TOPIK 5 Bagian 1
andhysetiawan
Pendahuluan Transformasi Fourier dan Fungsi Delta Dirac Modulasi Double Side Band (DSB)
andhysetiawan
Modulasi proses perubahan karakteristik suatu gelombang menurut pola gelombang lain, dengan cara menumpangkan (memboncengkan) suatu gelombang pada gelombang lainnya. Dalam teknik komunikasi, gelombang atau sinyal pita dasar (base band) dikirimkan dengan modulasi gelombang pembawa yang berfrekuensi tinggi. sinyal pita dasar gelombang informasi atau gelombang modulasi ψm Gelombang pembawa ψp andhysetiawan
ψ
ψp
Antena Pemancar
Modulator
Modulasi
ψ
ψm Demodulasi
Antena Penerima Demodulator
andhysetiawan
Filter
ψm
Transformasi Fourier: operasi yang menghubungkan kelakuan suatu fungsi dalam dua domain yang berkonjugasi. ∞
1 − iω t g (ω ) = ψ ( t ) e dt ∫ 2π −∞ ∞
1 −ikx g (k ) = ψ ( x ) e dx ∫ 2π −∞
1 ψ (t ) = 2π
ψ ( x) =
Fungsi Delta Dirac ∞
1 −it (ω −ω0 ) e dt δ (ω − ω 0 ) = ∫ 2π −∞ ∞ 1 −ik ( x − x0 ) e dk δ ( x − x0 ) = ∫ 2π −∞
δ ( x − x0 ) = 0 untuk x ≠ x 0
1 2π
∞
iωt g ( ω ) e dω ∫
−∞ ∞
ikx g ( k ) e dk ∫
−∞
∞
1 − iω ( t − t 0 ) δ (t − t 0 ) = e dω ∫ 2π −∞ ∞ 1 −ix ( k − k 0 ) e dx δ (k − k 0 ) = ∫ 2π −∞
andhysetiawan
δ ( x − x0 ) = ∞ untuk x = x 0
Hasil modulasi secara umum dapat kita ungkapkan dengan :
ψ (t ) = ψ p (t )ψ m (t ) ψ (t ) = ψ po cos(ω p t )ψ mo cos(ω m t )
[
1 ψ (t ) = ψ poψ mo cos(ω p − ω m )t + cos(ω p + ω m )t 2
andhysetiawan
]
Operasi di atas disebut dengan mixing, hasilnya berupa dua komponen
gelombang
(side
band),
masing-masing
berfrekuensi ωp+ωm dan ωp-ωm. ωp+ωm : pita sisi atas (upper side band) ωp-ωm : pita sisi bawah (lower side band) Tampak secara eksplisit bahwa akibat modulasi, terjadi translasi frekuensi gelombang modulasi dari ωm menjadi ωp ± ωm. Gelombang pembawa dalam domain frekuensi :
andhysetiawan
∞
1 − iωt g p (ω ) = ψ ( t ) e dt p ∫ 2π −∞
g p (ω ) =
∞
1 ψ po ∫ cos(ω p t )e −iωt dt 2π −∞ ∞
1 − iω t iω t g p (ω ) = ψ po ∫ (e p + e p )e −iωt dt 4π −∞ ∞
[
]
1 −i (ω −ω p ) t − i ( ω +ω p ) t g p (ω ) = ψ po ∫ e +e dt 4π −∞
[
]
1 g p (ω ) = ψ po δ (ω − ω p ) + δ (ω + ω p ) 2 andhysetiawan
Untuk gelombang modulasi :
g m (ω ) =
∞
1 −iωt ψ ( t ) e dt m ∫ 2π −∞ ∞
1 g m (ω ) = ψ mo ∫ cos(ωmt )e −iωt dt 2π −∞
g m (ω ) =
∞
1 ψ mo ∫ (eiωmt + e −iωmt )e −iωt dt 4π −∞ ∞
[
]
1 g m (ω ) = ψ mo ∫ e −i (ω −ωm )t + e −i (ω +ωm )t dt 4π −∞
1 g m (ω ) = ψ mo [δ (ω − ωm ) + δ (ω + ωm )] 2 andhysetiawan
Hasil modulasinya dalam domain frekuensi :
g (ω ) =
∞
1 −iωt ψ ( t ) e dt ∫ 2π −∞
∞
1 1 g (ω ) = ψ moψ po ∫ (cos(ω p − ωm )t + cos(ω p + ωm )t )e −iωt dt 2π 2 −∞ i (ω p −ω m ) t − i (ω p −ω m ) t 1 e +e g (ω ) = ψ moψ po ∫ 4π 2 − ∞ i ( ω +ω ) t − i ( ω +ω ) t e p m + e p m −iωt + e dt 2 ∞
andhysetiawan
1 1 g (ω ) = ψ moψ po 4 2π
∫ [e
∞
−∞
+e
(
)
− i (ω − ω p −ω m ) t
(
)
− i (ω − ω p +ω m ) t
+e
+e
(
)
− i ( ω + ω p −ω m ) t
(
)
− i (ω + ω p + ω m ) t
[
]dt
1 g (ω ) = ψ poψ mo δ (ω − (ω p − ωm )) + δ (ω + (ω p − ωm )) 4 + δ (ω − (ω p + ωm )) + δ (ω + (ω p + ωm ))
]
[
]
1 g (ω ) = ψ po g m (ω − ω p ) + g m (ω + ω p ) 2
andhysetiawan
Lebar pita (bandwidth) B : B = upper side - lower side = 2 ωm Grafik dalam domain waktu dan domain frekuensi untuk modulasi DSB ini diperlihatkan seperti pada gambar 5.6.
andhysetiawan
andhysetiawan
Daya rata-rata yang diteruskan :
p = Lim
T→∞
1 p = Lim T →∞ T
p = Lim T →∞
1ψ
po
T
2
2
1 T
T 2
2 [ ] ψ ( t ) dt ∫
−
T 2
T 2
2 2 2 { } ψ ( t ) ψ cos (ω p t ) dt po ∫ m
−
T 2
T T2 2 2 2 ∫ {ψ m (t )} dt + ∫ {ψ m (t )} cos( 2ω p t ) dt T − T2 − 2
andhysetiawan
Untuk ωp>>ωm suku ke dua ruas kanan persamaan ini sama dengan nol, maka daya rata-rata :
P = P p Pm
Pp
1 = Lim T→∞ T
Pm
T 2
∫ψ
−
2 po
cos
2
T 2
1 = Lim T→∞ T
1 ( ω p t ) dt = ψ 2
T 2
∫ [ψ
−
T 2
andhysetiawan
( t ) ] dt 2
m
2 po
Demodulasi DSB Demodulasi diartikan sebagai operasi untuk memperoleh kembali sinyal modulasi ψm(t) dari gelombang hasil modulasi ψ(t). Demodulasi DSB dilakukan dengan dua tahap sebagai berikut : a. Gelombang hasil modulasi dikalikan dengan osilator lokal yang sinkron dengan gelombang pembawa ψp(t). Osilator lokal: 2 cos(ωpt).
andhysetiawan
ψ ' (t ) = ψ (t )2 cos(ω p t ) ψ ' (t ) = ψ poψ m (t )[1 + cos(2ω p t )]
ψ ' (t ) = ψ poψ m (t ) + ψ poψ mo cos(ω m t ) cos(2ω p t )
[
1 ψ (t ) = ψ poψ m (t ) + ψ poψ mo cos(ω m t − 2ω p t ) + cos(ω m t + 2ω p t ) 2 '
andhysetiawan
]
Dalam domain frekuensi :
g ' (ω ) =
1 ψ poψ mo g m (ω ) 2π ∞
1 ' −iωt g ' (ω ) = ψ ( t ) e dt ∫ 2π −∞ ∞ 1 g ' (ω ) = ∫ψ 2π − ∞ ∞
∫ [cos(
po ψ
− iω t ( t ) e dt + m
1 ψ 2
po
ψ
mo
ω m t − 2 ω p t ) + cos( ω m t + 2 ω p t ) ]e − i ω t dt
−∞
andhysetiawan
∞ 1 1 − iωt ' g (ω ) = ∫ψ poψ mo cos(ω m t )e dt + ψ poψ mo 2π − ∞ 2 ∞
∫ [cos(ω
m
]
t − 2ω p t ) + cos(ω m t + 2ω p t ) e
−∞
ψ poψ mo ' g (ω ) = 2π
− iωt
dt
∞ ∞ e −ωmt + eωmt −iωt e i (ωm −2 p )t + e −i (ωm −2 p )t −iωt 1 ∫ e dt e dt + ψ poψ mo ∫ 2 4π 2 −∞ −∞ ∞ e i (ωm + 2ωP )t + e −i (ωm + 2ωP )t −iωt 1 + ψ poψ mo ∫ e dt 4π 2 −∞
andhysetiawan
[
]
∞ ∞ ψ ψ 1 −i(ω−(ω −2 ))t −i(ω+(ω −2ω ))t po mo −i(ω−ω )t −i(ω+ω )t ' +e +e g (ω) = dt+ ψpoψmo ∫ e dt ∫ e 4π −∞ 8π −∞
[
m
]
m
m
p
m
p
∞ 1 −i(ω−(ωm+2ωP ))t −i(ω+(ωm+2ωP ))t + ψpoψmo ∫ e +e dt 8π −∞
[
g (ω) = '
ψ poψ mo 2
[δ (ω −ωm ) +δ (ω +ωm )] +
ψ poψ mo
+
4
ψ poψ mo 4
]
[δ (ω −ω
m
[δ (ω −ω
m
]
+ 2ωp ) + δ (ω +ωm − 2ωp )
]
− 2ωp ) +δ (ω + ωm + 2ωp )
Kemudian, dapat dituliskan dalam bentuk :
g (ω) =ψ pogm (ω) + '
ψ po 2
[g (ω + 2ω ) + g (ω − 2ω )] m
andhysetiawan
p
m
p
b. Karena ωp >> ωm , maka ωm << 2ωp − ωm ; berarti sinyal ψpo gm(ω) dapat dipisahkan dengan tapis lolos rendah (lowpass filter) dengan frekuensi pancung (cut off) ωco. ωm < ωco < 2ωp − ωm
andhysetiawan
