Bab
2
Frekuensi Natural
-I
2.1
TS
Getaran Bebas 1 DOF
-F
TI
Untuk getaran translasi 1 DOF, frekuensi natural ωn didefinisikan r k rad ωn = 2π fn = /s m
(2.1)
M es
in
dimana k adalah kekakuan pegas dan m adalah massa. Untuk getaran translasi dengan arah vertikal, frekuensi natural dapat didefinisikan r g rad /s (2.2) ωn = 2π fn = δ st
Te k
ni
k
dimana δ st adalah defleksi statik. Sedangkan untuk getaran rotasi 1 DOF, frekuensi natural ωn didefinisikan r kt rad ωn = 2π fn = /s J
(2.3)
dimana kt adalah kepegasan torsi dan J adalah momen inersia.
2.2
Getaran Bebas System 1 DOF Tak Teredam
Persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran translasi didefinisikan sebagai m x¨ + kx = 0
(2.4)
2
dimana x¨ = ddt2x adalah percepatan dari massa m. Solusi dari persamaan diatas dapat dicari dengan mengasumsikan x (t) = Ce st (2.5) dimana C dan s adalah konstanta yg perlu ditentukan. Substitusi persamaan (2.5) ke persamaan (2.4), kita dapatkan C ms2 + k = 0 1
2
2.2 Getaran Bebas System 1 DOF Tak Teredam
karena C tidak bisa sama dengan nol, maka ms2 + k = 0 sehigga k s=± − m
(2.6)
!1/2 = ±iωn
(2.7)
Karena kedua nilai s dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (2.6), penyelesaian umum untuk persamaan (2.4) dapat diexpresikan x (t) = C1 eiωn t + C2 e−iωn t
(2.8)
TS
dimana C1 dan C2 adalah konstanta. Dengan menggunakan identitas
-I
e±iαt = cosαt ± isinαt
TI
persamaan (2.8) dapat ditulis
(2.9)
-F
x (t) = A1 cosωn t + A2 sinωn t
in
dimana A1 dan A2 adalah konstanta. Konstanta C1 dan C2 atau A1 dan A2 dapat ditentukan dari kondisi awal. Jika nilai kondisi awal untuk posisi x (t = 0) = x0 dan kecepatan x˙ (t = 0) = x˙0 , dari persamaan (2.9)
x˙0 . ωn
(2.10)
Sehingga penyelesaian persamaan (2.4) adalah
k
atau A1 = x0 dan A2 =
M es
x (t = 0) = A1 = x0 x˙ (t = 0) = ωn A2 = x˙0
x˙0 sinωn t ωn
(2.11)
Te k
ni
x (t) = x0 cosωn t +
Sedangkan persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran rotasi didefinisikan sebagai J θ¨ + kt θ = 0 (2.12) Sama dengan gerak translasi, penyelesaian umum dari getaran bebas tak teredam untuk getaran rotasi adalah θ (t) = A1 cosωn t + A2 sinωn t1 (2.13) dimana A1 dan A2 ditentukan dari kondisi awal. Untuk kondisi awal θ (t = 0) = θ0 dan θ˙0 (t = 0) = θ˙0 , persamaan diatas bisa ditulis θ (t) = θ0 cosωn t +
θ˙0 sinωn t1 ωn
(2.14)
3
2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam
2.3
Getaran Bebas System 1 DOF Teredam
Persamaan gerak getaran bebas tak teredam untuk getaran translasi didefinisikan sebagai m x¨ + c x˙ + kx = 0
(2.15)
Solusi dari persamaan diatas dapat dicari dengan mensubstitusi persamaan (2.5) ke persamaan (2.15) ms2 + cs + k = 0 (2.16) akar dari persamaan diatas adalah r √ c 2 k c2 − 4mk c =− ± − 2m 2m 2m m
TS
s1, 2 =
−c ±
(2.17)
Kedua akar ini mempunyai dua penyelesaian untuk persamaan (2.15) x2 (t) = C2 e s2 t
dan
-I
x1 (t) = C1 e s1 t
(2.18)
TI
Dan penyelesaian umum untuk persamaan (2.15) merupakan kombinasi dari dua solusi diatas
-F
x (t) = C1 e s1 t + C2 e s2 t ) ( q c c 2 k − 2m + ( 2m ) −m t
= C1 e
+ C2 e
( ) q c c 2 k − 2m − ( 2m ) −m t
(2.19)
2.3.1
M es
in
dimana C1 dan C2 adalah konstanta yang ditentukan dari kondisi awal.
Konstanta Damping Kritis dan Rasio Redaman
Konstanta damping kritis
ni
k
Konstanta damping kritis cc didefinisikan r
√ k = 2 km = 2mωn m
(2.20)
c c c cωn = = √ = cc 2mωn 2 km 2k
(2.21)
Te k
cc = 2m
Rasio redaman
Rasio redaman ζ didefinisikan ζ=
Untuk getaran rotasi 1 DOF, rasio redaman ζ didefinisikan ζ=
ct ct = √ 2Jωn 2 kt J
(2.22)
4
2.3 Getaran Bebas System 1 DOF Teredam
2.3.2
Respon Getaran Bebas System 1 DOF Teredam
Dengan mendefinisikan
c cc c = · = ζωn 2m cc 2m
(2.23)
p s1, 2 = −ζ ± ζ 2 − 1 ωn
(2.24)
persamaan (2.17) bisa ditulis
dan persamaan (2.19) bisa ditulis √
x (t) = C1 e
−ζ+
ζ 2 −1 ωn t
√
+ C2 e
−ζ−
ζ 2 −1 ωn t
(2.25)
TS
Sehingga perilaku dari penyelesaian persamaan diatas tergantung dari besarnya nilai damping. Untuk ζ = 0 menghasilkan respon getaran bebas tak teredam. Untuk ζ , 0 ada tiga tipe penyelesaian tergantung dari besarnya damping ratio ζ.
-I
Underdamped
in
-F
TI
Ketika damping rasio dalam range 0 < ζ < 1, sistem getaran kita sebut underdamped. Untuk kondisi ini, ζ 2 − 1 adalah negatif dan akar s1 dan s2 dapat ditulis p s1 = −ζ + i 1 − ζ 2 ωn p s2 = −ζ − i 1 − ζ 2 ωn
(2.26)
0
Te k
ni
k
M es
dan persamaan (2.25) dapat ditulis √ √ −ζ+i 1−ζ 2 ωn t −ζ−i 1−ζ 2 ωn t x (t) = C1 e + C2 e ( √ √ ) i 1−ζ 2 ωn t −i 1−ζ 2 ωn t −ζωn t =e C1 e + C2 e o n p p = e−ζωn t (C1 + C2 ) cos 1 − ζ 2 ωn t + i (C1 − C2 ) sin 1 − ζ 2 ωn t n 0 o p p 0 = e−ζωn t C1 cos 1 − ζ 2 ωn t + C2 sin 1 − ζ 2 ωn t 0
dimana C1 dan C2 adalah konstanta yang ditentukan dari kondisi awal. Untuk kondisi awal x (t = 0) = x0 dan x˙0 (t = 0) = x˙0 , maka 0
C1 = x0
x˙0 + ζωn x0 0 dan C2 = p 1 − ζ 2 ωn
sehingga persamaan (2.25) dapat ditulis menjadi p p x ˙ + ζω x n 0 2ω t + 0 2 ω t x (t) = e−ζωn t x cos 1 − ζ sin 1 − ζ p 0 n n 1 − ζ 2 ωn
(2.27)
(2.28)
Getaran yangpdideskripsikan oleh persamaan (2.28) adalah getaran harmonik dengan frekuensi angular 1 − ζ 2 ωn . Besaran p ωd = 1 − ζ 2 ωn (2.29) disebut frekuensi getaran teredam. Dari persamaan diatas bisa dilihat bahwa frekuensi getaran teredam ωd selalu lebih kecil dari natural frekuensi tak teredam ωn .
5
2.4 Penurunan Logaritmic
Critically damped Ketika ζ = 1, sistem getaran kita sebut critically damped. Untuk kondisi ini kedua akar s1 dan s2 adalah sama cc = −ωn (2.30) s1 = s2 = − 2m dan penyelesaian persamaan (2.15) adalah x (t) = (C1 + C2 t) e−ωn t
(2.31)
Untuk kondisi awal x (t = 0) = x0 dan x˙0 (t = 0) = x˙0 , kita peroleh C1 = x0
dan C2 = x˙0 + ωn x0
(2.32)
TS
dan persamaan (2.31) bisa ditulis (2.33)
-I
x (t) = [x0 + ( x˙0 + ωn x0 ) t] e−ωn t Overdamped
in
-F
TI
Ketika ζ > 1, sistem getaran kita sebut overdamped. Untuk kondisi ini, ζ 2 − 1 adalah positif dan akar s1 dan s2 dapat ditulis p s1 = −ζ + ζ 2 − 1 ωn < 0 p s2 = −ζ − ζ 2 − 1 ωn < 0
M es
dengan s2 s1 , dan penyelesaian persamaan (2.15) adalah √ √ −ζ+ ζ 2 −1 ωn t −ζ− ζ 2 −1 ωn t x (t) = C1 e + C2 e
2.4
(2.35)
Te k
ni
k
Untuk kondisi awal x (t = 0) = x0 dan x˙0 (t = 0) = x˙0 , kita peroleh p p x0 ωn ζ + ζ 2 − 1 + x˙0 −x0 ωn ζ − ζ 2 − 1 − x˙0 C1 = dan C2 = p p 2ωn ζ 2 − 1 2ωn ζ 2 − 1
(2.34)
Penurunan Logaritmic
Penurunan logarithmic δ merepresentasikan laju penurunan amplitudo getaran bebas teredam yang didefiniskan sebagai rasio logarithmic dari dua amplitudo getaran yang berurutan. Misal, t1 dan t2 merupakan waktu yang berhubungan dengan dua amplitudo getaran yang berurutan dari sistem underdamped. Untuk sistem underdamped persamaan (2.26) dapat ditulis x (t) = X0 e−ζωn t cos (ωd t − φ0 ) (2.36) Menggunakan persamaan diatas, ratio amplitudo getaran bisa ditulis x1 X0 e−ζωn t1 cos (ωd t1 − φ0 ) = x2 X0 e−ζωn t2 cos (ωd t2 − φ0 ) Waktu t2 = t1 + τd , dimana τd = 2π/ωd adalah periode getaran teredam, sehingga cos (ωd t2 − φ0 ) = cos (2π + ωd t1 − φ0 ) = cos (ωd t1 − φ0 )
(2.37)
6
2.4 Penurunan Logaritmic
dan persamaan (2.37) bisa ditulis x1 e−ζωn t1 = −ζωn (t1 +τd ) = eζωn τd x2 e
(2.38)
Dari persamaan diatas penurunan logarithmic δ dapat kita tulis δ = ln
x1 2πζ 2π c 2π = p = = ζωn τd = ζωn p · x2 1 − ζ 2 ωn 1 − ζ 2 ωd 2m
(2.39)
untuk damping kecil ζ 1, persamaan (2.39) bisa ditulis δ ' 2πζ
Te k
ni
k
M es
in
-F
TI
-I
TS
(2.40)
