Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen. 2. Oefeningen uit vorige examens
2000 – Vraag 6 Voor grote waarden van n, kan n! = 1.2.3...n goed benaderd worden met de formule van Stirling: n! = 2
( )
Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering. Welke van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor log(100!/50!) afgeleid worden? A. B. C. D.
½ log2 + 50 log(50e) ½ log2 + 50 log (200/e) ½ log 2π + 100 log(100e) ½ log 2π + 50 log (100/e)
2011 – Juli Vraag 6 Gegeven: log 4 = 0,602 Bereken de volgende uitdrukking: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8 A. B. C. D.
28,9 31,3 33,7 53,0
2011 – Augustus Vraag 7 Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking
.
( )
A. 7e B. 9e C. e9 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
D. e7 2012 – Juli Vraag 4 Gegeven is de volgende uitdrukking: 1 3
(
.
)
Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? A. B. C. D.
-7 – –log 3 -3
2012 – Augustus Vraag 5 Gegeven is een logaritme met grondgetal 4: 4
/ / .
Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? A. B. C. D.
1/5 14/3 12/15 1/3
2013 - Juli Vraag 9 versie 1 Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 83x A. x = B. x = C. x = D. x = 2013 - Juli Vraag 9 versie 2 Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 8x A. x = B. x = C. x = dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
D. x = 2013 - Augustus Vraag 2 Gegeven is de volgende vergelijking 52x-1 = 2x Welke uitdrukking voor x is correct? A. x = B. x = C. x = D. x = 2014 – Juli Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1 Om aan deze ongelijkheid te voldoen, A. voldoet alleen x =0 B. voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen C. voldoen geen strikt positieve getallen D. voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 – Juli Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1 Om aan deze ongelijkheid te voldoen, A. voldoet alleen x =0 B. voldoen zowel strikt positieve getallen als strikt negatieve getallen C. voldoen geen strikt positieve getallen D. voldoen geen strikt negatieve getallen 2014 – Augustus Vraag 4 versie 1 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: |
(2 + 1) − 2| ≤ 2
Om aan deze ongelijkheid te voldoen, A. Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. B. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
C. Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen D. Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. 2014 – Augustus Vraag 4 versie 2 We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden:
|
(2 − 1) − 2| ≤ 2
A. Er zijn evenveel even gehele getallen als oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. B. Er zijn meer even gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan oneven gehele getallen C. Er zijn meer oneven gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen dan even gehele getallen D. Er zijn oneindig veel gehele getallen die aan deze ongelijkheid voldoen. 2015 - Juli Vraag 13 Gegeven is een logaritme met grondtal 2: Log2(a) = 1024 Hoeveel bedraagt dan de volgende logaritme? Log2(2.a)? A. 1025 B. 2048 C. 1023 D. 512,5 2015 - Juli Vraag 14 Bereken de afgeleide van de volgende functie y = Ln(x-1)2 + Ln (x+1)2 A. y' = B. y' = C. y' = D. y' =
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 5
3. Oplossingen oefeningen
2000 – Vraag 6 Gegeven: Voor grote waarden van n, kan n! = 1.2.3...n goed benaderd worden met de formule van Stirling: n! = 2
( )
Het rechterlid van deze formule is bijzonder geschikt voor logaritmische benadering. Gevraagd: Welke van de volgende uitdrukkingen kan hieruit als benadering voor log(100!/50!) afgeleid worden? n! = 2
( )
log n! = log( 2
( ) )
log n! = 1/2 log (2
) + n log (n/e)
log n! = 1/2 log (2
) + n log n – n log e
Bereken met deze formule: log(100!/50!) of log 100! – log 50! = (½log (2 100) + 100 log 100 – 100 log e) - (½log (2 50) + 50 log 50 – 50 log e) = ½ log (2 100) + 100 log 100 – 100 log e - ½log (2 50) - 50 log 50 + 50 log e = ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e - ½log (2 50) - 50 log 50 = ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e-½ log (2 100/2)- 50 log (100/2) = ½ log (2 100) + 100 log 100 – 50 log e- ½ log (2 100) + ½ log2- 50 log 100 + 50log2 = 50 log 100+ ½ log2 – 50log e + 50 log2 = ½ log2 + 50 (log 100 – log e + log2) = ½ log2 + 50 (log 100.2/e) Antwoord B 2011 – Juli Vraag 6 Gegeven: log 4 = 0,602 Gevraagd: Bereken de volgende uitdrukking: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
Oplossing: 16 log 4 + 16 log 2 + 16 log 8 = 16(log4 + log 2 + log 8) = 16 (log (4.2.8)) = 16 (log 4.4.4) =16 (log 4 +log 4 + log 4 = 16(0,602 + 0.602 + 0.602) = 16 (1,806) = 28,896 Antwoord A 2011 – Augustus Vraag 7 ( )
.
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking Oplossing: Door gebruik te maken van eigenschappen van machten: .
( )
=
.
( )
.
( )
=
.
( )
=
.
( )
= 3.3. = 9
Of ook door gebruik te maken van eigenschappen van logaritmen .
( )
=
=
.
= 9.
Antwoord B 2012 – Juli Vraag 4 Gegeven is de volgende uitdrukking: 1 3
(
.
)
Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? Oplossing: Het gaat over logaritme met grondgetal 1/3, dus de uitkomst is de macht die je aan 1/3 moet geven om 81. 3 27 te bekomen. 1 3
dr. Brenda Casteleyn
.
www.keu6.be
Page 7
1 3
(
1 3
.
)
.
1 3
.
1 3 = -3 Antwoord D 2012 – Augustus Vraag 5 Gegeven is een logaritme met grondgetal 4: 4
/ / .
Gevraagd: Hoeveel bedraagt deze uitdrukking? Oplossing: 4 / / .
4
/ /
4
.
/ / .
4
/
4
/
4
/
.
= 14/3 Antwoord B 2013 - Juli Vraag 9 versie 1 Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 83x Oplossing: dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
ln(3x-1) =ln(83x) (x-1) ln3= 3x ln8 (eigenschap) x.ln 3 - ln3 = 3x. ln8 x.ln 3 - ln3 = 3x. ln23 x.ln 3 - ln3 = 3x.3 ln 2 (eigenschap) x.ln 3 - 9x.ln 2= ln3 x(ln3 - 9 ln2 )= ln3 x = Antwoord A 2013 - Juli Vraag 9 versie 2 Gevraagd: Los de volgende vergelijking op naar x: 3x-1 = 8x Oplossing: Neem ln van elk lid: ln(3x-1) = ln(8x) (x-1)ln3 = x.ln8 (eigenschap) xln3 - ln3 = x.ln8 xln3 - xln23 = ln3 xln3 - 3xln2 = ln3 x(ln3 - 3ln2) = ln3 x= Antwoord A 2013 - Augustus Vraag 2 Gegeven: vergelijking 52x-1 = 2x Gevraagd: uitdrukking voor x? Oplossing: ln(52x-1) = ln(2x) dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
(2x-1) ln5 = x ln2 2x ln5 - ln5 = x ln2 2xln5 - x ln2 = ln5 x= Antwoord A 2014 – Juli Vraag 4 versie 1 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x – 4) - 3│ ≤ 1 Gevraagd: waaraan moet x voldoen? Oplossing: We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x-4 >0 of x >4/5 Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log2 (5x – 4) – 3 ≤ 1 log2 (5x – 4) ≤ 1 + 3 log2 (5x – 4) ≤ 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≤ 24; dus (5x – 4) ≤ 16 x ≤ 4 Negatief: -( log2 (5x – 4) – 3) ≤ 1 log2 (5x – 4) – 3 ≥ -1 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal, in dit geval met -1 verandert het ongelijkheidsteken) log2 (5x – 4) ≥ -1 +3 log2 (5x – 4) ≥ 2 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x-4) ≥ 22 x ≥ 8/5 X is dus groter of gelijk aan 8/5 en kleiner of gelijk aan 4, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D 2014 – Juli Vraag 4 versie 2 Gegeven: We beschouwen de volgende ongelijkheid met absolute waarden: │log2 (5x + 4) - 3│ ≤ 1 Gevraagd: waaraan moet x voldoen? Oplossing: We kunnen enkel een logaritme nemen van een positief getal, dus 5x+4 >0 of x >-4/5 Opdat de absolute waarde ≤ 1 is, moeten we de negatieve en de positieve uitkomst van het geheel berekenen: Positief: log2 (5x + 4) – 3 ≤ 1 log2 (5x + 4) ≤ 1 +3 dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
log2 (5x + 4) ≤ 4 Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≤ 24; dus (5x + 4) ≤ 16 x ≤ 12/5 Negatief: - (log2 (5x + 4) – 3 )≤ 1 - log2 (5x + 4) + 3 ≤ 1 (haakjes weggewerkt) - log2 (5x + 4) ≤ -2 log2 (5x + 4) ≥ 2 (ongelijkheid vermenigvuldigen met negatief getal verandert het ongelijkheidsteken) Dit betekent volgens definitie van logaritme dat: (5x+4) ≥ 22 x ≥ 0 X is dus groter of gelijk aan 0 en kleiner of gelijk aan 12/5, dus in ieder geval strikt positief Antwoord D
2014 – Augustus Vraag 4 versie 1 Gegeven: de volgende ongelijkheid met absolute waarden: |
(2 + 1) − 2| ≤ 2
Gevraagd: voor welke getallen voldoet deze ongelijkheid? Oplossing: We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x+1>0; dus x >-1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log2 (2x+1) -2 ≤2 log2 (2x+1) ≤4 2x +1 ≤24 x ≤ 7,5 Berekening negatieve: -(log2 (2x+1) -2)≤2 -log2 (2x+1) + 2 ≤2 2 – 2 ≤ log2 (2x+1) 0 ≤ log2 (2x+1) 20 ≤ 2x +1 1 – 1 ≤ 2x 0≤x dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
Dus: 0 ≤ x≤ 7,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 0,1,2,3,4,5,6,7 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A 2014 – Augustus Vraag 4 versie 2 Gegeven: volgende ongelijkheid met absolute waarden: |
(2 − 1) − 2| ≤ 2
Oplossing: We kunnen enkel logaritme nemen van een positief getal, dus 2x-1 >0; dus x >1/2 Omdat we absolute waarden nemen moeten we zowel het positieve als het negatieve logaritme berekenen: Berekening positieve: log2 (2x-1) -2 ≤2 log2 (2x-1) ≤ 4 2x -1 ≤ 24 x ≤ 8,5 Berekening negatieve: -(log2 (2x-1) -2) ≤2 -log2 (2x-1) + 2 ≤ 2 2 – 2 ≤ log2 (2x-1) 0 ≤ log2 (2x-1) 20 ≤ 2x -1 1 + 1 ≤ 2x 1≤x Dus: 1 ≤ x ≤ 8,5; dus voor volgende gehele getallen voldoet de ongelijkheid: 1,2,3,4,5,6,7,8 Dat zijn dus 4 even en 4 oneven getallen Antwoord A 2015 - Juli Vraag 13
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 12
Gegeven is een logaritme met grondtal 2: Log2(a) = 1024 Hoeveel bedraagt dan de volgende logaritme? Log2(2.a)? Oplossing: Log2(2.a) = Log2(2) + Log2(a) (eigenschap van Logaritmen) = 1 + 1024 = 1025 Antwoord A 2015 - Juli Vraag 14 Bereken de afgeleid van de volgende functie y = Ln(x-1)2 + Ln (x+1)2 Oplossing: y = Ln(x-1)2 + Ln (x+1)2 y = 2. Ln(x-1) + 2 Ln(x+1) (eigenschap logaritme) y = 2 (Ln(x-1) + Ln (x+1) (2 buiten haakjes) y = 2 (Ln (x-1)(x+1)
(eigenschap logaritme)
y = 2 Ln (x2 - 1) y' =
.
=
Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
