TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 2. előadás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-II/1

Tömegpont kinematikája, mozgásegyenletek a direkt kapcsolat, ha helyzetvektor ismert,

s(t ) -pályagörbe,

r r ( s (t )) -helyzetvektor,

a pillanatnyi sebesség: a gyorsulás:

r r& r r ( ( ) ) ( ( ) ) v s t = r s t = et v = et s&(t )

r r& r& r r & a ( s(t )) = v ( s(t )) = r ( s(t )) = enan + et at

r az inverz kapcsolat ha az a ( s (t )) ismert, tr r r v ( s(t )) = v0 + ∫ a (τ )dτ ,

a pillanatnyi sebesség:

τ =0

a helyzetvektor:

tr r r r ( s(t )) = r0 + ∫ v (τ )dτ ,

τ =0

PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-II/2

Speciális esetek, foronómiai görbék 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás,

r a (t ) ≡ 0, v (t ) = v = áll.

s = s0 + vt , 2. Egyenletesen gyorsuló mozgás, a gyorsulás:

at (t ) ≡ a = áll ,

a sebesség:

v (t ) = v0 + at ,


a megtett út:

t2 s(t ) = s0 + v0 t + a , 2

TFM/210/v/4/EA-II/3

3. A hajítás,

r r dv r a= = g = áll , dt

r r r v (t ) = v 0 + g ( t − t 0 ) hodográf

r r r r (t − t 0 ) r = r0 + v0 (t − t 0 ) + g 2

2

pályagörbe

hodográf

3.a. A szabadesés, 3.b. A vízszintes hajítás

v = gt , t2 h= g , 2

v x = v0 , s = v0 t , t2 v z = gt , h = g , 2 v = v 2x + v z2 ,


3.c. A ferde hajítás

x1 = v0 x t , v1z = v0 z − gt ,

t2 z1 = v0 z t − g , 2 TFM/210/v/4/EA-II/4

4. Mozgás görbe vonalú pályán, Emlékeztető: görbületi sugár

pályagörbe

r a helyzetvektor: r ( s (t )), a sebességvektor:

r dr ds r r r& v ( s(t )) = r ( s(t )) = = et v , ds dt a pályagörbe érintő vektora:

r et ( s(t ))

a gyorsulásvektor:

r r ( s(t )) r dv d e d v r r r& t = a (t ) = a ( s (t )) = v = v + et , dt dt dt 2 r r v r a (t ) = en + et at , [m/s 2 ], r r ρ det ds en 2 2 v = v v dv r r r ρ ds dt a = en a n + et a t , a n = , a t = = v& { r ρ dt e ρ n

a pályára merőleges irányú gyorsulás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

a pályamenti, tangenciális irányú gyorsulás TFM/210/v/4/EA-II/5

4.1. Mozgás görbe vonalú síkpályán, körmozgás, a tömegpont helyzetvektora:

r r r = R er (ϕ (t )),

a tömegpont elmozdulása:

r r r r ( ) ( ) ( ) dr t = r t + dt − r t = ds eϕ (t ), ds(t ) = R dϕ (t ), a tömegpont sebessége:

r dr ds r dϕ r r r v ( s(t )) = r& ( s(t )) = = eϕ R = eϕ v , ds dt dt kerületi/pálya sebesség nagysága: Rω = v ,

r r r eϕ = e z × er

ω = ϕ&

r r v = Rω eϕ a szögsebesség: ω = ϕ& ,

r r r r r r v = Rω eϕ = ωe z × er R = ω × r , r r ω r


r r r v =ω ×r, r r ω = ω ez

TFM/210/v/4/EA-II/6

a tömegpont gyorsulása:

r dv r r& ( ) ( ) a t =v t = , dt d r r r r& r r r& a (t ) = (ω × r ) = ω × r + ω × r dt 1

2

r r r r r r& r dω r r ω ×r = e z × r = Rϕ&&(t ) e z × er = Rϕ&&(t ) eϕ = at eϕ = at , dt r ϕ&& = ε eϕ ϕ&& = ε ω = ϕ&

1

r

r

r

r

ω& = ε = ω& e z = ϕ&& e z , r r& r r r at = ω × r = ε × r ,

r r r = R er ,

a t = Rε ,


r

ε -szöggyorsulás r

ε = ω& ⋅ e z

kerületi/szöggyorsulás, pályamenti gyorsulás, TFM/210/v/4/EA-II/7

a tömegpont gyorsulása:

r r r dv r r& r = R er , a (t ) = v (t ) = , dt d r r r r& r r r& a (t ) = (ω × r ) = ω × r + ω × r dt

Matematika:

1

2

r r r r r r r r r u × (v × z ) = (u ⋅ z )v − (u ⋅ v )z

2

r r r r r& r r r r r r r r r 2 2 ω × r = ω × (ω × r ) = (ω ⋅ r )ω − (ω ⋅ ω )r = −ω r = −ω R er = an r r r2 r r r r ω ⋅ω = ω = ω 2 ω ⊥ r ,→ ω ⋅ r ≡ 0 r r r r& r r r 2 an = ω × r = ω × (ω × r ) = −ω r ,

a n = − Rω 2 ,

a pályára merőleges irányú gyorsulás, centripetális gyorsulás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-II/8

A körmozgás gyorsulása

d r r r r r r r r r a (t ) = (ω × r ) = ω& × r + ω × r& = at + an , dt r r r& r r& r r r r ω = ε = ω& e z = ϕ&& e z , → ω × r = ε × r = at r r& r r r 2r r ( ) ω × r = ω × ω × r = −ω r = an

r r& r r r at = ω × r = ε × r , r r r r& 2 an = ω × r , = −ω r r r r = R er , a tömegpont gyorsulása:

r r r a (t ) = eϕ at + er an r r r a (t ) = eϕ Rε − er Rω 2 at = Rε = Rϕ&&, an PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

= − Rω 2

v2 = −vω = − , R TFM/210/v/4/EA-II/9

Egyenletes körmozgás: állandó sebességgel forgó mozgás Minthogy

ds = v = áll . v = Rω , ω = áll . dt a szögsebesség

pályasebesség

állandó,

Ha a szögelfordulás egyenletes, ϕ (t ) = ω t ,

a pályasebesség állandó ϕ& (t ) = ω , ϕ&&(t ) = 0,

a normális irányú, centripetális gyorsulás,

an

= − Rω 2

at = Rϕ&& = Rε = 0 nincs tangenciális,

v2 = −vω = − , R

pálya irányú gyorsulás, szöggyorsulás

egy teljes körülfordulás ideje a periódus idő ωT = 2π , T = 2π ω [s], a másodpercenkénti keringések száma:

a precenkénti keringések száma=fordulatszám:

1 ω f = = [ford/s] T 2π PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

ω 60 n = 60 f = = 60 [ford/perc] 2π T TFM/210/v/4/EA-II/10

4.2. Mozgás térgörbén, pl. állandó menetemelkedésű csavarvonal mentén (egy henger palástján), egy körmozgás és egy haladó mozgás eredője, a tömegpont helyzetvektora:

ϕ (t ) r r r r = R e r (t ) + he z , 2π ϕ (t ) = ω t , h a menetemelkedés szöge: tgα = 2 Rπ a tömegpont sebessége:

r der (t ) h r r& v =r =R + dt 2π r ω eϕ h r r r v = Rω eϕ + ω e z = vϕ 2π PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

dϕ r ez dt

ω r r eϕ + v z e z

TFM/210/v/4/EA-II/11

II. Kinetika Tömegpont kinetikája 1. Newton axiómái (törvényei) 1.1. Newton I. törvénye, a tehetetlenségi örvény, Minden test (anyagi pont) nyugalomban marad v. megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását, amíg más testek kölcsönhatásai mozgásállapotának megváltoztatására nem kényszerítik, Ha egy testre, tömegpontra ható erők eredője zérus, akkor a test nyugalomban van, n

r ∑ Fk = 0,

r r v ≡ 0, ill. v = áll.

k =1

Newton I, törvénye olyan vonatkoztatási, inercia rendszert jelent, amely a kölcsönhatásokat nem veszi figyelembe, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


1.2. Newton II. törvénye, A mozgás megváltozása az m tömegpont mozgásmennyiségének, impulzusának/lendületének megváltozása okozza. Az m tömegpont impulzusa:

r r r r I (r , t ) = m v (r , t ),

m [I ] = kg ⋅ , s

Az m tömegpontra ható erő:

r r r& r dI r r m I (r , t ) = = F (r , t ), [F ] = 1kg ⋅ 2 = 1N , (newton), dt s r r r& dI d dv r r r r r I= = (m v ) = m = m a = F = m v& = m &r&, dt dt dt r r r r m = áll . F (r , t ) = m a (r , t ), Newton II. Ha több erő hat egy testre, azok hatásai összegződnek, (a lineáris n r r rendszeren a szuperpozíció érvényes),

F = ∑ Fi , k =1



1.3. Newton III. törvénye, hatás-ellenhatás, kölcsönhatás törvénye, Az akció erővel együtt mindig fellép egy vele azonos nagyságú, r r de ellentétes irányú reakcióerő, F − F = 0, g e Kiegészítések: a) Galilei-féle transzformáció, a K álló és a v állandó sebességgel mozgó K' rendszerekben a tömegpont gyorsulás és ennek megfelelően az erő ugyanakkora,

r r r r r& &r& & r = r ′ + v t , v = áll. r = r ′, b) D'Alambert elv, kinetikai egyensúlyi állapot áll fenn, ha

r r r r F (r , t ) − m a (r , t ) = 0,



1.4. Az erőtörvények alkalmazása a) Tömegpont körmozgásának kinetikája,

r r r = R er

r r r r r at = ω& × r = ε × r , r r r r an = ω × r& , = −ω 2 r

A körmozgás r r r r impulzusa/lendülete: I = m v = m ω × r , A körmozgásnál fellépő erők:

r r& d r r r r r r F = I = m (ω × r ) = m ω& × r + m ω × r& , dt r r r r r r r 2 F = m a = m ε × r − m ω r = Ft + Fcp ,

Newton II, centripetális erő,

2 r v r r r r r Fcp = m an = − er mR ω 2 = − m ω 2 r = − er mvω = − er m R r Newton III, a reakció erő, centrifugális erő, r Fcp = − Fcf r r r r r A pálya menti gyorsító erő: Ft = m at = m ε × r = eϕ mR ε , r r r ε e z × R er = εR eϕ PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


b) Bolygómozgás dinamikája, Newton-féle gravitációs törvény,

m1m2 , tömegvonzás lép fel, F = γ 2 r 2 Nm γ = 6,67 ⋅ 10 −11 2 , Cavendish, 1798 kg A föld felszínén 1 kg tömegre ható erő,

m F = 5,97 ⋅ 10 24 kg, DF = 1,274 ⋅ 107 m,

Fg = γ

mF ⋅ 1

( DF 2)

2

= 9,812 N ,

2π ⎡ rad ⎤ A Föld forgásából származó centrifugális erő: ω F = 24 ⎣⎢ óra ⎥⎦

Fcf = Fcp = ma n = m v 2 RF = m RF ω F2 = 0,0337 N, g = (Fg − Fcf ) 1 ≈ 9,81 m/s 2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


c) Testek súlya, a súlyerő, A gravitációs gyorsulásból a tömegpontra/testekre ható erő a súlyerő,

r r Fg = m g ,

m = 1kg

[Fg ] = 1kg ⋅

m

s

2

= 1N,

tömeg súlya Fg = mg = 1 ⋅ 9,81 = 9,81N ≈ 10N,

d) A súrlódási erő, d/1) A csúszó súrlódás, a súrlódási erő iránya ellentétes a mozgás irányával F = µ F = µ mg s ny

µ -a súrlódási tényező, a felület minőségétől függ d/2) A tapadási súrlódás, (nyugvó súrlódás) a felületek nem csúsznak el egymáson,

µ t > µ , µ t Fny > µFny ,

nyugvó tömeg elindításához nagyobb erő kell, mint mozgatásához, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


d/3) Súrlódás lejtőn való mozgásnál, az m tömegű test súlya: Fg = mg , a lejtő irányú erő: Fl = Fg sin α , a lejtő felületét nyomó nyomóerő:

Fny = Fg cosα , a súrlódási erő: Fs = µFny , A test gyorsuló mozgással lecsúszik a lejtőn, ha Fl ≥ Fs ,

Fgy = Fl − Fs = mg (sin α − µ cos α ) = ma , A megcsúszás határán:

µ=

sin α = tgα , cosα

Fl = Fs ,

a = g (sin α − µ cosα ),

mg sin α = µ mg cosα ,

µ -mérésének módja,



e) Rugóerő, lineáris kapcsolat az erő és a kitérés között, a visszatérítő erő arányos az elmozdulással

r r Fr ( x ) = − k xe x , ⎡N⎤ k⎢ ⎥ ⎣m ⎦

- a rugóállandó,

A mozgásegyenlet:

r d 2 x (t ) r r r r r e x = ma (t )e x = m a , Fr ( x ) = − k xe x = m &x&e x = m 2 dt A rugómozgás gyorsulása:

r kxe x d x (t ) r r r r ex = − , a = a (t )e x = &x&e x = 2 m dt 2



2. Az impulzus tétel, Az m tömegpont mozgásmennyiségének, impulzusának megváltozása a tömegpont kinetikai egyenletét eredményezi.

r r m = áll. az impulzus: I (r , t ) = m vr (rr , t ), r az erőhatás az impulzus r& r dI r r r r = F (r , t ) = m a (r , t ), I (r , t ) = megváltozásához vezet: dt r r r r d r r I (t 0 ) = m v 0 , ( ) ( (r , t )), , = m v F r t r r dt r I (t ) = m v , t r r mv r r r r r impulzustétel: ∫ F (r ,τ )dτ = ∫rd (m v ) = m v − m v0 = dI (r , t ), t0

m v0

r r r r r Ha F = áll. és t 0 = 0, r (0 ) = r0 , v (0 ) = v0 , r a mozgásegyenlet: r r (t ) r r F d r r r r r = v0 + at , Ft = m v − m v 0 , v ( t ) = v 0 + t = r dt m 1F 2 r r r r (t ) = r0 + v0 t + t , 2m PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


3. Tömegpont dinamikája, energiaviszonyok 3.1. A munka, az m tömegpont A pontból B pontba mozdítunk el, munkát végzünk,

r r r r dW = Ft (r ) dr = F (r ) ⋅ dr = F dr cos ϕ ,

r rB r r r W AB = ∫ dW = W B − W A = ∫ F (r ) ⋅ dr , r rA WA r rB r WB

r v W AB = ∫ F (r ) ⋅ dr , r rA

[W ] = 1Nm = 1J, ( joule ), r rB r r v W AB (t ) = ∫ F (r , t ) ⋅ dr , r rA PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


Tömeg mozgatása egyenletes sebességgel, r v = áll. az F erő út irányába eső komponense: Fm = F cosα ,

Fn = F sin α ,

a súrlódási erő:

Fny = Fg − Fn , az m tömeg akkor mozog állandó sebességgel, ha:

r ∑ Fk = 0, k

Fs = µ Fny ,

Fm = − Fs ,

ekkor a m tömegnek s úton való elmozdításakor végzett munka:

r r W = F ⋅ s = Fm s = Fs s ,

a súrlódás legyőzésére a rendszerbe betáplált munkavégző képesség:

r r W = F ⋅ s = − Fs s , PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


3.2. A kinetikus v. mozgási energia, az m tömegpont impulzusmegváltozása munkavégzést eredményez:

r r r W (t ) = ∫ F (r , t ) ⋅ dr = r r

r& r r ( ) I r , t ⋅ d r , ∫

r r

r r r r I (r , t ) = m v (r , t ),

r r 1 r 2 dv dr r r& r r r r W (t ) = ∫ m v (r , t ) ⋅ dr = ∫ m ⋅ dr = ∫ m v dv , Wm (t ) = m v (t ) , r r dr dt r 2 { r r v r r2 r r r 2 v r v = v ⋅ v = v = v2, egy v sebességgel mozgó tömegpont mozgási energiája : 1 r2 1 Wm (t ) = m v = m v (t )2 , 2 2 2 m m ⎛ ⎞ [Wm ] = 1kg⎜ ⎟ = 1kg 2 m = 1Nm = 1J, ⎝s⎠ s r r r r r r r r Wm (t ) = ∫ m v dv = ∫ I (r , t ) ⋅ dv , Wm (t ) = ∫ I (r , t ) ⋅ dv , r v

r v


r v


A gyorsító erő munkája, ha a húzóerő út irányú komponense nagyobb, mint a súrlódási erő:

Fm > Fs , Fgy = Fm − Fs , a súrlódási és a mozgató erők munkájának eredője gyorsítja a tömeget:

r r r Wm − W s = (F − Fs )⋅ s = Fgy s = ma s , ha a gyorsító erő állandó, v (0 ) = 0, kezdősebességnél s =

a 1 W gy = Wm − W s = ma t 2 = m (at )2 , 2 2

a 2 t , 2

v = at ,

1 1 W gy = m (at )2 = m v 2 , 2 2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


3.3. A helyzeti v. potenciális energia, Az m tömegű testre ható nehézségi erő:

Fg = mg ,

az m tömeget h magasságra felemelve a nehézségi erő leküzdésére befektetett munka:

r r Wh = Fg ⋅ h = mg h,

az m tömeg munkavégző képességét, potenciális energiáját növeli meg, az m tömeget h magasságról leejtve, a nehézségi erő munkát végez, az m tömeg elveszti munkavégző képességét, potenciális energiáját,

Wh = 0,



Emelés lejtőn, a nehézségi erő munkája,

r r az m tömeg súlyereje: Fg = m g , a súlyerő lejtő irányú komponense:

Fl = Fg sin α , a lejtő hossza:

l = h sin α ,

az m tömegnek a lejtőn h magasságig való emelésekor végzett munka, a helyzeti energia:

h Wh = Fe l = Fg sin α = mg h, sin α a nehézségi erő munkája a függőleges elmozdulástól függ, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


Rugóerő munkája, a rugó potenciális energiája, r r F = − k x , a rugóerő: r a rugót megfeszítő külső erő:

r r r Fk = − Fr = k x ,

az x távolságra megnyújtott rugó rugóerejének munkája: x

x r x2 r , Wr = ∫ Fr ( x ) dx = − ∫ kx dx = − k 2 0 0

a rugó megfeszítésekor a külső erő által a rendszerbe betáplált munka, a rugó potenciális energiája:

x2 , Wk = −Wr = k 2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


3.4. A belső energia, a súrlódási hő, a súrlódási erő: Fs = µ Fg = µ mg , az m tömeg állandó sebességgel mozog

r r F = − Fs ,

a súrlódás legyőzésére a rendszerbe betáplált munka/energia hővé alakul:

r r W gen = F ⋅ s = − Fs s = Whő , 3.5. A forgató nyomaték, r r r r r r r r r r r M = r × F = r × (Ft + Fcp ) = r × Ft , M = r × F, 1r4424 4 3 r r r r Fcp →r ×Fcp =0

r r r r r r r M = r × Ft = r1×42 m (ε43 × r ) = mr 2ε , (rr⋅rr )⋅εr = r 2εr forgatónyomaték a tangenciális erőből származik, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


3.5.1. Erőátviteli eszközök, az emelő forgási középpontjára a hatóerő és a súlyerő forgatónyomatéka azonos, egyensúly lép fel,

Az emelő:

az F erő munkája fedezi az m tömeg felemelésének munkáját:

Femelő x1 = Fg x2 , az emelő erő:

x Femelő = Fg 2 , x1

az m tömeg függőleges elmozdulása az α fordulási szög egyenlőségéből:

tg(α ) = y2 x2 = y1 x1 , PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

x2 y2 = y1 , x1 TFM/210/v/4/EA-II/29

A csiga:

súlyerő és a húzóerő nyomatéka egyenlő, a csiga mindkét oldalán a kötélben ugyanakkora erő ébred: F = Fg , az emelő erő: F = Fg ,

az m tömeg függőleges elmozdulása során a munkavégzés azonos a húzóerő által végzett munkával:

W Fg = W F , → Fg ⋅ h = F ⋅ z

a teher emelkedése : h = z , a mozgó csiga egyik szára a súlyerő felével emel, a kötelek elvágásakor az álló csiga kötélereje, a húzóerő, a súlyerő fele: F = Fg 2 , az m tömeg emelkedése során a a súlyerő és a húzóerő munkája azonos, így :

Fg h = F z , h = z 2 , PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


a 2. számú mozgó csigára rögzített súlyerővel a három kötélerővel tart egyensúlyt, amelyek nagysága: F 3 g

1 3

2

a 3. számú rögzített tengely körül elforduló csiga köteleiben a súlyerő harmada lép fel, a két kötélerő forgatónyomatéka egyensúlyban van, az 1. számú csiga köteleiben fellépő erők forgatónyomatékai egyenlőségéből az emelőerő: F = Fg 3 , az elemlőerő munkája fedezi a súlyerő emeléséhez szükséges munkát,

W Fg = W F , a teher emelkedése : h = z 3, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


3.6. A teljesítmény,

∆W dW (t ) = , P (t ) = lim az időegység alatt P (t ) = W& (t ), dt dt →= ∆t végzett munka Nm J a teljesítmény: [P ] = 1 = 1 = 1W (watt ), s s r r r elemi úton való elmozduláskor végzett munka: dW (t ) = F (r , t ) ⋅ dr , r r r& r r& r r r d r r r r r& P (t ) = ∫ F (r , t ) ⋅ dr = ∫ F (r , t ) ⋅ dr + ∫ F (r , t ) ⋅dr = ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dv , r r r r dt rr r r r v

r& r r& r r r P (t ) = ∫ F (r , t ) ⋅ dr + ∫ I (r , t ) ⋅ dv , r r

r v

teljesítményt az erő és a mozgásmennyiség/impulzus időbeli megváltozása eredményez,

r r r r Ha F (r , t ) = F (r ), időben állandó: r r r P (t ) = ∫ F (r ) ⋅ dv , r

r r Ha F ,v , időben állandó: r r P = F ⋅v

v



4. A konzervatív erőtér, tömegpontot elmozdítva A-B-A mechanikai értelemben nincs munkavégzés Br

r Ar r ∫ F ⋅ ds + ∫ F ⋅ ds = 0 ,

rA ( s1 )

Br

Ar r Br r r ∫ F ⋅ ds = − ∫ F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds ,

rA ( s1 )

rB ( s2 )

rA ( s2 )


rB ( s2 )

r r ∫ F ⋅ ds = 0,

r s

a végzett munka nem függ az út alakjától, csak az elmozdulás végpontjaitól függ,


5. A mechanikai energia-megmaradás tétele, egy mechanikai rendszer összes energiája állandó,

r r Wm + Wh + W s + ∫ F ⋅ dr = áll, r r

A mechanikai energiaegyensúlyi egyenlet, egy mechanikai rendszerbe betáplált energia fedezi egyrészt a rendszer belső energiájának megváltozását, másrészt a rendszer munkavégzésre fordított energiáját, a rendszerbe betáplált energia: W gen ,

r r W gen = Wbelső + ∫ F ⋅ dr , s

a rendszer belső energiája: Wbelső ,

r r a rendszer munkavégző képessége: ∫ F ⋅ dr , s



5.1. A helyzeti és a mozgási energia kapcsolata, Wh = mgh,

1 Wm = mv 2 , 2 energia diagram:

egy m tömegpontot h magasságból leejtve elveszti potenciális energiáját, a rendszerben felhalmozott belső energiáját, a tömegpont a talajra v sebességgel érkezik, mozgási energiával rendelkezik, helyzeti energia

mozgási energia

1 Wh = mgh = mv 2 = Wm , 2

a rendszer össz-energiája állandó:

1 Wh + Wm = mgh + mv 2 = áll , 2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


5.2. A kinetikai energia és a gyorsító erő munkája, r r r egy m tömegpontot v1 sebességről v2 sebességre gyorsít egy F erő, a tömegpont mozgási energia megváltozását

energia diagram:

1 1 dWm = mv 22 − mv12 , 2 2 az F gyorsító erőnek a dx = x2 − x1 úton végzett munkája fedezi

W gy = F dx = F ( x2 − x1 ), dWm = W gy , dWm + W gy = áll , a rendszer összenergiája állandó

W = Wm1 + dWm + W gy = áll , PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


5.3. A kinetikai energia és a súrlódási erő munkája, a tömegpontra ható erő egyensúlyt tart a súrlódási erővel, egyenletes a mozgás:

F = − Fs = − µFg = − µ mg ,

energia diagram:

a v sebességgel mozgó test kinetikai energia megváltozása fedezi az s úton fellépő súrlódási veszteséget: W = F s = µ mg s , s

1 1 dWm = mv12 − mv 22 = W s = µ mg s , 2 2 a rendszer össz-energiája állandó

Wm1 = Wm 2 + dWm + W s = áll , PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


6. Az impulzus-megmaradás tétele, egy mechanikai rendszerben két tömegpont kölcsönhatásba kerülhet, a két tömegpont összeütközik, mozgásállapota megváltozik,

r r r& r& r& Newton III. törvénye: F1 = − F2 , → I1 = − I 2 , → ∑ I k = 0, r kr dI k d r = ∑ I k = 0, ∑ ∑ I k = 0, dt dt k k k az impulzus-megmaradási tétel: ∑ m vr = 0, k k

az impulzus megváltozása erőhatás fellépésével jár,

r r I 2 r t2 r r r dI r = F , dI = Fdt , r∫ dI = ∫ Fdt , dt I t 1

1

t2 r r r r r r r r dI (r , t ) = I1 (r , t1 ) − I 2 (r , t 2 ) = ∫ F (r , t )dt , t1



Ellenőrző kérdések • Foglalja össze a görbe vonalú-, és a körmozgás mozgástörvényeit, • Foglalja össze Newton törvényeit, • Ismertesse Newton törvényeit, és az impulzus megmaradás tételét, • Ismertesse a munka és a teljesítmény fogalmát és meghatározásának módját, • Ismertesse a helyzeti-, és a mozgási energia fogalmát és meghatározásának módját, • Ismertesse a forgó mozgásnál fellépő forgatónyomaték fogalmát és meghatározásának módját, • Ismertesse a konzervatív erőtér fogalmát és az energia-, és az impulzus-megmaradás tételét.



Irodalom Tankönyv Ivanyi A. Transzport folyamatok modellezése, előadás vázlat, www.e-oktat.pmmf.pte.hu

Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010. Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, ISBN 963 577 197 5, (4, 5, 6, 7, 8 fejezetek) Ajánlott irodalom: M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, (szerk), Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997, ISBN 963 19 2353 3, Felhasznált irodalom: Béda Gyula, Bezák Gáspár, Kinematika és dinamika, Műegyetemi Kiadó, 1989. ISBN 963 420 596 8 Györgyi József, Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2003, ISBN 963 420 712 X Szőke Béla, Fizika 2, Előadás vázlat, 2004.



Gyakorló feladatok, a) Megoldandó feladatok a körmozgás témaköréből. b) Feladat megoldások Newton mozgástörvényének alkalmazásával, az erő, a munka, az energia, a teljesítmény, a konzervatív erők és energia-, és impulzusmegmaradás témaköréből.

Tankönyv, Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, IV. fejezet, 4-1, 4-2, 4-4, 4A-10, 4A-11, 4B-21, 4C-27 feladatok, V. fejezet, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5, 5-6, 5-7, 5-8, 5-9, 5-11, 5-14, 5B-15, 5B-19, 5B-21, 5B22, 5B-31, 5A-29, 5B-31, 5A-33, 5B-35, 5B-38, 5B-50, 5B-51, 5B-52, 5B-55, 5B-56, 5B61, 5B-64, 5B-65 feladatok. VI. fejezet, 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6, 6-8, 6-9, 6-10, 6-12, 6-14, 6-15, 6-16, 6B-6, 6B-8, 6B-10, 6B-14, 6B-15, 6A-16, 6B23, 6A25, 6B28, 6B30, 6A-49, 6C-62, feladatok, VII. fejezet, 7-1, 7-2, 7-3, 7-4, 7-5, 7-6, 7-7, 7-8, 7A-6, 7A-10, 7B-12, 7B-13, 7B-15, 7B16, 7B-18, 7B-24, 7C-46, 7C-49, feladatok, VIII. fejezet, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5, 8-6 feladatok.

Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010. 3.9. Feladatok, A tömegpont kinetikája, 3.9.1. Feladat – 3.9.30. Feladat. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék


TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

Recommend Documents