SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
3 kaedah penyelesaian :
2 syarat utama : 1. Hanya terdapat 1 pembolehubah 2. Kuasa tertinggi pembolehubah ialah 2
PERSAMAAN
1. Pemfaktoran
KUADRATIK
2. Rumus
ax2 + bx + c = 0
3. Graf Kuadratik
CONTOH 2x2 + 3x - 4 = 0 a = 2 b = 3 c = -4 Graf Kuadratik
Pemfaktoran
Rumus
Cari punca persamaan (x)
Tentukan a, b, c
Guna rumus:
a = tentukan bentuk graf b2 – 4ac = tentukan jenis punca
a> 0 a> 0 ; b2 – 4ac > 0 : 2 punca beza a> 0 ; b2 – 4ac = 0 : 2 punca sama a> 0 ; b2 – 4ac < 0 : Tiada punca
a<0
x
b
1
b2 2a
4ac
a< 0 ; b2 – 4ac > 0 : 2 punca beza a< 0 ; b2 – 4ac = 0 : 2 punca sama a< 0 ; b2 – 4ac < 0 : Tiada punca
SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
Persamaan Kuadratik Menyatakan Persamaan Kuadratik :
Bentuk Am
:
Contoh
:
ax2 + bx + c = 0
2x2 + (-5x) + 6 = 0
Menjadi
Persamaan Kuadratik mesti memenuhi 2 syarat berikut : (a) (b)
Terdapat satu pembolehubah Kuasa tertinggi pembolehubah ialah 2
Penyelesaian Persamaan Kuadratik Terdapat 3 kaedah penyelesaian persamaan kuadratik (a)
Pemfaktoran
(b)
Rumus
(c)
Graf
:
a. Pemfaktoran
Contoh 1 : Cari punca – punca persamaan kuadratik (x-3) (x+4) = 0 Penyelesaian : Diberi (x-3) (x+4) = 0 x -3 = 0 atau x + 4 = 0 x=3 x = -4 Maka, punca-punca (x-3) (x+4) = 0 ialah 3 dan -4
2
2x2 -5x + 6 = 0
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
Contoh 2 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah : x2 – 3x – 10 = 0 Penyelesaian : Diberi x2 – 3x – 10 = 0 (Kaedah Pemerinyuan) (x+2) (x -5) = 0 x +2 = 0 atau x -5 = 0 x = -2 x=5 Maka, punca- punca x2 – 3x – 10 = 0 ialah -2 dan 5
Contoh 3 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah : x2 – 9 = 0 Penyelesaian : Diberi
x2 – 9 = 0 x2 – 32 = 0 ( Kaedah Selisih Dua Kuasa Dua) (x+3) (x -3) = 0 x +3 = 0 atau x -3 = 0 x = -3 x=3
Maka, punca-punca x2 – 9 = 0 ialah -3 dan 3
Contoh 4 : Cari punca – punca persamaan kuadratik di bawah : x2 – 42 = 0 ( Kaedah Selisih Dua Kuasa Dua) Penyelesaian : Diberi
x2 – 42 = 0 (x+4) (x -4) = 0 3
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK x +4 = 0 atau x -4 = 0 x = -4 x=4 Maka, punca-punca x2 – 42 = 0 ialah -4 dan 4
Contoh 5 : Permudahkan setiap yang berikut kepada bentuk teringkas 5x-2(3-2x) ( Faktor Sepunya) Penyelesaian : Diberi 5x-2(3-2x)
= 5x – 6 +4x = 9x – 6 = 3(3x-2)
Maka, bentuk teringkas 5x-2(3-2x) adalah 3(3x-2)
Contoh 6 : Permudahkan setiap yang berikut kepada bentuk teringkas (m-5) – (5-m) ( Faktor Sepunya) Penyelesaian : Diberi (m-5) – (5-m) = m – 5 – 5 + m = 2m-10 = 2(m-5) Maka, bentuk teringkas (m-5) – (5-m) adalah 2(m-5)
4
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
b. Rumus
Selain daripada kaedah pemfaktoran, kita juga boleh menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan Rumus Kuadratik.
Contoh 1 : Selesaikan 4x2 – 8x + 1 = 0 secara kaedah rumus. Berikan jawapan kepada 2 titik perpuluhan. Penyelesaian : a = 4 ; b = -8 ; c = 1 ( 8)
x=
=
=
( 8) 2 2(4)
8
64 16 8
8
48
4(4)(1)
8
=
8 6.928 8
Maka, x
=
8 6.928 8
x=
8 6.928 8
= 1.866
= 0.134
= 1.87
= 0.13
5
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
Contoh 2 : Selesaikan x + 1 =
6 x 3
( x-3) ( x+1) = 6 x2 – 2x -3 =6 2 x – 2x -9 =0 Jika dibandingkan dengan ax2 - bx + c = 0 a= 1 ; b = -2 ; ( 2)
x=
2
=
( 2) 2 2(1)
c = -9 4(1)( 9)
40 2
=
2 6.324 2
Maka, x=
2 6.324 2
x=
= 4.162
2 6.324 2
= -2.162
6
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK c. Graf
Bentuk Graf terbahagi kepada 3 bentuk iaitu: Fungsi Malar Fungsi Linear Fungsi Kuadratik
Contoh Graf Fungsi Malar :
Contoh Graf Fungsi Linear :
7
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
Contoh Fungsi Kuadratik :
Contoh Fungsi Kubik :
8
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
Contoh Fungsi Salingan :
9
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
Penyelesaian Graf Kuadratik
Bentuk am fungsi kuadratik ialah f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c
Graf berbentuk parabola
Bentuk dan kedudukan graf bergantung kepada nilai a dan b2 – 4ac a>0 a> 0 dan
a<0
b2 – 4ac > 0
a< 0 dan
2 punca berbeza
a> 0 dan
2 punca berbeza
b2 – 4ac = 0
a < 0 dan
2 punca sama a> 0 dan
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
2 punca sama
b2 – 4ac < 0
a < 0 dan
b2 – 4ac < 0
Tiada punca
Tiada punca 10
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
Contoh 1 : Diberi f(x) = 2x2 + 8x + 8 a) Tentukan jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan pada paksi x. c) Lakarkan graf bagi f(x) = 2x2 + 8x + 8
Penyelesaian : a) b2 – 4ac = (8)2 – ( 4(2)(8)) = 64 -64 = 0 Maka, jenis punca ialah 2 punca yang sama a=2 Maka a > 0 Kedudukan graf ialah :
b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan pada paksi x f(x) = 2x2 + 8x + 8 Jika f(x) = 0 2x2 + 8x + 8 = 0 (2x + 4) ( x+2) = 0
11
SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
Maka, 2x + 4 = 0 x=
x+2 = 0 4 2
x = -2
x = -2 c) Lakarkan graf bagi f(x) = 2x2 + 8x + 8 Bila f(x) = 0, maka x = -2 Bila
x = 0, maka f(0) = 2(0) 2 + 8 (0) + 8 =8
Maka titik persilangan pada paksi x ialah -2 dan titik persilangan pada paksi f(x) ialah 8. Graf : f (x)
8
x -2
12
SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 2 : Lakarkan graf f(x) = x2 - x – 6 untuk domain -2
x
5 dan nyatakan julat f(x)
yang sepadan. (a) Tentukan jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik Penyelesaian : Didapati persamaan am ialah f(x) = x2 - x – 6 b2 – 4ac = (-1)2 – ( 4(1)(-6)) =1 + 24 = 25 Maka, jenis punca ialah 2 punca yang beza a=1 Maka a > 0 Kedudukan graf ialah :
(b) Dapatkan punca-punca persamaan tersebut @ Dapatkan titik persilangan pada paksi x Diberi f(x) = 6 + x – x2 Maka, f(x) = x2 - x – 6 Jika f(x) = 0 x2 - x – 6= 0 (x-3) ( x+2) = 0 x-3 =0
x+2 = 0
x=3
x = -2 13
SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
(c) Lakarkan graf bagi f(x) = x2 - x – 6 Bila f(x) = 0, maka x =3 dan x = -2 Bila
x = 0, maka f(0) = (0) 2 - (0) - 6 =-6
Maka titik persilangan pada paksi x ialah -2 dan 3 dan titik persilangan pada paksi f(x) ialah 6. Graf : f(x) 6
x -2 -
3
-6
14
SPA 3204
TOPIK 5 : MENGGUNAKAN KUADRATIK
MATEMATIK GUNAAN
Latihan : 1.
Nyatakan samada persamaan berikut persamaan kuadratik atau tidak (a)
2.
x2 -9x + 8 = 0
(b)
2x3 - 3 = 0
Tulis semula setiap persamaan kuadratik dalam bentuk am dan nyatakan nilai a, b dan c (a)
3.
(b)
y2 = 3y – 4
Cari punca-punca setiap persamaan kuadratik (a)
4.
x ( x + 1) = 4x -5
x (x- 4) = 0
(b)
(2x + 1) (3x – 2) = 0
Selesaikan persamaan kuadratik berikut secara rumus. Berikan jawapan sehingga 2 t.p. (a)
2x2 + 7x + 4 = 0
(b)
15
2x2 = 10x -11