TOPIK 12 DESIGN OF EXPERIMENT (DOE)

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK

TOPIK 12 PRODUCT & PROCESS DESIGN PRINCIPLES

DESIGN OF EXPERIMENT (DOE)

LD, Semester II 2003/04

Hlm. 1


1. PENDAHULUAN Kerangka DOE : FAKTOR DESAIN (controllable) X1

X2

Xk ……

Input Response: Y

PROSES …… Z1 Z2

Zm

FAKTOR NOISE (uncontrollable)

Manfaat DOE : 1. Dapat digunakan untuk identifikasi variabel keputusan yang diperlukan untuk pengendalian atau perbaikan kualitas. 2. Dalam pengembangan proses baru, dapat digunakan untuk menentukan faktor penting untuk memaksimumkan output atau reduksi biaya: Reduksi waktu antara pengembangan & manufakturing; Menghasilkan desain yang robust terhadap noise. LD, Semester II 2003/04

Hlm. 2

1

PLAN STATISTIK TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS PDCA Cycle A P C D A P C D

Continuous Improvement

FOKUS PERAN DOE

DO


CHECK

ACTION Hlm. 3


Terminologi : 1.Faktor : variabel independen (controllable parameters). Kuantitatif : level faktor dinyatakan dalam rentang; Kualitatif : diskrit, dalam bentuk klasifikasi. 2.Respon : hasil yang diobservasi atau diukur pada tingkat faktor atau tingkat perlakuan tertentu. 3.Perlakukan (treatment) : kombinasi tertentu dari tingkat faktor yang efeknya pada variabel respon menjadi obyek pengamatan. 4.Unit Eksperimental : kuantitas material maksimum (untuk menufaturing) atau jumlah layanan (untuk sektor jasa) yang dikenai 1 kali treatment. 5.Unit Sampling : bagian / fraksi dari unit eksperimental yang diukur efek eksperimennya. 6.Kesalahan (error) eksperimental : variasi antar respon terhadap treatment yang sama, terjadi karena noise (uncontrollable factor)


Hlm. 4

2


2. COMPLETELY RANDOMIZED DESIGN (CRD) Matriks Data : REPLIKASI (j)

TREATMENT (i)

1

2

3

…

r

ΣTreatment

Y11

Y12

Y13

…

Y1r

Y1.

Y21

Y22

Y23

…

Y2r

Y2.

3

Y31

Y32

Y33

…

Y3r

Y3.

p

Yp1

Yp2

Yp3

…

Ypr

Yp.

Σ Replikasi

Y.1

Y.2

Y.3

…

Y.r

Y..

…

1 2

Model Statistik :

Yij = µ + τ j + ε ij dimana τj = dampak treatment εij = error random terkait dengan observasi ij µ = rata-rata total LD, Semester II 2003/04

Hlm. 5


Tabel Anova CRD : SUMBER

SUM OF SQUARE 2

∑i =1 Yi . p

Treatment

SSTR =

r

−

MEAN OF SQUARE

p–1

MSTR = SSTR / (p – 1)

Y ..2 pr

Error

SSE = SST - SSTR

Total

SST = ∑i = 1 ∑ j = 1 Yij 2 − p

DEGREE OF FREEDOM

r

p (r – 1)

MSE = SSE / [p(r – 1)]

pr – 1

MST = SST / (pr – 1)

Y ..2 pr

FStatistik

FStatistik = MSTR/MSE

Uji Hipotesis : 1. H0 : µ1 = µ2 = µ3=… = µp H1 : minimum 1 µ tidak sama 2. Kriteria penolakan : Fα,(p-1),p(r-1) Terima H0 jika FStatistik ≤ Fα,(p-1),p(r-1) Tolak H0 jika FStatistik > Fα,(p-1),p(r-1) LD, Semester II 2003/04

Hlm. 6

3


Contoh 1 : CRD Tiga macam lem yang berbeda diuji dampaknya terhadap kekuatan lekat kertas dalam pulp. Ketiga lem tersebut secara random dicampurkan dalam 4 batch kertas secara terpisah. Data kekuatan rekat diberikan pada tabel di bawah. Apakah ada perbedaan kekuatan rekat antar ketiga lem tersebut untuk α=5% ? TREATMENT: Jenis Lem

1 10,2 12,8 7,2

1 2 3

SST = ∑i = 1 ∑ j = 1 Yij 2 − p

r

∑ j Yi.2

REPLIKASI (Kekuatan Rekat) 2 3 11,8 9,6 14,7 13,3 9,8 8,7

4 12,4 15,4 9,2

SUM (Treatment)

MEAN (Treatment)

44,0 56,2 34,9 135,1

11,000 14,050 8,725 11,258

Y ..2 ( 135 ,1 )2 = 1591,390 − = 70,389 pr 3( 4 )

r

Y ..2 ( 44 )2 + ( 56 ,2 )2 + ( 34 ,9 )2 ( 135 ,1 )2 = − = 57,111 r rp 4 3( 4 ) SSE = SST − SSTR = 70 ,389 − 57 ,111 = 13,278 SSTR =

−

MSTR SSTR /( p − 1 ) 57 ,111 / 2 28 ,555 = = = = 19,359 MSE SSE / [ p( 1 − r )] 13,278 / 9 1,475

FStatistik = LD, Semester II 2003/04

Hlm. 7


SUMBER VARIASI

DOE

SS

MS

FStatistik

Treatment: Lem

p–1 = 2

57,111

28,555

19,359

Error

p(r–1) = 3(4-1) = 9

13,278

1,475

Total

pr-1=3(4)-1=11

70,389

F0,5;2;9 = 4,26 < F

Statistik

Kesimpulan: Tolak H0 → ada perbedaan signifikan antara rata-rata kekuatan rekat dari ketiga lem yang diuji


Hlm. 8

4


3. BLOCKING DALAM DOE Blocking : Digunakan untuk mengisolasi treatment dari pengaruh faktor lain (nuisance or noise).

Contoh Faktor Blocking : FAKTOR INTEREST

TUJUAN

VARIABEL BLOCKING

KETERANGAN

Menentukan metoda perakitan tercepat

Metoda perakitan (fixed effect)

Operator (random effect)

Setiap operator sebagai block (diduga operator berdampak pada kecepatan rakitan)

Menentukan temperatur pengeringan terbaik untuk kualitas produk

Temperatur tertentu (fixed effect)

Waktu, kelembaban (fixed & random effect)

Kelembaban mempengaruhi proses. Block: pagi, siang, malam

Meningkatkan efektivitas zat aditif bahan baku untuk mereduksi polusi

Beberapa zat aditif

Umur mobil (fixed & random effect)

Umur mobil mencerminkan performansi mobil (0-1; 2-3; 45)

Reduksi variasi dalam dimensi produk

Unit produk ttt (random effect)

Alat pengukuran aktual yang digunakan (random effect)

Diperkirakan alat ukur mempengaruhi variasi produk


Hlm. 9


Model Statistik :

Yij = µ + τ i + β j + ε ij τ i = dampak treatment β j = dampak block Konsep Blocking : SST

SST

SST SSTB1

SSTR

SSE

SSTR

SSTB

SSE

(a) No blocking: Completely Randomized Design (CRD)


(b) Blocking pada 1 var. noise: Randomized Complete Block Design (RBD)

SSTR

SSTB2 SSE

(c) Blocking pada 2 var. noise: Latin Square Design (LSD)

Hlm. 10

5

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK 3. RANDOMIZED BLOCK DESIGN

(RBD)

Matriks Data : TREATMENT (i) 1 2 3

2 Y12 Y22 Y32

BLOCK (j) 3 Y13 Y23 Y33

… … … …

r Y1r Y2r Y3r

Yp1 Y.1

Yp2 Y.2

Yp3 Y.3

… …

Ypr Y.r

Σ TREATMENT-i Y1. Y2. Y3.

…

1 Y11 Y21 Y31

p Σ BLOCK-j

Yp. Y..

Tabel Anova RBD : SUMBER

SS

DOE

Block

SSB

r–1

Treatment

SSTR

p–1

Error

SSE = SST – SSTR – SSB

(p – 1) (r – 1)

Total

SST

pr – 1

MS MSB = SSB / (r – 1) MSTR = SSTR / (p – 1) MSE = SSE / [ (p–1)(r–1)] MST = SST / (pr – 1)

FStatistik

FStatistik = MSTR/MSE

Kriteria penolakan H0: F Statistik > F0,5;2;9 = 4,26 LD, Semester II 2003/04

Hlm. 11


Formula :

1. SST = ∑i = 1 ∑ j = 1 Yij 2 − p

r

∑ j Yi.2 r

2. SSTR =

∑

r r Y.j2 j

−

Y ..2 pr

Y ..2 pr

Y ..2 p pr 4. SSE = SST − SSTR − SSB

3. SSB =

−

MSTR SSTR /( p − 1 ) = MSE SSE / [( p − 1 )( 1 − r )] Uji perbedaan antar rata - 2 treatment : H 0 : µ1 = µ 2 = µ 3 = ..... = µ p

5. FStatistik =

H 1 : min imum 1 µ tidak sama Kriteria penolakan H 0 : FStatistik > Fα ,( p − 1 ),( p − 1 )( r − 1 ) LD, Semester II 2003/04

Hlm. 12

6


Uji efektivitas blocking : FB = MSB / MSE Blocking efektif jika FB > Fα ,( r − 1 ),( p − 1 )( r − 1 ) Estimasi interval rata - rata dari hasil treatment : L(µi ) = Y i. ± t α/ 2 ,(p-1 )(r-1 ) MSE/r Estimasi perbedaan antar 2 rata - rata :

(

)

L(µ1 − µ 2 ) = Y1. − Y2 . ± t α/ 2 ,(p-1 )(r-1 ) 2 MSE/r


Hlm. 13


Contoh 2 : RBD Untuk menjaga stabilitas temperatur ruangan, diperlukan pemasangan insulator pada ruangan. Untuk mendapatkan efisiensi terbaik, perusahaan konstruksi bermaksud menguji efisiensi dari 3 insulator yang berbeda. Karena lokasi ruang yang dibangun bervariasi dengan temperatur yang berbeda, maka disusun rencana eksperimen sebagai berikut. Perusahaan membagi area menjadi 4 lokasi geografis berdasarkan perbedaan iklim. Pada setiap lokasi geografis, secara random digunakan 3 jenis insulator dan diukur energy loss dalam sebuah indeks. Indeks yang lebih kecil merepresentasikan energy loss yang lebih rendah. Tabel berikut memperlihatkan data energy loss index untuk 3 jenis insulator di 4 lokasi yang berbeda. a. Apakah ada perbedaan antar rata-rata energy loss index dari ketiga insulator untuk tingkat signifikansi α = 10%? b. Tentukan estimasi interval untuk rata-rata energy loss index dari insulator 3 dengan confidence interval 99%. c. Tentukan estimasi interval untuk perbedaan rata-rata energy loss index dari insulator 3 dan insulator 2 dengan confidence interval 90%. Apakah ada perbedaan antar rata-2 energy loss index dari kedua insulator tersebut? d. Insulator mana yang sebaiknya dipilih?


Hlm. 14

7


Tabel data : TREATMENT: Jenis Insulator (i)

I 19,2 11,7

1 2

LOKASI GEOGRAFIS (j) II III 12,8 16,3 6,4 7,3

IV 12,5 6,2

SUM (Treatment-i)

MEAN (Treatment-i)

60,8 31,6

15,2 7,9 4,125

3

6,7

2,9

2,9

2,8

16,5

SUM (Block-j) MEAN (Block-j)

37,6 12,533

22,1 7,367

27,7 9,233

21,5 7,167

108,9 9,075

Solusi a :

SST = ∑i ∑ j y ij2 −

∑i = 1 yi.2

y ..2 108 ,9 2 = 1301,95 − = 313,683 3( 4 ) pr

p

SSTR =

r

SSBlock =

∑ j y .j2 p

− −

y ..2 ( 60 ,8 )2 + ( 31,6 )2 + ( 16 ,5 )2 108 ,9 2 = − = 253,596 4 3( 4 ) rp y ..2 ( 37 ,6 )2 + ( 22 ,1 )2 + ( 27 ,7 )2 + ( 21,5 )2 108 ,9 2 = − = 55,636 3 3( 4 ) rp


Hlm. 15


Tabel Anova RBD : SUMBER VARIASI TREATMENT: Insulator

DOF 2

SS 253,596

MS 126,798

BLOCK: Lokasi Geografis

3

55,636

18,545

ERROR

6

4,451

0,742

TOTAL

11

313,683

F Stat 170,887

Kriteria keputusan : F10%,2,6 = 3,46 Karena F Stat > F 10%,2,6 , maka minimum 1 rata-rata energy loss index berbeda dari rata-rata energy loss index yang lain. Solusi b : L(µ3 ) = Y3 ± t0 ,005 ;6 MSE/ 4 = 4 ,125 ± ( 3,707 ) 0 ,742 / 4 = 4 ,125 ± 1,597 = (2,528 ; 5,722)

Solusi c : Karena interval tidak mencakup angka nol, dapat disimpulkan bahwa terdapat = ( 7 ,9 − 4 ,125 ) ± ( 1 ,943 ) 2( 0 ,742 ) / 4 perbedaan signifikan antara rata-rata energy loss index insulator 2 & insulator 3 = 3 ,775 ± 1 ,183 = (2,592 ; 4,958) pada tingkat signifikansi 10%

L(µ 2 − µ 3 ) = ( Y2 − Y3 ) ± t 0 ,05 ;6 2 MSE/ 4


Hlm. 16

8


Solusi d : Karena semakin kecil nilai index semakin rendah energy loss yang terjadi, maka disarankan untuk memilih insulator 3. Analisis: Pada solusi c diperlihatkan bahwa dibandingkan insulator 2, secara statistik rata-rata energy loss index insulator 3 lebih rendah. Dan karena rata-rata energy loss index insulator 1 bahkan lebih tinggi dari insulator 2 & 3, maka disarankan untuk memilih insulator 3.


Hlm. 17


4. LATIN SQUARE DESIGN (LSD) Merupakan incomplete block design; Treatment ditulis dengan huruf latin A, B, C, ….. Jumlah unit eksperimental = p2, dimana p = jumlah eksperimen. Kelebihan LSD: memungkinkan blocking 2 variabel → mereduksi variabilitas error eksperimental. Kekurangan LSD:

Σ Kelas setiap variable blocking = Σ Treatment → degree of freedom untuk error eksperimental ↓ jika Σ treatment ↓;

Σ unit eksperimental = (Σ Treatment)2 ⇒ Σ Treatment dibatasi ≤ 10;

Batasan model : 1. Tidak ada interaksi antara treatment & var. blocking atau antar var. blocking; 2. Σ Kelas variabel blocking harus sama.


Hlm. 18

9


Desain LSD : Standar Latin Square Design dengan 5 treatment: BLOCKING VARIABEL 2

BLOCKING VARIABLE 1 1

2

3

4

1

A

B

C

D

E

2

B

C

D

E

A

3

C

D

E

A

B

4

D

E

A

B

C

5

E

A

B

C

D

Randomisasi dalam LSD :

5

Urutan awal baris; disusun berdasarkan nilai Bil. Random

1. Perubahan Urutan Baris BIL. RANDOM

RANK ORDER

URUTAN BARU BARIS

658

4

1

409

3

2

322

2

3

157

1

4

762

5

5


Hlm. 19


Randomisasi dalam LSD :

Urutan awal kolom; disusun berdasarkan nilai Bil. Random

2. Perubahan Urutan Kolom BIL. RANDOM

RANK ORDER

URUTAN BARU KOLOM

368

1

1

721

4

2

870

5

3

452

3

4

379

2

5

Contoh Desain LSD : BV 1

BV 1

1

2

3

4

5

1

A

B

C

D

E

2

B

C

D

E

3

C

D

E

4

D

E

A

5

E

A

B

BV 2

2

3

4

5

1

D

E

A

B

C

A

2

C

D

E

A

A

B

3

B

C

D

B

C

4

A

B

C

C

D

5

E

A

B

C

a. Standard LSD LD, Semester II 2003/04

BV 1

1

BV 2

1

2

3

4

1

D

B

C

A

E

B

2

C

A

B

E

D

E

A

3

B

E

A

D

C

D

E

4

A

D

E

C

B

D

5

E

C

D

B

A

b. Randomisasi baris LSD

BV 2

5

b. Randomisasi kolom LSD Hlm. 20

10

TI 3221 PENGENDALIAN TABEL DATAKUALITAS LSD : STATISTIK

1 Y11 Y21 Y31

2 Y12 Y22 Y32

KOLOM BV-1 3 Y13 Y23 Y33

… … … …

r Y1r Y2r Y3r

p Σ KOLOM

Yp1 Y.1

Yp2 Y.2

Yp3 Y.3

… …

Ypr Y.r

SS

1 T1

2 T2

TREATMENT k 3 T3

… …

r Tr

y1

y2

y3

BARIS BV-2 1 2 3

Σ BARIS Y1. Y2. Y3.

… MS

dofT=(p2-1)

SST = ∑i ∑ j y ij2 −

dofR=(p-1)

SSRow =

dofC=(p-1)

SSCol =

dofTR=(p-1)

SSTR =

∑i yi.2 p ∑ j y .j2 p

∑

−

y ..2 p2

−

y ..2 p2

p T2 k =1 k


y ..2 p2

p

−

yr

SSE dof E dof E dof E

Yp. Y..

= Tk / p

= SST − SSR − SSC − SSTR = (p 2 − 1 ) − (p − 1 ) − (p − 1 ) − (p − 1 ) = p2 − 3 p + 2 = (p − 1 )(p − 2 )

MSTR MSE MSTR = SSTR/dof TR MSE = SSE/dof E

FTR =

y ..2 p2

Hlm. 21


Tabel Anova LSD : SUMBER VAIRASI

Dof

SS

MS

FStatistik

Baris : Blocking Variable 1

p-1

SSR

MSB = SSB / (p – 1)

MSB/MSE

Kolom : Blocking Variable 2

p-1

SSC

MSC = SSC / (p – 1)

MSC/MSE

Treatment

p-1

SSTR

MSTR = SSTR / (p-1)

MSTR/MSE

Error

(p-1)(p-2)

SSE = SST – SSTR – SSC – SSB

MSE = SSE / [ (p–1)(p–2)]

Total

p2 - 1

SST

MST = SST / (p2 – 1)

FR = FC = FTR =

Kriteria penolakan H0: F Statistik > Fα, dofdof-1, dofdof-E


Hlm. 22

11


Contoh 3 : LSD Sebuah perusahaan retail tertarik untuk menguji dampak dari 4 kebijakan harga (pricing policy) A, B, C, dan D pada tingkat penjualan. Perusahaan menduga variasi pada penjualan diperngaruhi oleh faktor lain disamping kebijakan harga, seperti lokasi toko dan volume penjualan. Perusahaan telah membuat klasifikasi lokasi menjadi 4: Timur-laut, Timur, Barat-tengah, dan Tenggara, dan volume penjualan menjadi 4 kelas: 1, 2, 3, dan 4 dimana kelas 1 merepresentasikan volume penjualan terbesar, sedang kelas selanjutnya menunjukkan volume penjualan yang semakin kecil. Setiap kebijakan harga diterapkan satu kali pada setiap lokasi dan setiap kelas penjualan. Tabel data memperlihatkan nilai penjualan untuk periode 3 bulan dengan kebijakan harga yang terkait. a. Apakah ada perbedaan dampak kebijakan harga pada rata-rata nilai penjualan pada tingkat signifikansi 5%? b. Tentukan 90% confidence interval untuk rata-rata nilai penjualan yang menggunakan kebijakan harga A. c. Kebijakan harga yang mana yang sebaiknya digunakan?


Hlm. 23


Tabel data : BV-2: Kelas Vol. Penjualan (i)

Timur-laut 19,2 A 13,2 B 4,2 C

1 2 3 4 SUM BV-1 (j) SUM Treatment:

D

8,4

TA =

45,0 63,9

BV-1: Lokasi Geografis (j) Timur Timur-Barat C 6,6 B 15,4 D 8,2 5,3 C A 14,6 9,4 D A

13,3

TB =

43,4 44,7

B

7,6

TC =

37,0 22,3

Tenggara D 10,5 A 16,8 B 8,5 C

6,2

TD =

42,0 36,5

SUM BV-2 (i) 51,7 43,5 36,7 35,5 167,40

Solusi a : y ..2 ( 167 ,4 )2 = 2046 ,48 − = 1751,4225 2 42 p

SST = ∑i ∑ j y ij2 − SSRow = SSCol =

∑i yi.2 p

∑ j y .j2 p

∑

−

y ..2 ( 51,7 )2 + ( 43 ,5 )2 + ( 36 ,7 )2 + ( 35 ,5 )2 ( 167 ,4 )2 = − = 41,6475 4 42 p2

−

y ..2 ( 45 ,0 )2 + ( 43 ,4 )2 + ( 37 ,0 )2 + ( 42 ,0 )2 ( 167 ,4 )2 = − = 8,9675 4 42 p2

p T2 k =1 k

y ..2 ( 63,9 )2 + ( 44 ,7 )2 + ( 22 ,3 )2 + ( 36 ,5 )2 ( 167 ,4 )2 = − = 226,2875 p p2 4 42 SSE = SST − SSRow − SSCol − SSTR = 18,155

SSTR =


−

Hlm. 24

12


Tabel Anova : SUMBER VARIASI 1. ROW: Vol. Penjualan 2. COL: Lokasi Geografis 3. TREAT: Kebijakan Harga

dof 3 3 3

SS 41,65 8,97 226,29

4. ERROR

6

18,16

5. TOTAL

15

1751,42

MS=SS/dof 13,88 2,99 75,43

F-Stat

24,93

3,03

Kriteria keputusan : F5%,3,6 = 3,46 Karena F Stat > F 10%,2,6 , maka minimum 1 rata-rata energy loss index berbeda dari rata-rata energy loss index yang lain. Solusi b : L(µ3 ) = Y3 ± t0 ,005 ;6 MSE/ 4 = 4 ,125 ± ( 3,707 ) 0 ,742 / 4 = 4 ,125 ± 1,597 = (2,528 ; 5,722)

Solusi c : L(µ3 − µ3 ) = ( Y2 − Y ) ± t0 ,05 ;6 2 MSE/ 4 = ( 7 ,9 − 4 ,125 ) ± ( 1,943 ) 2( 0 ,742 ) / 4 = 3,775 ± 1,183 = (2,592 ; 4,958) LD, Semester II 2003/04

Karena interval tidak mencakup angka nol, dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan signifikan antara rata-rata energy loss index insulator 2 & insulator 3 pada tingkat ingnifikansi 10%

Hlm. 25


5. EKSPERIMEN FAKTORIAL (EF) Treatment (perlakuan): Level 1 Level 1 Level 2

FAKTOR A

Level 2

FAKTOR B Level 3

Level 3 Level 4

TREATMENT/ PERLAKUAN

Σ TREATMENT = perkalian Σ level seluruh faktor : 3 x 4 = 12

Eksperimen Faktorial: mencakup seluruh kombinasi treatment yang mungkin dengan replikasi yang lengkap. Kelebihan EF:

memberikan kemampuan untuk mengestimasi dampak interaktif antar faktor;

dalam studi eksploratif, menentukan faktor-faktor penting (kunci).

Kekurangan EF: peningkatan jumlah eksperimen secara eksponensial sejalan dengan pertambahan jumlah faktor dan/atau level mereka. LD, Semester II 2003/04

Hlm. 26

13


5.A Eksperimen Faktorial 2 Faktor dgn CRD Setting : Jumlah faktor : 2, faktor A & B; Jumlah level : Faktor A = a level, Faktor B = b level; Treatment ab diterapkan secara random pada unit eksperimental; Replikasi eksperimen : n kali; Total observasi : abn; Model respon terhadap perlakuan (treatment) :

y ijk = µ + α i + β j + ( αβ)ij + ε ijk , i = 1,2,..., a , j = 1,2,..., b , k = 1,2,..., n Yijk µ αi βj (αβ) i j εijk

= = = = = =

respons terhadap level i faktor A, level j faktor B & pada replikasi ke-k; efek rata-rata secara keseluruhan; efek level i faktor A; efek level j faktor B; efek interaksi level i faktor A & level j faktor B; komponen error random (diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 & variansi konstan σ2.


Hlm. 27


TABEL DATA EF – 2f & CRD : FAKTOR A

FAKTOR B 1

2

…

b

1

Y111, Y112, …, Y11n

Y121, Y122, …, Y12n

…

Y1b1, Y1b2, …, Y1bn

Sum = Y11.

Sum = Y12.

2

Y211, Y212, …, Y21n

Y221, Y222, …, Y22n

…

Y2b1, Y2b2, …, Y2bn

Sum = Y21.

Sum = Y22.

3

Y311, Y312, …, Y31n

Y321, Y322, …, Y32n

…

Y3b1, Y3b2, …, Y3bn

Sum = Y31.

Sum = Y32.

Sum = Y1b.

Sum = Y1b.

Sum = Y3b.

SUM

AVE.

Y1..

Y1..

Y2..

Y2..

Y3..

Ya..

…

…

…

…

Ya11, Ya12, …, Ya1n

Ya21, Ya22, …, Ya2n

Sum = Ya1.

Sum = Ya2.

Sum = Yab.

Ya..

Y...

SUM

Y.1.

Y.2.

Y.3.

Y…

AVERAGE

Y.1.

Y.2.

Y.b.


…

… a

…

Yab1, Yab2, …, Yabn

Hlm. 28

14


FORMULA EF – 2f & CRD :

dof = abn − 1

dof = a − 1

a

SST =

SSA =

b

Y.2

n

∑ ∑ ∑ Yijk 2 − abn..

i =1 j =1k =1 a 2 Yi.. i =1

∑ b

bn

−

Y...2 abn

−

Y...2 abn

∑ Y.j.2

dof = b − 1

SSB =

j =1

an

a

b

∑ ∑ Yij.

2

dof = (a − 1)(b − 1)

Y...2 n abn SSAB = SS(subtotal) − SSA − SSB

dof = ab(n − 1)

SSE = SST − SS(subtotal)

SS(subtotal) =

i =1 j =1

−


Hlm. 29


Tabel Anova EF – 2f & CRD : SUMBER VARIASI

Dof

SS

MS

FStatistik

FAKTOR A

a–1

SSA

MSA = SSA / (a – 1)

MSA/MSE

FAKTOR B

b–1

SSB

MSB = SSB / (b – 1)

MSB/MSE

INTERAKSI FAKTOR A & B

(a–1)(b–1)

SSAB = SS(subtotal) – SSA – SSB

MSAB = SSAB / [(a–1)(b–1)]

ERROR

ab(n–1)

SSE = SST – SS(subtotal)

MSE = SSE / [ ab(n – 1)]

TOTAL

abn – 1

SST

MST = SST / (abn – 1)


FA = FB =

FAB = MSAB/MSE

Hlm. 30

15

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK UJI SIGNIFIKANSI FAKTOR PADA

EF – 2f & CRD

Uji I: keberadaan efek interaktif faktor A & B. Ho : (αβ)ij = 0 untuk semua i, j, i = 1, 2, …, a , j = 1, 2, …, b. Ha : minimum 1 (αβ)ij ≠ 0 FStatistik : FAB = MSAB/MSE, dof-1 = (a-1)(b-1), dof-2 = ab(n-1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (a-1)(b-1), ab(n-1) Jika Ho ditolak, atau terdapat interaksi efek faktor A & B secara signifikan, maka nilai rata-rata respon terhadap satu level faktor A untuk seluruh level faktor B tidak memiliki makna. Jika Ho diterima, atau interaksi efek faktor A & B tidak signifikan, maka beralasan untuk menguji efek dari masing-masing faktor A & B. Uji 2-a: kesamaan efek faktor A. Ho : α1 = α2 = … = αa untuk semua i, i = 1, 2, …, a. Ha : minimum 1 αi tidak sama FStatistik : FA = MSA/MSE, dof-1 = a – 1, dof-2 = ab(n-1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (a-1), ab(n-1) •

Uji 2-b: kesamaan efek faktor B. Ho : β1 = β2 = … = βb untuk semua j, j = 1, 2, …, b Ha : minimum 1 αi tidak sama FStatistik : FB = MSB/MSE, dof-1 = b – 1, dof-2 = ab(n-1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (b-1), ab(n-1)


Hlm. 31


ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL RATA-RATA RESPONS : Estimasi 100(1-α) confidence interval rata-rata respons terhadap treatment : a. Level i faktor A & level j faktor B:

Yij. ± t α/2,ab(n − 1) MSE/n

S Y(AB) = DS rata - rata treatment pd level i faktor A & level j faktor B

b. Level i faktor A :

Yi.. ± t α/2,ab(n − 1) MSE/(bn)

S Y(A) = DS rata - rata treatment pd level i faktor A

c. Level j faktor B :

Y.j. ± t α/2,ab(n − 1) MSE/(an)


S Y(B) = DS rata - rata treatment pd level j faktor B

Hlm. 32

16


ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL SELISIH RATA-RATA RESPONS : Estimasi 100(1-α) confidence interval selisih rata-rata respons terhadap treatment : a. Level i faktor A & level j faktor B:

(Y

)

ij. − Yi'j'. ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/n

S Y (AB) = DS selisih rata - rata treatment pd level i faktor A & level j faktor B


(Y

i..

)

− Yi'.. ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/(bn)

S Y(A) = DS selisih rata - rata treatment pd level i faktor A


(Y

.j.

)

− Y.j'. ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/(an)

S Y (B) = DS selisih rata - rata treatment pd level j faktor B


Hlm. 33

TI 3221 STATISTIK 5.B PENGENDALIAN EksperimenKUALITAS Faktorial 2 Faktor

dgn RBD

Setting : Jumlah faktor : 2, faktor A & B; Jumlah level : Faktor A = a level, Faktor B = b level; Jumlah block : r dimana setiap block mengandung ab unit; Treatment ab diterapkan secara random pada ab unit dalam block; Contoh kasus: ª Faktor A = 4 level temperatur : 75o, 150o, 200o, 250o ª Faktor B = 5 level tekanan : 50, 75, 100, 125, 150 kg/cm2 ª Blocking: variabilitas antar batch material ª Desain eksperimen: dipilih 10 batch, pada setiap batch dilakukan 4x5 treatment secara random. ª Jumlah observasi terhadap respon = 4 x 5 x 10 = 200. Model respon terhadap treatment :

y ijk = µ + α i + β j + ρk + (αβ )ij + ε ijk , i = 1,2,..., a , j = 1,2,..., b , k = 1,2,..., r Yijk

= respons terhadap level i faktor A, level j faktor B & block ke-k;

µ αi βj ρk (αβ) i j εijk

= = = = = =


efek rata-rata secara keseluruhan; efek level i faktor A; efek level j faktor B; efek block ke-k; efek interaksi level i faktor A & level j faktor B; komponen error random (diasumsikan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 & variansi konstan σ2. Hlm. 34

17


FORMULA EF – 2f & RBD :

dof = abr − 1

a

SST =

b

Y2

r

∑ ∑ ∑ Yijk 2 − abr...

i =1 j =1k =1 r 2 Y..k k =1

dof = r − 1

∑

SSBL =

ab

a

dof = a − 1

SSA =

∑ Yi..2

i =1 b

br

SSB =

j =1

ar a

b

Y...2 abr

−

Y...2 abr

−

Y...2 abr

∑ Y.j.2

dof = b − 1

−

∑ ∑ Yij.2

i =1 j =1

Y...2 − SSA − SSB abr

dof = (a − 1)(b − 1)

SSAB =

dof = ( ab - 1)(r − 1)

SSE = SST − SSBL - SSA - SSB - SSAB

r

−


Hlm. 35


Tabel Anova EF – 2f & RBD : SUMBER VARIASI

Dof

SS

MS

FStatistik FA = MSA/MSE

FAKTOR A

a–1

SSA

MSA = SSA / (a – 1)

FAKTOR B

b–1

SSB

MSB = SSB / (b – 1)

FB = MSB/MSE

INTERAKSI FAKTOR A&B

(a – 1)(b – 1)

SSAB

MSAB = SSAB / [(a–1)(b–1)]

MSAB/MSE

BLOCK

r–1

SSBL

MSBL = SSBL / (r–1)

ERROR

(ab – 1)(r – 1)

SSE = SST – SSBL – SSA – SSB

MSE = SSE / [(ab–1)(n–1)]

TOTAL

abr – 1

SST

MST = SST / (abr – 1)


FAB =

Hlm. 36

18

TI 3221 PENGENDALIAN KUALITAS STATISTIK UJI SIGNIFIKANSI FAKTOR PADA

EF – 2f & RBD :

Uji I: keberadaan efek interaktif faktor A & B. Ho : (αβ)ij = 0 untuk semua i, j, i = 1, 2, …, a , j = 1, 2, …, b. Ha : minimum 1 (αβ)ij ≠ 0 FStatistik : FAB = MSAB/MSE, dof-1 = (a – 1)(b – 1 ), dof-2 = (ab – 1)(r – 1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (a-1)(b-1), (ab-1)(n-1) Jika Ho ditolak, atau terdapat interaksi efek faktor A & B secara signifikan, maka nilai rata-rata respon terhadap satu level faktor A untuk seluruh level faktor B tidak memiliki makna. Jika Ho diterima, atau interaksi efek faktor A & B tidak signifikan, maka beralasan untuk menguji efek dari masing-masing faktor A & B. Uji 2-a: kesamaan efek faktor A. Ho : α1 = α2 = … = αa untuk semua i, i = 1, 2, …, a. Ha : minimum 1 αi tidak sama FStatistik : FA = MSA/MSE, dof-1 = a – 1, dof-2 = (ab – 1)(r – 1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (a-1), (ab-1)(n-1) •

Uji 2-b: kesamaan efek faktor B. Ho : β1 = β2 = … = βb untuk semua j, j = 1, 2, …, b Ha : minimum 1 αi tidak sama FStatistik : FB = MSB/MSE, dof-1 = b – 1, dof-2 = (ab – 1)(r – 1) Total Ho jika Fstatistik > Fα, (b-1), (ab-1)(n-1)


Hlm. 37


ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL RATA-RATA RESPONS : Estimasi 100(1-α) confidence interval rata-rata respons terhadap treatment : a. Level i faktor A & level j faktor B:

Yij. ± t α/2,(ab - 1)(n − 1) MSE/r

S Y(AB) = DS rata - rata treatment pd level i faktor A & level j faktor B


Yi.. ± t α/2,(ab - 1)(n − 1) MSE/(br)

S Y(A) = DS rata - rata treatment pd level i faktor A


Y.j. ± t α/2,(ab - 1)(n − 1) MSE/(ar)


S Y(B) = DS rata - rata treatment pd level j faktor B

Hlm. 38

19


ESTIMASI 100(1-α) CONFIDENCE INTERVAL SELISIH RATA-RATA RESPONS : Estimasi 100(1-α) confidence interval selisih rata-rata respons terhadap treatment : a. Level i faktor A & level j faktor B:

(Y

ij.

)

− Yi'j'. ± t α/ 2 ,( ab − 1 )(r − 1 ) 2 MSE/r

S Y (AB) = DS selisih rata - rata treatment pd level i faktor A & level j faktor B


(Y

i..

)

S Y(A) = DS selisih rata - rata

− Yi'.. ± t α/ 2 ,( ab − 1 )(r − 1 ) 2 MSE/(br)

treatment pd level i faktor A


(Y

.j.

)

S Y (B) = DS selisih rata - rata

− Y.j'. ± t α/ 2 ,( ab − 1 )(r − 1 ) 2 MSE/(ar)

treatment pd level j faktor B


Hlm. 39


Contoh 4 : EF – 2f Untuk mengetahui efisiensi bahan bakar sintetis untuk mobil, dilakukan pengujian sebagai berikut: 2 faktor berpengaruh terhadap efektivitas BB. Faktor A: zat aditif diuji pada 3 level (1, 2, & 3); Faktor B: katalis diuji pada 3 level (1, 2, & 3); 45 mobil diplih secara random untuk pengujian tersebut, setiap 9 treatment diterapkan secara random pada 5 mobil yang berbeda. Data hasil pengujian diberikan pada tabel di halaman ini. a. Tentukan faktor yang berpengaruh dengan α = 5%. b. Berikan saran kadar katalis & aditif yang harus digunakan. c. Apakah rata-rata tingkat katalis 1 & 3 berbeda untuk α = 5%? d. Tentukan (1-α) confidence interval selisih rata-rata treatment untuk aditif 1 – katalis 1 & aditif 2 – katalis 3. LD, Semester II 2003/04

Data tingkat efisiensi BB Sintesis TINGKAT KATALIS

TINGKAT ADITIF

1

2

3

1

75

64

43

72

62

48

66

58

42

74

56

46

65

60

46

50

73

58

58

70

62

46

67

54

53

68

60

55

70

62

67

82

44

60

76

43

60

80

38

62

84

42

63

75

44

2

3

Hlm. 40

20


Tabel Data : TINGKAT KATALIS

TINGKAT ADITIF

1

2

3

1

75

64

43

72

62

48

66

58

42

74

56

46

65

60

46

sum-ij

352

300

225

ave-ij

70,4

60

45

2

50

73

58

58

70

62

46

67

54

53

68

60

55

70

62

262 52,4 67

348 69,6 82

296 59,2 44

60

76

43

60

80

38

62

84

42

sum-ij ave-ij 3

63

75

44

sum-ij ave-ij SUM-B

312 62,4 926

397 79,4 1045

211 42,2 732

AVE-B

61,73

69,67

48,80

SUM-A

AVE-A

Perhitungan : C = Y...2 /( abn ) = ( 2703 )2 /( 3 x 3 x 5 ) = 162.360,2 877

58,47

SST =

SSA =

3

3

5

∑ ∑ ∑ Yijk2 − C = 168.691 − 162.360 ,2 = 6.330,8

i =1 j = 1k = 1 3 Yi2.. i =1

∑

bn = 64,13

−C =

( 877 )2 + ( 906 )2 + ( 920 )2 − 162.360 ,2 3 x5

3

∑ Y.2j . 906

60,40

SSB =

j =1

−C = an = 3.328,13 3

( 926 )2 + ( 1.045 )2 + ( 732 )2 − 162.360 ,2 3 x5

3

∑ ∑ Yij2.

SSAB =

i =1 j =1

−C = n 2 + ( 300 ) + ( 225 )2 + ( 262 )2 + ( 348 )2 +   / 5 − 162.360 ,2 ( 296 )2 + ( 312 )2 + ( 397 )2 + ( 211 )2   = 2.520,93 ( 352 )2

920

61,33

2703 60,07

SSE = 6.330 ,8 − 64 ,13 − 3328 ,13 − 2.520 ,93 = 417,6


Hlm. 41


Tabel Anova EF – 2f & CRD :

SUMBER VARIASI

Dof

SS

MS

FStatistik

FNormatif

FAKTOR A: Zat Aditif

2

64,13

32,07

2,764

3,266

FAKTOR B: Katalis

2

3.328,12

1.664,06

143,454

3,266

INTERAKSI FAKTOR A & B

4

2.520,93

630,23

54,330

2,642

ERROR

36

417,60

11,60

TOTAL

44

6.330,80

Solusi a :

Karena FAB=54,330 > F0,05;4;36 = 2,642, dapat disimpulkan bahwa efek interaksi antara kadar zat aditif & katalis berpengaruh secara signifikan terhadap efisiensi BB sintetis yang diuji. Karena efek interaktif antar kedua faktor tsb. signifikan, maka uji hipotesis pengaruh masing-masing faktor terhadap efisiensi BB tidak perlu dilakukan.


Hlm. 42

21


Solusi b :

Karena efek interaktif antar kedua faktor tsb. Signifikan terhadap efisiensi BB, maka ratarata respon terhadap satu faktor tidak dapat dihitung dengan merata-ratakan nilai ratarata respon untuk beberapa level dari faktor tersebut. Analisis dilakukan dengan memetakan nilai rata-rata respon untuk seluruh treatment ab.

Rata-rata Efisiensi BB

100

Aditif Level-3 80

Aditif Level-2

Saran kadar aditif & katalis yang harus digunakan:

60

40

Aditif Level-1 20 1

2

Tingkat Katalis

3

Jika tujuannya adalah maksimasi efisiensi BB, maka disarankan untuk memilih kombinasi: aditif level 3 & katalis level 2.


Hlm. 43


Solusi c :

95% confidence interval untuk selisih rata-rata efisiensi katalis 1 & 3 adalah:

(Y (Y

) )± t

.1 .

− Y.3 . ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/(bn) =

.1 .

− Y.3 .

0 ,025 ,36

2 MSE/(bn) =

( 61 ,73 − 48 ,80 ) ± ( 2 ,028 ) ( 2 x 11 ,60 ) /( 3 x 5 ) = 12 ,93 ± 2 ,52 Karena interval tersebut tidak mencakup nilai 0, hal ini mengindikasikan bahwa perbedaan antara rata-rata efisiensi untuk katalis 1 & 3 signifikan. Tetapi karena pada b terbukti bahwa interaksi efek faktor A & B terhadap efisiensi BB signifikan, maka analisis terhadap efek masing-masing faktor tidak dapat dilakukan. Solusi d :

95% confidence interval untuk selisih rata-rata efisiensi aditif 1 ― katalis 1 & aditif 2 ― katalis 3 adalah:

(Y (Y

23 .

) )

− Y11 . ± t α/ 2 ,ab(n − 1 ) 2 MSE/n =

23 . − Y11 . ± t 0 ,025 ,36 2 MSE/n =

( 70 ,40 − 59 ,2 ) ± ( 2 ,028 ) ( 2 x 11 ,6 ) / 5 = 11 ,2 ± 4 ,368 Karena interval tersebut tidak mencakup nilai 0, berarti terdapat perbedaan signifikan antara kedua rata-rata tersebut pada tingkat signifikansi α=5%. LD, Semester II 2003/04

Hlm. 44

22

TOPIK 12 DESIGN OF EXPERIMENT (DOE)

Recommend Documents