Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen.
2. Oefeningen uit vorige examens 2001 – Augustus Vraag 4 (ook 2007 Vraag 4) Als x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r deelbaar is door x3 + 3x2 + 9x + 3, dan is p.(q+r) gelijk aan A. B. C. D.
12 15 18 21
2002 – Juli Vraag 2 Als 8x4+10x3−7px2 -5qx+9r deelbaar is door 4x3+7x2−21x−18, dan is p+q+r gelijk aan: A. B. C. D.
12 13 14 15
2008 Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een parabool: y = ax2 + ax + 4 Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? A. B. C. D.
-2/3 2/3 -3/2 3/2
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
2010 – Augustus Vraag 8 als x3+px2−qx−4 deelbaar is door x2−x+2. Waaraan is p−q dan gelijk? A. B. C. D.
-1 1 3 -3
2011 – Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: f(x)=x4−19x2+48 Van deze veeltermfunctie is geweten dat ze x=4 en x=-4 als nulpunten heeft. De veeltermfunctie is dan deelbaar door: A. B. C. D.
x²-3 x²+3 x²+4 x²-4
2011 – Augustus Vraag 9 versie 1 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: y = x3+ax2+9x. Men weet dat deze functie slechts een nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter A hebben? A. B. C. D.
-6>a>6 -6
2011 – Augustus Vraag 9 versie 2 We beschouwen de volgende 2de graadsfunctie y = 2x2+ax+18. Men weet dat deze functie slechts 1 nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter a dan hebben A. B. C. D.
a=0 a=-3 en a=+3 a=-6 en a=+6 a=-12 en a=+12
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
2012 – Juli Vraag 3 Gegeven de volgende gelijkheid: (
)
=
(
)
+
Hoeveel bedraagt de som (p+q) A. B. C. D.
-2 1 2 3
2012 – Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: −4 + 8 − 6 +1
=
+1
+2 − +1
+
Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q A. B. C. D.
-2 0 2 4
2012 – Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: 6+6 = +1
+1
+
+2 − +1
Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q A. B. C. D.
-6 0 6 10
2012 – Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: −6 − 6 = +1
+1
+
−2 − +1
Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
A. B. C. D.
-6 0 6 10
2013 - Juli Vraag 10 We beschouwen drie rechten: y+x=3 2x-y = 3 y - mx =5 Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? A. B. C. D.
2 1 -1 -2
2013 - Augustus Vraag 10 We beschouwen de volgende drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? A. B. C. D.
m=0 m =1 m=2 m=3
2014 – Juli Vraag 1 De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling vabn veelterm A(x) door (x-3) is 10. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x2 – 2x – 3 A. 20 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
B. 2x + 4 C. 2x + 10 D. -2x + 10 2014 – Augustus Vraag 1 versie 1 De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x2- 1) is 2x – 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? A. B. C. D.
-6 -4 -5 -3
2014 – Augustus Vraag 1 versie 2 De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x2- 1) is 2x – 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? A. B. C. D.
-6 -4 -5 -3
2014 – Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x2 + x + 2 Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? A. B. C. D.
0 1 2 Meer dan 2
2015 - Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a.
x + ay = 2
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
ax + y = a - 1
Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als: A. B. C. D.
aϵR a ≠ -1 a≠1 a ϵ ]-1;1[
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
3. Oplossingen oefeningen 2001 – Augustus Vraag 4 (ook opgave van 2007 augustus) Gegeven: x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r is deelbaar is door x3 + 3x2 + 9x + 3 Gevraagd: p.(q+r) = ? Oplossing: Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: F(x) = quotiënt . g(x) waarbij het quotiënt = (x+a) Dus: x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r = (x+a)( x3 + 3x2 + 9x + 3) Werk het rechterlid uit: x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r = x4 + 3x3 + 9x2 + 3x + ax3 +3ax2 + 9ax + 3a x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx + r = x4 +(3+a)x3 + (9+3a)x2 + (3+9a)x + 3a Vergelijk nu de beide leden (let op de kleurtjes): 4 = 3+a a =1 6p = 9+3a p =2 4q = 9+3a
q =3
r = 3a r = 3 Dus dan is p(q+r) = 2(3+3) =12 Antwoord A Je kan dit ook oplossen door een staartdeling uit te voeren en de rest dan gelijk te stellen aan 0 2002 – Juli Vraag 2 Gegevens: 8x4+10x3−7px2 -5qx+9r deelbaar is door 4x3+7x2−21x−18, Gevraagd: p+q+r =? Oplossing: Vermits de veelterm deelbaar is, geldt:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
F(x) = quotiënt . g(x) en neem voor het quotiënt = (2x+a) want als je (x+a) neemt kan je nooit aan 8x4 komen. Dus 8x4+10x3−7px2 -5qx+9r = (2x+a)( 4x3+7x2−21x−18) Werk het rechterlid uit: 8x4+10x3−7px2 -5qx+9r = 8x4 + 14x3-42x2−36x + 4ax3+7ax2 - 21ax-18a 8x4+10x3−7px2 -5qx+9r = 8x4 + (14+4a)x3+ (7a-42)x2= (-21a+36)x -18a Coëfficiënten gelijk stellen 14 + 4a = 10 a = -1 7a-42 = -7p p = 7 -18a = 9r r = 2 -21a-36 = -5q q = 3 P+q+r = 7+3+2 = 12 Antwoord A 2008 - Augustus Vraag 10 Gegeven: de vergelijking van een parabool: y = ax2 + ax + 4 Gevraagd: Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? Oplossing: a.(2)2 + a.2 + 4 = 0 4a + 2a = -4 a = -4/6 a = -2/3 Antwoord A 2010 – Augustus Vraag 8 Gegeven: x3+px2−qx−4 deelbaar is door x2−x+2. Gevra agd: p−q = ? Oplossing: dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
x3+px2−qx−4 = (x+a) (x2−x+2) x3+px2−qx−4 = x3+ax2−x2 +2x +2a –ax x3+px2−qx−4 = x3+(a-1)x2 +(2-a)x +2a Coëfficiënten gelijk stellen: a-1 = p 2-a = q 2a = -4 a = -2 Dus: p = -3 en q = -4 p-q = 1 Antwoord B 2011 – Augustus Vraag 4 Gegeven: veeltermfunctie f(x)=x4−19x2+48 heeftx=4 en x=-4 als nulpunten Gevraagd: veeltermfunctie is deelbaar door ? Oplossing: (x4−19x2+48) = ? (x+4)(x-4) Via Horner: 1 -4 1
0
-19
0
48
-4
16
12
-48
-4
3
12
0
Dus: (x4−19x2+48) = (x+4) (x3-4x2-3x+12) Opnieuw Horner op de laatste factor: 1 4 1
-4
-3
12
4
0
-12
0
-3
0
(x2-3) Antwoord A 2011 – Augustus Vraag 9 versie 1 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
Gegeven: veeltermfunctie: y = x3+ax2+9x, die slechts één nulpunt heeft. Gevraagd waard van parameter a? Oplossing: = x3+ax2+9x = x(x2+ax+9) Nulpunten: x = o of (x2+ax+9) = 0 Maar slechts één nulpunt nl x =0, dus dan mag (x2+ax+9) geen nulpunt hebben. Dat is het geval als discriminant negatief is: dus als a2 – 36 < 0 of a2<36 -6
Gegeven:
)
=
(
)
+
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de som (p+q) Oplossing: (
)
=
(
)
+
Zet op gelijke noemers: (
)(
)
=
(
) (
( )(
) )
2x2+3x=p(x2+2x+1)+qx+2q 2x2+3x=px2 +2px+p+qx+2q dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
2x2+3x=px2 +(2p+q)x+p+2q Stel de coëfficiënten gelijk: p=2 2p+q = 3 q=-1 P+2q = 0 q=-1 P+q = 2-1 =1 Antwoord B 2012 – Augustus Vraag 2 versie 1 =
Gegeven:
+
Gevraagd: p.q + q? Oplossing: Zet rechterlid op gelijke noemer: ( (
)(
) )
=
(
=
)
(
)
( (
) )
Stel coëfficiënten gelijk aancoëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = -6 -p+q+2 = 8 p+2 = -4 p = -6 Dus p+q = -6 wordt: -6 + q = -6 q = 0 p.q + q = -6.0 + 0 = 0 Antwoord B
2012 – Augustus Vraag 2 versie 2 =
Gegeven
+
Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemers: ( (
)(
)( )
dr. Brenda Casteleyn
)
=
(
)
=
(
)
www.keu6.be
( (
) )
Page 12
Stel de coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = 6 -p+q+2 = 0 P+2 = 6 0 = 4 Dus p+q + 6 4 + q = 6 q =2 En –p+q+2 = 0 of -4 +2 +2 = 0 Dus p.q + q = 4.2 +2 = 10 Antwoord D 2012 – Augustus Vraag 2 versie 3 =
Gegeven:
+
Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemer: ( (
)(
)( )
)
=
(
=
)
(
)
( (
) )
Stel coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p + q = -6 -p + q -2 = 0 p – 2 = -6 p = -4 Dan wordt p + q = -6 -4 + q = -6 q = -2 Test: -p + q -2 = 0 4 -2 -2 = 0 p.q + q = 6 Antwoord C 2013 - Juli Vraag 10 Gegeven: drie rechten: y+x=3 2x-y = 3 y - mx =5
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
Gevraagd: Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? Oplossing: Bepaal het snijpunt van de eerste twee rechten y = -x +3 = 2x - 3 --> x = 2. dus y = -2 +3 of y = 2.2 -3 = 1 Vul dit punt in in de derde vergelijking om m te vinden: y - mx =5 --> 1 - m.2 = 5 dus m = -2 Antwoord D
2013 - Augustus Vraag 10 Gegeven: drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Gevraagd: Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? Oplossing: Bepaal het snijpunt van de eeste twee rechten: y=
=
(23-2x).5 = (-4x-11)(-7) 115 - 10x = 28x +77 38 = 38x --> x =1 Bepaal y:
(23-2)/-7 = (-4-11)/5 = -3
Vul nu de waarde van x en y in in de derde vergelijking om m te vinden: m.x + y = 2.m - 3 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 14
m.1 -3 = 2.m -3 m =0 Antwoord A 2014 – Juli Vraag 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x-3) is 10. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x2 – 2x – 3 Oplossing: Bereken de rest van veelterm A(x) = x2 + bx + c bij deling door x+1 met regel van Horner:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 15
a -1 a
b
c
-a
-b+a
b-a
c-b+a
Deze rest: c-b+a = 2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = x2 + bx + c bij deling door x-3 met regel van Horner: a 3 a
b
c
3a
3b+9a
b+3a
c+3b+9a
Deze rest: c+3b+9a = 10 (gegeven) We vinden nu twee vergelijkingen: c–b+a=2 c + 3b + 9a = 10 Door de eerste vergelijking af te trekken van de eerste kunnen we c elimineren: 4b +8a = 8 of b+2a = 2 Door de eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen en daarna op te tellen bij de tweede kunnen we b elimineren: 4c +12a = 16 of c+3a =4 We delen de veelterm nu door x2 -2x -3 : ax2 +
bx
+c
x2 – 2x -3
ax2 –
2ax
-3a
a
(b+2a)x +(c+3a) We weten al dat b+2a = 2 en c+3a = 4; dus vinden we als rest: 2x + 4 Antwoord B 2014 – Augustus Vraag 1 versie 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x2- 1) is 2x – 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 16
Oplossing: Bereken de rest van veelterm A(x) = x2 + bx + c bij deling door x-1 met regel van Horner: a 1 a
b
c
a
b+a
b+a
c+b+a
Deze rest: c+b+a = -2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x2 -1: ax2 +
bx
ax2 bx
+c
x2 – 1
-a
a
+(a+c)
bx + (a+c) = 2x -4 (gegeven) b=2 a + c = -4 a + b + c =-2 Deel nu de veelterm door x + 1 ax2 +
bx
+c
ax2 + ax
x +1 ax + (b-a)
(b-a)x + c (b-a)x + b-a a+c-b De rest is dus a+c-b. Invullen met waarden: a+ c = 4 en b = 2 geeft: -4 -2 = -6 Antwoord A 2014 – Augustus Vraag 1 versie 2 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x2- 1) is 2x – 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x2 -1: dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 17
ax3 + bx2 +
cx
ax3
-ax
+d
x2 – 1 ax + b
bx2
+(c+a)x + d
bx2
-b (c+a)x + (b+d)
(c+a)x + (b+d) = 2x – 4 (gegeven) c+a=2 b + d =-4 Deel nu de veelterm door x + 1 ax3 + bx2 +
cx
+d
ax3 + ax2
x+1 ax2 + (b-a)x + (c+a-b)
(b-a)x2 +cx +
d
(b-a)x2 + (b-a)x (c+a-b)x +d (c+a-b)x + c+a-b d+b-(c+a) De rest is dus d + b – (c+a). Invullen met waarden: -4 - 2 = -6 Antwoord A 2014 – Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x2 + x + 2 Gevraagd: Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? Oplossing: mx + 1/3 = -x2 + x + 2 x2 + (m - 1)x + 1/3 – 2 = 0 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 18
x2 + (m - 1)x -5/3 = 0 Voor raakpunten is discriminant = 0 (m-1)2 – 4.(-5/3) = 0 (m-1)2 = - 20/3 Geen enkele waarde van m voldoet want een negatief getal kan nooit een kwadraat zijn. Antwoord A 2015 - Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a.
x + ay = 2 ax + y = a - 1
Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als? Oplossing: x + ay = 2 ax + y = a - 1 ax + a2y = 2a (beide leden vermenigvuldigd met a) ax + y = a - 1 De vergelijkingen van elkaar aftrekken zodat 'ax' wegvalt: a2y - y = 2a - (a-1) a2y - y = 2a - (a-1) (a2-1)y = a + 1 y=
=(
)(
)
= 1/a-1
De noemer mag niet nul zijn, dus a ≠ 1 Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 19
