Szigma, XL. (2009)

Szigma, XL. (2009) 3-4.

81

Ä ONT Ä } KOSZ O

Kedves Olvas¶ o! Ä a foly¶ A SZIGMA Szerkeszt}o Bizotts¶aga nev¶eben tisztelettel kÄ oszÄ onti Ont oirat u ¶jonnan kinevezett f}oszerkeszt}oje. Munk¶ amat igyekszem hasonl¶ o lelkiismeretess¶eggel ¶es szakmais¶aggal v¶egezni, mint azt el} odeim tett¶ek. Martos B¶ela professzor nemzetkÄozileg is elismert eredm¶enyei, kutat¶ asi tapasztalata, a tudom¶any ir¶anti tisztelete, h¶ usz ¶eves kitart¶ o f} oszerkeszt} oi munk¶ aja kiv¶ al¶ o alapot jelentettek egy olyan m} uhely l¶etrejÄ ott¶ehez, melyb} ol a megszÄ ulet} o munk¶ ak min}os¶ege a gazdas¶agi tudom¶anyos ¶elet ¶elvonal¶ aba emelte a lapot. Ezt a munk¶at folytatta VÄorÄos J¶ozsef professzor, melynek eredm¶enyek¶ent m¶ ara a SZIGMA a gazdas¶agtudom¶any egyik legjelent} osebb hazai magyar nyelv} u hordoz¶oja lett. Az ut¶odokra, els}osorban a f} oszerkeszt} ore pedig az a munka h¶ arul, hogy tov¶abb ¶apolj¶ak e hagyom¶ anyt, ¶es ahol lehet, biztos¶³ts¶ ak a tov¶ abbi fejl}od¶es lehet}os¶eg¶et. Ennek ¶erdek¶eben szeretn¶em, ha a SZIGMA sok sz¶³nvonalas cikket kÄ ozÄ olhetne, azokat sokan olvasn¶ak ¶es sokat besz¶eln¶enek az itt megjelent tanulm¶anyokr¶ol. Ezt a c¶elt szolg¶ alja a Fogalmak ¶es m¶ odszerek c¶³m} u rovat u ¶jraind¶³t¶asa rem¶elve, hogy az itt megjelen} o ismertet¶esek megkÄ onny¶³tik a megjelen}o tanulm¶anyok feldolgoz¶as¶at. Ehhez h¶³vunk meg minden kedves Olvas¶ ot annak rem¶eny¶eben, hogy alkot¶as¶aval, hozz¶asz¶ol¶as¶aval, vagy szerkeszt} os¶egÄ unknek kÄ uldÄ ott lev¶elben kifejtett v¶elem¶eny¶evel hozz¶aj¶arul ehhez a sikerhez, ¶es tov¶ abbra is seg¶³ti, hogy a SZIGMA ¶elvonalbeli lap maradjon. KÄ ulÄon kÄoszÄonet illeti a Magyar Tudom¶ anyos Akad¶emia IX. oszt¶ aly¶ anak vezet}oit, akik seg¶³ts¶eg¶evel az MTA biztos¶³tja a SZIGMA technikai szerkeszt¶es¶enek kÄolts¶egeit.

Bessenyei Istv¶ an [email protected] F} oszerkeszt} o

Szigma, XL. (2009) 3-4.

83

1 ¶ ¶ O ¶ CEGEKKEL ¶ OLIGOPOLIUMOK KOOPERAL

¶ FEUER GABOR { SZIDAROVSZKY FERENC G. Feuer Ges.m.b.H. { Arizonai Egyetem

R¶eszlegesen kooper¶al¶o csoporttal rendelkez} o oligopol modellt vizsg¶ alunk, amikor a versenyhivatal a piaci ¶ar nÄoveked¶ese alapj¶ an kÄ ovetkeztet a kooper¶ aci¶ o megl¶et¶ere. A v¶allalatok optim¶alis kooper¶ aci¶ os szintj¶et hat¶ arozzuk meg, amely maxim¶alis kooper¶aci¶ot biztos¶³t an¶elkÄ ul, hogy a versenyhivatal gyan¶ ut fogna ¶es vizsg¶alatot ind¶³tana.

1

Bevezet¶ es

Az oligopol modellek sz¶amos v¶altozata ismert az irodalomb¶ ol. Cournot (1838) munk¶aja nyom¶an sz¶amos kutat¶ o vizsg¶ alta ezeket a modelleket. Egy- ¶es tÄ obbterm¶ekes, alkalmazott tulajdon¶ u oligopol modellek mellett piacmegoszt¶ as probl¶em¶akkal is foglalkoztak. Az egyens¶ ulypont l¶etez¶es¶enek ¶es egy¶ertelm} us¶eg¶enek a kimutat¶asa mellett annak dinamikus vizsg¶ alata lett a kutat¶ asok f} o t¶emakÄore. A kor¶abbi eredm¶enyek j¶ oÄ osszefoglal¶ asa tal¶ alhat¶ o meg Okuguchi (1976) kÄonyv¶eben. Ezeknek az eredm¶enyeknek tÄ obbterm¶ekes ¶ altal¶ anos¶³t¶ as¶ at t¶ argyalja Okuguchi ¶es Szidarovszky (1999) kÄ onyve, amely line¶ aris dinamikus kiterjeszt¶eseket is elemez. A leg¶ ujabb kutat¶ asok nemline¶ aris modelleket vizsg¶ alnak, Bischi, Chiarella, Kopel ¶es Szidarovszky (2010) kÄ onyve ad Ä osszefoglal¶ast az eddigi eredm¶enyekr}ol. A legtÄobb eddigi vizsg¶alat egym¶ assal verseng} o v¶ allalatokat felt¶etelez. Ennek az a legf}obb oka, hogy a legtÄ obb orsz¶ agban tÄ orv¶eny tiltja a v¶ allalatok titkos egyÄ utt-m} ukÄod¶es¶et. A versenyhivatal bizonyos mutat¶ okat ellen} oriz rendszeresen, ¶es ezek ¶ert¶ekeib}ol von le kÄ ovetkeztet¶eseket. Amennyiben a v¶ allalatok u ¶gy gondolj¶ak, hogy a hat¶os¶agok gyan¶ ut fogn¶ anak ¶es vizsg¶ alatot kezdem¶enyezn¶enek, akkor azonnal abbahagyj¶ ak az egyÄ uttm} ukÄ od¶est, ¶es egym¶ assal verseng}o viselked¶est folytatnak. Ebben a dolgozatunkban v¶allalatok viselked¶es¶et vizsg¶ aljuk meg olyan felt¶etelek mellett, hogy szeretn¶enek egyÄ uttm} ukÄ odni a nagyobb pro¯t ¶erdek¶eben, de ugyanakkor szeretn¶ek elkerÄ ulni a hat¶ os¶ agi vizsg¶ alatokat ¶es az esetleges ezzel j¶ar¶o bÄ untet¶eseket. A matematikai egyszer} us¶eg ¶erdek¶eben szimmetrikus ¶es line¶aris oligopol rendszereket vizsg¶ alunk.

2

A matematikai modell kooper¶ aci¶ o n¶ elkÄ ul

TegyÄ uk fel, hogy N v¶allalat azonos term¶eket termel vagy azonos szolg¶ altat¶ ast k¶³n¶al egy homog¶en piacnak. JelÄ olje xk a k-adik v¶ allalat term¶ekkibocs¶ at¶ as¶ at, 1 Be¶ erkezett:

2009. ¶ aprilis 26. E-mail: [email protected].

84

Feuer G¶abor { Szidarovszky Ferenc

PN ³n¶ alat. TegyÄ uk fel, hogy az ¶ arfÄ uggv¶eny ¶³gy X = k=1 xk a teljes piaci k¶ (inverz keresleti fÄ uggv¶eny) line¶aris, p(X) = A ¡ BX, ¶es a c¶egek kÄ ozÄ os kÄ olts¶egfÄ uggv¶enye is line¶aris, Ck (xk ) = c + dxk , ahol A > d. A k-adik v¶ allalat pro¯tja a kÄovetkez}o: 'k (x1 ; . . . ; xN ) = xk (A ¡ BX) ¡ (c + dxk ) :

(1)

'k (x1 ; . . . ; xN ) = xk (A ¡ Bxk ¡ BXk ) ¡ (c + dxk ) :

(2)

P Ha bevezetjÄ uk az Xk = l6=k xl jelÄ ol¶est a tÄ obbi v¶ allalat egyÄ uttes kibocs¶ at¶ as¶ ara, akkor 'k ¶at¶³rhat¶o oly m¶odon, hogy az csak xk ¶es Xk fÄ uggv¶enye:

Minden v¶allalat c¶elja pro¯tj¶anak maximaliz¶ al¶ asa, ¶³gy adott Xk mellett az optim¶alis kibocs¶at¶as mennyis¶eg¶et az A ¡ 2Bxk ¡ BXk ¡ d = 0 egyenlet megold¶asa adja, amib}ol 1 A¡d xk = ¡ Xk + ; 2 2B

vagy xk = ¡X +

A¡d : B

(3)

Ezt a fÄ uggv¶enyt a k-adik v¶allalat v¶ alaszfÄ uggv¶eny¶enek is szoktuk nevezni. Az oligopol modell, mint N -szem¶elyes j¶ at¶ek egyens¶ ulypontja olyan kibocs¶ at¶ asi vektor (x¤1 ; . . . ; x¤N ), hogy minden j¶ at¶ekos a v¶ alaszfÄ uggv¶eny¶enek megfelel} o mennyis¶eget termeli, azaz k = 1; 2; . . . ; N eset¶en x¤k = ¡

1 X ¤ A¡d : xl + 2 2B

(4)

l6=k

Itt felt¶eteleztÄ uk, hogy az optimumhelyek mind pozit¶³vak. Ennek szÄ uks¶eges felt¶etele, hogy A > d legyen. KÄ onnyen l¶ athat¶ o, hogy az egyÄ utthat¶ om¶ atrix invert¶alhat¶o, ¶³gy pontosan egy megold¶ as l¶etezik, amely szimmetrikus kell legyen. Teh¶at x¤1 = . . . = x¤N = x¤ , ahol x¤ az 1 A¡d x¤ = ¡ (N ¡ 1)x¤ + 2 2B

(5)

egyenlet megold¶asa, ¶³gy x¤ =

A¡d : (N + 1)B

(6)

Az egyens¶ ulypontban a piaci ¶ar az ¶ arfÄ uggv¶eny alapj¶ an PN¤ = A ¡ BX = A ¡ BNx¤ = A ¡ =

1 (A + N d) : N +1

N (A ¡ d) = N +1

(7)

Oligop¶oliumok kooper¶ al¶ o c¶egekkel

3

85

Kooper¶ al¶ o v¶ allalatok esete

TegyÄ uk most fel, hogy az els}o M v¶ allalat r¶eszlegesen kooper¶ al, azaz mindegyike nemcsak a saj¶at pro¯tj¶at k¶³v¶ anja maximaliz¶ alni, hanem a csoport tÄ obbi tagj¶anak pro¯tj¶at is ¯gyelembe veszi. JelÄ olje ± a kooper¶ aci¶ o szintj¶et, ekkor a kooper¶al¶o k-adik (1 · k · M ) v¶ allalat ki¯zet} ofÄ uggv¶enye Ãk (x1 ; . . . ; xN ) = xk (A ¡ Bxk ¡ BXk ) ¡ (c + dxk ) + M X fxl (A ¡ Bxk ¡ BXk ) ¡ (c + dxl )g : +±

(8)

l=1 l6=k

Kimutathat¶o, hogy amennyiben a v¶ allalatok kÄ ozÄ os ¶erdekelts¶eggel rendelkeznek (p¶eld¶aul m¶as v¶allalatok bizonyos h¶ anyad¶ anak tulajdonosai), akkor ez a helyzet matematikailag a (8) egyenlettel ¶³rhat¶ o le. Matsumoto, Merlone ¶es Szidarovszky (2010) tÄobb modellv¶ altozatot t¶ argyal, ¶es mindegyiket a (8) ki¯zet}ofÄ uggv¶enyre vezeti vissza. A ± > 0 konstans a kÄ ozÄ os ¶erdekelts¶egek m¶ert¶ek¶et}ol fÄ ugg. A ki¯zet}ofÄ uggv¶enyt maximaliz¶ al¶ o kibocs¶ at¶ as ism¶et egyszer} u deriv¶ al¶ assal ad¶odik: M X A ¡ 2Bxk ¡ BXk ¡ d ¡ ±B xl = 0 ; (9) l=1 l6=k

amelyb}ol M

M

l6=k

l6=k

X 1 A¡d ± X A¡d xk = ¡ Xk + ¡ xl = ¡X + ¡± xl 2 2B 2 l=1 B l=1

(10)

(1 · k · M) : A kooper¶al¶o csoportba nem tartoz¶ o v¶ allalatok eset¶en tov¶ abb is a (3) v¶ alaszfÄ uggv¶eny ¶erv¶enyes. Az ¶³gy ad¶ od¶ o (3) ¶es (10) egyenletek adj¶ ak az egyens¶ ulypontot. KÄonnyen l¶athat¶ o, hogy a megold¶ as egy¶ertelm} u, ¶³gy szimmetrikus kell legyen olyan szempontb¶ ol, hogy a kooper¶ al¶ o ¶es a nemkooper¶ al¶ o v¶ allalatok szimmetrikusak, ¶³gy azonos x¤ ¶es y ¤ term¶ekmennyis¶eget termelnek. Ez alapj¶an a (3) ¶es (10) egyenletek nagym¶ert¶ekben leegyszer} usÄ odnek: A¡d B

(11)

A¡d ¡ ±(M ¡ 1)x¤ ; B

(12)

y ¤ = ¡M x¤ ¡ (N ¡ M )y ¤ + x¤ = ¡M x¤ ¡ (N ¡ M )y ¤ + azaz y ¤ (1 + N ¡ M ) + x¤ M =

A¡d B

¶es y ¤ (N ¡ M ) + x¤ (1 + M + ±(M ¡ 1)) =

(13) A¡d : B

(14)

86

Feuer G¶abor { Szidarovszky Ferenc KÄonnyen l¶athat¶o, hogy a megold¶ as x¤ =

A¡d ; B(N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M))

(15)

y¤ =

(A ¡ d)(1 + ±(M ¡ 1)) : B(N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M))

(16)

Az egyÄ uttes ipari kibocs¶at¶as pedig M x¤ + (N ¡ M )y ¤ =

(A ¡ d)(N + ±(M ¡ 1)(N ¡ M )) : B(N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M ))

(17)

Az ¶arfÄ uggv¶eny alapj¶an a piaci ¶ar a kÄ ovetkez} o: PR¤ = A ¡ B(M x¤ + (N ¡ M)y ¤ ) = =

A(1 + ±(M ¡ 1)) + d(N + ±(M ¡ 1)(N ¡ M )) : N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M )

(18)

A ± = 0 v¶alaszt¶assal ad¶odik a kooper¶ aci¶ o mentes piaci egyens¶ ulyi ¶ ar (7), ¶es a ± = 1 v¶alaszt¶assal a piaci ¶ ar, ha a csoport tagjai teljes m¶ert¶ekben kooper¶alnak: A + d(N + 1 ¡ M ) ¤ PK : (19) = N +2¡M Egyszer} u di®erenci¶al¶assal kimutathat¶ o, hogy a (18) piaci ¶ ar ±-nak nÄ ovekv} o fÄ uggv¶enye. A kooper¶al¶o v¶allalatok pro¯tja is egyszer} uen ad¶ odik, hiszen 'k = x¤ (PR¤ ¡ d) ¡ c = =

=

A¡d £ B(N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M)) ¸ · A(1 + ±(M ¡ 1)) + d(N + ±(M ¡ 1)(N ¡ M ) ¡d ¡c = £ N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M ) (A ¡ d)2 (1 + ±(M ¡ 1)) ¡c; B(N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M))2

amely rendelkezik a kÄovetkez}o tulajdons¶ agokkal: a) 'k > 0, ha az ¶alland¶o kÄolts¶eg c el¶eg kicsi; b) A kooper¶al¶o v¶allalatok pro¯tja akkor ¶es csak akkor nagyobb a kooper¶ aci¶ o n¶elkÄ ul ad¶od¶o pro¯tn¶al, ha M>

N +1 2

¶es ± < ±1 =

(N + 1)(2M ¡ N ¡ 1) : (M ¡ 1)(N + 1 ¡ M )2

N +1 c) Ha M · , akkor a 'k pro¯t ±-nak csÄ okken} o fÄ uggv¶enye, ¶³gy pro¯2 t¶al¶o kooper¶aci¶o csak el¶eg nagysz¶ am¶ u kooper¶ al¶ o v¶ allalat eset¶en lehets¶eges.

Oligop¶oliumok kooper¶ al¶ o c¶egekkel d) TegyÄ uk fel ezut¶an, hogy M > ± < ±2 =

87

N +1 . Ha 2

2M ¡ N ¡ 1 ; (M ¡ 1)(N + 1 ¡ M )

akkor a 'k pro¯t ±-nak nÄovekv} o fÄ uggv¶enye, ± = ±2 eset¶en maximumot vesz fel, ¶es ± > ±2 eset¶en csÄ okken} o. VegyÄ uk ¶eszre, hogy ±1 = ±2

4

N +1 > ±2 : N +1¡M

Optim¶ alis kooperaci¶ o m¶ ert¶ eke

TegyÄ uk fel, hogy a versenyhivatal sejti, hogy a csoport tagjai esetleg tÄ orv¶enytelen koal¶³ci¶oba l¶epnek. Ha semmilyen egyÄ uttm} ukÄ od¶es sincs kÄ ozÄ ottÄ uk, akkor ¤ ¤ a piaci ¶ar PN¤ kell legyen, teljes kooper¶ aci¶ o eset¶en pedig PK . Minthogy PK > ¤ uszÄ ob¶ert¶eket PN¤ ¶es PK kÄ ozÄ ott, ¶es amennyiben PN¤ , a hat¶os¶ag v¶alaszt egy p kÄ a piaci ¶ar a p ¶ert¶ek fÄol¶e megy, azonnal vizsg¶ alatot kezd a csoport tagjai ellen. Azt is feltesszÄ uk, hogy ¯gyelmeztet¶esk¶ent a p kÄ uszÄ ob¶ert¶eket a v¶ allalatokkal tudatja is. A vizsg¶alat akkor kerÄ ulhet}o el, ha PR¤ · p, azaz A(1 + ±(M ¡ 1)) + d(N + ±(M ¡ 1)(N ¡ M )) ·p; N + 1 + ±(M ¡ 1)(N + 1 ¡ M)

(20)

amely ±-ra megoldva a kÄovetkez} o felt¶etelt adja: ± · ±3 =

p(N + 1) ¡ (A + dN ) : (M ¡ 1)(A + d(N ¡ M ) ¡ p(N + 1 ¡ M ))

(21)

Mint l¶attuk az el}oz}oekben, tÄobb mint (N +1)=2 v¶ allalat kooper¶ aci¶ oja szÄ uks¶eges ahhoz, hogy a kooper¶aci¶o pro¯t¶al¶ o lehessen, ¶es ekkor a ± ¤ = minf±2 ; ±3 g ¶ert¶ek adja az optim¶alis kooper¶aci¶ os szintet. Ez az ¶eszrev¶etel azonnal ad¶ odik abb¶ol a t¶enyb}ol, hogy a 'k fÄ uggv¶eny ± < ±2 eset¶en nÄ ovekszik, ± > ±2 eset¶en pedig csÄokken, valamint ± nem lehet ±3 -n¶ al nagyobb a vizsg¶ alat ¶es esetleges bÄ untet¶es elkerÄ ul¶ese c¶elj¶ab¶ol.

5

KÄ ovetkeztet¶ esek ¶ es a tov¶ abbi kutat¶ asi lehet} os¶ egek

N -v¶allalatos oligopol modellt vizsg¶ altunk. Meghat¶ aroztuk az egyens¶ ulypontot kooper¶aci¶o felt¶etelez¶ese n¶elkÄ ul, ¶es u ¶gy is, ha a v¶ allalatok egy csoportja r¶eszlegesen kooper¶al. Kimutattuk, hogy a piaci ¶ ar az egyÄ uttm} ukÄ od¶esi szint nÄ ovekv}o fÄ uggv¶enye. ¶Igy a hat¶os¶agok tudom¶ ast szerezhetnek a egyÄ uttm} ukÄ od¶es

88

Feuer G¶abor { Szidarovszky Ferenc

megl¶et¶er}ol, ha a piaci ¶ar egy adott kÄ uszÄ obsz¶ amot meghalad. Ennek megfelel} oen a v¶allalatoknak lehet}os¶egÄ uk van arra, hogy a lehet} o legmagasabb egyÄ uttm} ukÄod¶esi szintet meghat¶arozz¶ak, amely m¶eg nem mutat egyÄ uttm} ukÄ od¶est a hat¶os¶agok fel¶e. Vizsg¶alatunkban szimmetrikus esetet v¶ alasztottunk a matematikai egyszer} us¶eg kedv¶e¶ert. A nemszimmetrikus, nemline¶ aris ¶ ar ¶es kÄ olts¶egfÄ uggv¶enyek eset¶et ¶erdemes lenne megvizsg¶alni, hogy l¶ assuk, hogy hasonl¶ o megold¶ ashoz jutunk-e az ¶altal¶anos esetben is. A modell dinamikus kiterjeszt¶ese is igen ¶erdekes lenne, mert k¶et egyens¶ ulyi kibocs¶ at¶ as van, ¶es a v¶ allalatok az ¶ ar fÄ uggv¶eny¶eben v¶alasztanak kooper¶ aci¶ ot vagy versenyt jellemz} o strat¶egi¶ akat.

Irodalom 1. Bischi, G-I., C. Chiarella, M. Kopel ¶es F. Szidarovszky (2010): Nonlinear Oligopolies: Stability and Bifurcations. Springer-Verlag, Berlin, New York. 2. Cournot, A. (1838): Recherches sur les Principes Math¶ematiques de la Th¶eorie de Richesses. Hachette, Paris (Angol ford¶³t¶ as (1960): Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth. Kelley, New York.) 3. Matsumoto, A., U. Merlone ¶es F. Szidarovszky (2010): Dynamic Oligopoly with Partial Cooperation and Antitrust Threshold. J. of Economic Behavior and Organization, 73, 259{272. 4. Okuguchi, K. (1976): Expectations and Stability in Oligopoly Models. Springer-Verlag, Berlin, New York. 5. Okuguchi, K. ¶ es F. Szidarovszky (1999): The Theory of Oligopoly with MultiProduct Firms. Springer-Verlag, Berlin, New York.

OLIGOPOLY MODELS WITH COOPERATING FIRMS Oligopoly models are examined with partially cooperating ¯rms, when the authorities may notice this illegal cooperation by monitoring the increasing market price. The maximal level of cooperation among the ¯rms is determined under which their cooperation remains unobserved.

Szigma, XL. (2009) 3-4.

89

¶ UGYI Ä Ä OK Ä ARAZ ¶ ¶ ANAK ¶ ¶ A PENZ ESZKOZ AS ALAPTETELE, ¶ ¶ ¶ LOKALISAN KORLATOS SZEMIMARTINGAL ¶ ¶ 1 ARFOLYAMOK ESETEN ¶ { MEDVEGYEV PETER ¶ BADICS TAMAS Budapesti Corvinus Egyetem

A p¶enzÄ ugyi eszkÄozÄok ¶araz¶as¶anak alapt¶etele { kiss¶e pongyol¶ an megfogalmazva { azt ¶all¶³tja, hogy egy ¶ert¶ekpap¶³rpiacon akkor nincs arbitr¶ azs, ha l¶etezik egy az eredetivel ekvivalens val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, amelyre vonatkoz¶ oan az ¶ert¶ekpap¶³rok ¶arait le¶³r¶o folyamat egy bizonyos ¶ertelemben "marting¶ al". Az els}o ilyen jelleg} u ¶all¶³t¶ast M. Harrison ¶es S. R. Pliska bizony¶³tott¶ ak arra esetre, amikor a val¶osz¶³n} us¶egi mez}o v¶egesen gener¶ alt. Az¶ ota a t¶etelnek sz¶ amos altal¶anos¶³t¶asa szÄ ¶ uletett. Ezek kÄozÄ ul az egyik legismertebb a Dalang{Morton{ Willinger-t¶etel, ami m¶ar teljesen ¶ altal¶ anos val¶ osz¶³n} us¶egi mez} ob} ol indul ki, de felteszi, hogy az id}oparam¶eter diszkr¶et, ¶es az id} ohorizont v¶eges. Id} okÄ ozben a t¶etelnek sz¶amos folytonos id}oparam¶eter} u folyamatokra vonatkoz¶ o v¶ altozata is szÄ uletett. Az alapt¶etelt ¶altal¶ anos esetben, vagyis amikor val¶ osz¶³n} us¶egi mez}o teljesen ¶altal¶anos, ¶es az ¶ert¶ekpap¶³rok piaci ¶ arait le¶³r¶ o folyamat lok¶ alisan korl¶atos szemimarting¶al, Delbaen ¶es W. Schachermayer bizony¶³tott¶ ak be. A Delbaen{Schachermayer-f¶ele alapt¶etel a maga nem¶eben egy igen ¶ altal¶ anos ¶ all¶³t¶ as. A t¶etel bizony¶³t¶asa igen hosszadalmas, ¶es a funkcion¶ alanal¶³zis valamint a sztochasztikus folyamatok ¶altal¶anos elm¶elet¶enek m¶ely eredm¶enyeit haszn¶ alja. Ut¶ obbi tudom¶anyterÄ ulet nagy r¶esz¶et P. A. Meyer ¶es a francia strassbourgi iskola matematikusai dolgozt¶ak ki a 60-as ¶evek v¶eg¶et} ol kezdve. A terÄ ulet meg¶ert¶es¶et teh¶at alaposan megnehez¶³ti, hogy a felhaszn¶ alt matematikai appar¶atus viszonylag friss, egy r¶esze pedig csak francia nyelven ¶erhet} o el. Meggy} oz}od¶esÄ unk szerint az eredeti, 1994-es Delbaen ¶es Schachermayer-f¶ele bizony¶³t¶as csak kevesek ¶altal hozz¶af¶erhet} o. A t¶etelnek tudom¶ asunk szerint az¶ ota sem szÄ uletett tankÄonyvi feldolgoz¶ asa, annak ellen¶ere, hogy maga az ¶ all¶³t¶ as kÄ ozgazd¶asz kÄorÄokben is sz¶eles kÄorben ismert¶e v¶ alt, ¶es az eredeti cikket sz¶ amos szerz}o id¶ezi. Az itt bemutatott bizony¶³t¶ as Delbaen ¶es Schachermayer 1992 ¶es 2006 kÄozÄotti ¶³r¶asain alapul.

1

Az alapt¶ etel

A tov¶abbiakban S legyen egy rÄogz¶³tett szemimarting¶ al. Mik¶ent ismert, szemimarting¶alok szerint lehet integr¶alni. Valamely H folyamat S szerinti sztochasztikus integr¶alj¶at, amennyiben az l¶etezik, H ² S m¶ odon, az integr¶ alfolyamat ¶ert¶ek¶et a t id}opontban (H ² S)t m¶ odon fogjuk jelÄ olni. (H ² S)1 alatt ¶ertelemszer} uen a (H ²S)t v¶egtelenben vett hat¶ ar¶ert¶ek¶et ¶ertjÄ uk, felt¶eve, hogy az 1 Be¶ erkezett:

2008. december 6. E-mail: [email protected].

90

Badics Tam¶ as { Medvegyev P¶eter

l¶etezik. Eml¶ekeztetÄ unk, hogy a H ² S sztochasztikus integr¶ al interpret¶ alhat¶ o, mint egy S ¶arfolyammal rendelkez} o eszkÄ ozbe val¶ o olyan befektet¶es nett¶ o eredm¶enye, amely befektet¶es nagys¶ ag¶ at a H folyamat ¶³rja le. Mik¶ent ismert, a sztochasztikus integr¶alhat¶os¶ag ,,minim¶ al felt¶etele", hogy az integrandus el} orejelezhet}o legyen. Az al¶abbiakban ezt minden tov¶ abbi eml¶³t¶es n¶elkÄ ul automatikusan felt¶etelezzÄ uk. A v¶eges sz¶ am¶ u id} opontb¶ ol ¶ all¶ o id} ohorizont ¶es a v¶egtelen sz¶am¶ u id}opontb¶ol ¶all¶o id} ohorizont kÄ ozÄ otti elt¶er¶es egyik oka2 , hogy v¶egtelen sz¶am¶ u lehets¶eges id}opont eset¶en ¶ altal¶ aban lehet ,,dupl¶ azni". Ez m¶ ask¶eppen azt jelenti, hogy a v¶egtelen sok id} opont miatt ¶ altal¶ aban lehet olyan strat¶egi¶at v¶alasztani, amely eredm¶enyek¶ent biztos nyerem¶enyhez juthatunk3 . Ezt a v¶egtelen sz¶am¶ u megengedett id} opontb¶ ol sz¶ armaz¶ o nyilv¶ anval¶ o arbitr¶ azs lehet}os¶eget a lehets¶eges portf¶oli¶ ok alulr¶ ol val¶ o korl¶ atoss¶ ag¶ aval z¶ arhatjuk ki: 1.1 De¯n¶³ci¶ o. Valamely S-integr¶ alhat¶ o H folyamatot u-megengedettnek nevezÄ unk, ha minden t ¸ 0-ra (H ² S)t ¸ ¡u. Valamely H folyamatot megengedettnek mondunk, ha l¶etezik egy u val¶ os sz¶ am, amelyre a H folyamat u-megengedett. Hangs¶ ulyozni kell hogy az alulr¶ol val¶ o korl¶ atoss¶ agb¶ ol nem kÄ ovetkezik a felÄ ulr} ol val¶ o korl¶atoss¶ag, ¶³gy az alulr¶ol val¶ o korl¶ atoss¶ ag felt¶etelez¶es¶enek fontos kÄ ovetkezm¶enye, hogy a lehets¶eges portf¶ oli¶ ok nem felt¶etlenÄ ul alkotnak line¶ aris teret, csak konvex k¶ upot. De¯ni¶aljuk a K0 konvex k¶ upot a kÄ ovetkez} ok¶eppen4 : ±

K0 = f(H ² S)1 : A H megengedett folyamat, ¶es a hat¶ar¶ert¶ek l¶etezik ¶es v¶egesg : A k¶es}obbiek sor¶an be fogjuk l¶atni, hogy amennyiben az al¶ abb ismertetett ,,arbitr¶azsmentess¶eg" felt¶etele teljesÄ ul, akkor a (H ² S)1 v¶ altoz¶ o minden megengedett strat¶egia eset¶en ¶ertelmes ¶es v¶eges5 . Ezt tudva K0 = f(H ² S)1 : A H megengedett folyamatg : Most, a t¶argyal¶as kezdet¶en, azonban evvel a felt¶etelez¶essel m¶eg nem ¶elhetÄ unk. A v¶eges id}ohorizton val¶o arbitr¶azs elm¶eletb} ol ismert, hogy a lehets¶eges sz¶ armaztatott term¶ekek halmaz¶ar¶ol fel kell tenni, hogy az teljes¶³ti a d¶³jtalan lomtalan¶³t¶as megkÄot¶es¶et. Ez ¶³gy van a folytonos id} oparam¶eter eset¶eben is. 2 Az alapt¶ etel v¶ eges sz¶ am¶ u id} opontb¶ ol ¶ all¶ o, illetve folytonos id} ohorizonton val¶ o igazol¶ asa nagyon kÄ ulÄ onbÄ oz} o. A folytonos id} ohorizontra val¶ o igazol¶ as, mik¶ ent l¶ atni fogjuk, igen hosszadalmas ¶ es igen ,,technik¶ as". A k¶ et id} ohorizont t¶ argyal¶ asa kÄ ozÄ otti elt¶ er¶ es els} osorban abb¶ ol ad¶ odik, hogy v¶ eges sz¶ am¶ u id} opontb¶ ol ¶ all¶ o id} ohorizonton a sztochasztikus integr¶ al egy kÄ ozÄ ons¶ eges v¶ eges Ä osszeg, folytonos id} ohorizonton azonban egy igen bonyolult, ¶ es nem t¶ ulzottan kÄ onnyen kezelhet} o matematikai konstrukci¶ o. 3 A dupl¶ az¶ asi strat¶ egia azt a kÄ ozismert elj¶ ar¶ ast jelenti, hogy fej vagy ¶³r¶ as j¶ at¶ ekot j¶ atszva vesztes¶ eg eset¶ en minden l¶ ep¶ esben megdupl¶ azzuk a feltett Ä osszeget. Mivel egy val¶ osz¶³n} us¶ eggel el} obb vagy ut¶ obb nyerÄ unk, a nyerem¶ eny nett¶ o Ä osszege egy val¶ osz¶³n} us¶ eggel egy egys¶ eg lesz. A p¶ elda l¶ enyege, hogy bizonyos esetekben egy j¶ at¶ ekot v¶ egtelenszer j¶ atszva ¶ es korl¶ atlan er} oforr¶ asokra t¶ amaszkodva biztos nyerem¶ enyhez lehet jutni. Mivel az alkalmaz¶ asokban erre val¶ oj¶ aban nincsen m¶ od, ezt ki kell a modellb} ol z¶ arni. 4 A nulla als¶ o index arra utal, hogy a K0 halmaz az L0 t¶ erben van. Az L0 t¶ er a val¶ osz¶³n} us¶ egi v¶ altoz¶ ok tere a sztochasztikus konvergenci¶ aval, mint metrik¶ aval. Amennyiben valamely halmaznak nincsen als¶ o indexe, akkor a halmaz ¶ altal¶ aban az L1 t¶ erben van. 5 V.Ä o.: 3.1 ¶ all¶³t¶ as.

A p¶enzÄ ugyi eszkÄozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶etele . . .

91

JelÄoljÄ uk C0 -al a K0 -beli elemekkel domin¶ alhat¶ o fÄ uggv¶enyek k¶ upj¶ at, azaz ± legyen C0 = K0 ¡ L0+ : Folytonos id} oparam¶eter eset¶en az ekvivalens m¶ert¶eket megad¶o Radon{Nikodym deriv¶altr¶ ol m¶ ar a legegyszer} ubb esetben is6 csak 1 annyi tudhat¶o, hogy eleme az L t¶ernek. Ez a folytonos ¶es a v¶eges sz¶ amoss¶ ag¶ u id} oparam¶eter kÄozÄotti elt¶er¶es egyik fontos eleme7 . Mivel az ekvivalens m¶ert¶ekcser¶et biztos¶³t¶o Radon{Nikodym deriv¶ altat ism¶et szepar¶ aci¶ oval akarjuk meghat¶arozni, ¶es a szepar¶al¶o hipers¶³k norm¶ alis¶ at az L1 t¶erben keressÄ uk, ez¶ert a ,,prim¶al teret", vagyis a ,,lehets¶eges" sz¶ armaztatott term¶ekek halmaz¶ at le ± kell sz} uk¶³teni az L1 t¶erre: C = C0 \L1 : JelÄ oljÄ uk C-sal a C k¶ up L1 norm¶ aja szerinti lez¶artj¶at. Ezekkel a jelÄol¶esekkel de¯ni¶ aljuk az ,,arbitr¶ azsmentess¶eg" fogalm¶at. A szakirodalomban az arbitr¶ azsmentess¶eg fogalm¶ anak j¶ o n¶eh¶ any, egym¶assal nem ekvivalens alakja haszn¶ alatos. Az al¶ abb megadott fogalmat az angol szakirodalom a ,,no free lunch with vanishing risk" elnevez¶essel illeti. Ennek egy lehets¶eges magyar ford¶³t¶ asa a kÄ ovetkez} o: elhalv¶ anyul¶ o kock¶ azat n¶elkÄ ul nincsen ingyen eb¶ed8 . Term¶eszetesen az angol nyelv} u irodalom ismeri az arbitr¶azsmentess¶eg fogalm¶at is, ami alatt a C0 \ L0+ = f0g rel¶ aci¶ o teljesÄ ul¶es¶et szok¶as ¶erteni. Ugyancsak ismert a nincsen ingyen eb¶ed megkÄ ot¶es fogalma is, amely annyiban kÄ ulÄonbÄozik az elhalv¶ anyul¶ o kock¶ azat n¶elkÄ uli ingyen eb¶edt}ol, hogy a fenti lez¶ar¶ast az L1 t¶er gyenge* topol¶ ogi¶ aj¶ aban ¶es nem a norma szerinti topol¶ogi¶aban kell venni. Hangs¶ ulyozni kell, hogy a Delbaen{ Schachermayer elm¶elet l¶enyege ¶eppen az, hogy a j¶ oval kisebb, norma szerinti lez¶artat veszik a szerz}ok. ¶Igy a megkÄ ot¶es j¶ oval enyh¶ebb, ugyanis egy sz} ukebb halmazt¶ol kÄovetelik meg, hogy csak a null¶ aban metszheti az L1 + 9 t¶ernegyedet . Ugyanakkor az angol terminol¶ ogia n¶emik¶eppen neh¶ezkes, ez¶ert az al¶abbiakban egyszer} uen nincsen arbitr¶ azs felt¶etelt fogunk mondani, de mindig az al¶abbi megkÄot¶esre fogunk gondolni: 1.2 De¯n¶³ci¶ o (Arbitr¶ azsmentess¶ eg). Azt mondjuk, hogy az S szemimarting¶ al eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek10 , ha C \ L1 + = f0g : A dolgozatban a kÄovetkez}o ¶all¶³t¶ as igazol¶ as¶ at fogjuk bemutatni: 6 Vagyis

a klasszikus Black{Scholes modellben is. v¶ eges sz¶ amoss¶ ag¶ u lehets¶ eges id} opont eset¶ en a szepar¶ aci¶ oval kapott deriv¶ alt L1 -be esett, ¶³gy ott a du¶ alis t¶ er volt az L1 ; kÄ ovetkez¶ esk¶ eppen a ,,prim¶ alis" t¶ er volt az L1 t¶ er. Most azonban a ,,du¶ alis" t¶ er, vagyis az a t¶ er, ahol a szepar¶ al¶ o hipers¶³kok ,,norm¶ alisai" vannak, lesz az L1 t¶ er. Mivel az L1 nem du¶ alisa az L1 t¶ ernek, ez¶ ert az al¶ abbiakban egy sor technikai neh¶ ezs¶ eg fog fell¶ epni. 8 Vagy esetleg elhalv¶ anyul¶ o kock¶ azat n¶ elkÄ ul nincsen u Äzlet. Hogy mi¶ ert halv¶ anyul el a kock¶ azat, az k¶ es} obb ki fog derÄ ulni. V.Ä o.: 2.6 lemma. 9 Az alapt¶ etel ¶ erdemi r¶ esze a marting¶ alm¶ ert¶ ek l¶ etez¶ es¶ et garant¶ al¶ o ir¶ any igazol¶ asa. Ennek megfelel} oen min¶ el enyh¶ ebb felt¶ etelek kÄ ozÄ ott l¶ etezik a marting¶ alm¶ ert¶ ek, ann¶ al er} osebb a t¶ etel. A Kreps{Yan t¶ etelb} ol egyszer} uen kÄ ovetkezik, hogy ha valamely lok¶ alisan korl¶ atos szemimarting¶ alra ,,nincsen ingyeneb¶ ed" akkor a szemimarting¶ alhoz l¶ etezik ekvivalens lok¶ alis marting¶ al m¶ ert¶ ek. A f} o neh¶ ezs¶ eg, illetve ennek kÄ ovetkezt¶ eben az igazol¶ ashoz szÄ uks¶ eges matematikai brav¶ ur teh¶ at abban van, hogy egy igen enyhe krit¶ erium teljesÄ ul¶ ese eset¶ en akarjuk a lok¶ alis marting¶ alm¶ ert¶ ek l¶ etez¶ es¶ et indokolni. 10 Mivel t¶ argyal¶ asunkban az 1.2 de¯n¶³ci¶ ot¶ ol elt¶ er} o arbitr¶ azsmentess¶ egi fogalmak nem j¶ atszanak szerepet, ¶ es a sz¶ oban forg¶ o fogalomra tudom¶ asunk szerint magyar terminol¶ ogia nem l¶ etezik, ez¶ ert az egyszer} us¶ eg kedv¶ e¶ ert haszn¶ aljuk az arbitr¶ azsmentess¶ eg fogalm¶ at, nyomat¶ ekosan ¶ es ism¶ etelten megjegyezve, hogy az angol ,,no arbitrage" kifejez¶ es alatt altal¶ ¶ aban a C0 \ L0+ = f0g felt¶ etelt szok¶ as ¶ erteni. 7 Ugyanis

92


1.3 T¶ etel (P¶ enzÄ ugyi eszkÄ ozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶ etele). Legyen S egy korl¶ atos val¶ os ¶ert¶ek} u, valamely P val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek szerinti szemimarting¶ al. Pontosan akkor l¶etezik a P-vel ekvivalens Q val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, amelyre n¶ezve az S marting¶ al, ha az S eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg im¶ent megfogalmazott felt¶etel¶enek. Az el¶ egs¶ egess¶ eg bizony¶³t¶ asa: TegyÄ uk fel, hogy az S folyamat a Q ekvivalens val¶osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek szerint lok¶ alis marting¶ al. Legyen H egy tetsz} oleges, a P val¶osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek szerint megengedett integrandus. Ekkor a H ² S integr¶al a Q szerint is l¶etezik, ¶es a k¶et integr¶ al megkÄ ulÄ onbÄ oztethetetlen11 . ¶ Erdemes hangs¶ ulyozni, hogy az integr¶ al a Q alatt is csak szemimarting¶ al ¶ertelemben l¶etezik, b¶ar az S a Q alatt lok¶ alis marting¶ al. Term¶eszetesen a H folyamat a Q szerint is megengedett. Az al¶ abb ismertetett Ansel{ Stricker t¶etel12 alapj¶an a H ² S az alulr¶ ol val¶ o korl¶ atoss¶ ag miatt szupermarting¶al13 . Ez¶ert tetsz}oleges t-re EQ ((H ² S)t ) · EQ ((H ² S)0 ) = 0: A nemnegat¶³v szupermarting¶alok14 konvergencia t¶etele miatt a (H ² S)1 ¶ert¶ek l¶etezik. Ugyancsak az alulr¶ol val¶ o korl¶ atoss¶ ag miatt alkalmazhat¶ o a Fatoulemma, ami alapj¶an ³ ´ EQ ((H ² S)1 ) = EQ lim (H ² S)t · lim inf EQ ((H ² S)t ) · 0 : t

t

Mivel ez minden megengedett H integrandusra igaz, ez¶ert minden f 2 C0 eset¶en EQ (f ) · 0. Vagyis C0 \ L0+ = f0g : Meg kell m¶eg n¶ezni, hogy mi etezik C-beli (gn ) tÄ ort¶enik a lez¶ar¶assal. Legyen most g 2 C \ L1 + . Ekkor l¶ L1

sorozat, amelyre gn ¡! g: Az L1 konvergenci¶ ab¶ ol kÄ ovetkezik a v¶ arhat¶ o ¶ert¶ekek konvergenci¶aja15 , ¶³gy EQ (g) · 0. Ebb} ol a g ¸ 0 miatt majdnem mindenhol ¶ertelemben g = 0; vagyis C \ L1 ert¶ek eset¶en. Mivel + = f0g a Q m¶ a k¶et m¶ert¶ek szerinti nullhalmazok megegyeznek, ez¶ert az arbitr¶ azsmentess¶eg az eredeti P m¶ert¶ek szerint is teljesÄ ul. 2 A neh¶ezs¶eg az ¶all¶³t¶as megford¶³t¶ as¶ anak igazol¶ asban rejlik. A technikai probl¶em¶akat a kÄovetkez}o ¶all¶³t¶asban foglaljuk Ä ossze: 1.4 T¶ etel (El} ore hozott ¶ all¶³t¶ as). Ha az S egy korl¶ atos szemimarting¶ al, amely eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek, akkor a C k¶ up ¾(L1 ; L1 )z¶ art r¶esze az L1 t¶ernek. A szÄ uks¶ egess¶ eg bizony¶³t¶ asa: TegyÄ uk fel, hogy az S folyamat eleget tesz az arbitr¶azsmentess¶eg felt¶etel¶enek. Ekkor m¶eg ink¶ abb a C\L1 ul, + = f0g is teljesÄ 11 L¶ asd: Medvegyev [2007a]: Proposition 4.59. A k¶ et m¶ ert¶ ek ekvivalens, ¶³gy mind a k¶ et m¶ ert¶ ek szerint megkÄ ulÄ onbÄ oztethetetlenek. 12 V.Ä o.: 2.11 t¶ etel. Az Ansel{Stricker t¶ etel azt ¶ all¶³tja, hogy az alulr¶ ol val¶ o korl¶ atoss¶ ag miatt a sztochasztikus integr¶ al lok¶ alis marting¶ al. Erre az¶ ert kell hivatkozni, mert H ² S integr¶ al csak szemimarting¶ al ¶ ertelemben l¶ etezik, ¶³gy nem lesz automatikusan lok¶ alis marting¶ al. 13 Medvegyev [2007a]: Proposition 1.141. 14 Eml¶ ekeztetÄ unk, hogy egy H strat¶ egia de¯n¶³ci¶ o szerint akkor megengedett, ha a sztochasztikus integr¶ al alulr¶ ol korl¶ atos. 15 Ugyanis a m¶ ert¶ ek v¶ eges.


93

¶es L1 uk fel, hogy bel¶ attuk16 az el} ore hozott ¶ all¶³t¶ ast. Ekkor a C ¡ µ C: TegyÄ de¯n¶³ci¶oja miatt teljesÄ ulnek a m¶ar eml¶³tett ¶es al¶ abb pontosan id¶ezett Kreps{ Yan t¶etel felt¶etelei. ¶Igy l¶etezik egy a P-vel ekvivalens Q val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, hogy minden f 2 C eset¶en EQ (f ) · 0: Legyenek s < t tetsz} oleges id} opontok. Mivel az S korl¶atos17 , ez¶ert tetsz} oleges ® val¶ os sz¶ amra ¶es B 2 Fs halmazra ®ÂB Â ((s; t)) ² S = ® (St ¡ Ss ) ÂB 2 C ; vagyis EQ (® (St ¡ Ss ) ÂB ) · 0. Mivel ez minden ®-ra teljesÄ ul, ez¶ert EQ ((St ¡ Ss ) ÂB ) = 0 :

(1)

Az S felt¶etelezett korl¶atoss¶aga miatt integr¶ alhat¶ o. Ez¶ert az (1) felt¶etel pontosan azt jelenti, hogy az S folyamat a Q val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek szerint marting¶al. 2 A bemutatott gondolatmenetb} ol evidens, hogy a C k¶ up ¾(L1 ; L1 ) z¶ arts¶ ag¶ anak igazol¶asa jelenti a f}o probl¶em¶ at. A dolgozat h¶ atralev} o r¶esz¶et ennek igazol¶as¶anak fogjuk szentelni. Az el} oz} o ¶ all¶³t¶ as egyszer} u kÄ ovetkezm¶enye a kÄ ovetkez}o: 1.5 KÄ ovetkezm¶ eny. Legyen S egy lok¶ alisan korl¶ atos, val¶ os ¶ert¶ek} u szemimarting¶ al a P val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek szerint. Pontosan akkor l¶etezik a P-vel ekvivalens Q val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, amelyre n¶ezve az S lok¶ alis marting¶ al, ha az S eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg fenti felt¶etel¶enek. Bizony¶³t¶ as. Az egyszer} us¶eg kedv¶e¶ert tegyÄ uk fel, hogy S (0) = 0: TegyÄ uk fel, hogy az S eleget tesz az arbitr¶azsmentess¶eg felt¶etel¶enek. Mivel az S lok¶ alisan korl¶atos, l¶eteznek an ¸ 1 val¶os sz¶ amok ¶es ¿n % 1 meg¶ all¶ asi id} ok, hogy altak ¶es balr¶ ol folytonosak, ¶³gy jS ¿n j < an . A Â ((¿k ; ¿k+1 ]) folyamatok adapt¶ ± el} orejelezhet}oek. Legyen ¿0 = 0: Az ±

Yk = Â ((¿k ; ¿k+1 ]) ² S = S ¿k+1 ¡ S ¿k kifejez¶es egy korl¶atos szemimarting¶ al, ugyanis kisebb, mint ak + ak+1 : Ha ±

ck = ± akkor az Se =

1 P

k=0

2¡k ; ak + ak+1

e · 2: ck Yk m¶odon de¯ni¶ alt folyamat korl¶ atos, ugyanis jSj

Tetsz}oleges n-re az

Se¿n =

n¡1 X

ck Yk

k=0

egy szemimarting¶al, vagyis az Se meg¶ all¶³t¶ asai mind szemimarting¶ alok, ¶³gy az e e0 k¶ Se is egy szemimarting¶al. Megmutatjuk, hogy az S-hoz tartoz¶ oC up r¶esze 16 Term¶ eszetesen, 17 VegyÄ uk

t¶ er az L1 :

mik¶ ent l¶ atni fogjuk, ¶ eppen ez a bizony¶³t¶ as ¶ erdemi r¶ esze! ¶ eszre, hogy a korl¶ atoss¶ agra szÄ uks¶ eg van, ugyanis a szepar¶ aci¶ on¶ al a ,,prim¶ al"

94


e az S-hez tartoz¶o C0 k¶ upnak. Ehhez elegend} o megmutatni, hogy az S-hoz e e 0 r¶esze a K0 -nak. Legyen H megengedett az S-ra n¶ezve, ¶es tegyÄ uk tartoz¶o K e 1 l¶etezik. fel, hogy a (H ² S) e (¿n ) = (H ² (H ² S) =

e ¿1n S)

ÃÃn¡1 X k=0

e¿n

= (H ² S )1 = !

Ã

H²

ck HÂ ([¿k ; ¿k+1 )) ² S

!

n¡1 X

ck Yk

k=0

!

=

1

(¿n ) :

Mivel ha egy folyamat minden lokaliz¶ altja integr¶ alhat¶ o, akkor a folyamat 1 ± P integr¶alhat¶o, ez¶ert kÄonnyen bel¶athat¶ o, hogy a Z = ck HÂ ([¿k ; ¿k+1 )) k=0

integr¶alhat¶o az S-re n¶ezve. Az egyenl} os¶egb} ol az is kÄ ovetkezik, hogy a Z megengedett az S-re n¶ezve. Ha n ! 1, akkor a jobb oldalon ¶ all¶ o kifejez¶esnek l¶etezik hat¶ar¶ert¶eke. Mivel a H ² Se alulr¶ ol korl¶ atos, ez¶ert a Z ² S is alulr¶ ol e 0 µ K0 : Mivel korl¶atos, ¶³gy a hat¶ar¶ert¶ek eleme a K0 halmaznak, vagyis K a felt¶etelek szerint az S eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek, ez¶ert az Se is eleget tesz az arbitr¶azsmentess¶eg felt¶etel¶enek. Az el} oz} o t¶etel alapj¶ an l¶etezik teh¶at a P-vel ekvivalens Q val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, melyre n¶ezve az Se marting¶al. Ekkor az Se¿1 = c0 S ¿1 ;

ol kÄ ovetkezik, hogy az ¶es ez¶ert az S¿1 is marting¶al, amib} Se ¡ c0 S ¿1

is marting¶al. A gondolatmenetet megism¶etelve kapjuk, hogy az S lok¶ alis marting¶al. A ford¶³tott ir¶any bizony¶³t¶asa a korl¶ atos eset bizony¶³t¶ as¶ aval azonos.

2

2

N¶ eh¶ any el} ozetes eredm¶ eny

Az alapt¶etel igazol¶asa sz¶amos m¶ely matematikai eredm¶enyre ¶epÄ ul. El} oszÄ or ezeket tekintjÄ uk ¶at.

2.1

Szepar¶ aci¶ os t¶ etel: a Kreps{Yan t¶ etel

Mik¶ent jeleztÄ uk, a t¶etel bizony¶³t¶ asa a szepar¶ aci¶ os t¶etelre ¶epÄ ul. Kiindul¶ ask¶eppen vezessÄ unk be n¶eh¶any jelÄol¶est: Legyen 1 · p · 1 ¶es 1 · q · 1, ± ± ahol 1=p + 1=q = 1, ¶es legyen E = Lp (-; F; P) valamint F = Lq (-; F; P), ¶es tekintsÄ uk (E; F )-en a szok¶asos kanonikus biline¶ aris lek¶epez¶est, valamint jelÄ olje E+ az ff 2 Lp j f ¸ 0 m.m.g ¶es E¡ pedig az ff 2 Lp j f · 0 m.m.g halmazt. Mik¶ent l¶attuk, az alapt¶etel bizony¶³t¶ asa a kÄ ovetkez} o, kor¶ abban m¶ ar id¶ezett, bizony¶³t¶as n¶elkÄ ul kÄozÄolt ¶all¶³t¶ asra ¶epÄ ul:


95

2.1 T¶ etel (Kreps{Yan). Legyen C µ E egy ¾(E; F )-z¶ art konvex k¶ up, ami tartalmazza E¡ -t, ¶es tegyÄ uk fel, hogy C \ E+ = f0g : Ekkor l¶etezik F-en egy az eredetivel ekvivalens Q val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, amelyre ddQ es amelyre P 2 F, ¶ teljesÄ ul, hogy minden f 2 C eset¶en EQ (f ) · 0: A t¶etel bizony¶³t¶asa megtal¶alhat¶o Delbaen ¶es Schachermayer [2006] kÄ onyv¶eben, illetve egy speci¶alis eset¶enek bizony¶³t¶ asa Medvegyev [2006] cikk¶eben18 .

2.2

A kompakts¶ agi lemma

Mik¶ent l¶attuk, az alapt¶etel bizony¶³t¶ asa l¶enyeg¶eben egy k¶ up alkalmas topol¶ ogi¶ aban val¶o z¶arts¶ag¶anak igazol¶as¶ at jelenti. A konvex anal¶³zist ismer} o olvas¶ o sz¶ am¶ara nem t¶ ul meglep}o, hogy ehhez kompakts¶ agi megfontol¶ asokat fogunk haszn¶alni. Igen gyakran fogunk hivatkozni a kÄ ovetkez} o egyszer} u ¶eszrev¶etelre: 2.2 Lemma. Ha (fn ) val¶ osz¶³n} us¶egi v¶ altoz¶ ok19 egy alulr¶ ol korl¶ atos sorozata, akkor l¶etezik gn 2 conv ffn ; fn+1 ; . . .g sorozat, hogy a (gn ) sorozat majdnem biztosan konverg¶ al egy g fÄ uggv¶enyhez. A g fÄ uggv¶eny felveheti a +1 ¶ert¶eket is. Bizony¶³t¶ as. Az alulr¶ol val¶o korl¶ atoss¶ ag miatt feltehet} o, hogy minden nre fn ¸ 0: Elegend}o bel¶atni, hogy van olyan (gn ), amely sztochasztikusan konverg¶al egy g-hez. (A majdnem mindenhol val¶ o konvergenci¶ ahoz elegend} o egy r¶eszsorozatra ¶att¶erni.) Legyen ±

u (x) = 1 ¡ exp (¡x) : Az u szigor¶ uan konk¶av ¶es korl¶atos. Legyen ±

sn = sup (E (u (g)) j g 2 conv (fn ; fn+1 ; . . .)) ; ¶es legyen gn 2 conv (fn ; fn+1 ; . . .) olyan, hogy E (gn ) ¸ sn ¡

1 : n

±

Az IR+ = [0; 1] halmaz a ±

d (x; y) = jarctan x ¡ arctan yj metrik¶aval¡nyilv¶anval¶ ¢ oan teljes metrikus t¶er. Az (xn ) pontosan akkor Cauchysorozat az IR+ ; d t¶erben, ha minden ® > 0 sz¶ amhoz l¶etezik n0 ; hogy minden m; n ¸ n0 eset¶en vagy jxn ¡ xm j · ® vagy

min (xn ; xm ) ¸ ®¡1 :

18 Erdemes ¶ hangs¶ ulyozni, hogy az ¶ altal¶ anos eset bizony¶³t¶ asa szinte sz¶ o szerint azonos a cikkben kÄ ozÄ olt speci¶ alis eset indokl¶ as¶ aval. 19 Eml¶ ekeztetÄ unk, hogy a val¶ osz¶³n} us¶ egi v¶ altoz¶ ok de¯n¶³ci¶ o szerint nem vehetik fel a v¶ egtelen ¶ ert¶ eket.

96


Az u tulajdons¶agai alapj¶an tetsz} oleges ® > 0 sz¶ amhoz tal¶ alhat¶ o olyan ¯; hogy ¶ µ 1 1 x+y > u (x) + u (y) + ¯ ; u 2 2 2 valah¶anyszor az (x; y) eleme a ª ± © V = (x; y) j jx ¡ yj ¸ ® ¶es min (x; y) · ®¡1

halmaznak. (A min (x; y) · ®¡1 felt¶etel miatt a V kompakt, ¶es a folytonos µ ¶ 1 1 x+y u ¡ u (x) ¡ u (y) ¸ 0 2 2 2 fÄ uggv¶eny felveszi a minimum¶at. Mivel az u szigor¶ uan konk¶ av, ez¶ert ha x 6= y, akkor a fenti egyenl}otlens¶eg szigor¶ u, ¶³gy a minimum is pozit¶³v. A ¯ sz¶ amnak vehetjÄ uk a minimum fel¶et.) A sztochasztikus konvergencia igazol¶ as¶ ahoz elegend}o bel¶atni, hogy a (gn ) Cauchy-sorozat a sztochasztikus konvergenci¶ aban, vagyis elegend}o bel¶atni, hogy tetsz} oleges ® > 0 eset¶en ¡ ¢ lim P jgn ¡ gm j ¸ ®; min (x; y) · ®¡1 = 0 : n;m!1

Tetsz}oleges ® ¶es hozz¶a tartoz¶o ¯ eset¶en µ µ ¶¶ gn + gm 1 1 E u ¸ E (u(gn )) + E (u(gm )) + 2 2 2 ¡ ¢ + ¯P jgn ¡ gm j ¸ ®; min (x; y) · ®¡1 ;

ugyanis trivi¶alisan a ¯ de¯n¶³ci¶oja miatt µ ¶ 1 gn + gm 1 u ¸ u (gn ) + u (gm ) + ¯ÂV (gn ; gm ) : 2 2 2 De¯n¶³ci¶o szerint, ha n · m; akkor µ µ ¶¶ gn + gm bf E u · sn ; 2

sm · sn :

¶Igy a konstrukci¶o szerint ¡ ¢ ¯P jgn ¡ gm j ¸ ®; min (x; y) · ®¡1 · µ µ ¶¶ 1 1 gn + gm ¡ E (u (gn )) ¡ E (u (gm )) · ·E u 2 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 · sn ¡ sn ¡ ¡ sm ¡ = 2 n 2 m µ ¶ 1 1 1 1 · (sn ¡ sm ) + + : 2 2 n m


97

Az (sn ) alulr¶ol korl¶atos ¶es csÄokken} o, ¶³gy Cauchy-sorozat. ¶Igy ha n; m ! 1, akkor, mivel ¯ > 0, ¢ ¡ P jgn ¡ gm j ¸ ®; min (x; y) · ®¡1 ! 0 : 2

Term¶eszetesen a g felvehet v¶egtelen ¶ert¶eket is! A kompakts¶ agi elv ¶erdemi r¶esze ennek a kiz¶ar¶asa: 2.3 Lemma. Ha az el} oz} o lemm¶ aban a conv ((fn )) korl¶ atos az L0 t¶erben, akkor a g majdnem mindenhol v¶eges. Bizony¶³t¶ as. Ha conv ((fn )) korl¶ atos az L0 t¶erben, akkor minden " > 0 m.m. eset¶en van olyan N; hogy P (jgn j ¸ N ) · ". Mivel gn ¡! g, a Fatou-lemma miatt P (jgj ¸ N ) · " ; ¶³gy majdnem mindenhol g < 1.

2

Miel}ott tov¶abb menn¶enk, a lemma tartalm¶ anak jobb megvil¶ ag¶³t¶ asa c¶elj¶ ab¶ ol ¶erdemes megeml¶³teni a kÄovetkez} o p¶eld¶ at: 2.4 P¶ elda. Ha p ¸ 1 ¶es az (fn ) µ Lp egy korl¶ atos sorozat, akkor l¶etezik gn 2 conv (fn ; fn+1 ; . . .) ; amely majdnem mindenhol konverg¶ al egy g 2 Lp fÄ uggv¶enyhez. Ha p > 1; 1 akkor a konvergencia az L t¶erben is teljesÄ ul. Az Lp korl¶atoss¶agb¶ol a Csebisev-egyenl} otlens¶eg miatt kÄ ovetkezik az L0 korl¶ atoss¶ag, ¶³gy a g hat¶ar¶ert¶ek l¶etezik. EgyedÄ ul azt kell megmutatni, hogy a hat¶ar¶ert¶ek is eleme az Lp t¶ernek. TegyÄ uk fel, hogy minden n-re kfn kp · k. Nyilv¶an a kgn kp · k is teljesÄ ul. A Fatou-lemma miatt ¡ ¢ E (jgjp ) = E lim jgjpn · lim inf E (jgn jp ) · kp : n

n

Az ¶all¶³t¶as m¶asodik r¶esze kÄovetkezik abb¶ ol, hogy ha p > 1; akkor a korl¶ atos sorozatok egyenletesen integr¶alhat¶ oak. 2 Mik¶ent a kompakts¶agi lemma haszn¶ alata sor¶ an gondot jelenthet, hogy a (gn ) bizonyos pontokban v¶egtelenhez tarthat, ugyancsak gondot jelenthet az is, hogy a ,,pozit¶³v" pontok hat¶ ar¶ert¶eke esetleg nulla lesz. Ezt z¶ arja ki a kÄ ovetkez}o ¶eszrev¶etel: 2.5 Lemma. Ha a lemm¶ aban fn ¸ 0, ¶es l¶etezik ® > 0 ¶es ± > 0, hogy minden n-re P (fn > ®) > ±, akkor van olyan °, amely csak a ± ¶es az ® sz¶ amokt¶ ol fÄ ugg, hogy P (g > °) > 0 ; pontosabban

¡ ¢ P g > ±(1 ¡ e¡® ) > 0 :

98


Bizony¶³t¶ as. P (fn > ®) > ± minden n-re, ez¶ert az u monoton nÄ oveked} o uggv¶enyek volta ¶es az fn ¸ 0 miatt E (u (fn )) ¸ ±u (®). Mivel a gn az fn fÄ konvex kombin¶aci¶oja, ez¶ert az u konkavit¶ asa miatt Ã Ã !! X X X ¸i fi ¸i E (u (fi )) ¸ ¸i ±u (®) = ±u (®) : ¸ E (u (gn )) = E u i

i

i

A major¶alt konvergencia t¶etel miatt E (u (g)) ¸ ±u (®) = ± (1 ¡ e¡® ). Mivel ha x > 0, akkor u (x) < x, ez¶ert ha az egyenl} otlens¶eg nem teljesÄ ul, akkor ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ E (u (g)) · u ± 1 ¡ e¡® < ± 1 ¡ e¡®

lenne, ami lehetetlen.

2

A kompakts¶agi megfontol¶asok sz¶amtalan alkalmaz¶ asa kÄ ozÄ ul p¶eldak¶ent tekintsÄ uk a kÄovetkez}ot: TegyÄ uk fel, hogy m¶ ar bel¶ attuk, hogy az arbitr¶ azsmentess¶eg teljesÄ ul¶ese eset¶en a megengedett folyamatok integr¶ alj¶ anak l¶etezik a v¶egteleno lemma val¶ oj¶ aban azt magyar¶ azza, hogy ben vett hat¶ar¶ert¶eke20 . A kÄovetkez} mi¶ert ,,halv¶anyul el" a kock¶azat. 2.6 Lemma. Egy S szemimarting¶ al pontosan akkor el¶eg¶³ti ki az° arbitr¶ ° azsmentess¶eg felt¶etel¶et, ha minden K0 -beli (gk ) sorozatra a limk!1 °gk¡ °1 = 0 felt¶etelb} ol kÄ ovetkezik, hogy P gk ¡! 0 : ° ° Bizony¶³t¶ as. Legyen (gk ) egy K0 -beli sorozat, amelyre limk!1 °gk¡ °1 = P

ul. 0. TegyÄ uk fel, hogy az ¶all¶³t¶asunkkal ellent¶etben a gk ¡! 0 nem teljesÄ Ekkor l¶etezik ± > 0 ¶es 1 > ® > 0, valamint egy (gkn ) r¶eszsorozat, hogy ± minden n-re P (gkn > ®) > ±. A d¶³jtalan lomtalan¶³t¶ as felt¶etele miatt az fn = uggv¶enyek C-ben vannak, ¶es P (fn > ®) > ±. Mivel az (fn ) min fgkn ; 1g fÄ sorozat nyilv¶an alulr¶ol korl¶atos, ez¶ert a kompakts¶ agi lemma alapj¶ an l¶etezik egy (ln ) sorozat, ahol ln 2 conv ffn ; fn+1 ; . . .g, amely majdnem biztosan konverg¶al egy l fÄ uggv¶enyhez. A limn!1 kfn¡ k1 = 0 felt¶etel miatt a sorozat als¶ o korl¶atj¶anak v¶alaszthat¶o tetsz} oleges 1=m konstans, ¶³gy µ ¶ 1 ±(1 ¡ e¡® ) ¡ P l> >0: 2 m Mivel ez minden m-re ol, hogy ¤ez¶ert a P (l > 0) > 0 is igaz, valamint abb¶ £ igaz, 1 ; 1 -beli ¶ert¶ekeket vesz fel, kÄ ovetkezik, hogy l ¸ 0. az l minden m-re ¡ m ± abb 1¡ ¯2 Legyen ¯ = P (l > 0). Ekkor Jegorov t¶etele miatt21 ln ! l egy legal¶ 0 val¶ osz¶³n} us¶eg} u - halmazon egyenletesen. A d¶³jtalan lomtalan¶³t¶ as felt¶etele ± uggv¶enyek C-ben vannak, ¶es hn ! lÂ-0 az L1 miatt a hn = min fln ; Â-0 g fÄ norm¶aja szerint, vagyis lÂ-0 2 C. Ez pedig a P (lÂ-0 > 0) ¸ ¯2 > 0 miatt ellentmond¶asban ¶all az arbitr¶azsmentess¶eg feltev¶es¶evel. Megford¶³tva, tegyÄ uk 20 V.Ä o.:

3.1 ¶ all¶³t¶ as. ¶ ³t¶ [2002]: 3.3 All¶ as.

21 Medvegyev


99

±

fel, hogy a felt¶etel teljesÄ ul. Legyen fn = gn ¡ ln 2 C ¶es az L1 t¶erben ¡ fn ! f ¸ 0: Ekkor a gn · (gn ¡ ln )¡ ! 0; ¶³gy gn ! 0 sztochasztikusan. De nyilv¶an fn = gn ¡ ln · gn ; teh¶at f = 0; ¶³gy az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etele teljesÄ ul. 2 A lemma alapj¶an az arbitr¶azsmentess¶eg kÄ ozgazdas¶ agi interpret¶ aci¶ oja teljesen evidens. Az arbitr¶azsmentess¶eg felt¶etele pontosan azt jelenti, hogy ha a kock¶azat egyenletesen null¶ahoz tart22 , akkor annak a val¶ osz¶³n} us¶ege, hogy tetsz}oleges " > 0 sz¶amn¶al tÄobbet tudunk keresni, null¶ ahoz tart.

Az L0 korl¶ atos ¶ es z¶ art r¶ eszhalmazainak van maxim¶ alis eleme

2.3

2.7 Lemma. Ha az alapt¶er m¶ert¶eke v¶eges, akkor L0 minden korl¶ atos ¶es z¶ art r¶eszhalmaza tartalmaz maxim¶ alis elemet. A lemma elemi kÄovetkezm¶enye a kÄ ovetkez} o lemm¶ anak23 : 2.8 Lemma. Legyen X egy teljes metrikus t¶er, ¶es legyen ¹ egy folytonos, re°ex¶³v ¶es tranzit¶³v parci¶ alis rendez¶es az X t¶eren. Ha minden az ¹ szerint monoton nÄ oveked} o (xk ) sorozatra d (xk ; xk+1 ) ! 0; akkor az (X; ¹) rendezett t¶erben van maxim¶ alis elem. Az els} o lemma bizony¶³t¶ asa. Az L0 t¶er teljes metrikus t¶er, ¶³gy ha K z¶ art, akkor a K is teljes metrikus t¶er. Ha »n · ń ¶es »n ! » ¶es ń ! ´ a K t¶erben, vagyis sztochasztikusan, akkor van olyan r¶eszsorozatuk, ahol a konvergencia majdnem mindenhol teljesÄ ul, ¶³gy nyilv¶ an » · ´; vagyis a rendez¶es folytonos. Meg kell mutatni, hogy ha »n · »n+1 ; akkor d (»n ; »n+1 ) ! 0. Mivel a (»n (!)) sorozatok monoton n}onek, ez¶ert alkalmas »-re a »n % » kimenetelenk¶ent. Mivel a felt¶etelek szerint a m¶ert¶ekt¶er v¶eges, ez¶ert a majdnem mindenhol val¶ o konvergenci¶ab¶ol kÄovetkezik a sztochasztikus konvergencia, ¶³gy »n ! » az L0 t¶er konvergenci¶aj¶aban, felt¶eve ha » 2 L0 ; vagyis ha a » majdnem mindenhol ± v¶eges. TegyÄ uk fel, hogy " = ¹ (» = 1) > 0: A K felt¶etelezett korl¶ atoss¶ aga miatt van olyan N , hogy minden n-re ¶ µ " N · : ¹ j»n j ¸ 2 2 A Fatou-lemma miatt ³ ´ " · ¹ (j»j ¸ N ) = ¹ lim j»n j ¸ N = n

22 Ez¶ ert

,,halv¶ anyodik" el a kock¶ azat. ¶ll¶³t¶ a as a Zorn-lemma seg¶³ts¶ eg¶ evel kÄ onnyen igazolhat¶ o: Ha (f® ) egy l¶ anc, vagyis egy line¶ arisan rendezett r¶ eszhalmaz, akkor az (f® ) halmaznak az alapt¶ er v¶ egess¶ ege miatt l¶ etezik l¶ enyeges szupr¶ emuma. A l¶ enyeges szupr¶ emum egy fels} o korl¶ at, amely a halmaz korl¶ atoss¶ aga miatt majdnem mindenhol v¶ eges, ¶ es a z¶ arts¶ ag miatt eleme a halmaznak. ¶Igy a Zorn-lemma miatt van maxim¶ alis elem. Az al¶ abbi gondolatmenet l¶ enyege, hogy nem kell hivatkozni a Zorn-lemm¶ ara, amelyet ¶ eppen a lemma helyettes¶³t. 23 Az

100

Badics Tam¶ as { Medvegyev P¶eter Z ³ ´ lim Âfjxj¸N=2g (j»n j) d¹ · Âfjxj¸Ng lim j»n j d¹ · n X n X µ ¶ Z N " · lim inf Âfjxj¸N=2g (j»n j) d¹ = lim inf ¹ j»n j ¸ · ; n n 2 2 X =

Z

ami lehetetlen.

2

A m¶ asodik lemma bizony¶³t¶ asa. De¯ni¶ aljuk a ±

© (x) = fy j y º xg halmaz¶ert¶ek} u lek¶epez¶est. A © kÄovetkez} o tulajdons¶ agai trivi¶ alisan teljesÄ ulnek: 1. © (x) minden x-re z¶art, ugyanis a rendez¶es folytonos, 2. x 2 © (x), ugyanis a rendez¶es re°ex¶³v, 3. x2 2 © (x1 ) implik¶alja a © (x2 ) µ © (x1 ) tartalmaz¶ ast, ugyanis a rendez¶es tranzit¶³v, 4. ha xk+1 2 © (xk ), akkor d (xk ; xk+1 ) ! 0: A maxim¶alis elem l¶etez¶es¶ehez el¶eg megmutatni, hogy van olyan x pont, hogy © (x) = fxg. Nyilv¶an a d metrika helyett vehetjÄ uk a d= (1 + d) metrik¶ at is, ¶³gy feltehet}o, hogy a d metrika korl¶ atos. Valamely A halmaz eset¶en jelÄ olje ± (A) az A ¶atm¶er}oj¶et. A metrika felt¶etelezett korl¶ atoss¶ aga miatt ± (A) < 1: A 2. miatt a © (x) soha sem u Äres, ¶³gy egy tetsz} oleges x0 -b¶ ol kiindulva megkonstru¶alhatjuk az xk+1 2 © (xk ) d (xk+1 ; xk ) ¸ ± (© (xk )) =2 ¡ 1=2k¡1 iter¶aci¶ot. A 3. miatt © (xk+1 ) µ © (xk ) ¶es a 4. miatt ± (© (xk )) ! 0: Az X felt¶etelezett teljess¶ege miatt az (© (xk )) halmazok egyetlen x pontra h¶ uz¶odnak Äossze. Nyilv¶an x 2 © (xn ) ¶es ez¶ert © (x) µ \n © (xn ) = fxg ; amib}ol a lemma m¶ar trivi¶alis.

2.4

2

Gyenge* topol¶ ogia ¶ es a sztochasztikus konvergencia ±

alis p¶ art a h»; í = E (»´) kanonikus Az al¶abbiakban tekintsÄ uk a (L1 ; L1 ) du¶ dualit¶assal, ¶es a tov¶abbiakban jelÄ oljÄ uk B1 -nel az L1 t¶er z¶ art egys¶eggÄ ombj¶et. El}oszÄor eml¶ekeztetÄ unk a kÄovetkez} o nevezetes t¶etelre24 : · 2.9 T¶ etel (Krein{Smulian). Legyen E egy Banach-t¶er, ¶es jelÄ oljÄ uk E 0 -vel az E du¶ alis¶ at, valamint B0 -vel a du¶ alis t¶er egys¶eggÄ ombj¶et. Ekkor egy C µ E 0 konvex halmaz pontosan akkor ¾(E 0 ; E)-z¶ art, ha minden ¸ pozit¶³v sz¶ amra a ¸B0 \ C halmaz ¾(E 0 ; E)-z¶ art. 24 Dunford{Schwartz

[1958], 429 oldal.

A p¶enzÄ ugyi eszkÄozÄok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶etele . . .

101

A t¶etel egyszer} u kÄovetkezm¶enye, hogy egy E 0 -beli C konvex k¶ up pontosan 0 art. A ¾(L1 ; L1 ) gyenge* akkor ¾(E ; E)-z¶art, ha a B0 \C halmaz ¾(E 0 ; E)-z¶ z¶ arts¶ag egy nehezen ellen}orizhet}o felt¶etel. Ez¶ert rendk¶³vÄ ul fontos a kÄ ovetkez} o: ¶ ³t¶ upja pontosan akkor ¾(L1 ; L1 )2.10 All¶ as. Az L1 (-; F; P) t¶er C konvex k¶ art a sztochasztikus konvergenci¶ ara n¶ezve. z¶ art, ha a C \ B1 metszet z¶ · Bizony¶³t¶ as. A Krein{Smulian-t¶etel k¶ upokra kimondott fenti alakja alapj¶ an art, ha a el¶eg annyit bizony¶³tani, hogy C \ B1 pontosan akkor ¾(L1 ; L1 )-z¶ ara n¶ezve. C \ B1 z¶art a sztochasztikus konvergenci¶ art, akkor a C \ 1. L¶assuk be hogy ha a C \ B1 halmaz ¾(L1 ; L1 )-z¶ ara n¶ezve. TegyÄ uk fel, hogy az (fn ) B1 z¶art a sztochasztikus konvergenci¶ al egy f0 2 L1 -hez. Az sorozat, ahol fn 2 C \ B1 , sztochasztikusan konverg¶ ol a altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄ ¶ ul feltehet} o, hogy fn ¡! f0 m.m., amib} domin¶ans konvergencia t¶etel alapj¶ an lim E (fn g) = E (f0 g) ;

n!1

vagyis minden g 2 L1 eset¶en lim E ((fn ¡ f0 ) g) = 0 :

n!1

Eml¶ekeztetÄ unk, hogy a ¾(L1 ; L1 ) topol¶ ogia azonos az L1 v¶eges r¶eszhalmazainak S halmaz¶ab¶ol sz¶armaz¶ o dualit¶ as ¶ altal meghat¶ arozott L1 feletti topol¶ogi¶aval, melynek 0 kÄorÄ uli kÄornyezetb¶ azis¶ at az ±

U (S; ") = fx 2 L1 j 8y 2 S : jE (xy)j · "g alak¶ u halmazok alkotj¶ak, ahol (S; ") befutja az S £ IR+ halmazt. Mivel lim E ((fn ¡ f0 ) g) = 0

n!1

±

oleges " minden g 2 L1 -re, ez¶ert ha S = fgg valamely g 2 L1 -re, akkor tetsz} ok¶eppen ugyanez minden eset¶en el¶eg nagy n-re fn ¡ f0 2 U (S; "), ¶es hasonl¶ ± S = fgi gi·k v¶eges elemsz¶am¶ u halmaz eset¶en, vagyis az S minden elem¶ere is teljesÄ ul. Mivel az U (S; ") alak¶ u halmazok a ¾(L1 ; L1 ) topol¶ ogia szerint a 0-nak kÄornyezetb¶azis¶at alkotj¶ak, ezzel bel¶ attuk, hogy fn ! f0 a ¾(L1 ; L1 ) art, topol¶ogia szerint. Mivel a feltev¶es szerint a C \ B1 halmaz ¾(L1 ; L1 )-z¶ art a sztochasztikus konvergenci¶ ara ez¶ert f0 2 C \ B1 , vagyis a C \ B1 z¶ n¶ezve. art 2. Most l¶assuk be, hogy ha a C konvex k¶ upra a C \ B1 halmaz z¶ uttal ¾(L1 ; L1 )a sztochasztikus konvergenci¶ara n¶ezve, akkor a C \ B1 egy¶ artj¶ anak az L1 z¶ art. Legyen g0 2 L1 eleme C \ B1 halmaz L1 -beli lez¶ ol, melyre norma topol¶ogia szerint. Ekkor l¶etezik (gn ) sorozat C \ B1 -b} P

gn ! g0 a norma topol¶ogia szerint, amib} ol gn ¡! g0 , ez viszont a sztochasztikus z¶arts¶ag miatt azt jelenti, hogy g0 2 C \ B1 , vagyis C \ B1 z¶ art L1 -ben a norma topol¶ogia szerint. TekintsÄ uk a (L1 ; L1 ) du¶ alis p¶ art

102


az h»; í = E (»´) kanonikus dualit¶ assal. Mivel az (L1 ; k¢k1 ) lok¶ alisan konvex Hausdor®-topologikus vektort¶er, ¶es a C \ B1 konvex, ez¶ert a norma arts¶ ag25 . A lesz} uk¶³tett topol¶ ogia de¯n¶³z¶ arts¶agb¶ol kÄovetkezik a ¾(L1 ; L1 ) z¶ art ¾(L1 ; L1 ) topol¶ ogia L1 -re vonatkoz¶ o ci¶ oja alapj¶an a C \ B1 halmaz z¶ uk, hogy a ¾(L1 ; L1 ) topol¶ ogia lesz} uk¶³t¶ese lesz} uk¶³t¶es¶ere n¶ezve26 . MegjegyezzÄ as¶ ahoz elegend} o a kÄ oraz L1 -t¶eren durv¶abb, mint ¾(L1 ; L1 ): Ennek igazol¶ nyezetb¶azisokat fel¶³rni ¶es felhaszn¶ alni, hogy ha ¿ egy X t¶eren valamely A csal¶ad ¶altal gener¶alt legsz} ukebb topol¶ ogia, akkor az A csal¶ ad lesz} uk¶³t¶ese egy Y µ X halmazra ¶eppen a ¿ Y -ra val¶ o lesz} uk¶³t¶es¶et gener¶ alja. ¶Igy teh¶ at, mivel uk¶³t¶es¶ere vonatkoz¶ olag, a a C \ B1 halmaz z¶art az L1 -ben az ¾(L1 ; L1 ) lesz} uk¶³t¶es¶en¶el ¯nomabb topol¶ ogia, ez¶ert a C \B1 ¾(L1 ; L1 ) egy a ¾(L1 ; L1 ) lesz} halmaz ¾(L1 ; L1 )-z¶art27 . 2

2.5

Mikor lesz egy sztochasztikus integr¶ al lok¶ alis marting¶ al

Mik¶ent m¶ar jeleztÄ uk, sztochasztikus integr¶ alon mindig szemimarting¶ al ¶erte¶ lemben vett integr¶alt ¶ertÄ unk. Eppen ez¶ert a lok¶ alis marting¶ alok szerint vett sztochasztikus integr¶alok nem lesznek automatikusan lok¶ alis marting¶ alok. Ezen seg¶³t a kÄovetkez}o ¶all¶³t¶as: 2.11 T¶ etel (Ansel{Stricker). Legyen M egy lok¶ alis marting¶ al, ¶es tegyÄ uk fel, hogy a H el} orejelezhet} o sztochasztikus folyamat szemimarting¶ al ¶ertelemben integr¶ alhat¶ o az M szerint. Ha a H strat¶egia megengedett, vagyis egy u val¶ os alis marting¶ al28 . sz¶ amra, minden t ¸ 0-ra (H ² M )t ¸ ¡u; akkor a H ² M lok¶

2.6

A sztochasztikus anal¶³zis n¶ eh¶ any tov¶ abbi t¶ etele

Ebben az alpontban a kÄonnyebb kÄ ovethet} os¶eg ¶erdek¶eben n¶eh¶ any k¶es} obb felhaszn¶al¶asra kerÄ ul}o t¶etelt id¶ezÄ unk. Ezek megtal¶ alhat¶ oak Medvegyev [2007a, 25 Rudin [1973], Theorem 3.12, vagy ¯gyelembe v¶ eve, hogy az L1 t¶ er lok¶ alisan konvex Hausdor®-t¶ er, felhaszn¶ alhatjuk a Hahn{Banach-t¶ etelnek azt az { el} obbin¶ el ¶ altal¶ anosabb { kÄ ovetkezm¶ eny¶ et, hogy egy konvex halmaz dualit¶ assal kompatibilis topol¶ ogi¶ ak szerinti lez¶ artja ugyanaz a halmaz. Ld.: Krist¶ of J¶ anos: Az anal¶³zis elemei IV (lel} ohely: http://www.cs.elte.hu/~krja) 112. o. 26 Ha valamely z 2 L1 elem nincsen benne a halmazban, akkor mivel egy¶ uttal z 2 L1 ; 1 1 van olyan kÄ ornyezete a ¾(L ; L )-ben, amely nem metsz bele a halmazba. Nyilv¶ an ennek a kÄ ornyezetnek a lesz} uk¶³t¶ ese az L1 -re sem metsz bele, vagyis a halmaz komplementere ny¶³lt. 27 Egy m¶ asik gondolatmenet a kÄ ovetkez} o: Ha a halmaz z¶ art a sztochasztikus konvergenci¶ aban, akkor z¶ art az L2 (-) t¶ erben is, ugyanis az L2 -konvergens sorozatoknak van majdnem mindenhol, ¶³gy a m¶ ert¶ ek v¶ egess¶ ege miatt sztochasztikusan is konvergens r¶ eszsorozata. Mivel a halmaz konvex, ez¶ ert a z¶ art ¶ es a gyeng¶ en z¶ art halmazok egybeesnek, ¶³gy a halmaz ¾(L2 ; L2 ) z¶ art. De mivel a halmaz r¶ esze az L1 z¶ art egys¶ eggÄ ombj¶ enek, ez¶ ert ¾(L1 ; L2 ) z¶ art, ugyanis ha egy L1 -b} ol vett elem nem lenne benne az L2 ¶ altal gener¶ alt topol¶ ogia szerinti lez¶ artban, akkor a m¶ ert¶ ek v¶ egess¶ ege miatt az L2 -ben sem lenne benne a lez¶ artban. De ism¶ etelten a m¶ ert¶ ek v¶ egess¶ ege miatt L2 µ L1 ; ¶³gy a ¾(L1 ; L1 ) topol¶ ogi¶ aban 1 2 tÄ obb a ny¶³lt halmaz, mint a ¾(L ; L ) topol¶ ogi¶ aban, ¶³gy tÄ obb a z¶ art halmaz is, teh¶ at a halmaz ¾(L1 ; L1 ) z¶ art. 28 A t¶ ¶ etel kÄ ulÄ onf¶ ele alakjai megtal¶ alhat¶ ok: Emery [1979], valamint Ansel{Stricker [1994]ben, ld. m¶ eg: Medvegyev [2007b].


103

2007b]-ben. 2.12 T¶ etel (Speci¶ alis szemimarting¶ alok sztochasztikus integr¶ al¶ asa). Legyen X egy speci¶ alis szemimarting¶ al, amelynek kanonikus felbont¶ asa legyen X = X (0) + M + A. Ha a H folyamat X-integr¶ alhat¶ o, akkor a H ² X szemimarting¶ al pontosan akkor speci¶ alis szemimarting¶ al, ha a H lok¶ alis marting¶ al ¶ertelemben M -integr¶ alhat¶ o, ¶es a H Lebesgue{Stieltjes ¶ertelemben Aintegr¶ alhat¶ o. Ebben az esetben a H ² X kanonikus felbont¶ asa H ² X = H ² M + H ² A.

2.13 T¶ etel (Korl¶ atos v¶ altoz¶ as¶ u folyamat Hahn-felbont¶ asa). Legyen A egy v¶eges v¶ altoz¶ as¶ u el} orejelezhet} o folyamat, amelyre A0 = 0. Ekkor l¶eteznek oja az IR+ £ a diszjunkt ¶es el} orejelezhet} o B+ ¶es B¡ halmazok, amelyek uni¶ halmaz, ¶es amelyekre teljesÄ ul, hogy a ÂB+ ² A ¶es a ¡ÂB¡ ² A folyamatok nÄ ovekv} oek, ¶es29 ¢ ¡ Var(A) = ÂB+ ¡ ÂB¡ ² A :

2.7

A szemimarting¶ al topol¶ ogia ¶ es M¶ emin t¶ etele

A szemimarting¶alok ter¶enek topol¶ ogiz¶ al¶ asa t¶ avolr¶ ol sem egyszer} u feladat. Ennek oka, hogy m¶eg a trajekt¶ori¶ak egyenletes konvergenci¶ aja sem biztos¶³tja, hogy szemimarting¶alok hat¶ar¶ert¶eke szemimarting¶ al maradjon. P¶eldak¶ent ¶erdemes a kÄovetkez}ore gondolni: egy determinisztikus folyamat pontosan akkor szemimarting¶al, ha korl¶atos v¶ altoz¶ as¶ u. Eml¶ekeztetÄ unk, hogy a mindenhol folytonos, de sehol sem deriv¶ alhat¶ o fÄ uggv¶eny konstrukci¶ oja sor¶ an egy nem korl¶atos v¶altoz¶as¶ u fÄ uggv¶enyt korl¶ atos v¶ altoz¶ as¶ u fÄ uggv¶enyek30 egyenletesen konvergens hat¶ar¶ert¶ekek¶ent ¶all¶³tunk el} o. A korl¶ atos v¶ altoz¶ as¶ u fÄ uggv¶enyek or¶eben a term¶eszetes azonos¶³that¶ok a m¶ert¶ekekkel31 . A v¶eges m¶ert¶ekek kÄ norma a teljes megv¶altoz¶as. Ha ¹ egy v¶eges m¶ert¶ek, akkor ¯ ¯Z X ¯ ¯ ± k¹k = sup j¹ (Ai )j = sup ¯¯ K d¹¯¯ ; (Ai )

jKj·1

i

-

ahol az els}o szupr¶emumot az alaphalmaz Ä osszes legfeljebb megsz¶ aml¶ alhat¶ o elemb}ol ¶all¶o m¶erhet}o part¶³ci¶oj¶an kell venni. A m¶ asodik egyenl} os¶eg vil¶ agos, ¶es term¶eszetesen a szupr¶emumot az egyn¶el nem nagyobb abszol¶ ut ¶ert¶ekkel rendelkez}o m¶erhet}o fÄ uggv¶enyek szerint kell venni. Ebb} ol kÄ ovetkez} oen az altoz¶ as¶ u fÄ uggv¶enyek32 kÄ or¶eben a IR+ f¶elegyenesen ¶ertelmezett v¶eges megv¶ term¶eszetes topol¶ogi¶at a ¯ ¯Z n ¯ ± ¯ ± ¯ kV kn = jV (0)j + sup ¯ K dV ¯¯ = jV (0)j + sup j(K ² V )n j jKj·1

29 Medvegyev

0

jKj·1

[2007b]: Theorem 26 bizony¶³t¶ as¶ anak 2. pontja. tÄ ortfÄ uggv¶ enyek! 31 Pontosabban csak egy konstans ¶ ert¶ ekt} ol eltekintve azonos¶³that¶ ok a m¶ ert¶ ekekkel. Az IR+ f¶ elegyenesen a nulla pontban nulla ¶ ert¶ eket felvev} o korl¶ atos v¶ altoz¶ as¶ u fÄ uggv¶ enyek azonos¶³that¶ ok a v¶ eges m¶ ert¶ ekekkel. Ez¶ ert szÄ uks¶ eges a szemimarting¶ al topol¶ ogia de¯n¶³ci¶ oj¶ aban az S (0) K (0) szerepeltet¶ ese. 32 Vagyis az olyan fÄ uggv¶ enyek, amelyek megv¶ altoz¶ asa minden kompakt intervallumon v¶ eges. 30 Line¶ aris

104


f¶elnorm¶akkal ¶erdemes de¯ni¶alni. Ha V v¶eges megv¶ altoz¶ as¶ u trajekt¶ ori¶ akkal rendelkez}o folyamat, akkor a topol¶ ogi¶ at ¶erdemes a trajekt¶ ori¶ ak ¶ altal de¯ni¶ alt m¶ert¶ekekhez rendelt f¶elnorm¶ak ¶ altal alkotott val¶ osz¶³n} us¶egi v¶ altoz¶ ok sztochasztikus konvergenci¶aj¶aval de¯ni¶ alni. Eml¶ekeztetÄ unk, hogy val¶ osz¶³n} us¶egi v¶ altoz¶ok egy (»n ) sorozata pontosan akkor tart sztochasztikusan null¶ ahoz, ha E (j»n j ^ 1) ! 0. A szemimarting¶ al topol¶ ogia a teljes megv¶ altoz¶ as ¶ altal de¯ni¶alt topol¶ogi¶at ¶altal¶anos¶³tja: 2.14 De¯n¶³ci¶ o. A szemimarting¶ alok ter¶en az ±

kSkS =

1 X

n=1

2¡n sup E (jK (0) S (0) + (K ² S)n j ^ 1) jKj·1

kv¶ azinorma ¶ altal gener¶ alt topol¶ ogi¶ at szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ anak nevezzÄ uk. 2.15¡ T¶ e¢tel (A szemimarting¶ al topol¶ ogia jellemz¶ ese). Szemimarting¶ alok al a 0-hoz a szemimarting¶ al topol¶ ogia egy S k sorozata pontosan akkor konverg¶ ¡ ¢ P P k k szerint, ha minden t-re S (0) ! S (0) ¶es K ² S t ¡! 0 a K-ban egyenletesen, ahol a K befutja az Ä osszes jKj · 1 el} orejelezhet} o folyamatot. Az alapt¶etel igazol¶asa sor¶an kiemelked} oen fontos szerepet fog j¶ atszani a kÄ ovetkez}o t¶etel: 2.16 T¶ etel (M¶ emin). Ha S jelÄ oli a szemimarting¶ alok halmaz¶ at, akkor egy rÄ ogz¶³tett szemimarting¶ al szerinti sztochasztikus integr¶ alk¶ent fel¶³rhat¶ o szemimarting¶ alok az (S; k¢kS ) kv¶ azi-norm¶ alt t¶er z¶ art alter¶et alkotj¶ ak33 .

3

M¶ emin t¶ etel¶ ere val¶ o visszavezet¶ es

Most t¶erjÄ unk r¶a az alapt¶etel bizony¶³t¶ as¶ ara. A bizony¶³t¶ as els} o l¶ep¶esek¶ent az alapt¶etel bizony¶³t¶as¶at visszavezetjÄ uk M¶emin t¶etel¶ere.

3.1

A sztochasztikus integr¶ alok ¶ ert¶ ek¶ enek kiterjeszt¶ ese a v¶ egtelenbe

El} oszÄor l¶assuk be a kÄovetkez}o, m¶ ar tÄ obbszÄ or hivatkozott ¶ all¶³t¶ ast: ¶ ³t¶ 3.1 All¶ as. Ha az S kiel¶eg¶³ti az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶et, ¶es ha a H egy megengedett strat¶egia, akkor a (H ² S)1 l¶etezik ¶es v¶eges. Bizony¶³t¶ as. Term¶eszetesen az ¶ all¶³t¶ as nyilv¶ anval¶ o lenne, ha m¶ ar tudn¶ ank az alapt¶etelt, ugyanis akkor a H ² S egy alulr¶ ol korl¶ atos lok¶ alis marting¶ al lenne a Q alatt, ¶es ¶³gy egy¶ uttal egy alulr¶ ol korl¶ atos szupermarting¶ al is lenne a Q alatt, ¶es a nem negat¶³v szupermarting¶ alok konvergencia t¶etel¶eb} ol m¶ ar kÄ ovetkezne az ¶all¶³t¶as. Ennek f¶eny¶eben nem t¶ ul meglep} o, hogy a bizony¶³t¶ as eml¶ekeztet a nem negat¶³v szupermarting¶ alok konvergenci¶ aj¶ anak igazol¶ as¶ ara. VegyÄ unk teh¶at tetsz}oleges ¯ < ° sz¶ amokat. Megmutatjuk, hogy az olyan 33 V.Ä o.:

M¶ emin [1980].


105

kimenetelek halmaza, amelyre a H ² S v¶egtelen sokszor alulr¶ ol ¶ atmetszi a ± ± [¯; °] szakaszt, nulla val¶osz¶³n} us¶eg} u. De¯ni¶ aljuk a ¾0 = ¿0 = 0 meg¶ all¶ asi id} okb}ol kiindulva a ¾n ¿n

±

= inf ft ¸ ¿n¡1 : (H ² S)t · ¯g ±

= inf ft ¸ ¾n : (H ² S)t ¸ °g

meg¶all¶asi id}oket. A szok¶asos m¶ odon, ha az in¯mum mÄ ogÄ otti halmaz u Äres, akkor de¯ni¶aljuk az in¯mum ¶ert¶ek¶et +1-nek. A (¾n ; ¿n ] intervallumokon a H ² S alulr¶ol ¶atmetszi a [¯; °] szakaszt. Legyen ±

K = HÂ ([n (¾n ; ¿n ]) : A Â ([n (¾n ; ¿n ]) folyamat balr¶ol folytonos ¶es adapt¶ alt, teh¶ at el} orejelezhet} o, ¶³gy a K is el}orejelezhet}o. A H ² S megengedett, ¶³gy alulr¶ ol korl¶ atos egy u sz¶ammal. Vil¶agos, hogy ez a tulajdons¶ aga a K ² S-nek is megmarad. Ugyanakkor nyilv¶anval¶oan, ha valamely kimenetelre ¾n < ¿n < 1; akkor erre a kimenetelre HÂ ((¾n ; ¿n ]) ² S ¸ ° ¡ ¯ > 0 ; kÄ ovetkez¶esk¶eppen ha valamely kimenetelre ¿n < 1 minden n-re, vagyis ha valamely kimenetelre v¶egtelen sok ¶ atmetsz¶es van, akkor lim (K ² S) (¿n ) = 1 :

n!1

TegyÄ uk fel, hogy ez egy pozit¶³v val¶ osz¶³n} us¶eg} u C halmazon teljesÄ ul. A C komplementer¶en nem tudjuk, mik¶ent viselkedik a K ²S, ¶³gy be kell vezetnÄ unk egy (tn ) id}opontsorozatot ¶es a ¿n meg¶ all¶ asi id} o helyett a ¿n ^ tn korl¶ atos meg¶all¶asi id}oket kell tekinteni. De¯ni¶ aljuk a 1 ± K n = K Â ([0; ¿n ^ tn ]) n integrandusokat. Vil¶agos, hogy mindegyik K n megengedett, (K n ² S)1 ¶ertelmes, ugyanis a ¿n ^ tn < 1 id} opont ut¶ an az integr¶ alfolyamat m¶ ar nem v¶ altozik. Az is vil¶agos, hogy a K n ² S negat¶³v r¶esze egyenletesen null¶ ahoz tart. Az is vil¶agos, hogy ahol az ¶ atmetsz¶esek sz¶ ama v¶egtelen, vagyis a C halmazon, az integr¶alok nÄoveked¶ese a [0; ¿n ] szakaszon legal¶ abb ° ¡ ¯. A C halmazon a ¿n minden n-re v¶eges, ¶³gy ha t % 1; akkor C \ f¿n > tg & ; : V¶ alasszuk a tn sz¶amokat u ¶gy, hogy P (C \ f¿n > tn g) ·

P (C) : 2n+1

±

Ha B = C \ (\n f¿n · tn g), akkor P (B) = P (C n Bc ) = P (C) ¡ P (C \ B c ) =

106

Badics Tam¶ as { Medvegyev P¶eter = P (C) ¡ P (C \ ([n f¿n · tn gc )) = = P (C) ¡ P ([n C \ f¿n > tg) ¸ X ¸ P (C) ¡ P (C \ f¿n > tn g) ¸ n

¸ P (C) ¡

X P (C) n

2n+1

¸

P (C) >0: 2

Ha szÄ uks¶eges, akkor a B halmazon a ° ¡ ¯ feletti felesleges nÄ ovekm¶enyeket, illetve a B c halmazon a nem negat¶³v ¶ert¶ekeket a d¶³jmentes lomtalan¶³t¶ as felt¶etele seg¶³ts¶eg¶evel elhagyhatjuk. Ez¶ert alkalmas ln ¸ 0 sorozat seg¶³ts¶eg¶evel az L1 t¶erben (K n ² Sn )1 ¡ ln ! (° ¡ ¯) ÂB ; amely ellentmond a nincsen arbitr¶ azs felt¶etelnek. ¶Igy az ¶ atmetsz¶esek sz¶ ama majdnem mindenhol v¶eges. Ebb} ol kÄ ovetkez} oen egy nulla m¶ert¶ek} u halmazt¶ ol eltekintve a hat¶ar¶ert¶ek l¶etezik. Mivel a H ² S alulr¶ ol korl¶ atos, a hat¶ ar¶ert¶ek vagy v¶eges, vagy +1, de ez ut¶ obbit a m¶ ar bemutatott m¶ odon ki tudjuk z¶ arni34 . 2

3.2

A lehets¶ eges ,,kasz¶ al¶ asok" ter¶ enek korl¶ atoss¶ aga

El}oszÄor vizsg¶aljuk meg a lehets¶eges ,,kasz¶ al¶ asok" ter¶et, vagyis azt a halmazt, amely elemei megengedett befektet¶esek szerinti sztochasztikus integr¶ alk¶ent all¶³that¶ok el}o. KezdjÄ ¶ uk n¶eh¶any viszonylag egyszer} u lemm¶ aval. 3.2 Lemma. RÄ ogz¶³tsÄ unk egy u sz¶ amot. Ha az S szemimarting¶ al eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek, akkor a f(H ² S)1 : H u-megengedettg

(2)

korl¶ atos az L0 -ban35 . Az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek teljesÄ ul¶esekor a (2) halmaz L0 t¶erben val¶ o lez¶ artja is korl¶ atos az L0 t¶erben. Bizony¶³t¶ as. Az alulr¶ol val¶o u-korl¶ atoss¶ ag elemi kÄ ovetkezm¶enye, hogy ha ± (Hn ) egy u-megengedett sorozat ¶es ®n & 0 tetsz} oleges, akkor az fn ®n = (Hn ®n ² S)1 sorozat negat¶³v r¶esze egyenletesen null¶ ahoz tart. Ebb} ol kÄ ovetkez} oen, mik¶ent l¶attuk, az (fn ®n ) sztochasztikusan null¶ ahoz tart. Ha most az (fn ) nem lenne korl¶atos, akkor l¶etezne olyan " > 0; hogy egy r¶eszsorozatra 34 Legyen ¿ az els} o olyan id} opont, ahol a H ² S ¶ atmetszi az n ¶ ert¶ eket. JelÄ olje C azon n kimenetelek halmaz¶ at, ahol v¶ egtelen sok ¿n v¶ eges, vagyis ahol az integr¶ al v¶ egtelenhez tart. Vil¶ agos, hogy ¿n % 1; ugyanis a sztochasztikus integr¶ alok trajekt¶ ori¶ ai v¶ eges szakaszon korl¶ atosak. De¯ni¶ aljuk a K n integr¶ alokat, majd ezt kÄ ovet} oen ism¶ eteljÄ uk meg a m¶ ar bemutatott gondolatmenetet. 35 Eml¶ ekeztetÄ unk, hogy az L0 t¶ erben a korl¶ atoss¶ ag, vagyis a sztochasztikus konvergenci¶ aban a korl¶ atoss¶ ag de¯n¶³ci¶ oja a kÄ ovetkez} o: Egy A halmaz akkor korl¶ atos a sztochasztikus konvergenci¶ aban, ha minden " > 0 sz¶ amhoz van olyan N , hogy P (jfj > N ) < " minden f 2 A eset¶ en.


107

P (fnk > k) > ". De ez lehetetlen, mert az (fnk =k) sztochasztikusan null¶ ahoz tart ¶es ez¶ert P (fnk > k) = P (fnk =k > 1) · P (jfnk =kj > 1) · " : Az ¶all¶³t¶as m¶asodik fele egy ¶altal¶anos ¶eszrev¶etel: ha egy halmaz korl¶ atos az L0 36 t¶erben, akkor a lez¶artja is korl¶atos . Legyen ugyanis az (fn ) a lez¶ ar¶ asb¶ ol vett olyan sorozat, amelyre P (jfn j > n + 1) > " > 0: Minden n-re legyen gn olyan fÄ uggv¶eny, amely kÄozel van az fn -hez, vagyis amelyre P (jfn ¡ gn j > 1) < "=4. A (gn ) korl¶atoss¶aga miatt van olyan N , hogy P (jgn j > N ) < "=4. Ekkor ha n ¸ N; akkor P (jfn j > n + 1) · P (jfn ¡ gn j > 1) + P (jgn j > n) · "=2 ; ami lehetetlen.

2

3.3 De¯n¶³ci¶ o. Tetsz} oleges X sztochasztikus folyamat eset¶en ±

X ¤ = sup jXjt : t¸0

3.4 Lemma. Ha az S szemimarting¶ al eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek, akkor tetsz} oleges u eset¶en a f(H ² S)¤ : H u-megengedettg halmaz korl¶ atos L0 -ban. Speci¶ alisan a (H ² S)¤ fÄ uggv¶eny minden megengedett H folyamatra majdnem mindenhol v¶eges. Bizony¶³t¶ as. TegyÄ uk fel, hogy van olyan u; amelyre a halmaz nem korl¶ atos. Ekkor valamely " > 0-ra l¶etezne egy (Hn ) u-megengedett sorozat, amelyre P ((Hn ² S)¤ > n) > " : Ekkor a

±

¿n = inf ft : jHn ² Sj > ng meg¶all¶asi id}okre P (¿n < 1) > " ¶es a f¿n < 1g halmazon (Hn ² S)¿n ¸ n. ± Ekkor a Kn = Hn Â ([0; ¿n ]) u-megengedett folyamatokra P((Kn ² S)1 > n) > " > 0. KÄovetkez¶esk¶eppen a ((Kn ² S)1 ) halmaz nem korl¶ atos a sztochasztikus konvergenci¶aban, ami viszont ellentmond az el} oz} o lemm¶ anak. 2

3.3

A C0 Fatou-z¶ arts¶ aga ¶ es a C gyenge* z¶ arts¶ aga

T¶erjÄ unk r¶a a C gyenge* z¶arts¶ag¶anak igazol¶ as¶ ara. 3.5 De¯n¶³ci¶ o. Az L0 t¶er egy D r¶eszhalmaz¶ at Fatou-z¶ artnak nevezzÄ uk, ha minden (fn ) alulr¶ ol egyenletesen korl¶ atos D-beli sorozat eset¶en, ha fn ! f majdnem biztosan, akkor f 2 D. 36 Ez

altal¶ ¶ aban topologikus vektorterekben is igaz.

108


Ha a D halmaz k¶ up, akkor a D Fatou-z¶ arts¶ aga ekvivalens a kÄ ovetkez} ovel: Ha (fn ) egy olyan D-beli sorozat amelyre fn ¸ ¡1 ¶es fn ! f majdnem biztosan, akkor f 2 D:

¶ ³t¶ 3.6 All¶ as. Ha a C0 Fatou-z¶ art, akkor a C k¶ up ¾(L1 ; L1 )-z¶ art.

Bizony¶³t¶ as. Legyen (fn ) egy C\B1 µ C0 -beli sorozat, amely sztochasztikusan tart valamely f 2 L0 elemhez. Ekkor valamely (fnk ) r¶eszsorozatra feltehet} o, hogy fnk ¡! f majdnem biztosan. Mivel (fnk ) µ B1 , ez¶ert a sorozat elemei ¡1-n¶el nem kisebbek. A C0 felt¶etelezett Fatou-z¶ arts¶ ag¶ ab¶ ol kÄ ovetkezik, hogy f 2 C0 : Nyilv¶an az f 2 B1 is teljesÄ ul, vagyis a C \ B1 halmaz z¶ art a sztochasztikus konvergenci¶ara n¶ezve, amib} ol az ¶ all¶³t¶ as az el} oz} o ¶ all¶³t¶ asunk alapj¶an m¶ar kÄovetkezik. 2 Ä Osszefoglalva, az alapt¶etel bizony¶³t¶ as¶ at a kÄ ovetkez} o¶ all¶³t¶ asra vezettÄ uk vissza: ¶ ³t¶ 3.7 All¶ as. Ha az S folyamat egy korl¶ atos szemimarting¶ al, amely eleget tesz az arbitr¶ azsmentess¶eg felt¶etel¶enek, akkor a C0 k¶ up Fatou-z¶ art.

3.4

A maxim¶ alis elem ¶ es a Fatou-z¶ arts¶ ag

T¶erjÄ unk r¶a a C0 k¶ up Fatou-z¶arts¶ ag¶ anak bizony¶³t¶ as¶ ara. Az egyszer} us¶eg kedv¶e¶ert (hn ) jelÄoljÄon egy olyan C0 -beli sorozatot, amelyre hn ¸ ¡1 ¶es amelym.m. re hn ¡! h. A Fatou-z¶arts¶ag de¯n¶³ci¶ oj¶ anak ¶ertelm¶eben nyilv¶ an elegend} o bel¶atni, hogy h 2 C0 . A tov¶abbiakban rÄ ogz¶³tsÄ uk a h elemet ¶es legyen n o ± m.m. D = f ¸ h j 9 (K n ) : K n 1-megengedett ¶es (K n ² S)1 ¡! f :

Ha K0 (1) jelÄoli az 1-megengedett ,,kasz¶ al¶ asokat", akkor ¡ ¢ D = cl (K0 (1)) \ h + L0+ ;

ahol a lez¶ar¶as az L0 t¶erben, vagyis a sztochasztikus konvergenci¶ aban ¶ertend} o.

3.8 Lemma. A D halmaz nem u Äres, ¶es tartalmaz maxim¶ alis elemet. Bizony¶³t¶ as. Mivel hn 2 C0 , ez¶ert minden n-re l¶etezik egy gn 2 K0 melyre gn ¸ hn . Ekkor az 2.2 lemma miatt l¶etezik a gn0 2 conv fgn ; gn+1 ; gn+2 ; . . .g majdnem mindenhol konvergens sorozat, amelyre gn0 ! g. KÄ onnyen l¶ athat¶ o, hogy a (hn )-b}ol a megfelel}o s¶ ulyokkal anal¶ og m¶ odon k¶epzett (h0n ) sorozat is konvergens, ¶es h0n ! h, valamint gn0 ¸ h0n . KÄ ovetkez¶esk¶eppen g ¸ h, ¶es ez¶ert g 2 D, vagyis a D halmaz nem u Äres. VegyÄ uk ¶eszre, hogy a D az L0 t¶erben korl¶atos, hiszen benne van a K0 (1) halmaz L0 -beli lez¶ artj¶ aban. A cl (K0 (1)) halmaz viszont a 3.2 lemma miatt az L0 t¶erben korl¶ atos. A D halmaz nyilv¶ an L0 -ban z¶art, ez¶ert a 2.7 lemma ¶ertelm¶eben a D halmaz tartalmaz maxim¶ alis elemet. 2 A tov¶abbiakban jelÄolje f0 a D halmaz egyik maxim¶ alis elem¶et. A kÄ ovetkez} o lemm¶ab¶ol l¶atni fogjuk, mi kÄoze van az f0 2 cl (K0 ) fÄ uggv¶enynek az alapt¶etelhez.


109

3.9 Lemma. Ha f0 2 K0 akkor C0 k¶ up Fatou-z¶ art37 . Bizony¶³t¶ as. Az 3.8 lemm¶at megel} oz} oen bevezetett jelÄ ol¶eseket alkalmazva, a C0 Fatou-z¶arts¶ag¶ahoz elegend} o bel¶ atni, hogy h 2 C0 , ami a C0 de¯n¶³ci¶ oja szerint azzal ekvivalens, hogy l¶etezik egy f 2 K0 , amelyre f ¸ h. Ha f0 2 K0 ; akkor ez nyilv¶an teljesÄ ul, hiszen minden f 2 D-re de¯n¶³ci¶ o szerint f ¸ h. 2 Ebb}ol kÄovetkez}oen teh¶at azt kell igazolni, hogy a D halmaz b¶ armely f0 maxim¶alis eleme el}o¶all¶³that¶o valamely 1-megengedett integrandus szerinti integr¶alk¶ent.

3.5

A kÄ ozel¶³t} o sorozatok egyenletes konvergenci¶ aja

Az f0 -r¶ol csak azt tudjuk, hogy eleme a cl (K0 (1)) t¶ernek, vagyis csak azt tudjuk, hogy az f0 1-megengedett integrandusok ¶ altal de¯ni¶ alt ,,kasz¶ al¶ asok" sztochasztikus konvergenci¶aban vett hat¶ ar¶ert¶eke38 . A probl¶ema abb¶ ol ered, hogy nem tudjuk, hogy az integr¶ alk¶ent el} o¶ all¶³that¶ o v¶ altoz¶ ok hat¶ ar¶ert¶eke mikor all¶³that¶o el}o integr¶alk¶ent. A helyzet hasonl¶³t a kÄ ¶ ovetkez} ore: TegyÄ uk fel, hogy ± line¶aris funkcion¶alok valamely (gn ) sorozat¶ ara az ®n = hgn ; f i sz¶ amsorozat konvergens. Mit tudunk mondani a (gn ) sorozat, vagy legal¶ abb valamilyen r¶eszsorozat¶anak konvergenci¶ aj¶ ara? El} oszÄ or azt mutatjuk meg, hogy a kÄ ozel¶³t}o sorozathoz tartoz¶o integr¶ alfolyamatok egy alkalmas r¶eszsorozat¶ anak trajekt¶ori¶ai egyenletesen konvergensek. 3.10 Lemma. Ha (H n ) olyan 1-megengedett keresked¶esi strat¶egi¶ akb¶ ol ¶ all¶ o m.m. sorozat, amelyre (H n ² S)1 ¡! f0 , akkor az ±

±

Fn;m = ((H n ¡ H m ) ² S)¤ = sup j(H n ² S)t ¡ (H m ² S)t j t

(3)

val¶ osz¶³n} us¶egi v¶ altoz¶ o sztochasztikusan tart a null¶ ahoz, valah¶ anyszor n; m ! 1. SzÄ uks¶eg eset¶en r¶eszsorozatra ¶ att¶erve feltehet} o, hogy a (H n ² S) sorozat trajekt¶ ori¶ ai majdnem minden kimenetelre az egyenletes konvergencia topol¶ ogi¶ aban Cauchy-sorozatot alkotnak. Bizony¶³t¶ as. TegyÄ uk fel, hogy a lemma nem teljesÄ ul, vagyis l¶etezik egy 1 ¸ ® > 0 ¶es egy (nk ; mk ) v¶egtelenhez tart¶ o sorozat, amelyre ¡ ¢ P sup j(H nk ² S)t ¡ (H mk ² S)t j > 2® ¸ 2® : t

Ilyenkor

¡ ¢ P sup ((H nk ¡ H mk ) ² S)t > ® ¸ ® t

¶es a

¡ ¢ P sup ((H mk ¡ H nk ) ² S)t > ® ¸ ® t

37 Es ¶

¾(L1 ; L1 )-z¶ art.

¶³gy a C k¶ up mivel csak azt tudjuk, hogy az L0 korl¶ atos ¶ es z¶ art r¶ eszhalmazaiban van maxim¶ alis elem, ez¶ ert a K0 (1) halmazt le kell z¶ arni a sztochasztikus konvergenci¶ aban. 38 Ugyanis,

110


egyenl}otlens¶eg kÄozÄ ul az egyik v¶egtelen sokszor fordul el} o. Ez¶ert, szÄ uks¶eg eset¶en az (nk ; mk ) helyett az (mk ; nk ) sorozatra ¶ att¶erve m¶ ar feltehet} o, hogy minden k-ra ¡ ¢ P sup ((H nk ¡ H mk ) ² S)t > ® ¸ ® : t

Legyen

±

¿k = inf f t j ((H nk ¡ H mk ) ² S)t ¸ ® g :

Ekkor nyilv¶an teljesÄ ul a P (¿k < 1) ¸ ®. De¯ni¶ aljuk az el} orejelezhet} o Lk folyamatot a kÄovetkez}ok¶eppen: ±

Lk = H nk Â ([0; ¿k ]) + H mk Â ((¿k ; 1)) : L¶ assuk be, hogy az Lk folyamat 1-megengedett. Egyszer} u sz¶ amol¶ assal az Lk de¯n¶³ci¶oj¶at felhaszn¶alva ¡ k ¢ L ² S t = (H nk Â ([0; ¿k ]) ² S)t + (H mk Â ((¿k ; 1)) ² S)t = = (H nk Â ([0; ¿k ]) ² S)t + (H mk ² S)t ¡ (H mk Â ([0; ¿k ]) ² S)t =

¿ = (H nk ² S)¿t k + (H mk ² S)t ¡ (H mk ² S)t k =

= ((H nk ¡ H mk ) ² S)¿t k + (H mk ² S)t : ¡ ¢ Ha valamely kimenetelre t · ¿k , akkor Lk ² S t = (H nk ² S)t ¸ ¡1, mivel a feltev¶es szerint H nk 1-megengedett. Ha viszont ¿k < t, akkor a ¿k de¯n¶³ci¶ oj¶ab¶ol, valamint az integr¶alfolyamat trajekt¶ ori¶ ainak jobbr¶ ol val¶ o folytonoss¶ ag¶ ab¶ol kÄovetkez}oen ((H nk ¡ H mk ) ² S)¿t k = ((H nk ¡ H mk ) ² S)¿k ¸ ® ¸ 0 ; az Lk val¶ oban 1-megengedett. Ebb} ol ¶³gy mivel a H m¡k is 1-megengedett, ¢ k kÄ ovetkez}oen az L ² S 1 ¶ertelmes. Legyen ¢ ± ¡ ½k = Lk ² S 1 = ((H nk ¡ H mk ) ² S)¿1k + (H mk ² S)1 :

Ekkor ½k = Ãk + 'k , ahol ±

'k = (H nk ² S)1 Â (¿k = 1) + (H mk ² S)1 Â (¿k < 1) =

= ((H nk ¡ H mk ) ² S)1 Â (¿k = 1) + (H mk ² S)1 Â (¿k < 1) + nk

+ (H mk ² S)1 Â (¿k = 1) =

= ((H ¡ H mk ) ² S)1 Â (¿k = 1) + (H mk ² S)1 = = ((H nk ¡ H mk ) ² S)¿1k Â (¿k = 1) + (H mk ² S)1 ¶es

±

¿

Ãk = ½k ¡ 'k = ((H nk ¡ H mk ) ² S)1k Â (¿k < 1) :

A 2.2 kompakts¶agi lemma alapj¶ an, felhaszn¶ alva, hogy a ¿k de¯n¶³ci¶ oja miatt a Ãk alulr¶ol korl¶atos39 , a megfelel} o konvex kombin¶ aci¶ okra ¶ att¶erve feltehet} o, 39 A

kifejez¶ es minden kimenetelre vagy ¸ ® > 0; vagy ¸ 0; ¶³gy a 0 egy als¶ o korl¶ at.


111

m.m.

hogy valamely Ã0 v¶altoz¶ora Ãk ¡! Ã0 . A felt¶etel szerint majdnem mindenhol lim (H mk ² S)1 = lim (H nk ² S)1 = f0 : k¡!1

k¡!1

A 'k v¶altoz¶o de¯n¶³ci¶oja miatt minden kimenetelre a 'k vagy a (H mk ² S)1 m.m. v¶ altoz¶o, vagy a (H nk ² S)1 ; ¶³gy trivi¶ alisan limk!1 'k = f0 . Ugyanakkor a f¿k < 1g halmazon a ¿k de¯n¶³ci¶ oja ¶es a sztochasztikus integr¶ al jobbr¶ ol val¶ o folytonoss¶aga miatt az eml¶³tett f¿k < 1g halmazon Ãk = ((H nk ¡ H mk ) ² S)¿1k = ((H nk ¡ H mk ) ² S) (¿k ) ¸ ® :

A fenti P (¿k < 1) ¸ ® egyenl}otlens¶egb} ol kÄ ovetkezik, hogy P (Ãk ¸ ®) ¸ ®: Ekkor a 2.5 kompakts¶agi lemma alapj¶ an a konvex kombin¶ aci¶ o Ã0 hat¶ ar¶ert¶ek¶ere P (Ã0 > 0) > 0. Teh¶at a ½k sorozat valamely konvex kombin¶ aci¶ oib¶ ol ¶ all¶ o sorozat az f0 +Ã0 v¶altoz¶ohoz konverg¶ al, ami ellentmond az f0 maximalit¶ as¶ anak. V¶egÄ ul t¶erjÄ unk r¶a a megfelel}o r¶eszsorozat kiv¶ alaszt¶ as¶ ara. A lemma m¶ ar bel¶ atott r¶esze alapj¶an l¶etezik olyan (nk ) indexsorozat, hogy ¡ ¢ P ((H nk ¡ H nl ) ² S)¤ > 2¡k < 2¡k ;

valah¶anyszor l ¸ k. A Borel{Cantelli-lemma miatt majdnem minden kimenetelre v¶eges sok indext}ol eltekintve ((H nk ¡ H nl ) ² S)¤ < 2¡k minden l ¸ k eset¶en, amib}ol az ¶ all¶³t¶ as m¶ ar evidens.

2

A lemma alapj¶an egy r¶eszsorozatra ¶ att¶erve majdnem minden kimenetelre a (H n ² S) sorozat trajekt¶ori¶ai Cauchy-sorozatot alkotnak az egyenletes konvergencia topol¶ogi¶aban. A jobbr¶ ol regul¶ aris fÄ uggv¶enyek teljess¶ege40 miatt ¶erv¶enyes a kÄovetkez}o: 3.11 Lemma. Az el} oz} o lemma felt¶etelei mellett l¶etezik olyan X jobbr¶ ol regul¶ aris, adapt¶ alt folyamat, hogy ±

X = lim H nk ² S ; k!1

ahol a konvergencia trajekt¶ ori¶ ank¶ent egyenletesen ¶ertend} o, vagyis m.m.

sup j(X ¡ H nk ² S)t j ¡! 0 : t

(4)

Miel}ott az al¶abbi hossz¶ u sz¶amol¶ asokra r¶ at¶erÄ unk, ¶erdemes rÄ oviden v¶ azolni a h¶ atralev}o sz¶amol¶asok c¶elj¶at. Az egyenletes konvergencia miatt: f0

= =

lim (H nk ² S)1 = lim lim (H nk ² S)t =

k!1

k!1 t!1

lim lim (H nk ² S)t = lim Xt = X1 :

t!1 k!1

t!1

40 Eml¶ ekeztetÄ unk, hogy jobbr¶ ol regul¶ aris fÄ uggv¶ enyeken az olyan fÄ uggv¶ enyek halmaz¶ at ¶ ertjÄ uk, amelyek jobbr¶ ol folytonosak ¶ es rendelkeznek bal oldali hat¶ ar¶ ert¶ ekkel. Az egyenletes konvergencia felcser¶ elhet} o a hat¶ ar¶ ert¶ ekkel, ¶³gy a jobbr¶ ol regul¶ aris fÄ uggv¶ enyek az egyenletes konvergencia szerint vett topol¶ ogi¶ aban z¶ art halmazt alkotnak, ¶³gy teljes metrikus teret alkotnak.

112


Az X folyamatr¶ol azonban nem tudjuk, hogy szemimarting¶ al, ugyanis a m.m.

(H n ² S)1 ¡! f0

(5)

Ln 2 conv fH nk ; k ¸ ng

(6)

nk

konvergenci¶ab¶ol bel¶atott H ² S ! X trajekt¶ ori¶ ank¶ent val¶ o egyenletes konvergencia t¶ ul gyenge ahhoz, hogy garant¶ alja, hogy az X szemimarting¶ al legyen. Azt meg pl¶ane nem tudjuk, hogy az X az S szerint sztochasztikus integr¶al lenne. TegyÄ uk fel, hogy l¶eteznek olyan k

strat¶egi¶ak, amelyekre a L ² S sztochasztikus integr¶ alok a szemimarting¶ al topol¶ogia szerint konverg¶alnak. Nyilv¶ an az (5) miatt tov¶ abbra is m.m.

(Ln ² S)1 ¡! f0 ;

¶³gy a m¶ar bel¶atottak miatt az Ln ² S trajekt¶ ori¶ ai egyenletesen konverg¶ alnak. M¶emin-t¶etele41 szerint az S szerinti sztochasztikus integr¶ alok halmaza z¶ art a szemimarting¶al topol¶ogi¶ara n¶ezve, kÄ ovetkez¶esk¶eppen l¶etezik egy el} orejelezhet} o L folyamat, hogy Lk ² S ¡! L ² S a szemimarting¶al topol¶ogia szerint. A (6) miatt az Ä osszes Lk strat¶egia 1-megengedett, ¶³gy az L is 1-megengedett. De ekkor, felhaszn¶ alva, hogy a szemimarting¶al topol¶ogi¶aban val¶o konvergenci¶ ab¶ ol kÄ ovetkezik a minden id} opontban val¶ o sztochasztikus konvergencia, (L ² S)1

±

= =

lim (L ² S)t = lim lim (Ln ² S)t =

t!1

t!1 n!1

lim lim (Ln ² S)t = lim (Ln ² S)1 = f0 ;

n!1 t!1

n!1

ahol a k¶et hat¶ar¶ert¶ek az im¶ent l¶atott egyenletes konvergencia miatt cser¶elhet} o fel42 . KÄovetkez¶esk¶eppen f0 2 K0 ; amib} ol a 3.9 lemma miatt a C0 k¶ up Fatouz¶ art, kÄovetkez¶esk¶eppen a 3.7 ¶all¶³t¶ ast, ¶³gy az alapt¶etelt is igazoltuk. H¶ atra van azonban m¶eg a szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban konvergens (Ln ) sorozat megkonstru¶al¶asa!

4

A szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban konvergens sorozat l¶ etez¶ ese

Most t¶erjÄ unk r¶a a bizony¶³t¶as legnehezebb r¶esz¶ere, a szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban konvergens sorozat meghat¶ aroz¶ as¶ ara.

4.1

¶ m¶ Uj ert¶ ekre val¶ o¶ att¶ er¶ es

Tov¶abbra is f0 jelÄolje a D halmaz maxim¶ alis elem¶et ¶es (H n ) legyen egy m.m. olyan 1-megengedett sorozat, amelyre (H n ² S)1 ¡! f0 : Mik¶ent l¶ attuk43 , 41 Medvegyev

[2007b], M¶ emin [1980]. a szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban val¶ o konvergencia nem garant¶ alja a trajekt¶ ori¶ ak teljes id} otengelyen val¶ o egyenletes konvergenci¶ aj¶ at. 43 V.Ä o.: 3.4 lemma. 42 Onmag¶ Ä aban


113

a (H n ² S)¤ halmaz korl¶atos az L0 t¶erben, ¶³gy egy nullm¶ert¶ek} u halmazt¶ ol eltekintve ± ¤ q = sup sup j(H n ² S)t j = sup (H n ² S) < 1 : n

t

n

Ä Osszefoglalva, egy alkalmas r¶eszsorozatra ¶ att¶erve igaz a kÄ ovetkez} o44 : 4.1 Lemma. A (H n ² S) sorozat majdnem biztosan t-ben egyenletesen konverg¶ al valamely X folyamathoz, ¶es a ±

q = sup sup j(H n ² S)t j = sup (H n ² S)¤ n

t

n

v¶ altoz¶ o majdnem biztosan v¶eges. 4.2 Lemma. L¶etezik olyan, P-vel ekvivalens R val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, hogy lim k sup j(H n ² S)t ¡ (H m ² S)t j kL2 (R) = 0 :

n;m!1

t

A Radon{Nikodym deriv¶ alt korl¶ atos. Bizony¶³t¶ as. Legyen

dR ± exp (¡q) ; = dP EP [exp (¡q)]

ahol q az el}oz}o lemm¶aban de¯ni¶ alt v¶ altoz¶ o. Az R val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ek, ugyanis a kifejez¶es integr¶alja ¶eppen egy. Ekkor nyilv¶ an q 2 L2 (R), ez¶ert a sztochasztikus konvergenci¶ara vonatkoz¶ o major¶ alt konvergencia t¶etel szerint a fenti hat¶ar¶ert¶ek l¶etezik, ¶es 0-val egyenl} o. 2 A tov¶abbiakban a fent de¯ni¶alt R val¶ osz¶³n} us¶egi m¶ert¶ekkel fogunk dolgozni. VegyÄ uk ¶eszre, hogy ha egym¶as ut¶ an k¶et m¶ert¶ekcser¶et hajtunk v¶egre, akkor a Radon{Nikodym deriv¶altak Äosszeszorz¶ odnak. A P-r} ol az R-re val¶ o¶ att¶er¶es Radon{Nikodym deriv¶altja korl¶atos. Mivel a m¶ert¶ek v¶eges, egy integr¶ alhat¶ o fÄ uggv¶enyt tetsz}oleges korl¶atos, m¶erhet} o fÄ uggv¶ennyel szorozva integr¶ alhat¶ o fÄ uggv¶enyt kapunk. Ha a m¶ert¶ekcser¶et k¶et l¶ep¶esben hajtjuk v¶egre, el} oszÄ or att¶erÄ ¶ unk a P-r}ol az R-re, majd az R-r} ol a Q-ra, akkor a dQ=dP pontosan akkor integr¶alhat¶o, ha integr¶alhat¶ o a dQ=dR. Mivel a kock¶ azatmentes m¶ert¶ekre val¶o ¶att¶er¶es Radon{Nikodym deriv¶ altj¶ anak integr¶ alhat¶ os¶ ag¶ at a korl¶ atos dR=dP nem ¶erinti, ez¶ert az egyszer} us¶eg kedv¶e¶ert az R-re val¶ o hivatkoz¶ ast elhagyjuk ¶es az alapul vett m¶ert¶eket tov¶ abbra is P-vel fogjuk jelÄ olni. A szeol mimarting¶alok halmaza nem m¶odosul a m¶ert¶ekcsere sor¶ an45 , ¶es mivel S-r} feltesszÄ uk, hogy korl¶atos, ez¶ert az S speci¶ alis szemimarting¶ al. TekinthetjÄ uk teh¶ at az S = M + A kanonikus dekompoz¶³ci¶ oj¶ at, ahol M lok¶ alis marting¶ al, A pedig el}orejelezhet}o, v¶eges v¶altoz¶ as¶ u folyamat. VegyÄ uk ¶eszre, hogy a m¶ert¶ekcser¶et kÄovet}oen az sup j(H n ² S)t j · q 2 L2 (-) t

44 A

tov¶ abbiakban az egyszer} ubb indexel¶ es kedv¶ e¶ ert mindig evvel a r¶ eszsorozattal fogunk dolgozni. 45 Medvegyev [2007a]: Corollary 4.58.

114


miatt a H n ² S egy speci¶alis szemimarting¶ al46 . Ebb} ol kÄ ovetkez} oen47 a H n ²S kanonikus felbont¶asa Hn ² S = Hn ² M + Hn ² A ; ahol az els}o integr¶al lok¶alis marting¶ al, a m¶ asodik pedig egy korl¶ atos v¶ altoz¶ as¶ u al topol¶ ogi¶ aban val¶ o konvergenci¶ aj¶ ahoz folyamat. A (H n ² S) szemimarting¶ elegend}o bel¶atni, hogy a (H n ² M ) ¶es a (H n ² A) konvergensek a szemimarting¶al topol¶ogi¶aban.

4.2

N¶ eh¶ any egyszer} u becsl¶ es

El} oszÄor egy Äonmag¶aban is ¶erdekes becsl¶est mutatunk be: 4.3 Lemma. Legyen S egy szemimarting¶ al, amelynek ugr¶ asaira teljesÄ ul a otlens¶eg, ahol 1 < p · 1. Ekkor az S speci¶ alis szemik(¢S)¤ kp < 1 egyenl} marting¶ al, valamint az S = S (0) + M + A kanonikus felbont¶ as eset¶en teljesÄ ulnek a ° ° ° ° °(¢A)¤ ° · p °(¢S)¤ ° p p p¡1

¶es a

egyenl} otlens¶egek.

° ° ° ° °(¢M )¤ ° · 2p ¡ 1 °(¢S)¤ ° p p p¡1

Bizony¶³t¶ as. A jelÄol¶es egyszer} us¶³t¶ese c¶elj¶ ab¶ ol tegyÄ uk fel, hogy S (0) = 0. Ha ±

¾n = inf ft : jS (t)j > ng ; akkor az ugr¶asokra tett felt¶etel miatt ¯ ¯ jS ¾n j · ¯S ¾n ¯ + j¢S (¾n )j · n + j¢S (¾n )j · ¡

· n + sup j¢Sj 2 Lp (-) µ L1 (-) : t>0

¶Igy sup jS ¾n j (t) 2 L1 (-), teh¶at a sup jS (s)j lok¶ alisan integr¶ alhat¶ o, ¶³gy az t s·t o szerint a speci¶ alis szemimarting¶ aS egy speci¶alis szemimarting¶al48 . De¯n¶³ci¶ lok kanonikus felbont¶as¶aban az A el} orejelezhet} o, ¶³gy a ¢A is el} orejelezhet} o. ¤ alhat¶ o, KÄ ovetkez¶esk¶eppen ¢A = p (¢A). A (¢S) a felt¶etel szerint integr¶ ¢ ¡ ± kÄ ovetkez¶esk¶eppen az L (t) = E (¢S)¤ j Ft egyenletesen integr¶ alhat¶ o marting¶al. Term¶eszetesen ¢ ¡ j¢S (t)j = E (j¢S (t)j j Ft ) · E (¢S)¤ j Ft · L (t) ; 46 V.Ä o.:

Medvegyev [2007a], Theorem 4.44, 257. oldal. 2.12 t¶ etel. 48 Medvegyev [2007a]: Theorem 4.44. 47 V.Ä o.:


115

¶³gy p (j¢Sj) · p L = L¡ . Mivel p (¢M) = 0; ez¶ert j¢Aj = jp (¢A)j = jp (¢S ¡ ¢M )j = jp (¢S) ¡ p (¢M )j = = jp (¢S)j ·

p

(j¢Sj) · L¡ :

Ha 1 > p > 1; akkor a Doob-egyenl} otlens¶eg szerint ° ° ° ° ° ° ° p ° ± °(¢A)¤ ° · °sup jL (t)j° · p kL (1)k = °(¢S)¤ ° : p ° t ° p p p¡1 p¡1 p

Ha p = 1, akkor minden t-re

¢ ¡ j¢A (t)j · L¡ (t) = E (¢S)¤ j Ft¡ · ° ° ¡° ¢ ° · E °(¢S)¤ ° j Ft¡ = °(¢S)¤ ° 1

¶³gy

1

° ° ° ° ± ° ° °sup j¢A (t)j° °(¢A)¤ ° = ° t ° 1

Ebb}ol mind a k¶et esetben ° ° ° ° °sup j¢M j° ° ° t

p

1

:

° ° · °(¢S)¤ °1 :

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° · °sup j¢Sj° + °sup j¢Aj° ° · t t p p ° ° ° ° p ¤ ¤ °(¢S) ° ; · °(¢S) °p + p p¡1

ami ¶eppen a k¶³v¶ant m¶asodik egyenl} otlens¶eg.

2

Gyakran hasznos a kÄovetkez}o egyszer} u ¶eszrev¶etel: 4.4 Lemma. Legyenek (gk )1·k·n nemnegat¶³v, az (-; F; P) val¶ osz¶³n} us¶egi mez} on ¶ertelmezett m¶erhet} o fÄ uggv¶enyek. TegyÄ uk fel, hogy l¶eteznek az (ak )1·k·n ¶es ± pozit¶³v sz¶ amok, amelyekre teljesÄ ul, hogy minden k-ra P (gk ¸ ak ) ¸ ±. Ekkor minden 0 < ´ < 1 eset¶en ! Ã n n X X ±(1 ¡ ´) : gk ¸ ´± ak ¸ P 1 ¡ ´± k=1 k=1 ± Pn Bizony¶³t¶ as. Legyen oljÄ uk A-val az egyenl} otlens¶egben Pn g = k=1 gk , ¶es jelÄ an szerepl}o f g ¸ ±´ k=1 ak g halmazt. Nyilv¶

E (gÂ(Ac )) ·

n X

ak ±´P(Ac ) =

k=1

n X k=1

ak ±´ (1 ¡ P(A)) :

M¶ asfel}ol E (gÂ(Ac )) =

n X k=1

E (gk Â(Ac )) ¸

n X k=1

E (gk Â(Ac )Â(fgk ¸ ak g)) ¸

116

Badics Tam¶ as { Medvegyev P¶eter ¸ ¸

n X k=1 n X k=1

ak P (Ac \ fgk ¸ ak g) ¸ ak ± ¡

n X

n X k=1

ak (P (fgk ¸ ak g) ¡ P (A)) ¸

ak P (A) :

k=1

A k¶et egyenl}otlens¶eg egybevet¶es¶eb} ol kÄ ovetkezik, hogy n X

k=1

ak P (A) ¡

amib}ol

amib}ol a

Pn

k=1 ak

n X k=1

ak ±´P(A) ¸

n X k=1

ak ± ¡

n X

ak ±´ ;

k=1

Pn Pn ak ± ¡ k=1 ak ±´; k=1 Pn ; P(A) ¸ Pn k=1 ak ¡ k=1 ak ±´

6= 0, felhaszn¶al¶ as¶ aval kÄ ovetkezik a lemma.

2

A kÄovetkez}o becsl¶es az el}oz}o becsl¶es kÄ ozvetlen kÄ ovetkezm¶enye: osz¶³n} us¶egi 4.5 Lemma. Legyenek (gk )1·k·n nemnegat¶³v, az (-; F; P) val¶ mez} on ¶ertelmezett m¶erhet} o fÄ uggv¶enyek. TegyÄ uk fel, hogy l¶eteznek a ¶es b pozit¶³v sz¶ amok, melyekre teljesÄ ul, hogy minden k-ra P (gk ¸ a) ¸ b. Ekkor Ã n ! X nab b gk ¸ P ¸ : 2 2 k=1

4.3

N¶ eh¶ any szÄ orny} u becsl¶ es

4.6 Lemma. oli azon 1-megengedett H integrandusokat, amelyekre ° ° Ha H¸ jelÄ °(H ² S)¤ ° · ¸, akkor minden ¸ > 0 eset¶en a 2 ª © ¤ (H ² M ) j H 2 H¸ halmaz korl¶ atos L0 -ban.

oja szerint, minden Bizony¶³t¶ as. RÄogz¶³tett ° en, a H¸ halmaz de¯n¶³ci¶ ° ¸ > 0¤eset¶ ul, ez¶ert a H ²S szemimarting¶ al, a H 2 H¸ folyamatra °(H ² S) °2 · ¸ teljesÄ 49 speci¶alis szemimarting¶alok karakteriz¶ aci¶ os t¶etele miatt speci¶ alis szemimarting¶al. Ekkor H ²M sztochasztikus integr¶ al lok¶ alis marting¶ al szerinti integr¶ al ¶ertelemben l¶etezik, ez¶ert de¯n¶³ci¶o szerint lok¶ alis marting¶ al50 , valamint H ² S kanonikus dekompoz¶³ci¶ + H ² A ªalak¶ u51 . ©oja H ² M ¤ atos az L0 -ban. TegyÄ uk fel, hogy a (H ² S) j H 2 H¸ halmaz nem korl¶ n L¶etezik teh¶ ¡ at egy ®¤ > 0 ¶e¢s egy H¸ -beli (K ) sorozat, hogy minden n ¸ 1 eset¶en P (K n ² M ) > n3 > 8®. Tudjuk, hogy ´ ³¡ ¤ ¢2 · ¸2 ; E (K n ² S) 49 Medvegyev

[2007a]: Theorem 4.44. [2007a]: De¯nition 4.38. 51 Medvegyev [2007a]: Theorem 4.49. 50 Medvegyev


117

¡ ¢2 ez¶ert a (K n ² S)¤ v¶altoz¶ora alkalmazva a Markov-egyenl} otlens¶eget:

´ ¸2 ³¡ ¡ ¢ ¢2 P (K n ² S)¤ ¸ n = P (K n ² S)¤ ¸ n2 · 2 : n o n 2 aljuk a Legyen N olyan, hogy ha n ¸ N , akkor max n¸2 ; n12 < ®6 , ¶es de¯ni¶ ¿n meg¶all¶asi id}oket a kÄovetkez}ok¶eppen: © ª ± ¿n = inf t j j(K n ² M )t j ¸ n3 vagy j(K n ² S)t j ¸ n : ±

Ekkor az Ln = n12 K n Â[0;¿n ] integrandusra teljesÄ ulnek a kÄ ovetkez} ok: 1. Ln ²M lok¶alis marting¶al, hiszen a bizony¶³t¶ as elej¶en elmondottak szerint K n ² M , ¶es ¶³gy Ln ² M is lok¶alis marting¶ al. 2. Ha n ¸ N , akkor ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¤ P (Ln ² M )¤ ¸ n ¸ P (K n ² M )¤ ¸ n3 ¡ P (K n ² S) ¸ n ¸ ¸ 8® ¡

¸2 ¸ 7® : n2

Ezt a kÄovetkez}ok¶eppen l¶athatjuk be. Azokra az ! kimenetelekre, melyekre (K n ² M)¤ (!) ¸ n3 ¶es nyilv¶an (K n ² M )¤¿n

(K n ² S)¤ (!) < n ; ¡ ¢¤ ovetkez¶esk¶eppen ¸ n3 , vagyis n12 K n ² M ¿n ¸ n. KÄ (Ln ² M )¤ ¸ n :

Ezen kimenetelek halmaz¶anak val¶ osz¶³n} us¶ege nyilv¶ an nem kisebb, mint ¡ n ¢ ¡ ¢ ¤ P (K ² M ) ¸ n3 ¡ P (K n ² S)¤ ¸ n :

3. Ln ² S ugr¶asai nem kisebbek, mint ¡ (n + 1) =n2 . Val¶ oban, a ¿n ¿ o korl¶ atja a [0; ¿n ) meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶oja miatt a (K n ² S) n folyamat fels} intervallumon n, ¶es mivel 1-megengedett folyamatr¶ ol van sz¶ o, az ¶ert¶eke [0; ¿n ]on nem kisebb, mint ¡1, ez¶ert (K n ² S)¿n = K n Â[0;¿n ] ² S ugr¶ asai nem kisebbek, mint ¡(n + 1). ° ° ° ° 4. °(Ln ² M )¤ °2 · n+ °¢ (Ln ² M )¿n °2 · n+ n6¸2 . Az egyenl} otlens¶eg els} o ¿n n n fele abb¶ol kÄovetkezik, hogy ¿n de¯n¶³ci¶ oja miatt a (K ² M ) = K Â[0;Tn ] ² M folyamat ¶ert¶eke a [0; ¿n ) intervallumon legfeljebb n3 . Az egyenl} otlens¶eg m¶ asodik r¶esz¶enek igazol¶as¶ahoz vegyÄ uk ¯gyelembe, hogy (¢ (Ln ² S))¤ · 2 (Ln ² S)¤ ; ¶es mivel a K n 2 H¸ miatt

° n ° °(L ² S)¤ ° · ¸ ; 2 n2

(7)

118


ez¶ert az im¶ent bel¶atott 4.3 lemma alapj¶ an ° ° °¢ (Ln ² M ) ° · 6¸ : ¿n 2 n2

A 4. pont alapj¶an Ln ² M 2 H2 , ¶³gy egyenletesen integr¶ alhat¶ o. Minden n-re de¯ni¶aljuk a (¿n;i ) meg¶all¶asi id} okb} ol ¶ all¶ o sorozatot a kÄ ovetkez} ok¶eppen: ± Legyen ¿n;0 = 0, valamint ¯ ¯ n o ± ¯ ¯ ¿n;i = inf t j t ¸ ¿n;i¡1 ¶es ¯(Ln ² M )t ¡ (Ln ² M )¿n;i¡1 ¯ ¸ 1 :

Ekkor minden n ¸ N -re ¶erv¶enyes a kÄ ovetkez} o becsl¶es: ° n ° ° ° n n °(L ² M ) ° ° ° ¿n;i ¡ (L ² M )¿n;i¡1 2 · 1 + ¢ (L ² M )¿n;i 2 · 6¸ · 1+ 2 < 1+® < 2 : n

(8)

JelÄoljÄ uk kn -el n®=4 eg¶eszr¶esz¶et. L¶ assuk be, hogy minden i = 1; . . . ; kn ¶es tetsz}oleges n ¸ N eset¶en P (¿n;i < 1) > 6®. Mivel (¿n;i )i¸0 meg¶ all¶ asi id} ok monoton nÄov}o sorozata, nyilv¶an elegend} o az egyenl} otlens¶eget i = kn -re bi± zony¶³tani. Legyen B = f¿n;kn < 1g, ¶es becsÄ uljÄ uk (Ln ² M )¤ ÂB c kifejez¶es 2 L -norm¶aj¶at. kn ° ° n °X ° ¡ n ¢¤ °(L ² M )¤ ÂBc ° · ° c° · L Â ² M Â B (¿ ;¿ ] n;i¡1 n;i 2 2 i=1

kn X °¡ n ° L Â · (¿

n;i¡1 ;¿n;i ]

i=1

¢¤ ° ² M °2 :

(9)

Ahogy meg¶allap¶³tottuk, Ln ² M, ¶es ez¶ert az Ln Â(¿ ² M is egyenn;i¡1 ;¿n;i ] letesen integr¶alhat¶o marting¶al, ez¶ert az Ln Â(¿ ² M folyamat a [0; 1] ;¿ ] n;i¡1

n;i

intervallumon is marting¶al52 , ¶³gy alkalmazhatjuk a Doob-egyenl} otlens¶eget53 : °¡ n °¡ ¢¤ ° ¢ ° ° L Â ° · 2° Ln Â ° ; ² M ² M ¿ ;¿ 2 ¿ ;¿ 1 2 ( ] ( ] n;i¡1

n;i

n;i¡1

n;i

amib}ol teh¶at, felhaszn¶alva (9)-et, (8)-at, majd a kn de¯n¶³ci¶ oj¶ at: kn X ° n ° °¡ n °(L ² M )¤ ÂBc ° · 2 ° L Â 2 (¿ i=1

n;i¡1 ;¿n;i ]

²M

¢ ° ° · 4kn · n® : 1 2

Ebb}ol a Markov-egyenl}otlens¶eg felhaszn¶ al¶ as¶ aval kapjuk, hogy ¡ ¢ ¤ P (Ln ² M) ÂBc ¸ n · ®2 ; vagyis

52 Medvegyev 53 Medvegyev

¡ © ª¢ P B c \ (Ln ² M )¤ ¸ n · ®2 < ® ;

[2007a]: Corollary 1.67. [2007a]: Corollary 1.53.


119

amib}ol: ¡ ¢ ¡ © ª¢ P (B) ¸ P (Ln ² M )¤ ¸ n ¡ P B c \ (Ln ² M )¤ ¸ n > 7® ¡ ® = 6® : (10) Teh¶at val¶oban P (¿n ;i < 1) > 6® : © ¡ ª n VezessÄ uk be az fn;i = (L ² M )Tn;i ¡ (Ln ² M )Tn;i¡1 ¶es a Bn;i = fn;i ¸® jelÄol¶eseket. Megmutatjuk, hogy P (Bn;i ) > ®2 . Mivel az Ln ² M folyamat egyenletesen integr¶alhat¶o marting¶ al, a meg¶ all¶ asi opci¶ okr¶ ol sz¶ ol¶ o t¶etelb} ol54 kÄ ovetkezik, hogy ¡ +¢ ¡ ¡¢ E (fn;i ) = E fn;i ¡ E fn;i =0; amib}ol

Ebb}ol, a n

¡ ¡¢ ¡ + ¢ E (jfn;i j) : E fn;i = E fn;i = 2

(11)

o ¯ ¯ ! j ¯(Ln ² M )¿n;i ¡ (Ln ² M )¿n;i¡1 ¯ ¸ 1 ¶ f! j ¿n;kn < 1g

tartalmaz¶as, a (10) otlens¶eg felhaszn¶ al¶ as¶ aval ¡ ¡becsl¶ ¢ es, valamint ac Markov-egyenl} ¡ kapjuk, hogy E fn;i > 3®. Mivel Bn;i halmazon fn;i kisebb ®-n¶ al, ez¶ert ¡ ¡ ¢ ¡ ¡¢ E fn;i ÂBn;i ¸ E fn;i ¡ ® > 2® :

(12)

A Cauchy{Schwarz egyenl}otlens¶eg, majd a (8) becsl¶es felhaszn¶ al¶ as¶ aval: ¡ ¡ ¢ 1 1 E fn;i ÂBn;i · kfn;i k2 P (Bn;i ) 2 · 2P (Bn;i ) 2 :

(13)

V¶egÄ ul (12) ¶es (13) sorok egybevet¶es¶evel pedig kapjuk, hogy P (Bn;i ) > ®2 . Most t¶erjÄ unk r¶a Ln ² A vizsg¶ alat¶ ara. Felhaszn¶ alva (7) sort, minden i-re kapjuk: ° ° n 2¸ n ° °(L ² S) ¿n;i ¡ (L ² S)¿n;i¡1 2 · 2 : n Ebb}ol a Markov-egyenl}otlens¶eg felhaszn¶ al¶ as¶ aval: µ ¶ µ ¶2 2 ¯ ¯ 2¸ 2¸ n P ¯(Ln ² S)¿n;i ¡ (Ln ² S)¿n;i¡1 ¯ ¸ · = n¡2 : n n2 4¸2

VegyÄ uk ¶eszre, hogy ©

!j

54 Medvegyev

½

¯ ¯ 2¸ ¸ ® n ! j ¯(Ln ² S)¿n;i ¡ (Ln ² S)¿n;i¡1 ¯ ¸ ½ ¾n 2¸ µ ! j (Ln ² A)¿n;i ¡ (Ln ² A)¿n;i¡1 ¸ ® ¡ ; n

¡ fn;i

ª

[2007a]: Theorem 1.86.

¾

µ

120


ugyanis (Ln ² A)¿n;i ¡ (Ln ² A)¿n;i¡1 < ® ¡

2¸ n

eset¶en az ¶es az

fn;i · ¡® ¯ n ¯(L ² S)

¿n;i

¯ 2¸ ¡ (Ln ² S)¿n;i¡1 ¯ < n

egyÄ utt nem teljesÄ ulhet. ¢ ¡ ¡ ¸ ® ¸ ®2 becsl¶esb} ol kÄ ovetkezik, hogy A fenti tartalmaz¶asb¶ol ¶es a P fn;i ul, hogy minden i · kn , ¶es n ¸ N -re teljesÄ µ ¶ 2¸ P (Ln ² A)¿n;i ¡ (Ln ² A)¿n;i¡1 ¸ ® ¡ (14) > ®2 ¡ n¡2 : n as¶ u, ¶es a bizony¶³t¶ as elej¶en elmondottak szeAz Ln ² A nyilv¶an korl¶atos v¶altoz¶ as¶ anak korl¶ atos v¶ altoz¶ as¶ u rint megegyezik Ln ² S folyamat kanonikus felbont¶ r¶esz¶evel, ez¶ert el}orejelezhet}o is. Alkalmazhatjuk teh¶ at r¶ a a 2.13 Hahn felbonn n ¶es B¡ olyan el} orejelezhet} o halmazokb¶ ol ¶ all¶ o part¶³ci¶ oja t¶ asi t¶etelt. Legyen B+ n ² A ul, hogy Ln ÂB+n ² A ¶es ¡Ln ÂB¡ az IR+ £ - halmaznak, amelyekre teljesÄ folyamatok pozit¶³v ¶ert¶ekeket vesznek fel, ¶es trajekt¶ ori¶ ai nÄ ovekv} oek. JelÄ oljÄ uk Rn -el az Ln ÂB+n \[0;¿n;kn ] folyamatot. Ekkor az Rn ² A folyamat kiel¶eg¶³ti az al¶ abbi egyenl}otlens¶eget: (Rn ² A)¿n;i ¡ (Rn ² A)¿n;i¡1 ¸ (Ln ² A)¿n;i ¡ (Ln ² A)¿n;i¡1 ; hiszen a bal oldal i · kn eset¶en ¡ n ¢ ¡ ¢ L ÂB+n \[0;¿n;kn ] ² A ¿ ¡ Ln ÂB+n \[0;¿n;kn ] ² A ¿ = n;i n;i¡1 ¡ n ¢ ¡ n ¢ = L ÂB+n ² A ¿ ¡ L ÂB+n ² A ¿ = n;i n;i¡1 ¡ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ = Ln ÂB+n Â[0;¿n;i¡1 ] + Â(¿n;i¡1 ;¿n;i ] ² A ¿ ¡ Ln ÂB+n Â[0;¿n;i¡1 ] ² A ¿ = n;i n;i¡1 ¡ n ¢ = L ÂB+n Â(¿n;i¡1 ;¿n;i ] ² A ¿ : n;i A jobb oldal pedig hasonl¶o ¶atalak¶³t¶ asokkal ¡ n ¢ n )Â L (ÂB+n + ÂB¡ (¿n;i¡1 ;¿n;i ] ² A ¿

n;i

;

¡ n ¢ n ² L Â ahol Ln ÂB¡n Â(¿n;i¡1 ;¿n;i ] ² A = ÂB¡ ³v ¶ert¶ekeket (¿n;i¡1 ;¿n;i ] ² A negat¶ felvev}o folyamat. Ezt (14) sorral egybevetve kapjuk, hogy i · kn , ¶es n ¸ N eset¶en: µ ¶ 2¸ n n (15) P (R ² A)¿n;i ¡ (R ² A)¿n;i¡1 ¸ ® ¡ > ®2 ¡ n¡2 : n Mivel Rn ² S ugr¶asai r¶esz¶et k¶epezik Ln ² S ugr¶ asainak, ez¶ert ¡ ¡ (¢ (Rn ² S)) · (¢ (Ln ² S)) ·

n+1 2 · : n2 n

(16)

A p¶enzÄ ugyi eszkÄozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶etele . . . L¶ assuk be a ° n °(R ² M )

¿n;kn

121

kn °2 X ° · kfn;i k22 2

(17)

i=1

egyenl}otlens¶eget. Nyilv¶an teljesÄ ulnek a kÄ ovetkez} o egyenl} os¶egek: (Rn ² M )¿n;k = (Rn ² M )¿n;kn (1) = n ¡ ¢¿ = Ln ÂB+n \[0;¿n;kn ] ² M n;kn (1) = ¡ ¢ ¡ ¢ = Ln ÂB+n \[0;¿n;kn ] ² M (1) = ÂB+n \[0;¿n;kn ] ² (Ln ² M) (1) :

Figyelembe v¶eve, hogy Ln ² M 2 H20 , ¶³gy55 °¡ °2 ° °2 ¢ ° ÂB n \[0;¿ ² (Ln ² M ) (1)°2 = °ÂB+n \[0;¿n;kn ] ² (Ln ² M)°H2 ; n;kn ] +

amib}ol az Itô-izometria56 felhaszn¶ al¶ as¶ aval, °¡ °2 ° °2 ¢ ° ÂB n \[0;¿ ² (Ln ² M ) (1)°2 = °ÂB+n \[0;¿n;kn ] °Ln ²M = n;kn ] + ¶ µZ 1 ³ ¶ µZ 1 ´2 n n n ÂB+ \[0;¿n;kn ] d [L ² M ] · E =E Â[0;¿n;kn ] d [L ² M ] = 0

0

°2 °¡ °2 ° ¢ = °Â[0;¿n;kn ] °Ln ²M = ° Â[0;¿n;kn ] ² (Ln ² M) (1)°2 = °2 ° = °(Ln ² M )¿n;kn °2 ;

a fentieket egybevetve teh¶at kapjuk, hogy °2 °2 ° n ° n ° ° ° °(R ² M ) ¿n;kn 2 · (L ² M )¿n;kn 2 :

Mivel Ln ² M 2 H2 , ¶³gy Ln ² M egyenletesen integr¶ alhat¶ o, ez¶ert a meg¶ all¶ asi opci¶okr¶ol sz¶ol¶o t¶etel alapj¶an ¡ ¢ E (Ln ² M )¿n;i j F¿n;i¡1 = (Ln ² M )¿n;i¡1 ;

amib}ol:

=

kn X i=1

kn ³ X i=1

kfn;i k22 =

E E (Ln ² M)2¿n;i+(Ln ² M)2¿n;i¡1¡2 (Ln ² M)¿n;i (Ln ² M)¿n;i¡1 j F¿n;i¡1 =

kn ³ ³ X i=1

=

E E (Ln ² M)2¿n;i ¡ (Ln ² M)2¿n;i¡1 j F¿n;i¡1

kn ³ X i=1

55 Medvegyev

56 Medvegyev

E (Ln ² M)2¿n;i ¡ (Ln ² M)2¿n;i¡1

[2007a]: Theorem 2.85. [2007a]: Theorem 2.88/5.

´

° °

´´

=

°2 °

= °(Ln ² M)¿n;k ° ; n 2

´

=

122


amib}ol (17) egyenl}otlens¶eg m¶ar kÄ ovetkezik. A kor¶abbi (8) becsl¶es ¶es (17) alapj¶ an, n ¸ N eset¶en: ° n °2 °(R ² M ) ° < 4kn : ¿n;k 2

(18)

n

Mivel Ln ² M 2 H2 , ez¶ert nyilv¶an Rn ² M 2 H2 , vagyis Rn ² M egyenletesen integr¶alhat¶o marting¶al, ez¶ert alkalmazhat¶ o a Doob-egyenl} otlens¶eg57 az Rn ² ¿n;kn n M = R ² M , [0; 1]-en ¶ertelmezett marting¶ alra, vagyis ° ° ° ° ° sup j(Rn ² M ) j °2 · 4°(Rn ² M ) °2 = t 2 1 2 t¸0

° °2 = 4°(Rn ² M )¿n;k °2 < 16kn :

(19)

n

B¶ ar az Rn ² S megengedetts¶eg¶er}ol nem tudunk semmit, a fentiek seg¶³ts¶eg¶evel megmutatjuk, hogy a folyamat csak kis val¶ osz¶³n} us¶eggel vesz fel kis ¶ert¶ekeket. Mivel Rn ² A folyamat nÄovekv}o, ez¶ert nemnegat¶³v, ¶³gy Rn ² S = Rn ² M + Rn ² A ¸ Rn ² M : Ezt felhaszn¶alva, majd alkalmazva a Markov-egyenl} otlens¶eget, majd a (19) sort: ¡ ¡ 1¢ 1¢ P inf (Rn ² S)t · ¡kn n¡ 4 · P sup j(Rn ² M )t j ¸ kn n¡ 4 · t¸0

t¸0

·

¡¡ ¢2 ¢ E supt¸0 j(Rn ² M )t j 1

kn2 n¡ 2

Legyen ±

¾n = inf

n

<

p 16kn 16 n = : 1 kn kn2 n¡ 2 1

t j (Rn ² S)t < ¡kn n¡ 4 1

o

:

Mivel ¾n (!) < 1 eset¶en (Rn ² S)¾n (!) · ¡kn n¡ 4 , ez¶ert 1

inf f (Rn ² S) (!; t) g · ¡kn n¡ 4 ;

t¸0

amib}ol a fenti egyenl}otlens¶eg alapj¶ an p 16 n P (¾n < 1) · : kn ±

Most de¯ni¶aljuk a kÄovetkez}o integrandust: Vn = k1n Rn Â[0;¾n ] . Ekkor a (16) ¡2 becsl¶es alapj¶an a Vn ² S ugr¶asai nem kisebbek mint nk ; ez¶ert a Vn ² S nem n 1 2 ¡4 kisebb mint ¡n ¡ nkn , vagyis ° ° ° lim °(Vn ² S)¡ 1 1 =0:

n!1 57 Medvegyev

[2007a]: Corollary 1.53, (1.18) sor

(20)


123

Teh¶at Vn olyan megengedett integrandus, melynek egyenletes als¶ o korl¶ atja 0-hoz tart. Az al¶abbiakban bel¶atjuk, hogy (Vn ² S)1 pozit¶³v val¶ osz¶³n} us¶eggel pozit¶³v. Mivel a (15) becsl¶es, ¶es a 4.5 lemma alapj¶ an ¶ µ µ ¶ ¢ ®2 ¡ n¡2 2¸ ¡ 2 kn n ¡2 > P (R ² A)¿n;k ¸ ®¡ ® ¡n ; n 2 n 2 ez¶ert ¶ µ µ ¶ ¢ ®2 ¡ n¡2 2¸ ¡ 2 1 P (V n ² A)¿n;k ¸ ®¡ ® ¡ n¡2 > ¡ P (¾n < 1) ; n 2 n 2

amib}ol ¶ µ µ ¶ p ¢ ®2 ¡ n¡2 16 n 2¸ ¡ 2 1 > P (V n ² A)¿n;k ¸ ®¡ ® ¡ n¡2 ¡ : n 2 n 2 kn

Ekkor, mivel a V n ² A trajekt¶ori¶ ai nÄ ovekv} oek, µ µ ¶ ¶ p ¢ 1 16 n 2¸ ¡ 2 ®2 ¡ n¡2 n ¡2 P (V ² A)1 ¸ ¡ ; ®¡ ® ¡n > 2 n 2 kn p ¡ ¢¡ 2 ¢ 2 ¡2 2 3 tov¶ abb¶a az 12 ® ¡ 2¸ ¡ 16kn n ! ®2 miatt ® ¡ n¡2 ! ®2 , ¶es az ® ¡n n 2 el¶eg nagy n-re ¡ ®3 ¢ ®2 P (V n ² A)1 ¸ > : (21) 4 4 Most pr¶ob¶aljuk meg a (V n ² S)1 = (V n ² A)1 + (V n ² M )1 felbont¶ asban a m¶asodik tagot, vagyis a (V n ² M )1 v¶ altoz¶ ot becsÄ ulni. Bel¶ atjuk, hogy (V n ² M )1 tart 0-hoz L2 -ben. A V n folyamat de¯n¶³ci¶ oja alapj¶ an: k(V n ² M )1 k2

= =

1 kn 1 kn

°¡ n ° ¢ ° R Â[0;¾ ] ² M (1)° = n 2

°¡ ° ¢ ° Â[0;¾ ] ² (Rn ² M ) (1)° : n 2

Tudjuk, hogy Rn ² M 2 H2 , ez¶ert alkalmazhat¶ o az It^ o-izometria58 , amib} ol s µZ ¶ 1 °¡ ° ¢ 2 n ° Â[0;¾ ] ² (Rn ² M) (1)° = E Â[0;¾n ] d [R ² M] · n 2 0

s µZ · E

0

1

1 d [Rn ² M]

¶

:

Ism¶et az Itô-izometria, valamint az Rn = Rn Â[0;¿n;kn ] felhaszn¶ al¶ as¶ aval, s µZ ¶ 1 ° ° E 1 d [Rn ² M ] = °(1 ² (Rn ² M )) (1)°2 = 0

°¡¡ ° ° ° ° ° ¢ ¢ = ° Rn Â[0;¿n;kn ] ² M (1)°2 = °(Rn ² M)¿n;kn (1)°2 = °(Rn ² M)¿n;k °2 : n 58 Medvegyev

[2007a]: Theorem 2.88.

124


A fentieket egybevetve a (18) seg¶³ts¶eg¶evel ° n ° ° ° 2 °(V ² M ) ° · 1 °(Rn ² M ) ° !0: 1 2 ¿n;kn 2 · p kn kn

A Markov-egyenl}otlens¶eg alapj¶an,

Az

¡ 2 ¢ ¡ n ®3 ¢ E (V n ² M )1 P j(V ² M)1 j > · !0: ®6 8 64

¾ ®3 µ ! j (V ² A)1 > 4 ½ ¾ ½ ¾ ®3 ®3 n n µ ! j (V ² S)1 > [ ! j j(V ² M )1 j > 8 8 tartalmaz¶as, ¶es a (21) egyenl}otlens¶eg miatt: ½

n

¡ ¡ ®3 ¢ ®3 ¢ ®2 P (V n ² S)1 > + P j(V n ² M )1 j > > ; 8 8 4

amib}ol a fenti konvergencia miatt, el¶eg nagy n-re:

±

¡ ®3 ¢ ®2 P (V n ² S)1 > : > 8 8

Ekkor teh¶at a gn = (V n ² S)1 olyan K0 -beli sorozat, melyre a (20) sor miatt P

limn!1 kgn¡ k1 = 0, de a fenti egyenl} otlens¶eg alapj¶ an a gn ¡! 0 nem teljesÄ ul, ami ellentmond a 2.6 lemm¶anak. 2 ±

4.7 Lemma. Legyen ¿cn = inf f t j j(H n ² M)t j ¸ c g ¶es legyen ±

Kcn = H n Â ((¿cn ; 1)) : Ekkor minden " > 0-hoz l¶etezik egy c0 > 0, hogy minden n eset¶en, tetsz} oleges (¸1 ; . . . ; ¸n ) konvex s¶ ulyokra ¶es minden c ¸ c0 sz¶ amra ÃÃ n !¤ ! X i P ¸i Kc ² M >" <": i=1

Bizony¶³t¶ as. TegyÄ uk fel, hogy az ¶ all¶³t¶ assal ellent¶etben l¶etezik egy ® > 0 sz¶ am, hogy minden c0 eset¶en l¶eteznek a (¸1 ; . . . ; ¸n ) konvex s¶ ulyok ¶es a c ¸ c0 sz¶ am, hogy ÃÃ n !¤ ! X i P ¸i Kc ² M >® >®: i=1

Mivel a 4.1 lemma alapj¶an a q = supn supt j(H n ² S)t j val¶ osz¶³n} us¶egi v¶ altoz¶ o majdnem biztosan v¶eges, ez¶ert l¶etezik olyan N 2 IN , hogy P (q > N ) < ®4 . De¯ni¶aljuk a kÄovetkez}o meg¶all¶asi id} ot: ¿ = inf f t j 9n ¸ 1 : j(H n ² S)t j > N g :


125

Ha valamely !-ra ¿ (!) < 1, akkor l¶etezik egy n 2 IN , melyre supt j(H n ² S)t j > ± N , ez¶ert q > N , teh¶at P (¿ < 1) < ®4 . Legyen ¸ = supn ksupt j(H n ² S)t jk2 . Ekkor a ¸ v¶eges, hiszen minden n-re ksupt j(H n ² S)t jk2) · kqk2 , ¶es a 4.2 lemma bizony¶³t¶as¶aban l¶attuk, hogy < 1. Mivel minden n-re a H n ° n kqk2 ¤ ° ° ° 1-megengedett integrandus, ¶es (H ² S) 2 · ¸, ez¶ert a el} oz} o 4.6 lemma © ª alapj¶an a (H n ² M )¤ n¸1 halmaz korl¶ atos az L0 -ban, vagyis ¡ ¢ lim sup P (H n ² M )¤ ¸ c = 0 :

c!1 n

© ª Ebb}ol viszont a f¿cn < 1g µ (H n ² M)¤ ¸ c tartalmaz¶ as miatt lim sup P (¿cn < 1) = 0 ;

c!1 n

(22)

ez¶ert tetsz}oleges 0 < ± < ®4 eset¶en l¶etezik a c1 sz¶ am, melyre minden c ¸ c1 ¶es minden n 2 IN eset¶en P (¿cn < 1) < ± 2 . Nyilv¶ an minden n-re ° n ° ° ° °(Kc ² S)¤ ° · °2 (H n ² S)¤ Âf¿ n <1g ° ; c 2 2 valamint a HÄolder-egyen}otlens¶egb} ol ¶es (H n ² S)¤ · q felhaszn¶ al¶ as¶ aval: ° ° n 1 °(H ² S)¤ Âf¿ n <1g ° · kqk P (¿cn < 1) 4 : 4 c 2

Szint¶en a 4.2 lemma bizony¶³t¶asa alapj¶ an kqk4 < 1 is teljesÄ ul, ez¶ert a fentiek alapj¶an l¶etezik egy c2 sz¶am, hogy c ¸ c2 eset¶en minden n-re ° n ° 1 °(Kc ² S)¤ ° · 2 kqk P (¿ n < 1) 4 · ± : c 4 2

(23)

RÄ ogz¶³tsÄ unk egy c ¸ max fc1 ; c2 g sz¶ amot. Az indirekt feltev¶es szerint l¶eteznek a (¸1 ; . . . ; ¸n ) konvex s¶ ulyok, melyekre ÃÃ n !¤ ! X i P ¸i Kc ² M >® >®; i=1

© ¯¡P ª ¢¯ ± ¶es legyen ¾ = inf t j ¯ ni=1 ¸i Kci ² M t ¯ ¸ ® . ¢ ± ¡Pn i Legyen K = ul a i=1 ¸i Kc Â[0;minf¿;¾g] . Ekkor teljesÄ (Ã n X i=1

¸i Kci

²M

!¤

>®

)

µ

©

ª (K ² M)¤ ¸ ® [ f ¿ < 1 g

tartalmaz¶as, hiszen ha ! eleme a bal oldalnak, akkor erre a kimenetelre tel¤ jesÄ ul, hogy ¾ < 1, ez¶ert ha ¾ < ¿ akkor (K ² M ) ¸ ®, ha pedig ¾ ¸ ¿ , akkor a ¾ < 1 miatt ¿ < 1. Ebb} ol pedig kÄ ovetkezik a ¡ ¢ 3® ¤ P (K ² M ) ¸ ® > ® ¡ P (¿ < 1) > 4

(24)

126


¡ ¢¤ Pn otlenegyenl}otlens¶eg, m¶asr¶eszt a (K ² S)¤ · i=1 ¸i Kci ² S ¶es (23) egyenl} s¶egb}ol kÄovetkezik, hogy ° ° °(K ² S)¤ ° · ± : (25) 2

Most vizsg¶aljuk meg hogy a K megengedett-e. A K ¶es Kci de¯n¶³ci¶ oja alapj¶ an: (K ² S)t = =

n ³X

i=1 n X

¸i

i=1

=

n X i=1

= =

¸i H i Â(¿ci ;1] Â[0;minf¿;¾g] ² S

n X i=1 n X

´

t

=

³¡ ¢minf¿;¾g ´ H i Â(¿ci ;1] ² S = t

³¡ ¢minf¿;¾g ´ ¸i H i ² S ¡ H i Â[0;¿ci ] ² S = t

³ ¡ ¢¿ i ´ ¸i H i ² S ¡ H i ² S c

minft;¿;¾g

¸i

i=1

=

³¡ ´ ¢ ¡ ¢ H i ² S minft;¿;¾g ¡ H i ² S minft;¿;¾;¿ i g : c

© ª Ha t · ¿ci akkor min ft; ¿; ¾g = min t; ¿; ¾; ¿ci ez¶ obbi kifejez¶ ©ert az ut¶ ª © es ezen ª i i kimenetelekre nulla, m¶asr¶eszt t > ¿c eset¶en min t; ¿; ¾; ¿c = min ¿; ¾; ¿ci . Teh¶at az ut¶obbi kifejez¶es a n X i=1

¸i Âft>¿ci g

´ ³¡ ¢ ¡ ¢ H i ² S minft;¿;¾g ¡ H i ² S minf¿;¾;¿ i g c

alakba ¶³rhat¶o. Ha ¿ci < ¿ vagy ¾ < ¿ , akkor | mivel H i 1-megengedett | a (K ² S)t -re kapott kifejez¶es ¶es ¿ meg¶ all¶ asi id} o de¯n¶³ci¶ oja alapj¶ an ¶erv¶enyes a (K ² S)t ¸

n X i=1

¸i Âft>¿ci g (¡1 ¡ N )

egyenl}otlens¶eg. Ha ¿ci ¸ ¿ ¶es ¾ ¸ ¿ , akkor t > ¿ci eset¶en © ª min ft; ¿; ¾g = min ¿; ¾; ¿ci = ¿ ;

ez¶ert az egyenl}otlens¶eg ezen kimenetelekre is teljesÄ ul. Azt kaptuk teh¶ at, hogy Pn

(K ² S)t ¸ ¡ (N + 1) Ft ;

ahol Ft = i=1 ¸i Â(¿ci ;1] , egy nÄ ovekv} o adapt¶ alt ¶es balr¶ ol folytonos, ¶es ¶³gy el} orejelezhet}o folyamat. Mivel c ¸ c1 , ez¶ert c1 v¶ alaszt¶ asa miatt P (Tcn < 1) < ± 2 , ez¶ert E (F1 ) · ± 2 , amib}ol a Markov-egyenl} otlens¶eg felhaszn¶ al¶ as¶ aval ± kapjuk, hogy P (F1 > ±) · ±, amib} ol kÄ ovetkezik, hogy a º = inf ft j Ft > ±g m¶ odon de¯ni¶alt meg¶all¶asi id}ore teljesÄ ul, hogy P (º < 1) · ± < ®4 . Legyen K 0 = KÂ[0;º] . Erre (23) becsl¶es miatt teljesÄ ul, hogy ° 0 ° °(K ² S)¤ ° · ± ; 2


127

valamint (24) becsl¶es ¶es a © ª © ª ¤ (K ² M)¤ ¸ ® µ (K 0 ² M ) ¸ ® [ fº < 1g

tartalmaz¶asb¶ol kapjuk, hogy

¡ ¢ 3® ® ¤ ¡± > : P (K 0 ² M ) ¸ ® > 4 2

Az Ft balr¶ol folytonoss¶ag¶ab¶ol kÄ ovetkezik, hogy K 0 ² S ¸ ¡ (N + 1) ±, ez¶ert K0 ± L = (N +1)± egy 1-megengedett folyamat. Ekkor fenti egyenl} otlens¶egek alapj¶ an egyr¶eszt °¡ ¢¤ ° 1 ° ± ° ; ° L ²S ° · N +1 2 ¡ ¢¤ vagyis minden ± < ®=4 eset¶en L± ² M 2 H N1+1 , m¶ asr¶eszt µ

¡ ¢¤ P L± ² M ¸

® (N + 1) ±

¶

>

® ; 2

vagyis az f(L± ²M )¤ g±< ®4 halmaz nem korl¶ atos L0 -ban, ami ellentmond a 4.6 lemm¶anak. 2 4.8 Lemma. Az el} oz} o lemm¶ aban haszn¶ alt jelÄ ol¶eseket alkalmazva, minden " > 0-hoz l¶etezik egy c0 > 0, hogy minden c ¸ c0 sz¶ amra tetsz} oleges jhj · 1 el} orejelezhet} o folyamatra ¶es tetsz} oleges (¸1 ; . . . ; ¸n ) konvex s¶ ulyokra n ³³³ X ´ ´¤ p ´ P h ¸i Kci ² M > " < 5" : i=1

Speci¶ alisan, ha c ¸ c0 , akkor n °X ° p ° ¸i Kci ² M °S < 6 " : i=1

Bizony¶³t¶ as. RÄogz¶³tsÄ unk egy " > 0 sz¶ amot, ¶es c0 legyen olyan, hogy teljesÄ uljÄon r¶a, hogy minden n eset¶en, tetsz} oleges (¸1 ; . . . ; ¸n ) konvex s¶ ulyokra ¶es minden c ¸ c0 sz¶amra n ³³X ´¤ ´ P ¸i Kci ² M > " < " : i=1

Az el}oz}o lemma ¶ertelm¶eben ilyen c0 l¶etezik. Az el} oz} o lemma bizony¶³t¶ as¶ anak (22) ¶es (23) sorait ¯gyelembe v¶eve, a c0 -t v¶ alasszuk meg u ¶gy, hogy minden c ¸ c0 sz¶amra a ° ° " sup °(Kcn ² S)¤ °2 · 6 n

egyenl}otlens¶eg is teljesÄ uljÄon. Tov¶ abb¶ a (¢ (Kcn ² S))¤°· 2 (Kcn ² S)¤ ,°ez¶ert az el} oz}o lemma bizony¶³t¶as¶anak (23) sor¶ at felhaszn¶ alva °(¢ (Kcn ² S))¤ °2 · 2±,

128


ekkor teh¶at alkalmazhat¶o a 4.3 lemma, miszerint a Kcn ² S speci¶ alis szemimarting¶al, ¶es ¶³gy 2.12 t¶etel szerint, ha M az S kanonikus felbont¶ as¶ anak lok¶ alis marting¶al r¶esze, akkor Kcn ²S kanonikus felbont¶ as¶ anak lok¶ alis marting¶ al r¶esze ¶eppen Kcn ² M. Ekkor viszont a 4.3 lemma alapj¶ an minden n-re tetsz} oleges ¾ meg¶all¶asi id}ore ¶es c > c0 -ra: k(¢ (Kcn ² M ))¾ k2 · " : VegyÄ unk egy tetsz}oleges 1-n¶el nem nagyobb abszol¶ ut ¶ert¶ek} u el} orejelezhet} o folyamatot, egy c ¸ c0 sz¶amot ¶es a (¸1 ; . . . ; ¸n ) konvex s¶ ulyokat, ¶es de¯ni¶ aljuk a n o n ¯X ¡ ¢ ¯¯ ± ¯ ¾ = inf t j ¯ ¸i Kci ² M t ¯ > " i=1

meg¶all¶asi id}ot. Ekkor nyilv¶an

n n ¯ ¯³X ´ X ¯ ¡ ¯ ¢ ¯ ¯ ¸i ¯¢ Kci ² M (¾)¯ ; sup ¯ ¸i Kci ² M ¯ · " + t·¾

t

i=1

i=1

amit a fenti becsl¶essel egybevetve

n ° ¯³X ¯ ° ´ ° ¯ ¯ ° ¸i Kci ² M ¯ ° · 2" ; ° sup ¯ t·¾

t

i=1

2

¡Pn ¢ i ami azt jelenti, hogy a i=1 ¸i Kc Â[0;¾] ² M hogy n ¯³³X ° ´ ´ ¯ ° ¸i Kci Â[0;¾] ² M ° sup ¯ t¸0

t

i=1

lok¶ alis marting¶ alra teljesÄ ul, ¯° ¯° ¯ ° · 2" : 2

Ebb}ol viszont a Burkholder-egyenl} otlens¶egb} ol59 kÄ ovetkezik, hogy n ³³³X ´ ´ ´ E ¸i Kci Â[0;¾] ² M (1) < 1 ; i=1

¡Pn ¢ 60 i ez¶ert a H2 marting¶ a lok karakteriz¶ a ci¶ o s t¶ e tele alapj¶ a n ¸ K Â ² i [0;¾] c i=1 ¡ Pn ¢ 2 i 2 M 2 H0 , ez¶ert h i=1 ¸i Kc Â[0;¾] ² M 2 H0 : Az It^ o-izometria alapj¶ an n °³ X ° ´ ° ° ¸i Kci Â[0;¾] ² M ° ° h

H2

i=1

= khk(Pn

i=1

¸i Kci Â[0;¾] )²M

·

v u ³h³ n n ° ´ i ´ ° ³X ´ X u ° ° i t ¸i Kc Â[0;¾] ² M (1) = ° ¸i Kci Â[0;¾] ² M ° · E i=1

i=1

n ° ¯³³X ´ ´ ¯° ° ¯° ¯ = ° sup ¯ ¸i Kci Â[0;¾] ² M ¯ ° · 2" : t¸0

59 Medvegyev 60 Medvegyev

i=1

[2007a], Theorem 4.68. [2007a], Proposition 2.84.

t

2

H2

=


129

Ebb}ol pedig a Markov-egyenl}otlens¶eg alapj¶ an n ´ ´¤ p ´ ³³³ X P h ¸i Kci Â[0;¾] ² M > " < 4" ; i=1

m¶ asr¶eszt a ¾ meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶ oja miatt P (¾ < 1) < ", ez¶ert n ³³³ X ´ ´¤ p ´ P h ¸i Kci ² M > " · i=1

n ´ ´¤ p ´ ³³³ X P h ¸i Kci Â[0;¾] ² M > " + P (¾ < 1) < 5" : i=1

n¡¡ P ¢ ¢¤ p o n T¶erjÄ unk r¶a a m¶asodik ¶all¶³t¶asra. JelÄ oljÄ uk a h i=1 ¸i Kci ² M > " halmazt A-val. Feltehet}o, hogy " egyn¶el kisebb, ez¶ert minden fenti tulajdons¶ ag¶ u h-ra n ³¯³ ³X ´ ´´ ¯ ¯ ¯ E ¯ h² ¸i Kci ² M ¯^1 · i=1

amib}ol 1 X

n=1

4.4

m

¡ ¡ p ¢ p p ¢ · E ÂA + ÂAc " = E (ÂA ) + E ÂAc " < 5" + " ; n n ³¯³ ³X ó ´´ ¯ p ¯ ¯ 2¡n sup E ¯ h ² ¸i Kci ² M < 5" + " < 6" : ¯^1 jhj·1

i=1

n

2

A szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban konvergens sorozatok meghat¶ aroz¶ asa

Most m¶ar r¶at¶erhetÄ unk a szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban konvergens sorozatok meghat¶aroz¶as¶ara. © ª 4.9 Lemma. L¶etezik olyan Ln 2 conv H k ; k ¸ n sorozat, amelyre az (Ln ² M) konverg¶ al a szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban. Bizony¶³t¶ as. Az el}oz}o lemma szerint minden n-hez l¶etezik olyan cn sz¶ am, hogy tetsz}oleges (¸1 ; . . . ; ¸m ) konvex s¶ ulyokra m °X ° 1 ° ° ¸i Kcin ² M ° < : ° n S i=1 ±

Eml¶ekeztetÄ unk, hogy Kcnn = H n Â ±

¡¡ n ¢¢ ¿cn ; 1 ¶es

¿cnn = inf ft j j(H n ² M )t j ¸ cn g :

(26)

130

Badics Tam¶ as { Medvegyev P¶eter 1. A ¿ckn meg¶all¶asi id}o de¯n¶³ci¶ oja miatt ¯ ¡ ¡ k ¡£ k ¤¢ ¢¤ ¢ ¯ H Â 0; ¿cn ² M · cn + ¯¢ H k ² M ¿ k ¯ : cn

n

n

Mivel a H ² S speci¶alis szemimarting¶ al, ez¶ert a H ² S kanonikus felbont¶ asa Hn ² S = Hn ² M + Hn ² A :

Mivel a 4.1 lemma szerint supn (H n ² S)¤ = q < 1, ez¶ert °¡ ¡ k °¡ ¡ °¡ ° ° ¢¢ ° ¢¢ ° ¢ ° ° ¢ H ² M k ° · 3° ¢ H k ² S ¤ ° · 6° H k ² S ¤ ° · 6°q ° ; ¿ 2 2 2 2 cn

amit Äosszevetve a fenti egyenl}otlens¶eggel, kapjuk, hogy ° k ¡£ k ¤¢ ° °H Â 0; ¿c ² M °H2 · cn + 6 kqk2 : n ¡ ¢ ± b i2IN H2i , ahol © b jelÄ 2. Legyen G = © oli a H2i Hilbert-terek kÄ uls} o Hilbertosszeg¶et, amely q Ä maga is Hilbert-t¶er61 . Tudjuk, hogy tetsz} oleges (Xi ) 2 G ¡ ¢ P 2 uk azt az X k µ G sorozatot, amelysorozat norm¶aja i kXi kH2i . TekintsÄ nek n-edik koordin¶at¶aja ±

Xnk =

2n

¡£ ¤¢ 1 H k Â 0; ¿ckn ² M : (cn + 6 kqk2 )

¡ ¢ Az X k sorozat korl¶atos G-ben a G norm¶ aja szerint. Mivel egy Hilbert62 t¶erben minden korl¶atos sorozatnak van gyeng¶en konvergens ¡ kr¶ ¢eszsorzata , ez¶ert az ¶altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄ ul feltehet} o, hogy az X sorozat a G szorzatban gyeng¶e©n konverg¶al valamely X-hez. Mazur t¶etele alapj¶ an l¶etezik63 ª k k k+1 olyan Y 2 conv X ¡; X ¢ ; . . . sorozat, amelyik a G szorzat norm¶ aj¶ aban konvergens. Ez¶ert az Y k koordin¶ at¶ ai H2 -ben konverg¶ alnak, vagyis minden ulyok, hogy az k eset¶en l¶eteznek a ¸k0 , ¸k1 , . . ., ¸kNk konvex s¶ Ynk =

Nk X

¸kj H k+j Â

j=0

¡£ k ¤¢ 0; ¿cn ² M

sorozat minden n eset¶en konverg¶ al H2 -ben. ¡ ¢ PNk k k+j ± ¸j H , akkor az Lk ² M sorozat 3. L¶assuk be, hogy ha Lk = j=0 Cauchy-sorozat a szemimarting¶ al topol¶ ogia szerint. Legyen adott egy " > 0 ¶es legyen 1=N < ". Ekkor tetsz}oleges k; l indexekre Nk Nl ° X ° k ° ± ° ° ° X k k+j l l+j °L ² M ¡ Ll ² M ° = ¸ H ² M ¸ H ² M ¡ ° · ° j j S j=0

j=0

S

Nl Nk °X ° °X ° ° ° ° ° ° ° l l+j + ¸ K ² M · °YNk ¡ YNl °S + ° ¸kj Kck+j ² M ° ° ° : j cN N j=0

61 Krist¶ of

[1997]: 221. oldal. [1999]: 8.15 T¶ etel. 63 Rudin [1991]: 3.13 Theorem.

62 Tallos

S

j=0

S


131

A cN de¯n¶³ci¶oja ¶es (26) miatt az ut¶ obbi k¶et tag mindegyike kisebb, mint ". M¶asr¶eszt, felhaszn¶alva, hogy a sztochasztikus integr¶ alok a null¶ aban nulla ¶ert¶eket vesznek fel, ° k ° ± °YN ¡ YNl ° = S 1 X ¢¢ ¯ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡¯ ¡ k ± ¡n l = 2 sup E ¯K (0) YN ¡ YN (0) + K ² YNk ¡ YNl n ¯ ^ 1 = jKj·1 1 X

n=1

=

¡¯¡ ¡ ¢¢ ¯ ¢ 2¡n sup E ¯ K ² YNk ¡ YNl n ¯ ^ 1 ·

n=1 1 X

·

n=1

jKj·1

¡¡ ¡ ¢¢¤ ¢ 2¡n sup E K ² YNk ¡ YNl ^1 = jKj·1

¡¡ ¡ ¢¢¤ ¢ = sup E K ² YNk ¡ YNl ^1 · jKj·1

¡¡ ¡ ¢¢¤ ¢ ± sup E K ² YNk ¡ YNl =

jKj·1

° °¡ ¡ ¢¤ ° ¡ ¢¢¤ ° ° = = sup °K ² YNk ¡ YNl °1 · sup ° K ² YNk ¡ YNl 2 jKj·1

jKj·1

° ¡ ¢° = sup °K ² YNk ¡ YNl °H2 : jKj·1

Ez utols¶o kifejez¶es az Itô-izometri¶ aval s Z q £ 1 ° ° £ ¤ ¤ E( K 2 d YNk ¡ YNl ) · E( YNk ¡ YNl (1)) = °YNk ¡ YNl °H2 ; sup jKj·1

0

vagyis

° k ° ° ° °YN ¡ Y l ° · 2 °Y k ¡ Y l ° 2 : N S N N H

¡ ¢ Az Ynk minden n-re, al a H2 -ben, ez¶ert el¶eg nagy k-ra ° k ° ¶³gy N -re is konverg¶ l ° ° ¶es l-re az YN ¡ YN S is kisebb, mint ". Ezzel a lemm¶ at bel¶ attuk. 2 ¡ k¢ 4.10 Az el} oz} o lemm¶ aban de¯ni¶ alt L sorozatra teljesÄ ul, hogy az ¡ k Lemma. ¢ L ² A sorozat konvergens a szemimarting¶ al topol¶ ogi¶ aban. Bizony¶³t¶ as. A szemimarting¶al topol¶ ogi¶ at jellemz} o 2.15 t¶etel miatt elegend} o megmutatni, hogy minden t-re a sztochasztikus konvergenci¶ aban (K ² ((Lk ¡ Lm ) ² A))t ! 0 egyenletesen a jKj · 1 folyamatokon. 1. A ¯ ¯ ¯K ² ((Lk ¡ Lm ) ² A)¯ · Var(K ² ((Lk ¡ Lm ) ² A)) =

jKj ² Var((Lk ¡ Lm ) ² A) · Var((Lk ¡ Lm ) ² A)

132


¡¡ ¢ ¢ egyenl}otlens¶egek miatt elegend}o bel¶ atni, hogy Var Lk ¡ Lm ² A (1) ! 0 sztochasztikusan, amint k; m ! 1. TegyÄ uk fel, hogy ez nem teljesÄ ul, vagyis l¶eteznek az (ik ; jk ) nÄovekv}o, eg¶esz ¶ert¶ek} u sorozatok ¶es egy ® > 0 sz¶ am, hogy ¡ ¢ P Var((Lik ¡ Ljk ) ² A) (1) > ® > ® :

A korl¶atos v¶altoz¶as¶ u folyamatok Hahn-felbont¶ asa alapj¶ an l¶etezik egy hk , f+1; ¡1g-beli ¶ert¶ekeket felvev}o el} orejelezhet} o folyamat, amelyre ¡ ik ¢ ¡ ¢ Var (L ¡ Ljk ) ² A = hk ² (Lik ¡ Ljk ) ² A :

De¯ni¶aljuk az Rk integrandust a kÄ ovetkez} ok¶eppen: ±

Rk = Ljk +

¢¡ ¢ 1¡ i ¢ 1¡ 1 + hk Lik ¡ Ljk = L k + Ljk + hk (Lik ¡ Ljk ) : 2 2

A hk konstrukci¶oja miatt az

¢ 1¡ k (h ¡ 1)(Lik ¡ Ljk ) ² A 2 (27) ¢ 1¡ k k jk (R ¡ L ) ² A = (h + 1)(Lik ¡ Ljk ) ² A 2 folyamatok nÄovekv}oek, ¶es ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Var (Lik ¡ Ljk ) ² A (1) = (Rk ¡ Lik ) ² A (1)) + (Rk ¡ Ljk ) ² A (1)) : (Rk ¡ Lik ) ² A =

Feltehet}o, hogy minden k-ra ¡¡ ¢ ®¢ ® > ; P (Rk ¡ Lik ) ² A (1) > 2 2

(28)

ugyanis a rel¶aci¶onak vagy az ik -val, vagy a jk -val v¶egtelen sokszor teljesÄ ulni kell, ¶³gy, ha szÄ uks¶eges, az ik ¶es a jk indexeket felcser¶eljÄ uk. ¢¤ ¡ uk 2. L¶assuk be, hogy (Rk ¡Lik )²M sztochasztikusan 0-hoz tart. TegyÄ fel, hogy az ¶all¶³t¶asunkkal ellent¶etben valamely ¯-ra v¶egtelen sok k indexre ¡¡ ¢¤ ¢ P (Rk ¡ Lik ) ² M > ¯ > ¯ :

Legyen

© ¯¡ ¢ ¯ ª ± ¾ = inf t j ¯ (Rk ¡ Lik ) ² M (t)¯ > ¯ :

Az indirekt feltev¶es miatt P (¾ < 1) > ¯, ez¶ert l¶etezik egy s sz¶ am, hogy P (¾ < s) > ¯=2. Ekkor, felhaszn¶ alva a (27) els} o sor¶ at, azt kapjuk, hogy egy ¯=2-n¶el nagyobb val¶osz¶³n} us¶eg} u halmazon v¶egtelen sok k-ra ¯¡ k ¯ ¯¡ ¢ ¢¾ ¯ ¯ · ¯ (R ¡ Lik ) ² M (¾ ^ s)¯ = ¯ (Rk ¡ Lik ) ² M (s)¯ = ¯1¡ ¢ ¯¯ ¯ = ¯ (Â([0; ¾])(hk ¡ 1)(Lik ¡ Ljk )) ² M (s)¯ : 2 Ez azonban ellentmond¶as, hiszen a ±

K=

1 Â([0; ¾])(hk ¡ 1) 2


133

el} orejelezhet}o folyamatra jKj · 1, ¶es el} oz} o lemm¶ ank alapj¶ an (Lik ¡ Ljk ) ² M ! 0 a szemimarting¶al topol¶ogi¶ aban, ez¶ert a 2.15 t¶etel alapj¶ an a sztochasztikus konvergenci¶aban ¡ ¢ K(Lik ¡ Ljk ) ² M (s) ! 0 : ¡ ¢¤ Nyilv¶an hasonl¶o ¶all¶³t¶as teljesÄ ul (Rk ¡ Ljk ) ² M -ra is.

3. Legyen (±k ) egy pozit¶³v sz¶ amokb¶ ol ¶ all¶ o null¶ ahoz konverg¶ al¶ o sorozat. Az a¶ltal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄ ul feltehet} o, hogy minden k-ra ¢ ¡¡ ¢¤ ¡ ¢¤ (29) P (Rk ¡ Lik ) ² M > ±k vagy (Rk ¡ Ljk ) ² M > ±k < ±k : ±

Legyen ¿k = inff t j (Rk ² M)t < max((Lik ² M )t ; (Ljk ² M )t ) ¡ ±k g. A f¿k < 1g halmazon l¶etezik t, amelyre (Rk ² M )t < max((Lik ² M )t ; (Ljk ² M)t ) ¡ ±k ;

vagyis vagy (Rk ² M )t < (Lik ² M )t ¡ ±k , vagy (Rk ² M )t < (Ljk ² M )t ¡ ±k teljesÄ ul. Azaz, vagy ((Rk ¡ Lik ) ² M )t < ¡±k , vagy ((Rk ¡ Ljk ) ² M)t < ¡±k , ol amib}ol vagy ((Rk ¡ Lik ) ² M )¤ > ±k , vagy ((Rk ¡ Ljk ) ² M )¤ > ±k . Ebb} viszont a (29) sor miatt P (¿k < 1) < ±k . ± ek integrandus ek = Rk Â ([0; ¿k ]). L¶ assuk be, hogy az R 4. Legyen R (1 + ±k )-megengedett. El}oszÄor tegyÄ uk fel, hogy t < ¿k . Az (Rk ¡ Lik ) ² A ¶es k jk oek ¶es a 0-ban 0 ¶ert¶eket vesznek fel, ¶³gy az (R ¡ L ) ² A folyamatok nÄovekv} mindk¶et folyamat nem negat¶³v, ez¶ert

ek ² S)t (R

= (Rk ² S)t = (Rk ² A)t + (Rk ² M)t ¸ ¸ maxf(Lik ² A)t ; (Ljk ² A)t g + (Rk ² M )t :

A ¿k de¯n¶³ci¶oja miatt (Rk ² M)t ¸ maxf(Lik ² M )t ; (Ljk ² M)t g ¡ ±k : Ezt a fenti egyenl}otlens¶eggel Äosszevetve, kihaszn¶ alva, hogy az Lik ¶es az Ljk 1-megengedett: ek ² S)t ¸ maxf(Lik ² A)t ; (Ljk ² A)t g + maxf(Lik ² M)t ; (Ljk ² M )t g ¡ ±k ¸ (R ¸ maxf(Lik ² S)t ; (Ljk ² S)t g ¡ ±k ¸ ¡1 ¡ ±k :

M¶ asodszor tegyÄ uk fel, hogy t = ¿k . Az Rk konstrukci¶ oja miatt a ¢(Rk ² S) ik jk assal egyezik meg. Az ¶ altal¶ anoss¶ ag vagy a ¢(L ² S), vagy a ¢(L ² S) ugr¶ megszor¶³t¶asa n¶elkÄ ul feltehet}o, hogy (¢(Rk ² S))¿k = (¢(Lik ² S))¿k . Elemi sz¶ amol¶assal ek ² S)(¿k ) = (R ek ² S)(¿k ¡) + ¢(R ek ² S)(¿k ) ¸ (R ¸ maxf(Lik ² S); (Ljk ² S)g(¿k ¡) ¡ ±k + (¢(Lik ² S))(¿k ) ¸

¸ (Lik ² S)(¿k ¡) ¡ ±k + (¢(Lik ² S))(¿k ) =

= (Lik ² S)(¿k ) ¡ ±k ¸ ¡1 ¡ ±k :

134


ek val¶oban (1 + ±k )-megengedett, ¶³gy az R ek =(1 + ±k ) folyamat 1-megVagyis R engedett. ek =(1 + ±k ) ² S)1 v¶ 5. BecsÄ uljÄ uk az (R altoz¶ o (Lik ² S)1 -t} ol val¶ o elt¶er¶es¶et. Ehhez tekintsÄ uk a kÄovetkez}o felbont¶ ast: ³ R ´ ek 1 ek ¡ Lik ) ² S)1 ¡ ±k (Lik ² S)1 = ² S ¡ Lik ² S = ((R 1 + ±k 1 + ±k 1 + ±k 1 ³ ´ 1 ek ¡ Lik ) ² A)1 + ((R ek ¡ Lik ) ² M)1 ¡ ±k (Lik ² S)1 : ((R = 1 + ±k 1 + ±k

Az utols¶o tag nyilv¶an null¶ahoz tart. Figyelembe v¶eve a P (¿k < 1) < ±k egyenl}otlens¶eget ¶es a (28) sort, az els} o tagra, el¶eg nagy k-ra ³ ´ ek ¡ Lik ) ² A)1 > ® > ® : P ((R 2 4

Tov¶abb¶a tudjuk, hogy az (Rk ¡Lik )²A nemnegat¶³v ¶ert¶ek} u, amib} ol kÄ ovetkezik, hogy ek ¡ Lik ) ² A)1 ¸ 0 : lim inf ((R (30) k!1

Ha ugyanis egy pozit¶³v ° m¶ert¶ek} u halmazon a hat¶ ar¶ert¶ek negat¶³v lenne, akkor el¶eg nagy k-ra a P(¿k < 1) < ±k < ° miatt ellentmond¶ ast kapn¶ ank, hiszen csak egy legfeljebb ±k val¶osz¶³n} us¶eg} u halmazon teljesÄ ulhet, hogy a hat¶ ar¶ert¶ek negat¶³v. V¶egezetÄ ul becsÄ uljÄ uk meg a m¶ asodik tagot. Trivi¶ alisan a f¿k = 1g ek . Mik¶ent l¶attuk, az ((Rk ¡ Lik ) ² M)¤ sztochasztikusan halmazon Rk = R tart 0-hoz, kÄovetkez¶esk¶eppen a P(¿k < 1) < ±k ! 0 miatt P

ek ¡ Lik ) ² M )¤ ¡! 0 : ((R

Az ¶altal¶anoss¶ag megszor¶³t¶asa n¶elkÄ ul feltehet} o, hogy ez a konvergencia majdnem mindenhol ¶ertelemben is teljesÄ ul, ez¶ert m.m.

ek ¡ Lik ) ² M)1 ¡! 0 : ((R

(31)

6. A 2.2 kompakts¶agi lemma alapj¶ an l¶etezik a

ek ¡ Lik ; R ek+1 ¡ Lik+1 ; . . . g V k 2 convf R m.m.

sorozat, hogy a (V k ² S)1 ¡! g, ¶es (30) valamint (31) miatt g ¸ 0: Felhaszn¶ alva (29) sort, el¶eg nagy k-ra: ³ ´ ³ ´ ek ¡ Lik ) ² S)1 > ® ¡ ±k ¸ P ((R ek ¡ Lik ) ² A)1 > ® ¡ P ((R 2 2 (32) ³ ´ ® ® k i k e ¡ P ((R ¡ L ) ² M )1 < ¡±k > ¡ ±k > : 4 8 Ism¶et (30) ¶es (31) sorokb¶ol kÄovetkezik, hogy

ek ¡ Lik ) ² S)1 ¸ 0 ; lim inf ((R k!1

A p¶enzÄ ugyi eszkÄozÄok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶etele . . . amib}ol

135

ek ¡ Lik ) ² S)1 )¡ · 0 ; lim sup(((R k!1

vagyis

ek ¡ Lik ) ² S)1 )¡ = 0 : lim (((R

k!1

Jegorov t¶etele miatt alkalmas C 2 F halmazon ÂC (V k ²S)1 tart egyenletesen ® . Ekkor a 2.2 kompakts¶ agi lemm¶ at ÂC g-hez a C halmazon, ahol P(-nC) < 16 k ik k e o s¶ ulyok nyilv¶ an a ÂC ((R ¡L )²S)1 sorozatra alkalmazva a V -ban szerepl} most is megfelel}oek lesznek, ¶es az egyenletes konvergencia miatt a lemm¶ aban a-¶ert¶ek¶et tetsz}olegesen kicsire v¶alaszthatjuk, ez¶ert (32) sort is ¯gyelembe v¶eve m.m. kapjuk, hogy P(g > 0) > 0. Ekkor viszont, mivel (Lik ² S)1 ¡! f0 , ¶es mivel 1 -sorozattal val¶o szorz¶as nem v¶ altoztatja meg a hat¶ ar¶ert¶eket, ez¶ert a az 1+± k fenti s¶ ulyok egy¶ uttal egy olyan n R o ek+1 ek R ; ;... U k 2 conv 1 + ±k 1 + ±k+1

1-megengedett integrandust adnak, melyre a

lim (U k ² S)1 = g + f0 ¸ f0

k!1

is teljesÄ ul, ¶es az egyenl}otlens¶eg egy pozit¶³v m¶ert¶ek} u halmazon pozit¶³v, ami 2 ellentmond az f0 maximalit¶as¶anak.

Irodalom 1. Ansel, J. P.{Stricker, C. [1994]: Converture des actifs contingents et prix maximum. Annales de l'Institut Henri Poincare { Probabilit¶es et Statistiques, vol. 30. 2. Dunford, N.{Schwartz, J. T. [1958]: Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience Publishers, New York. 3. Delbaen, F.{Shachermayer, W. [1994]: A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing, Mathematische Annalen, vol. 300, pp. 463{520, Springer, Berlin. 4. Delbaen, F.-Shachermayer, W.: [2006]: The Mathematics of Arbitrage, Springer-Verlag, Berlin. ¶ 5. Emery, H. [1979]: Une topologie sur l'espace dessemimartingales. In Dellacherie et al. (eds.) S¶eminaire de Probabilit¶es XIII, Springer Lecture Notes in Mathematics 721, pp. 260{280. 6. Krist¶ of J. [1997]: Az anal¶³zis elemei III, ELTE, Budapest. 7. Krist¶ of J.: Az anal¶³zis elemei IV, lel} ohely: http://www.cs.elte.hu/~krja. 8. Medvegyev, P. [2002]: Val¶ osz¶³n} us¶egsz¶ am¶³t¶ as, Aula, Budapest. 9. Medvegyev, P. [2002]: A p¶enzÄ ugyi eszkÄ ozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶etele diszkr¶et idej} u modellekben. KÄ ozgazdas¶ agi Szemle, XLIX, 2002, 574{597. 10. Medvegyev, P. [2004]: Sztochasztikus anal¶³zis, Budapest, Typotex.

136


11. Medvegyev, P. [2006]: A Dalang-Morton-Willinger t¶etel, Szigma, vol. 37, 1-2, pp. 73{85. 12. Medvegyev, P. [2007a]: Stochastic Integration Theory, Oxford University Press. 13. Medvegyev, P. [2007b]: Technical results for no-arbitrage theorems in continuous time, K¶ezirat. 14. M¶emin, J. [1980]: Espace de semimartingales et changement de probabilit¶e, Z. W. Verw. Geb, 1980, 52, pp. 9{39. 15. Rudin, W. [1991]: Functional Analysis, McGraw-Hill, New York. 16. Tallos P. [1999]: Dinamikai rendszerek alapjai, Aula, Budapest.

THE FUNDAMENTAL THEOREM OF ASSET PRICING FOR LOCALLY BOUNDED SEMIMARTINGALES The Delbaen and Schachermayer's theorem is one of the deepest results of mathematical ¯nance. In this article we tried to rethink and slightly simplify the original proof of the theorem to make understandable for nonspecialists who are familiar with general theory of stochastic processes. We give a detailed proof of the theorem and we give new proofs for some of the used statements.

Szigma, XL. (2009) 3-4.

137

¶ ¶ NOVEL Ä ¶ ¶ HATEKONYS AG ESE TERVEZESSEL - AVAGY: ¶ ¶ ¶ AGGREGALT TERVEZES ALKALMAZASA EGY MAGYAR ¶ ¶ 1 VALLALATN AL ¤

¤¤ ¶ ¶ GELEI ANDREA¤ , PALFI JOZSEF , DOBOS IMRE¤ ¤¤ Budapesti Corvinus Egyetem { Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt.

A cikk alapvet}o k¶erd¶ese, hogy mik¶eppen haszn¶ alhat¶ o a tervez¶es a termel¶esi folyamatok, s ezzel a v¶allalati m} ukÄ od¶es eg¶esz¶enek hat¶ekonys¶ agnÄ ovel¶ese ¶erdek¶eben. A termel¶estervez¶es szintjei ¶es eszkÄ ozei kÄ ozÄ ul a kÄ oz¶ept¶ av¶ u aggreg¶ alt tervez¶esre koncentr¶alunk. Ennek oka els} osorban az, hogy tapasztalatunk szerint e tervez¶esi szint gyakorlati alkalmaz¶ asa m¶eg nem tekinthet} o elterjedtnek, s ebb}ol kÄovetkez}oen az eszkÄ oz alaposabb ismerete ¶es alkalmaz¶ as¶ anak elterjed¶ese jelent}os tartal¶ekokat t¶ arhat fel a m} ukÄ od¶esi hat¶ekonys¶ ag nÄ ovel¶ese ter¶en. A dolgozat a termel¶estervez¶es klasszikusnak tekinthet} o modellj¶et alkalmazza egy hazai v¶allalat eset¶eben. Az elemz¶es sor¶ an vizsg¶ aljuk a modell alkalmazhat¶os¶ag¶at ¶es a kÄ ulÄonbÄoz}o tervez¶esi alternat¶³v¶ ak hat¶ as¶ at a hat¶ekonys¶ ag nÄ ovel¶es¶ere. A modell sz¶am¶³t¶og¶epes megold¶ as¶ at a Microsoft Excel Solver programj¶aval v¶egeztÄ uk. Kulcsszavak: hat¶ekonys¶ag, aggreg¶ alt tervez¶es, matematikai programoz¶ as, optimaliz¶al¶as, esettanulm¶any

1

Bevezet¶ es

Tanulm¶anyunk alapvet}o k¶erd¶ese, hogy mik¶eppen haszn¶ alhat¶ o a tervez¶es a termel¶esi folyamatok, s ezzel a v¶allalati m} ukÄ od¶es eg¶esz¶enek hat¶ekonys¶ agnÄ ovel¶ese ¶erdek¶eben. Ma Magyarorsz¶agon a m} ukÄ od¶esi hat¶ekonys¶ ag probl¶em¶ aja mind az egyes v¶allalatok, mind rajtuk keresztÄ ul a gazdas¶ ag eg¶esz¶enek egyik kulcsk¶erd¶ese. A hat¶ekonys¶ag potenci¶alis forr¶ asainak felt¶ ar¶ asa sor¶ an ugyanakkor mind a gyakorlati, mind az elm¶eleti szakemberek leggyakrabban az u Äzemi szint} u termel¶esi folyamatok szervez¶es¶eben, illetve az ezzel kapcsolatos m} uszaki ¶es hum¶an er}oforr¶as menedzsment probl¶em¶ akban gondolkodnak. Tapasztalatunk szerint a magyar gazdas¶ag szerepl} oi nem haszn¶ alj¶ ak ki azokat a hat¶ekonys¶ agnÄ ovel¶esi lehet}os¶egeket, melyek az el} obb eml¶³tett megval¶ os¶³t¶ asi folyamat tervez¶esi eszkÄozt¶ar¶anak fejleszt¶es¶evel ¶erhet} ok el. Dolgozatunkban az aggreg¶ alt tervez¶esnek a gyakorlati alkalmazhat¶ os¶ ag¶ at ¶es a hat¶ekonys¶ ag nÄ ovel¶es¶ere gyakorolt hat¶as¶at vizsg¶aljuk a Holl¶oh¶azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. v¶ allalatn¶ al. A bemutat¶asra kerÄ ul}o konkr¶et esettanulm¶ any igazolja, hogy a termel¶es tervez¶esi folyamatainak fejleszt¶ese jelent}os hat¶ assal lehet a v¶ allalat hat¶ekonys¶ ag¶ anak nÄ ovel¶es¶ere. A termel¶estervez¶es szintjei ¶es eszkÄ ozei kÄ ozÄ ul a kÄ oz¶ept¶ av¶ u, u ¶n. 1 Be¶ erkezett:

2009. szeptember 25. E-mail: [email protected].

138

Gelei Andrea { P¶ al¯ J¶ ozsef { Dobos Imre

aggreg¶alt tervez¶esre koncentr¶alunk. Ennek oka els} osorban az, hogy tapasztalatunk szerint e tervez¶esi szint gyakorlati alkalmaz¶ asa m¶eg nem tekinthet} o elterjedtnek, s ebb}ol kÄovetkez}oen az eszkÄ oz alaposabb ismerete ¶es alkalmaz¶ as¶ anak elterjed¶ese jelent}os tartal¶ekokat t¶ arhat fel a m} ukÄ od¶esi hat¶ekonys¶ ag nÄ ovel¶ese ter¶en. A dolgozat kÄovetkez}o r¶eszekb} ol ¶ all. A m¶ asodik fejezetben rÄ oviden ismertetjÄ uk a termel¶estervez¶es rendszer¶et, ezen belÄ ul r¶eszletesebben az aggreg¶ alt tervez¶es c¶elj¶at ¶es m} ukÄod¶esi logik¶ aj¶ at. A harmadik fejezetben bemutatjuk azt a k¶et optimaliz¶aci¶os aggreg¶alt tervez¶esi modellt, amelyet az esettanulm¶ anyunkban alkalmaztunk, illetve ismertetjÄ uk azokat az alapadatokat, melyeket az elemz¶eshez Äosszegy} ujtÄottÄ unk ¶es indul¶ o adatokk¶ent alkalmaztunk. A negyedik fejezetben az elv¶egzett optimaliz¶ al¶ asok (futtat¶ asok) kÄ ozÄ ul Ä otÄ ot ismertetÄ unk, majd a kapott eredm¶enyeket ¶ert¶ekeljÄ uk. Az Ä ot futtat¶ as kÄ ozÄ ul h¶ arom eredm¶eny¶et hasonl¶³tjuk Äossze a hat¶ekonys¶ agi, p¶enzÄ ugyi hat¶ asok szempontj¶ ab¶ol, ¶es aj¶anl¶asokat fogalmazunk meg a v¶ allalati menedzsment sz¶ am¶ ara a kÄ ovetend}o strat¶egi¶at illet}oen. V¶egÄ ul az utols¶ o, hatodik fejezetben Ä osszefoglaljuk dolgozatunk eredm¶enyeit.

2

Az aggreg¶ alt tervez¶ es helye ¶ es feladata a termel¶ estervez¶ esi rendszerben

A termel¶es tervez¶es¶enek alapvet} o c¶elja, hogy a piaci kereslet min¶el magasabb szinten tÄort¶en}o kiel¶eg¶³t¶es¶et biztos¶³tsa a rendelkez¶esre ¶ all¶ o er} oforr¶ asok hat¶ekony kihaszn¶al¶asa mellett. A kereslet v¶ allalatokn¶ al meg¯gyelhet} o er} oteljes ingadoz¶asa term¶eszetesen nem teszi lehet} ov¶e, hogy az er} oforr¶ asokat 100%os hat¶asfokkal haszn¶aljuk fel. A termel¶es tervez¶es¶enek feladata m¶egis az, hogy a(z els}osorban) keresleti bizonytalans¶ agokat ¯gyelembe v¶eve, nagyr¶eszt keresleti el}orejelz¶esek ¶es felt¶etelez¶esek alapj¶ an a jÄ ov} obeli termel¶es id} oben u Ätemezett mennyis¶egeit a kÄolts¶eghat¶ekonys¶ ag szempontja alapj¶ an meghat¶ arozza (Nahmias (1989), Chase, Aquilano (1993)). A termel¶estervez¶es folyamata szorosan illeszkedik a v¶ allalat strat¶egiai tervez¶es¶enek folyamat¶aba, s tÄobb szakaszra bonthat¶ o (1. ¶ abra). A termel¶estervez¶es a strat¶egiai, u Äzleti tervb} ol indul ki, ¶ep¶³t a v¶ allalat ¶ert¶ekes¶³t¶esi terv¶ere ¶es az operat¶³v termel¶estervez¶es anyagszÄ uks¶eglet tervez¶es¶eig (Material Requirements Planning, MRP), illetve a termel¶es napi u Ätemez¶es¶eig terjed. A strat¶egiai tervez¶es, illetve az operat¶³v termel¶estervez¶es kÄ ozÄ otti helyezkedik el az aggreg¶alt tervez¶es. Az aggreg¶ alt tervez¶es a leghosszabb id} ot¶ avon gondolkod¶o termel¶estervez¶esi szint, ugyanakkor a v¶ allalat kÄ oz¶ept¶ av¶ u tervez¶esi rendszer¶enek r¶esze. Az aggreg¶alt tervez¶es teh¶at az ¶eves u Äzleti ¶es ¶ert¶ekes¶³t¶esi tervet ford¶³tja le ¶eves termel¶esi tervv¶e. Az aggreg¶ alt tervez¶es feladata a kereslet ¶es a k¶³n¶ alat kÄ olts¶eghat¶ekony Äosszehangol¶asa, els} osorban a v¶ allalat k¶³n¶ alati oldal¶ anak befoly¶asol¶asa r¶ev¶en. A v¶allalat, illetve termel¶esi rendszer¶enek k¶³n¶ alata a rendelkez¶esre ¶all¶o er}oforr¶asok, kapacit¶ asok (hum¶ an ¶es g¶epi egyar¶ ant), ebb} ol kÄ ovetkez}oen a termel¶esi u Ätem ¶es az ehhez kapcsol¶ od¶ o k¶eszletek jelentik.

Hat¶ekonys¶ag nÄ ovel¶ese tervez¶essel . . .

139

Vállalati stratégiai tervezés

Hosszú táv

Pénzügyi tervezés Üzleti el rejelzés

Termék és piactervezés

Er forrás (kapacitás) tervezés Aggregált termeléstervezés Közép táv

Termék el rejelzés

Rövid táv

Termelési vezérprogram

Durva kapacitás tervezés

Anyagszükséglet tervezés

Kapacitásszükséglet tervezés

Termelési tevékenység irányítás

Beszerzés tervezés és irányítás

Input/output tervezés és irányítás

1. ¶ abra. A termel¶ estervez¶ es egyes szakaszai ¶ es fel¶ ep¶³t¶ ese (Chase, Aquilano (1993))

140


Az aggreg¶alt tervez¶es sor¶an arra keressÄ uk a v¶ alaszt, hogy a tervezett ¶ert¶ekes¶³t¶est e k¶³n¶alati t¶enyez}ok milyen kombin¶ aci¶ oj¶ aval lehets¶eges kÄ olts¶eghat¶ekonyan megval¶os¶³tani. Az aggreg¶ alt tervez¶es {, mint arra elnevez¶ese is utal { e tervez¶esi tev¶ekenys¶eget aggreg¶altan, a f} o term¶ekcsoportok szintj¶en v¶egzi. Az aggreg¶alt tervez¶es alapj¶at k¶epezi az anyagszÄ uks¶eglet tervez¶esnek. Ennek r¶esze a termel¶esi vez¶erprogram kialak¶³t¶ asa, mely az aggreg¶ alt termel¶esi terv keretsz¶amaira alapozva m¶ar konkr¶et term¶ekt¶³pusokra bontva hat¶ arozza meg a rÄovid t¶av¶ u (pl. havi, vagy heti, k¶etheti) termel¶esi, gy¶ art¶ asi tervet. Ezt az u ¶n. termel¶esi vez¶erprogramot bontja le a rÄ ovid t¶ av¶ u termel¶estervez¶es ¶es u Ätemez¶es konkr¶et napi operat¶³v tervekk¶e, gy¶ art¶ asi feladatokk¶ a. Mint az az 1. ¶ abr¶ab¶ol l¶atszik, a termel¶estervez¶es hierarchikus l¶ep¶eseit folyamatosan k¶³s¶eri egy |a tervez¶esi id}ohorizont aggreg¶ alts¶ agi szintj¶enek megfelel} o, teh¶ at egyre r¶eszletesebb adatokkal sz¶amol¶o| kapacit¶ asellen} orz¶es ¶es tervez¶es (Evans et al. (1990)). Az esettanulm¶any k¶esz¶³t¶esekor felm¶ertÄ uk a Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. termel¶estervez¶esi gyakorlat¶ at. E termel¶estervez¶es a v¶ allalatn¶ al is hierarchikus fel¶ep¶³t¶es} u volt. A kÄ oz¶ept¶ av¶ u, jellemz} oen ¶eves termel¶estervez¶es az ¶eves u Äzleti terv k¶esz¶³t¶es¶enek r¶eszek¶ent kerÄ ult kialak¶³t¶ asra. Az ¶eves termel¶esi terv jellemz}oen a tulajdonosi elv¶ ar¶ asok alapj¶ an kialakul¶ o ¶eves ¶ arbev¶eteli tervre ¶epÄ ult. Az ¶eves ¶arbev¶eteli tervet a tervez¶esi folyamat sor¶ an a v¶ allalat a kor¶abbi tapasztalatok alapj¶an, teh¶ at alapvet} oen b¶ azis szeml¶eletben osztotta le havi termel¶esi tervekk¶e oly m¶odon, hogy a v¶ arhat¶ o keresletingadoz¶ asok ismert ciklusaira (¶ev eleji h¶onapokban igen alacsony ¶ert¶ekes¶³t¶esi volumen, m¶³g az ¶ev utols¶o k¶et h¶onapja sor¶an a janu¶ ari ¶ert¶ekes¶³t¶esnek ak¶ ar Ä ot-hatszoros¶ at kitev}o keresleti cs¶ ucs) a tervez¶es sor¶ an felk¶eszÄ ult. Ez gyakorlatilag azt jelentette, hogy a termel¶esi folyamat v¶elt sz} uk keresztmetszete alapj¶ an meghat¶ arozott havi maxim¶alis kibocs¶at¶ asi mennyis¶egekkel tervezve a kapacit¶ asok viszonylag egyenletes terhel¶es¶evel az ¶ev eleji, alacsonyabb kereslettel jellemezhet}o h¶onapokban k¶eszletfelhalmoz¶ assal k¶eszÄ ul fel az ¶ev v¶egi keresleti cs¶ ucsokra. Az ¶eves termel¶esi terv mellett teh¶ at a v¶ allalat ¶eves k¶eszletv¶ altoz¶ astervet is k¶esz¶³tett, mely a havi tervezett ¶ert¶ekes¶³t¶esi volumen, illetve termel¶esi volumen kÄ ulÄonbs¶egek¶ent ad¶odott. Az ¶eves termel¶estervez¶es, illetve azt k¶³s¶er} o k¶eszlettervez¶es alapvet}o probl¶em¶ aj¶ anak azt l¶ atjuk, hogy: ² az reakt¶³v, amennyiben b¶azisszeml¶eletben, a kialakult tapasztalatok, hÄ uvelykujj-szab¶alyok alapj¶ an tÄ ort¶enik; ² azt els}osorban a p¶enzÄ ugyi szeml¶elet jellemzi ¶es hi¶ anyzik bel} ole az operat¶³v m} ukÄod¶est ¶es a m} ukÄod¶esi hat¶ekonys¶ ag szempontj¶ at t¶ amogat¶ o megkÄozel¶³t¶es; ² r¶eszben az el}oz}oekb}ol kÄovetkez} oen a tervez¶est nem k¶³s¶eri a rendelkez¶esre ¶all¶o er}oforr¶asok, kapacit¶asok szisztematikus, a m} ukÄ od¶esi hat¶ekonys¶ agot szem el}ott tart¶o vizsg¶alata. Az aggreg¶alt tervez¶es val¶oban az ¶eves u Äzleti ¶es marketing tervet kell, hogy leford¶³tsa ¶eves termel¶esi tervv¶e. A p¶enzÄ ugyi, ¯nansz¶³roz¶ asi ig¶enyek


141

vizsg¶alata mellett ugyanakkor az aggreg¶ alt termel¶estervez¶es, teh¶ at az ¶eves termel¶estervez¶es kiemelt c¶elja az is, hogy (aggreg¶ alt adatok alapj¶ an) ellen} orizze a rendelkez¶esre ¶all¶o er}oforr¶asok, kapacit¶ asok mennyis¶eg¶et ¶es azok adott keretei kÄ ozÄott kÄolts¶eghat¶ekony m¶odon hangolja Ä ossze a keresletet ¶es a v¶ allalat sz¶ am¶ ara rendelkez¶esre ¶all¶o er}oforr¶asok (g¶epi ¶es hum¶ an) felhaszn¶ al¶ as¶ at. V¶elem¶enyÄ unk szerint az operat¶³v m} ukÄod¶es hat¶ekonys¶ ag¶ anak nÄ ovel¶es¶et t¶ amogat¶ o aggreg¶ alt termel¶estervez¶es eszkÄoz¶enek tudatos haszn¶ alata hasznos eszkÄ oze lehet a Holl¶ oh¶azi Porcel¶an Manufakt¶ ura Zrt. m} ukÄ od¶esi hat¶ekonys¶ aga nÄ ovel¶es¶enek. Tanulm¶anyunk tov¶abbi r¶esz¶eben bemutatjuk, hogy mik¶eppen j¶ arulhat hozz¶ a az aggreg¶alt termel¶estervez¶es eszkÄoz¶enek alkalmaz¶ asa a vizsg¶ alt v¶ allalat m} ukÄ od¶esi hat¶ekonys¶ag¶anak nÄovel¶es¶ehez.

3

Az esettanulm¶ anyban alkalmazott aggreg¶ alt tervez¶ esi modellek

Az aggreg¶alt tervez¶es c¶elja teh¶at, hogy a v¶ allalat menedzsmentje sz¶ am¶ ara meghat¶arozza, az ¶ert¶ekes¶³t¶esi tervnek val¶ o megfelel¶es milyen er} oforr¶ as kombin¶aci¶oval val¶os¶³that¶o meg hat¶ekonyan (Nahmias (1989), Hax ¶es Candea (1984)). A vizsg¶alt er}oforr¶asok {, mint azt m¶ ar eml¶³tettÄ uk { a rendelkez¶esre all¶o g¶epi ¶es hum¶an kapacit¶as ¶es a k¶eszlet¶ ¶ allom¶ any. A Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. esettanulm¶anya sor¶ an az aggreg¶ alt tervez¶esnek k¶et modellj¶et is alkalmaztuk. A modellek abban kÄ ulÄ onbÄ oznek, hogy megengedik-e, haszn¶alj¶ak-e a t¶ ul¶or¶at vagy sem. A modellek param¶etereit ¶es v¶ altoz¶ oit az al¶ abbiakban Ä osszegezzÄ uk (a param¶eterek is jelzik, hogy a vizsg¶alt termel¶esi rendszer hum¶ an er} oforr¶ as-korl¶ atos). Param¶ eterek 1) Kereslettel kapcsolatos param¶eterek St

a kereslet mennyis¶ege a t-ik peri¶ odusban,

2) Hum¶an er}oforr¶as kapacit¶assal kapcsolatos param¶eterek k egys¶egnyi munkaer}o termel¶ekenys¶ege a peri¶ odusban, CW egy dolgoz¶o ¶atlagos munkab¶ere, Ft/f} o/h¶ o, CH egy u ¶j dolgoz¶o felv¶etel¶enek, betan¶³t¶ as¶ anak kÄ olts¶ege, Ft/f} o/h¶ o, CF egy u ¶j dolgoz¶o elbocs¶ at¶ as¶ anak kÄ olts¶ege, Ft/f} o/h¶ o, CO egy dolgoz¶o t¶ ul¶or¶aj¶anak kÄ olts¶ege, Ft/f} o/h¶ o, CU egy dolgoz¶o ki nem haszn¶ alt munkaerej¶enek kÄ olts¶ege, Ft/f} o/h¶ o. 3) G¶epi er}oforr¶assal kapcsolatos param¶eterek Ct a rendelkez¶esre ¶all¶o g¶epi kapacit¶ as a t-ik peri¶ odusban, (ez ¶ alland¶ o lesz a modellekben ¶es egyenl} o a v¶ allalat termel¶esi folyamat¶ anak sz} uk keresztmetszete ¶altal k¶epzett kapacit¶ askorl¶ attal, az ¶eget} o kemence kapacit¶as¶aval),

142

Gelei Andrea { P¶ al¯ J¶ ozsef { Dobos Imre 4) K¶eszlet-param¶eterek It1

a biztons¶agi k¶eszlet a t-ik peri¶ odusban,

CI

egys¶egnyi anyag k¶eszlettart¶ asi kÄ olts¶ege, Ft / tonna / h¶ o,

5) Egy¶eb param¶eterek T

a tervez¶esi peri¶odusok sz¶ ama, esetÄ unkben 12 h¶ onap, vagyis ennyi peri¶odus,

CP egys¶egnyi term¶ek termel¶esi kÄ olts¶ege, Ft / tonna / h¶ o, Az aggreg¶alt tervez¶es a rendelkez¶esre ¶ all¶ o er} oforr¶ asok kÄ ulÄ onf¶ele kombin¶ aci¶ oit alkalmazva elt¶er}o tervez¶esi alternat¶³v¶ akat fogalmaz meg. A tervez¶esi alternat¶³v¶ak ¶ertelmez¶ese ¶es ¶ert¶ekel¶ese szempontj¶ ab¶ ol a Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. eset¶eben az al¶ abbi v¶ altoz¶ ok relev¶ ansak. V¶ altoz¶ ok It a k¶eszlet¶allom¶any a t-ik peri¶ odus v¶eg¶en, nemnegat¶³v, Pt a termel¶es mennyis¶ege a t-ik peri¶ odusban, nemnegat¶³v, Wt a munkaer}o ¶allom¶anya a t-ik peri¶ odus v¶eg¶en, nemnegat¶³v, Ht a felvett/elbocs¶atott dolgoz¶ ok sz¶ ama a t-ik peri¶ odusban, ha negat¶³v, akkor elbocs¶at¶as, ha pozit¶³v, akkor felv¶etel, Ot a t¶ ul¶ora/ki nem haszn¶ alt munkaer} o a t-ik peri¶ odusban, ha pozit¶³v, akkor t¶ ul¶or¶aztat¶as, ha negat¶³v, akkor ki nem haszn¶ alt munkaid} o. A tov¶abbiakban a fenti param¶eterek ¶es v¶ altoz¶ ok haszn¶ alat¶ aval vizsg¶ aljuk meg a k¶et alapmodellt

3.1

Aggreg¶ alt tervez¶ esi modell t¶ ul¶ or¶ aval

Els} ok¶ent a modell matematikai Ä osszefÄ ugg¶eseit mutatjuk be: 1. K¶eszlet{termel¶es Ä osszefÄ ugg¶es: It = It¡1 + Pt ¡ St

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

(1)

Az ÄosszefÄ ugg¶es azt mondja ki, hogy a peri¶ odus (h¶ onap) z¶ ar¶ ok¶eszlet¶et u ¶gy hat¶ arozhatjuk meg, hogy a peri¶odus elej¶en rendelkez¶esre ¶ all¶ o k¶eszlet¶ allom¶ anyhoz hozz¶aadjuk a termel¶es mennyis¶eg¶et, amib} ol kiel¶eg¶³tjÄ uk a keresletet. 2. A munkaer} o egyens¶ ulya: Wt = Wt¡1 + Ht

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

(2)

Ez azt ¶³rja le, hogy a peri¶odus v¶egi munkaer} o¶ allom¶ anya megegyezik a peri¶ odus elej¶en rendelkez¶esre ¶all¶o munkaer} o ¶es a felv¶etel/elbocs¶ at¶ as Ä osszeg¶evel. Ha felv¶etel van, akkor a munkaer}o ¶allom¶ anya n} o, elbocs¶ at¶ as eset¶en csÄ okken.


143

3. Kapacit¶ askorl¶ at: 0 · Pt · Ct

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

(3)

A kapacit¶askorl¶atot (Ct ) nem l¶epheti t¶ ul a termel¶es. A sz¶ am¶³t¶ asainkban ez 40 tonna/h¶o, egyenl}o az ¶eget}o kemence kapacit¶ as¶ aval, mint a termel¶esi folyamat sz} uk keresztmetszet¶enek egys¶egnyi peri¶ odusra jut¶ o kibocs¶ at¶ as¶ aval. 4. A termel¶es mennyis¶ege ¶es a munkaer} o kÄ ozÄ otti Ä osszefÄ ugg¶es: Pt = k ¢ Wt + Ot

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

(4)

A termel¶es mennyis¶eg¶et u ¶gy hat¶arozhatjuk meg, hogy a munkaer} o¶ altal rendes munkaid}oben lehet}ov¶e tett termel¶esi mennyis¶eghez hozz¶ aadjuk a t¶ ul¶ or¶ aban el} o¶all¶³tott term¶ekmennyis¶eget. 5. Biztons¶ agi k¶eszlet: It ¸ It1

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

(5)

Itt It1 az el}ore megadott/elv¶art biztons¶ agi k¶eszlet nagys¶ ag¶ at jelÄ oli, amelyet a menedzsment ¶³r el}o a tervez¶esi horizonton. V¶egÄ ul a minimaliz¶aland¶o kÄ olts¶egfÄ uggv¶enyt ¶³rjuk le: T X t=1

[CI ¢ It + CW ¢ Wt + CP ¢ Pt + f (Ht ) + g(Ot )] ! min ;

ahol f (Ht ) =

½

¡CF ¢ Ht CH ¢ Ht

ha Ht < 0 ha Ht ¸ 0 ;

g(Ot ) =

½

¡CU ¢ Ot CO ¢ Ot

ha Ot < 0 ha Ot ¸ 0 :

¶es

(6)

A kÄolts¶egfÄ uggv¶eny teh¶at Äot r¶eszb} ol ¶ all egy peri¶ odusban: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

a a a a a

k¶eszlettart¶as kÄolts¶ege (CI ¢ It ), munkaer}o kÄolts¶ege (CW ¢ Wt ), termel¶esi kÄolts¶eg (CP ¢ Pt ), felv¶etel/elbocs¶at¶as kÄolts¶ege (f (Ht )), t¶ ul¶ora/ki nem haszn¶alt munkaer} o kÄ olts¶ege (g(Ot )).

Ezen k¶³vÄ ul tudjuk, hogy a k¶eszlet, a munkaer} o ¶es a termel¶es nemnegat¶³v: It ¸ 0;

Wt ¸ 0;

Pt ¸ 0

(t = 1; 2; . . . ; T ):

(7)

144

3.2


Aggreg¶ alt tervez¶ esi modell t¶ ul¶ ora felhaszn¶ al¶ asa n¶ elkÄ ul

M¶ asodik modellÄ unk ÄosszefÄ ugg¶esei azonosak az (1)-(7) modell Ä osszefÄ ugg¶eseivel. A kÄ ulÄonbs¶eg egyedÄ ul a t¶ ul¶ora elsz¶amol¶ as¶ aban jelentkezik, a (4) Ä osszefÄ ugg¶esn¶el, ugyanis itt nem engedjÄ uk meg a t¶ ul¶ or¶ at ¶es term¶eszetesen a (6) c¶elfÄ uggv¶enyb} ol a t¶ ul¶ora/ki nem haszn¶alt munkaer} o kÄ olts¶ege is hi¶ anyzik. Az ¶ attekinthet} os¶eg kedv¶e¶ert u ¶jra Äosszefoglaljuk az ÄosszefÄ ugg¶eseket. 1. K¶eszlet{termel¶es Ä osszefÄ ugg¶es: It = It¡1 + Pt ¡ St

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

Az ÄosszefÄ ugg¶es azt mondja ki, hogy a peri¶ odus (h¶ onap) z¶ ar¶ ok¶eszlet¶et u ¶gy hat¶ arozhatjuk meg, hogy a peri¶odus elej¶en rendelkez¶esre ¶ all¶ o k¶eszlet¶ allom¶ anyhoz hozz¶aadjuk a termel¶es mennyis¶eg¶et, amib} ol kiel¶eg¶³tjÄ uk a keresletet. 2. A munkaer} o egyens¶ ulya: Wt = Wt¡1 + Ht

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

Ez azt ¶³rja le, hogy a peri¶odus v¶egi munkaer} o¶ allom¶ anya megegyezik a peri¶ odus elej¶en rendelkez¶esre ¶all¶o munkaer} o ¶es a felv¶etel/elbocs¶ at¶ as Ä osszeg¶evel. Ha felv¶etel van, akkor a munkaer}o ¶allom¶ anya n} o, elbocs¶ at¶ as eset¶en csÄ okken. 3. Kapacit¶ askorl¶ at: 0 · Pt · Ct

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

A kapacit¶askorl¶atot (Ct ) nem l¶epheti t¶ ul a termel¶es. A sz¶ am¶³t¶ asainkban ez 40 tonna / h¶o. 4. A termel¶es mennyis¶ege ¶es a munkaer} o kÄ ozÄ otti Ä osszefÄ ugg¶es: Pt = k ¢ W t

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

A termel¶es mennyis¶ege most nem lehet nagyobb, mint a rendelkez¶esre ¶ all¶ o munkaer}o ¶altal biztos¶³tott kapacit¶ as. Ezzel a szeml¶elettel a termel¶esnek k¶et korl¶atja van: a g¶epi kapacit¶as ¶es a munkaer} o kapacit¶ asa. 5. Biztons¶agi k¶eszlet: It ¸ It1

(t = 1; 2; . . . ; T ) :

Itt It1 az el}ore megadott/elv¶art biztons¶ agi k¶eszlet nagys¶ ag¶ at jelÄ oli, amelyet a menedzsment ¶³r el}o a tervez¶esi horizonton. Ha nincs el} o¶³rt biztons¶ agi k¶eszlet, akkor a null¶at vehetjÄ uk annak. V¶egÄ ul a minimaliz¶aland¶o kÄolts¶egfÄ uggv¶enyt ¶³rjuk le: T X t=1

[CI ¢ It + CW ¢ Wt + CP ¢ Pt + f (Ht )] ! min ;

ahol f (Ht ) =

½

¡CF ¢ Ht CH ¢ Ht

ha Ht < 0 ha Ht ¸ 0 :


145

A kÄolts¶egfÄ uggv¶eny teh¶at n¶egy r¶eszb} ol ¶ all egy peri¶ odusban: ¡ ¡ ¡ ¡

a a a a

k¶eszlettart¶as kÄolts¶ege (CI ¢ It ), munkaer}o kÄolts¶ege (CW ¢ Wt ), termel¶esi kÄolts¶eg (CP ¢ Pt ), felv¶etel/elbocs¶at¶as kÄolts¶ege (f (Ht )).

Ezen k¶³vÄ ul tudjuk, hogy a k¶eszlet, a munkaer} o ¶es a termel¶es nemnegat¶³v: It ¸ 0;

3.3

Wt ¸ 0;

Pt ¸ 0

(t = 1; 2; . . . ; T ):

A modell alkalmaz¶ asa sor¶ an haszn¶ alt indul¶ o adatok

A modell sz¶am¶³t¶og¶epes megold¶as¶ at a Microsoft Excel Solver programj¶ aval v¶egeztÄ uk. A modell futtat¶asa ¶es elemz¶ese sor¶ an a v¶ allalat vezet¶es¶evel egyeztetett alapadatokra ¶ep¶³tettÄ unk. Ahol szÄ uks¶eg volt r¶ a, ott r¶eszletesen magyar¶ azzuk az alapadatokra ¶epÄ ul}o, de tov¶ abbi sz¶ am¶³t¶ asok m¶ odj¶ at. Az elemz¶esi r¶eszben a k¶es}obbi futtat¶asok ¶ert¶ekel¶ese sor¶ an mindig jelezzÄ uk, hogy mi¶ert m¶ odos¶³tottunk bizonyos adatokat, illetve mely adatok, milyen jelleg} u v¶ altoztat¶ as¶ara kerÄ ult az adott futtat¶asn¶ al sor! A keresletet a rendelkez¶esÄ unkre bocs¶ atott 2007-es havi ¶ arbev¶eteli terv alapj¶an hat¶aroztuk meg. Ezek az adatok Ft-ban voltak a v¶ allalatn¶ al adottak, amit a modell sz¶am¶ara volumen-adatokk¶ a kellett transzform¶ alnunk. Az aggreg¶alt tervez¶est a porcel¶angy¶art¶as saj¶ atoss¶ agaib¶ ol ad¶ od¶ oan tonn¶ ara v¶egeztÄ uk el. A gyakorlatban ismert 10 000 Ft/kg ¶ atlagos ¶ arbev¶etel (10 milli¶ o Ft/tonna) hÄ uvelykujj szab¶allyal a tervezett ¶ert¶ekes¶³t¶esi volumeneket ki tudtuk sz¶ amolni. (Janu¶arban pl. 29,53 milli¶o Ft, azaz 1,97 tonna a v¶ arhat¶ o ¶ert¶ekes¶³t¶es mennyis¶ege.) A v¶allalat keresleti jellemz} oi, illetve termel¶esi ¶es min} os¶egi mutat¶ ok ismeret¶eben ugyanakkor azt is l¶ atni kell, hogy ehhez az ¶ert¶ekes¶³t¶esi mennyis¶eghez nagyobb gy¶art¶asi volumeneket kell ind¶³tani (nehezen el} ore jelezhet} o az ¶ert¶ekes¶³tett ¶aruk strukt¶ ur¶aja, min} os¶egi hib¶ ak viszonylag magas ar¶ anya). 50%-os selejttel, majd 100%-os plusz k¶eszletig¶ennyel sz¶ amolva kaptuk a modellben szerepl}o keresleti adatokat tonn¶ aban. Mind az 50, mind a 100%-os r¶ atart¶asn¶al tudatosan kiss¶e t¶ ulterveztÄ uk a termel¶est, hiszen ez az ¶ert¶ekes¶³t¶eshez szÄ uks¶eges mennyis¶eg k¶etszeres megdupl¶ az¶ as¶ at jelenti. P¶elda a sz¶ am¶³t¶ as m¶ odj¶ara: Janu¶ar: 29,53 milli¶o Ft / (10 milli¶ o Ft/tonna / 4) ! 11,81 tonna. A sz¶am¶³t¶as m¶odja teh¶at ¯gyelembe veszi a piaci keresletet, abb¶ ol indul ki, de a termel¶esi rendszer jellemz}oi (a sz¶eles term¶eksk¶ ala miatt az egyes term¶ekek ir¶ anti igen bizonytalan kereslet, a term¶ek gy¶ art¶ asi folyamat alatti, de azt kÄ ovet}oen is ¶erv¶enyes kÄonny} u s¶erÄ ul¶ekenys¶ege) miatt gyakorlatilag brutt¶ os¶³tja azokat. A modellben kereslet alatt kezelt mennyis¶egeket ez¶ert brutt¶ o keresletnek tekinthetjÄ uk. Ezek alapj¶an a 2007-es havi ¶ arbev¶eteli ¶es termel¶esi tervben szerepl}o ¶ert¶ekes¶³t¶esi terv teljes¶³t¶es¶ehez szÄ uks¶eges elv¶ art termel¶esi volumen (St), a kÄovetkez}ok¶eppen alakul:

146

Gelei Andrea { P¶ al¯ J¶ ozsef { Dobos Imre Janu¶ ar: Febru¶ ar: M¶ arcius: ¶ Aprilis: M¶ ajus: J¶ unius: J¶ ulius: Augusztus: Szeptember: Okt¶ ober: November: December:

29,53 62,36 72,24 78,78 104,2 96,34 91,95 102,93 106,22 88,6 148,09 168,95

milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o milli¶ o

Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

11,81 24,94 28,89 31,51 41,68 38,54 36,78 41,17 42,49 35,44 59,24 67,58

tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna, tonna.

Kapacit¶ askorl¶ at (Ct ): 40 tonna/h¶ o (Egy h¶ onapban 20 norm¶ al munkanappal, illetve 8 nap lehets¶eges t¶ ul¶or¶ aval sz¶ amolva.) Munkaer} o¶ allom¶ anya (W0 ): 150 f} o janu¶ ari indul¶ o¶ allom¶ any. Biztons¶ agi k¶eszlet (It1 ): 10 tonna /h¶ o Egys¶egnyi munkaer} o termel¶ekenys¶ege (k): ² Norm¶ al munkaid} o (20 nap/h¶ o): 0,2353 tonna / f} o / 20 nap (30 tonna / h¶o min}os¶egi term¶ekhez 15%-os selejt mellett 35,295 tonna/h¶ oÄ ossztermel¶es szÄ uks¶eges. Ezt a volument 150-nel osztva kapjuk az egy f} ore jut¶o munkaer}o termel¶ekenys¶eg¶et.) ² T¶ ul¶ ora idej¶eben (8 nap/h¶o): 0,09412 tonna / f} o / 8 nap (A fenti sz¶ am¶³t¶asban szerepl}o 35,295 tonna/h¶ o kibocs¶ at¶ ast osztottuk 20-szal. ¶Igy megkaptuk a szÄ uks¶eges napi kibocs¶ at¶ as mennyis¶eg¶et. Ezt osztva 150nek kapjuk az egy f}ore jut¶o munkaer} o termel¶ekenys¶eg¶et.) ² T¶ ul¶ ora idej¶eben (4 nap/h¶ o): 0,0404706 tonna / f} o / 4 nap (A fenti sz¶am¶³t¶asban szerepl}o 35,295 tonna/h¶ o kibocs¶ at¶ ast osztottuk 20-szal. ¶Igy megkaptuk a szÄ uks¶eges napi kibocs¶ at¶ as mennyis¶eg¶et. Ezt osztva 150-nek kapjuk az egy f}ore jut¶ o munkaer} o termel¶ekenys¶eg¶et. Majd ezt feleztÄ uk a n¶egy napnyi t¶ ul¶ or¶ ahoz.) KÄ olts¶egek: ² K¶eszlettart¶ as kÄ olts¶ege (CI ): 180 000 Ft/tonna/¶ev (10%-os ¶eves kamatr¶ata mellett, 1800 Ft/kg sz¶³nes¶ aru ¶ert¶ekkel sz¶ amolva), ez havi bont¶ asban 15 000 Ft/tonna/h¶o ² Munkaer} o kÄ olts¶ege (CW ): 130 000Ft /f} o /h¶ o ² Termel¶esi kÄ olts¶eg (CP ): 1 800 Ft /kg sz¶³nes¶ aru, 1 800 000 Ft/tonna ² Felv¶etel kÄ olts¶ege (CF ): nincs, azaz 0 Ft ² Elbocs¶ at¶ as kÄ olts¶ege (CH ): 1 000 000 Ft/f} o


147

² T¶ ul¶ ora kÄ olts¶ege (CO ): 6 500 Ft/¶ ora/f} o, ami havonta (20 nap) 130 000 Ft/f}o/h¶o (Ez azt jelenti, hogy, amennyiben egy dolgoz¶ o csak t¶ ul¶ or¶ azna eg¶esz h¶onapban, akkor ennyibe kerÄ ulne a v¶ allalatnak.) ² Ki nem haszn¶ alt munkaer} o kÄ olts¶ege (CU ): 105 000 Ft/f} o/h¶ o

4

Az optimaliz¶ al¶ asok eredm¶ enyei

A k¶et alapmodell lehet}ov¶e tette, hogy a param¶eterekre ¶erz¶ekenys¶egi vizsg¶ alatokat is v¶egezzÄ unk. Ennek megfelel} oen bizonyos param¶eterek v¶ altoztat¶ as¶ aval Äot kÄ ulÄonbÄoz}o esetet vizsg¶altunk. Term¶eszetesen folyamatosan jelezzÄ uk, amikor a param¶etert az el}oz}oekben ismertetetthez k¶epest m¶ odos¶³tjuk! Jelen fejezetben az egyes alternat¶³v¶ ak megold¶ as¶ at mutatjuk be, ¶es a kÄ ovetkeztet¶eseket foglaljuk Äossze. A fejezetet u ¶gy ¶ep¶³tettÄ uk fel, hogy Ä on¶ all¶ o alfejezetekben szerepelnek az egyes szcen¶ ari¶ ok, majd a hatodik alfejezet a legfontosabb alternat¶³v¶ak Äosszehasonl¶³t¶ as¶ at v¶egzi el.

4.1

Az els} o modell eredm¶ enyei: T¶ ul¶ ora megenged¶ ese

Az aggreg¶alt termel¶estervez¶esi modell els} o futtat¶ asa a 3.3. alfejezetben megadott alapadatokkal tÄort¶ent. Az eredm¶enyÄ ul kapott aggreg¶ alt termel¶esi terv jellemz}oi a kÄovetkez}ok: ² A v¶allalatnak a kereslethez k¶epest rendelkez¶esre ¶ all¶ o sz} ukÄ os kapacit¶ asok miatt gyakorlatilag folyamatosan maxim¶ alis g¶epkapacit¶ as kihaszn¶ al¶ as mellett kell m} ukÄodnie (kiv¶eve november). ² A t¶ ul¶ora lehet}os¶eg¶et megengedve, illetve annak idej¶et nem korl¶ atozva (8 h¶etv¶egi nappal sz¶amolva havonta) a javasolt legink¶ abb kÄ olts¶egk¶³m¶el} o er}oforr¶as-hasznos¶³t¶as az alkalmazotti l¶etsz¶ am 150 f} or} ol tÄ ort¶en} o le¶ep¶³t¶ese 122 f}ore, illetve ezzel p¶arhuzamosan az alkalmazottak folyamatos t¶ ul¶or¶aztat¶asa. Ebben az esetben az optim¶alisnak tartott termel¶esi terv legfontosabb jellemz}oit, ¶³gy a g¶epi kapacit¶asterhel¶es mellett a k¶eszletfelhalmoz¶ as, illetve le¶ep¶³t¶es u Ätem¶et, a k¶eszletszint alakul¶ as¶ at mutatja be a 2. ¶ abra. Ezt a megold¶ast azonban k¶et szempontb¶ ol sem tartottuk a gyakorlat sz¶ am¶ara val¶oban kÄovetend}onek. Egyr¶eszt a dolgoz¶ ok folyamatos ¶ alland¶ o t¶ ul¶ or¶aztat¶asa a v¶allalat hum¶an er} oforr¶ as¶ anak v¶egletekig tÄ ort¶en} o kihaszn¶ al¶ as¶ at jelenteni, ami m¶ar kÄoz¶ept¶avon is a dolgoz¶ oi lojalit¶ as radik¶ alis roml¶ as¶ ahoz, r¶ aad¶asul v¶arhat¶oan a min}os¶egi helyzet tov¶ abbi s¶ ulyosbod¶ as¶ ahoz vezetne. Az is jelent}os ellen¶erv e megold¶assal szemben, hogy b¶ ar a v¶ altoz¶ o kÄ olts¶egeket ¯gyelembe v¶eve ez megfelel}onek tekinthet} o, az elbocs¶ at¶ asok egyszeri kÄ olts¶ege igen magas (28 MFt).

148

Gelei Andrea { P¶ al¯ J¶ ozsef { Dobos Imre 100

80

60

Kereslet

Tonna

40

Készletszint Kapacitáskihasználtság

20

Készletfelhalmozás

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-20

-40 Hónap

2. ¶ abra. A Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. aggreg¶ alt termel¶ estervez¶ esi modellj¶ enek eredm¶ enye { Els} o modell alapadatokkal tÄ ort¶ en} o futtat¶ asa (1. fut¶ as)

K¶³s¶erleti jelleggel futtattuk a modellt csÄ okken} o t¶ ul¶ or¶ aztat¶ asi lehet} os¶eggel is (pl. havi 4 nap, teh¶at k¶et h¶etv¶ege megengedett t¶ ul¶ ora, illetve nulla megengedett). Az eredm¶enyek azt mutatt¶ ak, hogy valamikor az 50% ¶es a 0%-os tervezett, illetve megengedett t¶ ul¶ora kÄ ozÄ ott az adott termel¶esi (kapacit¶ as, termel¶ekenys¶eg), illetve kÄolts¶eg adatok mellett e®ekt¶³vv¶e, ¶el} ov¶e v¶ alik a v¶ allalat eset¶eben a hum¶an er}oforr¶as korl¶at. A 40 tonna/h¶ o g¶epi kapacit¶ as is igen kÄ ozel van ahhoz, hogy val¶os korl¶att¶a v¶ aljon, hiszen a g¶epi kapacit¶ askorl¶ at miatt maxim¶alisan el¶erhet}o kibocs¶at¶asi volumen 12 £ 40 tonna = 480 tonna/¶ev. Ez all szemben a sz¶am¶³tott 460,07 tonna brutt¶ ¶ o kereslettel. A fut¶asok eredm¶enye felh¶³vta a ¯gyelmet arra, hogy a vizsg¶ alt v¶ allalatn¶ al a g¶epi kapacit¶ asok mellett a hum¶ an er} oforr¶ as kapacit¶ asa is kÄ onnyen e®ekt¶³v korl¶ atj¶ av¶ a v¶ alhat a termel¶esnek. B¶ar a v¶allalat m} ukÄod¶es¶ere ma is jellemz} o a t¶ ul¶ or¶ aztat¶ as kapacit¶ asnÄ ovel} o eszkÄozk¶ent tÄort¶en}o alkalmaz¶asa, u ¶gy v¶eljÄ uk, hogy ezt az eszkÄ ozt mag¶ aba az ¶eves termel¶esi tervbe nem ¶erdemes el} ore be¶ep¶³teni, hiszen ezzel a betervezett kapacit¶asb}ov¶³t¶essel a v¶allalat egy fontos rugalmass¶ agi eszkÄ ozr} ol mond le. Ez¶ert a modell kÄovetkez}okben ismertetett fut¶ asain¶ al t¶ ul¶ or¶ at nem engedtÄ unk meg. (Ennek ¶erdek¶eben m¶odos¶³tottuk a modell bels} o strukt¶ ur¶ aj¶ at, s a tov¶ abbiakban ezzel a m¶odos¶³tott, a 3.2 alfejezetben m¶ ar ismertetett m¶ asodik modellel dolgoztunk.)

4.2

A m¶ asodik modell eredm¶ enyei: t¶ ul¶ ora kiz¶ ar¶ asa

Az aggreg¶alt termel¶esi terv m¶asodik fut¶ as¶ an¶ al az alapadatokb¶ ol indultunk ki, de {, mint azt eml¶³tettÄ uk { megv¶ altoztattuk mag¶ anak a modellnek a bels} o strukt¶ ur¶aj¶at (ismertetve a 3.2 alfejezetben), amennyiben az ¶eves termel¶esi terv k¶esz¶³t¶es¶en¶el nem engedtÄ uk meg a t¶ ul¶ or¶ aztat¶ ast. E m¶asodik fut¶as eredm¶enye szerint a v¶ allalat a tervezett keresletet ¶es az ig¶enyelt biztons¶agi k¶eszlet szintj¶et a t¶ ul¶ or¶ aztat¶ as eszkÄ oze n¶elkÄ ul, a jelenlegi m} ukÄod¶esi ¶es kÄolts¶egparam¶eterek mellett m¶ ar csak abban az esetben tudja


149

legy¶artani, ha 20 f}ovel megemeli dolgoz¶ oi l¶etsz¶ am¶ at! Ez ism¶et meger} os¶³ti, hogy a v¶allalatn¶al a g¶epi kapacit¶as korl¶ at mellett a hum¶ an er} oforr¶ as korl¶ atj¶ aval is foglalkozni kell a menedzsmentnek. A hum¶ an er} oforr¶ as korl¶ atj¶ at vagy a dolgoz¶oi l¶etsz¶am emel¶es¶evel (ezt javasolta els} ok¶ent modellÄ unk), vagy a dolgoz¶ok termel¶ekenys¶eg¶enek jav¶³t¶as¶ aval lehet feloldani. (A modell az eddigiekben 0,2353 tonna /f}o /h¶o (1 h¶onap 20 munkanap) termel¶ekenys¶egi mutat¶ oval sz¶ amolt.) Ez ut¶obbi esetet vizsg¶aljuk meg az 5. fut¶ as sor¶ an. A javasolt l¶etsz¶amb}ov¶³t¶es eset¶en a modell gyakorlatilag folyamatosan a g¶epi kapacit¶askorl¶aton, illetve ahhoz kÄ ozel tervezi a termel¶est. A k¶eszletfelhalmoz¶as ¶es csÄokkent¶es javasolt u Äteme az adott kereslet mellett majdnem megegyezik az el}oz}o fut¶as eredm¶eny¶evel. 80

60

40

Tonna

Kereslet

Készletszint

20

Kapacitáskihasználtság

Készletfelhalmozás 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-20

-40 Hónap

3. ¶ abra. A Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. aggreg¶ alt termel¶ estervez¶ esi modellj¶ enek eredm¶ enye { (t¶ ul¶ ora n¶ elkÄ ul, 2. fut¶ as)

4.3

A harmadik fut¶ as eredm¶ enye: T¶ ul¶ ora kiz¶ ar¶ asa ¶ es v¶ altoz¶ o biztons¶ agi k¶ eszlet

ModellÄ unkben eddig 10 tonna / h¶ o¶ alland¶ o biztons¶ agi k¶eszlettel sz¶ amoltunk. Val¶oj¶aban ugyanakkor ilyen standard havi biztons¶ agi k¶eszlet tart¶ asa nem a legjobb k¶eszletez¶esi strat¶egia. A biztons¶ agi k¶eszlet tart¶ as¶ anak c¶elja az, hogy a bizonytalan keresletb}ol ad¶od¶o nem v¶ art helyzetekre reag¶ alni tudjunk. Ennek megfelel}oen a biztons¶agi k¶eszlet szintj¶et u ¶gy ¶erdemes meghat¶ aroznunk, hogy azt fÄ ugg}ov¶e tesszÄ uk egyr¶eszt a kereslet v¶ arhat¶ o mennyis¶eg¶et} ol, illetve annak bizonytalans¶ag¶at¶ol. A biztons¶ agi k¶eszlet ¶es a keresleti bizonytalans¶ ag kÄ ozÄotti kapcsolat r¶eszletes matematikai vizsg¶ alat¶ ara az adatok jelenleg nem allnak rendelkez¶esre. Az ismert v¶ ¶ allalati gyakorlati megold¶ asokat ¯gyelembe v¶eve hÄ uvelykujj szab¶alyk¶ent haszn¶ alhatjuk a kÄ ovetkez} o ir¶ anyelvet: Adott h¶ onap biztons¶agi k¶eszlete az }ot kÄ ovet} o h¶ onap keresleti ingadoz¶ asaira tÄ ort¶en} o felk¶eszÄ ul¶est szolg¶alja. A cs¶ ucsid}oszakban (a v¶ allalatn¶ al november ¶es december) a kereslet 60%-¶at tekintsÄ uk szÄ uks¶eges biztons¶ agi k¶eszletnek, m¶³g a tÄ obbi h¶ onap eset¶eben a kereslet 40%-¶at. Az ¶³gy sz¶ am¶³tott biztons¶ agi k¶eszletszintek, az u ¶n. cs¶ usztatott biztons¶ agi k¶eszletek a Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt.

150


eset¶eben a kÄovetkez}ok¶eppen alakulnak:

Janu¶ ar: Febru¶ ar: M¶ arcius: ¶ Aprilis: M¶ ajus: J¶ unius: J¶ ulius: Augusztus: Szeptember: Okt¶ ober: November: December:

29,53 62,36 72,24 78,78 104,2 96,34 91,95 102,93 106,22 88,6 148,09 168,95



! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

11,81 24,94 28,89 31,51 41,68 38,54 36,78 41,17 42,49 35,44 59,24 67,58

tonna tonna tonna tonna tonna tonna tonna tonna tonna tonna tonna tonna

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

9,976 11,556 17,646 16,672 15,416 14,712 16,648 19,996 14,176 35,544 40,548 4,724


A modell teh¶at most az aktu¶alis havi kereslet, plusz az el} oz} oekben bemutatott biztons¶agi k¶eszlet Äosszeg¶et tekinti Ä osszes keresletnek. Ez az Ä osszes kereslet az eddigi 10 tonna/h¶o biztons¶ agi k¶eszletszinthez k¶epest, mint az l¶ atszik jelent}os Äosszkereslet-nÄoveked¶est jelent. Olyan jelent} os ez a nÄ oveked¶es, hogy modellÄ unk |az adottnak vett g¶epi kapacit¶ as korl¶ at el¶egtelens¶ege miatt| nem adott megval¶os¶³that¶o megold¶ ast.

4.4

A negyedik fut¶ as eredm¶ enye: T¶ ul¶ ora kiz¶ ar¶ asa ¶ es nÄ ovekv} o kapacit¶ as

Mint arra a v¶allalatn¶al v¶egzett interj¶ uk sor¶ an f¶eny derÄ ult, a v¶ allalat az ¶erz¶ekelt g¶epi kapacit¶askorl¶at old¶asa ¶erdek¶eben az ¶eget} okemence fel¶ep¶³tm¶eny¶enek v¶altoztat¶as¶at hat¶arozta el. Inform¶ aci¶ oink szerint ez a v¶ altoz¶ as az ¶eget} okemence (m¶azas ¶eget¶es) kapacit¶as¶ at v¶ arhat¶ oan 27%-kal nÄ oveli. Ez azt jelenti, hogy a jelenlegi 40 tonna/h¶o kapacit¶ asr¶ ol a termel¶esi rendszer (amennyiben a megfelel}o munkaer}o-ell¶at¶as biztos¶³tott) 55 tonna/h¶ o feh¶er¶ aru (teh¶ at m¶ ar form¶azott ¶es ¶egetett, de m¶eg nem festett ¶es d¶³sz¶³tett ¶ aru) kibocs¶ at¶ as¶ ara v¶ alik k¶epess¶e. Enn¶el a fut¶asn¶al ez¶ert m¶ ar ezzel a g¶epi kapacit¶ askorl¶ attal sz¶ amoltunk. Az aggreg¶alt tervez¶esi modell 4. fut¶ asa sor¶ an azt vizsg¶ altuk, hogy vajon k¶epes-e, s ha igen milyen strat¶egi¶ aval kÄ olts¶eghat¶ekonyan legy¶ artani a megemelt g¶epi kapacit¶assal el}o¶ all¶³that¶ o maxim¶ alis mennyis¶eget a v¶ allalat termel¶esi rendszere? Amennyiben a g¶epkapacit¶ as korl¶ atja 55 tonna/h¶ o, az ¶evente maximum 660 tonna feh¶er¶ aru legy¶ art¶ as¶ at teszi szÄ uks¶egess¶e. Ez a 660 tonna/¶ev az el}oz}o modellekben sz¶ amolt ¶eves kereslet, azaz 460 tonna 1,4348-szorosa. Felt¶etelezve a keresleti ciklusok v¶ altozatlans¶ ag¶ at ez azt jelenti, hogy a jelen k¶erd¶esÄ unk megv¶ alaszol¶ as¶ ahoz szÄ uks¶eges megnÄ ovelt keresleti mennyis¶egeket megkapjuk, ha a havi keresleti adatokat felszorozzuk 1,4348cal. Az ¶³gy kapott keresleti mennyis¶egek a kÄ ovetkez} ok:

Hat¶ekonys¶ag nÄ ovel¶ese tervez¶essel . . . Janu¶ ar: Febru¶ ar: M¶ arcius: ¶ Aprilis: M¶ ajus: J¶ unius: J¶ ulius: Augusztus: Szeptember: Okt¶ ober: November: December:

29,53 62,36 72,24 78,78 104,2 96,34 91,95 102,93 106,22 88,6 148,09 168,95



! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

11,81 24,94 28,89 31,51 41,68 38,54 36,78 41,17 42,49 35,44 59,24 67,58


! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

151 16,94 35,78 41,45 45,21 59,80 55,30 52,77 59,07 60,96 50,85 85,00 96,96


A modellt e keresleti adatokkal, 55 tonna/h¶ o g¶epi kapacit¶ askorl¶ attal (cs¶ usztatott biztons¶agi k¶eszletszinttel sz¶ amolva, de a tÄ obbi param¶etert v¶ altozatlanul hagyva) futtattuk. Eredm¶eny itt is azt mutatta, hogy a hum¶ an er} oforr¶ as komoly korl¶atja jelenleg a rendszernek, hiszen a megemelt keresleti mennyis¶egek legy¶art¶as¶at a jelenlegi 150 f}o helyett csak 234 f} o alkalmaz¶ asa mellett tudja csak a termel¶esi rendszer biztos¶³tani!

4.5

Az Ä otÄ odik modell eredm¶ enyei: T¶ ul¶ ora kiz¶ ar¶ asa ¶ es nÄ ovekv} o munkatermel¶ ekenys¶ eg

Mint az el}oz}oekben bemutatott fut¶ asok eredm¶eny¶eb} ol kiderÄ ul, a Holl¶ oh¶ azi Porcel¶an Manufakt¶ ura Zrt. termel¶esi rendszer¶eben a g¶epi ¶es a hum¶ an kapacit¶as egyar¶ant kÄonnyen val¶os korl¶ atoz¶ o t¶enyez} oj¶ev¶e v¶ alhat a gy¶ art¶ asi output nÄ ovel¶es¶enek. A t¶enyleges kibocs¶at¶ asi mennyis¶eg nÄ ovel¶es¶et csak a k¶et er} oforr¶ as |g¶epi ¶es hum¶an| kapacit¶asainak p¶ arhuzamos, Ä osszehangolt fejleszt¶es¶evel lehet biztos¶³tani. A hum¶an er}oforr¶ as kapacit¶ as¶ at k¶et m¶ odon is emelni lehet: egyr¶eszt a l¶etsz¶am b}ov¶³t¶es¶evel, m¶ asr¶eszt a dolgoz¶ ok termel¶ekenys¶eg¶enek nÄ ovel¶es¶evel lehet biztos¶³tani. Az ÄotÄ odik fut¶ as sor¶ an a 2. futtat¶ asb¶ ol kiindulva (nincs t¶ ul¶ora, alapadatok, teh¶at indul¶ o keresleti mennyis¶egek, 150 f} os l¶etsz¶ ammal, 40 tonna/h¶o g¶epi kapacit¶ askorl¶ attal, 10 tonna/ h¶ o biztons¶ agi k¶eszletszinttel) arra a k¶erd¶esre kerestÄ uk a v¶ alaszt, hogy vajon az adott termel¶esi feladat megoldhat¶o-e a l¶etsz¶am b}ov¶³t¶ese helyett az egy f} ore jut¶ o termel¶ekenys¶eg emel¶ese r¶ev¶en. Eredm¶enyÄ ul azt kaptuk, hogy abban az esetben val¶ os¶³that¶ o meg az ¶eves termel¶esi feladat, ha a g¶epi ¶es a hum¶ an er} oforr¶ as kibocs¶ at¶ asa megegyezik egym¶assal. Jelenleg a g¶epi kapacit¶ as maxim¶ alis kibocs¶ at¶ asa 40 tonna / h¶ o ¶es 150 f}ovel dolgozik a gy¶ar. Az egy f} ore jut¶ o termel¶ekenys¶egnek teh¶ at 0,2667 tonna/dolgoz¶o (= 40 tonna/h¶o osztva 150 f} ovel) kellene, hogy legyen. Az egy dolgoz¶ora jut¶o termel¶ekenys¶egnek ez a nÄ oveked¶ese az indul¶ o 0,2353-hoz k¶epest 13%-os emelked¶est jelent. E szerint a 3. fejezetben szerepl} o param¶eterek melletti indul¶o termel¶esi feladatot a v¶ allalat vagy 20 ember felv¶etel¶evel, vagy a termel¶ekenys¶eg 13%-os emel¶es¶evel tudja biztos¶³tani. A modell ¶altal javasolt kapacit¶ asterhel¶est, k¶eszlet-felhalmoz¶ asi u Ätemet ¶es az ezek eredm¶enyek¶eppen ad¶od¶o Ä osszk¶eszlet szintj¶et mutatja a 4. ¶ abra.

152

Gelei Andrea { P¶ al¯ J¶ ozsef { Dobos Imre 80

60

40

Tonna

Kereslet Készletszint

20

Kapacitáskihasználtság Készletfelhalmozás

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-20

-40 Hónap

4. ¶ abra. A Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. aggreg¶ alt termel¶ estervez¶ esi modellj¶ enek eredm¶ enye (egy f} ore jut¶ o termel¶ ekenys¶ eg: 0,2667 tonna)

Elemz¶esÄ unk azt is kimutatta, hogy az egy dolgoz¶ ora jut¶ o termel¶ekenys¶eg ilyen szint} u nÄoveked¶es¶evel a v¶allalat k¶epess¶e v¶ alik a cs¶ usztatott biztons¶ agi k¶eszlettel megemelt ¶eves termel¶esi teher kezel¶es¶ere is!

4.6

Az o Ässzehasonl¶³that¶ o alternat¶³v¶ ak hat¶ ekonys¶ ag szempontj¶ ab¶ ol tÄ ort¶ en} o¶ ert¶ ekel¶ ese

Az el}oz}oekben a Holl¶oh¶azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. aggreg¶ alt tervez¶esi modellj¶et vizsg¶altuk a modell param¶etereinek v¶ altoztat¶ as¶ aval. Ennek sor¶ an fontos felismer¶esre jutottunk, mely szerint {, mint azt a kor¶ abbiakban m¶ ar kiemeltÄ uk { a Holl¶ oh¶ azi Porcel¶ an Manufakt¶ ura Zrt. termel¶esi rendszere a vizsg¶ alat id} opontj¶ aban nem csak g¶epi, de hum¶ an kapacit¶ as korl¶ atjainak hat¶ ar¶ an is volt! A kÄovetkez}okben az Äosszehasonl¶³that¶ o fut¶ asok termel¶estervez¶esre vonatkoz¶o, illetve ebb}ol ad¶od¶o p¶enzÄ ugyi vonatkoz¶ as¶ u eredm¶enyeit elemezzÄ uk. A fentiekben bemutatott futtat¶asok kÄ ozÄ ul Ä osszehasonl¶³that¶ o az 1., a 2. ¶es az 5. modell megold¶asai. Az 1. t¶ abl¶ azatban, eml¶ekeztet} ou Äl Ä osszefoglaljuk a h¶ arom futtat¶as sor¶an kezelt param¶etereket. 1. fut¶ as T¶ ul¶ ora Egy dolgoz¶ ora jut¶ o termel¶ ekenys¶ eg Alkalmazkod¶ as alapvet} o form¶ aja

2. fut¶ as

5. fut¶ as

Megengedett (havi 8 nap)

Nem megengedett

Nem megengedett

0,2353

0,2353

0,2667 (13%-os nÄ oveked¶ es)

T¶ ul¶ or¶ aztat¶ as

L¶ etsz¶ amb} ov¶³t¶ es

Termel¶ ekenys¶ eg nÄ ovel¶ ese

TÄ obbi param¶ eter (indul¶ o kereslet, 10 tonna/h¶ o biztons¶ agi k¶ eszlet, kÄ olts¶ egadatok stb.) v¶ altozatlanok; l¶ asd 3. fejezet 1. t¶ abl¶ azat. A h¶ arom kiemelt futtat¶ as param¶ etereinek ¶ es tulajdons¶ againak Ä osszefoglal¶ asa


153

A kÄovetkez}okben teh¶at a h¶arom kiemelt futtat¶ as eset¶eben Ä osszehasonl¶³tjuk a modell ¶altal javasolt termel¶esi terveket ¶es azok jellemz} oit. Eml¶ekezzÄ unk arra, hogy az els}o fut¶as eset¶eben az aggreg¶ alt termel¶esi terv az elbocs¶ at¶ as (150 f}or}ol 122 f}ore) ¶es ezzel p¶arhuzamosan a t¶ ul¶ or¶ aztat¶ as eszkÄ oz¶evel ¶elt, s ennek seg¶³ts¶eg¶evel tudta a kÄolts¶eghat¶ekony megold¶ ast kialak¶³tani. A m¶ asodik fut¶ as eset¶en m¶ar nem engedtÄ unk meg t¶ ul¶ or¶ at, az ¶³gy fell¶ep} o hum¶ an er} oforr¶ as korl¶atot a l¶etsz¶am 150-r}ol 170 f}ore tÄ ort¶en} o emel¶es¶evel tudta feloldani ¶es ennek alapj¶an adott javaslatot. V¶egÄ ul az 5. fut¶ as sor¶ an a termel¶ekenys¶eg 13%-os nÄovel¶es¶evel tudtuk a l¶etsz¶ amemelked¶est kiv¶ altani. A hum¶ an er} oforr¶ as korl¶atj¶at teh¶at a termel¶ekenys¶eg emel¶es¶evel lehetett itt feloldani. Az al¶abbiakban ismertetjÄ uk a h¶ arom fut¶ as sor¶ an javasolt termel¶esi alternat¶³v¶at a javasolt kapacit¶asterhel¶es, a tervvel megval¶ os¶³t¶ asa sor¶ an kialakul¶ o k¶eszletszint, a k¶eszletfelhalmoz¶as ¶eves u Äteme, v¶egÄ ul, de nem utols¶ o sorban a modell ¶ert¶ekel¶ese szempontj¶ab¶ol relev¶ ans v¶ altoz¶ o kÄ olts¶egek szempontja alapj¶ an. H¶ onapok

1. fut¶ as

2. fut¶ as

5. fut¶ as

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

40 40 40 40 40 40 40 40 40 20,07 40 40

35,37 35,40 35,87 36,69 37,67 39,08 39,98 40 40 40 40 40

30,69 35,73 36,61 37,83 39,21 40 40 40 40 40 40 40

2. t¶ abl¶ azat. Az aggreg¶ alt termel¶ esi tervez¶ es ¶ altal javasolt kapacit¶ asterhel¶ esek a h¶ arom Ä osszehasonl¶³tott alternat¶³va eset¶ en (tonna/h¶ o)

45

Kapacitásterhelés

40 35 30

1. futás

25

2. futás

20

5. futás

15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Hónapok

5. ¶ abra. Az aggreg¶ alt termel¶ esi tervez¶ es ¶ altal javasolt kapacit¶ asterhel¶ esek a h¶ arom Ä osszehasonl¶³tott alternat¶³va eset¶ en (tonna/h¶ o)

Mint l¶atjuk az els}o alternat¶³va (1. fut¶ as) gyakorlatilag folyamatos maxim¶ alis kapacit¶asterhel¶essel javasolja a termel¶esi tervet az ¶ev sor¶ an el} o¶ all¶³tani.

154


Kiv¶etel a november, amikor 20,07 tonna/h¶ o termel¶esi volumennel sz¶ amol a modell. A m¶asik k¶et fut¶as kapacit¶ asterhel¶es¶enek u Ätemez¶ese szinte azonos. Az els}o fut¶ashoz k¶epest az ¶ev elej¶en kisebb, de folyamatosan emelked} o termel¶esi volumen gy¶art¶as¶at javasolja, majd a 8., illetve a 6. h¶ onapra emelkedik 40 tonna/h¶ora. Innent}ol kezdve folyamatosan maxim¶ alis kapacit¶ asterhel¶est javasol. H¶ onapok

1. fut¶ as

2. fut¶ as

5. fut¶ as

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Havi ¶ atlagos k¶ eszletszint

38,19 53,25 64,36 72,85 71,17 72,63 75,85 74,68 72,19 56,82 37,58 10 58,3

33,56 44,02 51,01 56,18 52,18 52,72 55,92 54,75 52,26 56,82 37,58 10 46,4

28,88 39,67 47,39 53,71 51,24 52,70 55,92 54,75 52,26 56,82 57,58 10 46,7

3. t¶ abl¶ azat. Az aggreg¶ alt termel¶ esi tervez¶ es ¶ altal javasolt termel¶ esi tervet k¶³s¶ er} o k¶ eszletszint alakul¶ asa a h¶ arom Ä osszehasonl¶³tott alternat¶³va eset¶ en (tonna/h¶ o)

80 70

Készletszint

60 50

1. futás

40

2. futás

30

5. futás

20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Hónapok 6. ¶ abra. Az aggreg¶ alt termel¶ esi tervez¶ es ¶ altal javasolt termel¶ esi tervet k¶³s¶ er} o k¶ eszletszint alakul¶ asa a h¶ arom Ä osszehasonl¶³tott alternat¶³va eset¶ en (tonna/h¶ o)

Az el}oz}oekben bemutatott kapacit¶ asterhel¶es ¶es u Ätemez¶es mellett kialakult k¶eszletszint alakul¶as¶at mutatja a 3. t¶ abl¶ azat, illetve a 6. ¶ abra. Mint l¶ atjuk, az els}o fut¶as (l¶etsz¶amcsÄokkent¶essel ¶es t¶ ul¶ or¶ aztat¶ assal) jelent} osen magasabb k¶eszletfelhalmoz¶ast ¶es ez¶altal k¶eszlet¯nansz¶³roz¶ asi terhet jelent a v¶ allalatnak, mint a m¶asik kett}o fut¶as eredm¶enyek¶eppen kapott k¶eszletszint. (Ezek ism¶et nagyon hasonl¶oak egym¶ashoz.) Az els} o fut¶ as eredm¶enyek¶eppen kapott ¶ atlagk¶eszlet szintje 58,3 tonna /h¶o, m¶³g a m¶ asodik fut¶ as (l¶etsz¶ amb} ov¶³t¶es) eset¶eben az ¶ atlagk¶eszlet 47,4 tonna/h¶o, illetve az 5. fut¶ as eset¶en (termel¶ekenys¶eg jav¶³t¶ asa) 46,7 tonna/h¶o. Jelent}os kÄ ulÄ onbs¶eg jelentkezik a k¶eszletmaximumok eset¶eben. Az 1. fut¶as sor¶an 75,85 tonna/h¶ o j¶ uliusban, m¶³g a 2. fut¶ asn¶ al ez a


155

cs¶ ucs ¶aprilisban ¯gyelhet}o meg, s csak 56,18 tonna/h¶ o. Az 5. fut¶ as eset¶en a k¶eszletszint novemberben ¶eri el maximum¶ at, mely 57,58 tonna/h¶ o. A h¶arom fut¶as ¶altal javasolt h¶ arom alternat¶³v ¶eves termel¶esi terv szempontj¶ab¶ol a b¶erkÄolts¶eg ¶es a k¶eszlettart¶ as kÄ olts¶ege a k¶et relev¶ ans Ä osszehasonl¶³t¶asi t¶enyez}o, hiszen a gy¶art¶asi kÄ olts¶eg a kereslet ¶es a biztons¶ agi k¶eszlet nagys¶ag¶anak v¶altozatlans¶aga miatt mindh¶ arom esetben ugyanaz. A kÄ ovetkez} o t¶abl¶azat tartalmazza a h¶arom alternat¶³va e kiemelt v¶ altoz¶ o kÄ olts¶egek szempontj¶ab¶ol tÄort¶en}o vizsg¶alat¶at. KÄ olts¶ egek B¶ erkÄ olts¶ eg T¶ ul¶ ora kÄ olts¶ ege K¶ eszlettart¶ as kÄ olts¶ ege Ä Osszes v¶ altoz¶ o kÄ olts¶ eg Egyszeri kiad¶ as (elbocs¶ at¶ as)

1. fut¶ as 190,3 76,1 10,5 276,8 28,0

2. fut¶ as 265,2 ¡ 8,4 273,5 ¡

5. fut¶ as 234,0 ¡ 8,4 242,4 ¡

4. t¶ abl¶ azat. A h¶ arom kiemelt ¶ eves termel¶ esi alternat¶³va Ä osszehasonl¶³t¶ asa a relev¶ ans v¶ altoz¶ o kÄ olts¶ egek alapj¶ an (MFt)

A fenti t¶abl¶azatb¶ol k¶et f}o kÄ ovetkeztet¶es vonhat¶ o le: Egyr¶eszt az els} o k¶et fut¶as ¶altal javasolt v¶altozat nagyj¶ ab¶ ol ugyanazzal a v¶ altoz¶ o kÄ olts¶eggel j¶ ar. A b¶er jelleg} u kiad¶asokat tekintve a javasolt t¶ ul¶ or¶ aztat¶ as, illetve a javasolt l¶etsz¶amb}ov¶³t¶es kÄolts¶eg gyakorlatilag egyforma kÄ olts¶eggel oldhat¶ o meg. Ugyanakkor a t¶ ul¶ora mellett megval¶ osul¶ o termel¶esi terv valamivel magasabb k¶eszletszinttel j¶ar, mint a l¶etsz¶amb} ov¶³t¶essel tÄ ort¶en} o alkalmazkod¶ as. A k¶eszletez¶esi kÄolts¶egekben kimutathat¶ o kÄ ulÄ onbs¶eg a k¶et sz¶ oban forg¶ o alternat¶³va eset¶en ugyanakkor kicsi. Jelent}osebb megtakar¶³t¶as ¶erhet} o el m¶ asr¶eszt a termel¶ekenys¶eg jav¶³t¶ as¶ aval. A sz¶am¶³t¶asban szerepl}o 13%-os termel¶ekenys¶egjavul¶ as a modell futtat¶ as¶ anak eredm¶enyek¶eppen ¶eves szinten 31 146 000 Ft megtakar¶³t¶ ast biztos¶³t, mely els}osorban a k¶eszletszint csÄokkent¶ese miatt val¶ osulhat meg. Ez a megtakar¶³t¶ asi potenci¶al mindenk¶eppen felh¶³vja a ¯gyelmet arra, hogy a termel¶esi rendszer teljes¶³tm¶eny¶enek nÄ ovel¶ese sor¶ an kiemelt jelent} os¶eget kell tulajdon¶³tani a termel¶ekenys¶eg nÄ ovel¶es¶enek! A termel¶ekenys¶eg nÄ ovel¶es¶enek egyik legfontosabb form¶ aja a gy¶ artott term¶ekek min} os¶eg¶enek nÄ ovel¶ese, a selejtar¶ any csÄ okkent¶ese kell, hogy legyen!

5

Ä Osszefoglal¶ as

Meggy}oz}od¶esÄ unk, hogy a v¶allalati m} ukÄ od¶es hat¶ekonys¶ ag¶ anak nÄ ovel¶ese a mai magyar gazdas¶ag versenyk¶epess¶eg¶enek egyik kiemelked} oen fontos feladata. A hat¶ekonys¶ag nÄovel¶es¶enek sz¶amos eszkÄ oze van. CikkÄ unkkel egy olyan eszkÄ ozre |¶ altal¶aban a termel¶estervez¶esre, ezen belÄ ul kÄ ulÄ onÄ osen az aggreg¶ alt tervez¶esre| k¶³v¶antuk felh¶³vni a ¯gyelmet, mely nem tartozik a prefer¶ alt, gyakran alkalmazott eszkÄozÄok kÄoz¶e. Dolgozatunk az aggreg¶ alt tervez¶es konkr¶et v¶ allalati gyakorlatban tÄort¶en}o alkalmaz¶as¶ at mutatta be. Az eredm¶enyeink azt mutatj¶ak, hogy ez a tervez¶esi eszkÄoz alkalmas a v¶ allalat termel¶esi folyamatainak m¶elyebb meg¶ert¶es¶ere, s¶erÄ ul¶ekeny pontjainak felt¶ ar¶ as¶ ara ¶es elengedhetetlen a

156


hat¶ekony termel¶esi terv megv¶alaszt¶ as¶ ahoz. Rem¶eljÄ uk, hogy eredm¶enyeink felh¶³vj¶ak a hazai, a glob¶alis ell¶at¶ asi l¶ ancnak jellemz} oen egy¶ebk¶ent besz¶ all¶³t¶ oi poz¶³ci¶oban l¶ev}o v¶allalatok ¯gyelm¶et arra, hogy a tervez¶esi eszkÄ ozt¶ ar, ezen belÄ ul a termel¶estervez¶es eszkÄozt¶ar¶ anak szisztematikus alkalmaz¶ asa r¶ev¶en versenyel}onyre tehetnek szert.

Irodalom 1. Chase, R. B., Aquilano, N. J. (1985): Production and operations management: A life cycle approach, Irwin, Homewood IL 2. Evans, J. R., Anderson, D. R., Sweeney, D. J., Williams, T. A. (1990): Applied production and operations management, West Publishing Company, St. Paul et al. MN 3. Hax, A. C., Candea, D. (1984): Production and inventory management, Prentice-Hall, Inc., Englwood Cli®s NJ 4. Nahmias, S. (1989): Production and operations analysis, Irwin, Homewood IL, Boston MA

IMPROVING EFFICIENCY WITH PRODUCTION PLANNING { APPLYING AGGREGATE PLANNING AT A HUNGARIAN COMPANY The article demonstrates how production planning, especially aggregate production planning can positively in°uence the competitiveness of production ¯rms. First the structure of production planning, di®erent, but interconnected levels of it are introduced than the aggregate planning is elaborated in more details. Reason for focusing on aggregate planning lies in the fact that according to our experience aggregate planning is an operation planning method applied least of all production planning methods in Hungary. Due to this we are convinced that demonstrating a real case study in this area can help managers to realize that adopting it can signi¯cantly in°uence e±ciency in operation and represent important source of development. We applied a classic aggregate planning model for a Hungarian producing company. We have tested the adaptability of the model and also the e®ect of di®erent concrete planning scenarios on e±ciency. Solution of the mathematical model is calculated using the program of Microsoft Excel Solver. Key words: e±ciency, aggregate planning, mathematical programming, optimization, case study.

Szigma, XL. (2009) 3-4.

157

¶ ¶ ¶ AZ AHP MODSZER EGY LEHETSEGES ALKALMAZASA 1 } ¶ ¶ TRENDEK ELOREJELZESERE DULEBA SZABOLCS Ny¶³regyh¶ azi F} oiskola

1

Bevezet¶ es

¶ Az Analytic Hierarchy Process (AHP) els} osorban az EgyesÄ ult Allamokban ¶es a T¶avol-Keleten alkalmazott dÄ ont¶est¶ amogat¶ o m¶ odszer, mely tÄ obb szerz} o altal kritiz¶alt (Dyer, 1990; Tversky ¶es Simmonson, 1993; Perez, 1995), de ¶ k¶ets¶egk¶³vÄ ul sz¶amos gyakorlati eredm¶enyt tudhat maga mÄ ogÄ ott (Zahedi, 1986; Carlsson ¶es Walden, 1995; Yang ¶es Shi, 2002). Elm¶eleti oldalr¶ ol legink¶ abb a komplex matematikai megalapozotts¶ agot k¶erik sz¶ amon az ellenz} ok, a gyakorlati szakemberek pedig az el}ofordul¶ o fals kÄ ovetkeztet¶eseket kritiz¶ alj¶ ak. Az ut¶obbi oka kutat¶asaink alapj¶an els} osorban az, hogy a m¶ odszert t¶ ul sz¶eles spektrumon alkalmazz¶ak, mikÄozben nem vizsg¶ alj¶ ak, hogy adott probl¶ema megold¶as¶an¶al egy¶altal¶an teljesÄ ulnek-e a felhaszn¶ al¶ asra vonatkoz¶ o krit¶eriumok. Kutat¶asaink sor¶an, illetve ennek a tanulm¶ anynak a meg¶³r¶ asakor ennek a hib¶anak az elkerÄ ul¶es¶ere ford¶³tottunk kÄ ulÄ onÄ os ¯gyelmet, hiszen az AHP-nek u ¶j terÄ uleten: a trend-el}orejelz¶esben val¶ o felhaszn¶ alhat¶ os¶ ag¶ at vizsg¶ altuk. (A nemzetkÄozi szakirodalomban mindÄ ossze egy p¶eld¶ at lehet tal¶ alni a met¶ odus hasonl¶o c¶elokra val¶o alkalmaz¶as¶ara: az EU 5th FP keret¶eben k¶eszÄ ult SULOGTRA 2000 tanulm¶anyt [12], azonban ebben a kutat¶ asban nem vizsg¶ alt¶ ak az alkalmazhat¶os¶agot, s}ot a prognosztiz¶ alt trend-v¶ altoz¶ asokat sem kÄ ovett¶ek nyomon. Ennek ellen¶ere referencia-kutat¶ ask¶ent felhaszn¶ altuk a publik¶ alt tudom¶anyos eredm¶enyeit.) Trendek meg¶allap¶³t¶as¶ahoz ¶altal¶ aban a hazai ¶es az eur¶ opai szakirodalom a relev¶ans m¶ ultbeli adatok extrapol¶ aci¶ oj¶ at haszn¶ alja. Ezek az u ¶gynevezett forecasting m¶odszerek, melyekn¶el matematikai- statisztikai m¶ odszerekkel id} osorokb¶ol vagy tÄobbv¶altoz¶os adatelemz¶esb} ol meg¶ allap¶³tott Ä osszefÄ ugg¶esek alapj¶ an jÄon l¶etre az el}orejelz¶es (Nov¶ aky, 1999). Gyorsan v¶ altoz¶ o piacokon azonban | mint a vizsg¶alt speci¶alis terÄ uleten, a logisztikai piacok eset¶eben is| ez kev¶esb¶e hat¶ekony met¶odus. Sokkal jobban el} orejelezhet} ok a v¶ arhat¶ o v¶ altoz¶asok, ha az extrapol¶aci¶ot kieg¶esz¶³ti egy jÄ ov} ore vonatkoz¶ o v¶elem¶enyszint¶ezis a megfelel}o szak¶ert}okt}ol, szektorszerepl} okt} ol. Ezt a szakirodalom foresight t¶³pus¶ u el}orejelz¶eseknek nevezi (Krist¶ of, 2002). Az AHP-t egy¶ertelm} uen a foresight t¶³pusba sorolhatjuk. A konzekvens v¶elem¶enyszint¶ezisen t¶ ul az AHP-nek van m¶eg k¶et attrakt¶³v 1A

tanulm¶ anyt a szerz} o prof. Rapcs¶ ak Tam¶ as eml¶ ek¶ enek aj¶ anlja, ez¶ uton kÄ oszÄ onve meg mindazt az ¶ ert¶ ekes szakmai seg¶³ts¶ eget, amelyet t} ole kapott. Be¶ erkezett: 2009. m¶ ajus 4. E-mail: [email protected].

158

Duleba Szabolcs

von¶asa a predikci¶o szempontj¶ab¶ol: konzisztencia-, valamint ¶erz¶ekenys¶egvizsg¶ alat lefolytat¶as¶ara is alkalmas. A konzisztencia vizsg¶ alata az¶ert l¶enyeges, mert a helytelen v¶alaszok azonnal kisz} urhet} ok, valamint az el} orejelz¶es bekÄ ovetkez¶esi es¶ely¶ere is utalhat. Az ¶erz¶ekenys¶eg-vizsg¶ alatok pedig kimutatj¶ ak, hogy a trend mely befoly¶asol¶o t¶enyez} ok hat¶ as¶ ara v¶ altozhat legink¶ abb a vizsg¶ alt id} ointervallumon. A fenti okok miatt v¶alasztottuk a m¶ odszert, a kÄ ovetkez} okben pedig bemutatjuk a fel¶all¶³tott AHP trendmodellt, majd az anal¶³zis sor¶ an kapott eredm¶enyeket.

2

Az AHP alapvet¶ ese

A m¶odszer bemutat¶as¶at (Rapcs¶ ak, 2007) alapj¶ an v¶egezzÄ uk el. Az AHP-t komplex, vagyis Äosszetett probl¶em¶ ak megold¶ as¶ ara fejlesztett¶ek ki. Ebb} ol kÄ ovetkezik, hogy az alapk¶erd¶esre (p¶eld¶ aul, hogy melyik ¶ araj¶ anlatot v¶ alasszuk, melyik eszkÄozt szerezzÄ uk be stb.) kÄ ozvetlenÄ ul nagyon neh¶ez v¶ alaszolni, ez¶ert olyan r¶eszekre kell bontani, amelyek kÄ ulÄ on-kÄ ulÄ on megv¶ alaszol¶ asa m¶ ar kÄ onynyebb feladat. A v¶egc¶el mindig az alternat¶³v¶ ak kÄ ozÄ ul tÄ ort¶en} o v¶ alaszt¶ as. Mivel kÄozvetlenÄ ul nem tudunk (vagy m¶eg nem akarunk) a lehet} os¶egek kÄ ozÄ ul dÄ onteni, szempontokat ¶all¶³tunk fel, amelyek alapj¶ an kÄ ozvetetten ¶ert¶ekeljÄ uk az alternat¶³v¶akat. Amennyiben m¶eg bonyolultabb a probl¶ema, a szempontokat is m¶eg tov¶abb bontjuk alszempontokra ¶es ezek alapj¶ an ¶ert¶ekelÄ unk. A dÄ ont¶esben a kÄ ulÄonbÄoz}o szempontok szerint az alternat¶³v¶ akra vonatkoz¶ o inform¶aci¶ok alapj¶an egy v¶egs}o, kardin¶ alis alternat¶³va-sorrendet tudunk fel¶ all¶³tani. Sokkal kÄonnyebb azonban az ¶ert¶ekel¶es, ha egy bizonyos szempont alapj¶ an az egyik v¶alaszt¶asi lehet}os¶eget egy m¶ asikhoz viszony¶³tunk csak, nem pedig az osszes lehets¶eges alternat¶³v¶ahoz. Azt a legtÄ Ä obb esetben el lehet dÄ onteni, hogy bizonyos szempontb¶ol k¶et alternat¶³va kÄ ozÄ ul melyik a dÄ ont¶eshoz¶ o sz¶ am¶ ara az el} onyÄosebb vagy egyform¶an el}onyÄ osek (ahol nem, ott nem haszn¶ alhat¶ o az AHP). A m¶odszer teh¶at sorozatos p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ asokb¶ ol ¶ all. Ezeket az osszehasonl¶³t¶asokat, hogy ¶attekinthet} Ä o rendszerben legyenek, Saaty (1977) [11] m¶atrixokba rendezte, ¶es ezzel megalkotta az AHP matematikai alapj¶ at. A bevezet¶esben le¶³rtaknak megfelel} oen a modell fel¶ all¶³t¶ asa el} ott ¶ert¶ekelni kell a met¶odus alkalmazhat¶os¶ag¶at, illetve annak korl¶ atait.

2.1

A m¶ odszer trendmeghat¶ aroz¶ asra val¶ o alkalmazhat¶ os¶ ag¶ anak vizsg¶ alata

1. Az alkalmazhat¶os¶ag els}o krit¶eriuma, hogy a probl¶ema, esetÄ unkben a trendek meg¶allap¶³t¶asa, dekompon¶ alhat¶ o. Amennyiben az egyes trendek befoly¶ asol¶o t¶enyez}oit azonos¶³tjuk, az Äosszes faktor v¶ altoz¶ asa egyben az adott trend v¶ altoz¶as¶at adja. A v¶altoz¶asi alternat¶³v¶ akat pedig kÄ ozvetlenÄ ul a befoly¶ asol¶ o faktorokhoz rendelhetjÄ uk hozz¶a, ¶³gy a faktorokra vonatkoz¶ oan ¶ allap¶³thatunk meg alternat¶³va-sorrendet. Az Äosszes faktorra meg¶ allap¶³tott alternat¶³va sor-

Az AHP m¶odszer egy lehets¶eges alkalmaz¶ asa trendek el} orejelz¶es¶ere

159

rend viszont a befoly¶asol¶o t¶enyez} ok trendben betÄ oltÄ ott s¶ uly¶ an keresztÄ ul az eg¶esz trendre vonatkoz¶oan kijelÄoli a v¶egs} o alternat¶³va-sorrendet. Az el} obbiek alapj¶an fel¶all¶³tott trendmodellt mutatja az 1. ¶ abra. 2. P¶ aros Ä osszehasonl¶³that¶ os¶ ag. L¶enyeges vizsg¶ alni, hogy a probl¶ema szempontj¶ab¶ol a modell elemei kÄozÄ ott elv¶egezhet} o-e a Saaty-f¶ele sk¶ al¶ aval val¶ o oszt¶alyoz¶as. A hierarchia els}o szintj¶en, vagyis a faktorok trendben betÄ oltÄ ott jelent}os¶eg¶en¶el arr¶ol kell dÄonteni a kitÄ olt} onek, hogy v¶elem¶enye szerint h¶ anyszor nagyobb/kisebb egy adott faktor trendben betÄ oltÄ ott s¶ ulya, mint egy m¶ asik faktor¶e (pl. jobban befoly¶asolja-e az inverz logisztika t¶erh¶ od¶³t¶ as¶ at az EU kÄ ornyezetv¶edelmi szab¶alyoz¶asa, mint a fogyaszt¶ oi ig¶enyek). A hierarchia m¶ asodik szintj¶en, vagyis a faktorokra vonatkoz¶ o alternat¶³va-sorrend meg¶ allap¶³t¶ as¶an¶al arr¶ol kell dÄontenie a kitÄ olt} onek, hogy h¶ anyszor nagyobb/kisebb az es¶elye az adott alternat¶³va bekÄ ovetkez¶es¶enek, mint egy m¶ asik¶enak (pl. nagyobb-e az es¶elye annak, hogy a kÄornyezetv¶edelmi szab¶ alyoz¶ as nagym¶ert¶ekben szigorodik, mint hogy alacsony m¶ert¶ekben). A fentiek alapj¶ an az Ä osszehasonl¶³that¶os¶ag a hierarchia mindk¶et szintj¶en megval¶ osul. 3. Konzisztencia. Fontos indik¶ atora a modell alkalmazhat¶ os¶ ag¶ anak a konzisztens kitÄolt¶eseknek a vizsg¶ alata. A Saaty ¶ altal meghat¶ arozott kÄ ovetkezetlens¶egi h¶anyadost (CR) kisz¶ amolva a lefolytatott kutat¶ as 32 kitÄ oltÄ ott k¶erd}o¶³v¶eb}ol mindÄossze 4 volt a 0,1-es krit¶erium ¶ert¶ek felett. Az elfogadhat¶ o inkonzisztencia szinttel rendelkez} o m¶ atrixok 87,5%-os ar¶ anya kell} oen szigni¯k¶ans ahhoz, hogy ebb}ol a szempontb¶ ol alkalmazhat¶ onak ¶³t¶eljÄ uk meg a m¶ odszert. 4. Az eredm¶enyek szakmai indokolhat¶ os¶ aga. A konzisztens kitÄ olt¶esek nem felt¶etlenÄ ul jelentik a meghozott dÄ ont¶esek helyess¶eg¶et, hiszen kÄ ovetkezetesen is lehet rossz v¶alaszokat adni. Amennyiben a fel¶ all¶³tott modell alkalmaz¶ asakor szakmailag ¶ertelmezhetetlen vagy er} osen vitathat¶ o eredm¶eny jÄ on ki, az c¶ afolhatja a m¶odszer l¶etjogosults¶ag¶ at egy adott terÄ uleten. Ennek vizsg¶ alat¶ ara egyr¶eszt sz¶eleskÄor} u szakirodalmi anyagot haszn¶ altunk fel (Baumgarten, 2000; Foster, 2004; Cushman ¶es Wake¯eld, 2007), m¶ asr¶eszt a m¶ ar eml¶³tett SULOGTRA referencia-kutat¶ast, v¶egÄ ul a modell eredm¶enyei birtok¶ aban a kitÄ olt} okkel kÄ ozÄoltÄ uk a m¶odszer alapj¶an levont kÄ ovetkeztet¶eseket, amelyeket azok szakmailag indokolhat¶onak tal¶altak. 5. A progn¶ ozis bekÄ ovetkez¶es¶enek vizsg¶ alata. Teljes csak akkor lehet a m¶ odszer alkalmazhat¶os¶ag¶anak bizony¶³t¶ asa, ha a kapott eredm¶enyek nagy sz¶ azal¶ekban be is kÄovetkeznek a vizsg¶ alt id} ointervallum v¶eg¶ere (kutat¶ asunk eset¶eben ez 2010). Az Äosszehasonl¶³t¶ as alapj¶ aul szolg¶ al¶ o SULOGTRA projekt 2000{2010-es intervallumon k¶eszÄ ult, azonban a kÄ ozrem} ukÄ od} ok u ¶gy t¶ aj¶ekoztattak, hogy id}okÄozi ellen}orz¶est nem v¶egeznek. Ez a krit¶erium teh¶ at egyel} ore m¶eg nincs teljes¶³tve.

2.2

A m¶ odszer alkalmaz¶ as¶ anak korl¶ atai

1. Szubjektivit¶ as. A kapott eredm¶enyek v¶elem¶enyszint¶ezist jelentenek, a kitÄ olt}ok indirekt m¶odon megkapott szubjekt¶³v dÄ ont¶es¶et. Semmik¶epp sem tekintend}o teh¶at optimumnak a fel¶ all¶³tott progn¶ ozis, ink¶ abb konszenzusnak

160

Duleba Szabolcs

a jÄ ov}obeli trendv¶altoz¶asokat illet} oen. A megk¶erdezettek kiv¶ alaszt¶ asa mindenk¶epp szisztematikus m¶odon megval¶ os¶³tand¶ o, kiz¶ ar¶ olag a t¶ema szak¶ert} oi kerÄ ulhetnek a mint¶aba. Ezen t¶ ul is r¶eszletesen elemeztÄ uk a minta egyedeit, els} osorban a szakm¶aban tÄoltÄott ¶evek sz¶ ama, a strat¶egiai r¶ al¶ at¶ as valamint a trendek ismerete szempontj¶ab¶ol. 2. A v¶ alaszad¶ as rugalmatlans¶ aga. Az AHP folyamatban a k¶erd} o¶³vek kitÄ olt}oinek nincs lehet}os¶egÄ uk a faktorok vagy alternat¶³v¶ ak megv¶ altoztat¶ as¶ ara, sz¶ amuk nÄovel¶es¶ere vagy csÄokkent¶es¶ere. V¶elem¶enyÄ uket mindÄ ossze a felk¶³n¶ alt befoly¶asol¶o t¶enyez}ok ¶es alternat¶³v¶ ak Saaty-sk¶ ala szerint ¶ert¶ekel¶es¶eben juttathatj¶ak ¶erv¶enyre. Nagyon l¶enyeges ez¶ert, hogy megalapozottan (szakirodalom, referencia-kutat¶as) v¶alasszuk meg a hierarchia elemeit, illetve, hogy ut¶ olagosan lehet}os¶eget biztos¶³tsunk a szak¶ert} ok sz¶ am¶ ara u ¶j elemek javaslat¶ ara, illetve a megl¶ev}ok csÄokkent¶es¶ere vagy v¶ altoztat¶ asra. Az ¶ atrak¶ asi rendszerek alkalmaz¶asa trend eset¶eben p¶eld¶ aul a legnagyobb nÄ oveked¶esi alternat¶³v¶ an¶ al is magasabb u Ätemet (25%) javasoltak ut¶ olag a kitÄ olt} ok. 3. Az ¶erz¶ekenys¶egvizsg¶ alat parcialit¶ asa. Az AHP elemz¶eshez felhaszn¶ alt Expert Choice szoftver nem ad lehet} os¶eget egyszerre tÄ obb faktor s¶ uly¶ anak v¶ altoztat¶as¶ara. Gazdas¶agi el}orejelz¶esekn¶el fontos lenne, hogy vizsg¶ aljuk tÄ obb szempont egyÄ uttes s¶ ulyv¶altoz¶as¶at, hiszen egy jÄ ov} ore vonatkoz¶ o szcen¶ ari¶ o id} otartama alatt minden szemponts¶ uly egyszerre v¶ altozhat. Az elemz¶esÄ unkben lefolytatott ¶erz¶ekenys¶egvizsg¶alat viszont ,,ceteris paribus" ¶ertelmezend} o, vagyis egy vizsg¶alt faktor s¶ uly¶anak v¶ altoz¶ asa hogyan v¶ altoztatja meg az alternat¶³va sorrendet, a tÄobbi faktor v¶ altozatlans¶ ag¶ at felt¶etelezve. A parcialit¶ as ellen¶ere m¶egis hasznos inform¶aci¶okhoz juthatunk a vizsg¶ alat lefolytat¶ as¶ aval.

2.3

Az alkalmaz¶ as l¶ ep¶ esei

N¶egy l¶ep¶esben c¶elszer} u alkalmazni a met¶ odust: 1. 2. 3. 4.

A dÄont¶esi probl¶ema pontos azonos¶³t¶ asa ¶es a hierarchia megalkot¶ asa Elv¶egezni a dÄont¶esi elemek kÄ ozÄ otti p¶ aronk¶enti Ä osszehasonl¶³t¶ ast A krit¶eriumok v¶egs}o s¶ uly¶anak kisz¶ am¶³t¶ asa Megalkotni a v¶egleges kiv¶alaszt¶ asi folyamatot

Az 1. l¶ep¶esben meg kellett alkotnunk a logisztikai trendek jelent} os¶eg¶enek meghat¶aroz¶as¶ara alkalmas szempontf¶ at:

1. ¶ abra. A trendvizsg¶ alatra megalkotott modell


161

A referencia kutat¶as alapj¶an hat¶ aroztuk meg a 8 vizsg¶ alt trendet, az ezeket befoly¶asol¶o 5 faktort ¶es a 3 nÄ oveked¶esi alternat¶³v¶ at. Az egyes trendekhez term¶eszetesen kÄ ulÄonbÄoz}o Ä osztÄ onz} o t¶enyez} ok, valamint nÄ oveked¶esi lehet} os¶egek tartoztak. A 2. l¶ep¶esben olyan Äosszehasonl¶³t¶ o m¶ atrixokat konstru¶ altunk, melyekben egyr¶eszt a kitÄolt}o Äosszehasonl¶³totta az adott trend befoly¶ asol¶ o t¶enyez} oinek fontoss¶ag¶at, m¶asr¶eszt ezen t¶enyez} ok nÄ oveked¶esi alternat¶³v¶ ait. ¶Igy indirekt m¶ odon k¶erdezhettÄ unk r¶a a trend jÄ ov} obeli fontoss¶ ag¶ ara/intenzit¶ as¶ ara, valamint fontos inform¶aci¶okat szerezhettÄ unk a szak¶ert} ok ¶ altal legjelent} osebbnek v¶elt faktorokr¶ol. A kÄovetkez}o p¶aros Äosszehasonl¶³t¶ asi m¶ atrixokat (1. t¶ abl¶ azat) alkothatjuk meg minden egyes trendre: F1 F2 . .. Fm

F1 a11 a21 . .. am1

F2 a12 a22 . .. am2

Fm a1m a2m . .. amm

1. t¶ abl¶ azat. Az egyes trendek faktorainak Ä osszehasonl¶³t¶ o t¶ abl¶ azata

Itt teh¶at Äosszehasonl¶³tjuk az egyes trendek befoly¶ asol¶ o t¶enyez} oinek trendet meghat¶aroz¶o fontoss¶ag¶at. KitÄolt¶es ut¶ an tapasztalati p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ asi m¶ atrixokat kapunk, melyekre igaz a reciprocit¶ as krit¶eriuma, azaz: (aji ) = (1=aij ); aij > 0, de m¶ar nem igaz |dÄ ont} o val¶ osz¶³n} us¶eggel| a konzisztencia krit¶eriuma, azaz: (aik ) = (aij ajk ). A konzisztenci¶ at ez¶ert vizsg¶ alni kell (a k¶es}obb bemutatand¶o CR alapj¶an). A reciprocit¶ asb¶ ol ad¶ odik, hogy a f} o¶ atl¶ o minden eleme 1. Ezut¶an megvizsg¶aljuk minden egyes faktor adott id} ointervallumra vonatkoz¶o v¶altoz¶asi alternat¶³v¶ait. Az m-edik faktorra m = 1; . . . ; 5 (2. t¶ abl¶ azat): Fm A1 A2 .. . An

A1 a11m a21m .. . an1m

A2 a12m a22m .. . an2m

An a1nm a2nm .. . annm

2. t¶ abl¶ azat. Az m-edik faktor v¶ altoz¶ asi alternat¶³v¶ ainak Ä osszehasonl¶³t¶ asa

Ezek szint¶en tapasztalati p¶aros Ä osszehasonl¶³t¶ asi m¶ atrixok lesznek, ugyanaz ¶erv¶enyes r¶ajuk, amit fent is le¶³rtunk. y sz¶ am¶ u trendet vizsg¶ alva adott szektorban y £ (m + 1) m¶atrixot kell a dÄ ont¶eshoz¶ oknak kitÄ olteniÄ uk. ² Az A1 ; A2 ; . . . ; An a trend v¶ altoz¶ asi alternat¶³v¶ ait jelÄ olik. Az alternat¶³v¶akat szakmai konszenzus ¶es a referencia-kutat¶ as alapj¶ an 5%, 12% ¶es 20%-os ¶ert¶ek} unek ¶allap¶³tottuk meg a vizsg¶ alt intervallumra. ² Az F1 ; F2 ; . . . ; Fm a trend befoly¶ asol¶ o t¶enyez} oit jelÄ olik. Szint¶en konszenzus alapj¶an 5 t¶enyez}ot ¶ allap¶³tottunk meg (3. t¶ abl¶ azat).

162

Duleba Szabolcs

² Az aij > 0 i = 1; . . . ; m ¶es j = 1; . . . ; m a tapasztalati m¶ atrixok dÄont¶eshoz¶ok szerinti ¶ert¶ekeit jelÄ olik a trend befoly¶ asol¶ o faktorainak fontoss¶ag¶ara vonatkoz¶oan. Vagyis ezek az ¶ert¶ekek a kÄ ulÄ onbÄ oz} o befoly¶asol¶o faktorok fontoss¶ agait (s¶ ulyait) Ä osszehasonl¶³t¶ o ar¶ anysz¶ amok. ¶ ekei a kÄovetkez}okben bemutatand¶ Ert¶ o Saaty-f¶ele sk¶ ala elemei lehetnek. ² Az aijk > 0 i = 1; . . . ; n, j = 1; . . . ; n ¶es k = 1; . . . ; m jelentik a tapasztalati m¶atrixok dÄont¶eshoz¶o(k) szerinti ¶ert¶ekeit adott faktor v¶ altoz¶ asi alternat¶³v¶aira vonatkoz¶oan. Vagyis ezek az ¶ert¶ekek a kÄ ulÄ onbÄ oz} o v¶ altoz¶ asi alternat¶³v¶ak bekÄovetkez¶esi es¶elyeit Ä osszehasonl¶³t¶ o ar¶ anysz¶ amok. Szint¶en a Saaty-sk¶ala elemeit vehetik fel. A dÄont¶eshozatal sor¶an a dÄont¶eshoz¶ o a dÄ ont¶esi feladat szempont s¶ ulyainak meghat¶aroz¶as¶ara ¶es az alternat¶³v¶ ak minden egyes alszempont (legalacsonyabb szinten l¶ev}o szempont) szerinti ki¶ert¶ekel¶es¶ere megadja a p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ as m¶ atrixokat. A p¶aros Äosszehasonl¶³t¶ as intervallumsk¶ al¶ aja (Saaty-f¶ele sk¶ ala) az AHP m¶odszertanban a kÄovetkez} o: 1 3 5 7 9

{ { { { {

egyform¶an fontos / el}onyÄos; m¶ers¶ekelten fontosabb / el} onyÄ osebb; sokkal fontosabb / el}onyÄ osebb; nagyon sokkal fontosabb / el} onyÄ osebb; rendk¶³vÄ uli m¶ert¶ekben fontosabb / el} onyÄ osebb.

A p¶aros Äosszehasonl¶³t¶asn¶al felhaszn¶ alhatjuk a 2, 4, 6, 8 kÄ ozbens} o ¶ert¶ekeket is. A m¶atrixokban csak a f}o¶atl¶o fÄolÄotti elemeket tÄ olti ki a v¶ alaszad¶ o, a reciprok m¶ atrix tulajdons¶aga miatt a tÄobbi elem megad¶ asa automatikus. Amennyiben al¶ arendelt fontoss¶agot tulajdon¶³t az Ä osszevet¶esben adott alternat¶³v¶ anak, az: 1/3 1/5 1/7 1/9

{ { { {

m¶ers¶ekelten al¶arendelt, nagym¶ert¶ekben al¶arendelt, nagyon nagym¶ert¶ekben al¶ arendelt, rendk¶³vÄ uli m¶ert¶ekben al¶ arendelt,

¶ valamint a kÄoztes: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8 ¶ert¶ekeket ¶³rhatja be a k¶erd} o¶³vbe. Ujra hangs¶ ulyozzuk, hogy a teljes kitÄolt¶es sor¶ an tapasztalati p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ asi m¶ atrixokat kapunk, amelyek szinte biztosan nem konzisztensek, de bizonyos hat¶aron belÄ ul (a k¶es}obb bemutatott CR alapj¶ an) kÄ ovetkezetesnek ¶ert¶ekelhet} ok. A 3. l¶ep¶esben kisz¶am¶³tottuk a faktorok nÄ oveked¶esi m¶ atrix¶ anak saj¶ atvektorait, majd a trend faktorm¶atrix¶anak saj¶ atvektor¶ at, ¶es (1) alapj¶ an aggreg¶ altuk. A m¶odszer 3 lehets¶eges Äosszes¶³t} o v¶ altozata (ide¶ alis, min} os¶³t} o, disztribut¶³v) kÄ ozÄ ul a disztribut¶³v formul¶at v¶ alasztottuk, hiszen ¶³gy tulajdonk¶eppen az 1 ¶ert¶ek¶et osztjuk meg az alternat¶³v¶ ak kÄ ozÄ ott. Ez¶ altal explicit bekÄ ovetkez¶esi es¶elyt tudunk meg¶allap¶³tani, hiszen a 0 ¶es 1 kÄ ozÄ otti ¶ert¶ekek a v¶ arhat¶ o bekÄ ovetkez¶esi val¶osz¶³n} us¶eget reprezent¶ alj¶ ak. (1)

xD j

=

m X wi i=1

w

bij

Pn

k=1 bik

=

m µ X wi i=1

w

Pn

1

k=1 bik

¶

bij ;


163

Pm ahol j = 1; . . . ; n ¶es w = i=1 wi . A wi > 0 i = 1; . . . ; m az i-edik faktor s¶ uly¶at, az xj j = 1; . . . ; n a keresett v¶egs} o rangsort ad¶ o ¶ert¶ekeket jelÄ olik. (1) azt mutatja, hogy u ¶gy kapjuk meg adott trend kitÄ olt} o ¶ altal prefer¶ alt nÄoveked¶esi forgat¶okÄonyveit, hogy adott faktor nÄ oveked¶esi alternat¶³v¶ aira vonatkoz¶o saj¶atvektor koordin¶at¶ait (wi ) beszorozzuk a faktor trendben betÄ oltÄ ott s¶ uly¶aval (bij ), majd alternat¶³v¶ ak szerint a faktorszorzatokat Ä osszeadjuk. ¶Igy a h¶arom alternat¶³v¶ahoz hozz¶ a tudunk rendelni egy-egy olyan sz¶ amot, amely adott alternat¶³va jÄov}ore vonatkoz¶ o bekÄ ovetkez¶esi es¶ely¶et mutatja a kitÄolt}o szerint. A h¶arom alternat¶³v¶ ahoz tartoz¶ o sz¶ am Ä osszege 1, ¶³gy ha az egyikhez rendelt sz¶am pl. 0,6, ez azt jelenti, hogy a kitÄ olt} o 60%-os bekÄ ovetkez¶esi es¶elyt tulajdon¶³t ennek az intenzit¶ asnak a trend vonatkoz¶ as¶ aban. Ezzel azonban m¶eg csak egy szak¶ert} o progn¶ ozis¶ at kaptuk meg, a m¶ odszernek esetÄ unkben viszont csak akkor van ¶ertelme, ha tÄ obb kitÄ olt} o v¶ alasz¶ at tudjuk szintetiz¶alni. Ez¶ert a csoportos alkalmaz¶ as¶ at kell haszn¶ alni az AHPnek. Ehhez szÄ uks¶eges az egy¶eni dÄ ont¶eshoz¶ ok p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ asi m¶ atrixainak az aggreg¶al¶asa. A kitÄolt}ok ugyanolyan index} u elemeit |Acz¶el ¶es Saaty (1983) alapj¶an| a geometriai kÄoz¶ep kisz¶ am¶³t¶ as¶ aval (2) vonhatjuk Ä ossze, azaz: (2)

f(y1 ; . . . ; yl ) =

l Y

1=l

yk ;

k=1

l ¸ 2;

(y1 ; . . . ; yl ) 2 I l ;

ahol f az Äosszegz}o-fÄ uggv¶eny, l pedig a kitÄ olt} ok sz¶ ama. Az yi az i-edik kitÄ olt} o adott index} u m¶atrix elem¶et mutatja, I l pedig a pozit¶³v sz¶ am l-esek halmaz¶ at jelenti. Az ¶³gy kapott aggreg¶alt m¶atrixnak azonban teljes¶³tenie kell k¶et felt¶etelt: a reciprocit¶asnak ¶es a pozit¶³v homogenit¶ asnak a krit¶eriumait. A reciprocit¶ asb¶ ol kÄ ovetkezik, hogy az aggreg¶alt m¶atrixnak is reciproknak kell lennie. A pozit¶³v homogenit¶as pedig azt jelenti, hogy ha mindegyik ¶ert¶ekel¶es s-szeres¶ere n} o (s pozit¶³v sz¶am), akkor a v¶egeredm¶enynek is s-szeresnek kell lennie. A vizsg¶ alat lefolytat¶asa sor¶an mindk¶et krit¶erium ellen} orz¶esre kerÄ ult az aggreg¶ alt m¶ atrix v¶eletlenszer} uen kiv¶alasztott elemeire ¶es minden esetben igazol¶ odott. A 4. l¶ep¶esben megalkothatjuk a v¶egleges dÄ ont¶est |kutat¶ asunkban a trendprognosztiz¶aci¶ot|, amihez m¶eg k¶et mozzanat elengedhetetlen. Egyr¶eszt vizsg¶alni kell a kitÄolt¶esek konzisztenci¶ aj¶ at, m¶ asr¶eszt le kell folytatni az ¶erz¶ekenys¶egvizsg¶alatot. (A bevezet} oben m¶ ar indokoltuk ezek alkalmaz¶ as¶ anak szÄ uks¶egess¶eg¶et.) A konzisztencia-vizsg¶alat a (3) alapj¶ an tÄ ort¶enik: (3)

CI =

¸max ¡ n ; n¡1

ahol ¸max a tapasztalati p¶aros Äosszehasonl¶³t¶ as m¶ atrix legnagyobb saj¶ at¶ert¶eke ¶es n a p¶aros Äosszehasonl¶³t¶as m¶atrix sorainak a sz¶ ama. A kÄ ovetkezetlens¶egi indexek ¶atlagos ¶ert¶ekeit v¶eletlenszer} uen gener¶ alt (nagy val¶ osz¶³n} us¶eggel inkonzisztens) p¶aros Äosszehasonl¶³t¶as m¶atrixok seg¶³ts¶eg¶evel hat¶ arozzuk meg minden n eset¶ere, ¶es ezeket RI-vel jelÄoljÄ uk. A kÄ ovetkezetlens¶egi h¶ anyadost, amit CR

164

Duleba Szabolcs

jelÄol, a k¶et index h¶anyadosak¶ent kapjuk meg (4), azaz (4)

CR =

CI : RI

Bizony¶³that¶o (Rapcs¶ak, 2007), hogy pozit¶³v reciprok m¶ atrixokra ¸max ¸ n, ez¶ert a kÄovetkezetlens¶egi h¶anyados ¶ert¶eke nemnegat¶³v sz¶ am. A kÄ ovetkezetlens¶egi h¶anyados ¶ert¶ekeit az AHP m¶ odszert alkalmaz¶ o Expert Choice (EC) szoftver k¶esz¶³t}oi akkor tartj¶ak j¶onak, ha az ¶ert¶eke kisebb, mint 0,1. M¶ as megkÄ ozel¶³t¶est is alkalmaznak a m¶odszer kapcs¶ an, de a 10%-os krit¶erium alkalmaz¶ asa volt c¶elszer} u a kutat¶asunkban az elemz¶eshez haszn¶ alt szoftver miatt. A sz¶am¶³t¶asokat az ,,Expert Choice 8.0" nev} u dÄ ont¶est¶ amogat¶ o szoftver seg¶³ts¶eg¶evel v¶egeztÄ uk el.

3

Az alkalmaz¶ as bemutat¶ asa egy trend p¶ eld¶ aj¶ an keresztÄ ul

A vizsg¶alt 8 trend kÄozÄ ul a logisztikai id} omegtakar¶³t¶ asi elvek alkalmaz¶ as¶ anak jÄ ov} oj¶ere adott progn¶ozist mutatjuk be p¶eldak¶ent. El} ozetesen a kÄ ovetkez} o befoly¶asol¶o faktorok kerÄ ultek meg¶ allap¶³t¶ asra: piacb} ovÄ ul¶es (piacb} ov), informatikai integr¶aci¶o (icint), informatikai fejl} od¶es (icfejl), j¶ arm} uvek fejl} od¶ese (j¶ armf), kommunik¶aci¶o standardiz¶ aci¶ oja (kommst). A h¶ arom alternat¶³va: 5, 12, 20%-os nÄoveked¶es 2010-re. A v¶ alaszad¶ oknak a 3. t¶ abl¶ azatban bemutatott m¶ atrixokat kellett kitÄolteniÄ uk. } IDOM. } PIACBOV piacb} ovÄ ul¶ es ICINT infokommunik¶ aci¶ os RSZ-ek integr¶ aci¶ oja ICFEJL infokommunik¶ aci¶ os RSZ-ek fejl} od¶ ese ¶ JARMF sz¶ all¶³t¶ o j¶ arm} uvek fejleszt¶ ese KOMMST kommunik¶ aci¶ o standardiz¶ aci¶ oja

} PIACBOV

ICINT

1

Pl.: 7

¡

1

¡

¡

1

¡

¡

¡

1

¡

¡

¡

¡

ICFEJL

¶ JARMF

KOMMST

1

3. t¶ abl¶ azat. Id} omegtakar¶³t¶ asi elvek faktorainak Ä osszehasonl¶³t¶ asa

A fenti t¶abl¶azathoz a kÄovetkez} o k¶erd¶es tartozott a k¶erd} o¶³vben: ,,H¶ anyszor nagyobb A faktor (pl. a piacb} ovÄ ul¶es) szerepe B faktorn¶ al (pl. az info- ¶es kommunik¶ aci¶ os integr¶ aci¶ o) az id} omegtakar¶³t¶ asi elvek logisztikai alkalmaz¶ as¶ aban?" A kitÄolt¶es megkÄonny¶³t¶ese ¶erdek¶eben p¶eld¶ at is bemutattunk a k¶erd} o¶³vben. } ,,P¶eld¶aul a PIACBOV-ICINT rubrik¶ aba ¶³rt 7-es sz¶ am azt jelenti, hogy a piacb}ovÄ ul¶es sokkal nagyobb szerepet tÄ olt be a trendben, mint az info-komm


165

integr¶aci¶o. Az ugyanide ¶³rt 1/7 azt jelenten¶e, hogy a piacb} ovÄ ul¶es sokkal kisebb jelent}os¶eg} u, mint az info-komm integr¶ aci¶ o." ¶ Az al¶abbi t¶abl¶azatokhoz (4. t¶ abl¶ azat) a kÄ ovetkez} o k¶erd¶est tettÄ uk fel: ,,Ert¶ekelje az egyes faktorok nÄoveked¶esi lehet} os¶egeit 2010-re! Pl. H¶ anyszor nagyobb az es¶elye a piacb}ovÄ ul¶es 5%-os m¶ert¶ek¶enek a 12%-os m¶ert¶ekn¶el?" A kitÄolt¶es megkÄonny¶³t¶ese ¶erdek¶eben szint¶en szolg¶ altattunk p¶eld¶ at: ,,P¶eld¶ aul } t¶abl¶azat 5%-12% rubrik¶ a PIACBOV aj¶ aba ¶³rt 2-es sz¶ am azt jelenten¶e, hogy enyh¶en nagyobb az es¶elye a piacb}ovÄ ul¶es 5%-os m¶ert¶ek¶enek, mint a 12%-osnak. Az ugyanide ¶³rt 1/2 az enyh¶en kisebb es¶elyt mutatn¶ a." } PIACBOV ¶ ¶ MERT EK 5% 12% 20%

5%

12%

20%

1 { {

Pl.:2 1 {

1

4. t¶ abl¶ azat. A faktorok v¶ altoz¶ asi alternat¶³v¶ ainak Ä osszehasonl¶³t¶ asa

A kÄovetkez}okben kÄozÄoljÄ uk a 28, kÄ ovetkezetess¶egi krit¶eriumon (CR < 0;1) belÄ ul marad¶o kitÄoltÄott k¶erd}o¶³v be¶³rt ¶ert¶ekei alapj¶ an l¶etrejÄ ott eredm¶enyeket a vizsg¶alt trend vonatkoz¶as¶aban. A szak¶ert} ok Ä osszehasonl¶³t¶ asai alapj¶ an a m¶ ar eml¶³tett ,,Expert Choice" szoftver ¶ abr¶ ai alapj¶ an v¶egeztÄ uk el az elemz¶est. A 2. ¶ abra alapj¶an els}osorban a piacb} ovÄ ul¶es faktora hat a trendre, szint¶en jelent}os m¶eg az informatika integr¶ aci¶ oja, valamint a kommunik¶ aci¶ o standardiz¶ aci¶oja, a marad¶ek k¶et faktort nem ¶³t¶elt¶ek nagy befoly¶ as¶ unak. Z¶ ar¶ ojelben szerepelnek a tizedes tÄort form¶aban kisz¶ am¶³tott faktors¶ ulyok. Pl. ,458 jelent¶ese: a t¶enyez}o 45,8%-ban magyar¶ azza a trendet.

2. ¶ abra. A trend eredm¶ enyk¶ ent kapott faktors¶ ulyai

A bemutatott faktorok eset¶eben megfelel} o konzisztencia (0,08, m¶³g a hat¶ ar¶ert¶ek 0,1) mellett a v¶alaszad¶ ok a kÄ ozepes m¶ert¶ek} u, 12%-os nÄ oveked¶esi forgat¶okÄonyvet tett¶ek az els}o helyre (3. ¶ abra). Ennek a nÄ oveked¶esi szintnek 49,1%-os bekÄovetkez¶esi es¶elyt tulajdon¶³tottak indirekt m¶ odon a kitÄ olt} ok. M¶ asodik helyre a 20%-os v¶altoz¶as kerÄ ult 36,4%-os bekÄ ovetkez¶esi es¶ellyel, m¶³g a legkev¶esb¶e es¶elyes a lass¶ u intenzit¶ as.

166

Duleba Szabolcs

3. ¶ abra. A trend v¶ altoz¶ asi alternat¶³v¶ ai ¶ es bekÄ ovetkez¶ esi es¶ elyeik

A 4. ¶ abra a dinamikus ¶erz¶ekenys¶eg-vizsg¶ alat eredm¶eny¶et mutatja. A feh¶er oszlopok adott faktor befoly¶asol¶o s¶ uly¶ at jelzik. A k¶ek, piros ¶es zÄ old gra¯konok az alternat¶³v¶ak faktoronk¶enti ¶es Äosszegzett eredm¶enyeit mutatj¶ ak. Ha egy-egy faktor s¶ uly¶at v¶altoztatjuk, akkor az alternat¶³v¶ ak v¶egs} o pontsz¶ amai v¶ altoznak. Az ¶abr¶an l¶athat¶o, hogy a piacb}ovÄ ul¶esi szempont Ä onmag¶ aban a legmagasabb, 20% nÄoveked¶est jelenten¶e az id}omegtakar¶³t¶ asi elvek alkalmaz¶ as¶ aban, azonban f} oleg a k¶et kÄovetkez}o s¶ uly¶ u faktor miatt a v¶egleges sorrend a kÄ ozepes { magas { alacsony lett. Felt} un}o m¶eg, hogy egyik szempont szerint sem legval¶ osz¶³n} ubb a lass¶ u, 5%-os nÄoveked¶es.

4. ¶ abra. Az ¶ erz¶ ekenys¶ egvizsg¶ alat eredm¶ enye

¶ Erdekes viszont, hogy az informatika integr¶ aci¶ oja s¶ uly¶ anak lecsÄ okkent¶es¶evel (0,256-r¶ol 0,054-re) a legmagasabb, 20%-os alternat¶³va kerÄ ulne az els} o helyre (5. ¶ abra). Ezt a viszonylag drasztikus s¶ ulycsÄ okkent¶est az indokolhatja, hogy c¶elzott korm¶anyzati t¶amogat¶ as h¶³j¶ an (p¶ aly¶ azati Ä osztÄ onz¶es n¶elkÄ ul), saj¶ at er} ob}ol nehezen tudnak l¶ep¶est tartani a kisebb szektor szerepl} ok a t} okeer} os v¶ allalatokkal az egys¶eges informatikai eszkÄ ozÄ ok beszerz¶es¶eben, ez¶ert a lass¶ u integr¶aci¶o val¶os vesz¶ely. Erre a szempontra ¶erz¶ekeny a trend, amennyiben


167

nem v¶alik ,,ker¶ekkÄot}oj¶ev¶e" a folyamatnak, vagyis megfelel} ou Ätemben integr¶ al¶ odnak az informatikai felhaszn¶ al¶ asok az ell¶ at¶ asi l¶ ancokban, u ¶gy el¶erhet} o lehet a 20%-os alkalmaz¶asb}ovÄ ul¶es is.

5. ¶ abra. A szemponts¶ uly v¶ altoz¶ as eredm¶ enye

Vizsg¶aljuk meg az alternat¶³v¶ak p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ as¶ at is mind az Ä ot szempont alapj¶an. A 6. gra¯konon l¶athat¶ o, hogy egyik faktor sem jelzi azt, hogy a leglass¶ ubb nÄoveked¶esi alternat¶³va bekÄ ovetkez¶ese a legval¶ osz¶³n} ubb. A 7. ¶ abr¶ an az vehet}o ¶eszre, hogy a piacb} ovÄ ul¶esi faktor er} osen dinamiz¶ al, (a j¶arm} ufejl}od¶es nagyon enyh¶en) az informatika integr¶ aci¶ oja, fejl} od¶ese ¶es a kommunik¶aci¶o standardiz¶aci¶oja pedig ,,h} uti" a nÄ oveked¶est.

6. ¶ abra. Az alternat¶³v¶ ak p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ asa

168

Duleba Szabolcs

7. ¶ abra. Az alternat¶³v¶ ak p¶ aros Ä osszehasonl¶³t¶ asa

Ä Osszefoglalva, a megadott, viszonylag nagym¶ert¶ek} u nÄ oveked¶esi ¶ert¶ekek ellen¶ere a szektor logisztikusai a kÄ ozepes, valamint a magas alternat¶³v¶ at tartott¶ak a legval¶osz¶³n} ubbnek az adott intervallumon. A lefolytatott anal¶³zisb}ol l¶athat¶ o, hogy legink¶ abb a piacb} ovÄ ul¶es motiv¶ alja az id}omegtakar¶³t¶asi elvek alkalmaz¶ as¶ at, itt a szak¶ert} ok a megny¶³lt EU piacokra gondolhattak, valamint ak¶ar m¶ ar a Rom¶ ania ¶es Bulg¶ aria csatlakoz¶ as¶ aval l¶etrejÄov}o u ¶j piaci helyzetre is. Hangs¶ ulyozni kell azonban, hogy ennek a dinamikus b}ovÄ ul¶esnek felt¶etele, hogy az informatikai megold¶ asok egys¶eges alkalmaz¶asai is jellemezz¶ek az ell¶at¶ asi l¶ ancok eg¶esz¶et. Amennyiben ebben nem sikerÄ ul kÄovetni a fejlett piacok gyakorlat¶ at, a trend j¶ oval kisebb m¶ert¶ek} u hat¶asa lesz ¶erz¶ekelhet}o haz¶ankban, ami jelent} os versenyk¶epess¶eg roml¶ assal j¶ arhat.

4

Tapasztalatok az AHP m¶ odszer trendmeghat¶ aroz¶ asra val¶ o alkalmaz¶ as¶ aban ² Saj¶at kutat¶asunkban minden egyes trendhez 5 befoly¶ asol¶ o t¶enyez} ot rendeltÄ unk hozz¶a. Szakmailag nem tal¶ altuk indokoltnak tÄ obb faktor vizsg¶alat¶at, ahogy szint¶en feleslegesnek tartottuk a 3-n¶ al tÄ obb alternat¶³va felk¶³n¶al¶as¶at. Mivel az egyre tÄ obb befoly¶ asol¶ o t¶enyez} o bevon¶ asa egyre ink¶abb megnehez¶³ti a kÄ ozel konzisztens v¶ alaszad¶ ast, ez¶ert javaslatunk szerint 5-ben kell maxim¶ alni a faktorsz¶ amot. (5£ 5-Ä os m¶ atrix m¶eg viszonylag konzisztensen kitÄ olthet} o tesztel¶eseink alapj¶ an, b¶ ar szÄ uks¶eg van egy sz¶elesebb b¶azison v¶egrehajtott tesztel¶esre ennek ellen} orz¶es¶ehez.) Mivel a 10%-os konzisztencia-krit¶erium tudom¶ anyosan m¶eg nem igazolt, m¶egis esetenk¶ent el lehet t¶erni a maximum 5 faktorsz¶ amt¶ ol, ha szakmailag indokolhat¶o tÄobb t¶enyez} o szerepeltet¶ese. ² A k¶erd}o¶³vben alkalmazott befoly¶ asol¶ o szempontok, valamint a k¶³n¶ alt alternat¶³v¶ak sz¶eleskÄor} u szakmai konszenzus eredm¶enyek¶eppen kerÄ uljenek


169

meg¶allap¶³t¶asra. Erre legink¶ abb alkalmas lehet egy szakmai konferencia, illetve egy reprezentat¶³v referencia-kutat¶ as. Kutat¶ asunkban az ut¶ obbit haszn¶altuk fel. ² A k¶erd}o¶³vek Äossze¶all¶³t¶as¶an¶ al kulcsfontoss¶ ag¶ u, hogy min¶el jobban seg¶³ts¶ek a kitÄolt}ok munk¶aj¶at. Ez¶ert magyar¶ azatokkal, valamint p¶eld¶ aval kell folyamatosan szolg¶alni a dÄ ont¶eshoz¶ ok sz¶ am¶ ara. A felm¶er¶es lefolytat¶as¶ara legink¶abb a szem¶elyes megk¶erdez¶es alkalmas, m¶ as form¶ aban a v¶alaszad¶asi ar¶any elkeser¶³t}oen alacsony. ² A v¶alaszad¶ok szisztematikus kiv¶ alaszt¶ as alapj¶ an kerÄ uljenek a mint¶ aba. Mivel a m¶odszer v¶elem¶eny-szint¶ezisre alapul, els} odleges fontoss¶ ag¶ u, hogy val¶oban a t¶em¶aban j¶artas szak¶ert} ok adjanak v¶ alaszt a k¶erd¶esekre. A szakmai hozz¶a¶ert¶esre, valamint a szem¶elyes habitusra vonatkoz¶ o k¶erd¶eseknek m¶eg ezen felÄ ul is szerepelni kell a k¶erd} o¶³vben, hiszen a kutat¶ ast v¶egz}o t¶evedhet a minta Äossze¶ all¶³t¶ as¶ aban, ezek a k¶erd¶esek ezt kÄ uszÄ obÄ olik ki. Amennyiben inkonzisztens v¶ alaszad¶ as tÄ ort¶enik, a kutat¶ ast v¶egz} onek nem szabad a sz¶amok megv¶ altoztat¶ as¶ aval konzisztenss¶e tenni (az Expert Choice 8.0 k¶³n¶al ilyen lehet} os¶eget), hanem vagy u ¶jra el kell v¶egeztetni a kitÄolt¶est, vagy kivenni a mint¶ ab¶ ol a kÄ ovetkezetlen v¶ alaszad¶ ot. N¶eh¶any adat megv¶altoztat¶ asa ugyanis m¶ ar nem az eredeti kitÄ olt} o v¶elem¶eny¶et tÄ ukrÄozi, ez¶ert torz¶³tja a v¶egeredm¶enyt. Ezen felÄ ul nagyon fontos inform¶aci¶o az inkonzisztens kitÄ olt¶es is, hiszen gyakori el} ofordul¶ asa a fel¶all¶³tott modell hib¶aj¶at jelenti. ² Az eredm¶enyek ki¶ert¶ekel¶es¶en¶el mindig el kell v¶egezni a konzisztenciavalamint az ¶erz¶ekenys¶egvizsg¶ alatokat. A kapott v¶egeredm¶eny csak ezekkel a vizsg¶alatokkal egyÄ utt ¶ertelmezhet} o ¶es ¶ertelmezend} o. Trendmeghat¶aroz¶as eset¶eben az alacsony inkonzisztencia, valamint ha a trend egyik faktorra sem mutat kiugr¶oan magas ¶erz¶ekenys¶eget, jelzik az el} orejelz¶es nagyobb bekÄovetkez¶esi es¶ely¶et.

5

Ä Osszefoglal¶ as

A kvantitat¶³v m¶odszerek gazdas¶agi gyakorlatban val¶ o alkalmaz¶ asa ter¶en mind haz¶anknak, mind az Eur¶opai Uni¶ onak h¶ atr¶ anya van a m¶ asik k¶et vil¶ aggazdas¶ agi centrumhoz k¶epest. Ennek a h¶atr¶ anynak a felsz¶ amol¶ as¶ at sz¶ amos uni¶ os projekt c¶elozza meg, amelyekben tudom¶ anyos alapokon, de a gyakorlatra vonatkoz¶oan kutatnak egy-egy tematikus terÄ uletet. A tanulm¶any meg¶³r¶as¶anak f} o c¶elja az volt, hogy m¶ odszertani megalapozotts¶aggal v¶egezzÄ unk el egy olyan kutat¶ ast, amelynek gyakorlati jelent} os¶ege is van tudom¶anyos ¶ert¶eke mellett. A szak¶ert} ok jÄ ov} ore vonatkoz¶ o v¶elem¶enyszint¶ezis¶et egy olyan dÄont¶est¶amogat¶ o szoftver (Expert Choice) alkalmaz¶ as¶ aval tudtuk kialak¶³tani, amelyet a tengerent¶ ulon strat¶egiai dÄ ont¶esek meghozatal¶ ahoz gyakran haszn¶alnak v¶allalatvezet} ok is, vagyis nem csak tudom¶ anyos kutat¶ok.

170

Duleba Szabolcs

Irodalom 1. Baumgarten, W. (2000): Trends und Strategien-Kurzfassung Berlin 3{20. 2. Carlsson, C., Walden, P. (1995): AHP in Political Group Decisions: A Study in the Art of Possibilities. Interfaces, 25(4), 14{29. 3. Cushman and Wake¯eld (2006): Trends in Logistics and Distribution http:// www.¯nancnik.sk/¯nancie.php?did=314&article=249. (LetÄ olt¶es ideje: 2007.) 4. Duleba, Sz. (2007): Az AHP m¶ odszer veri¯k¶ al¶ asa logisztikai trendek meghat¶ aroz¶ as¶ ara, kÄ ulÄ onÄ os tekintettel a magyar FMCG szektor trendjeire. Doktori (Ph.D.) disszert¶ aci¶ o, GÄ odÄ oll} o 5. Dyer, J. S. (1990): Remarks on the Analytical Hierarchy Process. In: Management Science, 36(3) 249{258. 6. Foster, T. A. (2004): The Trends Changing the Face of Logistics Outsourcing Worldwide http://www.glscs.com/archives/top. (LetÄ olt¶es ideje: 2007.) 7. Krist¶ of, T. (2002): A szcen¶ ari¶ o m¶ odszer a strat¶egiaalkot¶ asban I. r¶esz, Vezet¶estudom¶ any, XXXIII. ¶evf., 9. sz¶ am, 17{27. 8. Nov¶ aky, E. szerk. (1999): JÄ ov} okutat¶ as. AULA Kiad¶ o, Budapest, 5{18. 9. Perez, J. (1995): Some Comments on Saaty's Analytic Hierarchy Process. Management Science, 41(6) 1091{95 pp. 10. Rapcs¶ ak, T. (2007): TÄ obbszempont¶ u dÄ ont¶esi probl¶em¶ ak. Egyetemi jegyzet, Budapesti Corvinus Egyetem MTA Sz¶ am¶³t¶ astechnikai ¶es Automatiz¶ al¶ asi Kutat¶ o Int¶ezet¶ebe kihelyezett Gazdas¶ agi DÄ ont¶esek Tansz¶ek, Budapest, 21{37. 11. Saaty, T. L. (1977): A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures. Journal of Mathematical Psychology, 15, 234{281. 12. SULOGTRA (2000) D1 E®ects on Transport of Trends in Logistics and Supply Chain Management. EU 5th.Fp. D1 Analysis of Trend in Supply Chain Management and Logistics, 94{102. 13. Tversky, A. and Simmonson, I. (1993): Context-Dependent Preferences. Management Science, 39(10), 1179{89. 14. Yang, J., Shi, P. (2002): Applying Analytic Hierarchy Process in Firm's Overall Performance Evaluation { A Case Study in China. International Journal of Business 7(1) 24{30. 15. Zahedi, F. (1986): The Analytic Hierarchy Process { A Survey of the Method and Its Applications. Interfaces, 16(4), 96{108.

A POSSIBLE APPLICATION OF THE AHP METHOD FOR TREND DETERMINATION Recently, a signi¯cant number of the economic prognoses have been disproved even before the prognosed time horizon ends. On one hand, the reason can be the intensive and hectic change of the world economy, on the other hand, the imperfection of the applied method causes false predictions. In this study, we elaborate a new approach of trend forecasts: the application of the AHP method. The introduced survey was made on a thight economic segment |on the logistics markets of the Hungarian FMCG sector| but the method can be applicable for trend prediction of other economic sectors as well. The AHP |amended by other statistical and operational methods| may help to make better forecasts about the economic processes of the future.

Szigma, XL. (2009) 3-4.

171

¶ FOGALMAK, MODSZEREK ¶ Ä ¶ ¶ ¶ FELTETELES KOVETEL ESEK ARAZ ASA { KOPULA ¶ ¶ MODSZEREK ALKALMAZASA TELJES PIACOKON1 ¶ VARGA JOZSEF PTE KÄ ozgazdas¶ agtudom¶ anyi Kar

Bevezet¶ es Ennek a rÄovid ismertet}onek els} odleges c¶elja, hogy sz¶elesebb olvas¶ okÄ ozÄ ons¶eg sz¶ am¶ara seg¶³tsen kÄonnyebben ¶erthet} ov¶e tenni azokat a m¶ odszereket, modelleket, amelyek a p¶enzpiacokon mutatkoz¶ o olyan t¶enyek kezel¶es¶ere k¶³n¶ alnak legal¶abb r¶eszleges megold¶ast, mint az eszkÄ ozhozamok norm¶ alist¶ ol elt¶er} o eloszl¶ asa, a vastag eloszl¶assz¶elek vagy ¶ altal¶ anosabban fogalmazva a hagyom¶ anyos modellekben felt¶etelezett egyÄ uttes val¶ osz¶³n} us¶eg-eloszl¶ asok ¶es a piacokon ¶eszlelt adatok eloszl¶as¶anak jelent}os elt¶er¶ese a p¶enzÄ ugyi piacok kisz¶ am¶³thatatlan viselked¶ese, a volatilit¶as nagym¶ert¶ek} u megnÄ oveked¶ese kÄ ovetkezt¶eben. Ezek az ut¶obbi id}oben ¶eszlelt fejlem¶enyek a p¶enzÄ ugyi matematika olyan standard eszkÄ ozeit ¶erv¶enytelen¶³tett¶ek, mint p¶eld¶ aul a Black-Scholes-modell, amelyet elt¶er} o jellemz}oket mutat¶o piacokon felt¶eteles kÄ ovetel¶esek ¶ araz¶ as¶ ara alkalmaznak, ¶es amely z¶art alakban megadott megold¶ asokat k¶³n¶ al szigor¶ uan Gauss-eloszl¶ as felt¶etelez¶es¶evel, majdnem minden ¶ araz¶ asi probl¶em¶ ara. A m¶ asik c¶elja a dolgozatnak r¶amutatni arra, hogy m¶eg ezekben az itt bemutat¶ asra kerÄ ul} o egyszer} u esetekben, a teljes piaci kÄornyezet felt¶etelez¶ese ¶es a legegyszer} ubb k¶etv¶ altoz¶ os digit¶alis opci¶ok eset¶eben is mennyi komoly probl¶em¶ aval kell szemben¶eznie a matematikai szempontb¶ol tÄok¶eletesen kidolgozott elm¶eleti modellek alkalmaz¶oinak. Ezek alapj¶an tal¶an elk¶epzelhet} o a modellez¶esi probl¶em¶ aknak a s¶ ulyoss¶aga, valamint az ¶³gy nyert kÄ ovetkeztet¶esek k¶ets¶egbe vonhat¶ o megfelel} os¶ege az ¶altal¶anosabb (kett}on¶el tÄ obb dimenzi¶ o, nem teljes piaci kÄ ornyezet ¶es nem csak egyszer} u digit¶alis opci¶ o) esetekre n¶ezve.2 A tÄobbv¶altoz¶os felt¶eteles kÄovetel¶eseket matematikai fogalmakkal g(f (Si (T ); T ; i = 1; 2; . . . ; n)) alakban fel¶³rhat¶o ki¯zet¶esk¶ent jellemezhetjÄ uk, ahol g(¢) egyv¶ altoz¶ os ki¯zet} ofÄ uggv¶eny a sz¶armaztatott u Ägylet azonos¶³t¶ as¶ ara szolg¶ al, f (¢) n-v¶ altoz¶ os fÄ uggv¶eny, amely azt ¶³rja le, hogy az n-sz¶ am¶ u alapterm¶ek hogyan hat¶ arozza meg 1 Be¶ erkezett:

2009. ¶ aprilis 10. E-mail: [email protected]. eszkÄ oz¶ araz¶ as elm¶ eleti Ä osszefÄ ugg¶ eseibe, matematikai alapjaiba ny¶ ujt betekint¶ est Medvegyev P¶ eter: A p¶ enzÄ ugyi eszkÄ ozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶ etele diszkr¶ et idej} u modellekben c. dolgozata. (Ld. irodalomjegyz¶ ek) 2 Az

172

Varga J¶ ozsef

a v¶egs}o p¶enzfolyamot, Si az i-edik alapterm¶ek ¶ arfolyam¶ at, T pedig a szerz} od¶es lej¶arati idej¶et jelÄoli. P¶eld¶aul sziv¶ arv¶ any v¶eteli opci¶ o eset¶eben a ki¯zet} o fÄ uggv¶eny g(f ) = max(f ¡ K; 0) ;

ahol K a leh¶³v¶asi ¶arfolyam, m¶³g f (¢) az n sz¶ am¶ u eszkÄ oz minimum¶ at hat¶ arozza meg: f (Si (T ); T ; i = 1; 2; . . . ; n) = min(Si (T ); i = 1; 2; . . . ; n) : M¶asik p¶eldak¶ent eml¶³thet}o a tÄ obbv¶ altoz¶ os digit¶ alis opci¶ o. Ebben az esetben a g(¢) fÄ uggv¶eny egyszer} uen egy multiplikat¶³v ¶ alland¶ o, az f (¢) pedig azt jelzi, hogy minden alapterm¶ek ¶arfolyama magasabb vagy megegyez} o-e a megfelel}o Ki , i = 1; 2; . . . ; n leh¶³v¶asi ¶ arfolyamn¶ al: f (Si (T ); T ; i = 1; 2; . . . ; n) = I(S1 (T )¸K1 )\¢¢¢\(Sn (T )¸Kn ) ahol I indik¶atorfÄ uggv¶enyt jelÄol. Olyan ¶araz¶asi modelleket mutatunk be, amelyek ¶erv¶enyesek a standard Black-Scholes modell felt¶eteleit meghalad¶ o nagyon ¶ altal¶ anos val¶ osz¶³n} us¶egeloszl¶as felt¶etelez¶esek mellett. Ezek a modellek k¶epesek sz¶etv¶ alasztani a v¶ altoz¶ok fÄ ugg}os¶egi strukt¶ ur¶aj¶at ¶es a margin¶ alis eloszl¶ asokat. Az elemz¶esekben nagyon fontos szerepet j¶atsz¶o fÄ ugg} os¶eg modellez¶ese f¶ arads¶ agos munka. Ennek els}osorban az az oka, hogy a k¶etv¶ altoz¶ os fÄ ugg} os¶egi m¶ert¶ekek ¶ altal¶ anos¶³t¶ asai nem egy¶ertelm} uek. Az alkalmazott eszkÄ oz a kopula fÄ uggv¶eny3 , amely egyre n¶epszer} ubb a p¶enzÄ ugyi piacok elemz} oi kÄ or¶eben, a vele foglalkoz¶ o publik¶ aci¶ ok sz¶ ama exponenci¶alisan nÄovekszik mind az elm¶elet, mind pedig az alkalmaz¶ asok terÄ ulet¶en. Az egyik ilyen tÄobbv¶ altoz¶ os kiterjeszt¶es p¶eld¶ aul a Kendall ¿-ra vonatkoz¶o, amelyet Barbe, Ghoudi, Genest ¶es R¶emillard (1996) javasolt: Z 1 2d 2d ¿d = d¡1 E(V ) ¡ 1 = d¡1 t dK(t) ¡ 1 ; 2 ¡1 2 ¡ 1 ¡1 a becsl}o fÄ uggv¶enye pedig n

¿^dn =

2d 1X 2d V ¡ 1 = in 2d¡1 ¡ 1 n i=1 2d¡1 ¡ 1

Z

1

¡1

t dKn (t) ¡ 1 ;

ahol Vin =

n Y d X

m=1 j=1

© ª 1(xjm · xim ) ¶es V = C F1 (X1 ); . . . ; Fd (Xd ) 2 [0; 1] :

Kn (t) ¶es K(t) rendre a Vin ¶es Vn eloszl¶ asfÄ uggv¶enyei. A formula szerint ¿d a kopula v¶arhat¶o ¶ert¶ek¶enek a±n transzform¶ altja. A Spearman ½ tÄ obbv¶ altoz¶ os kopul¶an alapul¶o kiterjeszt¶es¶et Wol® (1980) publik¶ alta: 3A

kopula m¶ odszerek matematikai alapjair¶ ol magyar nyelven Varga J., p¶ enzÄ ugyi alkal¶ Pataki A., illetve Varga J., Luk¶ maz¶ asair¶ ol pedig Benedek, G., K¶ obor, A., acs P. dolgozataib¶ ol t¶ aj¶ ekoz¶ odhat az Olvas¶ o.

Felt¶eteles kÄovetel¶esek ¶ araz¶ asa. . .

d+1 ½d = d 2 ¡d¡1

(

d

2

Z

...

Z

[0;1]d

173

)

C(u1 ; . . . ; ud ) du1 . . . dud ¡ 1

:

Schmid ¶es Schmidt (2006a) ¶es Schmid ¶es Schmidt (2006b) vizsg¶ alt¶ ak a m¶ert¶ek tulajdons¶agait ¶es r¶eszletesen elemezt¶ek a 8 9 n Y d ³ < = ´ d X d+1 2 1 ¡ F^ (xij ) ¡ 1 ½^dn = d ; 2 ¡d¡1 : n i=1 j=1

becsl}ofÄ uggv¶eny¶et. A k¶etv¶altoz¶os Spearman ½ egy v¶ altozata Kendall (1970) nev¶ehez f} uz}odik: X µd¶¡1 Z Z 2 ½r = 2 Cml (u; v) dudv ¡ 1 ; 2 [0;1]d m
altoz¶ os kopul¶ aj¶ at jelÄ oli. ahol Cml az m ¶es l v¶altoz¶ok k¶etv¶ A sz} ukre szabott terjedelmi korl¶ at miatt most csak a teljes piac felt¶etelez¶ese mellett vizsg¶aljuk n¶eh¶any nagyon egyszer} u sz¶ armaztatott term¶ek ¶ araz¶ asi probl¶em¶aj¶at kopula fÄ uggv¶enyek alkalmaz¶ as¶ aval.

Opci¶ oa ¶raz¶ as teljes piac felt¶ etelez¶ es¶ evel TekintsÄ uk az S1 ¶es S2 alapterm¶ekekre ki¶³rt sz¶ armaztatott term¶ekeket. Az osz¶³n} us¶egi mez} o inform¶aci¶o strukt¶ ur¶at a szok¶asos m¶ odon az f-; Ft ; P g val¶ reprezent¶alja, amelyet az S1 (t), S2 (t), t 2 [0; T ] sztochasztikus folyamatok oli. A tov¶ abbiakban feltesszÄ uk, hogy S1 (t) gener¶alnak, Ft pedig a ¯ltr¶aci¶ot jelÄ us¶egi v¶altoz¶ ok nem-negat¶³v t¶ amasszal. VegyÄ unk az ¶es S2 (t) folytonos val¶osz¶³n} egyszer} us¶eg kedv¶e¶ert k¶etv¶altoz¶os eur¶ opai derivat¶³v¶ at, amelynek a ki¯zet¶ese o fÄ uggv¶eny.4 teljes ¶altal¶anoss¶agban G(S1 (t); S2 (t)) : R3+ ! R alakban ¶³rhat¶ A feladatunk olyan g(S1 (t); S2 (t)) ¶ araz¶ o fÄ uggv¶eny meghat¶ aroz¶ asa, amely kiz¶ arja a piacon az arbitr¶azs lehet} os¶eg¶et. Tudjuk, hogy teljes piac eset¶eben ez a term¶ek, ¶es b¶armely m¶as term¶ek is pontosan replik¶ alhat¶ o (szintetikusan el} o¶ all¶³that¶o), ¶es az ¶ara egy¶ertelm} uen meghat¶ arozott. Ez az egy¶ertelm} uen meghat¶arozott ¶ar a szint¶en egy¶ertelm} uen meghat¶ arozott Q(S1 (t); S2 (t) j Ft ) kock¶azat-semleges val¶osz¶³n} us¶eg-eloszl¶ ashoz tartozik, amelynek s} ur} us¶egfÄ uggag ¶ araz¶ asi kernel¶et k¶epviseli. A v¶eny¶et jelÄolje q(S1 ; S2 j Ft ), amely a gazdas¶ k¶etv¶altoz¶os bizonytalan kÄovetel¶es ¶ ara ekkor a kÄ ovetkez} ok¶eppen ¶³rhat¶ o integr¶ al alakban:

= B(t; T )

Z

0

1

Z

0

g(S1 (t); S2 (t); t) = 1

G(S1 (t); S2 (t); T )q(S1 (T ); S2 (T ) j Ft ) dS1 (T )dS2 (T ) ;

4 A sz¶ armaztatott term¶ ekekr} ol j¶ ol t¶ aj¶ ekoz¶ odhat az Olvas¶ o Sz¶ az J¶ anos: KÄ otv¶ enyek ¶ es opci¶ ok ¶ araz¶ asa, illetve M. Baxter ¶ es A. Rennie: P¶ enzÄ ugyi kalkulus c. kÄ onyv¶ eb} ol.

174

Varga J¶ ozsef

ahol B(t; T ) a kock¶azatmentes diszkont t¶enyez} ot jelÄ oli. Elemz¶esÄ unkben a tov¶ abbiakban feltesszÄ uk, hogy a kock¶ azatmentes kamatl¶ ab fÄ uggetlen az alapterm¶ekt}ol vagy nem sztochasztikus. Az ¶ altal¶ anosabb esetre vonatkoz¶ o kiterjeszt¶es egyenesen ad¶odik, ha a m¶ert¶eket forward kock¶ azat-semleges m¶ert¶ekre cser¶eljÄ uk. JelÄolje S1 ¶es S2 felt¶eteles margin¶ alis eloszl¶ asait rendre Q1 (S1 j Ft ), illetve Q2 (S2 j Ft ), a s} ur} us¶egfÄ uggv¶enyek pedig legyenek q1 (S1 j Ft ) ¶es q2 (S2 j Ft ). A felt¶eteles margin¶alis s} ur} us¶egfÄ uggv¶enyek szint¶en sz¶ armaztathat¶ ok az ¶ araz¶ asi kernelb}ol a kÄovetkez}ok szerint: Z 1 q1 (S1 j Ft ) = q(S1 (T ); S2 (T ) j Ft ) dS2 (T ) ; Z0 1 q2 (S2 j Ft ) = q(S1 (T ); S2 (T ) j Ft ) dS1 (T ) : 0

Az egyv¶altoz¶os bizonytalan kÄovetel¶esek ¶ ar¶ at a megfelel} o margin¶ alis kock¶ azatsemleges eloszl¶as melletti diszkont¶ alt v¶ arhat¶ o ¶ert¶ekk¶ent nyerjÄ uk. Ha teh¶ at G(S1 (T ); S2 (T ); T ) = G(S1 (T ); T ) u ¶gy, hogy a felt¶eteles kÄ ovetel¶est az S1 term¶ekre ¶³rt¶ak ki, akkor Z 1 Z 1 g(S1 (t); t) = B(t; T ) G(S1 (T ); T ) q(S1 (T ); S2 (T ) j Ft ) dS1 (T )dS2 (T ) = 0 0 Z 1 = B(t; T ) G(S1 (T ); T )q1 (S1 (T ) j Ft ) dS1 (T ) : 0

¶ Araz¶ asi kernel kopula alkalmaz¶ as¶ aval Teljes piaci kÄornyezetben az ¶araz¶ asi Ä osszefÄ ugg¶es a k¶etv¶ altoz¶ os felt¶eteles kÄ ovetel¶esekre kÄonnyen fel¶³rhat¶o kopula fÄ uggv¶enyek ¶es a margin¶ alis eloszl¶ asok kifejez¶esek¶ent. Ehhez csup¶an a Sklar-t¶etel felt¶eteles eloszl¶ asokra vonatkoz¶ o kiterjeszt¶es¶ere van szÄ uks¶eg. A Sklar-t¶etel felt¶eteles eloszl¶ asokra B¶ armely Q(S1 ; S2 j Ft ) egyÄ uttes felt¶eteles eloszl¶ as eset¶eben l¶etezik olyan C(u; v) kopula fÄ uggv¶eny, amellyel fenn¶ all Q(S1 ; S2 j Ft ) = C(Q1 (S1 j Ft ); Q2 (S2 j Ft )) ; ¶es megford¶³tva, ha adott k¶et felt¶eteles eloszl¶ as, Q1 (S1 j Ft ) ¶es Q2 (S2 j Ft ) ¶es a C(u; v) kopula fÄ uggv¶eny, akkor a C(Q1 (S1 j Ft ); Q2 (S2 j Ft )) egyÄ uttes felt¶eteles eloszl¶asfÄ uggv¶eny (Patton (2001)). MegjegyezzÄ uk, hogy a fenti Ä osszefÄ ugg¶es csak akkor ¶all fenn, ha az Ft felt¶eteli inform¶ aci¶ o megegyezik a margin¶alisokra ¶es az egyÄ uttes eloszl¶asra. Az ¶³gy el} o¶ all¶ o kopula a kock¶ azat semleges val¶osz¶³n} us¶eg eloszl¶as fÄ ugg}os¶egi strukt¶ ur¶ aj¶ anak felel meg, ez¶ert kock¶ azatsemleges kopul¶ anak nevezzÄ uk. Kopula fÄ uggv¶enyek alkalmaz¶asa az egyÄ uttes eloszl¶ as modellez¶es¶ere lehet} ov¶e teszi sz¶amunkra, hogy elkÄ ulÄ on¶³tsÄ uk a margin¶ alis ¶ araz¶ asi kernelek ¶es

Felt¶eteles kÄ ovetel¶esek ¶ araz¶ asa. . .

175

az alapterm¶ek fÄ ugg}os¶egi strukt¶ ur¶ aj¶ at. Ez az¶ert nagyon fontos, mert ¶³gy ellen}orizni tudjuk az egyv¶altoz¶os ¶es a tÄ obbv¶ altoz¶ os bizonytalan kÄ ovetel¶esek konzisztenci¶aj¶at, kÄ ulÄonÄos tekintettel az arbitr¶ azsmentess¶eg kÄ ovetelm¶eny¶ere. A k¶etv¶altoz¶os ¶araz¶asi probl¶em¶ ara Ä osszpontos¶³tva feltesszÄ uk, hogy replik¶ alhatunk ¶es ¶arazhatunk k¶et egyszer} u digit¶ alis opci¶ ot ugyanarra a T lej¶ arati id} opontra az S1 ¶es S2 alapterm¶ekekre ki¶³rva rendre K1 ¶es K2 leh¶³v¶ asi ¶ arfolyamokkal. Ekkor a feladatunk az, hogy ezeket a term¶ekeket olyan k¶etv¶ altoz¶ os digit¶alis opci¶o replik¶al¶as¶ara haszn¶ aljuk fel, amely 1 egys¶egnyit ¯zet, ha S1 ¸ K1 ¶es S2 ¸ K2 , egy¶ebk¶ent pedig nem ¯zet semmit. El} oszÄ or osszuk fel az esem¶enyteret reprezent¶al¶o pozit¶³v kvadr¶ anst n¶egy tartom¶ anyra a kÄ ovetkez} ok¶eppen: ¶ Allapot

H

L

H

(S1 ¸ K1 ) \ (S2 ¸ K2 )

(S1 ¸ K1 ) \ (S2 < K2 )

L

(S1 < K1 ) \ (S2 ¸ K2 )

(S1 < K1 ) \ (S2 < K2 )

1. t¶ abl¶ azat. A pozit¶³v kvadr¶ ans feloszt¶ asa a leh¶³v¶ asi ¶ arfolyamok alapj¶ an

Egyszer} u p¶eldak¶ent a k¶etv¶altoz¶ os digit¶ alis opci¶ ot v¶ alasztjuk. A digit¶ alis opci¶ok rÄogz¶³tett Äosszeget ¯zetnek, ha valamely esem¶eny bekÄ ovetkezik. Az egyszer} us¶eg kedv¶e¶ert, de az ¶altal¶ anoss¶ ag korl¶ atoz¶ asa n¶elkÄ ul feltehetjÄ uk, hogy ez a rÄogz¶³tett Äosszeg 1 egys¶egnyi p¶enzzel egyenl} o. A k¶erd¶eses esem¶eny pedig a v¶eteli digit¶alis opci¶o eset¶eben az, hogy az alapterm¶ek ¶ arfolyama magasabb valamely leh¶³v¶asi ¶arfolyamn¶ al. Az elad¶ asi opci¶ o eset¶eben pedig ez az esem¶eny akkor kÄovetkezik be, ha az alapterm¶ek ¶ arfolyama alacsonyabb egy leh¶³v¶asi ¶arfolyamn¶al. Teljes piacon teh¶ at az egyv¶ altoz¶ os digit¶ alis opci¶ ok, vagyis az egyetlen eszkÄozre ki¶³rt opci¶ ok ¶ arai megegyeznek a kock¶ azat-semleges val¶ osz¶³n} us¶eg-eloszl¶asok diszkont¶alt ¶ert¶ekeivel. A 2. t¶ abl¶ azat Ä osszegzi ezeknek a kÄ ulÄonbÄoz}o eszkÄozÄoknek a ki¯zet¶eseit, ¶es mutatja, hogy milyen ¶ arfolyamot ¯gyeltÄ unk meg a piacon. Digit¶ alis opci¶ o1 Digit¶ alis opci¶ o2 Kock¶ azatmentes eszkÄ oz K¶ etv¶ altoz¶ os digit. opci¶ o

¶ Arfolyam DC1 DC2 B(t; T ) X

HH 1 1 1 1

HL 1 0 1 0

LH 0 1 1 0

LL 0 0 1 0

2. t¶ abl¶ azat. K¶ etv¶ altoz¶ os digit¶ alis v¶ eteli opci¶ o ki¯zet¶ esei

Az S1 ¶es S2 eszkÄozÄokre ki¶³rt v¶eteli opci¶ ok ¶ arfolyamai DC1 (K1 ) = B(t; T )Q1 (K1 j Ft ) ¶es DC2 (K2 ) = B(t; T )Q2 (K2 j Ft ) ; ahol Qi (u) ´ 1 ¡ Qi (u), i = 1; 2, a K1 ¶es K2 pedig a leh¶³v¶ asi (kÄ ot¶esi) ¶rfolyamokat jelÄoli. A megfelel}o elad¶ a asi digit¶ alis opci¶ ok ¶ araz¶ asa a DPi = B ¡ DCi , i = 1; 2 ÄosszefÄ ugg¶essel tÄ ort¶enik. TekintsÄ uk most annak a k¶etv¶ altoz¶ os digit¶ alis opci¶ onak az eset¶et, amely 1 egys¶egnyi p¶enzt ¯zet, ha mind az S1 , mind az S2 ¶ arfolyama magasabb rendre a K1 ¶es K2 leh¶³v¶asi ¶arfolyamokn¶ al. JelÄ olje DHH ezt a digit¶ alis opci¶ ot,

176

Varga J¶ ozsef

amelyet olyan kopula fÄ uggv¶eny seg¶³ts¶eg¶evel ¶³rhatunk fel, amelynek v¶ altoz¶ oi az egyv¶altoz¶os digit¶alis opci¶ok forward ¶ert¶ekei: µ ¶ DC2 DC1 DHH (K1 ; K2 ) = B(t; T )CHH ; ; B(t; T ) B(t; T ) ahol CHH (u; v) az u ¶n. tov¶ abb¶el¶esi kopula. Miut¶ an a kopula fÄ uggv¶enyt megv¶ alasztottuk, a tÄobbi digit¶alis opci¶ o ugyanazokkal a leh¶³v¶ asi ¶ arfolyamokkal arbitr¶azs alkalmaz¶as¶aval meghat¶arozhat¶ o. P¶eld¶ aul a DHL digit¶ alis opci¶ o, amely 1 egys¶egnyi p¶enzt ¯zet, ha S1 > K1 ¶es S2 · K2 , a kÄ ovetkez} oÄ osszefÄ ugg¶essel hat¶arozhat¶o meg: DHL (K1 ; K2 ) = DC1 ¡ DHH (K1 ; K2 ) = ¶ µ DC1 DC2 ; : = DC1 ¡ B(t; T )CHH B B A kopul¶akkal foglalkoz¶o szakkÄonyvekben megtal¶ alhat¶ o annak bizony¶³t¶ asa, hogy ha CHH (u; v) kopula fÄ uggv¶eny, akkor CHL (u; 1 ¡ v) = u ¡ CHH (u; v) szint¶en kopula fÄ uggv¶eny, amely annak val¶ osz¶³n} us¶eg¶et mutatja, hogy az els} o (egyenletes eloszl¶as¶ u) margin¶alis nagyobb ¶ert¶eket vesz fel u-n¶ al, a m¶ asodik pedig alacsonyabbat v-n¶el.5 A DHL digit¶alis opci¶o ¶arfolyama a kÄ ovetkez} ok¶eppen adhat¶ o meg: · µ ¶¸ DC1 (K1 ) DC1 (K1 ) DC2 (K2 ) DHL (K1 ; K2 ) = B(t; T ) ¡ CHH ; = B(t; T ) B(t; T ) B(t; T ) µ ¶ DC1 (K1 ) DP2 (K2 ) = B(t; T )CHL ; ; B(t; T ) B(t; T ) ahol felhaszn¶altuk a DP2 = B(t; T ) ¡ DC2 Ä osszefÄ ugg¶est. Ugyanilyen megfontol¶assal nyerhetjÄ uk a DLH (K1 ; K2 ) = DC2 (K2 ) ¡ DHH (K1 ; K2 ) = µ ¶ DP1 (K1 ) DC2 (K2 ) = B(t; T )CLH ; ; B B rel¶ aci¶ot, ahol felhaszn¶altuk, hogy a CLH (1 ¡ u; v) = v ¡ CHH (u; v) kopula annak egyÄ uttes val¶osz¶³n} us¶eg¶et adja meg, hogy az els} o margin¶ alis u-n¶ al alacsonyabb ¶ert¶ek} u, a m¶asodik margin¶ alis ¶ert¶eke pedig magasabb v-n¶el. V¶egÄ ul a k¶etv¶ altoz¶ os digit¶ alis elad¶ asi opci¶ o, amely akkor ¯zet 1 egys¶egnyit, ha (S1 < K1 ) \ (S2 < K2 ) kÄovetkezik be, az al¶ abbiak szerint jellemezhet} o: DLL (K1 ; K2 ) = B(t; T ) ¡ DHL (K1 ; K2 ) ¡ DLH (K1 ; K2 ) ¡ DHH (K1 ; K2 ) = = B(t; T ) ¡ DC1 (K1 ) ¡ DC2 (K2 ) + DHH (K1 ; K2 ) : Felhaszn¶alva itt is, hogy CLL (1 ¡ u; 1 ¡ v) = 1 ¡ u ¡ v + CHH (u; v) szint¶en kopula fÄ uggv¶eny, a kÄovetkez}ot kapjuk: 5 Az ¶ erdekl} od} o Olvas¶ o megtal¶ alhatja pl. a kÄ ovetkez} o helyen: Cherubini, U., Luciano, E. ¶ es Vecchiato W. (2004). Copula Methods in Finance, John Wiley & Sons, New York.


177

DLL (K1 ; K2 ) = · µ ¶¸ DC1 (K1 ) DC2 (K2 ) DC1 (K1 ) DC2 (K2 ) = B(t; T ) 1 ¡ ¡ + CHH ; = B(t; T ) B(t; T ) B(t; T ) B(t; T ) µ ¶ DP1 (K1 ) DP2 (K2 ) = B(t; T )CLL ; : B(t; T ) B(t; T ) A k¶etv¶altoz¶os digit¶alis opci¶okra levezetett Ä osszefÄ ugg¶esek azt bizony¶³tj¶ ak, hogy ugyan¶ ugy, mint az egyv¶altoz¶os esetben, azok a digit¶ alis opci¶ ok, amelyek 1 egys¶egnyit ¯zetnek egy bizonyos esem¶eny bekÄ ovetkez¶esekor, kapcsolatban allnak azokkal, amelyek a komplementer esem¶eny bekÄ ¶ ovetkez¶esekor ¯zetnek, ¶es ez arbitr¶azsmentess¶egi ÄosszefÄ ugg¶est teremt a kopul¶ ak kÄ ozÄ ott. Ezek az osszefÄ Ä ugg¶esek bizonyos alkalmaz¶asokban kÄ ulÄ onÄ osen hasznosak lehetnek. Ez az eredm¶eny ez id¶aig azt ¶ all¶³tja, hogy az a kÄ ovetelm¶eny, amely szerint a k¶etv¶ altoz¶ os ¶ araz¶ asi kernel kopula fÄ uggv¶eny legyen szÄ uks¶eges, de nem el¶egs¶eges felt¶etel. Ezenk¶³vÄ ul ¯gyelembe kell venni, hogy a CHH , CHL , CLH ¶es CLL kopul¶ak alakja ¶altal¶aban kÄ ulÄ onbÄ oz} o. Az, hogy ez csak ¶ altal¶ aban igaz, kÄ onnyen bizony¶³that¶o a CHH (u; v) = uv szorzat (m¶ ask¶eppen fÄ uggetlens¶egi) kopula egyszer} u elemz¶es¶evel. Ha a k¶etv¶altoz¶os ¶araz¶asi kernelt kopula fÄ uggv¶eny reprezent¶ alja, akkor ez lehet}ov¶e teszi sz¶amunkra az alapterm¶ekek fÄ ugg} os¶egi strukt¶ ur¶ aj¶ anak speci¯k¶ al¶as¶at ¶es a k¶etv¶altoz¶os felt¶eteles kÄ ovetel¶es ¶ arfolyam¶ ara gyakorolt hat¶ as¶ anak kalibr¶al¶as¶at. A legegyszer} ubb esetben, a k¶etv¶ altoz¶ os digit¶ alis opci¶ o eset¶eben a kÄovetkez}ot kapjuk: µ ¶ DC1 (K1 ) DC2 (K2 ) B(t; T )C ¡ ; · DHH (K1 ; K2 ) · B(t; T ) B(t; T ) ¶ µ DC1 (K1 ) DC2 (K2 ) + ; · B(t; T )C ; B(t; T ) B(t; T ) C ¡ ¶es C + rendre a tÄok¶eletes negat¶³v, illetve tÄ ok¶eletes pozit¶³v fÄ ugg} os¶eghez tartoz¶ o Fr¶echet-HÄo®ding korl¶atokat (minimum ¶es maximum kopul¶ akat) jelÄ oli.6 Ezekkel a korl¶atokkal max(DC1 (K1 ) + DC2 (K2 ) ¡ B(t; T ); 0) · DHH (K1 ; K2 ) · · min(DC1 (K1 ); DC2 (K2 )) : Ez az ÄosszefÄ ugg¶es azt mutatja, hogy a k¶etv¶ altoz¶ os v¶eteli digit¶ alis opci¶ o a maxim¶alis ¶ert¶ek¶et a tÄok¶eletes pozit¶³v fÄ ugg} os¶eg eset¶eben ¶eri el, amely maximum ebben az esetben megegyezik az egyv¶ altoz¶ os digit¶ alis opci¶ o¶ arfolyamok kÄ ozÄ ul a kisebbikkel. Visszat¶erve az arbitr¶ azzsal kapcsolatos ¶ervel¶eshez, bel¶ athatjuk, hogy ha egy ilyen opci¶o maximum, vagyis DHH = min(DC1 ; DC2 ) , akkor a DHL digit¶alis opci¶o ¶arfolyama, vagyis annak az opci¶ onak az ¶ arfolyama, 6 A minimum (C ¡ ) ¶ es maximum (C + ) kopula de¯n¶³ci¶ oja: C ¡ (u; v) = max(u + v ¡ 1; 0), C + (u; v) = min(u; v).

178

Varga J¶ ozsef

amely akkor ¯zet, ha (S1 ¸ K1 ) \ (S2 < K2 ) kÄ ovetkezik be, minim¶ alis: DHL = max(DC1 + DP2 ¡ 1; 0). Ugyanilyen egyszer} u v¶ alasz adhat¶ o annak a k¶etv¶altoz¶os elad¶asi digit¶alis opci¶ onak az eset¶ere, amelyik akkor ¯zet 1 egys¶egnyit, ha (S1 < K1 ) \ (S2 < K2 ) kÄ ovetkezik be.

Becsl¶ esi m¶ odszerek A kopula alap¶ u tÄobbv¶altoz¶os eloszl¶ asok becsl¶ese a µ kopula param¶eterek ¶es az Fi , i = 1; . . . ; n margin¶alis eloszl¶ asfÄ uggv¶enyek becsl¶es¶et jelenti. A kopula param¶eterek becsl}ofÄ uggv¶enyeinek tulajdons¶ agai, valamint min} os¶ege er} osen fÄ ugg a margin¶alis eloszl¶asfÄ uggv¶enyek becsl} ofÄ uggv¶enyeit} ol. A margin¶ alisok speci¯k¶al¶asa lehet param¶eteres ¶es nem-param¶eteres. Ha csak a fÄ ugg} os¶egi strukt¶ ura megismer¶es¶eben vagyunk ¶erdekeltek, akkor a µ becsl¶ese fÄ uggetlen lehet a margin¶alisok param¶eteres modelljeit} ol. A gyakorlati alkalmaz¶ asokban azonban a teljes eloszl¶as modellt kell ismernÄ unk, ez¶ert el} onyben r¶eszes¶³tik a margin¶alisok param¶eteres modelljeit. (R¶eszletesebben megtal¶ alhat¶ o: Joe (1997)). A k¶etv¶altoz¶os esetben az egydimenzi¶ os µ param¶eter becsl¶es¶enek standard m¶odszere a Kendall-¿ -statisztik¶ an alapul. (Genest ¶es Rivest (1993).) A momentumok m¶odszer¶evel kieg¶esz¶³tett ¿ becsl} ofÄ uggv¶eny¶evel tÄ ort¶enik a param¶eterek becsl¶ese. Genest ¶es szerz} ot¶ arsai (1995) azonban megmutatt¶ ak, hogy a maximum-likelihood m¶odszer l¶enyegesen hat¶ekonyabb ¶es ¶ altal¶ anosabb becsl}ofÄ uggv¶enyekhez vezet. Igen fontos el} onye a maximum-likelihood m¶ odszernek, hogy egyidej} uleg v¶egrehajthat¶ o a margin¶ alisok ¶es a kopula fÄ uggv¶eny param¶etereinek becsl¶ese. A nem param¶eteresen becsÄ ult margin¶ alisokra Genest ¶es szerz}ot¶arsai (1995) bizony¶³tott¶ ak az ML becsl} ofÄ uggv¶enyek konzisztenci¶aj¶at ¶es aszimptotikus normalit¶ as¶ at, valamint meghat¶ arozt¶ ak az aszimptotikus eloszl¶asok momentumait. Alternat¶³v megold¶ask¶ent k¶etl¶epcs} os elj¶ ar¶ as alkalmazhat¶ o. Az els} o l¶epcs} oben a margin¶alisok param¶etereit, a m¶ asodikban pedig a kopula param¶etereket becsÄ uljÄ uk. (Ld. Joe (1997), Joe (2005). A nem param¶eteresen becsÄ ult margin¶ alisok eset¶et Chen, Fan ¶es Patton (2004) valamint Chen, Fan ¶es Tsyrennikov (2006) vizsg¶alta.

Illeszked¶ esi pr¶ ob¶ ak Az illeszked¶esi pr¶ob¶akkal azt ellen} orizzÄ uk, hogy a tekintett kopula megegyezike valamely c¶el kopula fÄ uggv¶ennyel, vagy hogy tartozik-e valamely kopula csal¶adhoz. Ez a feladat Äosszetett vagy egyszer} u null-hipot¶ezisk¶ent fogalmazhat¶o meg: H0 : C 2 C0 v.s. H1 : C 2 = C0 ; H0 : C = C0

v.s. H1 : C 6= C0 ;

ahol C0 valamely ismert param¶eteres kopula csal¶ ad, C0 ismert c¶el kopula ¶es C a vizsg¶alt val¶odi kopula. A pr¶oba ¶ altal¶ anoss¶ agban megegyezik a tÄ obbv¶ altoz¶ os eloszl¶asokra alkalmazott illeszked¶es j¶ os¶ aga (GOF) t¶³pus¶ u pr¶ ob¶ akkal. Mivel


179

azonban a margin¶alisok becsÄ ult fÄ uggv¶enyek, a pr¶ oba elj¶ ar¶ asok nem alkalmazhat¶ok kÄozvetlenÄ ul. A szakirodalomban kÄ ulÄonf¶ele pr¶ ob¶ akat tal¶ alunk kopula illeszked¶es vizsg¶ alatra. A standard Â2 -pr¶oba egyszer} u¶ altal¶ anos¶³t¶ asak¶ent adopt¶ alt Â2 -pr¶ ob¶ at javasol Fermanian (2005), amely kÄ ozvetlenÄ ul a C ¶es C0 kÄ ozÄ otti t¶ avols¶ agon alapul. Genest ¶es Rivest (1993) a k¶etv¶ altoz¶ os esetre a Z = C0 (X; Y ) pszeudo v¶ altoz¶o empirikus ¶es val¶odi eloszl¶ asaira alapozza a pr¶ ob¶ at, m¶ert¶ekk¶ent L2 norm¶at alkalmazva. Ezt a megkÄozel¶³t¶esi m¶ odszert terjesztik ki a tÄ obbv¶ altoz¶ os esetre ¶es m¶as t¶avols¶ag m¶ert¶ekekre tÄ obbek kÄ ozÄ ott Barbe ¶es szerz} ot¶ arsai (1996), Wang ¶es Wells (2000), Quessy ¶es R¶emillard (2006). Wang ¶es Wells (2000) Sn» =

Z

»

1

[Kn (w) ¡ K(w)]2 dw ;

» 2 (0; 1)

alak¶ u Cramer-von-Mises statisztik¶ at javasol, ahol Kn (w) ¶es K(w) empirikus, illetve elm¶eleti K eloszl¶asokat jelÄ olnek. Ehhez a statisztik¶ ahoz azonban pontos p-¶ert¶ekeket nem lehets¶eges explicit m¶ odon kisz¶ am¶³tani. Egy alternat¶³v megkÄozel¶³t¶es a val¶ osz¶³n} us¶egi integr¶ al transzform¶ aci¶ on alapul, amelyet Rosenblatt (1952) vezetett be, majd k¶es} obb Breyman, Dias ¶es Embrechts (2003), valamint Chen ¶es szerz} ot¶ arsai (2004) alkalmazt¶ ak. A transzform¶aci¶o alapja az Y1 = F1 (X1 ) ; Yj = C0 fFj (Xj ) j F1 (X1 ); . . . ; Fj¡1 (Xj¡1 )g

j = 2; . . . ; n ;

v¶ altoz¶ok konstru¶al¶asa, ahol a felt¶eteles kopula C0 (uj j u1 ; . . . ; uj¡1 ) =

@ j¡1 @u1 ...@uj¡1 C0 (u1 ; . . . ; uj ; 1; . . . ; 1) @ j¡1 C (u ; . . . ; uj¡1 ; 1; . . . ; 1) @u1 ...@uj¡1 0 1

:

A H0 hipot¶ezis szerint az Yi , i = 1; . . . ; m v¶ altoz¶ ok fÄ uggetlenek ¶es egyenletes eloszl¶as¶ uak a [0; 1] intervallumon. Mivel az Yi v¶ altoz¶ ok kÄ ozvetlenÄ ul nem meg¯gyelhet}ok, kisz¶am¶³tjuk az Y^ji pszeudo v¶ altoz¶ okat a kÄ ovetkez} ok¶eppen: Y^1i = F^1 (X1i ) ; Y^ji = CfFj (Xji j F1 (X1i ); . . . ; Fj¡1 (Xj¡1;i )g ;

j = 2; . . . ; n;

i = 1; . . . ; m :

Chen ¶es szerz}ot¶arsai (2004) k¶et pr¶ ob¶ at is javasolnak az Y^ji pszeudo v¶ altoz¶ okra alapozva. Itt csak azt a pr¶ ob¶ at eml¶³tjÄ uk, amely a n X W = [©¡1 (Yj )]2 j=1

v¶ altoz¶ot alkalmazza. Megmutathat¶ o, hogy a H0 hipot¶ezis mellett teljesÄ ul W » Â2n . Az Yj v¶altoz¶ohoz hasonl¶ oan W sem meg¯gyelhet} o, ez¶ert az u ¶n. Pn ¡1 î = pszeudo v¶altoz¶oj¶at sz¶am¶³tjuk ki a W (Yji )]2 Ä osszefÄ ugg¶essel. j=1 [©

180

Varga J¶ ozsef

Breymann et al. (2003) azt felt¶etelezik, hogy a margin¶ alisok ¶es a kopula param¶eterek becsl¶ese nem befoly¶ asolja szigni¯k¶ ansan a Wi eloszl¶ as¶ at ¶es Â2 pr¶ob¶at alkalmaznak kÄozvetlenÄ ul a pszeudo meg¯gyel¶esekre. A fentieken k¶³vÄ ul a szakirodalomban m¶eg sz¶amos m¶ as m¶ odszer le¶³r¶ asa megtal¶ alhat¶ o. Az ut¶obbi ¶evtizedekben a p¶enzÄ ugyben h¶ arom terÄ uleten kÄ ovetkezett be jelent}os v¶altoz¶as. Az els}o az eszkÄ oz hozamok norm¶ alist¶ ol elt¶er} o eloszl¶ asa, amely az eszkÄoz ¶araz¶as terÄ ulet¶en a felt¶eteles kÄ ovetel¶esek ¶ert¶ekel¶ese standard megkÄozel¶³t¶es¶enek, a Black-Scholes modellnek az ¶erv¶eny¶et k¶erd} ojelezte meg. A m¶asodik a nem teljes piacok k¶erd¶ese, amely olyan u ¶j dimenzi¶ ot nyitott az eszkÄoz ¶araz¶as terÄ ulet¶en, mint a megfelel} o ¶ araz¶ asi kernel megv¶ alaszt¶ asa mind az eszkÄoz ¶araz¶as, mind pedig a kock¶ azat menedzsment terÄ ulet¶en. A harmadik terÄ ulet a hitel kock¶azat, amely ¶ ori¶ asi fejl} od¶esen ment keresztÄ ul az eszkÄoz ¶araz¶asban mind a term¶ekeket, mind pedig az alkalmazott m¶ odszereket illet}oen. A legf}obb t¶enyez}o, amely a kopula m¶ odszereknek a p¶enzÄ ugy sz¶ am¶ ara tÄ ort¶en}o felfedez¶es¶et el}oid¶ezte, a p¶enzpiaci term¶ekek hozamr¶ at¶ aja sztochasztikus dinamik¶aj¶anak standard felt¶etelez¶ese volt. Az 1987-es Ä osszeoml¶ asig ezeknek a hozamoknak az eloszl¶ as¶ ara a norm¶ alis eloszl¶ as volt az ¶ altal¶ anosan elfogadott. Ezen a felt¶etelez¶esen, mint alappill¶eren nyugszik j¶ or¶eszt a modern p¶enzÄ ugy elm¶elet. Ez az eloszl¶ as felt¶etelez¶es a kock¶ azatmenedzsmentben a kock¶azat m¶er¶es standard parametrikus megkÄ ozel¶³t¶es¶ehez vezetett, amelyet 1994-t}ol J. P. Morgan a Risk Metrics ¶egisze alatt terjesztett el, ¶es m¶ aig alkalmazz¶ak sok p¶enzint¶ezetben. A kopula m¶odszerek, amelyek lehet} ov¶e teszik a tÄ obbdimenzi¶ os eloszl¶ asok fÄ ugg}os¶egi strukt¶ ur¶aj¶anak ¶es a margin¶ alis eloszl¶ asoknak a sz¶etv¶ alaszt¶ as¶ at, lehet} ov¶e teszik a p¶enzÄ ugyi piacokon meg¯gyelt adatokhoz j¶ ol illeszked} o modellek v¶alaszt¶as¶at ¶es becsl¶es¶et, legal¶ abb r¶eszleges megold¶ ast k¶³n¶ alva az eml¶³tett probl¶em¶akra. Sz¶and¶ekaim szerint ez a rÄ ovid tanulm¶ any azt is u Äzeni, hogy a kopula m¶odszer alkalmaz¶asa m¶eg az egyszer} u esetekben is kell} o kÄ orÄ ultekint¶est ig¶enyel. Ellenkez}o esetben az a helyzet ¶ allhat el} o, mint a norm¶ alis eloszl¶ assal kapcsolatban, hogy tudniillik nem csup¶ an a leggyakrabban alkalmazott, hanem a leggyakrabban t¶evesen alkalmazott eszkÄ oz lesz.

Irodalom 1. Barbe, P., Genest, C., Ghoudi, K. ¶es R¶emillard, B. (1996). On Kendall's process, J. Multivariate Anal. 58: 157{229. 2. Baxter, M., ¶es Rennie, A. (2002). P¶enzÄ ugyi kalkulus, Bevezet¶es a sz¶ armaztatott term¶ekek ¶ araz¶ as¶ aba, Typotex Kiad¶ o, Budapest. ¶ ¶es Pataki A. (2002). A kapcsolatszoross¶ 3. Benedek, G., K¶ obor, A. ag m¶er¶ese m-dimenzi¶os kopul¶akkal ¶es ¶ert¶ekpap¶³r portf¶oli¶o alkalmaz¶asok, KÄozgazdas¶agi Szemle, XLIX. ¶evf. 2002. febru¶ ar, 105{125. 4. Breyman, W., Dias, A. ¶es Embrechts, P. (2003). Dependence structures for multivariate high-frequency data in ¯nance, Quant. Finance, 1:1{14. 5. Cherubini, U., Luciano, E. ¶es Vecchiato W. (2004). Copula Methods in Finance, John Wiley & Sons, New York 6. Chen, X., Fan, Y. ¶es Patton, A. (2004). Simple tests for models of dependence between multiple ¯nancial time series, with applications to U.S. equity


181

returns and exchange rates, Discussion paper 483, Financial Markes Group, London School of Economics. 7. Chan, X., Fan, Y. ¶es Tsyrennikov, V. (2006). E±cient estimation of semiparametric multivariate copula models, J. Amer. Statist. Assoc. 101 (475): 1228{40. 8. Fermanian, J.-D. (2005). Goodness-of-¯t tests for copulas, J. Multivariate Anal. 95. (1): 119{152. 9. Genest, C. ¶es Rivest, L.-P. (1993) Statistical inference procedures for bivariate Archimedean copulas, J. Amer. Statist.Assoc. 88: 1034{43. 10. Genest, C., Ghoudi, K. ¶es Rivest, L.-P. (1995). A semi-parametric estimation precedure of dependence parameters in multivariate families of distributions, Biometrika 82: 543{552. 11. Joe, H. (1997) Multivariate Models and Dependence Concepts. Chapman & Hall, London. 12. Joe, H. (2005). Asymptotic e±ciency of the two-stage estimation method for copula-based models, J. Multivariate Anal. 95 (1): 119{152. 13. Kendall, M. (1970). Rank Correlation Methods, Gri±n, London. 14. Medvegyev, P. (2002). A p¶enzÄ ugyi eszkÄ ozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶etele diszkr¶et idej} u modellekben, KÄ ozgazdas¶ agi Szemle, XLIX. ¶evf. j¶ ulius-augusztus, 597{ 620. 15. Rosenblatt, M. (1952). Remarks on a multivariate transformation, Ann. Math. Statist. 23: 470{472. 16. Schmid, F. and Schmidt, R. (2006a). Bootstrapping Spearman's multivariate rho, in A. Rizzi and M.Vichi (eds) COMPSTAT, Preceedings in Computational Statistics, 759{766. 17. Schmid, F. and Schmidt, R. (2006b). Multivariate extensions of Spearman's rho and related statistics, Statist. Probab. Letters 77 (4): 407{416. 18. Sz¶ az, J. (2003) KÄ otv¶enyek ¶es opci¶ ok ¶ araz¶ asa, Gazd¶ alkod¶ astani Doktori Program PTE KTK. 19. Varga, J., Kopul¶ ak alkalmaz¶ asa a p¶enzÄ ugyi kock¶ azatmenedzsmentben { Matematikai alapok, Szigma, XXXV. ¶evf. 3-4. sz., 91{106. 20. Varga, J. ¶es Luk¶ acs P., Val¶ osz¶³n} us¶eg-eloszl¶ asok sz¶elfÄ ugg} os¶ege, t} ozsdeindex portf¶ oli¶ o sz¶els} os¶eges vesztes¶egeinek elemz¶ese kopula alkalmaz¶ as¶ aval, Szigma, XXXVI. ¶evf. 1-2. sz. 77{91. 21. Wang, W. and Wells, M. (2000). Model selection and semi-parametric inference for bivariate failure-time data, J. Amer. Statist. Assoc. 95: 62{76. 22. Wol®, E. (1980) N-dimensional measures of dependence, Stochastica 4(3): 175{188.

PRICING OF CONTINGENT CLAIMS ON COMPLETE MARKETS The modelling of multivariate distributions is one of the most critical issues in ¯nancial applications. The distributions are usually restricted to the class of multivariate elliptical distributions limiting the analysis to a narrow class of distributions and requires the estimation of a large number of parameters. Further problems arise from

182

Varga J¶ ozsef

the fact that extreme values occur simultaneously exhibiting strong negative movements on ¯nancial markets and the observed non-symmetric dependency structure cannot be modelled by elliptical distribution. The assumption of Gaussian distribution is therefore rarely consistent with the empirical evidence and possibly leads to incorrect inference from ¯nancial and economic models. The copula-based approach proposed in this article has several important advantages. It allows a simple construction of distributions with less parameters than imposed by elliptical models, signi¯cantly widens the class of candidate distributions, and the copula-based models re°ect the real-world relationships on ¯nancial markets better. It is also shown that even in the very simple bivariate digital options cases and on complete markets, it is not a simple task to use the method appropriately.

CONTENTS

¶ BESSENYEI, ISTVAN: Editor's Greeting

:::::::::::::::::::::::::::::::::::

81

¶ FEUER, GABOR { SZIDAROVSZKY, FERENC: Oligopoly Models with Cooperating Firms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83 ¶ { MEDVEGYEV, PETER: ¶ BADICS, TAMAS The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Locally Bounded Semimartingales : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

89

¶ ¶ GELEI, ANDREA { PALFI, J OZSEF { DOBOS, IMRE: Improving E±ciency with Production Planning { Applying Aggregate Planning at a Hungarian Company : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137 DULEBA, SZABOLCS: A Possible Application of the AHP Method for Trend Determination : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 CONCEPTS, METHODS ¶ VARGA, JOZSEF: Pricing of Contingent Claims on Complete Markets

:::::::::::

171

TARTALOM

¶ BESSENYEI ISTVAN: KÄ oszÄ ont} o

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

81

¶ FEUER GABOR { SZIDAROVSZKY FERENC: Oligop¶ oliumok kooper¶ al¶ o c¶ egekkel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83 ¶ { MEDVEGYEV PETER: ¶ BADICS TAMAS A p¶ enzÄ ugyi eszkÄ ozÄ ok ¶ araz¶ as¶ anak alapt¶ etele, lok¶ alisan korl¶ atos szemimarting¶ al ¶ arfolyamok eset¶ en : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89 ¶ ¶ GELEI ANDREA { PALFI JOZSEF { DOBOS IMRE: Hat¶ ekonys¶ ag nÄ ovel¶ ese tervez¶ essel { avagy: aggreg¶ alt tervez¶ es alkalmaz¶ asa egy magyar v¶ allalatn¶ al : : : : : : : : 137 DULEBA SZABOLCS: Az AHP m¶ odszer egy lehets¶ eges alkalmaz¶ asa trendek el} orejelz¶ es¶ ere : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157 ¶ FOGALMAK, MODSZEREK ¶ VARGA JOZSEF: Felt¶ eteles kÄ ovetel¶ esek ¶ araz¶ asa { kopula m¶ odszerek alkalmaz¶ asa teljes piacokon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 171

SZIGMA Matematikai-kÄ ozgazdas¶ agi foly¶ oirat A Gazdas¶ agmodellez¶ esi T¶ arsas¶ ag lapja

F} oszerkeszt} o: ¶ BESSENYEI ISTVAN PTE KÄozgazdas¶agtudom¶anyi Kar, H-7622 P¶ecs, R¶ ak¶ oczi u ¶t 80. Tel.: 72/501{599, Fax: 72/501{553 e-mail: [email protected]

T¶ arsszerkeszt} ok: Ä OP Ä JANOS ¶ FUL e-mail: [email protected] ¶ ¶ HUNYADI LASZL O e-mail: laszlo.hunyadi@o±ce.ksh.hu ¶ SANDOR ¶ KOMLOSI e-mail: [email protected] ¶ ¶ KOVACS ERZSEBET e-mail: [email protected] ¶ ¶ V¶IZVARI BELA e-mail: [email protected]

Szerkeszt} obizotts¶ ag: ¶ FERENC, GETHER ISTVANN ¶ ¶ LIGETI CSAK, ¶ ¶ TAMAS, ¶ FORGO E, MELLAR ¶ Ä ¶ ¶ Ä OS Ä JOZSEF ¶ MESZENA GYORGY, TAKACS TIBOR, TEMESI J OZSEF, VOR

Terjeszti a Gazdas¶ agmodellez¶ esi T¶ arsas¶ ag. A kiadv¶ any megjelen¶ es¶ et az MTA KÄ onyv- ¶ es Foly¶ oiratkiad¶ o Bizotts¶ aga t¶ amogatta. ISSN 0039-8128

www.szigma.ktk.pte.hu

Szigma, XL. (2009)

Recommend Documents