Számrendszerek és az informatika

Informatika tehetséggondozás 2012-2013 3. levél Az első levélben megismertétek a számrendszereket. A másodikban ízelítőt kaptatok az algoritmusos feladatokból. A harmadik levélben először megnézünk néhány példát arra, hogy hol, és hogyan találkozhatunk a számrendszerekkel a számítógép használata során, majd megismerkedtek a logikai műveletekkel. A feladatok ezekhez a témakörökhöz kapcsolódnak!

Számrendszerek és az informatika Mi köze a számrendszereknek az informatikához? Meglehetősen sok köze van. Ezek közül ragadok ki most néhány példát. Amikor számítógéppel dolgozunk, akkor kívánságainkat legtöbbször utasításokkal adjuk a gép tudtára. Az utasítások szavakból, azok betűkből és más karakterekből állnak. A számítógép minden tárolt adatot kettes (bináris) számrendszerben tárol, ezért a karaktereket a számítógép számára is érthető formára, binárissá kell alakítani. Hogyan is történik mindez? Először ismerkedjünk meg a bit fogalmával: bit = az a legkisebb fizikai tárolóhely, amelyen két állapot megkülönböztethető. A bit, mivel csak két állapota van, könnyen modellezhető. Régen a lyukkártyákon, lyukszalagokon a bit két állapotát az jelezte, hogy egy adott helyen van lyuk vagy nincs lyuk. A mágneses adathordozókon (mágnesszalag, floppy lemez, winchester) a bit két állapotának a mágnesezettség két különböző lehetséges iránya felel meg. Egy adott helyen az egyik, vagy másik irányba mutat a mágnesezettség. A CD, DVD esetén a biteket úgy különböztetik meg, hogy a felület egy adott pontján van-e kis bemélyedés, úgynevezett „pit”, vagy nincs.

(A kép forrása: http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Pit)

Az egy biten megkülönböztethető két állapot megfelel a bináris számrendszer két jegyének: 0 és 1. Ha egy biten két állapot különböztethető meg, akkor hány lehetséges 2 biten, esetleg 3 biten?

bitek száma 1 2

3

megkülönböztethető megkülönböztethető jelek száma jelek 1 0 2 =2 1 2 00 2 =4 01 10 11 3 000 100 2 =8 001 101 010 110 011 111

Az összefüggés a táblázat alapján látszik. A megkülönböztethető jelek száma kettőnek annyiadik hatványa, ahány bit áll rendelkezésünkre. Három biten még nem ábrázolható az összes karakter (Gondoljunk csak arra, hogy az angol ABC-ben 26 féle betű van, ezeknek van kis és nagybetűs alakja, van 10 számjegy, ott vannak az írásjelek, zárójelek, és a további nyelvekn sok-sok más karakter). 4 biten 24=16, 5 biten 25=32, 6 biten 26=64, 7 biten 27=128 és 8 biten 28=256 jelsorozat különböztethető meg. 256 féle jel elegendőnek bizonyult a legtöbb karakter ábrázolásához, ezért a 8 bitből álló egységet elnevezték bájtnak (byte) és ma ez az adattárolás logikai alapegysége. Tehát minden karakter egy bájtot foglal el. Ez az alapja a sokáig leggyakrabban használt ASCII kódrendszernek. Az ASCII kódrendszer úgy épül fel, hogy a 256 lehetséges kód közül az első 128 mindenütt ugyanazokat a karaktereket jelöli, míg a második 128 földrajzi régiónként eltér. Mi Magyarországon az úgynevezett 852-es kódlapot használjuk, de ezt használják pl. Szlovákiában, Romániában is, mert az ő speciális betűik is benne vannak a 852-es kódlap második 128 karaktere között. Ha pl. a jegyzettömb programban a billentyűzet bal oldali ALT gombját nyomva tartva beírsz egy 0255-ig eső számot, akkor az ALT-ot elengedve megjelenik a kódhoz tartozó karakter. Pl. a ž karakter kódja 167. Feladat: Milyen karakter tartozik a következő kódokhoz?

1. feladat 2. feladat 3. feladat 4. feladat

kód betű 64 100 139 32 (ez 2 pontos feladat)

5 pont

Feladat: Jegyzettömbbe írd be a saját neved egy sorba. A sor végén ne nyomj ENTER-t. Mentsd el a szöveget és nézd meg, hogy hány bájtból áll. 3 pont 5. feladat

Indokold meg, hogy miért pont annyiból.

Amikor valamilyen mértékegységről beszélünk, akkor tapasztalhatjuk, hogy vannak alap mértékegységek és annak többszörösei. Pl. a gramm 10-szerese a dekagramm, 1000 szerese a kilogramm. A bájtnak is vannak többszörösei, ezek sorban a következők: kilobájt (KB), megabájt (MB), gigabájt (GB), terrabájt (TB). A váltószám közöttük az 1024 (210=1024). Tehát 1 KB = 1024 bájt, 1 MB = 1024 KB stb. Vajon mennyi adat fért el egy floppy lemezen vagy egy 2 GB-os pendrive-on? Hogy legyen fogalmatok róla, oldjátok meg a következő feladatokat Feladat: Egy floppy lemez kapacitása 1440 KB. 6. feladat

2 pont

Hány karakter fér el rajta, ha csak a karaktereket tároljuk?

Feladat: Egy floppy lemez kapacitása 1440 KB. Egy A4-es méretű géppapírra átlag 50 sort gépelünk. Egy sorba 90 karaktert írunk 5 pont Hány oldalnyi gépelt szöveg fér el a floppy lemezen, ha csak a karaktereket tároljuk? (2 pont) 8. feladat És hány oldalnyi fér egy 2 GB-os pendrive-ra? (3 pont) Az ember nem is gondolná, hogy milyen sok. 7. feladat

A Paint rajzolóprogram úgynevezett raszteres rajzolóprogram ami annyit jelent, hogy a rajzot képpontokból rakja össze. Amikor a Paint programmal rajzolunk és elmentjük a rajzot, akkor a rajzfájl mérete két dologtól függ: a képpontok számától és a színmélységtől. A színmélység azt mutatja, hogy egyetlen képpontnak hányféle színe lehet. Pl. a 256 színű bitkép esetén minden képpontnak 256 féle színe lehet. Mivel 1 bájton (8 biten) 2 8=256 féle jelet lehet ábrázolni, ezért a 256 színű bitkép esetén minden képponthoz egy bájt szükséges a színek tárolásához. Ezt figyelembe véve oldd meg a következő feladatot! Feladat: Készíts egy nem túl nagy színes rajzot a Paint rajzolóprogrammal és mentsd el RAJZ24BIT.BMP néven, 24 bites bitképként, majd a rajz és a képméret változtatása nélkül mentsd el RAJZ256.BMP néven is, de most már 256 színű bitképként! Hasonlítsd össze a két rajzfájl méretét! 5 pont 9. feladat 10. feladat

Melyik a nagyobb, és hányszorosa a másiknak? )2 pont) Indokold, hogy mi lehet az oka? (3 pont)

Logikai műveletek Az informatikában a matematikai műveleteken kívül másfajta műveletek is vannak. A logikai műveletekre jellemző, hogy eredménye kétféle lehet: igaz vagy hamis. Az igaz állítás jele leggyakrabban 1, a hamis állításé mindig 0. Bizonyára Te is hallottál már ilyen állításokat, hogy pl.: a szatyor nehéz Peti vagy Zoli eljönnek hozzánk. Kati és Zsuzsi szépek Tagadás (NOT) Nézzük az első állítást! Nevezzük el ezt 'A' állításnak  A = a szatyor nehéz. Vegyük ennek az állításnak a tagadását. B = a szatyor nem nehéz. Azt mondjuk, hogy B állítás az A tagadása. A tagadás igazságtáblája a következő: A

not A

0 1

1 0

Logikai 'VAGY' (OR) Legyen a C állítás az, hogy Peti vagy Zoli eljönnek hozzánk. Ez az állítás összetett, mert két állításból áll: az egyik, hogy Peti eljön hozzánk, a másik, hogy Zoli eljön hozzánk. A két állítást most VAGY-gyal kapcsoltuk össze. Mikor lesz igaz ez az összetett állítás?  ha Peti sem jön el és Zoli sem jön el, az állítás hamis  ha csak Peti jön el az állítás igaz  ha csak Zoli jön el az állítás ismét igaz  ha mindketten eljönnek az állítás megint csak igaz. Azt mondjuk: a VAGY-gyal összekapcsolt összetett állítás akkor igaz, ha a részállítások közül legalább egy igaz. Esetünkben: C = A or B, ahol A = Peti eljön hozzánk, B = Zoli eljön hozzánk A logikai VAGY igazságtáblázata: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A or B 0 1 1 1

Logikai 'ÉS' (AND) Nézzük a harmadik állítást! D = Kati és Zsuzsa szépek. Mikor lesz ez igaz? Csak akkor, ha Kati is szép és Zsuzsa is szép. Ha bármelyikük nem szép, az együttes, összetett állítás hamis. Azt mondjuk: ÉS-sel összekapcsolt összetett állítás akkor igaz, ha minden részállítása igaz. Esetünkben: D = A and B, ahol A = Kati szép, B = Zsuzsa szép. A logikai ÉS igazságtáblázata: A

B

A and B

0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

A matematikai műveleteknél tapasztalhattátok, hogy pl: a 3+8/2 műveletet a számítógép úgy hajtja végre, hogy először kiszámolja a 8/2-t, majd ezt adja a 3-hoz. Ez azért van, mert a matematikai műveleteknél van egy úgynevezett prioritási sorrend és ebben az osztás előbb van, mint az összeadás. A matematikai műveletekhez hasonlóan a logikai műveletek között is van prioritási sorrend. Ez a következő: 1. tagadás 2. és 3. vagy A szabály a következő: azonos prioritású műveleteket balról jobbra hajtja végre. Ha különböző prioritású műveletek vannak, akkor előbb végre hajtja a magasabb prioritásúkat. A műveletek végrehajtási sorrendjét zárójelekkel befolyásolhatjuk. Ha vannak zárójelek, akkor először a zárójelen belüli műveleteket hajtja végre. Egymásba ágyazott zárójelek esetén belülről kifelé halad. Például az A or B and C állítást a következő sorrendben értékeli ki: először a B and C-t hajtja végre mert az és erősebb, mint a vagy (or), majd a vagy-ot. Ha azt szeretnénk, hogy előbb az A or B-t hajtsa végre, akkor azt zárójelbe kell tennünk: (A or B) and C.

Egy összetett állítás eredményét igazságtáblázattal állapíthatjuk meg (az eredmény függ a részállítások igaz vagy hamis voltától). Pl. Adjuk meg a következő állítás igazságtáblázatát? E = (A and B) or (not A and B) ennek lépései a következők: Vegyük fel A és B lehetséges értékeit: A B 0 0 0 1 1 0 1 1 egészítsük ki a műveletek végrehajtási sorredjének megfelelően: A and B (3. oszlop), not A (4. oszlop), not A and B (5. oszlop) értékeivel: 1 A 0 0 1 1

2 B 0 1 0 1

3 A and B 0 0 0 1

4 not A 1 1 0 0

5 not A and B 0 1 0 0

Végül vegyük hozzá még a 4. és 5. oszlop segítségével a teljes állítást (6. oszlop): 1 A 0 0 1 1

2 B 0 1 0 1

3 A and B 0 0 0 1

4 not A 1 1 0 0

5 not A and B 0 0 0 1

6 (A and B) or (not A and B) 0 1 0 1

Látható, hogy az E állítás tehát akkor igaz, ha A=0 és B=1, vagy A=1 és B=1.

Feladat: Készítsd el a következő állítások igazságtáblázatát (papíron magadnak, ezt nem kell beküldened), majd azok segítségével válaszolj a következő kérdésekre! (10 pont) Mi lesz a D állítás értéke, ha: 11. feladat 12. feladat

A=0 és B=1 A=1 és B=0

Mi lesz az E állítás értéke, ha: 13. feladat 14. feladat 15. feladat

D = (A or B) and A (2 pont) (2 pont)

E = (not A or B) and A

A=0 és B=0 A=0 és B=1 A=1 és B=1

(2 pont) (2 pont) (2 pont)

Feladat:

not(A and B) jelenti A and B, not(A or B) jelenti A or B tagadását. Készítsd el a következő állítások igazságtáblázatát (papíron magadnak, ezt nem kell beküldened), majd sorold fel, hogy az egyes állítások milyen A és B értékpároknál lesznek igazak! (12 pont) 16. feladat

D = not(A and B)

(2 pont)

17. feladat

E = not A and not B

(2 pont)

18. feladat

F = not(A or B)

(2 pont)

19. feladat

G = not A or not B

(2 pont)

20. feladat

Jól megfigyelve a következtetésre jutsz?

kapott

igazságtáblázatokat (2+2 pont)

milyen

Feladat Adott a következő összetett állítás:

(8 pont)

C = ((not A or B) and (A and B)) or not(A and B) Mi lesz C értéke, ha 21. feladat 22. feladat 23. feladat 24. feladat

A = 0, A = 1, A = 0, A = 1,

B=0 B=0 B=1 B=1

(2 pont) (2 pont) (2 pont) (2 pont)

Az elérhető pontszám 50. A megoldásokat e-mail-ben kérem! A megoldásokat írjátok be a mellékelt, word formátumú megoldótáblázatba, (Ne felejtsétek el beírni a neveteket a megfelelő helyre!) és csatoljátok a válaszlevélhez! A levél tárgya: 3. forduló legyen!

Cím: [email protected] Beküldési határidő: 2013. január 3. A megoldáshoz mindenkinek jó munkát kívánok. Motyovszki Tibor