Teknik Pengolahan Data

Curve Fi)ng: Regresi dan Interpolasi

h8p://is:arto.staff.ugm.ac.id

Teknik Pengolahan Data

13-‐Nov-‐14

Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Magister Teknik Pengelolaan Bencana Alam

1

•  Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-‐Hill Book Co., New York. •  Chapter 11 dan 12, pp. 319-‐398.

13-‐Nov-‐14

•  Acuan


Curve Fitting

2

•  Regresi •  Interpolasi

•  Aplikasi di bidang enjiniring •  Pola perilaku data (trend analysis) •  Uji hipotesis (hypothesis tes;ng)

13-‐Nov-‐14

•  Mencari garis/kurva yang mewakili serangkaian ::k data •  Ada dua cara untuk melakukannya, yaitu


Curve Fitting

3

•  Apabila data menunjukkan :ngkat kesalahan yang cukup signifikan atau menunjukkan adanya noise •  Untuk mencari satu kurva tunggal yang mewakili pola umum perilaku data •  Kurva yang dicari :dak perlu melewa: se:ap ::k data

•  Interpolasi

•  Diketahui bahwa data sangat akurat •  Untuk mencari satu atau serangkaian kurva yang melewa: se:ap ::k data •  Untuk memperkirakan nilai-‐nilai di antara ::k-‐ ::k data

13-‐Nov-‐14

•  Regresi


Curve Fitting

4

•  Mirip dengan interpolasi, tetapi untuk memperkirakan nilai-‐nilai di luar kisaran ::k-‐::k data •  Ekstrapolasi :dak disarankan

13-‐Nov-‐14

•  Ekstrapolasi


Curve Fitting

5

•  Pemanfaatan pola data (pengukuran, eksperimen) untuk melakukan perkiraan •  Apabila data persis (akurat): interpolasi •  Apabila data tak persis (tak akurat): regresi

•  Uji hipotesis •  Pembandingan antara hasil teori atau hasil hitungan dengan hasil pengukuran

13-‐Nov-‐14

•  Analisis pola perilaku data


Curve Fitting terhadap Data Pengukuran

6

•  Rata-‐rata aritma:k, mean •  Deviasi standar, simpangan baku, standard devia;on •  Varian (‘ragam’), variance •  Coefficient of varia;on

13-‐Nov-‐14

1 y = ∑ yi ! n St

sy = n−1 ! 2

St

sy = n−1 ! sy c.v. = 100% y !

(

St = ∑ yi − y !

)

2


merepresentasikan sebaran data

Beberapa Parameter Statistik

7

frek

Distribusi Normal

salah satu distribusi/sebaran data yang sering dijumpai adalah distribusi normal

13-‐Nov-‐14


Distribusi Probabilitas

X

8

Regresi Linear h8p://is:arto.staff.ugm.ac.id

REGRESI

9

13-‐Nov-‐14

•  Datanya menunjukkan kesalahan yang cukup signifikan •  Kurva :dak perlu memotong se:ap ::k data

•  Metode •  •  •  •  • 

Regresi linear Regresi persamaan-‐persamaan tak-‐linear yang dilinearkan Regresi polinomial Regresi linear ganda Regresi tak-‐linear

13-‐Nov-‐14

•  Mencari satu kurva atau satu fungsi (pendekatan) yang sesuai dengan pola umum yang ditunjukkan oleh data


Regresi: Metode Kuadrat Terkecil

10

•  Program komputer •  Spreadsheet (Microsoc Excel)

•  Program aplikasi gra:s, mirip MatLab •  Octave •  Scilab •  Freemat

13-‐Nov-‐14

•  Bagaimana caranya?


Regresi: Metode Kuadrat Terkecil

11

yreg = a0 + a1x a0 : intercept a1 : slope

•  Microsoc Excel •  INTERCEPT(y1:yn;x1:xn) •  SLOPE(y1:yn;x1:xn)

13-‐Nov-‐14

•  Mencari suatu kurva lurus yang cocok menggambarkan pola serangkaian ::k data: (x1,y1), (x2,y2) … (xn,yn)


Regresi Linear

12

e = y −a0 −a1 x ! •  Minimumkan jumlah kuadrat residu tersebut 2# ! 2# ! ! # min" Sr $ =min" ∑ei $ =min' ∑ yi −a0 −a1 xi ( " $ !

(

)

13-‐Nov-‐14

•  Kesalahan atau residu (e) adalah perbedaan antara nilai y sesungguhnya (data y) dan y nilai pendekatan (yreg) menurut persamaan linear a0 + a1x.


Regresi Linear

13

•  Diferensialkan persamaan tersebut dua kali, masing-‐ masing terhadap a0 dan a1. •  Samakan kedua persamaan hasil diferensiasi tersebut dengan nol. •  Selesaikan persamaan tsb untuk mendapatkan a0 dan a1.

∂Sr = −2∑ (y i − a0 − a1xi ) = 0 ∂a0 ∂Sr = −2∑ (y i − a0 − a1xi )xi = 0 ∂a1 a1 =

n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi 2

n∑ xi −

a = y −a1 x !0

(∑ x ) i

2


•  Bagaimana cara mencari koefisien a0 dan a1?

13-‐Nov-‐14

Regresi Linear

14

Grafik/kurva data xi 1 2 3 4 5

yi = f(xi) 0.5 2.5 2 4 3.5

5 6

6 7

6 5.5

8 y = f(x)

i 0 1 2 3 4


Tabel data

13-‐Nov-‐14

Contoh Regresi Linear 6 4 2 0 0

1

2

3

4 X

5

6

7

15

xi

yi

xi yi

xi2

0

1

0.5

0.5

1

0.910714

0.168686

8.576531

1

2

2.5

5

4

1.75

0.5625

0.862245

2

3

2.0

6

9

2.589286

0.347258

2.040816

3

4

4.0

16

16

3.428571

0.326531

0.326531

4

5

3.5

17.5

25

4.267857

0.589605

0.005102

5

6

6.0

36

36

5.107143

0.797194

6.612245

6

7

5.5

38.5

49

5.946429

0.199298

4.290816

∑ =

28

24.0

119.5

140

∑ =

2.991071

22.71429

yreg

(yi−yreg)2 (yi−ymean)2

13-‐Nov-‐14

i


Hitungan Regresi Linear

16

a1 =

n∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i n∑ xi 2 −

(∑ x )

2

i

=

7 (119.5) − 28 (24) 7 (140) − (28)

24 = 3.4 7 28 x = =4 7 a = 3.4−0.839286 4 = 0.071429 !0 y=

()

2

= 0.839286

13-‐Nov-‐14



17

7 6

Y

5 4 3

data

2

regresi

1


13-‐Nov-‐14


0 0

1

2

3

4 X

5

6

7

8

18

•  Kuan:fikasi kesalahan •  Kesalahan standar

Sr

sy x = n−2 !

(

Sr = ∑ yi −a0 −a1 xi !

)

2

•  Perha:kan kemiripannya dengan simpangan baku

St

sy = n−1 !

(

St = ∑ yi − y !

)

2


13-‐Nov-‐14

Regresi Linear

19

r2 =

St − S r S = 1− r St St

r=

(∑ x ) (∑ y ) n∑ x − (∑ x ) n∑ y − (∑ y )

koefisien determinasi (coefficient of determina;on)

n∑ xi y i −

i

2

2

i

i

i

2

i

i

2

koefisien korelasi (correla;on coefficient)

13-‐Nov-‐14

•  Beda antara kedua kesalahan tersebut menunjukkan perbaikan atau pengurangan kesalahan


Regresi Linear

20

( S = ∑( y − y ) !

Sr = ∑ yi −a0 −a1 xi t

r2 =

i

St − Sr St

2

= 2.991071

= 22.71429

=1−

! r = 0.931836

)

2

Sr St

=1−

2.991071 = 0.868318 22.71429

13-‐Nov-‐14



21

13-‐Nov-‐14

Regresi persamaan tak-‐linear yang dilinearkan


REGRESI

22

•  Logaritmik menjadi linear •  Eksponensial menjadi linear •  Pangkat (polinomial :ngkat n > 1) menjadi linear (polinomial :ngkat 1) •  Dll.

13-‐Nov-‐14

•  Linearisasi persamaan-‐persamaan tak-‐linear


Regresi Linear

23

!lny =lna+b x b

bx y = ae !

1

ln a x

x


ln y

y

13-‐Nov-‐14

Linearisasi Persamaan Non-‐linear

24

!logy =loga+blog x

b

b y = a x !

1

x

!logb

log x


log y

y

13-‐Nov-‐14


25

x y =a b+ x !

!1 a x

1 b+ x 1 b 1 = = + !y ax a a x 1

!b a


1/y

y

13-‐Nov-‐14


1/x 26

Regresi Polinomial h8p://is:arto.staff.ugm.ac.id

REGRESI

27

13-‐Nov-‐14

•  Metode 1: transformasi koordinat (linearisasi persamaan tak-‐linear) •  Metode 2: regresi polinomial •  Polinomial :ngkat m

y = a0 +a1 x +a2 x 2 +...+am x m ! •  Jumlah residu kuadrat n

2

n

(

2

Sr = ∑ei = ∑ yi −a0 −a1 xi +a2 xi +...+am xi i=1 i=1 !

m

)

13-‐Nov-‐14

•  Sebagian data bidang teknik, walaupun menunjukkan pola yang jelas, namun pola tsb :dak dapat diwakili oleh sebuah garis lurus


Regresi Polinomial

2

28

•  Persamaan-‐persamaan di kanan ini disamakan dengan nol dan disusun sedemikian rupa menjadi sistem persamaan linear

∂Sr ∂a1 ∂Sr ∂a2

(

= −2∑ yi −a0 −a1 xi +a2 xi 2 +...+am xi m i=1 n

)

(

)

(

)

= −2∑ xi yi −a0 −a1 xi +a2 xi 2 +...+am xi m i=1 n

13-‐Nov-‐14

∂a0

n

= −2∑ xi 2 yi −a0 −a1 xi +a2 xi 2 +...+am xi m i=1


•  Metode kuadrat terkecil yang diperluas untuk regresi polinomial :ngkat m

∂Sr

. . . ∂Sr ∂a ! m

n

(

= −2∑ xi m yi −a0 −a1 xi +a2 xi 2 +...+am xi m i=1

)

29

n

2

n

m

a0n+a1 ∑ xi +a2 ∑ xi +...+am ∑ xi = ∑ yi i=1

i=1

n

n

i=1 n

i=1 n

i=1

n

2

i=1

n

3

a0 ∑ xi +a1 ∑ xi +a2 ∑ xi +...+am ∑ xi 2

3

i=1 n

i=1 n

4

m+1

a0 ∑ xi +a1 ∑ xi +a2 ∑ xi +...+am ∑ xi i=1

i=1

i=1

§  Ada m+1 persamaan

= ∑ xi y i

m+2

i=1

n

i=1 n

2

= ∑ xi y i i=1

. . . n

m

n

a0 ∑ xi +a1 ∑ xi i=1 ! i=1

m+1

n

+a2 ∑ xi i=1

m+2

n

+...+am ∑ xi i=1

2m

n

= ∑ xi my i i=1

linear dengan m+1 variabel tak diketahui, yaitu a0, a1, a2, …, am

§  Persamaan-‐persamaan linear ini dapat diselesaikan dengan metode-‐metode

•  •  •  • 

Eliminasi Gauss Gauss-‐Jordan Iterasi Jacobi Inversi matriks

13-‐Nov-‐14

n


n

30

y = a0 +a1 x +a2 x !

2

•  Jawab y = 2.47857+2.35929x +1.86071x 2 S 3.74657 r 2 =1− r =1− = 0.99851 St 2513.39 !r = 0.99925

xi

yi

0

2.1

1

7.7

2

13.6

3

27.2

4

40.9

5

61.1

13-‐Nov-‐14

•  Temukanlah kurva polinomial :ngkat 2 yang mewakili pola sebaran data pada tabel di sisi kanan ini


Contoh

31

13-‐Nov-‐14

Regresi Linear Ganda (Mul;ple Linear Regression)


REGRESI

32

y = a0 +a1 x1 +a2 x2

!

•  Koefisien a0, a0, a0 pada persamaan di atas dapat ditemukan dengan metode kuadrat terkecil kesalahan (error) n

(

Sr = ∑ yi −a0 −a1 x1i −a2 x2i i=1 !

)

2

13-‐Nov-‐14

•  Misal variabel y adalah fungsi linear dua variabel bebas x1 dan x2


Regresi Linear Ganda

33

∂Sr ∂a0 ∂Sr ∂a1 ∂Sr ∂a ! 2

n

(

= −2∑ yi −a0 −a1 x1i −a2 x2i i=1 n

n

(

n

(

= −2∑ x2i yi −a0 −a1 x1i −a2 x2i i=1

n

n

n

i=1

i=1

i=1

na0 + ∑ x1i a1 + ∑ x2i a2 = ∑ yi

)

= −2∑ x1i yi −a0 −a1 x1i −a2 x2i i=1

§  Samakan persamaan diferensial tsb dengan nol dan atur suku-‐suku dalam persamaan

) )

∑x

! i=1

n

n

i=1 n

i=1

n

i=1 n

i=1

i=1

2 a + x a1 + ∑ x1i x2i a2 = ∑ x1i yi ∑ 1i 0 1i

∑x i=1 n

n

2 a + x x a + x a2 = ∑ x2i yi ∑ ∑ 2i 0 1i 2i 1 2i i=1

13-‐Nov-‐14

§  Diferensial parsial persamaan tersebut terhadap masing-‐masing koefisien



34

" $ $ $ $ $ $ $ $ !#

n

n

∑x

1i

i=1

n

∑x i=1

1i

n

n

∑x i=1

n

2i

i=1

2

1i

∑x ∑x i=1

n

1i

x2i

∑x i=1

n

∑x

1i

i=1

2i

x2i

n

∑x i=1

2 2

% ( ' * '( , * a '* 0 * * '*) a *- = *) '* 1 * * '*+ a2 *. * ' * ' *+ &

, ∑yi ** i=1 * n * ∑ x1i yi * i=1 * n ∑ x2i yi ** i=1 . n

13-‐Nov-‐14

§  Persamaan-‐persamaan linear tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matriks



35

x1

x2

y

0

0

5

2

1

10

•  Jawab

2.5

2

9

1

3

0

4

6

3

7

2

27

y = 5+ 4x1 −3x2 !

13-‐Nov-‐14

•  Temukanlah persamaan linear yang mewakili pola sebaran data dalam tabel di samping ini.


Contoh

36

a

a

a

y = a0 x1 1 x2 2 ...xm m ! •  Persamaan di atas sangat bermanfaat pada kasus fi)ng data eksperimen •  Persamaan di atas ditransformasikan menjadi persamaan linear

logy =loga0 +a1 log x1 +a2 log x2 +...+am log xm !

13-‐Nov-‐14

•  Regresi linear ganda dapat dipakai pada kasus hubungan antar variabel yang berupa persamaan pangkat (power equa;ons)



37

13-‐Nov-‐14

Bentuk Umum Persamaan Regresi Linear dengan Metode Kuadrat Terkecil


REGRESI

38

y = a0 z0 +a1 z1 +a2 z2 +...+am zm ! •  z0, z1, …, zm adalah fungsi-‐fungsi yang berjumlah m+1 •  m+1 adalah jumlah variabel bebas •  n+1 adalah jumlah data

•  Persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matriks

{! Y } = !" Z #${ A}

13-‐Nov-‐14

•  Tiga jenis regresi yang telah dipaparkan, yaitu regresi linear, regresi polinomial, dan regresi linear ganda dapat dituliskan dalam bentuk umum model kuadrat terkecil


Regresi Linear (Kuadrat Terkecil)

39

! % % % !Z # = % " $ % % % %" !

T

! Z # ! Z #{ A} = ! Z # {Y } " $ !" $ " $

a01

a11

.

.

.

a02

a12

.

.

.

. . . a0n

. . . a1n

am1 # & am2 & & . & . & & . & amn &$

§  {Y} adalah vektor kolom variabel tak bebas §  [Z] adalah matriks data nilai variabel bebas §  {A} adalah vektor kolom koefisien yang :dak diketahui 2

m # & Sr = ∑%% yi − ∑a j z ji (( ' i=1 $ j=1 ! n

13-‐Nov-‐14

T

{! Y } = !" Z #${ A}



40

T

§  Strategi penyelesaian •  Dekomposisi LU •  Metode Cholesky •  Inversi matriks

−1

!! #T ! ## ! #T { A} = %"" Z $ " Z $&$ " Z $ {Y } !

13-‐Nov-‐14

T

! Z # ! Z #{ A} = ! Z # {Y } " $ !" $ " $



41

13-‐Nov-‐14

Metode Newton Metode Lagrange


INTERPOLASI

42

kuadra:k

kubik


linear

13-‐Nov-‐14

Interpolasi

43

•  Keperluan untuk memperkirakan nilai variabel di antara data akurat yang diketahui •  Metode yang paling sering dipakai untuk keperluan tersebut adalah interpolasi polinomial

•  Bentuk umum persamaan polinomial :ngkat n

!

f x = a0 +a1 x +a2 x 2 +...+an x n

()

•  Hanya ada satu polinomial :ngkat n atau :ngkat yang lebih kecil yang melalui semua n+1 ::k data

13-‐Nov-‐14

•  Situasi


Interpolasi

44

•  Metode Newton •  Metode Lagrange

13-‐Nov-‐14

•  Penyelesaian persamaan polinomial :ngkat n membutuhkan sejumlah n + 1 ::k data •  Metode untuk mencari polinomial :ngkat n yang merupakan interpolasi sejumlah n + 1 ::k data:


Interpolasi

45

13-‐Nov-‐14

Interpolasi Linear: Metode Newton f(x1)

f1 x − f x0

f1(x)

x − x0

( ) ( ) = f (x )− f (x )

f(x0) x0

x

x1

x

!

() ( )

f1 x = f x0 +

1

0

x1 − x0

( ) ( )

f x1 − f x0 x1 − x0

(x − x ) 0


f(x)

46

()

(

) (

)(

f2 x = b0 +b1 x − x0 +b2 x − x0 x − x1

)

= b0 +b1 x −b1 x0 +b2 x 2 +b2 x0 x1 −b2 xx0 −b2 xx1 = b0 −b1 x0 +b2 x0 x1 + b1 −b2 x0 −b2 x1 x + b2 x 2 !## #"### $ !##"##$ %

(

) (

a0

!

!

f2 x = a0 +a1 x +a2 x 2

()

) ( )

a1

a2

"a = b −b x +b x x $ 0 0 1 0 2 0 1 # a1 = b1 −b2 x0 −b2 x1 $ a2 = b2 % !

13-‐Nov-‐14


Interpolasi Kuadratik: Metode Newton

47

b1 = !

( ) ( ) = f "x ,x $

f x1 − f x0 x1 − x0

#

1

0

%

( ) ( ) − f (x )− f (x )

f x2 − f x1 b2 = !

x2 − x1

1

x1 − x0

x2 − x1

0

= f "# x2 ,x1 ,x0 $% =

f "# x2 ,x1 $% − f "# x1 − x0 $% x2 − x1

13-‐Nov-‐14

( )

b0 = f x0 !


Interpolasi Kuadratik: Metode Newton

48

!

( ) b = f (x )

(

)(

) (

0

0

b1 = f !" x1 ,x0 #$ b2 = f !" x2 ,x1 ,x0 #$ . . . bn = f !" xn ,xn−1 ,...,x1 ,x0 #$ !

)

13-‐Nov-‐14

()

fn x = b0 +b1 x − x0 +...+bn x − x0 x − x1 ... x − xn−1


Interpolasi Polinomial: Metode Newton

49

"

i

j

$

xi − x j

f !" xi ,x j ,xk #$ =

!

j

f !" xi ,x j #$ − f !" x j ,xk #$

xi − xk f !" xn ,xn−1 ,...,x1 #$ − f !" xn−1 ,nn−2 ,...,x0 #$ f !" xn ,xn−1 ,...,x1 ,x0 #$ = xn − x0

13-‐Nov-‐14

i


Interpolasi Polinomial: Metode Newton f (x )− f (x ) ! # f x ,x =

fn (x ) = f (x0 ) + (x − x0 ) f[x1, x0 ] + (x − x0 )(x − x1) f[x2 , x1, x0 ] + ... +

(x − x0 )(x − x1)...(x − xn −1) f[xn , xn −1,..., x0 ]

50

i

xi

f(xi)

0

x0

1

Langkah Hitungan ke-‐1

ke-‐2

ke-‐3

f(x0)

f[x1,x0]

f[x2,x1,x0]

f[x3,x2,x1,x0]

x1

f(x1)

f[x2,x1]

f[x3,x2,x1]

2

x2

f(x2)

f[x3,x2]

3

x3

f(x3)

13-‐Nov-‐14


Interpolasi Polinomial: Metode Newton

51

()

() ( )

fn x = ∑Li x f xi

()

i=0 n

Li x = ∏ !

j=0 j≠i

x − xj xi − x j

13-‐Nov-‐14

n


Interpolasi Polinomial: Metode Lagrange

52

xi

f(xi)

0

1

1.5

1

4

3.1

2

5

6

3

6

2.1

13-‐Nov-‐14

7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4 X

5

6

7


i

f(x)

Contoh interpolasi

53

Linear Kuadra:k Kubik h8p://is:arto.staff.ugm.ac.id

SPLINE

54

13-‐Nov-‐14

•  Tingkat besar, n >>, mengalami kesulitan apabila ::k-‐::k data menunjukkan adanya perubahan :ba-‐:ba di suatu ::k tertentu (perubahan gradien secara :ba-‐:ba) •  Dalam situasi tsb, polinomial :ngkat kecil, n <<, dapat lebih representa:f untuk mewakili pola data •  Spline •  Cubic splines (n = 3) •  Quadra;c splines •  Linear splines

13-‐Nov-‐14

•  Jumlah ::k data n + 1 → interpolasi polinomial :ngkat n


Interpolasi: Spline

55

§  Polinomial :ngkat n

n »

n = 1

n »

n = 1

13-‐Nov-‐14


Interpolasi Polinomial vs Spline

56

: garis lurus : x0, x1, x2, …, xn

() ( ) ( ) f ( x ) = f ( x ) +m ( x − x ) f x = f x0 +m0 x − x0 1

1

x0 ≤ x ≤ x1 x1 ≤ x ≤ x2

1

. . . !


•  Spline :ngkat 1 •  Data urut

13-‐Nov-‐14

Linear Splines

gradien:

() ( )

(

f x = f xn−1 +mn−1 x − xn−1

)

xn−1 ≤ x ≤ xn

f (xi +1) − f (xj ) mi = xi +1 − xj

57

•  Dengan demikian, linear spline adalah sama dengan interpolasi linear •  Kekurangan linear spline adalah ke:dak-‐mulusan kurva interpolasi •  Terdapat perubahan slope yang sangat tajam di ::k-‐::k data atau di ::k-‐::k pertemuan kurva spline (knot) •  Deriva:f pertama fungsi linear spline diskon:nu di ::k-‐::k knot •  Kelemahan linear spline tersebut diatasi dengan pemakaian polinomial yang memiliki :ngkat lebih :nggi yang menjamin kemulusan kurva spline di knots dengan cara menyamakan nilai deriva:f di ::k-‐::k knot

13-‐Nov-‐14

•  Linear spline


Linear Splines

58

•  Untuk mendapatkan kurva yang memiliki diferensial/laju-‐perubahan ke-‐m kon:nu di ::k knot, maka diperlukan kurva spline yang ber:ngkat paling kecil m + 1. •  Yang paling banyak dipakai adalah spline :ngkat 3 (cubic spline): diferensial pertama dan kedua kon:nu di ::k-‐::k knot. •  Ke:dak-‐mulusan diferensial ke:ga, keempat, dst. umumnya :dak begitu tampak secara visual

13-‐Nov-‐14

•  Quadra;c splines


Quadratic Splines

59

f (x ) = ai x2 + bi x + ci

•  Untuk (n+1) ::k data (i = 0, 1, 2, …, n), terdapat n interval, sehingga terdapat 3n koefisien yang harus dicari (ai, bi, ci), i = 1, 2, ..., n. •  Perlu persamaan sejumlah 3n.

13-‐Nov-‐14

•  Tujuan: mencari polinomial :ngkat 2 untuk se:ap interval ::k-‐ ::k data. •  Polinomial :ngkat 2 tsb harus memiliki diferensial pertama (laju perubahan) yang kon:nu di ::k-‐::k data. •  Polinomial :ngkat 2:


Quadratic Splines

60

•  Ke-‐3n persamaan tsb adalah sbb. 1.  Kurva spline memotong ::k-‐::k data (knot): interval i -‐ 1 dan i bertemu di ::k data {xi -‐ 1, f(xi -‐ 1)}

ai−1 xi−12 +bi−1 xi−1 +ci−1 = f xi−1 ai xi−12 +bi xi−1

( ) +c = f ( x )

i = 2, 3, …, n 2(n -‐ 1) pers.

i i−1 ! 2.  Kurva spline di interval pertama memotong ::k data pertama (i = 1) dan kurva spline di interval terakhir memotong ::k data terakhir (i = n) 2 a1x0 + b1x0 + c1 = f (x0 ) 2 pers. 2 an xn + bn xn + cn = f (xn )


13-‐Nov-‐14

Quadratic Splines

61

3.  Diferensial (gradien) kurva spline di dua interval berurutan adalah sama di ::k data yang bersangkutan

()

f ! x = 2ax +b ⇒ 2ai−1 xi−1 +bi−1 = 2ai xi−1 +bi

i = 2, 3, …, n (n -‐ 1) pers. 4.  Diferensial kedua (laju perubahan gradien) kurva spline di ::k data pertama sama dengan nol 1 pers. ai = 0 !

!

Konsekuensi: 2 ::k data pertama (i = 0 dan i = 1) dihubungkan dengan garis lurus

13-‐Nov-‐14

•  Ke-‐3n persamaan tsb adalah sbb.


Quadratic Splines

62

2(n – 1) + 2 + (n – 1) + 1 = 3n

13-‐Nov-‐14

•  Dengan demikian, jumlah persamaan seluruhnya:


Quadratic Splines

63

•  Polinomial :ngkat 3 tsb harus memiliki diferensial pertama (gradien) dan diferensial kedua (laju perubahan gradien) yang kon:nu di ::k-‐::k data. •  Polinomial orde 3:

!

fi x = ai x 3 +bi x 2 +ci x +di

()

•  Untuk (n+1) ::k data (i = 0, 1, 2, …, n), terdapat n interval, shg. terdapat 4n koefisien yang harus dicari (ai,bi,ci,di), i = 1, 2, ..., n. •  Perlu persamaan sejumlah 4n.

13-‐Nov-‐14

•  Tujuan: mencari polinomial :ngkat 3 untuk se:ap interval ::k-‐ ::k data.


Cubic Splines

64

1.  Kurva spline memotong ::k-‐::k data (knot): interval i -‐ 1 dan i bertemu di ::k data {xi -‐ 1, f(xi -‐ 1)} → (2n -‐ 2) pers. 2.  Kurva spline di interval pertama memotong ::k data pertama dan kurva spline terakhir memotong ::k data terakhir → 2 pers. 3.  Diferensial pertama kurva spline di dua interval berurutan adalah sama di ::k data ybs. → (n -‐ 1) pers. 4.  Diferensial kedua kurva spline di dua interval berurutan adalah sama di ::k data ybs. → (n -‐ 1) pers. 5.  Diferensial kedua kurva spline di ::k data pertama dan terakhir sama dengan nol → 2 pers.

13-‐Nov-‐14

•  Ke-‐4n persamaan tsb adalah sbb.


Cubic Splines

65

•  Kurva spline di interval pertama dan interval terakhir berupa garis lurus •  dua ::k data pertama dihubungkan dengan sebuah garis lurus •  dua ::k data terakhir dihubungkan dengan sebuah garis lurus

•  Ada sebuah syarat alterna:f sebagai penggan: syarat kelima tsb •  Deriva:f kedua di ::k knot terakhir diketahui

13-‐Nov-‐14

•  Ke-‐4n persamaan tsb. •  Syarat kelima membawa konsekuensi sbb.


Cubic Splines

66

•  Dimungkinkan untuk melakukan manipulasi matema:s shg diperoleh suatu teknik cubic splines yang hanya memerlukan n – 1 penyelesaian (lihat uraian di buku acuan •  Chapra, S.P., Canale, R.P., 1985, Numerical Methods for Engineers, McGraw-‐Hill Book Co., New York, hlm. 395-‐396).

13-‐Nov-‐14

•  Diperoleh 4n persamaan yang harus diselesaikan untuk mencari 4n koefisien, ai, bi, ci, di 2(n – 2) + 2 + (n – 1) + (n – 1) + 2 = 4n


Cubic Splines

67

2 unknowns di se:ap interval: f !! xi−1 !!dan!!f !! xi !

( )

# +% %$ # +% %$

( )

i−1

i−1

i+1

i+1

i+1

i

i−1

i

i

i−1

)

( )

f xi−1

(

xi − xi−1

)

( )

f xi

( ) ) ( ) #f x − f x % $ ( ) ( )& xi − xi−1

! f "" xi + xi+1 − xi f "" xi+1 =

( x − x ) f ""( x ) +2( x − x ) ( ) ( 6 6 # f x − f x %+ ( ) ( ) & x −x x − x )$ ( ( ) ! i

(

6 xi − xi−1

i−1

i

(

)

( )

f !! xi−1

3

xi − x +

(

6 xi − xi−1

)

(

x − xi−1

)

3

13-‐Nov-‐14

()

fi x =

( )

f !! xi−1


Cubic Splines

f !! xi−1 xi − xi−1 & ( x −x − (' i 6 f !! xi−1 xi − xi−1 & ( x−x − i−1 (' 6 " n!interval $ $ f !! x0 = 0# ⇒ n−1 !pers. $ 68 f !! xn = 0$% !

( )(

)

( )(

)

( ) ( )

(

)

(

(

)

)

69


13-‐Nov-‐14

Teknik Pengolahan Data

Recommend Documents