TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 1. előadás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/1

Transzport folyamatok modellezése Tárgya: az anyagi világ objektív tulajdonságainak megismerése, a mozgásban lévő anyag törvényszerűségeinek megismerése, Módszere: - megfigyelés - kísérlet - törvényszerűségek megfogalmazása - elméletek kidolgozása - kísérleti igazolása - alkalmazása, Nyelve: matematika,

A fizikai mennyiségek jelölése: - skalár mennyiségek, x = x n ⋅ η

η

- a változó mértékegysége, xn - a változó értéke a választott mértékegység rendszerben,

r

r

-vektor mennyiségek, x = e x x n ⋅ η η - a változó mértékegysége, xrn - a változó értéke a választott mértékegység rendszerben, e x - a változó irányába mutató egységvektor, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/2

Mértékegységrendszer I •1889 Párizs, Nemzetközi Súly és Mértékügyi Szervezet (m, kg, s) •1960 SI mértékegység rendszer

Fizikai alapmennyiségek SI egységei Fizikai mennyiség

Egység neve

Jele

Tömeg

kilogramm

kg

Hosszúság

méter

m

Idő

másodperc

s

Elektromos áram

Amper

A

Hőmérséklet

Kelvin

K

Fényerősség

kandela

cd

Anyagmennyiség

mól

mól

PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/3

Mértékegységrendszer II SI-prefixumok 1018

E

exa-

10-1

d

deci-

1015

P

peta-

10-2

c

centi-

1012

T

tera-

10-3

m

mili-

109

G

giga-

10-6

µ

mikro-

106

M

mega-

10-9

n

nano-

103

k

kilo-

10-12

p

piko-

102

h

hekto-

10-15

f

femto-

101

da

deka-

10-18

a

atto-

Koherens mértékegység rendszer: egymásból származtatott egységek


TFM/210/v/4/EA-I/4

A transzport folyamatok modellezése és a Fizika kapcsolata, -Mozgástan,

- kinematika, - statika, - kinetika, - szilárdságtan,

-Áramlástan, - Hőtan, - Hullámtan, -Villamosságtan, (Fizika I) - Elektromágneses hullámok, - Optikai hullámvezetők, - Hangtan, - Részecske-fizika, - Kvantum mechanika, - Mikro-, és nano-technológiák, stb. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/5

A Transzport folyamatok modellezésének informatikai kérdése

modell

a gerjesztés válasz kapcsolat:

y (t ) = H {s(t )}, a rendszer operátora:

H {•} = ? A vizsgálatok célja megismerni a rendszer operátorát PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/6

A rendszer operátora:

H {•} = ?

s1 (t ) → y1 (t ) = H {s1 (t )},

s2 (t ) → y2 (t ) = H {s2 (t )}, s(t ) = s1 (t ) + s2 (t ) → y (t ) = H {s1 (t ) + s2 (t )} = y1 (t ) + y2 (t ),

a) lineáris, ha

a szuperpozíció elv fennáll,

b) invariáns, ha

s(t ) → y (t ) = H {s(t )}, s(t − T ) → y (t − T ) = H {s(t − T )},

időben késleltetett gerjesztéshez késleltetett válasz tartozik,

c) kauzális, ha

s(t ) → y (t ) = H {s (t )}, y (t a ) = H {s(t ), : t ≤ t a , y (t ) : t < t a },

ta időpillanatbeli választ a ta időpillanatbeli vagy korábbi gerjesztések, valamint a ta időpillanatnál korábbi válaszok hoznak létre, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/7

Dinamika

I. Kinematika A kinematika: két tömegpont/test egymáshoz viszonyított térbeli helyzetének időbeli megváltozásával, a mozgás leírásával foglalkozik, A statika: a mozgás speciális esetét, a nyugalom feltételét tárgyalja. Ekkor két test egymáshoz viszonyított helyzete időben nem változik,

Az anyagi pont, tömegpont: részecske v. test, amely tömege és mérete elhanyagolható a mozgásra vonatkozó egyéb méretekhez képest, A merev test: - a test alakja a mozgás során nem változik, - kontinuum, a teret folytonosan tölti ki, - anyagi pontok összessége, tömege és mérete van, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/8

A testek mozgása térben és időben történik, A tér – metrikus, a Newton-i, klasszikus mechanikában a térben történő mérés eredménye nem függ a mozgástól, a mozgó anyagtól, A tér egyes pontjainak helyzetét egy rögzített koordináta, v. vonatkoztatási rendszerben r a r helyzetvektor írja le, r a helyzetvektor hossza r , mértékegysége: méter [m],

(1m = 10− 3 km = 102 cm = 103 mm = 106 µm ) Az idő a klasszikus mechanikában független a testek egymáshoz viszonyított mozgásától és a mozgó anyagtól, a tér minden pontjában azonos módon, egyenletesen telik, mértékegysége a másodperc, szekundum [s],

(1s = 103 ms = 106 µs) PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/9

Skalár és vektormennyiségek Skalár mennyiség: jellemzője, nagysága, mértékegysége, (pl. 5 kg) Vektormennyiség: jellemzője, nagysága, iránya, mértékegysége, pl. F=3N.

Vektor r

A P (r ) pont helye az ortogonális, Descartes koordináta rendszerben r r r r r P (r ) , r = x e x + y e y + z e z r x , y , z - az r helyzetvektor koordináta vetületei, rendezői PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/10

Két vektor összege

r r r r = r1 + r2 r r r r r1 = x1 e x + y1 e y + z1 e z r r r r r2 = x2 e x + y2 e y + z 2 e z

r r r r r = ( x1 + x2 ) e x + ( y1 + y2 ) e y + ( z1 + z 2 ) e z

Két vektor különbsége r r r r = r1 − r2

r r r r r = ( x1 − x2 ) e x + ( y1 − y2 ) e y + ( z1 − z 2 ) e z PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/11

Vektorok skalár szorzata=skalár mennyiség r r e x ⋅ e x = 1, r r r r e y ⋅ e y = e z ⋅ e z = 1. r r ∆r r r = r1 ⋅ r2 = r1 r2 cos ϕ12

r r e x ⋅ e y = 0, r r r r e y ⋅ e z = e z ⋅ e x = 0.

r r r r r r r r r1 ⋅ r2 = (x1e x + y1e y + z1e z )⋅ (x2e x + y2e y + z 2e z ) r r r1 ⋅ r2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 r r r r r r r1 ⋅ r2 = r2 ⋅ r1 = r2 r1 cos ϕ12

r r r r u⋅v = v ⋅u

r r1 vetülete PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/12

Vektorok vektoriális szorzata=vektor mennyiség r r r e x × e y = ez , r r r e y × ez = e x r r r ez × e x = e y .

r r r ∆r r r r = r1 × r2 = r1 ⋅ r2 sin ϕ12 ⋅ er r r r r r r er ⊥ (r1 , r2 ) r ⊥ (r1 , r2 ) r r r e x e y ez

r1 × r2 = x1 x2

y1 y2

z1 = z2

r r e x × e x = 0, r r r r e y × e y = e z × e z = 0.

(rr1 × rr2 ) = − (rr2 × rr1 )

r r r = e x ( y1 z 2 − z1 y2 ) − e y ( x1 z 2 − z1 x2 ) + e z ( x1 y2 − y1 x2 ). PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/13

A) Tömegpont kinematikája A mozgás leírása derékszögű koordináta rendszerben A derékszögű koordináta rendszer koordináta változói:

x1 , x2 , x3 ,

A koordináta tengelyek irányában történő elmozdulások esetén az megtett út:

ds1 = g1dx1 , ds2 = g2dx2 , ds3 = g3dx3 , g1 , g2 , g3 - koordináta függvények, A koordináta tengelyek irányába mutató egységvektorok:

r e1 , r e2 , r e3 ,


r r r e1 = 1, e1 ⋅ e2 = 0, r r r e2 = 1, e2 ⋅ e3 = 0, r r r e3 = 1, e3 ⋅ e1 = 0, TFM/210/v/4/EA-I/14

Descartes koordináta rendszer koordináta változói: x1 = x , x2 = y , x3 = z , a koordináta tengelyek irányában történő elmozdulások esetén a megtett út (pályaszakasz):

ds1 = dx , ds2 = dy , ds3 = dz , a koordináta függvények:

g1 = 1, g2 = 1, g3 = 1,

a koordináta irányú egységvektorok:


r r r e x , e y , ez ,

TFM/210/v/4/EA-I/15

Henger koordináta rendszer koordináta változói:

x1 = r ,

x2 = ϕ ,

x3 = z ,

a koordináta tengelyek irányában történő elmozdulások esetén az megtett út:

ds1 = dr , ds2 = rdϕ , ds3 = dz , a koordináta függvények:

g1 = 1, g2 = r , g3 = 1,

r r r e , e , e a koordináta irányú egységvektorok: r ϕ z, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/16

Gömbi koordináta rendszer koordináta változói:

x1 = r ,

x2 = ϑ ,

x3 = ϕ ,

a koordináta tengelyek irányában történő elmozdulások esetén az megtett út:

ds1 = dr , ds2 = r dϑ , ds3 = r sin ϑ dϕ , a koordináta függvények:

g1 = 1, g2 = r , g3 = r sin ϑ ,

r r r a koordináta irányú egységvektorok: er , eϑ , eϕ , PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/17

A mozgás leírása Az anyagi pont térbeli és időbeli helyváltoztatása az r r (t ) helyzetvektorral adható meg, amely az anyagi pont mozgástörvényét írja le. A mozgástörvény: r az r helyzetvektornak az s pályagörbén való mozgása, A helyzetvektor és a pályagörbe kapcsolata:

r r r t = t 0 , s(t 0 ) = s0 , r (t 0 ) = r ( s (t 0 )) = r0 , r r r ( ) ( ) ( ( ) ) t = t1 , s t1 = s1 , r t1 = r s t1 = r1 , r r r ( ) ( ) ( ( ) ) t, s t = s, r t = r s t = r,


TFM/210/v/4/EA-I/18

A pályagörbe, görbületi sugár, a pálya síkja, binormális Az s (t ) pályagörbén ds pályaszakasz r megtételekor a helyzetvektor dr értékkel változik meg, r

r en

et - a pálya érintője irányába r r dr ≈ et ds , mutató egységvektor, r r r dr r dr r et = , dr ≈ ds et = r , ds dr

A pálya irányába eső egységvektornak a pályagörbe menti deriváltja:

r r et ⋅ et = 1,

r r r d e det r r det d r r (et ⋅ et ) = ⋅ et + et ⋅ = 2ert ⋅ t = 0, ds ds ds ds azaz a pálya irányába eső egységvektor és annak a pályagörbe menti deriváltja merőleges egymásra,


TFM/210/v/4/EA-I/19

A pálya irányába eső egységvektornak a pályagörbe menti deriváltja r a pályagörbére merőleges, en normális vektor,

r det r det r ds , en = r = ρ det ds ds

ρ = a pálya görbületi sugara r det 1 = a pálya görbülete G= = ds ρ r r et , en vektorok a pálya simuló síkját határozzák meg, r r r a pálya simuló síkjára merőleges a binormális vektor, et × en = b


TFM/210/v/4/EA-I/20

A sebesség, pályasebesség A helyzetvektor a pályagörbe pontjai mentén mozog

r r r (t1 ) = r1 , r r t = t 2 , s(t 2 ) = s2 , r (t 2 ) = r2 , r r r2 − r1 r közepes v. átlagsebesség v k = , [m/s], t 2 − t1 t = t1 ,

s (t1 ) = s1 ,

r r r r r − r d r r d r r r& pillanatnyi sebesség v (t1 ) = lim 2 1 = , =r v (t ) = t = t1 dt t 2 → t1 t 2 − t1 dt r ha a helyzetvektor r ( s (t )) , akkor a pillanatnyi sebesség a pályagörbe érintője irányába mutat

r ds r r r dr ds r v (t ) = r& = = et s& = et v , = s& = v ds dt dt pályasebesség


r r& r r v (t ) = r = et s& = et v TFM/210/v/4/EA-I/21

A gyorsulás és komponensei A helyzetvektor a pályagörbe pontjai mentén mozog, a pillanatnyi sebesség a pályagörbe érintője irányába mutat

r r ( ) t = t1 , r t1 = r1 , r r r ( ) v t1 = v1 = et s&(t1 ), r r ( ) ( ) t = t 2 , s t 2 = s2 , r t 2 = r2 , r r r ( ) v t 2 = v 2 = et s&(t 2 ), s (t1 ) = s1 ,

A tömegpont gyorsulása

r r r v −v dv r a (t1 ) = lim 2 1 = dt t = t1 t 2 → t1 t 2 − t1 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

r dv r& &r& r = v = r , [m/s 2 ], a (t ) = dt

TFM/210/v/4/EA-I/22

A helyzetvektor a pályagörbe pontjai mentén mozog, a pillanatnyi sebesség a pályagörbe érintője irányába mutat

r r r r r& ( s(t )) = v ( s(t )) = et ( s (t )) s&(t ) = et ( s(t )) .v (t ), r r dv ( s(t )) det ds dv r r = a (t ) = v + et ( s(t )) dt ds dt dt r en ρ v ⎛r 1 2 r ⎞ r a (t ) = ⎜ en v + et at ⎟ [m/s 2 ] ⎝ ρ ⎠

r en an a pályagörbére merőleges irányú gyorsulás komponens PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

r et a t

r r r a = en a n + et a t

a pályagörbe érintője irányú gyorsulás komponens TFM/210/v/4/EA-I/23

A gyorsulás a pályagörbe simuló síkjában van, azaz merőleges a binormális vektorra,

r r ⎛r 1 2 r ⎞ r a ⋅ b = ⎜ en v + et a t ⎟ ⋅ b = 0 ⎝ ρ ⎠

r r ⎛r 1 2 r ⎞ r r a ⋅ b = ⎜ en v + et at ⎟ ⋅ (et × en ) ⎝ ρ ⎠ Matematikai azonosság, a vektori szorzat ciklikus:

r r r r r r r r r z ⋅ (u × v ) = u ⋅ (v × z ) = v ⋅ ( z × u )

r r 1 2r r r r r r a ⋅ b = v et (en × en ) + at (et × et ) ⋅ en = 0 ρ

0 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

0 TFM/210/v/4/EA-I/24

Összefoglalva

s(t ) -pályagörbe,

r r ( s (t )) -helyzetvektor,

a pillanatnyi sebesség: vr ( s (t )) = rr& ( s (t )) = ert v = ert s&(t )

r et - a pályagörbe érintő irányú egységvektora, v (t ) = s&(t ) - pályasebesség,

a gyorsulás:

r r& r& r r & a ( s(t )) = v ( s(t )) = r ( s(t )) = enan + et at

1 2 an = v , - a pályagörbére merőleges irányú gyorsulás, ρ

at = v& = &s&, - a pályagörbe menti gyorsulás,

ρ - a pályagörbe görbületi sugara, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/25

Összefoglalva r a ha az ( s (t )) ismert, az inverz kapcsolat: a pillanatnyi sebesség:

r v (s (t )) =

t

r a ∫ (τ ) dτ =

τ = −∞

tr r r ∫ a (τ ) dτ + ∫ a (τ ) dτ = v0 + ∫ a (τ ) dτ

0r

τ = −∞

t

τ =0

τ =0

r r v (t = 0 ) = v0 kezdeti érték, a megfigyelés

kezdetén a tömegpont sebessége

a helyzetvektor:

r r ( s(t )) =

t

r ∫ v (τ ) dτ =

τ = −∞

tr r r ∫ v (τ ) dτ + ∫ v (τ ) dτ = r0 + ∫ v (τ ) dτ

0r

τ = −∞

r r r (t = 0 ) = r0


t

τ =0

τ =0

kezdeti érték, a megfigyelés kezdetén a tömegpont helyzetvektora TFM/210/v/4/EA-I/26

Foronómiai görbék, a tömegpont mozgását szemléltető görbék, a (t ) = a t (t )

pályagyorsulás-idő karakterisztika, t

v (t ) = ∫ a (τ )dτ 0

v (t ) pályasebesség-idő karakterisztika, t

s(t ) = ∫ v (τ )dτ 0

s(t ) menetábra


TFM/210/v/4/EA-I/27

A kinematikai analízis feladata, H {s(t )} -ismert, adott gerjesztéshez keresett a válasz,

y (t ) = H {s(t )} = ?

A kinematikai szintézis feladata, adott válasz estén keresett a rendszer operátora és a gerjesztés,


TFM/210/v/4/EA-I/28

Speciális esetek, 1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás,

r a (t ) ≡ 0, v (t ) = v = áll.

s t ds = v , ds = vdt , ∫ ds = s − s0 = ∫ vdτ = vt , dt 0 s0

s = s0 + vt ,


TFM/210/v/4/EA-I/29

2. Egyenletesen gyorsuló mozgás, at (t ) ≡ a = áll , r r ha a t = 0 pillanatban v (0 ) = v0 , s (0 ) = s0 , a sebesség:

dv (t ) a= , dt

v

t

v0

0

v (t ) = v0 + at ,

∫ dv = v − v0 = ∫ adτ = at ,

r r r r r⎞ ⎛ ⎜ t = vr = vr ⋅ ar = v ⋅ a ⎟, ⎜ a a a ar 2 ⎟ ⎠ ⎝ s t ∫ ds(τ ) = ∫ v (τ )dτ ,

v − v0 a gyorsuló mozgás ideje: t = a a megtett út:

ds(t ) v (t ) = , dt

t

s0 t2

s − s0 = ∫ (v0 + aτ )dτ = v0 t + a , 2 0

0

t2 s(t ) = s0 + v0 t + a , 2

(

)

2 v − v0 a ⎛ v − v0 ⎞ 1 v 2 − v02 + ⎜ s ( t ) = s0 + v 0 , ⎟ = s0 + a a 2⎝ a ⎠ 2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/30

egyenletesen gyorsuló mozgás foronómiai görbéi


TFM/210/v/4/EA-I/31

3. A hajítás, Gallilei, Newton: a Föld közelében a gravitáció hatására fellépő mozgások leírása, A szabadon eső test g=9,81 m/s2 ~10 m/s2 gyorsulással esik a föld felé, A hajítás egy egyenes vonalú egyenletes mozgás és egy egyenletesen gyorsuló mozgás eredője,

r r r r A mozgástörvény: t = t 0 , v (t 0 ) = v0 , r (t 0 ) = r0 , A sebesség a t időpillanatban r v

r dv r = g, dt

t r r r r r ∫ dv = v − v0 = ∫ gdτ = g (t − t 0 ), r

v0

r r dv r a= = g = áll , dt

hodográf

t0

r r r v (t ) = v 0 + g ( t − t 0 )


TFM/210/v/4/EA-I/32

r dr r r r = v , dr = v dt , dt

A helyzetvektor: r r

t r r tr ∫r dr = ∫ v0dτ + ∫ g (τ − t 0 )dτ

r0

t0

r r r v (t ) = v 0 + g ( t − t 0 )

helyettesítéses integrál

t0

τ − t0 = x , dτ = dx , t − t0 2 r⎡ x ⎤

r r r r − r0 = v0 (t − t 0 ) + g ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦0

τ = t 0 , x = 0, τ = t , x = t − t0 ,

r r (t − t 0 ) = v0 (t − t 0 ) + g , 2 2

r r r r (t − t 0 ) r = r0 + v0 (t − t 0 ) + g 2

2

pályagörbe PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

TFM/210/v/4/EA-I/33

3.a. A szabadesés,

a=g=9,81 m/s2 , állandó,

v = v0 + gt , t2 h = h0 + v0 t + g , 2

v = gt t2 h= g 2

2h a h út megtételéhez szükséges idő: t = g h út megtétele után a sebesség:

2h v = gt = g = g


g2

2h = 2 gh g v = 2 gh

TFM/210/v/4/EA-I/34

3.b. A vízszintes hajítás, egy függőleges irányú gyorsuló mozgás és egy vízszintes irányú egyenletes sebességű mozgás eredője, a t=0 pillanatban vízszintes irányban: a x = 0, v x = v0 = áll. függőleges irányban: a z = g , v y = 0, a t pillanatban vízszintes irányban:

a x = 0, v x = v 0 , s = v 0 t pályagörbe

függőleges irányban:

t2 a z = g , v z = gt , h = g , 2 a sebesség vektor: v = v 2x + v z2 , a sebesség vektor iránya:


vz tg α = , vx TFM/210/v/4/EA-I/35

3.c. A ferde hajítás, α szög alatt hajítva el a tömegpontot, a sebesség komponensek: pályagörbe

v0 x = v0 cos α , v0 z = v0 sin α ,

a t=0 pillanatban

a t1 pillanatban

a x = 0, v x = v0 x = v0 cos α , x = 0, a z = − g , v z = v0 z = v0 sin α , z = 0,

v1 x = v0 x = v0 cos α , x1 = v1 x t1 = v0 cos α t1 , a z = − g , v1z = v0 z − gt1 = v0 sin α − gt1 , a x = 0,

t12 t12 z1 = v0 z t1 − g = v0 sin α t1 − g , 2 2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

v1 = v12x + v12z TFM/210/v/4/EA-I/36

v z = v0 z − gt = v0 sin α − gt = 0, v0 z v0 sin α = , t em = g g

Az emelkedés időtartama:

Az emelkedés maximális magassága: 2 t em , hmax = v0 z t em − g 2 2 v02z v0 z g ⎛ v0 z ⎞ , hmax = v0 z − ⎜ ⎟ = 2g g 2⎝ g ⎠

A süllyedés ideje:

g 2 v02z hmax = t s = 2 g , 2

ts =

v02z g2

=

v0 z g

hmax =

= t em ,

A teljes repülés ideje:

(v0 sin α )2 2g

,

2v0 z t rep = t em + t s = 2t em = , g


TFM/210/v/4/EA-I/37

A vízszintesen megtett út:

2v 0 z s = v0 x t rep = v0 x , g 2v0 cos α ⋅ v0 sin α s= , g Megjegyzés:

2 sin α ⋅ cos α = sin 2α


v02 ⋅ sin 2α s= , g

TFM/210/v/4/EA-I/38

Ellenörző kérdések • Mi a pályagörbe, a helyzetvektor, • Hogyan határozható meg egy tömegpont sebessége, gyorsulása, elmozdulása, • Milyen kapcsolat van a gyorsulás, sebesség és a megtett út között, ismertesse a fenti kapcsolatokat a forronómiai görbék segítségével. • Ismertesse az egyenes vonalú egyenletes és az egyenletesen gyorsuló mozgás törvényszerűségeit, • Ismertesse a vízszintes és a ferde hajítás mozgástörvényeit.


TFM/210/v/4/EA-I/39

Irodalom Tankönyv Iványi A. Transzport folyamatok modellezése, előadás vázlat, www.e-oktat.pmmf.pte.hu

Iványi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010. Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, ISBN 963 577 197 5, (1, 2, 3 fejezetek) Javasolt Irodalom: M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, (szerk), Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997, ISBN 963 19 2353 3, Felhasznált irodalom: Béda Gyula, Bezák Gáspár, Kinematika és dinamika, Műegyetemi Kiadó, 1989. ISBN 963 420 596 8 Györgyi József, Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2003, ISBN 963 420 712 X Szőke Béla, Fizika 2, Előadás vázlat, 2004.


TFM/210/v/4/EA-I/40

Gyakorló feladatok, a) Az SI mértékegység rendszer, távolság, idő, sebesség, gyorsulás egységei, átváltás az egységek között, mértékegység származtatás út, sebesség, gyorsulás esetén, b) Megoldandó feladatok a haladó mozgás, a gyorsuló mozgás (üldözési feladatok), és a hajítás témaköréből, Tankönyv, (TK): Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, ISBN 963 577 197 5, II. fejezet, 2-1, 2-4, 2-5, 2-8, 2-9, 2-10, 2B-17, 2B-18, 2B-21, 2B-26, 2A-30, 2B-36, 2B38 feladatok, III. fejezet, 3-8, 3-9, 3-10, 3B-16, 3B-17, 3B-18, 3B-19, 3-20, 3C-28, 3C-34, 3C-36, feladatok.

Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010. 2.4. Feladatok, Tömegpont kinematikája, 2.4.1. Feladat – 2.4.28. Feladat.


TFM/210/v/4/EA-I/41

TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

Recommend Documents