Többváltozós-többdimenziós egyenlõtlenség és a szegénység

Tanulmányok

Többváltozós-többdimenziós egyenlõtlenség és a szegénység Hajdu Ottó, a Budapesti Corvinus Egyetem tanszékvezető egyetemi docense E-mail: [email protected]

A tanulmány célja egy új, terminológiánk szerint GVIP (generalized variance inequality and poverty) többváltozós módszer definiálása az egyenlőtlenség többdimenziós mérésében, majd szegmentált társadalomra megadni annak külső-belső csoportközi felbontását, és az elvet a szegénység mérésében is alkalmazni. A módszer a szóródás többváltozós, általánosított variancia mértékén alapul. A csoportközi dekompozíció a Wilks’ lambda hányadost alkalmazza, lehetővé téve a numerikus számítások standard statisztikai programmal történő kalkulálását. A GVIP elv a szerző által definiált új mátrix, nevezetesen a Theil-kovarianciamátrix determinánsára épül, amit a tanulmány általánosított Theil-varianciaként nevez el. A szegénység mérésében transzformált eloszlásokra alkalmazva a GVIP mint szegénységi mérték adódik. A GVIP figyelembe veszi a dimenziók korrelációs rendszerét és aszimmetrikus eloszlását, és egydimenziós esetben is többváltozós technikát alkalmaz, kihasználva annak előnyeit. TÁRGYSZÓ: Általánosított entrópia és variancia. Többdimenziós egyenlőtlenség és szegénység. Diszkriminancia analízis, Wilks’ lambda.

Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám

790

Hajdu Ottó

A

tanulmány gazdasági-társadalmi jelenségek (dimenziók) egyenlőtlenségét vizsgálja, amit szóródásként értelmez és ennek megfelelően méri azt. Célunk több dimenzió tekintetében egyidejűleg és kompozit módon mérni az egyenlőtlenség fokát, figyelembe véve a dimenziók korrelációs kapcsolatait és aszimmetrikus eloszlását, majd szegmentált társadalomra megadni az egyenlőtlenség külső-belső arányát, végül pedig rangsorolni a csoporthatásokat a belső egyenlőtlenséghez való százalékos hozzájárulásuk alapján. A módszertani mondandó bemutatása, tárgyalása érdekében – illusztratív céllal – a tanulmány a jövedelem, fogyasztás, vagyoni helyzet dimenziókört alkalmazza. A cikk egy új egyenlőtlenségi módszertant vezet tehát be, mely más területeken, például a szegénység mérésében (mint jelen tanulmányban is), tovább alkalmazható. A javasolt módszertan az egydimenziós, általánosított entrópia mértékből indul ki, mely vagy csak a jövedelem, vagy csak a fogyasztás, vagy csak a vagyon esetére, esetleg ezek valamely egydimenziós kombinációjára vonatkozik. Az entrópia azonban – statisztikai értelemben – egydimenziós esetben is kétváltozós számítás, mert formulája (például a jövedelem esetén) igényli magát a jövedelmet és a jövedelem logaritmusát is. Ebben a megközelítésben a jövedelem egy latens dimenzió, melynek két manifeszt változója valamely konkrét jövedelmi tétel és annak logaritmusa. Az entrópia jellegű logaritmus-megalapozás figyelembe veszi a vizsgált eloszlás (jövedelem) aszimmetrikus voltát, közelebb hozva a szimmetrikus (normális) eloszlás esetét, lehetővé téve így statisztikai tesztek alkalmazását is. Különbséget teszünk tehát dimenziószám és változószám között: ha a vizsgált dimenziók száma p, az alkalmazott változószám 2p. Ezért az egydimenziós vizsgálat is értelemszerűen kétváltozós. A tanulmány új eredményként a dimenziókból és a logaritmusaikból képezi a Theil-féle kovarianciamátrixot, melynek determinánsa adja a Theil-variancia egyenlőtlenségi mértéket. A Theil-mátrix rendje (2p, 2p), és elemeinek jelentését nevezetes (elsősorban információelméleti alapú) egyenlőtlenségi mértékek adják. A Theilvariancia figyelembe veszi mind a dimenziók, mind a változók korrelációs kapcsolatait az egyenlőtlenség fokában. Analógiaként hozva az euklideszi vs. Mahalanobistávolságot, míg az előbbi korrelálatlan, addig az utóbbi korrelált koordinátatengelyeket feltételez. Jelen cikk ebben az értelemben a Mahalanobis-jellegű egyenlőtlenségi mértékek irányában lép tovább. A társadalom csoportosítása esetén – alapvetően gazdasági-társadalmi jellegű csoportosításra gondolva (például település, régió, háztartástípus, szegény volt) – a kovarianciamátrix külső és belső komponensek összegére bontható, ahol a totális általánosított Theil-variancia mértékében a belső egyenlőtlenség arányát a Wilks’ lambda jellemzi. Így a Wilks’ hányados lehetővé teszi az alkalmazott csoportosítás Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám

Többváltozós-többdimenziós egyenlõtlenség és a szegénység

791

százalékos hozzájárulásának az elemzését az egyenlőtlenség forrása tekintetében. Transzformált adatokra alkalmazva, az általánosított variancia mint általánosított szegénységi mérték is értelmezhető. Egyféle megfelelő transzformáció a cenzorálás, ahol a szegénységi küszöb feletti értékeket a küszöb szintje helyettesíti. Ezáltal a szegénységi mérték érzéketlen a küszöb fölötti átrendeződésekre. A cikk felépítése a következő. Az 1. fejezet röviden áttekinti az entrópia fogalmát, majd definiálja a Theil-kovariancia CT mértéket, és megadja kapcsolatát a nevezetes Theil-féle T1 és T2 entrópia alapú indexekkel.1 A 2. fejezet definiálja a Theilmátrixot, és javasolja a determinánsát mint új egyenlőtlenségi mértéket Theil általánosított variancia (röviden Theil-variancia) elnevezéssel, majd példán keresztül bemutatja számításának menetét. A 3. fejezet ismerteti a Theil-variancia csoportközi felbontását, illusztrálja a számításokat, és értelmezi az eredményeket. A 4. fejezet kiterjeszti a módszertant a többdimenziós esetre is. Az 5. fejezet végül a Theilvarianciát cenzorált eloszlásra alkalmazva, értékét szegénységi mérőszámként értelmezi, és adott csoportosításra vonatkozóan dezaggregálja. A tanulmány a számítások részleteinek bemutatásához, az eredmények könnyű ellenőrzése céljából egyfelől egy modellpélda jellegű illusztratív adatállományt használ, másfelől – az eredmények valós nagyságrendjének és a gyakorlati alkalmazás lehetőségeinek érzékeltetése érdekében – az új módszertan a magyar háztartásokat jellemző költségvetési felmérés – az ún. Háztartási Költségvetési Felvétel (HKF) – adatain is alkalmazásra kerül (KSH [2003]).

1. A Theil-kovariancia entrópia-felbontása Mivel a központi mondanivaló a Theil-kovarianciamátrix elemeire épül, ezért a tárgyalást a Theil-kovariancia fogalmi bevezetésével és értelmezésével kezdjük.

1.1. Az entrópia jelölésrendszere és pszeudo-R2 tartalma Legyen az n tagú társadalom relatív jövedelmi eloszlása az átlagos jövedelem bázisában

ri = 1

Yi Y

( i = 1, 2,...,n ) ,

Innen ered a cikk által alkalmazott elnevezés, a Theil-kovariancia.


/1/

792

Hajdu Ottó

ahol Yi az i egyén jövedelme. A relatív jövedelem az átlagos „1” jövedelemhez viszonyítva a di = ri − 1

( d = 0)

/2/

hozamot eredményezi, melynek logaritmikus közelítését a relatív jövedelem logaritmusa adja2

Di = ln ( ri ) ≈ di

( ahol: D ≤ 0) .

/3/

Ez a közelítés annál pontosabb, minél közelebb áll a di tényleges hozam a zéróhoz, vagyis a jövedelmi átlagpont szűk környezetében. Totális egyenlőség esetén a D-hozam és a d-hozam egybe esik, növekvő egyenlőtlenség esetén pedig távolodnak egymástól. A Shannon- [1948] entrópia eredetileg a kapott hír alapján történő előrejelzés bizonytalanságának a mértéke

1 n H( r ) = ln ( n) − ∑ ri Di . n i =1

/4/

Ha a jövedelmek eloszlását magyarázó prediktor változók információja üres, akkor az információ zéró többletet ad az egyedi jövedelmek eloszlásáról, az információ hiányában az a priori előrejelzés egy mindenkire egyaránt vonatkozó konstans jövedelem, és a hír bizonytalansága maximális. Ha a hír információja nem üres, és ezt mindenki ismeri, akkor a jövedelmi modell előrejelzése maga az aktuális eloszlás, a posteriori csökkentve az előrejelzés bizonytalanságát az információ birtokában. Végül, ha létezik „a tökéletes információ”, akkor ezt értelemszerűen csak egyvalaki ismerheti, így övé a totális jövedelem, a modell előrejelzése pedig egyértelmű, zéró bizonytalanság mellett. A klasszikus Shannon-entrópia növekvő értékkel egyre egyenletesebb eloszlást jelez, tehát egyenlőségi mutató. A bizonytalanság csökkenését, közeledését a hír hatására a totális bizonyosság irányába – a lehetséges maximális és minimális szint közötti terjedelmen – az ún. pszeudo-R2 illeszkedési mutató számszerűsíti relatív (százalékosan értelmezendő) formában: R 2 = 1 − H ( r ) / ln ( n ) . 2

A közelítés a logaritmus függvény r = 1 pontban történő Taylor-sorának lineáris tagját használja: ln ( r ) ≈ ( r − 1) = d . Ha például r = 1,01, akkor az egzakt hozam d = r − 1 = 0 , 01 , azaz 1 százalék hozam, a kö-

zelítő hozam pedig D=ln(1,01)=0,00995.



793

Az egyenlőtlenség mérésére azonban – szemben a Shannon-entrópiával – célszerű olyan mutatót alkalmazni, mely növekvőleg az egyenlőtlenség emelkedését jelzi, és több hangsúlyt helyez az eloszlás szegényebb, alsó szegmensén történő változásokra. Ezeket a szempontokat teljesíti a jól ismert generalized entropy (GE) mérték, mely egy α paraméterrel figyelembe veszi az egyenlőtlenséggel szemben érzett averzió mértékét is. Ezek értelmében az α paraméterű általánosított entrópia (Cowell [1977]; Bourguignon [1979]; Shorrocks [1980]; Cowell-Cuga [1981a], [1981b]) formulája az /1/ és /3/ jelölésekkel

GE ( α ) =

n 1 α ∑ ⎡⎣⎢( ri ) − 1⎤⎦⎥ , α ≠ 0,α ≠ 1 , nα ( α − 1) i =1

/5/

ahol L’Hospital-határértékben – és /4/ alapján

GE (1) =

1 n ∑ ri Di = ln ( n ) − H ( r ) , n i =1

1 n GE ( 0) = − ∑ Di = −D . n i =1

/6/

/7/

A GE( α ) index az egyenlőtlenség mutatója, növekvő értékkel az egyenletes eloszlástól való távolodást jelezve. Alacsonyabb α nagyobb súlyt ad az eloszlás alsóbb szegmensén, mint a felső szegmensen történő transzferváltozásra.3 Értelmüket tekintve a két α -specifikus GE-index a két nevezetes Theilegyenlőtlenségi indexet jelenti, rendre: – GE(1): a redundancia Theil1-indexe (Theil [1967]) és – GE(0): a mean logarithmic deviation (MLD), avagy Theil2-index 4 (Theil [1967] 125. old.).

1.2. A Theil-kovariancia A cikk a relatív jövedelem és a log-hozam közti kovarianciát Theil-kovariancia elnevezéssel vezeti be, és definiálja az alábbi módon

CT = Cov ( r,D ) . 3

/8/

A GE-index egy további paraméterrel történő kiterjesztését lásd Cowell [2005]. GE(1) megszokott jelölése az irodalomban T1, míg GE(0) jelölése T2. Az MLD mérőszám magyar jövedelmi adatokra való egy alkalmazását lásd Tóth István György [2003]. 4


794

Hajdu Ottó

A Theil-kovariancia tartalmát a GE felbontása adja /1/, /3/, /6/, /7/ alapján, mely (tekintve, hogy r = 1 )5 CT =

1 n ∑ ri Di − r ⋅ D = GE (1) + GE ( 0 ) . n i =1

/9/

A Theil-kovariancia jelentése: az MLD eltéréssel növelt Theil-redundancia index, és CT eleget tesz mindazon kritériumoknak melyeket MLD és T1 teljesít, így a Pigou– 6 Dalton-transzfer érzékenységi kritériumnak is. A CT kovariancia növekvő értéke emelkedő korrelációt mérve azt jelzi, hogy a D log-hozam egyre redundánsabbá válik mert d egzakt ismerete önmagában tartalmazza a releváns szóródási információt.

2. A Theil-mátrix és a Theil-variancia definiálása Az egyenlőtlenséget a tanulmány mint a szóródás egy megjelenési formáját tekinti, ezért fokát is mint a szóródás fokát méri. Többváltozós megközelítésben a szóródás klasszikus mértéke az ún. generalized variance (általánosított variancia – GV) mutató, formálisan az aktuális változók kovarianciamátrixának a determinánsa.7 Kulcskérdés tehát a megfelelő kovarianciamátrix megadása.

2.1. A Theil-mátrix A tanulmány által bevezetett új egyenlőtlenségi mátrix – terminológiánk szerint – a Theil-mátrix. Az egyszerűség kedvéért az egydimenziós-kétváltozós (r, D) esetben a Theil-(kovariancia) mátrix definíciója

Változó r CT = r Varr D CT

D CT , VarD

/10/

Bár a ⎡⎣GE (1) + GE ( 0 ) ⎤⎦ / 2 átlagot az irodalom szimmetria tulajdonsága miatt használja, a GE(1)+GE(0) összeg kovarianciatartalmának felismerése és a kovarianciamátrix alkalmazásáig való továbbvezetése a szerző önálló eredménye. Szimmetria esetén a mutató invariáns az (x), vagy (1/x) argumentum használatára. 6 Érzékeny a regresszív transzfer mértékére és helyzetére az eloszlásban: a regresszív transzfer egy adott jövedelmi tételt elvesz, és egy gazdagabbhoz csoportosítja át. További, az egyenlőtlenségi indexekkel szemben támasztott általános axiomatikus kritériumok tárgyalását lásd például Cowell [2009]. 7 Az általánosított variancia két- és többváltozós bemutatását lásd például Hajdu [2003] (59–60. old.). 5


795


ahol Var a relatív jövedelem és a log-hozam varianciákat jelöli és CT a Theilkovariancia.

2.2. A Theil-variancia Az egyenlőtlenség mértéke definíciónk szerint a Theil-mátrix determinánsa, a cikk terminológiájában a Theil- (általánosított) variancia, melynek formulája kétváltozós esetben

TGV = det ( CT ) = VarrVarD − CT2 .

/11/

Ha r a D log-hozammal gyengén korrelál – vagyis a relatív jövedelem és a loghozam között alacsony a redundancia –, akkor Varr és VarD együttes információja szükséges a szóródás méréséhez, ha viszont a redundancia jelentős, akkor a VarrVarD felső korlát a redundancia mértékében redukálandó. Lévén TGV szóródást mér, így értéke az egyenlőtlenség növekedésével nő, alsó és felső korlátai pedig rendre

0 ≤ TGV ≤ VarrVarD .

/12/

Az egyenlőtlenség növekedésével a Varr variancia és vele VarD emelkedik, a TGV rés tágul, de a tágulást a Theil-kovariancia (összetevőinek megfelelő növekedésén keresztül) mérsékli. A felső korlátot az „1” értékhez igazítva, a pszeudo-R2 tartalmú normalizált érték 2 RGV =

TGV CT2 =1− = 1 − Corr 2 ( r,D ) , VarrVarD VarrVarD

/13/

mely a Pearson-determináció komplementereként az eloszlás egyenletességének a csökkenését adja az aktuális eloszlás ismeretében. A Theil-mátrix elemeinek értelmezését segítik a felismerések, miszerint Varr = 2GE ( 2 ) az Y jövedelmek VY relatív szórásának a négyzete és VarD = VarlnY . Ezzel a Theil-mátrix tartalma Változó CT =

r D

r

D

= 2GE ( 2) GE (1) + GE ( 0) . GE (1) + GE ( 0) VarlnY VY2


/14/

796

Hajdu Ottó

A Theil-variancia tehát egyidejűleg négy egyenlőtlenségi index hatását is magában foglalja, nevezetesen:8

1. VY : a jövedelem variációs koefficiense (relatív szórása), 2. VarlnY: a logaritmikus jövedelmek varianciája, 3. GE(1): a Theil-redundanciaindex, 4. GE(0): a Theil-mean-logarithmic-deviation index. Újra hangsúlyozzuk, hogy a 2., 3., 4. indexek logaritmus alapúak, tehát hatásuk tompítja az aszimmetriából eredő torzítást statisztikai tesztek alkalmazásakor. Geometriai interpretációban TGV annak a paralelogrammának a négyzetes területe, melyet az n-dimenziós O origóból az r és a D pontokba mutató vektorok feszítenek ki, ahol σr és σD a megfelelő vektor hossza, γ pedig a két vektor hajlásszöge:

(

)

TGV = ( σ r σ D sin γ ) = VarrVarD 1 − cos 2 γ = 2

= VarrVarD − VarrVarD Corr 2 ( r,D ) = VarrVarD − Cov 2 ( r,D ) .

/15/

1. ábra. A Theil-variancia geometriai interpretációja

r σr O

T2 = TGV σD

D

Az 1. ábra felhívja a figyelmet, hogy a többváltozós egyenlőtlenség mértékében a változók korrelációjának (ferde szögű „oblique” tengelyeknek) az alkalmazása – akár egy, akár több dimenzióban – elengedhetetlen. Az 1. ábra mutatja, hogy ha Corr(r,D) emelkedik, vagyis a hajlásszög csökken, akkor a redundancia növekedésének hatására az általánosított variancia mértéke csökken és megfordítva. Egy dimenzióról kettőre térve az ábrázolás már nem lehetséges, mert a változók (tengelyek) száma négyre emelkedik. Modellpélda

A kalkulációk könnyű ellenőrizhetősége érdekében tekintsünk egy száztagú társadalmat, ahol a rendezett jövedelmi konfiguráció: Y = [1,2,3,…,98,99,100]. Az át8 Itt jegyezzük meg, hogy GE(2) egyben a Hirschman–Herfindahl-indexet adja. A négy index tulajdonságainak részleteit lásd Cowell [2009].



797

lag és a medián egyaránt 50,5, GE(1) = 0,18827, GE(0) = 0,28458, VY2 = 0,32673, VarlnY = 0,85267.9 A Theil-kovarianci a GE-felbontása az előbbi adatokkal

CT = 0,18827 + 0,28458 = 0,47285 ,

/16/

Változó r D CTheil = r 0,32673 0,47285 D 0,47285 0,85267

/17/

majd a Theil-mátrix

és végül az általánosított Theil-variancia

TGV = 0,32673 ⋅ 0,85267 − 0,472852 = 0,05501 ,

/18/

melynek normált pszeudo-R2 értéke 2 RGV =

0 ,05501 = 0,19744 . 0,32673 ⋅ 0 ,85267

/19/

Az egyenlőtlenség abszolút mértéke 0,05501, ami az aktuális eloszlás 19,744 százalékos távolságát jelzi a totális egyenlőség – a totális bizonytalanság – állapotától. Mindezek alapján az egyenlőtlenség intenzitása mint pszeudo-R érték adódik

RGV = 0 ,19744 = 0 , 44434 .

/20/

3. A Theil-variancia diszkriminanciaanalízise10 A kategória kimenetű, diszkriminátor változó egyenlőtlenségre gyakorolt diszkriminatív hatásának jellemzésére, a társadalmat g = 1,2,…,G csoportra bontjuk. A csoportok száma és kialakításuk módja tetszőleges lehet. Az egyszerűség kedvéért e 9

A Gini-index értéke összehasonlításul: 0,33333. Összehasonlításul a Gini- és a generalized entropy (GE) -felbontások összefoglalását lásd például Mussard–Seyte–Terraza [2003]. 10


798

Hajdu Ottó

fejezetben előbb csak két szomszédos csoportra, szegényekre és nem szegényekre, tehát egy alsó és egy felső szegmensre tagolunk, adott szegénységi küszöb alapján.

3.1. A Theil-mátrix külső-belső felbontása és a Wilks’ lambda-hányados A csoporthatások számításának alapja a Theil-mátrix külső-belső dekompozíciója (a variancia külső-belső felbontásának az analógiájára)

CTheil = CKülső + CBelső ,

/21/

ahol CKülső a külső, CBelső pedig a belső kovarianciamátrix jelölése. Tartalmilag a külső kovarianciamátrix a csoportátlagokkal kisimított változók kovarianciamátrixa, míg a belső kovarianciamátrix az átlagos csoporton belüli kovarianciamátrix.11 A belső kovarianciamátrix formálisan a G

CBelső = ∑ ng CTg g =1

/22/

súlyozott átlag, ahol ng a g csoport népességaránya (összegük = 1), CTg pedig a g csoport átlagolandó Theil-mátrixa. A belső kovarianciamátrix elemei rendre a szegény és a nem szegény kovarianciamátrixok megfelelő elemeinek a súlyozott átlagai, súlyként a népességi arányokat használva. Legyen a szegénységi küszöb a medián jövedelem 60 százaléka, ami az alsó 30 százalék népességet klasszifikálja szegényként. A küszöb tehát 30-70 százalék arányban bontja ketté a társadalmat, így a belső Theil-mátrix Változó r D CBelső = 0,3 ⋅ CSzegény + 0,7 ⋅ CNemszegény = r 0,12087 0,13163 , D 0,13163 0,28708

/23/

ahol az átlagolandó csoporton belüli Theil-mátrixok Változó r D CSzegény = r 0,02938 0,13194 és D 0,13194 0,69913

/24/

11 A kovarianciamátrix külső-belső felbontására, és a Wilks’ lambda származtatására egy számpéldát ad Hajdu ([2003] 101–105. old.).


799


CNemszegény

Változó r D = r 0,16008 0,13150 . D 0,13150 0,11049

/25/

A totális Theil-mátrix felbontása tehát (a külső Theil-mátrixot kivonással határozva meg):

CTheil =

Totális r D 0,32673 0,47285 = r 0,47285 0,85267 D

Külső Belső r D r D = r 0,20586 0,34122 + r 0,12087 0,13163 . D

0,34122 0,56559

D

/26/

0,13163 0,28708

A csoportosítás irrelevanciáját a többváltozós statisztikai irodalom szerint a Wilks’ lambda-hányados méri, mely a belső általánosított variancia és a totális általánosított variancia hányadosa, tehát a belső és a totális kovarianciamátrixok determinánsainak a hányadosa

Wilks’ lambda =

det CBelső . det CTheil

/27/

A Wilks’ lambda értelme a kategóriák által a totális varianciából meg nem magyarázott rész, ezért komplementere tartalmilag varianciahányados (variance explained) típusú VE mutató. A belső Theil-mátrixból a Wilks’ lambda értéke12 Wilks’ lambda =

0,12087 ⋅ 0,28708 − 0,131632 = 0,31585 , 0,05501

/28/

ahonnan a VE mutató alapján az alkalmazott szegmentáció (jelenleg a szegénységi küszöb) diszkrimináló ereje

VE = 1 − 0,31585 = 0,68415 .

/29/

0 ,131632 = 0 , 4993 . E szerint a 0 ,12087 ⋅ 0 , 28708 belső variancia 49,93 százalékban közelítette meg a lehetséges maximális értékét. 12

A belső általánosított variancia pszeudo-R2 normálása: R 2 =


800

Hajdu Ottó

A szegénységi küszöb 68,415 százalékban magyarázza az egyenlőtlenséget, és kapcsolata az egyenlőtlenséggel VE = 0 ,82714 intenzitású.

3.2. A kanonikus korreláció megközelítés Bár VE a külső egyenlőtlenség hatását méri, számításához a külső Theildetermináns értékén keresztül nem vezet út, mert

1. a Theil-mátrix additív felbontása a komponensek determinánsaira nem érvényes

det CTheil ≠ det CKülső + det CBelső .

/30/

2. Ha a csoportok száma megegyezik a változók számával (mint példánkban könnyen ellenőrizhető), akkor a külső determináns értéke mindig zéró, akkor is, ha a külső varianciák-kovarianciák nem zérók.13 Mindazonáltal a komplementer Wilks’ hányados külső tartalma és külső számítási módja megadható a következő alternatív megközelítésben. Tekintsük az r relatív jövedelem és a D log-hozam lineáris kombinációját

Δ = w1r + w2 D .

/31/

A w súlyokat úgy választjuk meg, hogy Δ belső varianciája legyen az „1” értéken normált és hozzá képest a külső variancia értéke maximált. A külső variancia maxi14 1 mált értéke nem más, mint a C −Belső C Külső ANOVA-mátrix pozitív λ sajátértéke. Esetünkben λ = 2,16609, tehát Δ varianciája (1 + 2,16609), a külső variancia aránya pedig definíció szerint a négyzetes kanonikus korreláció15 Rho2 =

2,16609 = 0,68415 , 3,16609

/32/

ami a 0,31585 Wilks’ hányados VE komplementere, aminek pozitív gyöke a Rhokanonikus korreláció16 13

Például két csoport két „külső” pontja maradék nélkül magyarázható két változóval, azaz két paraméterrel. A kanonikus korreláció és a diszkriminanciaanalízis kapcsolatának elméleti és számítási részleteit illetően lásd például Hajdu ([2003], [2010]). A maximált külső varianciát biztosító w súlyokkal Δ szokásos megnevezése: kanonikus diszkriminanciaváltozó. 15 Ez az eredmény értelemszerűen megegyezik a /29/ szerint számítottal. 16 E korreláció másik megközelítésben a szegény és nemszegény dummy változó, valamint az r és D változók által adott két változókör közötti kapcsolat szorosságát méri. 14



Rho = 0,68415 = 0,82714 .

801

/33/

Egydimenziós-kétváltozós esetben hangsúlyozzuk, hogy két olyan csoportra, melyek belül nem szóródnak, Rho értéke mindig 1.17 Ez a helyzet akkor is, ha mindenki jövedelme egyenlő, kivéve egyetlen outliert. Így Rho = 1 akkor is, mikor az egyetlen outlier kap mindent.

3.3. Homogenitásvizsgálat A klasszikus Box-M-statisztika alapján a sokasági kovarianciamátrixok egyezőségének a tesztelésére is lehetőség nyílik. Szegényekre és nem szegényekre bontva a társadalmat, a hipotézis

H 0 : ΣSzegény = Σ Nemszegény ,

/34/

ahol Σ a sokasági csoporton belüli kovarianciamátrix jelölése. A hipotézis tesztelésére szolgáló Box-M-statisztika likelihood-arány (LR) próba, melynek formulája:18 G

(

)

Box-M = ∑ ng − 1 ⎡⎣ln det C Belső − ln det C g ⎤⎦ , g =1

/35/

ahol példánkban (a kovarianciákat itt korrigáltan számítva és egy tizedesre kerekítve19): 1. ln det(CBelső) ≈ –4,0, 2. ln det(CSzegény) ≈ –5,7, 3. ln det(CNemszegény) ≈ –7,8.

A homogenitás-tesztstatisztika értéke a fenti eredményekkel M = 29 ⋅ ( −4,0 + 5,7 ) + 69 ⋅ ( −4,0 + 7 ,8 ) = 311,5 ,

/36/

amelynek szignifikanciaértéke F-tesztet alkalmazva és kerekítve 0,000, tehát a csoporton belüli Theil-varianciák minden szokásos szignifikanciaszinten különböznek egymástól. 17

Visszautalunk a 13. lábjegyzetre. Az M-statisztika tesztelését lásd Michaleczky ([1986] 67–68. old.), az LR-teszt elv leírását pedig Hunyadi ([2001] 369–376. old.). 19 A kovariancia nevezőjében a mintaméretet itt 1-gyel csökkentve, a belső kovarianciamátrixban az ún. pooled kovarianciákat számítjuk. 18


802

Hajdu Ottó

Az M-statisztika additív struktúrája lehetővé teszi végül az egyes „kategóriák” százalékos hozzájárulásainak megadását is a belső egyenlőtlenség mértékén belül: MSzegény =

29 ⋅ ( −4.0 + 5.7)

29 ⋅ ( −4.0 + 5.7) + 69 ⋅ ( −4.0 + 7.8)

MNemszegény =

69 ⋅ ( −4,0 + 7,8)

= 15.8% ,

29 ⋅ ( −4,0 + 5,7) + 69 ⋅ ( −4,0 + 7,8)

/37/

= 84,2% .

/38/

Ezek szerint a szegények köre 15,8 százalék arányban járul hozzá a belső egyenlőtlenség mértékéhez.

4. A Theil-mátrix többdimenziós kiterjesztése Bővítsük a dimenziók számát háromra: jövedelem, kiadás, vagyon.20 Jelölésünk szerint: – a relatív jövedelmek rendre j = rjövedelem , k = rkiadás, v = rvagyon , – a log-hozamok pedig J = Djövedelem, K = Dkiadás, V = Dvagyon. A p = 3 dimenziós vizsgálat egy hatváltozós esethez vezet, ahol a C(6,6) Theilkovarianciamátrix: Változó j j C jj CT 6 ,6 = (

)

k C jk

v C jv

J C jJ

K C jK

V C jV

k

Ckj

Ckk

Ckv

CkJ

CkK

CkV

v

Cvj

Cvk

Cvv

CvJ

CvK

CvV .

J

C Jj

C Jk

C Jv

C JJ

C JK

C JV

K

CKj

CKk

CKv

CKJ

CKK

CKV

V

CVj

CVk

CVv

CVJ

CVK

CVV

20

/39/

Irodalmi összehasonlításul: A GE-index többdimenziós kiterjesztéseinek különféle módjai olvashatók többek között: Maasoumi [1986], [1998] Tsui [1995], [1999], Vega-Urrutia–Volij [2011], Lugo [2005]. Egy másik, a Gini-index többdimenziós általánosítását adja Gajdos–Weymark [2003]. Egy új, ún. „hybrid” többdimenziós egyenlőtlenségi mértéket definiál Araar [2009], míg a többdimenziós egyenlőtlenségi összehasonlítások kérdését Duclos–Sahn–Younger [2009] tárgyalja.


803


Általában p-dimenziós esetben a Theil-mátrix C(2p,2p), melynek determinánsa értelemszerűen a „kiterjesztett” Theil-variancia egyenlőtlenségi mérték

(

TGV = det CT 2 p,2 p (

)

)

.

/40/

Az elemi kovarianciák értelmezése (a többi kovariancia értelmezése analóg): 1. Cjj: a relatív jövedelem varianciája, 2. Ckj : a relatív kiadás és a relatív jövedelem kovarianciája, 3. CJj : a jövedelmi változók kovarianciája, 4. CKj : a kiadási log-hozam és a relatív jövedelem kovarianciája, 5. CJJ : a jövedelmi log-hozam varianciája, 6. CKJ : a kiadási és jövedelmi log-hozamok kovarianciája. TGV mint determináns maximális értékét korrelálatlanság esetén veszi fel, ekkor a kovarianciamátrix diagonális, determinánsa a diagonális varianciák szorzata. Ezzel a (0,1) intervallumra való normálása 2 RGV =

TGV p

p

t =1

t =1

.

/41/

∏ Varrt ∏ VarDt

Kiemelendő, hogy többdimenziós esetben a TGV(2p, 2p) kiterjesztett Theil-variancia nemcsak a változóközi, hanem a dimenzióközi és a keresztkorrelációkat is figyelembe veszi. Csoportosítás esetén a

1 C −Belső C Külső

ANOVA-mátrixnak általánosságban

m = min {2 p,G − 1} pozitív λδ sajátértéke van, melyek a Δδ változók külső varianciái. A Δδ dimenziók relevanciája standard diszkriminanciaanalízis (discriminant analysis) eljárással tesztelhető, és a dimenziók stepwise algoritmussal szelektálhatók. A Wilks’ lambda struktúrája a p-dimenziós esetben (lásd például Hajdu [2010]):21

1 . 1 λδ + δ =1 m

Wilks’ lambda = ∏

/42/

21 A többdimenziós egyenlőtlenségi dekompozíció módszertani kérdéseit lásd például Zheng [2005], Cowell–Fiorio [2010], Kobus [2011].


804

Hajdu Ottó

4.1. Háztartási költségvetési példa, településtípus szerinti dekompozícióval Illusztratív céllal háztartásokat tekintünk, melyeknél most: j az évi nettó jövedelmet, k az évi kiadást, v pedig tulajdont (lakás+gépkocsi) jelent. Az alkalmazott csoportosítás példánkban a település típusa: Budapest, Nagyváros, Többi város, Községek. A Theil-variancia értéke22

(

TGV = det CT 6 ,6 (

)

) = 0,0000198526

/43/

és a településtípus szerint csoportosítva az ANOVA-mátrix három pozitív sajátértéke rendre λ1=0,13671,

λ2=0,01977,

λ3=0,00220.

A Wilks’ lambda ebből Wilks’ lambda =

1 = 0 ,8608 . 1,13671 ⋅ 1,01977 ⋅ 1,00220

/44/

Így a településtípus a jövedelem, kiadás, vagyon együttes egyenlőtlenségből 13,92 százalékot magyaráz, kapcsolata pedig az „oblique pontfelhők” külső szóródásával a globális pontfelhő körül Rho = 0,1392 = 0,3731 intenzitású.

4.2. Homogenitásvizsgálat Kettőnél több (a példabeli négy) sokasági kovarianciamátrix azonosságát állító hipotézis:

H 0 : Σ Budapest = Σ Nagyváros = ΣTöbbiváros = Σ Község ,

/45/

ahol Σ a sokasági kovarianciamátrixot jelöli. A megfelelő mintabeli statisztikák (településtípus szerinti log-determinánsok) értékei következők:23 22

Ennek normáló tényezője (a Theil-mátrix főátló elemek szorzata) 0,0123, de a csoporthatás elemzése szempontjából a nagyságrendnek nincs jelentősége. 23 ln det(CBelső) = –10,975, ami az ún. „pooled” kovarianciamátrix log-determinánsa!



805

ln det(CBudapest) = –8,183 , ln det(CBelső) – ln det(CBudapest) = –2,792 , ln det(CNagyváros) = –11,865 , ln det(CBelső) – ln det(CNagyváros) = 0,890 , ln det(CTöbbiváros) = –12,355 , ln det(CBelső) – ln det(CTöbbiváros) = 1,380 , ln det(CKözségek) = –12,616 , ln det(CBelső) – ln det(CKözségek) = 1,641 . A településtípusok népességarányai a mintában rendre 0,158, 0,228, 0,272, 0,342. Box-M = 4907 , 486 , az F-teszten alapuló 0,000 szignifikanciaértékkel, tehát a csoporton belüli Theil-varianciák minden szokásos szignifikanciaszinten különböznek egymástól. Egyedül Budapest hatása negatív –2,792, erősen átlag alatti. Valamennyi településtípus hatását pozitív értékű skálán rangsorolandó, Budapest hatását pozitív előjellel minimális értékként rögzítve, a távolságőrző transzformált skála értékei: – Budapest = 2,792, – Nagyváros = 6,474, – Többi város = 6,964, – Község = 7,225, ahol például 7,225 = 1,641 + 2abs(–2,792). A településtípusok súlyozott, relatív hozzájárulásai a belső egyenlőtlenséghez rendre: MBudapest =

0,158 ⋅ 2,792 = 11,9% , 0,158 ⋅ 2,792 + 0,228 ⋅ 6,474 + 0,272 ⋅ 6,964 + 0,342 ⋅ 7,225

/46/

MNagyváros =

0,228 ⋅ 6,474 = 27,6% , 0,158 ⋅ 2,792 + 0,228 ⋅ 6,474 + 0,272 ⋅ 6,964 + 0,342 ⋅ 7,225

/47/

MTöbbiváros =

0,272 ⋅ 6,964 = 29,7% , 0,158 ⋅ 2,792 + 0,228 ⋅ 6,474 + 0,272 ⋅ 6,964 + 0,342 ⋅ 7,225

/48/

MKözség =

0,342 ⋅ 7,225 = 30,8% . 0,158 ⋅ 2,792 + 0,228 ⋅ 6,474 + 0,272 ⋅ 6,964 + 0,342 ⋅ 7,225

/49/

A belső egyenlőtlenséghez Budapest járul hozzá a legkisebb (11,9%) mértékben, és a községek a legnagyobb (30,8%) mértékben. Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám

806

Hajdu Ottó

5. Theil-variancia alapú szegénységi mértékek A szegénységi P mérték általánosságban a szegénység kiterjedtségének, intenzitásának és az eloszlásának az eredője. A mérőszám formális „P” megadása – adott z küszöb mellett – vagy a csonkolt, vagy a cenzorált eloszlásra épül. Míg a csonkolt eloszlás elhagyja a küszöb fölötti tagokat, addig a cenzorált eloszlás megtartja, de értékeiket a küszöb szintjével helyettesíti. A Zj dimenzió cenzorálása a zj küszöb mellett:

{

}

y ji = min Z ji ,z j , i = 1, 2,...,n .

/50/

Jelen cikk a cenzorált elvre építve definiál többváltozós-többdimenziós P mértéket:24 A szegénység többváltozós, többdimenziós mértéke definíciónk szerint a cenzorált y eloszlások együttes, többdimenziós Theil-varianciája. Speciálisan egydi25 menziós-kétváltozós esetben az y eloszlás cenzorált Theil-mátrixa

CTc = CT ( y ) =

Változó

rc

Dc

rc

Varrc

CTc

Dc

CTC

VarDC

,

/51/

melynek determinánsa

( )

2

c TGV = det CTc = Varrc ⋅ VarDc − CTc ,

/52/

ami normált pszeudo-R2 változatban 24 A cenzorált eloszlás szegénységi alkalmazását Hamada–Takayama [1978] és Takayama [1979] vezette be az irodalomba. A Sen–Shorrocks–Thon (SST) (Shorrocks [1995] módon korrigált Sen-index) a legismertebb egydimenziós, és az Alkire–Foster [2009] módon korrigált Foster–Greer–Thorbecke- (FGT-) index), illetve a Lugo–Maasoumi [2008] -indexek a többdimenziós alkalmazások. A Lugo–Maasoumi-indexcsalád információelméleti megalapozottságú, mely speciális esetként tartalmazza a Tsui [2002] és a Bourgougni–Chakravarty [2003] indexeket is. A többdimenziós szegénységi indexek összefoglaló áttekintését egyébként lásd Ravallion [2011]. A többdimenziós témakörben meghatározó további tanulmányok: Anand–Sen [1997], Chakravarty– Mukherjee–Renade [1998], Atkinson [2003], Thorbecke [2008], Chakravarty–Silber [2008], Kakwani–Silber [2008]. 25 A klasszikus egydimenziós szegénységi index-elvek összefoglaló bemutatását lásd Foster–Sen [1997], Zheng [1997]. A módszertan fejlődését illetően a következő indexeket emeljük ki: Watts [1968], Sen [1976], Anand [1977], Hamada–Takayama [1978], Thon [1979], Kakwani [1980], Takayama [1979], Clark–Hemming– Ulph [1981], Chakravarty [1983], Blackorby–Donaldson [1980], Foster–Greer–Thorbecke [1984], Hagenaars [1987], Atkinson [1987], Shorrocks [1995].


807


RP2

=1−

CTc

2

Varrc ⋅ VarDc

.

/53/

Mivel a cenzorált eloszlás csak a szegényjövedelmeket és a küszöb szintjét ismeri, így csak az aktuális küszöbalattiság információit tükrözi. A cenzorált eloszlás általánosított varianciája tehát növekvő értékkel a szegénység növekvő fokát jelzi. Az RP2 szegénységi mérték örökli a Theil-variancia tulajdonságait, és a cenzorált eloszláson történő kalkulálásából eredő további jellemzői a következők: 1. Az RP2 szegénységi mérték eliminálja az index formulájából a szegények explicit létszámarányát, mivel ez a hatás implicit módon az értékében érvényesül. 2. A „z” küszöb emelése több szegénységet indukál, több szegénységi információval, melynek cenzorált VarrVarD felső határa együtt nő a küszöbbel. 3. A cenzorálás a társadalmat küszöb alattiakra és éppen a küszöb szintjén levőkre bontja, így a külső-belső kovariancia-felbontás szegény vs. küszöb tekintetben értendő. 4. A belső varianciát csak a küszöb alattiak szóródása és létszámaránya mozgatja. 5. A külső variancia a küszöb alatti átlagos szegény és a küszöbszint varianciáját méri, így jelentése az átlagos szegény által a küszöb szintjén élőkkel szembeni depriváció mértéke. 6. A társadalmat exogén változók szerint csoportosítva (városvidék, férfi-nő, aktív-inaktív) a szegénység foka külső-belső szempontból és a belső szegénységhez való hozzájárulás mértéke tekintetében is dezaggregálható, jellemezhető. 7. A szegénységi küszöb megadható dimenziókra szeparáltan, vagy az egyes dimenziók valamely súlyozott kombinációjára aggregáltan is. 8. Az RP2 szegénységi mérték figyeli a dimenziók korrelációit és aszimmetrikus voltát is. Modellpélda A százfős példában a cenzorált eloszlás: y = {1,2,…,29,30|30,30,…,30}, melyre a Theil-mátrix Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám

808

Hajdu Ottó

Változó CTc =

rc

Dc

rc

0,10127 0,18627

c

0,18627 0,38463

D

/54/

a cenzorált Theil-variancia c TGV = 0,10127 ⋅ 0,38463 − 0,186272 = 0,004257 ,

/55/

melynek pszeudo-R2 értéke RP2 = 1 −

0,186272 = 0,10929 , 0,10127 ⋅ 0,38463

/56/

ahonnan RP = 0,10929 = 0,3306 .

/57/

Az alkalmazott szegénységi küszöb szintje által az aktuális eloszlás szegénységi mértékéből megmagyarázott hányad 10,929 százalék, és a szegénység 0,3306 intenzitással valósul meg. A szegénységi mérték szegény vs. küszöb csoportközi elemzése a cenzorált Theil-mátrix

C cTheil = C cKülső + C cBelső

/58/

felbontásán alapulva, egy általánosított szegénységi arány és egy általánosított deprivációarány-mutatóhoz vezet el, a következő úton. Példánkban a küszöb kettébontja a társadalmat 30-70 százalék arányban, ahol a belső Theil-mátrix Változó CcBelső = 0,3 ⋅ CSzegény + 0,7 ⋅ 0 z =

rc D

c

rc

Dc

0,03416 0,07793 , 0,07793 0, 20974

ahol az átlagolandó csoporton belüli Theil-mátrixok Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám

/59/

809


rc

Változó CSzegény =

rc

Dc

0,11387 0,25976 és

c

D

/60/

0,25976 0,69913

Változó r c Dc 0z =

rc

0

0 .

c

0

0

D

/61/

Így a cenzorált belső Theil-variancia

(

)

c TGV = det CcBelső = 0,03416 ⋅ 0, 20974 − 0,077932 = 0,001092 , Belső

/62/

mellyel a cenzorált belső pszeudo-R2 értéke 2 RBelső =

0 , 001092 = 15 , 241% . 0 , 03416 ⋅ 0 , 20974

/63/

Értelmét tekintve a cenzorált belső R2 általánosított szegénységi arány. Ugyanis a belső variancia átlagos csoporton belüli variancia, ahol a cenzorált eloszlásban a nem szegények kovarianciamátrixa definíció szerint zéró értéken rögzített (0z), ezért a belső variancia nő, ha a) emelkedik a szegények aránya, vagy ha b) nő a szegények körében a Theil-variancia. Az általánosított szegénységi arány példánkban 15,241 százalék, ami kisebb mint a H = 30 százalék standard „head-count-ratio” létszámarány. Tekintsük most a szegénység harmadik tényezőjeként c) a szegények szegénységi küszöbbel szemben érzett deprivációjának a fokát azzal a követelménnyel, hogy legyen érzékeny a nem szegények népességi arányára is, akik nem depriváltak a küszöbbel szemben. Jelölje e hatást az IG (implicit gap, azaz implicít rés), és tételezzünk fel multiplikatív kapcsolatot a szegénységi komponensek között. Ekkor implicit módon a küszöbbel szembeni IG depriváció definíciónk szerint 2 RP2 = RBelső ⋅ IGKülső .

/64/

10 , 2 = 72% inflátor (deflátor) a szegények szegénységi küszöbbel 15,9 szemben érzett deprivációjának a foka.

Az IGKülső =


810

Hajdu Ottó

Többdimenziós szegénységi dekompozíció A dimenziók számát többre – a háztartási költségvetési példánkban már alkalmazott háromra (jövedelem, kiadás, vagyon) – bővítve, a szegénységi mérték kalkulálása és településtípusok szerinti felbontása kiterjesztett cenzorált Theil-mátrix alkalmazásával a következő. A dimenziókat a mediánérték 60 százalékánál cenzorálva a Budapest, Nagyváros, Többi város, Községek csoportosítás hatváltozós diszkriminanciaanalízisének három sajátértéke rendre: 0,1090, 0,0067, 0,0006, amiből a Wilks’ lambda = 0,8952, komplementerének a gyöke pedig a kanonikus korreláció: Rho = 0,32373. A településtípus tehát 89,52 százalékban nem magyarázza a háromdimenziós szegénységet és kapcsolata a szegénységi „kockával” Rho = 0,32373 intenzitású. Az eddigiekben a háztartások éves összes kiadását és jövedelmét, valamint a teljes vagyonát tekintettük. Áttérve az egy fogyasztási egységre vetített szintre, az eredmények az alábbiak szerint módosulnak. Továbbra is a mediánérték 60 százalékánál cenzorálva a Budapest, Nagyváros, Többi város, Községek csoportok hatváltozós diszkriminanciaanalízisének három sajátértéke rendre: 0,1238, 0,0054, 0,0005, amiből a Wilks’ lambda = 0,8847, a kanonikus korreláció pedig Rho = 0,33956. A településtípus tehát 88,47 százalékban nem magyarázza az egy fogyasztási egységre jutó háromdimenziós szegénységet, és kapcsolata e szegénységi „kockával” 0,33956 intenzitású. * A tanulmány egy új egyenlőtlenségi módszertant javasol, melynek alkalmazása más területeken (például a szegénységi elemzésekben, a relatív depriváció és a társadalmi kirekesztés mérésében, de az információelméletben, vagy az adatbányászatban) is új módszertant eredményezhet. Az eljárás lényegében egy sokdimenziós „oblique térben” húzódó pontfelhő varianciáját méri kompozit módon, egyenlőtlenségi tartalommal, entrópiaelméleti alapokon. A kulcsformula a többváltozós statisztika „generalized variance” mértéke, mely esetünkben egy speciális entrópia tartalmú kovarianciamátrixra vonatkozik. Mivel a kovarianciamátrix általánosságban csoportok esetén dezaggregálható belső és külső faktorok összegére, ezért a javasolt egyenlőtlenségi mutató is megadható külső és belső hatások eredőjeként. Így a javasolt módszerrel vizsgálható a különböző dimenziójú szegénységi küszöbök diszkriminatív hatása a szegénységi mérték tekintetében vagy az adott társadalmi-gazdasági csoportosítás prediktív ereje. Mindezen túl az egyes csoportok relatív hozzájárulása a belső egyenlőtlenséghez is elemezhető.

Irodalom ALKIRE, S. – FOSTER, J. E. [2009]: Counting and Multidimensional Poverty Measurement. Working Paper 32. Oxford Poverty & Human Development Initiative. Oxford. Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám


811

ANAND, S. [1977]: Aspects of Poverty in Malaysia. Review of Income and Wealth. Vol. 23. No. 1. pp. 1–16. ANAND, S. – SEN, A. [1997]: Concepts of Human Development and Poverty: A Multidimensional Perspective. Human Development Papers. United Nation. New York. ARAAR, A. [2009]: The Hybrid Multidimensional Index of Inequality. Centre interuniversitaire sur le risque, les polititiques économiques et l’emploi. Working Paper 09-45. October. ARISTONDO, O. – VEGA, L. – URRUTIA, A. [2008]: A New Multiplicative Decomposition for the Foster-Greer-Thorbecke Poverty Indices. Bulletin of Economic Research. Vol. 62. No. 3. pp. 259–167. ATKINSON, A. B. [1987]: On the Measurement of Poverty. Econometrica. Vol. 55. No. 3. pp. 749– 764. ATKINSON, A. B. [2003]: Multidimensional Deprivation: Contrasting Social Welfare and Counting Approaches. Journal of Economic Inequality. Vol. 1. No. 1. pp. 51–65. BLACKORBY, C. – DONALDSON, D. [1980]: Ethical Indices for the Measurement of Poverty. Econometrica. Vol. 48. No. 4. pp. 1053–1060. BLACKORBY, C. – DONALDSON, D. [1984]: Ethically Significant Ordinal Indexes of Relative Inequality. Advances in Econometrics. Vol. 3. No. 4. pp. 131–147. BOSSERT,W. – CHAKRAVARTY, S. R. – D’AMBROSIO, C. [2009]: Measuring Multidimensional Poverty: The Generalized Counting Approach. www.ecineq.org/ecineq_ba/papers/ Dambrosio.pdf BOURGUIGNON, F. [1979]: Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica. Vol. 47. No. 4. pp. 901–920. BOURGUIGNON, F. – CHAKRAVARTY, S. R. [2003]: The Measurement of Multidimensional Poverty. Journal of Economic Inequality. Vol. 1. No. 1. pp. 25–49. CHAKRAVARTY, S. R. [1983]: Ethically Flexible Measures of Poverty. Canadian Journal of Economics. Vol. 16. No. 1. pp. 74–85. CHAKRAVARTY, S. R. [1997]: On Shorroks Reinvestigation of the Sen Poverty Index. Econometrica. Vol. 65. No. 5. pp. 1241–1242. CHAKRAVARTY, S. R. – MUKHERJEE, D. – RENADE, R. R. [1998]: On the Family of Subgroup and Factor Decomposable Measures of Multidimensional Poverty. Research on Economic Inequality. Vol. 8. pp. 175–194. CHAKRAVARTY, S. – DEUTSCH, J. – SILBER, J. [2008]: On the Watts Multidimensional Poverty Index and its Decomposition. World Development. Vol. 36. No. 6. pp. 1067–1078. CLARK, S. – HEMMING, R. – ULPH, D. [1981]: On Indices or for the Measurement of Poverty. The Economic Journal. Vol. 91. No. 362. pp. 515–526. COWELL, F. [2005]: Theil, Inequality Indices and Decomposition. ECINEQ 2005-1. Working Paper. ECINEQ Society for the Study of Ecomonic Inequality. London. COWELL, F. A. [1977]: Measuring Inequality. Phillip Allan. Oxford. COWELL, F. A. [2009]: Measuring Inequality. Part of the series LSE Perspectives in Economic Analysis. Oxford University Press. Oxford. COWELL, F. A. – KUGA, K. [1981a]: Additivity and the Entropy Concept: An Axiomatic Approach to Inequality Measurement. Journal of Economic Theory. Vol. 25. No. 1. pp. 131–143. COWELL, F. A. – KUGA, K. [1981b]: Inequality Measurement: An Axiomatic Approach. European Economic Review. Vol. 15. No. 3. pp. 287–305.


812

Hajdu Ottó

COWELL, F. – FIORIO, C. [2010]: Inequality Decompositions. Gini Discussion Paper 4, December. Growing Inequalities’ Impacts. University of Amsterdam. Amsterdam. DAGUM, C. [1997]: A New Approach to the Decomposition of the Gini Income Inequality Ratio. Empirical Economics. Vol. 22. No. 4. pp. 515–531. DARDANONI, V. [1996]: On Multidimensional Inequality Measurement. In: Dagum, C. – Lemmi, A. (eds.): Research on Economic Inequality: Income Distribution. Social Welfare, Inequality and Poverty. Vol. 6 of Research on Economic Inequality. JAI Press Inc. pp. 201–205. DUCLOS, J.-Y. – SAHN, D. E. – YOUNGER, S. D. [2006]: Robust Multidimensional Poverty Comparisons. The Economic Journal. Vol. 116. No. 514. pp. 943–968. ÉLTETŐ, Ö. – FRIGYES, E. [1968]: New Inequality Measures as Efficient Tools for Causal Analysis and Planning. Econometrica. Vol. 36. No. 2. pp. 383–396. ÉLTETŐ Ö. – HAVASI É. [2009]: A hazai jövedelemegyenlőtlenség főbb jellemzői az elmúlt fél évszázad jövedelmi felvételei alapján. Statisztikai Szemle. 87. évf. 1. sz. 5–40. old. FERGE ZS. [1969]: Társadalmunk rétegződése: elvek és tények. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest. FOSTER, J. E. – SHNEYEROV, A. A. [1999]: A General Class of Additively Decomposable Inequality Measures. Economic Theory. Vol. 14. No. 1. pp. 89–111. FOSTER, J. E. [2007]: A Class of Chronic Poverty Measures. Working Paper No. 07-W01. Vanderbilt University. Nashville. FOSTER, J. E. – GREER, J. – THORBECKE, E. [1984]: A Class of Decomposable Poverty Measures. Econometrica. Vol. 52. No. 3. pp. 761–767. FOSTER, J. E. – SEN, A. [1997]: On Economic Inequality After a Quarter Century. Calendron Press. Oxford. GAJDOS,T. – WEYMARK, J. [2003]: Multidimensional Generalized Gini Indices. Working Paper No. 16. Applied Mathematics Working Paper Series. Vanderbilt University. Nashville. HAGENAARS, A. [1987]: A Class of Poverty Indices. International Economic Review. Vol. 28. No. 3. pp. 583–607. HAJDU O. [1997]: A szegénység mérőszámai. KSH Könyvtár és Dokumentációs Szolgálat. Budapest. HAJDU, O. [1999]: On the Deprivation-Sensitive Measurement of Poverty. Hungarian Statistical Review. Special number 3. pp. 15–22. HAJDU O. [2003]: Többváltozós statisztikai számítások. Központi Statisztikai Hivatal. Budapest. HAJDU, O. [2009]: Poverty, Deprivation, Exclusion: A Structural Equations Modelling Approach. Hungarian Statistical Review. Special number 13. pp. 90–102. HAJDU O. [2010]: Sajátértékek a statisztikában. Statisztikai Szemle. 88. évf. 7–8. sz. 773–788. old. HAMADA, K. – TAKAYAMA, N. [1978]: Censored Income Distributions and the Measurement of Poverty. Bulletin of the International Statistical Institute. Vol. 47. No. 1. pp. 617–623. HUNYADI L. [2001]: Statisztikai következtetéselmélet közgazdászoknak. Központi Statisztikai Hivatal. Budapest. KAKWANI, N. C. [1980]: On a Class of Poverty Measures. Econometrica. Vol. 48. No. 2. pp. 437– 446. KAKWANI, N. C. – SILBER, J. [2008]: Quantitative Approaches to Multidimensional Poverty Measurement. Palgrave MacMillan. Basingstoke. KOBUS, M. [2011]: Attribute Decomposability of Inequality Indices via Copula, http:/coin.wne.uw.edu.pl/mkobus/Attribute.pdf Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám


813

LUGO, M. A. [2005]: Comparing Multidimensional Indices of Inequality: Methods and Application. ECINEQ WP 2005-14. ECINEQ Society for the Study of Ecomonic Inequality. LUGO, M. A. – MAASOUMI, E. [2008]: Multidimensional Poverty Measures from an Information Theory Perspective. ECINEC 85. ECINEQ Society for the Study of Ecomonic Inequality. MAASOUMI, E. [1986]: The Measurement and Decomposition of Multidimensional Inequality, Econometrica. Vol. 54. No. 4. pp. 991–997. MIHALECZKY GY. [1986]: A többdimenziós normális eloszlás várhatóérték-vektorára és szórásmátrixára vonatkozó becslés és hipotézisvizsgálat. In: Móri F. T. – Székely J. G. (szerk.): Többváltozós statisztikai analízis. Műszaki Könyvkiadó. Budapest. pp. 49–69. MUSSARD, S. – SEYTE, F. – TERRAZA, M. [2003]: Decomposition of Gini and the Generalized Entropy Inequality Measures. Economics Bulletin. Vol. 4. No. 7. pp. 1−6. RAVALLION, M. [2011]: On Multidimensional Indices of Poverty. Policy Research Working Paper 5580. The World Bank Development Research Group Director’s Office. February. SEN, A. K. [1976]: Poverty: An Ordinal Approach to Measurement. Econometrica. Vol. 44. No. 2. pp. 219–231. SHANNON, C. E. [1948]: A Mathematical Theory of Communication. The Bell System Technical Journal. Vol. 27. July pp. 379–423; October pp. 623–656. SHORROCKS, A. F. [1980]: The Class of Additively Decomposable Inequality Measures. Econometrica. Vol. 48. No. 3. pp. 613–625. SHORROCKS, A. F. [1995]: Revisiting the Sen Poverty Index. Econometrica. Vol. 63. No. 5. pp. 1225–1230. SPÉDER, ZS. [2002]: A szegénység változó arcai. Századvég Kiadó. Budapest. SZIVÓS P. – TÓTH ISTVÁN GY. [2001]: A jövedelmi szegénység: trend és profil 2000-ben. Statisztikai Szemle. 79. évf. 10–11. sz. 848–861. old. TAKAYAMA, N. [1979]: Poverty, Income Inequality and Their Measures: Professor Sen’s Axiomatic Approach Reconsidered. Econometrica. Vol. 47. No. 3. pp. 747–759. THEIL, H. [1967]: Economics and Information Theory. North-Holland Publishing Company. Amsterdam. THON, D. [1979]: On Measuring Poverty. Review of Income and Wealth. Vol. 25. No. 4. pp 429– 440. THORBECKE, E. [2008]: Multidimensional Poverty: Conceptual and Measurement Issues. In: Kakwani, N. – Silber, J. (eds.): The Many Dimensions of Poverty. Palgrave Macmillan. New York. TÓTH ISTVÁN GY. [2003]: Jövedelemegyenlőtlenségek – tényleg növekszenek, vagy csak úgy látjuk? Közgazdasági Szemle. 50. évf. 3. sz. 209–234. old. TSUI, K. Y. [1995]: Multidimensional Generalizations of the Relative and Absolute Inequality Indices: The Atkinson-Kolm-Sen Approach. Journal of Economic Theory. Vol. 67. No. 1. pp. 251–265. TSUI, K. Y. [1999]: Multidimensional Inequality and Multidimensional Generalized Entropy Measures: An Axiomatic Derivation. Social Choice and Welfare. Vol. 16. No. 1. pp. 145–157. TSUI, K. Y. [2002]: Multidimensional Poverty Indices. Social Choice and Welfare. Vol. 19. No. 1. pp. 69–93. VEGA, C. L. – URRUTIA, A. – DIEZ, H. [2009]: The Bourguignon and Chakravarty Multidimensional Poverty Family: A Characterization. ECINEQ WP 2009–109. ECINEQ Society for the Study of Ecomonic Inequality. Statisztikai Szemle, 90. évfolyam 9. szám

814

Hajdu: Többváltozós-többdimenziós egyenlõtlenség és a szegénység

VEGA, C. L. – URRUTIA, A. – VOLIJ, O. [2011]: An Axiomatic Characterization of the Theil Inequality Ordering. Monaster Center for Economic Research. Ben-Gurion University of the Negev. Beer Sheva. WATTS, H. W. [1968]: An Economic Definition of Poverty. In: Moynihan, D. P. (ed.): On Understanding Poverty. Basic Books. New York. ZHENG, B. [1997]: Aggregate Poverty Measures. Journal of Economic Surveys. Vol. 11. No. 2. pp. 123–162. ZHENG, B. [2005]: Unit-Consistent Decomposable Inequality Measures. Working Paper No. 05-02. University of Colorado. Denver.

Summary The paper introduces a new multivariate methodology for measuring multidimensional inequality. The method proposed is based on the information theory generalized entropy indices and gives a composite inequality measure of a multivariate oblique space. The key formula is the so-called generalized variance metric applied to the special Theil covariance matrix yielding a betweenwithin effects decomposable index of the total inequality. Even in the case of only one dimension, the new approach is multi (two) variate based. In addition, given a (socio-economic) segmentation of the population, the contribution of an individual group to the ”within-groups” inequality can also be quantified and ranked. Finally, the new inequality approach applied to a censored distribution yields a multivariate-multidimensional poverty measurement. Dimension-specific poverty lines or aggregate attribute poverty lines are also allowed.


Többváltozós-többdimenziós egyenlõtlenség és a szegénység

Recommend Documents