Téma 7 Smyková napětí v ohýbaných nosnících

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 7 Smyková napětí v ohýbaných nosnících • Základní vztahy a předpoklady řešení • Výpočet smykového napětí vybraných průřezů • Dimenzování nosníků namáhaných na smyk • Výpočet smykových toků a středu smyku • Složené nosníky Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pruty namáhané smykem Při ohybu prutu vznikají v jeho průřezech ohybové momenty a zpravidla i posouvající síly – způsobují namáhání smykem.

F V

+

V

V

-

a

V b

Raz

Rbz

Rovinný ohyb: vnitřní i vnější síly leží v rovině xy nebo xz – hlavní roviny. N = Vy = M x = M z = 0

Vz , M y ≠ 0

V rovině xy platí: N = Vz = M x = M y = 0

Vy , M z ≠ 0

V rovině xz platí:

Základní vztahy a předpoklady řešení

2 / 73

Základní typy namáhání – smyk

Šroubový spoj stropních nosníků a sloupu, foto: Doc. Ing. Karel Kubečka, Ph.D. Základní vztahy a předpoklady řešení

3 / 73


Povodňové poruchy mostů v roce 2002, Jižní Čechy, foto: Prof. Ing. Vladimír Tomica, CSc. Základní vztahy a předpoklady řešení

4 / 73


Povodňové poruchy mostů v roce 2002, Jižní Čechy, foto: Prof. Ing. Vladimír Tomica, CSc. Základní vztahy a předpoklady řešení

5 / 73


Porušení konzoly betonového skeletu vlivem nadměrného smykového namáhání foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc. Základní vztahy a předpoklady řešení

6 / 73



7 / 73



8 / 73


Detail šroubového spoje Základní vztahy a předpoklady řešení

9 / 73



10 / 73



11 / 73

Věta o vzájemnosti smykových napětí y

dx dz

τ xy

τ yx

S

τ xy dy τ yx

z

Vektor napětí:

dQxy = τ xy .dAyz = τ xy .dy.dz

∑M

dQxy .dx − dQ yx .dy =

z

= 0:

(str. 7 učebnice, téma č.1)

= τ xy .dy.dz.dx − τ yx .dx.dz.dy = 0

x

Tenzor napětí:

r ΔT τ = lim r ΔA→0 ΔA

τ xy = τ yx obdobně τ yz = τ zy τ zx = τ xz

⎡ σ x τ xy τ xz ⎤ [σ ] = ⎢⎢ σ y τ yz ⎥⎥ ⎢⎣sym. σ z ⎥⎦ Pouze 6 složek napětí

{σ } = {σ x σ y σ z τ yz τ zx τ xy }T Základní vztahy a předpoklady řešení

více téma č.9 Úvod do rovinné napjatosti 12 / 73

Základní předpoklady dle Grashofa a) Podél rovnoběžky s neutrálnou osou (tj. podél přímky z = konst.) je svislá složka smykového napětí konstantní: τ xz = konst.

τ xz τ zx +y

z +x

T +z

T

+y

b( z )

A

B

τ xz

P

b) vektory výsledných smykových napětí podél této přímky směřují do společného bodu – průsečíku tečen k obrysu průřezu – bod P.

+z Základní vztahy a předpoklady řešení

13 / 73

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Zkouška dřevěných trámů, ČVUT, Praha


14 / 73




15 / 73




16 / 73




17 / 73




18 / 73

Základní vztahy pro odvození smykového napětí 1. N = ∫ σ x .dA = A

My Iy

.∫ z.dA = A

My Iy

S y ... statický moment „oddělené“ části

.S y

průřezu

dx

b( z ) dQ

D

B

T

+y

b( z )

A A, S y

z

N

x

B

A

N + dN

dx

+z My

C

Vz + dVz

Vz

M y + dM y

τ zx

z N

σx Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

x

dQ

N + dN

σ x + dσ x 19 / 73

Základní vztahy pro odvození smykového napětí 2.

⎞ dM y S y Sy dN d ⎛⎜ M y .S y ⎟.dx = . .dx = Vz . .dx dN = dx = . ⎟ dx dx ⎜⎝ I y dx I y Iy ⎠

dx

b( z ) dQ

T

+y

b( z )

A A, S y

z x

B

dx

= Vz

Schwedlerova věta (dif.podmínky rovnováhy)

C

B

A

N + dN

dx

+z My

dM y

N

D

Vz + dVz

Vz

M y + dM y

τ zx

z N

σx

Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

x

dQ

N + dN

σ x + dσ x 20 / 73

Základní vztahy pro odvození smykového napětí 3. dQ = τ zx .b(z ).dx

Rx = 0 : − dQ − N + (N + dN ) = 0 →

− dQ + dN = 0

dx

b( z ) dQ

T

+y

b( z )

z N

A A, S y

B

x

C

D

B

A

N + dN

dx

+z My

Vz + dVz

Vz

M y + dM y

τ zx

z N

σx Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

x

dQ

N + dN

σ x + dσ x 21 / 73

Základní vztahy pro odvození smykového napětí dQ = dN

− dQ + dN = 0

+y

b( z )

A A, S y

dN = V z .

dQ = τ zx .b( z ) .dx

T

Sy Iy

.dx

z B

τ zx .b( z ).dx = Vz .

+z

Sy Iy

.dx

Grashofův vzorec

τ xz = τ zx = Vz

... posouvající síla v průřezu

Sy

... statický moment „oddělené“ části průřezu

Iy

... moment setrvačnosti celého průřezu

Vz .S y I y .b( z )

b( z ) ... šířka průřezu v uvažovaném místě Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

22 / 73

Smykové napětí obdélníkového průřezu Průběh τ xz

Průřez

2 z

y

z=−

o

z=0

τ max

h

z=

z

b

1 ⎛h ⎛h ⎞1 ⎞ . − z . + z = + z ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

⎛h ⎞ 1 ⎛h ⎞ b S y = b.⎜ − z ⎟. .⎜ + z ⎟ = . h 2 − 4.z 2 ⎝2 ⎠ 2 ⎝2 ⎠ 8

)

b Vz . .(h 2 − 4.z 2 ) 2 ⎛ ⎞ 3 V z 4 . 8 z ⎜ τ xz = τ zx = = . .⎜1 − 2 ⎟⎟ 1 2 b.h ⎝ h ⎠ b.h 3 .b 12 Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

Iy =

→ z=0

h 2

h 2

1 b.h 3 12

b( z ) = b

τ max

3 Vz 3 Vz = . = . 2 b.h 2 A 23 / 73

Smykové napětí v tenkostěnných nosnících Tenkostěnný nosník

Symetrický průřez I

t , t f , t w << h

bf tf Pásnice index f (flange)

h

tw hw h

Stojina index w (web)

tf

t Otevřené průřezy: I, U, T, C, Z Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

Uzavřené průřezy: 24 / 73

Smykové napětí v profilu I Průřez bf

Det.

tf

Průběh τ xz

2

o

tw

τ xy

τ xz ,max

hw h

y

Det.

tf

z

Průběh τ xy

1o

Předpoklady řešení: • smyková napětí jsou konstantní v řezu kolmo k dílčí stěně (viz Det) • jsou rovnoběžná s obrysem průřezu

Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

25 / 73

Smykové napětí ve stojině profilu I bf tf

Průběh τ xz

Vz .S y

Základní vzorec: τ x =

2o tw

I y .t

t ... tloušťka ve vyšetřovaném místě

y

z

hw h

τ xz ,max

S y ... statický moment plochy

oddělené řezem kolmo k obrysu průřezu

τ x ... výsledné napětí v rovině kolmé k ose x

tf

z

1 ⎞ ⎞ 1 ⎛h ⎛h S y ( z ) = t f .(b − t w ). .(h − t f ) + t w .⎜ − z ⎟. .⎜ + z ⎟ 2 ⎠ ⎠ 2 ⎝2 ⎝2

[

(

Vz 1 . . 4.t f .(b − t w ).(h − t f ) + t w . h 2 − 4 z 2 τ xz = I y .t w 8 Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

)]

τ xz svislá část τ xy vodorovná část

Smykové napětí ve stojině τ xz (Kvadratická parabola) 26 / 73

Smykové napětí v pásnici profilu I bf tf

Základní vzorec

τx =

Vz .S y I y .t

tw hw h

y y

tf

z

Průběh τ xy

Smykové napětí v pásnici τ xy (Lineární funkce)

⎛b ⎞ 1 S y ( y ) = ⎜ − y ⎟.t f . .(h − t f ) = ⎝2 ⎠ 2 1 = .t f .(b − 2 y ).(h − t f ) 4

τ xy = 1o Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

Vz 1 . .(b − 2 y ).(h − t f ) Iy 4 27 / 73

Největší smykové napětí v profilu I bf

Průběh τ xz

tf

2o tw

τ xz ,max

hw h

y

tf

z

z=0

Průběh τ xy

τ max = 1o Výpočet smykového napětí vybraných průřezů

[

Vz . 4.t f .(b − t w ).(h − t f ) + t w .h 2 8.I y .t w

] 28 / 73

Návrh a posouzení prvku obdélníkového průřezu na smyk fd =

Návrh nosné konstrukce

VEd , Amin , f d

fk

γM

f 3 Vz ≤ d 2 A 3

τ max = . zvětšit

VRd

Amin = Posouzení návrhu dle MS únosnosti

VEd ≤ VRd

VEd ≤1 VRd

3 3.Vz 2. f d

Dimenzování

Realizace Dimenzování nosníků namáhaných na smyk

29 / 73

Radio Svobodná Evropa, Praha

Vierendeelův (rámový) nosník z roku 1968: • Půdorys 59x83 m • 6 pilířů Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk

30 / 73

Silniční most, Karviná – Lázně Darkov

Železobetonový obloukový most z roku 1925: • Vierendeelův (rámový) nosník • Unikátní příčné ztužení • Výška 6,25 m • Délka mostovky 55,8 m • Šířka 6,25 m Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk

Foto: Ing. Renata Zdařilová, Ph.D. 31 / 73


Železobetonový obloukový most z roku 1925 Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk



Železobetonový obloukový most z roku 1925 Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk



Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk

34 / 73


Foto: Ing. Renata Zdařilová, Ph.D. Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk

35 / 73

Hala Tatran (Bonver aréna), Ostrava

Ukázky konstrukcí s převažujícím namáháním na smyk

36 / 73

Střed smyku Výsledné smykové síly Qf lze odvodit integrací smykových napětí podél jednotlivých stěn otevřeného profilu. Jsou ekvivalentní posouvající síle Vz. U oboustranně symetrických průřezů prochází výsledná síla těžištěm, u nesymetrických průřezů je tomu jinak – pokud rovina zatížení není rovinou symetrie, zatížení musí procházet středem smyku, aby nebyl prut kroucen. Q

t

τx

f

h0

+y

Qf

A

Vz

Vz

45o T

Qf Qf

h0 +z

t

Výpočet smykových toků a středu smyku

τx

Qf =

Vz 2 37 / 73

Střed smyku profilů U Profily U, UE, UPE - rozměr a viz tabulky

τ xy

Qf

Vz .S y

Vz .h0 .s = = I y .t f 2. I y

τ xy

τ xz A

y

T

Qw

h0 s

Vz Qf

z

a

b0

Pásnice

τ xy

b0 b0 Vz .t f .b02 .h0 S = t .s. h0 = 1 .t .h .s Vz .h0 Vz .h0 ⎡ s 2 ⎤ y f f 0 Q f = ∫ τ xy .t f .ds = .t f . ∫ s.ds = .t f .⎢ ⎥ = 2 2 2.I y 2.I y 4.I y ⎣ 2 ⎦0 0 0 b0


38 / 73

Střed smyku profilů U Qf

τ xy

M

τ xz y

A

T

Qw

h0 s

Vz Qf

z

a

τ xy

b0

Stojina

[

(

Vz τ xz = . 4.t f .b0 .h0 + t w . h02 − 4 z 2 8.I y .t w

)]

Qw = Vz ... viz I profil

Statické momenty k bodu M Vz .a = Q f .h0


→

a=

Q f .h0 Vz

=

t f .b02 .h02 4. I y 39 / 73

Složené nosníky

a

b

V ≠0 a

b

Q = b( z ).τ zx = b( z ). * x

Vz .S y I y .b( z )

=

Vz .S y Iy

[kN/m]

↓

Smyková síla na 1 připojovaný prostředek a

b

Qx = Qx* .a =

a svary, šrouby, svorníky Složené nosníky

Vz .S y Iy

.a [kN] 40 / 73

Příklad Zadání: Smyková síla připadající na 1 šroub Vstupní údaje:

U160

A(U160) = 2400mm I y = 73,482.106 mm4

2

Průřez

Těžiště průřezu viz obr. Účinek zatížení Vz = 200kN

18,4mm

72,6mm

+y

T

Vzdálenost mezi šrouby a = 0,2m I240

Řešení: S y = 2400.(72,6 + 18,4) = 218,4.103 mm3 Qx =

Vz .S y Iy

.a =

Složené nosníky

3

−6

200.10 .218,4.10 −3 −3 . 200 . 10 . 10 = 118,89kN −6 73,482.10

+z Na 1 šroub:

Qx

2

= 59,44kN 41 / 73

Ocelobetonová deska pro patrové garáže

Detail spřažení Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

42 / 73

Integrovaný dům České spořitelny, Ostrava - Dubina

Ocelobetonová rámová konstrukce

Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

Foto: Doc. Ing. Miloš Rieger, Ph.D.

43 / 73


Ocelobetonová rámová konstrukce Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

Foto: Doc. Ing. Miloš Rieger, Ph.D. 44 / 73


Ocelobetonová rámová konstrukce Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu



Detail spřahovacích zarážek Foto: Doc. Ing. Miloš Rieger, Ph.D. Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

46 / 73

Silniční most přes Ohři, Epiag - Loket

Ocelobetonový spřažený most s půdorysně zakřivenými hlavními nosníky Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

47 / 73


Ocelobetonový spřažený most s půdorysně zakřivenými hlavními nosníky Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

48 / 73


Detail spřahovacích trnů Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

49 / 73

Silniční most přes železniční trať, Malešice-Vršovice

Půdorys

Příčný řez Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

50 / 73


Ocelová část spřaženého mostu Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu



Ocelová část spřaženého mostu Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu






Detail ocelové části spřaženého mostu Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu


Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka

Montáž ocelové části spřaženého mostu Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

55 / 73


Montáž ocelové části spřaženého mostu Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

56 / 73

Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka Montáž ocelové části spřaženého mostu


57 / 73

Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka Detail spřahovacích trnů


58 / 73

Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka Detail spřahovacích trnů


59 / 73



60 / 73


Detail spřahovacích trnů foto: Ing. Karel Kubečka, Ph.D. Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

61 / 73



62 / 73



63 / 73

Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka Betonáž mostovky foto: Ing. Karel Kubečka, Ph.D.


64 / 73

Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka Betonáž mostovky


65 / 73

Polanecká estakáda, dálnice D47, Polanka Betonáž mostovky foto: Ing. Karel Kubečka, Ph.D.


66 / 73


Příprava bednění Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

67 / 73


Příprava bednění Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

68 / 73


Betonáž mostovky Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

69 / 73



70 / 73



71 / 73


Betonáž mostovky Ukázky konstrukcí se spolupůsobením oceli a betonu

72 / 73

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Výpočet smykových napětí za ohybu obdélníkového průřezu 2. Výpočet smykových napětí za ohybu tenkostěnných průřezů, střed smyku 3. Návrh a posudek prutů namáhaných smykem za ohybu 4. Složené nosníky

Podklady ke zkoušce

73 / 73

Téma 7 Smyková napětí v ohýbaných nosnících

Recommend Documents