Geometrie
Plochy
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy
Rozvinuteln´ aˇ sroubov´ a plocha v Mongeovˇ e prom´ıt´ an´ı Pˇ r´ıklad: V Mongeovˇe prom´ıt´an´ı zobrazte p˚ ul z´avitu rozvinuteln´e ˇsroubov´e plochy, jej´ıˇz hranou vratu je pravotoˇciv´a ˇsroubovice, kter´a proch´az´ı bodem A, m´a vrchol V kuˇzelov´e plochy teˇcen a osu o ⊥ π, V ∈ o; plochu omezte hranou vratu a p˚ udorysnou a proved’te rozvinut´ı t´eto jej´ı ˇc´asti do roviny; A[0; 5; 0], V [0; 3; 2].
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
1
Geometrie
Plochy o2
V2
A2 = O1,2
x1,2
V1 =o1
A1
• podle zad´an´ı sestrojme sdruˇzen´e pr˚ umˇety A1 , A2 (kde A2 = O1,2 ) a V1 , V2 dan´ ych bod˚ u A, V ; p˚ udorysem osy o ⊥ π, V ∈ o je bod o1 = V1 , jej´ım n´arysem je pˇr´ımka o2 = A2 V2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
2
Geometrie
Plochy o2
V2
x1,2
A2 = O1,2 II
61
I h1 30◦
51 41
V1 =o1 31 21 A1
11
• hranou vratu plochy je pravotoˇciv´a ˇsroubovice h, kter´a vznikne ˇsroubov´an´ım bodu A kolem osy o pˇri redukovan´e v´ yˇsce v0 = zV = 2 z´avitu; p˚ udorysem ˇsroubovice h je kruˇznice h1 (V1 , r = |V1 A1 |), na n´ıˇz m˚ uˇzeme sestrojit p˚ udorysy 11 , 21 , . . . , 61 (od bodu ◦ A1 po 30 proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek) dalˇs´ıch ˇsesti bod˚ u 1, 2, . . . , 6, kter´e leˇz´ı na konstruovan´e polovinˇe z´avitu ˇsroubovice h; abychom mohli v n´asleduj´ıc´ım kroku zjistit d´elku poloviny v´ yˇsky v z´avitu, nachystejme si jeˇstˇe v p˚ udoryse d´elku poloviny kruˇznice h1 : podle Kochaˇ nsk´eho rektifikace sestrojme na teˇcnˇe kruˇznice h1 v bodˇe 61 pomocn´e . body I, II, kde |III| = 3r, a z´ısk´ame tak, s malou chybou, hledanou d´elku πr = |IIA1 |
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
3
Geometrie
Plochy
62
o2
M2
h2
52
42
32 22
V2 12
K2 II
A2 = O1,2
L2
61
x1,2
I h1 30◦
51 41
V1 =o1 31 21 A1
11
• nejprve urˇc´ıme polovinu a n´aslednˇe dvan´actinu v´ yˇsky v z´avitu, a to pomoc´ı charakteristick´eho troj´ uheln´ıka KLM ˇsroubovice h; na ose x1,2 nanesme d´elku r = |V1 A1 | = 2 doleva od bodu A2 a takto z´ıskan´ y koncov´ y bod oznaˇcme K2 ; od nˇej smˇerem doprava . (opˇet na ose x1,2 ) nanesme d´elku |IIA1 | = πr (zjiˇstˇenou v pˇredchoz´ım kroku) a krajn´ı bod oznaˇcme L2 ; tˇret´ı vrchol M2 n´arysu troj´ uheln´ıka KLM pak mus´ı leˇzet na pˇreponˇe K2 V2 a na kolmici k ose x1,2 veden´e bodem L2 ; d´elka odvˇesny L2 M2 ud´av´a polovinu ych d´ıl˚ u a z´ısk´ame tak v´ yˇsky v z´avitu, tj. v2 = |L2 M2 |; tuto d´elku rozdˇelme na ˇsest stejn´ v´ yˇsky bod˚ u 1, 2, . . . , 6 ˇsroubovice h, jejichˇz pˇr´ısluˇsn´e n´arysy dopln´ıme snadno pomoc´ı ordin´al (pˇr´ısluˇsn´e konstrukce jsou zˇrejm´e z obr´azku); t´ım m´ame sestrojeny sdruˇzen´e pr˚ umˇety h1 , h2 poloviny z´avitu ˇsroubovice h – hrany vratu dan´e rozvinuteln´e ˇsroubov´e plochy
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
4
Geometrie
Plochy
62
o2
M2
h2
52
42 t2
t′2 32 22
V2 12
K2
A2 = O1,2
P2′
61
II
L2 t1
I h1
P26
x1,2
P16
51 30◦
41 V1 =o1 31=P1′
t′1 21 A1
11
• d´ale budeme v bodech 1, 2, . . . , 6 sestrojovat teˇcny ke ˇsroubovici h, postup popiˇsme podrobnˇeji pro konstrukci teˇcny t v bodˇe 6: p˚ udorys t1 je teˇcna ke kruˇznici h1 v bodˇe 61 ; pˇr´ımka t01 = P10 V1 , kde bod P10 = 31 dostaneme otoˇcen´ım bodu 61 po kruˇznici h1 o 90◦ proti smˇeru stoup´an´ı ˇsroubovice h, je p˚ udorysem pˇr´ımky t0 = P 0 V , kter´a leˇz´ı na pˇr´ısluˇsn´e kuˇzelov´e ploˇse teˇcen a je rovnobˇeˇzn´a s hledanou teˇcnou t; n´arys P20 leˇz´ı na ordin´ale a na ose x1,2 a d´ale plat´ı t2 k t02 , 62 ∈ t2 , pˇriˇcemˇz t02 = P20 V2 (pro zaj´ımavost poznamenejme, ˇze v bl´ızkosti pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky t2 s u ´seˇckou L2 M2 vznik´a zaj´ımav´ y optick´ y klam nalomen´ı“ pˇr´ımky t2 , zp˚ usoben´ y pˇeti teˇckovan´ ymi rovnobˇeˇzkami, kter´e ” slouˇzily k rozdˇelen´ı u ´seˇcky L2 M2 na ˇsest stejn´ ych d´ıl˚ u); doplˇ nme jeˇstˇe p˚ udorysn´ y stopn´ık 6 6 6 P = t ∩ π sestrojen´e teˇcny t: v n´aryse je P2 = t2 ∩ x1,2 a p˚ udorys P1 leˇz´ı na ordin´ale a na pˇr´ımce t1
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5
Geometrie
Plochy
62
o2
M2
h2
52
42 t2
t′2 32 22
V2 12 P22
K2 II
A2 = O1,2 P21 61 h1
P2′ =P23 P24 L2 t1
I
P25 P26
x1,2
P16
51 30◦
41 V1 =o1 31=P1′
t′1
P15
21 A1 P11 P12
11 P14 P13
• stejn´ ym zp˚ usobem jako v pˇredchoz´ım kroku sestrojme sdruˇzen´e pr˚ umˇety teˇcen ˇsroubovice h i v jej´ıch zb´ yvaj´ıc´ıch bodech 1, 2, . . . , 5 a opˇet doplˇ nme n´arysy a n´aslednˇe na ordin´al´ach p˚ udorysy pˇr´ısluˇsn´ ych p˚ udorysn´ ych stopn´ık˚ u P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 ; p˚ udorys 3 3 3 P1 stopn´ıku P ovˇsem nenajdeme tak snadno, nebot’ body 32 , P2 , 31 leˇz´ı na stejn´e ordin´ale; ze zad´an´ı vypl´ yv´a, ˇze ˇsroubovice h m´a sklon ϕ = 45◦ (je totiˇz r = v0 ) a tent´ yˇz sklon vzhledem k p˚ udorysnˇe m´a tedy tak´e kaˇzd´a jej´ı teˇcna; odtud jiˇz snadno odvod´ıme 3 3 |P1 31 | = |P2 32 |; pˇri jin´em zad´an´ım bychom mohli vyuˇz´ıt napˇr. sklopen´ı p˚ udorysnˇe 3 prom´ıtac´ı roviny teˇcny v bodˇe 3 do p˚ udorysny, nebo bychom vzd´alenost |P1 31 | mohli urˇcit pomoc´ı n´arysu K2 L2 M2 charakteristick´eho troj´ uheln´ıka ˇsroubovice h (zkuste si to promyslet jako cviˇcen´ı. . . )
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
6
Geometrie
Plochy
62
o2
M2
h2
52
42 t2
t′2 32 22
V2 12
e2 P2′ =P23 P24 L2 t1
P22
K2 II
A2 = O1,2 P21 61 h1
I
P25 P26
x1,2
P16
51 30◦
41 V1 =o1 31=P1′
t′1
P15
21 A1 P11 P12
e1
11 P14 P13
• d´a se dok´azat, ˇze pro d´elky kruhov´ ych oblouk˚ u na kruˇznici h1 plat´ı |A1 11 | = |11 P11 |,
|A1 21 | = |21 P12 |, . . . , |A1 61 | = |61 P16 |, z ˇcehoˇz vypl´ yv´a, ˇze p˚ udorysn´e stopn´ıky P 1 , P 2 , . . . . . . , P 6 sestrojen´ ych teˇcen leˇz´ı na tzv. evolventˇ e e kruˇznice h1 ; ta leˇz´ı v p˚ udorysnˇe, a 6 tud´ıˇz spl´ yv´a se sv´ ym p˚ udorysem e1 , jej´ım n´arysem je u ´seˇcka e2 = A2 P2 na ose x1,2 ; t´ım je u ´loha v pr˚ umˇetech vyˇreˇsena
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
7
Geometrie
Plochy 1 o2
M2
V2 60
v0
u 50
v 12
K2
L2
r0
S 40 h0 30
r0 20 10 A0 P01
2
u
P06 P02 e0 P03 P04
P05
• pro rozvinut´ı sestrojen´e (a v pˇredchoz´ıch kroc´ıch zobrazen´e) ˇc´asti plochy je uˇziteˇcn´e pˇrekreslit si n´arys K2 L2 M2 charakteristick´eho troj´ uheln´ıka ˇsroubovice h a oznaˇcit v nˇem nˇekolik uˇziteˇcn´ ych u ´daj˚ u: pˇredevˇs´ım si uvˇedomme, ˇze d´elka pˇrepony K2 M2 je souˇcasnˇe (
(
d´elkou poloviny z´avitu ˇsroubovice h, a tud´ıˇz plat´ı u = 61 |K2 M2 | = |A1| = |12| = · · · = (
(
(
(
= |56|, kde A1, 12, . . . , 56 jsou jednotliv´e oblouky ˇsroubovice h mezi jej´ımi sousedn´ımi dˇelic´ımi body; d´ale se d´a uk´azat, ˇze ˇsroubovice h m´a v kaˇzd´em bodˇe stejn´ y tzv. polomˇ er r 2 +v02 r0 kˇ rivosti, pro kter´ y plat´ı r0 = r , kde r = |K2 o2 | = 2 je polomˇer ˇsroubovice h a v0 = zV = 2 je jej´ı redukovan´a v´ yˇska z´avitu; d´elku r0 lze tak´e snadno sestrojit v troj´ uheln´ıku K2 L2 M2 , staˇc´ı v´est bodem V2 kolmici k pˇreponˇe K2 M2 , urˇcit jej´ı pr˚ useˇc´ık s osou x1,2 a odmˇeˇrit jeho vzd´alenost od bodu K2 (z Pythagorovy vˇety je |K2 V2 | = p = r2 + v02 a podle Eukleidovy vˇety o odvˇesnˇe m´a tedy vskutku sestrojen´a pˇrepona Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
8
Geometrie
Plochy r 2 +v 2
d´elku r0 = r 0 , pˇri naˇsem zad´an´ı vych´az´ı r0 = 4, coˇz je vidˇet z obr´azku nebo to lze snadno spoˇc´ıtat); nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme pˇristoupit k z´avˇereˇcn´emu rozvinut´ı: v nˇem ˇsroubovice h pˇrejde do kruˇznice h0 (S, r0 ) (jej´ı stˇred S zvolme libovolnˇe); na kruˇznici h0 zvolme bod A0 a od nˇej na ni nanesme d´elku u – to provedeme pomoc´ı Sobotkovy rektifikaˇcn´ı metody: na polopˇr´ımce A0 S sestrojme bod 1, kde |1A0 | = 3r0 (nebo |1S| = 2r0 ), na teˇcnˇe ke kruˇznici h0 v bodˇe A0 sestrojme bod 2 tak, aby bylo |A0 2| = u; pak u ´seˇcka . 12 protne kruˇznici h0 v bodˇe 10 , pro kter´ y je |A0 10 | = u; nyn´ı jiˇz snadno dopln´ıme dalˇs´ı body 20 , 30 , . . . , 60 rozvinut´e ˇsroubovice h; na z´avˇer staˇc´ı v kaˇzd´em z tˇechto bod˚ u sestrojit teˇcnu ke kruˇznici h0 , nan´est na ni (v pˇr´ısluˇsn´em smˇeru) odpov´ıdaj´ıc´ı n´asobek d´elky u, tj. sestrojit body P01 , P02 , . . . , P06 , kde |10 P01 | = u, |20 P02 | = 2u, . . . , |60 P06 | = 6u (tyto d´elky m˚ uˇzeme odmˇeˇrit na pˇreponˇe K2 M2 ), a spojit tyto koncov´e body evolventou e0 kruˇznice h0 , do n´ıˇz se rozvine evolventa e = e1 kruˇznice h1 z pˇredchoz´ıho obr´azku; t´ım je rozvinut´ı plochy do roviny provedeno, urˇcitˇe si zkuste v´ ysledek vystˇrihnout z pap´ıru a postavit“ nad sestrojen´ y p˚ udorys. . . ” 2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
9
