Tudtad? – 11. Ezt a kérdést azért tesszük fel, mert lehet, hogy erre még nem gondoltál. Most tekintsük az 1. ábrát!
1. ábra Forrása: http://vmek.oszk.hu/02100/02152/html/04/img/2-14.jpg Itt különböző tetőalakokat szemlélhetünk. Írásunk mondandója: ~ ha mindegyik tetőnek az alaprajzi vetülete ugyanakkora Tvet területű, és ~ ha mindegyik tetőnek a tetősíkjai ugyanazon α hajlásúak, akkor ~ mindegyik tetőnek ugyanakkora az A felszíne. Ennek az a magyarázata, hogy a tetőfelszín ez esetben az alábbi képlettel számítható:
A=
Tvet . cos α
(1)
Ha a képlet jobb oldalán mindegyik mennyiség ugyanaz, akkor a bal oldal is ugyanaz lesz, mindegyik tetőalakra. Az ( 1 ) képlet – egyébként nem nehéz – igazolása megta lálható a szakirodalomban – [ 1 ] , [ 2 ]. Igaz, ( 1 ) bizonyítását először csak három -
2
szögekre adják meg, majd sokszögekre is kiterjesztik, azon az alapon, hogy egy sok szög háromszögekre bontható. Végül [ 1 ] - ben megjegyzik, hogy az állítás nem csak sokszögekre, hanem tetszőleges síkidomra is igaz. Mi pedig azt jegyezzük meg itt, hogy ezt a témakört – az ( 1 ) képlet igazolását általános esetben – már többször elő vezettük, ezért itt most másként járunk el: az 1. ábra szerinti néhány – alapvető – tetőalakra igazoljuk az ( 1 ) képlet érvényességét. Ez nem lesz nehéz, mert csak elemi geometriai ismereteket és egy kis türelmet, odafigyelést igényel. A jutalom nem marad el: a szakmai munkában történő magabiztos alkalmazás, ennek során pedig a helyes eredmények előállítása.
1. Félnyeregtető: 1 / 5. ábra Az igazolás részletezéséhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra A tetősík - idom területe:
A = h⋅a ;
(2)
de
b b = cos α → h = , h cos α
(3)
így ( 2 ) és ( 3 ) szerint:
A=
b a ⋅b ⋅a = ; cos α cos α
(4)
3
mivel esetünkben
Tvet = a ⋅ b ,
(5)
így ( 4 ) és ( 5 ) szerint adódik, hogy
A=
Tvet , cos α
egyezésben ( 1 ) - gyel. ☺
2. Nyeregtető: 1 / 1. ábra Most tekintsük a 3. ábrát!
3. ábra A szimmetria miatt a tetősík - idomok együttes területe:
A = 2⋅ h ⋅b ;
(6)
de
a/2 a = cos α → h = ; h 2 ⋅ cos α
(7)
így ( 6 ) és ( 7 ) szerint:
A = 2⋅
a a ⋅b ⋅b = , 2 ⋅ cos α cos α
ami ( 5 ) - tel ismét ( 1 ) - et adja. ☺
(8)
4
3. Kontytető: 1 / 2. ábra Most tekintsük a 4. ábrát!
4. ábra A tető felszíne két háromszög és két trapéz területének az összege: A = 2 ⋅ Thár + 2 ⋅ Ttrap = 2 ⋅ Thár + Ttrap ;
(
)
(9)
a háromszög területe:
Thár =
a ⋅ ma ; 2
( 10 )
a trapéz területe:
Ttrap =
b+t ⋅ mb ; 2
( 11 )
most ( 9 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel:
a ⋅ ma b + t A = 2⋅ + ⋅ mb = a ⋅ ma + ( b + t ) ⋅ mb , 2 2 tehát:
A = a ⋅ ma + ( b + t ) ⋅ mb .
( 12 )
5
Most meghatározzuk a ( 12 ) - höz szükséges mennyiségeket. A 4. ábra szerint:
a/2 a ; = cos α → mb = mb 2 ⋅ cos α
( 13 )
hasonlóan:
e e = cos α → ma = ; ma cos α majd ugyaninnen: m a = tgα → m = ⋅ tgα 2 a/2 m = tgα → m = e ⋅ tgα ; e
( 14 )
; a →e= , 2
tehát:
e=
a . 2
( 15 )
A 4. ábráról leolvassuk, hogy t = b − 2⋅e ,
( 16 )
majd ( 15 ) és ( 16 ) szerint:
t =b−a .
( 17 )
Ezután ( 13 ), ( 14 ) és ( 15 ) - tel:
ma =
e a = = mb , cos α 2 ⋅ cos α
tehát:
ma = mb =
a . 2 ⋅ cos α
( 18 )
Most ( 12 ), ( 17 ) és ( 18 ) szerint:
a a a2 2⋅b⋅ a a2 a ⋅b A = a⋅ + (b + b − a ) ⋅ = + − = , 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos α 2 ⋅ cos α cos α tehát:
6
A=
a ⋅b . cos α
( 19 )
( 19 ) - ből ( 5 ) - tel adódik ( 1 ). ☺
4. Sátortető: 1 / 3. ábra Itt fennáll, hogy a sátortető a kontytető speciális esete, amikor is
t=0 ,
( 20 )
így ( 17 ) és ( 20 ) szerint: b=a.
( 21 )
Most ( 19 ) és ( 21 ) - gyel:
a2 A= ; cos α
( 22 )
mivel itt
Tvet = a 2 ,
( 23 )
ezért ( 22 ) és ( 23 ) - ból ismét ( 1 ) következik. ☺
5. Csonka kontytető: 1 / 4. és 1 / 6. ábrák Itt már nem végzünk számításokat, hanem érveléssel dolgozunk; azon előbbi, a ( 8 ), ( 19 ), ( 5 ), ( 1 ) képleteken nyugvó felismerés alapján, hogy egy nyeregtetőnek és egy kontytetőnek megegyezik a felszíne, ha vetületi területeik és tetőhajlásuk azonos. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! A csonka kontytető testét két részre oszthatjuk: ~ egy vízszintes síkkal csonkított – alsó – nyeregtetőre, valamint ~ egy kis – felső – kontytetőre. Minthogy a felső kontytető - darab felszíne megegyezik a befoglaló kis nyeregtető felszínével, így az alsó / csonkított és a felső / kiegészítő nyeregtető - részek együttes felszíne megegyezik a nagy befoglaló nyeregtető felszínével, ami pedig ( 1 ) szerinti. Ezzel beláttuk, hogy a csonka kontytető felszíne is az ( 1 ) képlettel számítható.
7
5. ábra
6. Oromzatos kontytető: 1 / 7. és 1 / 8. ábrák Itt is úgy érvelhetünk, mint az 5. pontban: a teljes tető - testet két részből állónak fogva fel – 6. ábra – : ~ egy vízszintes síkkal lecsonkolt kontytető – alsó tetőrész – , valamint ~ egy ráhelyezett nyeregtető – felső tetőrész – összegeként. Minthogy a felső nyeregrész felszíne megegyezik az általa befoglalt kontyrész felszínével, az alsó és a felső kontyrészek együttes felszíne megegyezik egy teljes kontytető felszínével, amit viszont ( 1 ) - gyel számíthatunk. Így tehát beláttuk, hogy az oromzatos kontytető felszíne is az ( 1 ) alapképlettel adódik. Meg kell azonban itt jegyezni, hogy az oromzatok területe – itt két függőleges síkú háromszög területe – nem számít bele a tetőidom felszínébe: azt külön meg kell határozni, ha például burkolni kell.
8
6. ábra
7. Bukós tető: 1 / 9. ábra Ez legyen egy önállóan megoldandó feladat az érdeklődő Olvasó számára! Itt megjegyezzük, hogy még nem találkoztunk ezzel a tetőalak - megnevezéssel; talán a népnyelvi szakkifejezésekkel is foglalkozni kellene.
Irodalom: [ 1 ] – Dezső Ágnes ~ Édes Zoltán ~ Sárkány Péter: Középiskolai matematikai lexikon Corvina, Budapest, 1997. [ 2 ] – Strommer Gyula: Geometria Tankönyvkiadó, Budapest, 1988.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. október 30.
