Tři revoluce matematiky

283

Tři revoluce matematiky

Husitskou revoluci zahájila defenestrace pražských konšelů z oken Staroměstské radnice, začátkem Francouzské revoluce bylo dobytí Bastily a impulsem pro Říjnovou revoluci se stal výstřel z křižníku Aurory. Při všech těchto revolucích se psaly dějiny a teklo mnoho lidské krve. Nicméně existuje i docela jiná revoluce, při níž, jak doufáme, tolik krve neteklo, a jež přesto proměnila lidský svět zřejmě více než ony výše jmenované. Jedná se o revoluci myšlení, kde má své čestné místo také matematika. Ale rovněž samotná matematika, tak jako každá lidská činnost, má své dějiny a tyto dějiny své vlastní revoluce, z nichž v matematice hovoříme o třech nejvýznamnějších. Všechny tři proměnily její tvář a staly se neoddělitelnou součástí dobrodružství lidského myšlení. Kniha, kterou čtenář dočetl, pojednává o třetí, zatím poslední z nich. Dovolujeme si proto pozvat čtenáře na cestu, jejíž začátek je skryt snad již ve zrození myšlení vůbec a která vede až k tématu Smullyanovy knihy. Nemůžeme však udělat nic více než jen poukázat na několik zastavení na této cestě a i to především z pohledu filozofie, a nikoli matematiky či historie matematiky (proto je například náš výklad zřídkakdy striktně chronologický). Předem však upozorňujeme, že naše cesta se bude ubírat po stezkách tzv. čisté matematiky. Ta rozvíjí matematické

284

představy pouze pomocí prostředků lidského rozumu bez odvolání se na přírodu (v tomto pojetí je např. velký rozdíl mezi trojúhelníkem myšleným a namalovaným na kousku papíru). Aplikovaná matematika pak využívá výsledků čisté matematiky ke zkoumání přírody. Přestože pojmy „číslo“, „iracionalita“ a „aktuální nekonečno“, které budeme sledovat především, jsou velmi důležité pro čistou matematiku, v matematice aplikované se jedná pouze o otázky okrajové nebo vůbec nerozvíjené. O číslech – stvořil je Bůh? Největší událostí v matematickém myšlení byl zajisté objev čísla. Musíme samozřejmě vyjít z přirozených čísel, tj. kladných celých čísel počínaje číslem jedna a pokračujících až do nekonečna. Mezi přirozená čísla někdy počítáme i nulu. Málokdo z nás si dnes dovede představit, jak velkým průlom v myšlení byl objev nuly – trvalo bezpochyby mnoho tisíciletí, než k němu došlo, a celé civilizace vstoupily na jeviště dějin a po čase je zase opustily, aniž by se k němu dopracovaly. Přirozená čísla od jedné výše jsou nicméně známa již dostatečně dlouho – kdyby se například Mach a Šebestová ze známého večerníčku vypravili do doby kamenné za panem Humlem nikoliv s úmyslem zjistit, s jakou omáčkou pojídal člověk neandrtálský mamuta, ale zeptat se ho, do kolika umí počítat, pravděpodobně by se dočkali překvapení. Právě z doby lovců mamutů totiž pochází pozoruhodný doklad – vrubovka (počítací tyčinka) z vlčí kosti, na níž je vyryto celkem 55 zářezů a prvních 25 uspořádáno ve skupinkách po pěti. Tento vzácný matematický doklad byl spolu se slavnou Venuší objeven při vykopávkách v Dolních Věstonicích na jižní Moravě. Podobné primitivní „kalkulačky“ prý s oblibou ještě dnes používají některé lovecké kmeny na severu Sibiře a Severní Ameriky. Víme tedy alespoň to, že přirozená čísla jsou prastará a že jejich původ je zahalen tajemstvím. Jsou pro nás tak samozřejmá,

285

že nikoho ani nenapadne divit se jejich „božskému“ původu – jak se o nich vyjádřil matematik Leopold Kronecker: „Bůh stvořil přirozená čísla a vše ostatní v matematice je dílem člověka.“ Podobnou úctu k přirozeným číslům sdíleli i starověcí pythagorejci, o nichž si teď ve stručnosti povíme. Z doby kamenné jsme učinili skok do šestého století před naším letopočtem. Podobně jako jiná tehdejší filozofická škola, mílétští přírodní filozofové, pokoušeli se pythagorejci najít počátek všech věcí. Thalés Mílétský se například domníval, že všechno pochází z vody. Pythagorejci však usoudili, že pravým počátkem světa je něco ještě jednoduššího než Míléťany usilovně hledaná pralátka. Položili si tuto jednoduchou otázku: „Vládne ve světě řád, anebo chaos?“ Jestliže vládne chaos, pak je celý svět nesmyslný. Tomu však odporuje například pohled na noční oblohu. Vidíme, že pohyby hvězd po obloze vůbec nejsou nahodilé, ale naopak velmi pravidelné. Proč tedy podobný řád nevládne také na zemi? Jedině proto, že je zde porušován něčím nedokonalým, a za nedokonalou považovali pythagorejci hmotu. Vládne-li nicméně někde řád, lze tam najít také soulad a harmonii. Harmonii však můžeme převést na poměry čísel (Pythagorovi se připisuje například objev číselné závislosti výšky tónu na délce struny), a proto právě čísla jsou tím skutečným počátkem všech věcí. Z toho důvodu se pythagorejci snažili poznat svět na základě zkoumání číselných poměrů. Předpokládali snad, že až poznají všechny možné poměry mezi celými čísly, rozpoznají zároveň, kde je v pozemském světě řád porušován (opak řádu, tj. chaos, musí mít za následek opak harmonie, tedy nesoulad) a kam je třeba upřít pozornost, aby se mohly věci zlepšit. Této snaze budeme říkat pythagorejský program. To ovšem předpokládá, že na světě neexistuje nic, co bychom nemohli vyjádřit jako poměr kladných celých čísel, tj. (v naší terminologii) jako racionální

286

číslo. Jaká katastrofa však nastala, když se zjistilo, že existují veličiny, které takto vyjádřit nelze! Snadno najdeme tento neuvěřitelně jednoduchý příklad, kterému porozumí každý, kdo ví, o čem pojednává Pythagorova věta: Určeme délku úhlopříčky čtverce o straně velikosti jedna. Podle Pythagorovy věty se její délka zřejmě rovná 2. Jak ale tuto délku vyjádřit pomocí poměru dvou přirozených čísel? Tento úkol je neřešitelný. Prozatím však předpokládejme opak a zvolme taková dvě nesoudělná čísla b a c, jejichž poměr se rovná 2. Řekneme-li, že čísla jsou nesoudělná, znamená to, že nemají žádného společného dělitele. Podle předpokladu tedy platí b / c = 2. Rovnost umocníme na druhou a dostaneme b2 / c2 = 2. Odtud plyne: (1)

b2 = 2c2,

a proto b musí být sudé číslo. Druhá mocnina sudého čísla je totiž vždycky rovněž sudé číslo a podobně druhá mocnina lichého čísla opět liché číslo. (O tom se snadno přesvědčíme, zapíšeme-li každé sudé číslo S jako S = 2n, kde n je libovolné celé číslo větší nebo rovno jedné; a liché číslo L jako L = 2n + 1. Je zřejmé, že druhá mocnina sudého čísla je rovněž sudé číslo, protože je opět násobkem dvojky, a druhá mocnina lichého čísla znovu liché číslo, protože i zde přebývá jednotka.) Protože víme, že b je sudé číslo, můžeme je vydělit číslem dva a vyjádřit pomocí menšího čísla d jako: (2)

b = 2d.

Vraťme se k rovnosti (1) a dosaďme do ní vztah (2). Dostaneme 2c2 = (2d)2, odtud 2c2 = 4d 2 a po vykrácení konečně: (3)

c2 = 2d 2.

Proto i c je sudé číslo, což je ovšem spor s předpokladem, který jsme učinili na začátku, totiž že čísla b a c jsou nesoudělná. Tady vlastní důkaz končí. Podle (3) můžeme rovněž číslo c zapsat pomocí dalšího

287

čísla, např. f jako c = 2f a zopakováním kroků (1) až (3) znovu dokážeme, že i čísla d a f musí být sudá. Zmíněný postup můžeme opakovat do nekonečna, ale hledaná čísla nikdy nedostaneme. Proto zřejmě neexistují. Výsledek, který jsme získali, je velmi závažný – dokazuje, že číslo 2 nelze vyjádřit pomocí poměru žádných dvou přirozených čísel. Tento objev byl učiněn pravděpodobně v samotné pythagorejské škole a podle pověsti jej pythagorejci dlouho tajili. Neposlušného učedníka, který tajemství iracionality vyzradil, prý samotní bohové potrestali smrtí a učedník utonul v moři. V té podobě, kterou jsme si uvedli, se důkaz nachází v Eukleidových Základech. Zde jsme si jej uvedli pro jeho eleganci a proto, že přes jeho starobylost a užitečnost má o něm dodnes ponětí málokdo. Po právu však můžeme říct, že se jedná o jeden z nejdůležitějších matematických poznatků vůbec. Podobných čísel, která nelze vyjádřit pomocí poměru dvou přirozených čísel, však najdeme libovolně mnoho. Odtud plyne mimo jiné i to, že žádným konečným počtem dělení číselné osy na poloviny, třetiny, čtvrtiny atd. se nedostaneme k bodům, jež jsou takovým číslům přiřazeny. Jedním z důsledků je i to, že by Achilleus honící želvu musel tyto body jaksi „přeskočit“. K iracionalitě se nicméně vrátíme později. Zatím si řekneme pouze tolik, že tímto objevem se ukázal pythagorejský program jako neuskutečnitelný. Tuto pohromu s iracionalitou dnes označujeme jako první revoluci v dějinách matematiky. Pythagorejský program spočívající ve studiu aritmetiky a algebry byl opuštěn a matematika se zaměřila na studium geometrie a k racionálním číslům přibyla od těch dob čísla iracionální. Iracionalita znamená právě něco „nerozumného“, „nelogického“, „rozumem neuchopitelného“, a tak nám samotný název prozrazuje původ iracionálních čísel až dodnes. Řekové si nicméně zásadně dávali pozor, aby nemluvili o „iracionálních“ číslech přímo. Čísla jsou přece tím nejdokonalejším

288

zjevením rozumu, a když mluvíme o „iracionálních“ číslech, zní to téměř jako bychom hovořili o kulatém čtverci. Mluvili tedy o iracionalitě nepřímo a k tomu účelu zavedli nový pojem, proporci (řecky: analogia) s níž pracovali jako se zobecněným pojmem čísla. Proporce nelze vyjádřit aritmeticky (jak jsme viděli), ale lze je snadno vyjádřit geometricky. Například druhé odmocniny čísel jsou jednoduše úhlopříčkami příslušných čtverců. Tím jsme zároveň vysvětlili, proč se převládající disciplínou západní matematiky po dvě tisíciletí stala geometrie. Algebra byla (spolu s geometrií) naproti tomu pilně studována orientálními matematiky. O tom svědčí i samotný název algebry, který pochází z díla perského matematika Muhammada Músy Al-Chvárizmího, které se jmenuje Al-kitáb al-muchtasar fí hisáb aldžebr w’al-muqábala (Krátké pojednání o počtu algebry a al-muqábaly) a pojednává o nauce o počítání rovnic. Al-Chvárizmího jméno překládali středověcí učenci jako „Algoritmus“, pojednání o algebře proto v latině začíná větou „Algoritmus dixit...“, tj. „Al-Chvárizmí řekl...“. V našem slově „algoritmus“ tak dodnes vzdáváme úctu tomuto středověkému matematikovi. Slova „al-džebr“ a „al-muqábala“ jsou dále názvy dvou početních operací při úpravě algebraických rovnic. Je rovněž skutečností, že západ nevyvinul vlastní dekadické číslovky, ale převzal číslovky arabské (mající však svůj původ v Indii). Od konečna k nekonečnu Při našem cestování jsme zatím nechali zcela stranou nekonečno. Řecká matematika měla pro to pádný důvod – vše smysluplné, co dokáže náš rozum v sobě obsáhnout, musí být přece konečné. A navíc antika hledá záchranu před iracionalitou v geometrii a geometrickým ideálem je to, co je omezeno svým tvarem, a nikoli něco bezbřehého, amorfního. Základním principem řeckého myšlení je peras, což můžeme přeložit jako hranici, mez, konečnost. Z nekonečna, apeironu, má

289

antický člověk strach. A zdá se, že se jej bojí i samotná příroda, která všechno omezuje tvarem a číslem. (Viděli jsme však, jak i mezi čísla proniklo apeiron v podobě iracionality, což je o důvod navíc, proč se vyhýbat čemukoli neomezenému.) Středověk má podobný výchozí bod – je jím řád, ordo. Ve středověku je vše hierarchicky uspořádáno, vše má své pevné místo – Země ve středu světa a na oběžných drahách okolo ní planety, v lidské společnosti na prvním místě papež jako duchovní vládce a jemu podřízení feudálové jako světští vládci atd. Vědomým přestoupením řádu je anarchie, vzpoura proti světu a především proti Bohu. Proto středověk tak krutě trestá kacíře, tj. ty, kteří napadají božský řád. Vidíme, že ordo není také nic jiného než peras, Bohem učiněné stanovení hranic, za něž nelze smysluplně jít. Antický a středověký svět je tedy konečný a uspořádaný. Vše je přehledně spojeno se vším a neexistuje nic od světa izolovaného, neexistuje moderní rozštěp mezi přírodními a duchovními vědami. Filozofové a teologové proto myslí ve svých úvahách matematicky a matematikové filozoficky a teologicky. Ukážeme si příklad tohoto matematicko-teologického myšlení, na němž později vyniknou jisté charakteristiky novověku. Jde nám o jeden známý důkaz Boží existence. Původně pochází od Aristotela (jisté jeho náznaky najdeme již u Platóna), ale pravděpodobně nejznámější je v několika podáních středověkého učence Tomáše Akvinského. Ukážeme si jádro důkazu, které je veskrze matematické. Vycházíme z toho, že ve světě existuje pohyb, a že věci se mohou pohybovat buď samy od sebe, nebo od něčeho jiného. Sami od sebe se však pohybují pouze živočichové, vše ostatní je pohybováno něčím jiným. (Dodejme ještě, že ani živočichové se nepohybují sami od sebe, ale jejich hmotnými těly pohybují nehmotné duše, a protože jsou nehmotné, ukazují již svou povahou mimo hmotný svět.) Každá věc, která se pohybuje, má tedy svého hybatele, její hybatel zase svého hybatele atd. Existuje-li

290

však jen konečný počet věcí, dojdeme nutně k prvnímu hybateli. Tím je Bůh. Svět musí být vskutku konečný (protože jinak by byl v sobě rozporný, jak za chvíli uvidíme na příkladě paradoxů nekonečna) a důkaz je tedy proveden. Středověk tak ruku v ruce s antikou nekonečno vykázal mimo svět, na rozdíl od antiky však připisuje nekonečnost Bohu. Metodou negativní teologie středověcí myslitelé uvažují nad otázkou, jaký Bůh je, prostřednictvím výpovědí o tom, jaký Bůh není (není konečný, nepřeje si zlo, není omezen ve svých možnostech atd.). Bůh je však bytostí, v níž tato nekonečnost skutečně existuje, tj. existuje aktuálně, uskutečněně. Protože pojem nekonečna má smysl pouze v řeči o Bohu, nemá žádný smysl nikde mimo teologii, a tudíž ani v antické a středověké matematice. Hovoří-li se v matematice o nekonečnu, pak jedině jako o možnosti, potenci. Příkladem potenciálního nekonečna je poznatek, že neexistuje žádné největší číslo – nebo jinak řečeno, že „Hilbertův hotel“ nemá poslední pokoj. Potenciální nekonečno je tedy neustálým přibližováním se ke skutečnému nekonečnu, např. neustálým prodlužováním nějaké řady čísel. Není však skutečným nekonečnem, ale jen jeho možností. Na druhou stranu skutečné, aktuální, nekonečno je něco, co je dáno v celku. Máme-li například najednou množinu všech přirozených čísel, jedná se o nekonečno aktuální. Bojí-li se antický a středověký člověk nekonečna, pak se děsí právě nekonečna aktuálního (mimo Boha, v něhož naopak skládá svoji důvěru), a tento strach potrvá až do konce středověku. Na rozhraní epoch, jednou nohou v novověku, však již stojí myslitel Mikuláš Kusánský, který svoji filozofii postavil právě na pojmu nekonečna. Kusánský vidí dvojí nekonečno – absolutní, tj. Boha, a nekonečno omezené, tj. svět. Svojí nekonečností se totiž svět sice blíží Bohu, ale protože Bůh svět přesahuje (je vůči světu transcendentní – s tímto slůvkem se ještě setkáme), nikdy svého

291

Tvůrce nedosáhne. Naše poznání o světě rovněž roste stále dál nad všechny „meze“, jimiž však není nic jiného než nekonečný svět. Je tedy vždy neukončené, zároveň však potenciálně nekonečné. Pro Mikuláše Kusánského je nekonečno místem, kde spadají v jedno všechny protiklady. Například kružnice o nekonečném poloměru musí podle Kusánského být totéž jako přímka atd. Připadá-li nám svět jako jeviště všemožných protikladů, pak tyto protiklady lze právě v nekonečnu, tj. v Bohu, „smířit“. Zde chtěl Kusánský najít kupříkladu společný základ pro smír mezi náboženstvími. Jakýkoli mír mezi křesťanstvím a především islámem však středověké křesťanství zásadně odmítlo. Tak se přes Kusánského diplomatickou činnost a jeho neúspěchy dostáváme i k jádru toho, proč antika a středověk zásadně odmítly nekonečno aktuální a proč Kusánský o tolik přesahoval svoji dobu. Totiž stejně jako v konfrontaci dvou různých náboženství vyvstane spousta protikladů, začínají se v matematice, kdykoli připustíme aktuální nekonečno, objevovat paradoxy. Z doby antiky pochází tento příklad: Vezměme kružnici a veďme jejím středem nekonečně mnoho přímek. Těm však na kružnici odpovídá dvojnásobný počet průsečíků. Aktuální nekonečno je tedy stejně velké jako jeho dvojnásobek. A protože antika a středověk neuměly tyto paradoxy řešit, odmítaly použití aktuálního nekonečna vůbec. Aristotelés, od nějž pochází rozlišení nekonečna na aktuální a potenciální, se kupříkladu vypořádává se Zenónovým paradoxem o Achillovi a želvě docela jinak, než jak zní novověké řešení, které Annabel a Alexandrovi předvedl čaroděj. Aristotelés poznamenává, že Zenón neoprávněně rozděluje spojitý úsek a spojitý čas na nespojité, navzájem oddělené úseky a okamžiky. Takové rozdělení si sice můžeme představit v mysli, ve skutečnosti však neexistuje. Zenón navíc rozděluje příslušný úsek na nekonečné množství

292

úseků a jako největší hřích pak toto vykonstruované nekonečno bere vcelku, tj. jako aktuální. Proto ze Zenónovy myšlené úvahy nemůžeme usoudit, že pohyb ve skutečnosti neexistuje. Naopak; zrušíme-li vykonstruované nekonečno, zmizí i paradox. Zenónova úvaha nás může zmást pouze tehdy, když zaměňujeme myšlení se skutečností; dáme-li si však na podobné úvahy pozor, paradoxy zmizí samy od sebe. V novověku, který se vypořádává se středověkem, však nastává převrácení hodnot. Novověk se nekonečna neděsí, ale je jím naopak okouzlen. Za nedokonalé je teď prohlášeno konečno a za dokonalé nekonečno. Viděli jsme už, že u Kusánského je nekonečný také svět, a pro tuto víru v nekonečno je Giordano Bruno dokonce ochoten položit svůj život. A protože je nekonečnost připisována nejen Bohu, ale i světu, přestávají platit důkazy Boží existence. Z konečnosti světa tak již nemůžeme dokázat, že svět má svého Tvůrce. Je tedy zpochybněna i samotná víra v Boha a nahrazena buď vírou v nekonečnou přírodu, nebo je Bůh chápán deisticky, tj. jako bytost od světa oddělená a do světa nezasahující. Renesance hlásající návrat k antickým hodnotám je proto skutečným návratem k antice pouze v jistém smyslu – co se nekonečna týče, je spíše jejím opakem. O aktuálním nekonečnu v matematice V novověku proniklo nekonečno také v plné míře do matematiky a můžeme bez nadsázky říci, že se jednalo o největší matematickou událost od objevu čísla vůbec. Máme na mysli především zavedení infinitezimálií, tj. nekonečně malých veličin, pomocí nichž je možné analyzovat okamžitou změnu (řešit otázku, zda se v Zenónově úvaze letící šíp pohybuje nebo ne), provádět nekonečné součty (zjistit, zda Achilles želvu předběhne či nikoli) atd. Obecné teorii předcházela dvě tisíciletí usilovné práce mnoha matematiků – první metodu užívající postupného dělení a vyčerpávání nekonečně malých

293

změn vynalezl již řecký matematik Eudoxos ve čtvrtém století před naším letopočtem. (Od Eudoxa rovněž pochází pojem proporce.) Jeho exhaustační (tj. vyčerpávací) metodou byly určovány především obsahy ploch a objemy těles, nicméně tento postup musel být pro každý nový případ znovu zaveden a zdůvodněn. Obecnou teorii se podařilo předložit až na konci sedmnáctého století přibližně ve stejné době Newtonovi a Leibnizovi. Ukážeme si Leibnizův postup při analýze okamžité změny funkce. Mějme funkci f(x) = x2, tj. prostou kvadratickou funkci, jejímž grafem je známá parabola. Otázkou nyní je, jak se změní výsledná funkce f(x) při změně x o nekonečně malou hodnotu h. Leibniz nejprve zavádí pojem diferenciálu (přírůstku) funkce v bodě x jako rozdíl mezi hodnotou funkce při přírůstku x o infinitezimálii h a hodnotou funkce v samotném bodě x, tj. df(x) = f(x + h) – f(x). V našem případě platí df(x) = {(x + h)2 – x2} = 2hx + h2. Leibniz nyní tvrdí, že hodnota h2 (a kteréhokoliv členu s mocninou vyšší než jedna) je tak malá, že ji můžeme zanedbat. Diferenciál funkce se tím zjednoduší na výraz df(x) = 2hx. Nyní můžeme zavést okamžitou změnu funkce jako podíl přírůstku funkce a přírůstku x, tj. v našem případě df(x)/dx = 2hx/dx. Infinitezimálie h není však nic jiného, než námi uvažovaný přírůstek (diferenciál) x, tedy h = dx, a proto platí df(x)/dx = 2hx/h = 2x. Této okamžité změně funkce říkáme derivace. Geometricky derivace představuje směrnici tečny ke křivce funkce v daném bodě a fyzikálně například zrychlení (tj. okamžitou změnu rychlosti) apod. Dá se ještě dokázat, že proces derivování je opakem Eudoxovy exhaustační metody (integrování), a že oba postupy lze na sebe navzájem převést. O tom pojednává slavná Newtonova-Leibnizova věta, v naší úvaze se jí však zabývat nebudeme. Vraťme se k Leibnizovu výpočtu, v němž jsme zanedbali veličinu h2. Je zřejmé, že pokud se h2 nerovná nule, nesmíme veličinu zanedbat, jinak se prohřešujeme proti přesnosti výpočtu. Jestliže

294

se na druhou stranu h2 rovná nule, pak se i samotný diferenciál funkce df(x) rovná nule a o žádné změně nemůže být ani řeč! Největším paradoxem Leibnizova počtu je proto skutečnost, že jeho výsledky jsou přesné i přesto, že se h2 zjevně nerovná nule! Tento paradox se však Leibnizovi za jeho života vysvětlit nepodařilo. Zavedení nekonečna do matematiky tedy hned od počátku nebylo zadarmo. Podobné nepřesnosti trvaly až do začátku devatenáctého století, až nakonec vypukla krize. Vyšlo najevo, že ani ty nejzákladnější pojmy nejsou jasně definovány a že pokud nemá být možné v matematice odvodit cokoli, musí se situace řešit. Na nápravě tohoto stavu horlivě pracovala spousta matematiků, mezi něž na čestných místech patří Bernard Bolzano, Augustin Luis Cauchy, Niels Henrik Abel, Peter Gustav Lejeune-Dirichlet a Karl Weierstrass. Ukázalo se, že jako řešení stačí, přestaneme-li se zabývat nejasnými infinitezimáliemi a místo nich uvažujeme změny o malé, avšak předem zvolené číslo. Zároveň vyšlo najevo, že je také zapotřebí zpřesnit styl matematického uvažování. Tomuto úkolu věnoval např. Bernard Bolzano část svého rozsáhlého spisu Wissenschaftslehre (Vědosloví), který bohužel zůstal v jeho době téměř nepovšimnut, a mnohá jiná Bolzanova zcela zásadní díla, jejichž genialitu začínáme objevovat teprve dnes, zůstala až do našeho století pouze v rukopisech. S rozvojem matematické logiky pokračovali mnohem později nezávisle na Bolzanovi italský matematik Giuseppe Peano a především Gottlob Frege, ke kterému se ještě vrátíme. Zpřesnění matematické analýzy bylo nakonec dosaženo pomocí takzvaného - počtu. V co největší stručnosti si ukažme, oč se jedná. Nejprve si definujme spojitost. Nepřesně o spojitosti mluvíme například tehdy, řekneme-li, že funkce je spojitá, když malým změnám v okolí bodu x odpovídají také malé změny funkce f(x). Taková definice nám totiž neposkytuje žádné kritérium, jak určit, zda se skutečně jedná či nejedná o malou změnu. My však

295

potřebujeme přesnou definici, a právě zde nám výborně poslouží - kalkul. Jako pomocný pojem si nejprve definujme bezprostřední okolí bodu c jako interval, který tvoří samotný bod c a všechny body v jeho blízkosti lišící se od c nejvýše o jisté číslo . Nyní sledujme změnu funkce při změně x. Řekneme, že funkce f(x) je v bodě c spojitá, jestliže ke každému zvolenému číslu  můžeme najít příslušné číslo  (tj. okolí bodu c) tak, že absolutní hodnota (tj. kladné číslo) rozdílu f(x) – f(c) je menší než  pro všechna x v okolí bodu c. Z naší definice a z obrázku je zřejmé, že zmenšíme-li číslo , zmenší se zároveň s ním i číslo . Tím jsme dali pojmu „malá změna“ přesný smysl.

Nyní si můžeme položit otázku, jak to vypadá se samotným bodem c. Tím se dostáváme k důležitému pojmu limity. Řekneme, že funkce f(x) má v bodě c limitu A, jestliže ke každému zvolenému číslu  existuje okolí bodu c tak, že absolutní hodnota rozdílu f(c) – A je menší než  pro všechny body x v okolí bodu c. Z definice je ihned zřejmé, jak blízko má

296

pojem limity k pojmu spojitosti. Platí, že funkce f(x) je v bodě c spojitá právě tehdy, má-li v tomto bodě limitu f(c). Limita nám také umožňuje nově se vypořádat s pojmem derivace. Derivace v našem novém pojetí znamená jednoduše limitu příslušného podílu pro h blížící se nule. Derivace, která vychází z pojmu limity, nám tak na rozdíl od Leibnizova pojetí poskytuje zcela jasné kritérium toho, které členy podílu zanedbat smíme a které ne. Zanedbat smíme pouze ty členy, které mají nulovou limitu. Pro spravedlnost musíme ještě dodat, že nějakého podobného kritéria používal ve svých výpočtech nevědomky i Leibniz a hlavním úkolem našeho --počtu bylo vynést tyto skryté předpoklady na plné světlo. (O Leibnizových infinitezimáliích se nicméně vedou spory dodnes. Matematiku Abrahamu Robinsonovi se totiž podařilo infinitezimálie znovu definovat tak, že se zároveň vyhnul Leibnizovým potížím. Tím byl založen nový matematický obor nestandardní analýzy, který matematickou analýzu znovu buduje na infinitezimáliích.) Na tomto místě si ještě jednou připomeňme, že právě pojem limity je onen nástroj, který nám umožňuje zcela zásadní skok do nekonečna. Pomocí limity se jako mávnutím čarovného proutku přeneseme do aktuálního nekonečna a přesvědčíme se, zda se v něm dvě rovnoběžky skutečně protínají (pravděpodobně zjistíme, že nikoliv), přijdeme na to, jestli se letící šíp pohybuje nebo ne (zde nám poslouží pojem derivace) atd. Limitou tedy provádíme přechod z potenciálního do aktuálního nekonečna. Matematická analýza nicméně kromě těch případů, kdy s nekonečnem výslovně operuje, používá aktuální nekonečno ještě jako skrytý předpoklad. Vypracování teorie funkcí, spojitosti, limit atd., o něž v matematické analýze jde především, totiž mlčky předpokládá obecnou aritmetickou teorii iracionality. Tu však sotva lze vytvořit bez (často v hloubce skrytého) odkazu na aktuální nekonečno. Po těchto několika strohých poznámkách

297

k druhé revoluci v dějinách matematiky, tj. k zavedení přesnosti do matematické analýzy, musíme toto zajímavé pole opustit a vrátit se ke studiu iracionality. Čaroděj nám však slíbil, že se k tomuto problému ještě někdy vrátí, a nemáme důvod, proč bychom mu neměli věřit.

O kontinuu a iracionalitě Nemáme-li prozkoumánu spojitost kontinua, stojí úvahy, z nichž jsme si předvedli skutečně jen ty nejnutnější, dosud na písku. Vraťme se proto tam, kde jsme opustili povídání o pythagorejcích. Brzy uvidíme, že není iracionalita jako iracionalita. Námi studované číslo 2 je totiž jen speciálním případem algebraického čísla. To znamená, že je jedním ze dvou řešení algebraické rovnice x2 – 2 = 0 (její druhé řešení je –2). Algebraická čísla jsou tedy obecně řešeními rovnic tvaru anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... + a1x + a0 = 0, kde n je celé číslo větší nebo rovno jedné a koeficienty an, an–1, an–2 atd. jsou rovněž celá čísla (an se navíc nesmí rovnat nule; kdyby tato podmínka nebyla splněna, pak v případě, že např. a0 = 1 dostaneme rovnici tvaru 1 = 0). Zavedeme-li tedy k racionálním číslům čísla algebraická, podstatně ubude našich problémů s iracionalitou. Věnujme se proto na chvíli algebraickým rovnicím. Na první pohled snadná rovnice x2 + 1 = 0 nás možná potrápí, protože jako řešení dostaneme druhou odmocninu záporného čísla. Zde si pomůžeme zavedením imaginární jednotky i = –1. Tím sice zdánlivě dostaneme další druh čísel (čísla imaginární), ve skutečnosti se však nic tak hrozného nestalo, neboť jsme k tomuto kroku nebyli přinuceni žádným novým druhem iracionality. Imaginární čísla tedy nejsou nic jiného než jen vhodná pomůcka při řešení algebraických rovnic. Bez imaginární jednotky by totiž výše uvedená rovnice (a spousta jí podobných) zůstala neřešitelná. Zavedením komplexních čísel (komplexními, tj. složenými čísly

298

jsou např. 1 + i2 a 1 – i2, která jsou řešeními rovnice x2 – 2x + 3 = 0) se však ukázalo, že všechny algebraické rovnice mají jen konečný počet řešení. Každé rovnici n-tého stupně, kde n je nejvyšší mocnina v rovnici, odpovídá rovněž nejvýše n řešení. O tom hovoří tzv. základní věta algebry, jejíž první všeobecně uznávaný důkaz předložil v roce 1799 slavný matematik Karl Friedrich Gauss. Ani to ale ještě nestačí! Existují totiž taková čísla, která nelze vyjádřit ani jako racionální ani jako algebraická – takovými čísly jsou například  nebo číslo e (základ přirozených logaritmů). Leonard Euler je v 18. století pojmenoval jako čísla transcendentní. Můžeme totiž o nich říci, že „přesahují“ (latinsky: transcendunt) možnosti, které nám nabízejí algebraické rovnice. A zde přichází další překvapení. Zatímco až do roku 1844 nebylo o žádném čísle dokázáno, že je transcendentní, ukázal Georg Cantor v roce 1874, že jich musí být nespočetně mnoho, dokonce více, než čísel algebraických. Naznačme si hlavní myšlenky Cantorova důkazu. Nejprve potřebujeme „spočítat“ čísla racionální a algebraická. To již není žádný problém, protože čaroděj nám v knize dokázal, že jak množina racionálních, tak i množina algebraických čísel jsou spočetné. V Cantorově době to však bylo velkým překvapením. Čtenáři napovíme, že k uspořádání algebraických čísel do řady (tak, jako jsme do ní uspořádali všechny zlomky, tj. uspořádané dvojice čísel) stačí podobným způsobem uspořádat všechny konečné množiny celých čísel, tj. uspořádané n-tice čísel. Každá z těchto uspořádaných n-tic jednoznačně určuje jednu algebraickou rovnici s koeficienty an, an–1, an–2,..., a0, jimž na druhou stranu podle základní věty algebry odpovídá nejvýše n algebraických čísel, která jsou jejími řešeními. O množině všech konečných množin, tj. také všech uspořádaných n-tic, čaroděj Annabel a Alexandrovi dokázal,

299

že je spočetná, a proto je rovněž algebraických čísel pouze spočetně mnoho. (Existuje nicméně ještě jednodušší důkaz: Naši desítkovou soustavu doplňme o další dva symboly A a B. Dostaneme tak dvanáctkovou soustavu se symboly 0123456789AB. Snadno se přesvědčíme, že každé algebraické rovnici můžeme přiřadit právě jedno dvanáctkové číslo. Mějme např. rovnice x2 – 2x + 3 = 0 a 3x3 – 5 = 0. První rovnici přiřadíme číslo A1B2A3 a druhé A300B5. Symboly „A“ a „B“ naznačují, že příslušný člen n-tého stupně je kladný nebo záporný a ve druhé rovnici nesmíme navíc zapomenout, že se jedná o zkratku za rovnici 3x3 + 0x2 + 0x – 5 = 0. Tím máme dánu obecnou metodu, jak každé algebraické rovnici jednoznačně přiřadit její dvanáctkové číslo. Čísel dvanáctkových je však úplně stejně jako desítkových, tudíž množina všech algebraických rovnic musí být spočetná, a proto také množina všech algebraických čísel je spočetná!) Z Cantorova důkazu z roku 1874 plyne, že všech reálných čísel, tj. čísel přirozených, racionálních, algebraických a transcendentních dohromady, je nespočetně mnoho. Tento Cantorův důkaz (respektive jeho druhý důkaz z roku 1890) se opět příliš neliší od čarodějova postupu při důkazu nespočetnosti množiny všech množin. Stejně jako jsme uvažovali knihu (řekněme knihu A), v níž je na každé straně popsána nějaká množina, můžeme uvažovat podobnou knihu (řekněme knihu A), v níž je na každé straně zapsáno nějaké reálné číslo ve svém nekonečném desítkovém rozvoji. A podobně jako čaroděj sestrojil množinu, která není zapsána na žádné straně knihy A, sestrojil Georg Cantor takové číslo, které není zapsáno na žádné straně knihy A. Reálných čísel je tedy více než přirozených (tj. než stránek jakékoli knihy). Víme, že složením dvou spočetných množin nedostaneme nespočetnou množinu (druhý úkol o Hilbertových hotelech). Kdyby tedy byla množina všech transcendentních čísel spočetná,

300

nedostali bychom z jejího sjednocení s množinou všech algebraických čísel žádnou nespočetnou množinu. (Racionální čísla nám nepomohou, protože ona sama jsou řešeními algebraických rovnic typu ax – b = 0.) A proto musí být množina všech transcendentních čísel nespočetná. Povězme si ještě o jednom zajímavém důsledku transcendentality. Z toho, že číslo  je transcendentní, plyne neřešitelnost kvadratury kruhu, čímž se rozumí známá starověká úloha, jak převést pouze pomocí pravítka a kružítka plochu kruhu na čtverec. Dá se totiž dokázat, že pomocí pravítka a kružítka můžeme geometricky znázornit jen některé algebraické vztahy (například druhé odmocniny čísel jako přepony trojúhelníků nebo úhlopříčky čtverců apod.). To však znamená, že kvadratura kruhu vyžaduje převedení transcendentního čísla  na některé číslo algebraické, což je nemožné, protože transcendentní čísla „přesahují“ možnosti algebraických operací. Pro zajímavost poznamenejme, že transcendentnost čísla  se podařilo německému matematiku Ferdinandu Lindemannovi dokázat až v roce 1882. Vzhledem k bouřlivému rozvoji matematické analýzy je překvapivé, že až do devatenáctého století neexistovala žádná obecná teorie čísel. Pro další vývoj matematiky, zejména pro potřeby teorie reálných funkcí, bylo nezbytně zapotřebí nějaké obecné teorie reálných čísel. Takových obecných teorií bylo v devatenáctém století vytvořeno hned několik, z nich se nicméně dnes používají pouze dvě. Jednu podal Richard Dedekind a druhou Georg Cantor. Víme už, že antika si s iracionalitou „poradila“ tak, že ji odsunula do říše geometrie. Richard Dedekind však vrátil iracionalitu zpět do aritmetiky. Abychom pochopili význam tohoto činu, dovolíme si odbočku, v níž si přiblížíme tři významné filozofie matematiky, a to filozofii Platónovu, Aristotelovu a Kantovu (o Leibnizovi budeme hovořit ještě zvlášť). Matematikou se až do

301

osmnáctého století rozuměla hlavně geometrie, proto bude řeč především o ní a o tom, jak ztratila své výsadní postavení. Platón, Aristotelés a Kant o matematice Nejprve pojďme k Platónovi, jednomu z nejvlivnějších filozofů vůbec, který prý na brány své Akademie dal umístit nápis: „Nevstupuj nikdo, kdo neznáš geometrii!“ Podle Platóna geometrické tvary nejsou jen pouhou abstrakcí tvarů reálných těles, ale naopak je předcházejí, podobně jako u pythagorejců čísla či harmonie předcházejí existenci věcí. Reálná tělesa pak tyto geometrické tvary, jimž budeme říkat Ideje (jedná-li se o Platónovy ideje, píšeme velké I), pouze po svém způsobu napodobují. Samostatnými Idejemi mohou být i některé vztahy mezi jinými Idejemi (např. Idea poměru mezi stranou a úhlopříčkou čtverce). V těchto Ideách jsme dostali zobecnění pythagorejského pojmu harmonie a pro odlišení od Idejí tvaru jim budeme říkat Ideje vztahu. Matematika proto podle Platóna není napodobením skutečnosti, ale právě naopak jedinou skutečnou skutečností, dokonalou říší Idejí, které předcházejí náš smíšený svět. Důsledným dokončením Platónových názorů je tvrzení, že všechny Ideje samostatně existují v jakémsi nehmotném „nebi“ a do reálného světa sestupují podobně jako lidské duše teprve tím, že na sebe přijmou hmotu. V dialogu Menón se Platón dokonce pokusil dokázat, že i jinak negramotný otrok (který je v dialogu tak bezvýznamnou postavou, že se Platón ani neobtěžuje uvést jeho jméno) se může rozpomenout na Pythagorovu větu, přestože se geometrii prokazatelně nikdy neučil. Platón vysvětluje, že na Ideu poměru mezi stranou a úhlopříčkou čtverce otrokova duše nazírala v nebi předtím, než se vtělila na tento svět, a proto si za jistého úsilí může na ni znovu vzpomenout. V našem výkladu jsme se nicméně dopustili jedné nepřesnosti. Podle Platóna může totiž existovat například pouze jedna matematická Idea čísla dvě. Ve větě „Dvě plus dvě jsou čtyři“ se však

302

toto číslo vyskytuje dvakrát. Platón tak musel zavést zvláštní matematické objekty, tzv. matematikály, které jsou prostředníky mezi Idejemi a konkrétními věcmi. Na podstatě našeho výkladu se tím však nic nemění. Již Aristotelés, Platónův žák, však pojetí svého mistra oslabil a samostatnou existenci Idejí v nehmotném nebi přímo zavrhl. Aristotelés tvrdí, že Ideje tvarů, neboli geometrické či jiné Tvary (pro rozlišení od Platóna jim říkáme Tvary a píšeme s velkým T; řecký termín je ovšem morfé a jemu odpovídá latinský ekvivalent forma) můžeme získat teprve jako abstrakce či idealizace reálných těles, v reálných tělesech jim však odpovídají jakési skutečně existující Tvary. (Každé konkrétní těleso je podle Aristotela složeno z látky, tj. hmoty, a Tvaru.) Matematické poučky nemohou však být vyčerpávajícím způsobem přítomny v žádném reálném tělese, např. Pythagorova věta jistě není sama o sobě žádným Tvarem. Proto tato věta a jí podobné poučky existují především v našem myšlení. Zde ovšem podléhají obecným zásadám rozumu, tj. logiky. Proto u Aristotela není geometrie jako u Platóna tolik skutečností předcházející skutečnost, nýbrž spíše správným myšlením o skutečnosti, o vztazích mezi Tvary v konkrétních tělesech. Za ideál vědění je tudíž od antiky považována geometrie a „biblí“ vědecké metody jsou Eukleidovy Základy, jejichž stavba je přísně aristotelovsky logická. Z antiky nyní učiníme skok o dva tisíce let dopředu. Za tuto dobu se tvář filozofie pronikavě změnila. V antice a středověku si filozof mohl ještě dovolit spokojit se s pouhou spekulací a nezabývat se příliš světem zkušenosti. Právě naopak bylo jeho ideálem „čisté“ poznání nezkažené žádnou zkušeností. V novověku však na scénu v nebývalém rozsahu vstoupily empirické vědy, které na všech polích začaly slavit ohromující úspěchy a filozofie se musela naučit je respektovat. Génius lidského rozumu, který poznal zákonitosti nebeské mechaniky a postupně umožnil na

303

poznání fyzikálních zákonů konstruovat nejrůznější stroje a mechanismy do té doby nemyslitelné, nahradil středověký ideál nekonečného Božského rozumu a stal se sám novou modlou, předmětem úcty novověkého „náboženství“. (Ačkoli tato slova znějí možná nadneseně, nejedná se o pouhou metaforu: Francouzská revoluce totiž skutečně svrhla z oltáře Boha a zavedla, i když pouze na čas, kult rozumu.) Ale i zde se postupně začali objevovat novodobí „kacíři“, tj. ti, kteří se snažili kult rozumu zpochybnit. V opozici proti racionalistické (tj. stavějící na rozumu) filozofii reprezentované především René Descartem a Wilhelmem Leibnizem, se tak začala v Anglii formovat filozofie empirická. Tento filozofický směr začal oproti rozumu zdůrazňovat zkušenost, empirii. Zatímco podle Descarta existuje jisté vrozené poznání (podobně jako u Platóna – viz jeho příklad s negramotným otrokem), je podle Johna Locka lidská mysl nejprve jen „prázdnou, nepopsanou deskou“ (tabula rasa), která se začíná vyplňovat až smyslovou zkušeností. Podle empirické filozofie je tudíž jediné pravé poznání umožněno až zkušeností. Na základě jednotlivých zkušeností potom usuzujeme na obecné zákonitosti, čímž máme dán postup neúplné indukce (empirická indukce je oproti tzv. matematické indukci neúplná, protože ve skutečnosti nikdy nemůžeme vyzkoušet všechny možné případy daného jevu). David Hume nicméně podrobil kritice také tuto empirickou induktivní metodu a podle něj představa příčinného vztahu mezi dvěma jevy je založena jen na naší zkušenosti (Hume dokonce říká: Pouze na našem zvyku!), že jsme tyto jevy mnohokrát pozorovali v jejich příčinném spojení. Naše (nutně neúplné) empirické poznání nám však nemůže zaručit, že tyto jevy budeme sdruženě pozorovat také při nějaké budoucí zkušenosti. Tato kritika tak vrhá temný stín i na pravdivost a přiměřenost Newtonovy zmatematizované fyziky, která právě v té době začala slavit

304

ohromné úspěchy. Máme-li skutečně mít nějaké jisté poznání, pak je nutno najít na tuto kritiku odpověď. Tím se konečně dostáváme k Immanuelu Kantovi. Předchozí odstavec měl totiž sloužit pouze jako úvod k myšlenkám a názorům, jimiž se Kant, stěžejní postava novověké filozofie, zabýval a z nichž vycházel. Pro Kantovu filozofii je příznačný „koperníkovský“ obrat od věcí k poznávajícímu subjektu. V kritickém období svého díla (tj. období, kdy vznikly tři slavné „Kritiky“) si Kant dává velký pozor na to, aby se nedal oklamat žádnou myšlenkou, která není nepochybně jistá. Nemůže tudíž souhlasit s Platónovými ani s Aristotelovými názory, podle nichž lze dojít až k skutečnému poznání věcí tak, jak jsou ve své pravé podstatě (ve věcech smysly pravdivě poznáváme tvary, od nichž můžeme rozumovou analýzou dojít buď k Platónovým Idejím nebo Aristotelovým Tvarům). V případě Platóna se navíc na Ideje rozpomínáme, což Kant, který si empiristickou kritiku vrozeného poznání vzal k srdci, musí rozhodně odmítnout. Avšak ani Humovu kritiku, jež Kanta podle jeho vlastních slov „probudila z dogmatického spánku“, nemůže úplně přijmout, protože existuje alespoň jedna věda, která poskytuje natolik zaručené výsledky, že je s její pomocí možné objevovat nové, dosud nepozorované planety. Kant si tak vzal za úkol vysvětlit, jak je možné zároveň přijmout empiristickou kritiku rozumu a přitom obhájit možnost jistého poznání. Po zevrubném zkoumání vytčeného problému, dospěl Kant ve své Kritice čistého rozumu (Kritik der reinen Vernunft) k vlastnímu řešení. Co se týká smyslového světa, tvrdí Kant že sice existují jakési věci samy o sobě, nicméně našimi smysly tyto věci nemůžeme nikdy pravdivě poznat. Skutečná podstata objektivního světa tak pro nás zůstává navždy nepoznatelná. Naše smysly totiž spíše než o věcech vypovídají samy o sobě. Máme-li nicméně přece jen nalézt nějakou jistotu, pak smyslovému poznání musí předcházet něco nepochybně jistého, z čeho ono vychází. Kant

305

našel řešení v apriorních (tj. takových, které jsou dány ještě před zkušeností) názorech prostoru a času. Teprve na jejich společném základě staví každá smyslová zkušenost. Tyto dvě věci (tj. obecný názor a konkrétní smyslovou zkušenost) musíme přísně od sebe odlišit – hovoříme-li o apriorním názoru prostoru, pak tím máme na mysli jakýsi „výčet podmínek“, jimiž se musí řídit všechny naše smyslové představy a zkušenosti prostoru (například nějakého prostorového tělesa). Tento „výčet podmínek“ je nejenom zcela nezávislý na našem konkrétním smyslovém vnímání, ale umožňuje nám navíc budovat apriorní vědu. Konkrétně rozvíjíme-li, co všechno plyne z apriorního názoru prostoru, pak budujeme „čistou“ geometrii; podobně rozvíjíme-li, co všechno plyne z apriorního názoru času, rozvíjíme „čistou“ aritmetiku. Po prozkoumání dalších otázek (jejichž interpretace není dodnes jednoznačná) se Kantovi podařilo podat důvod i pro apriornost pojmu příčiny a tak založit čistou přírodovědu a na ní odůvodnit i možnost Newtonovské fyziky. Z těchto otázek si nicméně všimneme pouze problému, jakým způsobem se Kant snaží budovat matematiku. Apriorní názory prostoru a času jsou podle Kanta nejen totožné pro všechny lidi, ale jakožto „výčet podmínek“ také omezují, co je či není možné ve světě naší zkušenosti. Můžeme totiž jak ve své představě, tak rovněž i jako hmotné těleso zkonstruovat například trojrozměrnou krychli. Avšak nemůžeme zkonstruovat žádnou krychli pětirozměrnou či desetirozměrnou (jak by taková krychle asi vypadala?). Eukleidovská geometrie tedy podle Kanta v sobě odráží podmínky společné jak našemu myšlení, tak naší zkušenosti a podává nám to nejčistší (tj. ještě nesmíšené se smyslovou zkušeností) poznání o světě (resp. o tom, jakou o světě můžeme mít zkušenost). Musíme ještě podotknout, že podle některých interpretací Kantovy filozofie naše apriorní názory prostoru a času nevylučují možnost vybudovat jiné než eukleidovské

306

geometrie. (Kant nicméně žádnou jinou geometrii neznal a on sám by tuto možnost zřejmě odmítl.) To, že tyto geometrie neodpovídají našim smyslovým a rozumovým schopnostem totiž ještě neznamená, že nemohou odpovídat např. schopnostem inteligentních bytostí z jiného vesmíru. V devatenáctém století, jež následovalo po Kantovi, bylo však výsadní postavení eukleidovské geometrie otřeseno. Lobačevskij, Bolyai a Riemann uvedli na scénu neeukleidovské geometrie, které jsou vnitřně bezesporné a mají množství technických a fyzikálních aplikací (např. slavnou Einsteinovu obecnou teorii relativity). Okamžik, kdy na scénu vstoupily neeukleidovské geometrie, byl však pro její výsadní postavení podobně osudný jako v antice objev iracionality pro pythagorejský program. A jako by toho bylo málo, objevili matematikové takové abstraktní objekty, které zcela odporují „zdravému“ smyslovému názoru. (Poznamenejme, že Kantův pojem apriorního názoru prostoru má zřejmě svůj původ právě zde.) Mezi ně patří například Weierstrassova funkce, která je spojitá, a přesto nemá v žádném bodě derivaci (tj. můžeme si ji představit jako spojitou křivku, která nemá v žádném bodě tečnu!), a Peanova či Hilbertova křivka, z nichž obě souvisle vyplňují celou zadanou plochu! Tímto způsobem vstoupilo apeiron, vyhnané teorií proporcí na čas mimo matematiku, i do geometrie! Matematikové se proto s nadějí obracejí právě k aritmetice a na rozdíl od dřívější doby považují za jedinou oblast matematické pravdy aritmetiku, která je v Kantově pojetí rozvinutím apriorního názoru času. Čas je pouhé plynutí a nenajdeme v něm žádné záludnosti jako v případě názoru prostoru. Aritmetiku proto není tak snadné zpochybnit, alespoň ne objevem nějaké „jiné“ aritmetiky. (Čtenář, který se knihou prokousal až do tohoto místa, nicméně ví, že jakési apeiron aritmetiky skutečně v roce 1931 Kurt Gödel objevil.) To je zároveň důvod, proč bylo vůbec zapotřebí

307

zaritmetizovat matematickou analýzu a proč bylo tolik zapotřebí vypořádat se s iracionalitou na poli aritmetiky. Znovu o kontinuu a iracionalitě Po této malé exkurzi se konečně vraťme k Dedekindově teorii řezů. Mějme číselnou osu, kterou se pokoušíme popsat pouze pomocí „kontinua“ racionálních čísel. „Kontinuum“ racionálních čísel je hustě uspořádanou množinou, což znamená, že mezi dvě racionální čísla, ať jsou si jakkoli blízká, lze vložit další racionální číslo. Např. mezi čísla 3 /1000000 a 3/1000001 můžeme vložit číslo, které je aritmetickým průměrem obou z nich. Přesto je zřejmé, že racionální čísla lze rozdělit do dvou množin rovněž tak, že mezi nimi nebude žádné racionální číslo, neboť jinak bychom dostali logický spor. V určitých místech „kontinua“ reálných čísel jsou totiž „mezery“, kterým neodpovídají žádná racionální čísla, tj. mezery typu 2, čísla  aj. Dedekindovým řezem rozdělme množinu všech racionálních čísel na dvě části – část, která obsahuje všechna racionální čísla vlevo od místa, kterým jsme vedli řez, a druhou část tvořenou všemi racionálními čísly vpravo. Samotný bod řezu může nebo nemusí náležet k jedné z částí. Iracionální čísla tedy můžeme definovat jako ty řezy, pro něž místo, jímž je řez veden, nepatří k žádné z obou částí. Všimněme si ještě, jak Dedekindova teorie mlčky předpokládá aktuální nekonečno. Jejím výchozím bodem je kontinuum reálných čísel, odkud plyne přítomnost mezer v „kontinuu“ racionálních čísel. Mají-li tyto mezery být jiným druhem čísla než racionálním, předpokládáme tím zároveň aktuální danost všech racionálních čísel. Aktuální nekonečno je taktéž mlčky předpokládáno například v důkazech rovnosti či nerovnosti dvou iracionálních čísel. V nich totiž srovnáváme všechna racionální čísla vlevo či vpravo od obou příslušných řezů představujících daná iracionální čísla. Jiná teorie, ještě aritmetičtější než Dedekindova, pochází od

308

Georga Cantora. Ten místo řezů pracuje s tzv. Cauchyho posloupnostmi racionálních čísel. Tyto posloupnosti se blíží, čili konvergují, k nějakému reálnému číslu. K zavedení iracionality tedy Cantor využívá pojem limity Cauchyho posloupnosti. Ačkoliv všechny členy Cauchyho posloupnosti jsou jen obyčejnými racionálními čísly, jejich limitou (tj. v nekonečnu) může být číslo racionální nebo iracionální. Iracionální číslo se pak jednoduše definuje jako taková Cauchyho posloupnost, jejíž limita není racionální. Cantorova teorie tedy, na rozdíl od Dedekindovy, používá aktuální nekonečno nikoliv skrytě, ale zcela výslovně. Přesvědčili jsme se, že moderní matematika předpokládá aktuální nekonečno. Nyní si můžeme položit otázky: „Co je vlastně nekonečno?“ a „Jakým předmětům (mimo řeč o Bohu) připisujeme vlastnost nekonečna?“ Právě k řešení podobných otázek byl založen nový matematický obor – teorie množin. Zásadní podněty k jejímu založení přinesl Bernard Bolzano, významný filozof a matematik působící v Praze, o němž jsme už slyšeli v souvislosti s aritmetizací matematické analýzy. V roce 1851, tři roky po Bolzanově smrti, bylo publikováno jeho průkopnické dílo Paradoxien des Unendlichen (Paradoxy nekonečna), na něž ve své práci navázal Georg Cantor, vlastní zakladatel teorie množin. Bolzano ukázal, že o nekonečnu lze hovořit pouze v souvislosti s nekonečným množstvím (tj. nekonečnými množinami, a nikoli např. „nekonečnými“ čísly) a objevil také zásadní vlastnost nekonečných množin – totiž to, že je lze vzájemně jednoznačně zobrazit na jejich vlastní nekonečnou podmnožinu (tento výsledek považoval za jeden z hlavních paradoxů nekonečna). Bolzano by si celkově vzato zasloužil, abychom mu věnovali mnohem více pozornosti, než si zde můžeme dovolit. Protože čtenář naší knihy již zná hlavní pojmy Cantorovy teorie množin, můžeme směle přejít k tomu, jak na ní lze vybudovat

309

matematiku. Tím se zároveň dostáváme k těm nejobecnějším pojmům, především k pojmu „číslo“ (dosud jsme si neřekli, co vlastně je „číslo“), a k našemu konečnému tématu – třetí revoluci v dějinách matematiky a hledání jejích základů. O hledání základů matematiky Poté, co byla do matematické analýzy zavedena aritmetická přesnost, zdálo se, že k nalezení jejích dokonalých základů zbývá už jen pár krůčků. Největší překvapení, z něhož se matematika vzpamatovává dodnes, měla teprve přijít. Nejprve si však povězme o vzájemném vztahu matematiky a logiky. Víme už, že podle Aristotela sídlí matematické poučky především v lidské mysli. Více než kdekoliv jinde proto platí v matematice požadavek, aby její tvrzení sledovala ty nejobecnější zásady lidského rozumu, tj. logiky. Mezi nejdůležitější vlastnosti matematiky musíme tudíž zařadit i její bezespornost, čímž rozumíme skutečnost, že nemůže zároveň platit nějaké tvrzení A i jeho negace (opak), tj. ne-A. Je-li totiž něco v rozporu se samotnými principy logiky, nemůže taková věc existovat jak ve skutečnosti, tak ani v našem myšlení. Z této zásady jsme mlčky vycházeli v důkazu iracionality čísla 2. Naše úvaha spočívala v tom, že předpoklad existence takového racionálního čísla vede k logickému sporu. Matematika je tedy s logikou svázána daleko více než jakákoli jiná věda. Proto v matematice smíme za správné považovat jen ty poznatky, které deduktivně plynou z předem přijatých tvrzení, jimž říkáme axiomy nebo postuláty, nebo z jiných poznatků, které jsme na jejich základě již dříve dokázali. Axiomy přitom musejí mít natolik samozřejmou povahu, že samotné pomyšlení na to, že by daný axiom neplatil, nám musí připadat absurdní. Dílo antického matematika Eukleida s názvem Stoicheia (tj. Základy; rozumí se Základy geometrie), které velmi přísně dbá na vyplývání jedněch poznatků z druhých, tak bylo považováno za vzor vědeckého

310

myšlení až do dvacátého století. Největší autoritou logiky starověku byl bezkonkurenčně Aristotelés se svým souborem děl, kterému se souhrnně říká Organon (tj. Nástroj). Musíme však přiznat, že k jeho práci antika, s výjimkou výrokové logiky stoiků, již mnoho nepřidala. S mohutným rozvojem matematiky v novověku se tedy stalo, že matematika logiku v mnohém předběhla. Zde sehrálo neblahou roli rovněž zmíněné obrácení hodnot novověku vůči středověku. Se středověkem totiž odmítla renesance i jeho velmi propracovanou logiku (středověcí studenti teologie a filozofie toho pravděpodobně věděli o logice mnohem více než studenti dnešní) a v tomto případě „vylila vaničku i s dítětem“. Další pokrok matematiky byl proto ve dvacátém století do jisté míry podmíněn pokrokem logiky. Nyní si stručně povězme o logicismu, jednom ze tří nejdůležitějších směrů hledání základů matematiky. Vlastní původ myšlenky logicismu sahá až ke Georgu Wilhelmu Leibnizovi, s jehož jménem jsme se už jednou setkali. Čtenáři se možná dále vybaví jeho tvrzení, že žijeme v nejlepším ze všech možných světů. Na příkladu důkazu Boží existence jsme si výše předvedli, jak matematické myšlení ovlivňovalo myšlení teologické, a na uvedeném Leibnizově tvrzení si nyní ukážeme opak – jaký dopad mělo teologické myšlení na matematiku. Bůh, který je vševědoucí, totiž podle Leibnize ví, který ze všech možných světů je ten nejlepší. Bůh ale také musí být všemocný a nanejvýš dobrotivý. Poněvadž je všemocný, je v jeho moci, aby onen nejlepší ze všech možných světů stvořil. A jelikož je rovněž dobrotivý, pak tento nejlepší ze všech možných světů také musel stvořit. Od možných světů je jen krůček k Leibnizově logice a matematice. V různých světech platí nepochybně různé věci. Lze tedy právem položit otázku, zda neexistuje také něco, co platí ve všech možných světech. Podle Leibnize jsou to právě poučky matematiky

311

a logiky. Celá matematika podle něj plyne z logického zákona vyloučeného třetího, tj. z toho, že platí buď A, anebo ne-A (ale nemůže platit obojí zároveň či neplatit obojí zároveň). Proč celá matematika plyne z tak jednoduchého zákona? Naznačme si úvahu, která, jak se zdá, tuto domněnku potvrzuje. Každý výrok můžeme podle Leibnize plně převést na subjektpredikátovou formu. Tím se myslí asi tolik, že například tvrzení „Petr je smrtelný“ můžeme přeměnit na podobné tvrzení „Petr má vlastnost smrtelnosti“. Vlastnosti říkáme predikát a předmětu, kterému vlastnost připisujeme, subjekt. Leibniz dále předpokládá, že predikát je již předem zahrnut v subjektu, např. v Petrovi je předem zahrnuta i vlastnost smrtelnosti. Kdybychom mohli takto postupně analyzovat všechna pravdivá tvrzení o aktuálním světě (tj. světě, v němž žijeme), dostávali bychom stále jednodušší a jednodušší tvrzení, až bychom nakonec dospěli k několika základním principům. Z nich by pak bylo možné odvodit veškeré poznání o světě. Leibniz ovšem připouští, že pokud se jedná o aktuální svět, bylo by k tomu zapotřebí nekonečné doby, což si může dovolit pouze věčný Bůh. Podobně můžeme podle Leibnize matematická tvrzení zjednodušovat tak dlouho, dokud nedojdeme k několika málo logickým principům a posléze k principu vyloučeného třetího, který samozřejmě musí bez výjimky platit ve všech možných světech, neboť v žádném světě nemůže nic zároveň existovat i neexistovat. Tím je rovněž vymezen úkol logicismu – dokončit to, co Leibniz pouze naznačil, tj. převést všechna matematická tvrzení na několik málo samozřejmých logických principů a ukázat, že matematika není nic více než jen pokračování logiky. Leibniz sám tyto své myšlenky nikdy nedovedl do konce, a tak musely čekat na odvážné pokračovatele. Na poli matematiky se stal (téměř o dvě století později) bezpochyby důstojným Leibnizovým pokračovatelem Gottlob Frege.

312

Víme už, jak úspěšně si devatenácté století poradilo se zpřesněním pojmů matematické analýzy. Má-li však matematika být vskutku přesnou vědou, musí podrobit velmi přísné logické kritice i své nejzákladnější pojmy, neboť žádným jiným způsobem si nemůže být jista s jejich bezesporností. Právě o to usiluje Frege. Ve svém díle, které nese název Begriffsschrift (Pojmové písmo), buduje novou logickou symboliku. Ta je nutná k zjednodušení zápisu logického vyplývání a u matematiky, jež není podle Fregeho ničím jiným než pokračováním logiky, jde o logické vyplývání především. (Musíme ovšem poznamenat, že tato symbolika byla natolik složitá, že se neujala, a kupříkladu Russell s Whiteheadem se přiklonili k symbolice Peanově, jež se s různými obměnami používá dodnes.) Po logickém vyplývání se pak Frege v díle Die Grundlagen der Arithmetik (Základy aritmetiky) pustil do logického zkoumání pojmu čísla. O číslech hovoříme už od začátku. Dosud jsme si však neřekli, co vlastně je číslo. Znovu se ukazuje, že věc není zdaleka tak jednoduchá, jak by se na první pohled zdálo. Můžeme téměř parafrázovat slavnou pasáž filozofa Augustina o čase a říct: „Dokud se mne nikdo neptá, co je číslo, vím to. Pokud se však někdo zeptá, nevím nic!“ Frege se musel nejprve vypořádat s pojetím, podle něhož je číslo vlastností skupiny empirických věcí, např. číslo čtyři vlastností skupiny čtyř hrušek. Frege zdůrazňuje, že připsat skupině věcí číslo je něco docela jiného, než přisoudit jí empirickou vlastnost, jak činíme například ve větě „Tato jablka jsou červená“. Pro zajímavost předpokládejme, že věta „Jablko je červené“ má stejnou povahu jako věta „Jablko je jedno“, tj. že predikát „být jedno“ popisuje nějakou vlastnost, podobně jako predikát „být červený“. Stejnou povahu pak má i věta „Jahoda je červená“. Je pak docela smysluplné, řekneme-li „Jablko a jahoda jsou červené“, ale zdánlivě obdobná věta „Jablko a jahoda jsou jedno“ zní naprosto nesmyslně. Kritizované pojetí má tudíž absurdní důsledky.

313

Jiný názor na povahu čísla, zdánlivě přijatelnější, zní tak, že číslo je souhrn jednotek (např. Eukleidova definice čísla v jeho Základech). Ale i zde se skrývají nepřekonatelné potíže. Uvažujme například skupinu čtyř hrušek a každou z nich považujme za jednotku. K tomu je zapotřebí odhlédnout od individuální povahy, jíž se každá z těch hrušek vyznačuje, a uvažovat jakousi „abstraktní“ hrušku (Frege říká, že vše, co nám z této „abstraktní“ hrušky zbude, je pojem hrušky). Jestliže jsme však odhlédli od všeho jedinečného, pak jsme unikli Skylle jedné a narazíme na Charybdu druhé potíže: Postavíme-li totiž vedle sebe čtyřikrát naši „abstraktní“ hrušku, nebudeme mít nic, podle čeho bychom mohli tyto „hrušky“ od sebe odlišit. Nepoznáme tak ani to, zda se jedná o jednu či více „abstraktních“ hrušek. Zůstaneme-li tedy u naší „abstraktní“ hrušky a přijmeme-li ji za jednotku, je zřejmé, že sčítáním nerozlišitelných jednotek nedostaneme množství. Frege poukazuje na to, že toto pojetí čísla vyžaduje po jednotce dvě navzájem neslučitelné věci – aby jednotky byly něčím stejným (abychom je mohli podle sebe porovnat), na druhou stranu však musí být každá z nich něčím jiným (protože jinak je od sebe nedokážeme odlišit). Uvedené pojetí čísla tak v sobě obsahuje spor. Nebudeme už čtenáři dále plést hlavu a naznačíme řešení. Frege se odvrací od pojetí čísla jako vlastnosti skupiny věcí či skupiny jednotek a snaží se ukázat, že číslo je vlastností pojmů, nikoliv předmětů. Zkoumejme spolu s Fregem např. tuto výpověď: „Venuše má nula měsíců.“ K čemu se v této větě vztahuje číslo nula? K předmětu „měsíc Venuše“? Jak se však může číslo vztahovat k něčemu, co neexistuje? Věta, která se nevztahuje k ničemu, je celá nesmyslná a nemůžeme jí ani rozumět. Jak si tedy máme vysvětlit, že větě rozumíme? Fregeho řešení zní, že číslo nula se ve skutečnosti nevztahuje na předmět, ale na pojem „měsíc Venuše“. A tomuto pojmu rozumíme a víme, že pod něj nic

314

nespadá. Tímto způsobem se podařilo Fregemu převést uvažování o čísle z roviny předmětů na rovinu pojmů. Řekneme-li kupříkladu, že sluneční soustava má devět planet, pak jsme učinili určité tvrzení o pojmu „planeta sluneční soustavy“. Prohlásíme-li o panu Pavlovi, že má devět sourozenců, učinili jsme podobné tvrzení o pojmu „sourozenec pana Pavla“. Existuje tedy něco, pod co spadají oba pojmy? Něco společného existuje tehdy, lze-li uvést oba pojmy do nějakého vzájemného vztahu. V našem příkladě můžeme vztah zavést například tak, že každou planetu pojmenujeme po jednom z bratrů či sester pana Pavla. Jestliže má každá planeta své jméno a sourozenců ani planet nepřebývá ani neschází, pak jsme vlastně jen ukázali na vztah, který zde existoval již předtím (kdyby neexistoval, nemohli bychom jej tam objevit). Jedná se o nám dobře známé vzájemně jednoznačné přiřazení. Na základě tohoto přiřazení pak objevíme to, co mají oba takto podobné pojmy společného a co pojmenujeme jako „stejněpočetné“. „Stejněpočetné“ tak označuje skutečnost, že zmíněné přiřazení lze mezi dvěma či více podobnými pojmy zavést. Tentýž postup by totiž selhal u různých pojmů, jako jsou např. „planeta sluneční soustavy“ a „prsty na levé ruce“ – jednoho by nutně scházelo a druhého přebývalo. Číslo je tedy ono „stejněpočetné“, pod něž spadají všechny pojmy, mezi nimiž lze nalézt vztah vzájemně jednoznačného přiřazení. Pojmům „planeta sluneční soustavy“ a „sourozenec pana Pavla“ tak odpovídá číslo devět, pojmům „prsty na noze“ a „prsty na ruce“ číslo pět atd. Číslo tedy obecně definujeme jako to, co se vztahuje na všechny pojmy, pod než spadá stejný počet předmětů. Tuto formulaci můžeme již snadno převést do jazyka teorie množin (jak to také později učinili Russell a Whitehead) a číslo definovat jako množinu všech množin, které mají stejný počet prvků, tedy např. číslo dva jako množinu všech množin o dvou prvcích apod.

315

Odtud je už jen krůček k tomu, jak vybudovat celou aritmetiku na pevných základech, které představuje teorie množin, a za předpokladu, že je teorie množin správná, tomuto úsilí nestojí již nic v cestě. Mějme například tvrzení 2 + 2 = 4. To snadno převedeme na úvahu o sjednocení dvou množin, například množin M a N, které obsahují právě dva prvky (jinými slovy to můžeme říci tak, že každá z množin M a N má kardinální číslo 2). Jelikož každá z množin M a N má kardinální číslo 2, musí spadat pod definici čísla dva, tj. být prvky množiny všech množin, které mají právě dva prvky. Vytvořme konečně sjednocení množin M a N a výslednou množinu si označme např. jako H. Pak musíme dokázat, že množina H má skutečně kardinální číslo 4, tj. že spadá pod definici čísla 4 a je prvkem množiny všech množin, které mají právě čtyři prvky. Tuto skutečnost je sice zapotřebí dokázat pomocí komplikované symboliky a příslušný důkaz musí platit pro libovolné dvě dvouprvkové množiny, nicméně se zdá, že k vybudování skutečné aritmetiky už máme docela blízko. Fregemu se tedy tímto způsobem podařilo převést číslo na jednodušší pojmy a tak ukázat, že není něčím prvotním a nedefinovatelným, „co stvořil Bůh“, což o přirozených číslech tvrdili pythagorejci a, jak víme, také Leopold Kronecker. Věnujme se však ještě vztahu vzájemně jednoznačného přiřazení, který, jak jsme ukázali, pojmu čísla nutně předchází. Na tuto skutečnost uvádí americký logik S. C. Kleene půvabný příklad s volbami náčelníka jistého kmene, jehož členové umí počítat pouze do dvaceti. Náčelníkem se stane ten, kdo vlastní větší počet kusů dobytka. Pokud stáda dvou kandidátů A a B nepřesahují početně dvacet kusů, je vše jasné. Jestliže však jsou větší, nelze mezi kandidáty rozhodnout počítáním. Přesto lze oba kandidáty srovnat na základě vzájemně jednoznačného přiřazení. Můžeme například vpouštět úzkou brankou do velké ohrady zároveň jeden kus dobytka ze stáda kandidáta A a jeden kus ze stáda kandidáta B. V tomto

316

případě vyhraje ten, komu ještě nějaký dobytek zůstane i tehdy, když má jeho protivník již celé stádo v ohradě. Ze vztahu vzájemně jednoznačného přiřazení lze tak spolehlivě vybudovat nejen pojem čísla, ale rovněž pojmy „větší“ a „menší“. Členové kmene by tedy nejenom zjistili, které ze dvou neznámých čísel je větší, ale při troše snahy by se mohli přiučit i novým číslům. Fregemu se tak zdálo, že vše nasvědčuje na správnost jeho programu a na to, že k položení nezvratných základů matematiky zbývá už jen poslední krůček. Právě v tom okamžiku vstoupil na scénu Bertrand Russell se svým paradoxem a Fregeho konstrukce se otřásla v základech. Fregeho původní systém, tak jak je obsažen v Die Grundlagen der Arithmetik (tj. Základech aritmetiky) z roku 1884, byl ještě zcela bezesporný. Ve svém pozdějším díle Grundgesetze der Arithmetik (tj. Základní zákony Aritmetiky; první díl vyšel v roce 1893 a druhý v roce 1903 již s Fregeho dodatkem pojednávajícím mimo jiné o Russellově paradoxu) se však pokusil svůj systém rozšířit o teorii množin, jíž se původně snažil vyhnout. Za tímto účelem k bezesporným axiomům původního systému dodal nový „základní“ zákon V, který způsobil, že se systém stal sporným. Jestliže ale Fregeho systém a tzv. „naivní“ teorie množin obsahují Russellův paradox, pak nevíme, zda nás podobné překvapení nečeká také v aritmetice, a celý logistický program je ohrožen. Podle pravidla, že z nepravdy plyne cokoliv, bychom totiž mohli v tom případě dokázat jakoukoli větu, např. 1 + 1 = 5, a taková „aritmetika“ by samozřejmě byla k ničemu. Ani Russell dlouho netušil, jak ze „začarovaného kruhu“ (latinsky: circulus vitiosus) ven, ale nakonec přece jen našel východisko v teorii typů. Připomeňme si nyní stručně Russellův paradox. Uvažujme o množině všech množin, které nejsou prvky sama sebe (takovým množinám říkáme obyčejné množiny). Pokud tato množina není prvkem sama sebe, pak musí být podle definice prvkem sama sebe. A je-li prvkem sama sebe, potom nemůže být

317

prvkem sama sebe, protože podle definice jsou jejími prvky pouze obyčejné množiny, tj. ty, které nejsou prvky sama sebe. Tato událost, objev paradoxů teorie množin, zahájila třetí revoluci v dějinách matematiky. Štafetu logicismu tak po Fregem převzal Bertrand Russell. Jeho řešení paradoxů pomocí teorie typů spočívá v podobně účinném omezení abstrakce, jaké jsme viděli u Zermela. Je-li totiž množina definována nějakou vlastností, kterou splňují všechny její prvky, pak není dovoleno použít tuto vlastnost na množinu samu. Máme zde totiž přinejmenším dva typy předmětů – množinu, jíž odpovídá vyšší typ, a její prvky, jimž odpovídá nižší typ. Nemáme-li míchat „jablka“ s „hruškami“ (nebo spíše „jablka“ s „ovocem“), pak rovněž nesmíme beztrestně směšovat předměty různých typů. V případě Russellovy množiny všech obyčejných množin proto nemají žádný smysl taková tvrzení, podle nichž tato množina je či není prvkem sama sebe. Tím však teorie typů ještě nekončí. Vyšetřujeme-li vlastnosti předmětů, pak můžeme v rámci jednoho typu předmětu rozlišit ještě různé řády vlastností. Tomu se říká rozvětvená teorie typů. Od ní sice Russell později upustil, nicméně postup, jímž jsou budovány základy matematiky ve slavném Whiteheadově a Russellově díle Principia Mathematica z let 1910–1913, předpokládá právě tuto rozvětvenou teorii typů. Zde však nastávají jiné potíže – jak můžeme v rozvětvené teorii typů smysluplně hovořit např. o „všech vlastnostech“ nějakého předmětu? Jestliže se vlastnosti předmětu daného typu dělí do různých řádů, pak jakékoliv tvrzení o „všech vlastnostech“ nemá smysl, protože mícháme „jablka“ s „hruškami“ (resp. přesněji „červená jablka“ například s „barevnými jablky“). Tento zákaz však velmi komplikuje situaci. Podívejme se, jakým problémům musí čelit například teorie čísel. Racionální čísla sestrojujeme z přirozených čísel, a proto jim odpovídá vyšší typ než číslům přirozeným. V teorii typů tudíž

318

nemůžeme zavést například součet dvou čísel, z nichž jedno je přirozené a druhé racionální. Chceme-li přesto pracovat s takovými čísly, z nichž některá vypadají jako přirozená a jiná jako racionální, musíme racionální čísla definovat tak, aby některá z nich připomínala čísla přirozená, přestože se ve skutečnosti jedná o čísla vyššího typu, tj. typu racionálních čísel. Tato zdánlivě přirozená čísla (ve skutečnosti však čísla racionální) si nicméně nesmíme splést s čísly skutečně přirozenými, a už vůbec je nesmíme v různých početních operacích míchat dohromady. Situace se zopakuje, sestrojíme-li, ať už podle Dedekindovy nebo Cantorovy teorie, na základě racionálních čísel reálná, protože reálným číslům rovněž odpovídá vyšší typ než racionálním. Touto typovou konstrukcí jsme tak nedostali pouze jeden druh čísel, ale spoustu přísně od sebe odlišných druhů, které nesmíme navzájem směšovat. Pracujeme-li konečně s reálnými čísly, můžeme na jejich základě formulovat např. některé základní věty matematické analýzy, jako například větu o supremu a infimu (této větě se také někdy říká věta o horní a dolní závoře). Uvažujeme-li nějakou číselnou množinu, která je shora či zdola omezená, pak věta o supremu a infimu říká, že z příslušných horních či dolních závor existuje právě jedna nejmenší horní závora (supremum) či právě jedna největší dolní závora (infimum). Tato věta má v matematické analýze nesmírně široké použití – například právě pojem limity bývá zaváděn jako příslušná nejmenší horní či příslušná největší dolní závora. Z hlediska rozvětvené teorie typů však supremu či infimu odpovídají vyšší řády (jedná se o reálná čísla s vlastností druhého řádu) než obyčejným reálným číslům prvního řádu, a jelikož nesmíme beztrestně směšovat nejenom čísla různých typů, ale ani čísla s vlastnostmi různých řádů, zůstanou v důsledku tohoto zákazu některé „životně“ důležité věty vyšší matematiky nedokazatelné. Rozvětvená teorie typů tak uvádí matematiku

319

do nesmírných potíží, a zde se ukazuje, že teorie typů a matematika mají odlišný pohled na věc; nejsou jedno a totéž! K vyřešení těchto potíží Russell s Whiteheadem zavedli tzv. axiom reducibility. Ten zajišťuje možnost převést např. tvrzení o číslech daného typu s vlastnostmi vyšších řádů na tvrzení o číslech toho typu s vlastnostmi prvního řádu, která jsou jim ekvivalentní. Tím je sice zaručeno, že matematická tvrzení směšující v rozvětvené teorii typů různé řády vlastností zůstanou v platnosti, nicméně problém, který jsme naznačili, totiž že matematika a logika jsou dvě různé věci, tím zdaleka odstraněn není. Další potíž nastává s nekonečnem. V kapitole 21 nám čaroděj předvedl von Neumannovu metodu množinové konstrukce přirozených čísel. Nulu zde definujeme jako počet prvků prázdné množiny , číslo 1 jako množinu, jejímž jediným prvkem je právě číslo nula, tj. 1 = {0} = {}, číslo 2 jako množinu, jejímž jediným prvkem je číslo 1, tj. 2 = {1} = {{}} atd. Tímto způsobem můžeme sice zkonstruovat libovolně mnoho číselných množin, to však vůbec ještě neznamená, že se nám podařilo zkonstruovat aktuální nekonečno. Aktuální nekonečno totiž neznamená, že máme nekonečně mnoho různých množin, ale že máme alespoň jednu nekonečnou množinu! Její existenci však uvedený postup nezaručuje, spíše naopak. Stačí, vzpomeneme-li si, jak se Cantor vypořádal s paradoxem množiny všech množin. Cantor totiž musel připustit, že neexistuje žádná množina všech množin! Žádnou úvahou se tedy nedá dokázat, že (byť i z nekonečně mnoha množin!) existuje alespoň jedna nekonečná množina, a proto je zapotřebí existenci nekonečné množiny zavést jako nový axiom. Máme tak již přinejmenším dva axiomy, které se logistickému programu „vymykají“ z rukou – axiom reducibility a axiom nekonečna. Ukažme si, čím se liší od logických principů. Tvrzení logiky jsou tautologiemi (z řeckého: tautó legein – říkat totéž), tj. větami, které k řečenému nepřidávají žádnou novou informaci.

320

(Řekneme-li „Buď prší, nebo neprší“, pak jsme jistě pronesli pravdivou, nicméně nepříliš informativní větu.) A protože jsou tyto věty platné ve všech možných světech, jsou navíc pravdivé nutně. Povaha axiomů reducibility a nekonečna je však docela jiná – existenční. Oba axiomy totiž tvrdí, že něco existuje, tj. podávají nám novou informaci, kterou bychom bez odvolání se na ně neměli nijak zaručenu. Jejich podstata je tedy mimologická, a proto nelze-li vybudovat matematiku bez použití těchto axiomů, pak ji ani není možné zcela převést na logiku. Jsou-li však tyto axiomy existenční, je rovněž zřejmé, že nejsou nutné, tj. teoreticky vzato je můžeme nahradit jinými axiomy a budovat na nich jinou matematiku. Jak totiž poznáme, které axiomy jsou ty správné, chybí-li nám jakékoliv rozhodovací kritérium? Důsledkem, který odtud plyne, je to, že se logistický program ukázal ve své podstatě jako neuskutečnitelný. Přestože tedy logicismus se svým ambiciózním programem nakonec selhal, zůstává jeho velkým přínosem to, že poukázal na význam matematické logiky. Má-li být matematika budována skutečně přesně, pak formální postupy, které při své práci používá, musí splňovat přísné nároky logiky. A tato zásada zůstává v platnosti dodnes. Z dalších dvou konkurenčních směrů budování základů matematiky, si všimneme pouze dvou nejvýznamnějších, formalismu a intuicionismu. Uvidíme, že oba směry odmítají východiska logicismu, nicméně každý z poněkud jiného důvodu. Nejprve se věnujme intuicionismu založenému Leopoldem Kroneckerem a Liutzenem Brouwerem. Se jménem Leopolda Kroneckera jsme se už jednou setkali – čtenář si určitě vzpomene na jeho tvrzení, že Bůh stvořil pouze přirozená čísla, a že vše ostatní je v matematice dílem člověka (tento výrok jsme citovali v úvodu našeho cestování). To je postoj radikálně odlišný od stanoviska logicismu. Kdykoli jsme hovořili o logicismu, odvolávali

321

jsme se na skutečnost, že byl učiněn ten či onen matematický objev. Zkoumá-li totiž logicista matematický svět, připadá si jako cestovatel, který prozkoumává a popisuje neznámou krajinu. O svých výzkumech podává zprávy a podaří-li se mu obzvláště přehledně shrnout některé své objevy, vydá je prostřednictvím jakési mapy či turistického průvodce. Krajina, o níž nám referuje, však vždy byla a vždy bude, a záleží pouze na nás, do jaké hloubky ji prozkoumáme. Podle intuicionistů je matematika naopak spíše zkoumáním naší představivosti a uskutečňováním matematických konstrukcí. Pro intuicionistu matematika představuje jakousi budovu, kterou staví. Záleží pak jen na architektech a na materiálu, jakou stavbu zvolíme – zda si přejeme postavit spíše románskou rotundu, gotickou katedrálu, secesní vilku či šedivý panelák. Stavebními kameny jsou zde „Bohem stvořená“ přirozená čísla a architekty dávající stavbě řád kantovské apriorní názory prostoru a času (Brouwer dokonce dospěl k přesvědčení, že stačí názor času samotný). Tyto základní prvky a pravidla určitě umožňují vybudovat mnoho. Co nám však nikdy neumožní, je sestrojit aktuální nekonečno. Zde se intuicionisté odvolávají na Aristotela, o jehož postoji k nekonečnu jsme již mluvili. Jedinými přípustnými objekty matematického studia jsou tak konstrukce, které můžeme uskutečnit pomocí konečného počtu stavebních kroků, či maximálně pomocí principu matematické indukce, jež se odvolává na nekonečno potencionální. V této souvislosti si uvedeme jednu zajímavou poznámku. V našem cestování po středověku jsme si uvedli, že o nekonečnu můžeme smysluplně hovořit pouze v souvislosti s řečí o Bohu. Jestliže tuto vlastnost přenášíme mimo teologii, pak se podle českého matematika Petra Vopěnky znovu dopouštíme „prvotního hříchu“ a trháme ovoce ze zakázaného stromu. Intuicionismus tak není ničím jiným než pokusem o vykoupení se z tohoto hříchu vlastními silami, který však, podobně

322

jako prvotní hřích teologický, nemůže být smazán nikým jiným, než samotným Bohem. Intuicionisté z toho důvodu odmítají nejen některé matematické výsledky jako například Cantorův důkaz nespočetnosti množiny transcendentních čísel (jelikož tento důkaz nám neposkytuje konstruktivní metodu svého ověření), ale rovněž některé principy logiky. Základní zákony logiky, např. zákon vyloučeného třetího a zákon dvojí negace, byly totiž podle intuicionistů původně zavedeny na základě zkušeností s konečným počtem věcí či představ. Zavádíme-li však tyto zákony i do nekonečných oborů, což je právě případ Cantorovy teorie množin, nemůžeme si být nijak jisti, že platí i zde. A právě Russellův či Cantorův paradox považují intuicionisté za důkaz, že jejich nedůvěra k nekonečným oborům je oprávněná. O Russellově množině všech normálních množin totiž nemůžeme smysluplně říci, že je prvkem sama sebe, ani že není prvkem sama sebe, což vrhá stín pochybností na zákon vyloučeného třetího. Po objevu paradoxů teorie množin tak vzrostla nedůvěra k těmto zdánlivě neotřesitelným principům. Tuto situaci v matematice přirovnal německý matematik Hermann Weyl k peněžní ekonomice. V období velké inflace totiž papírové peníze rychle ztrácejí hodnotu, až se časem stanou docela bezcenné. Co má cenu, jsou reálné věci – potraviny, oblečení, dům či byt atd. Objev paradoxů teorie množin zahájil podobnou „éru inflace“ tradiční matematiky. Nekonstruktivní důkaz tvrzení, který je založen jen na bezvýhradné platnosti zákona vyloučeného třetího, je právě onou znehodnocenou bankovkou. Cenné jsou pouze „hmotné statky“, to, nač si můžeme sáhnout; v případě matematiky to, co můžeme přímo zkonstruovat. Oproti klasické logice dále intuicionisté chápou negaci jako nemožnost příslušný předmět zkonstruovat, tj. jako možnost zkonstruovat konstrukci, která tvrdí, že příslušná konstrukce nemůže být uskutečněna. Za tohoto odlišného pojetí negace je zřejmé,

323

že např. ze dvou tvrzení A a ne-A nemusí být pravdivé ani jedno (tj. že nelze provést ani příslušnou konstrukci A, ani konstrukci ne-A), to je však právě ta třetí možnost, kterou zákon vyloučeného třetího výslovně zakazuje. Vezměme například tvrzení: „V desítkovém rozvoji čísla  se vyskytuje sedm po sobě jdoucích sedmiček“. Z hlediska logicismu je toto tvrzení buď pravdivé, nebo nepravdivé (na základě zákona vyloučeného třetího), z hlediska intuicionismu však také nemusí mít žádný smysl, protože nevíme, zda existuje nějaká konstrukce, jejímž prostřednictvím je lze dokázat či vyvrátit. Intuicionismus je tedy jakousi „peněžní reformou“, s jejíž pomocí má být z klasické matematiky zachráněno vše, co není „nakaženo“ nebezpečným aktuálním nekonečnem. V jistých případech je však situace ztracena – některé obory klasické matematiky takto zachránit nelze. Intuicionisté se proto musejí určitých matematických výsledků vzdát navždy a jiné musí vystavět znovu od začátku. Především je zapotřebí znovu zkonstruovat celou stavbu iracionálních a reálných čísel, na níž je postavena matematická analýza, a teprve na nich budovat „novou“ matematickou analýzu, která je však radikálně jiná než analýza klasická. Vidíme, že intuicionisté v podstatě budují zcela novou matematiku. Vraťme se však ještě k otázce logiky. Víme, že intuicionismus odmítá uznat bezvýhradnou platnost některých jejích tradičních zákonů. Musí tak znovu od začátku vybudovat i logiku. Ukázalo se však, že pod intuicionistickou logikou se dají rozumět různé věci, a že úkol, jak tuto logiku interpretovat, není zdaleka jednoduchý. Například podle interpretace ruských matematiků A. N. Kolmogorova a J. T. Medveděva je intuicionistická logika kalkulem konečných úloh, které lze či nelze efektivně (tj. v konečném čase) řešit. Podle jiné interpretace, pocházející od S. C. Kleeneho, je tato logika kalkulem, v němž lze či nelze algoritmicky realizovat

324

důkazy jistých tvrzení. Obě tyto interpretace mají ale různou sílu a o logice realizovatelnosti bylo dokonce dokázáno, že obsahuje jisté formule, které by do intuicionistické logiky patřit neměly. Navíc V. Glivenko v roce 1929 a později Kurt Gödel (1932 a 1933), Gerhard Gentzen (1935) a Jan Łukasiewicz (1952) podali důkaz, že mezi klasickou a intuicionistickou logikou platí tento zajímavý vztah: Není totiž tomu jenom tak, že z klasické logiky vyplývá přijetím jistých omezení logika intuicionistická, ale rovněž tak, že klasická logika je obsažena v logice intuicionistické! Platí tedy, že je-li intuicionistická logika bezesporná, pak musí být bezesporná rovněž klasická logika. Tento poznatek však značně oslabuje nároky, které si intuicionistická logika přivlastňuje – totiž že matematickému myšlení vyhovuje lépe než logika klasická. Problém, který intuicionisté chtěli smést ze stolu odmítnutím klasické logiky, se jim tak znovu vrátil jako bumerang. Inu, zdá se, že „démonu“ antického apeira (či „prvotnímu hříchu Leibnize a Newtona“) nelze jen tak snadno uniknout. Posledním z významných směrů budování základů matematiky, který zmíníme, je formalismus. (Pod tento pojem spadá několik různých teorií, my se však budeme zabývat pouze formalismem v podání německého matematika Davida Hilberta). Víme, že logicismus a intuicionismus začínají matematiku budovat tak, že se snaží převést ji na něco fundamentálnějšího. V případě aritmetiky tak musíme nejprve vybudovat základy teorie čísel (logicismus buduje teorii čísel na zcela nových základech, naproti tomu intuicionismus prohlašuje přirozená čísla za něco nedefinovatelného, „stvořeného Bohem“). David Hilbert se chtěl podobným filozofickým úvahám vyhnout úplně, a proto navrhl opačný postup: Nejprve je podle něj zapotřebí vytvořit axiomatickou teorii čísel a dokázat, že tato teorie je bezesporná (tj. že z axiomů nelze odvodit zároveň nějaké tvrzení A i jeho negaci ne-A). Pak už není

325

zapotřebí nad existencí či neexistencí čísel uvažovat, ale můžeme jednoduše říci, že čísla existují, protože jejich teorie je bezesporná. Proti tomuto názoru, který chtěl matematiku budovat zcela bez ontologie čísel (nauky o tom, jak čísla existují) se ozval Frege. Namítl Hilbertovi, že podobným způsobem lze vytvořit bezespornou teorii jednorožců či okřídlených koní. Z bezespornosti této teorie pak musí automaticky plynout, že jednorožci a okřídlení koně skutečně existují. Podobně můžeme uvažovat např. předpoklady: (1) X je inteligentní bytost, (2) X je všudypřítomná bytost a konečně (3) X je všemohoucí bytost. Pokud z bezespornosti plyne existence, pak stačí i v tomto případě dokázat, že předpoklady (1), (2) a (3) jsou bezesporné, čímž bude dokázáno, že X skutečně existuje. Tím by se Hilbertovi podařilo znovu vzkřísit tzv. ontologický důkaz Boží existence (který poprvé v díle Proslogion v jedenáctém století předložil biskup a filozof Anselm z Canterbury), což Frege považuje za absurdní. (Poznámka: K matematické verzi ontologického důkazu se z jiných důvodů později znovu vrátil Kurt Gödel. To je však téma, kterému se v našich úvahách cudně vyhneme. Zvědavý čtenář se s Gödelovým důkazem může seznámit například v Druhých rozpravách s geometrií Petra Vopěnky.) Má-li mít otázka bezespornosti axiomů nějaké teorie vůbec smysl, zdůrazňuje Frege, pak musíme předem předpokládat, že existují jisté předměty, které těmto axiomům vyhovují (jinak též řekneme, že můžeme sestrojit model dané axiomatické teorie). Hilbert si tuto kritiku vzal k srdci a začal budovat tzv. finitární matematiku, principu bezespornosti se nicméně nikdy nevzdal. Tímto zdánlivě jednoduchým trikem se totiž Hilbertovi mimo jiné podařilo ospravedlnit nejrůznější matematické teorie, které se do té doby musely bránit velmi ostré kritice. Tato kritika například tvrdila, že neeukleidovské geometrie nemají žádné fyzikální opodstatnění (nezapomínejme, že obecná teorie relativity byla

326

objevena až v roce 1916), a tudíž by se jimi seriózní vědec vůbec neměl zabývat. Jestliže se však matematická teorie nemusí odvolávat na vnější svět, pak matematikové mohou s klidem studovat libovolnou bezespornou teorii beze strachu, že je jejich kolegové budou považovat za šarlatány a neužitečné podivíny. Vraťme se však k výkladu Hilbertových teorií. S Fregeho kritikou se Hilbert vypořádal tak, že matematiku rozdělil na dvě části – (1) na již zmíněnou finitární matematiku a (2) její nefinitární „nadstavbu“. Finitární (tj. konečnou) matematiku vybudoval Hilbert na studiu znaků (tato myšlenka se mu zalíbila natolik, že parafrázoval úvodní verš Janova evangelia a v jednom článku o základech matematiky napsal: „Na počátku byl znak“). Znak ovšem Hilbert definoval značně obecně jako speciální abstraktní objekt. Po znacích totiž požaduje, že musí být nezávislé na prostoru, čase a konkrétním procesu jejich vytváření či rozpoznávání. Za základní znak můžeme při dodržení obecných Hilbertem stanovených požadavků zvolit např. čárku I (můžeme si představit, že se jedná o znak římské číslovky 1). Na těchto znacích lze pak už snadno budovat jednoduché finitární pravdy. Například tvrzení 1+1=2 neznamená nic jiného než I + I = I I, a tvrzení 2 < 3 je totéž jako I I < I I I (což můžeme číst například tak, že spojíme-li dva znaky, je to totéž, jako kdybychom sestrojili dvojici znaků; a že dvojice znaků bude vytvořena dříve než trojice). Tyto operace Hilbert považoval za zcela nezávislé na logice a intuitivně zřejmé každému, kdo je používá. Hovoříme-li o konkrétních číslovkách (číslovky jsou v Hilbertově pojetí zkratkami za různě dlouhé řetězce znaků ...I I I I...), jsou různá tvrzení o nich finitárně dokazatelná či finitárně vyvratitelná. Platí tak například tvrzení 2 + 3 = 3 + 2. Naproti tomu tvrzení o všech číslovkách, např. x + y = y + x (jedná se o zkratku za tvrzení, že za x a y můžeme dosadit libovolné číslovky) už není finitární. Hilbert tak musí ostře rozlišovat mezi reálnými (tj. finitárními)

327

a ideálními tvrzeními (tvrzeními o všech číslovkách). Konkrétně ověřitelné jsou pouze finitární tvrzení (Hilbertovy finitární metody odpovídají do jisté míry intuicionistickým konstrukcím). Hilbert tudíž musí přesvědčivým způsobem zdůvodnit oprávněnost ideálních tvrzení. Dá se říci, že v řešení tohoto problému se Hilbert (podobně jako v mnoha jiných myšlenkách) nechal inspirovat Immanuelem Kantem. Ten po výkladu konkrétního lidského poznání, poukazuje na tzv. „logiku iluze“. Podle Kanta totiž můžeme mít poznání mnoha různých reálných věcí, ale nikdy nemůžeme mít konkrétní poznání světa jako celku. Podobně si uvědomujeme jednotu našeho poznání, jeho časovou návaznost, ale nikdy nemůžeme mít konkrétní poznání substance, která tuto jednotu a kontinuitu podkládá, tj. nikdy si nemůžeme reálně uvědomit duši. A konečně si uvědomujeme, že mezi mnoha věcmi panuje jednota příčiny a účinku, že každý námi pozorovaný jev má příčinu, kterou též často můžeme pozorovat, ale nikdy nemůžeme konkrétně vnímat jednotu příčinnosti v celku, tj. Boha, stvořitele a garanta této jednoty. Každé naše „poznání“ světa jako celku, duše a Boha je tak pouze iluzí, nikoli však iluzí svévolnou, ale nutnou. K těmto tzv. transcendentálním předmětům (Kant je též označuje jako ideje čistého rozumu; pro rozlišení od Platóna píšeme slovo „ideje“ tučně) totiž náš rozum musí nutně dojít, ptá-li se na nepodmíněné podmínky našeho podmíněného poznání. Přestože jsou tedy tyto tři transcendentální předměty důsledkem iluze, zůstávají platnými pravidly toho, jakým způsobem máme uvažovat a řídit své konání. Podrobnější rozbor Kantovy filozofie nicméně přenecháme povolanějším a místo toho si ukážeme její návaznost na řešení Hilbertova problému. Podobně jako totiž Kantovy ideje usměrňují používání čistého rozumu, pomáhají nám Hilbertova ideální tvrzení například k objevování nových finitárních pravd. Navíc je zcela určitě pro matematiku

328

nekonečno podobným transcendentálním předmětem, jako pro Kanta jeho tři ideje čistého rozumu. To si opět nejlépe uvědomíme na příkladu matematické analýzy, která předpokládá aktuální nekonečno, a kterou s jeho odmítnutím musíme buď zavrhnout zcela, nebo znovu zbudovat např. v oslabené intuicionistické podobě. Považujeme-li tak nefinitární matematické metody za doplněk metod finitárních, neztratíme nic, a naopak získáme mnohé – můžeme totiž podle Hilbertových vlastních slov zůstat „v Cantorově ráji“ (v ráji, kde matematikové „blaženě patří“ na aktuální nekonečno), tj. můžeme si ponechat celou klasickou matematiku. Na rozdíl od intuicionistů, kteří se všemi prostředky snaží vykoupit se z „prvotního hříchu“, tvrdí Hilbert, že jsme z ráje vyhnáni ještě vůbec nebyli a že záleží pouze na nás, zda v něm zůstaneme. Vše, čeho je nám nyní zapotřebí, je přesvědčivý důkaz, že rozšířením finitární matematiky o ideální tvrzení nemůžeme dojít k nepravdivým reálným tvrzením. K tomu se musíme znovu vrátit k úvahám o bezespornosti. Ukažme si, že v případě, že by se nám někdy dříve podařilo dokázat finitární bezespornost určitého systému, musí být systém bezesporný také tehdy, doplníme-li jej o nefinitární tvrzení. (Budeme se těsně přidržovat Hilbertovy vlastní úvahy, kterou předložil v krátké, celkem dvacetistránkové práci s názvem „Die Grundlagen der Mathematik“ – Základy matematiky – z roku 1927.) K tomu předpokládejme, že máme nějaký axiomatický systém S, který je ideálním rozšířením finitární matematiky, a že jsme dokázali, že náš systém je finitárně bezesporný (nevíme však ještě, zda je bezesporný i nefinitárně). Zvolme si dále nějakou finitárně ověřitelnou vlastnost F. Jestliže číslo n má vlastnost F, zapíšeme toto tvrzení jako F(n). Podaří-li se nám v našem nefinitárním systému dokázat tvrzení, že všechna čísla mají vlastnost F, tj. že pro každé n platí F(n), plyne z tohoto ideálního tvrzení jiné tvrzení, tentokrát finitární, totiž že vlastnost F má i nějaké konkrétní číslo, které si označme např. jako A,

329

tj. konkrétně platí F(A). Nyní předpokládejme, že náš nefinitární systém je sporný a že tvrzení F(A) není finitární pravdou. Pak by mělo být možné finitárními metodami podat důkaz tvrzení ne-F(A). Jestliže takový důkaz najdeme, pak jsme opravdu dokázali finitární větu ne-F(A). V systému S tak můžeme dokázat zároveň tvrzení F(A) (z ideálního tvrzení: Pro všechna n platí F(n)) i ne-F(A) (jako finitární důkaz, že neplatí F(A)). Jestliže jsme nicméně dokázali finitární tvrzení ne-F(A), nemůže být zároveň pravdivé ideální tvrzení, podle něhož pro všechna čísla n platí F(n). Tím jsme z předpokladu, že náš rozšířený systém je sporný, dostali spor s původním předpokladem, totiž že tvrzení o vlastnosti F platí nefinitárně. Tím je dokázáno, že nefinitární metody nemohou do systému, jehož finitární bezespornost byla prokázána dříve, vnést žádný nový spor. Dokázali jsme tedy, že nefinitárním rozšířením nemůžeme z bezesporného systému učinit systém sporný. Zbývá nám tak už jen poslední „krůček“: Podat finitární důkaz bezespornosti finitární matematiky. Podaří-li se nám příslušný důkaz předložit, bude tím zároveň dokázáno, že všechny matematické úlohy jsou řešitelné (tj. že zákon vyloučeného třetího platí i na nekonečných oborech), což je navíc rozhodující argument proti intuicionismu. K tomu Hilbert výslovně předpokládá, že tento důkaz bezespornosti matematiky je možno předložit v rámci systému matematiky samotné. Na nalezení požadovaného důkazu tak formalističtí matematikové usilovně pracovali, a to až do osudného roku 1931, kdy pětadvacetiletý rakouský matematik a logik Kurt Gödel (narodil se v roce 1906 v Brně) uveřejnil dnes slavnou práci s názvem „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“ (O formálně nerozhodnutelných větách Principia Mathematica a příbuzných systémů I). Miniaturizovanou verzi Gödelova formalizovaného jazyka matematiky nám

330

čaroděj předvedl právě v jedné z kapitol této knihy a ještě více se o Gödelových výsledcích lze dočíst v jiném Smullyanově populárním díle s příznačným titulem Forever Undecided (Navěky nerozhodnuto). Ve zmíněném článku se Kurtu Gödelovi podařilo dokázat dvě důležité věty. Podle první je možno v každém axiomatickém matematickém systému, v němž lze formalizovat elementární aritmetiku, formulovat takové tvrzení, které není v rámci onoho systému dokazatelné ani vyvratitelné. Slavná Gödelova věta, která o sobě tvrdí: „Jsem nedokazatelná“, totiž sice formalizuje jisté aritmetické tvrzení, v rámci aritmetiky však nelze rozhodnout, zda pravdivé či nikoliv. To se dovíme až tehdy, vystoupíme-li ven z aritmetiky. Potom uvidíme, že to, co věta o sobě tvrdí, totiž že je nedokazatelná, je zřejmě pravda, a proto je věta pravdivá, nicméně v systému skutečně nedokazatelná. Podle druhé Gödelovy věty pak platí, že v rámci žádného axiomatického systému, v němž lze formalizovat elementární aritmetiku, nelze zároveň dokázat jeho bezespornost. Tím se ukázalo, že otázka bezespornosti je mnohem složitější, než se Hilbert původně domníval, a Gödelovy práce tak vedly k založení zcela nových matematických oborů. (Poznámka: Na Gödelových větách byly později založeny i pokusy o nové vybudování modální logiky; zejména z těchto snah vznikla tzv. logika dokazatelnosti – provability logic.) Kromě Gödelovy věty (která na první pohled působí trochu vykonstruovaně) jsou nicméně v aritmetice nedokazatelná i mnohem přirozenější tvrzení, podle nichž jistá nepravdivá tvrzení jsou nedokazatelná. Mějme kupříkladu větu „Dvě plus dvě jsou čtyři“. Tato věta je pravdivá a v systému dokazatelná. Věta „Dvě plus dvě nejsou čtyři“ je tudíž nepravdivá a je v systému dokazatelné, že je nepravdivá. Není však už dokazatelné tvrzení, podle nějž věta „Dvě plus dvě nejsou čtyři“ není v systému dokazatelná!

331

A stejně tak není v systému dokazatelné ani tvrzení, podle kterého je nedokazatelná předchozí věta atd. Dalším důsledkem Gödelovy věty tak bylo to, že matematikové museli začít od sebe důsledně rozlišovat dokazatelnost a pravdivost, tj. pojmy, které až do Gödelova objevu – s výjimkou intuicionistické matematiky – byly považovány za totožné. Gödelova věta je však pouze jedním z mnoha problémů, s nimiž se musí Hilbertův program axiomatizace matematiky (a matematických důkazů) vypořádat. Například aby vůbec bylo možné matematiku rozdělit na finitární a nefinitární složku, musela by existovat finitární matematická funkce, která by v konečném čase dokázala rozhodnout, zda každé zvolené tvrzení je či není finitární. Lze však dokázat, že žádná taková funkce neexistuje. Hilbertovo východisko je tak zpochybněno v samotných jeho základech. Upozorněme ještě, že skutečnost, že v rámci aritmetiky nelze podat důkaz její bezespornosti, nevrhá ani stín pochybností na to, že aritmetika skutečně je bezesporná! Bezespornost aritmetiky rozhodně dokázat lze, ale pouze tehdy, vystoupíme-li o krůček výše a podíváme-li se na aritmetiku jakoby z ptačí perspektivy. K tomu nám slouží metamatematika (nad-matematická teorie matematiky), která se po Gödelově objevu začala bouřlivě rozvíjet. Můžeme dokonce říci, že aritmetika nemůže svoji vlastní bezespornost dokázat právě proto, že je bezesporná. Skutečnost, že některé systémy svoji bezespornost dokázat mohou, totiž ještě neznamená, že skutečně jsou bezesporné. Mějme například libovolnou spornou teorii, tj. teorii, v níž je možné dokázat nějaké tvrzení A a zároveň jeho negaci ne-A. Zákon sporu nám říká, že každé tvrzení tvaru „A a zároveň ne-A“ je nepravdivé. Dále v logice existuje tzv. zákon Dunse Scota, podle nějž platí, že z nepravdy plyne cokoliv. A jelikož podle zákona Dunse Scota z nepravdy plyne cokoliv, musí být v naší teorii triviálně dokazatelné i tvrzení, podle něhož

332

je tato teorie bezesporná. Tento „důkaz“ nám však nic neříká o tom, zda teorie skutečně je bezesporná; víme totiž, že je tomu právě naopak. Vidíme tedy, že aritmetika může být opravdu bezesporná pouze tehdy, nemůže-li podat důkaz o vlastní bezespornosti. Mimochodem, nepřipomínají vám Gödelovy výsledky tak trochu pythagorejský objev iracionality? U iracionality jsme se museli vypořádat se skutečností, že ne všechna čísla lze vyjádřit jako čísla racionální. U Gödelovy věty je tomu zase tak, že ne všechna pravdivá aritmetická tvrzení lze z axiomů aritmetiky také dokázat. Zde krásně vidíme, jak se historické kotrmelce opakují, a v čem třetí revoluce matematiky plynule navazuje na tu první. Tyto všechny skutečnosti mají velmi závažné důsledky pro filozofii matematiky. Mnozí filozofové jsou tak přesvědčeni, že z Gödelových výsledků plyne, že mimo matematiku (a logiku) musí existovat ještě jiná oblast, a to „říše pravdy“ („nebe“ nehmotných platónských matematických Idejí), kde se o matematických tvrzeních rozhoduje, zda jsou či nejsou pravdivá. Tito filozofové a matematikové se hlásí k platonismu, a Gödelova věta je podle nich jen důsledkem nedokonalosti našeho jazyka, který nedokáže vyslovit „nevyslovitelné“. V našem století mezi zastánce platonismu patřil na čelném místě Kurt Gödel a hrdě se k němu hlásí například i Raymond Smullyan. (Nepřímo jsme na této půdě stáli také my, kdykoli jsme prohlásili, že byl učiněn nějaký matematický „objev“, a nikoliv například, že byla provedena matematická „konstrukce“, jak říkají intuicionisté.) Jiní filozofové a matematikové, podle nichž je matematika jen jakousi obecnou teorií formálních systémů, naopak tvrdí, že matematická tvrzení jsou výpověďmi o těchto námi zvolených systémech. Zvolíme-li jeden systém, můžeme budovat jednu matematiku, a zvolíme-li nějaký docela jiný systém, můžeme budovat

333

odlišnou matematiku. A jelikož podle nich žádná „říše pravdy“ s věčnými matematickými Idejemi neexistuje (odmítají dokonce i kantovské transcendentální ideje!), můžeme smysluplně budovat i sporné matematické systémy. Na této myšlence jsou založeny např. tzv. inkonzistentní matematika (tj. doslova sporná matematika) a parakonzistentní logika (logika, v níž z některých kontradikcí, tj. tvrzení „A i ne-A zároveň“, neplyne cokoliv). To však jsou již systémy, které by samotní zakladatelé formalismu zřejmě považovali za absurdní. Čtenář si jistě dále všimnul, že tyto boje zuřící na poli filozofie matematiky, mají nesmírně blízko k sporu středověkých učenců o univerzálie, tj. střetu realismu s nominalismem. Víme, že podle realismu existují univerzálie (tj. obecné pojmy, např. platónské Ideje či aristotelovské Tvary) nezávisle na lidském poznání, a naopak podle nominalismu neexistují buď vůbec či nejvýše v našem rozumu (jak tvrdí konceptualismus, který je umírněnější formou nominalismu). Zdá se tedy, že tento spor pokračuje na poli moderní matematiky neméně úporně jako v dobách vrcholného středověku. A konečně víme, že intuicionisté, kteří tvrdí, že se řídí podle těch nejzaručenějších a nejčistších matematických metod, se musí vzdát velké části klasické matematiky a začít budovat matematiku vlastní. To je tedy vše, co jsme o filozofii matematiky chtěli říci. Většina činných matematiků nicméně zůstává stranou zuřících bitev, které o matematiku mezi sebou svádějí filozofové, a v poklidu si „svoji“ matematiku rozvíjejí dál. Snad doufají, že někdy v budoucnu budou nalezeny nové jistější základy, než tomu bylo dosud. A toto dílo možná čeká na jednoho z čtenářů Smullyanovy knihy o nekonečnu.

334

Mimochodem, už víte, proč musel Satan propustit chytrého Cantorova žáka? Protože matematik má svůj pravý domov v nebi. A v jakémže nebi? No přece v platónském!