1
TRANSFORMASI
Suatu transfornmasi pada bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga.
Sebuah fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat: 1. Surjektif 2. Injektif Surjektif artinya bahwa tiap titik B є V ada prapeta. Jadi kalau T suatu trasnformasi maka ada B є V sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A olewh T dan A dinamakan prapeta dari B.
Injektif artinya kalau A1 ≠ A2 dan T(A1) = B1 , T(A2) = B2 , maka B1 ≠ B2 Ungkapan ini setara dengan ungkapan berikut: Kalau T(P1) = Q1 dan T(P2) = Q2 sedangkan Q1 = Q2 maka P1 = P2. Contoh soal: 1. Andaikan A є V, ada perpetaan T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T: V → V yang didefinisikan sebagai berikut: 1.) T(A) = A 2.) Apabila P ≠ A, maka T(P) = Q titik tengah garis AP. Selidiki apakah T tersebut suatu trasnformasi. Jawab: T(A)=A
R S=T (R)
Q=T(P) P
Jelas Bahwa A memiliki peta yaitu A sendiri.
2
Ambil sembarang titik R ≠ A pada V. Oleh karena V bidang euclides, maka ada ada satu garis yang melalui A dan R. Jadi ada satu ruas garis AR sehingga ada tepat satu titik S dimana S antara A dan R sehingga AS = SR. Berartti untuk setiap X є V ada satu Y, dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan (2), jadi daerah asal T adalah V. 1) Apakah T surjektif atau apakah daerah nilai T juga V? Untuk menyelidikinya ini cukuplah dipertanyakan setiap titik V memiliki prapeta. Jadi apabila Y є Vapakah ada X є V yang bersifat bahwa T(X) = Y? Menurut ketentuan pertama kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A.
A
X Y= T(X)
Bila Y ≠ A maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X dengan X є AY sehingga AY = YX. Jadi Y adalah titik tengah AX yang merupakan satu-satunya titik tengah, jadi Y=T(X). Ini berrarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y, dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta, jadi t adalah suatu padanan yang surjektif. 2) Apakah T injektif? Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P ≠ A, Q ≠ A, dan P ≠ Q, P, Q, A tidak segaris (kolinier). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q). A
T(P) P
T(Q) Q
3
Andaikan T(P) = T(Q) Oleh karena T(P) є AP dan T(Q) є AQ maka dalam hal ini AP dan AQ memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti bahwa garis AP dan AQ berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa Q є AP. Ini berlawanan dengan permisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) ≠ T(Q). Bagaimana apabila P, Q, A segaris? Dari uraian di atas tamapk bahwa T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V dan ditulis T : V → V.
Contoh 2: 2. Pilihlah pada bidang Eiuclides V suatu sistem koordinat ortogonal. T adalah padanan yang mengkaitkan setiap titik P dengan titik P’ yang letaknya satusatuanya dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T tranformasi ? Jawab :
Y
P
P' X
0
Kalau P = (X, Y) maka T(P) P = (X + 1, Y) Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V 1) Apakah T surjektif ? 2) Apakah T injektif ? Jika A(X, Y) pertanyaan yang harus dijawab ialah apakah A memiliki prapeta oleh T ? Andaikan B =(X’ , Y’).
4
1) Kalau B ini prapeta titik A (X, Y) maka haruslah berlaku T(B) = ( X’ + 1, Y’) Jadi X’ + 1 = X, Y’ = Y. atau
X’ = X - 1 Y’ = Y
Jelas T (X-1, Y) = ((X-1) + 1, Y) = (X, Y) Oleh karena X’, Y’ selalu ada untuk segala nilai X., Y maka B selalu ada sehingga T(B) = A. Karena A sebarang maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif.
2) Andaikan P(X1 , Y1) dan Q(X2 , Y2) dengan P ≠ Q. Apakah T(P) ≠ T(Q) ? Disini T(P) = T(Q) maka (X1 + 1, Y1) = (X2 + 1, Y2). Jadi X1 +1 = X2 +1 dan Y1 = Y2. ini berarti X1 = X2 dan Y1 = Y2. jadai P=Q. Ini berlawanan dengan yang diketahui P=Q, jadi haruslah T(P) ≠ T(Q). Dengan demikian ternyata bahwa T injektif dan T adalah bijektif. Jada T suatu transformasi dari V ke V.
5
Contoh soal: 1. Misalkan v bidang euclides dimana A sebuah titik tertentu pada v, ditetapkan T suatu relasi sebagai berikut: a. T(A) jika A=P b. Jika P є v dan P ≠ A, T(P) = q dengan q merupakan titik tengah ruas garis AP. Apakah T merupakan suatu transformasi? Jawab: v A=P
a. A є v Pєv A = P, maka T(P) = A T(A) = P Akibatnya T(A) = A b.
v
A
Q
P
Aєv Pєv A≠P AQ = PQ ( Q titiik tengah AP ) T (A) = Q T (A) = P T (P) = A T (P) = Q (terbukti)
6
2. Misal f suatu fungsi yang domainnya bidang datar dan didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) dan R (P) = (x + 2, 2y-3) a. Carilah F(a) jika A (1, 6) b. Carilah sebuah prapeta dari B jika B (-2, 4) c. Periksalah apakah F fungsi 1 – 1 Jawab: a. F (a) = A (1, 6) R (p) = x + 2, 2y-3 = (1+2, 2(6) – 3 ) = (3, 12 – 30 F (a) = (3, 9)
b. B ( -2, 4), F (p) = x + 2, 2y-3 F (B) = (x + 2, 2y-3) (-2, 4) = x + 2, 2y-3 x + 2 = -2 x=-4 2y-3 = 4 2y = 4 + 3 y=7 2 c. A (1, 6) f (A) = (3, 9) (1, 6) (3, 9) B (-4, 3 ½ ) f (B) = ( -2 , 4) (-4, 3 ½ ) ( -2 , 4) 3. Pemetaan f dari bidang ke bidang didefinisikan untuk suatu titik p(x,y) oleh f (p) = (l x l, l y l ) a. Tentukan f(a) jika a (-3, 60 b. Tentukan semua prapeta dari B (4, 2)
7
c. Tentukan range dari f d. Apakah f suatu transformasi Jawab: a. f(a) = A (-3, 6) f (p) = (l x l, l y l ) = (l -3 l, l 6 l ) f(a) = (3,6)
b. B (4, 2), f (p) = (l x l, l y l ) f(B) = l x l, l y l (4, 2) = l 4 l, l 2 l dan l -4 l, l -2 l (4, 2) l 4 l, l 2l (4, 2) l -4 l, l -2l c. untuk A (-3,6) range dari f untuk A (-3,6) range dari f untuk B (4, 2) = (4, 2) dan (-4, 2) = (4, 2) (4, -2) = (4, 2) (-4, -2) =(4, 2) d. jadi ini fungsi onto bukan fungsi 1 – 1, jadi bukan fungsi transformasi.
8
PENCERMINAN
Definisi Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut: (i)
Jika P ∈ s maka µ s (P) = P
(ii)
Jika P ∉ s maka µ s (P)= P’ sehingga garis s adalah sumbu PP’.
Pecerminan pada garis s selanjutnya kita lambangkan sebagai µ s. Garis s dinamakan sumbu refleksi (pencerminan/cermin). Untuk
menyelidiki
sifat-sifat
pencerminan,
kita
selidiki
apakah
pencerminan itu suatu transformasi. 1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal µ adalah seluruh bidang V. 2) µ s adalah pancaran yang surjektif, sebab ambil X’ ∈ V, kalau X’ ∈ s maka X = X’ sebab µ s(X) = X= X’ Andaikan sekarang X’ ∈ s. Dari sifat geometri ada X ∈ V sehingga menjadi suatu ruas XX’. Ini berarti bahwa µ s (X) = X. 3) Apakah µ s injektif ? Andaikan A ≠ B A ∈ s dan B ∈ s maka jelas A’ = µ s (A) = A dab B’ = µ s (B) = B, A’ ≠ B’. Kalau salah satu, misalnya A ∈ s, maka A’ = µ s (A) = A maka B ∉ s, B’ = µ s dengan B’ ∉ s. Ini pula A’ ≠ B’ atau µ s (A) ≠ µ s (B). Selanjutnya A ∉ s, B ∉ s
9
Misalkan bahwa µ s (A) = µ s (B). Maka A’ dan B’, jadi A’A ⊥ s dan B’B ⊥ s. Ini berarti dari satu A’ ada dua garis berlainan yang tegak lurus pada s. Ini bisa mungkin. Pengandaian bahwa kalau A ≠ B maka µ s (A) = µ s (B) adalah tidak benar, sehingga pengandaian itu salah. Jadi kalau A ≠ B maka µ s (A) ≠ µ s (B). Jadi µ s adalah injektif, dengan demikian µ s adalah injektif, maka dari sifat-sifat (1), (2), dan (3) µ s adalah transformasi dengan asal V dan daerah nilai V. Dan ditulis µ s : V → V.
Contoh 3: Kalau A dan B dua titik maka apabila A’ = µ (A) dan B’ = µ (B). AB = A’ B’. jadi jarak setiap dua titik sama dengan peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Dengan demikian yang dimiliki oleh µ itu membuat µ disebut transformasi yang isometrik atau µ adalah suatu isometri.
Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ, dengan P’=T(P) dan Q’ = T(Q).
Teorema Setiap reflaksi pada garis adalah suatu isometri (lihat gambar) A B
A’
s B’
Jadi kalau A’ = µ s (A), S = µ s (B) maka AB = A’B’.
10
Contoh soal: 1. Diketahui garis g adalah { (x, y) l y = x} dimana h = { (x,y) l y = 0} dan a = (1, 3), b = (-2, 1) tentukan : a. A’ sehingga A’ = (µh o µg ) (A) b. B’ sehingga B’ = (µg o µh ) (B) Jawab: A’ = (µh o µg ) (A) = µh o ( µg ) (A) = µh ( µg ) (1,3) 5 = µh (1,3) 1 A’ = (-3, 1)
B’ = (µg o µh ) (B) = µg o ( µh ) (-2,1) = µh (-2, 1) 1 B’ = (1,2)
2. Diketahui garis g ={ (x, y) l y= -x} dimana h = { (x,y) l y= 3y = x+3}. Tantukan persamaan garis H’ sehingga h’ adalah µg (h). Jawab g ={ (x, y) l y= -x} h = { (x,y) l y= 3y = x+3} y = x+3 3
=1x+1 3
h’ = µg (h) ? misal : Q (x, y) µg (Q) = 3y = x +3 .. (1) Q (x0, y0 ) maka µg (Q) = -y0, -x0 6 Diperoleh hubungan x = -y0 ........(2) y = -x0 Substitusikan 2 ke 1 3(-x0) = -y0 + 3 -3x0 = -y0 + 3 3x0) = y0 – 3
11
Maka h’ = { (x,y) l 3x = y-3} -y = -3x-3 y = 3x +3 maka h’ = { (x,y) l y = 3x + 3}
3. Diberikan garis g adalah {(x,y) l y = 0}, h = {(x,y) l y = x} dimana k = h {(x,y) l x = -2}. Tentukan persamaan garis? a. µg(h) b. µh(g) c. µg(k) jawab: a. µg(h) misal x0, y0 є maka y0 = x0 µg (x0, y0) = - x0, y0 = x, y maka diperoleh x = y - x0 y = x0 y0 sehingga didapat hubungan –y = h maka µg(h) = h(x,y) l –y=h}
b. µh(g) misal x0, y0 є g maaka y0 = 0 µh(x0, y0) = y0, x0 = x, y maka diperoleh x = y0 y = x0 ( x=0, y= x0) sehingga didapat hubungan x =0 maka µh(g) = {(x,y) l x = 0}
12
c.
µg(k)
misal x0, y0 є k maaka x0 = -2 µg(x0, y0) = = -x0, y0 = x, y maka diperoleh x = -x0 y = y0 sehingga didapat hubungan x =-2 maka µg= {(x,y) l x = -2}
13
DAFTAR PUSTAKA
Rawuh. 1992. Geometri Trasnformasi. Bandung.
