Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody

Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody Dlouhodobé nahodilé 0.007

Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník bakalářského studia Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Distribution: Mean Requested: Obtained: Std Requested: Obtained:

Mean Std

Std

0.006

Gumbel Min. EV I 140 141 75.5 73.2

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

-100

0

100

200

300

Osnova přednášky 



Začlenění stratifikovaných a pokročilých simulačních metod do přehledu pravděpodobnostních metod Metoda Latin Hypercube Sampling – LHS  





Podstata metody Aplikace metody v programu FREET 

Zadání náhodných vstupních veličin



Zadání statistické závislosti vstupních veličin



Výpočet simulací



Definice výpočetního modelu



Analýza výsledků simulačního výpočtu

Ukázky výpočtu

Hlavní rysy ostatních typů simulačních metod

Stratifikované a pokročilé simulační metody

1 / 27

Pravděpodobnostní metody 

Simulační metody  Prostá simulace Monte Carlo  Stratifikované simulační techniky  



  

Importance Sampling – IS Adaptive Sampling – AS Directional Sampling – DS Line Sampling – LS

Aproximační metody    



Přehled např. [Novák, 2005]

Pokročilé simulační metody: 



Latin Hypercube Sampling – LHS Stratified Sampling - SC

First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy  Response Surface - RS

Numerické metody 

Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV

Metody pro pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti

2 / 27

Zdokonalené simulační metody 

Klasická simulační technika Monte Carlo se často potýká s problémem malé efektivnosti u složitějších spolehlivostních úloh, u nichž lze provést jen omezený počet simulací.



Další nevýhodou přímé metody Monte Carlo je potřeba velkého množství simulací k odhadu pravděpodobnosti poruchy pf , která je obvykle u řešených úloh velmi malá.



Východiskem jsou zdokonalené simulační metody (stratifikované, pokročilé), které umožňují odhadnout pravděpodobnost poruchy pf s menším počtem simulací.


3 / 27

Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS 

Podobně jako u klasické simulace Monte Carlo je i u metody LHS odhad pravděpodobnosti poruchy pf získán z určitého počtu realizací funkce poruchy G(X) n náhodných veličin X = X1, X2 až Xn.



Definiční obor distribuční funkce F(Xi) každé náhodné veličiny Xi je ale přitom rozdělen na N intervalů (tříd) o stejné 1 pravděpodobnosti: N

Princip LHS: rozdělení definičního oboru distribuční funkce náhodné veličiny Stratifikované a pokročilé simulační metody

4 / 27






Reprezentativní hodnoty dané veličiny jsou při simulaci vybírány na základě náhodných permutací celých čísel j = 1, 2, ... , N. Při výpočtu je provedeno právě N simulací, během nichž je každý z intervalů vybrán pouze jednou. Z každého intervalu je vybrána buď jeho střední hodnota, hodnota odpovídající mediánu nebo naprosto náhodně zvolená hodnota, ze které se na základě inverzní distribuční funkce F-1Xi (Xi) určí odpovídající reprezentativní hodnota xi,j náhodné veličiny Xi.


5 / 27


Tímto způsobem lze zajistit, že se při simulacích rovnoměrně pokryje celý rozsah distribuční funkce náhodné veličiny, což vede k uspokojivým odhadům výsledných pravděpodobností při relativně malém počtu simulací.


6 / 27


Při pravděpodobnostních výpočtech metodou LHS je možno zadat statistickou závislost jednotlivých vstupních veličin pomocí korelační matice, která obsahuje korelační koeficienty mezi jednotlivými náhodnými veličinami.



Při výpočtu se pak iteračně (např. metodou simulovaného žíhání) upraví (přeuspořádá) obsah tzv. tabulky náhodných permutací (obsahuje N řádků s příslušnými vygenerovanými hodnotami simulací j = 1, 2, ... , N a n sloupců pro každou náhodnou veličinu X1, X2, ... , Xn) tak, aby se korelační matice výsledných náhodných veličin co nejvíce blížila korelační matici zadané.


7 / 27

Software Freet (Feasible Reliability Engineering Tool) 

Víceúčelový Pravděpodobnostní Software pro statistickou, citlivostní a spolehlivostní analýzu.



Vyvíjen na Ústavu stavební mechaniky Fakulty stavební VUT v Brně.



Verze 1.5



Demo verze ke stažení na http://www.freet.cz .


8 / 27

Freet: zadávání vstupních veličin Freet: zadání náhodné proměnné s parametrickým rozdělením pravděpodobnosti. Možnost výběru z databáze parametrických rozdělení a zadáním konkrétních hodnot statistických momentů dané náhodné veličiny Stratifikované a pokročilé simulační metody

9 / 27

Freet: typy parametrických rozdělení • Deterministic • Normal • Lognormal (2par) • Lognormal (3par) • Weibull min (2par) • Weibull min (3par) • Weibull max (2par) • Weibull max (3par) • Raileigh • Raileigh negative • Beta (4par) • Gamma (2par) • Gamma negative (2par) • Gamma (3par) Stratifikované a pokročilé simulační metody

• Gamma negative (3par) • Exponential • Exponential negative • Gumbel min EV I • Gumbel max EV I • Rectangular • Triangular • Laplace • Pareto • Logistic • Half-Normal • Half-Normal negative • Beta • Student t 10 / 27

Freet: zpracování naměřených dat

Výběr vhodného parametrického rozdělení ze zadaných naměřených hodnot Stratifikované a pokročilé simulační metody

11 / 27

Freet: zadání korelační matice

Korelační koeficienty: 0 .. statistická nezávislost 0< .. statistická závislost Stratifikované a pokročilé simulační metody

12 / 27

Freet: generování simulací

Freet: Iterační přeuspořádání obsahu tzv. tabulky náhodných permutací metodou simulovaného žíhání Stratifikované a pokročilé simulační metody

13 / 27


Freet: Rozčlenění každého rozdělení pravděpodobnosti na N intervalů (tříd) o stejné pravděpodobnosti Stratifikované a pokročilé simulační metody

14 / 27


Freet: Ukázka vygenerovaných simulací dvou náhodných proměnných, které jsou statisticky nezávislé Stratifikované a pokročilé simulační metody

15 / 27


Freet: Ukázka vygenerovaných simulací dvou náhodných proměnných, které jsou statisticky závislé (95 %) Stratifikované a pokročilé simulační metody

16 / 27


Freet: Tabulka vygenerovaných a přeuspořádaných náhodných permutací Stratifikované a pokročilé simulační metody

17 / 27


Freet: Definice výpočetního modelu a dosazení vygenerovaných permutací do tohoto modelu Stratifikované a pokročilé simulační metody

18 / 27


pf = 0,0000575 < pd = 0,0000720 nosný prvek vyhoví – třída následků RC2/CC2

Freet: Výsledný odhad rozdělení pravděpodobnosti funkce spolehlivosti, odhad pravděpodobnosti poruchy pf Stratifikované a pokročilé simulační metody

19 / 27

Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu 

Posuzovanou konstrukcí je železobetonová klenba zasypávané části silničního tunelu.


20 / 27

Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Schéma řešené konstrukce klenby tunelu

Posuzovaná část (vrchol klenby)


21 / 27

Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Zatěžovací údaje – rozhodující kombinace q=+10° C

q=142 kN/m

q=+10° C q=71 kN/m

q=71 kN/m

q=36 kN/m

q=36 kN/m

q=21 kN/m

q=146 kN/m


q=21 kN/m

q=146 kN/m 22 / 27

Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu 11 15 4519 12 1 8

5690 1 666234 6656 6 697 668 7701 7 23 77745 6 7 7787 709 8 81 82 83 84 85 86 8 887 8 9109 9 92 943 9 9965 9987 1 110009109 1 10032 110016054 8

8

10

162 7 8 9 10 12 13 14 15 16 7

9

24

7 20 1100190 1 1 1123 111154 1 111167 111189 13 1 2 01 112 2 1 21243 112256 122 7 11 248 102 9 1133 1 32 113 14 1343 135 136 21 137 138 139 17 16 11 9 1514 7213 1115 12 12 14 1022318 412 56 67 28

Přechodové prvky

Y

23

26

56 3 5555678 18 5 55234 5 4594 01 1 4 478 11 5 4456 4434 42 4401 39 3 738 36 3 31 25 5 4 33 32 10 4 31 30 17 29 28 314 27 5 7 6 3 23 10 8168 6 9 79 4 13 X 12 23

Kontaktní pružiny

27

32

31

27

11

3

25

24

30

18 217 18 19 19 20 21 22 23 24 20 25 26 13

29

22

Statický model

25


21

26

23 / 27

Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu Dosažené výsledky, přetvoření tlačeného betonu LSF Eps beton 3 (tlačený)

2e+004

1.5e+004

Rozhodující kritéria Std • Průhyb ve vrcholu • Přetvoření tlačené oceli • Přetvoření tlačeného betonu • Přetvoření tažené oceli

Mean Std

1e+004

5e+003

0.0032

0.00325

0.0033

0.00335

0.0034

0.00345

0.0035

0.00355

Pravděpodobnost překročení limitního přetvoření tlačeného betonu činí ~10-42 Stratifikované a pokročilé simulační metody

24 / 27

Metoda Importance Sampling 

Generování náhodných veličin se provádí odlišným způsobem, než je tomu u klasické metody Monte Carlo.



Simulace jsou koncentrovány do oblasti poruchy Df , aby k záporné hodnotě funkce poruchy G(X) < 0 náhodných veličin X = X1, X2, ... Xn záměrně docházelo velmi často.



Oblast, která při simulacích nejvíce přispívá k pravděpodobnosti poruchy pf , leží v blízkosti návrhového bodu. Ten je definován jako bod, ležící na hranici poruchy G(X) = 0 s minimální vzdáleností od počátku souřadnic v normalizovaném prostoru náhodných veličin.



Do výpočtu vstupuje k tomuto účelu vhodně zvolená váhová funkce hY(X). Simulace pak probíhá v poněkud rozdílném prostoru než u klasické metody Monte Carlo, kde se odhad pravděpodobnosti poruchy pf blíží její střední hodnotě.


25 / 27

Metoda Importance Sampling 

Odhad pravděpodobnosti poruchy pf při simulaci typu Importance Sampling se dá pro N simulací vyjádřit vztahem:

1 pf  N kde



N

 i 1

f X X i  f G X . hY X i 

1 pro G X   0 f G X    0 pro G X   0

Tímto způsobem lze určit dostatečně přesný odhad i velmi malé hodnoty pravděpodobnosti poruchy pf s relativně malým počtem simulací (N se pohybuje řádově v tisících).


26 / 27

Xlimit 1

Závěry

0.006

Mean Std

Std

0.005

0.004

0.003

0.002

Přednáška:

0.001

100

200

300

400

500

600

700

800



byla zaměřena na zdokonalené simulační metody, které oproti klasické simulační metodě Monte Carlo vykazují větší efektivitu výpočtu a umožňují tak pravděpodobnostně řešit složitější spolehlivostní úlohy,



představila programový systém Freet, který k odhadu pravděpodobnosti poruchy pf využívá stratifikovanou simulační metodu Latin Hypercube Sampling – LHS,



nastínila podstatu řešení pokročilou simulační metodou Importance Sampling.

Závěry

27 / 27

Děkuji za pozornost! Dlouhodobé nahodilé 0.007

Distribution: Mean Requested: Obtained: Std Requested: Obtained:

Mean Std

Std

0.006

Gumbel Min. EV I 140 141 75.5 73.2

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

-100

0

100

200

300

Téma 4: Stratifikované a pokročilé simulační metody

Recommend Documents