tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn

Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen.

2. Oefeningen over functieverloop 1997 – Juli Vraag 2 De functie f: R  R: f(x) = A. Heeft geen buigpunt(en) B. Vertoont een buigpunt voor x = 0 C. Vertoont twee buigpunten, voor x = -1 en voor x = +1 D. Vertoont twee buigpunten, voor x = - √3 en voor x = √3 1997 – Juli Vraag 3 De functie f: R  R, f(x) = A. B. C. D.

Heeft rechte x = -1 als verticale asymptoot Heeft rechte x = 1 als horizontale asymptoot Heeft recht y = 2x + 1 als schuine asymptoot Heeft rechte y = 2x – 1 als schuine asymptoot

1997 – Juli Vraag 10 Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel; de maximale inhoud van deze doos in cm3 is: A. B. C. D.

14000 16000 18000 20000

dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 2

1997 –Augustus Vraag 2 Welke van de volgende verzamelingen bevat minstens één nulpunt van de veeltermfunctie: f : x y(x) = 2x4 – 4x3 – 13x2-6x-24 ? A. B. C. D.

{-5;-1;2;7} {-4;-1.5;1;16} {-7;-0.5;3;5} {-3;-2.5;4;9}

1997 – Augustus Vraag 6 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationele functie: F: xy(x) = A. B. C. D.

heeft de rechte y = 0 als asymptoot Vertoont geen relatieve extrema Heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot Heeft de rechte y = x – 2 als schuine asymptoot

1997 – Augustus Vraag 8 Beschouw een cylindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume V0m3. Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h (in m) van het vat en de straal r (in m) van het grondvlak? A. B. C. D.

h = 0.75 r h=r h = 1.5r h = 2r

1997 – Augustus Vraag 9 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie F: x  y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + 9ad x + 6bd Is NIET juist? A. B. C. D.

Als a = 0 en bcd ≠0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten Als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten Als a = 2 heeft de veeltermfunctie –b/3 als nulpunten


www.keu6.be

Page 3

1997 – Augustus Vraag 11 Beschouw de volgende irrationele functie: f: x  y(x) = - √−

−2 +8

Welke van de volgende beweringen is NIET juist? A. B. C. D.

Ze heeft een buigpunt voor x = 2 Ze heeft een minimum voor x = -1 Ze is alleen gedefinieerd in het interval [-4,2] Ze heeft twee snijpunten met y = -2

2000 – Juli Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie f: x  y(x) = x2 A. B. C. D.

Heeft de recht y = 0 als asymptoot Vertoont een (relatief) minimum Heeft de rechte y = x en y = -x als schuine asymptoten Heeft een schuine asymptoot

2000 – Juli Vraag 8 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie f: x  y(x): 3x4 – 10x3 -12x2 + 12x -7 Welke van de volgende beweringen is juist? A. B. C. D.

Voor x = -1/2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 0 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 2 is haar bolle zijde naar boven gekeerd Voor x = 3 is haar bolle zijde naar boven gekeerd

2001 – Augustus Vraag 1 Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie f: x  y(x) = 2ac x3 + 3bc x2 - 8ad x -12bd Is NIET juist? A. B. C. D.

Als a = 0 en bcd ≠0, heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten Als c=d<0 dan heeft de veeltermfunctie +2 en -2 als nulpunten Als a = 3 dan heeft de veeltermfunctie b/2 als nulpunt Als abcd ≠ 0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 3 nulpunten


www.keu6.be

Page 4

2001 – Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen is NIET juist? De rationale functie: f: x y(x) = A. B. C. D.

Heeft de rechte y = 2 als asymptoot Heeft een verticale asymptoot Heeft een schuine asymptoot Vertoont een buigpunt

2001 – Augustus Vraag 9 Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. A. B. C. D.

Beide beweringen zijn juist. Alleen de eerste bewering is juist. Alleen de tweede bewering is juist. Beide beweringen zijn onjuist.

2002 - Juli Vraag 1 Beschouw de grafiek van volgende veeltermfunctie: y(x) = 4 x3 - 21 x2 + 18 x - 9 Welke van de volgende beweringen is juist? A. B. C. D.

voor x= 1/2 vertoont zij een relatief minimum voor x= 3vertoont zij een relatief minimum voor x= 7/4 vertoont zij een relatief maximum voor x= 3 vertoont zij een relatief maximum

2002 -Juli Vraag 10 Beschouw de kromme x2y + 3y -4 = 0. De waarde van de afgeleide y’ in een punt van de kromme met x=3 is A. B. C. D.

-1/6 0 1/6 1


www.keu6.be

Page 5

2002 - Augustus Vraag 1 Beschouw de grafiek van de veeltermfunctie y=−2x3+5x2+4x+5. Welk van de volgende beweringen is juist? A. B. C. D.

x = 5/6 is een relatief maximum x = -1/3 is een relatief maximum x = 5/2 is een relatief maximum x = 2 is een relatief maximum

2002 - Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een bepaalde kromme: x.y + x – 2y – 1 = 0 Hoeveel bedraagt de afgeleide y’ in een punt van deze kromme voor x = 3? A. B. C. D.

1 0 ½ 1

2007 – Augustus Vraag 2 Welke van de volgende beweringen over de rationale functie f: x  y(x) = A. B. C. D.

is NIET juist? De functie heeft de rechte y = 2 als asymptoot De functie heeft een verticale asymptoot De functie heeft een schuine asymptot De functie heeft twee nulpunten

2008 – Juli Vraag 4 Als 0 ≤ x ≤ 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door √1 + Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? A. B. C. D.

[0,06;0,07[ [0,07;0,08[ [0,08;0,09[ [0,09;0,10[


www.keu6.be

Page 6

2008 - Juli Vraag 7 We beschouwen de parabool y =

+ 3x + 6 en zijn afgeleide y’ = -x +3

Welke uitspraak is onjuist? A. Het snijpunt van de rechte met de x-as komt overeen met de top van de parabool B. De afgeleide functie is een dalende rechte omdat de parabool met zijn holle zijde naar onder ligt. C. De afgeleide functie van een parabool heeft steeds twee snijpunten met de parabool. D. Als de rechte onder de x-as zit, dan is de parabool dalend. 2008 - Augustus Vraag 8 Beschouw de veeltermfunctie: f(x) = 3x3+27x2+5 Welke uitspraken over nulpunten, extrema en buigpunten is verkeerd? A. B. C. D.

De functie heeft x=5 en x=1 niet als nulpunt. De functie heeft twee extrema bij x=0 en x=-6. De functie heeft een buigpunt bij x=-3 De holle kant van de functie ligt naar onder in de buurt van x=0


www.keu6.be

Page 7

2009 - Juli Vraag 1 Gegeven is een parabolische functie: f (x) = 2 x2 - 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? A. B. C. D.

X = - 1/2 X = 1/2 X=1 X=2

2009 – Juli Vraag 2 Gegeven is een derdegraadsfunctie: f (x) = 4 x3 + 2 x2 + x -1/6 Welke buigpunten heeft deze functie? A. B. C. D.

een buigpunt op x = -1/6 eeen buigpunt op x = 1/6 een buigpunt op x = 0 een buigpunt op x = 1

2009 - Juli Vraag 3 Gegeven is een parabolische functie: f(x) = 2x2 – 2x -1 Waar ligt de top van deze parabool? A. B. C. D.

x = - 1/2 x=½ x=1 x =2

2009 - Juli Vraag 10 Hoeveel reële nulpunten heeft deze functie x3 – x2 – 3x -9 A. B. C. D.

0 1 2 3


www.keu6.be

Page 8

2010 - Augustus Vraag 5 De grafiek van de functie y(x)=(x2−4x)/(x+2)2: A. B. C. D.

Vertoont een relatief minimum tussen de twee nulpunten Vertoont een relatief minimum buiten de twee nulpunten Vertoont een relatief maximum tussen de twee nulpunten Vertoont een relatief maximum buiten de twee nulpunten

2011 - Juli Vraag 3 Gegeven is de volgende veelterm: x4 – 3x3 + x2 – 5x + 6 Hoeveel reële nulpunten heeft deze veelterm? A. B. C. D.

1 2 3 4

2011 - Juli Vraag 7 Gegeven is de functie y = Slechts één van de volgende uitspraken over asymptoten en buigpunten is correct, welke? A. B. C. D.

Deze functie heeft een verticale asymptoot en geen buigpunten Deze functie heeft een verticale asymptoot en één buigpunt Deze functie heeft een schuine asymptoot en één buigpunt Deze functie heeft een schuine asymptoot en twee buigpunten

2011 - Augustus Vraag 3 Gegeven is de volgende rationele functie: y = Welke uitspraak is verkeerd? A. B. C. D.

Deze functie heeft geen nulwaarden en één verticale asymptoot Deze functie heeft één buigpunt en een verticale asymptoot Deze functie heeft één verticale asymptoot en één schuine asymptoot Deze functie heeft geen buigpunt en een schuine asymptoot


www.keu6.be

Page 9

2012 - Juli Vraag 2 Hieronder is de functie y=2x²+2x+3/2 afgebeeld. Een niet horizontale rechte gaat door punt P(2,1) en heeft een raakpunt met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van deze raaklijn. A. B. C. D.

8 12 20 32

2012 – Juli Vraag 5 In een onderzoek gaat men het verband na tussen onverwachte mortaliteit (y) en het gemiddelde aantal uren slaap (x) van deze personen. Dit verband wordt weegegeven door de volgende best passende functie: Y = 100x2 – 1500x + 600 Bij welk gemiddeld aantal uren slaap was in dit onderzoek de mortaliteit het kleinst? A. B. C. D.

6,5 uur 7 uur 7.5 uur 8 uur

2012 – Augustus Vraag 7 De werking van een geneesmiddel wordt onderzocht voor dosissen van 0 tot 2 gram/dag. Na regressieanalyse van de waarnemingen was men in staat het percentage genezen mensen (A) uit te drukken als functie van de toegediende dosis (d) van een bepaald geneesmiddel. A = -d2 + 2d + 3 (0 ≤ d ≤ 2)


www.keu6.be

Page 10

Walke dosis van dit geneesmiddel is het meest effectief? A. B. C. D.

2 3/2 1 ½

2012 – Augustus Vraag 8 We beschouwen de kwadratische functie: y = -2x2 + 2 Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. Hoeveel bedraagt de helling van die rechte? De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x. A. B. C. D.

-4 ¼ -2 ½

2013 - Juli Vraag 3 versie1 We beschouwen de volgende rationale functie:

=

Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? A. B. C. D.

1 2 1 en 3 2 en 4

2013 - Juli Vraag 3 versie2 We beschouwen de volgende rationale functie:

=

Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 11

1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Welke van deze uitspraken zijn correct? A. B. C. D.

1 en 4 2 en 3 1,2 en 3 1, 2 en 4

2013 - Juli Vraag 6 We beschouwen de functie:

=

− 2 +4

Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 A. B. C. D.

0 1 2 3


www.keu6.be

Page 12

2013 - Juli Vraag 8 versie 1 Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer?

2013 - Juli Vraag 8 versie 2 In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer?


www.keu6.be

Page 13

2013 - Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende rationale functie: y(x) = Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -√3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = √3 2013 - Augustus Vraag 7 Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? A. B. C. D.

0 1 2 3


www.keu6.be

Page 14

2013 - Augustus Vraag 8 Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 - (x - 2)3 y = 1 + (x - 2)3 y = 2 - (x - 1)3 y = 1 + (x - 1)3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2)3 voor?

A. B. C. D.

grafiek A grafiek B grafiek C grafiek D


www.keu6.be

Page 15

2014 – Juli – Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie.

y

x Welk functievoorschrift is correct? A. B. C. D.

Y = 300 + 200. Y = 300 + 200. Y = 500 - 200. Y = 500 - 200.

. . . .

2014 – Juli Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x – ¼ y = x2 +m.x + 2 Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? A. B. C. D.

6 -6 2 -2

2014 – Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie


www.keu6.be

Page 16

y 700

500

300

100

x Welk functievoorschrift is correct? A. B. C. D.

Y = 700 – 200.e-0,025x Y = 700 – 200.e0,025x Y = 500 + 200.e0,025x Y = 500 + 200.e -0,025x

2015 - Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x2 + x + 1 en y = 2x2 -2x +3 A. B. C. D.

4 2 1 0

2015 - Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x2 + (a-1)x + (a2 - 1) met a ϵ ⌈0,1⌉ We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? A. B. C. D.

1/2 5/4 0 3/2


www.keu6.be

Page 17


www.keu6.be

Page 18

3. Oplossingen oefeningen 1997 – Juli Vraag 2 Gegeven: De functie f: R  R: f(x) = Gevraagd: buigpunt Oplossing: Buigpunt  2de afgeleide f’(x) =

(

(

f’’(x) = = = =

(

=

)

( (

=(

)

)

=

)

(

)

(

)

.

( )[

(

) )

]

)

( ( ( (

)

) )

Tekenverloop: x

-1

f”(x)

-

Ι

0 +

0

1 -

Ι

+

Tekenverandering in 0, dus buigpunt enkel in 0  Antwoord B 1997 – Juli Vraag 3 Ter herinnering: Verticale asymptoot: nulwaarde(n) van de noemer, die niet in de teller voorkomen. Horizontale asymptoot: als de graad van de teller kleiner of gelijk is aan de graad van de noemer. Door waarden in te vullen,kan je de asymptoot vinden. Schuine asymptoot: als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer. Je vindt die asymptoot door de euclidische deling van teller gedeeld door noemer en die vergelijking mag maar van de eerste graad zijn, anders is het geen asymptoot meer Niets: als de graad van de teller meer dan 1 eenheid groter is dan de graad van de noemer, heb je geen asymptotisch gedrag. dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 19

Gegeven: De functie f: R  R, f(x) = Gevraagd: VA, HA, SA? Oplossing: VA: x = 1 (= nulpunt noemer) Geen HA want graad T > graad N SA bestaat want graad T = graad N+1 Snelste manier is volgende deling 2x2-3x+4 -2x2+2x -x+4 -x-1 3 SA: y = 2x-1

x-1 2x-1

 Antwoord D 1997 – Juli Vraag 10 Gegeven: x

80-2x

x

x 50-2x

Met x < 25, anders is er geen doos Gevraagd: maximale inhoud in cm3 Bereken de inhoud van de doos: oppervlakte grondvlak x hoogte Inhoud = (80-2x)(50-2x).x = (80-2x)(50x-2x2) = 4000x-160x2-100x2+4x3 = 400x-260x2+4x3= 4(1000x-65x2+x3) Maximale waarde: afgeleide = 0 voor extremum en via tekenverloop maximum bepalen. Inhoud’(x) =(4(x3-65x2+1000x))’ = 4 (3x2 -130x + 1000) Nulpunten van deze afgeleide: x = 10 en x = 100/3 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 20

Tekenverloop: X

10

100/3

Inhoud(x)

stijgt

daalt

Inhoud’(x)

+

0

-

0

stijgt +

De inhoud bereikt dus een maximale waarde voor x=10 De inhoud is dan I(10) = (80-2.10)(50-2.10).10= 18000  Antwoord C 1997 –Augustus Vraag 2 Gegeven: f : x y(x) = 2x4 – 4x3 – 13x2-6x-24 Gevraagd: nulpunten Oplossing: Alle delers van -24 zijn mogelijke nulpunten, dus 1, -1,2,-2,3,-3 4,-4,8,-8,12,-12 Gebruik regel van Horner: 2 -2 2

-4

-12

6

-24

-4

16

-6

24

-8

3

-12

0

(x+2)(2x3-8x2+3x-12) Opnieuw Horner toepassen 2 4 2

-8

3

-12

8

0

12

0

3

0

(x+2)(x-4)(2x2+3) Nulpunten: -2 en 4  Antwoord D


www.keu6.be

Page 21

1997 – Augustus Vraag 6 Gegeven: f: xy(x) = Gevraagd: asymptoten, extrema Oplossing: Geen H.A;. want graad T > graad N Schuine asymptoot: deling: x2-2x+1 : x = x-2 SA: y = x-2  Antwoord D 1997 – Augustus Vraag 8 Gegeven: volume cilinder V0m3 Gevraagd: verband hoogte vat en straal grondlvak bij minimale oppervlakte vat Oplossing: Formule volume cilinder: V = πr2h Formule oppervlakte vat: oppervlakte grondvlak + oppervlakte mantel Oppervlakte vat = πr2 + 2πrh Vervang h uit formule van volume: h = V/ πr2 Dus: Oppervlakte vat = πr2 + 2πr. V/ πr2 Vereenvoudig: Oppervlakte vat = πr2 + 2. V/ r Een minimale oppervlakte: eerste afgeleide = 0 ( πr2 + 2. V/ r)’ =2 πr + -1.2. V/ r2 = 0 2 πr = 2 V/ r2 We kunnen nu V vervangen door de formule van volume: 2 πr = 2 πr2h / r2 2 πr = 2 πh r=h  Antwoord B


www.keu6.be

Page 22

1997 – Augustus Vraag 9 Gegeven: f: x  y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + 9ad x + 6bd Gevraagd: welke optie is fout. Oplossing: Mogelijkheid A: Als a = 0 en bcd ≠ 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 4bc x2 + 6bd Aantal mogelijke nulpunten: 0, 1 of 2 want kwadratische vergelijking Mogelijkheid B: Als 3d = -2c, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6ac x3 + 4bc x2 + (-6c)a x - 4bc y(-1) = -6ac + 4bc +6ac -4bc = 0 y(1) = 6ac +4bc -6ac -4bc = 0 Mogelijkheid D: Als a=2, dan wordt de vergelijking: y(x) = 12c x3 + 4bc x2 + 18d x + 6bd y(-b/3) =

12c(-b3/27) + 4bc(b2/9+18d(-b/3) +6bd

=

-12cb3/27 + 4cb3/9 -18bd/3 + 6bd

=

0

 Antwoord C 1997 – Augustus Vraag 11 Gegeven: de irrationele functie: f: x  y(x) = - √−

−2 +8

Gevraagd: foute bewering Oplossing: Mogelijkheid B: Minimum voor x = -1? Afgeleide van - √−

−2 +8

= -1/2(-2x-2)(-x2-2x+8)-1/2 =√ Dit wordt = 0 bij x =-1. Uit tekenverloop blijkt dit een minimum te zijn. Mogelijkheid C: alleen gedefinieerd in interval [-4,2]? dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 23

Domein is beperkt door voorwaarde dat wat onder vierkantswortel staat positief moet zijn. Dus − − 2 + 8> 0 Bereken nulpunten: D = 36 en x1 = -4 en x2 = 2 Bepaal tekenverloop:

X √−

-√−

-4 −2 +8

−2 +8

2

///

0

++++++

0

///

///

0

---------

0

///

Dus domein inderdaad tussen -4 en 2 Mogelijkheid D: 2 snijpunten met y = -2? Los daarvoor volgende vergelijking op: -2 = - √− 2 = √−

−2 +8 −2 +8

4=−

−2 +8

0=−

−2 +4

Bereken de nulpunten: D2 = 4 + 16 = 20. Dat geeft twee nulpunten Dus twee snijpunten. Besluit: Mogelijkheid A moet fout zijn  Antwoord A 2000 – Juli Vraag 2 Gegeven: De rationale functie f: x  y(x) = x2 Gevraagd: asymptoten, maxima y(x) =( x3-27)/x Er is geen schuine asymptoot want graad teller ≠ graad noemer +1 Er is ook geen horizontale asymptoot want graad teller ≠ graad noemer  Antwoord B


www.keu6.be

Page 24

2000 – Juli Vraag 8 Gegeven: f: x  y(x): 3x4 – 10x3 -12x2 + 12x -7 Gevraagd: juiste bewering: voor welke waarde van x bolle zijde naar boven? Berekening van tweede afgeleide: (3x4 – 10x3 -12x2 + 12x -7)’= 12x3-30x2-24x+12 (12x3-30x2-24x+12)’= 36x2 – 60x -24 Mogelijkheid A: y’’(-1/2) = 36/4 + 30 – 24 = 15 >0 (bol onder) Mogelijkheid B: y’’(0) = -24  bol boven Mogelijkheid C: y”(2) = 144-120-24 = 0  buigpunt Mogelijkheid D: y”(3) = 324-180-24= 120  bol onder  Antwoord B 2001 – Augustus Vraag 1 Gegeven: f: x  y(x) = 2ac x3 + 3bc x2 - 8ad x -12bd Gevraagd: foute bewering? Oplossing: Mogelijkheid A: als a = 0 en bcd ≠ 0, dan wordt de vergelijking: y(x) = 3bc x2 -12bd, dit is een kwadratische vergelijking die geen, 1 of 2 nulpunten heeft Mogelijkheid B: Als c=d<0, dan wordt de vergelijking:  y(x) = 2ac x3 + 3bc x2 - 8ac x -12bc Y(2) = 16ac + 12bc – 16ac – 12bc = 0 Y(-2) = -16ac + 12bc +16ac -12bc = 0 Mogelijkheid C: Als a = 3, dan wordt de vergelijking: y(x) = 6c x3 + 3bc x2 - 24d x -12bd y(b/2) = 6c(b/2)3 + 3bc(b/2)2 – 24d(b/2) -12bd = 6cb3/8 + 3cb3/4-12db -12bd≠0  Antwoord C dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 25

2001 – Augustus Vraag 2 Gegeven: De rationale functie: f: x y(x) = Gevraagd: foute bewering Graad teller = graad noemer, dus wel een horizontale asymptoot Graad teller≠ graad noemer +1, dus geen schuine asymptoot.  Antwoord C 2001 – Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3).Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor met straal 2. Gevraagd: welke bewering juist? Oplossing: Eerste bewering: De vergelijking y² - 6y + 1 = 4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Om de top te berekenen zoek je de afgeleide van x in functie van y: X = ¼( y² - 6y + 1) en zoek je de afgeleide: (¼( y² - 6y + 1))’ = ¼(2y-6)  deze vergelijking wordt 0 voor y = 3 Met de oorspronkelijke vergelijking vinden we bij y = 3 de waarde x=-2 De top is dus (-2,3) Tweede bewering: De vergelijking y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 stelt een cirkel voor metstraal 2. De standaardvorm van de vergelijking van een cirkel is: (x-a)2+(y-b)2=r2 met middelpunt (a,b) en straal r. We vormen de vergelijking om naar de standaardvorm: y² + x² - 6y - 4x + 4 = 0 y² - 6y +9-9 + x² - 4x+4-4 + 4 = 0 (toevoeging +9-9 en +4-4 om merkwaardig product te kunnen toepassen) (y-3)2-9+ (x-2)2-4+4 = 0 (y-3)2 + (x-2)2 = 32 De straal van de cirkel is dus 3. dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 26

 Antwoord B 2002 – Juli Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie: y(x) = 4 x3 - 21 x2 + 18 x - 9 Gevraagd: juiste bewering Oplossing: (4 x3 - 21 x2 + 18 x – 9)’ = 12x2 – 42x + 18 Nulpunten: discriminant = 900 en x1 = ½ en x2 = 3 Tweede afgeleide: 24x – 42  nulpunt: x = 7/4 (= buigpunt) Tekenverloop: X

½

7/4

f’(x)

+++ 0

f’’(x)

---------------------

f(x)

max

3

--- -------------------0

0 +++++++++

+++++++++++++++

buigpunt

min

 Antwoord B 2002 - Juli Vraag 10 Gegeven: Kromme x2y + 3y -4 = 0 Gevraagd: waarde van afgeleide y’ in punt van de kromme met x =3 Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y(x2+3)-4 = 0 of y = 4/(x2+3) (4/(x2+3))’ =( 0(x2+ 3) – 8x) /(x2+3)2 =-8x /(x2+3)2 y’(3) = -1/6  Antwoord A 2002 - Augustus Vraag 1 Gegeven: veeltermfunctie y=−2x3+5x2+4x+5 Gevraagd: extrema? dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 27

Oplossing: (−2x3+5x2+4x+5)’= -6x2 +10x +4 = -2(3x2-5x-2) Ontbinden via Horner: = -2(x-2)(3x+1) Nulpunten: 2 en -1/3 Tweede afgeleide: (-6x2 +10x +4)’= -12x+10 Het nulpunt x = 10/12 = 5/6 is een buigpunt Tekenverloop x

-1/3

y’

----------

y”

++++++++++++++++++++++++

y

0

0

5/6

2

++++++++++++++++++

min

0 ---------0

--------------------------

buigpt max

 Antwoord D 2002 - Augustus Vraag 10 Gegeven: vergelijking: x.y + x – 2y – 1 = 0 Gevraag: afgeleide y’ in een punt van deze kromme voor x = 3? Oplossing: xy + x – 2y – 1 = 0 y(x-2) + x = 1 y = (1-x)/(x-2) (

y’ =

) (

y’ = (

(

)

)

)

y’(3) = 1  Antwoord D


www.keu6.be

Page 28

2007 – Augustus Vraag 2 Gegeven: de rationale functie f: x  y(x) =

is NIET juist?

Gevraagd: foute bewering Oplossing: Horizontale asymptoot: limx∞

= 2, dus bewering A is juist

Nulpunten: teller heeft twee nulpunten, dus ook D is juist Er is geen schuine asymptoot want graad teller niet gelijk aan graad noemer +1  Antwoord C 2008 – Juli Vraag 4 Gegeven: Als 0 ≤ x ≤ 1 dankan 1 + x/2 goed benaderd worden door √1 + Gevraagd: Wat is binnen de voorwaarde de grootste afwijking tussen de twee uitdrukkingen? Oplossing: Grootste afwijking of grootste verschil: maximum of minimum Verschil: V= 1 + x/2 - √1 + V’ = ½ -

(

)

extremum  afgeleide = 0

=0x=0

Is x 0 een minimum of een maximum: invullen: 1 + 0/2 = 1 en √1 + 0 = 1  verschil =0 Er is geen maximum, dus moeten we kijken binnen de toegelaten voorwaarde wat de hoogste waarde is, nl. 1: invullen: 1 + ½ = 3/2 en √1 + 1 = √2 Verschil: 3/2 – 1,4141 = 0,0858  Antwoord C 2008 - Juli Vraag 7 Gegeven: de parabool y =

+ 3x + 6 en zijn afgeleide y’ = -x +3

Gevraagd: onjuiste uitspraak Oplossing: Uitspraak A: Het snijpunt van de rechte met x-as komt overeen met de top van de parabool. Op het snijpunt van de rechte met x is de waarde van y = 0, de afgeleide is er dus 0. Dat is dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 29

exact hoe we een extremum vinden. Dus, voor de x waar de rechte kruist met de x-as, is er een extremum, in dit geval een maximum. Deze uitspraak klopt. Uitspraak B: De richtingscoëficiënt van de afgeleide is negatief en de afgeleide is dus een dalende functie. De tweede afgeleide = -1, dus negatief  holle zijde is dan naar onder. Deze uitspraak klopt Uitspraak C: Er zijn niet altijd 2 snijpunten tussen een parabool en zijn afgeleide. Deze uitspraak klopt niet. (voorbeeld: y = x2 + 10 en afgeleide: y’ = 2x, er zijn geen snijpunten) Uitspraak D: Als de rechte onder de x-as is, dan is de afgeleide negatief (na het nulpunt). De parabool is dan dalend. Deze uitspraak klopt.  Antwoord C 2008 - Augustus Vraag 8 Gegeven: veeltermfunctie: f(x) = 3x3+27x2+5 Gevraagd: foute uitspraak Oplossing: Mogelijkheid A:

f(5) = 3.53+27.55+5 ≠0 f(1) = 3+27.5 ≠0

Mogelijkheid B: (3x3+27x2+5)’ = 9x2 +54x = x(9x+54) Nulpunten: x = 0 en x =-6, dit zijn de twee extrema Mogelijkheid C: buigpunt berekenen  tweede afgeleide: (9x2 +54x )’ = 18x +54 Nulpunt = -54/18 = -3 is een buigpunt Mogelijkheid D: f’’(0) = 18.0+54 = 54 >0 (hol naar boven)  Antwoord D 2009 - Juli Vraag 1 Gegeven: parabolische functie: f (x) = 2 x2 - 2x -1 Gevraagd: top? Oplossing: Berekening van de top: afgeleide gelijk aan 0 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 30

( 2 x2 - 2x -1)’ = 4x -2 = 0  x=1/2  Antwoord B 2009 – Juli Vraag 2 Gegeven: f (x) = 4 x3 + 2 x2 + x -1/6 Gevraagd: Buigpunten Oplossing: (4 x3 + 2 x2 + x -1/6)’ = 12x2 +4x +1 (12x2 +2x +1)’ = 24x +4 Nulpunt: -1/6  Antwoord A 2009 - Juli Vraag 3 Gegeven: parabolische functie: f(x) = 2x2 – 2x -1 Gevraagd: top van deze parabool? Oplossing: top  y’ = 0 Y’ = 4x -2 = 0  x = ½  Antwoord B 2009 - Juli Vraag 10 Gegeven: de functie x3 – x2 – 3x -9 Gevraagd: aantal reële nulpunten Oplossing: Alle delers van 9 kunnen nulpunten zijn: 1,-1,2,-2,3,-3,9,-9 Experimenteel vind je bij x=3 een nulpunt: f(3)=27-9-9-9=0 Regel van Horner: 1

3

1

-1

-3

-9

3

6

9

2

3

0


www.keu6.be

Page 31

 (x-3)(x2+2x+3) Nulpunten van (x2+2x+3) berekenen Discriminant = 4-4.3.1 = -8 <0 Er is dus maar 1 reëel nulpunt  Antwoord B 2010 - Augustus Vraag 5 Gegeven: functie y(x)=(x2−4x)/(x+2)2 Gevraagd: waar is extremum tov nulpunten Oplossing: y = x(x-4)/(x+2)2 nulpunten: x=0 en x =4 Berekening extremum: = [(2x-4)(x+2)2 – 2(x+2)(x2-4x)] / (x=2)4

y’

= (8x -8)/(x+2)3 Nulpunt bij x=1 (= extremum) Tekenverloop: X

-2

Y

+++++

0 +++++

1

0 ---------------------------

4 0 +++++

(8x-8)

--------

--------------------------- 0 ++++++++++++++++

(x+2)3

---------

+++++++++++++++++++++++++++++++++++

Y’

+++++

-------------------------- 0 ++++++++++++++++

y

min  Antwoord A

2011 - Juli Vraag 3 Gegeven: veelterm: x4 – 3x3 + x2 – 5x + 6 Gevraagd: aantal reële nulpunten dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 32

Oplossing: Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(1) = 0 Via Horner: 1

1

1

-3

1

-5

6

1

-2

-1

-6

-2

-1

-6

0

(x-1)(x3-2x2-x-6) Delers van 6 kunnen nulpunten zijn, dus 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 Experimenteel: f(3)=0 1

3

1

-2

-1

-6

3

3

6

1

2

0

(x-1)(x-3)(x2+x+2) D2 = 1 – 8 = -7 <0 Er zijn dus 2 reële nulpunten, nl. 1 en 3  Antwoord B 2011 - Juli Vraag 7 Gegeven: functie y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Oplossing: Graad teller = 1 + graad noemer -> er is een schuine asymptoot Verticale asymptoot: x = -2/3 Onderzoek buigpunten: via nulpunten van tweede afgeleide: y’ =[2x(3x+2)-3(x2)]/(3x+2)2 = [6x2+4x-3x2]/(3x+2)2 = (3x2+4x) / (3x+2)2 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 33

y” =

(

)(

=

(

)

(

)(

(

)

)(

)

(

(

)

)(

)

)

= (18x2+24x+8-18x2-24x)/(3x+2)3 = 8/(3x+2)3 Deze functie heeft geen nulpunten  dus ook geen buigpunten.  Antwoord A 2011 - Augustus Vraag 3 Gegeven: rationele functie: y = Gevraagd: asymptoten en buigpunten? Oplossing: Teller heeft geen nulpunten D2 = -3 <0 Verticale asymptoot: x = -2 Schuine asymptoot: y = ax + b A = 1 en b = -1 Dus y = x-1 Horizontale asymptoot: geen Eerste afgeleide:

y’

= [(2x+1)(x+2) – (x2+x+1)] / (x+2)2 = (2x2+4x+x+2-x2-x-1)/ (x+2)2 = x2+4x+1/(x+2)2

Nulpunt teller: D2 = 12 en nulpunten: x = (-8 -√12)/2 en x = (-8 +√12)/2 , dit zijn de extrema Tweede afgeleide geven de buigpunten: Y”

= [(2x+4)(x+2)2 – 2(x+2)(x2+4x+1)] / (x+2)4 = (2x2 + 4x+4x+8-2x2-8x-2)/(x+2)3 = 6/(x+2)3 geen nulpunten, dus ook geen buigpunten


www.keu6.be

Page 34

 Antwoord B 2012 - Juli Vraag 2 Gegeven: functie y=2x²+2x+3/2 Gevraagd: helling van raaklijn door punt P(2,1) Oplossing: De afgeleide is de raaklijn, dus vgl van de raaklijn is y’=4x+2 Anderzijds wordt de helling van de rechte bepaald door( y-y0)/(x-x0) Gegeven in tekening volgend punt op de raaklijn: X0 = 2 en y0 = 1 Dus 4x+2 =( y-1)/x-2 Vul de uitdrukking van y in in deze vergelijking: 4x+2 =(( 2x²+2x+3/2 )-1)/x-2 (4x+2)(x-2) = 2x²+2x+1/2 4x2+2x-8x-4-2x²-2x-1/2=0 2x2-4x-4-1/2=0 2x2-4x-9/2=0 4x2-16x-9=0 D2= 162+(4.4.9) = 400 Nulpunten zijn: x = -1/2 en x =9/2 X invullen in y’: Y’ = 4(-1/2) = 2 = 0  horizontale raaklijn Y’ = 4(9/2)+2 = 20  Antwoord A 2012 – Juli Vraag 5 Gegeven: verband onverwachte mortaliteit (y) en gemiddeld aantal uren slaap: y = 100x2 – 1500x + 600 Gevraagd: bij welk gemiddeld aantal uren slaap was de mortaliteit het kleinst? dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 35

Oplossing: Minimum berekenen  afgeleide y’ = 200x – 1500 = 0 X = 1500/200 = 7.5 uur  Antwoord C 2012 – Augustus Vraag 7 Gegeven: A = -d2 + 2d + 3 (0 ≤ d ≤ 2) Gevraagd: voor welke waarde van d is A maximaal? Oplossing: Maximum bij A’ = 0  2d +2 = 0  d = 1  Antwoord C 2012 – Augustus Vraag 8 Gegeven: de kwadratische functie: y = -2x2 + 2Een rechte die de y-as snijdt in het punt (0;4) heeft één punt gemeenschappelijk met deze parabool. De gezochte rechte is niet verticaal en is niet parallel met de rechte y = 4x Gevraagd: Hoeveel bedraagt de helling van die rechte?

Oplossing: (0.4)

(0,2)

De tekening geeft (met wat verbeelding, word heeft zijn beperkingen...) een raaklijn links en één rechts. De rechte y = 4x loopt parallel met de linkse raaklijn. De y-as mag niet omdat ze verticaal is. We zoeken dus de rechter raaklijn. dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 36

Vermits de raaklijn door punt (0,4) gaat is de vergelijking van die rechte van de vorm: y = ax +4. Om het gemeenschappelijk punt met de parabool te vinden stellen we de vergelijkingen aan elkaar gelijk: ax + 4 = -2x2 + 2 2x2 + + ax + 2 = 0 Slechts één oplossing (één raakpunt)  discriminant = 0 Dus: √

− 4.2.2 = 0  a2 = 16  a = 4 of a = -4

Voor a = 4 krijgen we de linkse raaklijn en voor a = -4 de rechtse raaklijn  Antwoord A 2013 - Juli Vraag 3 versie1 Gegeven: de volgende rationale functie:

=

Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: 1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? Oplossing: VA: nulpunt van de noemer (maar mag niet het nulpunt van de teller zijn). VA = 1 (nulpunt noemer) en nulpunt teller is niet 1 SA: er is geen schuine asymptoot want want graad T ≠ graad N+1 Er is ook geen HA want lim van x-->∞ = ∞  Antwoord B 2013 - Juli Vraag 3 versie2 Gegeven: de volgende rationale functie:

=

Gegeven zijn vier uitspraken over de asymptoten van deze functie: dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 37

1. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x=-1 2. Deze functie heeft als verticale asymptoot: x = +1 3. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x + 1 4. Deze functie heeft als schuine asymptoot: y = 2x -1 Gevraagd: Welke van deze uitspraken zijn correct? Oplossing: Bepaal nulpunten van teller en noemer: =

2

+

− −1

=

(2 + − 1) ( − 1)( + 1)

telpunten noemer: 1 en -1 nulpunten teller: geen nulpunt voor x = 1; dus wel een verticale asymptoot voor x = 1 bij x = -1 wel een nulpunt voor teller, we kunnen (2 + − 1) delen door (x+1). Via Horner verkrijgen we voor deze deling: (2 + − 1)/ (x+1) =2x -1 Dus (2

+

− 1)= (2x -1)(x+1)

We vervangen dit in y =

( (

)(

)

)(

)

=

(

) (

)

=

x = -1 is dus geen verticale asymptoot SA: er is een schuine asymptoot want want graad T = graad N+1 Berekening: SA: y = ax + b waarbij a = lim (

)

( ) →

Bereken a: lim

→

=2

Bereken b: lim

→

− 2 = lim

en b = lim

→

(

)

( ( )−

→

)

)

= = lim →

=1

De schuine asymptoot is dus y = 2x + 1  Antwoord B 2013 - Juli Vraag 6 Gegeven: de functie:

=

− 2 +4

Gevraagd: Hoeveel raaklijnen aan deze functie zijn evenwijdig met de rechte 3x - y = 2 Oplossing: dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 38

3x - y = 2 --> y = 3x - 2 De helling van de rechte y is de richtingscoëfficiënt nl. 3. Als de rechte y = 3x -2 dezelfde richting heeft als de raaklijnen van de functie , dan is de afgeleide van de functie y = 3. Bepaal de afgeleide van de gegeven functie: 3x2 - 2en stel ze gelijk aan 3. We vinden dan twee oplossingen: x = -

en x =

Er zijn dus twee raaklijnen evenwijdig  Antwoord C 2013 - Juli Vraag 8 versie 1 Gevraagd: Welke van de volgende grafieken geeft de functie y = Ln(x-2) +1 weer?

Oplossing:


www.keu6.be

Page 39

Zie onderstaande figuur: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(x-2) is het nulpunt dan x = 3 (dit vind je door x-2 gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =3 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D  Antwoord D

2013 - Juli Vraag 8 versie 2 Gegeven: In de volgende grafiek zijn 4 logaritmische functies getekend. Gevraagd: Welke van de volgende curven geeft de functie y = Ln(2-x) + 1 weer? Oplossing: Zie de grafiek in vorige oefening: bij ln(x) is het nulpunt x = 1; bij ln(x+3) is het nulpunt x = -2 En voor y = Ln(2-x) is het nulpunt dan x = 1 (dit vind je door 2-x gelijk te stellen aan 1). Vermits er nog 1 wordt bijgeteld is de waarde van y voor x =1 niet 0 maar 1. Dat is het geval voor grafiek D


www.keu6.be

Page 40

 Antwoord D 2013 - Augustus Vraag 4 Gegeven: volgende rationale functie: y(x) = Gevraagd: Welke uitspraak is correct? A. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -1 B. De functie bereikt een locaal maximum voor x = +1 C. De functie bereikt een locaal maximum voor x = -√3 D. De functie bereikt een locaal maximum voor x = √3 Oplossing: Verticale asymptoten voor x = -1 en x = 1. Op die punten kan er dus geen locaal maximum liggen. A en B zijn dus fout. Om maxima te berekenen, moeten we het tekenverloop van de eerste afgeleide berekenen: y' =

. (

)

=


(

)

=

(

)

=

( (

) )

www.keu6.be

Page 41

nulpunten: x= 0; x= +√3 en x = -√3 Tekenverloop: x

-√3

-1

0

1

x2

+++++

+

++++

/

++

0

+++

x2-3

+++++

0

-----

/

----

-

----

(x2-1)2 +++++

+

++++

/

+++

+

y'

0

-----

/

----

0

+++++

y

max

+√3 ++++

+

++++

---

0

++++

++++ /

+++

+

++++

----

---

0

++++

VA

/ /

/ VA

min

Dus: enkel bij -√3 is er een locaal maximum.  Antwoord C 2013 - Augustus Vraag 7 Gevraagd: Hoeveel raaklijnen kan men tekenen aan de functie y = x2 + 2x door het punt (-1/2, -3)? Oplossing: De raaklijn aan de functie en de lijn door het punt moeten dezelfde helling of richtingscoëfficiënt hebben. Richtingscoëfficiënt van een lijn: a = Richtingscoëfficiënt van raaklijn aan grafiek = afgeleide van y Dus: y' = Dus: ingevuld voor de functie y en punt (-1/2, -3) geeft dat: (x2 +2x)' =

(

)

(

)

bereken afgeleide links en vervang y rechts: 2x + 2 =

(

) /

(2x+2)(x+1/2) = x2 + 2x +3 2x2 +1 + 2x +x = x2 + 2x +3 x2 + x -2 = 0 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 42

Oplossing: x = -2 en x = 1. Dus 2 oplossingen  Antwoord C 2013 - Augustus Vraag 8 Gegeven: Hieronder staan vier functies getekend in een grafiek. y = 1 - (x - 2)3 y = 1 + (x - 2)3 y = 2 - (x - 1)3 y = 1 + (x - 1)3 Welk van deze grafieken stelt de functie y = 1 + (x-2)3 voor?

Oplossing: de grafieken hebben vier verschillende nulpunten en vier verschillende snijpunten met de y-as. Gemakkelijkste om te berekenen: snijpunten met y-as: stel voor elk x = 0 Uit de posities van de snijpunten kunnen we dan de grafieken bepalen: y = 1 - (0 - 2)3 --> y= 9 (grafiek D) y = 1 + (0 - 2)3 --> y = -7 (grafiek B)


www.keu6.be

Page 43

y = 2 - (0 - 1)3 --> y = 3 (grafiek C) y = 1 + (0 - 1)3 --> y = 1 (grafiek A)  Antwoord B 2014 – Juli – Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie.

y

x Welk functievoorschrift is correct? Oplossing: vul voor x de waarde 0 in en de waarde ∞ Als x 0 is moet y = 300 (zie tekening). Dat is enkel bij oplossingen C en D. Naarmate x stijgt, moet ook y stijgen, dat geldt enkel bij negatieve exponent van e (getal dat van 500 moet worden afgetrokken moet kleiner worden). Y = 500 - 200.  Antwoord C

.

2014 – Juli Vraag 8 Gegeven: zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte. Y = -x – ¼ y = x2 +m.x + 2 Gevraagd: Bij geschikte waarden voor de parameter m raakt de rechte aan de parabool. Hoeveel bedraagt de som van die waarden voor m? Oplossing: In het raakpunt zijn de twee vergelijkingen aan elkaar gelijk. dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 44

x2 + m.x + 2 = X – ¼ = x2 + m.x - x + 2 + 1/4= 0 x2 + (m-1).x + 9/4= 0 Bereken de discriminant en stel die gelijk zijn aan 0 vermits er maar één raakpunt is. Discriminant = (m-1)2 – 4.1.9/4 = 0 m2 + 2m +1 -9 = 0 (m-2)(m+4) = 0  m kan dus gelijk zijn aan 2 of -4. Optelling geeft -2  Antwoord D 2014 – Augustus Vraag 3 Gegeven is de grafiek van een exponentiële functie

y 700

500

300

x Gevraagd: Welk functievoorschrift is correct? Oplossing: Bereken voor elke oplossing de waarde voor y bij x = 0 en x =  Voor oplossing A: Y = 700 – 200.e-0,025 (0)= 700 – 200.1 = 500 Y = 700 – 200.e-0,025 () = 700 – 200/e = 700 – 0 = 700 dr. Brenda Casteleyn

www.keu6.be

Page 45

Voor oplossing B: Y = 700 – 200.e0,025 (0)= 700 – 200.1 = 500 Y = 700 – 200.e0,025 () = 700 – 200.e = 700 -  = - Voor oplossing C: Y = 500 + 200.e0,025 (0)= 500 + 200.1 = 700 Y = 500 + 200.e0,025 () = 500 + 200.e = 500 +  =  Voor oplossing D: Y = 500 + 200.e-0,025 (0) = 500 + 200.1 = 700 Y = 500 + 200.e-0,025 () = 500 + 200.e- = 500 + 200/e= 500 +0 = 500  Antwoord D 2015 - Juli Vraag 4 Hoeveel snijpunten hebben de parabolen y = x2 + x + 1 en y = 2x2 -2x +3 Oplossing: Stel de vergelijkingen gelijk aan elkaar: x2 + x + 1 = 2x2 -2x +3 en bepaal x x2 + x + 1 - 2x2 +2x - 3 = 0 - x2 + 3x - 2 = 0 Discriminant = 9 - 4.(-1)(-2) = 1 x1 = (-3 + 1)/-2 = 1 x2 = (-3 - 1)/-2 = 2 Er zijn dus twee snijpunten  Antwoord B 2015 - Juli Vraag 10 Gegeven is een parabool: y = 2x2 + (a-1)x + (a2 - 1) met a ϵ ⌈0,1⌉ We beschouwen de som van de kwadraten van de nulpunten van deze parabool. Hoeveel bedraagt deze som maximaal? Oplossing: Bepaal de nulpunten:


www.keu6.be

Page 46

Discriminant = (a-1)2 - 4.2.(a2 -1) = a2 + 1 - 2a -8a2 + 8 = -7a2 -2 a +9 x1 = x2 =

(

) √

(

) √

Bepaal de som van de kwadraten: S = x12 + x22

= (

(

) √

(

) √

) +(

)

= (

=

)

.(

)√

(

(1 - 2a + a2 - 7a2 - 2a + 9) =

).

+

(

)

.(

)√

(

).

(1 - 2a + a2 - 7a2 - 2a + 9) = (-6a2 -4a + 10)

Afgeleide S' berekenen en gelijkstellen aan 0 S' = . (-12a - 4) = 0 S' = . (-6a - 2) = 0 --> a = - 2/6 = -1/3 De som stijgt voor a: 1 --> 0 en is maximaal in a =0 S = 1/4 (-3.02 - 2.0 + 5) = 1/4 . 5 = 5/4  Antwoord B

E. F. G. H.

1/2 5/4 0 3/2


www.keu6.be

Page 47


www.keu6.be

Page 48

tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli dr. Brenda Casteleyn

Recommend Documents