Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra
Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle koordináták.) Homogén koordináták: A tér pontjaihoz valós számnégyeseket rendelünk hozzá: P→(x1, x2, x3, x4) Ha x4≠0, akkor vissza tudunk térni a Descartes-féle koordinátákra: x= x1/ x4 , y= x2/ x4 és z= x3/ x4 . Minden ponthoz végtelen sok számnégyes fog rendelődni, de a számnégyesekben a koordináták aránya rögzített. A legegyszerűbben úgy juthatunk homogén koordinátákhoz, hogy az eddigi koordinátahármas után írunk egy 1-t. (x,y,z) → (x,y,z,1) Nem használjuk a (0, 0, 0, 0) számnégyest egyetlen pont koordinátázására sem. Ha x4=0, akkor a pontot végtelen távoli pontnak nevezzük, és ebben az esetben nincs lehetőség visszatérni a Descartes-féle koordinátákra.
A tér projektív transzformációi Projektív transzformációk Affin transzformációk Hasonlósági transzformációk Egybevágósági transzformációk Mozgások
A tér projektív transzformációi Analitikus leírás homogén koordinátákban:
A koordináták közötti kapcsolatot leíró egyenletrendszer:
Azaz minden projektív transzformációhoz arányosság erejéig hozzárendelünk egy 4´4-es reguláris mátrixot.
A tér affin transzformációi Az affin transzformációk olyan transzformációk, melyekben a végtelen távoli pontok képei végtelen távoli pontok lesznek. Ebből a véges részen azt érezzük, hogy a leképezés párhuzamosságtartó. Analitikus leírásban a mátrix utolsó sora: 0 0 0 1 Homogén koordinátás leírásban az eltolásvektor koordinátái az utolsó oszlopban jelennek meg. Az affin transzformáció mátrixa Descartes koordinátákban felírva
eltolás-vektor
A hasonlósági transzformációk olyan affin transzformációk, melyeknél tetszőleges állású szakaszok aránya állandó. Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, melyek a szakaszok hosszát megtartják. A mozgások olyan egybevágósági transzformációk, melyek az alakzatok irányítását megtartják.
Példák A d vektorral való eltolás homogén koordinátákban:
Az y tengely körüli +a szöggel való forgatás:
Az x tengely körüli +a szöggel való forgatás:
A z tengely körüli +a szöggel való forgatás:
Példák Az xy síkra való tükrözés:
A tengelyek mentén különböző mértékű skálázás:
Tér leképezése síkra A feladatunk az, hogy a 3-dimenziós teret a 2-dimenziós síkra képezzük le. Ebben az esetben mindig számolnunk kell a dimenzióvesztéssel, amely miatt csak elfajuló leképezések jöhetnek szóba. Ez úgy fog megjelenni, hogy több pont képe ugyanaz a pont lesz a síkon. Mátrixok nyelvén a nem kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés azt jelenti, hogy a mátrix determinánsa 0. (elfajuló mátrix) A megvalósítás a legtöbb esetben vetítések útján jön létre:
Párhuzamos vetítés Centrális vetítés
Vagy egyszerű szabályrendszerrel:
Axonometria
Párhuzamos vetítés Minden fontosabb pontra (csúcspontra) a vetítés irányával párhuzamos vetítő egyeneseket illesztünk, és azokat a képsíkkal elmetszve nyerjük a képet.
C Legfontosabb tulajdonságok: 1. A vetítő egyenesek kivételével teljesül, hogy egyenes képe egyenes lesz. 2. Illeszkedéstartó 3. Párhuzamosságtartó
A B
C’ A’
B’
Merőleges vetítés Analitikus leírásban: Képsíknak célszerű valamelyik koordinátasíkot választani. Most az ábra szerint ez az (x,y) sík lesz. A vetítés iránya merőleges az (x,y) képsíkra, azaz a z tengellyel párhuzamos. A P’ képet úgy kapjuk, hogy az eredeti P pont harmadik koordinátáját kinullázzuk.
Párhuzamos vetítés Analitikus leírásban: Képsíknak célszerű valamelyik koordinátasíkot választani. Most az ábra szerint ez az (x,y) sík lesz. A vetítés irányát egy v vektor jelöli ki, amely nem párhuzamos az (x,y) síkkal. A P* képet úgy kapjuk, hogy a P’ merőleges vetületre egy eltolást alkalmazunk. Ez az eltolás mindenképpen kapcsolatban van azzal a v vektorral, amely a vetítés irányát kijelöli, de a vektor hosszától nem szabad függenie.
Centrális vetítés A vetítés centrumát minden fontosabb ponttal (csúcsponttal) összekötjük, és ezeket a vetítő egyeneseket a képsíkkal elmetszve nyerjük a képet.
O
centre of projection Legfontosabb tulajdonságok:
C
rays of projection 1. A vetítő egyenesek kivételével teljesül, hogy egyenes képe egyenes lesz. 2. Illeszkedéstartó 3. NEM párhuzamosságtartó
A B C’
A’
B’ projection plane
Centrális vetítés Analitikus leírásban: Képsíknak célszerű valamelyik koordinátasíkot választani. Most az ábra szerint ez az (x,y) sík lesz. A vetítés centruma a z tengely azon pontja, amely az (x,y) síktól s távolságra van. A PC képet úgy kapjuk, a térben keletkező háromszögek oldalainak arányát figyeljük.
Axonometria Ebben az ábrázolási módban az alakzatok egy térbeli koordinátarendszerhez kötve jelennek meg. Ennek a koordinátarendszernek az ábrázolása során 3 egy pontból kiinduló félegyenesre van szükség, melyeket az egységpontokat is kijelöljük. Ezek segítségével tudunk majd mérni ezekben az irányokban. (Ebből származik az axonometria elnevezés is.)
A térbeli affin leképezés leírásából az utolsó sort elhagyjuk:
A paramétereknek kapcsolata van a fontosabb pontokkal:
