BAHAN AJAR
PENGANTAR STATISTIK TEORI DAN APLIKASI
DISUSUN OLEH :
TIM PENGAMPU STATISTIK
PRODI PENDIDIKAN AKUNTANSI FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2014
1
DAFTAR ISI DAFTAR ISI ................................................................................................................ 1 KATA PENGANTAR ................................................................................................. 9 BAB 1 ......................................................................................................................... 10 BERKENALAN DENGAN STATISTIK................................................................ 10 Arti Dan Kegunaan Data ......................................................................................... 11 Kebutuhan Terhadap Statistik ............................................................................. 13 Penjabaran Hubungan Antarvariabel .............................................................. 13 Alat Bantu Dalam Mengambil Keputusan ...................................................... 13 Menangani Perubahan ..................................................................................... 14 Metodologi Pemecahan Masalah Secara Statistik............................................... 14 Syarat Data Yang Baik Dan Pembagian Data ......................................................... 15 Defenisi Statistik ..................................................................................................... 16 Peranan Statistik ...................................................................................................... 18 Arti Dan Manfaat Data Bagi Manajemen ........................................................... 18 Kegunaan Data Bagi Pemerintah Daerah ............................................................ 19 Berbagai Macam Data Untuk Pembangunan Daerah.......................................... 19 Peran Komputer Dalam Statistik......................................................................... 20 Pembagian Statistika, Istilah-Istilah Statistika ........................................................ 20 Jenis-Jenis Statistik ................................................................................................. 22 Fungsi Statistika ...................................................................................................... 24 Lambang Statistika .................................................................................................. 25 Jenis-Jenis Skala Pengukuran ................................................................................. 26 Jenis Skala Pengukuran ........................................................................................... 28 Soal Latihan ............................................................................................................ 29 BAB 2 ......................................................................................................................... 33 PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA.................................................. 33 Pengumpulan Data .................................................................................................. 34 Metode Pengumpulan Data ................................................................................. 36 Sensus.............................................................................................................. 36 Sampling ......................................................................................................... 37
2
Alat Pengumpulan Data ...................................................................................... 38 Pengolahan Data...................................................................................................... 42 Pendekatan Pengolahan Data .............................................................................. 43 Tahap Persiapan Dalam Pengolahan Data .......................................................... 44 Tahap Audit Kinerja Pada Pengolahan Data ....................................................... 46 Metode Pengolahan Data .................................................................................... 48 Pengolahan Data Secara Manual ..................................................................... 48 Pengolahan Data Secara Elektronik ................................................................ 48 Soal Latihan ............................................................................................................ 50 BAB 3 ......................................................................................................................... 55 PENYAJIAN DATA ................................................................................................. 55 Cross Section Data .................................................................................................. 56 Penyajian Dengan Tabel ..................................................................................... 56 Penyajian Dengan Grafik .................................................................................... 58 Data Berkala ............................................................................................................ 59 Penyajian Dengan Tabel ..................................................................................... 59 Penyajian Dengan Grafik .................................................................................... 60 Bentuk Tabel ........................................................................................................... 61 Bentuk Grafik .......................................................................................................... 64 Grafik Garis Tunggal .......................................................................................... 65 Grafik Garis Berganda ........................................................................................ 67 Grafik Garis Komponen Berganda...................................................................... 69 Grafik Garis Persentase Komponen Berganda .................................................... 70 Grafik Garis Berimbang Neto ............................................................................. 72 Grafik Batangan Tunggal .................................................................................... 73 Grafik Batangan Berganda (Multiple Bar Chart) ................................................ 75 Grafik Batangan Komponen Berganda (Multi-Component Bar Cha .................. 76 Grafik Batangan Persentase Komponen Berganda (Multiple Percentage Component Bar Chart) ........................................................................................ 77 Grafik Batangan Berimbang Neto (Net Balanced Bar Chart .............................. 78 Grafik Lingkaran Tunggal (Single Pie Chart) ..................................................... 80 Grafik Lingkaran Berganda (Multiple Pie Chart) ............................................... 81
3
Grafik Peta (Cartogram Chart ) ........................................................................... 84 Grafik Gambar (Pictogram Chart ) ..................................................................... 85 Soal Latihan ............................................................................................................ 87 BAB 4 ....................................................................................................................... 101 DISTRIBUSI FREKUENSI ................................................................................... 101 Pengertian Frekuensi ............................................................................................. 102 Pengertian Distribusi Frekuensi ............................................................................ 102 Tabel Distribusi Frekuensi Dan Macamnya .......................................................... 103 Tabel Distibusi Frekuensi Data Tunggal........................................................... 104 Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan .................................................. 104 Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif............................................................... 105 Tabel Distribusi Frekuensi Relatif .................................................................... 105 Tabel Persentase Kumulatif .............................................................................. 107 Rentang ................................................................................................................. 112 Panjang Kelas ........................................................................................................ 112 Banyak Kelas ........................................................................................................ 112 Interval Kelas ........................................................................................................ 113 Frekuensi ............................................................................................................... 114 Titik Tengah .......................................................................................................... 114 BAB 5 ....................................................................................................................... 119 UKURAN PEMUSATAN ....................................................................................... 119 Definisi Ukuran Pemusatan................................................................................... 120 Rata-Rata Hitung............................................................................................... 120 Rata-Rata Hitung (Data Berkelompok) ............................................................. 122 Rata-Rata Hitung Tertimbang ........................................................................... 123 Beberapa Sifat/Ciri Rata-Rata Hitung ................................................................... 124 Median................................................................................................................... 133 Median (Data Tidak Berkelompok) ...................................................................... 134 Untuk N Ganjil ................................................................................................. 134 Untuk N Genap .................................................................................................. 136 Median (Data Berkelompok)................................................................................. 136
4
Modus.................................................................................................................... 138 Modus Data Tidak Berkelompok .......................................................................... 138 Modus Data Berkelompok .................................................................................... 140 Perbandingan Antara Rata-Rata,Median,Dan Modus ........................................... 142 Rata-Rata Di Luar Ukuran Pemusatan .................................................................. 143 Rata-Rata Harmonis .............................................................................................. 145 Distribusi Yang Dibagi Oleh 4, 10, 100 Bagian Yang Sama Kuartil, Desil, Dan Persentil (Data Tak Berkelompok)........................................................................ 146 Kuartil, Desil, Dan Persentil (Data Berkelompok) ............................................... 149 Soal Latihan .......................................................................................................... 153 BAB 6 ....................................................................................................................... 160 UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI................................................................ 160 Pengukuran Dispersi Data Tidak Dikelompokkan ................................................ 161 Nilai Jarak Atau Jangkauan ............................................................................... 161 Rata- Rata Simpangan ....................................................................................... 162 Simpangan Baku ............................................................................................... 162 Pengukuran Dispersi Data Dikelompokkan .......................................................... 163 A. Nilai Jarak .................................................................................................... 163 B. Simpangan Baku ........................................................................................... 164 Nilai Atau Data Yang Dibakukan (Standardized Value) ...................................... 170 Koefisien Variasi ................................................................................................... 170 Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness) ............................................................ 171 Ukuran Kerunangan Kurva ............................................................................... 172 Latihan Soal ......................................................................................................... 176 BAB 7 ....................................................................................................................... 182 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA ................................... 182 Pengertian Korelasi ............................................................................................... 183 Arah Korelasi ........................................................................................................ 183 Menghitung Koefisien Korelasi ............................................................................ 184 Teknik Ramalan Dan Regresi Linear Sederhana .................................................. 187 Diagram Pencar ................................................................................................. 187 Persamaan Regresi Linear ................................................................................. 188
5
Soal Latihan .......................................................................................................... 189 BAB 8 ....................................................................................................................... 197 REGRESI LINEAR BERGANDA DAN............................................................... 197 REGRESI (TREND) NONLINEAR...................................................................... 197 Persamaan Regresi Linier Berganda Lebih Dari Dua Variabel ............................ 198 Cara Memecahkan Persamaan Lebih Dari Dua Variabel ..................................... 198 Korelasi Berganda ............................................................................................. 198 Koefisien Korelasi Linier Berganda.................................................................. 199 Koefisien Penentu (Kp ) .................................................................................... 199 Koefisien Korelasi Parsial (Kkp)....................................................................... 202 Persamaan Trend Non-Linear ............................................................................... 204 Trend Parabola ...................................................................................................... 205 Trend Eksponensial (Logaritma)........................................................................... 210 Trend Eksponensial Yang Diubah ........................................................................ 215 Trend Logistik ...................................................................................................... 219 Trend Gompertz .................................................................................................... 222 Soal Latihan .......................................................................................................... 223 BAB 9 ....................................................................................................................... 234 ANALISIS DATA BERKALA ............................................................................... 234 Arti Dan Pentingnya Analisis Data Berkala.......................................................... 235 Ciri-Ciri Dan Penggolongan Gerakan Atau Data Berkala ................................... 237 Cara Menentukan Persamaan Trend ..................................................................... 240 Metode Tangan Bebas ....................................................................................... 240 Metode Rata-Rata Semi .................................................................................... 241 Metode Rata-Rata Bergerak .............................................................................. 242 Metode Kuadrat Terkecil .................................................................................. 242 Soal Latihan .......................................................................................................... 244 BAB 10 ..................................................................................................................... 250 INDEKS MUSIMAN DAN GERAKAN SIKLIS ................................................. 250 Gerakan Musiman, Penyelesaian Data Bulanan, Dan Indeks Musiman ............... 251 Metode Rata-Rata Sederhana ............................................................................ 252
6
Metode Relatif Bersambung ............................................................................. 254 Metode Rasio Terhadap Trend .......................................................................... 261 Metode Rasio Terhadap Rata-Rata Bergerak .................................................... 266 Menghilangkan Pengaruh Musiman Dan Trend ................................................... 271 Gerakan Siklis Dan Cara Mengukurnya ............................................................... 274 Contoh Tambahan Mengenai Indeks Musiman .................................................... 277 Menemukan Ukuran Musiman Dengan Penggunaan Regresi Berganda ( Multiple Regressian ) ........................................................................................................... 284 Penerapan Data Berkala Dan Indeks Musim Untuk Peramalan............................ 290 Soal Latihan .......................................................................................................... 294 BAB 11 ..................................................................................................................... 304 ANGKA INDEKS ................................................................................................... 304 Pengertian Angka Indeks ...................................................................................... 305 Indeks Harga Relatif Sederhana Dan Agregatif .................................................... 306 Indeks Agregatif Tidak Berimbang ....................................................................... 307 Indeks Agregatif Tertimbang ................................................................................ 309 Indeks Rata-Rata Harga Relatif ............................................................................ 310 Variasi Dari Indeks Harga Tertimbang ................................................................. 312 Angka Indeks Berantai .......................................................................................... 313 Penentuan Dan Pergeseran Waktu Dasar .............................................................. 316 Pengujian Angka Indeks Dan Pendeflasian Data Berkala .................................... 321 Pendeflasian Data Berkala ................................................................................ 325 Soal Latihan .......................................................................................................... 326 BAB 12 ..................................................................................................................... 333 PROBABILITAS .................................................................................................... 333 Pengertian Probabilitas.......................................................................................... 334 Pendekatan Perhitungan Probabilitas .................................................................... 335 Konsep Pendekatan Klasik................................................................................ 335 Konsep Frekuensi Relatif .................................................................................. 336 Probabilitas Subjektif ........................................................................................ 338 Notasi / Peristiwa Dan Notasi Himpunan ............................................................. 338 Notasi Himpunan .............................................................................................. 340
7
Beberapa Aturan Dasar Probabilitas ..................................................................... 344 Aturan Penjumlahan .......................................................................................... 344 Kejadian Saling Meniadakan ........................................................................ 344 Kejadian Tidak Saling Meniadakan .............................................................. 345 Aturan Perkalian................................................................................................ 346 Kejadian Tak Bebas ( Bersyarat) .................................................................. 346 Probabilitas Kejadian Interseksi .................................................................... 349 Kejadian Bebas (Independent Event) ................................................................ 350 Probabilitas Marjinal ......................................................................................... 351 Permutasi Dan Kombinasi .................................................................................... 353 Permutasi ............................................................................................................... 354 Kombinasi ............................................................................................................. 355 Soal Latihan .......................................................................................................... 356 DAFTAR PUSTAKA…..……………………………………………………… 359
8
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan hidayah sehingga dapat menyusun buku atau bahan ajar Statistik Ekonomi. Buku ini dapat menjadi referensi dalam pembelajaran Statistik Ekonomi untuk tingkat perguruan tinggi terutama pada sarjana ekonomi atau pendidikan ekonomi. Buku ini disusun berdasarkan kurikulum KKNI sehingga telah disesuaikan dengan kompetensi kelulusan pada mata kuliah statistic ekonomi. Tanpa pertolongan Allah S.W.T (Tuhan Yang Maha Esa) penyusun tidak mungkin dapat menyelesaikan bahan ajar ini dengan baik . Bahan ajar ini dibuat dengan tujuan agar pembaca mengetahui tentang statistik dengan mendalam .Dalam penyusunan bahan ajar ini penyusun berharap mudah-mudahan makalah ini bisa bermanfaat bagi semua pembaca.dan bahan ajar ini dibuat untuk memenuhi tugas akhir semester mata kuliah STATISTIK. Dalam bahan ajar ini mungkin memiliki banyak ketidak sempurnaan , tapi kami telah melakukan yang semaksimal mungkin untuk para pembaca . Semoga bahan ajar ini dapat memberikan wawasan yang lebih kepada pembaca .Mohon kritik dan sarannya.
Medan,24 Mei 2014
Penyusun
9
BAB 1 PENDAHULUAN
Kompetensi Inti
Agar mahasiswa dapat memahami kegunaan ilmu statistik
Kompetensi Dasar
Menjelaskan arti dari statistik
Menjelaskan kegunaan ilmu statistik
Mengetahui kebutuhan terhadap statistik
Menjelaskan metodologi pemecahan masalah secara statistik
Menjelaskan syarat data yang baik dan pembagian data
Menjelaskan peranan statistik bagi lembaga bisnis dan pemerintahan
Menjelaskan peran computer dalam statistik
10
Arti dan Kegunaan Data Data adalah keterangan mengenai sesuatu yang dibuat dalam bentuk angkaangka (bilangan) atau dalam bukan angka-angka. Data berbentuk bilangan dinamakan data kuantitatif, sedangkan data berbentuk bukan bilangan dinamakan data kualitatif. Menurut Webster’s New World Dictionary, data berarti sesuatu yang diketahui atau dianggap. Dengan demikian, data dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Data tentang sesuatu biasanya dikaitkan dengan tempat dan waktu. Kegunaan data pada dasarnya adalah untuk membuat keputusan oleh para pembuat keputusan (decision makers). Pihak yang membuat keputusan disebut decision makers. Namun dalam prakteknya, decision makers biasanya adalah pimpinan. Data dapat berguna, bila dikaitkan dengan masalah manajemen, sebagai : a) Dasar suatu perencanaan, agar perencanaan sesuai dengan kemampuan yang ada, sehingga dapat mencegah perencanaan yang ambisius dan susah dilaksanakan. b) Alat pengendalian, terhadap pelaksanaan atau implementasi perencanaan tersebut agar bisa diketahui dengan segera kesalahan atau penyimpangan yang terjadi sehingga dapat segera dilakukan perbaikan atau koreksi. c) Dasar evaluasi hasil kerja akhir, diharapkan hasil kerja dapat mencapai apa yang menjadi target, jika target tidak tercapai, faktor apa yang mennyebabkannya. Untuk mendapatkan data yang baik dan akurat, maka para ahli statistik biasanya mengambil sampel dari sebuah populasi. Sampel adalah suatu bagian dari populasi yang menjadi perhatian, sedangkan Populasi adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian dengan ciri mempunyai karakteristik yang sama. Populasi selalu memiliki sifat-sifat yang serupa. Populasi sering diartikan
11
kesatuan persoalan secara menyeluruh yang sudah ditentukan batasnya secara. sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi yang dianggap mewakili populasi atau karakteristiknya populasinya. Beberapa macam populasi didasarkan pada jumlah anggotanya adalah sebagai berikut:
a.
Populasi berhingga Populasi berhingga adalah sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai
kajian yang jumlahnya tertentu. Contoh: Populasi mahasiswa fakultas ekonomi, jumlah kendaraan bermotor dari merk tertentu yang beredar di jalan, jumlah siswa kelas III dari suatu Sekolah Dasar, dan lain sebagainya.
b. Populasi tak berhingga Populasi tak berhingga adalah sekumpulan objek yang akan diteliti berjumlah tidak terhingga banyak. Contoh: Populasi amoeba dalam suatu parit, jumlah pelanggan supermarket, jumlah partikel di udara, dan lain-lain. Sedangkan ukuran yang dipakai dalam populasi dan sampel adalah :
Ukuran Populasi : Banyaknya anggota yang ada dalam sebuah populasi, dan dilambangkan dengan N.
Ukuran Sampel : Banyaknya anggota yang ada dalam sebuah sampel, dan dilambangkan dengan n.
Macam-macam pengumpulan data ada tiga, yaitu :
Sampel Acak (Random Sample) Sampel yang dipilih berdasarkan peluang tertentu.
Sampling
12
Proses dari penyeleksian suatu jumlah elemen populasi menjadi anggota sampel.
Sensus Cara pengumpulan data kalau seluruh elemen diteliti satu per satu. Ada beberapa alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan, diantaranya :
banyaknya populasi yang terhingga tapi tersebar dan sulit dijangkau, banyaknya petugas sensus yang harus dikerahkan, serta efisienkah atau sebandingkah waktu dan biaya yang telah dikeluarkan dengan hasil yang diperoleh, serta beberapa alasan lainnya.
Kebutuhan Terhadap Statistik Dalam kehidupan sehari-hari, merupakan suatu fakta bahwa kita membutuhkan statistik untuk membantu dalam (1) menjabarkan dan memahami suatu hubungan, (2) mengambil keputusan yang lebih baik, dan (3) menangani perubahan. Penjabaran Hubungan Antarvariabel Jumlah data kuantitatif yang dikumpulkan, diolah, dan disajikan kepada umum serta para pengambil keputusan dalam organisasi untuk tujuan tertentu telah mengikat dengan sangat cepat. Oleh karena itu, diperlukan suatu kemampuan untuk menyaring jumlah yang begitu besar agar kita dapat mengidentifikasi dan menjabarkan hubungan antar variabel. Alat Bantu Dalam Mengambil Keputusan Seorang administrator dapat menggunakan statistik sebagai alat bantu untuk menghasilkan keputusan yang lebih baik dalam kondisi ketidakpastian. Sebagai contoh, misalkan manajer Perusahaan Kosmetika “Selalu Cakep”, Suryono, mengiklankan bahwa 90 persen konsumen puas dengan produksi perusahaannya. Jika Ibu Aminah, seorang aktivis politik, merasa bahwa pernyataan ini berlebihan dan perlu ditindak secara hukum, ia dapat
13
menggunakan teknik penyimpulan statistik apakah akan mengajukan tuntutan terhadap Pak Suryono atau tidak.
Menangani Perubahan Merencanakan adalah memutuskan serangkaian tindakan yang akan dilakukan pada masa mendatang oleh karena itu, perencanaan dan keputusan didasari oleh perkiraan tentang kejadian atau hubungan yang akan terjadi di masa mendatang. Namun prosedur statistik jelas tidak akan dapat meramalkan masa depan dengan tepat tanpa ada kesalahan.
Metodologi Pemecahan Masalah secara Statistik Langkah-langkah dasar dalam pemecahan masalah secara statistik adalah : 1. Mengidentifikasi masalah atau peluang. Manajer atau staf pertama-tama harus memahami dan mengidentifikasi masalah atau peluang yang dihadapi secara tepat. Informasi kuantitatif yang bermanfaat dalam hal ini mencakup data yang menggariskan sifat dan luas permasalahan. 2. Mengumpulkan fakta yang tersedia. Data yang dikumpulkan harus benar, tepat waktu , selengkap mungkin dan relevan terhadap masalah yang ditelaah. Sumber data dapat diklasifikasikan kedalam kategori eksternal dan internal. 3. Mengumpulkan data orisinil yang baru. Dalam banyak hal data yang diperlukan oleh analisis tidak tersedia dari sumber-sumber lain, sehingga tidak ada alternatif bagi analis kecuali mngumpulkan sendiri. 4. Mengklasifikasikan dan mengikhtisar data. Setelah data dikumpulkan, langkah selanjutnya adalah mengorganisasikan data untuk tujuan penelaahan. Identifikasi jenis data dengan karakteristik serupa dan mengaturnya kedalam kelompok atau kelas, disebut klasifikasi. 5. Menyajikan data. Ikhtisar informasi yang penting dalam bentuk tabel, grafik dan ukuran kuantitatif menyediakan sarana pemahaman masalah, membantu mengidentifikasikan
hubungan-hubungan,
dan
membantu
para
analis
14
menyajikan serta mengkomunikasikan butir-butir penting kepada pihak-pihak yang berkepentingan. 6. Menganalisis
data.
Pihak
yang
memecahkan
masalah
harus
menginterpretasikan hasil dari langkah-langkah sebelumnya, menggunakan ukuran deskriptif yang telah dihitung sebagai dasar untuk menarik kesimpulan secara statistik yang mungkin bernilai, dan menggunakan alat bantu statistik yang mungkin dapat membantu mencari kemungkinan rangkaian tindakan paling menarik.
Syarat Data yang baik dan Pembagian Data Data yang salah, apabila digunakan sebagai dasar bagi pembuatan keputusan, akan menghasilkan keputusan yang salah. Persyaratan data yang baik, antara lain : Objektif. Data yang objektif berarti bahwa data harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya (as it is). Representatif (mewakili). Data harus mewakili objek yang diamati. Kesalahan sampling (sampling eror) kecil. Suatu perkiraan (estimate) dikatakan baik (memiliki tingkat ketelitian yang tinggi) apabila kesalahan samplingnya kecil. Tepat waktu. Apabila data akan dipergunakan untuk melakukan pengendalian atau evaluasi, maka syarat ini penting sekali agar sempat dilakukan penyesuaian atau koreksi. Relevan. Data yang dikumpulkan harus ada hubungannya dengan masalah yang akan dipecahkan. Data dapat dikelompokkan, antara lain, menurut sifatnya, sumber, cara memperoleh dan waktu pengumpulan. Data menurut sifatnya. Data menurut sifatnya dibedakan antara data kuantitatif dan data kualitatif. Contoh: data jumlah penduduk, jumlah pendapatan nasional, dan lain sebagainya. Data kuantitatif adalah data yang dinyatakan dalam bentuk angka, sedangkan data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka. .
15
Contoh: data jenis kelamin penduduk, tingkat pendidikan dan sebagainya. Data jenis ini harus diubah terlebih dahulu menjadi data kuantitatif sebelum diolah. Data menurut sumbernya. Data menurut sumbernya mengacu kepada sumber perolehan data, yakni eksternal dan internal. Data internal adalah data yang bersumber dari keadaan atau kegiatan suatu organisasi atau kelompok. Data eksternal adalah data yang bersumber dari luar suatu organisasi. Data menurut cara memperolehnya. Dapat dibedakan antara data primer dan data sekunder. Data primer adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perorangan langsung dari objeknya. Data sekunder adalah data yang diperoleh dalam bentuk jadi dan telah diolah sendiri oleh pihak lain, yang biasanya dalam bentuk publikasi. Data menurut waktu pengumpulannya. Data dapat dibedakan menjadi data cross section dan data berkala (times series). Data cross section adalah data yang dikumpulkan dalam suatu periode tertentu, sedangkan data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Tujuannya adalah untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu.
Defenisi Statistik Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan, perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan yang diantaranya dinyatakan dengan angka-angka. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisisan yang dilakukan.
16
Beberapa pakar statistik telah memberikan pengertian tentang statistik, antara lain Sudjana (1992) menyatakan statistik adalah kumpulan fakta yang umumnya berbentuk angka yang disusun dalam tabel, dan atau diagram, yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan. Abadio, dkk (2005) statistik dalam praktek menyangkut beberapa ”rumus” untuk perhitungan secara numerik dan beberapa rumus itu ada yang sederhana tetapi adapula yang sangat kompleks. Kata statistik juga mengandung pengertian lain, yakni dipakai untuk menyatakan ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mngenai suatu hal. Ukuran ini didapat berdasarkan perhitungan (menggunakan rumus tertentu) dari sekumpulan data tentang persoalan tersebut. Ukuran tersebut dapat dinyatakan dalam persen, rata-rata, median, modus dan lain sebagainya. Sebetulnya banyak sekali definisi tentang statistic, tetapi tak ada definisi yang memuaskan. Hal ini disebabkan karena luasnya ruang lingkup statistik. Untuk keperluan praktis, statistik bisa diartikan secara sempit dan luas. Dalam arti sempit, statistik berarti data ringkasan berbentuk angka (kuantitatif). Statistik penduduk, misalnya, adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk, statisti personalia, dan sebagainya. Dalam arti luas, statistik berarti suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian
dan
analisis
data
serta
cara
pengambilan
kesimpulan
dengan
memperhitungkan unsur ketidak pastian berdasarkan konsep probabilitas. Pengertian ini merujuk pada istilah statistics yang biasanya diterjemahkan dengan istilah statistika. Definisi ini menekankan kepada urutan kegiatan dalam memperoleh data sampai data itu berguna untuk dasar pembuatan keputusan. Jadi, apabila seseorang memerlukan datauntuk dasar pengambilan keputusan, maka data tersebut harus dikumpulkan, diolah, disajikan dan dianalisis, kemudian diambil kesimpulannya. Yang perlu ditekankan disini adalah bahwa metode pengumpulan data secara statistik haruslah efisien, maksudnya agar dapat menghemat tenaga, biaya, dan
17
waktu,dan bisa diperoleh dengan tingkat ketelitian yang tinggi. Statistik dapat digunakan manakala telah tersedia data sebagai bahan dasar perhitungan dan analisisnya. Data dalam konteks statistik adalah data kuantitatif.
Peranan Statistik Peranan statistik dalam kehidupan sehari hari, pemerintah, penelitian atau riset sangat besar manfaatnya. Dalam kehidupan sehari-hari misalnya sering kita baca di surat kabar pernyataan tentang persentase pengangguran di indonesia, jumlah kecelakaan lalu lintas, grafik nilai tukar dollar dgn rupiah, dll. Statistik menyediakan tehnik/tatacara tentang:
Pencatatan data secara eksak
Membantu agar bekerja dengan tata-pikir definitif dan sistematis
Menyajikan data agar ringkas dan mudah difahami
Memudahkan analisis data kuantitatif yang kompleks dan rumit
Penarikan kesimpulan atas data dari hasil penelitian
Meramalkan kecenderungan peristiwa yang akan terjadi
Arti dan Manfaat Data bagi Manajemen Peranan data untuk keperluan manajemen, yaitu sebagai dasar perumusan perencanaan, alat kontrol, dan dasar evaluasi hasil kerja. Didalam setiap perencanaan diperlukan data masa lampau, sekarang dan masa yang akan datang sebagai ramalan. Data diperlukan dalam perumusan perencanaan agar sesuai dengan kemampuan yang ada. Suatu perencanaan yang tidak sesuai dengan kemampuan merupakan perencanaan yang ambisius dan sukar untuk dilaksanakan. Data hasil ramalan akan memberikan gambaran mengenai sesuatu di masa yang akan datang termasuk gambaran mengenai kemampuan. Secara ringkas data itu berguna untuk
18
mengetahui permasalahan dan untuk membuat keputusan dalam memecahkan masalah. Kegunaan Data bagi Pemerintah Daerah Didalam dunia pemerintahan, statistik digunakan untuk menilai hasil pembangunan masa lalu dan juga untuk membuat rencana masa depan. Pemerintah mngambil manfaat dari kegunaan statistik untuk melakukan tindakan yang perlu dalam menjalankan tugasnya, misalnya, dalam hal pendapatan penduduk, lebih dari dua pertiga penduduk indonesia yang tinggal di daerah pedesaaan berpendapatan rendah apabila dibandingkan dengan mereka yang tinggal di daerah perkotaan. Untuk mengatasi hal tersebut, pemerintah daerah harus memanajemen penduduk yang berpendapatan rendah tersebut dengan memusatkan diri pada mereka, maka ikhtisar utamanya adalah memenuhi kebutuhan pokok penduduk dan mengusahakan agar jumlah penduduk dapat dikurangi dan dalam waktu tertentusudah dapat ditiadakan. Maka pemerintah harus mengumpulkan data dari waktu ke waktu yang dapat menggambarkan perkembangan tersedianya sumber yang diperlukan sekaligus digunakan untuk mengetahui arah perkembangan dari masing-masing sumber. Hal ini akan memudahkan dalam penyusunan strategi pembangunan serta penentuan prioritas.
Berbagai Macam Data untuk Pembangunan Daerah Data untuk keperluan pembangunan daerah antara lain sebagai berikut : 1. Data sumber daya 2. Data pertanian 3. Data peternakan 4. Data kehutanan 5. Data perikanan 6. Data industri dan kegiatan non-pertanian lainnya 7. Data tenaga kerja 8. Data pendidikan
19
9. Data kesehatan 10. Data keluarga berencana 11. Data perumahan 12. Data pendapatan wilayah 13. Tabel input-output daerah
Peran Komputer dalam Statistik Pada kenyataannya, komputer dapat secara efisien digunakan pada setiap operasi pengolahan yang memiliki satu atau lebih karakteristik berikut: 1. Jumlah masukan (input) yang besar. Semakin besar jumlah data yang akan diolah, maka akan semakin ekonomis pengolahannya dibandingkan metode lain. 2. Proyek yang repetitif. 3. Diinginkan dan diperlukan kecepatan tinggi dalam pengolahan. 4. Diinginkan dan diperlukan ketepatan tinggi dalam pengolahan. 5. Mengolah hal-hal kompleks yang memerlukan bantuan elektronik. Ada banyak sekali teknik statistik
yang memerlukan peran komputer
didalamnya, terutama data yang berukuran besar, yang memerlukan ketepatan dan kecepatan. Beberapa paket program statistik seperti minitab, SAS, SPSS dan SYSTAF yang tersedia secara luas. Paket-paket program tersebut dapat digunakan untuk mengolah data yang kecil maupun data yang berukuran besar.
Pembagian Statistika, Istilah-istilah Statistika Statistika dapat dibagi menjadi dua yaitu statistika matematis atau statistika teoritis dan statistika terapan atau statistika aplikasi. 1. Statistika Teoritis (matematis)
20
Statistika teoritis adalah statistika yang dipelajari secara mendalam, mendasar, dan secara teoritis. Dalam mempelajari statistika teoritis, diperlukan adanya kemampuan matematika yang sangat dalam dan kuat. Hal ini dikarenakan bahasan statistika teoritis adalah penurunan sifat-sifat, dalildalil, rumus-rumus, menciptakan model-model yang secara teoritis dan matematis, misalnya rumus rata-rata, model regresi linear sederhana dan sebagainya. 2. Statistika Terapan (Aplikasi) Dalam mempelajari statistika terapan, tidak diperlukan kemampuan matematika yang kuat, karena bahasan statistika terapan hanya mempelajari teknik penggunaan statistika untuk penelitian atau kepentingan yang lainnya.. Apa yang telah diciptakan oleh statistika teoritik, berupa aturan-aturan, rumus-rumus, sifat-sifat dan sebagainya dipelajari dan digunakan sesuai dengan kebutuhan diberbagai bidang pengetahuan. Oleh karena itu bahasan disini tidak mempersoalkan bagaimana diperoleh rumus-rumus atau aturanaturan, melainkan hanya bagaimana cara menggunakan rumus-rumus atau aturan-aturan statistika dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Dengan demikian maka statistika terapan digunakan diberbagai bidang ilmu, baik ilmu alam maupun ilmu sosial. Di bidang ilmu alam dikenal fisika statistik, di bidang ilmu teknik dikenal dengan nama stokastik, dan bidang ilmu pertanian banyak menggunakan statistika. Dibidang ilmu sosial, statistika digunakan diberbagai bidang ilmu seperti; a. Psikologi b. Pendidikan c. Ekonomi d. Sosiologi e. Manajemen f. Linguistik g. Kesehatan masyarakat
21
Jenis-jenis Statistik Jenis-jenis statistik ditinjau dari segi pengolahan data, yaitu : a. Statistik Deskriptif Statistika deskriptif dapat disebut juga sebagai statistika deduktif atau statistika sederhana. Staistika deskriptif adalah statistika yang tingkat pengerjaanya mencakup cara-cara menghitung, menyusun atau mengatur, mengolah, menyajikan data agar dapat memberikan gambaran yang ringkas mengenai suatu keadaan, seperti teknik umum mencari rata-rata, median, modus,
kuartil
dan
lain
sebagainya.Statistik
deskriptif
membatasi
generalisasinya pada kelompok individu yang di observasi. Tidak ada kesimpulan yang diperluas/digeneralisasi, sehingga tidak berlaku bagi kelompok lain.
Ukuran Lokasi: mode, mean, median, dll
Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll
Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks
b. Statistik Inferensial (Induktif) Statistik inferensial selalu melibatkan proses sampling dan memilih sekelompok kecil yang diasumsikan berhubungan dengan kelompok besar tempat ditariknya kelompok sampel itu. Sedangkan kelompok besar yang menjadi asal dinamakan populasi. Penarikan kesimpulan mengenai populasi didasarkan atas hasil observasi terhadap sampel. Statistik adalah ukuran yang didasarkan atas observasi terhadap karakteristik suatu sampel yang boleh jadi digunakan untuk mengetimasi parameter, mengenalkan nilai pada populasi dari mana sampelnya dipilih.
22
Statistika inferensial adalah statistika yang berhubungan dengan analisis data untuk penarikan kesimpulan dari data. Misalnya, teknik uji hipotesa, analisis varians, teknik korelasi, regresi dan lain-lain. Sebelum dibuatnya suatu asumsi, individu-individu dipilih sedemikian rupa sehingga kelompok sampel tersebut mewakili populasinya, dengan demikian dapat dikatakan bahwa estimasi mengenai karakteritik populasinya melalui analisis atau karakteristik sampel. Pengelompokan Statistika lainnya ditinjau dari segi bentuk parameternya, antara lain: a.
Statistika Parametrik Statistik parametrik adalah statistika yang dipergunakan untuk data yang berskala interval dan rasio, sebaran data harus sama dan berdistribusi normal.
Menggunakan asumsi mengenai populasi
Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan level data interval atau rasio
b. Statistika Nonparametrik (distribution-free statistics for use with nominal / ordinal data) Skala Nonparametrik adalah statistika yang dipergunakan apabila kita mengabaikan sebaran normal, statistika untuk data kualitatif dan statistika yang bebas sebaran.
Menggunakan lebih sedikit asumsi mengenai populasi (atau bahkan tidak ada sama sekali)
Membutuhkan data dengan level serendahrendahnya ordinal (ada beberapa metode untuk nominal)
Berdasarkan variabel terikat yang dianalisis, maka statistika dibedakan menjadi statistika univariat dan multivariat.
23
Statistika univariat adalah teknik statistika yang dalam analisisnya hanya melibatkan satu variabel terikat terlepas dari berapapun banyak variabel bebasnya. Misalnya penelitian tentang hubungan motivasi belajar dengan prestasi belajar matematika di Madrasah Ibtidaiyah Suka Maju.
Sedangkan statistika multivariat adalah teknik statistika yang dalam analisis paling sedikit melibatkan dua buah variabel terikat sekaligus. Misalnya perbandingan metode demontrasi dengan metode tanya jawab ditinjau dari waktu belajar pagi dan sore pada mata pelajaran sains topik bahasan gaya geseran.
Pengelompokan statistik yang ditinjau dari segi penerapannya dibedakan penerapannya seperti : statistik sosial, statistik pendidikan, statistik ekonomi, statistik perusahaan, statistik pertanian, statistik kesehatan, dan sebagainya.
Fungsi Statistika Fungsi statistika seperti telah disinggung secara tidak langsung pada uraian sebelumnya, maka fungsi statistika perlu diulas kembali secara lebih terinci dalam berbagai bidang yaitu: 1. Penelitian ilmiah Peranan statistika dalam penelitian ilmiah adalah penyajian data yang diperoleh dari hasil pengukuran terhadap variabel terikat dan mengemukakan atau menemukan, dan menerangkan kembali keterangan-keterangan yang tersembunyi dalam angka-angka statistik. Selain itu statistika juga memiliki peranan sebagai sarana untuk melakukan analisis dan interpretasi dari data kuantitatif, sehingga diperoleh kesimpulan dari hasil penelitian ilmiah yang berupa ilmu. 2. Proses Pembelajaran
24
Peranan statistika dalam kegiatan pembelajaran disekolah yaitu membantu para guru dalam melakukan analisis butir soal-soal yang digunakan untuk mengukur hasil belajar siswa dan membantu guru untuk menghitung rata-rata kelas dan simpangan baku dalam rangak menentukan nilaidalam rapot.
3. Kehidupan sehari-hari Dalam kehidupan sehari-hari statistika memiliki peranan untuk menyediakan data, bahan-bahan atau keterangan-keterangan dari berbagai hal untuk disajikan, dianalisis dan ditafsirkan.
Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan kehidupan yang modern ini, banyak kajian-kajian yang telah dilakukan oleh para ahli terhadap statistika, hasilnya adalah bermunculan beberapa cabang ilmu baru yang merupakan gabungan dari beberapa ilmu yang telah ada dengan statistika. Salah satunya adalah pengabungan statistika dengan ilmu tertentu menghasilkan cabang ilmu baru antara lain: 1. Psikometri merupakan penggabungan statistika dan ilmu psikologi, 2. Sosiometri merupakan gabungan dari statistika dengan ilmu sosiologi, 3. Ekonometrika merupakan gabungan dari statistika dengan ilmu ekonomi.
Lambang Statistika Dalam statistika banyak lambang huruf atau abjad yang digunakan untuk memudahkan penulisan. Pada umunya huruf yang digunakan sebagai lambang biasanya huruf latin bentuk kapital dan nonkapital, dan huruf Yunanibentuk kapital dan nonkapital. Dalam penggunaanya, dapat saja terjadi huruf kapital dan huruf nonkapital yang sama mewakili besaran berbeda. Missal huruf X dan x dapat mewakili besaran yang berbeda.
25
Beberapa huruf Yunani yang digunakan dalam statistika yaitu; Nama
Kapital
kecil
Nama
Kapital
kecil
alpha
Α
α
nu
Ν
ν
beta
Β
β
xi
Ξ
ξ
gamma
Γ
γ
omicron
Ο
ο
delta
Δ
δ
pi
Π
π
epsilon
Ε
ε
rho
Ρ
ρ
zeta
Ζ
ζ
sigma
Σ
σ, ς
eta
Η
η
tau
Τ
τ
theta
Θ
θ
upsilon
Υ
υ
iota
Ι
ι
phi
Φ
φ
kappa
Κ
κ
khi
Χ
χ
lambda
Λ
λ
psi
Ψ
ψ
mu
Μ
μ
omega
Ω
ω
Jenis-jenis Skala Pengukuran
Skala pengukuran yang dapat digunakan dalam pengolahan data statistik adalah sebagai berikut:
1. Data Nominal Data nominal adalah data statistik yang cara menyusunnya atas golongan atau klasifikasi tertentu. Contoh: Jumlah mahasiswa dari segi tingkat kelas dan kelamin.
Skala nominal pada dasarnya bukan untuk mengukur, melainkan untuk membedakan secara klasifikasi.
26
Bilangan atau angka digunakan untuk mewakili klasifikasi, kategori, dan sebagainya.
Bilangan
hanya
berfungsi
sebagai
lambang
untuk
membedakan.
Simbol matematik yang digunakan adalah: = dan ≠
2. Data Ordinal Data ordinal adalah data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada urutan, kedudukan dan rangking/tingkatan data. Contoh: Pandai, kurang pandai dan tidak pandai.
Skala Ordinal digunakan untuk mengukur perbedaan kualitas atau kuantitas yang tidak dapat diketahui berapa unit selisihnya, tetapi diketahui perbedaannya bahwa yang satu lebih tinggi atau lebih rendah dari yang lainnya kualitas atau kuantitasnya
Bilangan berfungsi sebagai: (1) lambang untuk membedakan; dan (2) untuk memberikan peringkat (rank).
Simbol matematik yang digunakan: > dan <.
3. Data Interval Data interval adalah data statistik dimana terdapat jarak yang sama. Dari satu data ke data yang lain intervalnya sama. Contoh: Mahasiswa yang mendapat nilai 1 sampai 10, petani yang mempunya hasil panen antara 2 sampai 15 kwintal, dan sebagainya.
Dalam skala Interval bilangan berfungsi sebagai: (1) lambang; (2) memberikan peringkat (urutan); dan (3) memperlihatkan jarak atau interval yang bermakna.
Ciri utama skala interval adalah titik nol bukan titik nol absolut, tetapi yang dicantumkan berdasarkan perjanjian.
Simbol matematik yang digunakan: + dan -.
27
4. Data Rasio Data rasio adalah data yang tergolong dalam data kontinum tapi mempunyai ciri (syarat) tertentu. Contoh: Berat badan Paman 60 Kg, Berat badan Sagung 15 Kg. Dengan demikian, berat badan Ibu adalah 4 kali berat badan Ani.
Ciri utama skala rasio adalah titik nol-nya merupakan nol absolut.
Semua hukum aritmatik berlaku pada skala ini.
Simbol matematik yang digunakan: X dan /
Contoh: berat timbangan, jumlah orang, jumlah pohon, dsb.
Jenis Skala Pengukuran
Karakteristik
Nominal Ordinal
Mempuyai nol mutlak dan rasio antara √
Interval
Rasio
√
√
√
√
√
√
√
√
dua bilangan mempunyai arti Perbedaan bilangan mempunyai arti
Pengukuran dapat digunakan untuk membuat peringkat atau mengurutkan objek
Bilangan menunjukkan perbedaan
√
28
SOAL LATIHAN
A. Soal pilihan berganda 1. Keterangan mengenai sesuatu yang dibuat dalam bentuk angka-angka (bilangan) atau dalam bukan angka-angka adalah maksud dari …. a. Statistik b. Data c. Matematika d. Statistika 2. Untuk mendapatkan data yang baik dan akurat, maka para ahli statistik biasanya mengambil …. a. Sampel dan Populasi b. Jumlah dan Rata-rata c. Data yang sebenarnya d. Survey 3. Sebutkan macam-macam dari pengumpulan data di statistik … a. Survey, sampel, dan populsi b. Sensus, populasi dan survey c. Sampling dan populasi d. Sampel acak, sampling dan sensus 4. Pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisisan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisisan yang dilakukan adalah pengertian dari … a. Statistika
29
b. Statistik c. Bilangan d. Populasi 5. Ditinjau dari segi pengolahan data statistic dibagi menjadi dua jenis yaitu : … a. Statistik deskriptif dan Statistik Inferensial (Induktif) b. Statistik terapan dan Statistik teoritis c. Statistik penduduk dan Statistik ekonomi d. Statistik computer dan Statistik Inferensial 6. Fungsi dari statistik adalah … a. Sebagai untuk pencari hasil sensus penduduk b. Untuk penunjang pembelajaran matematika c. Untuk penghitungan pemilu d. Penelitian ilmiah, Proses Pembelajaran, dan untuk Kehidupan seharihari 7. Penggabungan antara statistik dan ilmu ekonomi akan berubah menjadi ilmu... a. Geometrika b. Ekonometrika c. Psikometri d. Sosiometri 8. Skala pengukuran yang dapat digunakan dalam pengolahan data statistik adalah … a. Data intern, Data modus dan Data ekstern b. Data interval, Data Rasio dan Data median c. Data Ordinal, Data Rasio, Data Interval dan Data Nominal d. Data Time series, Data cross section, Data manipulasi, dan Data ekonometri 9. Data statistik yang cara menyusunnya didasarkan pada urutan, kedudukan dan rangking/tingkatan data adalah …
30
a. Data Rasio b. Data Ordinal c. Data Interval d. Data Nominal 10. Sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian dengan ciri mempunyai karakteristik yang sama adalah … a. Sample b. Sampling c. Populasi d. Populasi tak terhingga B. Soal essai 1. Data dapat berguna, bila dikaitkan dengan masalah manajemen, karena data dapat berguna sebagai … 2. Sebutkan perbedaan dari sample dan populasi … 3. Sebutkan pengertian dari populasi berhingga dan populasi tak berhingga juga sebutkan pebedaan masing-masing jenis populasi tersebut … 4. Dalam kehidupan sehari-hari kita menbutuhkan statistik untuk membantu dalam hal … 5. Apakah yang dimaksud dengan Data cross section dan Data time series dan juga sebutkan contoh datanya… 6. Sebutkan dan jelaskan langkah-langkah dasar dalam pemecahan masalah secara statistik... 7. Sebutkan persyaratan data yang baik didalam statistik … 8. Data dapat dikelompokkan antara lain, menurut sifatnya, sumber, cara memperoleh
dan
waktu
pengumpulan.
Sebutkan
dan
jelaskan
pengelompokkan data tersebut … 9. Sebutkan peranan statistik dalam kehidupan sehari-hari … 10. Sebutkan dan jelaskan Data untuk keperluan pembangunan daerah … C. Soal studi kasus
31
1. Diketahui informasi sebagai berikut : Sebuah survey dilakukan untuk melihat struktur pengangguran. Jenis pengangguran dikelompokkan menjadi 8 kelompok, yaitu Tidak/belum pernah sekolah, Belum/tidak tamat SD, SD, SLTP, SLTA Umum, SLTA Kejuruan, Diploma I,II,III/Akademi, Universitas. Data dicatat dengan kode 1 yang menyatakan tidak/belum pernah sekolah, 2 menyatakan belum/tidak tamat SD, 3 menyatakan SD, dan seterusnya. Variabelnya adalah sektor pengangguran. Apakah variabel tersebut termasuk kualitatif atau kuantitatif dari data diatas.
2. Diketahui informasi sebagai berikut: Sebuah biro perjalanan Raja Ampat di Papua mengumpulkan data tentang wisatawan lokal maupun mancanegara yang berkunjung ke Raja Ampat di Papua tersebut. Pertanyaan berikut ditanyakan pada 10 orang penumpang sebagai sampel di pesaawat yang datang pada bulan februari 2014. a. Perjalanan ke Raja Ampat ini sudah yang ke berapa kali : 1, 2, 3, 3+ b. Alasan utama perjalanan ke Raja Ampat ini adalah : (4 kategori yaitu: liburan, konfrensi, bulan madu, mengunjungi kerabat, urusan bisnis). c. Rencana para penumpang untuk tinggal di Raja Ampat tersebut : (5 kategori yaitu : apartemen, tempat saudara, camping, hotel, dan penginapan sederhana). d. Total jumlah hari tinggal di Raja Ampat. Setelah mendaptkan jawaban dari semua pertanyaan untuk 10 penumpang tersebut. Maka Anda diminta untuk menjawab pertanyaan dibawah ini : -
Sebutkan populasi yang diteliti.
-
Apakah dengan menggunakan pertanyaan atau kuesioner tadi merupakan cara yang paling efektif untuk mencari populasi para penumpang pesat yang datang.
32
-
Berikan pendapat anda atas pertanyaan diatas apah menurut anda pertanyaan tersebut merupakan akan menghasilkan data kulitatif atau data kuantitatif dan kemukakan alasan anda.
BAB 2 PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA
Kompetensi Inti
Menjelaskan tentang pengumpulan dan pengolahan data statistika
Kompetensi Dasar
Mengetahui tentang metode pengumpulan data
Mengetahui alat pengolahan data
Mengetahui cara pengolahan data
Mengetahui metode pengolahan data
33
PENGUMPULAN DATA Kualitas data yang dihasilkan oleh peneliti tergantung pada validitas dan reliabilitas instrumen atau alat pengumpul datanya. Apabila instrumennya valid dan reliabel datanya juga akan cukup valid dan reliable. Akan tetapi salah satu faktor yang tidak boleh dilupakan adalah kualifikasi dari pengambil data (pelaksana), karena meskipun instrumennya valid dan reliabel namun apabila pengambil datanya kurang/tidak memahami tentang instrumen tersebut, maka data yang diperoleh ada kemungkinan tidak akan valid dan reliabel. Sebagai contoh, beberapa alat laboratorium atau test psikologis mensyaratkan kualifikasi tertentu dari pihak pelaksana sehingga tidak dapat dilakukan oleh sembarang orang yang tidak memiliki dasar pendidikan atau pengalaman khusus tentang instrumen tersebut. Selain hal tersebut di atas langkah-langkah yang telah digariskan oleh suatu metode pengambilan data harus dilaksanakan secara tertib. Biasanya setiap alat atau metode pengambilan data dilengkapi dengan petunjuk pelaksanaannya, dan inilah yang harus dipahami oleh peneliti atau pelaksana yang ditugasi oleh si peneliti untuk mengumpulkan data.
Secara umum tujuan pengumpulan data adalah:
1. Membantu dalam setiap pengambilan keputusan yang lebih baik 2. Membantu melihat kemajuan dari kegiatan tertentu.
Pengumpulan data merupakan kegiatan yang banyak dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, seseorang akan membeli sebuah pesawat televisi baru di
34
sebuah toko. Ada dua jenis data yang dibutuhkan yaitu, harga pesawat televisi dan jumlah uang yang tersedia. Bahkan jika orang tersebut hati-hati tentu akan mengumpulkan data lain seperti, harga pesawat sejenis di took lain bahkan mungkin harga barang lain yang diperlukan yang mungkin lebih penting manfaatnya dari pesawat TV. Jadi, orang tersebut punya data-data untuk membantu dalam pengambilan keputusannya. Tujuan pengumpulan data dalam audit kinerja adalah untuk memperoleh bukti audit untuk mendukung temuan audit. Dalam proses pengumpulan dan pengolahan data pada audit kinerja dibedakan antara: bukti audit, bukti, informasi dan data. Istilah-istilah tersebut memiliki pengertian sebagai berikut:
Data adalah kumpulan bahan keterangan yang dapat berwujud angka dan tidak berwujud angka.
Informasi adalah data yang sudah diolah.
Bukti adalah segala informasi yang digunakan oleh auditor untuk menentukan apakah informasi terukur yang diauditnya memang sesuai dengan kriteria (tolok ukur) yang ditetapkan.
Bukti audit adalah bukti-bukti yang dikumpulkan auditor selama audit berlangsung untuk mendukung simpulan audit.
Simpulan audit dan rekomendasi audit sangat tergantung kepada bukti-bukti audit yang didapat. Bukti-bukti tersebut harus memenuhi sifat, kualitas dan jumlah yang memadai, agar simpulan yang dibuat berdasarkan bukti-bukti tersebut valid. Bukti yang cukup, kompeten, dan relevan harus diperoleh untuk rnenjadi dasar yang memadai bagi temuan dan simpulan auditor. Suatu catatan mengenai pekerjaan auditor harus dibuat dalam bentuk kertas kerja audit. Kertas kerja audit harus memuat informasi yang cukup untuk memungkinkan auditor memastikan bahwa dari kertas kerja audit tersebut diperoleh bukti yang mendukung simpulan dan penilaian audit. Hal tersebut disyaratkan dalam standar audit kinerja.
35
Selain itu, tujuan pengumpulan data adalah untuk mengetahui jumlah elemen dan mengetahui karakteristik dari elemen-elemen tersebut. Karakteristik adalah sifatsifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen, yaitu semua keterangan mengenai elemen. Variabel atau pengubah ialah sesuatu yang nilainya dapat berubah atau berbeda. Nilai karakteristik suatu elemen merupakan nilai variabel. Biasanya untuk menunjukkan suatu variabel digunakan huruf latin (X,Y,Z) atau Yunani dan lain sebagainya. Mengumpulkan data berarti mencatat peristiwa atau karakteristik elemen.hasil wawancara disebut dengan data mentah (row data). Sebelum melakukan pengolahan data, ada bebarapa tahap yang harus dilakukan. Sedangkan setelah analisis data yaitu suatu proses penyederhanaan data, maka dapat dilakukan interpretasi data dengan mudah. Kuesioner merupakan alat pengumpul data yang digunakan untuk survai, guna memudahkan proses selanjutnya, sebaiknya dalam kuesioner telah tersedia kolom untuk koding.
Metode Pengumpulan Data
Sensus Sensus adalah cara pengumpulan data seluruh elemen populasi diselidiki satu per satu. Sensus merupakan cara pengumpulan data yang menyeluruh. Data yang diperoleh sebagai hasil pengolahan sensus disebut data yang sebenarnya (true value) atau sering disebut parameter.. Perlu diperhatikan, bahwa sensus itu mahal biayanya yang memerlukan banyak tenaga dan waktu yang lama. Sebetulnya cara ini tidak efisien. Oleh karena itu menurut rekomendasi PBB, kepada para negara anggota, sensus penduduk cukup sekali dalam 10 tahun (Indonesia menyelenggarakan sensus penduduk pada tahun 1961,1971, 1980), sensus industri dan pertanian masing-masing cukup sekali dalam 5 tahun.
36
Sampling Sampling adalah cara pengumpulan data, kalau yang diselidiki adalah sampel dari suatu populasi. Data yang diperoleh dari hasil sampling merupakan data perkiraan (estimate value). Jadi kalau dari 1000 perusahaan akan diselidiki hanya 100 saja, maka hasil penyelidikan dari 100 perusahaan tersebut merupakan suatu perkiraan. Misalnya, perkiraan jumlah karyawan, perkiraan jumlah produksi, perkiraan jumlah modal, perkiraan rata-rata modal, perkiraan rata-rata gaji karyawan per bulan, dsb. Pada dasarnya ada dua cara sampel, yaitu cara acak (random) dan cara bukan acak (non random). Cara acak adalah suatu cara pemilihan sejumlah elemen dari anggota populasi untuk menjadi sampel, dimana pemilihannya dilakukan sedemikian rupa sehingga setiap elemen populasi mendapat kesempatan yang sama untuk dipilih untuk menjadi anggota sampel. Sedangkan, cara bukan acak adalah suatu cara pemilihan elemen-elemen dari populasi untuk menjadi anggota sampel dimana setiap elemen tidak mendapat kesempatan untuk dipilih. Terdapat beberapa jenis sampling, yaitu:
Simple random sampling, dimana setiap anggota populasi mendapat kesempatan yang sama untuk menjadi sampel.
Stratified random sampling, dimana populasi dipecah menjadi lebih kecil atau di sebut Stratum
Multistage random sampling, ialah sampling dimana pemilihan elemen anggota sampel dilakukan secara bertahap.
Cluster random sampling, dimana elemen terdiri dari elemen-elemen yang lebih kecil yang disebut klaster (area). Klaster yang dipilih elemennya akan diteliti satu persatu dan membuat perkiraan
Systematic random sampling, dimana pemilihan elemen pertama dipilih secara acak sedangkan elemen berikutnya dipilih secara sistematis.
37
Alat Pengumpulan Data Selanjutnya apabila metode pengumpulan datanya sudah ditentukan, maka kemudian ditentukan alat untk memperoleh data dari elemen-elemen yang akan diselidiki. Alat-alat atau ”device” untuk memperoleh keterangan dari elemen, antara lain :
a. Reviu Dokumen Reviu dokumen merupakan langkah awal auditor dalam tahap perolehan informasi mengenai Kinerja perusahaan yakni pada saat survai pendahuluan. Reviu dilakukan atas dokumen umum yang didapat. Hasil reviu dokumen diharapkan dapat memberikan gambaran sejauh mana suatu kondisi atau fakta dalam perusahaan memenuhi kriteria yang ada. Beberapa kriteria dapat langsung terpenuhi dengan ada atau tidaknya suatu dokumen namun ada beberapa yang hanya dapat terpenuhi melalui analisis lebih lanjut. Yang harus diperhatikan dalam penggunaan dokumen sebagai sumber data adalah keterkaitan (relevansi) dan kecukupan informasi yang terkandung dalam mendukung fakta yang dikumpulkan untuk mengukur kriteria tertentu. Auditor harus cermat dalam memilih dokumen yang dibutuhkan dan menentukan relevansinya dengan kondisi yang akan dievaluasi. Selain relevansinya, dokumen yang digunakan sebagai sumber data harus mengandung informasi yang cukup secara kualitatif maupun kuantitatif. Suatu dokumen dapat dikatakan cukup secara kuantitatif apabila jumlahnya telah mewakili populasi yang ada. Dalam menentukan kecukupan kuantitatif dan kualitatif data yang ada, auditor dapat menggunakan pendekatan statistik atau pertimbangan profesional (judgment) auditor termasuk metode yang akan dipakai. Setelah mempelajari dokumen yang ada, auditor hendaknya membuat simpulan hasil reviu yang dilakukan, yaitu mengenai: 1) Tingkat keandalan sistem pengendalian manajemen.
38
2) Kecukupan Indikator Kinerja Kunci. 3) Capaian kinerja dibandingkan dengan target maupun benchmark. 4) Bukti-bukti pendukung untuk temuan pada audit rinci.
b. Survai melalui Kuesioner Kuesioner adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara memberi seperangkat pertanyaan atau pernyataan tertulis kepada responden untuk di jawab. Metode ini banyak digunakan dalam tahap-tahap Kuesioner adalah seperangkat pertanyaan/pernyataan yang telah disusun sebelumnya. Kuesioner bertujuan mengumpulkan informasi guna menjawab kriteriakriteria yang telah ditetapkan Audit Kinerja. Hasil reviu dokumen diharapkan dapat memberikan gambaran sejauh mana suatu kondisi atau fakta dalam perusahaan memenuhi kriteria yang ada. Beberapa kriteria dapat langsung terpenuhi dari ada atau tidaknya suatu dokumen, namun ada beberapa kriteria yang hanya dapat terpenuhi melalui analisis lebih lanjut. Untuk topik yang belum/tidak terdukung oleh dokumen karena ketiadaan dokumen atau ketidakcukupan dokumen harus dilakukan teknik lain misal kuesioner, wawancara, atau observasi. Data yang di hasilkan bisa data yang kuantitatif atau kualitatif. Metode survai observasi seperti yang disebutkan sebelumnya adalah metode pengumpulan data primer yang diperoleh secara langsung dari sumber asli. Metode survai merupakan metode yang menggunakan pertanyaan lisan dan tertulis, Metode tertulis mengunakan kuesioner sebagai alat bantunya.. Kuesioner merupakan mekanisme pengumpulan data yang efisien apabila auditor mengetahui dengan tepat variabel atau data penting apa yang ingin di peroleh dan bagaimana cara mengukurnya. Namun demikian, meskipun perancangan kuesioner telah disusun dengan sangat hati-hati, jelas dan tidak bias, kurangnya pengetahuan
39
responden mengenai permasalahan yang dipertanyakan akan
sangat
berpengaruh pada hasil akhir kuesioner. Dengan memahami bahwa perancangan kuesioner merupakan hal yang kritis dalam perolehan informasi, diharapkan kesalahan dalam perancangannya dapat diminimalisir. Sehubungan dengan evaluasi Kinerja, kuesioner merupakan bagian dari metodologi evaluasi kinerja yang dipakai mulai dari penilaian SPM (berupa check list) sampai penilaian capaian kinerja. Adapun informasi yang ingin diperoleh melalui kuesioner adalah: 1) Informasi yang tidak dapat diperoleh melalui reviu dokumen ataupun observasi; 2) Pendalaman dan/atau validasi, serta uji silang dari informasi lain yang sudah diperoleh sebelumnya. Mempertimbangkan
manfaat,
kelebihan,
dan
kekurangan
dari
kuesioner, sangatlah penting untuk memperhatikan langkah-langkah dalam penyusunan kuesioner sehingga tujuan pengumpulan informasi dapat diperoleh semaksimal mungkin.
c. Wawancara Wawancara merupakan teknik pengumpulan data dalam metode survai yang menggunakan pertanyaan secara lisan kepada subjek pemeriksaan. Wawancara adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan mengajukan pertanyaan secara lisan, biasanya dilakukan jika ingin diketahui hal-hal yang lebih mendalam dari responden. Teknik wawancara dilakukan jika memerlukan komunikasi atau hubungan dengan responden. Data yang dikumpulkan umumnya berupa masalah tertentu yang bersifat kompleks, sensitif atau kontrovesial, sehingga kemungkinan jika dilakukan dengan teknik kuesioner akan kurang memperoleh tanggapan responden. Teknik wawancara dilakukan terutama untuk responden yang tidak dapat membaca dan menulis, atau pertanyaan yang memerlukan pernjelasan dari pewawancara atau memerlukan penerjemaahan. Hasil wawancara
40
selanjutnya dicatat oleh pewawancara sebagai data penelitan untuk bahan evaluasi. Teknik wawancara dapat dilakukan dengan cara tatap muka atau melalui telepon. Wawancara tatap muka dilakukan antara pewawancara yang mengajukan pertanyaan secara lisan dengan responden yang menjawab pertanyaan secara lisan. Teknik ini memungkinkan untuk mengajukan banyak pertanyaan dan memerlukan waktu lebih lama dibandingkan dengan wawancara melalui telepon. Pertanyaan peneliti dan jawabanjawaban dapat pula melalui telepon. Teknik ini dapat mengatasi kelemahan wawancara tatap muka karena dapat mengumpulkan data dari responden yang letak geografisnya terpencar dengan biaya relatif lebih murah dan diperoleh dengan waktu yang relatif lebih cepat. Jumlah tenaga pengumpul data relatif lebih sedikit dibandingkan dengan tenaga yang diperlukan dalam wawancara tatap muka. Namun kelemahan yang paling utama dari metode ini adalah masalah validitas bukti apabila responden berbohong. Data yang di hasilkan adalah data yang kualitatif.
d. Observasi Metode pengumpulan data lainnya adalah observasi, yaitu proses pencatatan pola perilaku subjek (orang), objek (benda) atau kejadian yang sistematis tanpa adanya pertanyaan atau komunikasi dengan individu sebagai narasumber. Observasi adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan melakukan pengamatan. Data yang di hasilkan adalah data yang kualitatif. Kelebihan metode ini dibandingkan dengan metode survai bahwa data yang dikumpulkan umumnya tidak terdistorsi, lebih akurat, dan menghasilkan data lebih rinci mengenai objek tertentu. Metode observasi, meskipun demikian, tidak bebas dari kesalahan-kesalahan. Pengamat kemungkinan
41
memberikan catatan tambahan yang bersifat subjektif, seperti halnya terjadinya
bias
karena
pengaruh
peran
wawancara
dalam
metode
survai.Lembaran kerja observasi setidaknya memuat informasi mengenai: 1) Teknik observasi yang digunakan 2) Hal-hal yang diobservasi dan 3) Simpulan Hasil observasi.
PENGOLAHAN DATA
Apabila telah dilakukan pengumpulan data, akan diperoleh data mentah (raw data).Data mentah adalah hasil pencatatan peristiwa atau karakteristik elemen yang dilakukan pada tahap pengumpulan data. Agar data mentah tersebut menjadi lebih berguna untuk keperluan lain, maka perlu diolah. Pengolahan data adalah mentabulasi data, menjumlahkan atau memilah-milah data menjadi data yang siap di sajikan dan kemudian di analisis sesuai dengan kebutuhan. Pengolahan data pada dasarnya merupakan suatu proses untuk memperoleh data/angka ringkasan (summary figures). Data ringkasan yang berasal dari sensus disebut dengan true value sedangkan data dari sample disebut dengan estimate value/statistik. Angka ringkasan itu misalnya jumlah (total), rata-rata (average), persentase (percentage), dsb. Data yang dikumpulkan oleh peneliti selanjutynya harus diolah dan dianalisis sehingga
akhirnya diperoleh kesimpulan. Umumnya langkah pertama dari
pengolahan data adalah menyeleksi data atas dasar relevansi data yang dihasilkan dengan permasalahan atau variabel-variabel penelitian. Data yang kurang atau tidak relevan dengan masalah penelitian dibuang atau dilengkapi, sementara yang terkait dengan permasalahan ditabulasikan dalam bentuk tabel, matriks, atau yang lainnya agar memudahkan di dalam pengolahan selanjutnya. Setelah tabel ditabulasikan, langkah berikutnya adalah menganalisis data tersebut.
Disinilah peneliti dituntut untuk memahami pola analisis yang akan
42
digunakannya, apakah analisis statistik atau non-statistik (kualitatif). Pola analisis yang harus diambil oleh peneliti sudah tentu sangat tergantung pada jenis data yang dikumpulkan dan metode serta rancangan penelitiannya. Apabila datanya bersifat kuantitatif atau yang dikuantifikasikan, yaitu dalam bentuk bilangan, maka analisis statistik dapat digunakan, sedangkan apabila datanya berupa data deskriptif maka pengolahannya dapat dilakukan melalui cara non statistik. Untuk analisis statistik, maka jenis statistik yang akan digunakan harus sesuai dengan metode dan rancangan penelitian yang telah disusunnya. Sebagai contoh, metode dan rancangan penelitian yang bersifat korelasi, dapat dilakukan uji statistik korelasional, sementara untuk metode eksperimental yang terdiri atas beberapa kelompok, uji statistiknya sangat tergantung pada kelompok eksperimen dan rancangan penelitian yang digunakan oleh peneliti. Apakah weak experiment, true experiment, atau quasy experiment. Uji statistik yang dapat digunakan mungkin uji t, anava, uji Z, dan sebagainya. Mengenai macam-macam rancangan penelitian ini, dapat dilihat kembali pada bab tentang macam-macam rancangan penelitian. Paling tidak ada dua hal yang perlu dilakukan ketika melakukan pengolahan data:
Entry data, atau memasukan data dalam proses tabulasi.
Melakukan editing ulang terhadap data yang telah ditabulasi untuk mencegah terjadinya kekeliruan memasukan data, atau kesalahan penempatan dalam kolom maupun baris tabel.
Pendekatan Pengolahan Data
Pendekatan yang dilakukan dalam pengolahan data dalam modul ini adalah pendekatan kuantitatif terutama untuk data yang diperoleh dari hasil survei. Analisis data kuantitatif dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan statistik tergantung pada tujuannya. Bila tujuan analisis hanya bersifat eksploratif dan deskriptif, maka
43
teknik statistiknya pun cukup dengan statistik deskriptif. Sedangkan bila tujuan analisis adalah untuk melihat hubungan dan atau perbedaan antar variabel, atau membuat prediksi, maka teknik statistik yang dibutuhkan adalah statistik inferensial. Dikaitkan dengan tahapan dalam audit kinerja sektor publik maka teknik statistik yang sesuai adalah statistik deskriptif, yaitu menentukan tingkat keandalan pengendaiian manajemen khususnya soft control, indeks kepuasan pegawai dan indeks kepuasan pelanggan.
Tahap Persiapan Dalam Pengolahan Data
Secara garis besar pengolahan atau analisis data dilakukan setelah seluruh data yang diperlukan telah terkumpul. Sebelum dilakukan analisis perlu dilakukan persiapan data untuk memudahkan proses analisis data dan interpretasi hasilnya, yaitu: pengeditan, pemberian kode dan pemrosesan data.
1. Pengeditan (Editing) Pengeditan merupakan proses pengecekan dan penyesuaian yang diperlukan terhadap data untuk memudahkan proses pemberian kode dan pemrosesan data dengan teknik statistik. Data yang diperoleh dari hasil survai atau observasi perlu diedit dari kemungkinan kekeliruan dalam proses pencatatan yang dilakukan oleh pengumpul data, serta dari pengisian kuesioner yang tidak lengkap atau tidak konsisten. Tujuan pengeditan data adalah untuk menjamin kelengkapan, konsistensi dan kesiapan data dalam proses analisis. Proses pengeditan dapat dilakukan di lapangan (field editing) sesaat setelah melakukan pengecekan terhadap isian kuesioner. Pengeditan dapat juga dilakukan di tempat pemrosesan data (in house editing) setelah beberapa atau semua data terkumpul, misalnya karena field editing sulit dilakukan. Prosedur pengeditan akan memudahkan proses pemberian kode dan data entry.
44
2. Pemberian Kode (Coding) Pemberian kode merupakan proses identifikasi dan klasifikasi data ke dalam skor numerik. Proses pemberian kode (coding) ini diperlukan terutama untuk data yang dapat diklasifikasikan, misal: jawaban dari tipe pertanyaan tertutup (close-ended questions) yang tidak memberikan alternatif kepada responden selain pilihan jawaban yang tersedia. Pemberian kode pada jawaban dari tipe pertanyaan terbuka (openended questions) relatif lebih sulit karena memerlukan judgement dalam menginterpretasikan jawaban responden. Tujuan pemberian kode pada tipe pertanyaan terbuka adalah untuk mengurangi variasi jawaban responden menjadi beberapa kategori umum sehingga dapat diberi skor numerik. Teknis pemberian kode dapat dilakukan sebelum atau setelah pengisian kuesioner. Proses pemberian kode akan memudahkan dan meningkatkan efisiensi proses data entry ke dalam komputer.
3. Pemrosesan Data (Data Processing) Setelah kedua tahap di atas dilaksanakan, maka data siap untuk diolah atau dianalisis. Analisis yang sesuai dengan tahapan audit kinerja sektor publik adalah analisis statistik deskriptif. Berikut akan dibahas secara rinci teknik analisis tersebut.
a. Definisi Statistik
deskriptif
pada
dasarnya
merupakan
proses
transformasi data dalam bentuk tabulasi\ sehingga mudah dipahami dan diinterpretasikan. Tabulasi menyajikan ringkasan, pengaturan atau penyusunan data dalam bentuk tabel numerik dan grafik. Ukuran yang digunakan dalam deskripsi antara lain berupa: frekuensi, tendensi
45
sentral (rata-rata, median, modus), dan dispersi (deviasi standar dan varian). b. Tujuan Analisis Statistik Deskriptif Analisis statistik deskriptif bertujuan untuk melihat data secara apa adanya untuk memperoleh gambaran umum mengenai variabelvariabel yang diukur pada sampel.
c. Jenis-jenis Analisis Deskriptif Analisis statistik deskriptif yang umum dilakukan diantaranya adalah: 1) Analisis potret data (frekuensi dan persentase). 2) Analisis kecenderungan sentral data (nilai rata-rata, median, dan modus). 3) Analisis sebaran data (range/kisaran dan simpangan baku atau varian).
Tahap Audit Kinerja Pada Pengolahan Data
Pengolahan data dalam tahapan audit kinerja adalah sebagai berikut:
a. Tahap Diagnosis Pengendalian Manajemen Pada tahap ini, auditor menilai tingkat keandalan pengendalian manajemen. Sesuai pedoman audit kinerja, auditor diharapkan menetapkan skor dengan skala 1 sampai dengan 5. Skor 1 berarti sistem pengendalian manajemen dinilai sangat lemah, dan skor 5 berarti sangat kuat. Skor tingkat keandalan pengendalian manajemen diperoleh dari hasil reviu dokumen, observasi dan penyebaran kuesioner sesuai dengan teknik yang ditetapkan. Untuk menetapkan skor hasil kuesioner dilakukan dengan teknik statistik deskriptif melalui penghitungan nilai mean (rata-rata) terhadap skor yang
46
diberikan
responden
atas
jawaban
kuesioner
yang
valid.
Dengan
menggunakan program SPSS dapat diperoleh hasil yang lebih akurat. Hasil pengukuran ini merupakan skor pengendalian manajemen dari metode penyebaran kuesioner. Skor lainnya ditetapkan dari metode reviu dokumen dan observasi. Skor
ini
ditetapkan
berdasarkan
pertimbangan
profesional
auditor
(professionaljudgement) serta didukung bukti yang cukup. Ketiga skor tersebut kemudian dihitung rata-ratanya untuk ditetapkan sebagai skor pengendalian manajemen keseluruhan. b. Tahap Penilaian IKK dan Capaian Kinerja Pada tahap ini dilakukan penilaian terhadap IKK dan capaian kinerja. Teknik yang biasanya digunakan dalam tahap ini pada umumnya adalah reviu dokumen dan survai untuk mengukur indikator tingkat kepuasan pegawai atau pelanggan. Khusus untuk menetapkan indeks kepuasan pegawai ataupun pelanggan dilakukan dengan cara menghitung mean (rata-rata) hasil penilaian responden yang tercakup dalam kuesioner. Teknik statistik yang dapat digunakan adalah statistik deskriptif. Program komputer yang dapat digunakan untuk membantu hal ini antara lain SPSS.
c. Tahap Audit Rinci Pada tahap ini dilakukan pengujian rinci terhadap bukti awal yang diperoleh dari hasil tahap sebelumnya. Pengolahan data yang dilakukan dalam tahap ini pada umumnya adalah reviu dokumen dan observasi. Jika diperlukan dapat dilakukan survai. Analisis yang digunakan sama dengan tahapan audit sebelumnya.
47
Metode Pengolahan Data
Untuk menentukan metode pengolahan data yang lebih baik, jawabannya tergantung pada seberapa besar ukuran datanya. Jika hasil observasi yang dikumpulkan jimlahnya sedikit, maka dapat dilakukan pengolahan secara manual. Akan tetapi, jika jumlah observasi sangat besar, maka pengolahan data secara elektronik (dengan komputer) merupakan cara yang efektif. Secara umum, metode pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pengolahan data secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara electronik (electronical data processing)
Pengolahan Data secara Manual
Pengolahan data secara manual umumnya dilakukan untuk jumlah observasi yang tidak terlalu banyak. Pengolahan secara manual biasanya memerlukan waktu yang sangat lama, karena harus meneliti satu per satu dari setiap observasi. Metode pengolahan ini dapat dijumpai pada pemilu yang telah dilaksanakan. Dalam rangka mengetahui jumlah suara maka setiap suara harus dihitung menurut partai masing-masing. Dari peristiwa tersebut, dapat dibayangkan betapa lamanya pengolahan data dengan metode secara manual. Meskipun demikian, dalam keadaan tertentu seperti pemilu, pengolahan secara manual harus dilakukan.
Pengolahan Data Secara Elektronik Perkembangan ilmu pengetahuan dibidang komputer sangat membantu kegiatan statistik khususnya pengolahan data. Dengan bantuan komputer, pengolahan data dimana masing-masing individu dirinci menurut beberapa karakteristik dapat dilakukan dengan mudah dan cepat. Jika pada pengolahan secrara manual
48
kemungkinan terjadi kesalahan adalah sangat besar, maka dalam pengolahan secara elektronik kesalahan tersebut dapat diminimalisasi. Setelah data hasil penelitian dimasukkan ke komputer dalam bentuk file data, maka data tersebut dapat diolah dan diedit lebih lanjut untuk mengetahui jumlah, presentase serta ukuran statistik lainnya sesuai sengan fasilitas yang ada pada komputer. Proses analisis data kuantitatif dapat dengan mudah dilakukan bila menggunakan program-program komputer yang telah dirancang khusus untuk keperluan analisis data. Salah satu contoh program komputer yang banyak digunakan untuk analisis data kuantitatif pada penelitian-penelitian ilmu social adalah Statistical Package for Social Sciences (SPSS). Program ini mempunyai kemampuan untuk melakukan analisis statistik dari yang paling sederhana seperti melihat kecenderungan sentral data hingga yang paling kompleks. Program lain yang bisa digunakan antara lain: Oracle, Microsoft Access, Foxpro Database, Dbase, dll. Dengan bantuan program komputer, proses persiapan dan analisis data dapat dilakukan dengan cepat dan efisien serta hasilnya lebih akurat.
49
SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Cara pengumpulan data seluruh elemen populasi diselidiki satu per satu adalah pengertian dari … a. Populasi b. Sensus c. Sampel d. Statistika 2. Cara pengumpulan data apabila yang diselidiki adalah elemen sampel dari suatu populasi adalah … a. Sampling b. Statistik c. Data berkala d. Data cross section 3. Alat-alat atau ”device” untuk memperoleh keterangan dari elemen, antara lain … a. Sensus dan sampling b. Computer dan dokumen c. Data time series dan data cross section d. Reviu Dokumen, Wawancara, Observasi dan Survey melalui Kuesioner 4. Salah satu hal yang harus dilakukan dalam statistik adalah … a. Pengumpulan data b. Pencurian data c. Manipulasi data d. Korupsi data 5. Unit yang paling terkecil di dalam setiap data adalah… a. Variabel b. Sampel
50
c. Parameter d. Elemen 6. Didalam alat pengumpulan data ada teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan mengajukan pertanyaan secara lisan, biasanya dilakukan jika ingin diketahui hal-hal yang lebih mendalam dari responden adalah yaitu … a. Wawancara b. Observasi c. Penelitian d. Pengambilan sampel 7. Pendekatan yang dilakukan dalam pengolahan data dalam modul ini adalah pendekatan kuantitatif terutama untuk data yang diperoleh dari hasil … a. Pencurian b. Pengambilan secara acak c. Survey d. Sensus 8. Proses pengecekan dan penyesuaian yang diperlukan terhadap data untuk memudahkan proses pemberian kode dan pemrosesan data dengan teknik statistik di dalam pengolahan data di statisti adalah proses … a. Pengeditan b. Penilaian c. Pengambilan d. Pemberian kode 9. Analisis statistik deskriptif yang umum dilakukan diantaranya adalah … a. Analisis kecenderungan sentral data dan Analisis potret data b. Analisis pengumpulan data dan Analisis pengolahan data c. Analisis internal dan Analisis eksternal d. Analisis penyajian data dan Analisis pembuatan data 10. Secara umum metode pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, salah satunya yaitu …
51
a. Pengolahan data secara acak b. Pengolahan data secara berurut c. Pengolahan data melalui computer d. Pengolahan data secara manual
B. Soal essai 1. Tujuan dari pengumpulan data selain untuk mengetahui jumlah elemen juga untuk mengetahui karakteristik dari elemen-elemen data. Apakah yang dimaksud dengan karakteristik disini … 2. Nilai karakteristik dari suatu elemen adalah nilai variabel. Apakah yang dimaksud variabel dan sebutkan contohnya minimal dua … 3. Secara umum tujuan pengumpulan data 2 (dua) yaitu adalah … 4. Dalam proses pengumpulan dan pengolahan data pada audit kinerja dibedakan antara: bukti audit, bukti, informasi dan data. Sebutkan pengertian dari masing-masing proses tersebut … 5. Didalam statistik kita sudah mengenal 2 (dua) metode pengumpulan data yaitu sensus dan sampling. Sebutkan pengertian nya dan sebutkan factor pembeda dari metode tersebut … 6. Setelah mempelajari dokumen yang ada, auditor hendaknya membuat simpulan hasil reviu yang dilakukan, yaitu mengenai … 7. Sebelum dilakukan analisis perlu dilakukan tahap persiapan dalam pengolahan data untuk memudahkan proses analisis data dan interpretasi hasilnya, yaitu dengan cara pengeditan, pemberian kode dan pemrosesan data. Jelaskan pengertian dari masing-masing tahap persiapan tersebut … 8. Tahap audit kinerja pada pengolahan data adalah yaitu … 9. Secara umum, metode pengolahan data dapat dibedakan menjadi dua, yaitu pengolahan data secara manual (manual data processing) dan pengolahan data secara elektronik (electronical data processing). Dari kedua metode
52
pengolahan data tersebut jelaskan pengertiannya dan perbedaan dari setiap metode pengolahan data tersebut … 10. Dari kedua metode pengolahan data yang sudah anda jelaskan diatas tadi manakah metose yang paing efektif digunakan dan uraikan alasannya …
C. Soal studi kasus 1. Diketahui informasi sebagai berikut : Sebuah survey dilakukan oleh usaha penyewaan baju terhadap para pelanggannya, dengan mengajukan beberapa pertanyaan yang sebagai berikut : a. Berapakah baju yang anda sewa selama setahun yang lalu? b. Apakah anda termasuk pelanggan tetap yang sering menyeka baju disini ? (ya atau tidak) c. Berapakah umur anda? d. Berapakah anak anda? e. Berapakah jumlah biasanya anda menyewa baju-baju tersebut? f. Model baju seperti apakah yang sering anda sewa? g. Untuk keperluan apakah anda menyewa baju tersebut? Dari pertanyaan di atas menggunakan alat pengumpulan data mana yang paling cocok dan kelompokkan yang termasuk pertanyaan yang tertutup atau pertanyaan yang terbuka. 2.
Dari sebanyak ±100 bank di Indonesia dipilih sampel 10 bank secara acak untuk diteliti dan dilaukan pengamatan. Hasil dari penelitian dapat dilihat pada tabel berikut ini: Jumlah
Aset (triliun
Keuntungan
Karyawan
Rp)
(miliar Rp) / tahun
BNI
700
24
580
Bank Mandiri
600
20
490
Nama Bank
53
BRI
800
35
715
Bank Sumut
300
10
215
Bank Indonesia
1239
137
985
CIMB Niaga
267
4
96
May bank
158
2
58
Citibank
358
5
109
Bank Danamon
289
3,3
84
BCA
589
15
323
Dari data tabel diatas jawablah pertanyaan dibawah ini : a. Berapakah jumlah elemen didalam data pada tabel diatas? b. Berapakah jumlah karakteristik dari data di dalam tabel tersebut?
54
BAB 3 PENYAJIAN DATA
Kompetensi Inti :
Memahami mengenai penyajian sebuah data kompetensi dasar
Kompetensi Dasar :
Memahami penyajian data dengan berbagai bentuk
Mengetahui cross section data dan cara penyajiannya
Memahami data berkala dan cara penyajiannya
55
Data statistik tidak hanya cukup dikumpulkan dan diolah, tetapi juga perlu disajikan dalam bentuk yang mudah dibaca dan dimengerti oleh pengambil keputusan. Penyajian data ini bisa dalam bentuk tabel atau grafik. Karena, ada sebagian orang yang tidak suka dengan matematika, oleh sebab itu keuntungan dari penyajian data berupa table atau grafik akan lebih cepat ditangkap dan dimengerti daripada disajikan dalam bentuk kata-kata. Selain berupa angka-angka ringkasan, penyajian data juga dapat berbentuk table dan grafik. Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori misalnya; jumlah pegawai menurut pendidikan dan masa jabatan, jumlah penjualan menurut jenis barang dan harga barang, dan lain sebagainya, sehingga memudahkan dalam pembuatan analisis data. Sedangkan grafik adalah gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka (mungkin dengan symbol-simbol) yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat. Baik tabel maupun grafik bisa dipergunakan untuk menyajikan cross section data dan data berkala.
CROSS SECTION DATA Penyajian dengan Tabel Data dapat disajikan dalam bentuk tabel. Misalnya, data penjualan PT. Jaya Sakti disajikan pada tabel 2.1 berikut. TABEL 1. 1
Penjualan PT. Jaya Sakti menurut jenis barang dan daerah penjualan pada tahun 2005 (dalam satuan)
Jenis Barang
Daerah Penjualan Medan
Pekanbaru
Jakarta
Total Bandung
56
A
20
30
50
60
160
B
15
25
40
50
130
C
10
20
25
30
85
Total
45
75
115
140
375
Tabel 2.1 merupakan tabel dua arah, yaitu tabel yang menunjukkan hubungan timbal balik antara dua hal: jenis barang dan daerah penjualan. Dari tabel tersebut selain diperoleh jumlah seluruh penjualan (sebesar 375 satuan di pojok kanan bawah), juga akan diperoleh gambaran tentang perbandingan hasil penjualan antara daerah yang satu dengan daerah lainnya dan antara jenis barang yang satu dengan jenis barang lainnya. Hal tersebut akan memudahkan kita untuk melakukan analisis guna mengetahui jenis barang apa yang paling laku dan di daerah mana, yang selanjutnya dapat digunakan sebagai dasar penentuan alokasi barang-barang untuk berbagai daerah. Misalnya, berapa jumlah barang A yang harus dikirim ke medan, pekanbaru, Jakarta, dan bandung seta berapa untuk barang C, dan lain sebaginya. Hal tersebut untuk mencegah atau menghindari pengiriman jenis barang yang terlalu banyak untuk daerah yang tidak laku atau terlalu sedikit untuk daerah dimana barang tersebut sangat laku. Jadi, tabel semacam itu juga untuk kebijakan logistik.
Jumlah Mahasiswa menurut Perguruan Tinggi
TABEL 1. 2
dan Fakultas Tahun 2012 (ribuan orang)
PT PT. I
PT. II
PT. III
PT. IV
PT. V
Ekonomi
15
16
13
14
10
Hukum
12
13
12
13
9
Teknik
11
12
10
12
7
Mipa
10
11
9
10
8
Fakultas
57
FIK
9
10
8
9
5
Jumlah
57
62
52
58
39
Dari tabel 1.2 dapat dilihat bahwa pada tahun 2012 jumlah mahasiswa PT. I = 57 ribu, dengan rincian Fakultas Ekonomi 15 ribu, hukum 12 ribu, teknik 11 ribu, Mipa 10 ribu, FIK 9 ribu. Demikian juga untuk perguruan tinggi lainnya, bisa dibaca pada tabel 1.2.
Penyajian dengan Grafik Data juga bisa disajikan dalam bentuk grafik dengan menggunakan bagan batangan atau bar chart (lihat tabel 1.1). Dari tabel 1.1 secara cepat bisa dilihat bahwa di daerah penjualan di kota Bandung hampir semua jenis barang menunjukkan hasil penjualan tinggi dibandingkan dengan daerah-daerah lainnya, sedangkan di daerah Medan paling rendah hasil penjualannya untuk setiap barang.
PERAGA 1. 1
Penjualan PT. Jaya Sakti menurut jenis barang dan daerah penjualan pada tahun 2005 (dalam satuan)
58
Hasil Penjualan (dalam satuan)
70 60 50 40 A 30
B
20
C
10 0 Medan
Pekanbaru
Jakarta
Bandung
Daerah Penjualan
Jadi, jelaslah bahwa gambar lebih mudah disimpulkan dari pada tabel. Hal ini sesuai dengan pendapat yang menyatakan: “single picture is worth a thousand words.” Dalam arti luas “words” juga berarti “figures” atau angka-angka.
DATA BERKALA
Penyajian dengan Tabel
TABEL 1. 3
Perkembangan
Seluruh
Penjualan
Barang
Elektronik PT. Raja Karya menurut Jenis Barang Tahun 2005-2009.
Tahun
Jenis Barang
Jumlah
Televisi
Laptop
Kulkas
2005
90
85
50
225
2006
110
90
55
255
59
2007
115
105
60
280
2008
130
110
65
305
2009
140
120
75
335
Dari tabel 1.3 selain bisa dilihat perkembangan jumlah hasil penjualan per tahun, juga sekaligus hasil penjualan untuk setiap jenis barang.
Penyajian dengan Grafik Gambar tentang perkembangan hasil penjualan akan lebih jelas lagi jika dapat disajikan dalam bentuk grafik. Dengan menggunakan grafik, kita dengan cepat dapat melihat perkembangan hasil penjualan untuk setiap jenis barang selama tahun 2001 sampai 2005, sekaligus laju perkembangan dari masing-masing jenis barang. Apabila dilanjutkan dengan analisis yang lebih mendalam, maka bisa diketahui besarnya laju kenaikan dari masing-masing produk (rate of increase) selama periode tersebut, sehingga untuk masa yang akan datang kita dapat melihat atau meramalkan jenis produk mana yang akan meningkat dan mana yang selalu menunjukkan kecenderungan menurun, mungkin jenis barang tersebut sudah tidak laku lagi dan jika perlu dibuang untuk diganti dengan yang baru atau cukup diperbaiki mutunya saja. Hal ini hanya mungkin dilakukan jika perusahaan melakukan penelitian dan pengembangan (research & development). Dari uraian tersebut sebetulnya sudah bisa ditarik kesimpulan, bahwa penyajian data dengan tabel bisa memberikan angka-angka yang lebih rinci (hingga dua atau tiga angka dibelakang koma), tetapi tidak bisa dengan cepat diambil kesimpulannya. Sedangkan dengan grafik, kesimpulan bisa dengan cepat diambil tetapi angka-angkanya kurang rinci. Susah sekali, misalnya, menggambarkan grafik dengan mempertahankan angka sampai tiga angka dibelakang koma. Data “cross-section” dikumpulkan pada suatu waktu tertentu untuk mengetahui perbedaan (differences) sedangkan data berkala dikumpulkan dari waktu
60
ke waktu untuk mengetahui perubahan (changes). Penjelasan lebih rinci mengenai pembagian tabel dan grafik bisa dipelajari berdasarkan uraian berikut.
BENTUK TABEL Ada berbagai bentuk tabel yang dikenal, yaitu tabel satu arah, tabel dua arah, dan tabel tiga arah. Tabel satu arah Ialah tabel yang memuat keterangan mengenai satu hal atau satu karakteristik saja, misalnya :
Data personalia: jumlah personalia menurut : pendidikan, masa kerja, umur, golongan dsn lsin sebagainya.
Data peralatan: jumlah kendaraan bermotor menurut : merek, jenis, umur, harga dan lain sebagainya.
Tabel 1 .4 merupakan contoh dari tabel satu arah.
Produksi Hasil Pertanian Desa Suka Maju
TABEL 1. 4
menurut Jenis Hasil Tahun 2012 (dalam satuan Ton)
Hasil Pertanian
Banyaknya
Cabe
26.069
Tomat
3.427
Sayur Kol
10.948
Jumlah
40.444
Tabel dua arah Ialah tabel yang menunjukkan hubungan dua hal atau dua karakteristik, misalnya:
61
Data personalia, menurut masa kerja dan pendidikan, masa kerja dan golongan, agama dan pendidikan, dan lain sebagainya.
Data peralatan, menurut umur dan merek, umur dan jenis, dan lain sebagainya.
Tabel 1.5 dan 1. 6 merupakan contoh tabel dua arah.
Jumlah
TABEL 1. 5
Siswa
SMP
Negeri
1
Harapan
berdasarkan Kelas dan asal SD Tahun 2012.
Kelas
Asal Sekolah Dasar
Total
SD N.1
SD N. 2
SD N. 3
SD N. 4
Kelas VII
20
30
50
60
160
Kelas
15
25
40
50
130
Kelas IX
10
20
25
30
85
Jumlah
45
75
115
140
375
VIII
TABEL 1. 6
Jumlah Mahasiswa Universitas Negeri Medan Menurut Fakultas dan Agama Tahun 2013
Fakultas
Islam
Nasrani
Jumlah
F. Ekonomi
266
292
558
F. Mipa
72
68
140
F. Ilmu Sosial
108
88
196
F. Ilmu Keolahragaan
150
162
312
62
F. Bahasa dan Seni
55
65
120
F. Ilmu Pendidikan
273
186
459
Jumlah
924
861
1.785
Tabel tiga arah Ialah tabel yang menunjukkan tiga hal atau tiga karakteristik, misalnya:
Data personalia, menurut masa kerja, pendidikan, dan golongan; masa kerja, umur serta golongan, dan lain sebagainya.
Data peralatan, menurut umur, merek, dan jenis; jenis, merek dan unit kerja; dan lain sebagainya.
Contoh tabel tiga arah dalam tabel 1.7 Jumlah Mahasiswa Universitas Negeri Medan
TABEL 1. 6
Menurut Fakultas dan Agama Tahun 2013
TOYOTA Umur
MITSUBISHI
Sedan
Bis
Dll
Sedan
Bis
5
2
1
4
1
dll
HINO Sedan
Bis
Dll
3
1
1
Jumlah
< 1 Tahun 1 th < 2 th 2 th < 3 th 3 th < 4 th 4 th < 5 th 5 th < 6 th
18
Jumlah
Dari tabel 2.6, bisa diketahui bahwa kendaraan yang sudah berumur 5 th < 6 tahun sesuai dengan peraturan yang ada, mungkin harus diganti. Di dalam penggantiannya harus diperhatikan merek dan jenis kendaraan. Ada 18 mobil yang
63
harus diganti, diantaranya lima sedan Toyota, dua bus Toyota, dan seterusnya seperti terlihat pada tabel tersebut. Jumlah Penduduk Kecamatan Balige menurut
TABEL 1. 7
Jenjang Pendidikan, Desa dan Jenis Kelamin Tahun 2012
Jenjang Pendidik
Desa A
Desa B
Desa C Jumlah
Pria
Wanita
Pria
Wanita
Pria
Wanita
90
140
20
30
75
60
415
SD
80
120
50
40
80
65
435
SMP
85
140
30
50
90
40
435
SMA
60
100
25
45
65
35
330
Sarjana
55
120
35
55
85
45
395
370
620
160
220
395
245
-
an Tidak Ada
Jumlah
990
380
640
2010
BENTUK GRAFIK Pengajian dalam bentuk gambar dapat memudahkan pengambilan kesimpulan dengan cepat. Data berkala (time series data), yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk mengetahui perkembangan suatu hal/kegiatan, biasanya disajikan dalam bentuk grafik garis untuk memudahkan pembuatan trend. Seperti kita ketahui, trend dapat dipergunakan sebagai dasar perencanaan. Beberapa macam grafik antara lain: grafik garik (line chart), grafik batangan/balok (bar chart/histogram), grafik lingkaran (pie chart), grafik gambar (pictogram), grafik berupa peta (cartogram).
64
Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Grafik garis atau diagram garis dipakai untuk menggambarkan data berkala. Grafik garis dapat berupa grafik garis tunggal maupun grafik garis berganda.
Grafik Garis Tunggal Grafik garis tunggal (single line chart) adalah grafik yang terdiri dari satu garis untuk menggambarkan perkembangan (trend) dari suatu karakteristik.
TABEL 1. 9
Hasil Penjualan Barang oleh UD. Sinar Jaya selama bulan Januari hingga Juli 2012 (dalam jutaan rupiah)
Bulan
Hasil Penjualan
Januari
20
Februari
38
Maret
41
April
50
Mei
60
Juni
80
Juli
93
PERAGA 1. 2
Hasil Penjualan Barang oleh UD. Sinar Jaya selama bulan Januari hingga Juli 2012 (dalam jutaan rupiah)
65
Hasil Penjualan (jutaan rupiah)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Hasil Penjualan
Bulan
Jumlah Komoditas Kopra Yang Diangkut Melalui
TABEL 1. 8
Pelabuhan Belawan Dari Bulan Januari Hingga Desember 2000 ( Ton )
Tahun
Jumlah
Januari
50000
Februari
55000
Maret
60000
April
65000
Mei
60000
Juni
60000
Juli
75000
66
Agustus
80000
September
100000
Oktober
120000
November
100000
Desember
150000
Jumlah Komoditas Kopra Yang Diangkut Melalui
PERAGA 1. 2
Pelabuhan Belawan Dari Bulan Januari hingga Desember 2000 (ton)
Jumlah Komoditas Kopra (dalam ribuan)
160
Jumlah 140 120 100 80 60 40 20
Desember
November
Oktober
September
Bulan
Agustus
Juli
Juni
Mei
April
Maret
Februai
Januari
0
Grafik Garis Berganda
67
Grafik garis berganda adalah grafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal/kejadian sekaligus.
TABEL 1. 10
Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Komputer Built dan Rakitan Lokal pada PT Green Diamond.
Tahun
Komputer Bulit
Rakitan Lokal
1990
5000
2500
1991
6000
4500
1992
5000
5000
1993
5500
7000
1994
3500
6500
1995
4500
5500
1996
4500
4000
1997
5000
3500
1998
7500
6500
1999
5500
4200
2000
3000
5000
2001
4300
5200
TABEL 1. 3
Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Komputer Built dan Rakitan Lokal pada PT Green Diamond.
68
160 140
Jumlah Penjualan
120 100 80 Rakitan Lokal
60
Komputer Bulit
40 20 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Tahun
Grafik Garis Komponen Berganda Grafik garis komponen berganda merupakan grafik yang serupa dengan grafik berganda, tetapi garis yang teratas/terakhir menggambarkan jumlah dari komponenkomponen, sedangkan garis lainnya menggambarkan masing-masing komponen. TABEL 1. 11
Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Kendaraan Bermerek Mitsubishi dan Toyota oleh PT Angkasa
Tahun
Mitsubishi
Toyota
1990
1000
800
1991
1200
1200
1992
900
1500
1993
1500
1700
1994
1700
1400
1995
1400
2000
1996
1900
2300
69
PERAGA 1. 4
Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Kendaraan Bermerek Mitsubishi dan Toyota oleh PT Angkasa
4500 4000
Jumlah Penjualan
3500 3000 2500
2000
Toyota
1500
Mitsubishi
1000 500 0 1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Tahun
Grafik Garis Persentase Komponen Berganda Grafik garis persentase komponen berganda (multiple percentage component line chart) adalah sama seperti garis berganda, kecuali bahwa masing-masing nilai kompssonen dinyatakan dalam persentase, sehingga garis teratas (terakhir) merupakan garis yang menunjukkan 100%.
TABEL 1. 12
Persentase Penjualan Tiga Jenis Sepeda Motor oleh PT. Internasional selama delapan Tahun
70
Tahun
Jumlah Honda
Suzuki
Yamaha
2005
26
34
40
100
2006
23
33
44
100
2007
18
30
52
100
2008
25
36
39
100
2009
28
35
37
100
2010
30
34
36
100
2011
40
38
22
100
2012
42
36
22
100
PERAGA 1. 5
Persentase Penjualan Tiga Jenis Sepeda Motor oleh PT. Internasional selama delapan Tahun
71
100%
Persentase Penjualan
90% 80% 70% 60% 50%
Yamaha
40%
Suzuki
30%
Honda
20%
10% 0% 2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Tahun
Grafik Garis Berimbang Neto Grafik garis berimbang neto (net balanced line) adalah nilai-nilai selisih dengan garis timbangan yang dapt diberi warna yang berbeda untuk menilai selisih yang positif dan negatif.
TABEL 1. 13
Selisih Penerimaan dan Pengeluaran Dalam Neraca Pembayaran Indonesia (miliar Rp)
Tahun
Penerimaan
Pengeluaran
Selisih
2000
19218
13248
5970
2001
22158
16359
5799
2002
25675
21837
3838
2003
29142
25869
3273
2004
33967
27280
6687
2005
36823
28328
8495
72
2006
40053
31984
8069
2007
45418
40629
4789
2008
49814
42928
6886
2009
53443
59149
-5704
Selisih Penerimaan dan Pengeluaran Dalam Neraca
PERAGA 1. 6
Pembayaran Indonesia (miliar Rp)
Selisih 10000
Selisih Penerimaan-Pengeluaran
8000 6000 4000 2000 0 2000 -2000
Selisih 2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
-4000 -6000 -8000
Tahun
Grafik Batangan Tunggal
TABEL 1. 14
73
Perbandingan
Jumlah
Penduduk
Kelurahan
Sukarame Menurut Jenjang Pendidkan Tahun Bulan
Jumlah
2012
SD
1100
SMP
2000
SMA
4700
Sarjana
2200
Perbandingan Jumlah Penduduk Kelurahan PERAGA 1. 7 Sukarame Menurut Jenjang Pendidkan Tahun 2012
180
Perbandingan Jumlah Penduduk
160 140 120 100 80
Januari
60
Februari Maret
40
April
20 0 Januari
Februari
Maret
April
Tingkat Pendidikan PERAGA 1. 8
Jumlah Komoditas Kopra Yang Diangkut Melalui Pelabuhan Belawan Dari Bulan Januari hingga Desember 2000 (ton)
74
Jumlah Komoditas Kopra Dalam Ribuan
160 Jumlah 140 120
100 80 60 40 20
Desember
November
Oktober
September
Agustus
Juli
Juni
Mei
April
Maret
Februai
Januari
0
Bulan
Grafik Batangan Berganda (Multiple Bar Chart) PERAGA 1. 9
Perbandingan Jumlah Penjualan Antara Komputer Built dan Rakitan Lokal pada PT Green Diamond.
75
80
Jumlah Penjualan
70 60 50 40 Komputer Bulit 30
Rakitan Lokal
20 10 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
Tahun
Grafik Batangan Komponen Berganda (Multi-component Bar Cha Jumlah Unit Sepeda Motor Merek Honda yang
TABEL 1. 15
Terjual pada Empat Provinsi adri Januari hingga Juni 2012.
Bulan
Bali
Jakarta
Riau
Januari
5000
7000
3000
Februari
4500
6000
3500
Maret
5500
6000
4000
April
6000
10000
4500
Mei
4500
8000
6000
Juni
8000
12000
5000
76
PERAGA 1. 10
Jumlah Unit Sepeda Motor Merek Honda yang Terjual pada Empat Provinsi adri Januari hingga Juni 2012.
30000
25000
Jumlah Penjualan
20000
Riau
15000
Jakarta Bali
10000
5000
0 Januari
Februari
Maret
April
Mei
Juni
Bulan
Grafik Batangan Persentase Komponen Berganda (Multiple Percentage Component Bar Chart)
77
Persentase Penjualan Tiga Jenis Sepeda Motor oleh
PERAGA 1. 11
PT. Internasional selama delapan Tahun
100% 90% 80%
Persentase Penjualan
70% 60% Yamaha
50%
Suzuki 40%
Honda
30% 20% 10% 0% 2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Tahun
Grafik Batangan Berimbang Neto (Net Balanced Bar Chart PERAGA 1. 12
Selisih Penerimaan dan Pengeluaran Dalam Neraca Pembayaran Indonesia (miliar Rp)
78
Selisih 10000
8000
Selisih Penerimaaan dan Pengeluaran
6000
4000
2000 Selisih 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 -2000
-4000
-6000
-8000
Tahun
Selain dalam grafik garis dan batangan, data dapat juga digambarkan dalam bentuk lingkaran. Grafik lingkaran adalah grafik yang berupa lingkaran, dimana luas lingkaran merupakan komponen dari beberapa nilai. Bentuk-bentuk grafik lingkaran diantaranya grafik lingkaran tunggal, yaitu grafik lingkaran yang terdiri atas satu lingkaran, dan grafik lingkaran berganda yaitu grafik lingkaran yang terdiri atas lebih dari satu lingkaran.
79
Grafik Lingkaran Tunggal (Single Pie Chart) Jumlah Kendaraan Bermotor di Sumatera Utara
TABEL 1. 16
Menurut Jenis tahun 2012 (dalam ribuan) Jenis
Mobil
Bis
Kendaraan
Penumpa
Mobil
Sepeda
Gerobak
Motor
Jumlah
ng -1
-2
-3
-4
-5
-6
Jumlah
925
456
788
1840
4009
Jumlah Kendaraan Bermotor di Sumatera Utara
PERAGA 1. 12
Menurut Jenis tahun 2012 (dalam ribuan)
23%
Mobil Penumpang
46%
Bis Mobil Gerobak
11%
Sepeda Motor 20%
TABEL 1. 16
Persentase Nilai Impor Negara Indonesia Menurut Kelompok Negara Ekonomi Januari-Desember 2012
Negara
Persentase Nilai Impor
80
ASEAN
12,94
Korea Selatan
5,57
Jepang
19,80
NAFTA
14,84
APEC Lainnya
15,07
Uni Eropa
19,99
Timur Tengah
3,85
Lainnya
7,94
Total
100,00
PERAGA 1. 13
Persentase Nilai Impor Negara Indonesia Menurut Kelompok Negara Ekonomi Januari-Desember 2012
ASEAN 4% 8% 13%
6%
Jepang
20% 19% 15%
15%
Korea Selatan
NAFTA APEC Lainnya Unit Eropa Timur Tengah Lainnya
Grafik Lingkaran Berganda (Multiple Pie Chart) TABEL 1. 17
Hasil Tambang (Tambang X, Y dan Z) dari Negara-negar A, B, dan C Tahun 2012 (dalam jutaan Ton)
81
Negara
Hasil Tambang
Jumlah
X
Y
Z
A
4
2
6
12
B
8
6
2
16
C
10
5
5
20
Sebelum digambarkan, pertama-tama kita cari persentase tiap-tiap hasil tambang terhadap jumlah masing-masing Negara. Di dalam gambarannya nanti, luas lingkaran sebanding dengan jumlah hasil tambang dari Negara masing-masing. Jika kita telah mengetahui perbandingan luas-luas lingkaran sesuai dengan jumlah masing-masing (dalam contoh, perbandingannya 12,16 dan 20), maka dapat dicari perbandingan jari-jari dari lingkaran-lingkaran tersebut. Cara mencari perbandingan jari-jari adalah dengan mengumpamakan jari-jari dari lingkungan suatu Negara tertentu (misalkan Negara A) mempunyai jari-jari tertentu (misalkan = 2cm). Dengan demikian, jari-jari negara lain dapat kita cari besarnya. Setelah dihitung, jari-jari lingkaran Negara B = 2,66 cm (yaitu 16/12 * 2 cm) dan jari-jari lingakaran negar C= 3,32 cm (yaitu 20/12*2 cm). Tiap-tiap lingkaran mempunyai perbandingan luas tersendiri, seperti halnya dalam grafik lingkaran tunggal. Setelah dihitung, di peroleh tabel seperti berikut ini :
TABEL 1. 18
Hasil Tambang (Tambang X, Y dan Z) dari Negara-negar A, B, dan C Tahun 2012 (dalam jutaan Ton)
Negara
Hasil Tambang X
Y
Jumlah Z
82
A
33
17
50
100
B
50
37,5
12,5
100
C
50
25
25
100
PERAGA 1. 14
Hasil Tambang (Tambang X, Y dan Z) dari Negara-negar A, B, dan C Tahun 2012 (dalam jutaan Ton)
33%
X Y
50%
Z 17%
12% X 50% 38%
Y Z
83
X Y Z
Keterangan : (1) Titik pusat lingkaran-lingkaran harus terletak dalam satu garis. (2) Jarak antara dua lingkaran harus lebih kecil dari pada jumlah jari-jari kedua lingkaran yang berdekatan. (3) Komposisi (urutan bentuk gambar) dari tiap lingkaran harus seragam. (4) Komponen –komponen dalam lingkaran harus dibedakan dalam warna atau diberi arsir. (5) Keterangan serta kelengkapan grafik harus ada, seperti halnya pada grafik lain.
Grafik Peta (Cartogram Chart )
Cartogram adalah grafik berupa peta. Suatu karakteristik (sifat/hal) yang akan digambarkan, diberi tanda/ciri khusus (berupa gambar sederhana). Misalnya, untuk menggambarkan hasil bumi (kopi), di daerah/tempat yang menghasilkan hasil bumi (kopi) pada peta diberi tanda gambar kopi dan lain sebagainya. Gambar ikan dan
84
menara minyak menunjukkan produksi ikan dan minyak bumi. Satu ekor ikan di Bagian Siapi-api, Sumatra Utara dan satu menara minyak di Sungai Gerong, Sumatra Selatan menujukkan produksi ikan 1000 ton dan produksi minyak 1000 barrel.
PERAGA 1. 15
Rata-rata
Kepadatan
Penduduk
Pulau
Jawa
Menurut Angka Sensus Penduduk Tahun 2012 di Indonesia.
Kepadatan Penduduk Per Km2 < 30 100 – 499 30 - 49 500 – 1.000 50 - 99
Grafik Gambar (Pictogram Chart )
Grafik Gambar (Pictogram chart) adalah grafik yang disajikan dalam bentuk gambar. Didalam bidang koordinat (salib sumbu) XY dinyatakan dengan gambargambar cirri khusus untuk suatu karakteristik. Misalnya, untuk menyatakan jumlah penduduk pada tahun-tahun tertentu, dapat digambarkan berupa gambar orang (secara
85
sederhana). Tiap gambar mewakili suatu jumlah tertentu. Contoh lainnnya, seperti menyatakan banyaknya unit perumahan yang di bangun oleh pengembang menurut propinsi, dapat digambarkan berupa gambar rumah secara sederhana dan tiap gambar juga memiliki jumlah tertentu.
Jumlah Penduduk Indonesiadari Tahun 1979
TABEL 1. 18
sampai dengan 1985 (dalam jutaan)
Tahun
Jumlah
(1)
(2)
1979
143,2
1980
146,8
1981
150,6
1982
154,4
1983
158,1
1984
161,6
1985
164,0
PERAGA 1. 16
Jumlah Penduduk Indonesiadari Tahun 1979 sampai dengan 1985 (dalam jutaan)
1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985
86
SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Kumpulkan angka-angka yang disusun menurut kategori-kategori adalah : a. Tabel b. Histogram c. Grafik d. Polygon
87
2. Dibawah ini merupakan merupakan tabel hasil produksi komputer oleh pabrik CV Maju Jaya selama bulan Januari hingga September 2013. Bulan
Hasil Penjualan
Januari
20000 unit
Februari
38000 unit
Maret
41000 unit
April
50000 unit
Mei
60000 unit
Juni
80000 unit
Juli
93000 unit
Agustus
20000 unit
September
40000 unit
Jika dilihat dari penyajian data dalam bentuk tabel maka tabel di atas termasuk dalam contoh dari: a. Tabel Dua arah b. Tabel tiga arah c. Tabel satu arah d. Tabel empat arah
3. Perhatikan grafik lingkaran berikut ini : Jumlah Kendaraan Bermotor di Jakarta Pusat Menurut Jenis tahun 2012 (dalam ribuan)
88
Mobil Penumpang 23%
Bis
46% 11% 20%
Mobil Gerobak Sepeda Motor
Berdasarkan grafik di atas jika diketahui total kendaraan yang ada di Jakarta Pusat adalah 4.009 ribu unit, maka jumlah kedaraan jenis Bis adalah: a. 925.000 b. 456.000 c. 788.000 d. 1.840.000 4. Persentase pengeluaran pemerintah yang terjadi selama enam tahun. 100%
Persentase
80% 60% 40%
Penerimaan
20%
Pengeluaran
0% 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Tahun
Berdasarkan data diatas , maka pengeluaran pemerintah yang paling rendah terjadi pada tahun : a. 1994 b. 1995
89
c. 1996 d. 1997
5. Berikut adalah data penjualan tiga jenis sepeda motor oleh Sorum Martabe di Kabupaten Deli Serdang dari Januari hingga Agustus 2012 Tahun
Jenis Merk Sepeda Motor Honda
Suzuki
Yamaha
Januari
26
34
42
Februari
23
33
44
Maret
19
30
52
April
23
36
53
Mei
28
35
39
Juni
30
34
36
Juli
31
38
40
Agustus
42
36
22
Berdasarkan data diatas, penjualan tiga jenis sepeda motor yang secara bersamasama mengalami kenaikan sebanyak dua kali yaitu pada bulan a. Januari dan Maret b. Maret dan Juni c. April dan Juli d. Mei dan Juli
6. Data penerimaan mahasiswa baru Unimed Fakultas Ekonomi untuk regular dan ekstensi dari tahun 2008 hingga 2013. Kelas
2008
2009
2010
2011
2012
2013
Regular
320
327
340
-
380
380
90
Ekstensi
120
126
130
-
160
175
Karena fakultas ekonomi Unimed membangun beberapa ruangan kelas, maka penerimaan mahasiswa baru untuk tahun 2011 mengalami peningkatan 15%. Berdasarkan data diatas maka mahasiwa yang diterima untuk kelas regular dan ekstensi tahun 2011 masing-masing a. 348 dan 135 b. 350 dan 137 c. 376 dan 151 d. 378 dan 154
7. Banyaknya kendaraan bermotor di Indonesia menurut jenisnya tahun 2012 (dalam ribuan) Jenis
Mobil
Bis
kendaraan Penumpang 900
1216
Mobil
Sepeda
Gerobak
Motor
1839
2500
Jumlah
6455
Berdasarkan tabel diatas, jika disajikan kedalam grafik lingkaran, maka grafik berikut yang memuat informasi diatas adalah:
a.
91
14% 39%
19% 28%
Mobil Penumpang Bis Mobil Gerobak
b. 11%
39%
22%
Mobil Penumpang Bis
Mobil Gerobak
28%
c.
Mobil Penumpang
14% 39% 22%
Bis Mobil Gerobak
25%
d.
36%
17%
Mobil Penumpang Bis
22% 25%
Mobil Gerobak
8. Data penjualan antara komputer Built dan Rakitan Lokal di Kota Medan(ribuan)
92
80
Jumlah Penjualan
70 60 50 40
Komputer Bulit
30
Rakitan Lokal
20 10 0 199019911992199319941995199619971998199920002001 Tahun
Berdasarkan penyajian data diatas, pada tahun 1990 penjualan computer Built sebanyak 50 ribu unit dan Rakitan sebanyak 25 ribu unit. Begitu juga untuk tahun 1991, penjualan kedua jenis komputer mengalami peningkatan. Untuk tahun 1998, penjualan untuk komputer Built merupakan penjualan? a. Penjualan terendah dari penjualan Rakitan Lokal b. Penjualan yang sama dengan Rakitan Lokal c. Penjualan yang paling tinggi dari semua penjualan d. Penjualan Komputer Built sama dengan penjualan tahun sebelumnya. 9. Volume komoditas tanaman palawija yang diangkut dari kabupaten Humbang Hasundutan pada tahun 2012 Bulan
Volume (Ton)
Januari
11000
Februari
13000
Maret
8000
April
10000
Mei
12000
Juni
7000
Juli
5000
93
Agustus
14000
September
15000
Oktober
12000
November
15000
Desember
16000
Berdasarka data diatas, jika data disajikan dalam bentuk grafik garis maka grafik berikut yang benar sesuai dengan informasi tersebut adalah a.
volume
20000 15000 10000 5000
Desember
November
Oktober
September
Agustus
Juli
Juni
Mei
April
Maret
Februari
Januari
0
Bulan
b.
Volume
20000
15000 10000 5000
Desember
November
Oktober
September
Agustus
Juli
Juni
Mei
April
Maret
Februari
Januari
0
Bulan
c.
94
Volume
20000 15000 10000 5000
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Juli
Agustus
September
Oktober
November
Desember
Juni
Mei
April
Maret
Februari
Januari
0
Bulan
d.
Volume
20000 15000 10000 5000
Juni
Mei
April
Maret
Februari
Januari
0
Bulan
10. gambar-gambar yang menunjukkan secara visual data berupa angka (mungkin dengan symbol-simbol) yang biasanya juga berasal dari tabel-tabel yang telah dibuat disebut a. grafik b. histogram c. table d. polygon
B. Soal Essai
95
1. Apa yang dimaksud dengan grafik? Sebutkan dan jelaskan macam-macam grafik yang Anda ketahui! 2. Berikan contoh table satu arah,dua arah dan tiga arah menggunakan data buatan! 3. Buatlah grafik garis berganda dan grafik batangan berganda dengan menggunakan data berikut: Bulan
Hasil Produksi
Januari
20000 unit
Februari
38000 unit
Maret
41000 unit
April
50000 unit
Mei
60000 unit
Juni
80000 unit
Juli
93000 unit
Agustus
20000 unit
September
40000 unit
4. Berdasarkan soal nomor .3 di atas, buatlah: a. Grafik garis persentase komponen berganda b. Grafik lingkaran 5. Jumlah penjual smartphone di PT Timbul Tenggelam pada tahun 2013 Merk smartphone
Unit penjualan
SAMSUNG
500
ADVAN
400
EVERCOOS
350
OPPO
358
SONY
250
ACER
150
96
Jumlah
2008
Berdasarkan tabel diatas, sajikanlah data dalam grafik batangan berganda! 6. Berdasarkan soal nomor. 5 diatas, buatlah persentase penjual ke- enam jenis Smartphone tersebut, kemudian sajikan data tersebut kedalam grafik lingkaran! 7. Nerca perdagangan Indonesia (Juta US$) 2005-2010 Tahun
Ekspor
Impor
2005
468
306
2006
472
358
2007
502
360
2008
541
364
2009
598
580
2010
678
760
Berdasarkan data disajikan dalam tabel di atas, buatlah grafik garis berimbang neto! 8. Data penjualan sepeda motor merek Honda dan Suzuki oleh Sorum Adiputra dar Maret hingga Oktober 2012: Bulan
Honda
Suzuki
Maret
1340
900
April
1380
1254
Mei
1200
1500
Juni
1178
1700
Juli
1560
1350
September
1749
1800
Oktober
1900
2180
97
Berdasarkan tabel di atas, sajikanlah data tersebut dengan mengunakan grafik garis komponen berganda! 9. Penerimaan mahasiswa baru Universitas Negeri Medan dari tahun 2008 hingga 2012 untuk setiap fakultas! Fakultas
2008
2009
2010
2011
2012
FIP
160
164
180
160
190
FBS
184
176
188
193
198
FIS
240
248
230
280
282
FMIPA
260
266
264
240
280
TEKNIK
140
145
130
160
180
FE
280
284
290
320
324
OLAHRAGA 156
178
167
180
190
Berdasarkan data diatas, buatlah grafik garis berganda yang memuat seluruh penerimaan mahasiswa baru!
10. Berdasarkan soal no. 9 di atas, buatlah: a. Grafik batangan berganda untuk fakultas FMIPA, TEKNIK, adan FE. b. Buatlah grafik lingkaran untuk penerimaan mahasiswa untuk tahun 2009 dan 2012
C. Soal Studi Kasus
1. Diketahui informasi sebagai berikut: dari total penerimaan negara dalam sektor pajak yang diperoleh pada periode tertentu, Pemerintah mengolahnya menjadi pengeluaran Negara untuk empat kategori yaitu pengeluaran untuk bidang pendidikan, kesehatan, parawisata dan untuk perbaikan jalan. Dari total penerimaan
Negara
tahun
2000
yakni
Rp
1.680
miliar,
pemerintah
membelanjakannya kembali sebagi pengeluaran Negara untuk keempat kategori
98
tersebut secara berurutan 40%, 35%, 10% dan 15%. Pada tahun 2001, seiring dengan bertambahnya penerimaaan Negara baik dari sektor bea cukai, devisa dari para TKI yang bekerja di luar negeri, pemerintah pun menambah pengeluaran Negara untuk keempat kategori tersebut sebanyak 10% dari tahun sebelummya yang dibagi sesuai dengan persentase untuk masing-masing kategori yang telah dibuat sebelummnya. Pada tahun 2002, pemerintah kembali menambah pengeluaran Negara sebanyak 5% dari tahun sebelumnya yakni tahun 2001, namun pengeluaran tersebut hanya dialokasikan untuk dua jenis pengeluaran yaitu bidang pendidikan dan kesehatan dengan persentase yang sama. Pada tahun 2003, karena negara dilanda oleh wabah penyakit, pemerintah kembali menambah pengeluaran untuk bidang kesehatan sebanyak 4% dari anggaran yand diperuntukan untuk bidang kesehatan tahun 2002. Berdasarkan informasi yang dijelaskan diatas buatlah: a. Tabel ringkasan yang memuat informasi diatas! b. Grafik garis berganda yang memuat informasi keempat jenis pengeluaran pemerintah! c. Buatlah grafik batang untuk membandingkan keempat pengeluaran pemerintah dari tahun ke tahun! 2. Diketahui informasi sebagai berikut: dari modal yang disiapkan perusahaan PT. Mundur Serentak, perusahaan menggunakannnya untuk membiayai 3 jenis produksi barang yakni barang A, B, dan C. Pada produksi tahap pertama dan kedua, perusahaan mengalokasi biaya untuk produksi barang A sebanyak 40% dan 50%. Dari total biaya yang tersedia. Pada produksi tahap ketiga, produksi barang A menurun 2% dari produksi sebelumnya. Disisi lain, biaya untuk produksi kedua jenis barang berikutnya juga mengalami perubahan. Dimana pada produksi tahap pertama untuk barang A dialokasikan biaya 35% dari total biaya yang ada, sedangkan untuk tahap produksi kedua barang B biaya dinaikkan menjadi 38%. Sedangkan pada tahap produksi ketiga jenis barang B, biaya diturunkan 6% dari tahap produksi kedua barang B. biaya yang disedikan
99
perusahaan
untuk
produksi
tahap
pertama
dan
kedua
masing-masing
Rp68.500.000., dan Rp74.000.000,. sementara untuk tahap produksi ketiga perusahaan menambah biaya sebanyak 15% dari tahap produksi kedua. Berdasarkan data diatas, buatlah: a. Penyelesaian dengan pertanyaan yang sama dengan pertanyaan nomor 1 ! b. Buatlah grafik garis persentase komponen berganda c. Grafik lingkaran untuk setiap tahap produksi.
100
BAB 4 DISTRIBUSI FREKUENSI
Kompetensi Inti : Menjelaskan arti dan manfaat distribusi frekuensi Kompetensi Dasar :
Menyusun distribusi frekuensi data kualitatif dan kuantitatif
Menggambar grafik frekuensi, frekuensi relative dan frekuensi kumulatif
101
Pengertian Frekuensi Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti: “kekerapan”,”keseringan”,
atau“jarang-kerapnya”.
Dalam
statistik
”frekuensi”
mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut;atua berapa kalikah sutu variabel(yang dilambangkan dengan angka itu) muncul dalam deretan angka tersebut. (Sudijono Anas.2009: 36) Pengertian Distribusi Frekuensi “Distribusi”(distribution,bahasa Inggris) dalam bahasa Indonesia dapat diartikan “penyaluran”,”pembagian”atau”pencaran”. Jadi “distribusi frekuensi” dapat diartikan “penyaluran frekuensi”,”pembagian frekuensi” atau “pencaran frekuensi”. Dalam statistik,”distribusi frekuensi” kurang lebih mengandung pengertian: “suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang dilambangkan dengan angka itu,telah tersalur,terbagi,atau terpencar”. Tabel Distribusi Frekuensi Tabel Distribusi Frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai: Alat penyajian data statistik berbentuk kolom dan lajur, yang di dalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. (Sudijono Anas.2009: 38) Contoh : Jika data yang berupa nilai hasil Ujian MID Semester dalam bidang studi Matematika dari 40 orang siswa kelas VII SMP Tunas Karya kita sajikan dalam bentuk tabel,maka pembagian atau pencaran frekuensi nilai hasil ujian itu akan tampak dengan nyata:
102
Nilai
Banyaknya (Orang)
100
2
90
3
85
3
80
6
75
8
70
7
60
5
55
3
50
2
40
1
Total
40
Dalam suatu tabel distribusi frekuensi akan kita dapati: (1)variabel, (2)frekuensi, dan (3)jumlah
frekuensi.
Dalam
contoh
di
atas,
angka-angka
100,90,85,80,75,70,60,55,50,dan 40 adalah angka yang melambangkan variabel nilai hasil ujian,angka 2,3,3,6,8,7,5,3,2,dan 1 adalah angka yang menunjukkan frekuensi,sedangkan 40 adalah jumlah frekuensi.Terkadang ‘Tabel Distribusi Frekuensi” itu acapkali disingkat menjadi “Tabel Frekuensi” saja Tabel Distribusi Frekuensi dan Macamnya Dalam dunia statistik kita mengenal berbagai macam Tabel Distribusi Frekuensi; dalam makalah ini akan dikemukakan mengenai 4 macam Tabel Distribusi Frekuensi,yaitu: Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal,Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan,Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif, dan Tabel Distribusi Frekuensi Relatif ( Tabel Persentase). (Sudijono Anas.2009: 39)
103
Tabel Distibusi Frekuensi Data Tunggal Tabel Distribusi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik yang
di
dalamnya disajikan frekuensi dari data angka ;angka yang ada itu tidak dikelompokkelompokkan(ungrouped data). (Sudijono Anas.2009: 39) Contoh : TABEL 2.1 Distribusi Frekuensi Nilai UAS Dalam Bidang Studi Matematika dari 40 Orang Siswa kelas X 1 SMA Tunas Cendekia.
Nilai
Frekuensi (f)
(X) 9
4
8
6
7
9
6
16
5
5
Total
40 = N
Dalam Tabel 2.3 itu, Nilai UAS Dalam Bidang Studi Matematika dari sejumlah 40 orang siswa kelas X1 SMA Tunas Cendekia berbentuk Data Tunggal,sebab nilai tersebut tidak dikelompok-kelompokkan (ungrouped data). Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka,di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka Data disajikan memalui Tabel 2.2 berbentuk Data Kelompokkan (Grouped Data).Adapun huruf N yang terdapat pada lajur “Total” (baik yang terdapat pada Tabel 2.1 maupun Tabel 2.2) adalah singkatan dari Number atau Number of Gases yang berarti “jumlah frekuensi” atau “jumlah hal yang diselidiki”,atau “jumlah individu”
104
Contoh: TABEL 2.2. Distribusi Frekuensi Tentang Usia dari Sejumlah 60 orang Guru Matematika yang Bertugas Pada Sekolah Menengah Atas Negeri. Usia
Frekuensi (f)
49-53
5
44-48
9
39-43
8
34-38
11
29-33
12
24-28
15
Total
N
Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan , baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. (Sudijono Anas.2009: 41)
Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Tabel Distribusi Frekuensi Relatif juga dinamakan Tabel Persentase. Dikatakan “frekuensi relatif” sebab frekuensi yang disajikan di sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang dituangkan dalam bentuk angka persenan. (Sudijono Anas.2009: 42) Contoh : TABEL 2.5. Distribusi Frekuensi Relatif (Distribusi Persentase) tentang Nilai-nilai THB Dalam Studi PMP dari sejumlah 40 Orang Siswa MTsN.
105
Nilai
F
Persentase
(X)
(p)
8
7
17.5
7
18
45.0
6
5
12.5
5
10
25.0
Total:
40 = N
100.0 = p
Keterangan: Untuk memperoleh frekuensi relative (angka persenan) sebagaimana tertera pada kolom 3 tabel 2.5, digunakan rumus: P = N x 100% = frekuensi yang sedang dicari persentasenya. N = Number of Cases (jumlah frekuensi/banyaknya individu). p = angka persentase. Dengan cara yang sama seperti telah dikemukakan di atas, contoh untuk Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah sebagai berikut:
TABEL 2.6. Distribusi Frekuensi Kumulatif Usia 50 Orang Guru Matematika yang bertugas pada Sekolah Dasar Negeri.
Usia
Persentase (p)
50 - 54
5
10.0
44 - 49
9
18.0
39 - 43
13
26.0
34 - 38
6
12.0
29 - 33
7
14.0
24 – 28
10
20.0
Total :
50 = N
100.0 = ∑ p
106
Tabel Persentase Kumulatif Seperti halnya Tabel Distribusi Frekuensi Tabel Persentase atau Tabel Distribusi Frekuensi relatif pun dapat diubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif (Tabel Distribusi Frekuensi relatif Kumulatif). Contoh Tabel Persentase Kumulatif adalah Tabel 2.7. untuk data tunggal,dan Tabel 2.8 untuk data berkelompok. Penjelasan tentang bagaimana cara memperoleh pk(b) dan pk(a) adalah sama seperti penjelasan yang telah dikemukakan pada Tabel 2.3. (Sudijono Anas.2009: 44-45)
Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Dari lima macam Tabel Distribusi Frekuensi yang telah dikemukakan contohnya di atas,hanya dua buah saja yang dipandang perlu dibahas cara pembuatannya, yaitu: Tabel Distribusi Data Tunggal dan Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan. Kedua macam tabel distribusi frekuensi tersebut perlu dipelajari prosedur dan teknik pembuatannya,sebab pekerjaan menganalisis data statistik pada umumnya diawali dengan pembuatan salah satu diantara dua jenis tabel distribusi frekuensi tersebut.Sedangkan prosedur dan teknik pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif, Tabel Distribusi Frekuensi Relatif, dan Tabel Persentase Kumulatif ;ketiga macam tabel distribusi frekuensi yang disebutkan terakhir,dapat dibuat setelah dipersiapkan lebih dahulu Tabel Distribusi Frekuensi
Data
Tunggalnya
atau
Tabel
Distribusi
Frekuensi
Data
Kelompokannya. (Sudijono Anas.2009: 45-46)
Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Sebelum dikemukakan mengenai cara pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal,terlebih dahulu perlu dikemukakan bahwa Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal ada dua macam,yaitu: Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang semua skornya berfrekuensi 1, dan Tabel Distribusi
107
Frekuensi Data Tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. (Sudijono Anas.2009: 46)
Contoh Pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang Semua Skornya Berfrekuensi
Misalkan dari 10 orang Mahasiswa yang menempuh Ujian Akhir Semester dalam mata kuliah Statistika Dasar,diperoleh nilai sebagai berikut: No.
Nama
Nilai
1.
Aditin
87
2.
Meta
88
3.
Riska
75
4.
Melani
80
5.
Dika
72
6.
Santoso
90
7.
Imam
67
8.
Uka
65
9.
Yasmin
70
10
Zelly
50
Apabila kita perhatikan data di atas,maka dari 10 orang mahasiswa yang menempuh ujian akhir semester tersebut,kita dapat mengatakan bahwa semua skor atau semua nilai yang sedang kita hadapi itu masing-masing berfrekuensi 1. Jika data di atas kita tuangkan penyajiannya dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal,wujudnya adalah seperti Tabel 3.1
108
TABEL 3.1. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ujian Akhir Semester Dalam Mata Kuliah Statistika Dasar yang Diikuti 10 Orang Mahasiswa. Nilai
f
(X) 50
1
65
1
67
1
70
1
72
1
75
1
80
1
87
1
88
1
90
1
Total
10 = N
Karena semua skor (nilai) hasil ujian tersebut befrekuensi 1 dan semua skor(nilai) yang ada itu berwujud Data Tunggal maka tabel di atas dinamakan: Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang Semua Skornya Berfrekuensi 1.
Contoh Pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal yang Sebagian atau Keseluruhan Skornya Berfrekuensi Lebih dari 1
Misalkan dari sejumlah 40 orang murid Sekolah Menengah Pertama yang menempuh ulangan harian dalam mata pelajaran matematika,diperoleh nilai hasil ulangan sebagai berikut (nama murid tersebut tidak dicantumkan di sini):
5
8
6
4
6
7
9
6
4
5
109
3
5
8
6
5
4
6
7
7
10
4
6
5
7
8
9
3
5
6
8
10
4
9
5
3
6
8
6
7
6
Apabila data tersebut akan kita sajikan dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi, maka langkah yang perlu ditempuh adalah: Langkah Pertama : Mencari Nilai Tertinggi (Skor paling tinggi (Highest Score) H) dan Nilai Terendah (Skor paling rendah (Lowest Score) L). Ternyata H = 10 dan L = 3. Dengan diketahuinya H dan L maka kita dapat menyusun atau mengatur nilai hasil ulangan harian itu, dari atas ke bawah,mulai dari 10 berturut-turut ke bawah sampai dengan 3 pada kolom 1 dari Tabel Distribusi Frekuensi yang kita persiapkan adalah seperti yang terlihat pada Tabel 3.2 Langkah Kedua : Menghitung frekuensi masing-masing nilai yang ada,dengan bantuan jari-jari (tallies); hasilnya dimasukkan dalam kolom 2 dari Tabel Distribusi Frekuensi yang kita persiapkan ( Lihat Kolom 2 Tabel 3.2). Langkah Ketiga : Mengubah jari-jari menjadi angka biasa, dituliskan pada kolom 3 (lihat kolom 3 tabel 3.2 ), setelah selesai, keseluruhan angka yang menunjukkan frekuensi masing-masing nilai yang ada itu lalu kita jumlahkan, sehingga diperoleh jumlah frekuensi (𝜮 f) atau Number of cases = N. 3.2. Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokkan Jika penyebaran angka/skor/nilai yang akan kita sajikan dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi itu demikian luas atau besar,dan penyajiannya dilakukan dengan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, maka Tabel Distribusi Frekuensi yang berhasil kita buat akan terlalu panjang dan memakan tempat. Di samping itu ada kemungkinan bahwa skor yang kita sajikan frekuensinya dalam tabel,ternyata berfrekuensi 0 karena skor tersebut tidak terdapat dalam deretan skor yang kita hadapi.Dalam keadaan demikian, tabel yang kita buat itu menjadi tidak menarik dan tidak dapat menggambarkan keadaan data yang kita hadapi dengan ringkas dan jelas.
110
TABEL : Nilai Akhir Mata Kuliah X Berdasarkan Jenis Kelamin Mahasiswa Nilai
Pria
Wanita
Jumlah
Akhir
F
%
f
%
F
%
A
20
22
23
25
43
24
B
35
39
31
34
66
36
C
29
32
27
30
56
31
D
5
6
8
9
13
7
E
1
1
2
2
3
2
Jumlah
90
100
91
100
181
100
Tabel diatas merupakan contoh daftar distribusi frekuensi data yang tidak dikelompokkan karena frekuensinya dicantumkan untuk setiap skor (nilai) yang muncul. Daftar distribusi frekuensi seperti ini dapat digunakan jika skor (nilai) yang diperoleh relative tidak beragam. Namun, jika nilai yang hendak dianalisis cukup beragam, maka daftar distribusi frekuensi diatas tidak memadai lagi. Sebagai contoh,perhatikanperangkat data fiktif pertama diatas dengan jumlah sampel terbesar 80. Data tersebut cukup beragamdengan skor terkecil 36 dan skor terbesar 95, sehingga jika distribusi frekuensnya dibuat seperti diatas tidak akan membantu memudahkan dalam menafsirkan. Untuk mengatasi masalah ini,data di atas perlu dikelompokkan terlebih dahulu menjadi sejumlah rentangan skor.
Frekuensi
setiap rentangan skor kemudian
dihitung berdasarkan jumlah skor yang tergolong ke dalam rentangan skor itu. Cara seperti ini akan menghassilkan daftar distribusi frekuensi data yang dikelompokkan. Secara berurutan, langkah-langkah untuk menyusun daftar distribusi data yang dikelompokkan adalah sebagai berikut: (a) menentukan rentang, (b) menentukan panjang kelas, (c) menentukan banyak kelas, (d) menyusun interval kelas, dan (e)menghitung frekuensi untuk setiap kelas.
111
Rentang Rentang (range) suatu perangkat data yang biasanya dilambangkan dengan huruf Radalahskor terbesardikurangi skor terkecil. Dengan demikian rentang perangkat data di atas dapat ditemukan, yaitu: R = 95 – 36 = 59
Panjang Kelas Panjang kelas (p) atau interval (i) menunjukkan banyaknya angka (nilai) yang tercakup oleh suatu interval kelas. Sebagai contoh, pada interval 4 – 8 (untuk data yang dicatat dalam bilangan bulat) terdapat 5 buah angka, yaitu 4,5,6,7, dan 8. Dengan demikian, panjang kelas (p atau i) untuk interval kelas tersebut adalah 5; jadi, p = 5. Panjang kelas dapat membantu ditentukan dengan beberapa cara. Salah satu cara yang dapat membantu menentukan panjang kelas adalah rumus yang disusulkan oleh Sturgess (Sudjana, 1975: 46), yaitu p = 1 + 3,3 log n.. Dengan menggunakan rumus diatas, panjang kelas yang diperlukan untuk mengelompokkan data diatas dapat ditentukan seperti berikut p = 1 +3,3log 80 = 7,3 Jadi, panjang kelas untuk mengelompokkan data dari 80 subjek adalah sekitar 7 atau 8. Hal yang perlu dicatat di sini adalah bahwa panjang kelas dapat berupa bilangan decimal atau bilangan bulat bergantung pada pencatatan data yang akan dikelompokkan. Oleh karena data dalam contoh di atas dicatat dalam bilangan buat, maka panjang kelasnya pun harus berupa bilangan bulat. (Furqon.2004: 24)
Banyak Kelas Banyak kelas (bk) menunjukkan jumlah interval kelas diperlukan untuk mengelompokkan suatu perangkatdata. Banyak kelas selalu berbentuk bilangan bulat
112
dan sebaiknya berkisarantara 5 sampai 20. Banyak kelas suatu perangkat data dapat ditemukan dengan rumus Dengan menggunakan R = 59 dan p = 7, maka banyakkelass yang diperlukan perangkat data pada contoh diatas adalah: bk = 59 : 7 = 8,43 Dengan demikian, untuk mengelompokkan perangkat data pada
contoh diatas
diperlukan sekitar 8 atau 9 interval kelas.
Interval Kelas Untuk menyusun interval kelas, perlu ditentukan dahulu bilangan awal untuk interval kelaspertama (paling bawah). Bilangan awal ini sebaiknya merupakan kelipatan dari panjang kelas (p) dan tidak lebih kecil ddari skor terkecil dikurangi panjang kelas. Bilangan awal ini harus sama dengan atau lebih kecil dari skor terkecil. Tabel 3.4 Daftar distribusi frekuensi contoh data fikif Interval Kelas
Turus
Frekuensi
91 – 97
///
3
84 – 90
///
3
77 – 83
///// ///
8
70 – 76
///// ///// ///
13
63 – 69
///// ///// ///// ////
19
56 – 62
///// ///// /////
15
49 – 55
///// ////
9
42 – 48
///// /
6
35 – 41
////
4
Jumlah
80
113
Dengan menggunakan bilangan awal 35 dan panjang kelas 7, maka kelas pertama untuk contoh data di atas adalah 35 – 41 yang meliputi 7 macam nilai, yaitu 35,36,37,38,39,40, dan 41. Interval kelas berikutnya adalah 42 – 48, 49 – 55 dan seterusnya.
Frekuensi Frekuensi setiap kelas dapat diperoleh dengan cara turus (tally) setiap nilai yang ada pada interval kelas masing-masing dan kemudian menjumlahkan banyaknya turus yang didapat. Melalui kelima langkah ini, maka daftar distribusi frekuensi untuk contoh data di ats dapat dibuat seperti tabel 3.4.
Titik Tengah Istilah lain yang perlu dipahami adalah titiktengah (midpoint). Sesuai dengan namanya, titik tengah suatu kelas merupakan nilai yang membagi kelas itu menjadi dua bagian sama besar. Secara aljabar, pengertian tersebut dapat ditulis Titik tengah = ½ (batas bawah +batas atas)
Sebagai contoh, titik tengah kelas 35 – 41 adalah ½ (35 + 41) = 38; ada tiga nilai dibawahnya (35,36,dan 37) dan tiga niali lain di atasnya(39,40, dan 41). Titik tengah ini sering digunakan sebagai wakil kelas yang bersangkutan daam analisis statistika. Dalam suatu penelitian, jumlah atau persentase subjek yang mendapat nilai lebih besar atau lebih kecil daripada skor tertentu mungkin merupakan hal yang menarik untuk ditelaah. Informasi tentang hal ini dapat dengan mudah diperoleh dengan menambahkan frekuensi kumulatif (fk) pada daftar ditribusi frekuensi di atas (tabel 3.4). Frekuensi kumulatif dapat diperoleh dengan cara menanbahkan frekuensi (f) setiap kelas dari bawah ke atas.
114
TABEL 3.3 Frekuensi dan persentase kumulatif data pada tabel 3.4 Skor
F
Fk
%
91 – 97
3
80
100,0
84 – 90
3
77
96,3
77 – 83
8
74
92,5
70 – 76
13
66
82,5
63 – 69
19
53
66,3
56 – 62
15
34
42,5
49 – 55
9
19
23,8
42 – 48
6
10
12,5
35 – 41
4
4
5,0
Jumlah
80
-
-
Uraian dan contoh sederhana tersebut menunjukkan bahwa penyajian data melalui tabel mempermudah peneliti atau pembaca memahami fenomena yang diamati dn maksud yang hendak disampaikan.
Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon (Polygon Frequency) Grafik Poligon dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: (1) Grafik Poligon Data Tunggal (2) Grafik Poligon Data Kelompok.
Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon Data Tunggal
Misalkan data yang berupa nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi Matematika yang diikuti oleh 40 orang murid Madrasah Ibtidayah seperti tertera pada tabel 3.2 di
115
muka tadi, kita sajikan kembali dalam bentuk grafik poligon , maka langkah yang dilakukan berturut-turut adalah:
Membuat sumbu horizontal dengan lambang X.
Membuat sumbu vertikal dengan lambang Y.
Menetapkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y.
Menempatkan nilai hasil ulangan umum bidang studi matematika pada absis X, berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari nilai terendah sampai nilai yang tertinggi.
Menempatkan frekuensi pada ordinal Y.
Melukiskan grafik poligonnya. Hasilnya seperti pada grafik 4.1
Grafik 4.1 Poligon frekuensi tentang nilai-nilai hasil ulangan harian bidang studi Matematika dari 40 orang murid Madrasah Ibtidayah(Sudijono Anas.2009: 65) Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon Data Kelompokan Misalkan data tentang nilai hasil EBTA dalam bidang studi Matematika dari sejumlah 80 orang siswa kelas III Jurusan IPA seperti yang disajikan pada tabel di bawah ini. TABEL 4.1 Distribusi Frekuensi Nilai Hasil EBTA dalam Bidang Studi Matematika dari Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III SMA Jurusan IPA Interval
Tanda/Jari-jari
F
78-80
//
2
75-77
//
2
72-74
///
3
69-71
////
4
66-68
/////
5
63-65
///// /////
10
116
60-62
///// ///// ///// //
17
57-59
///// ///// ////
14
54-56
///// ///// /
11
51-53
///// /
6
48-50
////
4
45-47
//
2
Total
80 = N
Maka langkah yang perlu dilakukan adalah:
Menyiapkan sumbu horizontal X.
Menyiapkan sumbu vertikal Y.
Menetapkan titik nol.
Menetapkan atau mencari titik tengah masing-masing interval yang ada
Menempatkan nilai-nilai tengah dari masing-masing interval, pada sumbu X.
Menempatkan frekuensi dari masing-masing interval, pada sumbu Y.
Membuat garis pertolongan (koordinat).
Melukiskan grafik poligonnya (lihat pada grafik 4.2).
Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Histogram Histogram adalah suatu bentuk grafik yang menggambarkan sebaran (distribusi) frekuensi suatu perangkat data dalam bentuk batang. Histogram digunakan untuk menggambarkan secara visual frekuensi data yang bersifat kontinu. Untuk data yang berbentuk kategori, tampilan visual yang serupa disebut diagram batang.
Untuk menggambar histogram diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak. Sumbu datar dan sumbu tegak saling berpotongan secara tegak lurus, sehingga kaki setiap batang jatuh pada batas nyata bawah/batas nyata atas setiap kelas dengan titik tengah kelas berada di tengah kedua kaki batangnya. Pada grafik 4.3, angka 38,45,52,...,94
117
merupakan titik tengah setiap kelas, dan berada di antara dua batas nyata kelas yang bersangkutan. Misalnya, kaki batang di sebelah kiri dan kanan angka 38, masingmasing jatuh tepat pada angka 34,5 (batas nyata bawah) dan 41,5 (batas nyata atas).
Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Ogif
Ogif (ogive) merupakan poligon yang dibuat atas dasar frekuensi kumulatif seperangkat data. Secara lebih tegas dapat dikatakan bahwa grafik ogif merupakan gambaran visual dari frekuensi kumulatif perangkat data. Garis suatu ogif menghubungkan batas nyata bawah/atas setiap intercal kelas. Grafik 4.4 merupakan ogif untuk frekuensi kumulatif data pada tabel 3.5 Sesuai dengan makna frekuensi kumulatif, ogif menggambarkan secara visual jumlah subjek yang berada di bawah atau di atas skor tertentu. Sebagai contoh, grafik ogif pada grafik 4.4 menunjukkan bahwa 74 subjek berada di bawah skor 83,5 dan hanya 14 subjek yang berada di atas skor 76,5.
118
BAB 5 UKURAN PEMUSATAN Kompetensi Dasar
Mahasiswa mampu menjelaskan tentang ukuran pemusatan.
Kompetensi Inti
Mengerti arti dari ukuran pemusatan
Mengetahui beberapa ukuran pemusatan
Dapat mengetahui cara penghitungan ukuran pemusatan
Dapat mengetahui beberapa jenis dari ukuran pemusatan
119
DEFINISI UKURAN PEMUSATAN Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar atau kecilnya nilai. Dengan kata lain, nilai rata-rata mempunyai kecenderungan memusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency). Beberapa jenis rata-rata yang sering dipergunakan ialah rata-rata hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean), rata-rata ukur (geometric mean), dan rata harmonis (harmonic mean). Didalam kehidupan sehari-hari rata-rata banyak dipergunakan dan dikel oleh masyarakat. Contohnya yaitu: rata-rata gaji atau upah karyawan perusahaan swasta per tahun, rata-rata produksi gula per tahun, rata-rata harga beras per kilogram dan lain sebagainya. Jenis-jenis rata-rata yaitu sebagai berikut ini : Rata-rata hitung Rata-rata hitung sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok atau lebih. Rata-rata hitung juga sering disebut dengan data kuantitatif. Kumpulan data sebanyak n, nilai akan dinyatakan dengan simbol-simbol x1, x2, x3, …, xn. Simbol n juga dipakai untuk menyatakan ukuran sampel atau besar sampel, yaitu banyak data yang diteliti dalam sampel. Untuk ukuran populasi atau besar populasi digunakan simbol N, yaitu banyak data yang diteliti dalam populasi. Mean atau rata-rata hitung dari sekumpulan data kuantitatif dinyatakan dengan simbol 𝑋 (X bar/besar sampel) dan μ (myu/besar populasi). Rumus untuk rata-rata sampel dan rata-rata populasi adalah sebagai berikut : a) Rata-rata sampel Apabila rata-rata dihitung berdasarkan sampel sebanyak n di mana n < N observasi, maka diperoleh rata-rata perkiraan atau rata-rata sampel, yang diberi simbol 𝑋 yang rumusnya sebagai berikut: 1
𝑋 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖
120
1
= 𝑛 (𝑋1 + 𝑋2 + … + 𝑋𝑖 + … + 𝑋𝑛 ) 𝑋 dibaca “ X bar “, yaitu simbol rata-rata 𝑋 merupakan perkiraan μ b) Rata-rata populasi Simbol rata-rata populasi disebut parameter. Rata-rata sebenarnya sering juga disebut rata-rata populasi. 1
μ = 𝑁 ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 1
= 𝑁(X1 + X2 + … + Xi + … + XN) μ dibaca “ myu ” Contoh : Ada 10 nilai matematika dari 10 siswa yaitu : 80, 75, 77, 58, 85, 65, 87, 52, 68, 91. X = hasil nilai matematika 10 siswa. X1 = 80 X2 = 75 X3 = 77 X4 = 58 X5 = 85 X6 = 65 X7 = 87 X8 = 52 X9 = 68 X10 = 91 ( Angka-angka yang digarisbawahi merupakan sampel ). a) Hitung rata-rata populasi. b) Hitung rata-rata sampel dari data yang diambil sampelnya : X2, X4, X5, X8, dan X10.
121
Penyelesaian : a) Rata-rata populasi 1
μ = 10 ∑10 𝑖=1 𝑋𝑖 1
= 10 (738) = 73,8 Jadi rata-rata hasil nilai matematika dari 10 siswa tersebut adalah = 73,8 b) Rata-rata sampel 1
𝑋 = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 1
= 5 (75 + 58 + 85 + 52 + 91) = 72,2 Jadi, rata-rata sampel dari hasil nilai matematika 10 siswa yaitu = 72,2 (mendekati rata-rata sebenarnya). 𝑋 merupakan perkiraan μ. Rata-rata Hitung (Data Berkelompok) Apabila data sudah disajikan dalam bentuk tabel frekuensi, dimana X1 terjadi f1 kali X2 terjadi f2 kali, dan seterusnya sampai Xk terjadi fk kali, maka rumus rata-rata dari data yang sudah dibuat tabel frekuensinya adalah sebagai berikut : 𝑋=
∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖
Karena ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 = n, maka : 1
𝑋 = 𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑋𝑖 Atau 𝑋=
∑𝑘𝑖=1 𝑀𝑖 𝑓𝑖 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖
Di mana Mi = nilai tengah kelas interval ke-I (untuk data berkelompok). Contoh : Perhatikan tabel berikut. Berdasarkan data tersebut, hitunglah rata-ratanya.
122
X
5
8
7
4
6
f
3
2
1
4
2
Penyelesaian 𝑋=
∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖 66
= 12 = 5,5 Jadi, rata-rata dari data diatas adalah 5,5.
Rata-rata Hitung Tertimbang Sering kali dalam suatu persoalan, masing-masing nilai mempunyai nilai bobot/timbangan tertentu, misanya X1 dengan timbangan W1, X2 dengan timbangan W2, dan seterusnya sampai Xn dengan timbangan Wn. Oleh karena itu, rata-rata yang menggunakan timbangan tersebut disebut rata-rata tertimbang (weighted arithmetic mean) dengan rumus sebagai berikut : 𝑋=
∑ 𝑊 𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑊𝑖
=
𝑊1 𝑋1 + 𝑊2 𝑋2 + … + 𝑊𝑖 𝑋𝑖 + …+ 𝑊𝑘 𝑋𝐾 𝑊1 +𝑊2 + …+ 𝑊𝑖 + …+ 𝑊𝑘
Perhatikan bahwa dalam rumus diatas, timbangannya berupa frekuensi (Wi = fi). Contoh : Data berikut ini menunjukkan nilai hasil ujian statistika mahasiswa. 80, 85, 55, 80, 60, 70, 90, 85, 55, 70 70, 90, 80, 60, 55, 85, 80, 70, 90, 55 90, 80, 85, 70, 70, 55, 60, 70. Carilah rata-rata hitung tertimbang dari nilai hasil ujian statistika mahasiwa dengan cara : a) Data tidak dikelompokkan b) Data dikelompokkan
123
Penyelesaian : ∑ 𝑋𝑖
a) 𝑋 =
𝑛
= 1 28
(80 +85+55+80+60+70+90+85+55+70+70+90+80+60+55+85+80+
70+90+55 +90+80+85+70+70+55+60+70) 2.045
=
28
b)
= 73,04
X ( = nilai statistika ) f(= banyak mahasiswa) 𝑋 = =
55
60
70
80
85
90
5
3
7
5
4
4
∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖 55(5) + 60(3) + 70(7) + 80(5) + 85(4) + 90(4) 5+3+7+5+4+4
= 73,04 BEBERAPA SIFAT/CIRI RATA-RATA HITUNG I.
Jumlah deviasi atau selisih dari suatu kelompok nilai terhadap rata-ratanya sama dengan nol, yaitu : 𝑛
∑(𝑋𝑖 − 𝑋) = 0 𝑖=1
Dimana 𝑋 =
1 𝑛
∑ 𝑋𝑖 atau ∑ 𝑋𝑖 = 𝑛𝑋
Buktinya : ∑(𝑋𝑖 − 𝑋) = ∑ 𝑋𝑖 − ∑ 𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 − 𝑛𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 − ∑ 𝑋𝑖 =0 Ingat, ∑𝑛𝑖=1 𝑘 = ⏟ 𝑘 + 𝑘 + 𝑘 + ⋯ + 𝑘 = nk 𝑛 𝑛
∑𝑋 = ⏟ 𝑋 + 𝑋 + 𝑋 + … + 𝑋 = 𝑛𝑋 𝑖=1
𝑛
124
Contoh : Misalkan diketahui X1 = 6, X2 = 5, X3 = 7, X4 = 8, dan X5 = 4. Hitunglah ratarata (𝑋) dan tunjukkan bahwa ∑(𝑋𝑖 − 𝑋) = 0. Penyelesaian : 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑛 1 = (6 + 5 + 7 + 8 + 4) 5
𝑋=
=6 5
∑(𝑋𝑖 − 𝑋) = (𝑋1 − 𝑋) + (𝑋2 − 𝑋) + (𝑋3 − 𝑋) + (𝑋4 − 𝑋) + (𝑋5 − 𝑋) 𝑖=1
= (6 − 6) + (5 − 6) + (7 − 6) + (8 − 6) + (4 − 6) =0
II.
Jumlah deviasi kuadrat dari suatu kelompok nilai terhadap nilai k akan minimum (terkecil) jika k = 𝑋. Masudnya, 𝑛
∑(𝑋𝑖 − 𝑘)2 ≥ ∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2 𝑖=1
Contoh : Misakan bahwa X1 = 6, X2 = 8, dan X3 = 9. Hitunglah 𝑋 dan tunjukkan bahwa ∑(𝑋𝑖 − 𝑘)2 ≥ ∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2 , jika k merupakan salah satu nilai dari kelompok nilai tersebut. Penyelesaian : 1 ∑ 𝑋𝑖 𝑛 1 = (6 + 8 + 9) 3
𝑋=
= 7,67 𝑘=6
∑(𝑋𝑖 − 6)2 = ( 6 − 6)2 + (8 − 6)2 + (9 − 6)2
125
= 13 ∑(𝑋𝑖 − 8)2 = (6 − 8)2 + (8 − 8)2 + (9 − 8)2
𝑘=8
=5 ∑(𝑋𝑖 − 9)2 = (6 − 9)2 + (8 − 9)2 + (9 − 9)2
𝑘=9
= 10 𝑘 = 𝑋 = 7,67
∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2 = ∑(𝑋𝑖 − 7,67)2 = (6 − 7,67)2 + (8 − 7,67)2 + (9 − 7,67)2 = 4,67
Jadi, ternyata ∑(𝑋𝑖 − 𝑘)2 ≥ ∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2 , dimana: 13 > 4,67 5 ˃ 4,67 10 ˃ 4,67 Jadi, ∑(𝑋𝑖 − 𝑋)2 = minimum (terkecil). III.
Apabila ada kelompok nilai: Kelompok pertama sebanyak f1 nilai dengan rata-rata 𝑋1 Kelompok kedua sebanyak f2 nilai dengan rata-rata 𝑋2 Kelompok ke-I sebanyak fi nilai dengan rata-rata 𝑋i Kelompok ke-k sebanyak fk nilai dengan rata-rata 𝑋k Oleh karenanya, rata-rata dari seluruh nilai adalah sebagai berikut: 𝑋=
∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 𝑓1 𝑋1 + 𝑓2 𝑋2 + … + 𝑓𝑖 𝑋𝑖 + 𝑓𝑘 𝑋𝑘 = = = ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑓1 + 𝑓2 + … + 𝑓𝑖 + 𝑓𝑘
Contoh : Ada 2 kelompok pekerja. Kelompok pertama terdiri dari 50 orang, di mana masing-masing menerima upah per minggu Rp30.000 dan kelompok kedua terdiri dari 10 orang masing-masing menerima upah perminggu Rp20.000. i.
Hitung rata-rata upah per minggu dari seluruh pekerja.
ii.
Apakah hasil perhitungan rata-ratanya akan sama kalau 50 orang tersebut menerima rata-rata upah Rp30.000 per minggu (𝑋1 = Rp30.000)
126
dan 10 orang menerima rata-rata upah Rp20.000 per minggu (𝑋2 = Rp20.000). Penyelesaian : i.
X = upah mingguan dalam ribuan rupiah. f = banyaknya pekerja yang menerima upah X. X
30
20
f
50
10
𝑋= =
𝑓1 𝑋1 + 𝑓2 𝑋2 𝑓1 + 𝑓2 1700 60
= 28,3 Jadi, rata-rata upah mingguan per pekerja = Rp28.300 ii.
Jika 𝑋 =
∑ 𝑋𝑖 𝑛
, maka n𝑋 = ∑ 𝑋𝑖 .
Kelompok pertama 𝑋1 =
∑ 𝑋𝑖 𝑛
, 𝑇1 = ∑ 𝑋𝑖 (kelompok pertama).
Karena n1 = f1, maka T1 = 𝑋1n1 atau 𝑋1 f1 atau f1𝑋1. Kelompok kedua 𝑋2 =
∑ 𝑋𝑖 𝑛2
, 𝑇2 = ∑ 𝑋𝑖 (kelompok kedua).
Karena 𝑛2 = 𝑓2 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑇2 = 𝑋2 𝑛2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑋2 𝑓2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓2 𝑋2 . Jumlah pekerja = 𝑓1 + 𝑓2 = 50 + 10 atau 60. Jumlah upah seluruh pekerja dibagi dengan banyaknya pekerja, Atau 𝑋 = = =
𝑇1 +𝑇2 𝑓1 +𝑓2 f1𝑋1+𝑓2 𝑋2 𝑓1 +𝑓2 1700 60
= 28,3 Hasil perhitungan (i) dan (ii) adalah sama, yaitu rata-rata upah mingguan per pekerja adalah Rp28.300. Rata-rata ini sangat
127
mendekati upah sesungguhnya dari masing-masing kelompok, dimana kelompok pertama Rp30.000, sedangkan kelompok kedua Rp20.000. Rata-rata ini ditimbang dengan menggunakan frekuensi sebagai timbangan. IV.
Apabila k adalah sembarang nilai yang merupakan nilai rata-rata asumsi/anggaran dan di merupakan deviasi atau selisih dari nilai Xi terhadap k(di = Xi – k, i = 1,2,…,n), maka kita peroleh rumus rata-rata sebagai berikut: ∑ 𝑑𝑖 ∑ 𝑋𝑖 , sebagai pengganti 𝑋 = 𝑛 𝑛 ∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 𝑋=𝑘+ , sebagai pengganti 𝑋 = ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑋=𝑘+
𝑖 = 1,2, … , 𝑘 Bukti: a) X1, X2, … , Xi, … , Xn, k = suatu bilangan konstan rata-rata asumsi. di = Xi – k, Jadi, d1 = X1 – k, d2 = X2 – k, … , di = Xi – k, … , dn = Xn – k di = Xi – k 𝑋= = = =
Xi = k + di
∑ 𝑋𝑖 𝑛 ∑(𝑘+𝑑𝑖 ) 𝑛 ∑ 𝑘+∑ 𝑑𝑖 𝑛 𝑛𝑘 𝑛
+
=𝑘+
∑ 𝑑𝑖 𝑛
∑ 𝑑𝑖 𝑛
128
Jadi: 𝑋 = 𝑘 +
∑ 𝑑𝑖 𝑛
b) Xi terjadi f1 kali, X2 terjadi f2 kai, …. , Xi terjadi fi kali, … , Xn terjadi fn kali. 𝑋=
∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖
=
∑ 𝑘 𝑓𝑖 + ∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖
=
𝑘 ∑ 𝑓𝑖 + ∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖
=
𝑘 ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 + ∑ 𝑓𝑖 ∑ 𝑓𝑖
=𝑘+
∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖
Jadi: 𝑋 = 𝑘 +
∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖
Contoh : Misalkan diketahui X1 = 5, X2 = 8, X3 = 11, X4 = 9, X5 = 12, X6 = 6, X7 = 14, dan X8 = 10. Cari rata-rata nilai variabel X ini dengan rumus 𝑋 = 1
1
(∑ 𝑋𝑖 ) 𝑑𝑎𝑛 𝑋 = 𝑘 + (∑ 𝑑𝑖 ), 𝑘 = 9 𝑑𝑎𝑛 𝑘 = 20. 𝑛 𝑛 Penyelesaian: 1
a) 𝑋 = 8 (5 + 8 + 11 + 9 + 12 + 6 + 14 + 10) = 9,375 b) 𝑑1 = −4, 𝑑2 = −1, 𝑑3 = 2, 𝑑4 = 0, 𝑑5 = 3, 𝑑6 = −3, 𝑑7 = 5, 𝑑8 = 1. Untuk k = 9, maka: 1 𝑋 = 𝑘 + (∑ 𝑑𝑖 ) 8 1 = 9 + (−4 ± 1 + 2 + 0 + 3 ± 3 + 5 + 1) 8
129
= 9,375 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 20, 𝑚𝑎𝑘𝑎 1 𝑋 = 𝑘 + (∑ 𝑑𝑖 ) 8 1 = 20 + (−15 − 12 + ⋯ − 10) 8 = 9,375
Contoh : Dengan menggunakan rumus 𝑋 =
∑ 𝑓 𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖
𝑑𝑎𝑛 𝑋 = 𝑘 +
∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖
, hitunglah rata-rata
berdasarkan data berikut: X
55
65
75
85
95
105
10
16
14
10
5
115 f
8
2
Penyelesaian: 𝑋= =
∑ 𝑓𝑖 𝑋𝑖 ∑ 𝑓𝑖 8(55) + 10(65) + 16(75) + 14(85) + 10(95) + 5(105) + 2(115) 8 + 10 + 16 + 14 + 10 + 5 + 2
= 79,77 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑘 = 85 𝑑𝑖 = −30, 𝑑2 = −20, 𝑑3 = −10, 𝑑4 = 0, 𝑑5 = 10, 𝑑6 = 20, 𝑑7 = 30. 𝑋=𝑘+ =
∑ 𝑓𝑖 𝑑𝑖 ∑ 𝑓𝑖
8(−30) + 10(−20) + 16(−10) + 14(0) + 10(10) + 5(20) + 2(30) 8 + 10 + 16 + 14 + 10 + 5 + 2
= 79,77 Perhatikan apabila interval kelas-nya sama, dalam hal ini = 10, maka deviasi tersebut merupakan kelipatan dari kelas interval, d1 = -30 = 10(-3), d2 = -20 =
130
10(-2), d3 = -10 = 10(-1), dan seterusnya. Kalau kelas interval = c, maka di = cUi, dimana Ui = 0, ±, ±3, dan seterusnya. Jadi, rumus rata-rata menjadi: 𝑋 = 𝑘+𝑐(
∑ 𝑓𝑖 𝑈𝑖 ∑ 𝑓𝑖
)
Contoh 5.8 Kerjakan contoh 5.7, dengan rumus yang baru ini. d = -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30 c = 10 U = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 f = 8, 10, 16, 14, 10, 5, 2 fU = -24, -20, -16, 0, 10, 10, 6 ∑fiUi = -24 – 20 – 16 + 10 +10 +6 = -34 Penyelesaian: ∑ 𝑓𝑖 𝑈𝑖 𝑋 = 𝑘 +𝑐( ) ∑ 𝑓𝑖 = 85 + 10 (
−34 ) 65
= 79,77
V.
Jika suatu kelompok data sangat heterogen, maka rata-rata hitung tidak dapat mewakili masing-masing nilai dari kelompok tersebut dengan baik. Rata-rata hitung hanya dapat mewakili dengan sempurna atau nilainya tepat apabila kelompok datanya homogeny (semua nilai dalam kelompok sama). Semakin heterogen datanya semakintidak tepat. Suatu kelompok data dikatakan homogeny atau tidak bervariasi jika semua nilai dari kelompok tersebut sama dan dikatakan sangat heterogen jika nilainilai tersebut sangat berbeda satu sama lain atau sangat bervariasi. Antara homogen dan sangat heterogen disebut relatif homogeny, yaitu perbedaan
131
antara nilai yang satu dengan lainnyatidak begitu besar. Untuk mengukur tingkat homogenitas atau tingkat variasitersebut sering dipergunakan criteria yang disebut simpangan baku (standard deviation). Perhatikan tabel berikut ini, yang menggambarkan upah bulanan dalam ribuandari 3 kelompok pekerja perusahaan. Misalkan X = upah dalam ribuan rupiah. TABEL. Upah per Bulan Tiga Kelompok Pekerja X
kelompok I
kelompok II
kelompok III (Homogen)
(relatif homogen)
(heterogen) (1)
(2)
(3)
X1
50
60
(4)
100 X2
50
30
10
X3
50
50
40
X4
50
40
80
X5
50
70
20
Jumlah 250 Rata-rata
250 250 50
50
50
Rata-rata upah bulanan per pekerja dari kelompok I, II dan III masing-masing sama sebesar Rp50.000, namun jika diperhatikan secara lebih cerma, rata-rata dari kelompok I mewakili kelompok dengan sempurna atau tepat sekali (sebab masing-masing nilai sebesar Rp50.000, sama dengan nilai rata-rata), rata-rata kelompok II agak mewakili atau mewakili dengan cukup (sebab semua nilai dalam kelompok mendekati Rp50.000), sedangkan rata-rata kelompok III
132
sangat tidak mewakili. Jadi, nilai rata-rata hitung sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem (besar sekali atau kecil sekali).
MEDIAN Median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Misalnya data umur pegawai di Departemen X (Contoh dalam modus), untuk dapat mencari mediannya harus disusun terlebih dahulu urutannya. Dari data yang diberikan setelah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar menjadi seperti berikut :
19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57, 60
Nilai tengah dari kelompok data tersebut adalah urutan ke-7 yaitu 45. Jadi mediannya = 45. Kebetulan disini mediannya sama dengan modus. Misalnya tinggi badan 10 mahasiswa adalah sebagai berikut :
145, 147, 167, 166, 160, 164, 165, 170, 171, 180 cm
Untuk mencari median, maka data tersebut harus diurutkan terlebih dahulu dari yang kecil atau sebaliknya. Kalau diurutkan dari yang besar menuju kecil adalah :
180. 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145 cm
Jumlah individu dalam kelompok tersebut adalah genap, maka nilai tengahnya adalah dua angka yang ditengah dibagi dua, atau rata-rata dari dua angka yang tengah. Nilai tengah dari kelompok tersebut adalah, nilai ke 5, dan ke 6. Mediannya =
133
(166 + 165) : 2 = 165,5 cm. dengan demikian dapat dijelaskan rata-rata median tinggi badan kelompok mahasiswa itu adalah 165,5
Median digunakan karena rata-rata memiliki kelemahan bila dalam kelompok data terdapat harga yang sangat besar atau ekstrim. Median tidak mudah dipengaruhi data yang nilainya ekstrim, sedangkan mean sangat cepat dipengaruhi harga ekstrim.
MEDIAN (DATA TIDAK BERKELOMPOK)
Bila jumlah data ganjil maka median adalah data yang letaknya ditengah. Misalnya : 15 17 20 24 29 30 37, maka mediannya adalah 24 Bila jumlah data genap, maka median adalah sam dengan harga rata-rata hitung dari dua data yang letaknya ditengah : Misalnya : 12 13 14 19 20 22 24 27
Maka mediannya adalah :
19+20 2
= 19,5
Apabila ada sekelompok nilai sebanyak n diurutkan mulai dari yang terkecil X1, sampai dengan yang terbesar Xn, maka nilai yang ada ditengah disebut Median (Med).
Untuk n Ganjil Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n ganjil, maka selalu dapat ditulis : n = 2k + 1 atau k=
𝑛−1 2
misalnya :
134
n = 7 7 = 2k + 1 2k = 7 – 1 6
k=2 =3 n = 9 9 = 2k + 1 2k = 9 – 1 k=
8 2
=4
Kelompok nilai X1, X2, . . . . Xk-1, Xk, Xk+1,. . . . ., Xn
Terkecil
terbesar
Median = Xk+1, atau nilai yang ke (k + 1)
Contoh : Ada 7 karyawan dengan upah perbulan masing-masing Rp 100.000, Rp 120.000, Rp 150.000, Rp 175.000, Rp 185. 000, Rp 200.000, Rp 210.000. tentukan median upah karyawan tersebut ! Penyelesaian : Tentukan nilai k dari 7 = 2k + 1 = k = 3 Jadi, median = med = Xk+1 = X4 = Rp 175.000 Perhatikan bahwa X4 merupakan nilai yang berada di tengah-tengah setelah diurutkan mulai yang terkecil sampai dengan yang besar. X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 , X7
Med
135
Untuk n Genap
Kalau k adalah suatu bilangan konstan dan n genap, maka selalu dapat ditulis 𝑛
n = 2k, atau k = 2. Misalkan n = 8, maka k = 4. 1
Median = (Xk + Xk+1) 2
Contoh : Terdapat 8 orang siswa dan nilai nya dalam mata pelajaran Matematika adalah sebagai berikut : 70, 72, 71, 80, 75, 82, 78, 85. Berapakah nilai mediannya ?
Penyelesaian : X1 = 70, X2 =71, X3 = 72, X4 = 75, X5 = 78, X6 = 80, X7 = 82, X8 = 85 8 = 2k k=4 1
med = 2 (X4 + X5) 1
= 2 (75 + 78) = 76.5 Jadi, median nilai matematika para siswa tersebut adalah = 76.5
MEDIAN (DATA BERKELOMPOK)
Untuk data yang berkelompok, nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya adalah sebagai berikut :
Med = L0 + c {
Di mana :
𝑛 − (∑𝑓1 )₀ 2
𝑓𝑚
}
L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat
nilai median;
136
n = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi; (∑fi)0 = jumlah frekuensi dari semua kelas di bawah kelas yang mengandung median
(kelas yang mengandung median tak termasuk);
fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median;
c = besarnya kelas interval, jarak antara kelas yang satu dengan yang lainnya atau besarnya kelas interval yang mengandung median.
Contoh : hitunglah median berat badan 100 orang mahasiswa.
Berat Badan (kg)
F
60 – 62
5
63 – 65
18
66 – 68
42
69 – 71
27
72 – 74
8
Jumlah
100
Penyelasaian : setengah dari observasi =
100 2
= 50 f1 + f2 = 23, untuk mencapai 50
masing kurang 27, sehingga perlu ditambah dengan frekuensi kelas ketiga. Jadi, median terletak pada kelas ke-3, yaitu kelas 66 – 68, setelah dikoreksi menjadi 65,5 – 68,5 c = 68,5 – 65,5 = 3. 𝑛
L0 = 65,5, 1 = 50, (∑fi)0 = 23, fm = 42 𝑛
Med = L0 + c { 2
− (∑𝑓1 )₀ 𝑓𝑚
}
50−23
= 65,5 + 3 (
42
)
= 65,64
137
MODUS Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data yang disusun dalam bentuk kelas interval (data berkelompok) bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Jika dalam suatu kelompok data memiliki lebih dari satu nilai data yang sering muncul maka sekumpulan data tersebut memiliki lebih dari satu modus.. Modus biasanya dilambangkan dengan Mo. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data:
Apabila pada sekumpulan data terdapat dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
Apabila pada sekumpulan data terdapat lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
Apabila pada sekumpulan data tidak terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus. Modus Data Tidak Berkelompok X
F
(1)
(2)
x1
f1
x2
f2
.
.
.
.
.
.
xi
fi
.
.
.
.
.
.
xn
fn
138
Contoh : Delapan buah mobil sedang melaju di suatu jalan raya. Kecepatan kedelapan mobil tersebut adalah sebagai berikut.
60 , 80, 70, 50, 60, 70, 45, 75
Tentukan modus kecepatan mobil!
Jawab: Jika data diurutkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
45, 50, 60, 60, 70, 70, 75, 80
Hasil pengamatan dari pengurutan di atas bisa diketahui nilai data 60 dan 70 adalah nilai data yang paling sering muncul (masing-masing dua kali). Oleh karena itu modus sekelompok data di atas ada 2 adalah 60 dan 70.
Contoh : Berikut ini adalah nilai ujian matematika kelas 3 SMU:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 Jawab:
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak = 3), sehingga Modus (M) = 7
139
2,
4,
6,
6,
6,
7,
7,
7,
8,
9
→ Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Modus tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus
2,
4,
6,
6,
6,
7,
8,
8,
8,
9
→ Nilai yang sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Modus tersebut dikatakan bimodal karena mempunyai dua modus. Modus Data Berkelompok Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam table frekuensi,maka dalam mencari modus harus digunakan rumus sebagai berikut : (f1)0
Mo: L0 + c {(f1)0+(f2)0} Keterangan : LO
= nilai batas bawah,kelas yang memuat modus.
fm0
= frekuensi kelas yang memuat modus.
(f1)0
= fmo-f (mo-1) {selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (bawahan)}
(f2)0
= fmo-f (mo+1) {selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (atasnya)}
C
= besarnya jarak antara batas atas dan nilai batas bawah dari kelas yang memuat modus.
140
Contoh :
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi sebuah universitas.
Nilai
Frekuensi
Statistik
(fi)
51-55
5
56-60
6
61-65
14
66-70
27
71-75
21
76-80
5
81-85
3
Berapakah modus nilai statistik mahasiswa tersebut?
Jawab:
Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27. Sebelum menghitung menggunakan rumus modus data berkelompok, terlebih dahulu kita harus mengetahui batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, frekuensi kelas sesudahnya 21. Panjang kelas interval sama dengan 5.
Dengan begitu bisa kita menghitung modus nilai statistik mahasiswa sebagai berikut. (f1)0
Mo: L0 + c {(f1)0+(f2)0}
141
27−14
Mo = 65,5 + 5 ((27−14)+(27−21)) 13
Mo = 65,5 + 5 (13+6) = 65,5 + 3,42 = 68,92 PERBANDINGAN ANTARA RATA-RATA,MEDIAN,DAN MODUS Apabila distribusi frekuensi mempunyai kurva yang simetris dengan satu puncak saja,maka letak rata-rata 𝑥̅ ,median,dan modus adalah sama,yaitu 𝑥̅ = mod=med. Bentuk kurva Nilai Median,Modus,dan rata-rata sama
Median
modus 𝑥̅
(rata-rata) . Bentuk Kurva Nilai Rata-Rata >Med<Mod
Modus
median
𝑥̅ = (rata-rata)
(menceng kekanan)
142
Bentuk kurva nilai rata-rata <med<mod
𝑥̅ =(rata-rata)
median
modus
(menceng ke kiri)
Apabila distribusi tidak terlalu menceng.maka terdapat hubungan: Rata-rata-modus = 3 (rata-rata- median) Atau Modus = rata-rata-3 (rata-rata-median)
RATA-RATA DI LUAR UKURAN PEMUSATAN Rata-rata ukur Dalam masalah bisnis dan ekonomi sering kali diperlakukan data untuk mengetahui rata-rata persentase tingkat perubahan sepanjang waktu (average percentage rates of change over time),misalnya rata-rata persentase tingkat perubahan hasil penjualan, produksi , harga, dan pendapatan nasional selama 10 tahun yang lalau. Perhatikan data berkala mengenai hasil perjualan suatu penjualan (dalan jutaan rupiah) :
143
Tahun Penjualan
2004
2005
2006
2007
10
8
12
15
Barapa besarnya rata-rata persentase tingkat perubahan pertahun dari penjualan tersebut? Pertanyaan ini sebetulnya sama dengan mencari nilai konstan, sebagai persentase tingkat perubahan tahunan yang diperlukan sehingga angka hasil penjualan berubah dari Rp.10juta dari tahun 2004 menjadi Rp.15juta pada tahun 2007. Nilai ini dapat diperoreh dengan menggunakan rumus rata-rata ukur atau rumus bunga majemuk. Rumus rata-rta majemuk adalah sebagai berikut : 𝐺 = 𝑛√𝑋1 . 𝑋2 … 𝑋𝑛 Jadi rata-rata ukur suatu kelompok nilai X1,X2, … , Xn merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-masing nilai kelompok. Untuk mencari rata-rata ukur, juga dapat dipergunakan rumus berikut :
CONTOH : Cari rata-rata ukur dari data berikut : (a) X1= 2, X2 = 4, X3 = 8 PENYELESAIAN : 3
3 (a) G = 3√𝑋1 . 𝑋2 . 𝑋3 = √(2)(4)(8) = √64 = 4. Atau dapat dihitung dengan :
Log G = 1/3 (log X1 + log X2 + log X3) = 1/3 (log 2 + log 4 + log 8) = 1/3 (0,3010 + 0,6021 + log 0,9031) Log G = 1/3 (1,8062) G = 0,6021 G = antilog 0,6021 =4
144
RATA-RATA HARMONIS Rata-rata harmonis (RH) dari n angka, X, X, ... , X adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut diatas. 𝑛
RH =
∑𝑛 𝑖=1
1 𝑋𝑖
CONTOH : Seorang pedagang pakaian bekas di Pasar Baru memperoleh hasil penjulan sebesar Rp.200.000 per minggu dengan rincian, sebagai berikut: Minggu pertama : dapat menjual 10 pakaian seharga Rp.20.000/pakaian Minggu kedua
: dapat menjual 25 pakaian seharga Rp. 8.000/pakaian
Minggu ketiga
: dapat menjual 20 pakaian seharga Rp.10.000/pakaian
Minggu keempat : dapat menjual 40 pakaian seharga Rp.5.000/pakaian Berapa harga rata-rata pakaian tersebut perpakaian? PENYELESAIAN : Untuk menghitung rata-rata harga pakaian perpakaian dipergunakan rumus rata-rata harmonis sebagai berikut: 𝑛
RH = = =
∑𝑛 𝑖=1
1 𝑋𝑖
4 1 1 1 1 + + + 20.000 8.000 10.000 5.000
200.000 95
= 2.105,26 Jadi, harga rata-rata pakaian per pakaian adalah Rp.2.105,26. (Rata-rata harmonis ini jarang dipergunakan. Dan oleh karena itu kita tidak akan membahasnya lebih lanjut lagi).
145
DISTRIBUSI YANG DIBAGI OLEH 4, 10, 100 BAGIAN YANG SAMA KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL (DATA TAK BERKELOMPOK)
Jika sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama, maka nilai yang berada di tengah (50%) disebut dengan median. 50% 50% 𝑚𝑒𝑑 (𝑋 ≤ 𝑚𝑒𝑑) (𝑋 ≥ 𝑚𝑒𝑑) Untuk kelompok data dimana n ≤ 4, kita tentukan tiga nilai, katakanlah Q1, Q2, Q3, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama, yaitu setiap bagian memuat data yang sama atau jumlah observasinya sama. Nilai-nilai tersebut dinamakan kuartil pertama, kedua, dan ketiga. Pembagian itu adalah sedemikian rupa sehingga nilai 25% data / observasi sama atau lebih kecil Q1, 50% data / observasi sama atau lebih kecil dari Q2, 75% data / observasi sama atau lebih kecil dari Q3.
50%
25% ,
,
Q1
Q2
, Q3
75% Dimana Q2 = med Jika suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka untuk menghitung Q1, Q2,dan Q3 harus dipergunakan rumus berikut: Qi = nilai yang ke-
𝑖(𝑛+1) 4
, 𝑖 = 1,2,3
146
CONTOH : berikut ini adalah nilai ujian kalkulus dari 13 siswa dikelas X-A SMAN 1Medan, yaitu 55, 60,70, 80, 65, 40, 85, 75, 90, 95, 45, 50, 100, (n = 13). Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.
PENYELESAIAN : Langkah pertama data diurutkan terlebih dahulu: X1= 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 55, X5 = 60, X6 = 65, X7 = 70, X8 = 75, X9 = 80, X10 = 85, X11 = 90, X12 = 95, X13 = 100. Q1
= nilai yang ke= nilai ke-
𝑖(𝑛+1) 4
1(13+1) 4 1
1
= nilai ke-32 (nilai yang ke-32, berarti rata-rata dari X3 dan X4) Jadi : Q1
=
1 2
(X3 + X4 )
1
= 2 (50 + 55) = 52,5 Q2
= nilai ke-
2(13+1) 4
= nilai ke-7 Jadi: Q2
= X7 = 70
Q3
= ke-
3(13+1) 4 1
1
= nilai ke-102 (nilai yang ke-102, berarti rata-rata dari X10 dan X11) Jadi: Q3
= =
1 2 1 2
(X10 + X11) (85 + 90)
= 87,5
147
Untuk kelompok data dimana n ≥ 10, dapat ditentukan 9 nilai yang membagi kelompok data tersebut menjadi 10 bagian yang sama, misalnya D1, D2, ... ,D9, artinya setiap bagian mempunyai jumlah observasi yang sama, sedemikian rupa sehingga nilai 10% observasi sama atau lebih kecil dari D1, nilai 20% observasi sama atau lebih kecil dari D2, dan seterusnya. Nilai tersebut dinamakan desil pertama, kedua, dan seterusnya sampai desil kesembilan. Kalau nilai kelompok data tersebut sudah diurutkan dari yang terkecil (=X1) sampai yang terbesar (=Xn), maka rumus desil adalah sebagai berikut: Di = nilai yang ke-
𝑖(𝑛+1) 10
, i = 1, 2, ... , 9
CONTOH : Berdasarkan Contoh diatas, hitunglah D1, D2 , dan D3. PENYELESAIAN: D1
= nilai ke-
1(13+1) 10 4
= nilai ke-110 4
4
= nilai ke-110, berarti X1 + 10 (X2 - X1) 4
= 40 + 10 (45 – 40) = 42
D2
= nilai ke-
2(13+1) 10 8
8
= nilai ke-210, berarti X2 + 10 (X3 – X2) 8
= 45 + 10 (50 – 45) = 49
D9
= nilai ke ke-
9(13+1)
6
10 6
= nilai ke-1210, berarti X12 + 10 (X13 – X12)
148
6
= 95 + 10 (100 – 95) = 98 Terakhir, untuk kelompok data, dimana n ≥ 100, dapat ditentukan 99 nilai, P1, P2, ..., P99 yang disebut persentil pertama, kedua, dan ke-99, yang yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100 bagian; masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang sama, dan sedemikian rupa, sehingga 1% dari observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari P1, 2% observasi mempunyai nilai yang sama atau lebih kecil dari P2, dan seterusnya. Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka rumus persentil adalah sebagai berikut: Pi = nilai yang ke-
𝑖(𝑛+1) 100
, i = 1, 2, ... , 99
KUARTIL, DESIL, DAN PERSENTIL (DATA BERKELOMPOK) Untuk data berkelompok, yaitu data yang sudah dibuat tabel frekuensinya, maka rumus-rumus kuartil, desil, dan persentil adalah sebagai berikut: Rumus Kuartil: 𝑖𝑛
Qi = Lo + c { 4
−( ∑ 𝑓𝑖 )₀ 𝑓𝑞
} , 𝑖 = 1,2,3
Dimana : Lo
= nilai batas bawah dari kelas yang memuat kuartil ke-i;
n
= banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi;
(∑ 𝑓𝑖 )₀ = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil ke-i 𝑓𝑞
(kelas yang mengandung kuartil ke-i tidak termasuk); = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i;
149
c
= besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i atau jarak nilai
batas
bawah (atas) dari suatu kelas terhadap nilai batas bawah (atas) kelas berikutnya. i
= 1, 2, 3,
in
= i kali n
Rumus Desil : 𝑖𝑛
Di = Lo + c {10
−( ∑ 𝑓𝑖 )₀ 𝑓𝑑
}
Rumus Persentil : 𝑖𝑛
Pi = Lo + c {100
−( ∑ 𝑓𝑖 )₀ 𝑓𝑝
}
Dimana: Lo
= nilai batas bawah dari kelas yang mengandung desil ke-i (persentil
n
= banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi;
ke-i) (∑ 𝑓𝑖 )₀ = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang memuat desil ke-i (persentil ke-i) 𝑓𝑑
= frekuensi dari kelas yang mengandung desil ke-i;
𝑓𝑝
= frekuensi dari kelas yang mengandung persentil ke-i;
c
= besarnya kelas interval yang mengandung desil ke-i (persentil ke-i)
150
CONTOH : Hitunglah Q1, Q3, D5, P25 dari nilai ujian kalkulus dari 120 orang mahasiswa FE Unimed, Medan adalah: Nilai Ujian
Banyak
Mahasiswa (1)
(1)
(2)
30 – 39
9
40 – 49
32
50 – 59
42
60 – 69
21
70 – 79
11
80 – 89
3
90 – 100
1
PENYELESAIAN : letak Q1 =
𝑚 4
=
1(120) 4
= 30 , n = 120
untuk menghitung Q1 : f1 = 9 belum mencapai 30. Agar mencapai 30, Q1 = f1 + f2 = 41dengan demikian kelas ke-2 memuat Q1. Dari data, (∑fi)0 = 9 ; Lo = 39,5 ; c = 49,5 – 39,5 = 10 ; fq = 32; Q1 = Lo + c {
𝑖𝑛 −( ∑ 𝑓𝑖 )₀ 4
𝑓𝑞
= 39,5 + 10 {
}
30−9 32
}
= 39,5 + 6,6 = 46,1 Letak Q3 =
𝑚 4
=
3(120) 4
= 90 , untuk menghitung letak Q3 = f1 + f2 + f3 = 84 belum
mencapai 90. Agar mencapai 90 maka Q3 = f1 + f2 + f3 + f4 = 105. Dengan demikian Q3 berada di kelas ke-4. Dari data (∑fi)0 = 84; L0 = 59,5; c = 10; fq = 21.
151
𝑖𝑛
Q3 = Lo + c { 4
−( ∑ 𝑓𝑖 )₀ 𝑓𝑞
= 59,5 + 10 {
}
90−84
}
21
= 59,5 + 2,9 = 62,4 𝑚
5(120)
Letak D5 = 10 =
10
= 60, untuk menghitung letak D5 = f1 + f2 = 41 belum mencapai
60. Agar mencapai 60 maka D5 = f1 + f2 + f3 = 84. Dengan demikian D5 berada di kelas ke-3. Dari data (∑fi)0 = 41; L0 = 49,5; c = 10; fd = 43. D3 = Lo + c {
𝑖𝑛 −( ∑ 𝑓𝑖 )₀ 10
𝑓𝑑
= 49,5 + 10 {
}
60−41
}
43
= 49,5 + 4,42 = 53,92, artinya 60% dari observasi sama atau lebih kecil dari 53,92. 𝑚
Letak P25 = 100 =
25(120) 100
= 30, untuk menghitung letak P25 = f1 = 9 belum mencapai
30. Agar mencapai 30 maka P25 = f1 + f2 = 41. Dengan demikian P25 berada di kelas ke-2. Dari data (∑fi)0 = 9; L0 = 39,5; c = 10; fp = 32. 𝑖𝑛
−( ∑ 𝑓𝑖 )₀
P25 = Lo + c {100
= 39,5 + 10 {
𝑓𝑝
}
30−9 32
}
= 39,5 + 6,56 = 46,16 artinya nilai 30% dari observasi mempunyai nilai sama atau lebih kecil dari 46,16.
152
SOAL LATIHAN A. Soal pilihan berganda. 1. Nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data adalah …… a. Median b. Modus c. Rata-rata d. Ukuran pemusatan 2. Beberapa jenis rata-rata yang sering dipergunakan ialah…… a. Rata-rata hitung, rata-rata harmonis dan rata-rata ukur b. Rata-rata median dan rata-rata modus c. Rata-rata gabungan dan rata-rata pemusatan d. Rata-rata mean, rata-rata harmonis dan rata-rata desil 3. Yang termasuk kedalam rata-rata hitung yaitu,….. a. Median, modus dan kuartil b. Modus, sampel, dan populasi c. Desil, persentil, dan kuartil d. Sampel dan populasi 4.
Nilai yang ada ditengah-tengah sekelompok data jika nilai-nilai tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah pengertian dari….. a. Median b. Modus c. Kuartil d. Desil
5. Lima orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai berikut: 5, 6, 7, 3, 2. Median dari jumlah kelereng tersebut adalah? a. 2 b. 3
153
c. 5 d. 6 6. Sepuluh orang siswa dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh siswa tersebut adalah sebagai berikut : 172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170 berapakah median dari data tinggi badan siswa? a. 160,5 b. 165,5 c. 170,5 d. 180,5 7. Diketahui data yang menunjukkan ukuran badan siswa disebuah sekolah SD di Medan yaitu: 30,35,35,40,45,30,35.berapakah modus dari data tersebut yaitu: a. 30 b. 35 c. 40 d. 45 8. Tentukan modus dari data berikut: Interval
F
21-25
2
26-30
8
31-35
9
36-40
6
41-45
3
46-50
2
a. 31,75 b. 30 c. 30.50 d. 31.50
154
9. Persentil kesepuluh (P10) dari data pada tabel berikut ini adalah ... Nilai
Frekuensi
31-40
4
41-50
10
51-60
15
61-70
9
71-80
2
a. 30,5 b. 41,5 c. 35,5 d. 39,5 e. 75,00
10. Kuartil pertama (Q1) untuk data pada tabel berikut adalah ... Nilai
Frekuensi
41-50
2
51-60
4
61-70
9
71-80
7
81-90
5
91-100
3
a. 60,17 b. 61,17 c. 62,17 d. 63,17 e. 64,17
155
B. Soal Essai 1. Coba anda jelaskan pengertian dari ukuran pemusatan ? 2. Data apa sajakah yang sering menggunakan rata-rata hitung? 3. Apakah perbedaan dari rata-rata populasi dengan rata-rata sampel? 4. Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.
Hitunglah median berat badan mahasiswa! 5. Tentukan median dari tabel berikut : Interval Kelas
Frekuensi
40 – 44
2
45 – 49
2
50 – 54
6
55 – 59
8
60 – 64
10
65 – 69
11
70 – 74
15
75 – 79
6
156
80 – 84
4
85 – 89
4
90 – 94
3
6. Tentukan median dari data berikut !
67
86
77
92
75
70
63
79
89
72
83
74
75
103
81
95
72
63
66
78
88
87
85
67
72
96
78
93
82
71
7. Sembilan orang siswa memiliki nilai ujian sebagai berikut. 77, 62, 72, 54, 76, 57, 81, 70. Tentukan modus nilai siswa! 8. Diketahui data sebagai berikut : Data
F
40-44
3
45-49
1
50-54
8
55-59
12
60-64
11
65-69
5
Tentukanlah modus dari data tersebut.
157
9. Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di) Data Tidak Berkelompok Tentukan Kuartil, Desil dan Persentil dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah ) berikut ini 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. 10. Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di) Data Berkelompok Tentukan Kuartil, Desil dan Persentil dari Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40 perusahaan yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini : Modal
Frekuensi ( f )
112 - 120
4
121 – 129
5
130 – 138
8
139 – 147
12
148 - 156
5
157 - 165
4
166 - 174
2 ∑ f = 40
C. Soal Studi kasus 1. Diketahui informasi sebagai berikut : Di dalam suatu kelas A Reguler terdapat data berikut ini yang menunjukkan nilai hasil ujian matematika ekonomi 28 mahasiswa. 80, 85, 55, 80, 60, 70, 90, 85, 55, 70 70, 90, 80, 60, 55, 85, 80, 70, 90, 55 90, 80, 85, 70, 70, 55, 60, 70. Dari data tersebut identifikasikanlah rata-rata hitung tertimbang dari nilai ujian matematika kelas A regular tersebut?
158
2. Diketahui informasi sebagai berikut : Berikut ini adalah nilai statistik ekonomi untuk kelas B reguler mahasiswa jurusan ekonomi di sebuah perguruan tinggi swasta di Tanjung Pura. Nilai
Frekuensi
Statistik
(fi)
51 – 55
5
56 – 60
6
61 – 65
14
66 – 70
27
71 – 75
21
76 – 80
5
81 – 85
3
86 – 90
10
91 – 95
9
Dari data tersebut bisa ditarik kesimpulan memiliki beragam ukuran pemusatan. Jadi, tentukanlah dari data tersebut median, modus, Q1, Q3, D5, dan P25 dari data mahasiswa yang memiliki nilai mata kuliah statistik diatas?
159
BAB 6 UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI
Kompetensi Inti :
Memahami ukuran variasi atau dispersi
Kompetensi Dasar
Menjelaskan pengertian variasi/dispersi, jenis- jenis ukuran variasi atau dispersi
Menghitung beberapa ukuran dispersi
160
Dispersi atau variasi adalah suatu tingkatan dimana data-data numerik memiliki kecenderungan untuk menyebar disekitar nilai rata- ratanya.
Mengapa mempelajari dispersi? Nilai rata- rata seperti mean atau median hanya menitik beratkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut. Kita tentu tidak akan menyeberangi sebuah danau begitu saja jika kita tahu kedalaman rata- ratanya 2 m. Alasan kedua mempelajari dispersi adalah untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai.
Pengukuran Dispersi Data Tidak Dikelompokkan
Nilai Jarak atau Jangkauan Nilai jarak atau jangkauan adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dalam himpunan bilangan tersebut. Kalau suatu kelompok nilai ( data ) sudah disusun menurut urutan yang terkecil
( X1) sampai yang terbesar ( Xn), maka untuk menghitung nilai
jarak dipergunakan rumus berikut : Nilai Jarak = NJ : Xn – X1 atau NJ : Nilai Maksimum – Nilai Minimum Contoh : Carilah jarak dari data berikut : 5, 5, 3, 3, 2, 10, 5, 12, 8 Penjelasan : Pertama urutkan data terlebih dahulu 2,
3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 Maka NJ : Xn – X1 X9 – X1 = 12 - 2 = 10
161
Rata- rata Simpangan 1
Apabila dipunyai data X1, X2, X3, ........., Xi, ....., Xn, dan rata- rata 𝑥 = 𝑛 ∑ 𝑥1 , maka simpangan terhadap rata- rata hitung diartikan sebagai berikut : ( 𝑥1− 𝑥 ), (𝑥2− 𝑥 ), ......, (𝑥𝑛− 𝑥 ). Rata- rata simpangan adalah rata- rata hitung dari nilai absolut simpangan 1
yang dirumuskan : RS = 𝑛 ∑[ 𝑥1− 𝑥 ] Untuk simpangan selalu kita ambil nilai mutlaknya, simpangan terhadap median diartikan sebagai berikut : ( 𝑥1− 𝑀𝑒𝑑 ), ( 𝑥2− 𝑀𝑒𝑑 ), ......,( 𝑥𝑖− 𝑀𝑒𝑑 ),...., (𝑥𝑛− 𝑀𝑒𝑑) 1
Jadi simpangan terhadap median dirumuskan RS = 𝑛 ∑[ 𝑥𝑖− 𝑀𝑒𝑑 ] Simpangan Baku Adalah standar satuan skala untuk kelompok data yang diolah ( dianalisis ) satuannya mengikuti sattuan data yang diukur. Bila setiap data mengacu pada harga rata- ratanya 𝑥 , maka akan diperoleh simpangan sebesar d = 𝑥1− 𝑥 , karena d menyatakan jarak, maka nilainya harus pasif, atau d =[𝑥1− 𝑥 ] nilai negatif menyatakan data berada disebelah kiri rata- rata pada garis bilangan data. Kalau kita mempunyai suatu populasi dengan jumlah elemen sebanyak N dan sampel dengan n elemen, dan selanjutnya nilai suatu karakteristik tertentu kita kumpulkan, maka kita akan memperoleh sekumpulan nilai observasi sebagai berikut : 𝑥1 , 𝑥2, ......, 𝑥𝑖 , ....... 𝑥𝑁 M =
1 𝑛
∑𝑛𝑖=1 𝑥1 = rata- rata sebenarnya dari 𝑥 ( rata- rata
populasi) Sampel = 𝑥1 , 𝑥2, ......, 𝑥𝑖 , ....... 𝑥𝑁 1
𝑥 = 𝑁 ∑𝑛𝑖=1 𝑥1 = rata- rata perkiraan dari 𝑥
162
𝑥 = adalah perkiraan dari M Varians populasi ( 𝐺 2 ) , rumusnya adalah : 1
𝐺 2 = 𝑁 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖− M )2 Varians sampel (𝑆 2 ) rumusnya adalah : 1
𝑆 2 = 𝑁 ∑𝑛𝑖=1(𝑥1− 𝑥 )2 Rumus dan simbol dari simpangan baku populasi, adalah : 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖− 𝑀)
G =√
𝑁
Pada prakteknya, pengumpulann data yang harga didasarkan atas sampel tidak menghasilkan varian / simpangan baku yang sebenarnya, tetapi hanya suatu perkiraan saja sebagai berikut : 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥1− 𝑥 )
G =√
𝑛
Pengukuran Dispersi Data Dikelompokkan A. Nilai Jarak Untuk data kelompok, nilai jarak ( NJ ) dapat dihitung dengan dua cara, yaitu : 1. NJ = Nilai tengah kelas akhir – Nilai tengah kelas I 2. NJ = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas I Contoh : Hitunglah nilai jarak dari upah 30 orang karyawan . Upah ( Ribuan Rp )
Banyak Orang ( f )
50 – 52
2
53 – 55
5
163
56 – 58
8
59 – 61
10
62 – 64
5
Jumlah
30
Penyelesaian : Cara I : Nilai tengah kelas terakhir : Nilai tegah kelas pertama : Maka : NJ
62+64 2
50+52 2
= 63
= 51
= Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama = 63 – 51 = 12
Cara II Batas atas kelas terakhir = 64,5 Batas bawah kelas pertama = 49,5 Maka : NJ
= Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama = 64,5 – 49,5 = 15
NB : Cara I cenderung menghilangkan kasus-kasus ekstrim
B. Simpangan Baku
Untuk data yang berkelompok dan sudah disajikan dalam table frekuensi, rumus simpangan baku populasi adalah sebagai berikut : 𝑘
ð = 𝑐 √∑ 𝑖=1
𝑓𝑖(𝑚𝑖 − 𝑁)2 𝑁
𝑀𝑖 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 𝑖, 𝑖 = 1.2 … … … . . 𝑘
164
Atau
1
ð = √𝑁 [∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖2
Keterangan
2 (∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖𝑀𝑖)
𝑁
] untuk kelas interval yang sama
c : keterangan kelas interval Fi : Frekuensi kelas ke-i di : deviasi simpangan dari kelas ke-I terhadap titik asal asumsi Mi : nilai tengah kelas ke-i
Untuk data sampel diperoleh simpangan baku sampel dengan rumus :
2 ∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖
𝑠=𝑐√
𝑛 ±1
− [
∑𝑘 𝑖 𝑓𝑖 𝑑𝑖 𝑛−1
]²
untuk kelas yang sama
Dan
1
𝑠 = √𝑛−1 {∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑀𝑖2 −
(∑𝑘 𝑖=1 𝑓𝑖 𝑀𝑖 )² 𝑛−1
}
untuk kelas yang tidak sama
Contoh : Hitunglah simpangan baku dari data berikut :
1) X1 = 60, X2 = 60, X3 = 60, X4 = 60, X5 = 60 (Kelompok karyawan pertama) 2) X1 = 60, X2 = 50, X3 = 40, X4 = 70, X5 = 80 (Kelompok karyawan kedua) 3) X1 = 100, X2 = 50, X3 = 90, X4 = 30, X5 = 20 (kelompok karyawan ketiga) X = upah bulanan karyawan suatu perusahaan (dalam Rp)
165
Jawaban :
𝑁
(∑𝑁 1 𝑖=1 𝑋𝑖 )² 2 √ 𝜎= {∑ 𝑋𝑖 – } 𝑁 𝑁 𝑖=1
Kelompok 2
Kelompok 1
Kelompok 3 2
X
X2
X
X
X
X2
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
X1 = 60
3.600
X1 = 60
3.600
X1 = 100
10.000
X2 = 60
3.600
X2 = 50
2.500
X2 = 50
2.500
X3 = 60
3.600
X3 = 40
1.600
X3 = 90
8.100
X4 = 60
3.600
X4 = 70
4.900
X4 = 30
900
X5 = 60
3.600
X5 = 80
6.400
X5 = 20
400
∑Xi = 300
∑Xi = 300
∑𝑋𝑖2 =
1
∑Xi = 300
19.000
18.000
𝜎₁ = √5 {18.000 –
∑𝑋𝑖2 =
(300)² 5
∑𝑋𝑖2 = 24.000
}
=0 (kelompok karyawan pertama upah bulananya homogen dengan kata lain tidak bervariasi, nilai simpangan bakunya = 0)
Contoh : modal daro 40 populasi perusahaan (dalam jutaan rupiah) adalah sebagai berikut :
138
164
150
132
125
149
157
146
158
140
147
148
152
144
166
168
126
138
176
119
154
165
146
173
142
147
153
140
135
161
145
135
142
156
145
128
Kemudian data dikelompokkan dan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi sebagai berikut :
Modal
Nilai Tengah
Sistem Tally
f
(M) 118 – 126
122
///
3
127 – 135
131
////
5
136 – 144
140
//// ////
9
145 – 153
149
//// //// //
12
154 – 162
158
////
5
163 – 171
167
////
4
172 – 180
176
//
2
Jumlah
40
Hitunglah simpangan baku terhadap data yang berkelompok.
Jawaban : Untuk data berkelompok harus diperlukan jarak antara kelas yang satu dengan kelas berikutnya sama, atau dengan perkataan lain selisih nilai tengah yang satu dengan nilai tengah lainnya sama, yaitu sebesar (131 – 122) = (140 – 131) = ... = 9, jadi c = 9. Tentukan titik asal asumsi = M = 149, yaitu kelas 145 – 153. Dengan demikian, kita dapat memperoleh nilai simpangan (deviasi) dari setiap nilai tengah terhadap titik asal asumsi tersebut sebagai berikut :
167
Kelas
f
d
d2
fd
fd2
118 – 126
3
-3
9
-9
27
127 – 135
5
-2
4
-10
20
136 – 144
9
-1
1
-9
9
145 – 153
12
0
0
0
0
154 – 162
5
1
1
5
5
163 – 171
4
2
4
8
16
172 – 180
2
3
9
6
18
Jumlah
40
0
28
∑fidi = -9
∑fidi2 = 95
𝜎 = √𝑐
∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖2 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖2 − [ ]² 𝑁 𝑁
95
−9
= 9 √ 40 − [ 40 ] ² = 13,72
Contoh : a) Berdasarkan data yang sudah dikelompkkan dari contoh diatas, hitunglah simpangan baku. b) Hitunglah simpangan baku untuk data berikut : X = nilai ujian Statistik Matematik dari 50 mahasiswa Akademik Ilmu Statistik. Kelas
M
f
30 – 39
34,5
4
40 – 49
44,5
6
50 – 59
54,5
8
60 – 69
64,5
12
168
70 – 79
74,5
9
80 – 89
84,5
7
90 – 100
94,5
4
Jawaban : Untuk menghitung simpangan baku diperlukan lembaran kerja sebagai berikut : M
M2
F
fM
fM2
122
14.885
3
366
44.652
131
17.161
5
655
85.805
140
19.600
9
1.260
176.400
149
22.201
12
1.788
266.412
158
24.964
5
790
124.820
167
27.889
4
668
111.556
176
30.976
2
352
61.952
∑fi = 40
∑fiMi = 5.879
∑fiMi2 = 871.597
Jumlah a) 𝜎=√
1 3.255² {225.982,50 − } 50 50
= 16,78 Jadi, simpangan baku merupakan satuan ukuran (unit of measurement) dari simpangan atau deviasi. Seperti halnya kg, ton untuk mengukur berat; cm, m ,km untuk mengukur panjang, maka 𝜎 = simpangan baku digunakan untuk mengukur simpangan atau deviasi masing-masing nilai individu dari suatu kelompok data terhadap rata-rata hitungnya. Satuan simpangan baku mengikuti data aslinya. Kalau satuan data asli kg, liter, m, Rp, maka satuan 𝜎 juga kg, liter, m, Rp.
169
Nilai atau data yang dibakukan (Standardized Value) Variabel x mempunyai rata-rata dengan simpangan baku ð. Jadi nilai baku dari xi dan zi
𝑋𝑖− µ ð
𝑥𝑖 ø
mempunyai
atau merupakan nilai simpangan atau deviasi nilai baku
(Z) didefinisikan dalam bentuk 𝑧 =
𝑥𝑖−𝑥 𝑠
nilai rata – rata z = 0
Varian z : 𝐺𝑧2 = ∑(𝑧𝑖 − 𝑧̅̅̅̅̅̅̅ ) 2 =
∑ 𝑧𝑖 2 (𝑛−1)
= ∑(𝑥𝑖−𝑥̅ ) 5 =
2
/(𝑛 − 1)
̅̅̅̅̅̅̅̅ 2 1 ∑(𝑥𝑖.𝑥) 𝑠2
(𝑛−1)
1
= 𝑠2 x 𝑠 2 = 1.
Koefisien Variasi
kv : Koefisien variasi data 𝑠
kv : 𝑥 x 100% Koefisien variasi menyatakan perbandingan standar deviasi dengan rata-rata. Contoh : Dari dua kelompok data (sampel) didapat hasil sebagai berikut. Tentukanlah kelompok data yang bervariasi ! A
4
6
8
12
18
B
4
7
6
8
5
170
XA = 9.6 ; SA = 5.55 XB = 6 ; SB = 1.58 KVA = KVB =
55.5 9.6 1.58 6
= 0.578 = 0.263
KVA > KVB artinya kelompok A lebih bervariasi. Contoh diatas menunjukkan bahwa nilai KV suatu kelompok data, menyatakan tingkat kebervariasian data dalam kelompoknya. Semakin kecil nilai KV artinya kelompok data tersebut semakin relative homogeny. Untuk KV=0 memberikan arti ukuran setiap elemen data tepat sama.
Ukuran Kemencengan Kurva (Skewness)
Ukuran tingkat kemencengan (TK) menurut Pearson adalah sebagai berikut :
X med mod Kurva menceng ke kiri
Mod = X = Med Kurva simetris
TK : dimana :
Mod med X Kurva menceng ke kanan
𝑥−𝑀𝑜𝑑 𝑠
x = rata – rata hitung Mod S
= modus = simpangan baku
Atau
171
TK =
3|(𝑥−𝑚𝑒𝑑) 𝑠
Secara emperis dapat ditunjukan bahwa x – mod = 3(x-med).
Ukuran tingkat kemencengan dapat juga dihitung berdasarkan momen ketiga dengan rumus sebagai berikut : 𝑀3
1
3= 𝑆3 = NS3 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)3 (untuk data tidak berkelompok) atau 𝑀3
1
3= 𝑆3 = NS3 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖(𝑚𝑖 − 𝑥)3 (untuk data berkelompok) Apabila kelas intervalnya sama , maka untuk menghitung sebagai berikut : 𝐶3
𝑖
𝑖
𝑖
1
3=𝑆3 𝑛 ∑𝑘1=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖 3-3(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖 2)(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖𝑑𝑖) + 2(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖 3) Di mana : 3 = ukuran tingkat kemencengan S
= simpang baku
C
= besarnya kelas interval
fi
= frekuensi kelas ke-i
di = simpangan ke-I terhadap titik asal k
= banyaknya kelas.
Ukuran kemencengan lainnya dengan menggunakan kuartil dan persentil : QCS
=
10-90 PCS
=
QC5
(𝑄3−𝑄2)−(𝑄2−𝑄1) 𝑄3−2𝑄2+𝑄1 𝑄3−𝑄1
=
𝑄3−𝑄1
(𝑃90−𝑃50)−(𝑃50−𝑃10) 𝑃90−2𝑃50+𝑃10 𝑃90−𝑃10
=
𝑃90−𝑃10
= quartile coefficient of skewness
Ukuran Keruncingan Kurva
172
Dilihat dan tingkat keruncinganya kurva distribusi Frekuensi dibagi menjadi 3 yaitu leptokortis, platy kurtis dan meso kurtis dan bentuk Kurvanya sebagai berikut ;
a.Puncaknya sangat runcing b. puncaknya agak datar c. puncaknya tidak begitu runcing (leptokurtis)
(platykurtis)
(mesokurtis)
Untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva distribusi di pergunakan 4, yaitu momen coeffisien of kutois yang rumusnya sebagai berikut : 𝑀4 𝑖 ∑𝑛 𝑖=1 𝑓𝑖(𝑀𝑖−𝑥)4
4= 𝑆4 =𝑛
𝑆4
(untuk data berkelompok)
Kalau kelas intervalnya sama, maka rumus akan menjadi 𝑐4 𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
4=𝑠4𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖𝑑𝑖 4-4(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖3)(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖) + 6(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖2)(𝑛 ∑𝑘𝑖=1 𝑓𝑖 𝑑𝑖)4 Rumus lainnya disebut quartile coefficient of kurtosis (QCK), yaitu sebagai berikut : 1
(𝑄3−𝑄1)
QCK=2𝑃90−𝑃10
Suatu distribusi yang mempunyai nilai QCK =0.263 Dapat di dekati dengan fungsi normal
173
Sifat sifat deviasi standar 1. Deviasi standart dapat di definisikan sebagai 𝑁
(𝑥𝑗−𝑎)2
∑ S=√ 𝑖=1
𝑁
Dimana a adalah rata-rata yang bukan mean aritmetik. Dari semua defiasi standar semacam ini , nilai minimum tercapai jika a= berdasarkan sifat ke 2 dari sifat sifat mean arit metik yang diterangkan pada bab 3. Sifat ini menjadi landasan bagi alas an penting untuk pendefinisian davaiasi standar di atas. Untuk pembuktian sifat ini, 2. Untuk distribusi normal terlihat bahwa a. 68,27% kasus berada diantara -s dan +2s(yaitu satu deviasi standar pada masing masing sisi dari mean) b. 95,45% kasus berada diantara -2s dan +2s(yaitu dua dua divariasi standar masing-masing sisi dari mean) c. 99,73% kasus berada diantara -3s dan +3s(yaitu tiga daviasi standar pada masing masing sisi dari mean) Diberikan diatas secara pendekatan dapat tetap digunakan.
-s +s
-3s +2s
-3s +3q
3. Misalkan terdapat dua himpunan yang terdiri atas N1 dan N2 bilangan (atau dua distribusi frekuensi dengan frekuensi-frekuensi total masin-masing N1 dan N2 ) masing-masing memiliki varians s2 dan S22 dan mempunyai mean ,
174
yang sama maka kombinasi varians dari kedua himpunan bilangan ( kedua distribusi frekuensi) tersebut diberikan rumus 𝑁𝑖𝑆21+𝑁2𝑆
S2=
2 2
𝑁𝑖+𝑁2
Perhatikan bahwa persamaan diatas merupakan persamaan untuk mean aritmetik terbobot dari varians persamaan ini dapat di generelisasi untuk tiga himpunan bilangan atau lebih.
175
LATIHAN SOAL
A. Soal Pilihan Berganda
1. Nilai terbesar dikurangi nilai terkecil disebut juga dengan........ a. Nilai Baku
c. Simpangan
b. Nilai Jarak
d. Deviasi
2. Simpangan baku merupakan ......... a. Akar kuadrat positif dari varians
c. Rata- rata hitung dari kudrat
simpangan b. Rata- rata hitung nilai absolut
d. Ukuran jauh dekatnya nilai
3. Dibawah ini yang tidak termasuk jenis- jenis dari ukuran keruncingan kurva adalah : a. Leptokurtis
c. Mesokurtus
b. Playtikurtis
d. Skewness
4. Bila diketahui data- data berikut ini maka Nilai jaraknya adalah ........... X = 52, 56, 58, 64, 68, 70, 72, 76, 80, 82 a. 10
b. 20
c. 30
d. 40
5. Himpunan bilangan
176
( a ) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5, berapakah deviasi mean dari himpunan tersebut....... a. 4, 25
Upah ( Ribuan Rp )
b. 5,25
c. 3,25
d. 2,25
Banyak Orang ( f )
60 – 62
5
63 – 65
18
66 – 68
42
69 – 71
27
72 – 74
8
Jumlah
100
6. Jangkauan dari data kelompok diatas adalah ......... a. 12
b. 13
c. 14
d. 15
7. Diketahui data sebagai berikut : X1 = 2, X2 = 8, X3 = 10, X4 = 4, X5 = 1 ( N = 5) Berapakah nilai baku dari ( Z4 ) yang ke 4....... a. -0, 86
b. 1,43
c. -0, 29
d. -1, 14
8. Dari soal no. 7 diatas maka N adalah..... a. 2,5
b. 3,5
c. 4,5
d. 5,5
177
9. Rumus dari koefisien variasi untuk menentukan populasi adalah...... 𝐺
a. KV = 𝑁 x 100 %
c. KV = S x 100 %
𝑆
b. KV = 𝑋 x 100 %
d. KV =
𝑁 𝑆
x 100 %
10. Diketahui data sebagai berikut : 50
40
30
60
70
Berapakah rata- rata simpangan dari data ( 𝑥 ) tersebut adalah ....... a. 20
b. 15
c. 12
d. 18
B. Soal Essai 1. Apa yang dimaksud dengan nilai jarak? 2. Apa yang dimaksud dengan koefisien variasi? 3. Apa yang dimaksud dengan deviasi rata-rata?
4. Himpunan bilangan 14, 8, 9, 5, 17, 12, 20, 7 Carilah deviasi standarnya ! 5. Hasil ujian susulan matematika 10 mahasiswa mata kuliah statistik adalah sebagai berikut : 70, 75, 80, 65, 60, 85, 95 Dengan data tersebut hitunglah : a. Nilai Jarak
b. Rata-rata simpangan, dan
c. Koefisien
Variasinya b. 6. Persetase penduduk 15 tahun keatas Menurut jam kerja selama seminggu Jam Kerja
Persentase
0–9
2
178
10 – 19
6
20 – 29
22
30 – 39
27
40 – 49
23
50 – 59
15
60 – 69
5
7. Kelas
Frekuensi
2–5
7
6–9
2
10 – 13
5
14 – 17
12
18 – 21
10
Tentukan : a. Nilai Jaraknya b. Deviasi Standar dan c. Varians
8. Tinggi badan 100 orang mahasiswa universitas XYZ Upah ( Ribuan Rp )
Banyak Orang ( f )
60 – 62
5
63 – 65
18
66 – 68
42
69 – 71
27
72 – 74
8
Jumlah
100
Hitunglah : a. Jangkauan b. Deviasi Mean c. Deviasi Standar
179
9. Berikan himpunan bilangan 2, 5, 8, 11, 14 dan 2, 8, 14 carilah : a. Mean dari masing- masing himpunan bilangan b. Varians dari masing- masing himpunan bilangan c. Mean dari gabungan kedua himpunan bilangan d. Varians dari gabungan kedua himpunan bilangan
Kelas
Frekuensi
0–4
2
5–9
7
10 – 14
12
15 – 19
6
20 - 24
3
10.
C. Soal Studi Kasus 1. Impor menurut Negara-Negara di Asia dari Tahun 1994 dan 1995 ( Jutaan US$) Negara
1994
1995
Inggris
297,2
300,4
Belanda
266, 1
215,1
Jerman
820,1
677,1
Belgia & Luksemburg
101,8
100,7
Perancis
431,9
284,4
Denmark
19,5
18,1
Irlandia
8,4
8,8
Italia
113,2
101,4
Yunani
3,7
0,1
180
Dari data tersebut: a. Hitunglah variansnya b. Hitunglah deviasi standar c. Hitunglah koefisien tingkat kemencengan d. Hitunglah koefisien tingkat keruncian. 2. Dengan menggunakan distribusi frekuensi data tersebut sebagai sampel dari banyaknya kelas di suatu yayasan sekolah berikut : Kelas
Frekuensi
0–4
1
5–9
2
10 – 14
3
15 – 19
4
20 - 24
5
Dari data tersebut : a. Tentukanlah nilai jaraknya. b. Hitung deviasi standarnya. c. Berapakah variansnya dari data tersebut.
181
BAB 7 ANALISIS KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA
Kompetensi Inti : Mengetahui tentang analisis korelasi dan analisis regresi sederhana. Kompetensi Dasar : Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu :
Menjelaskan arti dari korelasi
Menjelaskan arah dari korelasi
Menghitung korelasi dan regresi sederhana
Memahami dan menerapkan regresi dan korelasi
Menggunakan teknik ramalan dan melakukan analisis regresi
182
PENGERTIAN KORELASI Kata “korelasi” berasal dari bahasa Inggris correlation. Dalam bahsa Indonesia korelasi diterjemahkan sebagai “hubungan” atau “saling berhubungan”, atau “hubungan timbal balik”. Dalam ilmu statistik istilah “korelasi” diberi pengertian sebagai “hubungan antardua variabel atau lebih”. Hubungan antardua variabel misalnya hubungan atau korelasi antara prestasi studi (variabel X) dan kerajinan kuliah (variabel Y), maksudnya prestasi studi ada hubungannya dengan kerajinan kuliah. Dalam contoh diatas, variabel prestasi studi (X) disebut sebagai independent variable, yaitu variabel yang dipengaruhi ; sedangkan variabel kerajinan kuliah (Y) disebut sebagai dependent variable.
ARAH KORELASI Hubungan antarvariabel jika dilihat dari segi arahnya dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu hubungan yang sifatnya satu arah (korelasi positif) dan hubungan yang sifatnya berlawanan arah (korelasi negatif). Disebut korelasi positif jika dua variabel (atau lebih) yang berkorelasi berjalan paralel, artinya bahwa hubungan antardua variabel itu menunjukkan arah yang sama. Jadi apabila variabel X mengalami kenaikan atau penurunan akan diikuti juga dengan kenaikan atau penurunan pada variabel Y. Contohnya : kenaikan harga Bahan Bakar Minyak diikuti dengan kenaikan ongkos angkutan. Disebut korelasi negatif jika dua variabel (atau lebih) yang berkorelasi berjalan dengan arah yang berlawanan, bertentangan atau berkebalikan. Jadi apabila variabel X mengalami kenaikan atau pertambahan akan diikuti dengan penurunan atau pengurangan pada variabel Y. Contohnya makin meningkatnya kesadaran hukum di kalangan masyarakat diikuti dengan makin menurunnya angka kejahatan atau angka pelanggaran. Kuat dan tidaknya hubungan antara X dan Y apabila dinyatakan dengan fungsi linear, diukur dengan suatu nilai yang disebut Koefisien Korelasi. Nilai koefisien
183
korelasi ini paling sedikit -1 dan paling besar 1. Jadi, jika r = koefisien korelasi, maka nilai r dapat dinyatakan sebagai berikut : -1 < r < 1 Artinya: Jika r = 1, hubungan diantara X dan Y sempurna dan positif (mendekati 1, yaitu hubungan sangat kuat dan positif) = -1, hubungan di antara X dan Y sempurna dan negatif (mendekati -1, yaitu hubungan sangat kuat dan negatif)
MENGHITUNG KOEFISIEN KORELASI Untuk mengukur besarnya hubungan antara sekelompok nilai satu (X) dengan sekelompok nilai yang lainnya (Y) telah ditemukan rumusnya oleh para ahli matematika statistik, sehingga kita tinggal memakainya. Rumus-rumus korelasi yang sering dipakai diantaranya ; Pearson (product moment correlation) dan Spearmen Correlation. Kedua rumus tersebut dikembangkan dengan suatu asumsi dasar yang berbeda, sehingga rumus tersebut tepat penggunaannya jika syarat-syarat dituntut terpenuhi. KORELASI PEARSON Korelasi ini sering digunakan oleh para peneliti yang mempunyai data-data interval. Ada beberapa persyaratan yang harus dipenuhi agar dapat memakai rumus ini, yaitu : a) Pengambilan sampel dari populasi harus random (acak) b) Data yang dicari korelasinya harus berskala interval atau ratio c) Variasi skor kedua variabel yang akan dicari korelasinya harus sama d) Distribusi skor variabel yang dicari korelasinya hendaknya merupakan distribusi unimodal e) Hubungan antara variabel X dan Y hendaknya linear Korelasi Pearson dapat dihitung dengan menggunakan dua rumus yaitu : Rumus 1.1
184
r=
∑{(𝑿−𝑿̅)(𝒀−𝒀̅)} √∑(𝑿−𝑿̅)² ∑(𝒀−𝒀̅)²
Rumus 1.1 memerlukan suatu perhitungan rata-rata dari masing-masing kelompok, yang selanjutnya perlu suatu perhitungan selisih masing-masing skor dengan rataratanya, serta kuadrat simpangan skor dengan rata-ratanya, maupun hasil kali simpangan masing-masing kelompok. Rumus 1.2 r=
𝒏 ∑ 𝑿𝒀−∑ 𝑿 ∑ 𝒀 √𝒏 ∑ 𝑿²−(∑ 𝑿)²√𝒏 ∑ 𝒀²−(∑ 𝒀)²
Rumus 1.2 ini lebih sederhana perhitungannya dibandingkan dengan rumus 1.1, oleh karena itu banyak peneliti menggunakannya. Hasil perhitungan rumus 1.1 dengan rumus 1.2 adalah sama. Walaupun demikian kemungkinan adanya perbedaan hasil perhitungan kedua rumus itu masih ada. Apabila terjadi perbedaan, perbedaan tersebut tidaklah cukup berarti, sedangkan penyebab terjadinya perbedaan tersebut adalah karena proses pembulatan.
KOEFISIEN KORELASI UNTUK DATA BERKELOMPOK Rumus untuk menghitung koefisien korelasi yang sudah dibahas diatas adalah untuk data yang tidak berkelompok (data yang belum disajikan dalam bentuk tabel frekuensi, dengan menggunakan kelas-kelas atau kategori-kategori). Untuk data yang berkelompok rumusnya adalah sebagai berikut :
r
n uvf ufu vfv
n u 2 f u ufu
2
n v 2 f v vfv
2
Rumus untuk menghitung koefisen korelasi bagi data berkelompok penting sekali sebab dalam praktek, misalnya di dalam suatu penelitian, hasil data yang diperoleh sudah disajikan dalam bentuk data berkelompok dengan interval kelas yang sama.
185
METODE Z UNTUK PERHITUNGAN KORELASI PEARSON Apabila data kedua variabel yang akan dicari korelasinya mempunyai rentangan nilai yang sangat berbeda, maka sebaiknya perhitungan korelasi Pearson didasarkan pada Z skor. Dalam hal ini setiap skor/nilai untuk kedua variabel dikonversikan ke Z skor. Langkah menkonversikan ke Z skor berarti membuat standard untuk masing-masing skor yang ingin dicari korelasinya. Standardisasi skor tersebut merupakan tindakan hati-hati. Untuk menghitung korelasi Pearson dengan metode Z skor dapat dilakukan dengan dua rumus yaitu : Rumus 2.1 r=
∑ 𝒁𝒙𝒁𝒚 𝒏
Untuk memperoleh hasil dari Z skor dapat digunakan dengan rumus : 𝑿−𝑿̅
Zx = 𝑺𝒅𝒙 Zy =
𝒀−𝒀̅ 𝑺𝒅𝒚
Apabila kita telah mengetahui nilai rata-rata dan simpangan baku masing-masing variabel, maka korelasi dapat dihitung dengan : Rumus 2.2 r=
∑ 𝑿𝒀 ̅ • 𝒀̅) – (𝑿 𝒏
𝑺𝒅𝒙 𝑺𝒅𝒚
KORELASI SPEARMAN Apabila data yang kita miliki memiliki skala yang ordinal, maka korelasi Pearson tidak dapat digunakan. Untuk itu telah ditemukan sebuah rumus yang sederhana tetapi akurat yaitu Spearman Correlation. Korelasi Spearman tidak memperhatikan sifat hubungan linear antara kedua variabel yang akan dicari korelasinya. Korelasi Spearman dapat dihitung dengan rumus, yaitu :
186
rs (rho) = 1 -
6 ∑ 𝐷² 𝑛(𝑛2 − 1)
keterangan : D merupakan selisih antara X dan Y 6 merupakan angka konstan KORELASI KOEFISIEN KONTINGENSI Teknik korelasi koefisien kontingensi adalah salah satu teknik analisis korelasional bivariat, yang dua buah variabel yang dikorelasikan adalah berbentuk kategori atau merupakan gejala ordinal atau disebut juga data kualitatif. Rumus untuk mencari Koefisien Korelasi Kontingensi adalah : 𝜒²
C = √𝜒²+𝑛 Dimana n = banyaknyaobservasi 𝝌² =
(𝑓ij ±eij)² 𝑒ij
, fij = nij = banyaknya observasi i = 1, 2, . . . , p j = 1, 2, . . . , q
TEKNIK RAMALAN DAN REGRESI LINEAR SEDERHANA Diagram Pencar Tujuan utama materi ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel. Setelah ditetapkan bahwa terdapat hubungan logis di antara variabel, maka untuk mendukung analisis lebih jauh, barangkali tahap selanjutnya adalah menggunakan grafik. Grafik ini disebut diagram pencar, yang menunjukkan titik-titik tertentu. Setiap titik memperlihatkan suatu hasil yang kita nilai sebagai varibel tak bebas maupun bebas.
187
Diagram pencar ini memiliki 2 manfaat, yaitu : membantu menunjukkan apakah terdapat hubungan yang bermanfaat antara dua variabel, dan membantu menetapkan tipe persamaan yang menunjukkan hubungan antara kedua variabel tersebut.
Persamaan Regresi Linear Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antarvariabelnya. Istilah regresi itu sendiri berarti ramalan atau taksiran.Persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi. Untuk menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh maka digunakan metode kuadrat terkecil, sehingga bentuk persamaan regresi adalah sebagai berikut: Y’ = a + b X Kesamaan di antara garis regresi dan garis trend tidak dapat berakhir dengan persamaan garis lurus. Garis regresi (seperti garis trend dan nilai tengah aritmatika) memiliki dua sifat matematis berikut : (Y – Y’) = 0 dan (Y – Y’)2 = nilai terkecil atau terendah. Dengan perkataan lain, garis regresi akan ditempatkan pada data dalam diagram sedemikian rupa sehingga penyimpangan (perbedaan) positif titik-titik terhadap titik-titik pencar di atas garis akan mengimbangi penyimpangan negatif titiktitik pencar yang terletak di bawah garis, sehingga hasil pinyimpangan keseluruhan titik-titik terhadap garis lurus adalah nol. Untuk tujuan diatas, perhitungan analisis regresi dan analisis korelasi dapat dipermudah dengan menggunakan rumus dalam bentuk penyimpangan nilai tengah variabel X dan Y, yaitu penyimpangan dari X dan Y Nilai dari a dan b pada persamaan regresi dapat dihitung dengan rumus berikut :
x y x n X Y X Y b n X X b
atau
i
i
2 i
i i
2 i
i
i
2
i
a Y bX
188
SOAL LATIHAN
A. Soal Pilihan Berganda 1. Dilihat dari segi arahnya korelasi dapat dibagi menjadi dua, yaitu ... a. Korelasi linear dan korelasi nonlinear b. Korelasi positif dan korelasi negatif c. Korelasi linear dan korelasi negatif d. Korelasi linear dan korelasi positif 2. Untuk menghitung koefisien rank, angka konstanta untuk pengali d adalah ... a. 1 b. 4 c. 5 d. 6 3. Jika nilai r (koefisien korelasi) adalah 1, maka hubungan diantara X dan Y ... a. Sangat kuat dan positif b. Sangat kuat dan negatif c. Sempurna dan positif d. Tidak ada hubungan 4. Hubungan X dan Y dikatakan bernilai positif, apabila ... a. Kenaikan (penurunan) X pada umumnya diikuti oleh kenaikan (penurunan) Y b. Kenaikan Y tidak diikuti kenaikan X c. Penurunan X tidak diikuti penurunan Y d. Semua salah 5. Diketahui sebuah data : X
1
3
4
7
9
1
3
189
Y
12
11
9
8
6
5
4
Bagaimana hubungan variabel X dan Y? a) Positif b) Negatif c) Positif dan negatif d) Tidak ada hubungan 6. Dari soal no 4 berapakah nilai r? a) 12 b) 12 c) 13 d) 12 7. Diketahui ∑ 𝑑² = 312, n = 10. Berapa nilai dari ρ ... a. 1,0 b. -1 c. 0 d. -0,89 8. Jika r = 0,9, maka nilai KP adalah ... a. 0,81 b. 0,18 c. 0,88 d. Semua salah 9. Jika diketahui 𝝌² = 18,7194 dan n = 200. Berapa nilai dari C (koefisien kontingensi) ... a. 0,9 b. 1,0
190
c. 0,3 d. 0 10. Jika sebuah data dihitung koefisien korelasinya bernilai -0,81, seperti apa hubungan antara
variabel X dan Y ...
a. Sangat kuat dan positif b. Sempurna dan negatif c. Sangat kuat dan negatif d. Tidak ada hubungan B. Soal Essai
1. Jelaskan pengertian tentang korelasi, korelasi positif dan korelasi negatif! 2. Tabel berikut adalah hasil observasi terhadap sampel acak yang terdiri dari 8 desa di kota “Alfabet” mengenai pendapatan dan pengeluaran kesehatan penduduk desa bersangkutan selama tahun 2010.
Desa
Pendapatan
Peng Kesehatan
(juta rupiah)
(juta rupiah)
A
21
4
B
15
3
C
15
3.5
D
9
2
E
12
3
F
18
3.5
G
6
2.5
H
12
2.5
191
Tentukan persamaan regresi linear sederhana pengeluaran kesehatan terhadap pendapatan.
Kemudian jelaskan arti koefisien yang terdapat dalam persamaan
tersebut?
3. Jelaskan apa fungsi regresi dalam sebuah penelitian? 4. Pada saat kapan rumus-rumus korelasi dibawah ini digunakan? a) Korelasi Pearson b) Korelasi Pearson dengan metode Z c) Korelasi Spearman 5. Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dapat menggunakan rumus korelasi Pearson?
6. Tabel berikut menunjukkan hasil pengamatan terhadap sampel acak yang terdiri dari 15 usaha kecil di suatu kecamatan mengenai omzet penjualan dan laba (dalam juta rupiah). Obs
Omzet Penjualan
Laba
1
34
32
2
38
36
3
34
31
4
40
38
5
30
29
6
40
35
7
40
33
8
34
30
9
35
32
192
10
39
36
11
33
31
12
32
31
13
42
36
14
40
37
15
42
35
a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson? 7. Berikut ini merupakan data mengenai semangat berolahraga dan kegairahan belajar dari sejumlah 200 orang subjek. Semangat Berolahraga Besar
Sedang
Kecil
Besar
18
12
10
Sedang
34
43
33
Kurang
10
10
30
Gairah Belajar
Hitunglah berapa koefisien kontingensinya?
8. Diketahui sebuah data : X
70
85
90
95
85
80
75
85
83
Y
60
65
70
75
70
50
55
64
55
Hitunglah :
Koefisien korelasinya?
berapa nilai ramalan nilai Y jika X = 73. Pergunakan persamaan garis regresi Y’ = a + bX?
193
9. Dalam pengumpulan nilai mata kuliah dari 18 mahasiswa diperoleh sebuah data : Nilai Pertama
Nilai Kedua
80
70
80
75
70
60
75
70
85
80
90
90
85
80
90
85
75
70
Hitunglah korelasi antara nilai mata kuliah pertama dan mata kuliah kedua? 10. Diketahui sebuah data dari hasil penelitian : Jumlah SKS
IPK
20
2,7
18
3,0
22
3,8
12
1,8
15
1,2
18
2,4
20
3,2
14
2,1
20
3,0
Cari persamaan garis regresi Y’ = a + bX. Berapa ramalan Y, kalau X = 21
194
C. Soal Studi Kasus 1. Sebuah pengamatan terhadap hubungan antara ranking anak SMP kelas 8 dengan rangking anak SMP kelas 9. Dari 10 siswa yang terambil sebagai sampel ternyata penyebaran datanya sebagai berikut : Ranking tes masuk
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
6
5
3
4
2
9
10 Ranking kelas 1
Berapa tingkat hubungan antara rangking kelas 8 dan kelas 9 dari sejumlah siswa SMP tersebut? 2. Suatu penelitian tentang hubungan hasil belajar (X) dan banyaknya uang saku per bulan (dalam puluhan ribu rupiah) (Y). Penyebaran data dari sampel 15 orang sebagai berikut : X
Y
90
36
73
29
80
32
92
37
91
36
99
40
60
24
79
32
66
26
75
30
87
35
93
37
195
63
25
78
31
75
30
Hitunglah : a) Koefisien korelasinya b) Persamaan garis regresi linear sederhana c) Jika X = 74, berapa ramalan Y?
196
BAB 8 REGRESI LINEAR BERGANDA DAN REGRESI (TREND) NONLINEAR
Kompetensi inti:
Mahasiswa mampu memahami regresi linear berganda dan regsesi (trend) non linear
Kompetensi dasar:
Mahasiswa dapat memahami hubungan lebih dari dua variabel dua regresi linear berganda
Mahasiswa dapat memecahkan persamaan lebih dari dua variabel
Mahasiswa dapat menghitung korelasi berganda dan parsial
Mahasiswa mampu membuat trend non linear (parabola, eksponensial, eksponensial yang di ubah, logistik dan gompertz).
197
Persamaan Regresi Linier Berganda Lebih Dari Dua Variabel Adalah suatu persamaan regresi dimana variabel bebasnya lebih dari 1 Variabel (dalam hal ini x1 dan x2) Contoh : 1.1 y = pengeluaran pembelian barang x1 = Pendapatan dan x2 = jumlah anggota rumah tangga Bentuk persamaannya : Y = b0 + b2X1 + b2X2 + ……. bo = nilai y apabila x1 = x2 = 0 b1 = besarnya kenaikan (penurunan) y dalam satuan, apabila x1 naik (turun) satu satuan, sedangkan x2 konstan b2 = besarnya kenaikan (penurunan) y dalam satuan, apabila x2 naik (turun) satu satuan, sedangkan x1 konstan Apabila didapat persamaan regresi linier berganda Y = 3,92 + 2,50x1 - 0,48x2 artinya : jika x1 naik Rp. 1000 sementara x2 konstan, maka y naik Rp. 250. Demikian juga jika x2 bertambah 1 orang, sedangkan x1 konstan, maka y turun (makin besar jumlah anggota keluarganya makin berkurang pengeluaran untuk membeli barang) Catatan : nilai b1 dan b2 dinamakan Koefisien Regresi Parsial
CARA MEMECAHKAN PERSAMAAN LEBIH DARI DUA VARIABEL Korelasi Berganda Rumus korelasi berganda : ∑𝒙 𝒚
𝒊 𝒊 rxy = √∑𝑥 2 √∑𝑦 2 1𝑖
̅ dan yi = Yi - Ῡ xi = x1i –X
1𝑖
Koefisien korelasi antara dua variabel sering disebut koefisien korelasi linear sederhana (KKLS).Misal korelalsi antara X1 dengan Y, X2 dengan Y atau X1 dengan X1.
198
Koefisien Korelasi Linier Berganda Adalah suatu korelasi antara variabel tidak bebas (Y) dengan variabel bebas yang lebih dari 1 variabel. Rumus KKLB KKLB = Ry.12 =√
2 +𝑟 2 −2𝑟 𝑟 𝑟 𝑟1𝑦 1𝑦 2𝑦 12 2𝑦 2 1−𝑟12
Rumus KKLB ini digunakan untuk mengetahui kuatnya hubungan antara variabel Y dengan beberapa variabel X lainnya (misalnya antara Y dengan X1 dan X2).
Koefisien Penentu (KP ) Apabila KKLB dikuadratkan. Yaitu besarnya sumbangan dari variabel bebas terhadap variasi variabel tidak bebas atau suatu nilai untuk mengukur besarnya sumbangan (share) dari beberapa variabel x terhadap variasi (naik-turunnya) y. Rumus KP 2 KP = 𝑅𝑦.12 =
𝑏1 ∑𝑥1𝑖 𝑦𝑖 + 𝑏2 ∑𝑥2𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑦𝑖2
b1 dan b2 diperoleh dari Y’ = bo + b1X1 + b2X2 ̅1)(Y1-Ῡ) Di mana ∑ x1iyi = ∑(X1i –X 1
= ∑X1iYi - 𝑛∑X1i∑Yi ̅2)(Yi-Ῡ) ∑x2iyi = ∑(X2i –X 1
= ∑X2iYi − 𝑛∑X2i∑Yi ∑𝑦12 = ∑ (Y1 - Ῡ)2 1
= ∑𝑌12 -𝑛 (∑Yi Contoh : 1.2 Dari data berikut, hitunglah KP dan KKLB! Y (ratusan rupiah)
64
71
53
67
55
58
77
57
56
51
76
68
199
X1 (Ratusan rupiah) 57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
X2(orang
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
8
Data diatas diolah menjadi: Y
X1
X2
X1Y
X2Y
X1X2
Y2
𝑿𝟐𝟏
𝑿𝟐𝟐
64
57
8
3648
512
456
4096
3249
64
71
59
10
4189
710
590
5041
3481
100
53
49
6
2597
318
294
2809
2401
36
67
62
11
4154
737
682
4489
3844
121
55
51
8
2805
440
408
3025
2601
64
58
50
7
2900
406
350
3364
2500
49
77
55
10
4235
770
550
5929
3125
100
57
48
9
2736
513
432
3249
2304
81
56
52
10
2912
560
520
3136
2704
100
51
42
6
2142
306
252
2601
1764
36
76
61
12
4636
912
732
5776
3721
144
68
57
9
3876
612
513
4624
3249
81
∑Y
∑X1
∑X2
∑X1Y
∑ X2Y
∑
∑Y2
∑𝑿𝟐𝟏 =
∑
=753
=643
=106
=40.830
=6796
X1X2
=48.139
34.843
𝑿𝟐𝟐 =976
5779
Persamaan normal adalah sebaai berikut: b0n + b1∑X1 + b2∑X2
=
∑Y
maka, 57 b0 + 643 b1 + 106 b2 = 753 b1∑X1 + b1∑X12 + b2∑X1X2 = ∑X1Y maka, 643b0 + 106b1 + 5779b2 =
40.830
b0∑X2 + b1∑X2X1 + b2∑X22
= ∑X2Y
maka 106b0 + 5779b1 + 976b2 =
6796
200
Pemecahan persamaan normal tersebut menghasilkan nilai bo =3,65 b1 = 0,855 dan b2 = 1,506. Dengan mengetahui nilai b, maka: Y’ = 3.65 + 0.855X1 + 1,506X2 2 KP = 𝑅𝑦.12 =
𝑏1 ∑𝑥1𝑖 𝑦𝑖 + 𝑏2 ∑𝑥2𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑦𝑖2 1
∑x1iyi = ∑x1iyi - ∑X1i∑Yi 𝑛
1
= 40.830 - 12(643)(753) = 481,75 1
∑x2i = ∑x2iyi - 𝑛∑X2i∑Yi 1
= 6796 - 12(106)(753) = 144,5 ∑𝑦𝑖2
1
= ∑𝑦𝑖2 - 12(∑Yi)2 1
= 48.139 - 12(753)2 = 888,25 KP
=
0,855(481,75) – 1,506(144,5) 888,25
= 0,2187 = 0,22 Jadi besarnya sumbangan pendapatan (X1) dan jumlah anggota rumah tangga (X2) terhadap variasi atau naik turunnya pengeluaran untuk pembelian barang-barang tahan lama (Y) adalah 22%, sedangkan sisanya sebesar 78% merupakan sumbangan oleh faktor lainnya. Sedangkan KKLB nya adalah: KKLB = √Ry.12 = √0,2187 = 0,45
201
Koefisien Korelasi Parsial (KKP)
Adalah Koefisien korelasi antara 2 variabel dengan menganggap variabel lainnya tetap •
Rumus Koefisien Korelasi Parsial X1 dan Y, apabila X2 konstan 𝒓𝟏𝒚 –𝒓𝟐𝒚 𝒓𝟏𝟐
r1y.2 = •
Rumus Koefisien Korelasi Parsial X2 dan Y, apabila X1 konstan r2y.1 =
•
2 √1 –𝑟 2 √𝟏− 𝑟2𝑦 12
𝒓𝟐𝒚 –𝒓𝟏𝒚 𝒓𝟏𝟐 2 √1 –𝑟 2 √𝟏− 𝑟1𝑦 12
Rumus Koefisien Korelasi Parsial X1 dan X2, apabila Y konstan R12.y =
𝒓𝟏𝟐 –𝒓𝟏𝒚 𝒓𝟐𝐲 2 √1 –𝑟 2 √𝟏− 𝑟1𝑦 2𝑦
Contoh: Dengan menggunakan data pada contoh 1.2 hitunglah Kofesien Korelasi Parsial antara X1 dan Y, X2 dan Y serta X1 dan X2 1
∑x1iyi = ∑x1iyi - 𝑛∑X1i∑Yi = 40.830 -
1
(643)(753)
12
= 481,75 ∑x2iyi
1
= ∑x2iyi - 𝑛∑X2i∑Yi 1
= 6796 - 12(106)(753) = 144,5 ∑𝑦𝑖2
1
= ∑𝑦𝑖2 - 𝑛(∑Yi)2 = 48.139 -
1
(753)2
12
= 888,25
202
1
2 ∑𝑥1𝑖
2 = ∑𝑥1𝑖 - 𝑛(∑Y1i)2 1
= 34.843 - 12(643)2 = 388,92 1
2 ∑𝑥2𝑖
2 = ∑𝑥2𝑖 - 𝑛(∑Y2i)2 1
= 976 - 12 (106)2 = 39.67 1
∑x1iy2i
= ∑x1iy2i - 𝑛∑X1i∑Y2i 1
= 5779 -
12
(643)(106)
= 99,17 r1y
∑x1iyi
= √∑𝑥 2 √∑𝑦 2 1𝑖
𝑖
481,75
= √388,92√888,25 = 0,82 r2y
∑x1iyi
=
2 √∑𝑦 2 √∑𝑥2𝑖 𝑖
144,5
= √39,67√888,25 = 0,77 r12
=
∑x1iy2i 2 √∑𝑦 2 √∑𝑥1𝑖 2𝑖
99,17
= √388,92√39,67 = 0,80 r1y.2
𝑟1𝑦 – r2 r12
= =
2 2 √1−𝑟2𝑦 √1−𝑟𝑦2
0,77−(0.82)(0.80) √1−(0,80)2 √1−(0,85)2
= 0,36 r2y.1
=
𝑟2𝑦 – r1y r12 2 2 √1−𝑟1𝑦 √1−𝑟12
203
0,82−(0.77)(0.80)
=
√1−(0,77)2 √1−(0,85)2
= 0,62 r12y
= =
𝑟12 – r1y r2y 2 2 √1−𝑟1𝑦 √1−𝑟𝑦2
0,80−(0.77)(0.82) √1−(0,77)2 √1−(0,82)2
= 0,81
PERSAMAAN TREND NON-LINEAR Garis Trend adalah garis regresi dimana variabel bebas X merupakan variabel waktu Jenis Garis Trend : •
Garis trend garis lurus (linier regression/trend)
•
Garis trend tidak lurus (non-linier regression/trend)
Ada 4 Trend non - linier regression ( tidak berupa garis lurus )10𝑎+𝑏𝑋 1. Trend Parabola
Y’ = a + bX + cX2
2. Trend Eksponensial (Logaritma) 3. Trend Logistik biasanya
Y’ = k
( X = waktu )
Y’ = abX 𝒌 𝟏+10𝑎+𝑏𝑋
dimana k, a dan b konstan
b<0
4. 4. Trend Gompertz
y’ = kabX dimana k, a dan b konstan
Pengertian Regresi Trend Parabola Regresi Trend Parabola Adalah Garis Rgresi Di Mana Variabel Bebas X Merupakan Variabel Waktu. Persamaan Garis Trend Parabola Adalah Sebagai Berikut : Y = a + bX + cX2
204
Di Dalam Regresi Trend Parabola, Pemecahan Masalah Menggunakan Persamaan Normal Sebagai Berikut : an + b X + c X2 = Y a X + b X2 + c X3 = XY a X2 + b X3 + c X4 = X2 Y
TREND PARABOLA
an b X c X 2 Y
a X b X 2 c X 3 X Y
a X 2 b X 3 c X 4 X 2Y n X 2 X
X X X X X X
2
2
3
3
4
a X b XY 2 c X Y
A
B
C
Penggunaan matriks dalam 3 persamaan 3 variabel
a11b1 a12b2 a13b3 h1 a11 a12 a13 b1 h1 a 21b1 a 22b2 a 23b3 h2 a 21 a 22 a 23 b2 h2 a31b1 a32b2 a33b3 h3 a31 a32 a33 b3 h3 b1
det A1 det A
b2
det A2 det A
h1 a12 a13 a11 h1 a13 A1 h2 a 22 a 23 A2 a 21 h2 a 23 h3 a32 a33 a31 h3 a33
b3
det A3 det A
a11 a12 h1 A3 a 21 a 22 h2 a31 a32 h3
205
2b1 b2 4b3 16 2 1 4 b1 16 3b1 2b2 b3 10 3 2 1 b2 10 b1 3b2 3b3 16 1 3 3 b3 16 2 1 4 A 3 2 1 1 3 3 16 1 4 2 16 4 A1 10 2 1 A2 3 10 1 16 3 3 1 16 3
2 1 16 A3 3 2 10 1 3 16
det A 2.2.3 1.1.1 4.3.3 1.2.4 3.1.3 2.1.3 26 det A1 16 .2.3 1.1.16 4.3.10 16 .2.4 10 .1.3 16 .1.3 26 det A2 2.10.3 16.1.1 4.16.3 1.10 .4 3.16.3 2.1.16 52 det A3 2.2.16 1.10.1 16 .3.3 1.2.16 3.1.16 2.10 .3 78 b1
det A1 26 1 det A 26
det A2 52 2 det A 26 det A3 78 b31 3 det A 26 b2
Berikut Contoh Soal Untuk Mencari Nilai Regresi Trend Eksponensial :
1. Hasil Penjualan PT. Sinar Surya Selama 3 Tahun Menunjukkan Perkembangan Yang Cepat Sekali, Seperti Ditunjukkan Dalam Tabel Berikut :
206
Dengan Menggunakan Trend Eksponensial, Ramalkan Hasil Penjualan Tahun 2000 ?
Jawab :
Mencari Nilai ao Dan bo Melalui Persamaan Normal :
ao * n + bo Σ X = Σ Yo 3ao = 5.8062 ao = 1.9354 log a = ao Yang Nilai - Nya 1.9354 Memiliki Antilog Sebesar 86.1787122 ao * Σ X + bo * Σ X^2 = Σ XYo 2bo = 1.301 bo = 0.6505
207
log b = bo Yang Nilai - Nya 0.6505 Memiliki Antilog Sebesar 4.471981518
Mencari Besar Nilai Ramalan Dalam Semilog Untuk Tahun 2000, X = 2
Y'o = log Y = log a + log b * X = 1.9354 + 0.6505 * 2 = 3.2364 Jadi Besar Ramalan Y Adalah Antilog 3.2364 = 1723.455205
Mencari Besar Nilai Ramalan Dalam Eksponensial Untuk Tahun 2000, X =2
Y' = a * b^X = 86.1787122 * 4.471981518^2 = 1723.455205 Contoh 1 Data hasil penjualan perusahaan selama 5 tahun terakhir. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan tahun 2000? Tahun
Hasil Penjualan (jutaan Rp)
1995
23
1996
31
1997
40
1998
50
1999
62
208
Jawaban: X3
X4
XY
X2Y
a X b X 2 c X 3 X Y 1995 -2 23 4 a X 2 b X 3 c X 4 X 2Y
-8
16
-46
92
1996
-1
31
1
-1
1
-31
31
1997
0
40
0
0
0
0
0
1998
1
50
1
1
1
50
50
1999
2
62
4
8
16
124
248
Jumlah
0
206
10
0
34
97
421
Tahun
X Y X2 an b X c X 2 Y
1 5a 0 10c 206 2 0 10b 0 97 3 10a 0 34c 421 2 10b 97 b 97 : 10 9,7 1 5a 10c 206 10 a 20c 412 3 10 a 34c 421 10 a 34c 421 14c 9 c 0,64
209
b 9,7 c 0,64
1
5a 10c 206 5a 100,64 206 a 39,92
a 39,92 b 9,7 c 0,64 Y ' a bX cX 2 Y ' 39,92 9,7 X 0,64 X 2
Jadi persamaan trend parabola adalah Y’ = 39,92 + 9,7X + 0,64X2.
TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA) Model Eksponensial Ini Adalah Salah Satu Terapan Dari Regresi Linier. Contoh Dari Model Eksponensial Ini Adalah Pertumbuhan Populasi Atau Peluluhan Radioaktif. Model Eksponensial Ini Dapat Diibaratkan Sebagai Gambar Berikut :
210
Model Eksponensial Ini Diberikan Oleh Persamaan Berikut : z = b0 * e^b1x Dari Persamaan Di Atas, Nilai - Nya Dapat Dicari Dengan Mengambil Logaritma Asli - Nya Sebagai Berikut : ln z = ln b0 + b1x * ln e ln z = ln b0 + b1x Untuk Mendapatkan Persamaan Regresi Model Eksponensial, Maka Harus Dicari Dengan Melihat Persamaan Regresi Linier - Nya, Yaitu : y = a0 + a1x ln z = ln b0 + b1x
Jadi, y = ln z, a0 = ln b0, dan a1 = b1 Jadi, z = e^y, b0 = e^a0, Dan b1 = a1
211
Langkah - Langkah Pengerjaan Untuk Mendapatkan Persamaan Regresi Linier Model Eksponensial, Ikuti Langkah Langkah Berikut :
Menentukan Σx, Σy, Σxy, Σx^2, Σy^2, ybar = Σy / n, xbar = Σx / n, Dan Grafik - Nya
Dengan Metode Kuadrat Terkecil, a0 Dan a1 Dapat Dicari Dengan Rumus Berikut : a1 = n * Σxy - Σx * Σy / n * Σx^2 - Σ( x )^2 a0 = ybar - a1 * xbar
Menentukan Kesalahan Estimasi Dengan Mencari Nilai - Nilai Berikut : St = Σy^2 - (( Σy )^2 / n ) Sxy = Σxy - (( Σx * Σy ) / n ) Sr = St - a1 * ( Sxy ) Sy/x = √(Sr / ( n - 2 )) Sy = √(St / ( n - 1 )) r = √( 1- (Sr / St ))
Menentukan Model Baik Atau Tidak, Model Baik Jika Sy/x < Sy
Menentukan Persamaan Regresi Linier - Nya Dengan Ketentuan Sebagai Berikut : z = b0 * e^b1x
Berikut
Contoh
Soal
Dan
Penyelesaian
Regresi
Linier
Model
Eksponensial :
212
1. Tentukan Persamaan Regresi Linier Model Eksponensial Untuk Data Dalam Tabel Berikut :
Berikut Penyelesaiannya : Menentukan Σx, Σy, Σxy, Σx^2, Σy^2, ybar = Σy / n, xbar = Σx / n, Dan Grafik - Nya
213
Mencari Nilai - Nilai Dari a1 Dan a0 : a1 = n * Σxy - Σx * Σy / n * Σx^2 - Σ( x )^2 a1 = ( 7 * 182.69 - 35 * 34.74 ) / ( 7 * 203 - ( 35 )^2 ) a1 = 0.320
a0 = ybar - a1 * xbar a0 = 4.96 - 0.320 * 5 a0 = 3.36
Mencari Nilai - Nilai Dari : St = Σy^2 - (( Σy )^2 / n ) St = 10.235 Sxy = Σxy - (( Σx * Σy ) / n ) Sxy = 8.965
214
Sr = St - a1 * ( Sxy ) Sr = 7.365 Sy/x = √(Sr / ( n - 2 )) Sy/x = 1.214 Sy = √(St / ( n - 1 )) Sy = 1.306 r = √( 1- (Sr / St )) r = 0.530 Menentukan Model Baik Atau Tidak, Model Baik Jika Sy/x < Sy
Sy/x < Sy 1.214 < 1.306
Menentukan Persamaan Regresi Model Eksponensial - Nya
z = b0 * e^b1x z = e^a0 * e^a1x z = 28.863 * e^0.320x
TREND EKSPONENSIAL YANG DIUBAH Konsep Bentuk trend eksponensial Y’ = abx atau Y’ = aXb melalui proses transformasi menjadi bentuk linear semi log dan sepenuhnya log, yaitu Y '0 a0 b0 X semi log
Y '0 a0 bX log
Y '0 log Y '
Y '0 log Y '
a0 log a
a0 log a
b0 log b
X 0 log X
215
Rumus Bentuk Y’ = abX dikonversi dengan menambah bilangan konstan k, menjadi:
k merupakan nilai asymptote (selalu didekati, tetapi tidak pernah dicapai)
216
217
Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3 bukan tahun tertentu, akan tetapi t tahun, maka rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah k Y1 a Y2 Y1 bt 1 Y Y bt 3 2 Y2 Y1 a
Y ' k ab X
Contoh Data hasil penjualan (Y) suatu perusahaan selama 6 tahun (X) disajikan dalam tabel berikut. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan untuk tahun 2000 dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah?
X
Y
1994
1995
1996
1997
1998
1999
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
7
9
21
33
70
Y1
Y2
Y3
Jawaban Tiga titik yang dipilih, 1994 (X = 0), 1996 (X = 2), dan 1998 (X = 4), serta berjarak 2 tahun.
Y2 Y1 9 3 2 bt 1 4 1 k Y1 a 3 2 1
Y Y 33 9 b2 3 2 4 Y2 Y1 9 3
a
b2
Y ' k ab X 1 22
X
218
Nilai X yang digunakan untuk meramal penjualan tahun 2000 adalah Y’ = 1 + 2(2)6 = 129 (Rp129.000.000,00)
TREND LOGISTIK Konsep Trend logistik digunakan untuk mewakili data yang menggambarkan perkembangan atau petumbuhan yang mula-mula sangat cepat tetapi lambat laun agak lambat dimana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai tercapai suatu titik jenuh. Pertumbuhan ini biasanya dialami oleh pertumbuhan suatu jenis industri, pertumbuhan biologis, dll. Rumus Y '
k 1 10 a bX
k, a, dan b konstan, b < 0 k, a, dan b dicari seperti trend eksponensial yang diubah X ∞, 10a + bX 0, dan Y’ k. k merupakan asymptote, yaitu batas atas.
219
Pada umumnya, jika titik yang diambil berjarak t tahun, maka
tb log
a log
T1 T3 T2 T3 T2 T1
T1 T2 10 2b T2 T1
k T1 1 10 a
Contoh Data perkembangan jumlah perusahaan industri pengolahan di suatu daerah disajikan dalam tabel berikut. Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X = 6)?
220
Tahun
X
Y
Titik
1994
0
2
T1 = (0, 2)
1995
1
4
1996
2
6
1997
3
9
1998
4
9
1999
5
10
T2 = (2, 6)
T3 = (4, 9)
Jawaban Tiga titik T1, T2, T3 untuk X = 0, 2, 4 dan Y = 2, 6, 9
tb log
T1 T3 T2 T3 T2 T1
29 6 96 2 2b 0,7782 b 0,3891 2b log
a log a log
T1 T2 10 2b T2 T1
2 6
0 , 7782
10 a 0,6021
62
k T1 1 10 a k 21 4 k 10
Jawaban Garis trend logistic k Y' 1 10 a bX 10 Y' 0 , 6021 0 , 3891X 1 10 X 0 pada pertengahan tahun 1994
221
Jawaban untuk tahun 2000, X = 6 Y '
10 1 10
Y '
1 10 Y ' 9,823
0 , 6021 0 , 3891X
10 0 , 6021 2 , 3346
Jadi banyaknya ramalan perusahaan pengolahan industri di daerah pada tahun 2000 adalah 10 buah.
TREND GOMPERTZ Konsep Trend Gompertz digunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia tertentu. Rumus
k, a, dan b konstan log Y’ = log k + (log a)(bX) log Y’ = Y0 log k = k0 log a = a0 Y’0 = k0 + a0bX Penggunaannya sama seperti trend eksponensial yang diubah hanya nilai Y diganto dengan log Y.
222
SOAL LATIHAN
A. Soal Pilihan Berganda
1. Apakah yang di maksud koefisien berganda itu.. a. Variabel bebasnya lebih dari 2 variabel b. Variabel bebasnya lebih dari 1 variabel c. variasi variabelnya tetap d. Variabel bebasnya kurang dari 3 variabel e. Variasi variabelnya tak bebas 2. Dari rumus-rumus di bawah ini manakah rumus dari koefisien penentu... a. KP = R2 y’12 b.
Y'
c. R12.y =
k 1 10 a bX 𝒓𝟏𝟐 –𝒓𝟏𝒚 𝒓𝟐𝐲
2 √1 –𝑟 2 √𝟏− 𝑟1𝑦 2𝑦
2 d. KP = 𝑅𝑦.12 =
𝑏1 ∑𝑥1𝑖 𝑦𝑖 + 𝑏2 ∑𝑥2𝑖 𝑦𝑖 ∑𝑦𝑖2
∑𝒙 𝒚
𝒊 𝒊 e. rxy = √∑𝑥 2 √∑𝑦 2 1𝑖
1𝑖
3. Besarnya sumbangan dari variabel bebas terhadap variasi variabel tak bebas adalah arti
dari...
a. Kolerasi linear berganda b. Regresi linear berganda c. Koefisien penentu d. Korelasi parsial e. Trend parabola
223
4. Berapakah persamaan regresi dari data berikut! (Hitung dengan menggunakan determinan).....
Y (Ratusan
23
7
15
17
23
22
10
14
20
19
X1(ribuan rupiah)
10
2
4
6
8
7
4
6
7
6
X2 (Orang)
7
3
2
4
6
5
3
3
4
3
rupiah)
a. 4.32 + 2,60X1 – 0,32X2 b. 3,92 + 2,50X1 – 0,48X2 c. 2,85 + 3,32X1 – 0,35X2 d. 2,56 + 4,65X1 – 0,28X2 e. 1,55 + 3,85X1 – 0,75X2
5. Dari persamaan Y’ = a + bX. manakah yang disebut variabel terikat? a. a b. b c. X d. bX e. Y’ 6. Nilai b1, b2, dan b3 dri persamaan berikut adalah… 4b1 + b2 + 2b3 = 18 3b1 + 4b2 + b3 = 12 b1 + 3b2 + 2b3 = 14
a. 1.4 , 12.3 dan 6,5 b. 2.3, 10.6 dan 7.4
224
c. 2.6, 18.8 dan 10.7 d. 2.7, 17.8 dan 7.4 e. 3.2, 14.3 dan 9.5
7. Diketahui persamaan regresi Y’ = 4,56 + 3,65X1 – 0,55X2, Jika nilai X1 = 20 dan X2 = 15, berapa besarnya nilai Y? a. 54,31 b. 69,31 c. 70,23 d. 72,52 e. 73,42 8. Dari soal no.2 jika X1 naik menjadi 2000 sementara X2 konstan, maka… a. Y’ turun sebesar 2000 b. Y’ naik sebesar 4000 c.Y’ naik sebesar 7300 d. Y’ turun sebesar 7300 e.Y’ konstan 9. Persamaan trend parabola dari data berikut adalah…. Tahun
2006
2007
2008
2009
2010
2011
Penjualan
6
8
10
11
12
14
a. 2,8 + 0,48X + 0,49X2 b. 3,7 + 0,12X + 1,5X2 c. 3,9 + 1,3X + 1,75X2 d. 4,5 + 2.5X + 0,49X2 e. 4,8 + 0,56X + 0,55X2
225
10. Produksi jagung daerah A tahun 2000-2005
Tahun Produksi
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2
4
6
7
8
9
Persamaan trend parabola dari table diatas adalah a. 6,55 + 1,5X + 0,75X2 b. 5,42 + 0,7X + 0,05X2 c. 5,35 + 0,8X + 1, 55X2 d. 4,35 + 1,5X + 1,25X2 e. 3,27 + 1,5X + 0,35X2
B. Soa Essai 1. Jelaskan yang di maksud dengan: a. Koefisien korelasi ganda b. Trend gompertz c. Koefisien korelasi parsial d. Koefisien regresi linear e. Koefisien regresi nonlinear 2. Data pengeluaran 10 rumah tangga, untuk pembelian barang tahan lama per minggu(Y), pendapatan per minggu (X1), dan jumlah anggota keluarga (X2) disajikan dalam tabel berikut. Jika suatu rumah tangga mempunyai pendapatan per minggu (X1) Rp11.000,00 dan jumlah anggota keluarga (X2) 8 orang, berapa uang yang dikeluarkan untuk membeli barang-barang tahan lama tersebut. x
Y
X2
23
10
7
226
7
2
3
15
4
2
17
6
4
23
8
6
22
7
5
10
4
3
14
6
3
20
7
4
19
6
3
3. Diketahui: X1 = jumlah karyawan X2 = luas lantai (dalam meter persegi) Y = jumlah penjualan (dalam Juta Rupiah)
X1 = 15 8 12 7 8 X2 = 10 5 10 4 2 Y = 29 22 16 7 14
a. Buatlah persamaan regresi berganda yang menunjukkan hubungan antara jumlah karyawan, luas lantai, dan penjualan
227
b. Hitung koefisien determinasinya dan jelaskan artinya c. Tentukan matriks (X'X) dan (X'Y) 4.Diketahui: RUMAH TANGGA VARIABEL I
II
III
IV
V
VI VII
Pengeluaran (Y)
3
5
6
7
4
6
9
Pendapatan (X1)
5
8
9
10
7
7
11
4
3
2
3
2
4
5
Jumlah Anggota Keluarga (X2)
Pertanyaan : 1. Carilah Nilai Koefisien Korelasinya ! 2. Jelaskan makna hubungannya ! 5.Diketahui: Y (ratusan rupiah)
64
71
53
67
55
58
77
57
56
51
76
68
X1 (Ratusan rupiah) 57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
X2(orang
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
8
Data diatas diolah menjadi: Y
X1
X2
X1Y
X2Y
X1X2
Y2
𝑿𝟐𝟏
𝑿𝟐𝟐
64
57
8
3648
512
456
4096
3249
64
71
59
10
4189
710
590
5041
3481
100
53
49
6
2597
318
294
2809
2401
36
67
62
11
4154
737
682
4489
3844
121
55
51
8
2805
440
408
3025
2601
64
228
58
50
7
2900
406
350
3364
2500
49
77
55
10
4235
770
550
5929
3125
100
57
48
9
2736
513
432
3249
2304
81
56
52
10
2912
560
520
3136
2704
100
51
42
6
2142
306
252
2601
1764
36
76
61
12
4636
912
732
5776
3721
144
68
57
9
3876
612
513
4624
3249
81
∑Y
∑X1
∑X2
∑X1Y
∑ X2Y
∑
∑Y2
∑𝑿𝟐𝟏 =
∑
=753
=643
=106
=40.830
=6796
X1X2
=48.139
34.843
𝑿𝟐𝟐 =976
5779 Pertanyaan : hitunglah Kofesien Korelasi Parsial antara X1 dan Y, X2 dan Dengan menggunakan Y serta X1 dan X2 ? 6. Hasil Penjualan PT. Sinar Surya Selama 3 Tahun Menunjukkan Perkembangan Yang Cepat Sekali, Seperti Ditunjukkan Dalam Tabel Berikut :
Dengan Menggunakan Trend Eksponensial, Ramalkan Hasil Penjualan Tahun 2000 ?
7. Data hasil penjualan perusahaan selama 5 tahun terakhir. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan tahun 2000?
229
Tahun
Hasil Penjualan (jutaan Rp)
1995
23
1996
31
1997
40
1998
50
1999
62
8. Data hasil penjualan (Y) suatu perusahaan selama 6 tahun (X) disajikan dalam tabel berikut. Berapa besarnya ramalan hasil penjualan untuk tahun 2000 dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah?
X
Y
1994
1995
1996
1997
1998
1999
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
3
7
9
21
33
70
Y1
Y2
Y3
9. Data perkembangan jumlah perusahaan industri pengolahan di suatu daerah disajikan dalam tabel berikut. Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X =6)? Tahun
X
Y
Titik
230
1994
0
2
1995
1
4
1996
2
6
1997
3
9
1998
4
9
1999
5
10
T1 = (0, 2)
T2 = (2, 6)
T3 = (4, 9)
10. Dibawah ini merupakan data berat mobil (x) dalam ribu kilo dan konsumsi bahan bakar
(y) dalam km/liter):
x: 2,0 2,4 2,8 3,4 3,6 y: 32 30 28 23 19
Buat persamaan regresi linier C. Soal Studi Kasus
1. Apabila dicontohkan naik turunnya impor barang dari suatu negara ditentukan antara lain oleh produksi dalam negeri barang tersebut dan juga oleh rasio (perbandingan) tingkat harga barang impor terhadap tingkat bunga dalam negeri adalah sebagai berikut.
Y = indeks impor beras X1 = indeks produksi beras dalam negeri X2 = rasio indeks harga impor dan harga beras dalam negeri
231
Y
100
106
107
120
110
123
133
137
104
106
111
111
115
120
124
99
110
126
113
103
102
103
139 X1
100 126
X2
100 98
Dengan menggunakan Y’ = a + b1 Y1 + b2 X2. Berapakah nilai ramalan Y, jika X1 = 30 dan X2 = 105.
2. Kualitas benang telah diteliti sebanyak 15 potong. Karakteristik yang diuji dalam penelitian ini adalah: 𝑋1 = panjang fiber per 0,01 inci. 𝑋2 = kehalusan fiber (0,1 microgram per inci fiber) Y = kekuatan untaian benang dalam pound
Hasil penelitian diberikan dalam daftar berikut. Benang
𝑋1
𝑋2
𝑌
1
85
44
99
2
82
42
93
3
75
42
99
4
74
44
97
5
76
43
90
6
74
46
96
7
73
46
93
8
96
36
130
9
93
36
118
Nomor
232
10
70
37
88
11
82
46
89
12
80
45
93
13
77
42
94
14
67
50
75
15
82
48
84
Tentukan model regresi linier ganda sehingga dapat diramalkan kekuatan untaian benang jika diketahui panjang dan kehalusannya!.
233
BAB 9 ANALISIS DATA BERKALA
Kompetensi Dasar :
Mahasiswa Mampu Menganalisis Data Berkala
Kompetensi Inti :
Diharapkan mahasiswa dapat memahami arti dari data berkala
Mahasiswa dapat menyebutkan jenis-jenis gerakan / variasi data berkala
Mahasiswa mampu menggunakan berbagai metode untuk memperoleh trend
234
ARTI DAN PENTINGNYA ANALISIS DATA BERKALA Data berkala adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Tujuannya adalah untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu yang sekaligus dapat dipergunakan untuk mengetahui trend atau arah perkembangan secara umum dari masing-masing kegiatan. Biasanya jarak atau interval dari waktu ke waktu sama. Contoh dari data berkala adalah sebagai berikut : perkembangan produksi padi selama lima tahun terakhir perkembangan SEMBAKO selama 10 bulan terakhir harga penutupan harian sebuah saham di pasar modal untuk kurun waktu satu bulan jumlah keuntungan perusahaan tiap tahun indeks produksi minyak per bulan Dengan analisis data berkala kita dapat mengetahui perkembangan satu atau beberapa keadaan serta hubungan atau pengaruhnya terhadap keadaan lain. Artinya apakah suatu kejadian/keadaan mempunyai hubungan atau pengaruh terhadap keadaan lain, dan bila ada hubungan berapa besar atau seberapa kuat hubungan tersebut, misalnya : apakah
kenaikan nilai
ekspor
akan
mempengaruhi
anggaran
pendapatan dan belanja Negara ? apakah jumlah uang yang beredar akan mempengaruhi tingkat inflasi ? apakah kenaikan pendapatan rumah tangga akan diikuti dengan kenaikan permintaan terhadap produk tertentu?
Dengan data berkala kita juga dapat membuat ramalan-ramalan berdasarkan garis trend. Data berkala apabila dibuat grafiknya, maka akan menunjukkan suatu fluktuasi (gerakan naik turun). Secara sistematis suatu data berkala dirumuskan dengan nilai-nilai Y1, Y2, Y3, ……Yn dari variabel Y pada waktu
235
waktu t1,t2,t3, ….tn. Dengan demikian variabel Y merupakan fungsi dari t yang dinyatakan dengan Y = f(t) atau bisa juga dinyatakan dengan Y=f(X), oleh karena itu suatu data berkala dapat digambarkan dengan suatu grafik grafik yang
menyatakan hubungan antara Y dengan t tau antara Y dengan X.
Sebagai contoh, berikut ini diberikan gambar grafik data berkala mengenai produksi minyak (dalam ton) yang diproduksi oleh perusahaan B dari tahun 1999 sampai tahun 2004.
Banyak produksi minyak
300 250 200 150 100 1999
2000
2001
2002
2003
2004
Tahun
Gambar grafik banyak produksi minyak perusahaan B tahun 1999-2004 Dengan memperhatikan grafik tersebut, kita mempunyai gambaran bahwa banyaknya produksi minyak yang di produksi oleh Perusahaan B cenderung tidak stabil. Namun dengan memakai persamaan matematis kita dapat memperkirakan berapa banyak produksi minyak yang akan diproduksi oleh perusahaan pada tahun 1999 dan tahun-tahun sesudahnya.
236
CIRI-CIRI DAN PENGGOLONGAN GERAKAN ATAU DATA BERKALA Data berkla menunjukkan bahwa terdapat gerakan-gerakan khas tertentu atau variasi yang beberapa diantaranya atau seluruhnya terdapat berbagai tingkat yang berbeda. Analisis dari gerakan tersebut sangat penting dalam berbagai hal, salah satunya adalah meramalkan gerakan-gerakan yang akan datang. Oleh karena itu, banyak industry dan lembaga pemerintah sering menggunakan analisis gerakangerakan data berkala. Persamaan klasik mengasumsikan bahwa data berkala Y merupakan hasil perkalian dari komponen; gerakan jangka panjang (T), gerakan siklis (C), gerakan musim (S), dan gerakan tak teratur atau acak (I), yaitu Y=T x C x S x I tetapi ada juga statistikawan yang mengasumsikan bahwa data berkala Y merupakan jumlah dari komponen-komponen tersebut, yaitu Y=T + C + S + I Analisis data berkala terdiri atas sutu penelitian mengenai faktor-faktor T,C,S, dan I yang disebut dengan komponen-komponen. Keempat komponen data berkala tersebut masing-masing diuraikan sebagai berikut.
1.
Gerakan Trend Jangka Panjang
Gerakan trend jangka panjang adalah suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan atau kecenderungan secara umum dari data berkala yang meliputi jangka waktu yang panjang. Kecenderungan tersebut arahnya bisa naik bisa juga turun. Gerakan ini disebut juga trend sekuler, ini direpresentasikan oleh garis putus-putus, yang disebut garis trend. Penentuan garis-garis dan kurva kurva trend ini dapat dilakukan melalui metode kuadrat terkecil yang akan di bahas di bab selanjutnya. Perlu diketahui garis tren sangat diperlukan untuk membuat ramalan yang sangat dibutuhkan bagi perencanaan.
237
2.
Gerakan Siklis atau Variasi Siklis
Gerakan siklis adalah gerakan naik-turun disekitar garis trend dalam jangka panjang. Atau bisa dikatakan suatu gerakan disekitar rata-rata nilai data berkala, diatas atau dibawah garis trend jangka panjang.gerakan siklis ini bisa berulang atau bahkan lebih, dan bisa juga terulang pada waktu yang sama. Bisnia siklis adalah salah satu contoh gerakan siklis yang menggambarkan runtunan masa kesejahteraan , resesi, depresi, dan pemulihan secara bergantian dan berulangulang.
3.
Gerakan Musiman atau Variasi Musiman
Gerakan musiman adalah gerakan yang mempunyai pola-pola tetap atau identik dari waktu ke waktu dengan jangka waktu yang kurang dari satu tahun. Gerakangerakan tersebut diakibatkan karena adanya peristiwa tertentu, misalnya hari Raya Idul Fitri terjadinya harga bahan pokok meningkat, hari Natal terjadinya harga pohon natal naik, dan sebagainya. Dengan demikian bahwa variasi musiman adalah suatu pola yang berulang dalam jangka pendek. Meskipun dalam teori ekonomi dan bisnis pergerakan musiman pada umumnya merujuk ke faktor-faktor tau kejadian-kejadian dalam jangka waktu setahun, namun konsep pergerakan musiman dapat diperluas untuk mencakup interval-interval waktu apa pun (misalnya hari, jam, atau minggu), sesuai dengan kebutuhan dan data yang tersedia.
4.
Gerakan Tidak Teratur atau Acak
Gerakan tidak teratur atau acak adalah gerakan yang bersifat sporadic atau gerakan dengan pola yang tidak teratur dan tidak dapat diperkirakan yang terjadi dalam waktu singkat. Gerakan ini disebabkan karena peristiwa-peristiwa
238
kebetulan misalnya, banjir, gempa bumi, gunung meletus, pemogokan buruh, pemilihan umum, dan perubahan pemerintahan. Meskipun biasanya kejadiankejadian semacam itu dianggap hanya menimbulkan variasi-variasi sementara yang tidak berlangsung lama, diketahui pula bahwa intensitas suatu kejadian bisa saja begitu hebat sehingga memunculkan suatu siklus atau pergerakan baru.
Y = f (X)
(Trend jangka Panjang)
Y= f(X)
(Trend
Siklis)
Y= f(X)
Y= f (X)
(Trend Jangka Panjang, Siklis dan Musiman) (Trend Jangka Panjang, Siklis, Musiman, dan Acak)
239
CARA MENENTUKAN PERSAMAAN TREND
Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana caranya menentukan persamaan trend. Terdapat empat metode yang diketahui secara umum dalam menentukan trend, yaitu sebagai berikut :
Metode Tangan Bebas
Metode tangan bebas merupakan cara yang paling sederhana dan mudah untuk menentukan trend dari data berkala. Metode ini, pada intinya adalah mencocokan sebuah garis atau kurva trend secara manual terhadap titik-titik data pada sebuah kertas grafik, dapat pula digunakan untuk mengestimasikan nilai-nilai tren T. Akan tetapi, metode ini terlalu banyak bergantung pada penilaian subjektif individu yang melakukan pencocokan garis/kurva. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan persamaan trend dengan cara sebagai berikut :
Buatlah sumbu datar X dan sumbu tegak Y
Buatlah diagram pencar dari pasangan titik (X,Y) yang menyatakan kaitan antara waktu dan nilai data berkala.
Tariklah garis linear yang arahnya mengikuti arah penyebaran nilainilai data berkala.
Pilihlah dua titik senbarang untuk menentukan persamaan tren,
Pilihlah salah satu periode waktu data berkala sebagai titik asal (X=0)
Masukkanlah atau substitusikanlah nilai X dan Y dari dua titik yang telah dipilih.
Selanjutnya tentukan nilai-nilai trend.
240
Metode Rata-rata Semi
Untuk menggunakan metode ini harus dilakukan beberapa langkah yaitu :
Metode ini membagi data menjadi dua bagian, apabila data genap maka dibagi menjadi dua bagian misalnya, jika ada 10 data maka masing-masing menjadi 5 data, sedangkan data ganjil hilangkan satu, yaitu yang berada di tengah misalnya, jika ada 7 data maka dikelompokkan menjadi dua bagian dengan jumlah masing-masing 3.
kemudian mencari nilai rata-rata untuk tiap-tiap bagian tersebut, dengan demikian kita mendapatkan dua titik pada grafik tersebut, katakanalah 𝑌̅1 dan 𝑌̅2 yang merupakan ordinatnya
Tentukanlah dua titik, yaitu (X1, 𝑌̅1) dan (X2, 𝑌̅2) dimana absis X1 dan X2 ditentukan dari periode waktu data berkala. Titik absis harus dipilih dari variabel X yang berada di tengah masing-masing kelompok (tahun atau waktu yang ditengah). Misalnya,
Tentukan lah nilai a dan b dengan mensubstitusikan nilai-nilai X dan Y dari dua titik tersebut pada persamaan Y = a + bX.
Masalah akan muncul ketika membagi data berkala menjadi dua kelompok yang sama banyak. Banyak data berkala genap maka tidak akan ada masalah, namun apa bila banyaknya data berkala ganjil maka dapat dilakukan dnegan dua cara yaitu menghilangkan nilai data paling tengah atau memasukkan nilai data paling tengah tersebut pada masing-masing kelompok. Meskipun metode ini cukup sederhana, namun tidak akan memberikan hasil yang memuaskan apabila diterapkan secara kurang berhati-hati. Namun metode ini hanya dapat diterapkan secara optimal apabila pergerakan tren diketahui linear atau mendekati linear.
241
Metode Rata-rata Bergerak Metode rata-rata bergerak ditentukan dengan cara berikut. Misalkan kita mempunyai data berkala dengan nilai-nilai berikut Y1 , Y2 , Y3 , ….. Yn Rata-rata bergerak menurut urutan waktu n adalah merupakan urutan rata-rata hitung, yaitu sebagai berikut 𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + … 𝑌𝑛 𝑌2 + 𝑌3 + … + 𝑌𝑛+1 𝑌3 + 𝑌4 + …. +𝑌𝑛+2 𝑛
,
𝑛
,
𝑛
, …..
Bagian pembilang masing-masing disebut total bergerak menurut total n yang bergantung pada periode waktu data berkala. Bila data berkala merupakan tahunan maka urutan n dalam tahunan, dan bila data berkala merupakan bulanan maka n nya itu dalam bulanan, dan seterusnya. Jadi kita dapat mengenal rata-rata bergerak satu tahun, rata-rata bergerak lima tahun, rata-rata bergerak sepuluh tahun, rata-rata bergerak tiga bulan, dan seterusnya. Kemudian metode ini juga dapat memuluskan fluktuasi yang terjadi di dalam data berkala, pemulusan tersebut disebut pemulusan data berkala.
Metode Kuadrat Terkecil
Metode ini dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis tren atau kurv atren yang sesuai
untuk data. Dari persamaan ini, kita dapat menghitung
nilai-nilai tren T. seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa garis trend linear yang diperoleh dari persamaan trend linier yaitu 𝑌̂ = a + bX dimana 𝑌̂ adalah data berkala, X adalah waktu, dan a b adalah bilangan konstanta. Berarti garis trend mencari nilai a dan b. apabila nilai a dan b sudah diketahui maka garis tren dapat digunakan untuk meramalkan Y. Untuk mencari persamaan trend garis lurus dengan menggunakan metode kuadrat terkecil kita dapat memakai beberapa cara dan rumus yaitu sebagai berikut
242
Cara I Untuk garis tren yang lurus rumusnya adalah : a = 𝑌̅ b=
∑ 𝑋𝑖 𝑌𝑖 ∑ 𝑋𝑖2
𝑌̂ = a + bX dimana X merupakan variabel waktu.
Cara II Garis tren lurus diperoleh dengan rumus sebagai berikut : a = 𝑌̅ – b 𝑋̅ b=
𝑛 ∑ 𝑋𝑖 𝑌𝑖 − ∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑌𝑖 𝑛 ∑ 𝑋𝑖2 − (∑ 𝑋𝑖 )2
Cara III Yaitu dengan menggunakan rumus sebagai berikut : a=
b=
∑𝑌 𝑛
∑𝑋 𝑌 ∑ 𝑋2
dengan syarat ∑ 𝑋 = o, dimana X adalah variabel waktu dari data berkala dan Y adalah nilai-nilai data berkala
243
SOAL LATIHAN
A. Soal Pilihan Berganda
1.
Suatu perkiraan atau taksiran mengenai nilai a dan b dari tren garis lurus, disebut ….. a. Metode kuadrat terkecil b. Metode rata-rata bergerak c. Metode semi rata-rata d. Metode tangan bebas
2.
Gerakan yang mmepunyai pola tetap dari waktu ke waktu, disebut… a. Variasi siklus b. Variasi musiman c. Gerakan trend jangka panjang d. Analisis data berkala
3.
Yang dimaksud dengan variasi yang tidak teratur atau acak adalah… a. Gerakan dari waktu ke waktu b. Gerakan di sekitar garis tren c. Gerakan atau variasi yang sifatnya sporadic d. Perkiraan mengenai nilai a dan b
4.
Dari jawaban berikut merupakan metode dari penentuan persamaan trend, kecuali a. Metode kuadrat terkecil b. Metode rata-rata semi c. Metode rata-rata bergerak d. Metode variasi siklis
244
5.
Diketahui data berkala berikut : 2, 6,1, 5, 3, 7, 2 Dengan menggunakan rata-rata bergerak menurut urutan 3, maka jawabannya adalah ….. a. 3 4 3 5 4 b. 2 4 6 5 2 c. 6 4 5 4 6 d. 3 5 4 5 4
6.
Uraian tentang komponen-komponen yang menyebabkan gerakangerakan atau variasi-variasi yang tercemin dalam fluktuasi, disebut….. a. Analisis data berkala b. Variasi acak c. Metode tangan bebas d. Variasi siklis
7.
Curah hujan bulanan, dalam inci di sebuah kota selama periode waktu 6 tahun. Dari data kejadian di atas gerakan atau variasi mana yang cocok diantara jawaban berikut …. a. Variasi siklis b. Variasi acak c. Variasi jangka panjang d. Variasi musiman
8.
Suatu gerakan yang menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecenderungan menaik/menurun), disebut….. a. Ramalan b. Variasi siklus c. Variasi kuadrat terkecil d. Gerakan trend jangka panjang
245
9.
Perhatikan tabel berikut, maka rata-rata bergerak 3 tahunnya adalah….. 1
Tahun
2
3
4
5
6
7
8
9
1,5 1,8 2,5 3,5 2, 3 1,6 4,1 3,8 4,5
Besar Pinjaman
a. 4,13 3,17 2,67 2,47 2,77 2,60 1,93 b. 1,93 2,60 2,77 2,47 2,67 3,17 4,13 c. -1,93 -2,60 -2,77 -2,47 -2,67 -3,17 -4,13 d. -4,13 -3,17 -2,67 -2,47 -2,77 -2,60 -1,93
10. Dari data table berikut, maka ramalan tahun 1997 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, adalah …. Tahun
91
92
93
94
95
96
X
-5
-3
-1
1
3
5
Y
200
300 500 600 800
a.
1.059,999 miliar
b.
1.099,599 miliar
c.
999,599 miliar
d.
1.999,559 miliar
900
B. Soal Essai
1. a. Apakah yang dimaksud dengan data berkala ? b. Apa manfaat data berkala ? 2. Berikan 5 contoh dari data berkala ! 3. Jelaskan 4 penggolongan data berkala !
246
4. Sebutkan metode penentuan persamaan Trend ! 5. Sebutkan langkah untuk menentukan garis trend dengan menggunakan metode tangan bebas dan metode rata-rata semi ! 6. Diberikan sekelompok data: 9,6 7,1 9,4 7,0
9,0 7,2 8,4
a. Tentukanlah rata-rata bergerak orde 3 dan orde 4 ! b. Tentukanlah rata-rata bergerak orde 3 dengan bobot 1,2dan 1! 7. Tabel berikut ini menyajikan rata-rata produksi per bulan
kendaraan
angkutan di Singapore dari tahun 1986-1996 TABEL Tahun
1986 1987 1988
1989
1990
1991 1992
1993
1994 508 556 546
600 573
617 681 709
750
Rata-rata produksi a. Buatlah rata- rata bergerak 3 tahun! b. Buatlah rata-rata bergerak 4 tahun !
8. Dengan menggunakan metode tangan bebas, dan metode rata-rata semi serta buatlah trennya dari data berikut : Tahun Y
2000 2001 2002 2003 2004 20
24
30
35
45
2005 65
247
9. Dengan
pergerakan
khas
data
berkala
manakah
menurut
anda
mengasosiasikan kejadian atau hal berikut : a. Sebuah kebakaran di suatu pabrik yang menghentikan produksi pabrik selama 3 minggu b. Suatu masa kesejahteraan ekonomi c. Sebuah obrolan pasca-Paskah di suatu toserba d. Kebutuhan akan peningkatan produksi gandum karena peningkatan tetap jumlah penduduk e. Curah hujan bulann, dalam inci, di sebuah kota selama periode waktu 5 tahun 10.
Berdasarkan soal no 8, berapa besarnya ramalan Y pada tahun 2006, kalau dipergunakan persamaan garis trend Y’ = a + bX, dengan metode kuadrat terkecil
C. Soal Studi Kasus 1. Tabel berikut ini menunjukkan jumlah bekerja menjadi petani di Amerika Latin untuk tahun-tahun 1973-1983.
Tahun
1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
Jmlh Petani 9,47
9,26
8,96
8,25
7,81
8,01
7,55
7,24
7,01
6,88
7,03
(jt)
248
Berdasarkan data tersebut tentukan : a. Rata-rata bergerak per 2 tahun b. Rata-rata bergerak per 5 tahun
2. Tabel berikut ini menunjukkan jumlah banyaknya penduduk yang mencoba mengakhri hidupnya dengan cara bunuh diri (dalam ribuan) yang terjadi di Korea Utara untuk periode tahun 1985-1995.
Tahun
1985 1986 1987 1988 1989 1990 1979 1990 1991 1992 1993
Jlh
19,0
20,6
20,1
20,7
21,5
23,4
24,7
23,8
24,5
23,3
21,6
penduduk(jt)
Berdasarkan data tersebut, dengan menggunkan metode semi rata-rata, tentukan nilai-nilai tren dengan mencari meannya dan mediannya !
249
BAB 10 INDEKS MUSIMAN DAN GERAKAN SIKLIS Kompetensi dasar
Memahami gerakan musiman,penyelesaian data bulanan serta indeks musim.
Memahami beberapa metode penghitungan indeks musiman.
Kompetensi inti
Memahami indeks musiman dan gerakan siklis
250
Gerakan Musiman, Penyelesaian Data Bulanan, Dan Indeks Musiman Gerakan musiman (seasonal movement or variation) merupakan gerakan yang teratur dalam arti naik-turunnya terjadi pada waktu-waktu yang sama atau sangat berdekatan.Disebut gerakan musiman oleh karena terjadinya bertepatan dengan pergantian musiman dalam suatu tahun (musiman panen padi harga beras turun dan pada waktu menjelang panen harga masih tinggi; juga harga buah-buahan seperti rambutan, duku, lengkeng, akan dipengaruhi oleh musim panen). Gerakan lainnya yang terjadi secara teratur waktu yang singkat juga disebut gerakan musiman, misalnya: naik turunnya temperature seorang pasien tiap jam dari hari ke hari naik turunnya produksi karet tiap bulan dari tahun ketahun naik turunnya jumlah orang ke luar negeri (ingat musim haji)
Pengetahuan tentang gerakan musiman ini sangat penting sebagai dasar penentuan langkah-langkah kebijakan dalam rangka mencegah hal-hal yang tidak diinginkan. Untuk menstabilkan harga beras pemerintah melalui bulok akan membeli beras pada waktu panen, disimpan di gudang-gudang, kemudian akan dijual lagi kepada masyarakat pada waktu menjelang panen (jauh sebelum panen), agar harga tidak melonjak tinggi. Misalnya (pemilik bioskop menyediakan karcis lebih banyak pada malam minggu, pemilik restoran menyediakan makanan yang lebih banyak pada malam minggu, khususnya pada bulan muda, pemerintah mengimpor beras menjelang panen, dan lain sebagainya. Oleh karena itu jumlah hari pada setiap bulan tidak sama, maka perlu diadakannya penyesuaian data. Penyusunan data mempunyai alasan-alasan berikut: a)
jumlah hari untuk tiap bulan tidak sama
b)
jumlah hari kerja tidak sama
c) jumlah jam kerja tidak sama
251
Untuk keperluan analisis, seringkali data berkala dinyatakan dalam bentuk angka indeks.Apabila kita ingin menunjukkan ada tidaknya gerakan musiman, perlu dibuat indeks musiman (seasonal indekx). Data berkala yang dinyatakan sebagai variable Y terdiri dari 4 komponen, yaitu: Y=TxCxSxI Kalau pengaruh dari trend (T) siklis dan irregular (I) dihilangkan, tinggallah satu komponen S, yaitu komponen musiman. Apa bila S ini dinyatakan dalam angka indeks, maka akan kita peroleh indeks musiman. Jadi angka indeks musiman merupakan angka yang menunjukkan nilai relative dari variable Y yang merupakan data berkala selama seluruh bulan dalam satu tahun (dapat lebih dari 1 tahun). Ada beberapa metode untuk menghitung angka indeks musiman, antara lain metode rata-rata sederhana (simple average method), metode relatif bersambung (link relative method), metode rasio terhadap trend (ratio to trend method), dan metode rasio terhadap rata-rata bergerak (ratio to moving average method).
Metode Rata-Rata Sederhana Untuk menerangkan bagaimana cara menghitung indeks musiman, terlebih dahulu kita cari produksi rata-rata bulanan untuk seluruh tahun, maksudnya angka rata-rata dipakai untuk mewakili bulan Januari, Pebruari, Maret,....Untuk mencari rata-rata bagi bulan tertentu, kita jumlahkan angka dari bulan tersebut, kemudian membaginya dengan banyaknya tahun. Setelah diperoleh rata-rata untuk tiap bulan, hasilnya kita masukkan pada kolom kedua. Lalu,kita mencari persentase terhadap totalnya dengan cara membagi harga rata-rata setiap bulannya dengan jumlah keseluruhan harga rata-rata lalu dikalikan dengan 100%.Hasil pembagian ini terdapat di kolom (3).Kemudian untukmemperoleh angka indeks musiman, nilai pada kolom (3) dikalikan dengan 12
252
dan semua dibulatkan menjadi dua angka di belakang koma.Hasil tersebut kita masukkan di kolom (4). Untuk pemahaman, perhatikan tabel berikut: Harga eceran beras per liter di kota X 1996-2000 dalam rupiah TAHUN
BULAN
Jumlah
rata-rata
Persentase
Indeks Musiman
1996 1997 1998 1999 2000 Januari
150
159
215
190
230
944
188.8
7.7785
93.342
Februari
153
165
217
189
257
981
196.2
8.0834
97.0008
Maret
148
168
215
170
255
956
191.2
7.8774
94.5288
April
149
172
214
192
253
980
196
8.0751
96.9012
Mei
147
185
211
245
254
1042
208.4
8.586
103.032
Juni
149
192
214
246
253
1054
210.8
8.685
104.22
Juli
150
202
208
247
252
1059
211.8
8.7261
104.7132
Agustus
148
215
205
248
253
1069
213.8
8.8085
105.702
September
149
210
205
249
257
1070
214
8.8167
105.8004
Oktober
152
213
204
248
266
1083
216.6
8.9239
107.0868
November
154
211
204
250
270
1089
217.8
8.9733
107.6796
Desember
155
203
205
246
809
161.8
6.6661
79.9932
2427.2
100
1200
Jumlah
Kesalahan pembulatan (rounding error), ada kemungkinan jumlah kolom (3) tidak tepat 100 dan kolom (4) tidak tepat 1.200. Pengambilan nilai rata-rata tiap bulan dimaksudkan untuk menghilangkan pengaruh trend (T). untuk memperoleh gerakan musiman yang murni, pengaruh dari gerakan siklis seharusnya juga dihilangkan. Karena gerakan siklis akan terulang setelah beberapa tahun (4 tahun 5 tahun atau lebih), maka banyaknya tahun yang
253
diselidiki harus sebanyak tahun terulangnya gerak siklis tersebut. Apabila indeks musiman dari kolom (4).
Metode Relatif Bersambung Untuk menggunakan metode ini, data bulanan yang asli mula-mula dinyatakan sebagai persentase dari data pada bulan yang mendahuluinya. Persentasepersentase yang didapat dengan cara tersebut disebut relatif bersambung. Jadi, relatif besambung menghubungkan data pada bulan yang mendahuluinya. Kemudian diambil harga rata-rata atau median dari persentase-persentase tersebut untuk setiap bulan. CONTOH Harga gula per kilogram di kota Y Bulan
Tahun 2000
2001
2002
januari
500
550
520
februari
460
540
525
maret
470
525
510
april
510
534
525
mei
500
498
522
juni
420
475
537
juli
400
439
490
agustus
450
497
499
september
510
520
500
oktober
530
530
519
november
390
515
539
desember
298
560
555
254
Dari data di atas, dapat dibuat relatif bersambung sebagai berikut: Februari 2000 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑓𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2000 𝑥 100% 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑗𝑎𝑛𝑢𝑎𝑟𝑖 2000 460 𝑥 100% 500 = 92% Maret 2000 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑡 2000 𝑥 100% 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑢𝑎𝑟𝑖 2000 470 𝑥 100% 460 =102,17% Dan begitu seterusnya untuk april 2000 hingga desember 2002. Setelah relatif bersambung selesai, maka selanjutnya yaitu mencari rata-rata untuk setiap bulan. Setelah rata-rata untuk tiap bulan lalu yang selanjutnya dicari yaitu median. Hasil yang kita peroleh yaitu: Bulan
Tahun
Rata-rata
Median
92,6
138,58
138,58
98,18
100,96
97,05
98,18
97,22
97,14
98,84
97,22
April
108,51 101,71 102,94
104,39
102,94
Mei
98,04
93,26
99,43
96,91
98,04
Juni
84
95,38
102,87
94,08
95,38
Juli
95,24
92,42
91,25
92,97
92,42
Agustus
112,5
113,21 101,84
109,18
112,5
106,05
104,63
2000
2001
2002
Januari
-
184,56
Februari
92
Maret
102,17
September 113,33 104,63
100,2
255
Oktober
103,92 101,92
103,8
103,21
103,8
November
73,58
103,85
91,71
97,7
Desember
76,41
108,74 102,97
96,04
102,97
97,7
Menghitung indeks musiman dengan menggunakan rata-rata Untuk menghitung indeks musiman dengan menggunakan rata-rata maka
harus kita cari terlebih dahulu relatif berangkai. Relatif berangkai dihitung dengan cara mengalikan rata-rata dengan median sebelumnya. Misalnya: Dengan anggapan bahwa januari 100% maka: Februari= 97,05X100% = 97,05 Maret = 98,84X97,05 = 95,92 Dan seterusnya hingga desember
Maka hasil yang diperoleh yaitu: Rata-rata
relatif
relatif bersambung
Berantai
Januari
138,58
100
Februari
97,05
97,05
Maret
98,84
95,92
April
104,39
100,13
Mei
96,91
97,04
Juni
94,08
91,30
Juli
92,97
84,88
Agustus
109,18
92,67
September
106,05
98,28
Oktober
103,21
101,44
Bulan
256
November
91,71
93,03
Desember
96,04
89,35
Januari
Januari pertama
= 100%
Januari kedua
=
138,58
𝑥 89,35%
100
= 123,82% Terjadi kenaikan sebesar 23,82% yang disebabkan oleh pengaruh dari ternd. Untuk menghilangkan pengaruh dari trend ini masing-masing nilai relatif berantai harus disesuaikan. Januari
12
= 123,82% −
12
𝑥 23,82%
= 100% Februari
= 97,05% −
1 12
𝑥 23,82%
= 95,06 Dan seterusnya hingga desember dan akan diperoleh hasil sebagai berikut:
Rata-rata
relatif
Sebelum
Bulan
relatif bersambung
berantai
Penyesuaian
januari
138,58
100
100,00
februari
97,05
97,05
95,06
maret
98,84
95,92
95,75
april
104,39
100,13
99,88
mei
96,91
97,04
96,71
juni
94,08
91,3
90,88
juli
92,97
84,88
84,38
agustus
109,18
92,67
92,09
september
106,05
98,28
97,61
257
oktober
103,21
101,44
100,69
november
91,71
93,03
92,20
desember
96,04
89,35
88,43 1133,68
Karena hasilnya belum 1200% yaitu masih 1133,68 maka harus dilakukan penyesuaian dengan mengalikan nilai setiap bulan dengan faktor pengali. Faktor pengali =
1200 1133,68
= 1, 585 Setelah nilai tiap bulan pada data yang belum disesuaikan dikalikan dengan faktor pengali, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut: Sudah Belum disesuaikan Bulan
disesuaikan/ Indeks harga
Januari
100,00
105,85
februari
95,06
100,62
Maret
95,75
101,35
April
99,88
105,72
Mei
96,71
102,36
Juni
90,88
96,20
Juli
84,38
89,32
Agustus
92,09
97,47
september
97,61
103,32
oktober
100,69
106,58
november
92,20
97,59
desember
88,43
93,61
1133,68
1200,0
Jumlah
258
Menghitung indeks musiman dengan menggunakan median Untuk menghitung indeks musiman dengan metode ini, maka hita harus
menghitumg nilai relartif berantainya terlebih dahulu. Nilai relatif berantai diketahui dengan cara menganggap bahwa januari adalah 100% lalu mengalikan nilai median relatif bersambung tiapbulannya dengan nilai relatif berantainya lalu dibagi dengan 100. Misalnya: Februari
=
98,18 100
𝑥 100%
= 98,18% Maret
=
97,22 100
𝑥 98,18%
= 95,45 Dan sterusnya hingga desember. Maka akan diperoleh hasil yaitu: relatif Bulan
Median
berantai
Januari
138,58
100
Februari
98,18
98,18
Maret
97,22
95,45
April
102,94
98,25
Mei
98,04
96,32
Juni
95,38
91,87
Juli
92,42
84,91
Agustus
112,5
95,52
September
104,63
99,94
Oktober
103,8
103,74
November
97,7
101,35
Desember
102,97
104,36
Jumlah
259
Januari pertama= 100% Januari kedua =
138,58 100
𝑥 104,36%
= 144,62%
Terjadi kenaikan sebesar 44,62% yang disebabkan oleh pengaruh dari ternd. Untuk menghilangkan pengaruh dari trend ini masing-masing nilai relatif berantai harus disesuaikan. Januari
= 144,62% −
12 12
𝑥 44,62%
= 100% Februari
= 98,18% −
1 12
𝑥 44,62%
= 94,46 Dan seterusnya hingga desember dan akan diperoleh hasil sebagai berikut: relatif
Sebelum
Median
berantai
Penyesuaian
januari
138,58
100
100,00
februari
98,18
98,18
94,46
maret
97,22
95,45
88,01
april
102,94
98,25
87,10
mei
98,04
96,32
81,45
juni
95,38
91,87
73,28
juli
92,42
84,91
82,72
agustus
112,5
95,52
69,49
september
104,63
99,94
70,19
oktober
103,8
103,74
70,28
november
97,7
101,35
64,17
desember
102,97
104,36
63,46
Bulan
jumlah
944,60
260
Karena hasilnya belum 1200% yaitu masih 944,60 maka harus dilakukan penyesuaian dengan mengalikan nilai setiap bulan dengan faktor pengali. 1200
Faktor pengali = 944,60 = 1,270 Setelah nilai tiap bulan pada data yang belum disesuaikan dikalikan dengan faktor pengali, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut: Sebelum
setelah pennyesuaian/
Penyesuaian
angka indeks
Januari
100,00
127
februari
94,46
119,97
Maret
88,01
111,78
April
87,10
110,61
Mei
81,45
103,44
Juni
73,28
93,06
Juli
82,72
105,05
agustus
69,49
88,25
september
70,19
89,15
oktober
70,28
89,25
november
64,17
81,49
desember
63,46
80,59
Jumlah
944,60
1199,6
Bulan
Metode Rasio Terhadap Trend Pada metode ini, data asli untuk setiap bulan dinyatakan sebagai persentase dari nilai-nilai trend bulanan. Rata-rata dari persentase ini merupakan indeks musiman. Indeks musiman perlu dilakukan penyesuaian jika jumlahnya tidak 1200 atau bukan 100.
261
CONTOH: Keuntungan yang diperoleh PT. JAYA SELALU 2005-20012(jutaan rupiah) Bulan
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Januari
150
225
250
300
315
320
340
400
Februari
170
175
195
210
225
230
255
280
Maret
200
215
220
230
250
275
300
305
April
250
255
270
285
290
300
310
325
Mei
220
225
230
235
245
250
265
280
Juni
210
215
220
235
240
255
270
275
Juli
230
240
250
265
270
285
290
300
Agustus
215
220
235
350
270
280
285
300
September
210
215
230
245
250
255
270
285
Oktober
180
185
200
210
220
235
250
270
November
190
195
200
205
220
225
250
270
Desember
220
230
235
250
265
280
295
310
Keuntungan rata-rata bulananya yaitu: TAHUN
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
RATA-RATA BULANAN
203.75 216.25 227.92 251.67 255.00 265.83 281.67 300.00
Dengan mengasumsikan bahwa angka bulanan ini terletak pada pertengahan bulan, maka rata-rata yang mewakili tahun akan terletak pada tanggal 30 juni atau 1 juli tahun bersangkutan. Untuk mencari trend tahuna diperlukan perhitunganperhitungan sebagi berikut:
262
TAHUN
x
y
xy
x²
2005
-7
203.75
-1426.25
49
2006
-5
216.25
-1081.25
25
2007
-3
227.92
-683.75
9
2008
-1
251.67
-251.67
1
2009
1
255.00
255.00
1
2010
3
265.83
797.50
9
2011
5
281.67
1408.33
25
2012
7
300.00
2100.00
49
0 2002.08
1117.92
168
JUMLAH
a
1
=𝑛 ∑𝑌𝑖 1
=8 2002,08 =250,26 b
∑𝑥𝑖𝑦𝑖
= ∑𝑥𝑖 2
1117,92
=
168
=6,65 Y’ =a+bX =250,26+6,65X
X diukur menrut tengahan tahun (6 bulan) dan titik asalnya pada tanggal 31 desember 2008 atau 1 januari 2009. Dari persamaan Y=250,26+6,65X berarti nilai Y naik sebesar 6,65 setiap 6 bulannya. Jadi, naik setiap bulannya secara rata-rata yaitu:
6,65 6
=1,11
Ketika nilai x sama dengan 0 yaitu pada 1 januari 2009 Y=250,26+1/2(1,11)=250,82 yaitu merupakan nilai trend pada januari 2009.
263
Untuk bulan setelah januari, nilai trend didapat dengan penambahan 1,11 pada setiap bulannya secara berurutan. Sedangkan untuk nilai trend sebelum januari 2009 didapatkan dengan mengurangi 1,11 pada setiap bulannya secara berurutan. Maka hasil yang diperoleh yaitu nilai trend sebagai berikut: Bulan
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
Januari
197.54 210.86 224.18 237.5
Februari
198.65 211.97 225.29 238.61 251.93 265.25 278.57 291.89
Maret
199.76 213.08 226.40 239.72 253.04 266.36 279.68 293
April
200.87 214.19 227.51 240.83 254.15 267.47 280.79 294.11
Mei
201.98 215.3
Juni
203.09 216.41 229.73 243.05 256.37 269.69 283.01 296.33
Juli
204.20 217.52 230.84 244.16 257.48 270.8
Agustus
205.31 218.63 231.95 245.27 258.59 271.91 285.23 298.55
Sepember
206.42 219.74 233.06 246.38 259.7
Oktober
207.53 220.85 234.17 247.49 260.81 274.13 287.45 300.77
228.62 241.94 255.26 268.58 281.9
November 208.64 221.96 235.28 248.6 Desember
250.82 264.14 277.46 290.78
295.22
284.12 297.44
273.02 286.34 299.66
261.92 275.24 288.56 301.88
209.75 223.07 236.39 249.71 263.03 276.35 289.67 302.99
Nilai rasio terhadap trend didapatkan dengan cara membagi keuntungan bulanan dengan nilai trend lalu dikalikan dengan 100%. RataBulan
2005
2006
2007
2008
2009
januari
75.93
106.71 111.52 126.32 125.59 121.15 122.54 137.56 115.91
121.84
februari
85.58
82.56
86.56
88.01
89.31
86.71
87.36
Maret
100.12 100.90 97.17
95.95
98.80
103.24 107.27 104.10 100.94
100.51
April
124.46 119.05 118.68 118.34 114.11 112.16 110.40 110.50 115.96
116.22
Mei
108.92 104.51 100.60 97.13
96.56
95.98
2010
93.08
2011
91.54
94.00
2012
95.93
94.84
Rata
88.27
98.63
Median
264
Juni
103.40 99.35
Juli
112.63 110.33 108.30 108.54 104.86 105.24 102.07 100.86 106.61
106.77
agustus
104.72 100.63 101.31 142.70 104.41 102.98 99.92
100.49 107.14
102.15
sepember
101.73 97.84
98.69
99.44
96.26
93.40
94.29
95.11
97.10
97.05
oktober
86.73
83.77
85.41
84.85
84.35
85.73
86.97
89.77
85.95
85.57
november 91.07
87.42
85.01
82.46
84.00
81.75
86.64
89.44
85.97
85.82
desember
95.76
104.89 103.11 99.41
JUMLAH
96.69
93.61
94.55
95.40
92.80
96.45
100.12 100.75 101.32 101.84 102.31 101.72 1200.66
95.58
101.58 1197.02
150
Januari 2005 =197,54 𝑥 100% =75,93 170
Februari 2005 =198,65 𝑥 100% =85,58 Dan seterusnya hingga desember 2012 dan akan diperoleh nilai rasio terhadap trend yaitu sebagai berikut:
Untuk menghitung indeks musiman dengan menggunakan rata-rata, maka kita menggunakan nilai rasio terhadap trend berdasarkan rata-rata. Dan karena jumlahnya tidak sama dengan 1200 maka kita perlu melakukan penyesuaian yaitu dengan cara 1200
mengalikan setiap angka pada kolom rata-rata dengan factor pengali yaitu 1200,66 = 0,9995 Januari =112,91 x 0,9995 =112,85 Februari =88,27 x 0,9995 =85,50 Maret =100,94 x 0,9995 =97,32
265
Begitu juga perhitungan indeks musiman dengan menggunakan median. Kita harus mengalikan masing-masing angka rasio terhadap trend dengan factor pengali 1200
yaitu 1197,02 = 1,0025. Hasil yang dipreoleh yaitu indeks musiman dengan rata-rata dan indeks musiman dengan median sebagai berikut: indeks musiman indeks musiman bulan
indeks musiman rata-rata
median
januari
115.86
122.14
februari
88.23
87.57
maret
100.89
100.75
april
115.90
116.50
mei
98.58
96.79
juni
96.40
95.81
juli
106.55
107.03
agustus
107.09
102.39
sepember
97.05
97.29
oktober
85.90
85.77
november
85.93
86.03
desember
101.67
101.82
JUMLAH
1200.06
1199.89
Metode Rasio Terhadap Rata-Rata Bergerak Di dalam metode ini harus dihitung terlebih dahulu rata-rata bergerak selama 12 bulan. Oleh karena hasil perhitungan rata-rata bergerak 12 bulan ini terletak antara dua bulan yang berdekatan, tidak terletak pada pertengahan bulan, maka harus dibuat rata-rata bergerak 2 bulan yang didasarkan atas data rata-rata bergerak 12 bulan tersebut.
266
Apabila rata-rata bergerak 12 bulan terpusat sudah dihitung, maka angkaangka ini dapat dipergunakan untuk membagi data asli yang hasilnya dalam persentase, kemudian dibuat rata-rata angka persentase ini dari bulan ke bulan. Kalau jumlah rata-rata dari bulan ke bulan sudah sama atau dekat sekali dengan 1200, maka angka rata-rata sudah merupakan angka indeks musiman. Apabila jumlah A tidak sama dengan 1200, maka harus diadakan penyesuaian, yaitu dengan jalan mengalikan setiap angka rata-rata dengan faktor pengali sebesar
CONTOH Keuntungan PT. JAYA SELALU pada 2005-2008 Bulan
2005
2006
2007
2008
Januari
150
225
250
300
Februari
170
175
195
210
Maret
200
215
220
230
April
250
255
270
285
Mei
220
225
230
235
Juni
210
215
220
235
Juli
230
240
250
265
Agustus
215
220
235
350
September
210
215
230
245
Oktober
180
185
200
210
November
190
195
200
205
Desember
220
230
235
250
Kita terlebih dahulu membuat kolom rata-rate bergerak 12 bulan pusat terlebih dahulu. Sehingga menjadi: rata-rata bergerak 12 bulan terpusat hasil keuntungan yang diperoleh oleh PT. JAYA SELALU 2005-2008
267
tahun bulan 2005 januari
keuntungan
rata-rata bergerak
rata-rata bergerak 1 bulan
12 bulan
terpusat
150
februari
170
maret
200
april
250
mei
220
juni
210
203.75
junli
230
210.00
206.88
agustus
215
210.42
210.21
september
210
211.67
211.04
oktober
180
212.08
211.88
november
190
212.50
212.29
desember
220
212.92
212.71
225
213.75
213.33
februari
175
214.17
213.96
maret
215
214.58
214.38
april
255
215.00
214.79
mei
225
215.42
215.21
juni
215
216.25
215.83
junli
240
218.33
217.29
agustus
220
220.00
219.17
september
215
220.42
220.21
oktober
185
221.67
221.04
november
195
222.08
221.88
desember
230
222.50
222.29
250
223.33
222.92
2006 januari
2007 januari
268
februari
195
224.58
223.96
maret
220
225.83
225.21
april
270
227.08
226.46
mei
230
227.50
227.29
juni
220
227.92
227.71
junli
250
232.08
230.00
agustus
235
233.33
232.71
september
230
234.17
233.75
oktober
200
235.42
234.79
november
200
235.83
235.63
desember
235
237.08
236.46
300
238.33
237.71
februari
210
247.92
243.13
maret
230
249.17
248.54
april
285
250.00
249.58
mei
235
250.42
250.21
juni
235
251.67
251.04
juli
265
agustus
350
september
245
oktober
210
november
205
desember
250
2008 januari
Setelah rata-rata bergerak 12 bulan dan rata-rata bergerak 1 bulan terpusat dekiretahui, maka yang harus kita carai selajutnya yaitu jumlah begerak 12 bulan, jumlah bergerak 2 bulan dari kolom 1 dan rata-rata 12 bulan terpusat.
269
jumlah bergerak
jumlah bergerak
rata-rata bergerak
2 bulan dari kolom 12 bulan
1
12 bulan terpusat
2595
5040
210
2735
5330
222.08
3020
5755
239.79
2445
Langkah selanjutnya, data asli yaitu mulai juli 2005 sampai bulan juni 2008 dibagi dengan angka rata-rata bergerak 12 bulan terpusat lalu dikalikan dengan 100%. hasil pembagian data asli dengan rata-rata bergerak 12 bulan terpusat bulan
2005
2006
2007
2008
rata-rata
median
januari
105.47 112.15 126.21 114.61
112.15
februari
81.79
87.07
86.38
85.08
86.38
maret
100.29 97.69
92.54
96.84
97.69
april
118.72 119.23 114.19 117.38
118.72
mei
104.55 101.19 93.92
99.89
101.19
juni
99.61
96.61
96.61
juli
111.18 110.45 108.70
110.11
110.45
agustus
102.28 100.38 100.98
101.21
100.98
september
99.51
97.63
98.40
98.51
98.40
oktober
84.96
83.69
85.18
84.61
84.96
november
89.50
87.89
84.88
87.42
87.89
desember
103.43 103.47 99.38
102.09
103.43
JUMLAH
96.61
93.61
1194.37 1198.84
270
Karena jumlah rata-rata dan median tidak sama dengan 1200, maka perlu dilakukan penyesuaian.Penyesuaian dilakukan dengan mengalikan nilai pada rata-rata dengan angka pengali. 1200
Angka pengali untuk mengetahui indeks musiman dengan rata-rata=1194,37 = 1,005 1200
Angka pengali untuk mengetahui indeks musiman dengan median= 1198,84 = 1,0009
Hasil yang diperoleh untuk indeks musiman yaitu sebagai berikut: dengan rata-
dengan
Bulan
rata
median
Januari
115.18
112.25
Februari
85.50
86.45
Maret
97.32
97.78
April
117.97
118.83
Mei
100.39
101.28
Juni
97.10
96.70
Junli
110.66
110.55
Agustus
101.72
101.08
september
99.00
98.48
Oktober
85.03
85.03
november
87.86
87.97
desember
102.60
103.52
JUMLAH
1200.34
1199.92
MENGHILANGKAN PENGARUH MUSIMAN DAN TREND
271
Apabila kita ingin menghilangkan pengaruh musiman terhadap data berkala, maka setiap nilai (data asli) bulanan dari tahun ke tahun harus dibagi dengan indeks musiman.
CONTOH Diketahui hasil penjualan PT. JAYA SELALU tahun 200-2002 adalah sebagai berikut: bulan
2000
2001
2002
januari
500
550
520
februari
460
540
525
maret
470
525
510
april
510
534
525
mei
500
498
522
juni
420
475
537
juli
400
439
490
agustus
450
497
499
september
510
520
500
oktober
530
530
519
november
390
515
539
desember
298
560
555
Setelah dihitung, indeks musiman dengan menggunakan median adalah sebagai berikut:
bulan
indeks
272
musiman januari
127
februari
119.97
maret
111.78
april
110,61
mei
103,44
juni
93,66
juli
105,05
agustus
88,25
september
89,15
oktober
89,25
november
81,49
desember
80,59
HITUNGLAH hasil penjualan PT. JAYA SELALU yang bebas dari pengaruh musiman PENYELESAIAN Untuk menghitung hasil penjualan yang bebas dari pengaruh musiman caranya yaitu dengan cara membagi data hasil penjualan PT Jaya Selalu dengan indeks musiman berdasarkan median setelah dibagi 100. Maka akan diperoleh hasil sebagai berikut: bulan
2000
2001
2002
januari
393.70
433.07
409.45
februari
383.43
450.11
437.61
maret
420.47
469.67
456.25
april
461.08
482.78
474.64
mei
483.37
481.44
504.64
juni
448.43
507.15
573.35
273
juli
380.77
417.90
466.44
agustus
509.92
563.17
565.44
september
572.07
583.29
560.85
oktober
593.84
593.84
581.51
november
478.59
631.98
661.43
desember
369.77
694.88
688.67
GERAKAN SIKLIS DAN CARA MENGUKURNYA Jika pengaruh musiman dan trend dihilangkan dari data berkala, maka sisanya merupakan gerakan siklis dan gerakan yang tak teratur (CI). CONTOH Diketahui hasil penjualan PT. JAYA SELALU tahun 2000-2002 adalah sebagai berikut: bulan
2000
2001
2002
januari
500
550
520
februari
460
540
525
maret
470
525
510
april
510
534
525
mei
500
498
522
juni
420
475
537
juli
400
439
490
agustus
450
497
499
september
510
520
500
oktober
530
530
519
november
390
515
539
desember
298
560
555
274
Nilai trend dari data di atas yaitu sebagai berikut: bulan
2000
2001
2002
januari
128.10
529.62
931.14
februari
161.56
563.08
964.60
maret
195.02
596.54
998.06
april
228.48
630.00
1031.52
mei
261.94
663.46
1064.98
juni
295.40
696.92
1098.44
juli
328.86
730.38
1131.90
agustus
362.32
763.84
1165.36
september
395.78
797.30
1198.82
oktober
429.24
830.76
1232.28
november
462.70
864.22
1265.74
desember
496.16
897.68
1299.20
HITUNGLAH hasil penjualan yang bebas dari pengaruh musiaman dan trend PENYELESAIAN Untuk menghitung hasil penjualan yang bebas dari pengaruh musiman dan trend maka hasil penjualan PT. JAYA SELALU yang bebas daripengaruh musiman dibagi dengan nilai trend PT. JAYA SELALU lalu dikalikan dengan 100%. 393.70
Misalnya januari 2000=128.10 𝑥 100% = 307,33 383.43
Februari 2000=161.56 𝑥 100% Begitu seterusnya hingga akan diperoleh hasil sebagai berikut: bulan
2000
2001
2002
januari
307.33
81.77
43.97
februari
237.33
79.94
45.37
275
maret
215.60
78.73
45.71
april
201.80
76.63
46.01
mei
184.53
72.56
47.38
juni
151.80
72.77
52.20
juli
115.78
57.22
41.21
agustus
140.74
73.73
48.52
september
144.54
73.16
46.78
oktober
138.35
71.48
47.19
november
103.43
73.13
52.26
desember
74.53
77.41
53.01
Maka dapat diperoleh persentase selisih pengaruh musiman terhadap 100% yaitu: bulan
2000
2001
2002
januari
207.33
-18.23
-56.03
februari
137.33
-20.06
-54.63
maret
115.60
-21.27
-54.29
april
101.80
-23.37
-53.99
mei
84.53
-27.44
-52.62
juni
51.80
-27.23
-47.80
juli
15.78
-42.78
-58.79
agustus
40.74
-26.27
-51.48
september
44.54
-26.84
-53.22
oktober
38.35
-28.52
-52.81
november
3.43
-26.87
-47.74
desember
-25.47
-22.59
-46.99
276
CONTOH TAMBAHAN MENGENAI INDEKS MUSIMAN Sekali lagi, indeks musiman adalah suatu angka yang bervariasi terhadap nilai dasar 100. Jika suatu bulan (minggu, kuartal, atau periode musiman lainnya) mempunyai niai indeks 100, maka nilai ini menunjukkan bahwa pada bulan tersebut tidak ada pengaruh musiman. Dua metode untuk memperoleh indeks musiman akan disajikan di sini. Pertama, menemukan indeks musiman dengan membandingkan nilai rata-rata musiman dengan nilai tengah utama. Metode ini paling tepat untuk data berkala yang tidak mempunyai trend atau variasi siklis yang kuat. Metode kedua, membandingkan setiap nilai musiman sebenarnya dengan rata-rata bergerak (Moving average) tahunan untuk memperoleh sebuah nilai indeks . Indeks hasil akhir berupa rata-rata keseluruhan periode dalam deret. Penggunaan metode ini lebih luas karena dapat memberikan indeks musiman yang berarti untuk data dengan trend dan variasi siklis yang kuat. Contoh persoalan dalam bab ini adalah bagaimana menentuan indeks musiman untuk setiap kuartal dalam satu tahun . Jika akan menghitung indeks bulanan, maka teknik yang sama dapat digunakan. Kita menghitung indeks kuartalan di sini hanya untuk memperlihatkan metodenya tampa menggunakan ruang yang berlebihan. Contoh: Tabel berikut menyajikan data kuartalan 10 tahun untuk penjualan I-TU , Sebuah produk yang digunakan untuk membasmi sejenis serangga . Pabrik merekomendasikan penggunaan I-TU di musim penghujan. Temukan indeks penjualan musiman untuk keempat kuartal dalam setahun. Penyelesaian Indeks yang di temukan di tabel menggunakan metode pertama untuk menghitung indeks musiman. Nilai tengah (mean) penjualan untuk setiap kuartal di ambil dari seluruh data 10 tahun dan kemudian dinyatakan sebagai persentase terhadap nilai tengah utama dalam periode 10 tahun. Nilai tengah utama merupakan rata-rata
277
keempat nilai tengah kuartalan. Jadi, Indeks musiman kuartal pertama adalah nilai tengah kuartal pertama tersebut dibagi dengan nilai tengah utama dikaalikan 100. 321,1 404,8
x 100 = 81,2
Perhitungan Indeks penjualan kuartalan (dalam ton) untuk Produk I-TU. Tahun
Kuartalan 1
Kuartalan 2
Kuartalan 3
Kuartalan 4
1
244
261
288
310
2
287
352
346
402
3
320
437
322
362
4
304
360
332
382
5
330
424
413
432
6
360
512
415
423
7
333
423
412
438
8
354
453
413
664
9
358
503
447
520
10
401
482
714
667
Total
3.291
4.207
4.102
4.600
Total utama Nilai tengah
16.200 329,1
420,7
410,2
460,0
kua𝑟𝑡𝑎𝑙𝑎𝑛𝑎 Nilai tengah
405,0
utama𝑏 Indeks
81,2
103,9
101,3
113,6
Kuartala𝑛𝑐 Jumlah indeks
400
Jadi rata-rata penjualan kuartal pertama hanya 81,2% dari rata-rata penjulan kuartalan. Sebaliknya penjualan kuartalan keempat adalah 113,6 % di atas rata-rata
278
penjualan kuartalan. Karena indeks musimaan bervariasi terhadap patokan 100, maka keempat indeks kuartalan harus berjumlah 400. Jika indeks yang dihitung adalah indeks bulanan, Jumlahnya harus 1.200, yang merata-ratakan nilai seratus untuk setiap bulan.
Contoh: Sebuah tabel akan menyajikan bentuk yang agak berbeda mengenai data kuartal penjualan produk I-TU Selama 10 tahun . Dalam Persoalan ini, Indeks dihitung dengan menggunakan metode perbandingan nilai penjualan sebenarnya dengan rata-rata bergerak (moving average) empat kuartal. Penyelesaian. Terdapat 5 langkah dalam penyelesaian ini, tiga langkah pertama terlihat di tabel , sedangkan langkah keempat dan kelima di tabel berikutnya.
Langah 1
: Tentukan rata-rata bergerak empat kuartal. Rata-rata ini diperoleh
dengan menjumlahkan empat nilai yang berdampingan dan membaginya dengan 4. Sekarang angka rata-rata bergerak ini menunjuk pada kuartal yang mana? Dengan rata-rata bergerak yang jumlah periode pengamatannya ganjil (5), Setiap nilai ratarata bergerak dapat ditempatkan ke periode tengah (3) dari 5 Periode . Tetapi bila jumlah periodenya genap (misalnya 4) , rata-rata bergerak tidak dapat ditempatkan ke tengah periode tertentu, karena tidak ada periode di tengah . Pertengahan dari 4 Kuartal adaalah uartal di antara (2) dan (3), Sehingga rata-rata bergerak pada kolom kedua di tabel dipusatkan di antara kuartal-kuartal. Untuk mendapatkan rata-rata bergerak yang dapat ditempatkan pada kuartal khusus , kita mesti melaksanakan langkah 2.
Langkah 2
:Bentuklah rata-rata bergerak dua kuartal dari kolom rata-rata bergerak
4 Kuartal. Data ini , yaitu kom 3 pada tabel , Sekarang dipusatkan pada kuartal dan
279
bukan diantara kuartal. Data ini juga merupakan rata-rata bergerak 4 Kuartal, yang dipusatkan pada kuartal tertentu . Sebagai cotoh rata-rata bergerak kuartal pertama dipusatkan pada kuartal ketiga pada tahun pertama. Ini sebenarnya adalah rata-rata yang sudah dibobotkan dari data penjualan kuartalan dengan bobot sebagai berikut : Tahun
Kuartal
Bobot
1
Pertama
1
1
Kedua
2
1
Ketiga
2
1
Keempat
2
2
Pertama
1
Total Bobot
8
Dengan cara yang sama, Setiap rata-rata bergerak kuartal terdiri dari data 5 kuartal, Dimana Kuartal Pertama dan terakhir dibobotkan sekali, Sedangkan Kuartal lainnya dibobotan dua kali. Kolom 1
Kolom2
Kolom3
Kolom4
Kolom4
Tahun dan
Data yang
Rata-rata
Rata-rata
Data yang
Kuartal
sebenarnya
bergerak 4
bergerak 2 dari
sebenarnya
kurtal dari
kolom 2
sebagai persentase
kolom 1
kolom 2
1-Pertama
244
-
-
-
1-Kedua
261
275,75
-
-
1-Ketiga
288
286,5
281.125
102.44
1-Keempat
310
309,25
297,875
104,07
2-Pertama
287
323,25
316,25
90,75
2-Kedua
352
346,25
334,75
105,15
2-Ketiga
344
354,5
350,375
98,18
2-Keempat
402
375,75
365.125
110,09
280
3-Pertama
320
370,25
373
85,79
3-Kedua
437
360,25
365,25
119,64
3-Ketiga
322
356,25
358,25
89,88
3-Keempat
362
337,0
346,625
104,43
4-Pertama
304
339,5
338,25
89,87
4-Kedua
360
344,5
342
105,26
4-Ketiga
332
351,0
347,75
95,47
4-Keempat
382
367,0
359
106,40
5-Pertama
330
386,75
376,875
87,56
5-Kedua
424
399,25
393
107,88
5-Ketiga
411
406,75
403
101,985
5-Keempat
432
428,75
417,75
103,34
6-Pertama
360
429,25
429
83,91
6-Kedua
512
427,0
428,125
119,59
6-Ketiga
413
420,25
423.625
97,49
6-Keempat
423
398,0
409,125
103,39
7-Pertama
333
397,75
397,875
83,69
7-Kedua
423
401,5
399,625
105,84
7-Ketiga
412
406,75
404,125
101,94
7-Keempat
438
414,25
410,5
106,69
8-Pertama
354
414,5
414,15
85,47
8-Kedua
453
471,0
442,75
102,31
8-Ketiga
413
472,0
471,5
87,59
8-Keempat
664
484,5
478,25
138,83
9-Pertama
358
451,0
467,75
76,53
9-Kedua
503
457,0
454
110,79
9-Ketiga
447
467,75
462.375
96,67
281
9-Keempat
520
462,5
465,125
111,797
10-Pertama
401
528,75
495.625
80,90
10-Kedua
482
565,5
547,125
88,09
10-Ketiga
712
565,5
10-Keempat
667
Langkah 3:
-
Nyatakan setiap data kuartalan sebenarnya sebagai persentase terhadap
rata-rata bergerak. Kolom 4 pada tabel berisi persentase tersebut.
Langkah 4:
Untuk Setiap Kuartalan (Pertama, Kedua, Ketiga, dan keempat),
dapatkan persentase nilai tengah dari langkah 3 untk Seluruh tahun. Langkah ini dilakukan pada tabel berikutnya . Sebagai Contoh , Persentase nilai tengah untuk kuartal pertama adalah 84,9 Nilai ini menunjukkan bahwa rata-rata penjualan untuk kuartal pertama adalah 84,9 % dari 4 rata-rata bergerak Kuartal yang dipusatkan pada kuartal pertama . Tetapi persentase nilai tengah ini tidak dapat digunakan sebagai indeks musiman, Karena indeks musiman berubah-ubah dengan dasar 100. Keempat persentase nilai tengah ini tidak ditambahkan dengan 400, Tetapi ditambah dengan 398,5. Jadi perhitungan akhir dibutuhkan untuk mendapatkan indeks musiman. Perhitungan langkah 4 dan 5 Untuk indeks Penjualan Musiman produk I-TU Tahun
Kuartal Pertama
Kedua
Ketiga
Keempat
1
-
-
102,44
104,07
2
90,75
105,15
98,18
110,09
3
85,79
119,64
89,88
104,43
4
89,87
105,26
95,47
106,40
5
87,56
107,88
101,985
103,34
6
83,91
119,59
97,49
103,39
282
7
83,69
105,84
101,94
106,69
8
85,47
102,31
87,59
138,83
9
76,53
110,79
96,67
111,797
10
80,90
88,09
-
-
107,1
96,8
109,8
Persentase
84,9
Rata-rata Total𝑎
398,6
Indeks Musiman Tota𝑙 𝑏
Langkah 5
:
Sesuaikan Persentase nilai tengah sehingga bertambah
menjadi 400. Langkah ini dilengkapi dengan mengalikan persentase nilai tengah dengan suatu faktor penyesuaian dari 400/398,6 atau 1,003. Hasil akhir berupa persentase yang berubah-ubah dengan dasar 100 dn indeks musiman. Langkah-langkah yang dijabarkan pada Contoh sangat mirip dengan perhitungan indeks musim bulanan. Ada Sedikit Modifikasi yang dapat dilihat dengan membandingkan langkah-langkah prosedur dibawah ini. Langkah 1 Tentukan Rata-rata bergerak 12 Bulan. Langkah 2 Dapatkan rata-rata bergerak 2 Bulan pada data yang terdapat dilangkah 1. Hasil ini adalah modifikasi dari rata-rata bergerak 12 Bulan. Laangkah 3 Nyatakan Setiap data Aktual bulanan sebagai Persentase dari rata-raa bergerak pada langkah 3. Langkah 4 Untuk Setiap bulan (Januari, Februari,.....,Desember), temukan persentase nilai tengah dari Langkah 3 Untuk semua tahun. Langkah 5 Cocokkan Persentase nilai tengah sehingga totalnya adalah 1.200. Indeks Musiman yang dihitung pada Contoh tidak berbeda terlalu banyak satu dengan yang lainnya . Indeks tersebut sama-sama menunjukkan bahwa penjualan
283
tinggi pada musim semi dan musim gugur, dan Rendah pada musim dingin dan panas. Indeks ini diinginkan karena data pada periode 10 tahun yang digunakan dalam contoh memperlihatkan adanya trend yang kuat, dan metode kedua dari dua metode untuk mengembangkan indeks musiman tidak mengena untuk data yang mempunyai trend tinggi. Kesukaran untuk menghitung indeks musiman dengan metode Kedua bukan merupakan faktor yang serius, Karena banyak soal dimana banyak terdapat data yang terlibat, Program komputer dibuat untuk melakukan penghitungan .
MENEMUKAN UKURAN MUSIMAN DENGAN PENGGUNAAN REGRESI BERGANDA ( MULTIPLE REGRESSIAN ) Penggunaan regresi berganda adalah merupakan metode kedua dari ukuran musiman, yaitu metode yang lebih kompleks untuk menentukan indeks musiman adalah metode yang cukup memadai untuk data yang memiliki trend kuat. Akan tetapi, kita dapat menggabungkan pengetahuan tentang regresi dan data berkala menjadi metode yang dapat member keterangan trend pada data dan membutuhkan pekerjaan yang lebih sederhana daripada metode kedua. Satu hal yag kita butuhkan hanyalah penyesuaian paket awal program regresi berganda dan sebuah computer. Metodenya dilaksanakan sebagai berikut : Kita harus memilih satu musim sebagai musim datar. Bila data tersedia dalam kuartil, kita boleh memilih kuartil pertama, yaitu musim dingin sebagai musim dasar. Semua indeks musiman akan diukur berdasarkan musim ini. Selain itu, tidak ada peraturan tertentu yang mutlak untuk memilih musim dasar ini. Berikutnya, data deret berkala ini dicatat sepanjang periode waktu dengan menggunakan variable dummy untuk menunjukkan musim lain dari musim dasar. Contoh 1 :
284
Data penjualan kuartal setahun pada perusahaan tertentu adalah $20, $40, $60, $80 (dalam ribuan). Bila musim dingin kita pilih sebagai dasar, maka data diatas dapat dicatat dengan menggunakan indicator atau variable dummy, sebagai berikut :
Penyelesain : Y, Penjualan
T, Waktu
S2, musim semi
S3, musim panas
S4, musim gugur
20
1
0
0
0
40
2
1
0
0
60
3
0
1
0
80
4
0
0
1
Perhatikan bahwa indeks musiman-musim semi , panas, dan gugur- adalah nol pada periode waktu yang tidak merupakan musimnya. Notasi ini memungkinkan kita menyajikan keempat musim dengan hanya 3 variabel. Sebagai contoh, periode musim dingin disajikan dengan 3 nol dalam variable musiman (0,0,0). Musim semi disajikan dengan (1,0,0). Musim panas dengan (0,1,0). Musim Gugur (0,0,1).
Dengan data yang disajikan pada model di atas, kita dapat membangun persamaan regresi dari rumus : Ý =a+b1t+b2S2+b3S3+b4S4 Dimana : Ý (= Y topi) menyajikan ramalan data penjualan, t adalah periode waktu Sj adalah variable indicator yang menunjukkan musim semi, panas, dan gugur.
285
Untuk memperoleh ramalan dengan penggunaan persamaan regresi ini, kita harus menetapkan periode waktu t dan musim Sj untuk ramalan yang diinginkan. Jika kita menginginkan ramalan penjualan untuk kuartil musim panas, dengan mengikuti data terakhir, t=7, dan indikasi musiman adalah (0,1,0), ramalan kemudian akan menjadi : Ý = a+b1(0)+b2(0)+b3(1)+b4(0) =a+b1(7)+b3 Dengan hasil ini kita dapat melihat bahwa ramalan terdiri dari nilai trend a+b1(7) ditambah jumlah b3, yang merupakan penyesuaian data musiman dari penjualan musim panas. Dengan alas an sama, b2 adalah data yang disesuaikan untuk musim semi, dan b4 adalah penyesuaian untuk musim gugur. Karena musim dingin adalah musim dasar, maka tidak ada data penyesuaian yang ditambahkan pada trend. Tentu saja, pada masalah nyata, lebih dari 4 data dibutuhkan untuk mendapat persamaan regresi. Contoh 2 : Data penggunaan bahan bakar kuartalan (dalam ribuan galon) pada perusahaan “Reymar” kecil selama 5 tahun terakhir. Carilah penyesuaian musiman dari penggunaan bahan bakar dengan regresi berganda, dengan menggunakan indicator variable musiman.ramalkanlah penggunaan bahan bakar untuk musim gugur tahun ini. Tahun
Musim Dingin
Musim Semi
Musim panas
Musim gugur
5 tahun lalu
80
100
150
105
4 tahun lalu
95
115
170
105
3 tahun lalu
110
150
190
145
2 tahun lalu
115
175
210
180
1 tahun lalu
120
185
220
190
Penyelesaian :
286
Langkah pertama adalah memilih musim dasar. Untuk memudahkan, kita pilih musim dingin sebagai musim dasar. Nampaknya musim dingin menunjukkan musim yang terkecil penggunaan bahan bakarnya, dan mungkin ini cukup sebagai dasar. Kemudian, kita catat data selama 5 tahun dengan variable indicator untuk menyajikan semua musim. Bila data tersebut kita masukkan ke dalam program regresi berganda, maka persamaannya akan menjadi : Ý = 61,5 + 4,7t + 36,3S2 + 74.6S3 + 26,8S4 Garis regresi ini menunjukkan bahwa ramalan Ý = 61,5 + 4,7(0) =61,5 pada waktu t=0. Oleh karena itu, bentuk konstan dapat dilihat sebagai persamaan untuk memperkirakan trend penggunaan bahan bakar selama musim gugur 6 tahun yang lalu,sebelum penyesuaian musim dibuat. Data penyesuaian adalah 36,3 ; 74,6 dan 26,8 untuk musim semi, panas dan musim gugur. Tidak ada penyesuaian musim untuk musim dingin, sehingga ramalan untuk musim dingin sama dengan trend. Akan tetapi, penggunaan bahan bakar selama musim semi adalah 36.300 galon di atas trend, dan untuk musim panas adalah 74.600 galon di atas trend, serta untuk musim gugur adalah 26.800 galon di atas trend. Ramalan untuk musim gugur tahun ini dibuat dengan menggunakan t=24, dan susunan variable dummy untuk musim gugur adalah (0,0,1), sehingga, Ý= 61,5 + 4,7(24) + 36,3(0) + 74,6(0) + 26,8(1) = 61,5 + 112,8 + 26,8 = 201,1 (atau 201.100 galon)
Akan tetapi,ada satu ketidakpastian dalam perkiraan di atas, katena kita membuat kesalahan pada ekstrapolasi ramalan selama tenggang variable bebas t. Jadi, t=24 di dalam rentang nilai t dikembangkan untuk persamaan regresi. Sayangnya, bila seseorang sedang membuat peramalan dengan menggunakan persamaan regresi data berkala, tidak ada cara untuk menghindari ekstrapolasi tersebut. Nilai penggunaan yang diperkirakan untuk periode 5 tahun dapat dilihat di kolom terakhir pada Tabel ini.
287
Perhatikan bahwa data R² untuk persamaan regresi yang dikembangkan dalam soal ini adalah 0,94. Nilai ini menunjukkan bahwa persamaan regresi merupakan sesuatu hasil yang lebih baik dengan mencocokan hasil ramalan untuk mendapatkan nilai penjualan yang sebenarnya. Sebelumnya kita telah menyinggung bahwa persamaan menyajikan model data berkala yang klasik, dimana : Nilai yang sebenarnya = T x S x C x I Model ini kadang-kadang disebut sebagai model multiplikatif karena semua komponen telah dikalikan. Nama atau sebutan ini memudahkan untuk membedakan model dengan model tambahan, yag menyajikan nilai data berkala sebagai berikut : Data Penggunaan Bahan Bakar dengan Memasukkan Waktu dan Variabel Dummy Tahun
Kuartal
T
Y,
S2,
S3,
S4,
Y,
Data
Musim
Musim
Musim
Nilai
Sebelumnya
Semi
Panas
Gugur
Ramalan
5 tahun
Dingin
1
80
0
0
0
66,2
yang lalu
Semi
2
100
1
0
0
107,2
Panas
3
150
0
1
0
150,2
Gugur
4
105
0
0
1
107,2
4 tahun
Dingin
1
95
0
0
0
85,1
yang lalu
Semi
2
115
1
0
0
126,1
Panas
3
170
0
1
0
169,1
Gugur
4
105
0
0
1
126,1
3 tahun yag
Dingin
1
110
0
0
0
104,0
lalu
Semi
2
150
1
0
0
145,0
Panas
3
190
0
1
0
188,0
Gugur
4
145
0
0
1
145,0
288
2 tahun
Dingin
1
115
0
0
0
122,0
yang lalu
Semi
2
175
1
0
0
163,9
Panas
3
210
0
1
0
206,9
Gugur
4
180
0
0
1
163,9
1 tahun
Dingin
1
120
0
0
0
141,8
yang lalu
Semi
2
185
1
0
0
182,8
Panas
3
220
0
1
0
225,8
Gugur
4
190
0
0
1
182,8
Nilai yang sebenarnya = T + S + C + I Kalau kita menggunakan persamaan regresi untuk meramalkan nilai masa depan pada data berkala, kita sedang menggunakan model tambahan ini. Jadi, penggunaan variable dummy menyajikan musim yang selalu menghasilkan ramalan dalam bentuk : Ý = T + Sj Dimana Sj adalah jumlah yang ditambahkan pada trend untuk suatu musim pada tahun ke-j. bahkan ramalan yang lebih baik dapat diperoleh bila kita mempunyai ukuran, misalnya pada variasi siklis dan tidak beraturan yang dapat ditambahkan pada persamaan untuk meramalkan nilai data berkala secara lebih tepat. Seseorang barang kali bertanya, metode mana yang menyajikan nilai data berkala ini lebih baik, nilai yang sebearnya = T x S x C x I atau nilai yang sebenarnya = T + S + C + I? Tentu saja, jawabannya tergantung pada keadaan data berkala yang terlibat. Tetapi secara keseluruhan, metode pertama nampaknya lebih disukai oleh banyak ahli statistik. Untuk memahami mengapa banyak ahli statistic lebih menyukai metode pertama ini, kita dapat mempelajari ramalan penggunaan bahan bakar yang dihasilkan. Ramalan ini terdiri dari nilai trend T = 61,5 + 4,7(24) = 174,3 ribu gallon ditambah 26,8 ribu gallon untuk data musim gugur atau total ramalan adalah 201,1 ribu galon. Seseorang mungkin berkata bahwa variasi musiman untuk musim gugur
289
adalah (26,8/174,3)x100 = 15,4% di atas trend. Sementara seorang lainnya mungkin mengatakan bahwa variasi musiman untuk musim gugur adalah 26,8 ribu gallon di atas trend. Untuk perkiraan ini, tanpa memandang kedua pernyataan tersebut benar atau salah, keduanya mengatakan sesuatu yang sama dan hasil yang sama dalam ramalan.
PENERAPAN
DATA
BERKALA
DAN
INDEKS
MUSIM
UNTUK
PERAMALAN Berikut diberikan beberapa contoh penerapan data berkala dan indeks musiman yang dibahas pada Bab 9 dan bab ini. Contoh Suatu perusahaan yang bergerak dalam industri bahan bangunan khusus bernama PT XYZ berkeinginan mengembangkan suatu bentuk ramalan penjualan bulan untuk tahun mendatang. Perusahaan meramalkan bahwa penjualan untuk tahun mendatang adalah $20 juta. Dengan data indek penjualan pada tabel berikut tentukan ramalan penjualan per bulan pada tahun mendatang. Bulan
Indeks
Januari
82
Februari
90
Maret
90
April
102
Mei
106
Juni
114
290
Juli
117
Agustus
104
September
102
Oktober
96
November
99
Desember
98
Jawaban 1 Karena jumlah indeks musiman adalah 1200, maka ramalan penjualan bulanan dapat dinyatakan sebagai berikut: Indeks musiman x Ramalan tahunan 1200
Gambaran ramalan tahunan dapat dihitung Januari :
(82/1200) x $20 juta =
$1,367 juta
Februari:
(90/1200) x $20 juta =
$1,500 juta
dst Januari
$1,367 juta
Februari
$1,500 juta
Maret
$1,500 juta
April
$1,700 juta
Mei
$1,766 juta
Juni
$1,900 juta
Juli
$2,950 juta
Agustus
$1,733 juta
September
$1,700 juta
Oktober
$1,600 juta
291
November
$1,650 juta
Desember
$1,633 juta
Contoh 2 Pada bulan Januari 1998, seorang staf gubernur Negara tertentu mendapat tugas untuk memebuat ramalan tentang penerimaan Negara dari pajak penjualan per kuartal tahun 1999. Untuk tugas ini staf tersebut menggunakan persamaan trend (kecenderungan) kuartal dan indeks musiman yang disediakan oleh kantor bendahara Negara. Persamaan trend dan indeks telah ditetaokan dengan menggunakan data pajak penjualan selama 24 tahun terakhir. Data tersebut telah disesuaikan untuk menghilangkan perbedaan tarif (rate) pajak penjualan selama 24 tahun. Persamaan trend yang dimaksud adalah Ŷ= 151 + 3,1t dimana semua data adalah dalam jutaan dollar dan t= 1 terjadi pada kuartal pertama 1974.
Penyelesaian Karena kuartal pertama 1974 adalah periode dimana t = 1,maka kuartal pertama tahun 1999 adalah 101, kuartal kedua 1999 t= 102, dan seterusnya. Indeks kuartalan pendapatan dari pajak penjualan adalah sebagai berikut: Kuartal pertama
=
80
Kuartal kedua
=
95
Kuartal ketiga
=
104
Kuartal keempat
=
121
Staf ahli gubernur tersebut mulai mengembangkan peramalan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : 𝑆
Ramalan = 𝑇𝑥 100
292
Perhatikan bahwa ramalan dalam variasi yang siklis dan variasi tak teratur tidak dapat dikembangkan dari data yang ada dengan teknik yang dikemukakan pada babini karena tidak mengikuti pola yang dapat diduga. Jadi, proyeksi dilakuakan semata-mata berdasarkantrend dan data musiman. Setiap penyimpangan daru ramalan akan disebabkan terutama fluktuasi siklus bisnis dari variasi yang tidak beraturan. Dengan menggabunfkan persamaan peramalan dengan persaaan trend, diperoleh rumus sebagai berikut. 80 Ŷ1,99 = [151 + 3,1(101)] ( ) = 464,1 𝑥 0,80 = 100 95 Ŷ2,99 = [151 + 3,1(102)] ( ) = 467,2 𝑥 0,95 = 100 104 Ŷ3,99 = [151 + 3,1(103)] ( ) = 470,3 + 1,04 = 100 121 Ŷ4,99 = [151 + 3,1(104)] ( ) = 474,4 𝑥 1,21 = 100 Total
371,3 443,8 489,1 572,8 = 1877,0
Jumlah dari ramalan per kuartal menunjukkan tahunan $1.877 miliar penerimaan Negara dari pajak penjualan tahun 1999.
Contoh 3 Departemen pembelin suatu perusahaan yang bergerak dalam pelayanan catering perjalanan udara sedang merencanakan pemesanan unutk bulan yang bersangkutan. Mereka mempersiapkan makanan untuk penumpang penerbangan dari suatu kota di amerikan. Telah ditemukan bahwa jumlah makanan yang dimta untuk dipersiapkan setiap bulan mengikuti pola musman penerbangan. Jadi, mereka dapat menggunakan indeks musiman penerbangan lokaluntuk memproyeksikan jumlah mkaan yang harus disediakan. Bulan lalu, jumlah makan yang disediakan unut penumpang 9.232 penumpang. Departeman pebelian inginmengetahui berapa jumlah makan yang yarus disiapkan bulan ini.
293
Penyelesaian bulan lalu adalah bulan juni, dengan indeks musiman penerbangan adalah 118; dan bulan ini adalah juli dengan indeks musiman adalah 124. Proyeksi jumlah makanan yang harus dipersiapkan bulan ini dapat dihitung dengan hubungan berikut: 𝑀𝑎𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑑𝑖𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑚𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑙𝑖 = 𝑀𝑎𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑑𝑖𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑛𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑚𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑛𝑖 𝑋 124 = 9.232 118 atau X= 9.232 x (124/118) = 9.701 makanan Jadi, departemen pembelian dapat merencanakan unutk sejumlah 9.701 makanan SOAL LATIHAN A. Soal Latihan Berganda
1. Berikut ini adalah beberapa Metode yang digunakan untuk menghitung angka indeks musiman, Kecuali................. a. Metode rata-rata Sederhana
c. Metode rata-rata bersambung
b. Metode rata-rata bergerak
d. Metode simple
2. Salah satu kegunaan pengetahuan tentang gerakan musiman adalah............... a. Untuk menstabilkan data b. Untuk mencegah hal-hal yang tidak diinginkan c. Sebagai dasar pengetahuan langkah-langkah kebijakan untuk mencegah hal-hal yang tidak diinginkan. d. Sebagai Pelengkap data 3. Indeks musiman Produksi Minyak Bumi indonesia, 1995-1998 (000 MSCF) Harga Bulan (1)
Rata-rata (2)
Persentase (%) terhadap Total dari kolom (2) (3)
Indeks musiman (4)
294
Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah
270.682,50 255.098,50 267.937,75 246.384,25 249.914,25 237.901,00 254.677,00 264.228,75 244.204,75 255.756,25 259.450,25 276.516,25 3.082.751,50
8,7805 8,2750 8,6915 7,9923 8,1069 7,7172 8,2614 8,5712 7,9216 8,2964 8,4162 8,9698 100,00
105,37 99,30 104,30 95,91 97,28 92,61 88,14 99,14 102,85 95,06 99,56 107,64 1.200,00
Cara menghitung Persentase pada pada kolom ketiga adalah ........................ a. b. c.
𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑚𝑎𝑛 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎
(100)
(100)
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎
(100)
𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎
d. 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝑀𝑢𝑠𝑖𝑚𝑎𝑛 (100) 4. Untuk membuat sebuah ramalan diperlukan persamaan untuk menghitung data ramalan, persamaan tersebut adalah............ a.
𝑆
T × 100
b. T × S × 100
c. 100 × T
d. S × 100
295
5. Gerakan yang teratur dalam arti naik turunnya terjadi pada waktu-waktu yang sama atau sangat berdekatan disebut ... a. Gerakan siklis b. Gerakan musiman c. Indeks musiman d. Data bulanan 6. Produksi Minyak Bumi indonesia 1995-1998 (000 MSCF) Bulan
1995
1996
1997
1998
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Januari
259.982
278.525
276.438
267.785
Februari
244.993
259.589
276.439
239.373
Maret
268.423
274.530
278.306
250.492
April
236.293
250.171
268.242
230.830
Mei
251.439
248.524
263.570
236.124
Juni
244.756
238.479
238.531
229.838
Juli
246.631
256.076
263.283
252.718
Agustus
254.749
267.292
272.805
262.069
September
228.903
255.964
250.000
241.952
Oktober
245.213
280.989
257.920
238.903
November
243.994
273.245
263.112
257.450
Desember
273.852
283.237
280.028
268.948
Jumlah
2.769.228
3.166.621
3.188.674
2.976.482
Berapakah Angka relatif bersambung Untuk maret 1995 ? a. 94,23%
c. 112,31%
b. 89,85%
d. 109,56%
296
7. Produksi Minyak Bumi indonesia 1995-1998 (000 MSCF)
Bulan
1995
1996
1997
1998
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Januari
259.982
278.525
276.438
267.785
Februari
244.993
259.589
276.439
239.373
Maret
268.423
274.530
278.306
250.492
April
236.293
250.171
268.242
230.830
Mei
251.439
248.524
263.570
236.124
Juni
244.756
238.479
238.531
229.838
Juli
246.631
256.076
263.283
252.718
Agustus
254.749
267.292
272.805
262.069
September
228.903
255.964
250.000
241.952
Oktober
245.213
280.989
257.920
238.903
November
243.994
273.245
263.112
257.450
Desember
273.852
283.237
280.028
268.948
Jumlah
2.769.228
3.166.621
3.188.674
2.976.482
Berapakah angka Relatif bersambung dari Agustus 1997 ? a. 103,62
c.
111,244
b. 234,1
d.
152,3
8. Indeks yang digunakan Untuk menunjukkan ada/tidaknya gerakan musiman disebut a. Data Musiman b. Data berimbang
c. Indeks Musiman d.Time Series
9.
297
Produksi Minyak Bumi indonesia 1995-1998 (000 MSCF) Bulan
1995
1996
1997
1998
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Januari
259.982
278.525
276.438
267.785
Februari
244.993
259.589
276.439
239.373
Maret
268.423
274.530
278.306
250.492
April
236.293
250.171
268.242
230.830
Mei
251.439
248.524
263.570
236.124
Juni
244.756
238.479
238.531
229.838
Juli
246.631
256.076
263.283
252.718
Agustus
254.749
267.292
272.805
262.069
September
228.903
255.964
250.000
241.952
Oktober
245.213
280.989
257.920
238.903
November
243.994
273.245
263.112
257.450
Desember
273.852
283.237
280.028
268.948
Jumlah
2.769.228
3.166.621
3.188.674
2.976.482
Berapakah angka Relatif bersambung dari Desember 1996 ? a. 103,66
c.145,88
b. 112,09
d.132,3
10. 𝑥2
Tahun
x
Y
xy
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2000
-7
237,7
-1.915,9
49
2001
-5
293,5
-1.467,5
25
2002
-3
315,0
-945,0
9
2003
-1
336,8
-336,8
1
298
2004
1
364,4
-364,4
1
2005
3
394,8
1.284,4
9
2006
5
424,2
2.121,0
25
2007
7
458,7
3.210,9
49
Jumlah
∑y=2.861,1
0
∑xy=2.215,5
∑x=168
Berapakah trend tahunan dari data berikut ini? a. 12,13
c. 13,21
b. 13,19
d. 12,31
B. Soal Essai
1. Jelaskan Pengertian gerakan musiman dan gerakan apa saja yang termasuk dalam gerakan musiman? 2. Tuliskan dan jelaskan Metode yang digunakan dalam menghitung angka indeks musiman. 3. Harga sembako dari bulan ke bulan dalam ribuan rupiah selama 5 tahun adalah sbb. Bulan
2008
2009
2010
2011
2012
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Jan
89,8
214,9
229,8
219,2
225,6
Feb
89,9
313,9
227,7
215,4
225,2
Mar
102,6
214,8
254,4
232,2
230,1
April
246,1
315,6
253,1
240,1
246,5
Mei
239,1
651,7
265,6
256,9
262,9
Jun
230,8
156,8
321,7
230,1
256,6
Jul
216,8
586,1
642,1
262,0
238,6
299
Agus
246,8
109,6
239,7
234,1
310,8
Sep
98,8
961,0
227,5
215,2
103,5
Okt
78,7
812,3
923,4
102,9
104,2
Nov
85,9
145,4
97,9
105,8
103,4
Des
105,7
454,1
108,1
103,8
214,5
a. Gambarkan grafik garis data tersebut b.
Buatlah indeks musiman dengan menggunakan metode rata-rata sederhana
c. Buatlah indeks musiman menggunakan median 4. Penjualan bulanan PT. Merpati 2000-2007 (Jutaan Rupiah) Bulan
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Jan
245
287
287
273
329
362
480
257
Feb
223
251
251
311
296
412
429
321
Mar
302
259
259
305
273
322
393
228
April
325
284
284
228
311
452
370
346
Mei
347
245
245
364
328
427
415
349
Jun
269
309
309
417
283
335
457
378
Jul
216
367
267
389
330
359
491
382
Agus
281
394
394
370
422
472
561
321
Sep
216
267
267
394
452
454
491
271
Okt
218
320
320
349
356
438
357
265
Nov
223
387
387
389
369
495
375
227
Des
269
328
328
259
378
314
396
215
Carilah Angka relatif bersambung (Link Relative) Tahun 2000 .
300
5. Hasil Penjualan makanan ringan dari perusahaan PT. MARETTA ULI dalam jutaan rupiah dari bulan ke bulan selama 5 tahun adalah sbb.
Bulan
1982
1983
1984
1985
1986
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Jan
25,26
23,68
27,3
24,68
26,3
Feb
23,44
23,48
24,66
24,12
25,28
Mar
26,86
25,48
27,92
27,08
29,14
Apr
27,06
26,8
28,34
28,64
30,98
Mei
26,54
26,9
29,32
28,5
30,66
Jun
24,72
27,62
29,16
29,32
31,2
Jul
26,54
26,8
28,76
28,78
30,52
Agust
24,72
26,9
28,36
27,8
30,96
Sept
26,54
27,24
28,16
28,28
31,52
Okt
26,2
29,64
29,9
29,32
31,52
Nov
27,72
28,02
27,97
29,06
31,5
Des
30,76
33,82
32,88
35,74
38,24
a.
gambarlah grafik garisnya (line chart)
b. Buatlah indeks musiman dengan rasio terhadap trend c. Gambarlah grafik indeks musiman. 6.
Produksi kentang di Indonesia tahun 2011-2013
Bulan
2011
2013
2014
Januari
259.982
278.525
276.438
Februari
244.993
269.589
276.439
Maret
256.890
267.980
267.898
301
April
345.980
678.456
234.345
Mei
224.765
256.789
223.765
Juni
223.344
334.567
223.456
Juli
323.222
234.564
246.908
Agustus
111.456
159.870
324.789
September 214.546
432.565
332.543
Oktober
150.456
324.567
665.768
November 195.000
430.980
450.000
Desember
235.000
456.789
345.879
Dari soal tersebut buat lah rata-rata relative bersambung.
7.
Dari soal no 6 tersebut Buatlah indeks musiman dengan rasio terhadap trend.
8.
Dari soal 6 tersebut tentukan pula relative berantai .
9.
Dari soal no 6 tersebut tentukan juga median relative bersambung dan relative
berantai. 10. Persamaan trend yang menggambarkan penjualan bulanan dari suatu perusahaan computer pada tahun ke 7 adalah Y= 5,50 + 2,20 X,.dari data tersebut tentukan ramalan jumlah penjualan pada tahun ke 9 dan 10.
C. Soal Studi Kasus
1. Hasil produksi daging ayam di Negara Uni Emirat Arab adalah sebagai berikut : Bulan
2006
2007
2008
2009
2010
2011
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Jan
563,7
567,7
746,6
702,1
739,1
589,5
Feb
596,4
557,8
788,8
671,9
681,1
507,3
302
Mar
677,2
642,6
902,4
694,3
696,8
470,6
Apr
706,9
645,8
864,5
663,9
596,8
433,5
Mei
659,4
608,2
832,2
585,7
652,8
462,1
Jun
696,8
618,2
758,8
552,1
648,2
453,1
Jul
708,0
562,8
769,8
528,1
607,4
427,5
Agus
623,8
556,4
731,7
314,9
595,8
306,1
Sept
588,2
412,1
578,9
463,1
632,4
213,8
Okt
639,9
332,3
616,3
441,2
402,2
383,3
Nov
490,0
609,3
857,1
583,5
694,9
623,0
Des
500,7
721
806,2
588,5
666,3
719,8
a. Berdasarkan data diatas, buatlah rata-rata bergerak 12 bln b. Buatlah rata-rata bergerak 12 bulan terpusat c. Buatlah rata-rata bergerak 6 bulan terpusat
2. Deret berkala dibawah ini menunjukkan jumlah izin tinggal yang dikeluarkan perbulan di suatu wilayah adalah sebagai berikut : Bulan
Jumlah izin yang dikeluarkan 2010
2011
2012
Jan
946
1250
1525
Feb
901
1408
1321
Mar
1.252
1352
1472
Apr
1473
1147
1143
Mei
1249
1287
1970
Jun
1555
1214
1650
Jul
851
1287
1311
Agus
145
1214
1690
303
Sept
1900
1309
1867
Okt
975
1325
1572
Nov
1001
1139
1955
Des
895
1427
1595
a. Buatlah indeks musiman dengan menggunakan median b. Buatlah indeks musiman dengan menggunakan rata-rata sederhana
BAB 11 ANGKA INDEKS Kompetensi Inti
Mahasiswa dapat mengenal angka indeks.
Kompetensi Dasar
Mahasiswa dapat mengerti apa itu angka indeks.
Mahasiswa dapat memahami macam-macam angka indeks.
Mahasiswa dapat menghitung berbagai macam angka indeks dan menginterpretasikannya.
304
PENGERTIAN ANGKA INDEKS Angka indeks atau sering disebut indeks saja pada dasarnya merupakan suatu angka yang dibuat sedemikian rupa sehingga dapat dipergunakan untuk melakukan perbandingan antara kegiatan yang sama (produksi, ekspor, hasil penjualan, jumlah uang beredar, dll) dalam suatu waktu yang berbeda. Dari angka indeks bisa diketahui turun-naikknya atau maju-mundurnya suatu usaha atau kegiatan. Jadi, tujuan pembuatan angka indeks adalah untuk mengukur secara kualitatif terjadinya perubahan yang dalam waktu yang berlainan, misalnya indeks harga untuk mengukur perubahan harga (berapa kenaikannya atau penurunaanya), indeks produksi untuk mengetahui perubahan yang terjadi dalam kegiatan produksi, indeks biaya hidup untuk mengukur tingkat inflasi,dll. Dengan demikian, angka indeks sangat diperlukan oleh siapa saja yang ingin mengetahui maju-mundurnya kegiatan atau usaha yang dilaksanakan, seperti pemilik perusahaan, para pejabat pemerintah, para ahli ekonomi dan social (untuk melihat perkembangan ekonomi dan social yang terjadi di masyarakat), para pendidik, ahli agama, penegak hukum (untuk melihat naik-turunnya pelanggaran hukum yang terjadi), dll. Sebab itulah,baik pemerintah (melalui Badan Pusat Statistik atau
305
instansi-instansi pemerintah lainnya) maupun perusahaan-perusahaan yang menganut modern management membuat berbagai macam indeks untuk keperluan pemantauan (monitoring) atau evaluasi. Didalam membuat angka indeks diperlukan dua macam waktu, yaitu: 1. Waktu dasar (base period) adalah waktu dimana suatu kegiatan (kejadian) dipergunakan sebagai dasar perbandingan, waktu dasar biasanya dinyatakan dalam angka indeks, sebesar 100. 2. Waktu yang bersangkutan atau sedang berjalan (current period) adalah waktu dimana suatu kegiatan (kejadian) dipergunakan sebagai perbandingan terhadap kegiatan pada waktu dasar.
INDEKS HARGA RELATIF SEDERHANA DAN AGREGATIF Indeks harga relative sederhana (simple relative price indeks) ialah indeks yang terdiri dari satu macam barang saja, baik untuk indeks produksi maupun indeks harga (misalnya indeks produksi beras, indeks produksi karet, indeks produksi ikan, indeks harga beras, indeks harga karet, indeks harga ikan, dll). Indeks agregatif merupakan indeks yang terdiri dari beberapa barang (kelompok barang), misalnya indeks harga 9 macam bahan makanan, indeks impor Indonesia, indeks ekspor Indonesia, indeks harga bahan makanan, indeks biaya hidup, indeks hasil penjualan suatu perusahaan (lebih dari satu barang yang dijual), dll. Indeks agregatif memungkinkan kita untuk melihat persoalan secara agregatif (secara makro), yaitu secara keseluruhan, bukan melihat satu per satu (per individu).
Rumus indeks harga sederhana (simple indeks) adalah: ∑𝒑
It,o = ∑ 𝒑 𝒕 × 100 % 𝒐
Dimana: It,o
= indeks harga pada waktu t dengan waktu dasar 0
pt
= harga
pada waktu t
306
po
= harga pada waktu 0
Rumus untuk menghitung indeks produksi sama seperti untuk menghitung indeks harga hanya huruf p-nya daja diganti dengan q. ∑𝒒
It,o = ∑ 𝒒 𝒕 × 100 % 𝒐
Dimana: It,o
= indeks harga pada waktu t dengan waktu dasar 0
qt
=
qo
= produksi pada waktu 0
produksi pada waktu t
INDEKS AGREGATIF TIDAK BERIMBANG Indeks agregatif tidak berimbang adalah digunakan untuk unit-unit yang mempunyai satuan yang sama. Indeks ini diperoleh dengan jalan mambagi hasil penjualan harga pada waktu yang bersangkutan dengan hasil penjumlahan harga pada waktu dasar. ∑𝒑
It,o = ∑ 𝒑 𝒕 × 100 % 𝒐
Rumus ini dapat dipakai untuk menghitung indeks produksi agregratif asalkan barang-barang mempunyai satuan yang sama. Oleh karena itu, dengan rumus diatas kita dapat menghitung angka indeks yang produksi agreratif dari 9 macam bahan pokok, sebab satuan lainnya, ada yang kilogram, liter, meter, dll. Untuk menghitung indeks produksi agregatif tidak tertimbang kita, tinggal mengganti huruf p dengan q (quantity = produksi).
Contoh soal:
307
1) Dik: harga barang menurut jenisnya selama 1996-1998
Jenis Barang
Harga (Rp) 1996
1997
1998
L
100
150
200
M
200
250
300
N
500
600
700
O
400
500
600
JUMLAH
1200
1500
1800
Dit: Berapakah harga indeks tidak tertimbang untuk tahun 1997 dan 1998 dengan waktu dasar tahun 1996?
Jawab:
I97/96
=
∑ 𝑝97 ∑ 𝑝96
× 100%
1500
= 1200 = 125%
I98/96
= =
∑ 𝑝98 ∑ 𝑝96
× 100%
1800 1200
= 150 %
Dari tabel diatas dapat diketahui bahwa angka indeks pada waktu tahun 1996 = 100 %.
308
INDEKS AGREGATIF TERTIMBANG Indeks agregatif tertimbang adalah indeks yang dalam pembuatannya telah dipertimbangkan factor-faktor yang akan mempengaruhi naik-turunnya indeks tersebut. Timbangan yang akan dipergunakan untuk pembuatan indeks biasanya: 1. Kepentingan Relatif (relative importance). 2. Hal-hal yang ada hubungannya atau pengaruhnya terhadap naik-turunnya indeks tersebut. produksi akan mempengaruhi harga (produksi naik mengakibatkan suplai naik. Apabila permintaan dan daya beli tetap, harga barang dapat turun, sebaliknya penurunan produksi menyebabkan harga naik). Dalam pembuatan indeks harga, produksi dipergunakan sebagai timbangan. Sebaliknya harga juga mempengaruhi produksi, apabila harga barang turun maka produsen tidak akan bergairah untuk meningkatkan produksi, tetapi, jika harga barang naik maka produsen akan bergairah dalam hak proses produksi.
Contohnya: Jika pemerintah menekan harga beras para petani akan kurang bergairah untuk menenem padi,. Mereka akan lebih memilih lading mereka digunakan untuk menanam komoditi yang prospek harganya akan meningkat. Karena alasan inilah, maka di dalam membuat indeks produksi harga dipergunakan sebagai timbangan.
Dalam pembuatan indeks biaya hidup, persentase pengeluaran setiap barang dipergunakan sebagai timbangan (percentage weight). Pada umumnya, indeks biaya hidup terdiri dari 4 komponen, yaitu untuk makanan, pakaian, perumahan, dll. Badan Pusat Statistika selalu mengeluarkan indeks biaya hidup setiap bulan untuk keperluan mengukut tingkat inflasi, sedangkan
perusahaan menggunakan
indeks biaya hidup untuk dasar penyesuaian gaji. Secara psikologis, gairah kerja para karyawan akan menurun jika indeks biaya hidup naik tetapi gaji tidak dinaikkan. Kelemahan dari indeks harga agregatif tidak berimbang adalah:
309
1. Satuan unit harga barang sangat mempengaruhi indeks harga. 2. Tidak memperhitungkan kepentingan relative (relative importance) barang yang tercakup dalam pembuatan indeks.
INDEKS RATA-RATA HARGA RELATIF Indeks rata-rata harga relatif dinyatakan oleh persamaan berikut: 𝐼𝑡, 0 =
1 n
[∑
Pt × 100%] P0
Dimana, n adalah banyaknya jenis barang. Ada beberapa rumus angka indeks tertimbang, yaitu rumus Laspeyres dan rumus Paasche, yaitu nama dari penemunya. 𝐿𝑡, 0 =
∈ 𝑝𝑡𝑞𝑜 × 100% ∈ 𝑝0𝑞0
(rumus indeks harga agregatif tertimbang) (11.5) Di mana: L = Indeks Laspeyres Pt = Harga waktu t P0 = Harga waktu 0 Q0 = Produksi waktu 0, sebagai timbangan
𝐿𝑡, 0 =
∈ 𝑝0𝑞𝑡 × 100% ∈ 𝑝0𝑞0
(rumus indeks produksi agregatif tertimbang) (11.6) Di mana: qt = Produksi waktu t Q0= Produksi waktu 0 P0= Harga waktu 0, sebagai timbangan
𝑃𝑡, 0 =
∈ 𝑝𝑡𝑞𝑡 × 100% ∈ 𝑝0𝑞𝑡
310
(rumus indeks harga agregatif tertimbang) (11.7) Di mana: P = Indeks Paasche Pt = Harga waktu t P0 = Harga waktu 0 Qt = Produksi waktu t, sebagai timbangan 𝑃𝑡, 0 =
∈ 𝑝𝑡𝑞𝑡 × 100% ∈ 𝑝𝑡𝑞0
(rumus indeks produksi agregatif tertimbang) (11.8)
Di mana: qt = Produksi waktu t Q0= Produksi waktu 0 P0= Harga waktu t, sebagai timbangan Perhatikan rumus (11.5) dan (11.7). Kedua rumus tersebut menggunakan timbangan atau bobot yang sangat berbeda. Laspeyers menggunakan produksi pada waktu dasar, sedangkan paasche menggunakan produksi pada waktu t (waktu yang bersangkutan sebagai timbangan). Dilihat dari segi praktis, laspeyres lebih baik karena tidak berubah-ubah tetapi secara teoritis kurang baik, sebab yang mempengaruhi harga sebetulnya adalah produksi pada waktu yang bersangkutan. Sebaliknya, dilihat dari segi teoritis rumus paasche sangat baik. Perubahan produksi selalu diperhitungkan pengaruhnya terhadap perubahan harga, tetapi dari segi praktis, susah di terapkan, khususnya Negara yang sedang berkembang seperti Indonesia, unuk mendapatkan data produksi bebas dengan harga bebasyang sama up to datenya sangat sulit sekali. Data harga beras dapat di peroleh di pasar, tetapi produksi padi/ beras harus menunggu laporan para mantra tani dan mantra statistik di tingkat kecamatan. Badan pusat statistik sendiri lebih banyak menggunkan rumus laspeyres. Perhitungan indeks biaya hidup juga menggunakan rumus laspeyres
311
VARIASI DARI INDEKS HARGA TERTIMBANG
Indeks agregatif tertimbang dari laspeyres dan paasche masing-masing memiliki kebaikan dan keburukan. Rumus laspeyres baik dalam praktek, lemah dalam teori, sedangkan rumus paasche baik dalam teori sukar penggunaannya dalam praktek. Akan tetapi, kedua orang tersebut tidak ada yang mau mengalah, masingmasing mengatakan rumusnyalah yang paling baik. Sampai akhirnya muncul irving fisher dengan rumusnya yang baru:
𝐼 = √𝐿 × 𝑃 =
√Ptq0 × Ptqt × 100% P0q0 × P0qt
Rumus lainnya dibuat oleh Drobisch. Irving fisher mengalihkan Ldan P kemudian menarik akar dari hasil kali tersebut, maka drobisch mengambil rata-rata dari hasil perhitungan dengan rumus laspeyres dan paasch. Rumus drobisch adalah sebagai berikut: L+P 2 ∑ Ptq0 + ∑ Ptqt =( ) × 100% ∑ p0q0 + ∑ p0qt 𝐼=
Kesimpulannya adalah bahwa ternyata rumus fisher dan drobisch memberikan hasil yang sama. Selain rumus diatas, ada juga rumus Marshal-Edgeworth. Timbangan yang dipergunakan oleh Marshal-Edgeworth adalah rata-rata produksi 1
(kualitas) dari tahun (waktu) dasar dan waktu yang bersangkutan yaitu = 2 (𝑞0 + 𝑞𝑡)
312
1
I=
∑ pt × (q0 + qt) 2 1
∑ p0 × (q0 + qt)
× 100%
2
∑ pt × (q0 + qt) × 100% ∑ p0 × (q0 + qt) (rumus Marshal-Edgeworth)
ANGKA INDEKS BERANTAI Angka indeks mempunyai waktu dasar tertentu, yaitu waktu yang dianggap dapat dipergunakan untuk melakukan perbandingan atas beberapa tahun. Waktu tersebut tetap, tidak berubah-ubah, dalam pembuatan indeks dari tahun ke tahun. Para pemimpin biasanya menghendaki agar waktu dasarnya selalu berubah setiap tahun, setiap 2 tahun atau lebih dari 2 tahun. Misalkan jika waktu dasarnya satu satuan waktu sebelumnya (1 bulan, 1 tahun), maka simbolnya menjadi 𝐼𝑡,𝑡1 , untuk 2 satuan waktu 𝐼𝑡,𝑡2, dan seterusnya. Dalam membuat indeks berantai, harus ditentukan terlebih dahulu berapa satuan waktu sebelumnya yang akan dipergunakan sebagai waktu dasar. Dan hanya mengganti 𝑝𝑜 menjadi 𝑝𝑡−1 , atau 𝑝𝑡−2 , dan 𝑞𝑜 menjadi 𝑞𝑡−1 atau 𝑞𝑡−2 dan seterusnya. Maka rumus mencari angka indeks berantai (I) adalah sebagai berikut : 𝑞𝑡
𝐼𝑡,𝑡1= 𝑞
𝑡−1
x 100%
Keterangan :
𝑞𝑡 = ekspor tahun t
𝑞𝑡−1 = ekspor tahun t – 1
Contoh 1 : Buatlah indeks berantai untuk tahun 1995, 1996, 1997, 1998, 1999 dan 2000 dengan waktu dasar satu tahun sebelumnya, berdasarkan table dibawah ini. Jumlah Ekspor Sawit, 1995-2000
313
Tahun
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Ekspor (1000
392,1
447,6
450,0
469,2
475,4
480,9
489,2
ton)
Penyelesaian : 𝑞𝑡
𝐼𝑡,𝑡1 = 𝑞
𝑡−1
x 100% 𝑞
𝐼1995,1994 = 𝑞1995 x 100% = 114,15% 1994
𝑞
𝐼1996,1995 = 𝑞1996 x 100% = 100,54% 1995
𝑞1997
𝐼1997,1996 = 𝑞
1996
x 100% = 104,27%
𝑞
𝐼1998,1997 = 𝑞1998 x 100% = 101,32% 1997
𝑞1999
𝐼1999,1998 = 𝑞
1997
x 100% = 101,16%
𝑞
𝐼2000,1999 = 𝑞2000 x 100% = 101,73% 1999
Keuntungan dalam menggunakan angka indeks berantai adalah : 1) Memungkinkan kita untuk memasukkan komoditi-komoditi baru yang diperlukan sebagai timbangan. Misalnya dalam pembuatan indeks biaya hidup, maka dipergunakan macam-macam barang yang dikonsumsi oleh kelompok masyarakat yang berpendapatan rendah. Komposisi barang-barang tersebut selalu berubah-ubah dari waktu ke waktu. Misal ada barang-barang baru yang sudah tidak dikonsumsi lagi sehingga harus diganti dengan barangbarang yang baru muncul, seperti pengeluaran untuk membeli radio transistor, pengeluaran untuk bepergian dengan taksi, becak atau angkutan umu dan sebagainya. 2) Bila sudah dibuat angka indeks berantai dengan waktu dasar yang berubahubah, maka dapat diturunkan dari indeks berantai tersebut suatu indeks pada tahun-tahun tertentu dengan waktu dasar yang tetap.
314
Rumus mencari angka indeks berantai dengan waktu dasar tetap adalah sebagai berikut : 𝐼𝑡+1,𝑡−1= (𝐼𝑡,
𝑡−1 )(𝐼𝑡+1, 𝑡 )
Contoh 2 : Berdasarkan contoh 1, berapakah indeks pada tahun 1996, 1997, 1998, 1999 dan 2000 dengan waktu dasar tetap pada tahun 1994? Penyelesaian : Kalau kita ingin menghitung indeks pada tahun 1996, 1997, 1998, 1999 dan 2000 dengan waktu dasar tahun 1994, maka caranya adalah sebagai berikut : 𝐼𝑡+1,𝑡−1= (𝐼𝑡,
𝑡−1 )(𝐼𝑡=1, 𝑡 )
Sebab : (𝐼𝑡,
𝑡−1 )(𝐼𝑡+1, 𝑡 )
=
𝑞𝑡 𝑞𝑡+1 x 𝑞𝑡−1 𝑞𝑡
Rumus ini berlaku sebelum masing-masing indeks dikalikan dengan 100%, hasil perkaliannya baru dikalikan dengan 100%. 𝐼1996,1994= (𝐼1995,1994 )(𝐼1996,
1994 )
𝐼1997,1994= (𝐼1996,1994 )(𝐼1997,
1994 )
(𝐼1995,
1994 )(𝐼1996, 1994 )(𝐼1997, 1994 )
𝐼1998,1994= (𝐼1997,
1994 )(𝐼1998, 1994 )(𝐼1996, 1994 )(𝐼1997, 1994 )(𝐼1998,1994 )
𝐼1999,1994= (𝐼1998,
1994 )(𝐼1999, 1994 )(𝐼1996, 1994 )(𝐼1997, 1994 )(𝐼1998,1994 )(𝐼1999, 1994 )
𝐼2000,1994= (𝐼1999,1994 )(𝐼2000, (𝐼1998,
1994 )(𝐼1995, 1994 )(𝐼1996, 1994 )(𝐼1997,1994 )
1994 )(𝐼1999, 1994 )(𝐼2000, 1994 )
Dengan menggunakan hasil perhitungan indeks berantai dari Contoh 1, maka : 𝐼1996,1994= (1,1415) (1,0054) x 100% = 114,77% 𝐼1997,1994= (1,1477) (1,0427) x 100% = 119,67% 𝐼1998,1994= (1,1967) (1,0132) x 100% = 121,25%
315
𝐼1999,1994= (1,2125) (1,0116) x 100% = 122,66% 𝐼2000,1994= (1,1266) (1,0173) x 100% = 114,61% (Ingat, hasil perkalian terakhir harus dikalikan dengan 100%) Perlu ditekankan sekali lagi bahwa untuk semua rumus angka indeks yang telah diuraikan diatas dapat dibuat indeks berantai, yaitu dengan mengubah waktu dasar 0, menjadi 𝑡𝑡−1 , atau 𝑡𝑡−2, tergantung berapa unit waktu sebelumnya yang akan dipergunakan sebagai dasar perbandingan.
PENENTUAN DAN PERGESERAN WAKTU DASAR Tujuan utama pembuatan indeks adalah untuk melakukan perbandingan mengenai suatu kegiatan pada dua waktu yang berbeda (kegiatan produksi, penjualan, konsumsi, perkembangan harga dll). Di dalam pembuatan angka indeks pada suatu waktu tertentu (minggu tertentu, bulan tertentu, triwulan tertentu, tahun tertentu), harus ditentukan terlebih dahulu waktu dasar (base period) yaitu waktu dimana suatu kegiatan akan dipergunakan sebagai dasar perbandingan. Waktu dasar dapat berupa suatu waktu tertentu (at a point of time), misalnya bulan Oktober 1996, tahun 1996, tahun 2002, atau berupa suatu jangka waktu atau periode tertentu. Apabila kita hanya membandingkan suatu kegiatan dari 2 waktu saja (2 bulan, 2 tahun misalnya), maka hal ini tidak sukar, sebab tinggal memilih satu di antara dua, misalnya untuk indeks harga 9 bahan pokok pada bulan Agustus 2009 dengan waktu dasar Juli 2009, atau produksi padi tahun 2009 dengan waktu dasar 2008, hal ini dinamakan Binary Comparison (J. Supranto, 1990). Akan tetapi dalam prakteknya kita harus membuat angka indeks dari data berkala selama 10 tahun atau lebih, katakanlah antara 1995-2010, dan lain sebagainya. Untuk ini kita harus memilih satu waktu tertentu. Ada beberapa syarat yang perlu diperhatikan dalam menentukan atau memilih waktu dasar tersebut :
316
1.Waktu seyogyanya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil, dimana harga tidak berubah dengan cepat sekali. Di dalam keadaan inflasi orang biasanya istilah kenaikan harga tetapi pergantian harga, mengingat kenaikan itu tidak wajar, sering melebihi 100%. Antara tahun 2000-2009, angka indeks Badan Pusat Statistik didasarkan pada tahun 2002 sebagai waktu dasar, mengingat keadaan perekonomian selama periode tersebut relatif stabil. 2.Waktu jangan terlalu jauh dibelakang, kalau bisa usahakan paling lama 10 tahunatau lebih baik kurang dari 5 tahun. Khususnya untuk indeks tertimbang, dimana timbangannya terdiri dari beberapa barang, seperti indeks biaya hidup. Timbangan yang dipergunakan untuk membuat indeks biaya hidup, merupakan suatu hasil penelitian biaya hidup (cost of living survey). Di dalam penelitian itu ditanyakan sejumlah barang atau komoditi (basket of commodities) yang dikonsumsi oleh golongan masyarakat tertentu (misalnya pendapatannya rendah).
Komoditi
meliputi barang dan jasa yang harus dibeli untuk memenuhi kebutuhan hidup bagi anggota rumah tangga. Komoditi-komoditi tersebut pada umumnya dikelompokkan menjadi 7 kelompok yaitu bahan makanan; makanan jadi, minuman, rokok dan tembakau; perumahan, air, listrik, gas, dan bahan bakar; sandang; kesehatan; pendidikan, rekreasi dan olah raga; transport komunikasi dan jasa keuangan. Kalau waktu dasarnya terlalu lama, maka barang dan jasa yang dahulunya dikonsumsi sudah tidak ada lagi di pasaran (sudah tidak diproduksi) atau kemungkinan ada barang dan jasa yang dahulunya belum dikonsumsi. Ingatbahwa dengan kemajuan teknologi dapat diciptakan barang-barang baru dan di samping itu selera masyarakat juga berubah dengan cepat, selalu mengikuti mode (pakaian, hiburan dan lain sebagainya). Itulah sebabnya waktu dasar harus up to date (mutakhir), tidak boleh terlalu jauh di belakang. 3. Waktu di mana terjadi perisiwa penting, misalnya saja jika suatu perusahaan dalam membuat indeks produksi atau hasil penjualan menggunakan waktu dasar pada saat direktur produksi/pemasaran yang baru diangkat. Dengan demikian dapat diketahui apakah dengan penggantian pimpinan yang baru itu terjadi perbaikan-
317
perbaikan (kenaikan produksi dan penjualan) yang tercermin dengan angka indeks yang selalu lebih besar dari 100% serta meningkat terus. Peristiwa penting lainnya adalah dilaksanakannya kebijakan baru dalam perekonomian, dalam pemasaran dan lain sebagainya. Kalau harus berpegang pada kestabilan (keadaan perekonomian yang normal), mungkin sulit sekali mencari waktu dasar, akan tetapi sangat mudah untuk menentukan waktu di mana terjadi peristiwa penting. 4. Waktu dimana tersedia data untuk keperluan timbangan. Hal ini biasanya juga tergantung kepada tersedianya biaya untuk melakukan penelitian (pengumpulan data). Pada suatu ketika apabila waktu dasar dari suatu angka indeks dianggap sudah out of date, karena sudah terlalu lama atau terlalu jauh ketinggalan, maka perlu diadakan pergeseran waktu dasar (shifting the base period). Ada tiga cara untuk melakukan pergeseran itu, yaitu sebgai berikut : 1. Apabila data asli masih tersedia, maka angka pada waktu atau tahun tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru itu diberi nilai 100%. Sedangkan angkaangka lainnya dibagi dengan angka dari waktu tersebut, kemudian dikalikan dengan 100% 2. Dibuat berdasarkan indeks yang lama. Indeks pada tahun yang akan dipilih sebagai waktu dasar diberi nilai 100%, kemudian indeks pada tahun-tahun lainnya dibagi dengan indeks dari tahun dasar baru, dan mengalikannya dengan 100%. Cara ini sering digunakan kalau data aslinya sudah tidak ada lagi. Sebaiknya cara ini dipergunakan kalau angka indeks memenuhi pengujian sirkuler (circular test), atau kalau terpaksa harus menggeser waktu dasar tetapi data aslinya sudah tidak ada lagi, seperti telah diuraikan di atas. 3. Harus dilakukan suatu penelitian baru, untuk membuat timbangan bagi indeks tertimbang, seperti angka indeks biaya hidup. Penelitian harus dilakukan pada waktu atau tahun dasar yang baru, misalnya Badan Pusat Statistik melakukan Survei Biaya Hidup (SBH) pada tahun 2007 untuk membuat timbangan bagi angka indeks biaya hidup yang baru, dengan waktu dasar 2007 sebagai pengganti indeks biaya hidup yang lama.
318
TAHUN DASAR Syarat dalam menentukan atau memilih waktu dasar adalah: 1. Waktu seyogyanya menunjukkan keadaan perekonomian yang stabil 2. Waktu tidak terlalu jauh ke belakang 3. Waktu terjadinya peristiwa penting 4. Waktu tersedianya data untuk keperluan timbangan 5. Survei baru untuk menentukan komposisi barang Dua cara untuk melakukan perggeseran adalah: 1. Apabila data asli masih tersedia, maka angka pada waktu atau tahun tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru tersebut diberi nilai 100%, sedangkan angka-angka lainnya dibagi dengan angka dari waktu tersebut, kemudian dikalikan dengan 100%. Data harga perdagangan besar kentang tahun 1987-1995 disajikan dalam tabel berikut. Tentukan indeks harga dengan tahun dasar 1987 dan indeks baru dengan tahun dasar 1990. Tahun
Harga
1987
9366
1988
11578
1989
22284
1990
8339
1991
27874
1992
27237
1993
35805
1994
30142
1995
39402
Indeks lama, tahun dasar 1987
319
11578 100 % 123,62% 9366 39402 I1995,1987 100 % 420 ,69% 9366 dst Indek baru, tahun dasar 1990 I1988,1987
9366 100 % 112 ,32% 8339 30142 I1994,1990 100 % 361,46% 8339 dst Tabel Indeks Lama 1987 dan Indeks Baru 1990 I1987,1990
Tahun
Indeks Lama
Indeks Baru
1987
100,00
112,32
1988
123,62
138,85
1989
237.92
267,24
1990
89,03
100,00
1991
297.32
333,95
1992
290,32
326,64
1993
382,29
429,37
1994
321,82
361,47
1995
420,69
472,53
2. Apabila data asli tidak tersedia, maka angka pada waktu atau tahun tertentu yang akan dipakai sebagai tahun dasar yang baru tersebut diberi nilai 100%, kemudian angka indkes pada tahun-tahun lainnya dibagi dengan indeks dari tahun dasr baru, dan mengalikannya dengan 100% Indeks yang sudah ada dengan 1987 = 100, kemudian akan digeser menjadi 1990 = 100 Indeks lama, tahun dasar 1987
11578 100 % 123,62% 9366 39402 I1995,1987 100 % 420 ,69% 9366 dst I1988,1987
320
Indeks hasil pergeseran, tahun dasar 1990
100 100 % 112 ,32% 89,03 420 ,69 I1995,1990 100 % 472 ,53% 89,03 dst Perbandingan Indeks Baru dan Bergeser I1987,1990
Indeks Baru
Indeks Bergeser
112,32
112,32
138,84
138,85
267,23
267,24
100,00
100,00
333,94
333,95
326,62
326,64
429,37
429,37
361,46
361,47
472,53
472,53
Kesimpulan : Hasil perhitungan yang didasarkan pada data asli tersedia dengan data asli tidak tersedia sama.
PENGUJIAN ANGKA INDEKS DAN PENDEFLASIAN DATA BERKALA Untuk mengetahui kebaikan atau kesempurnaan angka indeks biasanya dilihat dari kenyataan apakah indeks itu memenuhi beberapa kriteria pengujian. Sebagai
321
contoh, indeks ideal dari Fisher paling tidak secara teoritis lebih baik daripada indeks Laspeyres atau Paasche. Beberapa kriteria pengujian adalah time reversal test, dan factor reversal test. Suatu indeks yang memenuhi time reversal test, harus memenuhi persamaan berikut: It, 0 x I0, t = 1 Dimana
(indeks belum dinyatakan dalam persentase)
It, 0 = indeks waktu t dengan waktu dasar 0 I0,
=
t
indeks
waktu
0
dengan
waktu
dasar
t
Contoh: I96,95 = indeks tahun 1996 dengan tahun 1995 sebagai waktu dasar. I95,96 = indeks tahun 1995 dengan tahun 1996 sebagai waktu dasar. (1)
It, 0 =
𝑃𝑡 𝑃𝑜
It, 0 x I0, t =
𝑃𝑜
, I0, t =
𝑃𝑡 𝑃𝑜
x
𝑃𝑡
𝑃𝑜 𝑃𝑡
= 1 → indeks harga relatif memenuhi time reversal test. ∑ 𝑃𝑡
(2)
∑ 𝑃𝑜
It, 0 = ∑ 𝑃𝑜 , I0, t = ∑ 𝑃𝑡 ∑ 𝑃𝑡
It, 0 x I0, t = ∑ 𝑃𝑜 x
∑ 𝑃𝑜 ∑ 𝑃𝑡
= 1 →
indeks agretatif tidak tertimbang memenuhi time
reversal test. (3)
∑ 𝑃𝑡𝑄𝑜
It, 0 = ∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡 , I0, t = ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑜
It, 0 x I0, t = ∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡 x
∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡
∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡
≠ 1 → indeks Laspeyers tidak memenuhi time reversal test. (4)
I = √𝐿 𝑥 𝑃 (indeks ideal) It, 0 = √𝐿𝑡, 𝑜 × 𝑃𝑡, 𝑜 I0, t = √𝐿𝑜, 𝑡 × 𝑃𝑜, 𝑡 It, 0 x I0, t = √𝐿𝑡, 𝑜 × 𝑃𝑡, 𝑜 × √𝐿𝑜, 𝑡 × 𝑃𝑜, 𝑡
322
= √𝐿𝑡, 𝑜 × 𝑃𝑡, 𝑜 × 𝐿𝑜, 𝑡 × 𝑃𝑜, 𝑡 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑜
= √∑ 𝑃𝑜𝑄𝑜 ×
∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡 ∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡
×
∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡
×
∑ 𝑃𝑜𝑄𝑜 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑜
= √1 = 1 indeks ideal memenuhi time reversal test. Kesimpulan: 1. Indeks harga relatif memenuhi time reversal test 2. Indeks agregatif tidak tertimbang memenuhi time reversal test 3. Indeks Laspeyres tidak memenuhi time reversal test 4. Indeks ideal (Indeks Irving Fisher) memenuhi time reversal test Pada faktor reversal test, langkah awal pengujiannya adalah mencari nilai v=pxq dimana:
v = nilai p = harga per satuan q = banyaknya barang dalam satuan
Kemudian dicari nilai indeks sederhana dan nilai indeks agergatif, dengan rumus: 𝑉𝑡
I0, t = 𝑉𝑜 x 100% = ∑ 𝑉𝑡
𝑃𝑡𝑄𝑡 𝑃𝑜𝑄𝑜
I0, t = ∑ 𝑉𝑜 x 100% =
x 100%
𝑃𝑡𝑄𝑡 𝑃𝑜𝑄𝑜
x 100% (indeks nilai agregatif)
Suatu indeks dikatakan memenuhi faktor reversal test apabila memenuhi persamaan berikut: I(t,0)p x I(t,o)q = I(t.0)v (1)
I(t,0)p =
𝑃𝑡 𝑃𝑜
I(t,0)p x I(t,o)q = =
, I(t,o)q =
𝑃𝑡 𝑃𝑜
x
𝑄𝑡 𝑄𝑜
𝑄𝑡 𝑄𝑜
𝑃𝑡𝑄𝑡 𝑄𝑡𝑄𝑜
323
= I(t.0)v → indeks harga dan indeks kuantitas memenuhi faktor reversal test. ∑ 𝑃𝑡
(2)
I(t,0)p = ∑ 𝑃𝑜 , I(t,o)q =
∑ 𝑄𝑡 ∑ 𝑄𝑜
∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡
= ∑ 𝑃𝑜𝑄𝑜 = I(t.0)v → indeks harga dan indeks kuantitas agretatif memenuhi faktor reversal test. (3)
I(t,0)p x I(t,o)q = √L(t, o)p P(t, o)p x L(t, o)q L(t, o)q ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑜
= √∑ 𝑃𝑜𝑄𝑜 ×
∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡 ∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡
×
∑ 𝑃𝑜𝑄𝑡 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑡
×
∑ 𝑃𝑜𝑄𝑜 ∑ 𝑃𝑡𝑄𝑜
= I(t.0)v → indeks ideal memenuhi faktor reversal test. Kesimpulan : 1. Indeks harga dan indeks kuantitas memenuhi factor reversal test. 2. Indeks harga agregatif dan indeks kuantitas agregatif memenuhi factor reversal test. 3. Indeks ideal (Indeks Irving Fisher) memenuhi factor reversal test. Misalkan mempunyai suatu deretan angka indeks (indeks dari beberapa tahun, katakanlah t tahun) dengan waktu dasar I, yaitu dengan simbol sebagai berikut. I1, i, I2, i, …, It, i Selanjutnya mempunyai indkes dari tahun-tahun yang sama tetapi dengan waktu dasar j, sebagai berikut. I1, j, I2, j, …, It, j Apabila diperoleh urutan indeks yang kedua, yaitu (b) dengan jalan membagi setiap indeks dalam urutan pertama, yaitu (a) dengan Ij, i, maka indeks dikatakan memenuhi pengujian sirkuler.
324
Rumus
I1,i I j ,i
I1, j ;
I 2 ,i I j ,i
I 2, j ;
I 3,i I j ,i
I 3, j ,......
(Sebelum indeks dinyatakan dalam %).
Pendeflasian Data Berkala Data berkala, menunjukkan perkembangan mengenai kegiatan dari waktu ke waktu. Perkembangan kegiatan yang dinyatakan/dinilai dengan mata uang (bukan dengan fisik), sering menyesatkan kita, artinya perkembangan yang dinilai dalam mata uang kemungkinan besar menunjukkan kenaikan yang hebat, padahal seringkali kenyataannya tidak demikian, karena adanya pengaruh kenaikan harga(inflasi). Dengan kata lain, secara riil kemungkinan kenaikan itu, walaupun terjadi, sedikit sekali Kesimpulannya kenaikan indeks harga menurunkan daya beli. Sebaliknya, penurunan angka indeks harga menaikkan daya beli. Untuk mendapatkan data berkala yang riil, misalnya gaji/upah riil, dan pendapatan riil, angka-angka tersebut harus dibagi dengan indeks harga konsumen atau indeks biaya hidup. 1
Pada dasarnya dapat dikatakan jika indeks harga naik a kali, daya beli turun 𝑎 kali 1
(indeks naik 2 kali = 200%, daya beli turun 2 kali, dan lain sebagainya.
325
SOAL LATIHAN A. Soal Pilihan Berganda 1. Yang dimaksud dengan Po adalah … a. Harga pada waktu yang dihitung indeksnya b. Harga tertinggi sebagai dasar perhitungan c. Jumlah produksi pada waktu yang dihitung angka indeksnya d. Jumlah produksi pada waktu dasar e. Harga barang pada waktu dasar 2. Angka indeks adalah … a. Angka perbandingan antara satu variable bilangan dan variable bilangan lain yang perubahan relatifnya dinyatakan dalam bentuk persentase (%) b. Angka yang menunjukan perkembangan harga dari waktu ke waktu yang dinyatakan dalam bentuk persentase (%) c. Perubahan angka dari waktu ke waktu yang dinyatakan dalam bentuk persentase d. Kecenderungan kenaikan/penurunan angka dari waktu ke waktu dalam bentuk persentase (%)
326
e. Perbandingan rangkai antara obyek yang satu terhadap obyek yang lain dinyatakan dalam bentuk persentase (%)
3. Perbandingan nilai barang-barang yang dihasilkan dari satu period ke periode lain disebut … a. angka indeks b. indeks harga c. indeks nilai d. indeks kuantitas e. indeks harga konsumen
4. Jika diketahui jumlah harga tahun 2004 Rp. 9500,- dan jumlah harga tahun 2005 Rp. 11.100,-maka angka indeks agregat sederhana adalah … a. 116,84 % b. 115,48 % c. 161,84 % d. 162,48 % e. 114,84 % 5. Perhatikan data berikut ini : No Komoditas Satuan Harga
Q0
P0.Q0
Pn.Q0
2006
2007
1. Beras
1.000
1.200
20
20.000
24.000
2. Gula
1.400
1.600
10
14.000
16.000
3. Pasir
1.800
2.200
22
39.600
48.400
4. Minyak
7.000
8.000
50
350.000
400.000
423.600
488.400
Daging Jumlah
Berdasarkan data diatas indeks harga berdasarkan Laspeyres adalah…
327
a. 115,29 b. 115,20 c. 115,89 d. 116,10 e. 118,20
6. Yang menjadi dasar penimbangan pada indeks harga agregatif tertimbang Laspeyres adalah… a.
nilai
b.
produksi tahun dasar
c.
produksi tahun tertentu
d.
kuantitas pada tahun dasar
e.
harga tahun dasar
7. Data harga barang kebutuhan rumah tangga tahun 2007-2008 pada pasar Andaria Jakarta Selatan Jenis
2007
2008
Barang
Harga
Jumlah terjual
Harga
Jumlah terjual
1. Beras
2.200
450
2.500
462
2. Gula pasir
4.800
1.200
5.500
4.350
3. tepung terigu
3.800
220
4.000
230
4. Minyak goreng
2.700
3.200
3200
3.000
Berdasarkan tabel di atas indeks harga menurut Laspeyres dapat disimpulkan … a.
harga barang-barang tahun 2007 mengalami kenaikan 24,78%
b.
harga barang-barang tahun 2008 mengalami kenaikan 115,83% dibandingkan dengan harga dari tahun 2007
328
c.
harga barang-barang tahun 2007 mengalami kenaikan 75,22% dibandingkan dengan harga dari tahun 2008
d.
harga barang-barang tahun 2008 mengalami kenaikan 15,83% dibandingkan dengan harga dari tahun 2007
e.
harga barang-barang tahun 2008 mengalami kenaikan 84,17% dibandingkan dengan harga dari tahun 2007
8. Tabel indeks harga konsumen Tahun
Indeks Harga Konsumen
2006
105%
2007
109%
2008
114%
2009
120%
Berdasarkan tabel diatas, tingkat inflasi tahun 2008 dengan pembulatan keatas adalah… a.
3,84%
c. 4,59%
b.
4,34%
d. 5,00%
e. 5,25%
9. Dalam perhitungan angka indeks produksi agregatif tertimbang Paasche, yang dijadikan factor penimbang adalah…. a. kuantitas pada tahun ke – n b. harga dan kuantitas tahun dasar
329
c. harga pada tahun dasar d. kuantitas pada tahun dasar e. harga pada tahun ke – n
10. Diketahui dari beberapa jenis beras suatu daerah tertentu tahun 2006 dan 2007 sebagai berikut : Jenis
Tahun
Barang
2006
2007
Cianjur
9.000
9.500
Rajalele
7.500
8.250
Banda
6.000
6.500
Cisadane
5.750
6.250
Apabila tahun dasar tahun 2006 maka indeks harga tahun 2007 menurut metode agregatif sederhana adalah… a. 101,01 b. 107,97 c. 108,86 d. 109,76 e. 109,96
B. Soal Essai 1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan angka indeks serta dua macam waktu di dalam membuat angka indeks! 2. Apa yang dimaksud indeks dengan harga relative sederhana, indeks agregatif, indeks agregatif tidak tertimbang, indeks agregatif tertimbang! 3. Sebutkan keunggulan dari angka indeks berantai! 4. Sebutkan tujuan utama pembuatan angka indeks serta syarat yang perlu diperhatikan dalam mementukan atau memilih waktu dasar?
330
5. Harga rata-rata beberapa hasil komoditas pertanian di Jakarta dari tahun 1990 sampai 1994, disajikan dalam table berikut: Hasil
1990
1991
1992
1993
1994
Kacang Kedelai
3.090
3.474
3.568
4.146
5.336
Kacang Hijau
3.575
4.262
4.898
5.809
6.232
Kentang
2.482
2.785
2.724
3.578
2.964
Jagung Kuning
1.169
1.319
1.737
1.831
1.919
Pertanian
Tentukan indeks harga kentang pada tahun 1991 dan 1994 dengan periode/waktu dasar 1990! 6. Harga rata-rata 9 macam bahan pokok di pasar pedesaan seluruh Pulau Jawa dan Madura untuk tahun 1976-1978, disajikan dalam table berikut: Jenis Barang
Satuan
Harga 1976
1977
1978
Beras
Kg
134,15
139,87
149,67
Ikan Asin
Kg
320,41
356,57
382,38
Minyak Kelapa
Botol
180,39
234,26
269,76
Gula Pasir
Kg
190,79
203,54
225,75
Garam
Bata
29,29
26,98
26,70
Minyak Tanah
Liter
27,21
28,59
29,90
Sabun Cuci
Batang
62,68
71,12
75,12
Tekstil
Meter
244,25
259,10
268,65
Batik
Lembar
2.023,98
2.173,26
2.255,55
3.213,15
3.493,29
3.683,48
Jumlah
Tentukan indeks harga agregatif tidak tertimbang untuk tahun 1977 dan tahun 1978 dengan waktu dasar tahun 1976! 7. Berikut ini table berisikan kuantitas konsumsi dan harga eceran tiga jenis barang tahun 1994 dan 1995.
331
Jenis Barang
Produksi (satuan)
Harga (Rp/satuan)
1994
1995
1994
1995
X
44
65
25
50
Y
125
174
75
100
Z
86
134
40
60
a. Tentukan indeks kuantitas relative barang Y tahun 1994 dengan tahun dasar 1995! b. Tentukan indeks kuantitas rata-rata relative tahun 1995 dengan tahun dasar 1994! c. Tentukan indeks rata-rata tertimbang kuantitas relative 1995 dengan rumus Laspeyres dan Paasche! 8. Berikut ini data mengenai perkembangan harga suatu komoditas tertentu selama lima tahun dari 1991 sampai 1995: Tahun
1991
1992
1993
1994
1995
Harga (Rp/kg)
750
925
1.150
1.300
1.550
Buatlah indeks rantai untuk tahun 1992,1993,1994,1995 dengan waktu dasar 1991! 9. Berikut ini adalah angka indeks untuk tahun-tahun tertentu: Tahun
1985
1986
1987
1988
1989
1990
Angka indeks
100
125
147
165
183
197
Buatlah angka indeks yang baru dengan waktu dasar 1987! 10. Berikut ini data mengenai rata-rata upah mingguan dari sebuah perusahaan garmen beserta indeks biaya hidup selama lima tahun: Tahun
Rata-rata mingguan
Indeks biaya hidup
1991
5,03
98
1992
5,52
102,2
1993
6,02
101,8
1994
6,52
104,5
332
1995
6,80
108,1
a. Tentukan upah nyata mingguannya! b. Tentukan kenaikan uang upah dan kenaikan upah nyata dari tahun 1991 sampai 1995! Apa kesimpulannya? c. Tentukan daya beli rupiah dari tahun ke tahun, jika daya beli satu rupiah pada tahun 1991 bernilai Rp 1,00!
BAB 12 PROBABILITAS Kompetensi Dasar
Memahami pengertian probabilitas
Mengetahui berbagai pendekatan perhitungan probabilitas
Mengetahui bagaimana notasi himpunan
Memahami beberapa aturan dasar probabilitas
Mengetahui permutasian dan kombinasi dalam probabilitas
Kompetensi Inti
Memahami bagaimana probabilitas dalam suatu data
333
Kita sebagai manusia sering tidak bias mengetahui dengan pasti tentang terjadinya suatu kejadian/peristiwa, apalagi kalau kejadian itu mengenai sesuatu dimasa yang akan datang. Pertanyaan berikut ini adalah contoh mengenai kejadian-kejadian yang tidak dapat dijawab dengan pasti. Jika kita melempar sebuah dadu apakah kita memperoleh angka tiga ? Apabila kita melempar koin gambar apakah yang keluar? Apakah dimasa depan hasil penjualan akan naik? Apakah produk padi akan menurun? Untuk Menjawab pertanyaan-pertanyaan diatas, kita akan membahas apa yang disebut dengan Probabilitas.
PENGERTIAN PROBABILITAS Kata probabilitas biasanya dikenal dengan nama peluang dan kemungkinan. Secara umum probabilitas adalah peluang sesuatu akan terjadi. Secara jelas probabilitas akan didevinisikan sebagai berikut : “Probabilitas adalah suatu nilai yang dipergunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak”
334
Dalam mempelajari probabilitas ada 3 kata kunci yang harus diketahui: Eksperimen, hasil (Outcome), dan kejadian atau peristiwa (event). Ketiga istilah tersebut sering kita dengar, tetapi dalam ilmu statistic ketiga istilah itu mempunyai arti yang spesifik. Rentangan probabilitas antara 0 sampai dengan 1. Jika kita mengatakan probabilitas sebuah peristiwa adalah 0, maka peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Dan jika kita mengatakan bahwa probabilitas sebuah peristiwa adalah 1 maka peristiwa tersebut pasti terjadi.
PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi menjadi dua yaitu pendekatan klasik dan pendekatan frekuansi relative. Konsep Pendekatan Klasik Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam h cara yang berbeda dari total n cara yang mungkin, maka probabilitas dari kejadian tersebut adalah x/n. untuk mempermudah pemahaman diberikan gambaran sebagai berikut : Perhatikan suatu kejadian A yang dapat terjadi sebanyak cara dari seluruh n cara; misalnya ada n banyak barang, x barang rusak, (n-x) barang tidak rusak. Jika kita mengambil suatu barang yang tidak acak lallu ditanyakan berapa probabilitas bahwa baarang yang diambil tersebut rusak atau berapa P(A) ? Ada x barang rusak, ada x carauntuk memperoleh barang yang dari seluruh barang sebanyak n, A= barang yang rusak, merupakan suatu kejadian atau event. (a) P(A) = ̅)= P(A
𝑥 𝑛
, 𝑃(𝐴) ≥ 0, 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑏 𝑥 ≥ 0, 𝑛 > 0
𝑛−𝑥 𝑛
335
𝑛−𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 = − 𝑛 𝑛 =
̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴) (b) P(A 𝐴̅ = 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝐴 (𝐵𝑢𝑘𝑎𝑛 𝐵𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑅𝑢𝑠𝑎𝑘) 𝐴̅ = 𝐾𝑜𝑚𝑝𝑙𝑜𝑚𝑒𝑛 𝐴 0
Jika x = 0, maka 𝑃(𝐴) = 0, tidak ada barang rusaak. Jjika x = n, maka 𝑃(𝐴) = 𝑛
𝑛 𝑛
= 1,
semua
barang
rusak.
Jadi
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1,
̅ sering disebut gagal. Artinya, Probabilitas terjadinya 𝐴 sering disebut sukses dan A A, yaitu P(A), nilainya palin kecil 0 dan paling besar 1. Contoh 12.1: Sebuah dadu di lemparkan sekali kelantai. berapa probabilitas agar angka 6 yang akan muncul di lantai? Penyelesaian : Dari soal, n = 6, x = 1 maka dengan demikian : 𝑥 𝑃(𝐴) = 𝑛 1 = = 0,16 = 16% 6 Jadi besarnya Probabilitas (kemungkinan) untuk munculnya angka 6 dilantai adalah 16%. Konsep Frekuensi Relatif Pendekatan yang mutakhir adalah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relative. Perlu disebutkan disini bahwa besaranya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. Artinya, probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekiensi relative kejadian tersebut yang secara teoritis berlaku untuk nilai n yang besarr sekali (tidak terhingga).
336
Didalam prakreknya, frekuensi relative itu sendiri bisa digunakan untuk memperkirakan nilai probabilitas. Hal ini dapat ditulis dengan rumus sebagai berikut :
Probabilitas terjadinya
= jumlah/frekuensi terjadian tersebut dimasa lalu
suatu kejadian
Jumlah observasi
Contoh 12.2 : Jika kita melempar sebuah koin sebanyak 2000 kali dan berapakah probabilitas kepala muncul sebanyak 689 kali ? Penyelesaian : Dari soal diatas n = 2000, A= 689 𝑃(𝐴) =
689 2000
= 0,345 = 34,5% Contoh 12.3 : Dalam pengumpulan nilai-nilai statistic mahasiswa S1 diperoleh data sebagai berikut :
Berdasarkan data yang ada maka tentukan
Nilai
Banyak
Mahasiswa (X)
Mahasiwa (F)
<25
15
25-50
25
nilai 25< X < 50,
50-75
40
nilai 50 < X < 75 dan
>75
20
nilai X >75
Jumlah
100
berapa probabilitas pada :
Penyelesaian : P(25 < 𝑋 < 50) =
25 100
337
= 0,25 = 25% 45 100
P(50 < 𝑋 < 75) =
= 0,45 = 45% P(X < 75) =
20 100
= 0,2 = 20%
Probabilitas Subjektif
Probabilitas subjektif didasarkan kepada penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengalaman / pengamatan masa lalu sebagai dasar untuk perhitungan probabilitas, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subjektif. Hal ini biasanya terjadi dalam bentuk opini atau pendapat yang dinyatakan dalam suatu nilai probabilitas. NOTASI / PERISTIWA DAN NOTASI HIMPUNAN Apabila suatu ekperimen dengan mengambil bola warna sebanyak dua kali didalam kotak yang berwarna biru(B) dan merah (M) maka hasil ekperimen tersebut memiliki salah satu kemungkinan hasil berikut : BM,
MB,
BB,
MM
-
Pengambilan pertama bola berwarna biru dan pengambilan kedua bola berwarna merah
-
Pengambilan pertama bola berwarna merah dan pengambilan kedua bola berwarna biru
-
Pengambilan pertama bola berwarna biru dan pengambilan kedua bola berwarna biru
-
Pengambilan pertama bola berwarna merah dan pengambilan kedua bola berwarna merah.
Hasil yang berbeda-beda dari suatu eksperimen disebut titik sampel. Dalam contoh ini memiliki 4 titik sampel. Sedangkan himpunan dari seluruh kemungkinan hasil atau titik sample disebut ruang sampel.
Jika dua dadu kita lempar maka kita memperoleh ruang sample sebagai berikut :
2
1
2
3
4
5
6
1
338
1
11
12
13
14
15
16
2
21
22
23
24
25
26
1
= dadu pertama
3
31
32
33
34
35
36
2
= dadu kedua
4
41
42
43
44
45
46
23
= dadu pertama keluar mata dua,
5
51
52
53
54
55
56
6
61
62
63
64
65
66
dadu kedua keluar mata tiga 52
= dadu pertama keluar mata lima, dadu kedua keluar mata dua
Ruang sample suatu eksperimen mempunyai dua syarat berikut : 1. Dua hasil atau lebih dapat terjadi secara bersamaan. 2. Harus terbagi habis, artinya ruang sampel harus memuat seluruh kemungkinan hasil tidak ada ynag terlewatkan.
Jadi, ruang sampel merupakan himpunan hasil eksperimen. Suatu himpunan merupakan kumpulan yang lengkap atas elemen-elemen sejenis tetapi dapat dibedakan satu sama lain. Didalam statistik himpunan (set) disebut populasi dan himpunan bagian disebut sampel(sample). Dengan eksperimen-eksperimen yang berbeda-beda sehingga memiliki sifat eksperimen acak atau dikenal dengan variable acak. Biasanya variable diberi symbol X dan untuk singkanya disebut variable saja. Variable mempunyi pengertian kuantitatif, maksudnya harus dinyatakan dengan angka-angka. Karena hasil eksperimen sering merupakan data kualitatif, maka harus dilakukan penilaian kembali melalui angka-angka. Misalnya kita melempar uang logam ke atas sebanyak 3 kali maka memperoleh ruang sampel 𝑆 = 𝐵𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝐵̅ , 𝐵𝐵̅ 𝐵, 𝐵𝐵̅ 𝐵̅, 𝐵̅ 𝐵𝐵, 𝐵̅ 𝐵𝐵̅ , 𝐵̅ 𝐵̅ 𝐵, 𝐵̅ 𝐵̅ 𝐵̅ dengan demikian ruang sample ada 8 anggota (n=8).
Bila X = jumlah gambar burung (B) untuk 3 kali lemparan tersebut maka untuk :
BBB
X=3
̅ BBB
X=2
̅BB B
X=2
̅B ̅ BB
X=1
̅B BB
X=2
̅BB ̅ B
X=1
̅B ̅B B
X=1
̅B ̅B ̅ B
X=0
339
̅B ̅B ̅ ), atau X= 3, Jadi, X= [0,1,2,3]. Hasil eksperimen dapat menghasilkan nilai X= 0, yaitu (B ̅, BB ̅B, B ̅ BB) yaitu (BBB), atau X=2, yaitu (BBB
Jika disajikan dalam bentuk table frekuensi dan distribusi probabilitas, maka hasilnya kita lihat pada table dibawah berikut :
Tabel frekuensi dan distribusi probabilitas dari eksperimen tiga kali pelemparan mata uang. X
f
0
1
1
3
2
3
3
1 Jumlah
fr 1 8 3 8 3 8 1 8
fr = P(X) 0,125 0,375 0,375 0,125 1,000
Apabila cari probabilitas untuk setiap nilai variable maka seluruh probabilitas tersebut bersama-sama dengan nilai variable masing-masing dinamakan distribusi probabilitas.
Notasi Himpunan Apabila S merupakan himpunan, maka objek yang terkandung didalamnya dinamakan anggota atau elemen. Misalnya S=n{x1, x2, x3, x4, x5}, maka x1, x2, x3, x4, dan x5 masing-masing merupakan anggota atau elemen dari S. Anggota S dapat berupa variable diskrit (tidak mengambil seluruh nilai dalam interval) dan kontinu (mengambil seluruh nilai dalam interval).
340
Diskrit:
𝑆 = {𝑥: 𝑥 = 0, 1, 2, 3} 0̇̅1̇̅2̇̅3̇
Kontinu:
(nilainya berupa kumpulan beberapa titik)
𝑆 = {𝑥: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} 0̇̅̅̅̅̅̅̅1̇
(nilainya berupa garis seluruh titik)
Simbol (:) yang memisakan variable dengan nilai dalam himpunan dibaca sedemikian rupa sehingga (s.r.s). jadi, 𝑆 = {𝑥 ∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} merupakan himpunan yang diwakili oleh x, sedemikian rupa sehingga x dapat mengambil nilai mulaidari 0 sampai dengan 1. Sering terjadi bahwa 𝑋 = {𝑥: 𝑥 ∈ A dan x ∈ B}. Artinya, sebagai anggota X, x juga anggota (A) dan anggota(B). Misalnya X adalah himpunan mahasiswa FE-UI yang pernah ikut menwa. Jika A adalah mahasiswa FE-UI, B adalah mahasiswa UI yang pernah ikut menwa, maka : 𝑋 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}
Himpunan dari seluruh kejadian disebut himpunan himpunan semesta (universal set). Himpunan bagian terkecil dari suatu himpunan disebut himpunan kosong (null set) dengan symbol ∅ Himpunan maupun himpunan bagian dapat merupakan kejadian (event), maka selanjutnya kita membicarakan istilah-istilah mengenai kejadian , antara lain : kejadian komplimenter, interaksi (perpotongan), dan union (gabungan). Komplomen Suatu Kejadian Misalnya bahwa S adalah ruang sampel (himpunan dari hasil eksperimen), A adalah bagian dari S, dan 𝐴̅adalah komplomen dari A atau semua anggota S yang bukan anggota A. Hubungan tersebut dapat digambarkan seperti terlihat pada peraga berikut. ̅) Diagram Venn Hubungan A dengan Komplemen A (𝐀
A
341
S A
𝐴̅ = daerah Yang berwarna biru Misalnya dari suatu kotak yang berisi 100 bola yang berwana biru dan kuning ternyata ada 10 bola yang berwarna kuning maka : S = seluruh bola (100) A = bola berwarna biru (10) ̅ = bola bukan berwarna biru (100-10=90 A 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) Interseksi Dua Kejadian Misalnya A dan B yang sering ditulisA ∩ B (dibaca A interseksi atau irisan B) atau AB, terdiri dari elemen-elemen anggota S yang selain mempunyai sifat A juga B, artinya selain anggota A juga anggota B maka : A ∩ B = {𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ B} Diagram venn A ∩ B (Himpunan A interseksi himpunan B)
B
A
A∩B
Contoh 12.4
342
Diketahui himpunan A adalah angka prima dari 1 sampai 20 dan himpunan B adalah angka ganjil dari 1 sampai 1 Penyelesaian : A= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} B = {3,5,7,9} Maka A∩B = {3,5,7}
Contoh 12.5 Himpunan A adalah jumlah uang yang dapat digunakan bagi seorang ibu rumah tangga untuk pengeluaran selama sebulan dan himpunan B adalah pengeluaran ibu rumah tangga tersebut selama sebulan. Penyelesain : A
= {𝑥 ∶ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅𝑝 100.000
B
= { 𝑥 ∶ 𝑥 ≥ 𝑅𝑝 100.000
A ∩ B = {𝑥 ∶ 𝑥 = 𝑅𝑝 100.000
Union Dua Kejadian Himpuna gabungan dari seluruh elemen dari himpunan A dan Himpunan B. misalnya A = { 𝑥: 2 ≤ 𝑥 ≤ 5}, dan B = {𝑥: 6 ≤ 𝑥 ≤ 12} Maka 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∶ 2 ≤ 𝑥 ≤ 12}. Gambar diagram venn A ∪ B (A union B)
B
A
343
𝐴∪𝐵 BEBERAPA ATURAN DASAR PROBABILITAS Beberapa kombinasi dari kejadian dalam sebuah eksperimen dapat dihitung probabilitasnya berdasarkan atas dua aturan, yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
Aturan Penjumlahan Dalam menerapkan aturan penjumlahan ini, kita harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersifat saling meniadakan (mutually exclusive) atau tidak saling meniadakan.
Kejadian Saling Meniadakan Untuk kejadian yang saling meniadakan ini aturan penjumlahan yang diterapkan disebut dengan aturan penjumlahan khusus. Kejadian saling meniadakan (mutually exclusive event) adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan. Jika A terjadi, maka kejadian B tidak akan terjadi. Sebagai contohnya yaitu, dalam pelemparan sebuah dadu, munculnya mata dadu 2 dan 3 tidak bisa terjadi secara bersamaan, sehingga munculnya mata 2 akan meniadakan munculnya mata dadu yang lain. Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan (saling lepas), aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A dan B sama dengan penjumlahan dari masingmasing nilai probabilitasnya dan dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
P(A atau B) = P(A∪B) = P(A) + P(B)
Untuk tiga kejadian saling meniadakan yang ditanyakan dengan A, B, dan C ditulis:
P(A atau B atau C) = P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)
CONTOH 12.7 Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastik dengan campuran beberapa jenis sayuran menunjuk bahwa sebagian besar kantong plastik berisi sayuran tersebut memuat benar yang
344
benar. Meskipun demikian, karena ada sedikit variasi dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket kantong pelastik mungkin sedikit lebih berat atau lebih ringan dari berat standar. Pengecekan terhadap 6000 paket menunjukkan hasil sebagai berikut : TABEL 12.8 Hasil Pengecekan Probabilitas Kejadian A, B, dan C untuk 6000 Paket Berat
Kejadian
Jumlah Paket
Probabilitas
Lebih ringan
A
1000
1000
Standar
B
4500
4500
= 0,17
6000
= 0,75
6000
Lebih berat
C
Jumah
500 6000
500
= 0,08
6000
1,00
Hitung berapa probablitas bahwa paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat dari berat standar!
Penyelesaian: Hasil (outcome) “lebih ringan” adalah kejadian A, dan hasil “lebih berat” adalah kejadian C. Dengan menerapkan aturan penjumlahan, maka diperoleh:
P(A atau C) = P(A) + P(C) = 0,17 + 0,08 = 0,25 Catatan : Kejadian diatas merupakan kejadian yang saling meniadakan (saling lepas). Artinya, sebiah paket tidak dapat memenuhi berat “lebih ringan”, “standar”, dan “lebih berat” secara bersamaan. Jadi, hanya salah satu dari ketiga criteria tersebut.
Kejadian Tidak Saling Meniadakan Dalam sebuah hasil eksperimen adakalanya tidak bersifat saling meniadakan. Sebagai contoh, misalkan Departemen Pariwisata meilih sebuah sampel dari 400 wisatawan yang mengunjungi Jakarta. Dari hasil survei tersebut diperoleh bahwa 220 orang telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah, dan 210 orang telah mengunjungi Taman Impian Jaya Ancol. Berapa probabilitas bahwa seorang wisatawan yang terpilih telah mengunjungi Taman Mini Indonesia Indah atau Taman Impian Jaya Ancol? Jika aturan penjumlahan khusus pada kejadian saling
345
meniadakan diterapkan, maka probabilitas seorang wisatawan telah pergi ke TMII adalah 0,55 (diperoleh dari
220
) dan probalitas seorang wisatawan telah berkunjung ke Ancol adalah 0,53.
400
Jumlah kedua probabilitas dua kejadian ini akan lebih dari 1. Hal ini terjadi karena ada beberapa wisatawan yang mengunjungi kedua tempat wisata tersebut, sehingga mereka dihitung dua kali. Ternyata setelah diteliti dari respons survei terdapat 80 orang yang mengunjungi kedua tempat wisata tersebut. Untuk mengetahui “berapa probabilitas bahwa seorang wisatawan terpiih mengunjungi TMII atau Ancol” adalah dengan menjumlahkan kedua nilai probabilitas diatas (masing-masing 0,55 dan 0,53) dikurangi dengan probabilitas mengunjungi kedua tempat wisata. Jadi : P(Taman Mini atau Ancol) = P(Taman Mini) + P(Ancol) – P (Taman Mini dan Ancol) 220
210
80
= 400 + 400 - 400 = 0,8
Jika dua kejadian saling berinteraksi (berisirisan), probabilitasnya disebut sebagai probabilitas bersama (joint probability). Secara ringkas, aturan umum penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan pada dua kejadian A dan B dapat ditulis: P(A atau B) =P(A) + P(B) – P(A dan B) atau P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
(12.9)
ATURAN PERKALIAN Aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam) hal ini, yaitu kejadian tak bebas (dependent event) dan kejadian bebas (independent event).
Kejadian Tak Bebas ( Bersyarat)
346
Probabilitas terjadinya A dengan syarat B sudah terjadi atau akan terjadi disebut probabilitas bersyarat (conditional probability), atau biasa ditulis P(A/B). Misalkan jumlah seluruh mahasiswa suatu Universitas ( M atau I) sama dengan 20.000 orang. Himpunan A mewakili 2000 mahasiswa lama (a). Himpunan B mewakili 4000 mahasiswa putri (b). Sedangkan 900 dari 4000 mahasiswa putri merupakan mahasiswa lama (c) . A dan B masingmasing merupakan himpunan bagian dari S. Kita memilih satu orang mahasiswa secara acak/random, maka kejadian bersyarat (A/B) adalah kejadian yang mewakili mahasiswa lama dengan syarat bahwa mereka putri. P(A/B) = probabilitas bersyarat untuk menjawab pertanyaan: diketahui mahasiswa yang terpilih putri, berapa probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut mahasiswa lama?
P(A/B) =
𝑐 𝑏 900
= 4000 = 0,23 (merupakan proporsi mahasiswa lama putri dengan seluruh mahasiswa putri)
Untuk memperoleh persentase, nilai proporsi kalikan 100%, yaitu 23%
Kejadian bersyarat (A/B) berarti kejadian yang mewakili mahasiswa putri dengan syarat bahwa mereka mahasiswa lama.
P(B/A) = probabilitas bersyarat untuk menjawab pertanyaan: diketahui mahasiswa yang terpilih mahasiswa lama, berapa probabilitasnya bahwa mahasiswa tersebut putri, atau P(A/B) = probabilitas terjadinya B dengan syarat A terjadi = probabilitas bahwa yang terpilih mahasiswa putri dengan syarat bahwa mahasiswa tersebut mahasiswa lama. P(B/A ) = P (mahasiswa putri/lama) 𝑐 𝑎
900
= 2000 = 0,45
Contoh :
347
Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak dua kali, dan X adalah jumlah mata dadu dari hasil lemparan tersebut. Apabila lemparan pertama yang keluar mata 2, dan lemparan kedua keluar mata 4, maka X = 2 + 4 = 6. Juga, apabila pada lemparan pertama yang keluar adalah mata 3 dan yang kedua 5, X = 8, dan seterusnya. Jika, A = {x : x < 5 } B = {x : x suatu bilangan ganjil}, hitunglah P(A/B).
Penyelesaian: Hasil Eksperimen Dadu II I
1
2
3
4
5
6
1
11
12
13
(14)
15
(16)
2
21
22
(23)
24
(25)
26
3
31
(32)
33
(34)
35
(36)
4
(41)
42
(43)
44
(45)
46
5
51
(52)
53
(54)
55
(56)
6
(61)
62
(63)
64
(65)
66
S = 36 titik sampel = 36 hasil eksperimen (N = 36) A = ( 11 = 2, 12 = 3, 13 = 4, 21 = 3,22 = 4
semuanya memberikan nilai X kurang dari 5, a =6).
B = (21, 41, 61, 12, 32, 52, 23, 43, 63, 14, 35, 54, 25, 45, 65, 16, 36, 56, semuanya memberikan X ganjil
X= 3,5,7,9, . . . dan seterusnya) (b = 18)
A∩B = 2(12 dan 21, semuanya memeberikan nilai X kurang dari lima dan ganjil) (c =2) P(A/B) =
𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑐/𝑁
= 𝑏/𝑁 = =
𝑐 𝑏 12 8
= 0,11
348
P(B/A) =
𝑃(𝐴∩𝐵 𝑃(𝐴) 𝑐/𝑁
= 𝑎/𝑁 =
𝑐 𝑎 2
=6 = 0,33
Probabilitas Kejadian Interseksi Untuk menghitung probabilitas bersyarat, seolah-olah kita sudah mengetahui P(A∩B), P(A), dan P(B). Berdasarkan apa yan kita ketahui tersebut, kita akan menghitung P(A/B) atau P(B/A). Dalam prakteknya , sukar sekali untuk menghitung P(A∩B), untuk menghitung P(A∩B), rumus yang digunakan disebut Aturan Umum dari Perkalian Probabilitas, sebagai berikut :
P(A∩B) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)
Maksud dari rumus tersebut bahwa P(A∩B) = probabilitas bahwa A dan B terjadi
secara
simultan, sebetulya merupakan hasil kali dari probabilitas dua kejadian.
P(A∩B) = P(A) P(B/A) P(A)
= probabilitas bahwa A terjadi,
P(B/A) = probabilitas B terjadi dengan syarat A terjadi,
P(A∩B) = P(B)P(A/B) P(B)
= probabilitas B terjadi
P(A/B) = probabilitas bahwa A terjadi dengan syarat B terjadi.
Contoh :
349
Kita mengambil secara acak 2 kartu berturut-turut dari suatu set (kumpulan) kartu bridge. Berapa probabilitasnya bahwapengambilan kartu pertama berupa kartu As, yang kedua juga As? (Hasil pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi (without replacement) dan hasil pengambilan kedua dipengaruhi oleh hasil pengambilan pertama).
Penyelesaian: Diketahui: 4
S = 52 kartu (N), A = pengambilan pertama As (a = 4), P(A) =52 B/A = pengambilan kedua juga As dengan syarat bahwa pengambilan pertama As (b = 3, N = 51). Sewaktu pengambilan kedua dilakukan,kartu As yang tinggal hanya 3 sedangkan sisa kartu kartu tinggal 51. 3
P(B/A) = 51 P(A∩ 𝐵) = P(A)P(B/A) 34 3
= 52.52 = 0,0045
Jika kejadiannya A, B, dan C (3 kejadian), maka: P(A∩B∩C) = P(A)P(B/A) P(C/ A∩B) Pembuktiannya: misalnya A∩B = C0, maka: P(A∩B∩C) = P(C0∩ 𝐶) = P(C0)P(C/C0) P(C0) (C/C0)
= P(A∩B) = P(C/ A∩B)
Jadi, P(A∩B∩C) = P(A)P(B/A) P(C/ A∩B)
Kejadian Bebas (Independent Event)
350
Dua kejadian atau lebih merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas, apabila kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Kejadian-kejadian bersyarat (conditional event), karena saling mempengaruhi dikatakan kejadian-kejadian yang tidak bebas. Menurut definisinya, jika A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B) P(A∩B) P(A)P(B) = P(B)P(A) (A dan B merupakan kejadian bebas) Kenyataannya, kejadian-kejadian bebas jarang terjadi karena, pada dasarnya antara kejadian yang satu dengan yang lain saling mempengaruhi baik secara langsung maupun tidak.
Contoh: Kita mengambil 2 lembar kartu berturut-turut secara acak dari satu set kartu bridge. Sebelum pengambilan kedua, hasil pengmabilan pertama dikembalikan lagi sehingga hasil pengambilan kedua. Kalau A1 = kartu As wajik (diamond) dan A2 kartu As hati. Berapa P(A1∩A2)?
Penyelesaian: 4
P(A1) = 52 4
P(A2) = 52 maka P(A1∩A2)
= P(A1) P(A2) 4
= 52
4 52
= 0,0059
Probabilitas Marjinal
Didalam prakteknya, sering kali kita menjumpai suatu kejadian yang terjadi bersamaan dengan kejadian lainnya, dimana kejadian lainnya tersebut mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama.
351
Contoh: Suatu Universitas mempunyai mahasiswa sebanyak 2.000 orang yang tediri dari 5 Fakultas, yaitu FE = 500 orang, FMIPA = 450 orang, FT = 400 orang, FH = 350 orang, dan FBS = 300 orang. Dari mahasiswa tersebut ada yang menjadi anggota Menwa (Resimen Mahasiswa). Dari FE = 200 orang, FMIPA = 150 orang, FT = 100 orang, FH = 80 orang, dan FBS = 50 orang. Jika suatu saat kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa (anggap saja sebagai kejadian yang acak), berapa probabilitas bahwa mahasiswa tersebut seorang anggota M enwa?
Penyelesaian: M = ME∪MMIPA∪MT∪MH∪MBS = Menwa dari FE atau FMIPA atau FT atau FH atau FBS. P(ME) = P(E)P(M/E) 200 = 2000 P(MIPA)= P(MIPA)P(M/MIPA) 150 = 2000 P(MT) = P(T)P(M/T) 100 = 2000 P(MH) = P(H)P(M/H) 80 = 2000 P(MBS) = P(BS)P(M/BS) 50 = 2000 Maka: (M) = P(ME) + P(MIPA) + P(MT) + P(MH) + P(MBS) = P(E)P(M/E) + P(MIPA)P(M/MIPA) + P(T)P(M/T) + P(H)P(M/H) + P(BS)P(M/BS) 200+150+100+80+50
= = 0,29 Atau: P(M) = =
2000
𝑀 𝑆
𝑀𝐸+𝑀𝑀𝐼𝑃𝐴+𝑀𝑇+𝑀𝐻+𝑀𝐵𝑆 𝑆
= 0,29
352
Permutasi dan Kombinasi Didala, suatu eksperimen mungkin dua kejadian atau lebih dapat terjadi dimana kejaidan itu dapat merupakan kombinasi terjadinya kejadian-kejadian elementer. Untuk menghitung probabilitas seperti itu, sering diperluka informasi mengenai banyaknya kejadian-kejadian elementer yang membentuk kejadian tersebut. Hal ini sering terjadi kalau eksperimen dilakukan berkali-kali. Suatu eksperimen dilakukan dalam beberapa langkah (steps), dimana disetiap langkah menghasilkan berbagai kemungkinan (outcome) yang berbeda, diperlukan suatu cara atau aturan untuk menghitung seluruh hasil. Apabila langkah pertama ddari suatu eksperimen dapat menghasilkan k hasil yang berbeda sedangkan langkah kedua mengahasilkan m hasil yang berbeda, maka keselurahan eksperimen yang terdiri dari 2 langkah tersebut akan menghasilkan k.m hasil. Misalkan seorang direktur pemasaran iklan mempunyai 4 alternatif didalam memasang iklan (Koran, majalah, TVRI, RRI) dan 2 kemungkinan rancangan pembungkus yaitu memakai plastic dan karton, banyaknya kombinasi iklan dan rencana pembungkus =k .m =4 x 2= 8. Kalau dinyatakan dalam diagram pohon gambarnya sebagai berikut : Diagram Pohon Probabilitas Alternatif Koran
m 1 Plastik
K1
m 1 Karton
Majalah
m 1 Plastik
K2
m 1 Karton
TVRI K3 RRI K4
m 1 Plastik m 1 Karton m 1 Plastik m 1 Karton K = hasil pada langkah pertama M =hasil pada langkah kedua
353
Permutasi Adalah suatu pengaturan atau urutan beberapa elemen atau objek (misalnya hasil suatu eksperimen), dimana urutan itu penting, maksudnya 123 tidak sama dengan 231. Permutasi sangat berguna untuk perhitungan probabilitas, khususnya yang berhubungan dengan ranking dari suatu himpunan elemen atau objek, misalnya untuk mengetahui ada beberapa cara 3 orang calon gebernur DKI jaya dirank atau dinilai oleh penduduk DKI jaya yang diberikesempatan untuk itu. Dalam hal ini akan memperoleh 6 permutasi atau rank yang berbeda. Rang atau penilaian dimulai dengan dengan angka 1 sampai 3, permutasi dimulai dengan terbaik dengan dukungan penuh, sampai pada calon yang dinilai kurang. Perhatikan tabel berikut : Tabel permutasi dari 3 Ranking Permutasi
1
2
3
4
5
6
1
A
A
B
B
C
C
2
B
C
A
C
A
B
3
C
B
C
A
B
A
Rank
Perhatikan bahwa ada 3 cara untuk mengisi rank yang pertama, maksudnya adalah alternatif untuk siapa-siapa yang memperoleh rak pertama tersebut. Misalnya telah ditentukan bahwa A mendapatkan rank 1, B mendapat rank 2, dan C mendapat rank 3. Jadi banyaknya permutasi merupakan hasil kali dari 3 x 2 x 1 = 6. Kalau ada 4 calon, banyaknya permutasi adalah 4x3x2x1= 24. Terakhir, jika ada m elemen (objek), ada m cara untuk mengisi posisi pertama, ada(m=1) cara untuk mengisi posisi kedua dan seterusya. Banyak permutasi = m(m – 1)(m-2)…(1)
Dimana m = banyaknya elemen m! = m factorial, m ≥ 0 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
354
Menurut definisi 0!=1!=1
Permutasi m objek diambil m setiap kali 𝑚 𝑃𝑚
= 𝑚!
Permutai m objek diambil x setiap kali 𝑚 𝑝𝑚
=
𝑚! (𝑚−𝑥)!
Contoh : Banyak pengaturan atau permutasi yang berbeda dimana masing-masing darii 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B, C, D, E, F, G adalah
Penyelesaian Diketahui dari soal m =7 dan x = 3 maka : 10𝑃3
= =
10! (10−5)!
10!
=
5!
10∙9∙8∙7∙6∙5! 5!
= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 30.240 Jadi, ada 30.240 cara ranking
Kombinasi Kombinasi adalah susunan dari beberapa elemen yang dimana urutan tidak diperhatikan, hal ini sangat berbeda pada permutasi. Banyaknya kombinasi dari m objek diambil dari x setiap kali, diberi symbol
mCx
yaitu jumlah maksimum himpunan yang berbeda-beda dan terdiri dari x
elemen yang berasal dari elemen. Karena kombinasi urutan elemen tidak penting, mak dari itu banyaknya lebih sedikit dari pada permutasi. m𝐶𝑥
𝑚!
= 𝑚𝑥𝑝 = 𝑥!(𝑚−𝑥)!
Kombinasi m objek diambil x setiap kali.
Contoh : Dalam berapa carakah sebuah panitia dengan 5 orang dapat dipilih dari 9 orang?
355
Penyelesaian : 9𝐶5
=
9! 5!(9−5)!
9!
= 5!4! =
9∙8∙7∙6∙5 5!
= 126
SOAL LATIHAN Soal Pilihan Berganda 1. Probabilitas yang mengukur kemungkinan bahwa dua atau lebih kejadian akan terjadi bersama disebut probabilitas… a. Probabilitas bersyarat b. Probabilitas bersama c. Probabilitas kombinasi d. Probabilitas peluang 2. Diketahui siswa A,B,C,D dan E akan duduk melingkar.Banyaknya permutasi siklis, Jika A dan B selalu berdekatan ……. a. 6 b. 12 c. 18 d. 24 3. Aturan penjumlahan yang diterapkan untuk kejadian yang saling meniadakan disebut dengan aturan… a. Penjumlahan khusus b. Penjumlahan umum c. Penjumlahan saling meniadakan d. Perkalian 4. Sembilan belas buku diletakkan dalam rak, terdiri dari empat jenis buku yakni 3 buku kalkulus, 7 buku alpro, 5 buku peluang, dan 4 buku statistik berapa probabilitas bukubuku yang sejenis diletakkan bersama-sama? a. 1/58198140 b. 1/65349614 c. 1/98726463 d. 1/45276398 5. Sebuah dadu dilemparkan maka peluang munculnya mata dadu bermata dua dan bermata 6 adalah :
356
a.
1
b.
3
3
4
c.
6
d.
6
1 2
6. Dalam pengumpulan nilai ujian mahasiswa S1 diperoleh nilai sebagai beriku : x
40
50
60
70
80
90
100
f
3
4
5
8
2
2
1
Jika diambil 1 mahasiswa secara acak berapakah kemungkinan terambil mahasiswa yang bernilai < 60 ? a. 0,2
b. 0,48
c. 0,28
d. 0,36
7. Ada sebanyak 20 orang pekerja di sebuah devisi pabrik kertas, dan 9 diantaranya merokok, diantara pekerja tersebut sebanyak 11 orang adalah pekerja wanita dan diantara pekerja wanita sebanyak 3 orang adalah perokok, berapa probabilitasnya jika diambil secara acak seorang wanita dan merokok ? a.
12790800
b. 17290800 c. 12920800 d. 1920900 8. Banyak permutasi yang terdiri dari empat huruf yang di ambil dari huruf-huruf M,A,M Dan A adalah………… a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 9. Didalam sebuah kotak terdapat lima kelereng yang berwarna merah, dua kelereng putih dan tiga kelereng biru bila disusun tampa membedakan warnanya berapa banyak susunan yang mungkin terjadi ? a. 6300
c. 5300
b. 3600
d. 3500
357
10. Terdapat 3 mata uang logam yang dilemparkan bersamaan. Tentukan besar frekuensi harapan peluang munculnya sisi gambar lebih dari satu pada 80 percobaan pelemparan? a. b. c. d.
40 50 35 90
Soal Essay 1.
Sebutkan perbedaan antara onsep pendekatan klasik dengan konsep frekuensi relatif
2.
Sebuah keluarga terdiri atas 7 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
3.
Sebanyak 100 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut?
4.
Didalam acara sebuha pesta hadir 80 orang dan masing-masing saling berjabat tangan. Berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?
5.
Kelompok tani Suka Maju terdiri dari 6 orang yang berasal dari dusun A dan 8 orang berasal dari dusun B. Jika dipilih 2 orang dari dusun A dan 3 orang dari dusun B untuk mengikuti penelitian tingkat kabupaten, maka banyaknya susunan kelompok yang mungkin terjadi adalah …
6.
Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel: Gender
Bekerja Menanggur Jumlah
Laki – laki
670
130
800
Perempuan
130
270
400
Total
800
400
1200
358
Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status bekerja pada tabel: Gender
Bekerja Menanggur Jumlah
Laki – laki
670
130
800
Perempuan
130
270
400
Total
800
400
1200
Ada 36 orang dengan status bekerja dan 12 orang menganggur merupakan anggota koperasi. - Berapa probabilitas orang yang terpilih ternyata anggota koperasi? - Berapa probabilitas anggota yang bekerja? - Berapa probabilitas anggota koperasi yang menanggur? 7. Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita? 8. Apa yang dimaksud dengan PERMUTASI? 9. Jelaskan mengenai kejadian saling meniadakan dan kejadian yang tidak saling meniadakan, dan berikan contohnya! 10. Pada sebuah acara silaturahmi dihadiri oleh 60 orang, terdapat berapa jumlah jabat tangan yang terjadi? C. Soal Studi Kasus 1. Jika harga satu kilogram daging kambing adalah Rp. 20.000,- pada tahun 1998, kemudian harga tersebut menjadi Rp. 25.000,- pada tahun 2004, maka secara awam akan dikatakan perbandingan harga tahun 2004 dengan tahun 1998 adalah? 2. Harga dari 3 jenis daging unggas dan banyaknya konsumsi daging unggas tiap rumah tangga per tahun adalah sebagai berikut :
359
Harga ( Rp. / Kg ) Jenis ikan Satuan Konsumsi Th. 2009 2009
20010
Ayam
Kg
5
15.000
18.000
Itik
Kg
10
17.000
30.000
Bebek
Kg
15
13.000
25.000
a. Hitung angka indeks harga agregatif tertimbang dengan rumus Paasche untuk tahun 2010 dengan tahun dasar 2009. b.
Jelaskan pengertian dari angka indeks tahun 2010 dibandingkan
dengan angka indeks tahun 2009 pada soal butir ( a ) di atas.
360
DAFTAR PUSTAKA
Gunawan Ellen sitompul, dkk, 1996, Teknik Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi Jilid 1, Jakarta, Erlangga Soejipto Widyono, dkk, 1996, Teknik Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi Jilid 2, Jakarta, Erlangga Rojak Abdul, 2012, Pengantar Statistik, Malang, Intimedia Supardi, 2010, Pengantar Statistik Pendidik, Jakarta, Gaung Persada Press Suprianto J, 2008, Statistik Teori dan Aplikas Jilid 1, Jakarta, Erlangga
361
