TÁMOP-3.1.4-08/2-2009-0011 „A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben”
Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint
Készítette: Nagy András Vasvár, 2010. június
Az óra jellemzői:
Osztály:
11.
Tantárgy:
Matematika
Téma:
trigonometria
Az óra címe:
trigonometrikus függvények és transzformációik
Az óra típusa:
ismétlő, rendszerező
Felhasznált segédanyagok:
• fénymásolt lap • vonalzó, táblafilcek, számológép • GeoGebra matematikai program • Microsoft Office PowerPoint 2003 • Projektor
Az óra előzményei: A tananyag helye a tematikában: A 11. évfolyamban tanítjuk a függvények témakörében belül. Az ide tartozó feladatok a szögfüggvények ismeretére épülnek, ismerni kell a függvénytani fogalmakat, függvény transzformációs lépéseket. Az ábrázolás során szükség lehet algebrai műveletekre, esetlegesen értéktáblázat készítése során, illetve zérushely, függvényértékek megállapításakor (egyszerű trigonometrikus egyenletek).
A tanulók előzetes ismeretei: • Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése. • Forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. • Függvény grafikonjának transzformációi
2
Az óra célja, követelményei: 1. Kognitív (értelmi) célok • Ismeret szintjén: A tanulók ismerjék a tananyaggal kapcsolatos fogalmakat. Ezeket tudják felidézni. Ismerjék fel és alkalmazzák a trigonometria és a függvénytranszformáció legfontosabb ismereteit. • Megértés szintjén: Tudják értelmezni az összefüggéseket és ezeket saját szavaikkal is tudják megfogalmazni. Tudjanak megfogalmazni fizikai, kémiai, biológiai törvényszerűségeket. • Alkalmazás szintjén: Lássák meg a problémákat, próbálkozzanak ezek megoldásával. Használják a matematikai jeleket, szimbólumokat.
2. Affektív (érzelmi-akarati) célok • Odafigyelés szintjén: A matematika iránti érdeklődés kialakítása, fenntartása. • Reagálás szintjén: Aktív részvétel a tanórai munkában. Együttműködés fejlesztése. • Az értékrendet tükröző viselkedés szintjén: Pontos, esztétikus munkavégzés. 3. Pszichomotoros (mozgásos) célok A feladatok megoldásának világos, áttekinthető rögzítése. Az eszközök – vonalzó, körző, számológép – pontos, helyes használata.
Közvetlen tanórai célok Az óra a középszintű érettségire való felkészülést segíti. Tudják a szögfüggvények általános definícióját. A trigonometrikus függvények (sin x, cos x, tg x) ábrázolása és jellemzése. Tudjanak néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) ].
3
Az óra felépítése
I.
Jelentés, óraszervezés
II.
Ismeretek, képletek összefoglalása, rendszerezése
III.
Feladatok
IV.
Összefoglalás
V.
Értékelés, házi feladat kijelölése
Szakmai gondolatmenet és munkafázisok I. Jelentés, óraszervezés
Tanári, tanulói tevékenységek, munkaformák és módszerek jelentés, naplóbeírás
II. Cím: Trigonometrikus függvények és transzformációik 1. Forgásszögek szögfüggvényeinek definíciója Minden valós számnak, mint radiánban (vagy fokban) megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza, valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinuszérték tartozik. Vizsgáljuk meg, hogy a forgásszögek szögfüggvényeit hogyan értelmezzük a koordináta-rendszerben! (A definíció összhangban van a hegyesszögeknél tanultakkal!)
Eszközök és feltételek napló
szögfvek kiterjesztése frontális munka
feladatlap projektor
2. Alapfüggvények grafikonjai Ismételjük át a sin x, cos x, tg x és ctg x a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdonságaikat! a) f(x) = sin (x) Jellemzés: 1. É.T.: R
projektor
önálló feladatmegoldás, (esetleg csoportokban), közös ellenőrzés
2. É.K.: [−1; 1]
alapfvek
3. Zérushely: sin x = 0 ⇒ x = kπ, k ∈ Z 4. Periódus: 2π 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő:
π
+ 2lπ , l ∈ Z 2 Szigorúan monoton csökkenő: π 3π + 2 mπ ≤ x ≤ + 2mπ , m ∈ Z 2 2
−
2
+ 2lπ ≤ x ≤
π
feladatlap projektor számológép
4
6. Szélsőérték: Maximumhely: x =
π 2
+ 2 nπ , n ∈ Z
Maximumérték: sin x = 1 3π Minimumhely: x = + 2 sπ , s ∈ Z 2
Geogebra prg. Táblafilc
Minimumérték: sin x = −1 7. Paritás: Páratlan, mert sin x = −sin (−x)
alapfvek
b) f(x) = cos (x) Jellemzés: 1. É.T.: R 2. É.K.: [−1; 1] 3. Zérushely: cos x = 0 ⇒ x =
π 2
+ kπ , k ∈ Z
4. Periódus: 2π 5. Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: 2lπ ≤ x ≤ π + 2lπ , l ∈ Z Szigorúan monoton növekvő: π + 2mπ ≤ x ≤ 2π + 2mπ , m ∈ Z 6. Szélsőérték: Maximumhely: x = 2nπ, n ∈ Z Maximumérték: cos x = 1 Minimumhely: x =π + 2sπ , s ∈ Z Minimumérték: cos x = −1 7. Paritás: Páros, mert cos x = −cos x
alapfvek
c) f(x) = tg (x) Jellemzés: π 1. ÉT: R\ + kπ , k ∈ Z 2 2. ÉK: R 3. Zérushely: tg x = 0 ⇒ x = lπ, l ∈ Z 4. Periódus: π 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő:
π
+ mπ < x <
π
+ mπ , m ∈ Z 2 2 6. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: Páratlan, mert tg x = −tg (−x) −
alapfvek
5
d) f(x) = ctg (x) Jellemzés: 1. ÉT: R\ {+ kπ } , k ∈ Z 2. ÉK: R 3. Zérushely: ctg x = 0 ⇒ x =
π 2
+ lπ , l ∈ Z
4. Periódus: π 5. Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: mπ < x < π + mπ , m ∈ Z 6. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: Páratlan, mert ctg x = −ctg (−x) 3. Transzformációs lépések A gyakorlatban sokszor nem egyszerű sin x vagy cos x függvény fordul elő, hanem ennél bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos függvénytranszformációval származtathatók. Műveletek és transzformációs lépések: f(x) = sin (x) alapfüggvény f(x) – c = sin (x) – 2 ⇒
⇒
c·f(x) = 2sin (x) f(x - c) = sin (x –
π 4
)⇒
f(c·x) = sin (2x) ⇒
frontális munka
fvtranszform
y tengely menti eltolás y tengely menti nyújtás / zsugorítás x tengely menti eltolás x tengely menti nyújtás / zsugorítás (periódus!)
III. Feladatok 4. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket A: f(x) = cos (x) – 2 B: f(x) = 2 sin (x) C: f(x) = sin (x +
π
4
szakértői mozaik alkalmazása transzformálások
)
D: f(x) = cos (2x) 5. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt
π f(x) = 4 cos x + + 5 2
Geogebra, táblafilc önálló ábrázolás közös ellenőrzéssel jellemzés közösen, a kivetített ábra alapján egy-egy jellemzőt egy-egy
5. feladat Geogebra, táblafilc
6
diák ismertet a táblánál
V. Összefoglalás A tanulóknak sokszorosított, kiosztott lap alapján.
frontális munka
feladatlap
(függvénytranszformációk.pdf)
VI. Értékelés, házi feladat kijelölése Házi feladat: A: f(x) = 2·cos (x) + 1 B: f(x) = 2 – 2 cos (x) C: f(x) = 2·sin (x –
π
4
Értékelem az osztály munkáját, megdicsérem a jól teljesítőket.
)
D: f(x) = 2 tg(x) + 2
7
