Heri Rustamaji Jurusan Teknik Kimia Universitas Lampung
⍟ Optimasi mencakup dua proses : ❶ formulasi problem optimasi dalam bentuk persamaan matematis, ❷ penyelesaian problem matematis yang terbentuk ⍟ Tujuan utama dari formulasi matematis probem optimasi adalah mencari hubungan matematis antara objective function dengan design variable ⍟ Formulasi problem optimasi disusun melalui metode analisis sistem proses.
⍟ Ada beberapa istilah yang sering dipakai dalam analisis sistem, yaitu perubah (variable), perubah bebas (design variable), derajat kebebasan (degree of freedom), perubah tetap (fixed variable). ⍟ Untuk menganalisis suatu sistem/proses, jumlah perubah bebas harus diketahui. Jumlah perubah yang dipilih harus sama dengan jumlah perubah bebasnya.
❶ Derajat kebebasan (Degree of Freedom) Contoh 1. Misal suatu proses pencampuran bahan F1 kg/jam dengn F2 kg/jam menjadi F3 kg/jam
Di sini ada 3 perubah yaitu F1, F2, F3. Jika 2 perubah ditentukan, misal F1 = 7 dan F2 = 4 maka harga perubah lainnya (F3) sudah tidak dapat diplilih lagi karena hargannya sudah tertentu (F3 = F1 + F2=11). Jadi dalam kasus ini derajat kebebasannya adalah 2
Contoh 2. Kolom pemisahan Persamaan2 proses : • Neraca massa total F=D+W • Neraca massa komponen F . xA= D . xD + W . xW Variabel proses ada 6 : F, D, W, xF, xD, xW • Jika dipilih F, xF, xD dan xW, maka D dan W dihitung • Jka dipilih F, xF, xD, D, maka xW dan W dihitung Derajat bebas
: jumlah persamaan- variabel : 6-2 = 4
Contoh 3. Kolom pemisahan non adiabatis
Persamaan2 proses : 1) Neraca massa total 2) Neraca massa komponen 3) Neraca Panas 4) Hubungan P & T 5) Hubungan x & y Variabel2 Proses : F, V, L, zA, yA, xA, T, P, Q = 9 Derajat bebas : 9-5 = 4 Derajat Kebebasan = Jumlah Variabel – Jumlah Persamaan
❷ Variabel Tetap
(Fixed Variable)
• Dalam persoalan-persoalan teknik kimia, ada perubah-perubah yang harganya sudah tidak bisa dipilih lagi karena tergantung alam, dihasilkan dari proses sebelumnya yang sudah tertentu, atau memang harganya diinginkan tertentu, misal kadar CO2 dalam udara, suhu air pendingin. • Perubah-perubah semacam itu disebut dengan perubah tetap (fixed variable).
❸ Variabel Desain (Design Variable) • Perubah yang lainnya yang bisa dipilih secara bebas disebut perubah bebas (design variable) umumnya bertujuan untuk optimasi Jumlah Variabel desain = Derajat Kebebasan - Jumlah Perubah Tetap
Jumlah Variabel Desain = (Jumlah total variabel-variabel tetap)- Jumlah persamaan
❹ Fungsi Objective (Objective Function) • Sutau fungsi yang nilainya akan dimaksimumkan atau diminumumkan pada optimasi
Analisis Sistem Proses Kasus ❶ Pendinginan cairan F kg/jam cairan didinginkan dari To sampai T1 dalam heat exchanger. • Harga refrigerant : CR ($/kg) = a – bTR • Harga heat exchanger: CH ($/jam) = α.A0,6 • a, b, α adalah konstanta dan A adalah luas permukaan heat exchanger. • Harga U, Cp dan panas laten penguapan refrigerant, λ dianggap tetap. Ingin ditentukan kondisi proses yang membutuhkan biaya pendinginan minimum
Analisis : Objective function : biaya pendinginan, CT ($/jam), masalah minimasi CT ($/jam)= m (kg/jam) CR ($/kg)+ CH ($/jam) = m(a – bTR) + α A0,6 Persamaan2 matematis proses: Panas yang diambil dari cairan: Q = F CP (To – T1) (1.1) Panas yang diterima oleh refrigerant menjadi uap: Q=mλ (1.2) Panas yang ditransfer oleh HE: Q = U A ∆T (1.3) Hubungan antar suhu: ∆ = Variabel proses : Q, m, TR, A, ∆T = 5 Variabel desain = 5 - 4 = 1
(1.4)
Selanjutnya: • Variabel mana yang dipilih sebagai variabel desain? • Bagaimana hubungan variabel desain dengan fungsi objektif? Metode sistematis: Dibuat tabel sebagai berikut :
(tanda silang menyatakan bahwa suatu variabel muncul dalam persamaan )
Dilakukan pencoretan berurutan mulai pada kolom-kolom yang hanya terisi satu variabel:
• Variabel desain, yaitu variabel yang tidak tercoret. • Urutan hitungan disusun sebagai berikut (berdasarkan tabel, dengan urutan perhitungan berlawanan dengan urutan pencoretan).
Bila digabung dengan profit equation: CT = m(a – bTR) + α A0,6
(1.5)
Maka diperoleh :
• Diperoleh hubungan objective function (CT) dengan variabel desain (∆T). • Pada urutan hitungan di atas, perhitungan TR dari ∆T memerlukan trial dan error. Pada kasus ini hal ini bisa dihindari dengan mengubah urutan pencoretan sebagai berikut:
Pada kasus ini hal ini bisa dihindari dengan mengubah urutan pencoretan sebagai berikut:
Diperoleh urutah hitungan dengan varibel desain TR.
Kasus ❷ Reaktor Adiabatis Reaksi eksotermis order satu fasa cair : A→B Dijalankan dalam mixed flow reactor adiabatis dengan volume campuran dianggap tetap. Harga tetapan kecepatan reaksi dipengaruhi suhu. Kapasitas panas campuran tetap. • harga reaktor ($/jam) = a V0,6 • harga jual B ($/liter) = α + βCB • harga umpan ($/liter) = γ Harga FV ,CAO, To sudah ditentukan. Panas Reaksi = λ cal/gmol A. Ingin dicari kondisi yang memberikan keuntungan maksimal
Analisis : Keuntungan (objective function) P ($/jam) = Harga produk – harga bahan baku- biaya reaktor = FV (α + βCB) - FV γ – a Vr0,6 (2.1) Persamaan2 matematis proses : Neraca masa komponen : FV CAO – FV CA – Vr k CA=0 (2.2) Persamaan Arhenius = k = A exp(-E/RT) (2.3) Neraca massa total B: FV CB = FV (CAO - CA) (2.4) Neraca Energi : FV (CAO - CA) λ = FV ρCp(T-To) (2.5) Variabel-variabel proses: Vr, CA, CB, k, T = 5 (FV, CAO, To, Cp, ρ dan λ tetap) Variabel desain = 5 – 4 =1
Dilakukan pencoretan sebagaimana langkah kasus 1, diperoleh :
Setelah digabung dengan profit equation maka diperoleh urutan hitungan dan hubungan antara objective function (P) dengan variabel desain.
Kasus ❸ Reaktor Non Adiabatis Persoalan pada kasus ❷ ditinjau kembali dengan reaktor dilengkapi dengan pemanas dan volume reaktor Vr dibuat tetap. Steam jenuh dialirkan lewat koil yang luasnya Ac. Suhu steam, Ts (ditentukan). • Harga Steam ($/kg) =ξ • Harga coil ($/m2/jam) = µ Panas pengembunan steam = λc Koefisien transfer panas antara pemanas dan campuran =U
Analisis : Keuntungan (objective function) P ($/jam) = FV (α + βCB) - FV γ - a Vr0,6 –S ξ - µ Ac (3.1) Persamaan2 matematis proses : FV CAO – FV CA - Vrk CA=0
(3.2)
k = A exp(-E/RT)
(3.3)
FV CB = FV (CAO - CA)
(3.4)
FV (CAO - CA) λ + Q = FV ρCp(T - To)
(3.5)
Q = U AC ∆T
(3.6)
Q = S λc
(3.7)
∆T = Ts - T (3.8) Variabel-variabel proses: CA, CB, k, T, ∆T, S, Q, Ac = 8 (FV, CAO, To, Cp, ρ, Vr U dan λ tetap) Variabel desain = 8 – 7 =1
Dilakukan pencoretan sebagaimana langkah pada kasus sebelumnya, diperoleh :
Setelah digabung dengan profit equation maka diperoleh urutan hitungan dan hubungan antara objective function (P) dengan variabel desain (CA).
Kasus ❹ Reaktor dengan External Heater Persoalan pada kasus ❸ ditinjau kembali dengan pemanas berupa external heater seperti pada gambar di disamping.
Analisis : Keuntungan (objective function): P ($/jam) = FV (α + βCB) - FV γ - a Vr0,6 –S ξ - µ Ac (4.1) Persamaan2 matematis proses : FV CAO – FV CA - Vrk CA = 0
(4.2)
k = A exp(-E/RT)
(4.3)
FV CB = FV (CAO - CA)
(4.4)
FV (CAO - CA) λ + Q = FV ρCp(T - To)
(4.5)
Q = FRCp ρ (TR-T)
(4.6)
Q = U AC ∆T
(4.7)
Q = S λc
(4.8)
∆ =
(4.9)
Variabel-variabel proses: CA, CB, k, T, ∆T, S, Q, TR, Ac = 9 (FV, CAO, To, Cp, ρ, Vr , U dan λ tetap) Variabel desain = 9 – 8 =1 Selanjutnya dilakukan pencoretan sebagaimana langkah pada kasus sebelumnya, diperoleh :
Setelah digabung dengan profit equation maka diperoleh urutan hitungan dan hubungan antara objective function (P) dengan variabel desain (CA)
