Teknik Pengolahan Data

Teknik Pengolahan Data Distribusi Normal

20-‐Sep-‐15 h7p://is:arto.staff.ugm.ac.id

Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Magister Teknik Pengelolaan Bencana Alam

1

Distribusi Binomial

Histogram Distribusi Probabilitas Sukses

20-‐Sep-‐15

•  Ingat contoh pemilihan 1 kegiatan (Kegiatan A) dari 4 kegiatan untuk didanai

h7p://is:arto.staff.ugm.ac.id

Distribusi Binomial

2

•  Se:ap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). •  Se:ap kali dilakukan pemilihan, masing-‐masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). •  Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?

20-‐Sep-‐15

•  Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan


Distribusi Binomial

3

•  prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p •  prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

•  Dalam 5 kali pemilihan •  peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah ! 5 $ && 0.253 0.752 = 0.088 fX ( x; n, p ) = fX (3; 5, 0.25) = ## " 3 %

20-‐Sep-‐15

•  Se:ap kali pemilihan


Distribusi Binomial

4

Dalam 5 kali pemilihan, n = 5 Jumlah sukses

Jumlah perolehan sukses

Peluang perolehan sukses

0

1

0.237

1

5

0.396

2

10

0.264

3

10

0.088

4

5

0.015

5

1

0.001

Σ =

1.000

20-‐Sep-‐15

n 

Koefisien binomial


Distribusi Binomial

5

0.45

n = 5

0.396

Probabilitas

0.35 0.30 0.25

0.264

0.237

0.20 0.15 0.088

0.10 0.05

0.015

0.00 0

1

2 3 Frekuensi perolehan dana

4

0.001


0.40

20-‐Sep-‐15

Distribusi probabilitas Kegiatan A mendapatkan dana

5

6

•  10 tahun •  20 tahun •  n tahun •  diperoleh n + 1 kemungkinan hasil •  Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali

20-‐Sep-‐15

•  Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang


Distribusi Binomial

7

0.30

0.282 0.250

0.25 0.20

0.188 0.146

0.15 0.10

0.058

0.056

0.05 0.016

0.00 0

1

2

0.003

3 4 5 6 7 Frekuensi perolehan dana

0.000

0.000

0.000

8

9

10


Probabilitas

n = 10

20-‐Sep-‐15


8

0.25 n = 20

0.20

0.20

0.19

20-‐Sep-‐15


0.15

0.13 0.11

0.10 0.07

0.05 0.02

0.00

0.00

0.06

0.03 0.01

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Frekuensi perolehan dana


Probabilitas

0.17

9

•  histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki interval kecil •  garis yang melewa: puncak-‐puncak histogram → kurva mulus berbentuk seper: lonceng

Kurva Normal

20-‐Sep-‐15

•  Apabila pemilihan (experimen) dilakukan sejumlah n kali dan n >>


Distribusi Binomial vs Kurva Normal

10

0.25 n = 20

0.15 h7p://is:arto.staff.ugm.ac.id

Probabilitas

0.20

20-‐Sep-‐15


0.10

0.05

0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Frekuensi perolehan dana

11

•  Kurva Normal

20-‐Sep-‐15

Kurva Normal, Distribusi Normal

•  Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal •  Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan distribusi normal •  Lebih mudah dilakukan karena karakteris:k distribusi normal telah diketahui (didefinisikan)


•  berbentuk seper: lonceng dengan karakteris:k tertentu •  :dak se:ap kurva berbentuk seper: lonceng adalah kurva normal

•  tabel distribusi normal •  perintah dalam MS Excel 12

•  simetris terhadap nilai rata-‐rata (mean) •  score mengumpul di sekitar nilai rata-‐rata •  kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran 3 kali simpangan baku dari nilai rata-‐rata

20-‐Sep-‐15

•  Karakteris:ka distribusi normal


Distribusi Normal

13


20-‐Sep-‐15

Normal Distribution

14 μ-‐4σ

μ-‐3σ

μ-‐2σ

μ-‐1σ

μ

μ+1σ

μ+2σ

μ+3σ

μ+4

Luas = 0.9973 +∞

−∞


Luas = 0.00135

Luas = 0.00135

20-‐Sep-‐15

Normal Distribution

15 μ-‐4σ

μ-‐3σ

μ-‐2σ

μ-‐1σ

μ

μ+1σ

μ+2σ

μ+3σ

μ+4

20-‐Sep-‐15

Normal Distribution (

pX ( x) = 2πσ

2

)

−1 2

e

−1 2( x−µ ) σ 2

−∞

μ pdf – probability density func4on


N(μ,σ2)

+∞ 16

pX(x) N(μ1,σ12)

μ1 = μ2 = μ3 σ1 < σ2 < σ3


N(μ2,σ22) N(μ3,σ32)

–∞

μ1 = µ2 = µ3

20-‐Sep-‐15

pdf

+∞ 17

pX(x)

μ1 < μ2 < μ3 σ1 = σ2 = σ3

N(μ1,σ12)

N(μ3,σ32) N(μ2,σ22)

–∞

μ1 = µ2 = µ3


20-‐Sep-‐15

pdf

+∞ 18

x

x

( )

prob (X < x) = PX ( x) = ∫ pX ( x) dt = ∫ 2πσ −∞

−∞

2

−1 2 −1 2 t−µ σ 2 ( )

e

dt

luas di bawah kurva probability density func4on, pdf à cumula4ve distribu4on func4on, cdf

20-‐Sep-‐15

•  Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ2), maka probabilitas X bernilai kurang daripada x (X < x) dapat dituliskan sbb:


Distribusi Normal

prob(X < x)

19 −∞

x

µ

+∞

pX(x)

PX(x) 1

−∞

μ


cdf

20-‐Sep-‐15

pdf-‐cdf

0 +∞

20

20-‐Sep-‐15

Normal Distribution •  Luas di bawah kurva pdf

prob(X < x)


•  adalah probabilitas event •  adalah percen4le rank •  prob(X < x) = prob(−∞ < X < x) = luas di bawah kurva pdf dari −∞ s.d. x •  prob(−∞ < X < +∞) = 1 •  prob(X > x) = prob(x < X < +∞) = luas di bawah kurva pdf dari x s.d. +∞ = 1 − prob(X < x)

prob(X > x) 21

−∞

x

+∞

20-‐Sep-‐15

Normal Distribution •  Probabili:es


•  prob(X = x) = luas di bawah kurva pdf dari x s.d. x = 0 •  prob(X ≤ x) = prob(X < x) prob(X ≥ x) = prob(X > x) prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb) •  prob(X < μ) = 0.5 prob(X > μ) = 0.5 prob(μ−x < X < μ) = prob(μ < X < μ+x) prob(μ < X < μ−x) = prob(X > μ+x) prob(X < μ−x)

prob(X > μ+x) 22

−∞

μ−x

μ

μ+x

+∞

•  Distribusi normal lazim dinyatakan dalam distribusi normal baku

20-‐Sep-‐15

Distribusi Normal Baku x −µ zX = σ

Z berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ2 = 1, N(0,1) àdistribusi normal baku

•  pdf dancdf

pZ ( z) =

1 2π

e

−z2 2

−∞ < z < +∞ z

z

prob ( Z < z) = PZ ( z) = ∫ pZ ( z) dt = ∫ −∞

−∞

1 2π

e

−t 2 2

dt


•  z score

23


20-‐Sep-‐15

Distribusi Normal Baku

Z -‐4 X μ−4σ

-‐3

-‐2

μ−3σ

μ−2σ

-‐1

μ−1σ

0

1

2

3

4

μ

μ+1σ

μ+2σ

μ+3σ

μ+4σ

24

•  Tabel z vs ordinat kurva normal baku

20-‐Sep-‐15

Distribusi Normal Baku •  z vs ordinat pdf (probability density func4on) •  z vs cdf (cumula4ve distribu4on func4on) •  luas kurva dari 0 s.d. zx •  luas kurva dari –∞ s.d. zx

•  Tabel distribusi normal baku •  Tabel distribusi normal baku versi 1 •  Tabel distribusi normal baku versi 2


•  Tabel z vs luas di bawah kurva

25

•  Kita dapat membuat sendiri tabel-‐tabel ini dengan memakai program aplikasi atau program aplikasi spreadsheet.

20-‐Sep-‐15

Distribusi Normal Baku

•  •  •  • 

=NORM.DIST(…) =NORM.S.DIST(…) =NORM.INV(…) =NORM.S.INV(…)

•  Silakan membuat sendiri tabel distribusi normal baku dengan menggunakan MSExcel.


•  Gunakan fungsi-‐fungsi yang ada dalam MSExcel.

26

20-‐Sep-‐15 h7p://is:arto.staff.ugm.ac.id

Distribusi Normal

KURVA NORMAL DATA PENGAMATAN

27

Discharge (m3/s) 473 544 872 657 915 535 678 700 669 347 580 470 663 809 800 523 580 672 115 461 524 943

Year 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

Discharge (m3/s) 1110 717 961 925 341 690 734 991 792 626 937 687 801 323 431 770 536 708 894 626 1120 440

Year 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

Discharge (m3/s) 843 450 284 460 804 550 729 712 468 841 613 871 705 777 442 206 850 829 887 602 403 505

20-‐Sep-‐15

Year 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22


Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ

28

20-‐Sep-‐15

Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ 1200


Debit (m3/s)

1000 800 600 400 200 0 0

10

20

30

40

Tahun ke-‐

50

60

70

29

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

− − − − − − − − − − −

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

1 2 3 10 9 12 10 11 6 0 2

Σ

66

1.00

Frekuensi

20-‐Sep-‐15

150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150

Frekuensi rela:f 0.02 0.03 0.05 0.15 0.14 0.18 0.15 0.17 0.09 0.00 0.03

Debit (m3/s)



30


0.20

0.15

Frekuensi relaif

20-‐Sep-‐15


0.10

0.05

0.00

31

Debit (m3/s)

0.20

data pengukuran h7p://is:arto.staff.ugm.ac.id

distribusi teore:s Frekuensi relaEf

20-‐Sep-‐15


0.15

0.10

0.05

0.00

32

Debit (m3/s)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

− − − − − − − − − − −

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150

FQ(qupper)

FQ(qlower)

Frek. rel.

0.0142 0.0432 0.1078 0.2231 0.3875 0.5755 0.7475 0.8735 0.9473 0.9819 0.9949

0.0038 0.0142 0.0432 0.1078 0.2231 0.3875 0.5755 0.7475 0.8735 0.9473 0.9819

0.0104 0.0290 0.0646 0.1152 0.1645 0.1880 0.1720 0.1259 0.0738 0.0346 0.0130 0.9911

20-‐Sep-‐15

Debit (m3/s)



33

•  Ekspektasi frekuensi rela:f (menurut distribusi normal)

20-‐Sep-‐15

Data Pengukuran vs Distribusi Teoretis

−1 2

300

fQ ( q = 250) =

∫ (2πs ) 2

Q

e

2

sQ 2

dq

Q = 660 m3 s

200

−1 2

300

=

−1 2( q−Q)

∫ (2⋅ π ⋅ 210 ) 2

e

−1 2( q−660)

2

2102

sQ = 210 m3 s dq

200

= FQ (300) − FQ (200)


•  kelas ke-‐2

% 300 − 660 ( % 200 − 660 ( = FZ ' * − FZ ' * & 210 ) & 210 ) = FZ (−1.7143) − FZ (−2.1905) = 0.0432 − 0.0142 = 0.0290

34

•  Cara lain untuk menemukan frekuensi rela:f

20-‐Sep-‐15


fQ ( qi ) = Δqi ⋅ pQ ( qi ) pQ ( qi ) = p Z ( zi ) ⋅

dz p Z ( zi ) = dq sQ

# %% p Z ( zi ) $ fQ ( qi ) = Δqi sQ % %&



35

•  Cara lain untuk menemukan frekuensi rela:f

20-‐Sep-‐15


i =2: Δqi = 100 m3 s qi = 250 m3 s → zi =

250 − 660 = −1.95 210

p Z ( zi ) = 0.0593 $ 0.0593 ' fQ ( qi ) = 100 & ) = 0.028 % 210 (



36

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

− − − − − − − − − − −

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150

pQ(q)

Frek. rel.

9.95E-‐05 2.82E-‐04 6.39E-‐04 1.15E-‐03 1.66E-‐03 1.90E-‐03 1.73E-‐03 1.26E-‐03 7.32E-‐04 3.39E-‐04 1.25E-‐04

0.0100 0.0282 0.0639 0.1152 0.1656 0.1898 0.1733 0.1262 0.0732 0.0339 0.0125 0.9917

20-‐Sep-‐15

Debit (m3/s)



37

20-‐Sep-‐15

•  Jika lebar rentang kelas 100 m3/s, maka ada satu kelas yang memiliki frekuensi nol à perlebar rentang kelas menjadi 150 m3/s.



38

0 150 300 450 600 750 900 1050

− − − − − − − −

150 300 450 600 750 900 1050 1200

Data pengukuran

Distribusi normal

Frek.

Frek. rel.

Frek. rel.

Frek.

1 2 8 14 18 15 6 2 66

0.02 0.03 0.12 0.21 0.27 0.23 0.09 0.03 1.00

0.0067 0.0357 0.1154 0.2289 0.2783 0.2076 0.0949 0.0266

1 2 8 15 18 14 6 2 66

20-‐Sep-‐15

Debit (m3/s)



39

0.30

data pengukuran

distribusi teore:s


0.25

Frekuensi relaEf

20-‐Sep-‐15


0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0-‐150

150-‐300 300-‐450 450-‐600 600-‐750 750-‐900 900-‐1050 1050-‐1200

Debit (m3/s)

40

41


20-‐Sep-‐15

Teknik Pengolahan Data

Recommend Documents