tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn

Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

1. Inleiding

Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen. 2. Oefeningen uit vorige examens

1997 – Juli Vraag 14 Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2=4-x en de y-as. A. B. C. D.

16 16/3 32/3 Geen van de bovenstaande antwoorden

1997 – Augustus Vraag 14 De oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2=4x en y=2x-4 en de x-as bedraagt A. 3 B. 5/2 C. 7/3 D. 4√2 /3 2000 – Juli Vraag 9 De oppervlakte van de figuur die begrensd wordt door de parabool y2 = x/3 + 3, de rechyte y = 1, de x-as en de y-as bedraagt A. B. C. D.

7,5 15 8 16

dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 2

2002 – Juli Vraag 5 We beschouwen twee functies: y2 = 4x en y = 2x-4. Hoeveel oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? A. B. C. D.

1 8 7/3 9

2007 – Augustus Vraag 8 De oppervlakte van de figuur begrensd door: 1) De X-as 2) De grafiek van de functie f: x  y(x) = (x-1)/2 3) De grafiek van de functie g: x  y(x) = 2(x-4) Is gelijk aan: A. B. C. D.

2,5 3 3,5 4

2008 – Juli Vraag 2 Beschouw twee rechten: y = x-1 y = -2x + 14 Wat is de oppervlakte van de driehoek die begrensd wordt door deze twee rechten en de x-as. A. B. C. D.

14 12 11 10

2008 Augustus Vraag 6 We beschouwen twee parabolische functies: y1 = x2 – 4x + 4 y 2 = 4 – x2 Hoeveel bedraagt de oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? A. 3 B. 8/3 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 3

C. 7/3 D. 2 2009 – Juli Vraag 4 Beschouw de grafieken van een rechte, y = x + 2, en een parabool y = x2.

y 4

2

x

Bepaal de oppervlakte die begrensd wordt door de functie y = x2 en y = x + 2 A. B. C. D.

11/2 31/6 13/6 9/2


www.keu6.be

Page 4

2010 – Augustus Vraag 9 Gegeven is de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten. y

1

2



x

-1

Wat is de oppervlakte van het gearceerde deel? A. B. C. D.

5/2π 5/2π -2 3/2π + 2 3/2π

2011 – Juni Vraag 2 Hieronder zijn de functies

y  3. Sin 2 ( x)

en

y  Sin 2 ( x) weergegeven.

y 3

2




www.keu6.be

x

Page 5



Gegeven is de volgende integraal:

2

Sin 2 ( x ). dx 





0

4

Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de grafiek. A. B. C. D.

1/2π 2/3π 3/4π π

2011 - Augustus Vraag 5 Hieronder zijn de functies

y  Sin 2 ( x)

en

y  Cos 2 ( x) weergegeven.

y

1

2



3


4





Sin 2 ( x ). dx 

 4



x

1 2

4

Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de grafiek. A. B. C. D.

π 1 – π/4 1 π/2


www.keu6.be

Page 6

2012 – Juni Vraag 10 In de figuur hieronder worden de volgende drie functies weergegeven:

y

1 1 1 x , y   x en y  2 2 1  x2

y 1

1

-1

1


1  . dx  0 1  x² 4

Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de figuur? A. B. C. D.

π/4 – ¼ π/2 – ½ π–1 π/4 – 1/2

2012 – Augustus Vraag 3 Gegeven is een grafiek van de functies


Ln x en Ln x³.

www.keu6.be

Page 7

Gegeven zijn de volgende bepaalde integralen: 1



1

1 1 Ln x . dx  Ln 2  2 2

2

3

 Ln x

3

. dx  9 Ln 3  6

1

Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte tussen deze functies in het interval [0,5; 3] ? A. B. C. D.

6Ln3 – Ln2 – 3 9Ln3 + 2 Ln2 – 6 6Ln3 + Ln2 – 5 9Ln3 + 3Ln2 – 3

2013 - Juli Vraag 4 De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. Het eerste gedeelte van deze functie boven de xas is gearceerd. De gearceerde lijn x=a verdeelt deze gearceerde oppervlakte in twee delen van gelijke oppervlakte.

Hoeveel bedraagt de waarde van a? A. π /6 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 8

B. π /5 C. π /4 D. π /3 2013 - Augustus Vraag 5 Hieronder is de grafiek gegeven van functie y=x2. De oppervlakte onder de curve van x=0 tot x=1 is gearceerd. De rechte x=a verdeelt deze oppervlakte in twee gelijke delen.

Welke waarde heeft a? A. a = B. a = C. a =

√ √ √

D. a = 2/3 2015 - Juli Vraag 5 We beschouwen de functie y = x3 - 3x + 6 Hoeveel bedraagt de oppervlakte begrensd door:   

de verticale door het minimum van de functie de verticale door het maximum van de functie de x-as

A. B. C. D.

12 10 12,5 9


www.keu6.be

Page 9

3. Oplossingen oefeningen

1997 – Juli Vraag 14 Gegeven: parabool y2=4-x en de y-as. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door y2=4-x en de y-as. Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y = ± √ −

en bereken de nulpunten

De grafiek loopt dus van x=0 tot x=4. De oppervlakte boven de x-as is de positieve vierkantswortel en die onder de x-as de negatieve en beide oppervlakten zijn elkaars spiegelbeeld. We kunnen dus de oppervlakte boven de x-as berekenen en vermenigvuldigen met twee om de volledige oppervlakte te verkrijgen. = 2 (0 – (-2/3(4)3/2) = 2 . 16/3 = 32/3

A = 2. ∫ √ −

Andere methode: assen omkeren en integraal over grenzen -2 tot 2 berekenen: x = 4 – y2 A=∫ ( −

)

= (8-8/3) – (-8 +8/3) = 16 – 16/3 = 32/3

 Antwoord C 1997 – Augustus Vraag 14 Gegeven: parabool y2=4x en y=2x-4 en de x-as Gevraagd: oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2=4x en y=2x-4 en de x-as dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 10

Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y = ± √4 = ± 2√ en teken de grafieken.

Bereken oppervlakte gearceerde deel (dat kan worden opgesplitst in linkse deel en rechtse driehoek) Bereken de snijpunten: √4 = 2 x – 4  4x2 – 20x + 16 = 0  x = 1 en x = 4 De totale oppervlakte bestaat uit de som van het links gearceerde gedeelte voor x = 0 tot x =1 en de rechtse driehoek, van x = 1 tot x = 2. Vermits de integraal georiënteerd is (onder de x-as, negatieve wortel) moeten we de absolute waarde hebben, dus een –teken voor de integraal zetten S = − ∫ −2√ dx - ∫ (2 − 4) S = 7/3  Antwoord C 2000 – Juli Vraag 9 Gegeven: de parabool y2 = x/3 + 3 , de rechte y = 1, de x-as en de y-as Gevraagd: De oppervlakte van de figuur die begrensd wordt door de parabool y2 = x/3 + 3, de rechte y = 1, de x-as en de y-as Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y =±

Bepaal de snijpunten:

+3

+ 3 = 1  voor x = -6 + 3 = 0  voor x = -9


www.keu6.be

Page 11

De oppervlakte bestaat uit het gedeelte onder de parabool en de rechthoek, met oppervlate 6 x 1 = 6 Op de oppervlakte onder de parabool te berekenen, rekenen we volgende integraal uit: ∫

+ 3 dx = 2 (gebruik substitutie x/3 = u)

Dus het totale oppervlakte is 6 + 2 = 8  Antwoord C 2002 – Juli Vraag 5 Gegeven: twee functies: y2 = 4x en y = 2x-4. Gevraagd: oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y = ± √4 = ± 2√2 en teken de grafieken.


www.keu6.be

Page 12

Bereken de snijpunten: √4 = 2 x – 4  4x2 – 20x + 16 = 0  x = 1 en x = 4 De oppervlakte kan nu worden berekend met vier integralen: het grootste oppervlak boven de x-as: ∫ 2√ dx maar daarvan moet het gedeelte onder de grafiek y = 2x-4 en de x-as worden afgetrokken: ∫ (2 − 4) Daarbij tellen we de twee oppervlaktes onder de x-as op met volgende integralen: -∫ −2√ dx en - ∫ (2 − 4) verkrijgen)

(de – tekens voor de integralen zijn om de absolute waarden te

We krijgen dus volgende oppervlakte: ∫ 2√

-∫ (2 − 4)

-∫ −2√ dx - ∫ (2 − 4)

=9

 Antwoord D 2007 – Augustus Vraag 8 Gegeven: 1) De X-as 2) De grafiek van de functie f: x  y(x) = (x-1)/2 3) De grafiek van de functie g: x  y(x) = 2(x-4) Gevraagd: oppervlakte tussen 1, 2 en 3 Oplossing: Herschrijf de functies: y = 1/2x – ½ en y = 2x-8 Teken de grafiek


www.keu6.be

Page 13

Bepaal de snijpunten Snijpunt grafiek 2 met x-as: 1/2x – ½ = 0 voor x = 1 Snijpunt grafiek 3 met x-as: 2x – 8 = 0 voor x = 4 Snijpunt grafiek 2 en 3: 1/2x -1/2 = 2x – 8 voor x = 5 Bereken bijhorende waarde voor y = 2.5-8 = 2 (dit is ook de hoogte van de driehoek) Berekening oppervlakte driehoek: ½ (basis x hoogte) = ½ (3 . 2) = 3  Antwoord B 2008 – Juli Vraag 2 Gegeven: twee rechten: y = x-1 y = -2x + 14 Gevraagd: Wat is de oppervlakte van de driehoek die begrensd wordt door deze twee rechten en de x-as. Oplossing: Teken de grafiek:

Bepaal de snijpunten: Snijpunt grafiek 1 met x-as voor x = 1 Snijpunt grafiek 2 met x-as: voor x = 7 Snijpunt 2 rechten: -2x + 14 = x-1  -3x -15 = 0  x = 5. Bijhorende waarde voor y is 4 Gemakkelijkse manier om oppervlakte te berekenen is oppervlakte driehoek: dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 14

1/2(basis x hoogte) = ½(6.4) = 12  Antwoord B 2008 Augustus Vraag 6 Gegeven: twee parabolische functies: y1 = x2 – 4x + 4 y 2 = 4 – x2 Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies? Oplossing: teken de grafieken en bepaal de nulpunten en de snijpunten

Snijpunt twee grafieken: x2 – 4x + 4 = 4 – x2  voor x = 0 en x = 2 Nulpunten: voor beide grafieken: x = 2 Berekening oppervlakte: integraal bovenste grafiek – integraal onderste grafiek: ∫ (4 −

)

− ∫ (

− 4 + 4)

= ∫ (4 −

)−(

− 4 + 4)

= 8/3

 Antwoord B


www.keu6.be

Page 15

2009 – Juli Vraag 4 Gegeven: de grafieken van een rechte, y = x + 2, en een parabool y = x2.

y 4

2

x

Gevraagd: Bepaal de oppervlakte die begrensd wordt door de functie y = x2 en y = x + 2 Oplossing: Bepaal de snijpunten van de twee grafieken: x + 2= x2  voor x = 2 en x = -1 De oppervlakte wordt dan bepaald door volgende integraal: ∫ ( + 2)

− ∫

= 9/2

 Antwoord D


www.keu6.be

Page 16

2010 – Augustus Vraag 9 Gegeven: de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten. y

1



2

x

-1

Gevraagd: oppervlakte van het gearceerde deel? Oplossing: Boven de x-as kun je 4 rechthoeken zien met afmetingen 1 .π/2. Wanneer we van het oppervlak van deze vier rechthoeken (4.π/2 = 2π) het gedeelte onder de cosinusgrafiek aftrekken, hebben we de oppervlakte van het gedeelte boven de x-as. Het gedeelte dat moet worden afgetrokken is twee keer: (omdat er een stuk links en een stuk rechts moet worden afgetrokken): ∫ cos

= sin (π) – sin (0°) = 1  dus vermenigvuldigen met 2 wordt 2

Het oppervlakte boven de x-as is dus: 2 π - 2 Het gedeelte onder de x-as is de driehoek met afmeting ½(π.1) Het totale oppervlak is dus 2 π + 2 =½(π) = 5/2 π – 2  Antwoord B


www.keu6.be

Page 17

2011 – Juni Vraag 2 Gegeven: de functies

y  3. Sin 2 ( x)

en

y  Sin 2 ( x) weergegeven.

y 3

2






2



Sin 2 ( x ). dx 

0

x

 4

Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de grafiek. Oplossing: De gegeven integraal geeft het gedeelte onder het gearceerde deel van 0 tot π/2 weer. Wanneer we dit vermenigvuldigen met 2 vinden we het volledige deel onder het gearceerde. Voor het gedeelte onder de bovenste grafiek van 0 tot π/2 vinden we: ∫

/

3

( )

=3∫

/

( )

= 3. π/4 (gegeven integraal)

Wanneer we dit met twee vermenigvuldigen vinden we de volledige oppervlakte onder de grafiek van 0 tot π De totale oppervlakte van het gearceerde deel is dus: 2.( 3. π/4 ) - 2 (π/4) = π  Antwoord D


www.keu6.be

Page 18

2011 - Augustus Vraag 5 Gegeven: de functies

y  Sin 2 ( x)

en

y  Cos 2 ( x) weergegeven.

y

1

2



3


4





Sin 2 ( x ). dx 

 4



x

1 2

4

Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de grafiek. Oplossing: ∫ /

/

− ∫/

/

=

+ -∫ /

/

1−

= ( + )+ ( + )−∫/ =2( + )–(

/

1

- )

=1  Antwoord C


www.keu6.be

Page 19

2012 – Juni Vraag 10 Gegeven: volgende drie functies weergegeven:

y

1 1 1 x , y   x en y  2 2 1  x2

y 1

1

-1

1


1  . dx  0 1  x² 4

Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de figuur? Oplossing: Voor het gearceerde deel rechts van de y-as: opp = −

ℎ

= −

Linkerdeel is spiegel van rechterdeel. Dus totale oppervlak = 2.( − ) =

(1. ) = − −

 Antwoord B 2012 – Augustus Vraag 3 Gegeven: een grafiek van de functies Ln x en Ln x3 .


www.keu6.be

Page 20

Gegeven: zijn de volgende bepaalde integralen: 1



1

3

1 1 Ln x . dx  Ln 2  2 2

 Ln x

3

. dx  9 Ln 3  6

1

2

Gevraagd: gearceerde oppervlakte tussen deze functies in het interval [0,5; 3] ? Oplossing: Oppervlakte rechts van 1

=∫

− ∫ ln

=∫

− 1/3 ∫ ln

(regel logaritmen: ln x3 = 3lnx)

= 2/3 ∫ = 2/3 (9ln3 -6) = 6ln3 – 4 Oppervlakte links van 1:

= - (∫ /

− ∫ / ln

)

(onder x-as, dus –teken

ervoor om positief opp te krijgen) = (3∫ /

− ∫ / ln

)

= 2∫ / = -2(1/2ln2 – ½) = 1 – ln2 Opp rechts + opp links = 6 ln3 -4 +1 – ln2 = 6ln3 – ln2 -3  Antwoord A 2013 - Juli Vraag 4


www.keu6.be

Page 21

Gegeven: De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. Het eerste gedeelte van deze functie boven de x-as is gearceerd. De gearceerde lijn x=a verdeelt deze gearceerde oppervlakte in twee delen van gelijke oppervlakte.

Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van a? Oplossing Bij een cosinusfunctie is y = o voor x = π/2. We moeten dus het oppervlakte berekenen van 0 tot μ/2. A=∫

/

= sin (π/2) - sin 0 = 1 - 0 = 1

De oppervlakte van o tot a is dan de helft, dus 1/2. A=∫

= 1/2; dus sin(a) - sin(0) = 1/2

sin (a) = 1/2. Hieruit kun je a afleiden: a = 30° = π/6  Antwoord A 2013 - Augustus Vraag 5 Gegeven: Hieronder is de grafiek gegeven van functie y=x2. De oppervlakte onder de curve van x=0 tot x=1 is gearceerd. De rechte x=a verdeelt deze oppervlakte in twee gelijke delen.


www.keu6.be

Page 22

Gevraagd: Welke waarde heeft a? Oplossing: Bereken de oppervlakte van 0 tot 1: A=∫

=

-

= 1/3

De oppervlakte van o tot a is de helft van 1/3, dus 1/6 =

∫

= 1/6

Hieruit kun je a berekenen: a =

√

 Antwoord B 2015 - Juli Vraag 5 We beschouwen de functie y = x3 - 3x + 6 Hoeveel bedraagt de oppervlakte begrensd door:   

de verticale door het minimum van de functie de verticale door het maximum van de functie de x-as

Oplossing: Bepaal de afgeleide om het minimum en maximum te bepalen y' = 3x2 -3 = 0 --> x = -1 en x = 1 Teken de grafiek: punten: (-2, 4) (-1, 8), (0,6), (1, 4), (2, 8)

Oppervlakte = ∫ (

− 3 + 6)

=

− 3

+ 6

= 1/4-3/2+6 - (1/4 - 3/2 -6) = 12

 Antwoord A


www.keu6.be

Page 23


www.keu6.be

Page 24

tandarts

Recommend Documents