Téma: Lom světla v atmosféře Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Každému homogennímu průhlednému prostředí přísluší tzv. index lomu světla n ≥ 1. Tato konstanta udává tzv. optickou hustotu prostředí a platí pro ni n = vc , kde c je rychlost světla ve vakuu a v pak v příslušném prostředí. Odtud plyne, že index lomu vakua je n0 = 1. Prochází-li světlo rozhraním dvou prostředí o různých indexech lomu n1 a n2 , láme se tak, že platí tzv. Snellův zákon lomu ni sin zi = konst, i = 1, 2 ,
(1)
kde zi jsou úhly světelného paprsku od normály k rozhraní v bodě dopadu paprsku, měřené v příslušných prostředích (obr.1).
z1 n1 . n2 n1
z2
Obrázek 1: Prostředí o větším indexu lomu nazýváme opticky hustším a naopak s menším indexem lomu pak opticky řidším. Odtud plyne, že při průchodu paprsku z prostředí opticky řidšího do prostředí opticky hustšího se tento láme ”k normále”. Při pozorování nebeských těles ze Země prochází světelný paprsek z vakua postupně do (opticky) stále hustších vrstev atmosféry, tudíž se láme ”k normále”. To znamená, že pozorovatel vidí objekt na nebeské sféře výše nad obzorem, než se ve skutečnosti nachází. Kladný rozdíl příslušných výšek nad obzorem se nazývá refrakcí R. Protože výška nad obzorem h je doplněk zenitové vzdálenosti z do π2 , platí zřejmě z0 = z + R ,
(2)
kde z0 je zenitová vzdálenost pozorovaného objektu v případě vakua a z v případě atmosféry. Protože platí Snellův zákon (1), stačí jej uvažovat pouze mezi vakuem (index lomu roven jedné) a atmosférou v místě pozorování z povrchu Země (např. v horském prostředí - index lomu n > 1). Podle (1) platí sin z0 = n sin z . 1
(3)
Dosazením z (2) a použitím rozdílového vztahu pro funkci sinus dostaneme sin z0 = n(sin z0 cos R − cos z0 sin R) . Vzhledem k malosti refrakce R (za všech okolností je menší než jeden úhlový stupeň), linearizujeme její goniometrické funkce v okolí nuly. Klademe tedy sin R ≈ R a cos R ≈ 1. Předchozí výraz pak přepíšeme na sin z0 = n(sin z0 − R cos z0 , ) odkud R = (n − 1)tg z0 .
(4)
Označme konstantu n−1 = k1 . Tato konstanta je rovna refrakci pro zenitovou vzdálenost z0 = π4 (= 45o ). Má experimentálně určenou hodnotu ′′
k1 = 2.83 · 10−4 [rad] = 58.3 = R π4 . Odvozený výraz (4) zaručeně neplatí obecně. Protože je lim tg z0 = +∞ ,
z0 → π2
rostla by nade všechny meze refrakce pro paprsky procházející obzorníkem. To je samozřejmě nesmysl. Nedokonalost výrazu (4) nesouvisí se zanedbáním nelineárních členů Taylorových rozvojů goniometrických funkcí refrakce, nýbrž s předpokladem přímkového rozhraní, jež vzhledem ke kulatosti Země nemá opodstatnění. Nicméně vzorec (4) poměrně přesně platí do zenitových vzdáleností z intervalu h0 , π4 i. Pro větší vzdálenosti (paprsek níže nad obzorem) je třeba provést tzv. Cassiniovo zpřesnění, které uvažuje kruhové rozhraní mezi prostředími. Odvození usnadňuje obr.2, jenž znázorňuje na středovém řezu kruhový povrch Země. Soustřednou kružnicí je znázorněna hranice atmosféry. Výška he této hranice (tzv. ekvivalentní výška) je výškou homogenní vrstvy atmosféry povrchové hustoty a hmotnosti odpovídající reálné atmosféře. Bod T označuje místo pozorování, S je střed Země (úsečka ST má tedy délku rovnou poloměru Země rz ). Paprsek světla přichází z objektu pod zenitovou vzdáleností z0 , naráží na vrstvu opticky hustšího vzduchu v bodě A, láme se ”k normále” a dostává se do oka pozorovatele v bodě T pod (menší) zenitovou vzdáleností z. Normálou je přímka procházející středem Země, tedy přímka SA. Rozdíl zenitových vzdáleností je podle definice refrakce R (obr.2). Označme β úhel, který svírá paprsek jdoucí do oka pozorovatele s normálou (obr.2). Na trojúhelník AST aplikujeme sinovou větu. Dostaneme sin β rz = . sin z rz + he Rozšířením zlomku výrazem
1 rz
a označením ε =
he rz
vznikne
1 sin β = . sin z 1+ε Podle Snellova zákona lomu je sin(β + R) = n sin β . 2
(5)
zenit normala β
R
A
he β
z T
rz S
Obrázek 2:
Aplikací součtového vztahu pro funkci sínus a linearizací sin R ≈ R , cos R ≈ 1 odtud dostaneme sin β + R cos β = n sin β , odkud po úpravě R = (n − 1)tg β .
(6)
Upravme vztah (6) jako R = (n − 1)
sin β sin β . = (n − 1) q cos β 1 − sin2 β
Do tohoto vztahu dosaďme za sin β z (5). Obdržíme R = (n − 1) r
sin z 1+ε
1−
sin2 z (1+ε)2
.
(7)
1 Linearizujme výraz (1+ε) 2 tak, že jej rozložíme na mocninnou řadu v mocninách ε, ze které uvážíme, vzhledem k tomu, že ε ≪ 1 (viz níže), pouze absolutní a lineární člen. Rozklad v mocninnou řadu provedeme podělením polynomů. Vznikne tak
∞ X 1 1 2 3 (i + 1)(−1)i εi ≈ 1 − 2ε . = = 1 − 2ε + 3ε − 4ε + . . . = (1 + ε)2 1 + 2ε + ε2 i=0
Po dosazení do (7) máme 3
R = (n − 1)
sin z q
(1 + ε) 1 − (1 − 2ε) sin2 z
.
(8)
Výraz pod odmocninou v (8), dosazením 1 = sin2 z + cos2 z, pišme postupně jako 1−(1−2ε) sin2 z = cos2 z+sin2 z−sin2 z+2ε sin2 z = cos2 z+2ε sin2 z = cos2 z(1+2εtg2 z) . Po dosazení do (8) získáme R=
(n − 1) sin z q
(1 + ε) cos z 1 + 2εtg2 z
Rozvineme-li funkci f (x) =
√1 1+x
=
tgz n−1 ·q . ε+1 1 + 2εtg2 z
v Taylorovu řadu v okolí nuly, máme
1 1 3 1 1 3 5 1 f (x) = 1 − x + · · x2 − · · · x3 + · · · . 2 2! 2 2 3! 2 2 2 2 Pro x = 2εtg z ≪ 1 (to znamená pro zenitové vzdálenosti, pro něž platí tgz ≪ bereme v předchozím rozvoji pouze první dva členy. Dostaneme tak 1 q
(9)
1 + 2εtg2 z
√1 ) 2ε
≈ 1 − εtg2 z .
Dosazením do (9) vzniká konečný výsledek ve tvaru n−1 (tgz − εtg3 z) . (10) ε+1 Tento výsledek je známý jako Cassiniovo zpřesnění. Ekvivalentní výšku he homogenní vrstvy vzduchu povrchové hustoty určíme z rovnosti tlaku této vrstvy na povrch Země a normálního atmosférického tlaku p0 v pozorovací nadmořské výšce. Pro hladinu moře bude např. p0 = 760 milimetrů rtuťového sloupce. Platí tedy R=
ρV he = ρHG · 0.76 . V tomto vztahu je ρV hustota vzduchu v místě pozorování (pro mořskou hladinu to je 1.293 [kg/m3 ]) a ρHG =13595 [kg/m3 ] je hustota rtuti. Výšku he potom obdržíme v metrech. Pro mořskou hladinu vychází he = 7991 m. Pro malý parametr ε potom podle definice dostaneme ε=
7991 = 1.125 · 10−3 . 6.376 · 106
Podle (10) můžeme psát R = k1′ tgz − k3 tg3 z ,
(11)
k1 přičemž pro použité konstanty platí k1′ = ε+1 a k3 = εk1 . Pro konstantu k1 jsme výše −4 ′ uvedli hodnotu k1 = 2.83 · 10 [rad]. Proto k1 = 2.826 · 10−4 [rad] a k3 = 3.53 · 10−7 ′′ [rad]=0.0729 . I výraz (11) má svoje omezení. Hodí se pro přesné určení refrakcí cirka do zenitových vzdáleností do 75o . Pro paprsky bližší k obzoru než 15o se používají speciální refrakční tabulky. Jejich výtah pro zenitové vzdálenosti s distancí jeden stupeň jsou obsahem níže uvedené tabulky.
4
z[o ] ′′ R[ ] z[o ] ′′ R[ ]
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 164 173 183 194 207 221 237 255 276 301 330 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 365 407 459 526 613 731 897 1141 1532 2190
Refrakce odvozená výše platí pro normální atmosférické podmínky, tedy tlak p =760 mm Hg a teplotu 20o C. Závislost velikosti refrakce na těchto stavových veličinách odvodíme za předpokladu platnosti lineární závislosti indexu lomu na hustotě vzduchu ρ. Nechť tedy existuje konstanta c [m3 /kg], že n = 1 + cρ .
(12)
Jestliže uvažujeme jednotku hmotnosti vzduchu, platí pro jeho objem vztah V = ρ1 . Dále mezi tlakem p, objemem V a absolutní teplotou T platí vztah, který upravuje stavová rovnice plynů, a který má tvar pV = KT (K je univerzální plynová konstanta). Úpravou odtud V =
KT p 1 = ⇔ ρ= . ρ p KT
Dosazením do (12)získáme c p · . K T Pokud pro refrakci píšeme jednodušší výraz R = (n − 1)tgz, dostáváme odtud n=1+
c p · tgz . (13) K T Vezmeme-li pro dva stavy vzduchu, definované tlaky p1 , p2 a teplotami T1 , T2 , které při stejné zenitové vzdálenosti z přicházejícího paprsku, vykazují refrakce (po řadě) R1 , R2 , pak ze (13) dostaneme R=
R1 T1 R2 T2 c tgz = = , K p1 p2 čili R2 = R1 ·
T1 p2 · . T2 p1
(14)
Refrakce jest tedy přímo úměrná tlaku vzduchu a nepřímo úměrná jeho absolutní teplotě.
5
