TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Biplot Biasa Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data
dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor
dalam ruang berdimensi rendah, biasanya dua (atau tiga) yang mewakili vektorvektor baris matriks kolom matriks
(gambaran objek) dengan vektor-vektor yang mewakili
(gambaran peubah). Dari peragaan ini diharapkan diperoleh
gambaran tentang objek, misalnya kedekatan antarobjek, gambaran tentang peubah, baik tentang keragamannya maupun korelasinya, serta keterkaitan antara objek-objek dengan peubah-peubahnya. Tampilan objek dalam analisis komponen utama (AKU, Principal Components Analysis) merupakan kasus khusus dari analisis biplot dan penghitungan dalam analisis biplot didasarkan pada penguraian nilai singular (PNS, Singular Value Decomposition) suatu matriks (Siswadi dan Suharjo, 1999). Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain tentang: 1. Kedekatan antarobjek. Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain. Dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua titik dengan posisi yang berdekatan. 2. Keragaman peubah. Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada peubah yang memiliki nilai keragaman yang hampir sama. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek, sebaliknya jika keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang. 3. Korelasi antarpeubah. Informasi ini dapat digunakan untuk mengetahui bagaimana hubungan satu peubah dengan peubah lainnya. Peubah digambarkan sebagai vektor. Dua peubah berkorelasi positif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip, dua peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah berlawanan atau membentuk sudut tumpul, dan apabila sudut yang dibentuk siku-siku maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4. Keterkaitan peubah dengan objek. Informasi ini digunakan untuk melihat keunggulan dari setiap objek. Objek yang letaknya searah vektor peubah, menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika berlawanan arah berarti nilainya di bawah rata-rata, jika hampir di tengah-tengah berarti nilainya mendekati rata-rata. Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks data
, dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah.
Dalam setiap aplikasi, analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks sebagai matriks data asal yang terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya menjadi matriks
yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre, 2001), 11'
(1)
,
dengan 1 adalah vektor berukuran n×1 yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam
yang diperoleh dari matriks
ialah: (2)
, sedangkan matriks korelasi
=
yang diperoleh dari
matriks
, dengan
1 1 1 , ,...., = diag s11 s 22 s pp
(3)
adalah matriks diagonal dengan
elemen diagonal utama 1 s ii ; i = 1,2, . . ., p. Elemen sudut
ialah:
juga merupakan kosinus
antara vektor peubah ke-i dan ke-j : . Misalnya matriks
(4)
, maka jarak Euclid antara objek ke-i
dan ke-j didefinisikan oleh: (5)
, dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah: . Apabila matriks
(6)
berpangkat r dengan r ≤ min {n, p} maka dengan
menggunakan PNS matriks
dapat diuraikan menjadi:
(7) dengan
adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks , ...,
), dengan
singular dari atau
, yaitu
atau
> 0. Nilai
dan
= diag ( , disebut nilai
merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks
. Matriks
dan
adalah matriks ortonormal kolom, sehingga
(matriks identitas berdimensi r). Matriks
adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai positif dari matriks
, yaitu
dan
adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks
, yaitu
. Teorema Eckart-Young (Aitchison dan Greenacre, 2001) menyatakan bahwa jika matriks
dihitung dengan s pertama nilai dan vektor singular yang
bersesuaian, sebagai contoh untuk s = 2 : ,
=
kemudian karena matriks
(8)
sebagai pendekatan terbaik bagi
maka : (9)
menjadi minimum, dengan
merupakan notasi dari norma Frobenius.
Dalam Jolliffe (2002), dengan mendefinisikan maka untuk α
dan
[0,1]:
, dan elemen ke-(
) dari matriks
(10)
dapat ditulis: (11)
, dengan
,
merupakan vektor baris ke-i dari matriks
merupakan vektor baris ke-j dari matriks mempunyai r elemen.
, i = 1, 2, …, n dan
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor
dan
Untuk menggambarkan
pada ruang dimensi s < r, dapat didekati dengan
menggunakan matriks berpangkat s, = =
.
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat
(12) dan
dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002). Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot. Secara umum untuk setiap nilai α yang digunakan, penumpangtindihan vektor dan
yang diplot pada ruang yang sama diperoleh nilai amatan peubah ke-j pada
objek ke-i yang telah dikoreksi terhadap nilai tengahnya yaitu
. Nilai
amatan tersebut bertanda positif bila kedua vektor tersebut searah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam [0, ), bertanda negatif bila kedua vektor tersebut berlawanan arah, yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam ( , ] dan bernilai nol bila kedua vektor tersebut saling tegak lurus, yaitu sudut kedua vektor tersebut . Posisi relatif titik-titik
dan
akan memberikan informasi tentang objek-
objek yang mempunyai nilai relatif besar, rataan, atau kecil dari peubah-peubah yang diamati. 1. Jika α = 0, maka
dan
, akibatnya :
,
(13)
sehingga diperoleh: a.
, dengan
adalah koragam peubah ke-i dan ke-j.
Artinya, penggandaan titik antara vektor
dan
akan memberikan
gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j. b.
=
,
=
, artinya panjang vektor tersebut akan
memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang vektor
dibandingkan dengan vektor
peubah
dibanding peubah
.
maka makin besar keragaman
c. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara dan
(misalnya : θ), yaitu : cos
=
=
=
Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor
(14)
. dan
, korelasi peubah
ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut: 1) semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0, dan korelasi sama dengan 1 jika θ = 0, 2) semakin besar korelasi negatifnya jika θ mendekati π, dan korelasi sama dengan -1 jika θ = π, dan 3) semakin kecil korelasi positif dan negatifnya jika θ mendekati
dan
tidak berkorelasi apabila θ = . d. Jika X berpangkat p maka , dengan
adalah
matriks koragam yang diperoleh dari . Berarti kuadrat jarak Euclid antara vektor
dan
antara vektor 2. Jika α =1, maka
pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak Mahalanobis dan
(Siswadi dan Suharjo, 1999). dan
atau
;
akibatnya:
,
(15)
sehingga diperoleh a.
, artinya kuadrat jarak Euclid antara
b. Posisi
dan
akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara
dan
.
dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan
menggunakan r komponen utama pertama. c. Vektor kolom
sama dengan vektor
komponen utama ke-j.
yang merupakan koefisien untuk
tidak bersifat khas. Jika
Dari interpretasi biplot di atas, penguraian α = 1 maka g-plot diperoleh dengan memisalkan matriks
dan
, baris ke-i
akan digunakan untuk merepresentasikan baris ke-i matriks
, yang
berarti merepresentasikan objek ke-i, sedangkan baris ke-j matriks
akan
digunakan untuk merepresentasikan kolom ke-j matriks
, yang berarti
merepresentasikan peubah ke-j. Sedangkan jika α = 0 maka h-plot diperoleh dengan memisalkan
dan
yang merupakan gambaran ragam dan
korelasi di dalam grafik. Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data dengan menggunakan matriks
, tetapi juga koragam dan korelasi
antarpeubah, serta kemiripan antarobjek. matriks matriks
sebagai pendekatan dari
terkait pada matriks koragam dan korelasi antarpeubah, sedangkan sebagai pendekatan bagi
terkait pada ukuran kemiripan objek.
Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian biplot (Goodness of Fit of Biplot) adalah sebagai berikut (16)
, dengan
dan
adalah suatu matriks, di mana
merupakan pendekatan
.
Ukuran kesesuaian biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks, yaitu: 1. Kesesuaian data :
GF
2. Kesesuaian peubah :
GF
3. Kesesuaian objek :
GF
(17)
. .
.
(18) (19)
Makin besar (mendekati 100%) nilai ukuran kesesuaian untuk memperoleh gambaran layak tidaknya analisis biplot dalam ruang dimensi s dengan matriks sebagai matriks pendekatan terbaik berpangkat s, makin sesuai matriks pendekatannya merepresentasikan matriks awalnya dan karenanya makin layak analisis biplot digunakan untuk penarikan kesimpulan (Siswadi dan Suharjo, 1999).
Analisis Peubah Kanonik Pendekatan standar untuk perlakuan data peubah ganda dengan beberapa objek diidentifikasi a priori, kelompok memiliki sejarah panjang dalam literatur statistika, adalah analisis peubah kanonik (APK, Canonical Variate Analysis) yang diperkenalkan oleh Fisher (1936). APK merupakan salah satu teknik statistika untuk analisis data dengan peubah ganda yang berbasis analisis pengelompokan data sehingga ragam antarkelompok maksimum dan ragam di dalam kelompok minimum (Varas et al. 2005). Salah satu pendekatan dalam APK ialah mencari peubah kanonik yang merupakan kombinasi linear dari peubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok tersebut. Peubah ini akan memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi objek-objek antarkelompok. Andaikan ada n objek dari m kelompok contoh acak dengan masing-masing berukuran n1, n2, ..., nm (n1 + n2 + ... + nm = n) dengan p peubah yang diamati, X1, X2, ..., Xp. Misalnya
= ( X1, X2, ..., Xp) adalah vektor yang mewakili peubah,
adalah matriks data asal yang telah terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya, dan
adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy) yang
diberikan oleh: .
(20)
Definisikan: = diag (n1, n2, ..., nm),
(21)
yaitu matriks diagonal berukuran m×m dengan elemen diagonal utamanya merupakan banyak objek dari setiap kelompok dan
m
p
merupakan matriks yang
setiap barisnya merupakan vektor rata-rata dari peubah dalam setiap kelompok, yaitu: .
(22)
Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok dapat dikonstruksi seperti pada Tabel 1.
Tabel 1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok Sumber Keragaman Antarkelompok (between group) Dalam kelompok (within group) Total
Derajat Bebas Jumlah Kuadrat dan Hasil Kali db JKK m–1 n–m n–1
Untuk matriks jumlah kuadrat dan hasil kali (JKK, sums of squares and products) data dalam kelompok dapat ditulis juga sebagai: ,
(23)
adalah matriks JKK data dalam kelompok k, untuk k = 1, 2, ..., m,
dengan yaitu
untuk j, j' = 1, 2, ..., p, dan
didefinisikan oleh: ,
(24)
dengan I1 = {1, 2, …, n1}, I2 = {n1 + 1, n1 + 2, …, n1 + n2}, …, Im =
,
adalah rata-rata dari peubah j dalam kelompok k, yaitu dan nk adalah banyaknya objek dari kelompok k dengan . Sedangkan matriks JKK data antarkelompok dapat ditulis sebagai: , dengan
(25)
merupakan rata-rata keseluruhan dari peubah j, yaitu
dan
. Tujuannya, berdasarkan pengukuran peubah X1, X2, ..., Xp secara serempak,
akan memaksimumkan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Untuk mencapai tujuan ini, transformasikan peubah vektor x, ke dalam peubah baru, yang membuat ragam yang tinggi antarkelompok terhadap ragam dalam kelompok. Jika transformasi dilambangkan oleh dicari adalah vektor ,
sehingga
, maka yang akan
maksimum dengan kendala
yaitu solusi dibatasi untuk vektor dengan panjang satu satuan
terhadap matriks
. Fungsi
yang akan dimaksimumkan merupakan rasio
antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Ini adalah fungsi homogen berderajat nol di
dan invarian terhadap perubahan skala.
Sekarang akan dicari vektor dengan kendala
yang dapat memaksimumkan fungsi
,
. Menggunakan pengali Lagrange, berarti yang akan
dimaksimumkan adalah fungsi ,
(26)
sehingga, ,
(27) (28) , atau .
(29)
Ini berarti maksimum yang dicari adalah Matriks
merupakan matriks nonsingular, sehingga dengan mengalikan
persamaan (27) dengan
, diperoleh .
Artinya, vektor
(30)
atau bobot kanonik yang dapat memaksimumkan
eigenvektor dari matriks
adalah
yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar
.
Transformasi yang diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar disebut peubah kanonik pertama. Peubah kanonik kedua diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar kedua, dan begitu pula untuk mencari peubah kanonik yang lainya. Banyaknya peubah kanonik yang = min (p, m – 1).
mungkin diperoleh adalah r = pangkat (
Semua penyelesaian dari (28) dapat dikumpulkan bersama dalam bentuk , dengan ≥ dan
dan
> 0, sehingga
= diag ( ,
(31) , ...,
), di mana
≥ ...
. Jika r = p, maka dapat ditulis sebagai
. Dengan mengalikan persamaan (31) dengan . Jika matriks
≥
diperoleh (32)
tidak simetris, dalam perhitungan eigenvektor dan
peubah kanonik secara komputasi lebih menguntungkan menggunakan matriks
berukuran p×p daripada matriks
simetris
Dekomposisi spektral dari matriks simetris
(Gittins, 1985). diberikan oleh:
, dengan
(33)
adalah suatu matriks berukuran p×p yang elemen-elemennya
eigenvektor dan
adalah matriks diagonal yang memiliki eigennilai pada
diagonal utamanya. Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (27) dapat ditulis menjadi
. Jadi, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai , dengan
dan
(34)
= 1.
Persamaan (34) menyatakan bahwa
adalah eigenvektor dari matriks
yang bersesuaian dengan eigennilai sehingga,
dan
=
,
.
Semua kombinasi linear untuk sebuah objek dengan nilai-nilai
diberikan
oleh: .
(35)
Hal ini memberikan sebuah transformasi dari peubah asal menjadi himpunan peubah baru yang dikenal sebagai peubah kanonik. Ruang yang dihasilkan oleh peubah-peubah ini disebut ruang kanonik. Rata-rata kelompok pada ruang kanonik disebut juga rata-rata kanonik diberikan oleh: ,
(36)
dan transformasi seluruh himpunan objek pada ruang kanonik diberikan oleh
.
Sehingga: .
(37)
Artinya, jarak Euclid antara rata-rata dalam ruang peubah kanonik bersesuaian dengan jarak Mahalanobis dalam ruang peubah asal. Jadi, ruang peubah kanonik dapat dianggap sebagai ruang Euclid.
Peubah kanonik yang diperoleh, y1, y2, …, yr merupakan kombinasi linear yang dipilih sehingga y1 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok, peubah y2 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh y1, peubah y3 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh y1 dan y2, dan seterusnya. Diharapkan beberapa peubah kanonik pertama, misalnya dua peubah kanonik pertama, cukup layak digunakan sehingga masing-masing objek dan rataannya dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Bila hal ini dimungkinkan maka bagaimana baiknya upaya pemisahan antarkelompok dan penentuan objek ke suatu kelompok akan lebih mudah dilakukan. Analisis Biplot Kanonik Analisis biplot kanonik merupakan representasi grafik dari APK, dikembangkan oleh Gabriel (1995) untuk memperoleh representasi secara serempak antara rata-rata kelompok dan peubah di mana dimungkinkan tidak hanya
untuk
menggambarkan
menetapkan peubah
perbedaan yang
antarkelompok
dianggap
dominan
tetapi dalam
juga
untuk
membedakan
antarkelompok (Vallejo-Arboleda et al. 2007). Misalnya
adalah matriks data asal yang terkoreksi terhadap rata-rata
kolomnya dan
adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy).
Analisis biplot kanonik merupakan peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks
, dengan baris mewakili rata-rata kelompok dan kolom
mewakili peubah. Matriks
merupakan rata-rata objek masing-masing kelompok
untuk setiap peubah yang diamati dan terkoreksi terhadap nilai rata-rata keseluruhan. Untuk memperhitungkan pengaruh penyebaran objek dan skala pengukuran peubah, diperkenalkan pembobotan sehubungan dengan matriks JKK data dalam kelompok dan yang lainnya berkaitan dengan banyaknya objek, hal ini karena akurasi rata-rata tergantung pada ukuran yang telah dihitung, sehingga dapat didefinisikan: .
(38)
Artinya, baris dari
terboboti oleh banyaknya objek dan peubah pada kolom
terboboti oleh invers dari matriks JKK dalam kelompok (Gabriel, 1972), dengan
, sehingga
(39)
memiliki eigenvektor
dan eigennilai
, dengan
. Mengkonstruksi biplot dari matriks dengan mengkonstruksi biplot untuk matriks
dengan ukuran tersebut akan setara . Biplot representasi dari matriks
diperoleh dari PNS, yaitu , dengan akar
(40)
adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan
dari
eigennilai-eigennilai
positif
matriks
, dengan disebut nilai singular dari positif matriks
atau
sehingga
atau
,
yaitu
. Nilai
dan
merupakan eigennilai-eigennilai
. Matriks
dan
adalah matriks ortonormal kolom,
(matriks identitas berdimensi r). Matriks
adalah
matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai positif dari matriks
, yaitu
matriks
merupakan
yang
kolom-kolomnya
dan
adalah
eigenvektor-eigenvektor
bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks
yang
, yaitu
. Dari persamaan (39) diperoleh:
. Penyelesaian untuk persamaan (40), diperoleh:
(41)
diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (38) ke
atau ,
(42)
yang ekuivalen dengan penguraian nilai singular umum (PNSU, Generalized dalam metrik
Singular Value Decomposition) dari matriks
dan
, yaitu:
, dengan
dan dan
(43)
. Dengan memilih matriks definit positif
, sehingga
, dan . PNSU menyediakan pendekatan terbaik
pangkat rendah dari matriks menggunakan nilai dan vektor singular pertama. Penguraian pada (42) memungkinkan untuk mengkonstruksi representasi biplot untuk matriks rata-rata kelompok, yaitu: ,
(44)
dengan , dan , di mana
. Elemen ke-(
) dari matriks
dapat
ditulis sebagai: , dengan
(45)
merupakan vektor baris ke-i dari matriks
merupakan vektor baris ke-j dari matriks
, i = 1, 2, …, n dan
, j = 1, 2, …, p; di mana vektor
dan
mempunyai r elemen. Untuk menggambarkan
pada ruang dimensi s < r, dapat didekati
menggunakan matriks berpangkat s, = dengan mengambil s kolom pertama matriks kelompok m) dan s kolom pertama matriks
,
(46)
sebagai penanda baris (rata-rata sebagai penanda kolom (peubah p).
Biasanya digunakan s = 2, sehingga koordinat-koordinat
dan
dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Pada diagram pencar, penanda baris diwakili sebagai titik dan penanda kolom sebagai vektor.
Matriks
dan
pada biplot kanonik memenuhi sifat sebagai berikut:
1. Berdasarkan PNS matriks
yang diberikan dalam persamaan (40), diperoleh , dan .
Oleh karena itu, matriks
dapat dinyatakan dengan mengganti ekspresi P dan
pada (38) sebagai:
, dan mengganti
(47)
dalam persamaan (41) kemudian mensubstitusikannya ke
(47) diperoleh: . Persamaan (48) dapat menafsirkan matriks
(48) sebagai proyeksi
pada daerah
pemisahan maksimum dari kelompok, yang dihasilkan oleh kolom dari matriks , dan (49) dengan
adalah matriks JKK data dalam kelompok,
adalah vektor rata-
rata dari kelompok i. Artinya, kuadrat jarak Euclid antara vektor pada biplot sama dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor 2. Perkalian
dari penanda baris
pendekatan rata-rata
dengan penanda kolom
dan dan
.
merupakan
dari kelompok ke-k pada peubah ke-j yang telah
terkoreksi terhadap rata-rata terboboti seluruh objek. Sehingga memungkinkan untuk karakterisasi perbedaan antarkelompok, .
(50)
3. Kualitas representasi (atau ukuran kesesuaian dari matriks data) dapat didekati oleh: . 4. Matriks
(51)
sebagai pendekatan matriks JKK data dalam kelompok, yaitu: .
(52)
5. Panjang penanda kolom sebanding dengan variabilitas dalam kelompokkelompok,
=
, dengan
=
.
6. Kosinus sudut antarpeubah dapat diinterpretasikan sebagai pendekatan dari korelasinya. Analisis Procrustes Dalam Bakhtiar dan Siswadi (2011) analisis Procrustes adalah alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik melalui serangkaian transformasi linear. Analisis ini bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi yang mewakili
unit pengamatan yang sama. Untuk melihat kesamaan bentuk dan
ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi dilakukan translasi salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang lainnya ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama. Misalnya berdimensi
adalah konfigurasi
titik dalam ruang Euclid
dengan koordinat diberikan oleh matriks
berikut
,
dengan
(53)
, untuk
yang merupakan konfigurasi
titik dalam ruang Euclid berdimensi . Konfigurasi
ini akan dipasangkan dengan konfigurasi masing baris dari konfigurasi
dan konfigurasi
dalam bentuk baris, dengan masing-
dipasangkan dengan baris konfigurasi
bersesuaian. Diasumsikan bahwa dimensi kedua konfigurasi dengan demikian tiap matriks memiliki jumlah maka
dan
yang
adalah sama,
kolom yang sama. Jika
kolom nol dapat ditambahkan pada matriks
sehingga kedua
konfigurasi berada pada ruang dimensi yang sama. Dengan demikian tanpa mengurangi perumuman dapat diasumsikan bahwa bahwa salah satu konfigurasi,
. Diasumsikan pula
, dibuat tetap dan konfigurasi yang lain, , akan
ditransformasi agar sesuai dengan konfigurasi .
Dalam menentukan tingkat kesesuaian dua konfigurasi, analisis Procrustes mendasarkan penghitungannya pada jumlah kuadrat jarak antartitik yang bersesuaian, disebut juga jarak Procrustes, yaitu .
(54)
Dengan mempertimbangkan perubahan posisi, orientasi, dan skala dua konfigurasi yang dibandingkan, analisis Procrustes mensyaratkan tiga bentuk transformasi geometris harus dilakukan untuk mendapatkan E yang optimal. Ketiga bentuk transformasi ini adalah translasi, rotasi dan dilasi. Translasi Translasi dalam analisis Procrustes merupakan proses penggeseran semua titik pada konfigurasi
dan konfigurasi
dengan jarak yang tetap dan arah yang
sama sehingga kedua konfigurasi memiliki sentroid (titik berat) yang sama. Penguraian jumlah kuadrat persamaan (54) menghasilkan
.
(55)
Karena bentuk kedua dari ruas kanan persamaan (55) bernilai nol, maka diperoleh ,
(56)
di mana 1
,
1 , , dengan 1 adalah vektor berukuran dan
yang semua elemennya bernilai 1,
menyatakan sentroid dari masing-masing konfigurasi
dinyatakan sebagai
dan
.
dan
yang
Penyesuaian optimal dengan translasi diperoleh dengan menghimpitkan sentroid X dan Y (
. Jadi, norma kuadrat perbedaan minimum dua
konfigurasi setelah penyesuaian dengan translasi adalah: (57) Rotasi Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam analisis Procrustes rotasi dilakukan dengan cara menggandakan konfigurasi ortogonal
dengan matriks
yang meminimumkan jarak antarkonfigurasi.
Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan rotasi adalah .
Inf
(58)
Q
Secara aljabar, berdasarkan (54) diperoleh:
. Untuk memperoleh nilai
yang minimum harus dipilih matriks
ortogonal Q yang memaksimumkan nilai Misalnya
(59)
.
merupakan hasil penguraian nilai singular bentuk lengkap
dari matriks
, sehingga
, dengan
diagonal dan
merupakan matriks ortogonal, maka
adalah matriks
, dengan
merupakan perkalian matriks ortogonal, sehingga
juga matriks ortogonal dan berlaku –1 ≤ hij ≤ 1. Sehingga diperoleh
(60)
. Jadi, E minimum ketika
(61)
, mengakibatkan ,
(62)
atau .
(63)
Jadi, jarak Procrustes oleh rotasi yang optimal diberikan oleh: .
(64)
Dilasi Dilasi adalah pembesaran/pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi terhadap sentroidnya. Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan menggandakan konfigurasi Y dengan suatu skalar c. Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan dilasi adalah Inf
.
(65)
c
sehingga
.
(66)
yang dapat dilihat sebagai fungsi kuadrat dalam c, sehingga nilai minimum diperoleh dengan memilih .
(67)
Jadi, jarak Procrustes oleh dilasi yang optimal diberikan oleh: .
(68)
Bakhtiar dan Siswadi (2011) telah menunjukkan bahwa urutan optimal transformasi linear dalam analisis Procrustes ialah translasi, rotasi dan dilasi, dengan jarak Procrustes diberikan oleh:
Untuk memperoleh posisi yang paling sesuai sehingga kedua matriks menjadi semakin dekat dilakukan penyesuaian seperti di atas. Ukuran kesesuaian dua konfigurasi menggambarkan kedekatan (kesesuaian) antara dua matriks. Semakin tinggi nilainya, maka kedua konfigurasi tersebut akan semakin dekat (sama). Ukuran kesesuaian dapat dirumuskan sebagai:
Nilai R2 berkisar antara 0 – 100 %, semakin dekat ke 100 %, semakin dekat dua konfigurasi tersebut.
