TAKSIRAN MEAN DAN TOTAL PADA TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING MAYRAMADAN MADYA PUTRA

TAKSIRAN MEAN DAN TOTAL PADA TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING

MAYRAMADAN MADYA PUTRA 0305010351

UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 2009

Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

TAKSIRAN MEAN DAN TOTAL PADA TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING

Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh: MAYRAMADAN MADYA PUTRA 0305010351

DEPOK 2009


SKRIPSI

: TAKSIRAN MEAN DAN TOTAL PADA TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING

NAMA

: MAYRAMADAN MADYA PUTRA

NPM

: 0305010351

SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK,

JULI 2009

Dra. RIANTI SETIADI, M.Si

FEVI NOVKANIZA, S.Si., M.Si

PEMBIMBING I

PEMBIMBING II

Tanggal Lulus Ujian Sidang Sarjana: 9 Juli 2009

Penguji I

: Dra. Rianti Setiadi, M.Si

Penguji II

: Dr. Dian Lestari

Penguji III

: Dr. Kiki Ariyanti S.


KATA PENGANTAR

Segala Puji dan Syukur hanya kepada Allah SWT, yang telah memberikan segala nikmat dan karunianya kepada penulis sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. Tugas akhir ini dapat selesai juga karena bantuan doa, moril, bimbingan, dan dorongan dari banyak pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada : 1. Keluarga tercinta, ibu dan bapak penulis, kak Norman, kak Aco, kak Yuli, Susan, Messa, kak Meli dan tante Mis yang telah memberikan semangat kepada penulis untuk terus berjuang menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Pembimbing tugas akhir penulis, Dra. Rianti Setiadi, M.Si dan Fevi Novkaniza, S. Si., M.Si, yang dengan sabar membimbing, memberi saran, dan bantuan selama proses pembuatan hingga tersusunnya tugas akhir ini. 3. Pembimbing akademik, Dra. Siti Nurrohmah, M.Si yang telah membimbing dan memberikan saran selama penulis menimba ilmu di Matematika UI. 4. Para dosen Departemen Matematika FMIPA-UI yang telah memberikan ilmu yang berguna kepada penulis, terutama kepada Dr. Yudi Satria MT, Dr. Dian Lestari, Dra. Saskya Mary, M. Si, Dra. Suarsih Utama, Rahmi Rusin S.Si, MSc.Tech, dan Mila Novita S.Si., M.Si yang telah memberikan saran, nasehat atau semangat kepada penulis selama pembuatan tugas akhir. 5. Seluruh karyawan Departemen Matematika FMIPA-UI, terutama mba Santi, pak Saliman, mas Irwan, dan pak Anshori yang telah membantu selama proses registrasi seminar.

i Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

ii

6. Teman-teman seperjuangan yang mengambil skripsi, Ida , Vani, Amri, Khuriyanti, Shinta, Ratih, Rizky, Rifky, Riesa, Syarah, Maul, Uun, Iif. 7. Vani, Ida, Shinta, Fika, Wicha, Dia, Yanu, Desti, Anggie yang telah memberikan semangat yang luar biasa kepada penulis. 8. Semua teman-teman angkatan 2005, Fika, Wicha, Dia, Ratna, Melati, Raisa, Nisma, Othe, Miranti, Rani, Desti, Anggie, Jessie, Akmal, Anggie, Puji, Shally, Gyo, Pute, Aini, Rif’ah, Rara, Yanu, Ranti, TH, Fery, Maria, Andre, Karlina, QQ, Aya, Merry, Yuni, Fia, Dian, Mia, Hamdan, Asep, Trian, Ridwan, Aris, Hairu, Udin, dll. 9.

Semua teman-teman angkatan 2003, 2004, 2006, 2007, dan 2008 terutama Dicky 03, Gele 03, Ajat 04, Bong 04, Ias 04, Rimbun 04, Nadya 04, Avidati 04, Lee 06, Rita 06, Syafirah 06, Yuri 06, ArRizqiyatul 06, Alberta 06, Winda 07, Farah 07, Shafira 07, Amanda 07, Hikmah 07, Widya 07, Nedia 07, Adit 07, Dhanar 07, Syahrul 07, Azhari 07, Zulfalah 07, yang telah membantu dan memberikan semangat. Penulis menyadari bahwa penulisan tugas akhir ini kurang sempurna. Oleh

karena itu penulis ingin memohon maaf bila masih terdapat kesalahan, karena penulis hanyalah manusia biasa yang tak luput dari kesalahan, dan perlu diingat bahwa kesempurnaan hanya milik Allah SWT. Semoga tugas akhir ini bermanfaat bagi orang yang membacanya. Penulis 2009


ABSTRAK

Metode two stage adaptive cluster sampling (2S-ACS) sangat baik digunakan untuk mengambil sampel dimana elemen yang akan diteliti sangat jarang atau berkelompok. Pada 2S-ACS, pengambilan sampel diawali dengan membagi wilayah penelitian menjadi unit-unit primer. Masing-masing unit primer dibagi menjadi unit-unit sampling. Pada tahap pertama, dipilih beberapa unit primer secara SRS. Pada tahap kedua, dari masing-masing unit primer yang terpilih pada tahap pertama, diambil beberapa unit sampling sebagai sampel awal. Kemudian, dilakukan proses penambahan sampel pada masing-masing unit sampling yang terpilih pada sampel awal. Ada dua skema yang dapat digunakan untuk menambahkan sampel, yaitu skema overlapping dan skema nonoverlapping. Pada skema overlapping, proses penambahan sampel diperbolehkan melewati batas unit primer, sedangkan pada skema nonoverlapping tidak diperbolehkan melewati batas unit. Pada masing-masing skema akan digunakan taksiran Horvitz-Thompson dan taksiran Hansen-Hurwitz untuk menaksir mean dan total populasi. Taksiran yang diperoleh adalah taksiran yang tak bias. Pada tugas akhir ini akan diberikan contoh penerapan two stage adaptive cluster sampling dengan menggunakan skema overlapping dan skema nonoverlapping. Kata kunci : taksiran Horvitz-Thompson; taksiran Hansen-Hurwitz; two stage adaptive cluster sampling; unit primer; unit sampling. ix+106 hal.;lamp.;gamb.;tab.; Bibliografi : 10 (1967-2002) iii Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

DAFTAR ISI

Halaman KATA PENGANTAR .............................................................................

i

ABSTRAK .............................................................................................

iii

DAFTAR ISI ..........................................................................................

iv

DAFTAR GAMBAR................................................................................

vii

DAFTAR TABEL....................................................................................

viii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................

ix

BAB I.

PENDAHULUAN ....................................................................

1

1.1 Latar Belakang ................................................................

1

1.2 Permasalahan .................................................................

5

1.3 Tujuan Penulisan ............................................................

5

1.4 Pembatasan Masalah .....................................................

6

1.5 Sistematika Penulisan .....................................................

6

BAB II. LANDASAN TEORI ................................................................

8

2.1 Simple Random Sampling................................................

8

2.1.1 Taksiran Mean……................................................

11

2.1.2 Taksiran Total……………………………………….

16

2.2 Two Stage Sampling …...................................................

17

2.2.1 Taksiran Mean dan Total Populasi…………….… iv Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

18

v

2.3 Unequal Probability Sampling.........................................

28

2.3.1 Taksiran Horvitz-Thompson………………………

28

2.3.2 Taksiran Hansen-Hurwitz…….……………………

32

2.4 Adaptive Cluster Sampling...............................................

37

2.4.1 Keadaan Populasi…………………………………..

37

2.4.2 Cara Pengambilan Sampel………………………...

38

2.4.3 Penaksiran Mean dan Total Populasi………….…

40

2.4.3.1 Penaksiran Mean dan Total Populasi dengan Taksiran Horvitz-Thompson……

40

2.4.3.2 Penaksiran Mean dan Total Populasi dengan Taksiran Hansen-Hurwitz………

46

BAB III. TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING...................

50

3.1 Skema Overlapping .........................................................

53

3.1.1 Penaksiran Mean dan Total Populasi dengan Taksiran Horvitz-Thompson..................................

53

3.1.2. Penaksiran Mean dan Total Populasi dengan Taksiran Hansen-Hurwitz......................................

60

3.2 Skema Nonoverlapping ...................................................

68

3.2.1 Penaksiran Mean dan Total Populasi dengan Taksiran Horvitz-Thompson..................................

68

3.2.2 Penaksiran Mean dan Total Populasi dengan Taksiran Hansen-Hurwitz......................................


79

vi

BAB IV. CONTOH PENERAPAN METODE TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING..................

84

4.1 Skema Overlapping .........................................................

85

4.1.1 Taksiran Mean dan Total dengan Taksiran Horvitz-Thompson...................................

86

4.1.2 Taksiran Mean dan Total dengan Taksiran Hansen-Hurwitz....................................... 4.2 Skema Nonoverlapping ...................................................

90 93

4.1.1 Taksiran Mean dan Total dengan Taksiran Horvitz-Thompson...................................

94

4.1.2 Taksiran Mean dan Total dengan Taksiran Hansen-Hurwitz.......................................

96

BAB V. PENUTUP ...............................................................................

100

5.1 Kesimpulan ......................................................................

100

5.2 Saran ...............................................................................

103

DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................

104

LAMPIRAN ............................................................................................

105


DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Sampel Dengan Skema Overlapping................................

85

Gambar 4.2 Sampel Dengan Skema Nonoverlapping..........................

93

vii Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Hasil Taksiran Dengan Skema Overlapping.........................

92

Tabel 4.2 Hasil Taksiran Dengan Skema Nonoverlapping...................

98

viii Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Double Ekspektasi.............................................................

105

Lampiran 2 Dekomposisi Variansi........................................................

106

ix Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pengambilan sampel merupakan hal yang penting dalam melakukan suatu penelitian. Pengambilan sampel dilakukan untuk memperoleh data yang akan digunakan dalam penelitian. Ada berbagai macam metode yang dapat digunakan dalam pengambilan sampel. Pemilihan metode pengambilan sampel juga harus diperhatikan karena akan mempengaruhi hasil penelitian. Jika metode pengambilan sampel yang digunakan tidak sesuai, maka hasil yang diperoleh dari penelitian tersebut dapat menyesatkan. Oleh karena itu, dalam pengambilan sampel perlu diketahui bagaimana keadaan dari populasi. Populasi merupakan kumpulan dari elemen-elemen yang merupakan objek penelitian dimana pengukuran akan diambil. Elemen-elemen tersebut seringkali dapat dikelompokkan ke dalam kelompok-kelompok yang merupakan partisi dari populasi terkait. Kelompok-kelompok ini disebut sebagai unit sampling. Pengambilan sampel dilakukan terhadap unit-unit sampling sedangkan pengukuran dilakukan terhadap elemen-elemen yang terdapat pada unit sampling yang terpilih sebagai sampel.

1 Taksiran mean..., Mayramadan Madya Putra, FMIPA UI, 2009

2

Adakalanya unit sampling dan elemen merupakan hal yang sama. Sebagai contoh, misalkan akan diteliti rata-rata pertambahan berat ayam setelah diberi vitamin tertentu. Kemudian, ayam-ayam yang akan diteliti berada di dalam beberapa kandang dan pengambilan sampel dilakukan pada kandang ayam. Kemudian, pengukuran dilakukan pada ayam-ayam yang berada di dalam kandang yang terpilih menjadi sampel. Dalam penelitian ini unit samplingnya adalah kandang sedangkan elemennya adalah ayam. Andaikan ayam-ayam yang akan diteliti tidak berada di dalam kandang dan pengambilan sampel dilakukan secara langsung pada ayam, maka unit sampling dan elemen dalam penelitian ini adalah sama yaitu ayam. Dalam penelitian, terutama penelitian lapangan populasi merupakan daerah yang mencakup seluruh wilayah penelitian. Wilayah penelitian dapat dibagi menjadi beberapa daerah penelitian/subwilayah yang merupakan partisi dari wilayah penelitian. Sampel dipilih dari daerah penelitian/subwilayah dan pengukuran dilakukan terhadap objek penelitian yang berada di dalam daerah penelitian/ subwilayah yang terpilih sebagai sampel. Dalam hal ini daerah penelitian/subwilayah merupakan unit sampling dan objek penelitian merupakan elemen. Dalam penelitian sering terjadi suatu kasus di mana elemen yang akan diteliti sangat jarang atau saling berkelompok. Dalam kasus ini, ketika pengambilan sampel dari unit sampling dilakukan dengan metode konvensional, ada kemungkinan bahwa elemen yang akan diteliti tidak ditemukan dalam unit sampling yang terpilih sebagai sampel, sehingga data


3

yang cukup tidak akan diperoleh. Ada juga kemungkinan lain bahwa elemen yang diperoleh dari unit sampling yang terpilih sebagai sampel hanya sedikit, tetapi elemen-elemen yang akan diteliti dapat ditemukan juga pada unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan unit sampling yang terpilih sebagai sampel. Seandainya elemen-elemen yang terdapat pada unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan unit sampling yang terpilih menjadi sampel, juga dapat dimasukkan menjadi elemen sampel, maka data yang diperoleh akan lebih memadai. Thompson (1990, 1992) memperkenalkan suatu metode pengambilan sampel yang akan memasukkan elemen-elemen yang ditemukan pada unitunit sampling yang bertetanggaan dengan unit sampling yang terpilih sebagai sampel untuk menjadi elemen sampel. Metode ini dikenal dengan adaptive cluster sampling. Cara pengambilan sampel pada adaptive cluster sampling diawali dengan membagi wilayah penelitian menjadi subwilayah-subwilayah yang disebut unit-unit sampling. Kemudian, ambil sampel awal (initial sampel) dari unit-unit sampling dengan teknik sampling yang sudah diketahui, misalnya simple random sampling (SRS). Jika dalam sampel awal tersebut terdapat elemen yang akan diteliti, maka unit-unit disekitarnya dijadikan sampel dan diteliti apakah terdapat elemen dan memenuhi kondisi tertentu yang telah ditentukan oleh peneliti. Apabila terdapat elemen yang akan diteliti dan memenuhi kondisi yang diinginkan oleh peneliti, maka unit-unit disekitarnya juga akan dijadikan sampel dan diteliti apakah memenuhi kondisi tersebut.


4

Proses ini terus dilakukan hingga tidak ada lagi unit-unit disekitar unit sampling yang terpilih menjadi sampel dan memenuhi kondisi yang diinginkan oleh peneliti. Pada adaptive cluster sampling dapat diperoleh taksiran parameter (dalam tugas akhir ini dibatasi untuk mean dan total) yang tak bias dengan taksiran variansi yang tak bias pula. Metode adaptive cluster sampling memiliki beberapa kelemahan, yaitu ada kemungkinan bahwa elemen pada sampel akhir yang terbentuk akan sangat banyak. Kelemahan berikutnya adalah memerlukan banyak usaha/tenaga dalam meneliti unit-unit sampling yang menjadi sampel awal karena ada kemungkinan unit-unit sampling tersebut terletak berjauhan. Hal ini menjadi suatu kesulitan jika daerah yang menjadi objek penelitian sangat luas. Dalam tugas akhir ini akan diperkenalkan suatu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan dalam adaptive cluster sampling, yaitu elemen pada sampel akhir sangat banyak, dan atau sampel awal terletak berjauhan. Metode ini dikenal dengan two stage adaptive cluster sampling. Berbeda dengan adaptive cluster sampling, pada two stage adaptive cluster sampling, daerah yang menjadi objek penelitian dibagi dahulu menjadi beberapa unit primer yang diperkirakan homogen. Kemudian, masing-masing unit primer dibagi menjadi unit-unit sampling. Selanjutnya, ambil beberapa unit primer secara SRS dan dari unit primer yang terpilih, pilih unit sampling sebagai sampel awal (initial sample) secara SRS. Setelah sampel awal terpilih, proses selanjutnya sama seperti adaptive


5

cluster sampling. Permasalahan yang perlu diselesaikan pada two stage adaptive cluster sampling adalah bagaimana mendapatkan taksiran mean populasi yang tak bias dengan taksiran variansi yang tak bias pula. Hal ini yang akan diselesaikan dalam tugas akhir ini.

1.2 Permasalahan

Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah bagaimana mendapatkan taksiran tak bias untuk mean dan total dengan taksiran variansi yang tak bias, pada two stage adaptive cluster sampling.

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah : 

Menjelaskan tentang metode two stage adaptive cluster sampling.



Mencari taksiran tak bias untuk mean dan total dengan taksiran variansi yang tak bias, pada two stage adaptive cluster sampling.


6

1.4 Pembatasan Masalah

Batasan masalah dalam skripsi ini antara lain : 

Pemilihan unit primer dan sampel awal (initial sampel) hanya dilakukan dengan simple random sampling (SRS) tanpa pengembalian.



Banyaknya unit sampling pada masing-masing unit primer adalah sama.



Banyaknya unit sampling yang terpilih sebagai sampel awal pada masing-masing unit primer adalah sama.

1.5 Sistematika Penulisan

Penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bab, yaitu BAB I : Pendahuluan Pada bab ini dibahas latar belakang, permasalahan, tujuan, pembatasan masalah, dan sistematika penulisan tugas akhir ini. BAB II : Landasan Teori Pada bab ini dibahas mengenai landasan teori tugas akhir ini, yaitu simple random sampling, two stage sampling, unequal probability sampling, dan adaptive cluster sampling.


7

BAB III : Two stage adaptive cluster sampling Pada bab ini akan dijelaskan mengenai skema yang digunakan pada two stage adaptive cluster sampling. Pada masing-masing skema akan dijelaskan taksiran Horvitz-Thompson dan taksiran HansenHurwitz untuk menentukan taksiran mean dan total populasi. BAB IV : Contoh Penerapan Pada bab ini diberikan suatu ilustrasi / contoh penerapan metode two stage adaptive cluster sampling dengan menggunakan skema overlapping dan skema nonoverlapping. BAB V : Penutup Bab ini terdiri dari kesimpulan dan saran.


BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang mendasari topik pada tugas akhir ini, yaitu Simple Random Sampling (SRS), Two Stage Sampling, Unequal Probability Sampling, dan Adaptive cluster sampling.

2.1 Simple Random Sampling

Simple Random Sampling (SRS) adalah metode pengambilan sampel dimana setiap kombinasi sampel yang mungkin, mempunyai probabilitas yang sama untuk terpilih menjadi sampel. Sampel yang dipilih secara SRS disebut Simple Random Sample. SRS merupakan bentuk dasar dari probability sampling dan secara teoritis menjadi dasar dari bentuk sampling yang lebih rumit. Dalam pengambilan sampel, SRS dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan pengembalian atau tanpa pengembalian. Dalam tugas akhir ini hanya akan dibahas SRS tanpa pengembalian. Teorema 2.1: Dalam SRS tanpa pengembalian, probabilitas suatu unit terpilih menjadi anggota sampel adalah sama yaitu

n , dimana n adalah ukuran sampel N

sedangkan N adalah ukuran populasi.


9

Bukti :

Misalkan dipunyai unit pada populasi : {u1, u2,..., uN } Pandang suatu unit pada populasi, yaitu u1 p j  Pr(u1 muncul pada pengambilan ke j ); j  1,2,...,n j = 1 maka p1 

1 N

j  2 maka p2  Pr(u1 tidak muncul pada peng ambilan pertama dan u1 muncul pada pengambilan kedua) misalkan : F = kejadian u1 muncul pada pengambilan pertama F '= kejadian u1 tidak muncul pada pengambilan pertama G = kejadian u1 muncul pada pengambilan kedua dengan demikian, Pr( F ) 

1 1   1  , Pr(F ')   1   , Pr(G | F ')    N  N  N  1

sehingga : p2  Pr(F ' G )  Pr(F ').Pr(G | F ') 1  1    1  .    N   N  1 

1 N

j  3 maka p3  Pr(u1 tidak muncul pada pengambilan pertama, u1 tidak muncul pada pengambilan kedua, dan u1 muncul pada pengambilan ketiga)


10

misalkan : G '  kejadian u1 tidak muncul pada pengambilan kedua H  kejadian u1 muncul pada pengambilan ketiga 1   dengan demikian, Pr(G ' | F ')   1  dan N  1    1  Pr(H | F ' G ')    , sehingga : N 2 p3  Pr(F ' G ' H )  Pr(F ' G ').Pr(H | F ' G ')  Pr(F ').Pr(G ' | F ').Pr( H | F ' G ') 1  1   1    1   . 1  . N  N  1   N  2   

1 N

 pj 

1 ; j  1,2,..., n N

Misalkan :  1  Pr(u1 terpilih dalam sampel ) D j  kejadian u1 muncul pada pengambilan ke j

 1  Pr(D1  D2  ...  Dn ) karena kejadian D j saling lepas, maka :

 1  Pr(D1  D2  ...  Dn )  P (D1 )  P (D2 )  ...  P (Dn ) 

1 1 1   ...  N N N



n N

Hal yang sama juga berlaku untuk unit u2 , u3 ,..., uN .


11

Dengan demikian telah terbukti bahwa dalam SRS tanpa pengembalian, probabilitas suatu unit terpilih menjadi anggota sampel adalah sama yaitu

n . N

Selanjutnya, akan dibahas mengenai taksiran mean dan total pada SRS, beserta variansi dan taksiran variansi dari taksiran mean dan total.

2.1.1 Taksiran Mean

Misalkan y1, y 2 ,..., y n menyatakan suatu simple random sample dari suatu populasi u1, u2 ,..., uN sedemikian sehingga y i  ui zi ; i  1,2,..., N dimana zi adalah variabel indikator, yaitu :

1, jika unit ke i terpilih sebagai sampel zi   0, jika unit ke i tidak terpilih sebagai sampel Mean populasi adalah rata-rata dari semua nilai pengamatan di populasi, yaitu :



1 1 N u1  u2  ...  uN    ui N N i 1

taksiran mean pada SRS adalah :

y

1 1 n  y1  y 2  ...  y n    y i . n n i 1


12

Akan ditunjukkan bahwa y adalah taksiran tak bias untuk  . Telah dibuktikan bahwa dalam SRS tanpa pengembalian, probabilitas suatu unit terpilih sebagai sampel adalah

n , maka : N

E [zi ]  0.Pr( zi  0)  1.Pr( zi  1)  1.Pr(unit ke i terpilih sebagai sampel) 

n N

(2.1.1)

sehingga

1 n  E[y ]  E   y i   n i 1  1 N   E   ui zi   n i 1  

1 N  ui .E[zi ] n i 1

1 N n   ui . n i 1 N 

1 N  ui N i 1

 Jadi, y adalah taksiran tak bias untuk  . Untuk mencari variansi dari y , terlebih dahulu akan dicari variansi dan kovariansi dari variabel indikator zi , yaitu :


13

var[ zi ]  E [ zi2 ]  E [ zi ]

2

 E [ zi ]  E [ zi ]

2

2

n n    N N  n n  1  N N

(2.1.2)

E [ zi z j ]  Pr( zi  1, z j  1) N  2   n2   N    n 

n( n  1) N (N  1)

(2.1.3)

cov[ zi , z j ]  E [ zi z j ]  E [zi ].E [z j ] 

n(n  1) n n  . N (N  1) N N



n  n 1 .1 . N  N  N 1

(2.1.4)

Dengan demikian, 1 n  var[ y ]  var   y i   n i 1  1 N   var   ui zi   n i 1  

 1 N 2 u var[ zi ]   ui u j cov[ zi , z j ]  2  i n  i 1 ij 



 n  1 N 2 n n n  1  u .  1     ui u j .   .  1   .  2  i n  i 1 N  N  i j  N  N  N  1

uu  1 n n  N  2 .  1     ui2   i j  , karena n N  N   i 1 i  j N  1

2

N  N  2 u u  u   i j   i   ui , maka i j i 1  i 1 


14

2 N   1  n   N 2  N  2    1  u  u  u ( N  1)  i    i  i  nN  N   i 1  i 1 i 1       2 1  n  N 2  1  1  N    1    ui 1   ui  nN  N   i 1  N  1  N  1  i 1   2 1  n 1  N 2  N    1 . N. ui    ui   nN  N  N  1  i 1  i 1   2 1N n  1  N 2 1  N     .   ui    ui   n  N  N  1  i 1 N  i 1  



1N n  1  N 2 .  ui         n  N  N  1  i 1 

 N  n     N  n

2

Dengan demikian,

var[ y ] 

N

dengan    2

ui   

i 1

N 1

2 N n n  N 

(2.1.5)

2

. Taksiran dari variansi tersebut adalah 2  y]  s  N  n  var[ n  N 

(2.1.6)

1 n 2 dimana s   y i  y  . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa taksiran  n  1 i 1 2

variansi tersebut adalah taksiran yang tak bias, tetapi akan ditunjukkan dulu bahwa E [s 2 ]   2


15

 1 n 2 E [s 2 ]  E  yi  y     n  1 i 1  n 1  2  .E    y i  y   n  1  i 1  

2 1 n .E     y i      y      n  1  i 1 



1 n 2 2 .E    y i     n  y     n  1  i 1 



1  n 2 2  . E    y i      nE  y        n  1   i 1 



1 n  2 2  .  E  y i      nE  y          n  1  i 1



1 n  .  var[y i ]  n var[ y ]  n  1  i 1 



1  2 1 n  . n  n.var[  y i ]  n 1  n i 1 



n 1  2 1  . n  .var[  y i ]  n 1  n i 1 



1  2 1 n  . n  . var[ y i ]  n 1  n i 1 

1  2 1  . n  .n 2  n 1  n  1  . ( n  1). 2 n 1 2 



maka,



2  y ]]  E  s  N  n   E [var[     n  N  N n  .E [s 2 ] n.N 2 N n  n  N   var[ y ]


(2.1.7)

(2.1.8)

16

Dengan demikian, taksiran variansi tersebut adalah taksiran yang tak bias.

2.1.2 Taksiran Total

Total populasi adalah N

  N    ui i 1

sedangkan taksirannya adalah

ˆ  Ny 

N n  yi n i 1

lalu, karena

E[ˆ]  E[Ny ]  NE[y ]  N   . maka taksiran tersebut merupakan taksiran yang tak bias untuk total. Variansi untuk taksiran total adalah

var[ˆ]  var[Ny ]  N 2 var[ y ]  N 2 .

2 N n 2  N ( N  n ) n  N  n

dengan taksirannya adalah 2 2  ˆ]  var[  Ny ]  N 2 var[  y ]  N 2 . s  N  n   N (N  n ) s var[ n  N  n

lalu, karena :  ˆ]]  E [var[  Ny ]]  N 2E [var[  y ]]  N 2 var[ y ]  var[Ny ]  var[ˆ] E [var[

maka dimana taksiran variansi tersebut merupakan taksiran yang tak bias untuk variansi dari taksiran total.


17

2.2 Two Stage Sampling

Dalam pengambilan sampel secara simple random sampling (SRS) tidak selamanya efektif, walaupun SRS merupakan metode sampling yang paling sederhana. Misalkan dalam penelitian yang mencakup daerah yang sangat luas, seperti hutan. Jika pengambilan sampel dilakukan secara SRS, maka peneliti akan memerlukan banyak tenaga, waktu dan biaya untuk meneliti unit-unit yang terpilih sebagai sampel karena kemungkinan besar unit-unit tersebut terletak berjauhan. Agar lebih efektif, pengambilan sampel dapat dilakukan dengan dua tahap. Pada tahap pertama pengambilan sampel dilakukan pada unit primer, kemudian pada tahap kedua pengambilan sampel dilakukan pada unit sekunder yang berada di dalam unit primer yang terpilih sebagai sampel. Pengambilan sampel seperti ini disebut Two Stage Sampling. Pada tugas akhir ini, pengambilan sampel pada masing-masing tahap hanya dilakukan dengan SRS tanpa pengembalian. Misalkan M adalah banyaknya unit primer pada populasi dan N i adalah banyaknya unit sekunder pada unit primer ke i. Misalkan  ij menyatakan total pengukuran pada unit sekunder ke j dalam unit primer ke i pada populasi, maka total pengukuran pada unit primer ke i adalah

 i   j 1 ij , sedangkan total populasi adalah    i 1  j 1 ij   i 1 i . Ni

M

Ni

M

Selanjutnya, mean pada unit primer ke i adalah i   i Ni , sedangkan mean


18

populasi adalah    N , dimana N   i 1Ni yaitu banyaknya unit sekunder M

pada populasi.

2.2.1 Taksiran Mean Dan Total Populasi

Misalkan m menyatakan banyaknya unit primer yang terpilih sebagai sampel pada tahap awal pengambilan sampel, sebut s1 sebagai kumpulan unit primer dalam sampel. Kemudian ni menyatakan banyaknya unit sekunder pada unit primer ke i yang terpilih sebagai sampel pada tahap kedua pengambilan sampel, y ij adalah total pengukuran pada unit sekunder ke j di dalam unit primer ke i, yang terpilih sebagai sampel. Karena ni unit sekunder dipilih secara SRS pada tahap kedua, maka taksiran mean dan total pada unit primer ke i adalah

ˆ i 

1 ni

î  Ni î 

ni

y j 1

Ni ni

ij

ni

y j 1

ij

Selanjutnya, taksiran mean dan total populasi adalah

ˆ 

M m î Nm i 1

ˆ  N.ˆ 

M m î m i 1


19

Misalkan s1 adalah himpunan semua unit primer yang terpilih sebagai sampel. Akan ditunjukkan bahwa diberikan himpunan s1 , taksiran total pada unit primer ke i adalah taksiran tak bias untuk total pada unit primer ke i. Dengan perkataan lain, akan ditunjukkan bahwa E [î | s1 ]   i sebagai berikut: Misalkan zij adalah variabel indikator, yaitu :

1, jika unit sampling ke j pada unit primer ke i terpilih sebagai sampel zij   0, jika unit sampling ke j pada unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zij  1| s1 ) 

ni , maka : Ni

N E [î | s1 ]  E  i  ni

ni

y j 1

ij

 | s1  

 N Ni   E  i  ij zij | s1   ni j 1  Ni N  i  ij E [zij | s1 ] ni j 1 

Ni ni

N  i ni

Ni

 0.Pr(z j 1

ij

Ni

 j 1

ij

ij

 0 | s1 )  1.Pr( zij  1| s1 )

ni Ni

Ni

  ij j 1

 i Kemudian, akan ditunjukkan bahwa ˆ dan ˆ adalah taksiran tak bias untuk mean dan total populasi. Misalkan zi adalah variabel indikator, yaitu :

1, jika unit primer ke i terpilih sebagai sampel zi   0, jika unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel


20

dengan Pr( zi  1) 

m , maka : M E [ ˆ]  E [E ( ˆ | s1 )]   M m   E E  î | s1       Nm i 1  M m  E E [î | s1]    Nm i 1   M m  E  i   Nm i 1   M M  E  i zi    Nm i 1  

M M  i E [zi ] Nm i 1



M M m i.  Nm i 1 M



1 M  i N i 1



 N

 sedangkan untuk taksiran total E [ˆ]  E [E (ˆ | s1 )]  E [E (N.ˆ | s1 )]  N.E [E ( ˆ | s1 )]  N. 

Jadi, ˆ dan ˆ adalah taksiran tak bias untuk  dan  . Selanjutnya akan dicari variansi dari ˆ dan ˆ . Variansi dari ˆ dapat diperoleh dengan menggunakan dekomposisi sebagai berikut : var[ ˆ ]  var[E ( ˆ | s1 )]  E [var( ˆ | s1 )]


(2.2.2)

21

Ada dua bagian pada (2.2.2) yang akan dicari Bagian pertama dari ruas kanan persamaan (2.2.2) adalah   M m  var[E ( ˆ | s )]  var E  î | s1       Nm i 1 m  M   var  E [î | s1]    Nm i 1   M m   var   i   Nm i 1  M2 1 m   2 var   i  N  m i 1  M2 var   N2 M 2  M  m   u2  2 . N  M  m 

 u2 1  2 M (M  m ) N m dimana  u2 adalah variansi antar unit primer, yaitu  u2 

dengan 1 

1 M 2  i  1  ,  M  1 i 1

1 M  i yaitu mean per unit primer. M i 1

Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (2.2.2) adalah


22

  M m  E [var( ˆ | s1 )]  E  var  î | s1     Nm i 1    M  2 m   E  var[î | s1]     Nm  i 1   M  2 m  i2   E  N ( N  n )  i   i i ni   Nm  i 1  M  2 M  i2   E  N ( N  n ) .zi  i   i i ni  Nm  i 1   M     Nm 

2 M

 M     Nm 

2 M

 Ni (Ni  ni ) i 1

 Ni (Ni  ni ) i 1

 i2 ni

.E [ zi ]

 i2 m . ni M

 i2 1 M M  2  Ni (Ni  ni ) N m i 1 ni dimana  i2 adalah variansi di dalam unit primer ke i, yaitu

 i2 

2 1 Ni  ij  i  , dengan i   i Ni yaitu mean di dalam unit primer ke   Ni  1 j 1

i, untuk i = 1, 2, …, N. Jadi, variansi dari ˆ adalah

var[ ˆ] 

 u2 1 M M  i2 1 M ( M  m )  N ( N  n )  i i i n N2 m N 2 m i 1 i

(2.2.3)

Taksiran dari (2.2.3) adalah 2 2 m  ˆ]  1 M(M  m) su  1 M N (N  n ) si var[  i i i n N2 m N 2 m i 1 i


(2.2.4)

23

dimana su2 

si2 

1 m 1 m 2  ˆ   ˆ  ˆ  , dengan    i 1 î dan 1 m  1 i 1 m i 1

2 1 ni y ij  î  , untuk i= 1, 2,…m.   ni  1 j 1

Akan ditunjukkan bahwa (2.2.4) adalah taksiran tak bias untuk (2.2.3)

 ˆ]]  E [E (var[  ˆ] | s )] E [var[ 1   1 s2 s2   1 M m  E E  2 M (M  m) u  2  Ni (Ni  ni ) i  | s1   m N m i 1 ni      N   1   1 M m  s2 s2  E E  2 M (M  m) u | s1   E  2  Ni (Ni  ni ) i | s1   m ni   N m i 1   N   1   1 M m   su2 si2  E E  2 M (M  m ) | s1    E E  2  Ni (Ni  ni ) | s1   m ni    N   N m i 1 E [si2 | s1 ]  1 M (M  m )   m  1 M m 2  2 E E  î  ˆ1  | s1    2 E   Ni (Ni  ni )  N (m  1)m   i 1 N ni     m i 1    (*) (II)   (I)

Ada dua bagian yang akan dicari, pada bagian pertama (I) akan dicari dahulu bentuk (*) yaitu





 m  m   2 2 E E   î  ˆ1  | s1    E E   î2  2î ˆ1   ˆ1  | s1       i 1   i 1 m   m  2  E E  î2  2 ˆ1 î  m  ˆ1   | s1   i 1     i 1 2 2   m 1 m  1  m    2  E E  î  2  î    î   | s1   m  i 1  m  i 1       i 1   2   m 1  m    2  E E  î   î   | s1   m  i 1       i 1  


24

2   m   1  m  2  E E  î | s1   E  î  | s1     i 1  m  i 1    2   m m  1    E E  î2 | s1    E  E   i 1î | s1     m   i 1        





(b)

(a)

bentuk (a) dan (b) dapat dicari sebagai berikut : (a)

  m  m  E E  î2 | s1    E   E î2 | s1    i 1    i 1









m  2  E   E[î | s1]  var[î | s1]   i 1  m   2   E    i2  Ni ( Ni  ni ) i   ni    i 1  m 2 m   E   i2   E   Ni (Ni  ni ) i  ni   i 1   i 1 M  i2  M 2   E   i zi   E   Ni ( Ni  ni ) .zi  ni  i 1   i 1  

(b)

 i2 m M 2 m M   N ( N  n )  i M i i i M i 1 ni i 1



  var 

1  m m 1  2    m E (  i 1î ) | s1    E  m  E   i 1î | s1      1 E  m 



1 E  m 

  

2



2

 i 1E î | s1  m

m

i 1 i

2

  

ˆ | s1   

m

i 1 i

m    i 1 var[î | s1 ]   

  i 1 Ni (Ni  ni ) m

 i2    ni  

  i2  1 m 2  E  m   i 1 Ni ( Ni  ni )  m ni    mE[ 2 ] 



2 1  m E   i 1 Ni ( Ni  ni ) i  m  ni 



 m E [ ]  var[ ]  2

2  1  M E   i 1 Ni (Ni  ni ) i .zi  m  ni 


25

2 2  1 M  i2   M  m  u  1 M  m  E [  i 1 i zi ]      Ni (Ni  ni ) .E  zi    m ni   M  m  m i 1 

  1 M 2  M  m   u2  1 M  i2  m    i 1 i     N ( N  n )   i i i n   M   M  m  M i 1 i  2  M m 2 1 M  m12    u   i 1 Ni (Ni  ni ) i  M ni  M  sehingga (*) menjadi



 m m  m  2 1  E E   î  ˆ1  | s1    E   E2 [î2 | s1]  E  E2   i 1î m    i 1    i 1 m M 2 m M    i2   Ni (Ni  ni ) i  M i 1 ni   M i 1

 | s   2

1

  i2  M m 2 1 M  m12     N ( N  n )  i  u M i i ni   M  i 1   i2 m M 2 M m 2 m M 2   i  m1     u  M  Ni (Ni  ni ) n M i 1  M  i 1 i  

 i2 1 M N ( N  n )  i i i n M i 1 i

m M 2   m  i  M 12   1    u2   M  i 1   M 

 i2 (m  1) M N ( N  n )  i i i n M i 1 i

m M 1 M m  . . ( i  1)2   u2   u2 M M  1 i 1 M

 i2 (m  1) M   Ni (Ni  ni ) n M i 1 i 

 i2 m m (m  1) M .(M  1) u2   u2   u2  N ( N  n )  i i i n M M M i 1 i

 m u2 

 i2 m 2 m (m  1) M  u   u2   u2  N ( N  n )  i i i n M M M i 1 i


26

 m u2   u2 

 i2 (m  1) M N ( N  n )  i i i n M i 1 i

 ( m  1) u2 

 i2 (m  1) M N ( N  n )  i i i n M i 1 i

 2 1 M  i2   ( m  1)  u   Ni (Ni  ni )  M i 1 ni  

maka bentuk (I) adalah 1 M (M  m )   m  2 E E   î  ˆ1  | s1   2 N (m  1)m   i 1  

 2 1 M  i2  1 M (M  m ) .( m  1)   N ( N  n )  i i i n  u N 2 (m  1)m M i 1  i 

 u2  i2 1 1 M  m  M  2 M ( M  m)  Ni (Ni  ni )  N m N2 m ni i 1 Selanjutnya akan dicari bentuk kedua (II) yaitu : E [si2 | s1 ]   i2  1 M m 1 M m E N ( N  n )  E N ( N  n )   i i    i i  i i 2 N 2  m i 1 ni ni   N  m i 1 2  1 M M  2 E   Ni (Ni  ni ) i .zi  N ni  m i 1  

 i2 1 M M N ( N  n )  i i i n .E [zi ] N 2 m i 1 i

 i2 m 1 M M  2  N i ( N i  ni ) . N m i 1 ni M 

1 N2

M

 i2

i 1

ni

 Ni (Ni  ni )

maka,


27

2 2 M  ˆ]]   1 M (M  m)  u  1  M  m  N (N  n )  i  E [var[  2   i i i m N2 m ni  i 1 N

 1 M 2    2  Ni (Ni  ni ) i  ni   N i 1 2 1 M  M 2 1 M 2 1  2 M (M  m ) u  2   1  Ni (Ni  ni ) i  2  Ni (Ni  ni ) i N m N  m  i 1 ni N i 1 ni

 u2 1 M M  i2 1  2 M (M  m )   Ni (Ni  ni ) n N m N 2 m i 1 i  var[ ˆ]  ˆ]]  var[ ˆ] maka var[  ˆ ] merupakan taksiran tak bias Jadi, karena E [var[

untuk var[ ˆ] . Selanjutnya, taksiran variansi untuk taksiran total adalah sebagai berikut  ˆ]  var[  N.ˆ] var[  ˆ]  N 2 .var[  M (M  m )

su2 M m s2   Ni (Ni  ni ) i m m i 1 ni

Kemudian, karena  ˆ]]  E [var[  N.ˆ]]  N 2E[var[  ˆ]]  N 2.var[ ˆ]  var[N.ˆ]  var[ˆ] E [var[

maka, taksiran variansi tersebut merupakan taksiran tak bias untuk variansi dari taksiran total.


28

2.3 Unequal Probability Sampling

Jika dalam SRS probabilitas terpilihnya suatu unit adalah sama, tetapi adakalanya unit-unit dalam populasi memiliki probabilitas yang berbeda untuk terpilih sebagai sampel. Untuk kasus dimana unit-unit memiliki peluang yang berbeda untuk terpilih sebagai sampel, ada dua jenis taksiran yang dapat digunakan untuk menaksir mean dan total populasi, yaitu taksiran HorvitzThompson dan taksiran Hansen-Hurwitz.

2.3.1 Taksiran Horvitz-Thompson

Taksiran ini dapat digunakan ketika pengambilan sampel dilakukan dengan atau tanpa pengembalian. Misalkan dipunyai unit pada populasi {u1, u2 ,..., uN } berukuran N, kemudian diambil suatu sampel { y1, y 2 ,..., y n }

berukuran n dimana probabilitas terpilihnya unit ke i sebagai sampel tidak sama, sebut  i . Taksiran Horvitz-Thompson untuk mean adalah

ˆ HT

1 n yi   N i 1  i

Akan ditunjukkan bahwa taksiran ini adalah taksiran yang tak bias untuk mean. Sebelumnya, didefinisikan suatu variabel indikator z i yang bernilai 1 jika unit ke i terpilih menjadi sampel dan bernilai 0 jika unit ke i tidak terpilih menjadi sampel. Jadi,


29

E [ zi ]  0.Pr( zi  0)  1.Pr( zi  1)  1.Pr(unit ke i terpilih sebagai sampel)  i

sehingga

1 n y  E [ ˆ HT ]  E   i   N i 1  i  1 N uz  E  i i  N i 1  i  1 N u   i E [zi ] N i 1  i =

1 N ui  . i N i 1  i



1 N  ui N i 1



(2.3.1)

maka, taksiran tersebut merupakan taksiran yang tak bias untuk mean. Untuk mencari variansi dari taksiran Horvitz-Thompson, terlebih dahulu akan dicari variansi dan kovariansi dari variabel indikator zi , yaitu : E [zi 2 ]  02.Pr( zi  0)  12.Pr( zi  1)  1.Pr(unit ke i terpilih menjadi sampel)  i var[ zi ]  E [ zi 2 ]  [E [ zi ]]2  i  i2   i (1   i )

cov[ zi , z j ]  E [zi z j ]  E [zi ].E [z j ]   ij   i  j

Dimana  ij adalah probabilitas unit ke i dan ke j terpilih menjadi sampel.


30

Variansi dan taksiran variansi dari taksiran mean Horvitz-Thompson adalah 1 n y  var[ ˆ HT ]  var   i   N i 1  i  1 N uz   var   i i   N i 1  i   N ui zi  1 var   N2  i 1  i  2 N  uu 1   N  ui    2    var[ zi ]   i j cov[ zi , z j ]  N  i 1   i  i 1 j  i  i  j    

2 N   ui u j  N  ui  .  (1   )  .     ij i j      i i    i 1 j  i i j    i 1  i     -    (1   i ) N 1  N   2  ui2   ui u j  ij i j     N  i i 1 j  i  i 1    i j 

1  2 N



1 N2

 ˆ ]  1 var[ HT N2

N

  ij - i  j  u u  i  j  i j j 1  N

  i 1

n

  ij - i  j  y i y j j 1  i j ij  n

     i 1

Akan dibuktikan bahwa taksiran variansi tersebut adalah taksiran yang tak bias untuk variansi dari taksiran mean:


31

  ˆ ]]  E  1 E [var[ HT 2  N

    

 1 E 2  N

    



1 N2

N

n

i 1 N

i 1

   ij - i  j  y i y j  j 1  i j ij   n

   ij - i  j  ui u j zi z j  j 1  i j ij   N

  ij - i  j  ui u j .E [ zi z j ] j 1  i j ij  N

     i 1

  ij - i  j   i 1 j 1   i  j  ij 1 N N   -   2   ij i j N i 1 j 1   i  j  var[ ˆ HT ] 

1 N2

N

N

 ui u j . ij   ui u j  (2.3.2)

 ˆ ]]  var[ ˆ ] , maka taksiran variansi tersebut merupakan Karena E[var[ HT HT

taksiran yang tak bias. Selanjutnya, taksiran Horvitz-Thompson untuk total adalah n

ˆ  N.ˆHT   i 1

yi

i

N

 i 1

ui zi

i

.

Berdasarkan (2.3.1), diperoleh E [ˆHT ]  E [N.ˆHT ]  N.E [ ˆ HT ]  N.  

sehingga taksiran Horvitz-Thompson untuk total tersebut merupakan taksiran tak bias untuk total. Kemudian, variansi dari taksiran total dapat diperoleh sebagai berikut N N   -  var[ˆHT ]  var[N ˆ HT ]  N 2 var[ ˆ HT ]    ij i j  i 1 j 1   i  j

 ui u j 

dan taksiran variansi


32

n n   -  ij i j  ˆ ]  var[  N ˆ ]  N 2 var[  ˆ ]  var[   HT HT HT i 1 j 1   i  j  ij

 y i y j . 

Berdasarkan (2.3.2), dapat diperoleh  ˆ ]]  E[var[  N.ˆ ]]  N 2E[var[  ˆ ]]  N 2 var[ ˆ ]  var[N.ˆ ]  var[ˆ ] E[var[ HT HT HT HT HT HT  ˆ ] adalah taksiran tak bias untuk var[ˆ ] . sehingga var[ HT HT

2.3.2 Taksiran Hansen-Hurwitz

Taksiran ini biasa digunakan ketika pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian. Misalkan dari N unit pada populasi {u1, u2 ,..., uN } diambil suatu sampel berukuran n { y1, y 2 ,..., y n } dengan pengembalian. Misalkan pi adalah probabilitas terpilihnya unit ke i. Taksiran HansenHurwitz untuk mean adalah

ˆHH 

1 n yi  nN i 1 pi

Misalkan fi menyatakan berapa kali unit i terpilih sebagai sampel, dengan demikian fi berdistribusi binomial (fi  b( n, pi )) , sehingga taksiran Hansen-Hurwitz dapat pula dinyatakan sebagai :

ˆHH 

1 n yi 1 N ui fi    nN i 1 pi nN i 1 pi


33

Karena fi  b(n, pi ) , maka E [fi ]  npi , sehingga taksiran Hansen-Hurwitz dapat pula dinyatakan dengan

1 n yi  nN i 1 pi

ˆHH  

1 N ui fi  nN i 1 pi



f 1 N ui i  N i 1 E [fi ]

Akan dibuktikan bahwa taksiran tersebut adalah taksiran yang tak bias untuk mean, yaitu :  1 n yi  E [ ˆHH ]  E     nN i 1 pi  1 N f   E   ui i   N i 1 E [fi ]  1 N E [fi ]   ui N i 1 E [fi ] 

1 N  ui N i 1



(2.3.3)

Jadi, ˆ HH merupakan taksiran yang tak bias untuk mean. Untuk mencari taksiran variansi dari ˆ HH yang tak bias, didefinisikan variabel random T dengan nilai

 ui u  dan Pr T  i   pi , (i  1,2,..., N ) , Npi Npi  

maka


34

 ui u  .Pr T  i  Npi Npi   N u   i .pi i 1 Npi

T  E [T ]  



 T2  var[T ]  E [T  T  ] 2

2

 u   u     i  T  .Pr T  i  Npi   Npi   2

 u     i    .pi i 1  Npi  N

Misalkan t adalah sampel random dengan distribusi dari variabel random T, dengan nilai

yi ; i  1,2,..., n , sehingga Npi

ˆHH 

1 n yi 1 n    ti  t nN i 1 pi n i 1

dengan E[ ˆHH ]  E[t ]  T  

Variansi dan taksiran variansi dari ˆ HH adalah

1 n  1 n  var[ ˆ HH ]  var   t i   2 var   t i   n i 1  n  i 1  1  2 .n.var[t i ] n 

 T2 n 2

 1 N  ui      .pi n i 1  Npi 


35

2  ˆ ]  sT var[ HH n



n 1  ti  t n(n  1) i 1





2

n  yi  1   ˆ HH    n(n  1) i 1  Npi 

2

 ˆ ] adalah taksiran yang tak Selanjutnya akan dibuktikan bahwa var[ HH

bias untuk var[ ˆHH ] 2  ˆ ]]  E  s  E [var[ HH   n 1  1 n  .E   ti  t n  n  1 i 1



  2





1 n .E   t i  t n(n  1)  i 1



1  .E    t i     t   n(n  1)  i 1



n



  2





  





2

 2 1   .E    t i     n t    n(n  1)  i 1  2   n 1 2  . E    t i      nE  t        n(n  1)   i 1   n 2  1  2  .  E  t i      nE  t         n(n  1)  i 1  n



1 n  .  var[t i ]  n var[ t ]  n(n  1)  i 1 



1 1 n   . n T2  n.var[  t i ] n(n  1)  n i 1 



n 1 1   . n T2  .var[  t i ]  n(n  1)  n i 1 



1 1 n   . n T2  . var[t i ]  n(n  1)  n i 1 










36

1 1   . n T2  .n T2  n(n  1)  n  1  . ( n  1). T2 n(n  1) 







 T2

n  var[ ˆ HH ]

(2.3.4)

 ˆ ] adalah taksiran yang tak bias untuk var[ ˆ ] . Jadi, var[ HH HH

Taksiran Hansen-Hurwitz untuk taksiran total adalah

ˆHH  N.ˆ HH 

1 n yi 1 N un   i i  n i 1 pi n i 1 pi

Berdasarkan (2.3.3), dapat diperoleh E [ˆHH ]  E [N.ˆ HH ]  N.E [ ˆ HH ]  N.  

sehingga taksiran Hansen-Hurwitz untuk total adalah taksiaran yang tak bias. Selanjutnya, variansi dari taksiran total tersebut adalah N2 var[ˆHH ]  var[N ˆHH ]  N var[ ˆHH ]  n 2

2

 ui     .pi   i 1  Npi  N

dan taksiran variansi  ˆ ]  var[  N ˆ ]  N 2 var[  ˆ ]  var[ HH HH HH

2

n  yi  N2  ˆ HH  .pi   n(n  1) i 1  Npi 

Kemudian, berdasarkan (2.3.4), dapat diperoleh  ˆ ]]  E[var[  N.ˆ ]]  N 2E[var[  ˆ ]]  N 2 var[ ˆ ]  var[N.ˆ ]  var[ˆ ] E[var[ HH HH HH HH HH HH  ˆ ] merupakan taksiran tak bias untuk var[ˆ ] . sehingga var[ HH HH


37

2.4 Adaptive Cluster Sampling

Metode adaptive cluster sampling digunakan untuk mengambil sampel dimana elemen yang akan diteliti sangat jarang dan atau berkelompok. Metode ini ada dua jenis, tetapi pada tugas akhir ini hanya dibahas metode adaptive cluster sampling dengan sampel awal dipilih secara SRS tanpa pengembalian. Metode ini banyak digunakan dalam penelitian mengenai spesies langka, penyakit langka, atau mendeteksi wilayah dengan kandungan barang tambang terbanyak.

2.4.1 Keadaan Populasi

Populasi terdiri dari unit-unit sampling yang saling lepas. Pada metode adaptive cluster sampling, setiap unit-unit sampling (misalkan unit i), mempunyai tetangga yaitu unit-unit yang berada di sebelah kiri, kanan, depan, dan belakang unit i. Selain itu, peneliti akan menetapkan suatu syarat atau kondisi C untuk unit sampling. Dari unit-unit sampling yang ada pada populasi, diantaranya ada yang memenuhi kondisi C, ada pula yang tidak memenuhi kondisi C. Misalkan unit i adalah suatu unit sampling pada populasi yang memiliki tetangga unit p, q, r, dan s. Jika unit i tidak memenuhi kondisi C, maka unit i disebut sebagai network berukuran satu. Jika unit i memenuhi kondisi C, tetapi tidak ada satu pun unit tetangganya yang memenuhi kodisi C, maka


38

unit i juga disebut network berukuran satu. Jika unit i memenuhi kondisi C dan ada unit tetangganya yang memenuhi kondisi C (misalkan unit p dan r), maka unit p dan r digabung dengan unit i membentuk sebuah network berukuran tiga. Network ini dilambangkan dengan Ai , yaitu network yang dibentuk dari unit i. Sementara unit q dan s yang tidak memenuhi kondisi C tidak digabung dengan unit i dan masing-masing disebut sebagai network berukuran satu. Lalu, jika tetangga dari unit p dan r ada yang memenuhi kondisi C, maka unit-unit tersebut juga digabung dengan network Ai , sehingga ukuran network Ai bertambah. Proses ini terus terjadi hingga tidak ada unit-unit yang memenuhi kondisi C. Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat dikatakan bahwa populasi terdiri dari network-network berukuran tertentu yang saling lepas.

2.4.2 Cara Pengambilan Sampel

Pengambilan sampel pada adaptive cluster sampling diawali dengan membagi wilayah penelitian menjadi N unit-unit sampling. Dari N unit-unit sampling pada populasi, dipilih suatu sampel awal berukuran n1 unit secara SRS. Misalkan unit i adalah salah satu anggota dari sampel awal. Unit i tersebut diteliti apakah memenuhi kondisi C atau tidak. Jika unit i memenuhi kondisi C, maka unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan unit i diperiksa. Jika unit sampling yang merupakan tetangga dari unit i juga


39

memenuhi kondisi C, maka unit tersebut dijadikan sampel dan unit sampling yang bertetanggaan dengannya juga diperiksa. Jika unit yang bertetanggaan dengan tetangga unit i juga memenuhi kondisi C, maka unit tersebut juga dijadikan sampel dan seterusnya. Proses ini dinamakan proses penambahan sampel dan berhenti ketika unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel tidak memenuhi kondisi C. Dari proses penambahan sampel, unit i membentuk suatu kumpulan unit-unit sampling yang merupakan suatu network berukuran tertentu yang dinotasikan dengan Ai . Network Ai yang dibentuk oleh unit i, juga merupakan network dalam populasi. Oleh karena itu, jika unit i terpilih dalam sampel awal maka network Ai dapat dianggap sebagai network yang terpilih dalam sampel. Hal yang sama dengan unit i juga dilakukan terhadap unit sampling lain yang terpilih pada sampel awal. Jika unit sampling yang terpilih pada sampel awal tidak memenuhi kondisi C, maka proses penambahan sampel tidak dilakukan dan unit tersebut merupakan network berukuran satu. Kemudian, jika suatu sampel awal memenuhi kondisi C, tetapi unit-unit sampling tetangganya tidak memenuhi kondisi C, maka sampel awal tersebut merupakan network berukuran satu pula.

2.4.3 Penaksiran Mean Dan Total Populasi


40

Metode adaptive cluster sampling merupakan unequal probability sampling. Hal ini disebabkan karena semakin besar ukuran suatu network, maka probabilitas network tersebut terpilih sebagai sampel semakin besar. Taksiran untuk mean dan total yang dapat digunakan dalam kasus unequal probability sampling seperti ini adalah taksiran Horvitz-Thompson dan taksiran Hansen-Hurwitz.

2.4.3.1 Penaksiran Mean Dan Total Populasi Dengan Taksiran HorvitzThompson

Misalkan N adalah banyaknya unit sampling pada populasi, n1 adalah banyaknya sampel awal, K banyaknya network pada populasi,

 adalah

banyaknya network pada sampel,  k* adalah total pengukuran pada network ke k dalam populasi, y k* adalah total pengukuran pada network ke k dalam sampel,  i adalah total pengukuran pada unit ke i dalam populasi, y i adalah total pengukuran pada unit ke i dalam sampel, dan  k adalah probabilitas network ke k terpilih sebagai sampel. Taksiran Horvitz-Thompson untuk mean tersebut didefinisikan sebagai berikut :

ˆ 

1  y k*  N k 1  k

Bentuk  k dapat dicari sebagai berikut :


(2.4.1)

41

Misalkan x k adalah banyaknya unit sampling pada network ke k dan pk adalah probabilitas network ke k tidak terpilih sebagai sampel. Pada network ke k ada sebanyak x k unit sampling, sedangkan N  xk unit tidak berada pada network k. Sehingga banyaknya cara memilih n1 unit dari N  xk unit

 N  xk  adalah   , sedangkan banyaknya semua kemungkinan sampel adalah  n1 

N    , maka probabilitas network ke k tidak terpilih sebagai sampel adalah  n1   N  xk   N  pk      . Jadi, probabilitas network ke k terpilih sebagai sampel  n1   n1  adalah  N  x k    n1 

 k  1  pk  1  

 N     n1  

(2.4.2)

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ˆ pada (2.4.1) adalah taksiran tak bias untuk mean. Sebelumnya, didefinisikan zk adalah variabel indikator, yaitu

1, jika network ke k terpilih sebagai sampel zk   0, jika network ke k tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zk  1)   k dan E [ zk ]  0.Pr( zk  0)  1.Pr( zk  1)  1.Pr(network k terpilih menjadi sampel)  k

maka


42

 1  y*  E [ ˆ ]  E   k   N k 1  k   1 K  *z  E  k k  N k 1  k  

1 K  k* E [ zk ]  N k 1  k



1 K  k*  k  N k 1  k



1 K *  k N k 1



1 N  i N i 1



(2.4.3)

sehingga ˆ merupakan taksiran yang tak bias untuk mean. Untuk mencari variansi dari taksiran mean pada (2.4.1), terlebih dahulu akan dicari nilai dari var[ zk ] dan cov[ zk , zk ' ] , yaitu :

var[ zk ]  E [ zk 2 ]  [E [ zk ]]2  02.Pr( zk  0)  12.Pr( zk  1)   [E [ zk ]]2  k  k2   k (1   k ) E [ zk zk ' ] 

1

1

 zz

zk 0 zk ' 0

k

k'

(2.4.4)

Pr( zk , zk ' )

 1.1.Pr( zk  1, zk '  1)  Pr(network ke k dan network ke k' terpilih sebagai sampel)   kk '

cov[zk , zk ' ]  E [zk zk ' ]  E [zk ].E [zk ' ]   kk '   k  k ' Sehingga variansi dari (2.4.1) dapat ditentukan sebagai berikut


(2.4.5)

43

 1  y*  var[ ˆ ]  var   k   N k 1  k   1 K  *z   var   k k   N k 1  k   K  k* zk  1  2 var    N  k 1  k  1  2 N

K  K   * 2   k* k* ' k cov[ zk , zk ' ]     var[ zk ]     k 1 k '  k  k  k '  k 1  k  

1  2 N

K  K   * 2   k* k* ' k .  kk ' -  k  k '      . k (1-  k )     k 1 k '  k  k  k '  k 1  k  



  -     1  K * 2 (1-  k ) K      k* k* '  kk ' k k '   2  k N  k 1 k k 1 k '  k   k  k '  



1 N2

  kk ' -  k  k '  * *    k k '  k k ' k 1 k ' 1  K

K

 

(2.4.6)

dengan taksirannya adalah     kk ' - k  k '  * *  ˆ]  1 var[ y k y k ' 2   N k 1 k '1  k  k ' kk ' 

Bentuk  kk ' dapat dicari sebagai berikut : Misalkan : pkk '  P (network k dan network k ' tidak terpilih sebagai sampel), maka pkk '  P ( zk  1  zk '  1)  N  xk  xk '   N  =     n1    n1 

Kemudian, komplemen dari pkk ' adalah c c   pkk '  P ( zk  1  zk '  1) 

 P ( zk  1 zk '  1)


(2.4.7)

44

c dengan demikian, pkk ' adalah probabilitas network k atau network k’ terpilih

sebagai sampel, maka c pkk '  1  pkk '

 1  P ( zk  1  zk '  1)  N  xk  xk '   N   1     n1    n1  Jadi, probabilitas network k dan network k’ terpilih sebagai sampel adalah c  kk '   k   k '  pkk '

  N  xk   N      N  xk '   N      N  xk  xk '   N    1         1         1      n n n n1 1   1      1   n1        n1      N  x k   N  x k '   N  x k  x k '    1      n1   n1   n1  

N     n1 

(2.4.8)

 ˆ ] adalah taksiran tak bias Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa var[

untuk var[ ˆ] :     kk ' - k  k '  * *   ˆ]]  E  1 E [var[  2   y k y k '  N    k  1 k '  1  k k ' kk '     1 K K   -     E  2   kk ' k k '  k* k* ' zk zk '   N k 1 k '1   k  k ' kk '   1 K K   -    2   kk ' k k '  k* k* ' .E [ zk zk ' ] N k 1 k '1   k  k ' kk ' 

  kk ' - k  k '  * *  k k ' . kk ' k 1 k ' 1  k k ' kk '  1 K K   -    2   kk ' k k '  k* k* ' N k 1 k '1   k  k '   var[ ˆ] 

1 N2

K

K

   


(2.4.9)

45

maka taksiran variansi tersebut merupakan taksiran yang tak bias. Selanjutnya, taksiran Horvitz-Thompson untuk total adalah 

ˆ  N.ˆ   k 1

y k*

k .

Akan ditunjukkan bahwa ˆ adalah taksiran tak bias untuk total. Berdasarkan (2.4.3) diperoleh

E[ˆ]  E[N.ˆ]  N.E[ ˆ]  N   .

(2.4.10)

sehingga ˆ adalah taksiran tak bias untuk total. Variansi dari taksiran total adalah K K   -   var[ˆ]  var[N ˆ]  N 2 var[ ˆ]    kk ' k k '  k* k* '  k k '  k 1 k ' 1 

dan taksiran variansi     kk ' - k  k '  * *  ˆ]  var[  N ˆ]  N 2 var[  ˆ]  var[  y k y k ' .  k 1 k ' 1   k  k ' kk ' 

Akan ditunjukkan bahwa taksiran variansi tersebut adalah taksiran yang tak bias. Berdasarkan (2.4.9), diperoleh  ˆ]]  E [var[  N ˆ ]] E [var[  ˆ ]]  E [N 2 var[  ˆ ]]  N 2E [var[  N 2 var[ ˆ ]  var[N ˆ ]  var[ˆ]  ˆ] adalah taksiran tak bias untuk var[ˆ] . sehingga terbukti bahwa var[


(2.4.11)

46

2.4.3.2 Penaksiran Mean Dan Total Populasi Dengan Taksiran HansenHurwitz

Misalkan N adalah banyaknya unit sampling pada populasi, y i adalah total pengukuran pada unit ke i, dan m i adalah banyaknya unit sampling yang ada di network Ai . Taksiran Hansen-Hurwitz untuk mean didefinisikan sebagai berikut :

 

1 n yi  N i 1 E [fi ]

 

1 N  i fi  N i 1 E [fi ]

atau dapat ditulis sebagai : (2.4.12)

Kemudian, misalkan fi adalah banyaknya sampel awal yang ada di network Ai (network yang dibentuk oleh unit ke i). Dengan demikian, fi berdistribusi

hypergeometrik (Hyper[N, m i , n1 ]) dengan E [fi ]  n1mi N , dan persamaan (2.4.12) dapat ditulis sebagai berikut :

 

1 N  i fi  n1 i 1 mi

(2.4.13)

Taksiran pada persamaan (2.4.13) dinyatakan sebagai penjumlahan dari N unit sampling. Untuk mempermudah dalam perhitungan, persamaan


47

(2.4.13) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari n1 network yang terpilih sebagai sampel, yaitu ;

 

1 n1 1  n1 i 1 mi

y j Ai

j

1 n1  wi n1 i 1 w

(2.4.14)

dimana w i adalah rata-rata pengukuran di Ai yang terdiri dari m i unit. Akan dibuktikan bahwa  adalah taksiran tak bias untuk  , yaitu :  1 n1  E [  ]  E   w i   n1 i 1   1 n1 1  E  yj    n1 i 1 mi jAi  1 N f  E  i i  n1 i 1 mi  

1 N i  .E [fi ] n1 i 1 mi



1 N  i n1mi  . n1 i 1 mi N

1 N   i N i 1 

(2.4.15)

karena E[  ]   , maka  adalah taksiran tak bias untuk  . Dalam pemilihan sampel awal berukuran n1 digunakan SRS tanpa pengembalian. Berdasarkan konsep SRS dan persamaan (2.1.5) dan (2.1.6) variansi dan taksiran variansi dari  dapat diperoleh sebagai berikut : (2.4.15)


48

var[  ] 

N  n1 N 2 w i     Nn1(N  1) i 1

(2.4.16)

  ]  var[

N  n1 n1 2 w i     Nn1(n1  1) i 1

(2.4.17)

Dengan memisalkan  2 

n1 N 1 2 1 2 2 w   dan s    w i    ,   i (N  1) i 1 (n1  1) i 1

maka cara yang sama seperti (2.1.7) dan (2.1.8) dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa   ]]  var[  ] E [var[

(2.4.18)

  ] adalah taksiran tak bias untuk var[  ] . sehingga, var[

Selanjutnya, taksiran Hansen-Hurwitz untuk taksiran total adalah

  N. 

N n1 1  n1 i 1 mi

N n1 y j   w i  N.w  n1 i 1 j Ai

Akan ditunjukkan bahwa  adalah taksiran tak bias untuk total. Berdasarkan (2.4.15), diperoleh

E[]  E[N. ]  N.E[  ]  N   Sehingga ˆ adalah taksiran tak bias untuk total. Berdasarkan (2.4.16) dan (2.4.17), variansi dan taksiran variansi dari taksiran total dapat diperoleh sebagai berikut var[ ]  var[N  ]  N 2 var[  ] 

N  N  n1  n1(N  1)

N

 w i 1

i

 

2

n1   ]  var[  N  ]  N 2 var[   ]  N  N  n1  w   2 var[  i n1(n1  1) i 1 .


49

  ] adalah taksiran tak bias untuk var[] . Akan ditunjukkan bahwa var[

Berdasarkan (2.4.18), maka   ]]  E [var[  N  ]] E [var[   ]]  E [N 2 var[   ]]  N 2E [var[  N 2 var[  ]  var[N  ]  var[ ]   ] adalah taksiran tak bias untuk var[] . sehingga var[


BAB III TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING (2S-ACS)

Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai metode adaptive cluster sampling. Metode ini sangat berguna digunakan apabila elemen yang akan diteliti bersifat sangat jarang dan atau berkelompok. Akan tetapi, metode adaptive cluster sampling memiliki beberapa kelemahan, yaitu ada kemungkinan bahwa elemen pada sampel akhir yang terbentuk akan sangat banyak. Kelemahan berikutnya adalah memerlukan banyak usaha/tenaga dalam meneliti unit-unit sampling yang menjadi sampel awal karena ada kemungkinan unit-unit sampling tersebut terletak berjauhan. Hal ini menjadi suatu kesulitan jika daerah yang menjadi objek penelitian sangat luas. Oleh karena itu, pada bagian ini akan dijelaskan mengenai suatu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi kelemahan-kelemahan tersebut, yaitu metode two stage adaptive cluster sampling (2S-ACS). Berbeda dengan adaptive cluster sampling, pada two stage adaptive cluster sampling, daerah yang menjadi objek penelitian dibagi dahulu menjadi unit-unit primer yang diperkirakan homogen. Kemudian, masing-masing unit primer dibagi menjadi unit-unit sampling. Selanjutnya, ambil beberapa unit primer secara SRS dan dari unit primer yang terpilih, pilih unit sampling sebagai sampel awal (initial sample) secara SRS. Masing-masing sampel


51

awal diteliti apakah terdapat elemen dan memenuhi kondisi C. Jika dalam sampel awal terdapat elemen yang akan diteliti dan memenuhi kondisi C, maka unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel awal diperiksa. Jika pada unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel awal terdapat elemen dan memenuhi kondisi C, maka unit-unit tersebut dijadikan sampel. Lalu, unit yang bertetanggan dengan unit-unit yang memenuhi kondisi C juga diperiksa, jika memenuhi kondisi C maka unit tersebut dijadikan sampel pula. Proses ini dinamakan proses penambahan sampel. Dalam penambahan sampel, pada 2S-ACS ada dua skema yang dapat digunakan, yaitu skema overlapping dan skema nonoverlapping. Pada skema overlapping, proses penambahan sampel diperbolehkan melewati batas unit primer, dan proses penambahan sampel berhenti ketika tidak ada lagi unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel yang memenuhi kondisi C. Pada skema nonoverlapping, proses penambahan sampel tidak diperbolehkan melewati batas unit primer. Dengan demikian, pada skema nonoverlapping, proses penambahan sampel berhenti ketika tidak ada lagi unit-unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel yang memenuhi kondisi C atau ketika penambahan sampel telah mencapai batas unit primer. Sama halnya dengan adaptive cluster sampling, sampel yang diperoleh pada 2S-ACS merupakan network-network dengan ukuran tertentu. Jika suatu unit sampling yang terpilih pada sampel awal tidak memenuhi kondisi C, maka unit tersebut merupakan network berukuran satu. Kemudian, jika suatu unit sampling pada sampel awal memenuhi kondisi C,


52

tetapi unit-unit sampling tetangganya tidak memenuhi kondisi C, maka sampel awal tersebut merupakan network berukuran satu pula. Misalkan M adalah banyaknya unit primer pada populasi dan N i adalah banyaknya unit sampling pada unit primer ke i. Misalkan  ij menyatakan total pengukuran pada unit sampling ke j dalam unit primer ke i, maka total pengukuran pada unit primer ke i adalah  i   j i 1 ij , sedangkan N

total pengukuran pada populasi adalah    i 1  j i 1 ij   i 1 i . M

N

M

Selanjutnya, mean / rata-rata pengukuran pada unit primer ke i adalah

i   i Ni , sedangkan mean pengukuran pada populasi adalah    N , dimana N   i 1Ni yaitu banyaknya unit sampling pada populasi. Misalkan M

pula m adalah banyaknya unit primer yang terpilih sebagai sampel pada tahap pertama, ni adalah banyaknya unit sampling pada unit primer ke i (i = 1, 2, …, m) yang terpilih sebagai sampel awal pada tahap kedua, dan n0 adalah total sampel awal dimana n0   i 1 ni . m

Dalam hal penaksiran mean dan total, metode two stage adaptive cluster sampling merupakan unequal probability sampling. Jadi, taksiran Horvitz-Thompson dan taksiran Hansen-Hurwitz akan digunakan untuk menaksir mean dan total populasi pada masing-masing skema (skema overlapping dan skema nonoverlapping). 3.1 Skema Overlapping


53

Pada skema overlapping, proses penambahan sampel diperbolehkan melewati batas unit primer. Jadi, pada skema ini penambahan sampel berhenti ketika tidak ada lagi unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel yang memenuhi kondisi C. Dengan perkataan lain, penambahan sampel pada 2S-ACS dengan skema overlapping sama dengan penambahan sampel pada adaptive cluster sampling, walaupun cara pengambilan sampel kedua metode adalah berbeda. Oleh karena itu, bentuk taksiran HorvitzThompson untuk mean dan total pada skema overlapping sama dengan bentuk taksiran pada adaptive cluster sampling.

3.1.1 Penaksiran Mean Dan Total Populasi Dengan Taksiran HorvitzThompson

Misalkan N adalah banyaknya unit sampling pada populasi, K adalah banyaknya network pada populasi,  adalah banyaknya network pada sampel,  k* adalah total pengukuran pada network ke k dalam populasi, y k* adalah total pengukuran pada network ke k dalam sampel,  i adalah total pengukuran pada unit ke i dalam populasi, y i adalah total pengukuran pada unit ke i dalam sampel, dan  k adalah probabilitas network ke k terpilih sebagai sampel, maka taksiran Horvitz-Thompson untuk mean adalah


54

ˆ 

1  y k*  N k 1  k .

(3.1.1)

Sama halnya dengan (2.4.3), maka taksiran mean pada (3.1.1) adalah taksiran tak bias untuk mean. Lalu, variansi dan taksiran variansi dari taksiran mean sama seperti (2.4.6) dan (2.4.7), yaitu var[ ˆ] 

1 N2

  kk ' - k  k '  * *    k k '  k k ' k 1 k ' 1  K

K

 

    kk ' - k  k '  * *  ˆ]  1 var[ y k y k ' 2   N k 1 k '1   k  k ' kk ' 

(3.1.2) (3.1.3)

dimana  kj adalah probabilitas network ke k dan network ke k’ terpilih sebagai sampel. Berdasarkan (2.4.9), maka taksiran pada (3.1.3) adalah taksiran tak bias untuk (3.1.2). Selanjutnya, taksiran Horviz-Thompson untuk total adalah 

ˆ  N ˆ   k 1

y k*

k

sama halnya dengan (2.4.10), maka ˆ adalah taksiran tak bias untuk total. Kemudian, variansi dan taksiran variansi dari taksiran total adalah K K   -   var[ˆ]    kk ' k k '  k* k* '  k k '  k 1 k ' 1 

    kk ' - k  k '  * *  ˆ]  var[  y k y k '  k 1 k ' 1   k  k ' kk ' 

dan langkah seperti (2.4.11) dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa  ˆ] adalah taksiran tak bias untuk var[ˆ] . var[


55

Meskipun bentuk taksiran Horvitz-Thompson pada two stage adaptive cluster sampling dengan skema overlapping dan adaptive cluster sampling adalah sama, namun bentuk  k dan  kk ' pada kedua metode berbeda. Bentuk  k dan  kk ' akan dijelaskan sebagai berikut : Misalkan x ik adalah banyaknya unit sampling pada network ke k di dalam unit primer i, Bk adalah himpunan unit primer yang beririsan dengan network ke k, g k adalah banyaknya anggota himpunan Bk , Cik adalah kejadian bahwa paling sedikit satu unit sampling dari network ke k yang ada pada unit primer i, terpilih sebagai sampel awal, C k adalah kejadian bahwa paling sedikit satu unit sampling pada network ke k terpilih sebagai sampel awal, maka :

Ck 

C

ik

i Bk

sehingga

 k  Pr(Ck )  Pr(  Cik ) i Bk



 Pr(C

i Bk

ik

)   Pr(Cik  Ci ' k )  ...  ( 1)gk 1 Pr(  Cik ) i

i 'i

i Bk

Akan dicari terlebih dahulu bentuk dari Pr(  Cik ) . Misalkan s1 adalah i Bk

himpunan dari unit primer yang terpilih sebagai sampel pada tahap pertama. Jika, diberikan s1 kejadian Cik saling bebas, maka

  Pr(  Cik )   Pr   Cik | S1 .Pr(S1 )   S1 i Bk  iBk   Pr(S1 ).   Pr Cik | S1  S1 Bk i Bk


56

M  Karena Pr(S1 )  1   dan ada sebanyak m

 M  gk    cara bagi unit primer  m  gk 

i  Bk untuk berada dalam sampel, maka

M  Pr(  Cik )  1   .   Pr Cik | S1  i Bk  m  S1 Bk iBk  M  gk    m  gk     Pr Cik | S1   M  iBk   m

Sementara Pr Cik | S1  dapat diartikan pula sebagai probabilitas network ke k pada unit primer i terpilih sebagai sampel, maka untuk mencari bentuk Pr Cik | S1  dapat dilakukan cara yang sama seperti (2.4.2), sehingga

  Ni  xik    M  gk       m  gk  ni      Pr(  Cik )   1  N    M  iBk  i Bk i       m n    i   

Dengan cara yang sama seperti diatas, Pr(Cik  Ci ' k ) dapat ditentukan, yaitu :

M  2 Ada sebanyak   cara bagi unit primer i dan i’ untuk berada dalam m  2 sampel, sehingga


57

Pr(Cik  Ci ' k )   Pr Cik  Ci ' k | S1 .Pr(S1 ) S1

 Pr(S1 ).  Pr Cik  Ci ' k | S1  S1  i ,i '

M   1   .  Pr Cik | S1 .Pr Ci ' k | S1   m  S1 i ,i ' M  2 M      .Pr Cik | S1 .Pr Ci ' k | S1  m  2 m 

m(m  1)   Ni  xik   Ni     Ni '  xi ' k   Ni '   . 1       1      M (M  1)   ni   ni     ni '   ni '  

 M  1 Begitupun untuk mencari bentuk Pr(Cik ) . Karena ada sebanyak   cara  m  1 bagi unit primer i untuk berada dalam sampel, maka

Pr(Cik )   Pr Cik | S1 .Pr(S1 ) S1

 Pr(S1 ). Pr Cik | S1  S1  i

M   1   .  Pr Cik | S1   m  S1 i  M  1  M      .Pr Cik | S1   m  1  m  

m   Ni  xik   Ni   . 1      M   ni   ni  

Dengan demikian,


58

k 

 Pr(C

ik

i Bk

)   Pr(Cik  Ci ' k )  ...  ( 1)gk 1 Pr(  Cik ) i

i ' i

i Bk

  Ni  xik     Ni  xik     Ni '  xi ' k            m   ni   m(m  1)   ni     ni '    1   1 1  ...   Ni   i i 'i M (M  1)   Ni     Ni '   i Bk M             ni    ni     ni '       Ni  xik      ni   g k 1 m  m  1 ...( m  g k  1)    ( 1)  1  N   M  M  1 ...(M  g k  1) iBk  i     n  i   

(3.1.4)

Selanjutnya akan dicari bentuk  kk ' yaitu probabilitas network ke k dan ke k’ terpilih sebagai sampel. Misalkan Ckk ' adalah kejadian bahwa paling tidak satu unit sampling di dalam network ke k dan ke k’ yang ada di dalam unit primer i, terpilih sebagai sampel awal. Karena Ck 

C

ik

, maka

i Bk

    Ckk '    Cik     Cik '   iBk   iBk '  Sehingga   iB  k







 iBk '

  

 kk '  Pr    Cik     Cik '            Pr    Cik    Pr    Cik '    Pr    Cik     Cik '    iB   iB   iB      i Bk '   k   k'  k       k   k '  Pr    Cik     Cik '    iB    iBk '   k


59

    Sementara   Cik     Cik '    Cikk ' , yaitu kejadian bahwa paling tidak  iBk   iBk '  i Bkk ' satu unit sampling dari network ke k atau ke k’ yang ada di dalam unit primer

  i, terpilih sebagai sampel awal. Untuk mencari Pr   Cikk '  , dapat  iBkk '  digunakan cara yang sama ketika mencari Pr(  Cik ) , yaitu i Bk

  Pr   Cikk '    Pr(Cikk ' )   Pr(Cikk '  Ci ' kk ' )  ...  ( 1)gkk ' 1 Pr(  Cikk ' ) i i ' i i Bkk '  iBkk '  iBkk ' dimana Bkk ' adalah himpunan unit primer yang beririsan dengan network ke k atau ke k’, dan g kk ' adalah banyaknya anggota himpunan Bkk ' . Oleh karena

  itu, bentuk Pr   Cikk '  , sama seperti bentuk (3.1.4), dengan x ik diubah  iBkk '  menjadi xik  xik ' , sehingga diperoleh   Ni  ( xik  xik ' )        ni m   Pr   Cikk '    1  iB  iB M    Ni  kk '  kk '         ni    Ni  ( xik  xik ' )     Ni '  ( xik  xik ' )         ni ni ' m(m  1)        ...     1 1     Ni   Ni '  i i '  i M (M  1)         ni   ni '        Ni  ( xik  xik ' )      ni g kk ' 1 m  m  1 ...( m  g kk '  1)     ( 1) 1    M  M  1 ...(M  g kk '  1) iBkk '  Ni       ni   


60

Akhirnya diperoleh bentuk  kk ' sebagai berikut :

 kk '

   Ni  ( xik  xik ' )       ni m      k  k '    1   N M   i iBkk '         ni     Ni  ( xik  xik ' )     Ni '  ( xik  xik ' )         ni ni ' m(m  1)        ...   1 1      N N  i  i'  i i ' i M (M  1)            ni   ni '     Ni  ( xik  xik ' )        ni g kk ' 1 m  m  1 ...( m  g kk '  1)      ( 1) 1 (3.1.5)    M  M  1 ...(M  g kk '  1) iBkk '  Ni        ni    

Meskipun bentuk  k dan  kk ' sangat rumit, tetapi g k dan g kk ' biasanya kecil sehingga hanya beberapa suku yang dibutuhkan dalam perhitungan.

3.1.2 Penaksiran Mean Dan Total Populasi Dengan Taksiran HansenHurwitz

Misalkan y ij adalah total pengukuran pada unit sampling j di dalam unit primer i, pi adalah probabilitas unit primer ke i terpilih sebagai sampel dan pii ' adalah probabilitas unit primer ke i dan i’ terpilih sebagai sampel. Didefinisikan Aij yaitu network yang dibangun oleh unit sampling ke j dalam unit primer i, dan Aijl yaitu bagian dari network Aij yang ada di dalam unit


61

primer l. Misalkan fijl adalah banyaknya unit sampling pada sampel awal yang ada di network Aijl dan aijl adalah banyaknya unit sampling pada network Aijl . Dengan demikian, banyaknya sampel awal pada network Aij M

adalah fij .   fijl . Taksiran Hansen-Hurwitz untuk mean adalah l 1

 

1 m ni y ij  N i 1 j 1 E [fij . ]

(3.1.6)

Bentuk E[fij . ] dapat dicari sebagai berikut : Misalkan zl adalah variabel indikator, yaitu

1, jika unit primer ke l terpilih sebagai sampel zl  0, jika unit primer ke l tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zl  1)  pl . Jadi, apabila unit primer ke l tidak terpilih sebagai sampel maka fijl  0 , dan apabila unit primer ke l terpilih sebagai sampel maka fijl  Hyper (Nl , aijl , nl ) dengan E[fijl | zl  1]  nl aijl Nl , sehingga M

E [fij . ]   E [fijl ] l 1 M

  E [E [fijl | zl ]] l 1

  E [fijl | zl  0].Pr[ zl  0]  E [fijl | zl  1].Pr[ zl  1] M

l 1 M

  E [fijl | zl  1].Pr[ zl  1] l 1 M

nl aijl

l 1

Nl



.pl

M

  nl aijl pl Nl l 1


62

Nilai E[fij . ] adalah sama untuk setiap unit sampling pada network Aij , maka taksiran mean pada (3.1.6) dapat pula ditulis sebagai

 1 m  ni 1      y  i ' j '  N i 1  j 1 E [fij . ] ( i ', j ')Aij  

1 m ni Yij  N i 1 j 1 E [fij . ]

(3.1.7)

dimana Yij adalah total pengukuran pada network Aij . Diasumsikan bahwa banyaknya unit sampling pada unit primer i adalah sama, dan banyaknya unit sampling yang terpilih sebagai sampel awal pada masing-masing unit primer juga sama, maka nilai pi dan ni Ni untuk setiap unit primer adalah sama. Oleh karena itu, nilai ekspektasi dari

ni pi Ni

fij . menjadi E [fij . ] 



M

a , sehingga taksiran mean pada (3.1.7) dapat

l 1 ijl

ditulis sebagai berikut

 

1 m ni Yij  N i 1 j 1 E [fij . ]

Y Ni 1 m ni   Mij N i 1 j 1  aijl pi ni l 1



misalkan w ij  Yij Aij dan w i 

1 ni





ni

M

Ni 1  N i 1 pi ni m

ni

 j 1

Yij



M

a

l 1 ijl

a adalah mean / rata-rata pengukuran dari network

l 1 ijl

w ij adalah taksiran mean pada unit primer ke i, maka

j 1


63

  

1 m Ni  N i 1 pi ni

ni

w j 1

ij

1 m Ni w i  N i 1 pi

Lalu, karena pemilihan unit primer dilakukan secara SRS tanpa pengembalian, maka pi  m M , sehingga bentuk taksiran mean menjadi

 

1M m  Ni w i N m i 1

(3.1.8)

Kemudian, karena w i adalah taksiran mean pada unit primer ke i, maka N i w i adalah taksiran total pada unit primer ke i. Jadi, dengan memisalkan î  Ni w i , maka (3.1.8) dapat ditulis sebagai berikut

 

1M m î N m i 1

(3.1.9)

Taksiran mean pada (3.1.9) sama seperti bentuk taksiran mean pada persamaan (2.2.1) yang ada pada pembahasan Two Stage Sampling. Misalkan Wi   j i 1w ij adalah total pada unit primer ke i, Wi  Wi Ni N

Ni

(w ij  Wi )2

j 1

Ni  1

adalah mean pada unit primer ke i,    2 i

adalah variansi di

dalam unit primer ke i, W .   i 1Wi M adalah rata-rata per unit primer, dan M

(Wi  W .)2 adalah variansi antar unit primer. M 1 i 1 M

 u2  

Misalkan s1 adalah himpunan semua unit primer yang terpilih sebagai sampel. Akan ditunjukkan bahwa diberikan himpunan s1 , taksiran mean dan


64

total pada unit primer ke i adalah taksiran tak bias untuk mean dan total pada unit primer ke i. Dengan perkataan lain, akan ditunjukkan E[wi | s1]  Wi dan E [î | s1]  Wi sebagai berikut :

Misalkan zij adalah variabel indikator, yaitu :

1, jika unit sampling ke j pada unit primer ke i terpilih sebagai sampel zij   0, jika unit sampling ke j pada unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel

dimana Pr( zij  1| s1 )  1 E [w i | s1 ]  E   ni 1 E  ni

 w | s  ij 1 j 1 



ni



Ni



1 ni



Ni



1 ni



Ni



1 ni



Ni



1 ni



Ni



1 Ni



j 1

j 1

j 1

j 1

ni , maka Ni

 w z | s  ij ij 1 j 1 

w ij E [ zij | s1] w ij .0.Pr( zij  0 | s1 )  1.Pr( zij  1| s1) w ij .1.Pr( zij  1| s1 ) w ij .

Ni j 1

ni Ni

w ij

 Wi Ni  Wi E[î | s1]  E[Ni w i | s1]  Ni E[w i | s1]  NiWi  Wi Kemudian, akan

ditunjukkan bahwa  adalah taksiran tak bias untuk mean populasi. Misalkan zi adalah variabel indikator, yaitu :


65

1, jika unit primer ke i terpilih sebagai sampel zi   0, jika unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zi  1) 

n , sehingga N

E [  ]  E [E [  | s1 ]]  1 M m   E E  î | s1       N m i 1 1 M m  E E [î | s1 ]    N m i 1  1 E N 1 E N

M m  Wi   m i 1  M M  Wi zi   m i 1 



1M M Wi E [zi ] N m i 1



1M M Wi 0.Pr( zi  0)  1.Pr( zi  1) N m i 1



1M M Wi 1.Pr( zi  1) N m i 1



1M M m Wi  N m i 1 M



1 M Wi N i 1



 N



(3.1.10)

Jadi,  adalah taksiran tak bias untuk mean populasi Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.1.9), variansi dari  dapat dicari dengan menggunakan dekomposisi sebagai berikut var[  ]  var[E (  | s1 )]  E [var(  | s1 )]


66

bentuk pertama dari dekomposisi variansi dapat dicari sebagai berikut :   M m  var[E (  | s1 )]  var E  î | s1       Nm i 1 m  M   var  E [î | s1]    Nm i 1   M m   var  Wi    Nm i 1  M2 1 m   2 var   Wi  N  m i 1  M2 var W  N2 M 2  M  m   u2  2 . N  M  m 

 u2 1  2 M (M  m ) N m sedangkan bentuk kedua dari dekomposisi variansi dapat dicari sebagai berikut :   M m  E [var(  | s1 )]  E  var  î | s1     Nm i 1    M  2 m   E  var[î | s1]     Nm  i 1   M  2 m  i2   E  N ( N  n )  i   i i ni   Nm  i 1  M  2 M  i2   E  N ( N  n ) .zi  i   i i ni  Nm  i 1 


67

 M     Nm 

2 M

 M     Nm 

2 M

 Ni (Ni  ni ) i 1

 Ni (Ni  ni ) i 1

 i2 ni

.E [zi ]

 i2 m . ni M

 i2 1 M M  2  Ni (Ni  ni ) N m i 1 ni Jadi, variansi dari  adalah

var[  ] 

 u2 1 M M  i2 1 M (M  m )   Ni (Ni  ni ) n N2 m N 2 m i 1 i

(3.1.11)

karena bentuk (3.1.11) sama seperti (2.2.3) pada yang ada pada pembahasan two stage sampling, maka bentuk taksirannya juga sama seperti (2.2.4), yaitu :

su2 si2 1 1 M m  var[  ]  2 M(M  m)  2  Ni (Ni  ni ) N m N m i 1 ni dimana su2 



(3.1.12)



2 2 1 m m 1 ni 2 N w  N w m , dan s  w ij  w i  ,     i i i i 1 i i m  1 i 1 ni  1 j 1

untuk i= 1, 2,…,m. Dengan cara yang sama seperti pada pembahasan two stage sampling, dapat dibuktikan bahwa taksiran variansi pada (3.1.12)   ]]  var[  ] . adalah taksiran takbias untuk (3.1.11) atau E [var[

Selanjutnya, taksiran Hansen-Hurwitz untuk total adalah

  N. M m   Ni w i m i 1 


sedangkan variansi dan taksiran variansi dari taksiran total tersebut adalah


68

var[ ]  var[N. ]  M (M  m )

 u2 m



 i2 M M N ( N  n )  i i i n m i 1 i

  ]  var[  N. ] var[  M (M  m )

su2 M m s2   Ni (Ni  ni ) i m m i 1 ni

dengan mnggunakan cara yang sama seperti pada taksiran mean, dapat dibuktikan bahwa taksiran total dan taksiran variansi tersebut adalah taksiran tak bias untuk total dan variansi.

3.2 Skema Nonoverlapping

Pada skema nonoverlapping, proses penambahan sampel tidak diperbolehkan melewati batas unit primer. Dengan demikian, proses penambahan sampel berhenti ketika tidak ada lagi unit sampling yang bertetanggaan dengan sampel yang memenuhi kondisi C dan juga ketika penambahan sampel telah mencapai batas unit primer.

3.2.1 Penaksiran Mean Dan Total Populasi Dengan Taksiran HorvitzThompson

Misalkan N adalah banyaknya unit sampling pada populasi, K i adalah banyaknya network pada unit primer i,  i adalah banyaknya network pada


69

unit primer i yang terpilih sebagai sampel,  ik* adalah total pengukuran pada network k di dalam unit primer i pada populasi, y ik* adalah total pengukuran pada network k di dalam unit primer i pada sampel,  ik adalah probabilitas i

network k pada unit primer i terpilih sebagai sampel, dan î   y ik*  ik adalah k 1

taksiran total pada unit primer i, maka taksiran Horvitz-Thompson untuk mean adalah

ˆ1  

M m i y ik*  Nm i 1 k 1  ik M m î Nm i 1

(3.2.1)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada (2.4.2), akan diperoleh bentuk  ik sebagai berikut

 N  xik   Ni    ik  1  pik  1   i     ni   ni  

(3.2.2)

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa î adalah taksiran tak bias untuk total pada unit primer i. Misalkan s1 adalah himpunan unit primer dalam sampel, zik adalah variabel indikator, yaitu

1, jika network j pada unit primer i terpilih sebagai sampel zik   0, jika network j pada unit primer i tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zik  1| s1 )   ik , maka


70

 i y *  E [î | s1 ]  E   ik | s1   k 1  ik   Ki  * z   E   ik ik | s1   k 1  ik 

 ik*   .E [ zik | s1] k 1  ik Ki

 ik* .0.Pr( zik  0 | s1 )  1.Pr( zik  1| s1) k 1  ik Ki



 ik* .1.Pr( zik  1| s1 ) k 1  ik Ki



 ik*   . ik k 1  ik Ki

Ki

  ik* k 1

 i Jadi, î adalah taksiran tak bias untuk  i (total pada unit primer i). Kemudian, akan akan ditunukkan bahwa ˆ1 adalah taksiran tak bias untuk mean populasi. Misalkan zi adalah variabel indikator, yaitu

1, jika unit primer ke i terpilih sebagai sampel zi   0, jika unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zi  1) 

m , maka M


71

E [ ˆ1 ]  E [E [ ˆ1 | s1 ]]   M m   E E  î | s1       Nm i 1 m  M  E E [î | s1 ]   Nm i 1   M m  E  i   Nm i 1   M M  E  i zi    Nm i 1  

M M  i E [zi ] Nm i 1

M M m  i.  Nm i 1 M 

1 M  i N i 1



Jadi, ˆ1 merupakan taksiran tak bias untuk mean populasi. Untuk mencari variansi dari ˆ1 , sebelumnya akan dijelaskan dahulu i

* mengenai variansi dari î   y ik  ik , atau variansi dari network pada unit k 1

primer i, yaitu : Berdasarkan (2.4.4) dan (2.4.5), diperoleh var[ zik | s1 ]   ik (1   ik ) dan cov[( zik , zik ' ) | s1]   ikk '   ik  ik ' , sehingga


72

 i y *  var[î | s1 ]  var   ik | s1   k 1  ik  Ki *   z   var   ik ik | s1   k 1  ik  2

Ki *   * *    ik  var[ zik | s1]    ik ik ' cov[( zik , zik ' ) | s1] k 1   ik  k 1 k '  k  ik  ik ' Ki

2

Ki *      ik  ik '     ik   ik (1   ik )     ik*  ik* '  ikk '   ik  ik ' k 1   ik  k 1 k '  k   Ki Ki  1   ik  * *   ikk '   ik  ik '    ( ik* )2       ik ik '    ik  ik ' k 1   ik  k 1 k ' k   Ki

Ki Ki     ik  ik '      ik*  ik* '  ikk '   ik  ik ' k 1 k ' 1  

Dengan demikian, variansi dari ˆ1 dapat ditentukan sebagai berikut

var[ ˆ1 ]  var[E ( ˆ1 | s1 )]  E [var( ˆ1 | s1 )]   M m i y ik*    M m i y ik*   var E  | s  E var | s1       1   Nm i 1 k 1  ik    Nm i 1 k 1  ik    M m Ki  ik* zik    M m   var E  | s1    E  var  î | s1      Nm i 1      Nm i 1 k 1  ik  M  2 m   M m Ki  ik*   var  E [ z | s ]  E var  ˆ | s     ik 1  i 1      Nm  i 1   Nm i 1 k 1  ik   M 2 m  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *    M m Ki  ik*   var           . ik   E  Nm    ik  ik '  ik ik '   i 1  k 1 k ' 1   Nm i 1 k 1  ik    M 2 M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *    M m Ki *   var    E   ik ik '  .zi   ik         Nm Nm   i  1 k  1 i  1 k  1 k '  1    ik ik '       M m   M   var   i      Nm i 1   Nm  2

2 M

 Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *        .E [ zi ]   ik  ik '  ik ik '  i 1  k 1 k ' 1 

1 m   M  M     var   i     N  m i 1   Nm 

2 M

 Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *  m       .   ik  ik '  ik ik '  M i 1  k 1 k ' 1 


73

2

2 1 M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  M   M  m  u            2  N   M  m N m i 1  k 1 k '1  ik ik '

 * *   ik ik '   

 u2 1 1 M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *   2 M (M  m )   ik ik '        N m N 2 m i 1  k 1 k '1  ik ik '   Dengan demikian

var[ ˆ1 ] 

 u2 1 M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *  1 M ( M  m )   ik ik '      N2 m N 2 m i 1  k 1 k '1   ik  ik '  

( i   )2 1 M adalah variansi antar unit primer dan    i M 1 M i 1 i 1 M

2 dimana  u  

adalah rata-rata antar unit primer. Dengan memisalkan

 Ki Ki     ik  ik '  * *  Vi     ikk '  ik ik '  , variansi tersebut dapat ditulis sebagai berikut   k 1 k '1   ik  ik ' 

var[ ˆ1 ] 

 u2 1 M M 1 M ( M  m )  Vi N2 m N 2 m i 1

Taksiran dari variansi tersebut adalah 2 m  ˆ ]  1 M (M  m ) su  1 M V i var[  1 N2 m N 2 m i 1

m

dimana s   2 u

i 1

(î   i 1î m)2 m

m 1

(3.2.3)

  i  i     ik  ik '  * *  dan V i      ikk '  y ik y ik '  .    k  1 k '  1  ikk ' ik ik '   

Selanjutnya, dengan menggunakan cara yang sama seperti pada (2.4.8), akan diperoleh bentuk  ikk ' sebagai berikut

 N  xik   Ni  xik '   Ni  xik  xik '    Ni   ikk '  1   i      ni    ni   ni   ni  


(3.2.4)

74

 ˆ ] adalah taksiran tak bias Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa var[ 1

untuk var[ ˆ1 ] , yaitu :  ˆ ]]  E [E (var[  ˆ ] | s )] E [var[ 1 1 1   1 s2 1 M m   i  i     ik  ik '  * *      E E  2 M (M  m ) u  2     ikk '  y ik y ik '   | s1   m N m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '    N       1  1 M m  i i     ik  ik '  * *    s2  E E  2 M (M  m ) u | s1   E  2     ikk ' y ik y ik '  | s1     N m i 1 k 1 k '1   ikk ' ik  ik '   m   N        1 M m  i i       * *     1  s2 ik ik '  E E  2 M (M  m ) u | s1    E E  2     ikk ' y ik y ik '  | s1     m   N m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '    N   





2 1 M (M  m )   m m  E E  ˆ   ˆ m | s1      i  i 1 i 2 N (m  1)m   i 1     (*)    (I)



 1  M m  i i   ikk '   ik  ik '  * * E E y y | s    ik ik ' 1      N 2  m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '     (II)

Ada dua bagian yang akan dicari, pada bagian pertama (I) akan dicari dahulu bentuk (*) yaitu



 m m E E   î   i 1î m   i 1



2

 m   | s1    E E   î2  2î    i 1 



m

 

ˆ m 

i 1 i

m





ˆ m  | s1  

i 1 i

2

  m  1 m  m  1 m   E E  î2  2  î  î  m  î    i 1  m i 1  i 1  m i 1  

2



   | s1      

2 2   m  1 m  1 m    E E  î2  2  î    î   | s1   m  i 1  m  i 1     i 1    2   m  1 m    E E  î2   î   | s1   m  i 1     i 1    2   m   1  m  2  E E2  î | s1   E  î  | s1     i 1  m  i 1   

 1  m  2    m 2   E E  î | s1    E  E  î  | s1    m  i 1  i 1            (a)

(b)


75

bentuk (a) dan (b) dapat dicari sebagai berikut : (a)   m  m  E E  î2 | s1    E   E î2 | s1     i 1    i 1 m   2  E   E [î | s1 ]  var[î | s1 ]   i 1 





Ki Ki m      ik  ik '     E    i2    ik*  ik* '  ikk '    k 1 k ' 1  i 1    ik  ik '   

 m  Ki Ki     ik  ik '   m   E   i2   E     ik*  ik* '  ikk '    i 1   i 1  k 1 k '1   ik  ik '    M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '    M 2   E   i zi   E     ik ik '    .zi   i 1    ik  ik '     i 1  k 1 k '1 

m M 2 m M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '     ik ik '    i  M  M i 1 i 1   k 1 k '1   ik  ik '  

(b)



  var 





1 m m 1  E  E (  i 1î )2 | s1    E   E   i 1î | s1    m  m  

 ˆ | s1      2 m    i 1 var[î | s1 ]    2

m

i 1 i

m 1  E    i 1 E î | s1  m  K K 1 2 m m   i i * *   ikk '   ik  ik '      E    i 1 i   i 1   ik ik '       m    ik  ik '      k 1 k '1  2 1 m  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '     E  mˆ   i 1   ik ik '      m   ik  ik '     k 1 k '1 



 mE[ˆ 2 ] 





1  m  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '   E     ik ik '    m  i 1  k 1 k '1   ik  ik '  



 m E[ˆ]  var[ˆ]  2

1  M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '    E     ik ik '    .zi  m  i 1  k 1 k '1   ik  ik '   


76

2 2  1 M   M  m  u   m  E[  i 1 i zi ]       m   M  m       ik  ik '   1 M  Ki Ki   i 1   ik*  ik* '  ikk '  .E  zi  m   ik  ik '    k 1 k '1

  1 M 2  M  m   u2   m    i 1 i       M   M  m   

1 M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '     ik ik '     M i 1  k 1 k '1  ik ik '  

 m 



2

K K  M  m  2 1 M  i i * *   ikk '   ik  ik '        u M  i 1   ik ik '     M   k 1 k '1  ik ik '  

sehingga (*) menjadi





2  m m  E E   î   i 1î m | s1      i 1 m 2 m   1    E   E [î2 | s1]   E  E   i 1î | s1    m   i 1   m M      ik  ik '   m M  Ki Ki    i2     ik*  ik* '  ikk '   M i 1  k 1 k '1   ik  ik '    M i 1



  m  



2

K K   M  m  2 1 M  i i * *   ikk '   ik  ik '           u  i 1   ik ik '  M  M    ik  ik '    k 1 k '1

m M   i2  m  M i 1  



2

K K  M  m  2 m M  i i * *   ikk '   ik  ik '       u  M    ik ik '     M  i 1   k 1 k '1  ik ik '  

1 M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '      ik ik '    M i 1  k 1 j 1  ik ik '  

m M 2  i  M  M  i 1 





2

  m 2   1 M  u   

(m  1) M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '      ik ik '    M i 1  k 1 k '1  ik ik '  


77



m M 1 M m . . ( i   )2   u2   u2 M M  1 i 1 M 



(m  1) M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '      ik ik '    M i 1  k 1 k '1  ik ik '  

m m (m  1) M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '   .( M  1) u2   u2   u2     ik ik '    M M M i 1  k 1 k '1  ik ik '  

 m u2 

m 2 m (m  1) M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '    u   u2   u2     ik ik '    M M M i 1  k 1 k '1  ik ik '  

(m  1) M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '    m       ik ik '    M i 1  k 1 k '1  ik ik '   2 u

2 u

(m  1) M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '    ( m  1)     ik ik '    M i 1  k 1 k '1  ik ik '   2 u

     ik  ik '   1 M  Ki Ki  ( m  1)  u2     ik*  ik* '  ikk '   M i 1  k 1 k '1    ik  ik '  

maka bentuk (I) adalah



1 M (M  m )   m m E E   î   i 1î m 2 N (m  1)m   i 1



2

 | s1   



 2 1 M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '   1 M (M  m ) .( m  1)  u     ik ik '    N 2 (m  1)m M i 1  k 1 k '1    ik  ik '  



 u2 1  M  m  M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '   1 M ( M  m )    ik ik '    N2 m N2 m i 1    ik  ik '    k 1 k '1

Selanjutnya akan dicari bentuk kedua (II) yaitu :


78

 1  M m  i i   ikk '   ik  ik '  * * E E y y | s       ik ik ' 1  N 2  m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '    

 1  M m  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * * E   E     ik ik ' .zik zik ' | s1   2 N    m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik ' 



 1  M m  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * * E       ik ik ' .E [ zik zik ' | s1 ]   2 N  m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '   



 1  M m  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * * E   .        ik ik ' ikk '   N 2  m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '   



1  M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *   E       ik ik '  .zi  N 2  m i 1  k 1 k '1   ik  ik   



1 M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *   ik ik '  .E [ zi ]     N 2 m i 1  k 1 k '1   ik  ik '  



1 M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *  m  ik ik '  .     N 2 m i 1  k 1 k '1   ik  ik '   M



1 N2

 Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *          ik  ik '  ik ik '  i 1  k 1 k ' 1  M

maka, 2 Ki Ki M      ik  ik '     ˆ ]]   1 M (M  m )  u  1  M  m   E [var[  ik*  ik* '  ikk '       1 2 2 N m N m i 1    ik  ik '     k 1 k '1 

 1  2 N 

K K  i i * *   ikk '   ik  ik '      ik ik '      i 1   k 1 k '1   ik  ik '    M

 u2 1  M  M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '   1  2 M (M  m )   1    ik ik '   N m N 2  m  i 1  k 1 k '1   ik  ik '   1  2 N 

 Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '     ik ik '    i 1   k 1 k '1   ik  ik '   M

 u2 1 M M  Ki Ki * *   ikk '   ik  ik '   1 M ( M  m )     ik ik '    N2 m N 2 m i 1  k 1 k '1  ik ik '  

 var[ ˆ1]


79

 ˆ ]]  var[ ˆ ] maka var[  ˆ ] merupakan taksiran tak bias Jadi, karena E[var[ 1 1 1

untuk var[ ˆ1 ] . Selanjutnya, taksiran Horvitz-Thompson untuk total adalah

ˆ1  

M m i y ik*  m i 1 k 1  ik M m î m i 1

sedangkan variansi dan taksiran variansu untuk taksiran total tersebut adalah var[ˆ1 ]  var[N.ˆ1] M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *   M (M  m )       ik ik '  m m i 1  k 1 k '1   ik  ik '  

 u2

 ˆ ]  var[  N.ˆ ] var[ 1 1  M (M  m )

su2 M m  i i   ikk '   ik  ik '  * *        y ik y ik '  m m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '  

Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada taksiran mean, dapat ditunjukkan bahwa taksiran total dan taksiran variansi tersebut adalah taksiran tak bias untuk total dan variansi dari taksiran total.

3.2.2 Penaksiran Mean Dan Total Populasi Dengan Taksiran HansenHurwitz

Misalkan y ij adalah total pengukuran pada unit sampling j di dalam unit primer i, aij adalah banyaknya unit sampling pada network Aij , fij adalah


80

banyaknya sampel awal pada network Aij , pi adalah probabilitas unit primer ke i terpilih sebagai sampel, dan pij adalah probabilitas unit primer ke i dan j terpilih sebagai sampel. Taksiran Hansen-Hurwitz untuk mean didefinisikan sebagai berikut

1 

1 m ni y ij  N i 1 j 1 E [fij ]

(3.2.5)

Bentuk E [fij ] dapat dicari sebagai berikut : Misalkan zi adalah variabel indikator, yaitu

1, jika unit primer ke i terpilih sebagai sampel zi  0, jika unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel dimana Pr( zi  1)  pi . Jadi, apabila unit primer ke i tidak terpilih sebagai sampel maka fij  0 , dan apabila unit primer ke i terpilih sebagai sampel maka fij  Hyper (Ni , aij , ni ) dengan E [fij | zi  1] 

ni aij Ni

sehingga

E [fij ]  E [E [fij | zi ]]  E [fij | zi  0].Pr[ zi  0]  E [fij | zi  1].Pr[ zi  1]  E [fij | zi  1].Pr[ zi  1] 

ni aij Ni

.pi

 ni aij pi Ni Nilai E [fij ] adalah sama untuk setiap unit pada network Aij , maka taksiran mean pada (3.2.5) dapat pula ditulis sebagai


81

1  

 1 m  ni 1 y    i ' j '  N i 1  j 1 E [fij ] ( i ', j ')Aij  1 m ni Yij  N i 1 j 1 E [fij ]

(3.2.6)

dimana Yij adalah total pengukuran pada network Aij . Misalkan w ij#  Yij aij adalah mean dari network Aij , dan

w i# 

1 ni



ni

w ij# adalah taksiran mean pada unit primer ke i. Lalu, karena

j 1

E[fij ]  ni aij pi Ni maka taksiran mean pada (3.2.6) dapat ditulis sebagai

1  

1 m ni Yij  N i 1 j 1 E [fij ] 1 m ni Yij Ni  N i 1 j 1 aij ni pi

1 m N   i N i 1 pi ni

ni

j 1



Ni 1 1  N i 1 pi ni



Ni # 1 wi  N i 1 pi

m

Yij

a

ij

ni

w j 1

# ij

m

karena pemilihan unit primer dilakukan secara SRS tanpa pengembalian, maka pi  m M , sehingga

1 

1M m Ni w i#  N m i 1

(3.2.7)

Cara yang sama seperti (3.1.10) dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa

1 adalah taksiran tak bias untuk mean populasi.


82

Pada dasarnya, bentuk modifikasi taksiran Hansen-Hurwitz pada skema overlapping dan skema nonoverlapping adalah sama, tetapi pada skema nonoverlapping, network dibatasi oleh batas unit primer. Hal ini terlihat pada taksiran mean pada (3.1.8) dan (3.2.7), akan tetapi pada (3.1.8) simbol yang digunakan adalah w i , sedangkan pada (3.2.7) digunakan simbol w i# . Oleh karena bentuk taksiran mean pada (3.2.7) sama seperti (3.1.8),

maka bentuk variansi dan taksiran variansi dari (3.2.7) adalah sama seperti bentuk variansi dan taksiran variansi pada (3.1.11) dan (3.1.12), yaitu


(3.2.8)

su2 si2 1 1 M m  var[ 1]  2 M (M  m)  2  Ni (Ni  ni ) N m N m i 1 ni

(3.2.9)

var[ 1] 

dimana su2 





2 2 1 m m 1 ni # # 2 N w  N w m , dan s  w ij#  w i#  ,     i i i i 1 i i m  1 i 1 ni  1 j 1

untuk i= 1, 2,…,m. Untuk membuktikan bahwa taksiran variansi pada (3.2.9) adalah taksiran tak bias untuk (3.2.8), cara yang sama seperti pada skema overlapping dapat digunakan. Selanjutnya, taksiran Hansen-Hurwitz untuk total adalah

1  N.1 M m   Ni w i# m i 1


83

sedangkan variansi dan taksiran variansi dari taksiran total tersebut adalah

var[1]  var[N.1]

 u2

 i2 M M  M (M  m )   Ni (Ni  ni ) m m i 1 ni   ]  var[  N. ] var[ 1

1

 M (M  m )

su2 M m s2   N i (N i  n i ) i m m i 1 ni

Dengan cara yang sama seperti pada taksiran mean, taksiran total dan taksiran variansi tersebut adalah taksiran tak bias untuk total dan variansi dari taksiran total.


BAB IV CONTOH PENERAPAN METODE TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING

Pada pembahasan ini, akan dijelaskan suatu contoh penggunaan metode two stage adaptive cluster sampling untuk menaksir rata-rata berat jamur (dalam kg) per 100 meter persegi dan total berat jamur disuatu hutan. Jamur tersebut hidup berkelompok dan cukup sulit ditemukan. Misalkan hutan tersebut mempunyai luas 22.500 meter persegi dan dibagi menjadi sembilan unit primer, dimana masing-masing unit primer dibagi menjadi unit sampling sebanyak 25 unit, dengan masing-masing unit sampling seluas 100 meter persegi. Misalkan pada tahap pertama, dipilih empat unit primer sebagai sampel. Pada masing-masing unit primer, dipilih tiga unit sampling sebagai sampel awal. Dengan demikian, dalam contoh ini diperoleh M  9, Ni  25,

N  225, m  4, dan ni  3 . Dalam contoh ini, akan digunakan kondisi C  {y j | y j  0, j  1,2,..., N } . Selanjutnya setiap unit sampling yang terpilih

sebagai sampel awal tersebut diperiksa apakah memenuhi kondisi C atau tidak. Kedua skema (skema overlapping dan skema nonoverlapping) akan diterapkan dalam contoh ini dan juga kedua jenis taksiran (Horvitz-Thompson


85

dan Hansen-Hurwitz) akan digunakan untuk menaksir mean dan total populasi. 4.1 Skema Overlapping

Dengan menggunakan skema overlapping, sampel yang diperoleh dapat dilihat pada Gambar (4.1). Pada Gambar (4.1), unit primernya adalah kotak persegi yang dicetak tebal dan masing-masing unit primer diberi nomor pada pojok kanan unit primer. Sementara kota-kotak persegi sebanyak 225 menunjukkan unit sampling dengan angka-angka pada unit sampling menunjukkan total pengukuran pada unit sampling tersebut.

Gambar 4.1. Sampel Dengan Skema Overlapping Keterangan : : unit sampling yang terpilih sebagai sampel awal Berdasarkan Gambar 4.1, terlihat bahwa sampel yang diperoleh sebanyak 12 buah network. Dari 12 network pada sampel, ada sebuah


86

network berukuran 14, satu network berukuran 10, satu network berukuran 4, dan sembilan network berukuran satu. Masing-masing total pengukurannya * adalah y1*  300 , y 2*  180, y 3*  178 , dan y 4*  y 5*  ...  y12  0 . Kemudian,

akan dicari taksiran Horvitz-Thompson dan Hansen-Hurwitz untuk mean dan total.

4.1.1 Taksiran Mean Dan Total Dengan Taksiran Horvitz-Thompson

Telah disebutkan bahwa x ik adalah banyaknya unit sampling pada network ke k di dalam unit primer i, Bk himpunan unit primer yang beririsan dengan network ke k, dan g k adalah banyaknya unit primer yang beririsan dengan network ke k. Dengan demikian, x11  11, x41  3, x52  10, x93  4 B1  {1,4}, B2  {5}, B3  {9}

(4.1.1)

g1  2, g 2  1, g3  1

Selanjutnya akan dicari  1 ,  2 , dan  3 , sebagai berikut : Telah disebutkan bahwa Cik adalah kejadian bahwa salah satu unit sampling dari network ke k yang ada pada unit primer i, terpilih sebagai sampel awal. Kemudian, karena keadaan (4.1.1), maka berdasarkan bentuk (3.1.4), nilai  1 ,  2 , dan  3 dapat diperoleh sebagai berikut :


87

 1  Pr(C11  C41 )  Pr(C11 )  Pr(C41 )  Pr(C11  C41 ) 

4   25  11  25   4   25  3   25   . 1        . 1      9   3   3  9   3   3 

4.3   25  11  25     25  3   25   . 1       . 1      9.8   3   3     3   3    0.47461  2  Pr(C52 ) 

4   25  10   25   . 1      9   3   3   0.35652  3  Pr(C92 ) 

4   25  4   25   . 1      9   3   3   0.18744 

Dengan demikian, taksiran Horvitz-Thompson untuk mean dan total dapat diperoleh yaitu

ˆ 

1 3 y k*  225 k 1  k

1  300 180 178     225  0,47461 0,35652 0,18744   9,27385 ˆ  N.ˆ  2086,62 

Jadi, rata-rata berat jamur adalah 9,27385 kg per 100 meter persegi, sedangkan total berat jamur pada hutan tersebut adalah 2086,62 kg. Berikutnya akan dicari taksiran variansi dari taksiran mean tersebut. Sebelumnya, akan dicari dahulu nilai  12 ,  13 , dan  23 sebagai berikut :


88

Telah disebutkan bahwa Bkk ' adalah himpunan unit primer yang beririsan dengan network ke k atau network ke k’, g kk ' adalah banyaknya unit primer yang beririsan dengan network ke k atau network ke k’, dan xikk '  xik  xik ' adalah banyaknya unit sampling pada unit primer i yang beririsan dengan network ke k atau network ke k’. Dengan demikian,

B12  {1,4,5}, B13  {1,4,9}, B23  {5,9} g12  3, g13  3, g 23  2 x112  11, x412  3, x512  10

(4.1.2)

x113  11, x413  3, x913  4 x523  10, x923  4 Jadi, karena kondisi (4.1.2), maka berdasarkan bentuk (3.1.5), nilai

 12 ,  13 , dan  23 dapat diperoleh sebagai berikut

 12   1   2   m     iB12 M

  Ni  xi 12  1    ni   

  i



i ' i

 Ni      ni  

m( m  1)   Ni  xi 12  1    ni M (M  1)   

m(m  1)( m  2)   N1  x112  1    n1 M (M  1)(M  2)   

 Ni     Ni  xi '12     1    ni  ni     

 Ni      ni  

 N1     N4  x 412     1    n4  n1        N  x512  . 1   5  n5   

 N4      n4    N5         n5    

 12  0.47461  0.35652  { 94 (0.84174  0.33043  0.802174)  (0.04636  0.11254  0.044178)  0.010625}  0.14609


89

 13   1   3   m   Ni  xi 13   Ni    1        ni   iB13 M   ni m(m  1)   Ni  xi 13    1    i i '  i M (M  1)   ni  

m(m  1)(m  2)   N1  x113  1    M (M  1)(M  2)   n1 

 Ni     Ni  xi '13     1    ni  ni     

 Ni      ni  

 N1     N4  x413     1    n4  n1     

 N4      n4  

  N  x913  . 1   9  n9   

 N9        n9   

 13  0.47461  0.18744   {0.37411  0.14686  0.18744  (0.04636  0.05917  0.02323)  0.00559}  0.07681

 23   2   3   m   N5  x523   N5   m   N9  x923   N9    1        1        n5   M   n9   n9    M   n5 

m(m  1)   N5  x523   N5     N9  x923   N9    1       1       M (M  1)   n5   n5     n9   n9   

 23  0.31304  0.18744  {(0.31304  0.18744)  0.04951}  0.056385

sehingga taksiran variansi dari taksiran mean dan taksiran total adalah   kk ' - k  k '  * * y k y k ' k 1 k ' 1  k k ' kk '  1 3 3   kk ' - k  k '  * *  y k y k '   2252 k 1 k '1   k  k ' kk '  1  209919,0131  164023,7954  732778,79 2252 101005,1609  189983,4187  177574,8051

 ˆ]  var[

1 2252

12 12

   

 12,60559  ˆ]  N 2 .var[  ˆ]  638158,2138 var[


90

4.1.2 Taksiran Mean Dan Total Dengan Taksiran Hansen-Hurwitz

Telah dijelaskan bahwa Yij adalah total pengukuran pada network Aij . Berdasarkan Gambar 4.1, diperoleh bahwa Y11  300,

Y31  0, Y51  180,

Y91  178,

Y12  0,

Y32  0, Y52  0,

Y92  0,

Y13  0,

Y33  0, Y53  0,

Y93  0,

Untuk mencari taksiran mean dan total dengan taksiran Hansen-Hurwitz, terlebih dahulu akan ditentukan w ij  Yij



M

a

l 1 ijl

dan w i 

1 ni



ni

w ij sebagai

j 1

berikut :

w11  21,42857

w 31=0

w 51  18

w 91  44,5

w12  0

w 32  0

w 52  0

w 92  0

w13  0

w 33  0

w 53  0

w 93  0

w1  7,14286

w3  0

w5  6

w 9  14,83

Dengan demikian, taksiran Hansen-Hurwitz untuk mean dan total dapat diperoleh sebagai berikut

1M m  Ni w i N m i 1 9.25  (7,14286  0  6  14.83) 225.4  6,99405   N.  1573,661

 


91

Jadi, rata-rata berat jamur adalah 6,99405 kg per 100 meter persegi, sedangkan total berat jamur pada hutan tersebut adalah 1573,661 kg. Selanjutnya akan dicari taksiran variansi dari taksiran mean dan total 2 1 ni w ij  w i  i = 1, 3, 5, 9 tersebut. Sebelumnya akan dicari dahulu s    ni  1 j 1 2 i

dan su2 



1 m m Ni w i   i 1Ni w i m  m  1 i 1



2

sebagai berikut :

1 (21,42857  7,1428571)2  (0  7,1428571)2  (0  7,1428571)2 2  153,06122

s12 





s32  0 1 (18  6)2  (0  6)2  (0  6)2 2  108

s52 





1 (44,5  14,83)2  (0  14,83)2  (0  14,83)2 2  660,083

s92 





1 m 25 Ni w i  (7,14286  0  6  14,83)  174,8512  m i 1 4





2 1 m m Ni w i   i 1 Ni w i m  m  1 i 1 2 2 1   25  7,14286   174,8512    25  0   174,8512  3

su2 



2

  25  6   174,8512   25 14,83   174,8512

2



 23204,4537

Jadi, taksiran variansi dari taksiran mean dan taksiran total dapat dicari dengan menggunakan bentuk (3.1.12), yaitu


92

2 2 m   ]  1 M (M  m ) su  1 M N (N  n ) si var[  i i i n N2 m N 2 m i 1 i

1  23204,4537 9.25.22 9.5.  153,06122  0  108  660,083  2  225  4 4.3   12,66168   ]  N 2 .var[   ]  641022,2337 var[ 

Dengan menggunakan skema overlapping, hasil taksiran yang diperoleh adalah sebagai berikut :

Tabel 4.1. Hasil Taksiran Pada Skema Overlapping Taksiran Horvitz-Thompson Taksiran Hansen-Hurwitz

ˆ  9,27385

  6.99405

 ˆ]  12,60559 var[

  ]  12,66217 var[

ˆ  2086,616

  1573,661

 ˆ]  638158,2138 var[

 ]  641022,2337 var[

Dari contoh terlihat bahwa untuk skema overlapping, ternyata taksiran Horvitz-Thompson sedikit lebih efisien dibandingkan taksiran HansenHurwitz.


93

4.2 Skema Nonoverlapping

Apabila skema nonoverlapping digunakan dalam penelitian ini, maka sampel yang diperoleh adalah sebagai berikut

Gambar 4.2. Sampel Dengan Skema Nonoverlapping Jumlah network yang diperoleh pada skema ini adalah sama dengan jumlah network yang diperoleh pada skema overlapping, namun pada skema ini ukuran network pertama adalah 11 sedangkan pada skema overlapping ukuran network pertamanya adalah 14. Misalkan y ik* adalah total pengukuran dari network ke k yang ada pada unit primer i. Kemudian, total * * pengukuran pada masing-masing network adalah y11  200 , y 52  180, * y 93  178 , sedangkan total pengukuran dari sembilan network lainnya adalah

nol.


94

4.2.1 Taksiran Mean Dan Total Dengan Taksiran Horvitz-Thompson

Untuk menentukan taksiran mean dan total dengan taksiran Horvitz_Thompson, terlebih dahulu akan dicari nilai dari  11 ,  52 , dan  93 dengan menggunakan persamaan (3.2.2), yaitu  25  11  25      0,84174  3  3  25  8   25   1      0,80217  3  3

 11  1    52

 25  4   25      0,42174  3  3

 93  1  

Dengan demikian, taksiran Horvitz-Thompson untuk mean dan total adalah

ˆ1 

M m i y ik*  Nm i 1 k 1  ik

9  200 180 178      225.4  0,84174 0,80217 0,42174   8,84055 ˆ1  N.ˆ1  1989,125 

Jadi, rata-rata berat jamur adalah 8,84 kg per 100 meter persegi, sedangkan total berat jamur pada hutan tersebut adalah 1989,125 kg. Selanjutnya untuk mencari taksiran variansi dari taksiran mean dan taksiran total yang ada pada persamaan (3.2.3), terlebih dahulu akan dicari m (ˆ  ˆ m)2  i 2     i 1 i nilai V 1 , V 3 , V 5 , V 9 dan su   sebagai berikut : m 1 i 1 m


95

3 3     1k  1k '  * * V 1    1kk '  y1k y1k ' k 1 k ' 1   1kk ' 1k  1k '      11 11  * 2   111  y11   111 11 11 

V 3  0

 

 1   11  *   y11 2   11   8934,66976

 

2

3 3    5k 5k '  * * V 5    5 kk '  y 5k y 5k ' k 1 k ' 1   5 kk ' 5 k  5 k ' 

    52 52  *   522  y 52   522 52 52 

 

 1   52  *   y 52 2   52   9960,73766

 



m

 

 1   92  *   y 92 2   92   103009,2

 

2

2

2

1 4  221,0139

m

s  i 1



    92 92  *   922  y 92   522 52 52 

2

ˆ m  (237,60331  0  224,39024  422,06186)

i 1 i

2 u

3 3    9k 9k '  * * V 9    9 kk '  y 9k y 9k ' k 1 k ' 1   9 kk ' 9 k  9 k ' 

(î   i 1î m )2 m

m 1

1 (237,60331  221,0139)2  (0  221,0139)2  (224,39024  221,0139)2 3



(422,06186  221,0139)2



 29851,34

Dengan demikian, taksiran variansi dari taksiran mean dan total dapat diperoleh sebagai berikut


96

2 m  ˆ ]  1 M (M  m ) su  1 M V i var[  1 N2 m N 2 m i 1

1  29851,34 9  9.5.  .  8934,66976  0  9960,73766  103009,2   2  225  4 4   12,05161  ˆ ]  N 2 .var[  ˆ ]  610112,9881 var[ 

1

1

4.2.2 Taksiran Mean Dan Total Dengan Taksiran Hansen-Hurwitz

Dengan menggunakan skema nonoverlapping, diperoleh total pengukuran network sebagai berikut: Y11  200,

Y31  0, Y51  180,

Y91  178,

Y12  0,

Y32  0, Y52  0,

Y92  0,

Y13  0,

Y33  0, Y53  0,

Y93  0,

Kemudian akan dicari w ij#  Yij aij dan w i# 

1 ni



ni

w ij# , sebagai berikut :

j 1

# w11  18,18182

# w31 0

# w51  18

# w91  44,5

# w12 0

# w32 0

# w52 0

# w92 0

# w13 0

# w 33 0

# w 53 0

# w 93 0

w1#  6,06061

w 3#  0

w 5#  6

w9#  14,83

Maka taksiran Hansen-Hurwitz untuk mean dan total dapat dicari sebagai berikut


97

1M m  Ni w i# N m i 1 9.25  .  6,06061  0  6  14,83  225.4  6,72348 1  N.1  1512,784

1 

Jadi, rata-rata berat jamur adalah 6,72348 kg per 100 meter persegi, sedangkan total berat jamur pada hutan tersebut adalah 1512,784 kg. Selanjutnya akan dicari taksiran variansi dari taksiran mean dan total tersebut. Sebelumnya akan dicari dahulu variansi antar unit sampling pada unit primer ke 1, 3, 5, dan 9 dengan menggunakan bentuk

si2 

1 ni w ij#  w i#  ni  1 j 1





2

, i = 1, 3, 5, 9, dan su2 



1 m m Ni w ij#   i 1Ni w ij# m  m  1 i 1

sebagai berikut : 1 (18,18182  6,06061)2  (0  6,06061)2  (0  6,06061)2 2  110,19284

s12 





s32  0 1 (18  6)2  (0  6)2  (0  6)2 2  108 1 s92  (44,5  14,83)2  (0  14,83)2  (0  14,83)2 2  660,083 s52 

 





1 m 25 Ni w i#  (6,06061  0  6  14,83)  168,0871  m i 1 4




2

98





2 1 m m Ni w ij#   i 1 Ni w ij# m  m  1 i 1 2 2 1   25  6,06061  168,0871   25 0   168,0871 3

su2 



2

  25  6   168,0871   25 14,83   168,0871

2



 23320,3603

Jadi, taksiran variansi dari taksiran mean dan taksiran total dapt ditentukan dengan menggunakan bentuk (3.1.12), yaitu 2 2 m   ]  1 M (M  m ) su  1 M N (N  n ) si var[  i i i n 1 N2 m N 2 m i 1 i

1  23320,3603 9.25.22 9.5.  110,19284  0  108  660,083  2  225  4 4.3   12,33863   ]  N 2 .var[   ]  624642,9741 var[ 

1

1

Dengan menggunakan skema nonoverlapping, hasil taksiran yang diperoleh sebagai berikut: Tabel 4.2. Hasil Taksiran Pada Skema Nonoverlapping Taksiran Horvitz-Thompson Taksiran Hansen-Hurwitz

ˆ1  8,84055

1  6,72348

 ˆ ]  12,05161 var[ 1

  ]  12,33863 var[ 1

ˆ1  1989,125

1  1512,784

 ˆ ]  610112,9881 var[ 1

  ]  624642,9741 var[ 1

Dengan skema nonoverlapping, taksiran Horvitz-Thompson lebih baik dibandingkan taksiran Hansen-Hurwitz.


99

Berdasarkan contoh tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa untuk kedua skema, taksiran Horvitz-Thompson lebih efisien daripada taksiran Hansen-Hurwitz. Kemudian, taksiran Horvitz-Thompson dan taksiran Hansen-Hurwitz pada skema Nonverlapping menghasilkan taksiran variansi yang lebih kecil daripada skema Overlapping, sehingga pada contoh ini skema Nonverlapping lebih efisien daripada skema Overlapping. Walaupun demikian, hal ini tidak selalu terjadi, karena secara umum antara kedua jenis taksiran tersebut tidak ada yang lebih efisien secara seragam. Begitupun mengenai skema yang digunakan, skema mana yang lebih baik tidak dapat dibandingkan, karena pemilihan skema ditentukan oleh keadaan lapangan. Akan tetapi, berdasarkan berbagai macam penelitian yang telah dilakukan dan juga berdasarkan literatur-literatur yang telah ada (Thompson and Seber, 1996; Roesch, 1993; M. Salehi, 2003), menyarankan bahwa taksiran Horvitz-Thompson dengan skema Nonoverlapping cenderung lebih efisien untuk berbagai macam situasi.


BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan pada BAB III, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Pada metode two stage adaptive cluster sampling, ada dua skema yang dapat digunakan yaitu skema overlapping dan skema nonoverlapping. Pada skema overlapping, proses penambahan sampel diperbolehkan melewati batas unit primer, sedangkan skema nonoverlapping, proses penambahan sampel tidak diperbolehkan melewati batas unit primer 2. Berikut adalah taksiran tak bias untuk mean dan total populasi, dengan variansi dan taksiran variansinya yang tak bias pula : 

Skema Overlapping, dengan taksiran Horvitz-Thompson

1  y k* ˆ   N k 1  k var[ ˆ] 

1 N2

 ˆ]  1 var[ N2



ˆ   k 1

y k*

k

 

  kk ' - k  k '  * *    k k '  k k ' k 1 k ' 1 

K K   -   var[ˆ]    kk ' k k '  k* k* '  k k '  k 1 k ' 1 

  kk ' - k  k '  * *  y k y k '  k 1 k ' 1   k  k ' kk ' 

    kk ' - k  k '  * *  ˆ]  var[  y k y k '  k 1 k ' 1   k  k ' kk ' 

K



K




101



Skema Overlapping, dengan taksiran Hansen-Hurwitz :

 

1M m  Ni w i N m i 1

var[  ] 

 



su2 s2 1 1 M m  var[  ]  2 M(M  m)  2  Ni (Ni  ni ) i N m N m i 1 ni var[ ]  M (M  m )

 u2 m



 i2 M M N ( N  n )  i i i n m i 1 i

su2 M m si2  var[ ]  M (M  m )   Ni (Ni  ni ) m m i 1 ni



Skema Nonoverlapping, dengan taksiran Horvitz-Thompson :

ˆ1 

M m i y ik* M m   î Nm i 1 k 1  ik Nm i 1

var[ ˆ1] 

ˆ1 

M m i y ik* M m   î m i 1 k 1  ik m i 1

 u2 1 M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *  1 M ( M  m )   ik ik '      N2 m N 2 m i 1  k 1 k '1   ik  ik '  

2 i i m   ikk '   ik  ik '  * *   ˆ ]  1 M (M  m) su  1 M  var[   y ik y ik '    1 2 2 N m N m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '  

M M  Ki Ki   ikk '   ik  ik '  * *  var[ˆ1]  M (M  m )       ik ik '  m m i 1  k 1 k '1   ik  ik '  

 u2

su2 M m  i i   ikk '   ik  ik '  * *   var[ˆ1]  M (M  m)       y ik y ik '  m m i 1  k 1 k '1   ikk ' ik  ik '  


102



Skema Nonoverlapping, dengan taksiran Hansen-Hurwitz :

1 

1M m Ni w i#  N m i 1

var[ 1] 

1 

M m Ni w i#  m i 1


su2 si2 1 1 M m  var[ 1]  2 M(M  m)  2  Ni (Ni  ni ) N m N m i 1 ni var[1 ]  M (M  m )

 u2 m



 i2 M M N ( N  n )  i i i n m i 1 i

su2 M m si2  var[1 ]  M (M  m )   Ni (Ni  ni ) m m i 1 ni

3. Dalam penelitian dimana elemen yang diteliti bersifat sangat jarang atau saling berkelompok, 2S-ACS lebih baik untuk digunakan dibandingkan dengan metode konvensional dan adaptive cluster sampling, karena : 

Data yang diperoleh pada 2S-ACS akan lebih memadai dibandingkan metode konvensional, karena pada 2S-ACS dilakukan proses penambahan sampel dari unit-unit tetangga sampel awal yang memenuhi suatu kondisi tertentu.



2S-ACS lebih efektif dalam hal meneliti unit sampling yang terpilih sebagai sampel awal, dibandingkan adaptive cluster sampling. Hal ini disebabkan karena pada 2S-ACS, pemilihan sampel awal hanya


103

dilakukan pada unit sampling yang berada di dalam unit primer yang terpilih pada tahap pertama, sehingga sampel awal tidak terlalu menyebar dan peneliti lebih mudah untuk meneliti sampel awal tersebut. Dengan demikian, meskipun wilayah penelitian sangat luas, tetapi usaha/tenaga yang dibutuhkan akan lebih sedikit dibandingkan metode adaptive cluster sampling.

5.2 Saran

1. Pembahasan pada tugas akhir ini dapat dilanjutkan dengan membahas taksiran Rao-Blackwell untuk mean dan total pada metode Adaptive cluster sampling dan Two stage adaptive cluster sampling. Dengan menggunakan taksiran Rao-Blackwell, akan dihasilkan variansi yang lebih kecil dibandingkan dengan taksiran HorvitzThompson dan taksiran Hansen-Hurwitz.

2. Ada baiknya dipelajari mengenai perbandingan antara taksiran Hansen-Hurwitz dan taksiran Horvitz-Thompson untuk adaptive cluster sampling.


104

DAFTAR PUSTAKA

Agustianto, Ikrar Aulia. (2001). Menaksir Parameter Populasi dengan Metode Adaptive Cluster Sampling. Departemen Matematika FMIPA-UI, Depok. Cochran, W. G. (1997). Sampling Techniques (Ed. Ke-3). New York: Wiley. Hogg, R. V. dan Craig, A. T. (1995). Introduction to Mathematical Statistics (Ed. Ke-5). New Jersey: Prentice Hall Inc. Mendenhall, W., Ott, L., dan Scheaffer, R. L. (1996). Elementary Survey Sampling (Ed. Ke-5). Boston: Wadsworth. Raj, Des. (1968). Sampling Theory. New York: McGraw-Hill. Salehi, M. M. dan Seber, G. F. A. (1997). Two Stage Adaptive Cluster Sampling. Biometrics. Vol. 53, 959-970. Thompson, S. K. (1990). Adaptive Cluster Sampling. Journal of The American Statistical Association. Vol. 85, 1050-1059. Thompson, S. K. (2002). Sampling (Ed. Ke-2). New York: Wiley. Thompson, S. K. and Seber, G. A. F. (1996). Adaptive Sampling. New York: Wiley. Yamane, Taro. (1967). Elementary Sampling Theory. New York: Prentice Hall.


LAMPIRAN 1 Double Ekspektasi

Jika X 1 dan X 2 adalah variabel random (bertipe diskrit/kontinu), maka dapat ditunjukkan bahwa : E [ X 2 ]  E [E [ X 2 | X1]]

Bukti : Misalkan X 1 dan X 2 adalah variabel random bertipe diskrit yang memiliki pdf bersama f ( x1, x 2 ) , pdf marginal dari X 1 adalah f1( x1 )   f ( x1, x2 ) , dan pdf x1

marginal dari X 2 adalah f2 ( x2 )   f ( x1, x2 ) , maka x2

E [ X 2 ]   x2f ( x1, x2 ) x1

x2

 f ( x1, x2 )      x2  f1( x1 ) f1( x1 )  x1  x2       x2f ( x1 | x2 ) f1( x1 ) x1  x2    E [ X 2 | x1 ]f1( x1 ) x1

 E [E [ X 2 | X1]]

Jadi, terbukti bahwa E [ X 2 ]  E [E [ X 2 | X1]] . Hal yang sama dapat dilakukan untuk variabel random jenis kontinu.


106

LAMPIRAN 2 Dekomposisi Variansi

Jika X 1 dan X 2 adalah variabel random (bertipe diskrit/kontinu), maka dapat ditunjukkan bahwa : var[ X 2 ]  E  var[ X 2 | X1]   var  E[ X 2 | X1] 

Bukti : var[ X 2 ]  E[ X 22 ]  {E[ X 2 ]}2

Berdasarkan pembuktian pada lampiran 1, diperoleh :

var[ X 2 ]  E [E [ X 22 | X1]]  E [E [ X 2 | X1]]

2

2 2 2  E [E [ X 22 | X1]]  E  E [ X 2 | X1]    E  E [ X 2 | X 1]    E [E [ X 2 | X 1]]    





2 2 2  E [E [ X 22 | X1]]  E  E [ X 2 | X1]    E  E [ X 2 | X 1]    E [E [ X 2 | X 1]]    



 E E [ X 22 | X1]   E [ X 2 | X1] 

2

  E E[ X

2

2 2 | X1 ]    E [E [ X 2 | X1]] 

 E  var[ X 2 | X1]   var  E [ X 2 | X1]  Jadi, terbukti bahwa jika X 1 dan X 2 adalah variabel random, maka var[ X 2 ]  E  var[ X 2 | X1]   var  E[ X 2 | X1]  .






TAKSIRAN MEAN DAN TOTAL PADA TWO STAGE ADAPTIVE CLUSTER SAMPLING MAYRAMADAN MADYA PUTRA

Recommend Documents