Teknik Menguadratkan Suatu Bilangan dengan Mudah Oleh: Pujiati
Operasi hitung perkalian sudah diajarkan sejak di sekolah dasar (SD) kelas II semester 2, namun kadang siswa masih mengalami kesulitan apabila melakukan operasi hitung perkalian secara cepat. Terutama, ketika mereka harus menguadratkan suatu bilangan secara mudah dan cepat. Oleh karena itu pada kesempatan kali ini penulis akan mengulas tentang bagaimana cara/teknik menghitung kuadrat suatu bilangan. Beberapa cara yang dapat dilakukan antara lain dengan menggunakan teknik sebagai berikut. 1. Kuadrat jumlah suatu bilangan a.
Jika terdiri dari dua angka Contoh 1: 922 = .... Untuk
mempermudah
dalam
melakukan
perhitungan,
maka
diilustrasikan sebagai berikut. 1) Pisahkan antara puluhan dan satuan: (90 + 2)2 2) Gambarkan secara geometris dengan luasan seperti berikut. 90
2
I
II
90
III
IV
2
90 + 2
3) Ternyata ada 4 bagian. Hitunglah luas masing-masing bagian Luas I = 902 = 810 Luas II
= 2 × 90 = 180
Luas III
= 90 × 2 = 2 × 90 = 180
Luas IV
=2×2 =4
dapat
4) Jumlahkan hasilnya: 810 + (2 × 180) + 4 = 8464 5) Berdasarkan ilustrasi tersebut di atas, ternyata kuadrat dua bilangan dapat dilakukan dengan cara sederhana, yaitu: 922 = (90 + 2)2 = (90 + 2)(90 +2)
= (90 × 90) + (90 × 2) + (90 × 2) + 22 = 902 + 2(90 × 2) + 22 = 8464 2
Contoh 2: 78 = .... Penyelesaian: 782 = (70 + 8)2 = (70 + 8)(70 + 8) = 702 + 2(70 × 8) + 82 = 4900 + 1120 + 64 = 6084 b.
Jika terdiri dari tiga angka Contoh 1: 1242 = .... Untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan dan mengacu pada cara di atas, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut. 1) Pisahkan antara ratusan, puluhan, dan satuan: 1242 = (100 + 20 + 4)2 = (100 + 20 + 4)(100 + 20 + 4) = 1002 + 2(100 × 20) + 2(100 × 4) + 2(20 × 4) + 202 + 42 = 10.000 + 4000 + 800 + 160 + 400 + 16 = 15.376 Contoh 2: 2122 = .... Penyelesaian: 2122 = (200 + 10 + 2)2
= (200 + 10 + 2) (200 + 10 + 2) = 2002 + 2(200 × 10) + 2(200 × 2) + 2(10 × 2) + 102 + 22 = 40.000 + 4.000 + 800 + 40 + 100 + 4 = 44.944 2. Dengan selisih kuadrat bilangan Misalkan: 982 = .... Caranya adalah sebagai berikut.
100 +2
a. Dari bilangan dasarnya (98), ditambahkan suatu bilangan agar menjadi mudah untuk dikalikan.
98
Misalkan
ditambah
2
menjadi100
–2
b. Agar
96
seimbang,
kurangkan
bilangan dasar dengan bilangan yang sama: 98 – 2 = 96
c. Kalikan kedua bilangan: 100 × 96 = 9600 d. Tambahkan hasilnya dengan 2 kuadrat: 9600 + 22 = 9604 Cara-cara di atas dapat dituliskan seperti berikut. 982 = (98 + 2) × (98 – 2) + 22 = 100 × 96 + 22 = 9600 + 4 = 9604 Untuk menunjukkan kebenarannya adalah sebagai berikut. 982 = (98 + 2) × (98 – 2) + 22 = (98 × 98) + (98 × (-2)) + (2 × 98) + (2 × -2) + 22 = (98 × 98) – (98 × 2) + (98 × 2) – 4 + 4 = 982
maka
3. Memangkatkan suatu bilangan yang bilangan akhirnya 5 Contoh 1: 352 = .... Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. a. Pisahkan satuannya b. Kuadratkan puluhannya dan tambahkan dengan bilangan puluhan: 32 + 3 = 12 c. Kuadratkan satuannya52 = 25, dan tuliskan jawabannya dibelakang jawaban sebelumnya (12), sehingga menjadi 1225 Jadi 352 = 1225 Contoh 2: 752 = .... a.
(7 × 7) + 7 = 49 + 7 = 56
b. Tambakan belakang jawaban dengan 25, menjadi: 5625 c.
Jadi 752 = 5625
Contoh 3: 1252 = .... a. (12 × 12) + 12 = 144 + 12 = 156 b. Tambakan belakang jawaban dengan 25, menjadi: 15625 c. Jadi 1252 = 15625
Mengapa hal itu dapat dilakukan? Coba perhatikan bukti berikut ini. Untuk setiap bilangan yang angka terakhirnya 5 dapat dituliskan sebagai A + 5, A adalah kelipatan 10. Karena A merupakan kelipatan 10, maka dapat dituliskan menjadi 10b + 5. (10b + 5)2
= (100b2 + 2(10b × 5) + 52 = 100b2 + 100b + 25 = 100b(b + 1) + 25
Karena b merupakan kelipatan 10, maka dapat kita tuliskan b(b +1), dan b dapat digantikan dengan puluhan, ratusan, maupun ribuan. Coba diskusikan lebih lanjut dengan teman-teman Anda.
4. Menguadratkan suatu bilangan besar secara cepat Contoh 1: 122 = …. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. a. Tuliskan 12 dan beri garis di bawahnya seperti berikut. 12 b. Tuliskan kuadrat dari bilangan 1 dan 2 dan tuliskan di bawah angka 12 dan tuliskan angka 0 di depan hasil kuadrat bilangan-bilangan tersebut jika hasilnya bilangan 1 angka. Oleh karena 1 × 1 = 1 dan 2 × 2 = 4, maka dituliskan 12 0104 c. Kalikan angka pertama dan kedua bilangan yang dikuadratkan, kemudian kalikan dengan dua, sehingga diperoleh hasil 1 × 2 × 2 = 4. Tuliskan bilangan 4 di bawah nol (angka kedua dari kanan) pada bilangan 0104. Kenapa dituliskan demikian? 12 0104 4 d. Tambahkan dua baris terakhir dan hilangkan bilangan nol yang pertama, sehingga diperoleh hasil seperti berikut. 12 0104 4 144 Contoh 2: 522 = …. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. a. Tuliskan 52 dan beri garis di bawahnya seperti berikut. 52 b. Tuliskan kuadrat dari bilangan 5 dan 2 dan tuliskan di bawah angka 52. Oleh karena 5 × 5 = 25 terdiri dari 2 angka, maka kita tidak perlu menambahkan angka 0 di depannya. Sebaliknya, 2 × 2 = 4, maka perlu ditambahkan 0 di
depan angka 4 karena hasil kuadrat bilangan 2 terdiri dari 1 angka. Hasil tersebut dapat dituliskan seperti berikut. 52 2504 c. Kalikan angka terakhir dan pertama, kemudian kalikan dengan dua, sehingga diperoleh hasil 2 × 2 × 5 = 20. Tuliskan bilangan 20, maju satu bilangan dari kanan pada bilangan 2504 seperti berikut. 52 2504 20 d. Tambahkan dua baris terakhir sehingga diperoleh hasil seperti berikut. 52 2504 20 2704 Bagaimana jika bilangannya lebih dari 2 angka, apakah cara di atas dapat berlaku? Marilah kita coba menguadratkan bilangan 3 angka dan 4 angka seperti contoh berikut. Contoh 1: 2142 = …. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. a. Kuadratkan masing-masing bilangan, apabila hasilnya kurang dari 10, maka tambahkan 0 di depan hasil. (2 × 2 = 4, 1 × 1 = 1, 4 × 4 = 16). Hasilnya yang dituliskan adalah 040116. b. Kalikan bilangan pertama dan kedua (2 × 1) serta bilangan kedua dan ketiga (1 × 4). Masing-masing kalikan dengan 2 (2 × 1 × 2 = 4 dan 1 × 4 × 2 = 8). Karena semua hasilnya kurang dari 10, maka hasil dapat dituliskan sebagai 0408. c. Kalikan bilangan pertama dan terakhir, kemudian kalikan dengan 2 (2 × 4 × 2 = 16). d. Tuliskan semua hasilnya dengan ketentuan, hasil pada baris kedua diletakkan satu angka di depan angka terakhir, demikian seterusnya seperti berikut,
040116 0408 16 45796 Jadi 2142 = 45796. Contoh 2: 47382 = .... Langkah-langkanya adalah sebagai berikut. a. Kuadratkan masing-masing bilangan, apabila hasilnya kurang dari 10, maka tambahkan 0 di depannya. (4 × 4 = 16, 7 × 7 = 49, 3 × 3 = 9, 8 × 8 = 64). Hasilnya dapat dituliskan 1 6 4 9 0 9 6 4 b. Selanjutnya, kalikan dengan dua bilangan-bilangan pada angka berikut. 1)
Pertama (4) dan kedua (7)
: 4 × 7 × 2 = 56
2)
Kedua (7) dan ketiga (3)
: 7 × 3 × 2 = 42
3)
Ketiga (3) dan keempat (8)
: 3 × 8 × 2 = 48
Tuliskan hasilnya, berurut mulai dari atas 5 6 4 2 4 8 c. Kemudian, kalikan dengan dua bilangan-bilangan pada angka berikut. 1)
Pertama (4) dengan ketiga (3)
2)
Kedua (7) dengan keempat (8) : 7 × 8 × 2 = 112
: 4 × 3 × 2 = 24
Bilangan pertama (1) pada 112 tambahkan dengan bilangan terakhir (4) pada 24, sehingga hasilnya adalah 2512, mengapa demikian? Tuliskan hasilnya seperti berikut. d. Kalikan bilangan pertama dan terakhir, kemudian kalikan dengan 2. Hasilnya adalah 4 × 8 × 2 = 64. e. Keseluruhan hasilnya dapat dituliskan seperti berikut. 16490964 564248 2512 64 22428644 Jadi 47382 = 22448644. Contoh 3: 35412352 = ….
Dengan langkah yang sama, maka akan diperoleh hasil seperti berikut. 09251601040925 304008041230 2410160620 06202410 123040 1850 30 12440345325225
Cara-cara di atas adalah sebagai suatu alternatif dalam menghitung kuadrat suatu bilangan. Tentu saja yang utama adalah semakin banyak Anda berlatih menguadratkan suatu bilangan, maka Anda akan dapat melakukannya dengan cepat. Selamat berlatih dan semoga Anda dapat menemukan cara menguadratkan suatu bilangan lainnya. Referensi Pujiati. 2010. Pembelajaran Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Suatu Bilangan di Sekolah Dasar (Modul Matematika SD Program BERMUTU). Yogyakarta: PPPPTK Matematika. ---. How to square large numbers quickly (part 1). http://wildaboutmath.com/2007/11/04/ how -to-square-large-numbers-quickly-part-1/November 4th, 2007|by Sol| Weisstein, Eric W., “Square Number” from MathWorld. Diakses tanggal 19 Februari 2010.
