TEORI ANTRIAN (QUEUING THEORY)
Teknik Riset Operasi Fitri Yulianti Universitas Gunadarma
Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari
Siapapun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket
Theatre 1
Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi waktu menunggu sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas.
Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih cepat dengan menambah jumlah pelayanan, seperti jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada supermarket.
Namun, menambah kapasitas pelayanan memerlukan biaya dan dasar analisi waktu menunggu adalah adanya trade-off antara biaya perbaikan pelayanan dan biaya yang berasal dari waktu menunggu pelanggan.
Setelah mempelajari multimedia ini, mahasiswa akan mampu 1. membedakan model antrian dengan sistem pelayanan tunggal dan sistem pelayanan multipel 2. Mmnghitung karakteristik operasi dari masing-masing sistem
PENDAHULUAN
Analisis antrian merupakan bentuk analisis probabilistik Hasil analisis disebut sebagai karakteristik operasi Hasil analisis digunakan manajer untuk mengambil keputusan
UNSUR UNSUR ANALISIS ANTRIAN Antrian terbentuk karena orang atau barang datang lebih cepat daripada tingkat pelayanan. Sebagian besar operasi memiliki pelayan yang mencukupi untuk menangani pelanggan dalam jangka panjang. Pelanggan tidak datang dengan tingkat yang konstan atau minta dilayani dalam waktu yang bersamaan. Antrian dapat menongkat atau berkurang dan mendekati nilai ratarata pelayanan. Keputusan yang digunakan berkaitan dengan rata-rata kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan. Hal ini yang digunakan untuk menentukan karakteristik operasi sistem sebagai dasar pengambilan keputusan.
Komponen Proses Antrian : Tingkat kedatangan (arrivals/customers) Pelayan (servers/cash register/operator) Antrian (queuing).
Kedatangan Antrian
Pelayan
Keluar
Faktor Pertimbangan dalam Analisis :
Disiplin antrian (Queue Discipline) : urutan bagaimana pelanggan dalam antrian dilayani. Populasi pelanggan (Calling Population) : sumber pelanggan (infinite or finite). Tingkat kedatangan (Arrival Rate) : frekuensi bagaimana pelanggan datang dalam antrian sesuai probabilitas distribusi (umumnya digambarkan sebagai distribusi Poisson). Tingkat pelayanan (Service Rate) : rata-rata tingkat konsumen yang dapat dilayani per satuan waktu tertentu.
BENTUK UMUM TEORI ANTRIAN Pelayanan Tunggal Pelayanan Multipel
STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN 1. Satu saluran satu tahap
2. Banyak saluran satu tahap
STRUKTUR DASAR PROSES ANTRIAN (Lanjutan) 3. Satu saluran banyak tahap
4. Banyak saluran banyak tahap
pelayan
SISTEM ANTRIAN PELAYANAN TUNGGA Sistem antrian pelayanan tunggal memiliki karakteristik sebagai berikut : 1. Populasi pelanggan yang tidak terbatas (infinite calling population ) 2. Disiplin antrian “pertama datang, pertama dilayani” (first-come, firstserved queue discipline ) 3. Tingkat kedatangan Poisson (Poisson arrival rate) 4. Waktu pelayanan eksponensial (Exponential service times)
Dengan karakteristik di atas ini, dan asumsi bahwa λ = tingkat kedatangan (average number of arrivals/time period) µ = tingkat pelayanan (average number served/time period) λ < µ (Pelanggan harus dilayani lebih cepat daripada kedatangannya )
RUMUS DASAR ANTRIAN PELAYANAN TUNGGAL
RUMUS DASAR ANTRIAN PELAYANAN TUNGGAL (Lanjutan)
Keterangan : Pn = probabilita n pengantri dalam sistem L = rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem Lq = rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian W = rata-rata waktu menunggu dalam sistem (antri + pelayanan) Po atau I = proporsi waktu nganggur pelayan (tidak ada pengantri) U = proporsi waktu pelayan sibuk
CONTOH KASUS PELAYANAN TUNGGAL PADA FAST SHOP MARKET
CONTOH KASUS PELAYANAN TUNGGAL PADA FAST SHOP MARKET (Lanjutan)
KARAKTERISTIK OPERASI STEADY STATE
Faktor utilisasi (utilization factor), U, harus lebih kecil dari satu: U < 1,atau λ / µ < 1 dan λ < µ . Rasio tingkat kedatangan terhadap tingkat pelayanan harus lebih kecil daripada satu, tingkat pelayanan harus lebih besar dari tingkat kedatangan Pelayan harus mampu melayani pelanggan lebih cepat daripada tingkat kedatangan dalam jangka panjang atau baris antrian akan memanjang menjadi tak terbatas
EFEK KARAKTERISTIK OPERASI
Manajer ingin menguji beberapa alternatif untuk mengurangi waktu tunggu pelanggan: Penambahan pegawai untuk mengemas barang Penambahan kasir baru
EFEK KARAKTERISTIK OPERASI (Lanjutan) Alternatif 1: Penambahan pegawai pengemas (tingkat pelayanan naik dari µ = 30 ke µ = 40 pelanggan per jam). Biaya $150 per minggu, menghindari kerugian $75 per minggu untuk tiap menit waktu tunggu pelanggan yang terkurangi . Karakteristik sistem operasi dengan parameter baru: Po = .40 probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem L = 1.5 pelanggan secara rata-rata dalam sistem antrian Lq = 0.90 pelanggan secara rata-rata dalam baris tunggu W = 0.063 jam rata-rata per pelanggan dalam sistem Wq = 0.038 jam rata-rata per pelanggan dalam baris tunggu U = .60 probabilitas pelayan sibuk, pelanggan menunggu I = .40 probabilitas pelayan menganggur Rata-rata waktu tunggu
EFEK KARAKTERISTIK OPERASI (Lanjutan) Alternatif 2: Penambahan kasir baru ($6,000 plus $200 per minggu untuk kasir tambahan). λ = 24/2 = 12 pelanggan per jam µ = 30 pelanggan per jam di tiap konter kasir Karakteristik sistem operasi dengan parameter baru: Po = .60 probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem L = 0.67 pelanggan secara rata-rata dalam sistem antrian Lq = 0.27 pelanggan secara rata-rata dalam baris tunggu W = 0.055 jam rata-rata per pelanggan dalam sistem Wq = 0.022 jam rata-rata per pelanggan dalam baris tunggu U = .40 probabilitas pelayan sibuk, pelanggan menunggu I = .60 probabilitas pelayan menganggur
EFEK KARAKTERISTIK OPERASI (Lanjutan)
EFEK KARAKTERISTIK OPERASI (Lanjutan) Alternatif 1
Alternatif 2
Penghematan waktu menunggu 8 menit – 2.25 menit = 5.75 menit
Penghematan waktu menunggu 8 menit – 1.33 menit = 6.67 menit
Pengurangan kerugian menunggu Pengurangan kerugian menunggu 5.75 menit x $75 perminggu/menit 6.67 menit x $75 perminggu/menit = $431.25 = $500.25 Penambahan biaya pegawai pengemas $150
Penambahan biaya pegawai kasir $200
Penghematan biaya $431.25 - $150 = 281.25
Penghematan biaya $500.25 - $200 = 300.25
EFEK KARAKTERISTIK OPERASI (Lanjutan)
ASSIGNMENT Penumpang kereta api datang pada sebuah loket mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat rata-rata 20 per jam. Misalkan secara rata-rata setiap penumpang dilayani 2 menit dan waktu layanan mengiluti distribusi eksponensial. Setelah sistem dalam steady state, carilah: a) P4 ; b) L ; c) Lq ; d) W ; e) Wq ; f) P0 atau I ; g) Berapa probabilitas pengantri tidak mendapat tempat duduk jika kursi yang disediakan di depan loket hanya 3? Misalkan kepala stasiun mengetahui dengan mengganti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang lebih trampil, waktu pelayanan berkurang menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namum upah penjaga yang trampil adalah Rp. 1200 per jam, yang berarti dua kali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga memperkirakan biaya menunggu pengantri adalah Rp. 50 per menit. Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yang ada dengan penjaga yang lebih trampil?
PELAYANAN MULTIPEL
PELAYANAN MULTIPEL RUMUS
PELAYANAN MULTIPEL RUMUS (Lanjutan)
ANTRIAN PELAYANAN MULTIPEL Contoh Biggs Department Store
ANTRIAN PELAYANAN MULTIPEL Contoh Biggs Department Store (Lanjutan)
PELAYANAN MULTIPEL
CONTOH SOAL Petugas baru untuk pelayanan pinjaman pada Citizen Northern Savings Bank mewawancara seluruh nasabah yang ingin membuka rekening pinjaman baru. Tingkat kedatangan para nasabah tersebut adalah 4 nasabah per jam berdasarkan distribusi Poisson, dan petugas rekening tersebut menghabiskan waktu rata-rata 12 menit untuk setiap nasabah yang ingin membuka rekening baru. A. Tentukan karakteristik operasi (P0, L, Lq, W, Wq, dan Pw) untuk sistem ini. B. Tambahkan seorang petugas baru pada sistem atas masalah tersebut sehingga sekarang sistem tersebut menjadi sistem antrian pelayanan multiple dengan dua saluran dan tentukan karakteristik operasi yang diminta pada bagian A
Restoran cepat saji Burger Dooddle mempunyai loket drive-through. Pelanggan dalam mobil datang rata-rata 10 orang per jam. Dibutuhkan rata-rata 4 menit untuk menerima dan mencatat pesanan. Restoran mempunyai target penyiapan pesanan 3 menit. Apakah sistem saat ini dapat mencapai target tersebut? a. Tidak b. Ya
Feedback λ = 10 μ = 15 Wq
10 8 menit ( ) 15(15 10)
W q lebih besar dari target 3 menit
Sebuah sistem antrian pelayanan tunggal dengan populasi pelanggan tidak terbatas dan sistem antrian FCFS, memiliki λ = 16 pelanggan per jam μ = 24 pelanggan per jam Tentukan L dan Lq ! a. L = 1.33 dan Lq = 1.5
c. L = 2 dan Lq=1.33
b. L = 1.5 dan Lq = 2
d. L = 2 dan Lq = 2
Feedback L
Lq
16 2 (µ - ) (24 - 16)
2
µ(µ - )
2
16
24(24 - 16)
1.33
Sebuah toserba memiliki 3 pramuniaga dengan 10 pelanggan datang per jamnya dan tiap pramuniaga dapat melayani 4 pelanggan per jam. Tentukan probabilitas tidak adanya pelanggan yang akan dilayani dan jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani oleh tiap pramuniaga. a. P0 = 6 dan L =0.45
c. P0 = 0.3 dan L = 6
b. P0 = 0.5 dan L = 5
d. P0 = 0.45 dan L = 6
Feedback λ = 10 pelanggan per jam μ = 4 pelanggan per jam P0
1 n
c nc1 1 1 c n 0 n! c! c 1 1 10 0 1 10 1 1 10 2 1 10 3 3.4 0! 4 1! 4 2! 4 3! 4 3.4 10 0.45
L
( / ) c 2 10 . 4 (10 / 4 ) 3
c 1 ! c
P0
( 3 1 )! 3 . 4 10 2 6
0 . 045
10 4
