Transport Phenomena T b l Turbulensi i Dr. Heru Setyawan Jurusan Teknik Kimia FT-ITS
Ali Aliran llaminar i d dan tturbulent b l t
1
P Pemodelan d l T Turbulensi b l i {
{
Semua pendekatan yang telah kita bahas sampai sejauh ini berlaku untuk aliran laminar. laminar Dalam D l aliran li turbulent b l kita ki pecah h distribusi kecepatan dan tekanan menjadi komponen rata-rata rata rata dan fluktuasi. 2
C t h aliran Contoh li tturbulent b l t
Aliran dekat silinder
Aliran Turbulent dalam Coaxial Jet Combustor dengan Swirl 3
Rata rata dan S Rata-rata Suku k flfluktuasi kt asi
4
T b l Turbulensi i {
Kita bisa memecah komponen kecepatan menjadi jumlah kecepatan rata-rata rata rata (waktu) dan komponen fluktuasi.
vx = vx + v
' x
vy = vy + v vz = vz + v
' y
' z 5
T b l Turbulensi i {
Jika kecepatan ini disubstitusikan kedalam persamaan kontinuitas kita dapatkan:
∂vx ∂vy ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z
Catatan: Ini adalah bentuk “rata-rata waktu” persamaan kontinuitas. 6
T b l Turbulensi: i N Navier i St Stokes k {
{
Persamaan Navier Stokes berlaku untuk keduanya aliran turbulent and laminar. laminar Disini Di i i ki kita juga j akan k memecah h tekanan menjadi komponen ratarata dan fluktuasi:
p = p + p' 7
T b l Turbulensi: i N Navier i St Stokes k {
{
Substitusi definisi f kecepatan dan tekanan kedalam persamaan Navier Stokes. Stokes N i S k asli: Navier-Stokes li
⎛∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂p (ρvx) + ⎜⎜ ρvxvx + ρvyvx + ρvzvx = − + µ∇2vx + ρgx ∂t ∂y ∂z ∂x ⎝ ∂x ⎠
Komponen x (ingat bentuk persamaan ini adalah sebelum kontinuitas disubstitusikan kedalamnya)
8
T b l Turbulensi: i N Navier i St Stokes k {
Substitusikan kedalam bentuk turbulen kecepatan dan tekanan menghasilkan:
∂ ∂ ∂ ∂ ' ' ' ' ' ρ(vx + vx) + ρ(vx + vx)(vx + vx) + ρ(vy + vy)(vx + vx) + ρ(vz + vz' )(vx + vx' ) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂( p + p' ) =− + µ∇2(vx + vx' ) + ρgx ∂x
9
T b l Turbulensi: i N Navier i St Stokes k { {
Dapatkah ini disederhanakan?! Ya ... Integralkan persamaan Navier Stokes k terhadap h d waktu. k Dengan melakukan ini suku berbentuk t o +T 1 ' v x dt ∫ T to akan hilang. Juga … 1 T
to +T
∫v
x
to
dt = vx 10
N i St Navier Stokes k T Terata-rata t t {
Pertama ekspansikan suku nonlinier:
∂ ∂ ' ' ' ' ρ (v x + v x )(v x + v x ) + ρ (v y + v y )(v x + v x ) ∂x ∂y ∂ + ρ (v z + v z' )(v x + v x' ) ∂z = 11
N i St Navier Stokes k T Terata-rata t t {
Sekarang hilangkan suku yang harus menjadi nol ketika persamaan diintegralkan g jjika fluktuasi kecepatannya acak: ∂ ρ (v x + v x' ) + .... ∂t
∂( p + p' ) =− + µ∇ 2 (v x + v x' ) + ρg x ∂x
12
N i St Navier Stokes k T Terata-rata t t {
Akhirnya jika Akhi jik kit kita mengumpulkan lk suku k yang tersisa dalam persamaan Navier Stokes kita mempunyai:
∂ ∂ ∂ ∂ ' ' ' ' ρvx + (ρvxvx + ρvxvx) + (ρvyvx + ρvyvx) + (ρvzvx + ρvz' vx' ) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂p = − + µ∇2vx + ρgx ∂x {
Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan aslinya tetapi dengan 3 suku baru. 13
R Reynold’s ld’ St Stresses {
Suku baru tersebut adalah komponen flux momentum turbulent dan biasanya disebut Reynold’s stress.
τxx = ρv v
' ' x x
τxy = ρv v
' ' x y
τxz = ρv v
' ' x z
14
Closure Cl {
{
Turbulence menyebabkan sebuah problem Closure – terdapat lebih banyak suku tak diketahui daripada persamaan yang tersedia. Reynolds stresses adalah suku tak diketahui tambahan dan harus dimodelkan untuk melanjutkan. 15
Vi k it Eddy Viskositas Edd {
{
Salah satu pendekatan untuk closure diusulkan oleh Boussinesq yang mengusulkan viskositas Eddy. Eddy Dalam D l pendekatan d k ini, i i viskositas i k i yang digunakan jauh lebih besar daripada viskositas aslinya. aslinya
16
M d l untuk Model t k St Stress Reynold R ld {
Viskositas Eddy z
Boussinesq mengusullkan sebuah model “viskositas viskositas eddy eddy” yang dapat digunakan untuk memodelkan Reynold’s stress.
τ yx
dv x = −µ dy 17
Vi k it Eddy Viskositas Edd {
Model viskositas eddy menganggap bahwa disipasi energi tambahan yang terjadi pada aliran turbulent dapat dimodelkan dengan viskositas eddy. y
⎛ ∂ui ∂u j ⎞ 2 ⎟ − ρδ ij k − ρu u = µ t ⎜ + ⎜ ∂x ⎝ j ∂xi ⎠ 3 ' i
' j
Viskositas eddy Boussinesq, 1877
Energii kinetik ki ik turbulent b l 18
M d l untuk Model t kR Reynold’s ld’ St Stress {
{
Viskositas eddy masih berupa parameter tak diketahui dan akan sangat tergantung pada posisi titik didalam aliran.
Viskositas Eddy umumnya jauh lebih besar daripada viskositas molekuler.
19
E Energi i Ki Kinetik tik T Turbulent b l t {
Energi kinetik turbulent didefinisikan sebagai:
1 ' ' 1 ' ' ' ' ' ' k = ui ui = (u x u x + u y u y + u z u z ) 2 2
20
A li Di Analisa Dimensii {
Analisa dimensional menunjukkan bahwa viskositas eddy dapat ditulis:
µt = CρvT l Konstanta tak berdimensi Skala panjang Skala kecepatan 21
Model untuk nt k Re Reynold’s nold’s Stress {
Prandtl’s d l Mixing Length h z
Prandtl menganggap bahwa eddy bergerak didalam fluida dengan cara yang mirip dengan gerak molekul didalam gas. Ini mengarah pada model dalam istilah mixing length (analog dengan mean free path dalam teori kinetika gas). gas)
dv x dv x τ yx = − ρρl d dy dy d 2
22
M d l Mi Model Mixing i L Length th {
Viskositas bisa dinyatakan sebagai:
∂v x µT = ρl ∂y 2
{
Mixing g length, g , l,, dapat dapa dipandang d pa da g sebagai jarak dimana partikel fluida menahan momentum asalnya. 23
Model untuk nt k Re Reynold’s nold’s Stress {
Mixing length juga merupakan fungsi posisi titik dalam aliran.
Sangat dekat permukaan padat l ∝ y Agak dekat permukaan padat l ≈ κy (κ ≈ 0.40) Jauh dari dinding l ≈ konstanta
2
24
M d l Mi Model Mixing i L Length th {
Untuk aliran sepanjang permukaan padat mixing length dievaluasi menggunakan: − y + / A+
l = min( κy(1 − e
) C1δ) ),
where κ = 0.41 (von Karman constant) A+ = 26 C1 = 0.089 δ = boundary layer thickness “hukum dinding (law of the wall)”
1/ 2 y (| τ | / ρ ) y+ = ν
25
P bl ! Problem! {
{
Model M d l mixing i i llength h menunjukkan j kk secara tidak langsung viskositas eddy adalah nol ketika g gradien kecepatannya p y nol (misal: ( dipusat pipa). Ini tidak selalu masuk akal. Prandtl and Kolmogorov mengusulkan:
µt = Cρlk1/ 2
26
Model untuk nt k Stress Re Reynold nold {
Hipotesa von Karman z
Dengan membuat beberapa argumentasi dimensi von Karman mengusulkan Reynold’s stresses berbentuk:
(dvx / dy) dvx τyx = −ρκ ρ 2 2 2 (d vx / dy d ) dy d 3
2
27
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
Untuk meneliti pengaruh turbulence terhadap aliran dalam daerah terbatasi kita akan memandang kasus aliran Poiseuille. z
Aliran antara dua dinding saluran datar, terpisah oleh jarak 2h (dengan kata lain, dindingnya y = +h dan y = -h).
28
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
Mulai dengan menganggap bentuk penyelesaian untuk komponen kecepatan rata-rata. rata rata
vx = vx ( y) vy = 0 vz = 0
29
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
{
Disamping itu kita akan menganggap bahwa semua nilai rata rata komponen kecepatan rata-rata fluktuasi hanya fungsi y. Otomatis persamaan kontinuitas terpenuhi dengan membuat asumsi ini. 30
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
Mulai dengan mengintegralkan persamaan momentum y:
d ' ' ∂p ρ (vyvy) = − dy ∂y ⇒ p(x, y) = pw(x) − ρv v
' ' y y
Tekanan pada dinding
31
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
Eksperimen telah mengamati bahwa:
v ≈ 0.04vx ' y
{
Ini berarti pengaruh variasi kecepatan biasanya dapat diabaikan d l dalam perhitungan hi di distribusi ib i tekanan. 32
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
Suku yang tersisa dari persamaan momentum x adalah:
∂ vx ∂ ( ρ v v ) ∂p µ 2 − = ∂y ∂y ∂x 2
{
' ' x y
Lanjutannya tidak bisa dikerjakan secara analitik tanpa pengetahuan tentang fluktuasi kecepatan. 33
Ali Aliran P Poiseuille i ill {
{
Paii (1953) mengusulkan P lk bahwa b h distribusi di ib i kecepatan untuk kasus turbulent harus menjaga j g beberapa p kemiripan p dengan g p profil parabola yang teramati dalam kasus turbulent. Ia mengusulkan:
vx v x ,max
2
⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = 1 − a⎜ ⎟ − (1 − a )⎜ ⎟ ⎝h⎠ ⎝h⎠
2m
34
Ali Aliran P Poiseuille i ill Data eksperimen menunjukkan kecocokan yang bagus dengan a=0.33 and m=16. Perbandingan Profil Turbulent and Laminar 1 0.5 y
{
Laminar
0
Turbulent
-0.5 -1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v/v(max) 35
T b l t Ki Turbulent Kinetic ti E Energy {
{
Sekarang g persamaan p yang y g dibutuhkan untuk memprediksi energi kinetik turbulent, k. Untuk aliran incompressible 2D pada pe m kaan pe permukaan persamaan samaan Navier-Stokes Na ie Stokes dapat dimanipulasi menghasilkan persamaan untuk k.
2
⎛ ∂u ⎞ Cρk 3 / 2 ∂k ⎤ Dk ∂ ⎡ ρ − = ⎢(µ + µT ) ⎥ + µT ⎜⎜ ∂y ⎦ Dt ∂y ⎣ l ⎝ ∂y ⎠ Diffusi
Generasi
Dissipasi 36
M d l kk-ε Model {
Model turbulensi yang umum digunakan adalah model k-ε. Ini menghubungkan viskositas eddy dengan energi kinetik turbulent dan laju dissipasi turbulent. turbulent
Cρk1/ 2 µt = ε
37
M d l kk-ε Model {
Model ini membutuhkan persamaan differensial tambahan untuk memngatur laju dissipasi turbulent. turbulent 2
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Dε ∂ µT ∂ε 1.44µT ε ∂u 1.92ρε ⎜⎜ ⎟ − ρ = ⎜⎜ + ⎟ Dt ∂y ⎝ 1.3 ∂y ⎠ k ⎝ ∂y ⎠ k
38
I l Implementasi t i {
Ketika K tik menggunakan k model d l turbulensi t b l i biasanya diambil pendekatan berturutan dimana persamaan momentum dan t k tekanan diselesaikan di l ik terlebih t l bih d dahulu h l dengan prediksi awal viskositas eddy, kemudian energi kinetik dan dissipasi t b l t di turbulent diperbaharui b h id dan dil dilakukan k k iterasi it i antar persamaan. Ingat bahwa persamaan model turbulensi sangat nonlinear.
39
P d k t lain Pendekatan l i {
{
{
Pendekatan untuk turbulensi yang digambarkan disini sering disebut RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes). Pendekatan lain (CPU intensive!) meliputi large eddy simulation (LES) dimana struktur eddy turbulent terbesar dimodelkan secara langsung. langsung DNS (Direct Numerical Simulation) tidak menggunakan model turbulensi sama sekali dan bertujuan menyelesaikan secara langsung kecepatan total (suku rata-rata + fluktuasi). 40
