TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
ÚHEL = část roviny ohraničená dvěma polopřímkami (VA, VB) se společným počátkem (V) úhel AVB: V ‐ vrchol úhlu VA, VB ‐ ramena úhlu Poznámka: Dvě polopřímky se společným počátkem rozdělí rovinu na dva úhly – úhel konvexní, nekonvexní.
Velikost úhlu = právě jedno nezáporné číslo charakterizující daný úhel – značení: |∠AVB| – míra stupňová nebo oblouková
Velikost úhlu ve stupňové míře = nezáporné číslo, které vyjadřuje, kolikrát je daný úhel větší (menší) než 1 úhlový stupeň – jednotky: stupně – značení: ° minuty – značení: ´ vteřiny – značení: ´´ Poznámka: Celá kružnice má velikost 360°. Platí: 1° = 60′ = 3600″ 1′ = 60″ o 1 ⎞ ⎛ 1′ = ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠ ′ ⎛ 1 ⎞ 1′′ = ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
Velikost úhlu v obloukové míře = délka příslušného oblouku na jednotkové kružnici (kružnice o poloměru 1 jednotka) – jednotky: radiány – značení: rad Poznámka: Celá kružnice má velikost 2π rad. Platí: 360° = 2π 180° = π 180 180 1rad = = = 57°17´45´´ 3,14.... π
1
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
180o Převod z obloukové míry na stupňovou: α = x ⋅ π π Převod míry stupňové na obloukovou: x =α ⋅ 180o Rozdělení úhlů dle velikosti Úhel k o n v e x n í
Velikost ve stupň. míře Velikost v oblouk. míře
α = 0°
x = 0
ostrý
0° < α < 90°
0 < x < π/2
pravý
α = 90°
x = π/2
tupý
90° < α < 180°
π/2 < x < π
přímý
α = 180°
x = π
plný
α = 360°
x = 2π
180° < α < 360°
π < x < 2π
nulový
nekonvexní
Cvičení: Příklad 1: Převeďte velikost daných úhlů na radiány: α = 45° δ = 120° β = 270° ε = 354° γ = 216° ϕ = 330°
ρ = 54°10´ τ = 174°30´ ω = 22°50´30´´
Příklad 2: Vyjádřete daný úhel ve stupňové míře: π γ = 0,26180 rad ϕ = 3,071 rad α= 3 δ = 5,42797 rad ρ = 2,93215 rad 3π ε = 2,5 rad τ = 7π/6 rad β= 5 Příklad 3: Pojmenujte dané úhly (ostrý, přímý, …): α= 135°; β = 90°; γ = 212°; δ = 51°; ε = 180°; ϕ = 330°
2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
DVOJICE ÚHLŮ Úhly doplňkové = dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90° Úhly vedlejší = dva konvexní úhly AVB, AVC se společným ramenem VA a navzájem opačnými polopřímkami VB a VC Poznámka: Součet dvou vedlejších úhlů je vždy 180°. Úhly vrcholové = dva konvexní úhly AVB, AVC, jejichž ramena VA, VD a VB, VC jsou navzájem opačné polopřímky Poznámka: Vrcholové úhly jsou shodné. Platí: Je‐li jeden ze čtyř úhlů sevřených různoběžkami pravý, jsou i ostatní tři úhly pravé (jde o kolmé přímky). Úhly vyťaté příčkou = úhly, které vzniknou ze dvou různých přímek, které protíná třetí přímka Dvojice α,α´; β,β´; γ,γ´; δ,δ´ – úhly SOUHLASNÉ Dvojice α,γ´; β,δ´; γ,α ´; δ,β´ – úhly STŘÍDAVÉ Poznámka: Je‐li a || b, pak každá dvojice souhlasných i střídavých úhlů jsou úhly shodné.
ÚHLY V KRUŽNICI = úhly příslušné k oblouku kružnice Středový úhel = úhel s vrcholem ve středu kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku AB
3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Obvodový úhel = úhel s vrcholem na obvodu kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku AB Poznámka: Ke každému oblouku AB existuje nekonečně mnoho obvodových úhlů. Platí: 1) Všechny obvodové úhly k jednomu oblouku jsou shodné. 2) Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Důkaz 2): Chceme dokázat, že ω = 2⋅α a) S leží na jednom rameni obvodového úhlu AVB b) S je vnitřní bod obvodového úhlu AVB c) S leží vně obvodového úhlu AVB Z dokázané věty vyplývají důsledky: D1: Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné. D2: Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý. D3: Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý. D4: Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý. (Thaletova věta)
4
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Cvi čení: Příklad 1: Zvolte 3 různé body A, B, C, které neleží v přímce. Vyznačte tyto útvary: a) konvexní úhel ACB b) vrcholový úhel ke konvexnímu úhlu CBA c) úhel vedlejší ke konv. úhlu ABC s ramenem BC
Příklad 2: Určete velikosti úhlů α, β, γ, δ. Příklad 3: Určete velikost obvodového úhlu k oblouku, jehož délka je 3/5 délky kružnice. Příklad 4: Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v U, který dostaneme spojením čísel 1, 5 a 8 na ciferníku hodin.
5
