Tartalom
Robusztus stabilitás • Additív hibastruktúra • Multiplikatív hibastruktúra
2015
1
Robusztus stabilitás
Szabályozási rendszer tervezésének gyakorlati problémája az, hogy az aktuális rendszer G(s) átviteli függvényének pontos alakja nem ismert, s emiatt helyette annak közelít˝o, ún. névleges (nominális) GN (s) modelljét kell felhasználni. Ekkor a C(s) szabályozót a névleges modell alapján kell megtervezni úgy, hogy az ne csak a névleges modell, hanem az aktuális rendszer stabilitását is garantálja. Ezt robusztus stabilitásnak nevezzük. 2015
2
Robusztus stabilitás
D(s) R(s)- gE(s)U(s)C(s) G(s) 6 −
Ys (s)-
-? g
D(s) R(s)- gE(s)U(s)C(s) GN (s) 6 −
2015
-? g
Ys (s)-
3
Robusztus stabilitás
• A modell és a rendszer közötti hiba meghatározására általános megoldás nincs, különböz˝o szerkezet˝u lehet˝oségek közül az additív, illetve a multiplikatív hibastruktúra a legismertebb. • A névleges modell felhasználásával szabályozott rendszer GHN (s) hurokátviteli függvénye a következ˝o : GHN (s) = C(s)GN (s),
2015
4
Robusztus stabilitás
míg a kompenzált aktuális rendszer GH (s) átviteli függvénye: GH (s) = C(s)G(s), ahol C(s) a soros kompenzátor átviteli függvényét reprezentálja.
2015
5
Additív hibastruktúra
1. Definíció: Additív hibastruktúra A G(s) aktuális rendszer és a GN (s) névleges rendszer közötti eltérést additív hibastruktúrájúnak nevezzük, ha a következ˝o összefüggés teljesül: G(s) = GN (s) + ∆A(s), ahol ∆A(s) az additív hiba átviteli függvénye.
2015
6
Additív hibastruktúra
G(s)
U(s)
2015
v
-
∆A(s)
-
GN (s)
? - m
Y (s) -
7
Additív hibastruktúra
• Az additív hibastruktúrában a ∆A(iω) hibafüggvény ismeretlen ugyan, de abszolút értékére a gyakorlati problémákban ismert fels˝o határ adható meg: |∆A(iω)| < dA(ω). • Tegyük fel, hogy a GHN (s) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a GH (s) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie! 2015
8
Additív robusztussági teszt
1. Állítás Legyen GN (s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti additív hiba fels˝o korlátját a teljes ω frekvenciatartományban ismerjük.
2015
9
Additív robusztussági teszt
Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következ˝o feltétel teljesül: C(iω) 1 > dA(ω) 1 + GHN (iω) Ez a robusztus stabilitás feltétele additív hibastruktúra esetén.
2015
10
Additív robusztussági teszt
1. Bizonyítás
GH (iω) = C(iω) (GN (iω) + ∆A(iω)) GH (iω) = C(iω)GN (iω) +C(iω)∆A(iω) GH (iω) − GHN (iω) = C(iω)∆A(iω) De csak a dA(ω) ≥ |∆A(iω)| fels˝o korlát ismert, így: |GH (iω) − GHN (iω)| ≤ |C(iω)|dA(ω)
2015
11
Additív robusztussági teszt
Nyquist stabilitási kritériuma alapján kritikus határpont (a stabilitás határa) a GH (iω) = −1 pont. Így vizsgálandó a GHN (iω) és a −1 pont közötti különbség. Ha ez a különbség nagyobb, mint |C(iω)|dA(ω) akkor a tényleges rendszer Nyquist diagramja a -1 pontot nem öleli körbe, mert |GH (iω)−GHN (iω)| ≤ |C(iω)|dA(ω) < |−1−GHN (iω)|
2015
12
Additív robusztussági teszt
|C(iω)|dA(ω) < | − 1 − GHN (iω)| = |1 + GHN (iω)| |1 + GHN (iω)| dA(ω) < |C(iω)| C(iω) 1 > dA(ω) 1 + GHN (iω) dA(ω)-nak csak nagysága ismert, iránya nem, így GH (iω) legrosszabb esete a GHN (iω) pontok köré rajzolt |C(iω)|dA(ω) sugarú körök burkológörbéje.
2015
13
Additív robusztussági teszt
2015
14
Multiplikatív hibastruktúra
2. Definíció: Multiplikatív hibastruktúra A G(s) aktuális rendszer és a GN (s) névleges rendszer közötti eltérést multiplikatív hibastruktúrájúnak nevezzük, ha a következ˝o összefüggés teljesül: G(s) = GN (s)(1 + ∆M (s)), ahol ∆M (s) a multiplikatív hiba átviteli függvénye.
2015
15
Multiplikatív hibastruktúra
G(s) -
U(s) -
2015
GN (s)
u
∆M (s)
? - j
Y (s)-
16
Multiplikatív hibastruktúra
• multiplikatív hibastruktúrában ∆M (iω) stabilis átviteli függvény ismeretlen ugyan, de abszolút értékére a gyakorlati problémákban ismert fels˝o határ adható meg: |∆M (iω)| < dM (ω) • Tegyük fel, hogy a GHN (s) kompenzált névleges rendszer stabilis. Vizsgáljuk meg, hogy a GH (s) aktuális rendszer stabilitásához milyen feltételnek kell teljesülnie! 2015
17
Multiplikatív robusztussági teszt
2. Állítás Legyen GN (s) az ismert névleges modell, amelyet a tervezett C(s) soros kompenzátor stabilizál. Tegyük fel, hogy a névleges modell és az aktuális rendszer közötti multiplikatív hiba fels˝o korlátját a teljes ω frekvenciatartományban ismerjük.
2015
18
Multiplikatív robusztussági teszt
Ekkor a névleges modellre tervezett szabályozó az aktuális rendszer stabilitását is biztosítja, ha a következ˝o feltétel teljesül: GHN (iω) 1 > dM (ω) 1 + GHN (iω) Ez a robusztus stabilitás feltétele multiplikatív hibastruktúra esetén.
2015
19
Multiplikatív robusztussági teszt
2. Bizonyítás GH (iω) = C(iω)GN (iω)(1 + ∆M (iω)) GH (iω) = C(iω)GN (iω) +C(iω)GN (iω)∆M (iω) GH (iω) − GHN (iω) = GHN (iω)∆M (iω)
2015
20
Multiplikatív robusztussági teszt
Hasonlóan az additív teszt bizonyításához, az aktuális GH (iω) rendszer stabilis marad minden ω frekvencián, ha teljesül a következ˝o egyenl˝otlenség: |GHN (iω)|dM (ω) < |1 + GHN (iω)| 1 + GHN (iω) dM (ω) < GHN (iω)
2015
21
Tervezés konzervatív feltétellel
A gyakorlati tervezéskor a pontról - pontra való összevetés helyett használható az alábbi két konzervatív feltétel: C(iω) 1 > sup inf ω dA(ω) 1 + G (iω) ω HN GHN (iω) 1 > sup inf ω dM (ω) ω 1 + GHN (iω)
2015
22
Példa
Példa: Robusztus stabilitási teszt alkalmazása Tételezzük fel, hogy a szabályozni kívánt rendszert a 15(s + 5) G(s) = (s + 1)(s2 + 3s + 25) átviteli függvény írja le. A feladat, hogy a rendszer egy egytárolós névleges közelít˝o modelljének ismerete alapján, tervezzük meg a zárt rendszert úgy, hogy a stabilitás megtartása mellett a lehet˝o legnagyobb legyen a körer˝osítés. 2015
23
Példa
Az alkalmazható szabályozó egyszer˝u arányos tag lehet. A modell vagy az ún. névleges rendszer átviteli függvénye: 3 GN (s) = s+1
2015
24
Példa
R(s)
-f 6
E(s)-
−
R(s)
E(s)-
-f 6
−
2015
C = AC
C = AC
U(s)-
U(s)-
3 s+1
15(s + 5) (s + 1)(s2 + 3s + 25)
s
Y (s)-
s
Y (s)-
25
Példa
Megoldás G(s) − GN (s) −s2 + 2s ∆M (s) = = 2 GN (s) s + 3s + 25 A névleges modellel a névleges zárt szabályozási kör struktúrálisan stabilis, tehát bármilyen nagy Ac körer˝osítés mellett a névleges zárt rendszer stabilis marad. Egy adott érték feletti er˝osítés azonban a valódi zárt rendszert már destabilizálja. 2015
26
Példa
A robusztus stabilitás feltétele: GHN (iω) 1 sup < supω |∆M (iω)| ω 1 + GHN (iω) ahol GHN (iω) = AcGN (iω) a névleges hurokátviteli függvény.
2015
27
Példa
Megrajzolva a ∆M (iω) Bode-diagramját, leolvashatjuk az ω szerinti maximális értéket, így teljesül, hogy |∆M (iω)| < 1, 86. Bode diagram 60 40
a(ω) [dB]
20 0 −20 1/∆M −40 −60
Ac=0.1 Ac=0.3876 Ac=10
−80 −1 10
0
10
1
10
2
10
3
10
ω (lg) [rad/sec]
2015
28
Példa
A tesztben szerepl˝o kiegészít˝o érzékenységi függvény: TN (iω) =
3Ac iω+1 3Ac 1 + iω+1
3Ac = iω + 1 + 3Ac
3Ac sup TN (iω) = 1 + 3Ac ω
2015
29
Példa
Ebb˝ol következik, hogy a robusztus stabilitás olyan Ac szabályozó er˝osítésekre teljesül, amelyekre 3Ac 1 < 1 + 3Ac 1, 86 Ac < 0, 3876
2015
30
