Transport Phenomena
Dr. Heru Setyawan Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Aliran melalui annulus Postulate: vz = vz(r), vθ = 0, vr = 0, p = p(z)
Permukaan flux momentum nol
Distribusi k kecepatan t
κR
Distribusi flux momentum atau shear stress
λR R
Buat neraca momentum pada kulit silinder tipis menghasilkan: d (rτ rz ) = ⎛⎜ ( p0 + ρg 0) − ( pL + ρgL ) ⎞⎟r ≡ ⎛⎜ P0 − PL ⎞⎟r L dr ⎝ ⎠ ⎝ L ⎠
Integralkan diperoleh: ⎛ P0 − PL ⎞ C1 ⎟r + 2 L r ⎝ ⎠
τ rz = ⎜
z
(1)
(2)
r
Distribusi flux momentum dan distribusi kecepatan untuk aliran keatas dalam sebuah annulus silinder. Ingat bahwa flux momentum berubah tanda pada harga r yang sama dimana kecepatannya maksimum.
• C1 belum bisa ditentukan karena tidak ada informasi tentang flux momentum pada r = κR dan r = R. • Yang kita ketahui hanyalah bahwa ada harga maksimum dalam kurva kecepatan pada suatu bidang (belum diketahui) r = λR dimana flux momentumnya nol. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Pada r = λR, τrz = 0
Substitusi hukum Newton tentang viskositas ke pers pers. (3)
C ⎛P −P ⎞ 0 = ⎜ 0 L ⎟λ R + 1 λR ⎝ 2L ⎠
τ rz = − µ
⎛ P − PL ⎞ 2 2 C1 = −⎜ 0 ⎟λ R ⎝ 2L ⎠
(P − P )R ⎡⎛ r ⎞ ⎛ R ⎞⎤ dv z d = − 0 L ⎢⎜ ⎟ − λ2 ⎜ ⎟⎥ dr 2 µL ⎣⎝ R ⎠ ⎝ r ⎠⎦
2 2 ⎛ P0 − PL ⎞ λ R ⎛ P0 − PL ⎞ τ rz = ⎜ r− ⎜ 2 L r ⎝ ⎠ ⎝ 2L ⎠
(P − P )R ⎡⎛ r ⎞ ⎛ R ⎞⎤ τ rz = 0 L ⎢⎜ − λ2 ⎜ ⎥ 2L
⎣⎝ R ⎠
⎝ r ⎠⎦
vz
(3)
• Beda antara persamaan ini dan persamaan (2) hanya pada konstanta integrasi C1 yang telah dieliminasi diganti dengan konstanta yang berbeda λ. • Keuntungannya adalah pentingnya geometri λ diketahui. diketahui
dv z dr
2 ( P0 − PL )R 2 ⎡⎛ r ⎞ ⎛r⎞ =− − 2λ2 ln +C
4 µL
⎢⎜ ⎣⎢⎝ R ⎠
⎜ ⎝R⎠
⎤ 2⎥ ⎥⎦
BC 1: pada r = κR, vz = 0 BC 2: pada r = R, R vz = 0
0 = κ 2 − 2λ2 ln κ + C2
0 = 1 + C2 C 2 = −1 1− κ 2 2λ = ln (1 κ ) 2
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Laju alir masa adalah
( P0 − PL )R ⎡⎛ r ⎞ 1 − κ 2 ⎛ R ⎞⎤ τ rz = ⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟ − ( ) 2L R 2 ln 1 κ ⎠ ⎝ ⎝ r ⎠⎦ ⎣
(
atau
2 ( P0 − PL )R 2 ⎡ ⎛ r ⎞ 1 − κ 2 ⎛ R ⎞⎤ ⎢1 − ⎜ ⎟ − vz = ln⎜ ⎟⎥ 4 µL ln (1 κ ) ⎝ r ⎠⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎦
π (P0 − PL )R 4 ρ ⎡ ( 1− κ 2 ) ⎤ 4 w= ⎥ ⎢(1 − κ ) − ( ) 8µL ln 1 κ ⎥⎦ ⎢⎣ 2
Kecepatan maksimum: ( P0 − PL )R 2 1 − λ2 (1 − ln λ2 ) v z ,max = v z r =λR = 4 µL
[
]
1− κ 2 2λ = ln (1 κ )
Fz = (2πκRL ) − τ rz
(
vz
R
0
2
R R
0
R
∫ ∫κ v rdrdθ = (P = π ∫ ∫κ rdrdθ z
0
− PL )R 2 8µL
r =κR
) + (2πRL )(+ τ
rz r = R
)
)
= πR 2 1 − κ 2 (P0 − PL )
Kecepatan rata rata-rata: rata: 2π
Gaya yang diberikan oleh fluida pada permukaan dinding diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya yang bekerja pada silinder dalam dan luar, sbb.:
(
2
dimana
)
w = πR 2 1− κ 2 ρ v z
⎡1 − κ 4 1 − κ 2 ⎤ − ⎢ ⎥ 2 1 − κ ln (1 κ )⎦ ⎣
Berlaku untuk aliran laminar (Re <2000) Re =
2 R(1 − κ ) v z ρ
µ Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Creeping flow disekitar bola Creeping flow: • Aliran sangat lambat • Re ((= Dv∞ρ/µ) < 0,1 • Dikenal juga sebagai “aliran Stokes” Jari-jari bola = R
Titik dalam ruang (x,y,z) atau (r,θ,φ)
z
Pada setiap titik terdapat gaya tekanan dan friksi yang bekerja pada permukaan k bola b l
θ φ
x
y Proyeksi titik Pada bidang xy
Fluida mendekati v dari bawah dengan ∞ kecepatan v∞
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Distribusi kecepatan dan tekanan creeping flow disekitar bola: 3 ⎡ 3⎛ R⎞ 1⎛ R⎞ ⎤ vθ = v∞ ⎢− 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ sin θ 4 ⎝ r ⎠ 4 ⎝ r ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢
⎡ 3 ⎛ R ⎞ 1 ⎛ R ⎞3 ⎤ vr = v∞ ⎢1 − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ cos θ ⎢⎣ 2 ⎝ r ⎠ 2 ⎝ r ⎠ ⎥⎦
vφ = 0 3 µv∞ p = p0 − ρgz − 2 R
• p0 adalah tekanan pada bidang z = 0 yang jauh dari bola. • -ρgz adalah tekanan hidrostatis sebagai akibat dari berat fluida. • Suku yang mengandung v∞ adalah kontribusi gerak fluida.
2
⎛R⎞ ⎜ ⎟ cos θ ⎝r⎠
Komponen stress tensor τ dalam koordinat bola: (diperoleh dari distribusi kecepatan dengan menggunakan tabel B.1)
τ rr = −2τ θθ = −2τ φφ
τ rθ
3 µv∞ = τ θr = 2 r
3µv∞ = R
⎡ ⎛ R ⎞2 ⎛ R ⎞4 ⎤ ⎢− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎥⎦
4
⎛R⎞ ⎜ ⎟ sin θ ⎝r⎠
dan semua komponen lainnya nol Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Integrasi gaya normal Gaya oleh fluida per satuan luas pada setiap titik pada permukaan bola:
− ( p + τ rr ) r = R
z (r,θ,φ)
Komponen z gaya ini adalah:
Bidang xz
r sin θ dφ
φ
Elemen permukaan diferensial
rdθ
− ( p + τ rr ) r = R (cos θ )
y
Kalikan dengan elemen diferensial permukaan
R 2 sin θdθdφ
x
Integralkan keseluruh permukaan bola untuk memperoleh resultante gaya normal kearah z: F
(n )
=∫
2π
0
∫ (− ( p + τ ) )R π
0
rr
r=R
2
sin θdθdφ
(A)
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Pada r = R, stress normal τrr = 0 → τrr bisa diabaikan. (untuk fluida Newtonian incompressible, semuanya, tiga stress normal adalah nol pada permukaan solid diam dalam semua aliran)
Di t ib i ttekanan Distribusi k pada d permukaan k ((r = R): R) 3 µv∞ ⎛ R ⎞ p = p0 − ρgz − ⎜ ⎟ cos θ 2 R ⎝r⎠ 2
p r = R = p0 − ρgR cos θ −
3 µv∞ cos θ 2 R
Substitusi ke persamaan (A) dan diintegralkan: F (n ) = ∫
2π
0
∫
π
0
3 µv∞ ⎛ ⎞ cos θ R 2 sin θdθdφ ⎜ − p0 + ρgR cos θ + 2 R ⎝ ⎠
F (n ) = 43 πR 3 ρg + 2πµRv∞ Gaya apung (buoyant force)
Form drag
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Integrasi gaya tangential Gaya per satuan luas yang diberikan oleh fluida pada arah -θ pada solid adalah:
+ τ rθ
r=R
Komponen z gaya ini per satuan luas adalah:
(τ
rθ r = R
)sin θ
Kalikan dengan luas permukaan elemen R2 sin θ dθ dφ dan integralkan keseluruh permukaan bola menghasilkan gaya resultante pada arah z:
F
(t )
=∫
2π
0
∫ (τ π
0
rθ
)
2 sin θ R sin θdθdφ r =R
Distribusi shear stress p pada p permukaan, r = R:
τ rθ
3 µv∞ = τ θr = 2 r
4
⎛R⎞ ⎜ ⎟ sin θ ⎝r⎠
τ rθ
r =R
=
3 µv∞ sin θ 2 R
Substitusi kedalam integral diatas menghasilkan “friction drag”:
F (t ) = 4πµRv∞Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Gaya total fluida terhadap bola diberikan oleh penjumlahan komponen normal dan tangential:
F = 43 πR 3 ρg + 2πµRv∞ + 4πµRv∞ Gaya apung
Friction drag
Form drag
atau
F = Fb + Fk = 43 πR 3 ρg + 6πµRv∞ Gaya apung
Gaya kinetik
Hukum Stokes
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan Kontinuitas z
x+∆x, y+∆y, z+∆z
(ρvx)|x
(ρvx)|x+∆x ∆z ∆y (x, y, z)
y
Elemen volume tetap ∆x, ∆y, ∆z melalui mana fluida mengalir. Panah menunjukkan flux masa masuk dan keluar volume pada d muka dua k tterarsir i yang tterletak l t k pada x dan x+∆x.
∆x
x Neraca masa pada elemen volume ∆x ∆y ∆z: { Laju pertambahan masa } = { Laju masa masuk } – { Laju masa keluar } ∆x∆y∆z
[
]
∂ρ = ∆y∆z (ρv x ) x − (ρv x ) x + ∆x ∂t + ∆z∆x (ρv y ) − (ρv y ) y y + ∆y
[
[
]
+ ∆x∆y (ρv z ) z − (ρv z ) z + ∆z
] Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan kontinuitas Bagi seluruh elemen dengan ∆x ∆y ∆z dan ambil limit ketika ∆x, ∆y, ∆z mendekati nol, kemudian menggunakan definisi turunan parsial, diperoleh: ⎛∂ ⎞ ∂ρ ∂ ∂ = −⎜⎜ ρv x + ρv y + ρv z ⎟⎟ ∂t ∂y ∂z ⎝ ∂x ⎠ Persamaan kontinuitas yang menggambarkan laju perubahan waktu densitas fluida pada titik yang tetap dalam ruang Dengan menggunakan notasi vektor, persamaan diatas dapat ditulis dengan lebih ringkas
∂ρ = −(∇ ⋅ ρv ) ∂t Laju pertambahan masa per satuan volume
Laju bersih penambahan masa per sa pe satuan ua volume vo u e oleh konveksi Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan kontinuitas • (∇⋅ρv) disebut “divergence ρv”, kadang-kadang ditulis sebagai “div ρv”. • Vektor ρv adalah flux masa, dan divergence-nya g y memiliki arti sederhana: laju j masa bersih efflux per satuan volume. • Bentuk khusus yang sangat penting persamaan kontinuitas adalah bahwa untuk fluida yang densitasnya konstan (fluida incompessible), bentuk persamaannya menjadi sederhana sederhana, yaitu
(∇ ⋅ v ) = 0
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak z
φzx|z+∆z
x+∆x, y+∆y, z+∆z
φxx|x
y
φxx|x+∆x
(x, y, z)
φzx|z
Elemen volume tetap ∆x, ∆y, ∆z, dengan enam anak panah menunjukkan flux momentum x melalui muka oleh semua mekanisme. Muka terarsir diletakkan pada x dan x+∆x.
x Neraca momentum pada elemen volume ∆x ∆y ∆z: { Laju pertambahan momentum } = { Laju momentum masuk } – { Laju momentum keluar } + { Gaya luar pada fluida } Laju bersih penambahan momentum x:
[(
∆y∆z φ xx x − φ xx
x + ∆x
)]+ ∆z∆x[(φ
yx y
− φ yx
y + ∆y
)]+ ∆x∆y[(φ
zx z
− φ zx
z + ∆z
)]
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak Gaya luar (biasanya gaya gravitasi) yang bekerja pada fluida:
ρg x ∆x∆y∆z Jumlahkan dua persamaan diatas dan samakan dengan laju pertambahan momentum x dalam elemen volume, ∆x ∆y ∆z ∂(ρvx) / ∂t, kemudian dibagi dengan g ∆x ∆yy ∆z dan diambil limit ∆x,, ∆y, y, ∆z mendekati nol,, maka diperoleh: p ⎛∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ρv x = −⎜⎜ φ xx + φ yx + φ zx ⎟⎟ + ρg x ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
Dengan cara yang sama, diperoleh neraca momentum untuk komponen y dan z: ⎛∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ρv y = −⎜⎜ φ xy + φ yy + φ zy ⎟ + ρg y ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
⎛∂ ⎞ ∂ ∂ ∂ ρvz = −⎜⎜ φ xz + φ yz + φ zz ⎟⎟ + ρg z ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak Menggunakan notasi tensor, ketiga persamaan diatas bisa dituliskan:
∂ ρv = −[∇ ⋅ φ] + ρg ∂t Jika komponen ke-i dikalikan dengan satuan vektor kearah i dan ketiga komponen dijumlahkan j bersama-sama secara vektorial, diperoleh:
∂ ρvi = −[∇ ⋅ φ]i + ρg i ∂t
i = x, y , z
Tensor flux momentum gabungan φ merupakan jumlah dari tensor flux momentum konveksi ρvv dan tensor flux momentum molekuler π, yang merupakan penjumlahan dari pδ dan τ. Sisipkan φ = ρvv + pδ + τ kedalam persamaan gerak:
∂ ρv ∂t Laju pertambahan Momentum p per Satuan volume
=
− [∇ ⋅ ρvv ] Laju pertambahan Momentum oleh Konveksi per Satuan volume
− ∇p
− [∇ ⋅ τ ]
+ ρg
Gaya luar pada Laju pertambahan fluida per p Momentum oleh transport molekuler per Satuan volume Satuan volume Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan kontinuitas ∂ρ = −(∇ ⋅ ρv ) ∂t
Koordinat Cartesian (x,y,z) ∂ρ ∂ ∂ ∂ + (ρv x ) + (ρv y ) + (ρv z ) = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z
Koordinat silinder (r,θ,z) ∂ρ 1 ∂ (ρrvr ) + 1 ∂ (ρvθ ) + ∂ (ρvz ) = 0 + r ∂θ ∂t r ∂r ∂z
Koordinat bola (r, (r θ, φ) ∂ρ 1 ∂ 1 ∂ (ρvθ sin θ ) + 1 ∂ (ρvφ ) = 0 + 2 ρr 2 v r + ∂t r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
(
)
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak dalam τ ρDv Dt = −∇p − [∇ ⋅ τ ] + ρg Koordinat Cartesian (x,y,z)
⎛ ∂v x ⎤ ∂v ∂v ∂v ⎞ ∂p ⎡ ∂ ∂ ∂ + v x x + v y x + v z x = − − ⎢ τ xx + τ yx + τ zx ⎥ + ρg x ∂z ⎠ ∂z ⎦ ∂x ∂y ∂x ⎣ ∂x ∂y ⎝ ∂t
ρ ⎜⎜
∂v y ⎞ ∂v y ∂v y ⎛ ∂v y ⎤ ∂ ∂p ⎡ ∂ ∂ + vx + vy + vz = − − ⎢ τ xy + τ yy + τ zy ⎥ + ρg y ∂z ⎦ ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂y ⎣ ∂x ∂y ⎝ ∂t
ρ ⎜⎜
⎛ ∂v z ⎤ ∂v ∂v ∂v ⎞ ∂p ⎡ ∂ ∂ ∂ + v x z + v y z + v z z ⎟ = − − ⎢ τ xz + τ yz + τ zz ⎥ + ρg z ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂z ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ ⎝ ∂t
ρ ⎜⎜
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak dalam τ ρDv Dt = −∇p − [∇ ⋅ τ ] + ρg Koordinat silinder (r,θ,z) ⎛ ∂vr ∂vr vθ ∂vr ∂p ⎡ 1 ∂ ∂vr vθ2 ⎞ (rτ rr ) + 1 ∂ τ θr + ∂ τ zr − τ θθ ⎤⎥ + ρg r ρ ⎜⎜ + vr + + vz − =− −⎢ ∂r r ∂θ ∂z r ⎠ ∂r ⎣ r ∂r r ∂θ ∂z ⎦ ⎝ ∂t ∂v v ∂v ∂v v v ⎞ τ −τ ⎤ ∂ 1 ∂p ⎡ 1 ∂ 2 1 ∂ ⎛ ∂vθ + vr θ + θ θ + v z θ + r θ = − −⎢ 2 r τ rθ + τ θθ + τ zθ + θr rθ ⎥ + ρgθ ∂r r ∂θ ∂z r ⎠ r ∂θ ⎣ r ∂r r ∂θ ∂z r ⎦ ⎝ ∂t
(
ρ⎜
)
∂v v ∂v ∂v ⎞ ∂p ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂v z (rτ rz ) + 1 ∂ τ θz + ∂ τ zz ⎤⎥ + ρg z + vr z + θ z + v z z = − − ⎢ ∂r r ∂θ ∂z ⎠ ∂z ⎣ r ∂r r ∂θ ∂z ⎦ ⎝ ∂t
ρ⎜
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak untuk fluida Newtonian dengan ρ dan µ konstan ρDv Dt = −∇p + µ∇ 2 v + ρg Koordinat Cartesian (x,y,z)
⎡ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ⎤ ⎛ ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x ⎞ ∂p ρ ⎜⎜ + vx + vy + vz = − + µ ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ + ρg x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂z ⎦ ⎝ ∂t ⎣ ∂x ⎡ ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2vz ⎤ ∂v y ∂v y ∂v y ⎞ ⎛ ∂v y ∂p ρ ⎜⎜ + vx + vy + vz = − + µ ⎢ 2 + 2 + 2 ⎥ + ρg y ∂z ⎦⎥ ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ⎠ ⎢⎣ ∂x ⎝ ∂t
⎡ ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz ⎤ ⎛ ∂v z ∂v z ∂v z ∂v z ⎞ ∂p ρ ⎜⎜ + vx + vy + vz ⎟ = − ∂z + µ ⎢ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ⎥ + ρg z ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Persamaan gerak untuk fluida Newtonian dengan ρ dan µ konstan ρDv Dt = −∇p + µ∇ 2 v + ρg Koordinat silinder (r,θ,z) 2 2 ⎛ ∂vr ⎡ ∂ ⎛1 ∂ ∂vr vθ ∂vr ∂p ∂vr vθ2 ⎞ ⎞ 1 ∂ vr ∂ vr 2 ∂vθ ⎤ ρ ⎜⎜ + vr + + vz − = − + µ⎢ ⎜ rvr + 2 + 2 − 2 ⎥ + ρg r 2 ∂ ∂ t ∂ r r ∂ θ ∂ z r ∂ r r r r r ∂ θ ∂ z r θ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
2 2 ⎡ ∂ ⎛1 ∂ ∂vθ vθ ∂vθ ∂vθ vr vθ ⎞ 1 ∂p ⎛ ∂vθ ⎞ 1 ∂ vθ ∂ vθ 2 ∂vr ⎤ (rvθ ) + 2 2 + 2 + 2 ⎥ + ρgθ ρ⎜ + vr + + vz + =− + µ⎢ ⎜ r ∂θ ∂z r ⎠ r ∂θ ∂ r r ∂ r ∂z r ∂θ ⎦ ∂r ⎝ ⎠ r ∂θ ⎝ ∂t ⎣
⎡ 1 ∂ ⎛ ∂v z ⎞ 1 ∂ 2 v z ∂ 2 v z ⎤ ∂v z vθ ∂v z ∂v z ⎞ ∂p ⎛ ∂v z ρ⎜ + vr + + vz = − + µ⎢ + 2 + 2 ⎥ + ρg z ⎜r 2 ∂r r ∂θ ∂z ⎠ ∂z r ∂ r ∂ r r ∂ θ ∂z ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ∂t ⎣
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Aliran tergantung waktu fluida Newtonian Aliran didekat dinding yang bergerak mendadak y
t<0 Fluida diam t=0 Dinding digerakkan
y v0 vx(y,t)
y v0
t>0 Fluida dalam aliran unsteady
Untuk sistem ini: • vx = vx(y,t) • vy = 0 • vz = 0 • Persamaan kontinuitas terpenuhi • Suku persamaan gerak yang tersisa:
∂v x ∂ 2vx =ν ∂t ∂y 2 dimana ν = µ/ρ
Aliran viscous fluida didekat dinding g yang bergerak mendadak Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Aliran tergantung waktu fluida Newtonian Kondisi awal dan kondisi batas: Kondisi K di i awal: l Kondisi batas 1: Kondisi batas 2:
pada d t = 0, 0 vx = 0 untuk t k semua y pada y = 0, vx = v0 untuk semua t > 0 pada y = ∞, vx = 0 untuk semua t > 0
Masukkan kecepatan tak berdimensi φ = vx/v0:
∂φ ∂ 2φ =ν 2 ∂t ∂y Kondisi awal dan batas mengandung hanya bilangan murni
y
φ(y,0) = 0; φ(0,t) = 1; φ(∞,t) = 0
Penyelesaiannya berbentuk
φ = φ(y,t; ( ν)
νt atau pangkat atau perkalian
φ fungsi tak berdimensi
yy, t dan ν harus muncul dalam kombinasi tak berdimensi Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Aliran tergantung waktu fluida Newtonian Kita simpulkan penyelesaiannya berupa:
φ = φ (η )
dimana
η=
y 4νt
• Disebut metoda kombinasi variabel (bebas) • Angka “4” dimasukkan agar hasil akhirnya terlihat lebih rapi
∂φ ∂φ =ν 2 ∂t ∂y 2
Rubah menjadi turunan terhadap variabel gabungan
1 η dφ ∂φ dφ ∂η =− = 2 t dη ∂t dη ∂t
∂φ dφ ∂η dφ = = ∂y dη ∂y dη
1 4νt
dan
∂ 2φ d 2φ 1 = ∂y 2 dη 2 4νt
Substitusi
d 2φ dφ η + 2 =0 2 dη dη
• BC 1: pada η = 0, φ = 1 • BC 2: pada η = ∞, φ = 0
(PD biasa tipe C.1-8) Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Aliran tergantung waktu fluida Newtonian Ambil:
dφ/dη = ψ
PD orde satu yang bisa dipisahkan:
dψ
dψ + 2ηψ = 0 dη
ψ
lnψ = −η 2 + ln C1
= −2ηdη
dφ = C1 exp − η 2 dη
(
ψ=
)
φ = C1 ∫ exp(− η 2 )dη + C2 η
0
• P Pemilihan ilih 0 untuk kb batas b bawah h iintegrall adalah d l h sembarang; b pilihan ilih yang llain i menghasilkan nilai C2 yang berbeda, yang masih belum ditentukan. • Aplikasi dua kondisi batas menghasilkan η
∫ φ (η ) = 1 − ∫
0 ∞
0
( ) exp(− η )dη
exp − η 2 dη
= 1−
2
v x ( y, t ) = 1 − erf v0
2
π
η
∫
0
(
)
exp − η 2 dη = 1 − erf η
y y = erfc 4νt 4νt Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
vx /v 0
Aliran tergantung waktu fluida Newtonian
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 02 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1/2
(y /4vt )
Distribusi kecepatan, dalam bentuk tak berdimensi, untuk aliran didekat dinding yang digerakkan secara mendadak mendadak. Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
