Teorie systémů
Analýza a syntéza jednorozměrového spojitého lineárního systému
Petr Luzar 2009/2010
Teorie systémů
Úloha č.1
Obsah Zadání ................................................................................................................ 3 Vypracování ....................................................................................................... 5 1.
Výpočet přenosové funkce ........................................................................... 5
2.
Nuly, póly, relativní řád, stabilita, periodicita a fázovost ............................. 5
3.
Impulsní funkce a impulsní charakteristika ................................................ 6
4.
Přechodová funkce a přechodová charakteristika ....................................... 8
5.
Určení frekvenčního přenosu daného dynamického systému.................... 10
6.
Nyquistova křivka....................................................................................... 11
7.
Bodeho křivky ............................................................................................13
8.
Určení stavového popisu systému...............................................................13 Určení stavového popisu přímou metodou............................................................................................ 13 Určení stavového popisu metodou postupné integrace ........................................................................ 15
9.
Řiditelnost a pozorovatelnost systému .......................................................16 Řiditelnost a pozorovatelnost systému z přímé metody........................................................................ 16 Řiditelnost a pozorovatelnost systému z metody postupné integrace.................................................. 17
10. Standardní fundamentální matice systému ............................................... 18 Určení standardní fundamentální matice z přímé metody ................................................................... 18
11. Stavová rovnice systému.............................................................................19 Určení stavové rovnice z přímé metody stavového popisu ................................................................... 19
12. Návrh spojitého regulátoru ........................................................................21 Metoda inverze dynamiky s využitím PID regulátoru ........................................................................... 21 Whiteleyovy standardní tvary s využitím PI regulátoru........................................................................22
13. Návrh regulátoru pomocí polynomiální syntézy ........................................ 25 1DOF.........................................................................................................................................................25 2DOF ........................................................................................................................................................ 27
14. Smithův Prediktor, návrh regulátoru s dopravním zpožděním pomocí polynomiální syntézy ........................................................................................31 Použítí Smithova prediktoru pro kompenzaci dopravního zpoždění ................................................... 31 Návrh regulátoru pro regulační obvod s dopravním zpožděním..........................................................32
15. Stabilita uzavřeného regulačního obvodu.................................................. 36 Stabilita URO odečtením z vykreslených průběhů regulace .................................................................36 Stabilita URO bez dopravního zpoždění u úlohy 12 s využitím PI regulátoru .....................................36
Závěr ................................................................................................................ 37
-2-
Teorie systémů
Úloha č.1
Zadání Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je dán diferenciální rovnicí:
a 2 y ′′(t ) + a1 y ′(t ) + a0 y (t ) = b1u ′(t ) + b0 u (t ) Dosaďte hodnoty podle individuálního zadání a k tomuto systému vypracujte následující úkoly:
1. Napište přenosovou funkci tohoto systému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky. 2. Určete nuly, póly a relativní řád systému a rozhodněte o stabilitě, periodicitě (kmitavosti) a fázovosti (minimálně, neminimálně fázový systém) systému. 3. Analyticky vypočítejte impulsní funkci a na jejím základě vykreslete impulsní charakteristiku. Impulsní charakteristiku získejte také pomocí příkazu MATLABu a výsledky porovnejte. 4. Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a na jejím základě vykreslete přechodovou charakteristiku. Přechodovou charakteristiku získejte také pomocí příkazu MATLABu a výsledky porovnejte. 5. Určete frekvenční přenos daného dynamického systému a upravte jej na složkový i exponenciální tvar komplexního čísla. 6. S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního čísla vykreslete amplitudověfázovou frekvenční charakteristiku v komplexní rovině (Nyquistovu křivku). Stejnou charakteristiku vykreslete také s využitím příkazu MATLABu a výsledky porovnejte. 7. Na
základě
analytického
výpočtu
vykreslete
frekvenční
charakteristiku
v
logaritmických souřadnicích (Bodeho křivky). Stejnou charakteristiku vykreslete také s využitím příkazu MATLABu a výsledky porovnejte. 8. Určete stavový popis zadaného systému alespoň dvěma různými způsoby. Pro jeden ze získaných stavových popisů, proveďte zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis, tj. ověřte získané parametry stavového popisu. 9. Rozhodněte o řiditelnosti o pozorovatelnosti daného systému. 10. Vypočtěte standardní fundamentální matici systému. 11. Vyřešte stavovou rovnici, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky a vstupní signál u(t) = 1. Dále pak určete výstup ze systému y(t). Výsledek srovnejte s výsledkem z bodu zadání č.4. 12. Dvěmi vybranými klasickými metodami syntézy navrhněte parametry spojitého regulátoru. Simulačně ověřte jeho funkčnost a dosažené výsledky slovně i graficky porovnejte.
-3-
Teorie systémů
Úloha č.1
13. Navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy pro 1DOF i 2DOF strukturu řízení, v obou případech pro dvě různé hodnoty násobného pólu m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu a simulačně ověřte jeho funkčnost. Vykreslete regulační pochody a výsledky slovně i graficky porovnejte. 14. Přidejte k přenosu dopravní zpoždění L∈<1,10> a simulujte průběh regulačního pochodu uzavřeného regulačního obvodu bez Smithova prediktoru a se Smithovým prediktorem, pro již určené parametry regulátoru, které byly získány jednou ze dvou vybraných klasických metod syntézy (viz bod 12). Poté dopravní zpoždění aproximujte a navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy, pro 1DOF nebo 2DOF strukturu řízení, pro dvě různé hodnoty násobného pólu m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu. Simulačně ověřte funkčnost a dosažené výsledky slovně i graficky porovnejte. 15. Ověřte stabilitu uzavřeného regulačního obvodu u bodů zadání č. 12, 13, 14. Poznámka: •
Analytické řešení a následné zobrazení frekvenčních charakteristik v logaritmických souřadnicích (Bode křivky), včetně porovnání charakteristik získaných v MATLABu, provedou ti, jejichž kořeny jmenovatele zadaného přenosu (póly) jsou pouze reálné. Ti, kteří mají kořeny jmenovatele zadaného přenosu komplexně sdružené nemusí provádět analytické řešení a vykreslí Bodeho křivky pouze v MATLABu. (týká se bodu č.7 zadání)
•
Při simulačních ověřováních jednotlivých metod syntézy zobrazte v grafech regulačního pochodu, žádanou hodnotu - w, výstupní veličinu - y i akční veličinu - u. Průběh a hodnoty žádané veličiny uvažujte podle níže uvedeného obrázku,tj.
-4-
Teorie systémů
Úloha č.1
Vypracování 1. Výpočet přenosové funkce a 2 y ′′(t ) + a1 y ′(t ) + a0 y (t ) = b1u ′(t ) + b0 u (t ) b1 = 1
a2 = 3
b0 = 3
a1 = 1
a0 = 2
3 y ′′(t ) + y ′(t ) + 2 y (t ) = u ′(t ) + 3u (t ) 3s 2 Y ( s ) + sY ( s ) + 2Y (s ) = sU (s ) + 3U ( s ) Y ( s )(3s 2 + s + 2) = U ( s )(s + 3)
Y ( s) s+3 G( s) = = 2 = U ( s ) 3s + s + 2
1 s +1 0,3333s + 1 3 = 2 1 2 s + 0,3333s + 0,6667 s2 + s + 3 3
2. Nuly, póly, relativní řád, stabilita, periodicita a fázovost p1, 2 =
− 1 ± 12 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 − 1 ± 23 = = −0,17 ± 0,8i 2⋅3 6
nuly:
n1 = -3
n2 = -∞
póly:
p1 = -0,17+0,8i
p2 = -0,17-0,8i
relativní řád:
1
•
Systém je stabilní, protože všechny póly leží v levé části komplexní roviny.
•
Systém je periodický, protože má alespoň jeden pól komplexně sdružený.
•
Systém je minimálně fázový, protože všechny nuly leží v levé části komplexní roviny.
-5-
Teorie systémů
Úloha č.1
3. Impulsní funkce a impulsní charakteristika s+3 i (t ) = L−1 {G ( s )} = L−1 2 = 3s + s + 2 1 17 s + + s + 3 s+3 −1 1 −1 1 −1 1 6 6 =L ⋅ =L ⋅ =L ⋅ = 2 2 3 s + 1 + 23 3 s + 1 + 2 − 1 3 s 2 + 1 s + 2 3 3 6 36 6 3 36 17 1 s+ 1 −1 1 6 6 + ⋅ =L ⋅ = 2 2 3 s + 1 + 23 3 s + 1 + 23 6 36 6 36 1 23 17 s+ 1 17 1 6 6 = L−1 ⋅ + ⋅ ⋅ = 2 2 3 3 23 1 23 1 23 s s + + + 6 + 36 17 6 36 1 23 s+ 17 −1 1 6 6 + ⋅ =L ⋅ = 2 2 3 3 23 ⋅ 1 23 1 23 s s + + + 6 + 36 6 36 − 0,16 t − 0 ,16 t = 0,33 ⋅ e ⋅ cos 0,8t + 1,18 ⋅ e ⋅ sin 0,8t i (t ) = 0,33 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 1,18 ⋅ e −0,16t ⋅ sin 0,8t Počáteční a koncová hodnota impulsní charakteristicky:
s 2 + 3s 2 = = 0,33 s →∞ 3s 2 + s + 2 6
i(0):
lim s ⋅ G ( s ) = lim
i(∞):
lim s ⋅ G ( s ) = lim
t →∞
t →0
s 2 + 3s 0 = =0 2 s → 0 3s + s + 2 2
-6-
←
Impulsní funkce
Teorie systémů
Úloha č.1
Graf 1 : Impulsní charakteristika (Excel)
Impulsní charakteristika 1,05 0,85 0,65
i(t)
0,45 0,25 0,05 -0,150,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
30
35
-0,35 -0,55 t[s]
Graf 2 : Impulsní charakteristika (Matlab) → impulse([1 3],[3 1 2])
Impulse Response 1
Amplitude
0.5
0
-0.5
0
5
10
15
20 Time (sec)
-7-
25
Teorie systémů
Úloha č.1
4. Přechodová funkce a přechodová charakteristika 9 1 3 − s− + s 3 A Bs C + −1 −1 2 2 2 h(t ) = L−1 =L + 2 = L + 2 2 s 3s + s + 2 s (3s + s + 2) s 3s + s + 2 s + 3 = A(3s 2 + s + 2) + ( Bs + C )s s + 3 = 3 As 2 + As + 2 A + Bs 2 + Cs s0 : 3 = 2A ⇒ A =
3 2
3 1 +C ⇒C = − 2 2 3 9 s 2 : 0 = 3A + B ⇒ 0 = 3 ⋅ + B ⇒ B = − 2 2 s1 : 1 = A + C ⇒ 1 =
1. část
3 3 L−1 2 = = 1,5 s 2 2. část
1 2 1 9 1 9 s − ⋅− − s − s − − 2 9 2 = L−1 1 2 2 = L−1 − 9 ⋅ 1 L−1 22 = 2 3s + s + 2 3 s 2 + 1 s + 2 2 3 s + 1 + 2 − 1 3 3 6 3 36 1 1 1 s+ s+ − −1 3 −1 3 9 6 18 = L − = L − = 2 2 2 s + 1 + 23 2 s + 1 + 23 6 36 6 36 1 1 s+ 3 3 6 18 = L−1 − + = 2 2 2 2 1 23 1 23 s + + s + + 6 36 6 36
-8-
Teorie systémů
Úloha č.1
1 1 s+ 1 23 −1 3 6 6 + ⋅ = L − = 2 2 2 s + 1 + 23 2 23 s + 1 + 23 6 36 6 36 23 1 s+ 1 −1 3 6 6 + = L − = 2 2 2 s + 1 + 23 2 ⋅ 23 s + 1 + 23 6 36 6 36 = −1,5 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 0,104 ⋅ e −0 ,16t ⋅ sin 0,8t h(t ) = 1,5 − 1,5 ⋅ e −0,16 t ⋅ cos 0,8t + 0,104 ⋅ e −0,16t ⋅ sin 0,8t
←
Přechodová funkce
Počáteční a koncová hodnota přechodové charakteristicky: h(0):
lim f (t ) = lim s ⋅
G( s) s +3 = lim 2 =0 s → ∞ s 3s + s + 2
h(∞):
lim f (t ) = lim s ⋅
G( s) s +3 3 = lim 2 = = 1,5 s → 0 3s + s + 2 s 2
t →0
t →∞
s→∞
s →0
Graf 3 : Přechodová charakteristika (Excel)
Přechodová charakteristika 2,50 2,00
h(t)
1,50 1,00 0,50 0,00 0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
t[s]
-9-
25,00
30,00
35,00
Teorie systémů
Úloha č.1
Graf 4 : Přechodová charakteristika (Matlab) → step([1 3],[3 1 2])
Step Response 2.5
2
Amplitude
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Time (sec)
5. Určení frekvenčního přenosu daného dynamického systému G( s) =
s+3 3s + s + 2 2
Složkový tvar:
(2 − 3ω 2 ) − jω jω + 3 jω + 3 jω + 3 G ( jω ) = = = ⋅ = 3( jω ) 2 + jω + 2 − 3ω 2 + jω + 2 (2 − 3ω 2 ) + jω (2 − 3ω 2 ) − jω =
2 jω − 3 jω 3 − j 2ω 2 + 6 − 9ω 2 − 3 jω − jω − 3 jω 3 − 8ω 2 + 6 = = (2 − 3ω 2 ) 2 − ( jω ) 2 (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2
=
6 − 8ω 2 − ω − 3ω 3 + j (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2 (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2
6 − 8ω 2 − ω − 3ω 3 +j G ( jω ) = (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2 (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2
- 10 -
←
Složkový tvar
Teorie systémů
Úloha č.1
Exponenciální tvar:
6 − 8ω 2 G ( jω ) = 2 2 2 (2 − 3ω ) + ω = =
(6 − 8ω 2 ) 2 + (−ω − 3ω 3 ) 2
[(2 − 3ω
) +ω
2 2
2
]
2 2
⋅e
− j ⋅acrctg
−ω −3ω 3
[(4 − 12ω
+ 9ω ) + ω 4 2
]
2 2
36 − 95ω 2 + 70ω 4 + 9ω 6 − j⋅acrctg = ⋅e (9ω 4 − 11ω 2 + 4) 2
⋅e
−ω − 3ω 3 6− 8
2
− j ⋅acrctg
−ω − 3ω 3
=
9ω + 70ω − 95ω + 36 ⋅e 81ω 8 − 198ω 6 + 49ω 4 − 8ω 2 + 16 2
3
=
6 −8
3
=
2
3
= 3
−ω − 3ω 3 6 −8
− j ⋅acrctg 36 − 95ω 2 + 70ω 4 + 9ω 6 = ⋅e 8 6 4 4 4 81ω − 198ω + 121ω − 72ω − 8ω + 16 4
6− 82
=
− j ⋅acrctg 36 − 95ω 2 + 70ω 4 + 9ω 6 = ⋅ e (9ω 4 − 11ω 2 ) 2 − 2(9ω 4 − 11ω 2 ) ⋅ 4 + 4 2
6
−ω − 3ω 3
3
6 −8 2
36 − 96ω 2 + 64ω 4 + ω 2 + 6ω 4 + 9ω 6 2
2
− j ⋅acrctg ⋅ e
− ω − 3ω 3 + 2 2 2 (2 − 3ω ) + ω
− j ⋅acrctg
−ω − 3ω 3
2
=
−ω − 3ω 3 6 −8 2
3
=
3
6 −8 2
− j ⋅acrctg 9ω 6 + 70ω 4 − 95ω 2 + 36 ⋅ G ( jω ) = e 81ω 8 − 198ω 6 + 49ω 4 − 8ω 2 + 16
−ω − 3ω 3 6− 8
2
3
←
Exponenciální tvar
6. Nyquistova křivka Hodnoty pro reálnou osu x:
Re(G ( jω )) =
Hodnoty pro imaginární osu y:
6 − 8ω 2 (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2
Im(G ( jω )) =
- 11 -
− ω − 3ω 3 (2 − 3ω 2 ) 2 + ω 2
Teorie systémů
Úloha č.1
Graf 5 : Nyquistova křivka (Excel)
Nyquistova křivka 4,00
Imaginární část
3,00 2,00 1,00 0,00 -0,50 -1,00
-1,50
0,50
1,50
2,50
-2,00 -3,00 -4,00 Realná část
Graf 6 : Nyquistova křivka (Matlab) → nyquist([1 3],[3 1 2])
Nyquist Diagram 4
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4 -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1 Real Axis
- 12 -
1.5
2
2.5
3
Teorie systémů
Úloha č.1
7. Bodeho křivky Graf 7: Bodeho frekvenční charakteristika (Matlab) → bode([1 3],[3 1 2])
Bode Diagram 20 10
Magnitude (dB)
0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180 10
-1
0
10
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
8. Určení stavového popisu systému Určení stavového popisu přímou metodou
Y ( s) s+3 = 2 U ( s ) 3s + s + 2 Y (s) Z ( s) s + 3 1 G( s) = ⋅ = ⋅ 2 Z ( s) U ( s) 1 3s + s + 2 G( s) =
První část přenosu:
Druhá část přenosu:
Y (s ) s + 3 = = s +3 Z ( s) 1
Z ( s) 1 = 2 U ( s ) 3s + s + 2
y (t ) = z ′(t ) ⋅ 3z (t )
u (t ) = 3z ′′(t ) + z ′(t ) + 2 z (t )
- 13 -
Teorie systémů
Úloha č.1 x2 = z ′
x1 = z
z ′′ =
u − x 2 − 2 x1 1 1 2 = u − x 2 − x1 3 3 3 3
y = x 2 + 3x1 1 x 0 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ u (t ) − x 2 3 3
x1′ 0 2 = − ′ x 2 3
x1′ = x 2
←
Diferenciální rovnice
←
Výstupní rovnice
←
Stavový model
x ′2 = z ′′
x y (t ) = (3 1) ⋅ 1 + (0 )u (t ) x2 Zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis tzn. přenos systému:
0 A= 2 − 3
1 1 − 3
0 B = 1 3
C = (3 1)
G ( s ) = C(sI − Α ) ⋅ B + D −1
s 0 0 2 − 0 s − 3
1 s 1 = 2 − 3 3
1 = 1 2 s2 + s + 3 3
1 1 s + 3 ⋅ 2 − s 3
•
(sI − A ) =
•
(sI − A )
−1
−1 1 s+ 3
1 1 s + 1 3 = = (3 1) ⋅ ⋅ 2 1 2 2 s s + s+ − 3 3 3
1 2 3 ⋅ s + − 3 + s 3 3 1 2 s2 + s + 3 3
•
C(sI − A )
•
1 1 3+ s 0 3s + ⋅ (3 + s ) s+3 3 −1 3 C(sI − A ) ⋅ B = ⋅ 1 = = 2 1 2 1 2 3s + s + 2 s2 + s + 3 s2 + s + 3 3 3 3
−1
- 14 -
D = (0 )
Teorie systémů
Úloha č.1
Zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis pomocí MATLABu: 0.3333 s + 1
⇒
tf(ss([0 1;-2/3 -1/3],[0;1/3],[3 1],[0]))
----------------------s^2 + 0.3333 s + 0.6667
Určení stavového popisu metodou postupné integrace
3 y′′(t ) + y ′(t ) + 2 y (t ) = u′(t ) + 3u (t ) Volba 1. derivace stavové proměnné x1′ (t ) :
Volba 1. derivace stavové proměnné x ′2 (t ) :
x1′ (t ) = 2 y (t ) + 3u (t )
x 2′ (t ) = y (t ) + x1 (t ) − u (t )
x1 = ∫ [2 y (t ) + 3u (t )]dt
x 2 = ∫ [ y (t ) + x1 (t ) − u (t )]dt
Po dosazení a integraci dostaneme:
Po dosazení a integraci dostaneme:
3 y ′′(t ) + y ′(t ) + x1′ (t ) = u ′(t ) 3 y ′(t ) + y (t ) + x1 (t ) = u (t )
3 y ′(t ) + x 2′ (t ) = 0 3 y (t ) + x 2 (t ) = 0 1 y (t ) = − x 2 (t ) 3
2 x1′ (t ) = 2 y (t ) + 3u (t ) = − x 2 (t ) + 3u (t ) 3 1 x 2′ (t ) = y (t ) + x1 (t ) − u (t ) = x1 (t ) − x 2 (t ) − u (t ) 3
←
Soustava diferenciálních rovnic
1 y (t ) = − x2 (t ) 3
←
Výstupní rovnice
2 − 0 ′ x 1 3 ⋅ x1 + − 3 ⋅ u (t ) = x 2′ 1 − 1 x 2 − 1 3
←
Stavový model
1 x y (t ) = 0 − ⋅ 1 + (0 )u (t ) 3 x2 Zpětný převod z vnitřního popisu na vnější popis pomocí MATLABu: 0.3333 s + 1 tf(ss([0 -2/3;1 -1/3],[-3;-1],[0 -1/3],[0]))
⇒
----------------------s^2 + 0.3333 s + 0.6667
- 15 -
Teorie systémů
Úloha č.1
9. Řiditelnost a pozorovatelnost systému Řiditelnost a pozorovatelnost systému z přímé metody
0 A= 2 − 3
1 1 − 3
0 B = 1 3
C = (3 1)
D = (0 )
Řiditelnost systému:
Pc = (B AB )
0 AB = − 2 3
1 1 0 1⋅1 = 3 − 1 3 3 − 9
0 Pc = 1 3
1 3 1 − 9
det Pc = −
1 ⇒ det Pc ≠ 0 9
⇒
Systém je řiditelný
⇒
Systém je pozorovatelný
Pozorovatelnost systému:
C Po = CA 0 CA = (3 1) 2 − 3 3 Po = 2 − 3
det Po =
1 2 1 = − − 3 3
8 3
1 8 3
26 ⇒ det Po ≠ 0 3
- 16 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Řiditelnost a pozorovatelnost systému z metody postupné integrace
2 0 − 3 A= 1 − 1 3
− 3 B = −1
1 C = 0 − 3
D = (0 )
Řiditelnost systému:
Pc = (B AB ) 2 2 0 − − 3 3 ⋅ = 3 AB = 1 − 1 −1 − 8 3 3 2 − 3 3 Pc = −1 − 8 3
det Pc =
26 ⇒ det Pc ≠ 0 3
⇒
Systém je řiditelný
⇒
Systém je pozorovatelný
Pozorovatelnost systému:
C Po = CA 2 0 − 1 1 3 = − CA = 0 − ⋅ 3 1 − 1 3 3
1 9
1 0 − 3 Po = − 1 1 3 9 1 det Po = − ⇒ det Po ≠ 0 9
- 17 -
Teorie systémů
Úloha č.1
10.Standardní fundamentální matice systému Určení standardní fundamentální matice z přímé metody
0 A= 2 − 3 •
•
1 1 − 3 s 0 0 2 − − 0 s 3
(sI − A ) = (sI − A )−1
1 s 1 = 2 − 3 3
−1 1 s+ 3
1 s+ 1 1 3 = 2 ⋅ 3s + s + 2 − 2 s 3
{
ϕ (t ) = L−1 (sI − A )
a ϕ (t ) = L−1 11 a 21
−1
}
1 s+ 1 + s 1 2 3 a12 1 −1 −1 3s + s + 2 3 = L = L 2 ⋅ 2 2 a 22 + + 3 s s 2 − − s 3 3 2 3s + s + 2
1 3s 2 + s + 2 s 3s 2 + s + 2
Výpočet prvního prvku a11 fundamentální matice zpětnou laplaceovou transformací:
1 1 + + s −1 1 6 6 =L ⋅ = 2 2 3 s + 1 + 23 3 6 36 1 23 s+ 1 −1 1 6 6 + ⋅ =L ⋅ = 2 2 3 23 1 23 3 ⋅ 23 1 23 + + + s + + s 6 36 36 6 36
1 1 s+ s+ 1 3 a11 (t ) = L−1 2 3 = L−1 ⋅ 1 3 + + 3 2 s s s2 + s + 3 1 1 s+ 1 1 6 6 = L−1 ⋅ + ⋅ 2 2 3 3 1 s + 1 + 23 s + 6 36 6
= 0,33 ⋅ e −0,16t ⋅ cos 0,8t + 0,07 ⋅ e − 0,16 t ⋅ sin 0,8t
a11 (t ) = 0,33 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 0,07 ⋅ e −0 ,16t ⋅ sin 0,8t
- 18 -
←
Prvek a11 fun. matice
Teorie systémů
Úloha č.1
Obdobně jako prvek a11 jsem vypočítal i ostatní prvky a12, a21, a22 fundamentální matice. Výsledek ϕ(t) je pak tedy roven:
0,33 ⋅ e −0,16t ⋅ cos 0,8t + 0,07 ⋅ e −0,16t ⋅ sin 0,8t ϕ (t ) = − 0, 28 ⋅ e −0 ,16t ⋅ sin 0,8t
0,41 ⋅ e −0,16t ⋅ sin 0,8t 0,33 ⋅ e −0,16t ⋅ cos 0,8t − 0,07 ⋅ e −0,16t ⋅ sin 0,8t
11. Stavová rovnice systému Určení stavové rovnice z přímé metody stavového popisu
0 A= 2 − 3
1 1 − 3
0 B = 1 3
C = (3 1)
0,33 ⋅ e −0,16 t ⋅ cos 0,8t − 0,07 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t
0,33 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 0,07 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t ϕ (t ) = − 0,28 ⋅ e −0 ,16 t ⋅ sin 0,8t
0,41 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t
Počáteční podmínky:
x (t ) = 0
D = (0 )
Vstupní signál:
x1 (t ) = 0 , x 2 (t ) = 0
⇒
u (t ) = 1
t t 0 ψ (t ) = ∫ ϕ (t − τ ) ⋅ Bu(τ )dτ = ∫ ϕ (t − τ ) ⋅ 1 ⋅ 1dτ o o 3
0,14 ⋅ e − 0,16( t −τ ) ⋅ sin 0,8(t − τ ) dτ ψ (t ) = ∫ − 0 ,16 ( t −τ ) − 0 ,16 ( t −τ ) τ τ 0 , 11 ⋅ e ⋅ cos 0 , 8 ( t − ) − 0 , 02 ⋅ e ⋅ sin 0 , 8 ( t − ) 0 t
ψ (t ) = (ψ 1 (t ) ψ 2 (t ) )
T
t
ψ 1 (t ) = ∫ 0,14 ⋅ e
− 0 ,16 ( t −τ )
⋅ sin 0,8(t − τ )dτ = 0,14 ⋅ e
0
ψ 1 (t ) = 0,14 ⋅ e
− 0 ,16 t
[
⋅ sin 0,8t ⋅ e
ψ 1 (t ) = 0,16 − 0,16 ⋅ e
− 0 ,16 t
0 ,16τ
⋅ (− cos 0,8τ )
⋅ cos 0,8t − 0,03 ⋅ e
− 0 ,16 t
⋅ sin 0,8t ⋅ ∫ − (e 0,16τ ⋅ sin 0,8τ )dτ 0
]
− 0,16 t
t
t 0
⋅ sin 0,8t
- 19 -
Teorie systémů
Úloha č.1
t
ψ 2 (t ) = ∫ 0,11 ⋅ e −0,16 (t −τ ) ⋅ cos 0,8(t − τ ) − 0,02 ⋅ e −0 ,16 (t −τ ) ⋅ sin 0,8(t − τ )dτ 0
ψ 2 (t ) = 0,11 ⋅ e
− 0 ,16 t
⋅ cos 0,8t − 0,02 ⋅ e
− 0,16 t
t
⋅ sin 0,8t ⋅ ∫ − (e 0,16τ ⋅ cos 0,8τ ) − (e 0,16τ ⋅ sin 0,8τ )dτ 0 t
t
ψ 2 (t ) = 0,11 ⋅ e −0 ,16 t ⋅ cos 0,8t − 0,02 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t ⋅ ∫ − (e 0,16τ ⋅ cos 0,8τ ) dτ − ∫ (e 0 ,16τ ⋅ sin 0,8τ )dτ 0
[
ψ 2 (t ) = 0,11 ⋅ e −0 ,16 t ⋅ cos 0,8t − 0,02 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t ⋅ e −0 ,16τ ⋅ sin 0,8τ
] − [(e t 0
0
0 ,16τ
]
t
⋅ ( − cos 0,8τ ) 0
ψ 2 (t ) = 0,14 ⋅ e −0 ,16 t ⋅ sin 0,8t
0,16 − 0,16 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t − 0,03 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t ψ (t ) = − 0,16 t 0 , 14 sin 0 , 8 e t ⋅ ⋅ ψ1 ψ1 y (t ) = C ⋅ + D ⋅ u (t ) = (3 1) ⋅ + (0 ) ⋅1 = ψ2 ψ2 0,16 − 0,16 ⋅ e −0 ,16 t ⋅ cos 0,8t − 0,03 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t + (0 ) ⋅ 1 y (t ) = (3 1) ⋅ − 0 ,16 t 0 , 14 sin 0 , 8 ⋅ ⋅ e t y (t ) = 0,5 − 0,5 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 0,035 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t
←
Stavová rovnice
Graf 8 : Přechodová charakteristika ze stavové rovnice (Excel)
Přechodová charakteristika ze stavové rovnice 0,90 0,80 0,70
y(t)
0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
t[s]
- 20 -
25,00
30,00
35,00
Teorie systémů
Úloha č.1
12. Návrh spojitého regulátoru Metoda inverze dynamiky s využitím PID regulátoru
G( s) =
1 R( s ) = r0 ⋅ 1 + * + TD* s TI s
ks ⋅ e −Td s T0 s + 2ξ 0 T0 s + 1 2
1 3 ⋅ s + 1 1 − s 3 s+3 3 ≈ ⋅e 3 G( s) = 2 ≈ 3 2 1 3s + s + 2 3 2 1 s + s +1 s + s +1 2 2 2 2 Padeho aproximace pro nový přenos:
G p ( s) =
− s 2 + 3s + 18 3s 3 + 19 s 2 + 8s + 12
Z knihy (Automatické řízení; prof. Ing. Jaroslav Balátě, DrSc.) z tabulky 2.75 na straně 278 jsem vybral koeficient β s příslušným překmitem: β = 1,72
T0 =
Překmit = 10%
3 2
T1* = 2ξ 0 T0 =
1 = 0,5 2
Td =
1 3
ξ0 =
1 1 1 ⋅ = ⋅ 2 2T0 2
ks = 3
3 T 3 = 3,00006 TD* = 0 = 2ξ 0 2 ⋅ 0, 204 a ⋅ TI* K R* = = ks a=
1 = β ⋅ Td
1,74 ⋅ 3 1
1 1,72 ⋅ 3
1 2 = 0,2906 = 1,74
- 21 -
1 3 2⋅ 2
= 0,2041
Teorie systémů
Úloha č.1
r 1 R( s ) = r0 ⋅ 1 + * + TD* s = r0 + −1 + r1 s s TI s 1 + 3,00006s R( s ) = 0,2906 ⋅ 1 + 0,5s R( s ) = 0,2906 +
0,5812 + 0,8718s s
←
Rovnice regulátoru
Průběh regulace pomocí metody inverze dynamiky
w(t), u(t), y(t)
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 1 Průběh regulace (metoda inverze dynamiky)
Whiteleyovy standardní tvary s využitím PI regulátoru
G( s) =
s+3 3s + s + 2 2
R( s) =
q1 s + q 0 s
q1 s + q 0 q1 s 2 + 3q1 s + q 0 s + 3q0 s +3 ⋅ 2 R ( s )G ( s ) s 3s + s + 2 = 3s 3 + s 2 + 2 s Gw / y ( s) = = = q1 s + q0 s+3 1 + R( s )G (s ) q1 s 2 + 3q1 s + q 0 s + 3q 0 + 3s 3 + s 2 + 2 s 1+ ⋅ 2 s 3s + s + 2 3s 3 + s 2 + 2s q1 s 2 + (3q1 + q 0 ) s + 3q 0 Gw / y ( s) = 3 3s + (q1 + 1) s 2 + (3q1 + q0 + 2) s + 3q 0 1
3q 3 Každý člen jsem podělil 3q 0 a použil substituci s = 0 ⋅ q 3
- 22 -
Teorie systémů
Úloha č.1 2
Gw / y ( s) =
1
q1 3q 0 3 2 3q1 + q 0 3q 0 3 ⋅ ⋅ ⋅q + ⋅ q +1 3q 0 3 3q 0 3 3
2
1
3 3q 0 3 3 q1 + 1 3q 0 3 2 3q1 + q 0 + 2 3q 0 3 ⋅ ⋅ ⋅q + ⋅q + ⋅ q +1 3q 0 3 3q 0 3 3q0 3
Ze skript (Teorie automatického řízení – LSDS; prof. Ing. Roman Prokop, CSc.) z tabulky 3.6 na straně 45 jsem vybral koeficienty α0 až α3:
α 3 =1
α 2 =5,1
α 1 =6,3
α 0 =1
3
3 3q0 3 q3: ⋅ =1 3q 0 3
⇒
1=1
⇒
q1 = 42,379 ; q1 = 244, 455
3q1 + q 0 + 2 3q 0 3 q1: ⋅ = 6,3 3q 0 3
⇒
q0 = 22,791 ; q0 = 4128,95
q0: 1 = 1
⇒
1=1
2
q + 1 3q 0 3 q2: 1 ⋅ = 5,1 3q 0 3 1
R( s) =
q1 s + q 0 42,379 s + 22,791 = s s
←
1. řešení rovnice regulátoru
R( s) =
q1 s + q 0 244, 455s + 4128,95 = s s
←
2. řešení rovnice regulátoru
K vyřešení následujících úloh jsem si vybral 1. řešení rovnice regulátoru.
- 23 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Průběh regulace pomocí Whiteleyovy metody (1. řešení)
w(t), u(t), y(t)
2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 2 Průběh regulace (Whiteleyovy standardní tvary - 1. řešení)
Průběh regulace pomocí Whiteleyovy metody (2. řešení)
w(t), u(t), y(t)
2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 3 Průběh regulace (Whiteleyovy standardní tvary - 2. řešení)
- 24 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
13. Návrh regulátoru pomocí polynomiální syntézy 1DOF
Žádaná veličina:
w( s ) =
1 ⇒ f ( s ) = s ⇒ deg f = 1 s
Určení stupně polynomů:
deg q = deg a + deg f − 1 = 2 deg p ≥ deg a − 1 = 1 deg d = 2 deg a + deg f − 1 = 4 Charakteristická rovnice:
afp + bq = d (3s 2 + s + 2) ⋅ s ⋅ ( p1 s + p 0 ) + ( s + 3) ⋅ (q 2 s 2 + q1 s + q0 ) = (s + m) 4 Řešení soustavy rovnic:
s 4 : 3 p1 = 1 s 3 : 3 p 0 + p1 + q 2 = 4m s 2 : p 0 + 2 p1 + q1 + 3q 2 = 6m 2 s 1 : 2 p 0 + q 0 + 3q1 = 4m 3 s 0 : 3q 0 = m 4
- 25 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Do soustavy rovnic jsem dosadil dvě různě zvolené hodnoty násobného kořenu m: m=0,7 :
s 4 : 3 p1 = 1
p 0 = 0,641
s : 3 p 0 + p1 + q 2 = 2,8
p1 = 0,333
3
s : p 0 + 2 p1 + q1 + 3q 2 = 2,94
q0 = 0,080
⇒
2
q1 = 0,00317
s 1 : 2 p 0 + q 0 + 3q1 = 1,372
q 2 = 0,543
s 0 : 3q 0 = 0,2401
Q( s ) =
q 2 s 2 + q1 s + q 0 p1 s 2 + p 0 s
=
0,543s 2 + 0,00317 s + 0,080 0,333s 2 + 0,641s
←
Rovnice regulátoru
Průběh regulace 1DOF (m = 0,7)
w(t), u(t), y(t)
2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 4 Průběh regulace 1DOF (m = 0,7)
m=1,2 :
s 4 : 3 p1 = 1
p0 = 0,865
s : 3 p 0 + p1 + q 2 = 4,8
p1 = 0,333
3
s : p 0 + 2 p1 + q1 + 3q 2 = 8,64
⇒
2
q0 = 0,691 q1 = 1,496
s : 2 p 0 + q 0 + 3q1 = 6,912 1
q 2 = 1,870
s 0 : 3q 0 = 2,0736
- 26 -
350
Teorie systémů
Q (s) =
q 2 s 2 + q1 s + q 0 p1 s 2 + p 0 s
Úloha č.1
=
1,87 s 2 + 1,496 s + 0,691 0,333s 2 + 0,865s
←
Rovnice regulátoru
Průběh regulace 1DOF (m = 1,2)
w(t), u(t), y(t)
6,0 4,0 2,0 0,0 -2,0
0
50
100
150
200
250
300
-4,0 t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 5 Průběh regulace 1DOF (m = 1,2)
2DOF
Žádaná veličina:
w( s ) =
1 ⇒ f ( s ) = s ⇒ deg f = 1 s
- 27 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
Určení stupně polynomů:
k ≥ deg f + 1 − 2 deg a = −2 ⇒ k = 0 deg q = deg a − 1 = 1 deg p ≥ deg a − 1 = 1 deg r = deg f − 1 = 0 deg d = 2 deg A − 1 + k = 3 deg t = 2 deg a − 1 − deg f + k = 2 Charakteristické rovnice:
ap + bq = d (3s 2 + s + 2) ⋅ ( p1 s + p 0 ) + ( s + 3) ⋅ (q1 s + q0 ) = (s + m) 3 br + ft = d s (t 2 s 2 + t1 s + t 0 ) + ( s + 3) ⋅ r0 = (s + m) 3 Řešení soustavy rovnic:
s 3 : 3 p1 = 1
s3 : t2 = 1
s 2 : 3 p0 + p1 + q1 = 3m
s 2 : t1 = 3m
s 1 : p0 + 2 p1 + q 0 + 3q1 = 3m 2
s 1 : t 0 + r0 = 3m 2
s 0 : 2 p 0 + 3q 0 = m 3
s 0 : 3r0 = m 3
Do soustavy rovnic jsem dosadil dvě různě zvolené hodnoty násobného kořenu m: m=1,3 :
s 3 : 3 p1 = 1
p0 = 0,8110
s : 3 p0 + p1 + q1 = 3,9 2
⇒
s 1 : p0 + 2 p1 + q 0 + 3q1 = 5,07
p1 = 0,3333 q0 = 0,1916
s 0 : 2 p 0 + 3q 0 = 2,197
q1 = 1,1335
s3 : t2 = 1
t 0 = 1,17
s 2 : t1 = 3,9
⇒
s 1 : t 0 + r0 = 5,07
t1 = 3,9 t2 = 1 r0 = 0,7323
s : 3r0 = 2,197 0
- 28 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Q (s) =
q1 s + q 0 1,1335s + 0,1916 = 0,33s + 0,8110 p1 s + p 0
←
Zpětnovazební rovnice regulátoru
R( s) =
r0 0,7323 = p1 s + p 0 0,33s + 0,8110
←
Přímovazební rovnice regulátoru
Průběh regulace 2DOF (m = 1,3)
w(t), u(t), y(t)
2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 6 Průběh regulace 2DOF (m = 1,3)
m=1,9 :
s 3 : 3 p1 = 1
p0 = 0,9488
s : 3 p0 + p1 + q1 = 5,7 2
⇒
s : p 0 + 2 p1 + q0 + 3q1 = 10,83 1
p1 = 0,3333 q0 = 1,6537
s 0 : 2 p 0 + 3q 0 = 6,859
q1 = 2,5202
s3 : t2 = 1
t 0 = 8,5436
s : t1 = 5,7 2
⇒
s : t 0 + r0 = 10,83 1
t1 = 5,7 t2 = 1 r0 = 2, 2863
s 0 : 3r0 = 2,859
Q (s) =
q1 s + q 0 2,5202 s + 1,6537 = p1 s + p 0 0,33s + 0,9488
←
Zpětnovazební rovnice regulátoru
R( s) =
r0 2,2863 = p1 s + p 0 0,33s + 0,9488
←
Přímovazební rovnice regulátoru
- 29 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Průběh regulace 2DOF (m = 1,9)
w(t), u(t), y(t)
2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 7 Průběh regulace 2DOF (m = 1,9)
- 30 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
14. Smithův Prediktor, návrh regulátoru s dopravním zpožděním pomocí polynomiální syntézy G( s) =
s+3 ⋅ e −7 s 3s + s + 2
R( s) =
2
42,379s + 22,791 s
Použítí Smithova prediktoru pro kompenzaci dopravního zpoždění Průběh regulace zadaného regulačního obvodu s dopravním zpožděním s parametry regulátoru R(s) navrženými pomocí 1. řešení Whiteleyových standardních tvarů v zapojení bez Smithova predikátoru.
Průběh regulace v zapojení bez Smithova prediktoru
w(t), u(t), y(t)
2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 8 Průběh regulace bez Smithova prediktoru
- 31 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
Průběh regulace zadaného regulačního obvodu s dopravním zpožděním s parametry regulátoru R(s) navrženými pomocí 1. řešení Whiteleyových standardních tvarů v zapojení se Smithových predikátorem.
Průběh regulace v zapojení se Smithovým prediktorem
w(t), u(t), y(t)
5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0
50
100
150
200
250
300
t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 9 Průběh regulace se Smithovým prediktorem
Návrh regulátoru pro regulační obvod s dopravním zpožděním Taylorova aproximace čitatele:
e −7 t = 1 − 7 s s+3 s+3 1 − 7 s s − 7 s 2 + 3 − 21s −7 t G( s) = 2 ⋅e = 2 ⋅ = 1 3s + s + 2 3s + s + 2 3s 2 + s + 2
G( s) =
− 7 s 2 − 20 s + 3 3s 2 + s + 2
Žádaná veličina:
w( s ) =
1 ⇒ f ( s ) = s ⇒ deg f = 1 s
- 32 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
Určení stupně polynomů:
k ≥ deg f + 1 − 2 deg a = −2 ⇒ k = 0 deg q = deg a − 1 = 1 deg p ≥ deg a − 1 = 1 deg r = deg f − 1 = 0 deg d = 2 deg A − 1 + k = 3 deg t = 2 deg a − 1 − deg f + k = 2 Charakteristické rovnice:
ap + bq = d (3s 2 + s + 2) ⋅ ( p1 s + p 0 ) + (−7 s 2 − 20 s + 3) ⋅ (q1 s + q 0 ) = ( s + m) 3 br + ft = d s (t 2 s 2 + t1 s + t 0 ) + (−7 s 2 − 20s + 3) ⋅ r0 = ( s + m) 3 Řešení soustavy rovnic:
s 3 : 3 p1 − 7q1 = 1
s3 : t2 = 1
s 2 : 3 p0 + p1 − 7q 0 − 20q1 = 3m
s 2 : t1 − 7r0 = 3m
s 1 : p0 + 2 p1 − 20q 0 + 3q1 = 3m 2
s 1 : t 0 − 20r0 = 3m 2
s 0 : 2 p 0 + 3q 0 = m 3
s 0 : 3r0 = m 3
m=0,2 :
s 3 : 3 p1 − 7q1 = 1
p0 = 0,0209
s 2 : 3 p0 + p1 − 7q 0 − 20q1 = 0,6
⇒
s 1 : p0 + 2 p1 − 20q 0 + 3q1 = 0,12
p1 = 0,2744 q0 = 0,0166
s 0 : 2 p 0 + 3q 0 = 0,008
q1 = 0,0252
s3 : t2 = 1
t 0 = 0,173
s : t1 − 7r0 = 0,6 2
⇒
s : t 0 − 20r0 = 0,12 1
t1 = 0,618 t2 = 1 r0 = 0,00266
s 0 : 3r0 = 0,008
- 33 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Q (s) =
q1 s + q 0 0,0252 s + 0,0166 = p1 s + p 0 0,2744s + 1,0209
←
Zpětnovazební rovnice regulátoru
R( s) =
r0 0,00266 = p1 s + p0 0,2744 s + 1,0209
←
Přímovazební rovnice regulátoru
Průběh regulace s dopravním zpožděním v 2DOF realizaci (m = 0,2)
w(t), u(t), y(t)
4 3 2 1 0 -1 0
50
100
150
200
250
300
-2 t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 10 Průběh regulace s dopravním zpožděním v 2DOF realizaci (m = 0,2)
m=0,3 :
s 3 : 3 p1 − 7q1 = 1
p 0 = 0,0032
s : 3 p0 + p1 − 7q 0 − 20q1 = 0,9 2
⇒
s 1 : p0 + 2 p1 − 20q 0 + 3q1 = 0,27
p1 = 0,2534 q0 = 0,00686
s 0 : 2 p 0 + 3q 0 = 0,027
q1 = −0,3425
s3 : t2 = 1
t 0 = 0,45
s : t1 − 7r0 = 0,9 2
⇒
s 1 : t 0 − 20r0 = 0, 27
t1 = 0,963 t2 = 1 r0 = 0,009
s 0 : 3r0 = 0,027
- 34 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
Q (s) =
q1 s + q 0 − 0,3425s + 0,00686 = 0,2534s + 0,0032 p1 s + p 0
←
Zpětnovazební rovnice regulátoru
R( s) =
r0 0,009 = p1 s + p 0 0, 2534s + 0,0032
←
Přímovazební rovnice regulátoru
Průběh regulace s dopravním zpožděním v 2DOF realizaci (m = 0,3)
w(t), u(t), y(t)
3 2 1 0 -1
0
50
100
150
200
250
300
-2 t[s] Žádaná veličina (w)
Akční zásah (u)
Výstupní hodnoty (y)
Obr. 11 Průběh regulace s dopravním zpožděním v 2DOF realizaci (m = 0,3)
- 35 -
350
Teorie systémů
Úloha č.1
15. Stabilita uzavřeného regulačního obvodu Stabilita URO odečtením z vykreslených průběhů regulace Stabilitu jednotlivých regulačních obvodů lze určit z jejich vykreslených průběhů, zde jsem zjistil, že všechny regulační pochody jsou stabilní. Stabilitu regulačního obvodu je také možné určit pomocí Routh-Shurova kritéria stability Stabilita URO bez dopravního zpoždění u úlohy 12 s využitím PI regulátoru
G( s) =
s+3 b( s ) = 3s + s + 2 a( s ) 2
R( s) =
q1 s + q 0 q ( s ) = s p( s)
a( s ) ⋅ p( s ) + b( s ) ⋅ q( s ) (3s 2 + s + 2) s + ( s + 3)(q1 s + q 0 ) 3s 3 + s 2 + 2 s + q1 s 2 + q 0 s + 3q1 s + 3q0 3s 3 + (q1 + 1) s 2 + (2 + 3q1 + q0 ) s + 3q 0 K určení stability jsem použil Routh-Schurovo kritérium:
3
(q1 + 1)
(q1 + 1)
(2 + 3q1 + q0 )
3q 0
/ − q 3+ 1
3q 0
0
(q1 + 1)
9q0 (2 + 3q1 + q 0 ) − q1 + 1
3q 0
Regulační obvod je stabilní, protože poslední tři členy mají stejné znaménko.
- 36 -
1
Teorie systémů
Úloha č.1
Závěr Systém, který byl zadán diferenciální rovnicí 3 y′′(t ) + y ′(t ) + 2 y (t ) = u′(t ) + 3u (t ) má jednu nulu v nekonečnu a druhou v levé části komplexní roviny, stejně jako všechny jeho póly. Relativní řád systému je roven jedné. Z těchto poznatků lze tedy říci, že systém je stabilní, periodický a minimálně fázový. Všechny vykreslené charakteristiky v bodech 3 až 7 tato fakta dokazují. Grafy získané v prostředí MATLAB a v tabulkovém procesoru se od sebe téměř neliší, takže lze říci, že všechny výpočty v těchto bodech byly provedeny správně. Stavový model získaný přímou metodou:
x1′ 0 2 = − x 2′ 3
1 x 0 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ u (t ) − x 2 3 3
x y (t ) = (3 1) ⋅ 1 + (0 )u (t ) x2 Stavový model získaný z metody přímé integrace:
2 0 − ′ x 1 3 ⋅ x1 + − 3 ⋅ u (t ) = x 2′ 1 − 1 x 2 − 1 3 1 x y (t ) = 0 − ⋅ 1 + (0 )u (t ) 3 x2 Oba dva tyto stavové modely jsou řiditelné a pozorovatelné, jak bylo dokázáno v 9. bodě. Standardní fundamentální matice systému:
0,33 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 0,07 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t ϕ (t ) = − 0,28 ⋅ e −0 ,16 t ⋅ sin 0,8t
0,33 ⋅ e −0,16 t ⋅ cos 0,8t − 0,07 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t 0,41 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t
Stavová rovnice systému:
y (t ) = 0,5 − 0,5 ⋅ e −0 ,16t ⋅ cos 0,8t + 0,035 ⋅ e −0,16 t ⋅ sin 0,8t Hodnoty y(t) nabývající z této výsledné stavové rovnice, jsou přesně třetinové (Graf 8), než hodnoty z rovnice přechodové charakteristiky (Graf 3 a Graf 4).
- 37 -
Teorie systémů
Úloha č.1
Soustava s regulátorem PID navržena metodou inverze dynamiky byla provedena upravením na nový přenos s dopravním zpožděním, který byl odhadnut přibližným výpočtem. 1
− s 3 ⋅e 3 G( s) ≈ 3 2 1 s + s +1 2 2
Soustava s regulátorem nastavená podle metody Whiteleyho standardních tvarů má relativně dlouhý regulační pochod s výraznějším překmitem. Ten by se měl pohybovat do 10%. U této metody mi však vyšly dvě různá, avšak správná řešení. U návrhu regulátoru pomocí polynomiální syntézy v 1DOF provedení dává při vhodně zvoleném parametru m rychlý regulační pochod s malým překmitem, tzn. že když je parametr dostatečně malý, získáváme pomalý ale stabilní regulační pochod téměř bez překmitu, je-li parametr vyšší, regulační pochod v obvodu je rychlejší. Regulátor navržený pomocí polynomiální syntézy pro 2DOF realizaci dává regulační pochod bez jakéhokoliv překmitu a trvalé regulační odchylky. Parametr m ovlivňoval délku regulace. Jestliže jsem k zadanému systému s regulátorem navrženým dle druhého řešení metodou Whiteleyho standardních tvarů, přidal dopravní zpoždění, pak se systém praktický ihned rozkmital a jeho hodnoty narostly do extrémních hodnot. Nebylo ho možné regulovat bez kompenzace dopravního zpoždění. Pokud jsem však použil ke kompenzaci dopravního zpoždění Smithův predikátor, vlastní regulační pochod byl zpožděný, ale jinak stejný jako u předešlých soustav bez dopravního zpoždění. Po aproximaci jsem provedl výpočet pro 2DOF konfiguraci systému řízení. Výsledkem je regulační pochod, který závisí na volbě parametru m. S malým parametrem m je regulační pochod pomalý a doba ustálení na požadované hodnotě je delší. Pokud se hodnota parametru zvyšuje, dochází k rychlejšímu ale také ke značnému zvětšení překmitu. Všechny realizované regulační pochody měli ve výpočtech požadovanou hodnotu w( s ) =
1 , s
což odpovídá jednotkovému skoku, ovšem zadaný průběh měl i ve svém průběhu tzv. rampu. Zde se regulační pochody, skoro ve všech případech, chovaly bez překmitů a byly téměř shodné s požadovanou hodnotou průběhu. V posledním bodě jsem ověřil, že všechny regulační obvody ze zadaní jsou stabilní.
- 38 -
