan a ∼R b ⇔ ab−1 ∈ H keduanya merupakan relasi ekuivalensi. Buktikan teorema tersebut di atas! Baik oleh relasi ∼L maupun oleh relasi ∼R maka di dalam G akan terbentuk kelas-kelas ekuivalensi. Misalkan saja kelas yang memuat ayang terjadi oleh ∼L , 37

Bab V. Koset dan Teorema Lagrange

antonius cp 38

[a] = {x ∈ G|a ∼L x} atau secara ekuivalen {x ∈ G|a−1 x ∈ H}, atau secara ekuivalen {x ∈ G|a−1 x = h, h ∈ H}, atau secara ekuivalen {x ∈ G|x = ah, h ∈ H}. Sehingga [a] = {ah|h ∈ H}. Coba anda selidiki kelas yang memuat a oleh relasi ekuivalensi ∼R . Dari uraian di atas maka dapatlah sekarang dinyatakan sebuah definisi formal berikut. Definisi 5.1 Misalkan G grup dan H subgrup pada G. Untuk sebarang elemen a ∈ G; aH = {x ∈ G|x = ah, h ∈ H} disebut koset kiri dari H yang memuat a; dan Ha = {y ∈ G|y = ha, h ∈ H} disebut koset kanan dari H yang memuat a. Contoh : Z adalah grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat dan 3Z= {· · · , −6, −3, 0, 3, 6, 9, · · · } merupakan salah satu subgrup dalam Z. Kosetkoset kiri dari 3Zdalam Z adalah • 3Z= {· · · , −6, −3, 0, 3, 6, 9, · · · } • 1 + 3Z= {· · · , −5, −2, 1, 4, 7, 10, · · · } • 2 + 3Z= {· · · , −4, −1, 2, 5, 8, 11, · · · } Bisa ditunjukkan bahwa {3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z} merupakan sebuah partisi untuk Z. Sebenarnya tidak ada perbedaan apakah kita menggunakan koset kiri atau koset kanan, asalkan kita selalu konsisten. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan menggunakan koset kiri, dan akan disebut saja dengan koset. Berikut akan disajikan beberapa teorema yang berkaitan dengan koset. Teorema 5.2 Koset aH = bH jika hanya jika a ∈ bH. Teorema 5.3 Misal G grup dan H subgrup pada G. Keluarga himpunan dari semua koset H merupakan partisi dari G. Teorema 5.4 Jika aH merupakan koset dari subgrup H, maka H dan aH dapat dikorespondensikan satu-satu.


5.2

antonius cp 39

Teorema Lagrange

Jika G grup dan H subgrup pada G, maka menurut dua teorema terakhir tentang koset di atas, himpunan semua koset dari H akan merupakan partisi pada G dan H berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya. Untuk himpunan hingga, konsep korespondensi satu-satu ini berimplikasi pada kesamaan banyaknya elemen. Sehingga untuk grup hingga dapat dilihat suatu hubungan antara ordo grup dan ordo subgrupnya, sebagaimana secara formal dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 5.5 Teorema Lagrange. Jika G grup berhingga dan H subgrup pada G, maka ordo dari H merupakan faktor dari ordo G. Contoh: 1. Jika G berordo 8, maka kemungkinan ordo untuk H adalah 1, 2, 4, atau 8. Jika |H| = 1 maka H = {e}, dimana e adalah elemen identitas dalam G. Jika |H| = 8 maka H = G. 2. Bisa diselidiki bahwa subgrup-subgrup pada Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah {0}, {0, 3}, {0, 2, 4}, dan Z 6 sendiri. Berikut ini beberapa teorema sebagai konsekwensi dari teorema Lagrange tersebut di atas. Teorema 5.6 Jika G grup berordo prima maka G merupakan grup siklik dan setiap elemen yang bukan elemen identitas merupakan generator. Teorema 5.7 Ordo dari setiap elemen dari suatu grup hingga merupakan faktor dari ordo grup tersebut. Definisi 5.2 Jika G grup dan H subgrup pada G maka indeks dari H dimaksudkan sebagai banyaknya koset dari H dalam G, dan dinotasikan sebagai (G : H).


antonius cp 40

Dengan demikian untuk grup berhingga berlaku (G : H) =

|G| |H|

SOAL LATIHAN KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE 1. Carilah semua koset dari subgrup-subgrup berikut ini. (a) 4Z pada grup Z. (b) 4Z pada grup 2Z. (c) < 2 > pada grup Z 12 . (d) < 4 > pada grup Z 12 . (e) < 18 > pada grup Z 36 . (f) {ρ0 , ρ2 } pada grup D4 . (g) {ρ0 , µ2 } pada grup D4 . 2. Tentukan index dari masing-masing subgrup berikut ini. (a) < 3 > pada grup Z 24 . (b) < µ1 > pada grup S3 . (c) < µ3 > pada grup D4 . 3. Tentukan benar atau salah setiap pernyataan berikut ini dan berikan alasannya. (a) Setiap subgrup pada setiap grup pasti mempunyai koset. (b) Banyaknya koset dari suatu subgrup pada grup hingga membagi habis ordo dari grup tersebut. (c) Setiap grup berordo prima adalah abelian. (d) Suatu subgrup merupakan koset bagi dirinya sendiri. (e) Hanya subgrup dari dari grup hingga saja yang memiliki koset.


antonius cp 41

4. Misalkan H merupakan sebuah subgrup pada grup G sedemikianhingga g −1 hg ∈ H, ∀g ∈ G dan ∀h ∈ H. Tunjukkan bahwa setiap koset kiri, gH, sama dengan koset kanan, Hg! 5. Misalkan H merupakan sebuah subgrup pada grup G. Buktikan bahwa jika partisi pada G oleh koset kiri dari H sama dengan partisi pada G oleh koset kanan dari H, maka berlaku g −1 hg ∈ H, ∀g ∈ G dan ∀h ∈ H! 6. Untuk setiap pernyataan berikut ini, buktikan jika benar atau berikan counter-example jika salah. (a) Jika aH = bH maka Ha = Hb (b) Jika Ha = Hb maka b ∈ Ha (c) Jika aH = bH maka Ha−1 = Hb−1 (d) Jika aH = bH maka a2 H = b2 H 7. Jika G merupakan sebuah grup berordo pq, dimana p dan q bilangan prima, tunjukkan bahwa setiap subgrup proper dari G adalah siklik! 8. Tunjukkan bahwa sebuah grup dengan paling sedikit dua elemen tetapi tidak memiliki subgrup proper non trivial, pastilah merupakan grup hingga dan berordo prima! 9. Tunjukkan bahwa jika H merupakan sebuah subgrup dengan index 2 pada sebuah grup hingga G, maka setiap koset kiri H sekaligus merupakan koset kanannya! 10. Tunjukkan bahwa jika sebuah grup G dengan elemen identitas e dan berordo hingga, n, maka an = e, ∀a ∈ G! 11. Misalkan H dan K merupakan dua buah subgrup pada grup G. Didefinisikan relasi ∼ pada G dengan aturan a ∼ b jika hanya jika a = hbk, untuk suatu h ∈ H dan k ∈ K.


antonius cp 42

(a) Buktikan bahwa ∼ merupakan relasi ekuivalensi pada G! (b) Deskripsikan elemen-elemen yang terdapat pada kelas ekuivalensi yang memuat a!

Bab 6 HOMOMORPHISMA GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian kedua materi perkuliahan Struktur Aljabar I. Setelah pada bagian pertama dibahas tentang grup, sifat-sifat dan macamnya, maka pada bagian kedua ini dibahas tentang fungsi yang akan menghubungkan sebuah grup dengan grup lainnya. Pada bab ini disajikan pengertian homomorfisma, sifat-sifat dan macamnya.

6.1

Homomorphisma

Pada bab-bab terdahulu telah dibahas tentang suatu struktur aljabar yang disebut sebagai grup, sifat-sifat dan macamnya. Pada bab ini akan dibahas mengenai pemetaan antar grup. Misalkan G dan G0 adalah grup, maka pemetaan yang dimaksudkan adalah φ : G → G0 yang menghubungkan struktur grup G dengan struktur grup G0 . Dari sini akan nampak jelas bahwa struktur grup sangat ditentukan oleh operasi biner yang didefinisikan di dalamnya. Pemetaan φ perlu didefinisikan sedemikian rupa sehingga dapat menunjukkan bagaimana operasi biner pada G dan G0 akan dihubungkan oleh pemetaan tersebut. Definisi 6.1 Suatu pemetaan φ dari grup (G, ∗) ke grup (G0 , #) disebut homomorphisma jika φ(a ∗ b) = φ(a)#φ(b) untuk semua elemen a dan b dalam G.

43

Bab VI. Homomorphisma Grup

antonius cp 44

Persamaan pada definisi di atas menunjukkan suatu hubungan antara dua operasi biner ∗ dan #, dan juga dengan demikian hubungan antara dua struktur grup G dan G0 . Catatan : Selanjutnya, untuk menyederhanakan penulisan maka notasi untuk operasi biner dalam suatu grup tidak dituliskan, jadi misalnya G suatu grup dan a, b ∈ G maka operasi a dan b dituliskan sebagai ab. Untuk setiap grup G dan G0 , paling tidak ada sebuah homomorphisma φ : G → G0 yang disebut sebagai homomorphisma trivial dengan aturan φ(g) = e0 untuk setiap g ∈ G dimana e0 adalah elemen identitas pada G0 . Contoh 1: Misalkan α : Z → Z n didefinisikan dengan α(m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n. Maka α merupakan suatu homomorphisma. Contoh 2: Misalkan Sn adalah grup simetrik pada n huruf, dan misalkan φ : Sn → Z 2 dengan ketentuan   0 φ(ρ) =  1

 jika ρ adalah permutasi genap,  jika ρ adalah permutasi ganjil 

Maka φ merupakan suatu homomorphisma. Tunjukkan ! Contoh 3: Misalkan F adalah grup jumlahan dari semua fungsi dalam R, dan R adalah grup jumlahan bilangan riil, dan misalkan c adalah sebuah bilangan riil. Misalkan φc : F → R dengan aturan φc (f ) = f (c) untuk setiap f ∈ F . Maka φc merupakan suatu homomorphisma dan disebut sebagai homomorphisma evaluasi. Misalkan φ adalah pemetaan dari himpunan X ke himpunan Y , dan misalkan A ⊆ X dan B ⊆ Y . Bayangan dari A di Y adalah φ(A) = {φ(a)|a ∈ A}. Himpunan φ(X) disebut sebagai range dari φ. Inverse dari B dalam X adalah φ−1 (B) = {x ∈ X|φ(x) ∈ B} Misalkan φ adalah homomorphisma dari grup g ke grup G0 , maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut : 1. Jika e adalah elemen identitas dalam G, maka φ(e) adalah elemen identitas e0 dalam G0 ;


antonius cp 45

2. Jika a ∈ G, maka φ(a−1 ) = φ(a)−1 ; 3. Jika H subgrup pada G, maka φ(H) adalah subgrup pada G0 ; 4. Jika S 0 adalah subgrup pada R0 , maka φ−1 (G0 ) adalah subgrup pada G; Singkatnya, φ mengawetkan elemen identitas, invers dan subgrup. Definisi 6.2 Misalkan φ : G → G0 merupakan homomorphisma grup, maka kernel dari φ, dinotasikan oleh Ker(φ), didefinisikan sebagai Ker(φ) = φ−1 ({e0 }) = {a ∈ G|φ(a) = e0 } dimana e0 adalah elemen identitas dalam G0 . Teorema 6.1 Jika φ : G → G0 merupakan homomorphisma grup, maka Ker(φ) merupakan subgrup pada G. Buktikan! Teorema 6.2 Misalkan φ : G → G0 adalah homomorphisma grup dan H = Ker(φ). Misalkan a ∈ G. Maka φ−1 {φ(a)} = {x ∈ G|φ(x) = φ(a)} adalah koset kiri aH dan juga koset kanan Ha. Sebagai konsekwensinya maka partisi G baik dari koset kiri maupun koset kanan dari H adalah sama. Akibatnya : Sebuah homomorphisma grup φ : G → G0 merupakan fungsi satusatu jika hanya jika Ker(φ) = {e}. Buktikan! Definisi 6.3 Jika φ : G → G0 adalah homomorphisma satu-satu, maka φ disebut monomorphisma, jika onto maka φ disebut sebagai epimorphisma. Definisi 6.4 Sebuah subgrup H dari G) disebut normal jika gH = Hg untuk setiap g ∈ G.


6.2

antonius cp 46

Isomorphisma dan Teorema Cayley

Definisi 6.5 Sebuah isomorfisma φ : G → G0 adalah suatu homomorfisma dari G ke G0 yang bersifat satu-satu dan onto. Notasi yang biasa digunakan untuk menunjukkan bahwa dua buah grup isomorfis adalah G ' G0 . Teorema 6.3 Misalkan ζ merupakan himpunan grup-grup, dan didefinisikan G ' G0 , untuk G dan G0 pada ζ, jika ada isomorfisma φ : G → G0 . Maka ' merupakan relasi ekuivalensi. Buktikan ! Langkah-langkah untuk menunjukkan dua buah grup G dan G0 adalah isomorfis : 1. Definisikan suatu fungsi φ yang memberikan isomorfisma dari G ke G0 . 2. Tunjukkan bahwa φ merupakan fungsi satu-satu. 3. Tunjukkan bahwa φ merupakan fungsi onto. 4. Tunjukkan bahwa φ(xy) = φ(x)φ(y), ∀x, y ∈ G. Teorema 6.4 Setiap grup siklik tak hingga, G, isomorfis dengan grup bilangan bulat, Z, di bawah operasi penjumlahan. Buktikan teorema di atas dengan mengikuti langkah-langkah untuk menunjukkan dua grup yang isomorfis dengan mendefinisikan fungsi φ : G → Z dengan φ(an ) = n, ∀an ∈ G. Setelah memahami langkah-langkah untuk menunjukkan keisomorfisan dua buah grup, sekarang bagaimana menunjukkan dua buah grup yang tidak isomorfis? Untuk itu diperlukan pemahaman tentang beberapa sifat struktural dari grup, yakni sifat-sifat yang diawetkan oleh sebuah isomorfisma. Beberapa sifat struktural dapat disebutkan antara lain: • siklik;


antonius cp 47

• abelian; • keberhinggaan dan ketakhinggaan; • ordo grup; • banyaknya elemen yang berordo tertentu; • penyelesaian suatu persamaan pada grup. Selain sifat struktural, ada sifat non-struktural yakni sifat yang tidak diawetkan oleh sebuah isomorfisma, sehingga perbedaan dua buah grup pada sifat non-struktural ini tidak dapat dijadikan pedoman untuk menyatakan bahwa dua buah grup tidak isomorfis. Beberapa contoh sifat non-struktural dapat disebutkan antara lain: • grup memuat 5; • semua elemen grup berupa bilangan; • operasi biner dalam grup berupa komposisi; • elemen-elemen dalam grup berupa permutasi; • grup tersebut merupakan subgrup pada grup bilangan riil. Contoh : Tidak dapat dikatakan bahwa Z dan 3Z tidak isomorfis karena 17 ∈ Z tetapi 17 6∈ 3Z. Sifat ini bukan sifat struktural melainkan sekedar nama suatu elemen. Dan pada kenyataannya Z dan 3Z adalah isomorfis, sebab fungsi φ : Z → 3Z, dimana φ(n) = 3n, merupakan sebuah isomorfisma. Contoh: Tidak dapat dikatakan bahwa Z dan Q tidak isomorfis karena tetapi

1 2

1 2

∈Q

6∈ Z. Tetapi dapat dikatakan bahwa Z dan Q tidak isomorfis karena Z

siklik sedangkan Q tidak. Teorema 6.5 Teorema Cayley. Setiap grup isomorfis dengan suatu grup permutasi.


antonius cp 48

Buktikan teorema Cayley tersebut dengan langkah: 1. Diawali adanya sebuah grup G, carilah suatu himpunan permutasi G0 yang dijadikan kandidat untuk membentuk sebuah grup dibawah operasi perkalian permutasi yang akan isomorfis dengan G. 2. Buktikan bahwa G0 merupakan grup terhadap operasi perkalian permutasi. 3. Definisikan fungsi φ : G → G0 dan tunjukkan bahwa φ merupakan isomorfisma dari G ke G0 . SOAL LATIHAN HOMOMORPHISMA GRUP 1. Untuk setiap pemetaan berikut, tentukan apakah merupakan homomorphisma grup atau bukan! Bila ya, buktikan, bila tidak, berilah counterexamplenya. (a) φ : Z → < dengan aturan φ(x) = x. (b) φ : < → Z dengan aturan φ(x) = bxc. (c) φ : Z 6 → Z 2 dengan aturan φ(x) = sisa bila x dibagi 2. (d) φ : Z 9 → Z 2 dengan aturan φ(x) = sisa bila x dibagi 2. (e) φ : Z → Z dengan aturan φ(x) = −x (f) φ : F → F dengan aturan φ(f ) = 3f , bila F adalah ring dari semua fungsi riil. (g) φ : < → Z terhadap operasi penjumlahan dengan φ(x) = bxc, ∀x ∈ <. (h) φ : [<, +] → [<, ·] dengan φ(x) = 2x (i) φi : Gi → G1 ×G2 ×...×Gi ×...×Gr dengan φi (gi ) = (e1 , e2 , ..., gi , ..., er ), dimana gi ∈ Gi dan ej elemen identitas dalam Gj . (j) φ : G → G dengan φ(x) = x−1 , ∀x ∈ G. (k) φ : F → F dengan φ(f ) = f ”, ∀f ∈ F , dimana F adalah grup jumlahan semua fungsi << yang terdeferensialkan pada semua order.

Bab VI. Homomorphisma Grup (l) φ : F → R dengan φ(f ) =

antonius cp 49 R4 0

f (x)dx, dimana F grup jumlahan semua

fungsi kontinu << ; < grup jumlahan bilangan riil. (m) φ : F → F dengan φ(f ) = 3f , dimana F grup jumlahan semua fungsi << . (n) φ : Mn → < dengan φ(A) = det(A), dimana Mn grup jumlahan semua matriks 2x2, dan < grup jumlahan bilangan riil. 2. Misalkan F = << grup jumlahan, D = {f ∈ << |f terdef erensialkan }. Apakah φ : f ∈ D → f 0 ∈ F homomorphisma atau bukan ? Jika ya, sebutkan Ker(φ). 3. Misal G grup. Jika φ : Z × Z → G homomorphisma dan misalkan φ(1, 0) = h dan φ(0, 1) = k, tentukan φ(m, n). 4. Misalkan G grup dan g ∈ G. Misalkan φg : x ∈ G → gx ∈ G. Untuk g yang mana, φg merupakan homomorphisma ? 5. Misalkan G grup dan g ∈ G. Misalkan φg : x ∈ G → gxg −1 ∈ G. Untuk g yang mana, φg merupakan homomorphisma ? 6. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma. Tunjukkan bahwa jika |G| < ∞ maka |φ(G)| < ∞ dan |φ(G)| | |G|. 7. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma. Tunjukkan bahwa jika |G0 | < ∞ maka |φ(G)| < ∞ dan |φ(G)| | |G0 |. 8. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma. Tunjukkan bahwa jika |G| prima, maka φ haruslah merupakan homomrphisma trivial atau monomorphisma. 9. Misalkan G, G0 dan G” semuanya grup. Tunjukkan bahwa jika φ : G → G0 dan γ : G0 → G” homomorphisma, maka komposisi γφ : G → G” juga homomorphisma.


antonius cp 50

10. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma dengan Ker(φ) = H dan a ∈ G. Tunjukkan bahwa {x ∈ G|φ(x) = φ(a)} = Ha. 11. Sebutkan semua isomorphisma yang memetakan : (a) Z 2 × Z 3 kepada Z 6 (b) Z 2 × Z 5 kepada Z 10 12. Tentukan banyaknya automorphisma dalam: Z 2 , Z 6 , Z 8 , Z, dan Z 12 . 13. Misalkan Γ adalah himpunan grup-grup. Didefinisikan relasi ∼ dalam Γ dengan aturan: G ∼ G0 jika G isomorphis terhadap G0 , ∀G, G0 ∈ Γ. Buktikan bahwa ∼ relasi equivalensi. 14. Misalkan G grup siklik dengan generator a. Jika φ : G → G0 sebuah isomorphisma, tunjukkan bahwa ∀x ∈ G, φ(x) dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari φ(a). 15. Misalkan G grup abelian. Tunjukkan bahwa jika G0 isomorphis terhadap G, maka G0 juga grup abelian. 16. Misalkan G adalah grup siklik. Buktikan bahwa siklik merupakan sifat struktural dari G. 17. Misalkan [G, ·] merupakan grup. Operasi ∗ dalam G didefinisikan sebagai a ∗ b = b · a, ∀a, b ∈ G. Tunjukkan bahwa [G, ∗] merupakan grup yang isomorphis terhadap [G, ·]. 18. Jika G grup siklik berordo n, maka G isomorphis terhadap Zn . Buktikan. 19. Misalkan G grup dan g ∈ G. Bila didefinisikan αg (x) = gxg −1 , ∀x ∈ G, tunjukkan bahwa αg merupakan sebuah automorphisma pada G. 20. Misalkan [S, ∗] merupakan grup bilangan riil kecuali -1 dibawah operasi ∗ yang didefinisikan sebagai: a ∗ b = a + b + ab. Tunjukkan bahwa [S, ∗] isomorphis terhadap [<∗ , ·], dimana <∗ = < − {0}.


antonius cp 51

21. Misalkan [S, ∗] grup bilangan riil kecuali -4. Didefinisikan pemetaan φ : R∗ → S dengan aturan φ(x) = x − 4. Definisikan operasi biner ∗ pada S agar φ isomorphisma. 22. Misalkan [S, ∗] grup bilangan riil kecuali -t. Didefinisikan pemetaan φ : R∗ → S dengan aturan φ(x) = x − t. Definisikan operasi biner ∗ pada S agar φ isomorphisma. 23. Misalkan [S, ∗] grup bilangan riil. Didefinisikan pemetaan φ : <∗ → S dengan aturan φ(x) = x3 + 1. Tentukan syarat keanggotaan dalam S dan definisikan operasi biner ∗ pada S agar φ isomorphisma. 24. Misalkan G grup. Buktikan bahwa permutasi-permutasi ρa : G → G, dimana ρa (x) = xa, untuk a ∈ G dan x ∈ G, membentuk sebuah grup G” yang isomorphis terhadap G.

Bab 7 GRUP FAKTOR Grup faktor merupakan sebuah grup yang beranggotakan koset-koset dari suatu subgrup. Pembentukan sebuah struktur grup faktor dapat diawali oleh sebuah homomorfisma maupun oleh sebuah subgrup normal. Oleh karenanya pembahasan kedua konsep ini menjadi menu utama yang disajikan dalam bab ini.

7.1

Pembentukan Grup Faktor oleh Homomorfisma

Teorema 7.1 Misalkan φ : G → G0 adalah homomorphisma grup dengan Ker(φ) = H. Maka R/H = {a ∗ H|a ∈ R} merupakan grup dengan operasi-operasi biner : (aH)(bH) = (ab)H Dan pemetaan µ : G/H → φ(G) yang didefinisikan oleh µ(a ∗ H) = φ(a), merupakan sebuah isomorphisma. Contoh : Pemetaan φ : Z → Z n yang didefinisikan dengan φ(m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n, merupakan suatu homomorphisma. Karena Ker(φ) = nZ, maka Z/nZ merupakan suatu ring dan Z/nZ isomorpis terhadap Z n .

52

Bab VII. Grup Faktor

7.2

antonius cp 53

Pembentukan Grup Faktor oleh Subgrup Normal

Teorema 7.2 Misalkan H adalah subgrup pada grup G. Perkalian koset-koset dari H, yang didefinisikan oleh (aH)(bH) = (ab)H adalah well-defined jika hanya jika aH = Ha, ∀a ∈ G Akibatnya. Misalkan H adalah subgrup normal pada grup G. Maka G/H = {aH|a ∈ G} merupakan grup dengan operasi-operasi biner : (aH)(bH) = (ab)H Definisi 7.1 Grup G/H seperti yang disebutkan dalam akibat di atas disebut grup faktor (atau grup quotien) dari G modulo H Contoh: Karena Z merupakan grup abelian, maka nZ merupakan subgrup normal pada Z, sehingga dapat dibentuk grup factor Z/nZ tanpa harus melalui sebuah homomorfisma. Beberapa kondisi berikut merupakan karakteristik yang ekuivalen untuk sebuah subgrup normal H dalam grup G. 1. ghg −1 ∈ H, ∀g ∈ G dan h ∈ H. 2. gHg −1 = H, ∀g ∈ G. 3. gH = Hg, ∀g ∈ G. Coba anda tunjukkan bagaimana ketiga kondisi tersebut diturunkan dari pengertian subgrup normal! Untuk selanjutnya, guna menunjukkan sebuah subgrup merupakan subgrup normal, maka dapat dipergunakan salah satu dari karakteristik di atas. Definisi 7.2 Sebuah isomorfisma φ : G → G disebut sebagai automorfisma dalam G. Automorfisma Ig : G → G dimana Ig (x) = gxg −1 disebut automorfisma inner pada G oleh g.


7.3

antonius cp 54


Teorema 7.3 Misalkan H adalah grup faktor dari grup G. Maka φ : G → G/H yang didefinisikan oleh φ(a) = aH, merupakan homomorphisma grup dengan Ker(φ) = H. Teorema 7.4 Teorema Homomorfisma Dasar. Misalkan φ : G → G0 adalah homomorphisma grup dengan Ker(φ) = H. Maka φ(G) merupakan grup, dan pemetaan µ : G/H → φ(G), yang didefinisikan oleh µ(aH) = φ(a), merupakan isomorophisma. Jika γ : G → G/H adalah suatu homomorphisma yang didefinisikan oleh γ(a) = aH, maka ∀a ∈ G, φ(a) = µγ(a). SOAL LATIHAN GRUP FAKTOR 1. Hitunglah ordo dari masing-masing grup factor berikut ini. (a) Z 6 / < 3 > (b) (Z 4 × Z 2 )/ < (2, 1) > (c) (Z 2 × Z 4 )/ < (1, 1) > (d) (Z 2 × S3 )/ < (1, ρ1 ) > (e) (Z 4 × Z 12 )/(< 2 > × < 2 >) (f) (Z 3 × Z 5 )/({0} × Z 5 ) (g) (Z 12 × Z 18 )/ < (4, 3) > (h) (Z 11 × Z 15 )/ < (1, 1) > 2. Tentukan ordo dari masing-masing elemen grup factor berikut ini. (a) 5+ < 4 > dalam Z 12 / < 4 >. (b) 26+ < 12 > dalam Z 60 / < 12 >. (c) (2, 1)+ < (1, 1) > dalam (Z 3 × Z 6 )/ < (1, 1) >. (d) (3, 1)+ < (1, 1) > dalam (Z 4 × Z 4 )/ < (1, 1) >.


antonius cp 55

(e) (3, 1)+ < (0, 2) > dalam (Z 4 × Z 8 )/ < (0, 2) >. (f) (3, 3)+ < (1, 2) > dalam (Z 4 × Z 8 )/ < (1, 2) >. (g) (2, 0)+ < (4, 4) > dalam (Z 6 × Z 8 )/ < (4, 4) >. 3. Nyatakan benar atau salah setiap pernyataan berikut dan berikan alasannya. (a) Grup factor G/N dapat dibentuk jika hanya jika N merupakan subgrup normal pada grup G. (b) Setiap subgrup pada grup abelian merupakan subgrup normal. (c) Sebuah automorfisma inner pada grup abelian haruslah merupakan sebuah fungsi identitas. (d) Setiap grup factor dari grup hingga adalah hingga. (e) Setiap grup factor dari grup abelian adalah abelian. (f) Setiap grup factor dari grup non abelian adalah non abelian juga. (g) Z/nZ merupakan grup siklik berordo n. 4. Misalkan H subgrup normal pada grup G, dan misalkan m = (G : H). Tunjukkan bahwa am ∈ H, untuk setiap a ∈ G! 5. Tunjukkan bahwa interseksi dari subgrup normal akan menghasilkan subgrup normal juga! 6. Tunjukkan bahwa jika sebuah grup hingga G memiliki tepat satu subgrup H untuk suatu ordo tertentu, maka H merupakan subgrup normal pada G! 7. Tunjukkan bahwa jika H dan N merupakan subgrup pada grup G dan N merupakan subgrup normal, maka H ∩ N merupakan normal pada H! Tunjukkan dengan suatu contoh bahwa H ∩ N belum tentu normal pada G!

Bab 8 RING DAN FIELD Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar Lanjut. Pada bab ini disajikan tentang pengertian ring, sifat-sifat dasar ring, konsep tentang subring, division ring dan field. Konsep tentang homorfisma dan isomorfisma ring juga akan dibahas secara singkat dalam bab ini karena konsep ini akan dipergunakan dalam pembahasan beberapa konsep pada bagian pertama buku ini, seperti konsep field quotien dan ring polynomial. Sedangkan pembahasan secara detail masalah homomorfisma dan isomorfisma ring ini akan disajikan pada bagian kedua dalam buku ini.

8.1

Pengertian dan Sifat-sifat Dasar Ring

Jika Grup merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner, maka Ring merupakan suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian. Definisi formal untuk Ring adalah sebagai berikut : Definisi 8.1 Ring. Sebuah ring [R, +, ·] adalah sebuah himpunan R dengan dua operasi biner, penjumlahan, +, dan perkalian, ·, yang didefinisikan pada R, yang ∀a, b, c ∈ R memenuhi aksioma-aksioma berikut : 1. a + b ∈ R 2. a + (b + c) = (a + b) + c 3. ∃0 ∈ R, 3 ∀a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a 4. ∀a ∈ R, ∃ − a ∈ R, 3 a + (−a) = (−a) + a = 0 56

Bab II. Ring dan Field

antonius cp 57

5. a + b = b + a 6. a · b ∈ R 7. a · (b · c) = (a · b) · c 8. a · (b + c) = (a · b) + (a · c), dan (a + b) · c = (a · c) + (b · c) Menurut aksioma 1-5, maka sebuah ring haruslah merupakan grup abelian (komutatif) terhadap operasi penjumlahan. Untuk efisiensi, biasanya tanda · tidak dituliskan sehingga penulisan ab berarti a · b. Beberapa contoh himpunan yang merupakan ring antara lain: himpunan bilangan bulat, Z; himpunan bilangan rasional, Q; himpunan bilangan riil, R; himpunan bilangan kompleks, C; himpunan semua matriks berordo n × n dengan entri-entri riil, Mn (R); himpunan semua fungsi f : R → R. Selanjutnya beberapa sifat dasar ring disebutkan dalam teorema berikut. Teorema 8.1 Jika R adalah ring yang memiliki identitas jumlahan 0, maka ∀a, b ∈ R, 1. 0a = a0 = 0, 2. a(−b) = (−a)b = −(ab), 3. (−a)(−b) = ab. Bukti. 1. a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0, sehingga a0 = 0. Secara analog dapat dibuktikan pula bahwa 0a = 0. 2. a(−b) + ab = a(−b + b) = a0 = 0, sehingga a(−b) = −(ab). Secara analog dapat dibuktikan bahwa (−a)b = −(ab). 3. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab


8.2

antonius cp 58

Subring

Analog dengan konsep subgrup dalam grup, maka dalam ring juga terdapat subring. Definisi 8.2 Sebuah subset S pada suatu ring R, disebut subring pada R jika S juga memenuhi semua aksioma ring. Dalam kapasitasnya sebagai subset ring R, S telah mewarisi aksioma-aksioma 2, 5, 7 dan 8 dalam definisi ring, sehingga selanjutnya yang perlu diselidiki apakah S memenuhi aksioma-aksioma ring ke 1, 3, 4 dan 6. Selanjutnya karena sebuah subring merupakan sebuah subgrup terhadap operasi penjumlahan, maka dapat pula ditunjukkan bahwa jika dalam S dipenuhi (a − b) ∈ S ∀a, b ∈ S maka S akan memenuhi aksioma ring ke 1, 3 dan 4, sehingga aksioma-aksioma yang harus dipenuhi oleh sebuah subset untuk menjadi sebuah subring, dapat lebih disederhanakan sebagaimana tercantum dalam teorema berikut ini. Teorema 8.2 Sebuah subset S pada suatu ring R disebut subring pada R jika memenuhi : 1. ∀a, b ∈ S, (a − b) ∈ S; 2. ∀a, b ∈ S, ab ∈ S. Contoh: Setiap ring R pasti memiliki dua macam subring yakni R sendiri dan {0}; Z merupakan subring pada R; R merupakan subring pada C.

8.3

Homomorfisma dan Isomorfisma

Analog dengan teori grup, maka dalam ring juga memiliki struktur pemetaan yang disebut homomorfisma ring Definisi 8.3 Misalnya R dan R0 merupakan ring. Pemetaan φ : R −→ R0 merupakan homomorfisma ring jika untuk setiap a, b ∈ R berlaku 1. φ(a + b) = φ(a) + φ(b)


antonius cp 59

2. φ(ab) = φ(a)φ(b) Pada definisi tersebut, sifat yang pertama menyatakan bahwa φ memetakan grup abelian [R, +] ke [R0 , +]. Sedangkan sifat yang kedua mensyaratkan bahwa φ harus merelasikan struktur perkalian pada ring R dan R0 dengan cara yang sama pada penjumlahan. Karena φ pada dasarnya juga merupakan homomorfisma grup maka semua hasil yang berkaitan dengan homomorfisma grup juga berlaku untuk struktur penjumlahan pada ring. Misalnya, φ merupakan pemetaan satusatu jika dan hanya jika Ker(φ) = {0}, dengan 0 adalah identitas jumlahan pada ring R. Berikutnya konsep tentang isomorfisma ring juga analog dengan isomorfima grup. Definisi 8.4 Isomorfisma φ : R −→ R0 dari ring R ke ring R0 adalah homomorfisma ring yang satu-satu dan onto. Dalam kondisi demikian, ring R dan ring R0 adalah isomorfis. Bahasan yang lebih lengkap tentang homomorfisma dan isomorfisma ring akan disajikan pada bab 7.

8.4

Unity dan Field

Definisi 8.5 Sebuah ring yang operasi perkaliannya bersifat komutatif disebut ring komutatif. Sebuah ring R yang memuat identitas perkalian 1, sedemikian hingga 1a = a1 = a, ∀a ∈ R, disebut ring dengan unity. Identitas perkalian dalam suatu ring disebut unity. Teorema 8.3 Jika R adalah ring dengan unity, maka identitas perkalian tersebut adalah tunggal. Bukti. Andaikan unity tidak tunggal; maka ada 1 6= 1∗ dan keduanya samasama merupakan unity. Sekarang tinjau perkalian 1 · 1∗ . Dengan memandang 1 sebagai unity maka 1 · 1∗ = 1∗ , sebaliknya dengan memandang 1∗ sebagai unity maka 1 · 1∗ = 1. Akibatnya 1 = 1∗ . Terjadi kontradiksi, sehingga pengandaian salah.


antonius cp 60

Definisi 8.6 Misalkan R adalah ring dengan unity. Sebuah elemen a ∈ R disebut unit jika a memiliki invers perkalian dalam R. Jika setiap elemen tak nol dalam R merupakan unit, maka R disebut division ring. Division ring yang komutatif disebut field. Division ring yang tidak komutatif disebut skew field. Contoh: Z bukan merupakan field, sebab ada elemen tak nol dalam Z, misalnya 2, yang bukan merupakan unit atau tidak memiliki invers perkalian dalam Z. Unit dalam Z hanyalah 1 dan -1. Q dan R merupakan suatu field.

8.5

Soal Latihan Definisi dan Sifat Dasar Ring

1. Hitunglah hasil kali dalam ring-ring berikut ini: (a) (12)(16) dalam Z24 (b) (16)(3) dalam Z32 (c) (11)(-4) dalam Z14 (d) (20)(-3) dalam Z26 2. Tentukan apakah operasi penjumlahan dan perkalian yang diberikan dalam himpunan-himpunan berikut ini membentuk struktur ring atau tidak. Jika tidak, sebutkan mengapa ? Jika ya, sebutkan apakah ring yang terbentuk adalah komutatif, mempunyai unity, atau merupakan field ? (a) nZ dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. (b) Z + dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. (c) Z × Z dengan penjumlahan dan perkalian komponen-komponennya. (d) 2Z × Z dengan penjumlahan dan perkalian komponen-komponennya. √ (e) {a + b 2 |a, b ∈ Z} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. √ (f) {a + b 2 |a, b ∈ Q} dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. 3. Tentukan semua unit dalam ring-ring berikut: Z, Z × Z, Z5 , Q, Z × Q × Z, dan Z4


antonius cp 61

4. Hitunglah order dari ring M2 (Z2 ), dan daftarlah semua unit di dalamnya. 5. Misalnya F = {f : R → R}. Aturan operasi perkalian dalam F adalah (f g)(x) = f (x)g(x). Buktikan bahwa perkalian ini memenuhi aksioma assossiatif dan distributif. 6. Jika U adalah himpunan semua unit dalam ring dengan unity, [R, +, ·], tunjukkan bahwa [U, ·] merupakan grup. 7. Tunjukkan bahwa a2 − b2 = (a + b)(a − b), ∀a, b ∈ ring R, jika hanya jika R komutatif. 8. Misalkan [R, +] merupakan grup abelian. Jika ab = 0, ∀a, b ∈ R, buktikan bahwa [R, +, ·] merupakan ring. 9. Berikan suatu contoh dari sebuah ring dengan unity 1 yang memiliki subring dengan unity 10 6= 1. 10. Jika E adalah subfield dari field F , tunjukkan bahwa unity dari E adalah unity dalam F . 11. Tunjukkan bahwa invers perkalian dari suatu unit dalam ring dengan unity adalah tunggal. 12. Tunjukkan bahwa subset S dari suatu ring R merupakan subring R jika hanya jika ∀a, b ∈ S, (a − b) ∈ S dan ab ∈ S. 13. Tunjukkan bahwa interseksi dari subring-subring dari ring R juga membentuk subring R; dan interseksi dari subfiel-subfielf dari field F juga membentuk subfield F . 14. Misalkan R adalah ring dan a adalah elemen tertentu dalam R. Misalkan Ia = {x ∈ R|ax = 0}. Buktikan bahwa Ia merupakan subring R. 15. Sebuah ring R disebut Boolean ring jika a2 = a, ∀a ∈ R. Tunjukkan bahwa setiap Boolean ring adalah komutatif.

Bab 9 INTEGRAL DOMAIN Pada himpunan bilangan riil, persamaan ab = 0 selalu berimplikasi a = 0 atau b = 0. Namun tidak demikian halnya pada beberapa himpunan, seperti Z6 misalnya, persamaan ab = 0 bisa berimplikasi a = 2 dan b = 3, a = 3 dan b = 4, dan sebagainya. Dari kenyataan ini kemudian muncul konsep pembagi nol yang pada akhirnya melahirkan sebuah konsep tentang integral domain. Pada bab ini disajikan bahasan tentang integral domain dan bagaimana kaitannya dengan field. Di akhir bab ini juga akan dibahas karakteristik dari suatu ring.

9.1

Pembagi Nol

Pada bab ini akan diuraikan konsep-konsep tentang pembagi nol, integral domain dan karakteristik suatu ring. Sebelum memulai uraian tentang pembagi nol, perhatikan ilustrasi berikut. Sebuah persamaan kuadrat dapat memiliki pemecahan yang berbeda jika ditinjau dari ring yang berbeda. Misalnya, x2 − 5x + 6 = 0 akan memiliki pemecahan x = 2 atau 3 dalam ring bilangan bulat, Z, tetapi dalam Z12 , persamaan kuadrat tersebut memiliki pemecahan x = 2, 3, 6 atau 11. Hal ini karena perkalian ab = 0 dalam Z12 dapat dipenuhi oleh a 6= 0 dan b 6= 0, tetapi dalam Z, ab = 0 selalu berimplikasi a = 0 atau b = 0. Definisi 9.1 Jika a dan b adalah dua elemen tak nol pada suatu ring R sedemikian hingga ab = 0, maka a dan b disebut pembagi nol.

62

Bab III. Integral Domain

antonius cp 63

Contoh: Sebagaimana ilustrasi di atas, maka Z tidak memuat pembagi nol. Sedangkan dalam Z12 , 3 · 4 = 0, sehingga baik 3 maupun 4 merupakan pembagi nol dalam Z12 . Teorema 9.1 Pada ring Zn , pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak relatif prima terhadap n. Contoh: Pada Z6 , elemen-elemen yang merupakan pembagi nol adalah 2, 3 dan 4. Akibatnya : Jika p adalah prima, maka Zp tidak memiliki pembagi nol. Pada Z, ab = ac selalu berakibat b = c, tetapi tidak demikian dengan Z6 sebab dalam Z6 , 3 · 2 = 3 · 4. Secara umum hal ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 9.2 Hukum kanselasi dapat diterapkan pada sebuah ring yang tidak memiliki pembagi nol.

9.2

Integral Domain

Pengertian formal tentang integral domain disajikan dalam definisi berikut ini. Definisi 9.2 Sebuah ring komutatif dengan unity dan tidak memuat pembagi nol disebut integral domain Contoh: Z dan Zp , untuk p prima, merupakan integral domain, sedangkan Zn bukan merupakan integral domain jika n bukan prima. Dua teorema berikut menyatakan keterkaitan antara integral domain dan field. Teorema 9.3 Setiap field F merupakan integral domain. Teorema 9.4 Setiap integral domain berhingga merupakan field. Akibatnya : Jika p prima, maka Zp merupakan suatu field.


9.3

antonius cp 64

Karakteristik Ring

Definisi 9.3 Karakteristik dari ring R adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga ∀a ∈ R, na = 0. Jika tidak ada bilangan positif terkecil yang demikian maka dikatakan bahwa R berkarakteristik 0. Contoh : Ring Zn berkarakteristik n, sedangkan Z, Q, R dan C semuanya berkarakteristik 0. Teorema 9.5 Jika R adalah ring dengan unity 1, maka R berkarakteristik n > 0 jika hanya jika n merupakan bilangan positif terkecil sedemikian hingga n · 1 = 0.

9.4

Soal Latihan Integral Domain

1. Carilah semua pemecahan untuk persamaan-persamaan berikut: (a) x3 − 2x2 − 3x = 0 dalam Z12 (b) 3x = 2 dalam Z7 ; dan dalam Z23 (c) x2 + 2x + 2 = 0 dalam Z6 (d) x2 + 2x + 4 = 0 dalam Z6 2. Hitunglah karakteristik dari ring-ring berikut: 2Z, Z × Z, Z3 × 3Z, Z3 × Z3 , Z3 × Z4 , dan Z6 × Z15 . 3. Misalkan R ring komutatif dengan unity dan berkarakteristik 4. Hitunglah (a + b)4 , ∀a, b ∈ R. 4. Misalkan R ring komutatif dengan unity dan berkarakteristik 3. Hitunglah (a + b)9 , ∀a, b ∈ R. 5. Misalkan R ring komutatif dengan unity dan berkarakteristik 3. Hitunglah (a + b)6 , ∀a, b ∈ R. 6. Sebuah elemen a dari ring R disebut idempotent jika a2 = a. Tunjukkan bahwa sebuah division ring memiliki tepat dua elemen idempotent.


antonius cp 65

7. Buktikan bahwa interseksi dari subdomain-subdomain dari suatu integral domain D, juga membentuk subdomain dari D. 8. Jika R adalah ring berhingga dengan unity dan tidak memuat pembagi nol, buktikan bahwa R adalah sebuah division ring. 9. Misalkan R adalah ring yang memiliki paling tidak 2 elemen, dan misalkan untuk setiap elemen taknol a ∈ R, ada secara tunggal elemen b ∈ R sedemikian hingga aba = a. Tunjukkan bahwa: (a) R tidak memuat pembagi nol (b) bab = b (c) R memuat unity (d) R merupakan division ring 10. Tunjukkan bahwa karakteristik dari subdomain sama dengan karakteristik dari integral domainnya. 11. Tunjukkan bahwa jika D sebuah integral domain, maka {n · 1|n ∈ Z} merupakan subdomain D yang termuat dalam setiap subdomain D. 12. Tunjukkan bahwa karakteristik dari sebuah integral domain D haruslah 0 atau sebuah bilanagan prima, p.

Bab 10 TEOREMA FERMAT DAN EULER Bab ini menyajikan pembahasan tentang beberapa bentuk dan ketentuan penyelesaian suatu persamaan dalam sebuah field. Penyelesaian tersebut dijabarkan dan dibuktikan dalam teorema Fermat dan teorema Euler.

10.1

Teorema Fermat

Dari pendefinisian field dan beberapa teorema terdahulu, mudahlah untuk diselidiki bahwa elemen-elemen tak nol pada setiap field membentuk grup terhadap operasi perkalian. Contoh: Pada field Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, maka {1, 2, 3, 4} merupakan grup terhadap operasi perkalian. Teorema 10.1 Fermat. Jika a ∈ Z dan p adalah prima yang tidak membagi a, maka p membagi ap−1 − 1, yakni ap−1 ≡ 1 mod p untuk a 6= 0 mod p. Akibatnya: Jika a ∈ Z, maka ap ≡ a mod p untuk setiap p prima. Contoh : Hitunglah sisanya bila 8103 dibagi 13. 8103 ≡ (812 )8 (87 ) ≡ (18 )(87 ) ≡ 87 ≡ (−57 ) ≡ (25)3 (−5) ≡ (−1)3 (−5) ≡ 5 mod 13. Jadi sisanya adalah 5.

66

Bab IV. Teorema Fermat dan Euler

10.2

antonius cp 67

Generalisasi Euler

Teorema 10.2 Jika Gn adalah himpunan elemen-elemen tak nol dalam Zn yang bukan pembagi nol, maka Gn membentuk grup terhadap operasi perkalian modulo n. Contoh : Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}; elemen-elemen yang tak nol dan bukan pembagi nol (relatif prime terhadap 12), adalah 1,5,7,11, Sehingga G12 = {1, 5, 7, 11} merupakan grup terhadap operasi perkalian modulo 12. Sekarang misalkan n merupakan sebuah bilangan bulat positif dan φ(n) menunjukkan banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n dan relatif prime terhadap n, maka dari contoh di atas, φ(12) = 4. Teorema 10.3 Euler. Jika a adalah sebuah bilangan bulat yang relatif prime terhadap n, maka aφ(n) − 1 terbagi oleh n, yakni aφ(n) ≡ 1 mod n. Contoh : Dari contoh, n = 12. G12 = {1, 5, 7, 11} sehingga φ(12) = 4. Maka 14 ≡ 54 ≡ 74 ≡ 114 ≡ 1 mod 12

10.3

Penerapan pada Kongruensi ax ≡ b mod m

Seperti telah dinyatakan dalam teorema sebelumnya bahwa himpunan Gn dari semua elemen tak nol dalam Zn yang bukan pembagi nol, akan membentuk grup terhadap operasi perkalian modulo n. Dengan mempergunakan teorema ini, dapat dicari semua solusi dari sebuah kongruensi linear ax ≡ b mod m. Teorema 10.4 Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a ∈ Zm relatif prima terhadap m. Untuk setiap b ∈ Zm , maka persamaan ax = b memiliki solusi tunggal dalam Zm . Akibatnya, jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima, maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensi ax ≡ b mod m memiliki solusi semua bilangan bulat dalam satu kelas residu modulo m. Selanjutnya untuk kasus yang lebih umum, diberikan teorema berikut.


antonius cp 68

Teorema 10.5 Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a, b ∈ Zm . Misalkan f pb(a, m) = d. Persamaan ax = b akan memiliki solusi dalam Zm jika hanya jika d membagi b. Dan jika d|b, maka persamaan tesebut akan memiliki tepat d solusi dalam Zm . Akibatnya, jika d = f pb(a, m) maka kongruenasi ax ≡ b mod m akan memiliki solusi jika hanya jika d membagi b, dan solusinya adalah semua bilangan bulat dalam d kelas residu modulo m yang berbeda.

10.4

Soal Latihan Teorema Fermat dan Euler

1. Misalkan F suatu field, buktikan bahwa elemen-elemen taknol dalam F membentuk grup dibawah operasi perkalian dalam field. 2. Hitunglah sisa dari pembagian-pembagian berikut ini: (a) 347 : 23 (b) 3749 : 7 (c) (2(2

17 )

+ 1) : 19

(d) 71000 : 24 3. Buatlah tabel nilai φ(n) untuk n ≤ 30. 4. Hitunglah pemecahan untuk kongruensi-kongruensi berikut ini: (a) 2x ≡ 6 mod 4 (b) 22x ≡ 5 mod 15 (c) 36x ≡ 15 mod 24 (d) 45x ≡ 15 mod 24 (e) 39x ≡ 125 mod 9 (f) 41x ≡ 125 mod 9 (g) 155x ≡ 75 mod 65


antonius cp 69

(h) 39x ≡ 52 mod 130 5. Tunjukkan bahwa dalam field Zp , hanya elemen 1 dan p − 1 saja yang memiliki invers perkalian dirinya sendiri. 6. Buktikan bahwa p prima jika hanya jika (p − 1)! ≡ −1 mod p 7. Hitunglah sisa pembagian dari: (a) 34! : 37 (b) 49! : 53 (c) 24! : 29 8. Jika p prima ≥ 3, hitunglah (p − 2)! mod p. 9. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif, n, maka n37 − n terbagi oleh 383838. 10. Hitunglah sebuah bilangan yang lebih besar dari 383838 yang juga membagi n37 − n, untuk semua bilangan bulat positif, n.

Bab 11 FIELD QUOTIEN DARI SUATU INTEGRAL DOMAIN Jika sebuah integral domain yang setiap elemen tak nolnya merupakan unit, maka dia merupakan sebuah field. Tetapi, beberapa integral domain, seperti himpunan bilangan bulat, Z, tidak membentuk sebuah field. Namun demikian dalam bab ini akan ditunjukkan bahwa setiap integral domain dapat dipandang secara isomorfis, masuk menjadi bagian dalam suatu field tertentu yang disebut sebagai field quotien dari integral domain. Field ini merupakan field minimal yang memuat integral domain tersebut. Pembahasan akan diawali dengan prosedur pembentukan field quotien dari sebuah integral domain. Kemudian dibuktikan bahwa integral domain tersebut secara isomorfis akan merupakan bagian dari field yang terbentuk. Pada bagian akhir bab ini akan dibahas keunikan dari suatu field quotien.

11.1

Pembentukan Field Quotien

Misalkan D adalah sebuah integral domain yang akan diperluas menjadi sebuah field quotien, F . Garis besar langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Definisikan elemen-elemen dari F ; 2. Definisikan operasi biner penjumlahan dan perkalian dalam F ; 3. Cek bahwa F memenuhi semua aksioma field terhadap operasi-operasi tersebut; 4. Tunjukkan bahwa D dapat dipandang sebagai integral subdomain dari F . 70

Bab V. Field Quotien dari Suatu Integral Domain

antonius cp 71

Sedangkan langkah-langkah operasionalnya dapat diuraikan sebagai berikut : Langkah 1. Misalkan D adalah integral domain. Bentuklah produk Cartesius : D × D = {(a, b)|a, b ∈ D} Misalkan S subset dari D × D; S = {(a, b)|a, b ∈ D, b 6= 0} Dua elemen (a, b) dan (c, d) dalam S dikatakan ekuivalen, dinotasikan (a, b) ∼ (c, d), jika hanya jika ad = bc. Sehingga sekarang S terbagi ke dalam kelas-kelas ekuivalensi. Kelas ekuivalensi [(a, b)], misalnya, didefinisikan sebagai : [(a, b)] = {(x, y)|(x, y) ∼ (a, b)} Langkah pertama ini berakhir dengan pendefinisian himpunan F : F = {[(a, b)] |(a, b) ∈ S} Langkah 2. Operasi biner penjumlahan dan perkalian dalam F didefiisikan sebagai berikut : [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] dan [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)] Dapat ditunjukkan bahwa operasi-operasi tersebut adalah well-defined dalam F . Langkah 3. Membuktikan bahwa F merupakan suatu field. 1. Penjumlahan dalam F bersifat komutatif 2. Penjumlahan dalam F bersifat assossiatif 3. [(0, 1)] adalah identitas jumlahan dalam F 4. [(−a, b)] adalah invers jumlahan dari [(a, b)] dalam F 5. Perkalian dalam F bersifat assossiatif 6. Perkalian dalam F bersifat komutatif


antonius cp 72

7. Hukum distributif berlaku dalam F 8. [(1, 1)] adalah identitas perkalian dalam F 9. Jika [(a, b)] ∈ F bukan merupakan identitas jumlahan, maka a 6= 0 dalam D, maka [(b, a)] adalah invers perkalian dari [(a, b)]. Langkah 4. Menunjukkan bahwa F dapat dipandang memuat D sebagai integral subdomain. Untuk mengerjakannya, harus ditunjukkan adanya isomorphisma, i, dari D kepada sebuah subdomain dari F . Tinjauan teoritis tentang isomorphisma selengkapnya akan diberikan pada bab selanjutnya. Teorema 11.1 Pemetaan i : D → F yang didefinisikan i(a) = [(a, 1)], merupakan sebuah isomorphisma dari D dengan sebuah subdomain dari F . Dari langkah-langkah di atas, dapatlah dihasilkan teorema berikut : Teorema 11.2 Setiap integral domain, D, dapat diperbesar untuk membentuk sebuah field F , sedemikian hingga setiap elemen F dapat diekspresikan sebagai sebuah ”quotien” dari dua elemen D. Dalam hal ini, field F disebut sebagai field quotien dari D. Hasil tersebut kemudian dapat dikembangkan dengan menunjukkan bahwa F dapat dipandang sebagai subfield dari setiap field L yang memuat D.

11.2

Keunikan

Teorema 11.3 Misalkan F adalah field quotien dari integral domain D, dan L adalah sebarang field yang memuat D. Maka ada sebuah pemetaan ψ : F → L, dengan aturan ψ(a) = a, untuk a ∈ D, yang merupakan isomorphisma dari F dengan sebuah subfield L. Contoh : Z merupakan integral domain (dan bukan merupakan field). Q merupakan field quotien dari Z dan Z dapat dipandang sebagai subdomain dari Q. R merupakan field yang memuat Z dan Q dapat dipandang sebagai subfield dari R. Akibat dari teorema di atas, dapat diturunkan teorema-teorema berikut :


antonius cp 73

Teorema 11.4 Setiap field L yang memuat integral domain D, juga akan memuat Field quotien dari D. Teorema 11.5 Setiap dua field quotien dari sebuah integral domain D adalah isomorphic.

11.3

Soal Latihan Field Quotien Dari Suatu Integral Domain

1. Bangunlah field quotient dari integral domain, D, berikut ini: (a) D = {n + mi|n, m ∈ Z} √ (b) D = {n + m 2|n, m ∈ Z} 2. Misalkan R ring komutatif, dan T 6= {0} adalah subset tak kosong dari R yang tertutup terhadap operasi perkalian dan tidak memuat pembagi nol. Jika Q(R, T ) = {[(r, t)]|r ∈ R, t ∈ T }, maka: (a) tunjukkan bahwa Q(R, T ) memiliki unity bahkan walaupun R tidak memiliki; (b) tunjukkan bahwa dalam Q(R, T ), setiap pasang elemen tak nol dari T membentuk sebuah unit. 3. Buktikan bahwa setiap ring komutatif yang memuat sebuah elemen a yang bukan pembagi nol, dapat dikembangkan menjadi ring komutatif dengan unity. 4. Berapa banyaknya elemen dalam ring Q(Z4 , {1, 3}) ? 5. Uraikan ring Q(Z, {2n |n ∈ Z + }) dengan mendeskripsikan sebuah subring R yang isomorphis terhadapnya. 6. Uraikan ring Q(3Z, {6n |n ∈ Z + }) dengan mendeskripsikan sebuah subring R yang isomorphis terhadapnya.

Bab 12 RING POLINOMIAL Pada bab ini disajikan sebuah struktur ring yang berisi polinompolinom, dimana koefisien pada masing-masing polinom merupakan elemen pada suatu ring. Misalnya R[x] dimaksudkan sebagai himpunan semua polinom dengan indeterminasi x dan koefisien-koefisiennya berada dalam ring R. Selain konsep polinom dan ring polynomial, dalam bab ini juga disajikan konsep homomorfisma evaluasi, nol dari suatu polinom, dan algoritma pembagian dalam F [x] dengan F merupakan suatu field.

12.1

Polinomial dalam Sebuah Indeterminasi

Berikut ini adalah definisi dari sebuah polinom dalam indeterminasi x dengan koefisien di dalam ring R. Definisi 12.1 Misalkan R adalah ring. Polinom f (x) dengan koefisien dalam P i R adalah sebuah penjumlahan formal takhingga ∞ i=0 ai x , dimana ai ∈ R dan ai = 0 untuk semua kecuali sejumlah hingga nilai i. ai adalah koefisien-koefisien dari f (x). Jika untuk i > 0, ai 6= 0 maka nilai terbesar dari i yang demikian disebut derajat dari f (x). Jika tidak ada i > 0 yang demikian maka f (x) berderajat nol. Teorema 12.1 Himpunan R[x] dari semua polinom dalam indeterminasi x dengan koefisien dalam ring R merupakan sebuah ring dibawah operasi penjumlahan dan perkalian polinom. Selanjutnya jika R komutatif maka demikian juga R[x], dan jika R memiliki unity 1 maka 1 juga merupakan unity dalam R[x]. 74

Bab VI. Ring Polinomial

antonius cp 75

Pengembangan selanjutnya dari teorema ini adalah jika D adalah sebuah integral domain maka demikian juga D[x]. Secara khusus, jika F merupakan sebuah field, maka F [x] merupakan sebuah integral domain.

12.2

Homomorfisma Evaluasi

Teorema berikut berkaitan dengan sebuah homomorphisma evaluasi. Teorema 12.2 Misalkan F adalah subfield dari field E, α adalah sebarang elemen dalam E, dan x adalah sebuah indeterminasi. Pemetaan φα : F [x] → E dengan φα (a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn ) = a0 + a1 α + a2 α2 + ... + an αn merupakan sebuah homomorphisma. Bisa juga dibuktikan bahwa φα (x) = α dan φα (a) = a, untuk a ∈ F . Dengan demikian φα disebut homomorphisma evaluasi pada α. Berikut akan didefinisikan mengenai nol dari suatu polinom. Definisi 12.2 Misalkan F adalah subfield dari field E, dan α ∈ E. Misalkan f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn ∈ F [x], dan φα : F [x] → E merupakan sebuah homomorphisma evaluasi. Misalkan f (α) menotasikan φα (f (x)) = a0 + a1 α + ... + an αn Jika f (α) = 0, maka α disebut nol dari f (x).

12.3

Algoritma Pembagian dalam F [x]

Selanjutnya, analog dengan algoritma pembagian pada bilangan bulat, maka algoritma pembagian pada F [x], dengan F suatu field, disajikan dalam teorema berikut.


antonius cp 76

Teorema 12.3 Misalkan f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn dan f (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bm xm merupakan dua polinom dalam F [x], dengan an dan bm keduanya adalah elemen tak nol dalam F [x] dan m > 0. Maka ada polinom-polinom q(x) dan r(x) dalam F [x] sedemikian hingga f (x) = g(x)q(x) + r(x), dengan derajad dari r(x) kurang dari m = derajad dari g(x). Contoh: Pada Z5 [x], x4 − 3x3 + 2x2 + 4x − 1 = (x2 − 2x + 3)(x2 − x − 3) + (x + 3) Akibat dari algoritma pembagian dalam F [x] tersebut antara lain: 1. Sebuah elemen a ∈ F merupakan nol dari f (x) ∈ F [x] jika hanya jika x − a merupakan faktor dari f (x) dalam F [x]. 2. Suatu polinom taknol f (x) ∈ F [x] yang berderajad n dapat memiliki paling banyak n nol dalam field F .

12.4

Soal Latihan Ring Polinomial

1. Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari polinom-polinom berikut: (a) f (x) = 4x − 5, g(x) = 2x2 − 4x + 2 dalam Z8 [x] (b) f (x) = x + 1, g(x) = x + 1 dalam Z2 [x] (c) f (x) = 2x2 + 3x + 4, g(x) = 3x2 + 2x + 3 dalam Z6 [x] (d) f (x) = 2x3 + 4x2 + 3x + 2, g(x) = 3x4 + 2x + 4 dalam Z5 [x] 2. Berapa banyaknya polinom berderajad ≤ 3 dalam Z2 [x] ? 3. Berapa banyaknya polinom berderajad ≤ 2 dalam Z5 [x] ?


antonius cp 77

4. Hitunglah homomorphisma evaluasi berikut dalam Z7 (a) φ2 (x2 + 3) (b) φ0 (2x3 − x2 + 3x + 2) (c) φ3 [(x4 + 2x)(x3 − 3x2 + 3)] (d) φ5 [(x3 + 2)(4x2 + 3)(x7 + 3x2 + 1)] (e) φ4 (3x106 + 5x99 + 2x53 ) 5. Misalkan φa : Z5 [x] → Z5 merupakan homomorphisma evaluasi. Gunakan teorema Fermat untuk menghitung φ3 (x231 + 3x117 − 2x53 + 1) 6. Gunakan teorema Fermat untuk mencari semua pembuat nol fungsi pada Z5 dari polinom 2x219 + 3x74 + 2x57 + 3x44 7. Buktikan jika D integral domain, maka D[x] juga merupakan integral domain. 8. Jika D integral domain dan x sebuah indeterminasi. (a) Deskripsikan semua unit dalam D[x] (b) carilah semua unit dalam Z[x] (c) Carilah semua unit dalam Z7 [x] 9. Hitunglah hasilbagi dan sisa dari pembagian polinom-polinim berikut ini: (a) f (x) = x6 + 3x5 + 4x2 − 3x + 2 dan g(x) = x2 + 2x − 3 dalam Z7 [x] (b) f (x) = x6 + 3x5 + 4x2 − 3x + 2 dan g(x) = 3x2 + 2x − 3 dalam Z7 [x] (c) f (x) = x5 − 2x4 + 3x − 5 dan g(x) = 2x + 1 dalam Z11 [x] (d) f (x) = x4 + 5x3 − 3x2 dan g(x) = 5x2 − x + 2 dalam Z11 [x] 10. Carilah semua bilangan prima ganjil p sedemikian hingga x + 2 merupakan sebuah faktor dari x4 + x3 + x2 − x + 1 dalam Zp [x].

Bab 13 HOMOMORPHISMA RING Bab ini merupakan awal dari bagian kedua materi utama perkuliahan Struktur Aljabar II. Setelah pada bagian pertama dibahas tentang konsep ring, sifat-sifat dan macamnya, dan beberapa algoritma perhitungan yang berlaku dalam suatu ring, khususnya field, maka pada bagian kedua ini dibahas tentang fungsi yang akan menghubungkan sebuah ring dengan ring lainnya. Pada bab ini disajikan tentang pengertian homomorfisma ring dan sifat-sifatnya, konsep kernel yang juga analog dengan kernel dalam homomorfisma grup, dan terakhir tentang isomorfisma ring.

13.1

Homomorfisma Ring dan Sifat-sifatnya

Analog dengan definisi homomorphisma pada grup, maka homomorphisma pada ring dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi 13.1 Suatu pemetaan φ dari ring R ke ring R0 disebut homomorphisma jika φ(a + b) = φ(a) + φ(b) dan φ(ab) = φ(a)φ(b) untuk semua elemen a dan b dalam R. Contoh : Misalkan α : Z → Zn didefinisikan dengan α(m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n. Maka α merupakan suatu homomorphisma. Misalkan φ adalah homomorphisma dari ring R ke ring R0 , maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut : 78

Bab VII. Homomorphisma Ring

antonius cp 79

1. Jika 0 adalah identitas jumlahan dalam R, maka φ(0) = 00 merupakan identitas jumlahan dalam R0 ; 2. ∀a ∈ R, φ(−a) = −φ(a); 3. Jika S subring pada R, maka φ(S) adalah subring pada R0 ; 4. Jika S 0 adalah subring pada R0 , maka φ−1 (S 0 ) adalah subring pada R; 5. Jika R memuat unity 1 dan φ(1) 6= 00 , maka φ(1) merupakan unity untuk R0 . Singkatnya, subring akan berkorespondensi dengan subring dan ring dengan unity juga akan berkorespondensi dengan ring dengan unity oleh suatu homomorphisma ring.

13.2

Kernel

Definisi 13.2 Misalkan φ : R → R0 merupakan homomorphisma ring, maka kernel dari φ, dinotasikan oleh Ker(φ), didefinisikan sebagai Ker(φ) = {a ∈ R|φ(a) = 00 } dimana 00 adalah identitas jumlahan dalam R0 . Teorema 13.1 Jika φ : R → R0 merupakan homomorphisma ring, maka Ker(φ) merupakan subring pada R. Teorema 13.2 Misalkan φ : R → R0 adalah homomorphisma ring dan H = Ker(φ). Misalkan a ∈ R. Maka φ−1 {φ(a)} = a + H = H + a, dimana a + H = H + a adalah koset yang memuat a dari grup jumlahan komutatif, < H, + >. Akibatnya : Sebuah homomorphisma ring φ : R → R0 merupakan fungsi satu-satu jika hanya jika Ker(φ) = {0}.

Bab VII. Homomorphisma Ring

13.3

antonius cp 80

Isomorfisma

Definisi 13.3 Jika φ : R → R0 adalah homomorphisma yang satu-satu dan onto, maka φ disebut isomorphisma. Teorema 13.3 Misalkan < adalah himpunan ring-ring, dan untuk R, R0 ∈ <, didefinisikan relasi R ∼ R0 jika ada isomorphisma φ : R → R0 . Maka ∼ merupakan relasi ekuivalensi.

13.4

Soal Latihan Homomorfisma Ring

1. Untuk setiap pemetaan berikut, tentukan apakah merupakan homomorphisma ring atau bukan! Bila ya, buktikan, bila tidak, berilah counterexamplenya. (a) φ : Z → R dengan aturan φ(x) = x. (b) φ : R → Z dengan aturan φ(x) = bxc. (c) φ : Z6 → Z2 dengan aturan φ(x) = sisa bila x dibagi 2. (d) φ : Z9 → Z2 dengan aturan φ(x) = sisa bila x dibagi 2. (e) φ : Z → Z dengan aturan φ(x) = −x (f) φ : F → F dengan aturan φ(f ) = 3f , bila F adalah ring dari semua fungsi riil. 2. Untuk setiap pernyataan berikut, tentukan benar atau salah, dan berikan alasannya! (a) Homomorphisma untuk suatu ring merupakan isomorphisma untuk suatu grup. (b) Analog dengan homomorphisma grup, maka homomorphisma ring adalah satu-satu jika hanya jika kernel dari homomorphisma tersebut adalah {0}.

Bab 14 RING FAKTOR (QUOTIEN) Ring faktor merupakan sebuah ring yang beranggotakan koset-koset dari suatu subring tertentu. Pengertian subring tertentu di sini perlu ditekankan karena tidak semua subring dapat membangun sebuah ring faktor. Berawal dari sebuah homomorfisma ring, maka himpunan semua koset dari kernelnya akan membentuk sebuah ring faktor. Secara umum, subring yang koset-kosetnya dapat membentuk sebuah ring factor, haruslah merupakan sebuah ideal, dimana konsep ideal di sini analog dengan konsep subgrup normal. Sehingga pembentukan sebuah struktur ring faktor dapat diawali oleh sebuah homomorfisma ring maupun oleh sebuah ideal. Oleh karenanya pembahasan kedua konsep ini menjadi menu utama yang disajikan dalam bab ini.

14.1

Pembentukan Ring Faktor

Analog pula dengan konsep grup faktor, maka pada konsep ring faktor dapat diturunkan teorema berikut : Teorema 14.1 Misalkan φ : R → R0 adalah homomorphisma ring dengan Ker(φ) = H. Maka R/H = {a + H|a ∈ R} merupakan ring dengan operasi-operasi biner : (a + H) + (b + H) = (a + b) + H dan (a + H)(b + H) = (ab) + H Dan pemetaan µ : R/H → φ(R) yang didefinisikan oleh µ(a + H) = φ(a), merupakan sebuah isomorphisma.

81

Bab VIII. Ring Faktor (Quotien)

antonius cp 82

Contoh : Pemetaan φ : Z → Zn yang didefinisikan dengan φ(m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n, merupakan suatu homomorphisma. Karena Ker(φ) = nZ, maka Z/nZ merupakan suatu ring dan Z/nZ isomorpis terhadap Zn . Teorema 14.2 Misalkan H adalah subring pada ring R. Perkalian koset-koset jumlahan dari H, yang didefinisikan oleh (a + H)(b + H) = ab + H adalah welldefined jika hanya jika ah ∈ H dan hb ∈ H, ∀a, b ∈ R dan h ∈ H.

14.2

Ideal

Definisi 14.1 Ideal. Suatu subring N dari ring R yang bersifat aN ⊆ N dan N b ⊆ N , ∀a, b ∈ R, disebut ideal. Contoh 1: Misalkan F adalah ring dari semua fungsi riil, dan misalkan K adalah subring F yang berisikan semua fungsi konstan dalam F . Maka K bukan ideal dari F , sebab tidak benar jika perkalian sebarang fungsi dengan suatu fungsi konstan akan menghasilkan fungsi konstan lagi. Contohnya, perkalian antara fungsi konstan f (x) = 2 dengan fungsi g(x) = sin(x) akan menghasilkan 2 sin(x) yang bukan merupakan fungsi konstan. Contoh 2: Misalkan F adalah ring dari semua fungsi riil, dan N adalah subring yang berisikan semua fungsi f sedemikian hingga f (2) = 0. Maka N merupakan ideal dari F . Hal ini bisa ditunjukkan sebagai berikut: Misal f ∈ N dan g ∈ F . Maka (f g)(2) = f (2)g(x) = 0g(x) = 0. Sehingga f g ∈ N . Demikian juga akan dapat dibuktikan bahwa gf ∈ N . Teorema 14.3 Misalkan N adalah ideal pada ring R. Maka R/N = {a + N |a ∈ R} merupakan ring dengan operasi-operasi biner : (a + N ) + (b + N ) = (a + b) + N dan (a + N )(b + N ) = (ab) + N


antonius cp 83

Definisi 14.2 Ring R/N seperti yang disebutkan dalam teorema di atas disebut ring faktor (atau ring quotien) dari R modulo N Catatan : Konsep ring quotien berbeda dengan konsep field quotien dari suatu integral domain.

14.3


Teorema 14.4 Misalkan N adalah ideal dari ring R. Maka φ : R → R/N yang didefinisikan oleh φ(a) = a + N , merupakan homomorphisma ring dengan Ker(φ) = N . Teorema 14.5 Teorema Homomorphisma Dasar. Misalkan φ : R → R0 adalah homomorphisma ring dengan Ker(φ) = N . Maka φ(R) merupakan ring, dan pemetaan µ : R/N → φ(R), yang didefinisikan oleh µ(a + N ) = φ(a), merupakan isomorophisma. Jika γ : R → R/N adalah suatu homomorphisma yang didefinisikan oleh γ(a) = a + N , maka ∀a ∈ R, φ(a) = µγ(a).

14.4

Soal Latihan Ring faktor

1. Misalkan φ : R → R0 merupakan homomorphisma dengan Ker(φ) = N . Maka R/N merupakan ring faktor dari R modulo N . Jika dibentuk µ : R/N → φ(R) dengan aturan µ(x + N ) = φ(x), buktikan bahwa µ merupakan isomorphisma dan tentukan Ker(µ). 2. Misalkan R adalah ring komutatif dan a ∈ R. Tunjukkan bahwa Ia = {x ∈ R|ax = 0} merupakan ideal pada R. 3. Berikan sebuah contoh subring dari ring Z ×Z yang bukan merupakan ideal pada Z × Z. 4. Ada pernyataan: ”Ring faktor Z/4Z dan ring Z4 adalah isomorphis”. Benar atau salah ? Berikan alasanya !


antonius cp 84

5. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa sebuah ring faktor dari sebuah integral domain dapat memuat pembagi nol. 6. Carilah sebuah ideal, H, pada ring Z12 dan sebutkan semua elemen dalam Z12 /H, yakni ring faktor dari Z12 modulo H. 7. Jika φ : [R, +, ·] → [R0 , +, ·] merupakan homomorphisma ring, maka φ : [R, +] → [R0 , +] merupakan isomorphisma grup. Benar atau salah. Sebutkan alasannya! 8. Jika M dan N keduanya merupakan ideal pada ring R, tunjukkan bahwa M + N = {m + n|m ∈ M, n ∈ N } juga merupakan ideal pada R. 9. Hitunglah ring faktor Z/4Z dan carilah sebuah ring yang isomorphis dengannya. 10. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa sebuah ring faktor dari sebuah integral domain dapat merupakan sebuah field. 11. Carilah sebuah ideal pada ring Z12 yang berordo 4 dan hitunglah ring faktor yang dibentuk oleh ideal tersebut. 12. Tunjukkan bahwa interseksi dari dua buah ideal pada ring R juga akan membentuk ideal pada ring R. 13. Sebuah elemen a dalam ring R disebut nilpotent jika an = 0 untuk suatu n ∈ Z + . Tunjukkan bahwa himpunan semua elemen nilpotent dalam sebuah ring komutatif, R, merupakan sebuah ideal. (Himpunan semacam ini disebut pula radikal dari R). 14. Hitunglah radikal dari Z12 . 15. Misalkan R ring komutatif dan N ideal pada R. Jika setiap elemen pada N adalah nilpotent dan radikal dari R/N adalah R/N sendiri, buktikan bahwa radikal dari R adalah R.

Bab 15 IDEAL MAKSIMAL DAN PRIMA Beberapa ideal memiliki karakteristik khusus, misalnya ada ideal proper yang tidak termuat dalam ideal proper lainnya (disebut ideal maksimal) dan ada ideal yang bersifat bahwa setiap perkalian yang menghasilkan suatu elemen dalam ideal maka salah satu faktornya pasti merupakan elemen dalam ideal tersebut (disebut ideal prima). Bagaimana bentuk ring faktor yang dibentuk kedua ideal tersebut dan bagaimana kaitan antara kedua ideal tersebut, semuanya dibahas dalam bab ini.

15.1

Ideal Maksimal

Setiap ring R memiliki paling tidak dua macam ideal, ideal improper R dan ideal trivial {0}. Ring-ring faktor yang dibentuk oleh ideal-ideal ini adalah R/R, yang hanya memiliki satu elemen, dan R/{0}, yang isomorphis dengan R. Suatu ideal N pada ring R dikatakan ideal proper nontrivial jika N 6= R dan N 6= {0}. Teorema 15.1 Jika R sebuah ring dengan unity, dan N adalah ideal pada R yang memuat suatu unit, maka N = R. Akibatnya : Sebuah field tidak memiliki ideal proper nontrivial. Definisi 15.1 Sebuah ideal M pada ring R disebut ideal maksimal jika M berbeda dari R sedemikian hingga tidak ada ideal proper N pada R yang memuat M. 85

Bab IX. Ideal Maksimal dan Prima

antonius cp 86

Teorema 15.2 Misalkan R ring komutatif dengan unity. Maka M adalah ideal maksimal pada R jika hanya jika R/M merupakan suatu field. Akibatnya : Sebuah ring komutatif dengan unity R merupakan suatu field jika hanya jika R tidak memiliki ideal proper nontrivial.

15.2

Ideal Prima

Definisi 15.2 Sebuah ideal N 6= R pada sebuah ring komutatif R disebut ideal prima jika ab ∈ N berimplikasi a ∈ N atau b ∈ N , untuk a, b ∈ R. Teorema 15.3 Misalkan R ring komutatif dengan unity, dan N 6= R merupakan sebuah ideal pada R. Maka R/N merupakan integral domain jika hanya jika N adalah ideal prima pada R. Akibatnya : Setiap ideal maksimal pada sebuah ring komutatif R dengan unity merupakan sebuah ideal prima. Dari uraian terdahulu dapat dirangkum tentang beberapa hal berikut. Untuk sebuah ring komutatif dengan unity R, maka : 1. Sebuah ideal M adalah maksimal jika hanya jika R/M merupakan field; 2. Sebuah ideal N merupakan prima jika hanya jika R/N merupakan integral domain; 3. Setiap ideal maksimal pada R merupakan ideal prima.

15.3

Soal latihan Ideal maksimal dan Prima

1. Carilah semua ideal prima dan ideal maksimal dari : Z6 , Z12 , Z2 × Z2 , dan Z2 × Z4 . 2. Nyatakan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah dan berikan alasannya.

Bab IX. Ideal Maksimal dan Prima

antonius cp 87

(a) Setiap ideal prima dari setiap ring komutatif dengan unity merupakan ideal maksimal. (b) Setiap ideal maksimal dari setiap ring komutatif dengan unity merupakan ideal prima. 3. Misalkan R adalah ring komutatif berhingga dengan unity. Tunjukkan bahwa setiap ideal prima dalam R merupakan sebuah ideal maksimal.

Bab 16 KUMPULAN SOAL LATIHAN 1. Setiap ring dengan unity memiliki paling sedikit 2 unit yang berbeda. Benar atau salah? Jelaskan! 2. Karena Z2 merupakan integral domain maka M2 (Z2 ) juga merupakan integral domain. Benar atau salah? Jelaskan! 3. Jika p prima maka untuk setiap bilangan bulat, a, berlaku ap−1 ≡ 1 mod p. Benar atau salah? Jelaskan! 4. Jika diketahui < S, + > merupakan grup, < S − {0}, · > merupakan grup, dan dalam S berlaku hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan, tunjukkan bahwa < S, +, · > merupakan division ring. 5. Jika ada, berikan sebuah contoh ring komutatif yang tidak memuat pembagi nol tetapi bukan merupakan sebuah integral domain. Jelaskan! 6. Buatlah tabel perkalian dari grup semua unit dalam Z12 . 7. Dimungkinkan bahwa sebuah subset dari suatu field akan merupakan subring tetapi bukan merupakan subfield. Benar atau salah? Jelaskan! 8. nZ akan memuat pembagi nol jika n bukan bilangan prima. Benar atau salah? Jelaskan! 9. ∀n ∈ Z + , φ(n) ≤ n − 1. Benar atau salah? Jelaskan! 88

Kumpulan Soal Latihan

antonius cp 89

10. Jika diketahui < S, + > merupakan grup, < S − {0}, · > merupakan grup, dan dalam S berlaku hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan, tunjukkan bahwa S tidak memuat pembagi nol. 11. Jika ada, berikan sebuah contoh ring komutatif yang setiap elemen tak nol-nya merupakan unit, tetapi bukan merupakan sebuah field. Jelaskan! 12. Hitunglah sisanya bila 34! dibagi 37. 13. Jika R adalah ring dengan unity maka hukum kanselasi berlaku pada R. Benar atau salah? Jelaskan! 14. Setiap integral domain yang berkarakteristik 0 pasti merupakan integral domain tak hingga. Benar atau salah? Jelaskan! 15. Perkalian dua buah unit dalam Zn pasti akan menghasilkan unit juga. Benar atau salah? Jelaskan! 16. Misalkan S adalah suatu himpunan dan S ∗ adalah kumpulan semua subset dari S. Didefinisikan operasi biner + dan · dalam S ∗ sebagai berikut. A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) dan A · B = A ∩ B, untuk setiap A, B ∈ S ∗ . Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk S ∗ , jika S = {a, b}. 17. Jika M himpunan semua matrik berordo 2 yang invertible maka M merupakan sebuah field. Benar atau salah? Jelaskan! 18. Jika 383838|n37 − n, untuk setiap n ∈ Z ∗ , tentukan sebuah bilangan yang lebih besar dari 383838 yang juga membagi n37 − n. 19. Jika R adalah ring dengan unity, maka unity pada R juga merupakan unity dari setiap subringnya. Benar atau salah? Jelaskan! 20. nZ merupakan subdomain pada Z. Benar atau salah? Jelaskan! 21. Perkalian antara sebuah unit dan non unit dalam ring Zn tidak akan pernah menghasilkan unit. Benar atau salah? Jelaskan!


antonius cp 90

22. Misalkan S adalah suatu himpunan dan S ∗ adalah kumpulan semua subset dari S. Didefinisikan operasi biner + dan · dalam S ∗ sebagai berikut. A + B = (A ∪ B) − (A ∩ B) dan A · B = A ∩ B, untuk setiap A, B ∈ S ∗ . Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk S ∗ , jika S = {1, 2, 3}. 23. Dengan operasi biner seperti dalam soal di atas, tunjukkan bahwa untuk setiap S, maka S ∗ merupakan sebuah boolean ring. 24. Tentukan penyelesaian untuk 155x ≡ 75 mod 65. 25. Sebuah himpunan, S, diketahui merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dan elemen-elemen taknol-nya membentuk grup terhadap operasi perkalian. Apabila dalam S juga berlaku hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka (a) aksioma apa yang harus dibuktikan untuk menunjukkan bahwa [S, +, ·] merupakan sebuah division ring? Jelaskan! (b) apakah S tidak bisa memuat pembagi nol? Mengapa? 26. Tunjukkan bahwa setiap integral domain yang berkarakteristik 0 pasti merupakan integral domain tak hingga! 27. Untuk pernyataan-pernyataan berikut, tentukan benar atau salah, kemudian berikan alasannya! (a) Jika p prima ≥ 3, maka p akan membagi habis (p − 2)! − 1. (b) Jika D merupakan sebuah field maka setiap field quotien dari D akan isomorphis terhadap D. (c) Setiap elemen dalam integral domain, D, akan menjadi unit dalam field quotien dari D. (d) Misalkan R adalah ring, jika f (x) dan g(x) merupakan dua polinom dalam R[x] yang masing-masing berderajad 3 dan 4, maka f (x)g(x) selalu berderajad 7.


antonius cp 91

(e) Jika R adalah ring, maka x tidak akan pernah menjadi pembagi nol dalam R[x]. 28. Sehubungan dengan homomorphisma evaluasi φ5 : Q[x] → R, dengan Q adalah himpunan bilangan rasional dan R adalah himpunan bilangan riil, carilah 6 elemen dari kernel φ5 ! 29. Carilah sebuah polinom dengan derajad 6= 0 yang merupakan unit dalam Z4 [x]! 30. Tunjukkan bahwa sebuah polinom taknol f (x) ∈ F [x] yang berderajad n dapat memiliki paling banyak n nol dalam field F ! 31. Tunjukkan bahwa persamaan x2 = 2 tidak memiliki solusi pada himpunan bilangan rasional! 32. Tunjukkan bahwa 29 dapat membagi habis 27! − 1. 33. Untuk pernyataan-pernyataan berikut, tentukan benar atau salah, kemudian berikan alasannya! (a) Karakteristik dari nZ adalah n. (b) Semua bilangan bulat positif yang kurang dari n dan tidak membagi habis n, merupakan unit dalam Zn . (c) Dimungkinkan adanya ring komutatif yang setiap elemen taknol-nya merupakan unit, tetapi ring tersebut bukan merupakan field. (d) Misalkan R adalah ring, jika f (x) dan g(x) merupakan dua polinom dalam R[x] yang masing-masing berderajad 2 dan 3, maka f (x)g(x) bisa berderajad 6. (e) Himpunan semua unit dalam sebuah ring akan membentuk sebuah field. 34. Misalkan R adalah ring yang memiliki paling tidak dua elemen dan untuk setiap elemen taknol a ∈ R, selalu ada dengan tunggal b ∈ R sedemikian hingga aba = a. Tunjukkan bahwa R tidak memiliki pembagi nol!


antonius cp 92

35. Carilah sebuah polinom berderajad 2 yang merupakan unit dalam Z6 [x]! 36. Tunjukkan bahwa karena suatu isomorphisme maka satu-satunya filed quoteint dari himpunan bilangan bulat, Z, adalah himpunan bilangan rasional, Q. 37. Tinjaulah sebuah ring, 2Z, dan subsetnya, 8Z. (a) Tunjukkan bahwa 8Z merupakan ideal pada 2Z! (b) Hitunglah ring faktor 2Z/8Z! (c) Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk 2Z/8Z! (d) Apakah 2Z/8Z isomorphis dengan ring Z4 ? Jelaskan! 38. Tinjaulah ring Z12 . (a) Carilah sebuah ideal proper nontrivial pada Z12 ! (b) Hitunglah ring faktor yang dibentuk oleh ideal tersebut dan tentukan ring yang isomorphis dengannya! (c) Tentukan ideal maksimal dan ideal prima pada Z12 ! 39. Untuk pernyataan-pernyataan berikut, tentukan apakah BENAR atau SALAH, dan berikan alasannya. (a) Suatu ideal N dalam ring komutatif dengan unity, R, bisa menjadi sama dengan R jika hanya jika unity pada R termuat dalam N . (b) Jika φ : R → R0 merupakan monomorphisma dengan Ker(φ) = H, maka R akan isomorphis dengan R/H. (c) Misalkan N merupakan ideal pada ring R. Jika R dan N merupakan ring-ring takhingga maka R/N juga merupakan ring takhingga. (d) Jika a 6= 0 merupakan elemen yang termuat dalam sebuah ideal proper non trivial pada Zn , untuk suatu n ∈ Z + , maka a relatif prime terhadap n. (e) Jika p prima, maka pZ selalu merupakan ideal maksimal pada ring bilangan bulat, Z.


antonius cp 93

40. Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa ring faktor dari sebuah ring yang memuat pembagi nol, dapat merupakan sebuah integral domain! 41. Carilah semua ideal maksimal dan ideal prima pada Z2 × Z4 . 42. Carilah ideal prima dari Z × Z yang bukan merupakan ideal maksimal.

Daftar Pustaka [1] Frank Ayres, JR, 1965, Theory and Problems of Modern Algebra, Schaum Publishing Co, New York. [2] Gede Kerta Widarma, 1990, Pengantar Teori Group (Struktur Aljabar I), Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember. [3] I.N. Herstein, 1975, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, New York. [4] Jimmie Gilbert, Linda Gilbert, 1992, Elements of Modern Algebra, PWSKENT Publishing Co, Boston. [5] John B. Fraleigh, 1989, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Canada. [6] M.D. Raisinghania, R.S. Aggarwal, 1980, Modern Algeba, S. Chand & Company, New Delhi. [7] Theresia M.H. Tirta Seputro, 1992, Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan, Penerbit Erlangga, Jakarta.

94

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

Recommend Documents