Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Súgó Súgó Menü
Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott almenübe
Előző dia Következő dia Információk a programról
Háromszögekről
Háromszögek szerkesztése Háromszögek csoportosítása A háromszögek szögei, oldalai Háromszögek területe, kerülete Háromszögek nevezetes pontjai, vonalai Pitagorasz tétele Háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei Érdekes háromszögek
Háromszög szerkesztése
Háromszög szerkesztése három adatból Derékszögű háromszög szerkesztése Egyenlő szárú háromszög szerkesztése Szabályos háromszög szerkesztése
Menü
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a közbezárt szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180).
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög három oldalból egyértelműen megszerkeszthető (ha az oldalakra fennáll a háromszög-egyenlőtlenség).
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög egy oldalból és két szögből egyértelműen megszerkeszthető (a két szög összege kisebb 180-nál).
Háromszög szerkesztése három adatból A háromszög két oldalból és a nagyobb oldallal szemközti szögből egyértelműen megszerkeszthető (a szög kisebb 180-nál).
Derékszögű háromszög szerkesztése
Derékszögű háromszög megszerkesztéséhez elegendő két megfelelő alkotóelem megadása, mert harmadik a derékszög ismerete.
Derékszögű háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például):
két befogóját;
c
a
b
az átfogóját és az egyik befogót.
c
a b
Egyenlő szárú háromszög szerkesztése
Elegendő két alkotóelem, mert a szükséges harmadik az egyenlő szárú háromszög tulajdonságaival biztosítható.
Egyenlő szárú háromszög szerkeszthető Ha ismerjük (például):
Az alapot és a szárat;
Az alapot és bármelyik szöget.
Szabályos háromszög szerkesztése Az egyenlő oldalú (szabályos) háromszög szerkesztéséhez elegendő az oldal ismerete. (A szögek 60-osak.)
a
a
a
Háromszögek csoportosítása Szögeik szerint: Hegyesszögű háromszögek Derékszögű háromszögek Tompaszögű háromszögek Oldalaik szerint: Egyenlő szárú háromszögek Szabályos háromszögek Pontosan két egyenlő oldalú háromszögek Különböző oldalú háromszögek Csoportosítás táblázatban: Menü
Hegyesszögű háromszög Hegyesszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden szöge hegyesszög.
Derékszögű háromszög
befogó
Derékszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van derékszöge. A derékszöget bezáró két oldalt befogónak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük.
befogó
Tompaszögű háromszög Tompaszögű háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van tompaszöge.
Egyenlő szárú háromszög Egyenlő szárú háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha van legalább két egyenlő szöge.
Az egyenlő oldalakat száraknak, a háromszög harmadik oldalát alapnak nevezzük.
Szabályos háromszög Szabályos háromszögnek nevezzük a háromszöget, ha minden oldala egyenlő. A szabályos háromszög minden szöge egyenlő.
Szerkesztések makrókkal:
Pontosan két egyenlő oldalú háromszög (Egyenlő szárú háromszögek) Egyenlő szárú háromszögek, amelyeknek pontosan két egyenlő oldaluk van.
Különböző oldalú háromszögek Háromszögek, amelyeknek minden oldaluk különböző hosszúságú.
Szerkesztés makróval:
Háromszögek csoportosítása Szögek szerinti csoportosítás Hegyesszögű Derékszögű
Oldalak szerinti csoportosítás Egyenlő szárú
Minden oldala különböző Pontosan két oldala egyenlő Egyenlő oldalú
Tompaszögű
„Háromszögek halmaza”
Háromszög területe
Háromszög kerületének kiszámítása;
háromszög területének kiszámítása; területszámítás kiegészítéssel;
Menü
Háromszög kerülete Ha a háromszög oldalainak hosszúsága a, b, c, akkor a kerülete:
K = a + b + c.
b
c
a
A háromszög területének kiszámítása A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy az egyik oldal hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó magasság hosszával, és a szorzatot elosztjuk kettővel. A
T
ABC
=
a . ma
c
2
b ma
B
a
C
A háromszög területének kiszámítása (egyéb összefüggések)
T
T
ABC
ABC
=
=
b . mb 2
c . mc 2
Területszámítás kiegészítéssel (téglalappá való kiegészítés)
Foglaljuk téglalapba a háromszöget. Ekkor az így kapott téglalap területe kétszerese a háromszög területének.
T
ABC
=
T’
C
T’’
T
B
c . mc
2 A
c
Területszámítás kiegészítéssel (paralelogrammává való kiegészítés)
Tükrözzük a háromszöget az egyik oldalának felezőpontjára. Ekkor az eredeti és a tükörkép háromszög együtt középpontosan szimmetrikus négyszöget, paralelogrammát alkot. A háromszög területe fele a paralelogramma területének.
A’ = D
C
F
mc
T
A
F
c
T
B
ABC
=
c . mc 2
Pitagorasz tétel
Pitagorasz tétele és annak bizonyítása magyarázattal; a bizonyítás lépései; egyéb összefüggések; Pitagorasz tételének megfordítása; Pitagoraszi számhármasok; egyéb érdekességek.
Tudáspróba:
Menü
Pitagorasz tétele Tétel: A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területének összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.
A Pitagorasz tétel bizonyítása magyarázattal:
Bizonyítás: 1. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe berajzolhatjuk az a2 és b2 területű négyzetet és négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget.
a
b
b
b
a
a
a
b
Bizonyítás: 2. lépés: Az a+b oldalú négyzetbe másképp is berajzolhatjuk a négy egybevágó, a és b befogójú derékszögű háromszöget. A négyzet átlóinak metszéspontja körül 90◦ többszöröseivel elforgatva az ábrát, az eredeti ábrával fedésbe hozható, tehát forgászimmetrikus.
a
b
b
c
c
a
c
c
b
a
a
b
Bizonyítás: 3.lépés:
A bevonalkázott négyszög minden oldala c, és az ábra forgásszimmetriája miatt szögei egyenlő nagyságúak. Ezért a bevonalkázott négyszög az átfogóra emelt, c2 területű négyzet.
a
b
b
c
c
a
c
c
b
a
a
b
Bizonyítás: 4. lépés: Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik. a
a2+b2=c2
b
b
b
a
a
a
b
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
Egyéb összefüggések: Az összefüggést leíró egyenletet átrendezve az átfogó és az egyik befogó ismeretében kiszámíthatjuk a másik befogó négyzetét, majd a befogó is:
a2=c2-b2
b2=c2-a2
Pitagorasz tételének megfordítása: Ha egy háromszög a, b, c oldalai megfelelnek a Pitagorasz-féle feltételnek: c2 = a2 + b2, akkor a háromszög derékszögű. A derékszög a c oldallal szemközti szög.
Egyéb érdekességek
„Ki volt Pitagorasz?” „Plimpton 322” A babiloni számok rendszere. Korabeli címerrajz. Háromszögek Egyiptomban.
Menü
Pitagorasz (Püthagorasz)
(Kr. E. kb. 582-500). Számoszon született. Elsősorban vallásalapító és apostol volt, csak mellékesen foglalkozott matematikával. Nem ő fedezte fel a róla elnevezett tételt, de a sok bizonyítás közül az egyik tőle származik.
A babiloni táblázatok
A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek rendkívüli. Ezt a Columbiai Egyetem múzeumának birtokában lévő táblát úgy hívják, hogy Plimpton 322.
„Plimpton 322”
Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.
A babiloni számok rendszere Kifinomult, 60-as alapú számrendszert fejlesztettek ki. Az 1-nek
jel felel meg.
2-től 9-ig a
szimbólumok felelnek meg.
karakter felel meg. 20-tól 50-ig ezen karaktereket kombinálták.
10-nek a
Pl: A 11 leírása:
Korabeli címerrajzok
Korabeli címerrajzokon mozaikokon szerepelt az emberi figurává kiegészített rajz.
Háromszögek Egyiptomban
Mivel 52=32+42, a háromszög derékszögű. Sokan feltételezik, hogy az ókori Egyiptomban ezt a háromszöget használták fel derékszög kitűzésére úgy, hogy zárt zsinórt 12 csomóval 12 egyenlő részre osztottak, és ezt feszítették ki három cövek közé az ábrán látható módon.
Chefren-piramis A régészek éppen ezeket az arányokat fedezték fel a Chefren-piramis faragott köveinek méreteiben.
A baalbeki Nap-templom Szíriában a baalbeki Nap-templomban az úgynevezett királyszobának is ilyen méretei vannak.
Pitagoraszi számhármasok Azokat a derékszögű háromszögeket, melyeknek mindhárom oldala valamilyen egységben mérve egész szám, pitagoraszi háromszögeknek is szokás nevezni. Az ilyen számhármasok pedig pitagoraszi számhármasok.
8
5
4 3
6
Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai
A háromszög oldalfelező merőlegesei, köré írható köre; a háromszög szögfelezői, beírható köre; a háromszög magasságvonalai, magasságpontja; a háromszög középvonalai; a háromszög súlyvonalai, súlypontja.
Tudáspróba
Menü
A háromszög oldalfelező merőlegesei és a háromszög köré írt köre Tétel: Bármely háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a köré írható kör középpontja. Bizonyítás magyarázattal:
A háromszög szögfelezői és a háromszög beírt köre Tétel: Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a beírható kör középpontja. Bizonyítás magyarázattal:
Makró:
A háromszög magasságvonalai A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egyenes. A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. A magasságvonal és az arra merőleges oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja (T).
A háromszög magasságpontja A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. A magasságvonalak metszéspontja a háromszög magasságpontja (M). A magasságpont a hegyesszögű háromszögnek a belső pontja, a derékszögű háromszögnek a derékszögű csúcsa, a tompaszögű háromszögnek a külső pontja.
A háromszög magassága A T
mb B
A=T ma
A
mb B C T
C
B
Hegyesszögű háromszögben
Derékszögű háromszögben
Tompaszögű háromszögben
C
A háromszög középvonalai A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. A Jelölése: ka, kb, kc
C G
kc ka
F kb
H
B
A háromszög középvonala Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és a középvonal hossza fele a nem felezett oldal hosszának. Bizonyítás magyarázattal:
A háromszög súlyvonalai A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, illetve ennek a szakasznak a hossza. Jelölése: sa, sb, sc C
sa
F
A
B
A háromszög súlypontja A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. A súlyvonalak metszéspontja a háromszög súlypontja. A súlypont a háromszög belső pontja. C G
S
F
A H
B
Egybevágóság és hasonlóság
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) Háromszög hasonlóságának alapesetei (1) (2) (3) (4) Összehasonlítás Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza
Menü
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (1) Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlők.
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (2) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és az általuk közrezárt szög egyenlő.
γ
γ
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (3) Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő.
α α
Háromszögek egybevágóságának alapesetei (4) Két háromszög egybevágó, ha az egyik oldaluk és az azon lévő két szögük egyenlő. γ γ
β
β
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (1) Ha két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik, akkor a két háromszög hasonló. c’
c
b’
b a’
a a’ a
b’ b
c’ c .
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (2) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal által közbezárt szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. a’ a γ
γ’ b’
b a’ a
b’ ; b
γ = γ’.
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (3) Ha két háromszögben két-két oldal aránya és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő, akkor a két háromszög hasonló. α’ α
b a’
a
a’ a
b’ ; b
α = α’
(a > b és a’ > b’).
b’
A háromszögek hasonlóságának alapesetei (4) Ha két háromszög megfelelő szögei egyenlők, akkor a két háromszög hasonló. α’
α γ α = α’ ;
β β = β’ .
γ’
β’
Összehasonlítás (A háromszög egybevágóságának alapesetei és a háromszög hasonlóságának alapesetei között.)
Az egybevágóság esetén a két háromszög alakja és nagysága is megegyezik. Ezt a háromszög egyenlőség biztosítja.
A hasonlóság esetén a két háromszög alakja egyezik meg.
Hasonló és egybevágó háromszögek halmaza
A háromszögek szögei és oldalai
Kapcsolat a háromszög oldalai között ; (háromszög - egyenlőtlenség) kapcsolat a háromszög belső szögei között; kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között; kapcsolat a háromszög külső szögei között; kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között.
Menü
Kapcsolat a háromszög oldalai között (háromszög-egyenlőtlenség) Tétel: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal.
Bizonyítás: Két pont között a legrövidebb út az őket összekötő szakasz. Ezért AC + CB > AB. Hasonlóan belátható, hogy AC + AB > BC és AB + BC > AC.
C
A
A
C
B
B
Kapcsolat a háromszög belső szögei között Tétel: A háromszög belső szögeinek összege 180°. C
γ
α + β + γ = 180°
α A
Bizonyítás:
β B
Bizonyítás: 1. lépés: Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. A háromszög belső szögeit α, β, γ jelöli.
Húzzunk az AB oldal egyenesével párhuzamos egyenest a C csúcson át! C
γ
α A
β B
Bizonyítás:
=
=
2. lépés: Az α és a δ fordított állású szögpárt alkot, ezért α = δ. A β és az ε is fordított állású szögpár, ezért β = ε. A C csúcsnál lévő három szög egyenesszöget alkot, ezért C δ + γ + ε = 180° δ γ ε
α + γ + β = 180° α A
β B
Kapcsolat a háromszög belső és külső szögei között Tétel: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a szöggel nem szomszédos két belső szög összegével. C
γ
β’ = α + γ α Bizonyítás:
A
β β’ B
Bizonyítás: 1. lépés: Használjuk fel a párhuzamos szárú szögek tulajdonságait. A háromszög belső szögei α, β, γ, megfelelő külső szögeit α’, β’, γ’ jelöli. Húzzunk az AC oldal egyenesével párhuzamos félegyenest a B csúcsból! C
γ α A
β B
Bizonyítás: 2. lépés: A γ és a φ fordított állású szögek, ezért γ = φ. Az α és a δ egyállású szögek, ezért α = δ. Az ábráról leolvasható: β’ = φ + δ C
= =
γ
β’ = γ + α α A
φ β β’ δ B
Kapcsolat a háromszög külső szögei között Tétel: A háromszög külső szögeinek összege 360°.
γ’
γ
α α’ Bizonyítás:
β
β’
Bizonyítás: 1. lépés: Mivel
α’ = β + γ, β’ = α + γ, γ’ = α + β, ezért:
α’ + β’ + γ’ = (β + γ) + (α + γ) + (α + β) = (α + β + γ) + (α + β + γ) = 2 . (α + β + γ)
γ’
γ
α α’
β
β’
Bizonyítás: 2. lépés: A háromszög belső szögeinek összege 180°: α’ + β’ + γ’ = 2 . (α + β + γ) = 2 . 180° = 360° Azaz a háromszög külső szögeinek összege: α’ + β’ + γ’ = 360°
γ’
γ
α α’
β
β’
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak.
Bizonyítás: Mivel a háromszögnek vannak egyenlő oldalai, a háromszög tengelyesen szimmetrikus. A tengelyes szimmetriából következik az összefüggés. Ha b = a, akkor β = α.
C
γ b
a
α A
β c
B
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van, mint a rövidebb oldallal szemben.
b
Kapcsolat a háromszög oldalai és szögei között Tétel: Ha két háromszögben két-két oldal egyenlő, akkor abban a háromszögben nagyobb a harmadik oldal, amelyikben a két oldal által közbezárt szög nagyobb.
α1 < α2 < α3
α2
C3
α3
a3
α1
C2
a2
a1
C1
Érdekes háromszögek
„Sárga háromszögek” Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG Háromszög alaprajzú kápolna Háromszögoromzat Frankenthal minta Repülő háromszögek
Menü
„Sárga háromszögek”
PARÓCZI ÁGNES Sárga háromszögek / Yellow triangle (1998)
Uralkodó forma: A HÁROMSZÖG
Nádler István sorozata: Háromszögek (1994-95 termése)
Háromszög alaprajzú kápolna
Háromszög alaprajzú, barokk stílusban, 1757-ben épült kápolna Sajóládon.
Háromszögoromzat
Kapuzatok fölött elhelyezkedő, párkányzatos kiképzésű, háromszög alakú díszítőfelület.
Frankenthal minta
Az Frankenthal dekorral díszített tárgyakat szemlélve, azonnal megragad bennünket a mértani beosztású kékfehér háromszögek vibrálása.
„Repülő háromszögek”
Már-már legenda. Az Egyesült Államokban az emberek hatalmas, csendesen repülő háromszögeket látnak a városok közelében.
Vadászrepülők tervezésénél is kihasználják a háromszöget, mint geometriai formát.
Kilépés
