Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen.
2. Oefeningen uit vorige examens 1997 - juli Vraag 5 of 2012 - juli Vraag 9 Een student moet het gemiddelde ma van drie getallen x, y en z berekenen. Hiertoe berekent hij eerst het gemiddelde van x en y en nadien het gemiddelde van dit resultaat met z. Als x
soms kleiner dan me en soms gelijk aan m altijd kleiner dan m altijd groter dan m soms groter dan m en soms gelijk aan
1997 - Juli Vraag 12 Het bloedvolume van een volwassen man bedraagt circa 5 liter. Eén liter bloed bevat ongeveer 0,45 liter rode bloedcellen. Deze waarde uitgedrukt in delen van 1 (0,45) wordt de hematocriet genoemd. Eén mm3 (1l) bloed bevat 5.106 rode bloedcellen. De voornaamste functie van de rode bloedcellen is het transport van O 2 en CO2 tussen long en weefsel, waarvoor hemoglobine dient (ongeveer 15 g hemoglobine per 100 ml bloed). Laten we aannemen dat de levensduur van de rode bloedcellen 120 dagen bedraagt of met andere woorden dat de gehele voorraad rode bloedcellen op 120 dagen éénmaal opnieuw wordt aangemaakt. Hoe groot is het volume van één rode bloedcel? A. B. C. D.
90.10-9 liter 90.10-12 liter 90.10-15 liter Dat kan hieruit niet afgeleid worden
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
1997 - Juli Vraag 13 Met gebruik van dezelfde gegevens als bij de vorige vraag kan afgeleid worden dat het lichaam van de man per seconde ongeveer het volgende aantal rode bloedcellen aanmaakt: A. B. C. D.
2,4 . 106 2,4 . 105 2,4 . 104 Geen van de bovenstaande antwoorden is juist.
1997 - Augustus Vraag 12 Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1l) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. De gemiddelde levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier bedraagt: A. B. C. D.
120 dagen 250 dagen 1200 dagen 3600 dagen
1997 - Augustus Vraag 13 Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1l) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. Het gemiddelde volume van één rode bloedcel bij dit zoogdier bedraagt: A. B. C. D.
40.10-15 liter 90.10-15 liter 180.10-15 liter 0,4.10-12 liter
2012 - Juli Vraag 9 Een student moet het gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen. Hij doet dit echter niet op de gebruikelijke manier. Hij bepaalt eerste het deelgemiddelde m’ van x en y, vervolgens neemt hij het gemiddelde m” van het deelgemiddelde m’ en z. Gegeven is dat x < y < z .
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
Wat kan je zeggen over het reële gemiddelde m , het berekende gemiddelde m” en het deelgemiddelde m’? A. m’ is altijd groter dan m” B. m is altijd groter dan m’ C. m” is altijd gelijk aan m D. m” is altijd groter dan m 2012 - augustus Vraag 9 Het gemiddelde van de schoenmaten van een groep van 10 personen bedraagt 40. Bij deze groep moeten zich n personen met een schoenmaat 44 voegen om een gemiddelde schoenmaat van 43 te bekomen. Welke uitspraak over het aantal n is dan juist? A. B. C. D.
n is een veelvoud van 11 n is een veelvoud van 6 n is een veelvoud van 7 n is een veelvoud van 8
2013 - Juli Vraag 7 Gegeven is de volgende ongelijkheid │ −
│<2
Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A. B. C. D.
x > 1/2 x < 1/2 x є ]1/2, 9/2[ x є ]-1/2, 3/2[
2013 - Augustus Vraag 9 Gegeven is de volgende ongelijkheid │4 − 3 │ ≤ 2
Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A. B. C. D.
x ≥ 2/3 x ≤ 2/3 x є ≥[4/3, 2] x є [2/3,2]
2014 – Juli – Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1 Om aan deze ongelijkheid te voldoen, dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
A. B. C. D.
voldoet alleen x =0 voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen voldoen geen strikt positieve getallen voldoen geen strikt negatieve getallen
2014 – Juli – Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1 Om aan deze ongelijkheid te voldoen, A. voldoet alleen x =0 B. voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen C. voldoen geen strikt positieve getallen D. voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 – Juli Vraag 9 Een groep van twaalf mensen hebben een gemiddelde leeftijd van 21 jaar. Hoeveel mensen van 26 jaar moeten zich bij deze groep voegen om een gemiddelde leeftijd voor de groep van 25 jaar te bekomen? A. B. C. D.
48 46 44 42
2014 – Juli Vraag 10 We beschouwen de uitdrukking:
. (
.√
)
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 5, √6, √7, √8 waarbij elke wortel slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo klein mogelijk maken. Welke wortel zullen we niet gebruiken? A. B. C. D.
√5 √6 √7 √8
2014 – Augustus – Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: |
Om aan deze ongelijkheid te voldoen,
(2 + 1) − 2| ≤ 2
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
A. Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. B. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen C. Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen D. Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. 2014 – Augustus – Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|
(2 − 1) − 2| ≤ 2
A. Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. B. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen C. Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen D. Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. 2014 – Augustus Vraag 9 Een groep van tien mensen hebben een gemiddelde leeftijd van 21 jaar. Iedereen is 18 jaar of ouder. Wanneer twee ervan de groep verlaten daalt de gemiddelde leeftijd naar 19 jaar. Gegeven zijn twee uitspraken: 1. De gemiddelde leeftijd van de twee personen is 29 jaar 2. Ze zijn allebei niet ouder dan 42 jaar Wat kan je zeggen over de uitspraken? A. B. C. D.
Beide uitspraken zijn verkeerd Beide uitspraken zijn correct Uitspraak 1 is correct en uitspraak 2 is verkeerd Uitspraak 2 is correct en uitspraak 1 is verkeerd
2014 – Augustus Vraag 10 We beschouwen de uitdrukking: dr. Brenda Casteleyn
.
√
www.keu6.be
Page 6
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 1, 2, 3 en 4 waarbij elk getal slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo groot mogelijk maken. Welk getal zullen we niet gebruiken? A. B. C. D.
1 2 3 4
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
3. Oplossingen oefeningen 1997 - juli Vraag 5 of 2012 juli, vraag 9 Gegeven: m = gemiddelde van x, y en z n = gemiddelde van x en y en gemiddelde van dit resultaat met z x
(
)
)
Stel m en n aan elkaar gelijk: =(
(
)
) <-->
<--> 4x + 4y + 4z = 3x + 3y + 6z <--> x + y = 2 z
=
Maar: x < y en y< z dus x+ y < 2z , dus m en n kunnen niet gelijk zijn. Voor antwoord b stellen we m > n en verkrijgen we: x + y > 2z, wat ook in tegenspraak is met x < y
www.keu6.be
Page 8
Oplossing: 1 liter bloed omzetten naar mm3 1 dm3 = 1 liter 1 mm3 = 1. 10-6 dm3 = 1. 10-6 l = 1 l Dus: per l zijn er 5.106 rode bloedcellen (aantal) en in volume is dat 0,45. 10-6 l Dus voor 1 bloedcel is het volume: 0,45. 10-6/ 5.106 = 45/5 . 10-2.10-12 = 90.10-15 l Antwoord C 1997 - Juli Vraag 13 Gegevens: zie vorige vraag Gevraagd: hoeveel rode bloedcellen worden door lichaam van een man per seconde aangemaakt? Oplossing: Aantal cellen in 5 liter: 5.106 x 5.106 = 25. 1012 rode bloedcellen In 120 dagen worden dus 25. 1012 rode bloedcellen gemaakt Omzetting 120 dagen naar seconden: 120 . 24 .60 .60 Per seconde worden er dus: 25. 1012 / 120 . 24 .60 .60 rode bloedcellen gemaakt. Na vereeenvoudiging --> 2,4 . 106 Antwoord A
1997 - Augustus Vraag 12 Gegeven: Eén zoogdier heeft bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1l) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. Gevraagd: De gemiddelde levensduur van de rode bloedcellen bij dit zoogdier Oplossing: 1 liter bloed omzetten naar mm3 1 dm3 = 1 liter
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
1 mm3 = 1. 10-6 dm3 = 1. 10-6 l = 1 l 10-6 l bevat 1,35 . 106 bloedcellen, 1 liter bevat: 1,35 . 106 /10-6 bloedcellen 240 liter bevat: 240. 1,35 . 106 /10-6 bloedcellen = 240. 1,35 . 106 .106 Dit aantal gedeeld door 15miljoen is het aantal seconden nodig om rode bloedcellen te vervangen: (240. 1,35 . 106 .106)/ 15.106 = 21,6 .106 seconden Omzetting naar dagen: 21,6 .106/60.60.24 Antwoord B 1997 - Augustus Vraag 13 Gegeven: Een hypothetisch zoogdier heeft een bloedvolume van 240 liter. Eén liter bloed bevat 0,54 liter rode bloedcellen. Eén mm3 (= 1l) bloed bevat 1,35 miljoen rode bloedcellen. Per seconde worden 15 miljoen rode bloedcellen vervangen door nieuw aangemaakte. Gevraagd: Het gemiddelde volume van één rode bloedcel bij dit zoogdier Oplossing: Volume cellen in 1 liter: 0,54l Aantal cellen in 1 liter: 1,35 . 106/10-6 Volume in 1 cel: volume in 1 liter delen door aantal cellen in 1 liter: 0,54/1,35.1012 = 0,4.10-12 Antwoord D 2012 - Juli Vraag 9 Gegeven: gemiddelde van drie meetresultaten x, y en z bepalen waarbij x
www.keu6.be
Page 10
m= m' =
= + +
= +
m'' =
=
+ = + +
Test nu elk antwoord:
Antwoord A: m' > m" of
+ >
linker.
Antwoord B: m > m' of + +
+ + >
+
dit is onmogelijk, rechterlid is altijd kleiner dan
dit is onmogelijk, rechterlid is altijd groter dan
linker.
Antwoord C: m'' = m:
+ +
Zet op gelijke noemer:
+
=
+ +
=
+
+
+
3x+3y+6z = 4x+4y+4z
2z = x + y maar dit kan niet want gegeven is x
m of + + Zet op gelijke noemer:
+
>
+
>
+ + +
+
3x + 3y+6z > 4x + 4y + 4z 2z > x + y Antwoord D 2012 - augustus Vraag 9
Gegeven: gemiddelde 10 personen bedraagt 40. Bij deze groep moeten zich n personen met een schoenmaat 44 voegen om een gemiddelde schoenmaat van 43 te bekomen. Gevraagd: juiste uitspraak over aantal n is dan juist? Oplossing
43 =
.
.
430 + 43n = 400+ 44n n = 30 Antwoord B dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
2013 - Juli Vraag 7 Gegeven: volgende ongelijkheid │ −
│<2
Gevraagd Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? Oplossing: Het gaat over de absolute waarde, dus als │x│<2, betekent dit dat x tussen -2 en 2 mag liggen, dus kleiner dan 2 of groter dan -2. Dus ( − ) < 2 of
−
> -2
--> x < 2 + 5/2 of x > -2 +5/2 --> x < 4,5
of x > 0,5
Antwoord C 2013 - Augustus Vraag 9 Gegeven is de volgende ongelijkheid │4 − 3 │ ≤ 2
Gevraagd: Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? Oplossing: Het gaat over de absolute waarde, dus als │x│<2, betekent dit dat x tussen -2 en 2 mag liggen, dus kleiner dan 2 of groter dan -2. Dus: (4-3x) ≤ 2 of (4-3x) ≥ - 2 -->
x≥
of x ≤
(let op het teken verandert omdat beide leden door een
negatief getal worden gedeeld) -->
x≥
of x ≤ 2
Antwoord D 2014 – Juli – Vraag 4 versie 1 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1 Gevraagd: waaraan moet x voldoen? Oplossing: We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 12
Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1 log2 (5x – 4) ≤ 1 + 3 log2 (5x – 4) ≤ 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≤ 2 4; dus (5x – 4) ≤ 16 x ≤ 4 Negatief: - log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1 log2 (5x – 4) – 3 ≥ 1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1 verandert het ongelijkheidsteken) log2 (5x – 4) ≥ -1 +3 log2 (5x – 4) ≥ 2 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≥ 2 2 x ≥ 8/5 X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 – Juli – Vraag 4 versie 2 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1 Gevraagd: waaraan moet x voldoen? Oplossing: We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x > -4/5 Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1 log2 (5x + 4) ≤ 1 +3 log2 (5x + 4) ≤ 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x44) ≤ 2 4; dus (5x + 4) ≤ 16 x ≤ 12/5 Negatief: - log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1 - log2 (5x + 4) + 3 ≤ 1 - log2 (5x + 4) ≤ -2 log2 (5x + 4) ≥ 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het ongelijkheidsteken) Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≥ 2 2 x ≥ 0 X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 – Juli Vraag 9 Gegeven: Bij n= 12; gemiddelde = 21 jaar. dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
Gevraagd: Hoeveel mensen van 26 jaar moeten zich bij deze groep voegen om een gemiddelde leeftijd voor de groep van 25 jaar te bekomen? Oplossing: 12.21 + 26.x = (12+x).25 252 + 26x = 12.25 + 25x 353 + 26x = 300 + 25x X = 48 Antwoord A 2014 – Juli Vraag 10 Gegeven:
. (
.√
)
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 5, √6, √7, √8 waarbij elke wortel slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo klein mogelijk maken. Gevraagd: Welke wortel zullen we niet gebruiken? Oplossing: Om de teller zo klein mogelijk te houden hebruiken we voor de teller de kleinste waarden nl: √6 . De noemer willen we zo groot mogelijk, dus daar gebruiken we de grootste waarde voor nl. √8 √5
Bijgevolg wordt √7 niet gebruikt. Antwoord C
2014 – Augustus – Vraag 4 versie 1 Gegeven: de volgende ongelijkheid met absolute waarden: |
(2 + 1) − 2| ≤ 2
Gevraagd: voor welke getallen voldoet deze ongelijkheid? Oplossing:
We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x+1 > 0; dus x > -1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log2 (2x+1) -2 ≤ 2 log2 (2x+1) ≤ 4 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 14
2x +1 ≤ 2 4 x ≤ 7,5 Berekening negatieve: -(log2 (2x+1) -2) ≤ 2 -log2 (2x+1) + 2 ≤ 2 2 – 2 ≤ log2 (2x+1) 0 ≤ log 2 (2x+1) 20 ≤ 2x +1 1 – 1 ≤ 2x 0≤ x Dus: 0 ≤ x ≤ 7,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 0,1,2,3,4,5,6,7 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A 2014 – Augustus – Vraag 4 versie 2 Gegeven: volgende ongelijkheid met absolute waarden: |
(2 − 1) − 2| ≤ 2
Oplossing: We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x-1 > 0; dus x > 1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log2 (2x-1) -2 ≤ 2 log2 (2x-1) ≤ 4 2x -1 ≤ 24 x ≤ 8,5 Berekening negatieve: -(log2 (2x-1) -2) ≤ 2 -log2 (2x-1) + 2 ≤ 2 2 – 2 ≤ log2 (2x-1) 0 ≤ log 2 (2x-1) dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 15
20 ≤ 2x -1 1 + 1 ≤ 2x 1≤ x Dus: 1 ≤ x ≤ 8,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 1,2,3,4,5,6,7,8 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A 2014 – Augustus Vraag 9 Gegeven: Gemiddelde van tien mensen = 21 jaar. Iedereen is 18 jaar of ouder. Wanneer twee ervan de groep verlaten daalt de gemiddelde leeftijd naar 19 jaar, dus gemiddelde van 8 personen (na verlaten 2 uit de groep) = 19 jaar Gegeven zijn twee uitspraken: 3. De gemiddelde leeftijd van de twee personen is 29 jaar 4. Ze zijn allebei niet ouder dan 42 jaar Gevraagd: welke uitspraken zijn correct? Oplossing: Stel de leeftijd van de twee personen die de groep verlaten = x en y De gemiddelde leeftijd van de tien mensen is 21, die kunnen we als volgt voorstellen: (
.
)
= 21
x + y = 210/ 19.8 x = y = 58 De gemiddelde leeftijd van x en y is dan 58/2 = 29 Zijn ze allebei niet ouder dan 42. Stel dat één van beide 43 is, dan is de andere 58-43 = 15 jaar. Dat kan niet want, gegeven is dat ze allemaal 18 jaar of ouder zijn. Als de ene dus 18 is,kan de andere maar maximaal 40 jaar zijn. Antwoord B 2014 – Augustus Vraag 10 Gegeven: de uitdrukking:
dr. Brenda Casteleyn
.
√
www.keu6.be
Page 16
Voor x, y en z kunnen we kiezen tussen 1, 2, 3 en 4 waarbij elk getal slechts één maal gebruikt mag worden. We willen de uitkomst van deze uitdrukking zo groot mogelijk maken. Gevraagd: Welk getal zullen we niet gebruiken?
.
=
.
Waarde van y: hoe kleiner y wordt, hoe kleiner en vermits in de noemer staat wordt dan de hele uitdrukking groter. Dus voor y nemen we een zo klein mogelijke waarde. Waarde van x: hoe kleiner x wordt hoe kleiner de e-macht in de noemer en dus hoe groter de hele uitdrukking wordt. Dus ook voor x een zo klein mogelijke waarde. Waarde van z: hoe groter z hoe groter de teller (z2), en hoe kleiner de noemer want de emacht wordt dan kleiner. Dus voor z gebruiken we een zo groot mogelijke waarde. Voor x en y gebruiken we 1 en 2 en voor z gebruiken we 4. 3 blijft over. Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 17
