Téma 4 Výpočet přímého nosníku

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Téma 4 Výpočet přímého nosníku • Výpočet nosníku v osové úloze

• Výpočet nosníku v krutové úloze

• Výpočet nosníku v příčné úloze ve svislé a vodorovné hlavní rovině

• Výpočet nosníku v rovinné úloze • Výpočet nosníku v prostorové úloze

Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Výpočet nosníku v prostorové úloze Staticky určitý nosník v prostoru musí být podepřen nv=6 jednoduchými vnějšími vazbami, které musí být správně uspořádány, aby nevznikl výjimkový případ podepření. Přímý nosník musí být podepřen a může být zatížen obecně v prostoru – tzv. prostorová úloha. Prostorové zatížení lze rozložit: a) silové složky působící v ose nosníku b) silové složky kolmé k ose nosníku a momenty v 1.hlavní rovině prutu c) silové složky kolmé k ose nosníku a momenty ve 2.hlavní rovině prutu d) momenty v rovinách kolmých k ose prutu

(a)

(b) Staticky určité nosníky v prostorové úloze Obr. 7.51. / str. 123

Výpočet nosníku v prostorové úloze

2 / 110

Výpočet přímého nosníku Výpočet prostorově zatíženého a prostorově podepřeného nosníku lze zjednodušit rozložením na 4 jednodušší úlohy: a) osová úloha (namáhání tahem nebo tlakem) b) příčná úloha v 1.hlavní rovině (příčný ohyb v 1.hlavní rovině) c) příčná úloha ve 2.hlavní rovině (příčný ohyb ve 2.hlavní rovině) d) krutová úloha (namáhání kroucením) Postup výpočtu má dvě hlavní etapy: a) výpočet složek reakcí ve vnějších vazbách b) výpočet vnitřních sil nosníku

(a)

(b) Staticky určité nosníky v prostorové úloze Obr. 7.51. / str. 123

Postup při výpočtu přímého nosníku

3 / 110

Výpočet nosníku v osové úloze Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy: − Rax + R = 0 ⇒ Rax − R = 0 ⇒ Rax = R

Jediná složka vnitřních sil – normálová síla. Normálová síla N osově namáhaného nosníku v zadaném průřezu je rovna výslednici všech sil, které na nosník působí po jedné straně zadaného průřezu. (a)

(c)

(b)

(d)

Výpočet reakce a normálové síly v osové úloze Obr. 7.1. / str. 90 Výpočet nosníku v osové úloze

4 / 110

Normálová síla N Normálová síla je kladná (tahová), máli výslednice smysl od zadaného průřezu (tj. při postupu z levé strany doleva, při postupu z pravé strany doprava). V opačném případě je normálová síla záporná (tlaková).

N a

b

+ tah

Rax N

F N

a

b

Rax

Kladný směr normálové složky vnitřních sil Výpočet nosníku v osové úloze

N

F

- tlak +

N

N

osa nosníku

x 5 / 110

Příklad 4.1 Zadání: určit reakci Rax a normálovou sílu v průřezu c

(a)

(b)

(c) Zadání a řešení příkladu 4.1 Obr. 7.2. / str. 90 Výpočet nosníku v osové úloze

6 / 110

Příklad 4.2 Zadání: sestrojit průběh normálových sil N Normálová síla v průřezu, kde působí bodová (osamělá) osová síla, je určena ve dvou soumezných průřezech zleva a zprava od působiště bodové síly. Obě normálové síly se liší o hodnotu bodové síly, normálová síla se mění skokem. Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu (grafu).

(a)

(b)

Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91 Výpočet nosníku v osové úloze

7 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků Při působení spojitého osového zatížení se reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie). Obdobně se při výpočtu normálové síly určí dílčí výslednice spojitého zatížení vlevo nebo vpravo od uvažovaného průřezu. n = konst. Rax

b

a

x

N = n.l l

Výpočet reakcí

Rax = N = n.l (→) Normálová síla

N (Lx ) = − Rax + n.x = − n.l + n.x = n.( x − l )

N

-

− n.l Výpočet nosníku v osové úloze

N (a ) = − Rax = − n.l

n.( x − l ) 8 / 110

Příklad 4.3 Zadání: určit velikost reakce Rax a velikost normálové síly v soumezných průřezech zleva a zprava od průřezu c.

Rax = 6.4 + 16 = 40kN N (c1) = −40 + 6.2 = −28kN N (c 2 ) = −2.6 = −12kN

Zadání příkladu 4.3 Obr. 7.4. / str. 92 Výpočet nosníku v osové úloze

9 / 110

Výpočet normálových sil a) rovnoměrné zatížení n = konst.

Rx = n.x

b) trojúhelníkové zatížení (b je délka části cd)

x nd , nx = nd . b

nd .x 2 1 Rx = .x.nx = 2.b 2

N ( x ) = N (c ) − n.x nd .x 2 N ( x ) = N (c ) − 2.b

c) lichoběžníkové zatížení – složené z rovnoběžného a trojúhelníkového

(a)

(b)

(c)

Průběhy normálových sil pod spojitým osovým zatížením Obr. 7.5. / str. 92 Výpočet nosníku v osové úloze

10 / 110

Příklad 4.4 Zadání: sestrojit průběh normálových sil N

(a)

(b) Řešení příkladu 4.4 Obr. 7.6. / str. 93 Výpočet nosníku v osové úloze

11 / 110

Příklad 4.5 Zadání: obdélníkový průřez s lineárně proměnnou výškou průřezu, měrná hmotnost staviva ρ = 2400 kg/m3, zatížení pouze vlastní tíhou.

(a)

(b)

(c)

Předmět výpočtu: reakce sloupu a průběh normálových sil.

Zadání a řešení příkladu 4.5 Obr. 7.7. / str. 94 Výpočet nosníku v osové úloze

12 / 110

Nosník v osové úloze - sloup

Odstupňovaný průřez sloupu Richard Daley Center v Chicagu z roku 1965 Výpočet nosníku v osové úloze

13 / 110

Nosník v osové úloze - sloup

Odstupňovaný průřez sloupu Richard Daley Center v Chicagu z roku 1965 Výpočet nosníku v osové úloze

14 / 110

Výpočet nosníku v příčné úloze

Zatížení libovolným příčným zatížením s trojím způsobem podepření (nv=2): a) konzola posuvně vetknutá vlevo nebo vpravo b) prostý nosník podepřený na obou koncích vazbami proti svislému posunu c) prostý nosník s převislými konci

(a)

(c)

(e)

(b)

(d)

(f) Druhy přímých nosníků v příčné úloze Obr. 7.9. / str. 95

Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

15 / 110

Výpočet nosníku v příčné úloze Při působení spojitého zatížení se reakce určí pomocí výslednice celého spojitého zatížení – plocha zatěžovacího obrazce (obecně integrace, u jednoduchých obrazců elementární vzorce geometrie), která má působiště v těžišti zatěžovacího obrazce.

(a)

(b)

(c)

(d)

Náhradní síly za spojitá zatížení v příčné úloze přímého prutu Obr. 7.10. / str. 96 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

16 / 110

Reakce konzoly posuvně vetknuté vlevo F2

Ma

F1

a 1

2

b

l

Ra

Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1.

Rz = 0

2.

∑M

ia

⇒ Ra =0

⇒ Ma

Kladné znaménko vypočtené složky reakce potvrzuje její předpokládaný smysl, záporné znaménko udává, že skutečný smysl složky reakce je opačný, než byl předpokládán. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

17 / 110

Reakce konzoly posuvně vetknuté vlevo


Rz = 0

2.

∑M

(a)

ia

Ra − ∑ Pi = 0 ⇒ Ra = ∑ Pi =0

M a + ∑ Pi . pi − M M = 0 ⇒ M a = −∑ Pi . pi + M M

(b)

(c)

Složky reakce konzoly vlevo vetknuté a schéma upraveného zatížení Obr. 7.11. / str. 96 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

18 / 110

Příklad 4.6 Zadání: určit složky reakcí pro čtyři zatěžovací stavy téže konzoly

(a)

(c)

(b)

(d)

Zadání a řešení příkladu 4.6 Obr. 7.12. / str. 97 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

19 / 110

Reakce konzoly posuvně vetknuté vpravo F2

F1

Mb b

a

2

1

l

Rb


Rz = 0

2.

∑M

ib

⇒ Rb =0

⇒ Mb


20 / 110

Reakce konzoly posuvně vetknuté vpravo

Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy:

(a)

1.

Rz = 0

2.

∑M

ib

Rb − ∑ Pi = 0 ⇒ Rb = ∑ Pi =0

M b − ∑ Pi . pi − M M = 0 ⇒ M b = ∑ Pi . pi + M M

(b)

(c)

Složky reakce konzoly vpravo vetknuté a schéma upraveného zatížení Obr. 7.13. / str. 97 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

21 / 110

Příklad 4.7 Zadání: určit složky reakcí pro uvedený zatěžovací stav


22 / 110

Ukázky konzolových nosníků

Chodníková konzola mostní konstrukce Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

23 / 110


Chodníková konzola mostní konstrukce Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

24 / 110


Betonový skelet a ocelová kopule pavilonu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

25 / 110


Konstrukce schodiště pavilonu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

26 / 110


Konstrukce schodiště pavilonu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

27 / 110


Konzolový nosník konstrukce schodiště pavilonu C, Brněnské výstaviště Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

28 / 110


Konzolový nosník podepření technologického mostu dolu ČSA v Karviné Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

29 / 110


Nosná konstrukce plošiny, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

30 / 110


Nosná konstrukce plošiny, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

31 / 110

Reakce prostého nosníku bez převislých konců F1

F2 b

a

1

Ra

2

Rb

l

Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1. 2.

∑M ∑M

ia

ib

=0

=0

⇒ Rb ⇒ Ra

3. Rz = 0

kontrola


32 / 110

Reakce prostého nosníku bez převislých konců Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy: 1 (∑ Pi . pi′ + M M ) l 1 = 0 ⇒ Rb = (∑ Pi . pi − M M ) l

1.

∑ M ib = 0

Ra .l − ∑ Pi . pi′ − M M = 0 ⇒ Ra =

2.

∑M

Rb .l − ∑ Pi . pi + M M

ia

=0

Kontrola: 3.

Rz = 0 ⇒ Ra + Rb = ∑ Pi

(a)

(b)

(c)

Reakce prostého nosníku a schéma upraveného zatížení Obr. 7.15. / str. 98 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

33 / 110

Příklad 4.8 Zadání: určit složky reakcí pro dva zatěžovací stavy téhož nosníku

(a)

(b)


34 / 110

Ukázky prostých nosníků

Prosté nosníky železobetonového skeletu, Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

35 / 110

Ukázky prostých nosníků

Prosté nosníky železobetonového skeletu, Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

36 / 110

Reakce prostého nosníku s převislými konci Výpočet reakcí pomocí podmínek rovnováhy stejný jako u nosníku bez převislých konců: 1. 2.

∑M ∑M

ia

ib

=0

⇒ Rb

=0

⇒ Ra

(a)

(b) 3. Rz = 0

kontrola

Kladná síla na převislém konci způsobuje k podpoře moment opačného smyslu než kladná síla v poli.

Ramena sil v upraveném zatížení Obr. 7.18. / str. 100


37 / 110

Příklad 4.9 Zadání: určit složky reakcí

(a)

(b)


38 / 110

Vnitřní síly přímého nosníku v příčné úloze V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment. Posouvající síla se určí s využitím silové podmínky rovnováhy (ve svislém směru) jedné z obou částí, k výpočtu ohybového momentu se využije momentová podmínka rovnováhy jedné z obou částí. V praktických případech se vybere část s menším počtem vnějších sil – jednodušší výpočet.

(a)

(b) Vnitřní síly v příčné úloze Obr. 7.20. / str. 101 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

39 / 110

Posouvající síla V Posouvající sílu v zadaném průřezu c lze vypočítat jako algebraický součet všech svislých sil po jedné straně průřezu. Postupuje-li se z levé strany, do součtu se zahrnou kladně síly působící zdola nahoru, záporně síly působící shora dolů. Při postupu z pravé strany je to naopak: kladné jsou síly působící shora dolů, záporné směřují zdola nahoru.

F

+ V

V

V

V

a

b

Ra

Rb V

+ osa nosníku

Kladné směry kolmé složky vnitřních sil


x

V 40 / 110

Ohybový moment M Ohybový moment v zadaném průřezu c lze vypočítat jako algebraický součet statických momentů k bodu c všech sil a momentů působících po jedné straně průřezu. Postupuje-li se z levé strany, do součtu se zahrnou kladně momenty působící ve smyslu chodu hodinových ručiček, záporně momenty otáčející proti ručičkám. Při postupu z pravé strany je to naopak: kladné jsou momenty proti ručičkám, záporné po ručičkách.

F M

M tlak

b

a

+

tah

Ra

Rb tah a

Ra

b

tlak M

+

M

F

-

M Rb M osa nosníku

Kladné směry momentové složky vnitřních sil


x 41 / 110

Příklad 4.10 Zadání: určit složky reakcí na prostém nosníku s pravým převislým koncem a vnitřní síly v bodu c. Reakce: 1 ⎛ − 16 + 10.7,2.1,4 + ⎞ ⎟ = 20,16kN ↑ Ra = .⎜⎜ 5 ⎝ + 30.2 − 20.2,2 ⎟⎠

()

1 ⎛ + 16 + 10.7,2.3,6 + ⎞ ⎟ = 101,84kN (↑ ) Rb = .⎜⎜ 5 ⎝ + 30.3 + 20.7,2 ⎟⎠ (a) Posouvající síla zleva: V(c1) = 20,16 − 10.3 = −9,84kN V(c 2 ) = V(c1) − 30 = −39,84kN Posouvající síla zprava: V(c 2 ) = 10.4,2 − 101,84 + 20 = −39,84kN Ohybový moment zleva a zprava:

(b)

M (c ) = 20,16.3 + 16 − 10.3.1,5 = 31,48kNm M (c ) = 101,84.2 − 10.4,2.2,1 − 20.4,2 = 31,48kNm Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Zadání příkladu 4.10 Obr. 7.21. / str. 102 42 / 110

Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové úloze

n

x2

x1

N

x N+dN

z dx

x

Rx = 0:

→

-N + (N+dN) + n.dx = 0

dN = −n dx

Rovnováha elementu v osové úloze Obr. 7.8. / str. 94

Výpočet nosníku v osové úloze

43 / 110

Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze dQ = q.dx

-V + (V+dV) + q.dx = 0 →

Σ Mi,x2 = 0:

q

V

Rz = 0:

dV = −q dx

M

M+dM x2

-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0 x

→

dM =V −m dx

dM = V pro m = 0 dx

x1 m z x

dx

V+dV

Schwedlerovy vztahy Johann Wilhelm Schwedler (1823-1894) významný německý inženýr, např. Schwedlerova kupole

Rovnováha elementu v příčné úloze Obr. 7.22. / str. 102


44 / 110

Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze Závěry:

Extrém funkce f(x):

dV = −q = 0 dx

→

Extrém V v průřezu, kde q=0 V ( x ) = − ∫ q ( x )dx + C

dM =V −m = 0 dx

→

df ( x ) =0 dx

1

Extrém M v průřezu, kde V=0, V=m, V mění znaménko M ( x ) = ∫ V ( x )dx + C , m( x) = 0 2

C1, C2 z okrajových podmínek a

a

a

M=0


M=0, V=0

45 / 110

Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze Závěry:

V

derivace

integrace

-q

M Derivačně – integrační schéma Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

46 / 110

Polynom stupně

Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze

1º dV = −q dx

n+2

q=0 2º

1º

0º

3º

2º

1º

dM =V dx

derivace

integrace

n

n+1

q=konst.

M


47 / 110

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil

Závěry: pro m=0:

dV = −q dx

dM =V −m dx

d 2 M dV dm dm q = − = − − dx 2 dx dx dx

dM =V dx

d2M = −q 2 dx

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

48 / 110

Určení extrémních hodnot vnitřních sil Extrém M může vzniknout: a) v podporových bodech b) v působištích osamělých sil (znaménko V se mění skokem) c) pod spojitým zatížením v místě, kde je V=0

+ 0º

1º

V

p

-

+

M

1º

+

p

-

M

V

+ 2º

Mmax

Nebezpečný (kritický) průřez.

Mmax


49 / 110

Určení extrémních hodnot vnitřních sil (a)

(a)

(b)

V( x ) = V(c ) − q.x V(c ) − q.x = 0

x=

V(c ) q

(b) xn =

− qc + qc2 + 4.Q.V(c )

Q=

2.Q

q d − qc 2.b

x 1 V( x ) = V(c ) − qc .xn − .xn .(qd − qc ). n = V(c ) − qc .xn − Q.xn2 = 0 2 b Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Nebezpečný průřez Obr. 7.27. / str. 106 50 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzol a prostých nosníků

Nejjednodušší zatěžovací případy konzoly a prostého nosníku Obr. 7.37. / str. 114


51 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly Výpočet reakcí Mby

F

b

Rbz = F (↑ )

M by = F .l (

)

a

x ∈ 0, l

x

Posouvající síla

l

Rbz

V( Lx) = konst. = − F V(a ) = V( x =0 ) = − F

V

V(b ) = V( x =l ) = − F

-F -F.l

− F.x

M

-

Ohybový moment M (Lx ) = − F .x

M (a ) = M ( x =0 ) = 0 M (b ) = M ( x =l ) = − F .l


52 / 110

Příklad 4.11 Zadání: určit silovou i momentovou složku reakce konzoly, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.


53 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly Výpočet reakcí Mby

M

b

a

x ∈ 0, l

x

Rbz = 0

M by = M (

)

Posouvající síla

l

V( Lx) = 0 V(a ) = V( x =0 ) = l V(b ) = V( x =l ) = 0

0

V

Ohybový moment -M

M

-


M (Lx ) = − M

M (a ) = M ( x =0 ) = − M M (b ) = M ( x = l ) = − M 54 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly Výpočet reakcí

q = konst.

Q = q.l Mby

a b

x

x ∈ 0, l

l Rbz

− q.x

2º q.l 2 − 8

M 0

(

)

V( Lx) = − q.x V(a ) = V( x =0 ) = 0 V(b ) = V( x =l ) = − q.l = − Rbz

-

V

Rbz = Q = q.l (↑ ) l q.l 2 M by = Q. = 2 2 Posouvající síla

-

Ohybový moment x q.x 2 − q.l L M ( x ) = − q.x. = − 2 2 q.l 2 − M (a ) = M ( x =0 ) = 0 2 q.l 2 M (b ) = M ( x = l ) = − = − M by 2 q.l 2 M (x = l ) = − 2 8


55 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly Q=

q.x l

q.l 2

q

b

a

2º

M 0

−

(

)

q x .x q.x.x q.x 2 V =− =− =− 2 l .2 2.l V(a ) = V( x =0 ) = 0 q.l V(b ) = V( x =l ) = − = − Rbz 2 q.l V(x = l ) = − 2 8 L (x )

l

V

M by

Posouvající síla

x

0

q.l ( ↑) 2 l q.l 2 = Q. = 3 6

Rbz = Q =

Mby x ∈ 0, l

Výpočet reakcí

−

2

q.l 162

3º

Rbz

-

q.l 8

q.l 2 q.l 2 − 6 −

−

4 .q.l 2 81

-


Ohybový moment q.x 2 x q.x 3 M =− . =− 2.l 3 6.l M (a ) = M ( x =0 ) = 0 q.l 2 M (b ) = M ( x = l ) = − = − M by 6 4 q.l 2 M (x = 2 .l ) = − .q.l 2 M (x = l ) = − 3 3 81 162 L (x)

56 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy konzoly q

Q=

q.l 2

Výpočet reakcí

q.(l − x ) l

Mby

2 q.l 2 q.l ( Rbz = Q = ↑ ) M by = Q. .l = 3 3 2

Posouvající síla

b a

x

x ∈ 0, l

Rbz

0

-

V

2º

3º

M 0

−

3 − .q.l 8 4 − .q.l 2 81

−

q.l 2

q.l 2 − 3

14 2 .q.l 81

q x .(l − x ) q.l =− + 2 2 q.(l − x )( . l − x ) q.x.( x − 2.l ) + = l .2 2.l 3 V(x = l ) = − .q.l V(a ) = V( x =0 ) = 0 2 8 q.l V(b ) = V( x =l ) = − = − Rbz 2 V( Px) = − Rbz +

l-x l

(

-


Ohybový moment

q.(l − x ) (l − x ) M = + Rbz .(l − x ) − M by − = . l .2 3 3 q.l q.l 2 q.(l − x ) q.x 2 .(x − 3.l ) = + .(l − x ) − − = 2 3 6.l 6.l 2

P (x)

q.l 2 M (b ) = − = − M by M (a ) = 0 3 4 14 M (x = l ) = − .q.l 2 M (x = 2 .l ) = − .q.l 2 3 3 81 81 57 / 110

)

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků Výpočet reakcí

F a

x ∈ 0, l

b 1

x c

Raz F.d l

V

Raz =

F .d ( ↑) l

Rbz =

F .c (↑) l

Posouvající síla d Rbz

l

+

x ∈ 0, c

V( Lx) = Raz V(a ) = V( x =0 ) = Raz

x ∈ c, l

V( Lx) = Raz − F V(b ) = V( x =l ) = Raz − F = − Rbz

Ohybový moment

-

F.c − l

x ∈ 0, c

M (1) = M ( x =c ) = Raz .c

x ∈ c, l

M

M (Lx ) = Raz .x M (a ) = M ( x =0 ) = 0

+

M (Lx ) = Raz .x − F .( x − c )

M (b ) = M ( x =l ) = 0

Raz .c = Rbz .d Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

M (1) = M ( x =c ) = Rbz .d

M (Px ) = Rbz .(l − x ) 58 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků Výpočet reakcí F

b

a

x ∈ 0, l

x

1

c

d

c

l

+

Rbz

F

+ F.c

V(a ) = Raz

x ∈ 0, c

V( Lx) = Raz

x ∈ c, c + d

V( Lx) = Raz − F = 0

x ∈ c + d,l

V( Lx) = Raz − 2.F = − Rbz V(b ) = − Rbz

−F

M

Rbz = F (↑ )

Posouvající síla

2

Raz

V

Raz = F (↑ )

F

-

Ohybový moment M (a ) = 0

x ∈ 0, c

M (Lx ) = Raz .x

x ∈ c, c + d

M (Lx ) = Raz .x − F .( x − c ) = F .c

x ∈ c + d,l

M (Px ) = Rbz .(l − x ) M (b ) = 0


59 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků Výpočet reakcí F a

x ∈ 0, l

x

1

c

Raz = b

2

c

+

V −

M

F .d (↓) l

V( Lx) = Raz

V(a ) = Raz

⎛d ⎞ x ∈ c, c + d V( Lx) = Raz − F = F .⎜ − 1⎟ ⎠ ⎝l L x ∈ c + d , l V( x ) = Raz V(b ) = Raz

F .c.d l

M (a ) = 0

x ∈ 0, c

M (Lx ) = Raz .x

x ∈ c, c + d

M (Lx ) = Raz .x − F .( x − c ) = =

+

Rbz =

Ohybový moment

-

⎛d ⎞ F .⎜ −1⎟ ⎝l ⎠

x ∈ 0, c

Rbz F.d l

+

F .d (↑) l

Posouvající síla

d l

Raz F.d l

F

x ∈ c + d,l F .c.d F .c.d M (2 ) = M (Px =c + d ) = − M (1) = M ( x =c ) = l l Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

F .(d .x − x.l + c.l ) l

M (Px ) = − Rbz .(l − x ) M (b ) = 0 60 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků M b

a

1

c Raz

V −

d Rbz

l

M l

−

M .c l

x ∈ 0, c M (Lx ) = − Raz .x = −

M

0

M .d l

+

Výpočet reakcí M M ( (↑) Raz = ↓ ) Rbz = l l Posouvající síla M V( Lx) = konst. = − Raz = − l M V(a ) = V( x =0 ) = − l M V(b ) = V( x =l ) = − l Ohybový moment

x ∈ c, l

M (Lx ) = − Raz .x + M =

M .(l − x ) l

M ( x =c1) = −

M .c l

M .d l

0


M .x l

M ( x =c 2 ) =

61 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků Výpočet reakcí

Q = q.l

q = konst.

Raz = a

b

l

Raz

Rbz

q.l 2

+

p

V

−

0

+

M 2º

2

0

Rbz =

Q q.l (↑) = 2 2

Posouvající síla

x

x ∈ 0, l

Q q.l (↑) = 2 2

⎞ ⎛l V( Lx) = Raz − q.x = q.⎜ − x ⎟ 2 ⎠ q.l ⎝ V(a ) = V( x =0 ) = 2 q.l V(b ) = V( x =l ) = − = − Rbz 2 l ⎛l ⎞ q.⎜ − x ⎟ = 0 → xmax = 2 ⎝2 ⎠

q.l Ohybový moment 2 2 M L = R .x − q.x = q . l.x − x 2 (x) az 2 2

q.l 8 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

(

M (a ) = M ( x =0 ) = 0

)

M (b ) = M ( x = l ) = 0

q.l 2 M (x = l ) = M ( xmax ) = 2 8 62 / 110

Momentové zatížení (a)

(b)

Bodové a rovnoměrné momentové zatížení Obr. 7.30. / str. 109 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

63 / 110

Příklad 4.13 Zadání: pro oba zatěžovací stavy (liší se pouze velikostí osamělé síly) stejného prostého nosníku určit reakce, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.

(a)

(b)


64 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků q

q.l Q= 2

q.x l

Raz =

a

x

L (x )

V

x ∈ 0, l

Rbz

l q.l 24

+

−

q.l 3

0

0 4 .q.l 2 81

+

(

q x .x q.l q.x 2 q = Raz − = − = . l 2 − 3. x 2 2 6 2.l 6.l q.l V(a ) = V( x =0 ) = q.l 6 V(x = l ) = 2 24 q.l V(b ) = V( x =l ) = − = − Rbz 3

(

-

3º

2 q.l (↑) Rbz = .Q = 3 3

)

)

3 q 2 .l =& 0,577350.l . l − 3.x 2 = 0 → xmax = 3 6.l

2º p

V

M

Q q.l = (↑) 3 6

Posouvající síla b

Raz q.l 6

Výpočet reakcí

5 .q.l 2 81

3 2 .q.l 27 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

Ohybový moment

q x .x x q.l.x q.x 3 M = Raz .x − − = . = 2 3 6 6.l q.x 2 = . l − x2 4 M (x = l ) = .q.l 2 6.l L (x)

(

)

81 5 M (x = 2 .l ) = .q.l 2 3 81 3

M ( xmax ) =

3 2 .q.l 27

65 / 110

Příklad 4.14 Zadání: určit reakce prostého nosníku, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.


66 / 110

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků q

q.l Q= 2

Výpočet reakcí 2 q.l (↑) Raz = .Q = 3 3

q.(l − x ) l

x ∈ 0, l q.l 3

(

l-x Rbz

l

(

+

V

p

-

q.l − 24

0

−

5 .q.l 2 81

3 2 .q.l 27

)

q . 3.x 2 − 6.l.x + 2.l 2 = 0 6.l ⎛ 3⎞ ⎟ =& 0,422649.l xmax = l.⎜⎜1 − ⎟ 3 ⎝ ⎠

q.l 6 Ohybový moment

0

+

M

q x .(l − x ) q.l =− + 2 6 q.(l − x )( . l − x) q + = . 3.x 2 − 6.l.x + 2.l 2 l.2 q.l 6.l V(a ) = V( x =0 ) = q.l 3 V(x = l ) = − q.l 2 24 V(b ) = V( x =l ) = − = − Rbz 6

V( Px) = − Rbz +

b

Raz

Q q.l = (↑) 3 6

Posouvající síla

a

x

Rbz =

4 .q.l 2 81


q.(l − x ) (l − x ) . M = + Rbz .(l − x ) − = 2.l 3 3 q.l q.(l − x ) q.x = + .(l − x ) − = .(x − l )( . x − 2.l ) 6 6.l 6.l 3 2 M (Pxmax ) = .q.l 27 2

P (x)

67 / 110

)

Nejjednodušší zatěžovací stavy prostých nosníků m = konst. M = m.l b

a

x Raz

V

l

Rbz

Výpočet reakcí M Raz = = m(↓ ) l M Rbz = = m(↑ ) l Posouvající síla V( Lx) = konst. = − Raz = − m

-

V(a ) = V( x =0 ) = − m

−m

V(b ) = V( x =l ) = − m

Ohybový moment

M

M (Lx ) = − Raz .x + m.x = − m.x + m.x = 0 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

68 / 110

Prostý nosník s převislými konci F1

F2

F4

F3 b

a 1

2

l1

3

4

l2 Raz

l3 Rbz

Průběhy na převislých koncích stejné jako: F4

F1 a 1


b 4

69 / 110

Příklad 4.12 Zadání: určit obě reakce nosníku s převislým koncem vpravo, sestrojit průběhy posouvajících sil a ohybových momentů a určit extrémní hodnoty vnitřních sil.


70 / 110

Prostý nosník s převislými konci

!!! Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

71 / 110

Prostý nosník s převislými konci Spirol 165

Spirol 300


72 / 110

Ukázka konstrukce s převislými konci

Nosná konstrukce střechy Fakultní dětské nemocnice v Černých Polích, Brno, projekt OKM Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

73 / 110


Nosná konstrukce střechy z lepeného lamelového dřeva, Štýrsko v Rakousku, foto: Doc. Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

74 / 110


Nosná konstrukce střechy z lepeného lamelového dřeva, Štýrsko v Rakousku, foto: Doc. Ing. Antonín Lokaj, Ph.D. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

75 / 110


Převislé konce železobetonového skeletu, supermarket Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

76 / 110


Převislé konce železobetonového skeletu, supermarket Interspar, Ostrava-Poruba Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)

77 / 110

Výpočet nosníku v příčné úloze (ve vodorovné hlavní rovině xy) Řešení: Obraz nosníku i se zatížením se otočí o 90o kolem osy x tak, že kladný smysl osy y se ztotožní s kladným smyslem osy z. Lze pak řešit stejně jako nosník ve svislé rovině xz. Po vyřešení se vše pootočí zpět do vodorovné roviny xy.

Řešení nosníku v hlavní rovině xy Obr. 7.38. / str. 114 Výpočet nosníku v příčné úloze (ve vodorovné hlavní rovině xy)

78 / 110

Výpočet nosníku v krutové úloze Jedna vnější vazba – jediná složka reakce (nv = 1) z podmínky rovnováhy: Ta − TR = 0 ⇒ Ta = TR

Jediná složka vnitřních sil – kroutící moment T (torze). Kladný směr při pohledu proti kladnému smyslu osy x se snaží prut otáčet proti směru hodinových ručiček (proti-proti, levotočivé kroucení). T(c ) = Ta − TR1

T(c ) = TR 2

(a)

(c)

(b)

(d)

Výpočet momentové reakce a kroutícího momentu v krutové úloze Obr. 7.39. / str. 115 Výpočet nosníku v krutové úloze

79 / 110

Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v krutové úloze Kroutící moment T krutově namáhaného nosníku v zadaném průřezu je roven algebraickému součtu všech krutových (zkrucujících) momentů, které na nosník působí po jedné straně zadaného průřezu. Postupujeme-li z levé strany, zahrnujeme do součtu kladně ty momenty, které při pohledu proti kladnému smyslu osy x otáčejí po ručičkách, záporně ty momenty, které otáčejí proti ručičkám. Při postupu z pravé strany je to naopak: kladně přispívají momenty otáčející (při pohledu proti kladnému smyslu osy x) proti ručičkám, záporně momenty otáčející po ručičkách.

Diferenciální podmínka rovnováhy: TR = 0:

→

-T + (T+dT) + t.dx = 0

dT = −t dx

Obdoba osové úlohy

Rovnováha elementu v krutové úloze Obr. 7.40. / str. 116

Výpočet nosníku v krutové úloze

80 / 110

Příklad 4.17 Zadání: určit momentovou reakci Ta nosníku v krutové úloze, sestrojit průběh kroutících momentů T a jejich extrémy

(a)

(b)

Zadání a řešení příkladu 4.17 Obr. 7.41. / str. 116 Výpočet nosníku v krutové úloze

81 / 110

Vodorovný prostý nosník se šikmým zatížením V rovinné úloze má nepodepřený nosník nv=3, musí být podepřen třemi jednoduchými vnějšími vazbami. Vodorovný prostý nosník se šikmým zatížením má vnější vazby rovnoběžné se souřadnicovými osami x, z, zatížen obecně dle obr. Řešení: Veškerá šikmá zatížení lze rozložit na složku svislou a vodorovnou: Px = P. cos α Pz = P. sin α q z = q. sin β

q x = q. cos β

(a)

(b)

Důsledek: Úloha se rozpadne na dvě (c) samostatné – příčnou a osovou. Rozpad rovinné úlohy prostého nosníku na příčnou a osovou Obr. 7.42. / str. 117 Výpočet nosníku v rovinné úloze

82 / 110

Vodorovná konzola se šikmým zatížením Pro rozklad zatížení a rozpad rovinné úlohy na příčnou a osovou platí stejné pravidla jako pro prostý nosník.

(a)

(b)

(c) Rozpad rovinné úlohy konzoly na příčnou a osovou Obr. 7.43. / str. 117 Výpočet nosníku v rovinné úloze

83 / 110

Příklad 4.18 Zadání: určit reakce a průběhy vnitřních sil na prostém nosníku s převislým koncem vlevo s využitím rozkladu rovinné úlohy na příčnou a osovou. Řešení: a) rozklad šikmého rovnoměrného zatížení na svislou a vodorovnou složku q z = 8. sin 60

o

q x = 8. cos 60

o

b) určit reakce dle předchozích postupů pro příčnou a osovou úlohu c) stanovit průběhy vnitřních sil odpovídající příčné a osové úloze

(a) (b) (c) (d) (e) (f) Zadání a řešení příkladu 4.18 Obr. 7.44. / str. 118

Výpočet nosníku v rovinné úloze

84 / 110

Vodorovný prostý nosník se šikmým zatížením V praktických aplikacích je nosník ve stavební konstrukci umístěn šikmo (viz obrázek). Pro usnadnění výpočtu lze i se zatížením a podepřením pootočit do vodorovného směru.

Nosník umístěný v konstrukci šikmo Obr. 7.45. / str. 119 Výpočet nosníku v rovinné úloze

85 / 110

Vodorovný prostý nosník se šikmým podepřením Rozložení šikmé reakce na svislou a vodorovnou složku: Rbz = Rbγ . cos γ Rbx = Rbγ . sin γ

Postup řešení: a)

∑M

b)

∑ M ia = 0 ⇒ Rbz ⇒ Rbγ =

c)

Rz = 0

d)

Rbx = Rbγ . sin γ

e)

Rx = 0

ib

= 0 ⇒ Raz

Rbz cos γ

(a)

kontrola

⇒ Rax

f) Dále řešení příčné a osové úlohy Výpočet nosníku v rovinné úloze

(b) Nosník se šikmou vazbou Obr. 7.46. / str. 119 86 / 110

Šikmý nosník - zatížení větrem Spojité zatížení působící kolmo na nosník

q = konst.

b

l

l . sin γ

Rbz

γ

Rax a

l . cos γ

Raz Výpočet nosníku v rovinné úloze

87 / 110

Zatížení větrem – charakteristická hodnota


88 / 110

Zatížení větrem – charakteristická hodnota


89 / 110

Příklad 4.19 Zadání: určit reakce a provést rozklad úlohy na příčnou a osovou. Řešení: a) rozklad šikmé síly na svislou a vodorovnou složku b) určit reakce dle předchozího postupu c) stanovit průběhy vnitřních sil odpovídající příčné a osové úloze

(a)

(b) (c) (d)

Zadání a řešení příkladu 4.19 Obr. 7.47. / str. 120 Výpočet nosníku v rovinné úloze

90 / 110

Šikmý nosník Geometrie: nosník leží v souřadnicové rovině xz skloněn oproti vodorovné ose x pod úhlem γ , šikmá délka l , vodorovný průmět délky l = l . cos γ Podepření: na obou koncích podepření třemi jednoduchými vazbami proti posunům rovnoběžnými s osami x a z. Zatížení: předpoklad pouze svislého zatížení, vodorovná složka reakce tedy nulová a platí nv=2.

Šikmý nosník se svislým zatížením Obr. 7.48. / str. 120 Výpočet nosníku v rovinné úloze

91 / 110

Šikmý nosník osa níku nos

M

+ V

N M

b

γ x

F2

V

N 2

F1 Rax=0 a

Raz


1

l

Rbz

l . sin γ

γ l . cos γ

92 / 110

Šikmý nosník – zatížení vlastní tíhou Spojité zatížení působící svisle podél střednice nosníku – na jednotku šikmé délky

q = konst.[kN/m šik ] b

l

Rax=0

Rbz

l . sin γ

γ

a

Raz


l . cos γ

93 / 110

Šikmý nosník – zatížení vlastní tíhou Rozklad zatížení na složku rovnoběžnou s osou nosníku a kolmou (příčnou) k ose nosníku q = konst.[kN/m šik ]

γ q′

γ q ′′

γ q ′ = q . cos γ Výpočet nosníku v rovinné úloze

q ′′ = q . sin γ 94 / 110

Šikmý nosník – zatížení sněhem Spojité zatížení působící na vodorovný (půdorysný) průmět nosníku

q = konst.[kN/m vod ]

b

l

Rax=0 a

Raz


Rbz

l . sin γ

γ l . cos γ

95 / 110

Zatížení sněhem – charakteristická hodnota


96 / 110

Zatížení sněhem – charakteristická hodnota


97 / 110

Šikmý nosník – úprava zatížení sněhem q.l = q .l

q.l q = → l

nebo

q = q. cos γ

q = konst.[kN/m vod ]

q = konst.[kN/m šik ]

b

l

Rax=0 a

Raz Výpočet nosníku v rovinné úloze

Rbz

l . sin γ

γ l = l . cos γ 98 / 110

Šikmý nosník Postup řešení: a)

∑M

ia

=0

⇒ Rbz

b)

∑M

ib

=0

⇒ Raz

c)

Rz = 0

kontrola

d) Je-li zadáno q, pak

q = q. cos γ

e) Rozklad reakcí na příčné a osové složky Ra′′ = Raz . sin γ Rb′′ = Rbz . sin γ Ra′ = Raz . cos γ

Rb′ = Rbz . cos γ

f) Rozklad zatížení na příčné a osové složky q ′ = q . cos γ

q ′′ = q . sin γ

P′ = P. cos γ

P′′ = P. sin γ

Dva způsoby grafického znázornění intenzity spojitého zatížení na šikmém nosníku g) Dále řešení příčné a osové úlohy Obr. 7.49. / str. 121


99 / 110

Příklad 4.20 Zadání: pro oba zatěžovací stavy téhož šikmého nosníku určit svislé reakce, rozložit rovinnou úlohu na příčnou a osovou a stanovit průběhy vnitřních sil.

(a)

(a)

(b)

(b)

(c)

Zadání a řešení příkladu 4.20

(c)

(d)

(d)

(e)

(e) (f)

(f)

Obr. 7.50. / str. 122 Výpočet nosníku v rovinné úloze

100 / 110

Ukázky nosníků v rovinné úloze

Nosná konstrukce střechy základní školy, Brumov – Bylnice, projekt OKM Výpočet nosníku v rovinné úloze

101 / 110



102 / 110



103 / 110


Nosná konstrukce střechy kostelu sv.Michala, Praha, projekt OKM Výpočet nosníku v rovinné úloze

104 / 110


Nosná konstrukce radnice Ostrava – Krásné pole, projekt OKM Výpočet nosníku v rovinné úloze

105 / 110


Konstrukce ocelových světlíků, Ikea-Avion Shopping Park, Ostrava-Zábřeh Výpočet nosníku v rovinné úloze

106 / 110



107 / 110



108 / 110



109 / 110

Okruhy problémů k ústní části zkoušky 1. Výpočet nosníku v osové úloze 2. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz) 3. Výpočet nosníku v příčné úloze (ve vodorovné hlavní rovině xy) 4. Výpočet nosníku v krutové úloze 5. Výpočet nosníku v rovinné úloze - vodorovný nosník se šikmým zatížením 6. Výpočet nosníku v rovinné úloze - vodorovný nosník se šikmým podepřením 7. Výpočet nosníku v rovinné úloze - šikmý nosník se svislým zatížením 8. Výpočet nosníku v prostorové úloze 9. Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerova věta, využití Podklady ke zkoušce

110 / 110

Téma 4 Výpočet přímého nosníku

Recommend Documents