Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen.
2. Oefeningen uit vorige examens
1997 – Juli Vraag 15 De cirkel met als vergelijking 4x2+4y-16x+20y-283=0 heeft als straal: A. B. C. D.
√283 81 9 Geen van de bovenstaande antwoorden is juist
1997 – Augustus Vraag 15 De vergelijking x2+y2-10x-6y+9=0 A. B. C. D.
stelt geen cirkel voor stelt een cirkel voor met straal 3 stelt een cirkel voor met straal 5 stelt een cirkel voor met straal 9
2001 – Juli Vraag 9 1ste bewering: de vergelijking y2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y2+x2-6y -4x+4=0 stelt een cirkel voor met straat 2 A. B. C. D.
Beide beweringen zijn juist Alleen de eerste bewering is juist Alleen de tweede bewering is juist Beide beweringen zijn onjuist
2002 – Juli Vraag 7 1ste bewering: y = 6x-x2 stelt een parabool voor met top (3,9) 2de bewering: x2+y2-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
A. B. C. D.
Vergelijkingen 1 en 2 zijn juist Vergelijking 1 is juist Vergelijking 2 is juist Vergelijking 1 en 2 zijn juist
2007 – Augustus Vraag 9 Eerste bewering: de vergelijking y2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: de vergelijking y2+x2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 A. B. C. D.
Beide beweringen zijn juist Alleen de eerste bewering is juist Alleen de tweede bewering is juist Beide beweringen zijn onjuist
2008 – Juli Vraag 5 We beschouwen de vergelijking van een cirkel en van een parabool: y2 – 4y + x2 - 2x – 11 = 0 y = x2 - 2x +1 Welk van de volgende beweringen is verkeerd? A. B. C. D.
De top van de parabool ligt op de x-as. Het middelpunt van de cirkel ligt op (1 , 2). De straal van de cirkel is 16. De parabool heeft 2 snijpunten met de cirkel.
2008 – Augustus Vraag 5 Beschouw de vergelijking van een cirkel: x2 + y2 -2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3. Hoeveel bedraagt de som van de parameters, b+c ? A. B. C. D.
8 11 21 84
2011 – Juli Vraag 9 Gegeven zijn drie functies: Parabool: y = -2x2+2x dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
Rechte 1: y = -2x Rechte 2: y = 2/3x + 2/9 Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoebeel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? A. B. C. D.
5/3 0 7/3 1/3
3. Oplossingen oefeningen
1997 – Juli Vraag 15 Gegeven: cirkel met als vergelijking 4x2+4y2-16x+20y-283=0 Gevraagd: straal van de cirkel Oplossing: standaardvergelijking van cirkel met middelpunt (a,b) en straal r is: (x-a)2 + (y-b)2 = r2 4x2+4y2-16x+20y-283=0 4x2+ 4y2 -16x+ 20y=283 x2+ y2- 4x+ 5y=283 /4 x2-4x+ y2 +5y=283 /4 Voeg aan beide leden een derde term toe zodat je formule van merkwaardig product kan toepassen: x2-4x+4 x2-4x+ y2 +5y=283 /4 + 4 (x-2)2 + y2 +5y=283 /4 +4 Voeg nogmaals een derde term toe: (x-2)2 + y2 +5y.2/2 + 25/4=283 /4 + 4+ 25/4 (x-2)2 + (y +5/2)2 =283 /4 + 4+ 25/4 (x-2)2 + (y +5/2)2 =283 /4 + 16/4+ 25/4
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
(x-2)2 + (y +5/2)2 = 324/4 =81 = 92 Straal is dus 9 Antwoord C 1997 – Augustus Vraag 15 Gegeven: De vergelijking x2+y2-10x-6y+9=0 Gevraagd: cirkel? Zo ja, welke straal? Oplossing: x2+y2-10x-6y+9=0 x2+y2-10x-6y= -9 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen x2 -10x +25+y2-6y +9= -9 +9 +25 (x-5)2 + (y-3)2 = 25 = 52 Straal is 5 Antwoord C 2001 – Juli Vraag 9 Gegeen: 1ste bewering: de vergelijking y2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y2+x2-6y -4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 Oplossing: 1ste bewering: x=( y2-6y+1)/4 x’ = 2/4y-6/4 Nulpunt bij y= 3 Berekening van x: x= (9-18+1)/4 = -2 Top (-2,3) Eerste bewering is juist 2de bewering: y2+x2-6y -4x+4=0 x2 -4x +4+y2-6y =0 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
(x-2)2 + y2-6y +9 = 0 Toevoeging term om merkwaardig product toe te passen (x-2)2 + y2-6y +9 = 9 (x-2)2 + (y-3)2 = 9 Straal is 3 2de bewering is fout Antwoord B 2002 – Juli Vraag 7 1ste bewering: y = 6x-x2 stelt een parabool voor met top (3,9) 2de bewering: x2+y2-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 Voor bewering 1: Berekening top: Y’ = 2x -6
nulpunt = 3
Bij x = 3 is y = 6.3 - 32 = 18-9 = 9 Dus top is (3,9) en bewering 1 is juist Voor bewering 2: x2+y2-10x+16y = 0 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen: x2 -10x +25+ y2+16y +64 = 25+64 (x-5)2 + (y+8)2 = 89 De straal is dus √89 Antwoord B 2007 – Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: de vergelijking y2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: de vergelijking y2+x2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 Gevraagd: welke bewering juist Oplossing: Berekening top eerste bewering: dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
Zet functie in termen van x: x = ¼ (y2 – 6y +1) (wissel de assen dus om, want dat is gemakkelijker) x’ = ¼(2y-6) = 0 1/2y – 6/4 = 0 Y = 6/4 . 2 = 3 Bereken bijbehorende x: (9 – 6.3 + 1)/4 = x
x = -8/4 = -2
De top is: (-2,3) Berekening straal bewering 2: y2+x2-6y-4x+4=0 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen: y2 -6y + 9 -9 +x2- 4x + 4 = 0 (y-3)2 -9 + (x-2)2 = 0 (y-3)2 + (x-2)2 = 9 = 32
straal is dus 3
Antwoord B 2008 – Juli Vraag 5 Gegeven: de vergelijking van een cirkel en van een parabool: y2 – 4y + x2 - 2x – 11 = 0 y = x2 - 2x +1 Gevraagd: Welk van de volgende beweringen is verkeerd? Oplossing: De top van de parabool ligt op de x-as? Top parabool: y’ = 2x -2
nulpunt: x = 1 Berekening top: y=1-2+1 = 0
Top: (1,0), dus top ligt op x-as Het middelpunt van de cirkel ligt op (1 , 2)? y2 – 4y + x2 - 2x – 11 = 0 Toevoegen termen om merkwaardig product toe te passen: y2 – 4y +4 + x2 - 2x +1 = 11 + 4+1 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 7
(y-2)2 + (x-1)2 = 16 Algemene formule: (y-a)2 + (x-b)2 = r2 met (a,b) = centrum en r = straal Dus: centrum = (1,2) en straal = 4 De straal van de cirkel is 16? Deze bewering is fout Antwoord C 2008 – Augustus Vraag 5 Gegeven: de vergelijking van een cirkel: x2 + y2 -2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3. Gevraagd: de som van de parameters, b+c ? Oplossing: x2 + y2 -2bx + c = 0 x2 -2bx + y2 + c = 0 Voeg b2 toe aan beide leden om merkwaardig product toe te passen x2 -2bx + b2+ y2 + c = b2 (x-b)2 + y2 = b2 – c Vermits de straal 3 is betekent dit dat b2 – c = 32 = 9 Punt (5,3) ligt op de cirkel, dus x = 5 en y = 3 25 + 9– 10b + c =0 10b-c = 34 Zoek nu b en c uit deze twee vergelijkingen: b2 – c = 9 10b-c = 34 Twee rijen van elkaar aftrekken om c te elimineren: b2 -10b = -25 b2 -10b + 25 = 0 nulpunt kwadratische vergelijking zoeken: D2 = 0 Bereken nu c: uit 10.5-c = 34 dr. Brenda Casteleyn
1 nulpunt, nl. 5
c = 16 www.keu6.be
Page 8
Bereken b+c = 5+16 = 21 Antwoord C 2011 – Juli Vraag 9 Gegeven: drie functies: Parabool: y = -2x2+2x Rechte 1: y = -2x Rechte 2: y = 2/3x + 2/9 Gevraagd: Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoeveel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? Oplossing: Snijpunten rechte 1 met parabool: -2x2+2x = -2x -2x2+4x = 0 nulpunten: Snijpunten zijn de punten waarvan de coordinaten zowel aan de vergelijking van de parabool als van de rechte voldoen. Stel dus de twee y-waarden gelijk en je krijgt een vierkantsvergelijking in x die je kan oplossen. Dat geeft 3 mogelijkheden: snijpunt parabool en rechte 1: -2x2 + 2x = - 2x -2x2 + 4x = 0 zodat: discriminant = b2 - 4ac = 16 dus twee snijpunten: x= 0 (waarvoor dus y = 0) en x = 2 (met y = -4) de som van de x-coordinaten van een vierkantsvgl ax2 + Bx + c = 0 is steeds -b/a dat kan je makkelijk zien als je kijkt naar de manier waarop je die berekent, met de discriminant Δ : eerste wortel: x1= [ - b + √Δ ] / 2a tweede wortel: x2= [ - b - √Δ) ] / 2a dus als je optelt x1 + x2 = -b/a
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
In bovenstaand vb : x1 + x2 = 2 en inderdaad -b/a = -(-2)/1 = ook 2 Voor de 2de rechte vind je twee samenvallende snijpunten, dus een raakpunt in x = 1/3 Dat het een raakpunt is kan je ook controlleren, want de afgeleide in dat punt is 2/3 en dat is inderdaad de richtingscoefficient van rechte 2. In dat punt is de x-ccordinaat dus 1/3, hoewel men ook zou kunnen argumenteren dat het 2/3 is gezien het een dubbele wortel is, en dus tweemaal moet genomen worden. Dat is ook wat je vindt als je het formuletje "som wortels = -b/a" gebruikt. Dus som: 2 + 1/3 = 7/3 Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
